Моделирование колебаний чувствительной пластинки применительно к датчикам акустической эмиссии. Сообщение 2
Рассмотрены колебания лежащих на упругой основе тонких пластинок ограниченных размеров при сосредоточенном центральном ударе по их поверхности. Принято во внимание, что сопротивление упругой основы зависит от скорости перемещения пластинки в направлении координаты z. Такое влияние способствует затух...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Техническая диагностика и неразрушающий контроль |
|---|---|
| Datum: | 2015 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут електрозварювання ім. Є.О. Патона НАН України
2015
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/115913 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Моделирование колебаний чувствительной пластинки применительно к датчикам акустической эмиссии. Сообщение 2 / А.Я. Недосека, С.А. Недосека // Техническая диагностика и неразрушающий контроль. — 2015. — № 2. — С. 10-15. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-115913 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Недосека, А.Я. Недосека, С.А. 2017-04-15T17:13:13Z 2017-04-15T17:13:13Z 2015 Моделирование колебаний чувствительной пластинки применительно к датчикам акустической эмиссии. Сообщение 2 / А.Я. Недосека, С.А. Недосека // Техническая диагностика и неразрушающий контроль. — 2015. — № 2. — С. 10-15. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0235-3474 DOI: doi.org/10.15407/tdnk2015.02.03 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/115913 620.30.14 Рассмотрены колебания лежащих на упругой основе тонких пластинок ограниченных размеров при сосредоточенном центральном ударе по их поверхности. Принято во внимание, что сопротивление упругой основы зависит от скорости перемещения пластинки в направлении координаты z. Такое влияние способствует затуханию колебаний и может регулироваться в широких пределах в зависимости от свойств клеящего состава Vibrations of thin plates of limited dimensions supported by an elastic base at concentrated central shock over their surface are considered. It is taken into account that elastic base resistance depends on plate displacement velocity in the direction of coordinate z. Such influence enhances vibration damping and can be adjusted in a broad range, depending on adhesive composition properties. Сообщение 1 см. в журнале «Техническая диагностика и неразрушающий контроль». – 2015. – №1. – с. 17–22. ru Інститут електрозварювання ім. Є.О. Патона НАН України Техническая диагностика и неразрушающий контроль Научно-технический раздел Моделирование колебаний чувствительной пластинки применительно к датчикам акустической эмиссии. Сообщение 2 Simulation of sensitive plate vibrations for acoustic emission transducers. Information 2 Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Моделирование колебаний чувствительной пластинки применительно к датчикам акустической эмиссии. Сообщение 2 |
| spellingShingle |
Моделирование колебаний чувствительной пластинки применительно к датчикам акустической эмиссии. Сообщение 2 Недосека, А.Я. Недосека, С.А. Научно-технический раздел |
| title_short |
Моделирование колебаний чувствительной пластинки применительно к датчикам акустической эмиссии. Сообщение 2 |
| title_full |
Моделирование колебаний чувствительной пластинки применительно к датчикам акустической эмиссии. Сообщение 2 |
| title_fullStr |
Моделирование колебаний чувствительной пластинки применительно к датчикам акустической эмиссии. Сообщение 2 |
| title_full_unstemmed |
Моделирование колебаний чувствительной пластинки применительно к датчикам акустической эмиссии. Сообщение 2 |
| title_sort |
моделирование колебаний чувствительной пластинки применительно к датчикам акустической эмиссии. сообщение 2 |
| author |
Недосека, А.Я. Недосека, С.А. |
| author_facet |
Недосека, А.Я. Недосека, С.А. |
| topic |
Научно-технический раздел |
| topic_facet |
Научно-технический раздел |
| publishDate |
2015 |
| language |
Russian |
| container_title |
Техническая диагностика и неразрушающий контроль |
| publisher |
Інститут електрозварювання ім. Є.О. Патона НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Simulation of sensitive plate vibrations for acoustic emission transducers. Information 2 |
| description |
Рассмотрены колебания лежащих на упругой основе тонких пластинок ограниченных размеров при сосредоточенном центральном ударе по их поверхности. Принято во внимание, что сопротивление упругой основы зависит от скорости перемещения пластинки в направлении координаты z. Такое влияние способствует затуханию колебаний и может регулироваться в широких пределах в зависимости от свойств клеящего состава
Vibrations of thin plates of limited dimensions supported by an elastic base at concentrated central shock over their surface are considered. It is taken into account that elastic base resistance depends on plate displacement velocity in the direction of coordinate z. Such influence enhances vibration damping and can be adjusted in a broad range, depending on adhesive composition properties.
