Разделение переменных в одном частном случае движения гиростата в двойном поле

Динамически симметричный гиростат в двойном поле при условиях типа Ковалевской обладает полным инволютивным набором первых интегралов, однако, в общем случае эта задача к квадратурам не сведена. В настоящей работе для частного случая, когда двойное поледопускаетодномернуюсимметрию, выполненопонижени...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2014
Hauptverfasser:	Харламов, М.П., Яхья, Х.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2014
Schriftenreihe:	Механика твердого тела
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116104
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Разделение переменных в одном частном случае движения гиростата в двойном поле / М.П. Харламов, Х.М. Яхья // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2014. — Вип 44. — С. 7-15. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-116104
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1161042025-02-09T21:18:32Z Разделение переменных в одном частном случае движения гиростата в двойном поле Роздiлення змiнних в одному окремому випадку руху гiростата в подвiйному полi Separation of variables in one partial case of motion of a gyrostat in a double field Харламов, М.П. Яхья, Х.М. Динамически симметричный гиростат в двойном поле при условиях типа Ковалевской обладает полным инволютивным набором первых интегралов, однако, в общем случае эта задача к квадратурам не сведена. В настоящей работе для частного случая, когда двойное поледопускаетодномернуюсимметрию, выполненопонижениепорядкапоРаусу. Выбраны значения интегральных постоянных, при которых приведенная система не имеет гироскопических сил. В этой натуральной системе с двумя степенями свободы указано разделение переменных, приводящее к гиперэллиптическим уравнениям Абеля– Якоби. Нециклические комбинации углов Эйлера выражены через переменные разделения. Динамiчно симетричний гiростат в подвiйному полi за умов типу Ковалевської володiє повним iнволютивним набором перших iнтегралiв, проте, у загальному випадку квадратури не знайденi. У поданiй статтi для окремого випадку, коли подвiйне поле допускає одновимiрну симетрiю, виконано пониження порядку за Раусом. Вибрано значення iнтегральних постiйних, при яких зведена система не має гiроскопiчних сил. У цiй натуральнiй системi з двома степенями вiльностi указано роздiлення змiнних, що приводить до гiперелiптичних рiвнянь Абеля-Якобi. Нециклiчнi комбiнацiї кутiв Ейлера виражено через змiннi роздiлення. Dynamically symmetric gyrostat in a double field on conditions of the Kowalevski type possesses a complete involutive set of first integrals. However, in general case this problem is not reduced to quadratures. In this paper for a partial case when the double field admits a one-dimensional symmetry, the reduction is given according to the Routh method. The values of integral constants are chosen in such a way that the reduced system does not have gyroscopic forces. In this natural system with two degrees of freedom the separation of variables leading to hyperelliptic Abel –Jacobi equations is indicated. Non-cyclic combinations of the Euler angles are expressed in terms of separation variables. 2014 Article Разделение переменных в одном частном случае движения гиростата в двойном поле / М.П. Харламов, Х.М. Яхья // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2014. — Вип 44. — С. 7-15. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116104 531.381+517.93 ru Механика твердого тела application/pdf Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Динамически симметричный гиростат в двойном поле при условиях типа Ковалевской обладает полным инволютивным набором первых интегралов, однако, в общем случае эта задача к квадратурам не сведена. В настоящей работе для частного случая, когда двойное поледопускаетодномернуюсимметрию, выполненопонижениепорядкапоРаусу. Выбраны значения интегральных постоянных, при которых приведенная система не имеет гироскопических сил. В этой натуральной системе с двумя степенями свободы указано разделение переменных, приводящее к гиперэллиптическим уравнениям Абеля– Якоби. Нециклические комбинации углов Эйлера выражены через переменные разделения.
format	Article
author	Харламов, М.П. Яхья, Х.М.
spellingShingle	Харламов, М.П. Яхья, Х.М. Разделение переменных в одном частном случае движения гиростата в двойном поле Механика твердого тела
author_facet	Харламов, М.П. Яхья, Х.М.
author_sort	Харламов, М.П.
