Класс негауссовских симметричных распределений с нулевым коэффициентом эксцесса
Класс негауссовских симметричных распределений с нулевым коэффициентом эксцесса На основе семейства двухкомпонентных смесей распределений определен новый класс симметричных негауссовских распределений с нулевым коэффициентом эксцесса γ₄. Построены модели трех типов этого класса, приведены примеры ра...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Электронное моделирование |
|---|---|
| Дата: | 2017 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2017
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/115853 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Класс негауссовских симметричных распределений с нулевым коэффициентом эксцесса / А.И. Красильников // Электронное моделирование. — 2017. — Т. 39, № 1. — С. 3-17. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-115853 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Красильников, А.И. 2017-04-14T12:45:21Z 2017-04-14T12:45:21Z 2017 Класс негауссовских симметричных распределений с нулевым коэффициентом эксцесса / А.И. Красильников // Электронное моделирование. — 2017. — Т. 39, № 1. — С. 3-17. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/115853 519.213:621.391 Класс негауссовских симметричных распределений с нулевым коэффициентом эксцесса На основе семейства двухкомпонентных смесей распределений определен новый класс симметричных негауссовских распределений с нулевым коэффициентом эксцесса γ₄. Построены модели трех типов этого класса, приведены примеры распределений. Полученные результаты позволяют осуществлять математическое и компьютерное моделирование негауссовских случайных величин с симметричными распределениями и нулевыми коэффициентами эксцесса γ₄. На основі сім’ї двокомпонентних сумішей розподілів визначено новий клас симетричних негауссівських розподілів з нульовим коефіцієнтом ексцесу γ₄. Побудовано моделі трьох типів цього класу, наведено приклади розподілів. Отримані результати дозволяють здійснювати математичне і комп’ютерне моделювання негауссівських випадкових величин з симетричними розподілами і нульовими коефіцієнтами ексцесу γ₄. A new class of symmetric non-Gaussian distributions with zero coefficient of kurtosis γ₄ has been determined on the basis of a family of two-component mixtures of distribution. Models of three types of this class are constructed, examples of distributions are given. The obtained results allow performing mathematical and computer modeling of non-Gaussian random variables with symmetric distributions and zero coefficients of kurtosis γ₄. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Математическое моделирование и вычислительные методы Класс негауссовских симметричных распределений с нулевым коэффициентом эксцесса Class of Non-Gaussian Symmetric Distributions with Zero Coefficient of Kurtosis Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Класс негауссовских симметричных распределений с нулевым коэффициентом эксцесса |
| spellingShingle |
Класс негауссовских симметричных распределений с нулевым коэффициентом эксцесса Красильников, А.И. Математическое моделирование и вычислительные методы |
| title_short |
Класс негауссовских симметричных распределений с нулевым коэффициентом эксцесса |
| title_full |
Класс негауссовских симметричных распределений с нулевым коэффициентом эксцесса |
| title_fullStr |
Класс негауссовских симметричных распределений с нулевым коэффициентом эксцесса |
| title_full_unstemmed |
Класс негауссовских симметричных распределений с нулевым коэффициентом эксцесса |
| title_sort |
класс негауссовских симметричных распределений с нулевым коэффициентом эксцесса |
| author |
Красильников, А.И. |
| author_facet |
Красильников, А.И. |
| topic |
Математическое моделирование и вычислительные методы |
| topic_facet |
Математическое моделирование и вычислительные методы |
| publishDate |
2017 |
| language |
Russian |
| container_title |
Электронное моделирование |
| publisher |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Class of Non-Gaussian Symmetric Distributions with Zero Coefficient of Kurtosis |
| description |
Класс негауссовских симметричных распределений с нулевым коэффициентом эксцесса На основе семейства двухкомпонентных смесей распределений определен новый класс симметричных негауссовских распределений с нулевым коэффициентом эксцесса γ₄. Построены модели трех типов этого класса, приведены примеры распределений. Полученные результаты позволяют осуществлять математическое и компьютерное моделирование негауссовских случайных величин с симметричными распределениями и нулевыми коэффициентами эксцесса γ₄.
На основі сім’ї двокомпонентних сумішей розподілів визначено новий клас симетричних негауссівських розподілів з нульовим коефіцієнтом ексцесу γ₄. Побудовано моделі трьох типів цього класу, наведено приклади розподілів. Отримані результати дозволяють здійснювати математичне і комп’ютерне моделювання негауссівських випадкових величин з симетричними розподілами і нульовими коефіцієнтами ексцесу γ₄.
A new class of symmetric non-Gaussian distributions with zero coefficient of kurtosis γ₄ has been determined on the basis of a family of two-component mixtures of distribution. Models of three types of this class are constructed, examples of distributions are given. The obtained results allow performing mathematical and computer modeling of non-Gaussian random variables with symmetric distributions and zero coefficients of kurtosis γ₄.
|
| issn |
0204-3572 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/115853 |
| citation_txt |
Класс негауссовских симметричных распределений с нулевым коэффициентом эксцесса / А.И. Красильников // Электронное моделирование. — 2017. — Т. 39, № 1. — С. 3-17. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT krasilʹnikovai klassnegaussovskihsimmetričnyhraspredeleniisnulevymkoéfficientomékscessa AT krasilʹnikovai classofnongaussiansymmetricdistributionswithzerocoefficientofkurtosis |
| first_indexed |
2025-11-26T02:59:45Z |
| last_indexed |
2025-11-26T02:59:45Z |
| _version_ |
1850609573504745472 |
| fulltext |
519.213:621.391
À.È. Êðàñèëüíèêîâ, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê
Èí-ò òåõíè÷åñêîé òåïëîôèçèêè ÍÀÍ Óêðàèíû
(Óêðàèíà, 03057, Êèåâ, óë. Æåëÿáîâà, 2à,
òåë. (044) 4532857, å-mail: tangorov@voliacable.com)
Êëàññ íåãàóññîâñêèõ ñèììåòðè÷íûõ ðàñïðåäåëåíèé
ñ íóëåâûì êîýôôèöèåíòîì ýêñöåññà
Íà îñíîâå ñåìåéñòâà äâóõêîìïîíåíòíûõ ñìåñåé ðàñïðåäåëåíèé îïðåäåëåí íîâûé êëàññ
ñèììåòðè÷íûõ íåãàóññîâñêèõ ðàñïðåäåëåíèé ñ íóëåâûì êîýôôèöèåíòîì ýêñöåññà �4.
Ïîñòðîåíû ìîäåëè òðåõ òèïîâ ýòîãî êëàññà, ïðèâåäåíû ïðèìåðû ðàñïðåäåëåíèé. Ïîëó-
÷åííûå ðåçóëüòàòû ïîçâîëÿþò îñóùåñòâëÿòü ìàòåìàòè÷åñêîå è êîìïüþòåðíîå ìîäåëèðî-
âàíèå íåãàóññîâñêèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ ñèììåòðè÷íûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè è íóëåâûìè
êîýôôèöèåíòàìè ýêñöåññà �4.
Íà îñíîâ³ ñ³ì’¿ äâîêîìïîíåíòíèõ ñóì³øåé ðîçïîä³ë³â âèçíà÷åíî íîâèé êëàñ ñèìåòðè÷íèõ
íåãàóññ³âñüêèõ ðîçïîä³ë³â ç íóëüîâèì êîåô³ö³ºíòîì åêñöåñó �4. Ïîáóäîâàíî ìîäåë³ òðüîõ
òèï³â öüîãî êëàñó, íàâåäåíî ïðèêëàäè ðîçïîä³ë³â. Îòðèìàí³ ðåçóëüòàòè äîçâîëÿþòü çä³éñ-
íþâàòè ìàòåìàòè÷íå ³ êîìï’þòåðíå ìîäåëþâàííÿ íåãàóññ³âñüêèõ âèïàäêîâèõ âåëè÷èí ç
ñèìåòðè÷íèìè ðîçïîä³ëàìè ³ íóëüîâèìè êîåô³ö³ºíòàìè åêñöåñó �4.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: ñèììåòðè÷íûå ðàñïðåäåëåíèÿ, êóìóëÿíòíûå êîýôôèöèåíòû, êóìó-
ëÿíòíûé àíàëèç, êîýôôèöèåíò ýêñöåññà, ñìåñè ðàñïðåäåëåíèé.