|
| issn |
0235-3474 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/115913 |
| citation_txt |
Моделирование колебаний чувствительной пластинки применительно к датчикам акустической эмиссии. Сообщение 2 / А.Я. Недосека, С.А. Недосека // Техническая диагностика и неразрушающий контроль. — 2015. — № 2. — С. 10-15. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT nedosekaaâ modelirovaniekolebaniičuvstvitelʹnoiplastinkiprimenitelʹnokdatčikamakustičeskoiémissiisoobŝenie2 AT nedosekasa modelirovaniekolebaniičuvstvitelʹnoiplastinkiprimenitelʹnokdatčikamakustičeskoiémissiisoobŝenie2 AT nedosekaaâ simulationofsensitiveplatevibrationsforacousticemissiontransducersinformation2 AT nedosekasa simulationofsensitiveplatevibrationsforacousticemissiontransducersinformation2 |
| first_indexed |
2025-11-24T16:25:16Z |
| last_indexed |
2025-11-24T16:25:16Z |
| _version_ |
1850482330150371328 |
| fulltext |
10 ТЕХНИЧЕСКАя ДИАГНОСТИКА И НЕРАЗРУШАЮЩИЙ КОНТРОЛЬ, №2, 2015
УДК 620.30.14
мОДЕлИРОВАНИЕ КОлЕБАНИй ЧУВсТВИТЕльНОй
ПлАсТИНКИ ПРИмЕНИТЕльНО К ДАТЧИКАм
АКУсТИЧЕсКОй эмИссИИ. сообщение 2*
А. Я. НЕдОсЕКА, с. А. НЕдОсЕКА
Иэс им. Е.О. Патона НАНУ. 03680, г. Киев-150, ул. Боженко, 11. E-mail: office@paton.kiev.ua
Рассмотрены колебания лежащих на упругой основе тонких пластинок ограниченных размеров при сосредоточенном
центральном ударе по их поверхности. Принято во внимание, что сопротивление упругой основы зависит от скорости
перемещения пластинки в направлении координаты z. Такое влияние способствует затуханию колебаний и может регу-
лироваться в широких пределах в зависимости от свойств клеящего состава. Библиогр. 8, рис. 8.
К л ю ч е в ы е с л о в а : неразрушающий контроль, системы акустической эмиссии, колебания тонкой пластинки,
метод интегральных преобразований
В настоящей работе авторы продолжили ис-
пользовать метод интегральных преобразований
для решения задачи колебаний тонкой пластинки
при различных условиях закрепления и наличия
сопротивления упругой подложки ее колебани-
ям. эта задача важна для разработчиков акусти-
ческих датчиков, а в нашем случае – датчиков
акустической эмиссии (Аэ). метод интеграль-
ных преобразований можно отнести к математи-
ческому моделированию, когда законы протека-
ния физических процессов при колебаниях могут
быть представлены рядом математических опера-
торов, а главное, весь процесс колебаний может
быть расчленен на элементарные составляющие
с сохранением физического смысла каждого та-
кого элемента. Произведя далее все необходимые
действия по расчету и согласованию параметров,
характеризующих явление, можно приступить к
сборке элементарных составляющих и анализиро-
вать явление уже в целом в замкнутом виде. Ис-
пользуя этот метод, нам удалось решить ряд слож-
ных задач, не поддававшихся решению обычными
прямыми методами. Удалось вскрыть и проанали-
зировать ранее завуалированные процессы, проте-
кающие в материалах при их возбуждении.