title	Разделение переменных в одном частном случае движения гиростата в двойном поле
title_short	Разделение переменных в одном частном случае движения гиростата в двойном поле
title_full	Разделение переменных в одном частном случае движения гиростата в двойном поле
title_fullStr	Разделение переменных в одном частном случае движения гиростата в двойном поле
title_full_unstemmed	Разделение переменных в одном частном случае движения гиростата в двойном поле
title_sort	разделение переменных в одном частном случае движения гиростата в двойном поле
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2014
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116104
citation_txt	Разделение переменных в одном частном случае движения гиростата в двойном поле / М.П. Харламов, Х.М. Яхья // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2014. — Вип 44. — С. 7-15. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.
series	Механика твердого тела
work_keys_str_mv	AT harlamovmp razdelenieperemennyhvodnomčastnomslučaedviženiâgirostatavdvoinompole AT âhʹâhm razdelenieperemennyhvodnomčastnomslučaedviženiâgirostatavdvoinompole AT harlamovmp rozdilennâzminnihvodnomuokremomuvipadkuruhugirostatavpodviinomupoli AT âhʹâhm rozdilennâzminnihvodnomuokremomuvipadkuruhugirostatavpodviinomupoli AT harlamovmp separationofvariablesinonepartialcaseofmotionofagyrostatinadoublefield AT âhʹâhm separationofvariablesinonepartialcaseofmotionofagyrostatinadoublefield
first_indexed	2025-11-30T22:39:16Z
last_indexed	2025-11-30T22:39:16Z
_version_	1850256768956891136
fulltext	ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2014. Вып. 44 УДК 531.381+517.93 c©2014. М.П. Харламов, Х.М. Яхья РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ В ОДНОМ ЧАСТНОМ СЛУЧАЕ ДВИЖЕНИЯ ГИРОСТАТА В ДВОЙНОМ ПОЛЕ Динамически симметричный гиростат в двойном поле при условиях типа Ковалевской обладает полным инволютивным набором первых интегралов, однако, в общем случае эта задача к квадратурам не сведена. В настоящей работе для частного случая, когда двойное поле допускает одномерную симметрию, выполнено понижение порядка по Раусу. Выбраны значения интегральных постоянных, при которых приведенная система не имеет гироско- пических сил. В этой натуральной системе с двумя степенями свободы указано разделение переменных, приводящее к гиперэллиптическим уравнениям Абеля –Якоби. Нецикличе- ские комбинации углов Эйлера выражены через переменные разделения. Ключевые слова: гиростат, двойное поле, разделение переменных. Введение. В работах [1, 2] для задачи о движении гиростата вокруг неподвижной точки при условиях типа Ковалевской был указан первый ин- теграл, независимый с интегралом энергии и обобщающий интеграл Кова- левской. В общем случае двойное поле не обладает группой симметрий, в силу чего дополнительный интеграл момента не существует. Однако в [1, 2] был указан частный случай, в котором имеется одномерная группа преобра- зований конфигурационного пространства, сохраняющая потенциал, и, как следствие, для этого случая был найден третий независимый интеграл, нахо- дящийся в инволюции с обобщенным интегралом Ковалевской и делающий систему вполне интегрируемой. Понижение порядка по Раусу (факторизация