Îäíèì èç ìåòîäîâ ñòàòèñòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí è
ïðîöåññîâ, èìåþùèõ íåãàóññîâñêèå ðàñïðåäåëåíèÿ, ÿâëÿåòñÿ êóìóëÿíò-
íûé àíàëèç, ïîçâîëÿþùèé äîñòàòî÷íî ïðîñòî è ýôôåêòèâíî ðåøàòü ðàç-
ëè÷íûå ïðèêëàäíûå çàäà÷è [1—9]. Ïðè àíàëèçå íåãàóññîâñêèõ ðàñïðåäå-
ëåíèé îñíîâíóþ ðîëü èãðàþò êóìóëÿíòíûå êîýôôèöèåíòû � s, � � �s s
s� / /
2
2,
ãäå �s — êóìóëÿíòû ðàñïðåäåëåíèé, �s
s
s s
u
d f u
i du
�
�
ln ( )
0
; f u( )— õàðàêòåðèñ-
òè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, i � �1.
Ïðè èñïîëüçîâàíèè êóìóëÿíòíûõ ìåòîäîâ èññëåäîâàíèé íåãàóññîâ-
ñêèõ ðàñïðåäåëåíèé ðàçëè÷àþò äâå çàäà÷è — ïðÿìóþ è îáðàòíóþ.  ïðÿ-
ìîé çàäà÷å îáúåêòîì àíàëèçà ÿâëÿþòñÿ íåïîñðåäñòâåííî êóìóëÿíòíûå
êîýôôèöèåíòû èññëåäóåìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ïðîöåññîâ è ðåçóëü-
òàòû èõ ôóíêöèîíàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé [1—7].  ýòîé çàäà÷å çíàíèå
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2017. Ò. 39. ¹ 1 3
� À.È. Êðàñèëüíèêîâ, 2017
�����������
���
��
��
�����
�������
���
��������
��
çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ, êàê ïðàâèëî, íå ïðåäïîëàãàåòñÿ. Îáðàòíàÿ çàäà÷à
çàêëþ÷àåòñÿ â èäåíòèôèêàöèè íåèçâåñòíîãî çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ èññëå-
äóåìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ïðîöåññîâ íà îñíîâå èçâåñòíûõ èëè èçìå-
ðåííûõ èõ êóìóëÿíòíûõ êîýôôèöèåíòîâ [8—12].
 íàñòîÿùåå âðåìÿ ïðè ðåøåíèè ýòèõ çàäà÷ â ïðèëîæåíèÿõ, êàê ïðà-
âèëî, îãðàíè÷èâàþòñÿ èñïîëüçîâàíèåì òîëüêî äâóõ êóìóëÿíòíûõ êîýôôè-
öèåíòîâ: àñèììåòðèè — � 3 è ýêñöåññà — � 4 [1, 4—7].  çàäà÷àõ àíàëèçà
òàêîå îãðàíè÷åíèå äîïóñòèìî, õîòÿ ïðèìåíåíèå êóìóëÿíòíûõ êîýôôè-
öèåíòîâ âûñøèõ ïîðÿäêîâ, íàïðèìåð â çàäà÷àõ äèàãíîñòèêè, ìîæåò ïîâû-
ñèòü äîñòîâåðíîñòü äèàãíîñòèðîâàíèÿ.
Èäåíòèôèêàöèÿ íåèçâåñòíûõ íåãàóññîâñêèõ ðàñïðåäåëåíèé òîëüêî íà
îñíîâå êîýôôèöèåíòîâ � 3 è � 4 ìîæåò ïðèâåñòè ê íåâåðíûì ðåçóëüòàòàì è
âûâîäàì. Íàïðèìåð, â òåõíè÷åñêèõ ïðèëîæåíèÿõ îøèáî÷íî ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî
ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ � 3 0� ðàñïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íûì, à
ïðè � �3 4 0� � — ãàóññîâñêèì (ÃÎÑÒ Ð ÈÑÎ 5479-2002). Òàêèå æå âûâîäû
ñëåäóþò ïðè èñïîëüçîâàíèè äëÿ èäåíòèôèêàöèè ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé
ñèñòåì ðàñïðåäåëåíèé Ïèðñîíà, Äæîíñîíà [10] è îòðåçêîâ ðÿäîâ Ãðàìà—
Øàðëüå ñ ÷åòûðüìÿ ñëàãàåìûìè [8, 10], êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ òîëüêî ñ
ïîìîùüþ êîýôôèöèåíòîâ � 3, � 4 è øèðîêî ïðèìåíÿþòñÿ â ðàçëè÷íûõ òåõ-
íè÷åñêèõ ïðèëîæåíèÿõ.
Äëÿ êîððåêòíîãî ïðèìåíåíèÿ êóìóëÿíòíûõ ìåòîäîâ â ïðèëîæåíèÿõ íå-
îáõîäèìî ó÷èòûâàòü ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé êóìóëÿíòíûõ êîýôôèöèåíòîâ
âûñøèõ ïîðÿäêîâ [1, 2, 10—18]. Ïðîáëåìû, îáóñëîâëåííûå ïðèìåíåíèåì
êîíå÷íîãî ÷èñëà êóìóëÿíòíûõ êîýôôèöèåíòîâ, ðàññìîòðåíû â ðàáîòàõ [1, 10,
13, 18].  [1, 2] èññëåäîâàíû îáëàñòè äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé êóìóëÿíòíûõ
êîýôôèöèåíòîâ. Â ðàáîòàõ [14—17] ïðîàíàëèçèðîâàíû ñâîéñòâà êîýôôè-
öèåíòîâ � 3 è � 4 íåãàóññîâñêèõ ìîäåëåé. Â ðàáîòå [11] ïîñòðîåíû ìîäåëè
íåãàóññîâñêèõ ïëîòíîñòåé âåðîÿòíîñòåé, ó êîòîðûõ � �3 4 0� � , â [12] — ìî-
äåëè íåñèììåòðè÷íûõ ðàñïðåäåëåíèé ñ íóëåâûì êîýôôèöèåíòîì � 3.
Àêòóàëüíîé îñòàåòñÿ çàäà÷à ïîëó÷åíèÿ íåãàóññîâñêèõ ñèììåòðè÷íûõ ðàñ-
ïðåäåëåíèé ñ íóëåâûì êîýôôèöèåíòîì ýêñöåññà. Ðàññìîòðèì åå ðåøåíèå.
Îïðåäåëåíèå êëàññà ðàñïðåäåëåíèé. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ôóíêöèé ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ F x( ) íåãàóññîâñêèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí �, èìåþùèõ ñèììåò-
ðè÷íûå ðàñïðåäåëåíèÿ ñ íóëåâûì êîýôôèöèåíòîì ýêñöåññà, èñïîëüçóåì
ñåìåéñòâî äâóõêîìïîíåíòíûõ äèñêðåòíûõ ñìåñåé ðàñïðåäåëåíèé, êîòîðîå
îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùåé ôîðìóëîé [18]:
F x d F x d F x( ) ( ) ( )� �1 1 2 2 , (1)
ãäå F x1( ) è F x2( ) — ñîñòàâëÿþùèå ñìåñè, ÿâëÿþùèåñÿ íåêîòîðûìè ôóíê-
öèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ; d1, d2 — âåñîâûå êîýôôèöèåíòû ñìåñè, dk ( , )0 1 ,
k �1 2, ; d d1 2 1� � .