математическое моделирование является доста-
точно сложной задачей анализа физических про-
цессов математическими методами. Особенность
моделирования заключается в наиболее удачном
и близком к реальным условиям выборе основных
исходных данных, выборе модели, описывающей
процесс, и как можно более точном представлении
граничных и начальных условий задачи. Наиболее
перспективным, имеющим достаточную гибкость
методом решения таких задач в настоящее время и
является метод интегральных преобразований.
Ниже представлена технология применения
этого метода для задач колебания тонких пласти-
нок, применяемых в Аэ датчиках.
Известно, что одним из самых важных элемен-
тов систем Аэ являются датчики, воспринимающие
колебания элементов контролируемой конструк-
ции, преобразующие эту информацию в электри-
ческие сигналы и передающие их далее в прибор
для последующей обработки. главным элементом
Аэ датчика является жесткая пластинка – генера-
тор акустических сигналов (рис. 1). От рода сигна-
лов, генерирующих этой пластинкой, существенно
зависит сложность программного обеспечения ап-
паратуры Аэ и быстродействие ее работы в режи-
ме регистрации сигналов и оценки состояния кон-
тролируемой конструкции. Немаловажно также
знать, какую информацию будет передавать пласти-
на, работая в качестве генератора сигналов в режиме
сканирования деформирующегося материала кон-
струкции. Полагаем, что существенную роль в этом
процессе играет способ закрепления пластинки в
датчике, ее размеры и расположение [1–5]. Послед-
нее приводит к появлению и других типов колеба-
ний, таких как продольные и поперечные колебания
массы пластинки, приводящие к изменению ее тол-
щины. В данной работе мы рассмотрим колебания
только изгибного типа тонких пластинок с отноше-
нием диаметра к толщине 10 и более.
Ранее [6] мы анализировали колебания пла-
стинок ограниченного диаметра в предположе-
нии отсутствия затухания колебаний с течением
времени. Однако в действительности силы кре-
пления пластинки к основанию датчика имеют
способностью «гасить» колебания с течением
времени за счет рассеяния энергии, приводящей
к возникновению колебательного процесса в кле-
© А. Я. Недосека, с. А. Недосека, 2015
* сообщение 1 см. в журнале «Техническая диагностика и неразрушающий контроль». – 2015. – №1. – с. 17–22.
11ТЕХНИЧЕСКАя ДИАГНОСТИКА И НЕРАЗРУШАЮЩИЙ КОНТРОЛЬ, №2, 2015
евом промежуточном слое. этот процесс может
быть описан динамическим коэффициентом зату-
хания kд, кгс/см3. В этом случае дифференциаль-
ное уравнение колебаний пластинки при различ-
ных заданных граничных и начальных условиях
может быть записано [1] в виде:
( ) ( )
2
2 2 4
2 ,2
ä
k w w Qw r tD t Drt
∂ ∂
∇ ∇ + +b = d d
∂ p∂
(1)
где w – прогиб пластины в направлении оси z, cм;
r – радиус вдоль поверхности пластины, cм; t – те-
кущее время, с; D = Ed3/12(1 – n2) – цилиндрическая
жесткость пластины, кг∙см; n – коэффициент Пу-
ассона; d – толщина пластинки, см; Q – импульсно
приложенная в центре пластинки сила, кгс; d(r) и
Рис. 2. Затухающие (а) и незатухающие (б) колебания защем-
ленной по контуру пластинки толщиной 1 мм и диаметром
11 мм в зависимости от времени. Представлены суммарные ко-
лебания С по выделенным волновым числам и колебания по
элементарным волновым числам, показанными под графиком
Рис. 3. Распределение вдоль радиуса затухающих колебаний защемленной и приклеенной пластинки толщиной 1 мм диаме-
тром 11 мм (а) и такой же пластинки без затухания (б)
Рис. 1. Наклеенная и защемленная по контуру пластинка в
корпусе Аэ датчика (схема)
Рис. 4. Затухание колебаний приклеенной свободной пластин-
ки толщиной 1 мм и диаметром 11 мм в зависимости от време-
ни (а) и колебания без затухания (б). Представлено суммарное
колебание C по выделенным волновым числам и колебания по
элементарным волновым числам, показанными под графиком.