по группе симметрий) приводит к однопараметрическому семейству интегри- руемых систем с двумя степенями свободы, в которых функция Рауса квад- ратична по обобщенным скоростям, но содержит и линейные по этим скорос- тям слагаемые, т. е. приведенная система содержит гироскопические силы. В достаточно общей задаче, допускающей такую симметрию, функция Рауса вычислена в [3] (см. также [4]). В настоящей работе мы выпишем приведен- ную систему в интегрируемом случае [1, 2], укажем условия, при которых в ней гироскопические силы отсутствуют, и при этих условиях выполним раз- деление переменных. В основе этого результата лежит установленная в [3] аналогия класса задач о движении гиростата в двойном поле с задачами о движении гиростата в осесимметричном поле при нулевой постоянной пло- щадей, а также метод нахождения разделения переменных, предложенный в [5, 6], и построенное этим методом алгебраическое разделение переменных в случае Д.Н. Горячева [7, 8]. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 14-01-00119). 7 М.П. Харламов, Х.М. Яхья 1. Уравнения и интегралы. Уравнения Эйлера –Пуассона движения гиростата в двойном поле в общем случае имеют вид Ṁ = M× ω + c1 ×α+ c2 × β, α̇ = α× ω, β̇ = β × ω, (1) где ω – угловая скорость, α,β – характеристические векторы силовых полей (например, сила тяжести и напряженность магнитного поля), c1, c2 – векто- ры, направленные из неподвижной точки O в центры приложения сил. Все объекты отнесены к подвижным осям. Вектор кинетического момента M свя- зан с угловой скоростью зависимостью M = ωI+ λ, где I, λ – тензор инерции в точке O и вектор гиростатического момента, по- стоянные в подвижной системе отсчета. Компоненты векторов в выбранной подвижной системе Oe1e2e3 главных осей тензора инерции I записываем в строки, что объясняет необычный порядок объектов в записи M. Известно [9], что, не изменяя плоскости Oc1c2 в теле, можно пару векторов c1, c2 сделать ортонормированной. Предположим, что гиростат динамически симметричен e1I · e1 = e2I · e2, λ = {0, 0, λ} и центры приложения полей лежат в эквато- риальной плоскости c1 · e3 = 0, c2 · e3 = 0. В этом случае (см. [10, 11]) заме- ной переменных можно неподвижные в пространстве векторы α,β сделать взаимно ортогональными. При этом, после перехода к ортонормированной паре c1, c2, модули векторов α,β несут в себе всю скалярную информацию о воздействии полей на гиростат (например, для силы тяжести модуль со- ответствующего вектора равен произведению веса гиростата на расстояние от центра масс до неподвижной точки). Поэтому векторы α,β называем ин- тенсивностями силовых полей. В силу динамической симметрии любая орто- нормированная пара векторов в экваториальной плоскости является главной для тензора инерции, поэтому считаем также, что c1 = e1, c2 = e2. Пусть тензор инерции удовлетворяет условиям Ковалевской I = diag{I1, I1, I3}, I1 = I2 = 2I3 (2) и интенсивности полей после ортогонализации одинаковы α2 = β2 = a2, α · β = 0 (a > 0). (3) В дальнейшем единицы измерения выберем так, что I3 = 1 и a = 1. Как показано в работе [1], при условиях (2), (3) уравнения (1) в дополне- ние к интегралу энергии H = ω2 1 + ω2 2 + 1 2 ω2 3 − α1 − β2 8 Разделение переменных в одном частном