Асимптотическая устойчивость положения равновесия двойного маятника с присоединенной массой
Рассмотрена задача о влиянии присоединенной массы на устойчивость нижнего положения равновесия двойного маятника. Линейное приближение не позволяет решить задачу, поскольку имеет место критический случай двух пар чисто мнимых корней, вследствие чего для исследования используется прямой метод Ляпунов...
Saved in:
| Published in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2014
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116111 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Асимптотическая устойчивость положения равновесия двойного маятника с присоединенной массой / В.Е. Пузырев, Н.В. Савченко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2014. — Вип 44. — С. 75-86. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860258151490650112 |
|---|---|
| author | Пузырев, В.Е. Савченко, Н.В. |
| author_facet | Пузырев, В.Е. Савченко, Н.В. |
| citation_txt | Асимптотическая устойчивость положения равновесия двойного маятника с присоединенной массой / В.Е. Пузырев, Н.В. Савченко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2014. — Вип 44. — С. 75-86. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Рассмотрена задача о влиянии присоединенной массы на устойчивость нижнего положения равновесия двойного маятника. Линейное приближение не позволяет решить задачу, поскольку имеет место критический случай двух пар чисто мнимых корней, вследствие чего для исследования используется прямой метод Ляпунова. Функция Ляпунова строится согласно общей методике, предложенной А.Я. Савченко и несколько модифицированной, с учетом особенностей задачи. Показано, что добавление массы делает положение равновесия маятника асимптотически устойчивым.
Розглянуто задачу про вплив приєднаної маси на стiйкiсть нижнього стану рiвноваги подвiйного маятника. Розгляд лiнiйного наближення не дозволяє розв’язати задачу, оскiльки має мiсце критичний випадок суто уявних коренiв, внаслiдок чого для дослiдження застосовано прямий метод Ляпунова. Функцiя Ляпунова будується згiдно з методикою О.Я. Савченка, дещо модифiкованою з урахуванням особливостей задачi. Встановлено, що додання маси робить стан рiвноваги маятника асимптотично стiйким.
We consider the stability problem of the equilibrium of the double pendulum with the mass attached. The linear approximation cannot give a solution, because the critical case of purely imaginary roots holds. Therefore, Lyapunov’s direct method is applied. Lyapunov function is constructed accordingly the approach introduced by A.Ya. Savchenko, and slightly modified due to special features of the problem. It is proved, that due to the mass influence the equilibrium of the pendulum becomes asymptotically stable.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:51:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2014. Вып. 44
УДК 531.36
c©2014. В.Е. Пузырев, Н.В. Савченко
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ДВОЙНОГО МАЯТНИКА
С ПРИСОЕДИНЕННОЙ МАССОЙ
Рассмотрена задача о влиянии присоединенной массы на устойчивость нижнего положе-
ния равновесия двойного маятника. Линейное приближение не позволяет решить задачу,
поскольку имеет место критический случай двух пар чисто мнимых корней, вследствие
чего для исследования используется прямой метод Ляпунова. Функция Ляпунова строится
согласно общей методике, предложенной А.Я.Савченко и несколько модифицированной, с
учетом особенностей задачи. Показано, что добавление массы делает положение равнове-
сия маятника асимптотически устойчивым.
Ключевые слова: демпфер пассивного типа, асимптотическая устойчивость, функция
Ляпунова, критический случай.
Введение. Задача устранения или уменьшения нежелательных вибраций
в механических системах имеет давнюю историю. С этой целью используют
разные методы, в том числе добавление в механическую систему различных
демпфирующих устройств – динамических абсорберов. По принципу дей-
ствия их разделяют на пассивные и активные (а также смешанного типа).
Демпферы активного типа используют в случаях, когда нужно управлять
свойствами механической системы и предполагают наличие обратной связи.
Они требуют установки сенсоров, актуаторов и внешнего источника энергии.
К устройствам пассивного типа относят такие, которые, будучи добавлены в
систему, выполняют свое назначение за счет естественных свойств материа-
ла. Сюда относятся вязкоупругие материалы, вязкие жидкости, магнитные
устройства, пьезокерамические демпферы и пр. Наиболее распространенным
является использование вязкоупругих материалов (простота и относительная
дешевизна).