Правая шкала построена для значений αn = 16; 22; 27; 32 см–1
12 ТЕХНИЧЕСКАя ДИАГНОСТИКА И НЕРАЗРУШАЮЩИЙ КОНТРОЛЬ, №2, 2015
d(t) – импульсные функции Дирака, характеризую-
щие сосредоточенность и мгновенность приложе-
ния нагрузки Q.
Проведя интегральные преобразования лапла-
са и ханкеля дифференциального уравнения (1),
получим:
Рис. 5. Колебания пластинок, приклеенных к контактной поверхности датчика Аэ и свободных от краевого закрепления: а – с
затуханием колебаний; б – без затуханий (правая шкала для времени 0,1 и 1 мкс)
Рис. 6. Колебания защемленной и приклеенной пластинки в
точке r = 0 в зависимости от волнового числа an и времени;
С – суммарное значение амплитуды колебаний для волновых
чисел, представленных под графиком
Рис. 7. Колебания круглой наклеенной пластинки с защем-
ленным контуром с зависящим от волнового числа коэффи-
циентом затухания (диаметр пластинки 11 мм, толщина 1 мм)
Рис. 8. Колебания круглой наклеенной пластинки со свободным контуром с зависящим от волнового числа коэффициентом
затухания (диаметр пластинки 11 мм, толщина 1 мм) в зависимости от времени (а) и расстояния от центра пластинки (б)
13ТЕХНИЧЕСКАя ДИАГНОСТИКА И НЕРАЗРУШАЮЩИЙ КОНТРОЛЬ, №2, 2015
4 4 2 ,2
ä
k Qp p wD D
a + +b = p
4 4 2
1 .2
ä
Qw D k
p pD
=
p
a + +b
Рассмотрим два случая крепления пластинки в
корпусе Аэ датчика на клеевой основе с защем-
ленным контуром и пластинки, приклеенной к ос-
нове со свободным контуром, и случай 3, когда
реакция упругой подложки зависит от частоты ко-
лебаний пластинки.
случай 1. В этом случае c учетом [6] граничные
и начальные условия могут быть записаны в виде:
w = 0, ∂w/∂r ≠ 0 при r = r0 и w = 0 при t = 0.
Обратное преобразование лапласа представ-
ленного выше выражения будет [7]:
2
4
2 2 4
2 4 2
4
2 4
sh
4
exp ,
2 2
4
ä
ä
ä
n
n
kt
Dk tQw
D D k
D
− a b b = − p b b
− a
b
(2)
2
4
2 2 4
2 4 2
4
2 4
sin
4
.
2 2
4
ä
ä
ä
exp
n
n
kt
Dk tQw
D D k
D
a − b b = − p b b
a −
b
(3)
формула (2) показывает, что в начальный пе-
риод, когда волновое число an
4 меньше
2
2 4 ,
4
ä
k
D b
ха-
рактеризующего процесс затухания, то колеба-
тельного процесса не существует. Имеется только
рост амплитуды в соответствии с показаниями ги-
перболического синуса. Как только величина an
4
станет больше
2
2 4 ,
4
ä
k
D b
начинается постепенно за-
тухающий колебательный процесс. Полученное пре-
образование лапласа является общим для всех слу-
чаев крепления пластинки.
Обратное преобразование по r для первого
случая выполним, применив формулу конечных
преобразований ханкеля, когда искомая величина
представляется в виде бесконечного ряда по кон-
кретным значениям спектральных чисел an, полу-
ченным из уравнения J0(αnr0) = 0 [1–6]:
( ) ( ) ( )2 0 02
10 1 0
2 1
n n
n n
w f J r
r J r
∞
=
= a a
a
∑ .
Здесь f(αn) – изображение оригинала.