À.È. Êðàñèëüíèêîâ
4 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2017. V. 39. ¹ 1
Ìíîæåñòâî ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ (1) ïîçâîëÿåò ìîäåëèðîâàòü ðàç-
ëè÷íûå êëàññû ðàñïðåäåëåíèé, ñâîéñòâà êîòîðûõ îïðåäåëÿþòñÿ, ïðåæäå
âñåãî, ñâîéñòâàìè ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ F x1( ), F x2( ).  ÷àñòíîñòè, åñëè
îáå ñîñòàâëÿþùèå ñìåñè — êóñî÷íî-ïîñòîÿííûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ,
òî F x( ) — òàêæå êóñî÷íî-ïîñòîÿííàÿ è � ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé
äèñêðåòíîãî òèïà; åñëè õîòÿ áû îäíà ñîñòàâëÿþùàÿ ñìåñè — êóñî÷íî- ïîñ-
òîÿííàÿ ôóíêöèÿ, òî F x( ) èìååò ðàçðûâû ïåðâîãî ðîäà è ñëó÷àéíàÿ âåëè-
÷èíà � ÿâëÿåòñÿ âåëè÷èíîé ñìåøàííîãî òèïà. Åñëè îáå ôóíêöèè, F x1( ) è
F x2( ), àáñîëþòíî íåïðåðûâíû, òî F x( ) òàêæå àáñîëþòíî íåïðåðûâíà,
ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíû � îòíîñèòñÿ ê íåïðåðûâíîìó òèïó è ó íåå ñóùåñòâóåò
ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé
p x d p x d p x( ) ( ) ( )� �1 1 2 2 , (2)
ãäå p xk ( ) — ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé ñîñòàâëÿþùèõ ñìåñè (2), p xk ( ) �
�
F xk ( ), k �1 2, .
Îïðåäåëèì óñëîâèÿ äëÿ ñîñòàâëÿþùèõ F x1( ) è F x2( ), ïðè êîòîðûõ
ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F x( ) ñìåñè (1) ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íîé.
Îïðåäåëåíèå 1. Ïóñòü � — ïðîèçâîëüíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ ôóíê-
öèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F x( ). Òîãäà ôóíêöèÿ
F x F x* ( ) ( )� � � �1 0 (3)
òàêæå ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ è íàçûâàåòñÿ ñîïðÿæåííîé ê F x( )
ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ [18].
Îïðåäåëåíèå 2. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F x( ) íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷-
íîé [18], åñëè îíà ðàâíà ñâîåé ñîïðÿæåííîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ
F x* ( ), ò.å.
F x F x( ) ( )*� . (4)
Çàìåòèì, ÷òî óñëîâèåì ñèììåòðè÷íîñòè íåïðåðûâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ÿâ-
ëÿåòñÿ ÷åòíîñòü åå ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé p x( ).
Íàéäåì ñîïðÿæåííóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ F x* ( ) ñìåñè (1). Ïîä-
ñòàâëÿÿ âûðàæåíèå (1) â ôîðìóëó (3) è ó÷èòûâàÿ, ÷òî d d1 2 1� � , ïîëó÷àåì
F x d F x d F x* ( ) [ ( ) ( )]� � � � � � � �1 0 01 1 2 2
� � � � � � � �d F x d F x1 1 2 21 0 1 0[ ( )] [ ( )].
Ñëåäîâàòåëüíî,
F x d F x d F x* * *( ) ( ) ( )� �1 1 2 2 . (5)
Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèÿ (1) è (5) â ôîðìóëó (4), çàïèøåì
d F x d F x d F x d F x1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )* *� � � ,
Êëàññ íåãàóññîâñêèõ ñèììåòðè÷íûõ ðàñïðåäåëåíèé ñ íóëåâûì êîýôôèöèåíòîì
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2017. Ò. 39. ¹ 1 5
îòêóäà ïîëó÷àåì óðàâíåíèå
d F x F x d F x F x1 1 1 2 2 2 0[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]* *� � � � ,
èç êîòîðîãî ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F x( ) ñìåñè (1) ÿâëÿåòñÿ
ñèììåòðè÷íîé ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ âåñîâûõ êîýôôèöèåíòîâ d1, d2, åñëè
ñîñòàâëÿþùèå F x1( ), F x2( ) ñìåñè ÿâëÿþòñÿ ñèììåòðè÷íûìè ôóíêöèÿìè
ðàñïðåäåëåíèÿ.  ÷àñòíîñòè, óñëîâèåì ñèììåòðèè ñìåñè (2) ÿâëÿåòñÿ ÷åò-
íîñòü ïëîòíîñòåé âåðîÿòíîñòåé ñîñòàâëÿþùèõ.  ýòîì ñëó÷àå ïëîòíîñòü
âåðîÿòíîñòåé p x( ) ñìåñè — ÷åòíàÿ ôóíêöèÿ.
Ó ñèììåòðè÷íûõ ðàñïðåäåëåíèé íà÷àëüíûå è öåíòðàëüíûå ìîìåíòû
ñîâïàäàþò, ïðè ýòîì îòëè÷íû îò íóëÿ òîëüêî ÷åòíûå öåíòðàëüíûå ìîìåí-
òû �s, êîòîðûå äëÿ ñìåñè (1) èìåþò âèä
� � �s s sd d� �1 1 2 2, , , (6)
ãäå �s,1,�s, 2 — öåíòðàëüíûå ìîìåíòû ñîñòàâëÿþùèõ ñìåñè. Î÷åâèäíî, ÷òî
ìîìåíòû �s ñóùåñòâóþò, åñëè ñóùåñòâóþò ìîìåíòû ïîðÿäêà r s� ñîñ-
òàâëÿþùèõ ñìåñè. Äàëåå áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñîñòàâëÿþùèå F x1( )è F x2( )
ñìåñè, ó êîòîðûõ ñóùåñòâóþò öåíòðàëüíûå ìîìåíòû ïîðÿäêà s � 6.
Êóìóëÿíòíûå êîýôôèöèåíòû ñèììåòðè÷íûõ ðàñïðåäåëåíèé ñâÿçàíû ñ
öåíòðàëüíûìè ìîìåíòàìè èçâåñòíûìè ñîîòíîøåíèÿìè [10], íàïðèìåð,
� 4 4 3� �M , (7)
� 6 6 415 30� � �M M , (8)
ãäå M s s
s�� �/ /
2
2 — íîðìèðîâàííûå öåíòðàëüíûå ìîìåíòû ïîðÿäêà s, êî-
òîðûå äëÿ ñìåñè (1) ñ ó÷åòîì (6) èìåþò âèä
M
d d
d d
s
s s
s
�
�
�
1 1 2 2
1 2 1 2 2 2
2
� �
� �
, ,
, ,
/( )
.
(9)
Îïðåäåëèì êëàññ ñèììåòðè÷íûõ íåãàóññîâñêèõ ðàñïðåäåëåíèé ñ íó-
ëåâûì êîýôôèöèåíòîì ýêñöåññà, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ñìå-
ñåé ðàñïðåäåëåíèé (1).
Îïðåäåëåíèå 3. Ïóñòü ó ñìåñè (1) ñîñòàâëÿþùèå F x1( ), F x2( )ÿâëÿþòñÿ
ñèììåòðè÷íûìè ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ è åå êóìóëÿíòíûå êîýôôè-
öèåíòû � 4, � 6 îäíîâðåìåííî óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì
� 4 0� , � 6 0
. (10)
Òîãäà ñìåñü (1) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êëàññ ñèììåòðè÷íûõ íåãàóññîâñêèõ
ðàñïðåäåëåíèé ñ íóëåâûì êîýôôèöèåíòîì ýêñöåññà. Ïðè âûïîëíåíèè óñ-
ëîâèÿ � 4 0� ôîðìóëà (8) óïðîùàåòñÿ è ïðèíèìàåò âèä
� 6 6 15� �M . (11)
À.È. Êðàñèëüíèêîâ
6 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2017. V. 39. ¹ 1
Ïîêàæåì, ÷òî îïðåäåëåííûé òàêèì îáðàçîì êëàññ ðàñïðåäåëåíèé íå
ÿâëÿåòñÿ ïóñòûì. Ïîäñòàâëÿÿ â (7) âûðàæåíèå (9), ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé
ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ íàõîæäåíèÿ êîýôôèöèåíòà ýêñöåññà ñìåñè (1):
�
�
�
� � � �
��
�4
4 1 4 1 2 4 2 1 2 2 1 2 2
2
1 2 1 2
3
� �
� � �
�
d d d d
d d
, , , ,
,
( )
( �2 2
2
, )
, (12)
ãäå �s — êóìóëÿíòû ñìåñè; �4 1, , �4 2, — êóìóëÿíòû åå ñîñòàâëÿþùèõ.