Классическим примером демпфера пассивного типа является динамиче-
ский поглотитель колебаний (ДПК). Он представляет собой присоединенную
массу, которая обычно моделируется как материальная точка и характе-
ризуется массой, жесткостью и коэффициентом вязкого трения. ДПК мо-
жет быть использован для успокоения как свободных колебаний [1], так и
вибраций, вызванных действием внешней периодической силы [2]. В случае
обычного маятника ДПК использовался в работах [3–5]. В настоящей работе
демпфер пассивного типа используется для стабилизации положения равно-
весия двойного математического маятника. Заметим, что похожие задачи для
маятниковых систем рассматриваоись в работах [6, 7]. Система, рассматрива-
емая в настоящей статье, отличается от изученной в [7] своей конструкцией
(иной тип шарнира), результатом (в [7] шарнир должен быть “достаточно
жестким”) и методом исследования (критический случай пар чисто мнимых
корней вместо устойчивости по линейному приближению в [7]).
75
В.Е. Пузырев, Н.В. Савченко
1. Постановка задачи. Рассмотрим механическую систему, состоящую
из двойного математического маятника с динамическим поглотителем коле-
баний (рисунок). Последний представляет собой материальную точку, при-
соединенную к одному из звеньев маятника в рамках модели Кельвина –
Фойгта. Массы и длины звеньев соответственно равны m1, l1 и m2, l2, масса
ДПК – m3, жесткость пружины – k, коэффициент вязкого трения – h. В каче-
стве обобщенной координаты ξ, характеризующей положение ДПК, возьмем
отношение его расстояния до шарнира O1 к длине второго звена.
Двойной маятник с поглотителем колебаний во втором звене.
В этом случае имеем следующие соотношения
OO1 = l1(sinϕ1, cosϕ1), O1O2 = l2(sinϕ2, cosϕ2), O1O3 = l2ξ(sinϕ2, cosϕ2);
v1 = l1ϕ̇1(cosϕ1,− sinϕ1), v2 = l2ϕ̇2(cosϕ2,− sinϕ2) + v1,
v3 = l2ξ̇(sinϕ2, cosϕ2) + l2ϕ̇2ξ(cosϕ2,− sinϕ2) + v1.
Кинетическая и потенциальная энергии запишутся так:
2T = (m1 +m2 +m3)l
2
1ϕ̇
2
1 + l22(m2 +m3ξ
2)ϕ̇2
2 +m3l
2
2ξ̇
2+
+2l1l2ϕ̇1[ϕ̇2(m2 +m3ξ) cos(ϕ2 − ϕ1) +m3ξ̇ sin(ϕ2 − ϕ1)],
Π = −g[(m1 +m2 +m3)l1 cos(ϕ1) + l2(m2 +m3ξ) cos(ϕ2)] +
1
2
kl2(ξ − ξ(0))2.
76
Асимптотическая устойчивость положения равновесия
Значение ξ(0) соответствует длине пружины в недеформированном состоя-
нии. Функция Релея имеет вид R = −hξ̇2/2.
Запишем уравнения движения рассматриваемой системы в форме Ла-
гранжа второго рода
d
dt
∂L
∂q̇
− ∂L
∂q
= Q, (1)
где L = T −Π, Q = (0, 0,−hξ̇).
Изучим вопрос об устойчивости нижнего положения равновесия данной
механической системы, т. е. решения
ϕ1 = 0, ϕ2 = 0, ξ = ξ0, ϕ̇1 = 0, ϕ̇2 = 0, ξ̇ = 0 (ξ0 = ξ(0) +
m3g
k
). (2)
Очевидно, оно является устойчивым (потенциальная энергия имеет мини-
мум), но будет ли устойчивость асимптотической? Классические теоремы
Кельвина–Четаева [8] не дают ответа на этот вопрос, поскольку диссипация
энергии является неполной. Поэтому воспользуемся прямым методом Ляпу-
нова.
Введем безразмерные параметры и время по формулам
M = m1 +m2 +m3, m̃2 =
m2
M
, m̃3 =
m3
M
, h̃ =
h
M
√
l2
g
, k̃ =
kl2
Mg
, τ =
√
g
l2
t.