Тогда в соответствии с приведенной формулой
и с учетом граничных условий получим:
( )
( )
2 2
0
2
4
4 2 2 4
021 2 4
2 41 0
exp sh
2 4
,
4
ä ä
ä
n
n
n
n n
Qw
D r
k t kt
D D
J r
k
J r
D
∞
=
= ×
p b
− − a b b b × a
a −a
b
∑
(4)
( )
( )
2 2
0
2
4
4 2 2 4
021 2 4
2 41 0
exp sin
2 4
.
4
ä ä
ä
n
n
n
n n
Qw
D r
k t kt
D D
J r
k
J r
D
∞
=
= ×
p b
− a − b b b × a
a a −
b
∑
Используя формулы (4), построим графики зату-
хания колебаний в зависимости от времени. Инте-
ресно отметить, что затухание колебаний пластин-
ки зависит от волнового числа an, см–1. Чем больше
число an, тем быстрее происходит затухание коле-
баний, связанных с этим числом. Частота колеба-
ний fn связана с an следующим соотношением: fn =
= an
2/2pb2. Другими словами, чем больше волно-
вое число an, тем больше частота колебаний эле-
ментарных составляющих перемещений. Частота
колебаний и волновое число являются величинами
дискретными и определяются спектральным урав-
нением J0(αnr0) = 0.
Как видно из графиков (рис. 2), спектральный
состав двух случаев расчета различен. На рис. 2, б
видны спектральные составляющие колебаний, ко-
торые не затухают с течением времени. В то же вре-
мя рис. 2, а показывает, что колебания достаточно
интенсивно затухают и чем больше волновое число,
тем выше степень их затухания.
Распределение перемещений пластинки в на-
правлении оси z для случая затухающих колебаний
приведены на рис. 3. Анализируя эти графики, ви-
дим, что колебания двух представленных вариан-
тов пластинок при одном и том же закреплении
существенно отличаются, если время превыша-
ет 1 мкс. Последнее необходимо учитывать, если
расчеты выполняются по формулам, не учитыва-
ющим влияние затухания колебаний с течением
времени, что характерно для вариантов, когда зна-
чение коэффициента затухания kд неизвестно.
случай 2. Если пластинка приклеена в кон-
тактной поверхности Аэ датчика со свободным
от закрепления контуром, то граничные условия
задачи становятся другими. В этом случае необхо-
димо, чтобы изгибающие моменты на свободном
контуре пластинки были равны нулю [6]. Поэто-
му обратное преобразование ханкеля может быть
также выполнено по формуле конечного преобра-
14 ТЕХНИЧЕСКАя ДИАГНОСТИКА И НЕРАЗРУШАЮЩИЙ КОНТРОЛЬ, №2, 2015
зования, но при других условиях отыскания зна-
чений αn, таких, при которых граничные условия
решаемой задачи будут удовлетворены. Удовлет-
ворив граничным условиям, получим [6]:
( )
( )
( )
4
2 2 2 2
10 0
2
2
4
2 2 4 0
2
2 4
2 40 0
exp
2
...
1
1
sh
4
... ,
4
ä
ä
ä
n n
n n
n n
k t
DQw
D r r
kt J r
D
k
J r
D
∞
=
− b = ×
p b a
+
+ n
− a a b b
×
a −a
b
∑
(5)
( )
( )
( )
4
2 2 2 2
10 0
2
2
4
2 2 4 0
2
2 4
2 40 0
exp
2
...
1
1
sin
4
... .
)
4
ä
ä
ä
n n
n n
n n
k t
DQw
D r r
kt J r
D
k
J r
D
∞
=
− b = ×
p b a
+
+ n
a − a b b
×
a a −
b
∑
Cпектральное уравнение для этого случая бу-
дет: hJ0(αnr0) + anJ1(αnr0) = 0; из граничных усло-
вий h a r vn= +2
0 1/ ( ).
Результаты расчетов по формулам (5) представле-
ны на графиках рис. 4. Видно, что наличие демпфиру-
ющей среды приводит к быстрому уменьшению ам-
плитуд колебаний пластинок. При этом существенное
различие в колебательных процессах в обоих случаях
появляется в момент начала колебаний.