Ïðîàíàëèçèðóåì âûðàæåíèå (12), ó÷èòûâàÿ, ÷òî êóìóëÿíòû �4 1, , �4 2,
ìîãóò áûòü îòðèöàòåëüíûìè, ïîëîæèòåëüíûìè èëè ðàâíûìè íóëþ. Ðàñ-
ñìîòðèì òðè ñëó÷àÿ.
1. Ïóñòü �4 1 0, � è �4 2 0, � . Òîãäà ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ âåñîâûõ êîýô-
ôèöèåíòîâ d1, d2 ñìåñè è äèñïåðñèÿõ �2 1, , �2 2, åå ñîñòàâëÿþùèõ � 4 0� è
ñìåñü (1) íå âõîäèò â êëàññ ñèììåòðè÷íûõ íåãàóññîâñêèõ ðàñïðåäåëåíèé ñ
íóëåâûì êîýôôèöèåíòîì ýêñöåññà.
2. Ïóñòü ñîñòàâëÿþùèå ñìåñè F x1( ) è F x2( ) — öåíòðèðîâàííûå ãàóñ-
ñîâñêèå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñ îäèíàêîâûìè äèñïåðñèÿìè �2 1, = �2 2, .
Òîãäà ñìåñü (1) èìååò ãàóññîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå, ó êîòîðîãî � 4 0� . Åñëè
F x1( ) è F x2( ) ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ âûðîæäåííûõ â íóëå
ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, òî �2 1, = �2 2, = 0, �4 1, = �4 2, = 0 è ñìåñü (1) èìååò âû-
ðîæäåííîå ðàñïðåäåëåíèå, ó êîòîðîãî êóìóëÿíò �4 0� . Òàêèì îáðàçîì,
ãàóññîâñêîå è âûðîæäåííîå ðàñïðåäåëåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè
ðàññìàòðèâàåìîãî êëàññà.
3. Ïóñòü êóìóëÿíòû �4 1, è �4 2, èìåþò ðàçëè÷íûå çíàêè, íàïðèìåð
�4 1 0, � , à �4 2 0, � . Òîãäà ïðè d1 1� � �4 4 1 0� �, , à ïðè d1 0� � �4 4 2 0� �, ,
ãäå � 4 1, , � 4 2, — êîýôôèöèåíòû ýêñöåññà ñîñòàâëÿþùèõ ñìåñè. Ïîýòîìó, â
çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèé êîýôôèöèåíòà d1, çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòà ýêñ-
öåññà � 4 ñìåñè ìîãóò áûòü îòðèöàòåëüíûìè, ïîëîæèòåëüíûìè èëè ðàâ-
íûìè íóëþ.  ýòîì ñëó÷àå ñìåñü (1) âõîäèò â êëàññ ñèììåòðè÷íûõ íåãàóñ-
ñîâñêèõ ðàñïðåäåëåíèé ñ íóëåâûì êîýôôèöèåíòîì ýêñöåññà.
Òàêèì îáðàçîì, îïðåäåëåí íåïóñòîé êëàññ ñèììåòðè÷íûõ íåãàóññîâñ-
êèõ ðàñïðåäåëåíèé ñ íóëåâûì êîýôôèöèåíòîì ýêñöåññà, êîòîðûé ïîçâî-
ëÿåò ïîëó÷àòü ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F x( ) äèñêðåòíûõ, íåïðåðûâíûõ è
ñìåøàííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.
 îáùåé ïîñòàíîâêå çàäà÷à íàõîæäåíèÿ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ ñèì-
ìåòðè÷íûõ íåãàóññîâñêèõ ðàñïðåäåëåíèé ñ íóëåâûì êîýôôèöèåíòîì ýêñ-
öåññà çàêëþ÷àåòñÿ â îïðåäåëåíèè ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ F x1( ), F x2( ) è
âåñîâûõ êîýôôèöèåíòîâ d1, d2 ñìåñè (1), êîòîðûå îáåñïå÷èâàþò âûïîëíå-
íèå óñëîâèé (10).
Ðàññìîòðèì ïðèìåðû ïîñòðîåíèÿ ìîäåëåé ñèììåòðè÷íûõ íåãàóññîâñ-
êèõ ðàñïðåäåëåíèé ñ íóëåâûì êîýôôèöèåíòîì ýêñöåññà. Äëÿ êîíêðåòèçà-
Êëàññ íåãàóññîâñêèõ ñèììåòðè÷íûõ ðàñïðåäåëåíèé ñ íóëåâûì êîýôôèöèåíòîì
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2017. Ò. 39. ¹ 1 7
öèè çàäà÷è íà îñíîâàíèè ôîðìóëû (12) çàïèøåì óðàâíåíèå � 4 0� â ÿâíîì
âèäå:
� � � � �4 1 4 1 2 4 2 1 2 2 1 2 2
23 0� � � � �d d d d, , , ,( ) . (13)
Áóäåì ñ÷èòàòü çàäàííûìè êóìóëÿíòû �4 1, , �4 2, è äèñïåðñèè �2 1, , �2 2, ñîñ-
òàâëÿþùèõ ñìåñè (1). Òîãäà çàäà÷à çàêëþ÷àåòñÿ â îïðåäåëåíèè òàêèõ çíà-
÷åíèé âåñîâûõ êîýôôèöèåíòîâ d1, d2, ïðè êîòîðûõ ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
(13) ñóùåñòâóåò.
Ìîäåëè òèïà 1. Ïóñòü äèñïåðñèè ñîñòàâëÿþùèõ ñìåñè (1) ñîâïàäàþò:
�2 1, = �2 2, . (14)
 ýòîì ñëó÷àå äèñïåðñèÿ ñìåñè �2=�2 1, =�2 2, , à óðàâíåíèå (13) ïðèíèìàåò
âèä d1� 4 1, + d2 � 4 2, = 0, îòêóäà ïîëó÷àåì ôîðìóëû äëÿ íàõîæäåíèÿ âåñîâûõ
êîýôôèöèåíòîâ d1 è d2:
d1
4 2
4 2 4 1
�
�
�
� �
,
, ,
, d2
4 1
4 1 4 2
�
�
�
� �
,
, ,
.
(15)
Èç ôîðìóë (15) ñëåäóåò, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå ðåøåíèå åñòü âñåãäà, åñëè
êîýôôèöèåíòû ýêñöåññà � 4 1, , � 4 2, ñîñòàâëÿþùèõ ñìåñè èìåþò ðàçëè÷íûå
çíàêè.
Ïðèìåð 1. Ïóñòü ó ñìåñè (2) p x1( ) — ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé ïàðàáî-
ëè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, p x2( ) — ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé ëîãèñòè÷åñ-
êîãî ðàñïðåäåëåíèÿ [19] (òàáë. 1). Èñïîëüçóÿ óñëîâèå (14) è äàííûå òàáë. 1,
ïîëó÷àåì âûðàæåíèå, ñâÿçûâàþùåå ïàðàìåòðû a è � ïëîòíîñòåé âåðîÿò-
íîñòåé p x1( ) è p x2( ) ñîñòàâëÿþùèõ ñìåñè: a � ( / ) /,5 3 0 5� �.
À.È. Êðàñèëüíèêîâ
8 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2017. V. 39. ¹ 1
Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé Öåíòðàëüíûé ìîìåíò
Êîýôôèöèåíò
ýêñöåññà
p x
x a a
a x
a
x a a
a
1
2 2
3
0
0 75
0
( )
, ( , ],
, , ( , ],
�
� �
�
�
�
�
�
��
�
� s
s
s
a
s s
s
,
,
( ) ( )
,
1
0
3
1 3
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
íå åòíîå,
åòíîå,
�4 1 6 7, /��
p x
x
2 2
0 25
0 5
( )
,
( , )
�
�
�ch
,
x �� �( , ), �� 0
� �
�
s
s
s
s
s
B s
,
,
( ) | |,
2
0
2 2
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
íå åòíîå,
åòíîå,
ãäå Bs — ÷èñëà Áåðíóëëè, B2 1 6� / ;
B4 1 30�� / ; B6 1 42� /
�4 2 1 2, ,�
Òàáëèöà 1
÷
÷
÷
÷
Çàäàåì çíà÷åíèå � �� è íàõîäèì çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ñìåñè ðàñïðå-
äåëåíèÿ (òàáë. 2). Ïîäñòàâëÿÿ â ôîðìóëó (2) äàííûå òàáë. 1 è 2, ïîëó÷àåì
ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé ñèììåòðè÷íîãî íåãàóññîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ
íóëåâûì êîýôôèöèåíòîì ýêñöåññà:
p x
x
x
( )
,
( , )
, ( , ; , ],
, ,
�
� �
�
0 1042
0 5
1 291 1 291
0 3388 0 2
2
�
�ch
033
0 1042
0 5
1 291 1 2912
2
x
x
x� �
�
�
��
�
�
�
,
( , )
, ( , ; , ].