(3)
Для удобства в дальнейшем символ ∼ будем опускать.
Запишем характеристическое уравнение линейной части системы (1)
(aλ4 + bλ2 + c)(m3λ
2 + hλ+ k) = 0, (4)
где a = l1m2 + l1m3ξ
2
0 − l1m
2
2 − 2l1m2m3ξ0 − l1m
2
3ξ
2
0 ,
b = −m2 −m3ξ
2
0 − l1m2 − l1m3ξ0, c = m2 +m3ξ0.
Уравнение (4) имеет четыре чисто мнимых корня λ1 = iω1, λ2 = iω2,
λ3 = −λ1, λ4 = −λ2 и два корня с отрицательной вещественной частью. Со-
ответственно, для системы уравнений возмущенного движения имеет место
критический случай двух пар чисто мнимых корней.
2. Вспомогательные результаты. Пусть задана система обыкновен-
ных дифференциальных уравнений порядка 2m+ l вида
dx
dt
= Ax+
l∑
s=1
ξsC̃
(s)x,
dξ
dt
= Bξ +
2m∑
s=1
xsD̃
(s)x. (5)
Здесь x ∈ R
2m, ξ ∈ R
l, A,B, C̃(s) (s = 1, 2m) – вещественные квадратные
матрицы, D̃(j) (j = 1, 2m) – вещественные прямоугольные матрицы порядка
77
В.Е. Пузырев, Н.В. Савченко
l×2m. Собственные значения матрицы A суть ±iω1, · · ·± iωm (0 < ω1 < · · · <
< ωm), вещественные части собственных значений матрицы B отрицательны.
Рассмотрим задачу об устойчивости нулевого решения системы (5). Для
общего случая m пар чисто мнимых корней обычно используется принцип
сведения [9–14], который с помощью нелинейной замены приводит исходную
систему к специальному виду, для которого и строится функция Ляпунова
(ФЛ). Альтернативой является “прямое” построение ФЛ [3, 15], которое, в
зависимости от сложности рассматриваемой системы, может оказаться зна-
чительно более простым с технической точки зрения. Мы воспользуемся вто-
рым подходом. Переменные xs (s = 1, 2m) будем называть критическими, а
ξj (j = 1, l) − некритическими.
С помощью линейного невырожденного преобразования критических пе-
ременных x = Λz приведем систему (5) к виду
dz
dt
= Jz +
l∑
s=1
ξsC
(s)
∗ z,
dξ
dt
= Bξ +
2m∑
s=1
zsD
(s)z. (6)
Здесь J = diag(iω1, · · · , iωm,−iω1, · · · ,−iωm) – жорданова форма матрицы
A, z = (y, ȳ)T , C
(s)
∗ = Λ
−1C̃(s)
Λ, элементы матриц D(s) известным обра-
зом выражаются через элементы матриц D̃(s), Λ. Черта сверху означает
комплексное сопряжение, верхний индекс T – транспонирование. Очевидно,
что j-я и j+m-я строки матриц C
(s)
∗ являются комплексно сопряженными,
т. е. C
(s)
∗ =
(
C(s)
C
(s)
)
.
Следуя работам [13, 15], введем следующие обозначения. Пусть
P = (p1, · · · , pm) – m-мерный индекс, p = |P | = p1 + · · · + pm, однородную
форму порядка n запишем, как
∑
p+q=n
kPQy
P ȳQ =
∑
p+q=n
kp1···pmq1···qmy
p1
1 · · · ypmm ȳq11 · · · ȳqmm .
Обозначим
V
(2)
0 (z) =
m∑
j=1
αjyj ȳj
и выберем ФЛ в виде
V (z, ξ) = V
(2)
0 (z)+αm+1V
(2)(ξ)+V (3)(z, ξ)+V (4)(z), V (3) =
l∑
s=1
ξsṼ
(2)
s (z), (7)
где αj (j = 1,m), αm+1 – некоторые вещественные постоянные, V (2) –
положительно определенная квадратичная форма, Ṽ
(2)
s = zTK(s)z, эле-
менты матриц K(s) будут определены ниже. Обозначим через αy вектор
78
Асимптотическая устойчивость положения равновесия
(α1y1, · · · , αmym), тогда
m∑
j=1
αjyj ȳj = 〈αy, ȳ〉,
где угловые скобки означают скалярное произведение.