случае движения гиростата в двойном поле обладают первыми интегралами K = (ω2 1 − ω2 2 + α1 − β2) 2 + (2ω1ω2 + α2 + β1) 2+ +2λ[(ω3 − λ)(ω2 1 + ω2 2 ) + 2(α3ω1 + β3ω2)], G = 2ω1γ1 + 2ω2γ2 + (ω3 + λ)(γ3 − 1). Здесь вектор γ = α×β дополняет пару α,β до неподвижного в пространстве ортонормированного триэдра. В частности, матрица направляющих косину- сов имеет вид Q =   α β γ   . Рассмотрим действие на SO(3) подгруппы {gτ} матриц gτ =   cos τ sin τ 0 − sin τ cos τ 0 0 0 1   внутренними автоморфизмами Q 7→ Q(τ) = gτQg −1 τ . Это действие не свободно – подгруппа {gτ} является стационарной подгруп- пой каждого своего элемента. При этом, даже если всю подгруппу {gτ} ото- ждествить в одну точку, получив расслоение SO(3) над двумерной сферой, оно не будет локально-тривиальным [12]. Поэтому такую группу симметрий называют сингулярной. Интеграл G является циклическим, порожденным действием {gτ}. Дей- ствительно, “мгновенная угловая скорость движения” Q(τ) при τ = 0 равна γ − e3 = (γ1, γ2, γ3 − 1), поэтому G – соответствующий интеграл момента. 2. Редукция по циклической переменной. Введем углы Эйлера θ, ϕ, ψ (0 6 θ 6 π, 0 6 ϕ 6 2π, 0 6 ψ 6 2π), полагая θ углом между e3 и γ : α1 = cosϕ cosψ − sinϕ sinψ cos θ, α2 = − sinϕ cosψ − cosϕ sinψ cos θ, β1 = cosϕ sinψ + sinϕ cosψ cos θ, β2 = − sinϕ sinψ + cosϕ cosψ cos θ, α3 = sinψ sin θ, β3 = − cosψ sin θ, γ1 = sinϕ sin θ, γ2 = cosϕ sin θ, γ3 = cos θ, ω1 = ψ̇ sinϕ sin θ + θ̇ cosϕ, ω2 = ψ̇ cosϕ sin θ − θ̇ sinϕ, ω3 = ϕ̇+ ψ̇ cos θ. Функция Лагранжа, отвечающая системе (1), имеет вид L = 1 2 ϕ̇2 + θ̇2 + 1 4 (3− cos 2θ)ψ̇2 + ϕ̇ψ̇ cos θ + λ(ϕ̇+ ψ̇ cos θ)+ + cos(ϕ+ ψ)(1 + cos θ). 9 М.П. Харламов, Х.М. Яхья Выполним подстановку ϕ = Φ−Ψ, ψ = Ψ, θ = 2Θ. При этом Θ ∈ [0, π/2], а углы Φ,Ψ можно считать по-прежнему изменяющи- мися в пределах [0, 2π], так как матрица замены (ϕ,ψ) 7→ (Φ,Ψ) целочисленна с определителем единица. Очевидно, Ψ будет циклической координатой, ко- торой соответствует интеграл G. В новых переменных он имеет вид G = ∂L ∂Ψ̇ = 2 [ (3 + cos 2Θ)Ψ̇ − Φ̇− λ ] sin2 Θ, поэтому его константу естественно обозначить через 2g. Из уравнения цикли- ческого интеграла находим Ψ̇ = (Φ̇ + λ) sin2Θ+ g D sin2 Θ . Здесь и далее обозначено D = 3 + cos 2Θ = 2(2− sin2Θ). Исключение циклической координаты приводит к системе, в которой роль лагранжиана играет функция Рауса R = Θ̇2 + cos2Θ 2D Φ̇2 + 2λ cos2Θ− g 2D Φ̇ + 1 2 cos Φ cos2 Θ− (g + λ sin2Θ)2 4D sin2Θ . Линейное по Φ̇ слагаемое не влияет на уравнения Лагранжа, если 0 ≡ ∂ ∂Θ ( 2λ cos2Θ− g 2D ) = −2λ+ g D2 sin 2Θ, т. е. при g = −2λ (4) приведенная система является натуральной механической системой. В даль- нейшем рассматриваем случай (4). Уравнение для Ψ̇ примет вид Ψ̇ = Φ̇ D − λ 2 sin2Θ , (5) а приведенная система такова: Φ̈ = 4 tgΘ D Φ̇Θ̇− D sinΦ 2 , Θ̈ = −sin 2Θ 2D2 Φ̇2 + 1 4 ( λ2 cosΘ sin3Θ − cos Φ sin 2Θ ) . 