�
�ch
(16)
Íà ðèñ. 1, à, ïðåäñòàâëåíû ãðàôèêè ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé (16)
(ñïëîøíàÿ ëèíèÿ) è ãàóññîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ äèñïåðñèåé �2
2 1 3� � /
(øòðèõîâàÿ ëèíèÿ).
Ìîäåëè òèïà 2. Ïóñòü ó ñîñòàâëÿþùèõ ñìåñè (1) äèñïåðñèè �2 1, , �2 2,
ðàçëè÷íû, à êóìóëÿíòû �4 1, è �4 2, èìåþò ðàçëè÷íûå çíàêè, â ÷àñòíîñòè
�4 1 0, � , �4 2 0, � . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî êóìóëÿíòû �4 1, è �4 2, óäîâëåòâîðÿþò
óñëîâèþ
�4 1, = – �4 2, . (17)
Äëÿ âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ (17) ïàðàìåòðû ñîñòàâëÿþùèõ ñìåñè íå ìîãóò
áûòü âûáðàíû ïðîèçâîëüíî è äîëæíû áûòü ñâÿçàíû îïðåäåëåííûìè ñîîò-
íîøåíèÿìè. Ïåðåïèøåì ðàâåíñòâî (17) â âèäå � � � �4 1 2 1
2
4 2 2 2
2
, , , ,� � , îòêóäà
ñëåäóåò ôîðìóëà, ñâÿçûâàþùàÿ äèñïåðñèè �2 1, , �2 2, è êîýôôèöèåíòû ýêñ-
öåññà � �4 1 4 2, ,, ñîñòàâëÿþùèõ ñìåñè:
� �4 1 4 2
2
, , /� � M , (18)
ãäå
M �� �2 1 2 2, ,/ . (19)
Íàéäåì âåñîâîé êîýôôèöèåíò d2 ñìåñè, èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå (13),
êîòîðîå ïðè óñëîâèè (17) ïðèíèìàåò âèä
� � �4 2 2 1 1 2 2 1 2 2
23 0, , ,( ) ( )d d d d� � � � . (20)
Ðàçäåëèâ ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè (20) íà �2 2
2
, , ïîëó÷àåì óðàâíåíèå
� 4 2 2 1 1 2
23 1 0, ( ) ( )d d d d M� � � � . (21)
Êëàññ íåãàóññîâñêèõ ñèììåòðè÷íûõ ðàñïðåäåëåíèé ñ íóëåâûì êîýôôèöèåíòîì
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2017. Ò. 39. ¹ 1 9
Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ñìåñè
a d1 d2 � 2 � 6 �6
1,291 0,5833 0,4167 1/3 0,7437 5,0795
Òàáëèöà 2
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî d d1 21� � , ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé ôîðìóëû (21) ïîëó÷àåì
óðàâíåíèå äëÿ íàõîæäåíèÿ êîýôôèöèåíòà d2:
3 1 3 1 2 02
2 2
2
2
4 2 4 2d M d M( ) [ ( ) ], ,� � � � � �� � . (22)
Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (22) èìååò âèä
d
M M
2
1 2 4 2
2
4 2
2
4
05
3 1
025
9 1
( , ) , ,
,
( )
,
( )
� �
�
! �
�
� �
.
(23)
Ïðîàíàëèçèðóåì ôîðìóëó (23). Ïîñêîëüêó � 4 2 0, � è ïðè A�0, B �0
ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî A B A B� � �2 2, ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ êîýôôè-
öèåíòà � 4 2 0, � è ïàðàìåòðà M îáà êîðíÿ, d
2
1( ) è d
2
2( ) , ïîëîæèòåëüíû. Îäíàêî
êîðåíü d
2
2( ) , ñîîòâåòñòâóþùèé çíàêó ïëþñ ïåðåä êâàäðàòíûì êîðíåì, íå-
îáõîäèìî èñêëþ÷èòü, òàê êàê îí âñåãäà áîëüøå åäèíèöû è íå ìîæåò áûòü
âåñîâûì êîýôôèöèåíòîì ñìåñè. Ïîýòîìó ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (22) ÿâ-
ëÿåòñÿ åäèíñòâåííûé êîðåíü, d d2 2
1� ( ) , êîòîðûé ñîîòâåòñòâóåò çíàêó ìè-
íóñ ïåðåä êâàäðàòíûì êîðíåì â âûðàæåíèè (23).
Òàêèì îáðàçîì, ïðàêòè÷åñêàÿ ðåàëèçàöèÿ ðàññìîòðåííîé ìîäåëè ñìå-
ñè (1) ñ íóëåâûì êîýôôèöèåíòîì ýêñöåññà íå èìååò êàêèõ-ëèáî îãðàíè-
÷åíèé.
Ïðèìåð 2. Ïóñòü ó ñìåñè (2) p x1( ) — ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé ïàðàáî-
ëè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, p x2( ) — ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé ëîãèñòè÷åñ-
êîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (ñì. òàáë. 1). Íà îñíîâàíèè ôîðìóëû (18) è äàííûõ
òàáë. 1 íàõîäèì M � �"�� �4 2 4 1
0 5 0 514, ,
, ,/ ) , . Èñïîëüçóÿ çíà÷åíèå ïàðàìåòðà
À.È. Êðàñèëüíèêîâ
10 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2017. V. 39. ¹ 1
p x( )
0,6
0,4
0,2
0
�2 1 0 1 2� �2 1 0 1 2�
a á
x
Ðèñ. 1
Ì è ôîðìóëó (19), ïîëó÷àåì âûðàæåíèå, ñâÿçûâàþùåå ïàðàìåòðû # è �
ïëîòíîñòåé âåðîÿòíîñòåé p x1( ) è p x2( ) ñîñòàâëÿþùèõ ñìåñè:
a � ( / ) , /, ,5 3 140 5 0 25� � . (24)
Çàäàåì çíà÷åíèå� �� è, èñïîëüçóÿ äàííûå òàáë. 1 è ôîðìóëû (6), (11),
(23) è (24), íàõîäèì çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ñìåñè ðàñïðåäåëåíèÿ (òàáë. 3).
Ïîäñòàâëÿÿ â ôîðìóëó (2) äàííûå òàáë. 1 è 3, ïîëó÷àåì ïëîòíîñòü âåðîÿò-
íîñòåé ñèììåòðè÷íîãî íåãàóññîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ íóëåâûì êîýôôè-
öèåíòîì ýêñöåññà:
p x
x
x
( )
,
( , )
, ( , ; , ],
,
�
� �
�
0 1224
0 5
14043 14043
0 2727 0
2
�
�ch
,
,
( , )
, ( , ; , ].1383
0 1224
0 5
14043 140432
2
x
x
x� �
�
�
��
�
�
�ch
�
�
(25)
Íà ðèñ. 1, á, ïðåäñòàâëåíû ãðàôèêè ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé (25) (ñïëîø-
íàÿ ëèíèÿ) è ãàóññîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ äèñïåðñèåé �2
2 03645� � ,
(øòðèõîâàÿ ëèíèÿ).
Ìîäåëè òèïà 3. Ïóñòü ó ñîñòàâëÿþùèõ ñìåñè (1) äèñïåðñèè�2 1, ,�2 2,
ðàçëè÷íû, à êóìóëÿíòû �4 1, , �4 2, îòðèöàòåëüíû è óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ
�4 1, � �4 2, . (26)
Îïðåäåëèì ñâÿçü ìåæäó ïàðàìåòðàìè ñîñòàâëÿþùèõ ñìåñè, äëÿ ÷åãî ïåðå-
ïèøåì ôîðìóëó (26) â âèäå � � � �4 1 2 1
2
4 2 2 2
2
, , , ,� , îòêóäà ñëåäóåò ôîðìóëà,
ñâÿçûâàþùàÿ äèñïåðñèè�2 1, ,�2 2, è êîýôôèöèåíòû � �4 1 4 2, ,, ñîñòàâëÿþùèõ
ñìåñè:
� �4 1 4 2
2
, , /� M , (27)
ãäå ïàðàìåòð M îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (19).