Анализ графиков рис. 5 показывает существен-
ные различия в колебаниях пластинок свободно
приклеенных к контактной поверхности Аэ датчи-
ка. Демпфирующий слой клея вызывает быстрое за-
тухание амплитуд сигналов Аэ. Рис. 5, б показывает,
что наличие упругого основания без демпфирования
для крепления пластинки приводит к тому, что ее ко-
лебания протекают практически без затухания.
случай 3. следует отметить, что расчет коле-
баний пластинок в некоторых случаях затрудните-
лен из-за незнания конкретных значений коэффи-
циента затухания kд. экспериментальные данные
по величинам этого коэффициента сегодня отсут-
ствуют. Поэтому целесообразно попытаться в рас-
чет ввести не экспериментальные значения kд, а
значения, основанные на физических константах,
имеющихся в современных справочниках. Если
принять во внимание размерность коэффициента
kд, то его значение для рассматриваемого случая
может быть представлено в следующем виде1:
* 2 2
ê ênk D
a
= a b , кгс/см3. (6)
Как видно, величина коэффициента ka в пред-
лагаемом варианте зависит от волнового числа
an
2, коэффициентов bк
2 и Dк, характеризующих
способность подложки поглощать энергию коле-
баний пластинки2. Проведя анализ размерностей
физических величин, входящих в выражение (6),
отмечаем, что размерность ka будет кгс/см3. эта
размерность полностью соответствует размерно-
сти коэффициента kд в предыдущих формулах.
Проведя замену коэффициента kд на kα в фор-
муле (4), получаем следующее выражение для
расчета перемещений w в этом варианте:
( )
( )
2 2
4
2 2 2 2
1 0 1 0
22 2
2 2
022
2
exp
2
...
sin 1
2
... ,
1
2
ê ê
ê ê
ê ê
n
n n n
n
n
D t
DQw
D r J r
t D
D
J r
D
D
∞
=
a b
−
b = ×
p b a a
a b − b b × a
b
−
b
∑
(7)
J0(αnr0) = 0.
сравнивая графики, представленные на
рис. 2, б и 6, видим, что амплитуды колебаний от-
личаются. суммарные значения амплитуд не по-
хожи одна на другую, хотя затухание процесса ко-
лебаний отличается незначительно. В то же время
обе методики расчета дают похожие результаты и
эксперимент должен уточнить, какая из методик
наиболее приемлема. На графиках рис. 7 приведе-
ны результаты расчета колебаний защемленной и
наклеенной пластинки в зависимости от расстояния
до центра излучения и времени. можно наблюдать,
что колебания пластинки стали более плавными по
сравнению с рис. 3, а, хотя сравнивать графики до-
статочно сложно из-за трудности сопоставления ко-
эффициентов затухания в обоих случаях.
физические постоянные, принятые во всех при-
веденных расчетах с учетом [6, 8]: Еk = 50 мПа;
ρk =1,05∙10–3 кг/см3; nk = 0,48; Dk = 0,06 кг∙см;
bk
2 = 0,00134 c/см2; Е = 5∙103 мПа; r = 3,7∙10-3 кг/см3;
g = 0,981∙103 см/с2; Q = 1∙10–8 кг∙с; kд = 0,458 кг/см3,
2 6 6
6
287 10 ;144 10 ; 95,7;
71,8;48 10 2ñ/ñì
gD
− −
−
rd
b = = ⋅ ⋅
⋅
для δ = 0,1; 0,2; 0,3 0,4; 0,6 см;
1 Величина kα введена, чтобы избежать путаницы в обозначениях
2 Индекс «к» означает обобщенное понятие подложки или клея
15ТЕХНИЧЕСКАя ДИАГНОСТИКА И НЕРАЗРУШАЮЩИЙ КОНТРОЛЬ, №2, 2015
3
2 4,58;36,6;123,6;293;989
12(1 )
êã ñì
ED
v
d
= = ⋅
−
–
для δ = 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,6 см
Рассматривая колебания пластинки, приклеен-
ной к контактной поверхности Аэ датчика со сво-
бодным от ограничений контуром, можно сделать
вывод, что ее колебания при αn = 0 отсутствуют и
для этого случая
4 2
0
Qw t
D r
=
p b
.