10 Разделение переменных в одном частном случае движения гиростата в двойном поле 3. Разделение переменных. Покажем, что при условии (4) перемен- ные в приведенной системе разделяются. Удобно перейти от H,K к новым интегралам H̃ = 1 4 (H + λ2 2 ), K̃ = 1 4 (K + 2λ2H), постоянные которых обозначим через h и k соответственно. В развернутом виде получим H̃ = Θ̇2 + cos2Θ 2D Φ̇2 − 1 2 cos Φ cos2 Θ+ λ2 4 sin2Θ , (6) K̃ = 4Θ̇4 + sin4 2Θ 4D4 Φ̇4 + 2 sin2 2Θ D2 Φ̇2Θ̇2 + 8 sinΦ cosΘ sin3Θ D Φ̇Θ̇ + + 2 [ λ2 sin2Θ + 2cos Φ sin2 Θ ] Θ̇2 + 2cos2 Θ D2 [ λ2 − 2 cos Φ sin4Θ ] Φ̇2 + + λ4 4 sin4 Θ + sin4Θ. (7) Сформулируем основной результат. Рассмотрим двузначные функции одного переменного z p(z) = √ λ2 + k − z2, q(z) = √ λ2 − k + z2, r(z) = √ (2h − z)λ2 − k + z2. Введем переменные z1, z2 как корни квадратного уравнения z2 sin2 Θ− λ2z + 2λ2 ( Θ̇2 + sin2 2Θ 4D2 Φ̇2 ) − k sin2 Θ+ λ4 2 sin2Θ = 0 и обозначим pi = p(zi), qi = q(zi), ri = r(zi). (8) Теорема. На совместном уровне интегралов H̃ = h, K̃ = k углы Φ,Θ выражаются через переменные z1, z2 по формулам (i2 = −1) sinΘ = λ√ z1 + z2 , cosΘ = √ z1 + z2 − λ2√ z1 + z2 , sin Φ 2 = p2q1r1 − p1q2r2 λ(z1 − z2) √ 2(z1 + z2) √ z1 + z2 − λ2 , (9) cos Φ 2 = i p1q2r1 − p2q1r2 λ(z1 − z2) √ 2(z1 + z2) √ z1 + z2 − λ2 , 11 М.П. Харламов, Х.М. Яхья а зависимости z1, z2 от времени определяются дифференциальными уравне- ниями λ(z1 − z2)ż1 = − √ Z(z1), λ(z1 − z2)ż2 = √ Z(z2), (10) где Z(z) – многочлен шестой степени, заданный как Z(z) = p2(z)q2(z)r2(z). Замечание. Дифференциальные уравнения для вспомогательных пере- менных можно, очевидно, записать в виде уравнений Абеля –Якоби dz1 √ Z(z1) + dz2 √ Z(z2) = 0, z1dz1 √ Z(z1) + z2dz2 √ Z(z2) = − 1 λ dt. Их решения выражаются в гиперэллиптических функциях. Доказательство. Обозначим U = 1 sin2 Θ ( Θ̇2 + sin2 2Θ 4D2 Φ̇2 ) . (11) Из условий z1 + z2 = λ2 sin2Θ , z1z2 = 2λ2U − k − λ4 2 sin4 Θ найдем sinΘ = λ√ z1 + z2 , U = 2k − (z2 1 + z2 2 ) 4λ2 . (12) Отсюда следует и выражение для cosΘ в (9). Для упрощения выкладок введем переменную V , полагая Θ̇ = V 2 √ z1 + z2 , (13) тогда, исключая U из уравнений (11), (12), получим Φ̇ = [λ2 − 2(z2 1 + z2 2 )] √ 2k − (z2 1 + z2 2 )− V 2 λ √ z1 + z2 √ z1 + z2 − λ2 . (14) Подстановка найденных выражений для sinΘ, cosΘ, Θ̇, Φ̇ в уравнения первых интегралов дает два уравнения для определения V и cos Φ как функций от z1, z2: 4λ4V 4 + 4λ2{λ2(z2 1 + z2 2 − 2k) + [(k − z2 1 )(k − z2 2 ) + λ4] cos Φ}V 2+ +[k2 + λ4 + z2 1 z2 2 + λ2(z2 1 + z2 2 ) cos Φ− k(2λ2 cos Φ + z2 1 + z2 2 )]2 = 0, (z1 + z2 − λ2)V 2 + λ2(z1 + z2 − λ2) cos Φ + k[λ2 − 2(z1 + z2)]+ + z4 1 − z4 2 z1 − z2 − λ2 z3 1 − z3 2 z1 − z2 + 2hλ2(z1 + z2) = 0. 12 Разделение переменных в одном частном случае движения гиростата в двойном поле Из этой системы находим V 2 = [(z1 + z2 − λ2)(z1 − z2) 2(z1 + z2)] −1 { −2p1q1r1p2q2r2 + 2k3− −k2[λ2(4h− z1 − z2) + 3(z2 1 + z2 2 )] + k[3(z4 1 + z4 2 )+ +4hλ2(z2 1 + z2 2 )− 2λ2(z3 1 + z3 2 )− 2λ4] + λ6(4h − z1 − z2)+ +λ4(z2 1 + z2 2 ) + λ2[z5 1 + z5 2 − 2h(z4 1 + z4 2 )]− (z6 1 + z6 2 ) } , cos Φ = [(z1 + z2 − λ2)(z1 − z2) 2(z1 + z2)] −1 {2p1q1r1p2q2r2+ +[λ4 − (k − z2 1 )(k − z2 2 )][2k − λ2(4h− z1 − z2)− (z2 1 + z2 2 ) } . В выражениях √ 1 2 (1 + cos Φ), √ 1 2 (1− cos Φ) и √ V 2 можно избавиться от двойных радикалов. Для синуса и косинуса половинного угла результат за- пишется в виде (9), а величину V представим так: V = p1q1r1 − p2q2r2 (z1 − z2) √ z1 + z2 √ z1 + z2 − λ2 . Заметим, что на этом этапе формальные знаки у найденных величин могут быть выбраны произвольно, так как однозначно определены (как функции от zi, pi, qi, ri) лишь cos2Θ, V 