Íàéäåì âåñîâûå êîýôôèöèåíòû d1, d2 ñìåñè, èñïîëüçóÿ äëÿ ýòîãî
óðàâíåíèå (13), êîòîðîå ïðè óñëîâèè (26) ïðèíèìàåò âèä
� � �4 2 1 2 2 1 2 2
23 0, , ,( )� � �d d . (28)
Ðàçäåëèì ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè (28) íà �2 2
2
, . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî d d2 11� � ,
Êëàññ íåãàóññîâñêèõ ñèììåòðè÷íûõ ðàñïðåäåëåíèé ñ íóëåâûì êîýôôèöèåíòîì
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2017. Ò. 39. ¹ 1 11
Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ñìåñè
M a d1 d2 � 2 1, � 2 2, � 2 � 6 �6
1,1832 1,4043 0,5105 0,4895 0,3944 1/3 0,3645 0,9090 3,7702
Òàáëèöà 3
ïîëó÷àåì óðàâíåíèå äëÿ íàõîæäåíèÿ êîýôôèöèåíòà d1 ñìåñè (1):
d d
M
1
2
1
4 2
23 1
0� �
�
�
� ,
( )
. (29)
Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (29) èìååò âèä
d
M
1
1 2 4 2
2
0 5 0 25
3 1
( , ) ,
, ,
( )
� ! �
�
�
. (30)
Ïðîàíàëèçèðóåì ôîðìóëó (30). Ïîñêîëüêó � 4 2 2 0, [ , ) � , äèñêðèìèíàíò
â ôîðìóëå (30) áóäåò íåîòðèöàòåëüíûì ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ
0 25
3 1
0
4 2
2
,
( )
,�
�
�
�
M
. (31)
Ðåøàÿ íåðàâåíñòâî (31) îòíîñèòåëüíî ïàðàìåòðà M, íàõîäèì îáëàñòè äî-
ïóñòèìûõ çíà÷åíèé M ïðè çàäàííûõ çíà÷åíèÿõ êîýôôèöèåíòà � 4 2, :
M M� � ��
�
�
�
�
� �1 2
3
4 2
0 5� ,
,
min , M M$ � ��
�
�
�
�
� �1 2
3
4 2
0 5� ,
,
max , (32)
ãäå M min è M max — ãðàíèöû äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà M.
Èç ôîðìóë (32) ñëåäóåò, ÷òî ãðàíèöû M min è M max ñâÿçàíû ñîîòíî-
øåíèåì M min + M max = 2. Âåëè÷èíà M max ìîæåò ïðèíèìàòü îòðèöàòåëü-
íûå çíà÷åíèÿ ïðè îïðåäåëåííûõ çíà÷åíèÿõ êîýôôèöèåíòà ýêñöåññà � 4 2, ,
íàïðèìåð ïðè � 4 2, = –2 M min = 2,633, M max = – 0,633. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó
(32), íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî M max � 0, åñëè � 4 2, � –0,75. Ïîñêîëüêó ïðèìå-
íåíèå ãðàíèöû M max èìååò îãðàíè÷åíèÿ, â ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷àõ äëÿ îïðå-
äåëåíèÿ ïàðàìåòðà ñìåñè M öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü ãðàíèöó M min è
ñîîòâåòñòâóþùåå íåðàâåíñòâî (32).
Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (29) ñóùåñòâóåò ïðè ëþáûõ çà-
äàííûõ çíà÷åíèÿõ êîýôôèöèåíòà ýêñöåññà � 4 2 2 0, [ , ) � , åñëè ïàðàìåòð M
âûáðàí èç îáëàñòè äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé, îïðåäåëåííîé íåðàâåíñòâîì
(32). Óðàâíåíèå (29) èìååò äâà êîðíÿ, d
1
1( ) è d
1
2( ) , åñëè M M� min , è îäèí
êîðåíü, d1 05� , , åñëè M M� min .
Ïðàêòè÷åñêîå ïîñòðîåíèå ñìåñè (1) ñ íóëåâûì êîýôôèöèåíòîì ýêñ-
öåññà â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå öåëåñîîáðàçíî âûïîëíÿòü â òàêîé ïîñëå-
äîâàòåëüíîñòè. Çàäàåì çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà ýêñöåññà � 4 2 2 0, [ , ) � , ñîîò-
âåòñòâóþùåå êàêîìó-ëèáî èçâåñòíîìó ðàñïðåäåëåíèþ F x2( ). Âû÷èñëÿåì
À.È. Êðàñèëüíèêîâ
12 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2017. V. 39. ¹ 1
âåëè÷èíó M min ïî ôîðìóëå (32) è íàõîäèì íà îñíîâàíèè (27) çíà÷åíèå
êîýôôèöèåíòà ýêñöåññà:
min /, , min� �4 1 4 2
2� M . (33)
 òàáë. 4 ïðèâåäåíû çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà M min è êîýôôèöèåíòà ýêñöåññà
min ,� 4 1 äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé êîýôôèöèåíòà ýêñöåññà � 4 2 2 0, [ , ) � . Âû-
áèðàåì çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà ýêñöåññà � �4 1 4 1 0, ,[min , ) è ñîîòâåòñòâåí-
íî — ðàñïðåäåëåíèå F x1( ). Íàõîäèì çíà÷åíèå ïàðàìåòðà M ïî ôîðìóëå
M � ( / ), ,
,� �4 2 4 1
0 5. (34)
Êëàññ íåãàóññîâñêèõ ñèììåòðè÷íûõ ðàñïðåäåëåíèé ñ íóëåâûì êîýôôèöèåíòîì
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2017. Ò. 39. ¹ 1 13
Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Öåíòðàëüíûé ìîìåíò
Êîýôôèöèåíò
ýêñöåññà
F x
x
p x
q p x
x
1
0 1
0 5 1 0
0 5 0 1
1 1
( )
, ,
, , ( , ],
, , ( , ],
, .
�
$�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
� � �p q p q, ;0 1
� s
s
p s
,
,
,
1
0
�
�
�
�
�
�
íå åòíîå,
åòíîå.
�4 1
1
3, � �
p
F x
x a
x a
a
x a a
x a a
2
0
2
1 0
( )
, ,
, ( , ],
, , .
�
$�
�
�
� �
�
�
��
�
�
�
� s
s
s
a
s
s
,
,
,
2
0
1
�
�
�
�
�
�
�
��
íå åòíîå,
åòíîå.
�4 2 1 2, ,��
Òàáëèöà 5
÷
÷
÷
÷
Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ñìåñè
p q M a d1 d2 � 2 1, � 2 2, � 2 � 6 �6
0,3571 0,6429 2,4495 0,6614 0,7442 0,2558 0,3571 0,1456 0,3137 0,2795 –5,9461
Òàáëèöà 6
� 4 2, Mmin min ,� 4 1 � 4 2, Mmin min ,� 4 1
–0,25 1,577 –0,10 –1,25 2,291 –0,238
–0,50 1,817 –0,152 –1,50 2,414 –0,257
–0,75 2,00 –0,188 –1,75 2,528 –0,274
–1,00 2,155 –0,215 �2,00 2,633 –0,288
Òàáëèöà 4
Âû÷èñëÿåì êîýôôèöèåíò d1 ïî ôîðìóëå (30) è êîýôôèöèåíò d d2 11� � .
Çàäàåì îäíó èç äèñïåðñèé,�2 1, èëè�2 2, , è íàõîäèì âòîðóþ äèñïåðñèþ,�2 2,
(�2 1, ), èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (19).
Ïðèìåð 3. Çàäàäèì ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F x1( ) è F x2( ) ñîñòàâ-
ëÿþùèõ ñìåñè (òàáë. 5). Ïî ôîðìóëå (32) íàõîäèì âåëè÷èíó M min ,�2 2649,
à ïî ôîðìóëå (33) — çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà ýêñöåññà min ,,� 4 1 0 2339� � .