это выражение показывает, что пластинка
просто перемещается параллельно самой себе,
не встречая сопротивления клеевой прослойки
(kα = 0, так как αn = 0). В действительности этого
не происходит, поскольку прослойка имеет опре-
деленную упругость и возвращает квазистатиче-
ское перемещение пластинки с течением времени
в исходное состояние. этот процесс может быть
оценен по следующей формуле:
2 4 4
0
2 1 exp sh2 2 2
ä ä
ä
k t k tQw
k r D D
= − − p b b
.
Остальные перемещения пластинки для αn > 0
носят колебательный характер и рассчитываются
по формуле:
( )
2 2
2
2 2 2
1 2 2 0
20
exp
2
...
1
1
ê ên
n n
n
D t
DQw
D r
r
∞
=
a b
−
b = ×
p b a
a +
+ n
∑
( )
( )
22 2
2 2 0
22
2
20 0
sin 1
2
... ,
1
2
ê ên
n
k k
n
t D
J r
D
D
J r
D
a b − a b b ×
b
a −
b
hJ0(αnr0) + anJ1(αnr0) = 0; из граничных условий
h a r vn= +2
0 1/ ( ).
На рис. 8 представлены такие колебания в за-
висимости от времени t и радиуса r. Для выполне-
ния расчетов, как и ранее, была создана специаль-
ная программа с выводом получаемых результатов
в Exel для построения и редактирования графиков и
таблиц. Программа позволяла в широких пределах
проводить анализ полученной информации для бо-
лее глубокого изучения сущности процессов, проте-
кающих в пластинках, в зависимости от влияния тех
или иных факторов.
Выводы
На основе конечных интегральных преобразо-
ваний ханкеля и преобразований лапласа получе-
ны аналитические зависимости для расчета коле-
баний тонких пластинок ограниченных размеров
с учетом затухания колебаний с течением време-
ни. Полученные аналитические зависимости по-
зволяют рассчитывать колебания пластинок при
различных способах их закрепления.
Предложена физическая величина коэффи-
циента затухания, зависящая от волновых чисел
(частоты колебаний), жесткости и вязкости сое-
динительного слоя, крепящего чувствительную
пластинку к контактной поверхности Аэ датчика.
1. Недосека А. Я. Основы расчета и диагностики сварных
конструкций / Под ред. Б.Е. Патона. – Киев: Индпром,
2008. – 815 с.
2. Акустическая эмиссия и ресурс конструкций / Б.Е. Па-
тон, л.м. лобанов, А.Я. Недосека и др. – Киев: Индпром,
2012. – 312 с.
3. Тимошенко С. П. сопротивление материалов. – м.: физ-
матгиз. – Т.1, 1960. – 380 с.; Т.2, 1965. – 480 с.
4. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. – м.:
Наука, 1967. – 444 с.
5. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и
оболочки. – м.: физматгиз, 1963. – 636 с.
6. Недосека А. Я., Недосека С. А. моделирование колеба-
ний чувствительной пластинки применительно к датчи-
кам акустической эмиссии. сообщение 1. // Техн. диа-
гностика и неразруш. контроль. – 2015. – № 1. – с. 17–22.
7. Деч Г. Руководство к практическому применению пре-
образования лапласа и Z-преобразования. – м.: Наука,
1971. – 288 с.
8. Чайлдс У. физические постоянные / справ. пособие для
студентов вузов. – м.: физматгиз, 1961. – 95 с.
Vibrations of thin plates of limited dimensions supported by an elastic base at concentrated central shock over their surface
are considered. It is taken into account that elastic base resistance depends on plate displacement velocity in the direction
of coordinate z. Such influence enhances vibration damping and can be adjusted in a broad range, depending on adhesive
composition properties. 8 References, 8 Figures.
K e y w o r d s : nondestructive testing, acoustic emission system, thin plate vibrations, integral transformation method
Поступила в редакцию
12.09.2014
|