2, cos Φ. Сделанный нами выбор в используемых формулах предопределяет выбор знаков в последующих аналитических выра- жениях. Подставляя значение V в равенства (13), (14), найдем выражения Θ̇, Φ̇ через z1, z2: Θ̇ = p1q1r1 − p2q2r2 2(z2 1 − z2 2 ) √ z1 + z2 − λ2 , Φ̇ = i [2(z1 + z2)− λ2](p1q1r2 − p2q2r1) λ(z2 1 − z2 2 )(z1 + z2 − λ2) . С другой стороны, обозначая Dt = ż1∂z1 + ż2∂z2 , из уравнений (9) вычислим Θ̇ = (Dt sinΘ)/cosΘ и Φ̇ = 2(Dt sin Φ 2 )/cos Φ 2 . Совпадение найденных значений обобщенных скоростей приводит к системе уравнений C1ż1 − C2ż2 = [ 2(z1 + z2)− λ2 ] (p2q2r1 − p1q1r2) λ , ż1 + ż2 = p2q2r2 − p1q1r1 λ(z1 − z2) , где C1 = r2 r1 (2z1 − λ2)(z1 + z2)− 2z1(z1 + z2 − λ2) p2q2 p1q1 , C2 = r1 r2 (2z2 − λ2)(z1 + z2)− 2z2(z1 + z2 − λ2) p1q1 p2q2 . Отсюда, после необходимых упрощений, получаем уравнения (10). 13 М.П. Харламов, Х.М. Яхья Таким образом, в приведенной системе, отвечающей условию (4) на по- стоянную циклического интеграла, построено разделение переменных, при- чем тригонометрические функции нециклических комбинаций углов Эйлера представлены в виде дробно-рациональных выражений от переменных разде- ления и радикалов (8). Для циклической переменной (угла Ψ) в таком виде можно представить соответствующую обобщенную скорость. Действительно, из (5) с учетом найденных выражений для Θ̇, Φ̇ получим Ψ̇ = − 1 2λ [ (z1 + z2) + i p2q2r1 − p1q1r2 (z1 + z2 − λ2)(z1 − z2) ] . В заключение отметим, что, как видно из представленных формул, по- лучено разделение переменных лишь при условии λ 6= 0. В частности, для волчка Ковалевской в S1-симметричном двойном поле аналога этому реше- нию нет. Однако при λ = 0 (а тогда и при нулевой постоянной цикличе- ского интеграла) в функции Рауса и первых интегралах приведенной систе- мы сингулярных слагаемых нет. Такая задача имеет аналогию с решением С.А.Чаплыгина [13], и разделение переменных также существует. 1. Yehia H.M. New integrable cases in the dynamics of rigid bodies // Mechanics Research Communications. – 1986. – 13, 3. – P. 169–172. 2. Яхья Х.М. Новые интегрируемые случаи задачи о движении гиростата // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. – 1987. – № 4. – С. 88–90. 3. Yehia H.M. Equivalent problems in rigid body dynamics-II // Celestial Mechanics. – 1988. – 41. – P. 289–295. doi:10.1007/BF01238765. 4. Yehia H.M. Geometric transformations and new integrable problems of rigid body dyna- mics // J. of Phys. A: Math. & Gen. – 2000. – 33. – P. 4393–4399. doi:10.1088/0305-4470/33/23/313. 5. Kharlamov M.P. Separation of variables in the generalized 4th Appelrot class // Regular and Chaotic Dynamics. – 2007. – 12, 3. – P. 267–280. arXiv:0803.1024. doi:10.1134/S1560354707030021. 6. Харламов М.П. Обобщение 4-го класса Аппельрота: аналитические решения // Ме- ханика твердого тела. – 2008. – Вып. 38. – С. 20–30. 7. Рябов П.Е. Явное интегрирование и топология случая Д.Н. Горячева // Докл. РАН. – 2011. – 439, 3. – С. 315–318. doi:10.1134/S1064562411040193 . 8. Рябов П.Е. Фазовая топология одного частного случая интегрируемости Д.Н.Го- рячева в динамике твердого тела // Мат. сб. – 2014. – 205, 7. – С. 115–134. doi:10.1070/SM2014v205n07ABEH004408 . 9. Борисов А.В., Мамаев И.