Âûáèðàåì çíà÷åíèå � 4 1 0 2, ,� � è, èñïîëüçóÿ äàííûå òàáë. 5 è ôîðìóëû (6),
(11), (19), (30) è (34), íàõîäèì çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ñìåñè ðàñïðåäåëåíèÿ
(òàáë. 6). Ïîäñòàâëÿÿ â ôîðìóëó (1) äàííûå òàáë. 5 è 6, ïîëó÷àåì ôóíêöèþ
ðàñïðåäåëåíèÿ ñèììåòðè÷íîãî íåãàóññîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ íóëåâûì
êîýôôèöèåíòîì ýêñöåññà (ðèñ. 2):
F x
x
x
x x
( )
, ,
, , ( ; , ],
, , ,
�
$ �
� �
�
0 1
01328 1 0 661
01935 0 2607 ( , ; ],
, , , ( ; , ],
, , ( ,
�
�
0661 0
01935 0 7392 0 0661
0 8672 0
x x
x 661 1
1 1
; ],
, .x �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Âûâîäû
Íà îñíîâå ïðåäëîæåííîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè íåñëîæíî îñóùåñòâëÿòü
êîìïüþòåðíîå ìîäåëèðîâàíèå íåãàóññîâñêèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ ñèì-
ìåòðè÷íûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè è íóëåâûìè êîýôôèöèåíòàìè � 4, èñïîëü-
çóÿ èçâåñòíûå àëãîðèòìû ìîäåëèðîâàíèÿ äèñêðåòíûõ ñìåñåé ðàñïðåäå-
ëåíèÿ, ðàññìîòðåííûå, íàïðèìåð, â ðàáîòå [20].
À.È. Êðàñèëüíèêîâ
14 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2017. V. 39. ¹ 1
F x( )
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
�%&' 1 0 0,5 1� �(&'
x
Ðèñ. 2
Ïðåäëîæåííûå ìîäåëè äàþò âîçìîæíîñòü íà ýòàïå ïðîåêòèðîâàíèÿ òåõ-
íè÷åñêèõ ñèñòåì ñðàâíèâàòü ýôôåêòèâíîñòü ðàçðàáàòûâàåìûõ ìåòîäîâ îáðà-
áîòêè ðàçëè÷íûõ ñèãíàëîâ, ó êîòîðûõ � 3 = � 4 = 0, â òîì ÷èñëå è ãàóññîâñêèõ.
Ïðàêòè÷åñêàÿ öåííîñòü ïðåäëîæåííûõ ìîäåëåé çàêëþ÷àåòñÿ â ïîâûøåíèè
äîñòîâåðíîñòè ðåçóëüòàòîâ ðåøåíèÿ òåõíè÷åñêèõ çàäà÷ ïðè èñïîëüçîâàíèè
ýòèõ ìîäåëåé, à èõ ýôôåêòèâíîñòü — â ïðîñòîòå ðåàëèçàöèè.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ìàëàõîâ À.Í. Êóìóëÿíòíûé àíàëèç ñëó÷àéíûõ íåãàóññîâûõ ïðîöåññîâ è èõ ïðåîáðà-
çîâàíèé. — Ì. : Ñîâ. ðàäèî, 1978. — 376 ñ.
2. Êóí÷åíêî Þ.Ï. Ïîëèíîìèàëüíûå îöåíêè ïàðàìåòðîâ áëèçêèõ ê ãàóññîâñêèì ñëó-
÷àéíûõ âåëè÷èí. ×. 1. Ñòîõàñòè÷åñêèå ïîëèíîìû, èõ ñâîéñòâà è ïðèìåíåíèÿ äëÿ
íàõîæäåíèÿ îöåíîê ïàðàìåòðîâ. — ×åðêàññû: ×ÈÒÈ, 2001. — 133 ñ.
3. Êðàñèëüíèêîâ À.È. Ìîäåëè øóìîâûõ ñèãíàëîâ â ñèñòåìàõ äèàãíîñòèêè òåïëîýíåð-
ãåòè÷åñêîãî îáîðóäîâàíèÿ. — Êèåâ: Èí-ò òåõí. òåïëîôèçèêè ÍÀÍ Óêðàèíû, 2014. —
112 ñ.
4. Áàáàê Ñ.Â., Ìûñëîâè÷ Ì.Â., Ñûñàê Ð.Ì. Ñòàòèñòè÷åñêàÿ äèàãíîñòèêà ýëåêòðîòåõíè-
÷åñêîãî îáîðóäîâàíèÿ. — Êèåâ: Èí-ò ýëåêòðîäèíàìèêè ÍÀÍ Óêðàèíû, 2015. — 456 ñ.
5. Alexandrou D., De Moustier C., Haralabus G. Evaluation and verification of bottom acous-
tic reverberation statistics predicted by the point scattering model // J. Acoust. Soc. Am. —
1992. — Vol. 91, No. 3. — P. 1403—1413.
6. Êóçíåöîâ Â.Â. Èñïîëüçîâàíèå ìîìåíòîâ òðåòüåãî ïîðÿäêà â ðàñ÷åòàõ ýëåêòðè÷åñêèõ
íàãðóçîê // Âåñò. Ñàìàðñêîãî ÃÒÓ. Ñåðèÿ «Òåõíè÷åñêèå íàóêè». — 2009. — ¹ 2 (24). —
Ñ. 166—171.
7. Êóçíåöîâ Á.Ô., Áîðîäêèí Ä.Ê., Ëåáåäåâà Ë.Â. Êóìóëÿíòíûå ìîäåëè äîïîëíèòåëüíûõ
ïîãðåøíîñòåé // Ñîâðåìåííûå òåõíîëîãèè. Ñèñòåìíûé àíàëèç. Ìîäåëèðîâàíèå. —
2013. — ¹ 1 (37). — Ñ. 134—138.
8. Jondeau E., Rockinger M. Gram-Charlier densities // Journal of Economic Dynamics &
Control. — 2001. — Vol. 25. — P. 1457—1483.
9. Êàðïîâ È.Ã. Ïðèáëèæåííàÿ èäåíòèôèêàöèÿ çàêîíîâ ðàñïðåäåëåíèÿ ïîìåõ â àäàï-
òèâíûõ ïðèåìíèêàõ ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà ìîìåíòîâ // Ðàäèîòåõíèêà. — 1999. —
¹ 7. — Ñ. 11—14.
10. Êåíäàëë Ì., Ñòüþàðò À. Òåîðèÿ ðàñïðåäåëåíèé / Ïåð. ñ àíãë. Â.Â. Ñàçîíîâà, À.Í. Øè-
ðÿåâà, ïîä ðåä. À.Í. Êîëìîãîðîâà. — Ì. : Íàóêà, 1966. — 588 ñ.
11. Êðàñèëüíèêîâ À.È. Êëàññ íåãàóññîâñêèõ ðàñïðåäåëåíèé ñ íóëåâûìè êîýôôèöèåíòàìè
àñèììåòðèè è ýêñöåññà // Èçâ. âóçîâ. Ðàäèîýëåêòðîíèêà. — 2013. — 56, ¹ 6. — Ñ. 56—63.
12. Êðàñèëüíèêîâ À.È. Ìîäåëè íåñèììåòðè÷íûõ ðàñïðåäåëåíèé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ íó-
ëåâûì êîýôôèöèåíòîì àñèììåòðèè // Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 2016. — 38, ¹ 1. —
Ñ. 19—33.
13. Ìàð÷åíêî Á.Ã., Ùåðáàê Ë.Í. Ïðîáëåìà ìîìåíòîâ è êóìóëÿíòíûé àíàëèç // Îòáîð è
îáðàáîòêà èíôîðìàöèè. — 1993. — Âûï. 9 (85). — Ñ. 12—20.
14. Jondeau E., Rockinger M. Conditional volatility, skewness, and kurtosis: existence, per-
sistence, and comovements // Journal of Economic Dynamics & Control. — 2003. — Vol. 27. —
P. 1699—1737.
15. De Carlo L.T. On the meaning and use of kurtosis // Psychological Methods. — 1997. —
Vol. 2, No. 3. — Ð. 292—307.
16. Êðàñèëüíèêîâ À.È., Ïèëèïåíêî Ê.Ï. Îäíîâåðøèííàÿ äâóõêîìïîíåíòíàÿ ãàóññîâñêàÿ
ñìåñü. Êîýôôèöèåíò ýêñöåññà // Ýëåêòðîíèêà è ñâÿçü. — 2007. — ¹ 2 (37). — Ñ. 32— 38.
Êëàññ íåãàóññîâñêèõ ñèììåòðè÷íûõ ðàñïðåäåëåíèé ñ íóëåâûì êîýôôèöèåíòîì
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2017. Ò. 39. ¹ 1 15
17. Doane D.P., Seward L.E. Measuring Skewness: A Forgotten Statistic? // Journal of Statistics
Education. — 2011. — Vol. 19, No. 2. — P. 1—18. — [Ýëåêòðîííûé ðåñóðñ]. — Ðåæèì
äîñòóïà: www.amstat.org/publications/jse/v19n2/doane.pdf.
18. Ëóêà÷ Å. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè / Ïåð. ñ àíãë. Â.Ì. Çîëîòàðåâà — Ì. : Íàóêà,
1979. — 424 ñ.
19. Âàäçèíñêèé Ð.Í. Ñïðàâî÷íèê ïî âåðîÿòíîñòíûì ðàñïðåäåëåíèÿì. — ÑÏá. : Íàóêà,
2001. — 295 ñ.
20. Êðàñèëüíèêîâ À.È., Ïèëèïåíêî Ê.Ï. Ìîäåëèðîâàíèå äèñêðåòíûõ ñìåñåé ðàñïðåäåëå-
íèé // Ýëåêòðîíèêà è ñâÿçü. — 2010. — ¹ 2 (55). — Ñ. 57—61.
REFERENCES
1. Malakhov, A.N. (1978), Kumuliantnyi analiz sluchainykh negaussovykh protsessov i ikh
preobrazovanii [Cumulant analysis of random non-Gaussian processes and their transforma-
tions], Sovetskoe radio, Moscow, Russia.
2. Kunchenko, Yu.P. (2001), Polinomialnye otsenki parametrov blizkikh k gaussovskim slu-
chainyh velichin. Ch. I. Stokhasticheskie polinomy, ikh svoistva i primenenie dlia nakhozh-
deniia otsenok parametrov [Parameter polynomial estimators of random variables close to
Gaussian. Part I. Stochastic polynomials, their properties and application for finding param-
eter estimators], ChITI, Cherkassy, Ukraine.
3. Krasilnikov, A.I. (2014), Modeli shumovykh signalov v sistemakh diagnostiki teploenerge-
ticheskogo oborudovaniia [Models of noise signals in the systems of diagnostics of the heat
power equipment], Institut tekhnicheskoi teplofiziki NAN Ukrainy, Kyiv, Ukraine.
4. Babak, S.V., Myslovich, M.V. and Sysak, R.M. (2015), Statisticheskaia diagnostika elektro-
tekhnicheskogo oborudovaniia [Statistical diagnostics of the electrotechnical equipment],
Institut electrodinamiki NAN Ukrainy, Kyiv, Ukraine.
5. Alexandrou, D., De Moustier, C. and Haralabus, G. (1992), “Evaluation and verification of
bottom acoustic reverberation statistics predicted by the point scattering model”, J. Acoust.
Soc. Am., Vol. 91, no. 3, pp. 1403-1413.
6. Kuznetsov, V.V. (2009), “Use of the moments of the third order in calculations of electric
loadings”, Vestnik Samarskogo GTU. Seriia “Tekhnicheskie nauki”, no 2 (24), pp. 166-171.
7. Kuznetsov, B.F., Borodkin, D.K. and Lebedeva, L.V. (2013), “Cumulant models of addi-
tional errors”, Sovremennye tekhnologii. Sistemnyi analiz. Modelirovanie, no. 1 (37), pp. 134-
138.
8. Jondeau, E. and Rockinger, M. (2001), “Gram-Charlier densities”, Journal of Economic Dy-
namics & Control, Vol. 25, pp. 1457-1483.
9. Karpov, I.G. (1999), “Approximate identification of distribution laws of hindrances in adap-
tive receivers with the use of the method of moments”, Radiotekhnika, no. 7, pp. 11-14.
10. Kendall, M. and Stiuart, A. (1966), Teoriia raspredelenii [Distribution theory], Translated
by Sazonov, V.V. and Shiriaev, A.N., Nauka, Moscow, Russia.
11. Krasilnikov, A.I. (2013), “Class of non-Gaussian distributions with zero skewness and kur-
tosis”, Izvestiia vysshikh uchebnykh zavedenii. Radioelektronika, Vol. 56, no. 6, pp. 56-63.
12. Krasilnikov, A.I. (2016), “Models of asymmetrical distributions of random variables with
zero asymmetry coefficient”, Elektronnoe modelirovanie, Vol. 38, no. 1, pp. 19-33.
13. Marchenko, B.G. and Shcherbak, L.N. (1993), “Moment problem and cumulant analysis”,
Otbor i obrabotka informatsii, Vol. 9 (85), pp. 12-20.
14. Jondeau, E. and Rockinger, M. (2003), “Conditional volatility, skewness, and kurtosis: exis-
tence, persistence, and comovements”, Journal of Economic Dynamics & Control, Vol. 27,
pp. 1699-1737.
À.È. Êðàñèëüíèêîâ
16 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2017. V. 39. ¹ 1
15. De Carlo, L.T. (1997), “On the meaning and use of kurtosis”, Psychological Methods, Vol. 2,
no. 3, pp. 292-307.
16. Krasilnikov, A.I. and Pilipenko, K.P (2007), “Unimodal two-component Gaussian mixture.
Excess kurtosis”, Elektronika i sviaz, no. 2 (37), pp. 32-38.
17. Doane, D.P. and Seward, L.E. (2011), “Measuring skewness: A forgotten statistics?”, Jour-
nal of Statistics Education, Vol. 19, no. 2, pp. 1-18, available at: www.amstat.org/publica-
tions/jse/v19n2/doane.pdf.
18. Lukach, E. (1979), Kharakteristicheskie funktsii [Characteristic functions], Translated by
Zolotarev, V.M., Nauka, Moscow, Russia.
19. Vadzinskii, R.N. (2001), Spravochnik po veroiatnostnym raspredeleniiam [Reference book
on probabilistic distributions], Nauka, St. Petersburg, Russia.
20. Krasilnikov, A.I. and Pilipenko, K.P. (2010), “Modeling of discrete mixtures of distribu-
tions”, Elektronika i sviaz, no. 2 (55), pp. 57-61.
A.I. Krasilnikov
CLASS OF NON-GAUSSIAN SYMMETRIC DISTRIBUTIONS
WITH ZERO COEFFICIENT OF KURTOSIS
A new class of symmetric non-Gaussian distributions with zero coefficient of kurtosis �4 has
been determined on the basis of a family of two-component mixtures of distribution. Models of
three types of this class are constructed, examples of distributions are given. The obtained results
allow performing mathematical and computer modeling of non-Gaussian random variables with
symmetric distributions and zero coefficients of kurtosis �4.
K e y w o r d s: symmetric distributions, cumulant coefficients, cumulant analysis, coefficient of
kurtosis, mixtures of distributions.
Ïîñòóïèëà 19.09.16;
ïîñëå äîðàáîòêè 28.10.16
ÊÐÀÑÈËÜÍÈÊÎÂ Àëåêñàíäð Èâàíîâè÷, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, äîöåíò, âåä. íàó÷. ñîòð. Èí-òà
òåõíè÷åñêîé òåïëîôèçèêè ÍÀÍ Óêðàèíû.  1973 ã. îêîí÷èë Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò.
Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè, âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè
è ìåòîäû ñòàòèñòè÷åñêîé îáðàáîòêè ôëóêòóàöèîííûõ ñèãíàëîâ â ñèñòåìàõ øóìîâîé äèàã-
íîñòèêè.
Êëàññ íåãàóññîâñêèõ ñèììåòðè÷íûõ ðàñïðåäåëåíèé ñ íóëåâûì êîýôôèöèåíòîì
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2017. Ò. 39. ¹ 1 17
|