С. Динамика твердого тела. – Ижевск: Изд-во РХД, 2001. – 384 с. 10. Харламов М.П. Критическое множество и бифуркационная диаграмма задачи о дви- жении волчка Ковалевской в двойном поле // Механика твердого тела. – 2004. – Вып. 34. – С. 47–58. 11. Kharlamov M.P. Bifurcation diagrams and critical subsystems of the Kowalevski gyrostat in two constant fields // Hiroshima Math. J. – 2009. – 39, 3. – P. 327–350. arXiv:0803.0371. ProjectEuclid:1257544212 12. Савушкин А.Ю., Харламова И.И. Бифуркационные диаграммы интегральных ото- бражений волчка с сингулярной симметрией // Механика твердого тела. – 2009. – Вып. 39. – С. 110–120. arXiv:1310.0770. 13. Чаплыгин С.А. Новое частное решение задачи о движении твердого тела в жидкости // Тр. отд-я физ. наук общества любителей естествознания. – 1903. – 11, 2. – С. 7–10. 14 http://dx.doi.org/10.1007/BF01238765 http://dx.doi.org/10.1088/0305-4470/33/23/313 http://arxiv.org/abs/0803.1024 http://dx.doi.org/10.1134/S1560354707030021 http://dx.doi.org/10.1134/S1064562411040193 http://dx.doi.org/10.1070/SM2014v205n07ABEH004408 http://arxiv.org/abs/0803.0371 http://projecteuclid.org/euclid.hmj/1257544212 http://arxiv.org/abs/1310.0770 Разделение переменных в одном частном случае движения гиростата в двойном поле M.P. Kharlamov, H.M. Yehia Separation of variables in one partial case of motion of a gyrostat in a double field Dynamically symmetric gyrostat in a double field on conditions of the Kowalevski type possesses a complete involutive set of first integrals. However, in general case this problem is not reduced to quadratures. In this paper for a partial case when the double field admits a one-dimensional symmetry, the reduction is given according to the Routh method. The values of integral constants are chosen in such a way that the reduced system does not have gyroscopic forces. In this natural system with two degrees of freedom the separation of variables leading to hyperelliptic Abel – Jacobi equations is indicated. Non-cyclic combinations of the Euler angles are expressed in terms of separation variables. Keywords: gyrostat, double field, separation of variables. М.П. Харламов, Х.М. Яхья Роздiлення змiнних в одному окремому випадку руху гiростата в подвiйному полi Динамiчно симетричний гiростат в подвiйному полi за умов типу Ковалевської володiє пов- ним iнволютивним набором перших iнтегралiв, проте, у загальному випадку квадратури не знайденi. У поданiй статтi для окремого випадку, коли подвiйне поле допускає одновимiрну симетрiю, виконано пониження порядку за Раусом. Вибрано значення iнтегральних постiй- них, при яких зведена система не має гiроскопiчних сил. У цiй натуральнiй системi з двома степенями вiльностi указано роздiлення змiнних, що приводить до гiперелiптичних рiвнянь Абеля –Якобi. Нециклiчнi комбiнацiї кутiв Ейлера виражено через змiннi роздiлення. Ключовi слова: гiростат, подвiйне поле, роздiлення змiнних. Волгоградский филиал РАНХиГС, Россия Университет г.Мансура, Египет mharlamov@vags.ru, hyehia@mans.edu.eg Получено 05.03.14 15 Уравнения и интегралы Редукция по циклической переменной Разделение переменных

Разделение переменных в одном частном случае движения гиростата в двойном поле

Institution

Ähnliche Einträge