Вычислим производную dV/dt в силу системы (6) и представим ее в виде
суммы V̇ (z, ξ) = V̇ (2)(z, ξ)+ V̇ (3)(z, ξ)+ V̇ (4)(z, ξ)+ · · · . Запишем выражения
для форм V̇ (s) (s = 2, 4). Для формы V̇ (2) имеем
V̇ (2)(z, ξ) = −αm+1U
(2)(ξ),
при этом, поскольку спектр матрицы B принадлежит левой полуплоскости,
форму V (2) можно выбрать так, что U (2)(ξ) будет положительно определен-
ной.
V̇ (3)(z, ξ) =
l∑
s=1
[(bsξ)Ṽ
(2)
s (z) + ξs(grad Ṽ (2)
s )(Jz)] + 〈αȳ,
l∑
s=1
ξsC
(s)z〉+
(8)
+〈αy,
l∑
s=1
ξsC
(s)
z̄〉+ β〈grad V (2),
2m∑
s=1
zsD
(s)z〉,
V̇ (4)(z, ξ) = (grad Ṽ (4))(Jz)+
l∑
s=1
ξs(grad Ṽ (2)
s )
l∑
s=1
ξsC
(s)z+〈Ṽ (2),
2m∑
s=1
zsD
(s)z〉,
(9)
здесь bs означает s-ю строку матрицы B; Ṽ (2) = (Ṽ
(2)
1 , · · · , Ṽ (2)
l )T .
Определим элементы матриц K(s) таким образом, чтобы V̇ (3) ≡ 0.
Приравнивая нулю коэффициенты при различных слагаемых вида ξsy
P ȳQ
(s = 1, l, p + q = 2), получаем систему линейных алгебраических уравне-
ний относительно k
(s)
PQ. Эта система распадается на 2m2 +m подсистем s-го
порядка с матрицами вида B̃ = BT + iΩPQE, где ΩPQ = (p1 − q1)ω1 + · · ·+
+(pm − qm)ωm, E − единичная матрица порядка l. Очевидно, что
detB̃ 6= 0, поэтому искомые коэффициенты однозначно выражаются через
элементы матриц C(s), являясь при этом линейной комбинацией параметров
α1, · · · , αm, αm+1.
Аналогично, коэффициенты формы V (4) можно выбрать таким образом,
чтобы
V̇ (4) =
m∑
p=2
GPy
PyP ,
где коэффициенты GP представляют собой комбинации различных произве-
дений коэффициентов k
(s)
PQ на элементы матриц D(s) и, следовательно, они
могут быть записаны в виде
GP = α1G
(1)
P + · · · + αmG
(m)
P + αm+1G
(m+1)
P . (10)
79
В.Е. Пузырев, Н.В. Савченко
Величины G
(s)
P , s = 1,m, называют коэффициентами устойчивости, они за-
висят от коэффициентов правых частей системы (6) (и не зависят от мно-
жителей αs) и позволяют применять теоремы Ляпунова или Четаева, т. е.
делать заключение об устойчивости (неустойчивости) изучаемого решения.
Для этой цели можно использовать теоремы монографии [10], которые дают
необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости1 и доста-
точные условия неустойчивости. Отметим, что для конкретных механических
систем в случае m > 2 проверка этих условий достаточно сложна, посколь-
ку коэффициенты правых частей системы (5) обычно зависят от нескольких
параметров (распределение масс системы, упругие характеристики и пр.),
и задача сводится к решению системы неравенств высокой степени. Поэтому
мы ограничимся здесь случаем m = 2. Справедливо следующее утверждение.
Лемма 1. Пусть для функции Ляпунова, построенной согласно описан-
ной выше процедуре, имеет место один из следующих случаев:
A1. G
(1)
20 < 0, G
(2)
02 < 0, G
(1)
11 ≤ 0, G
(2)
11 ≤ 0;
A2. G
(1)
20 < 0, G
(2)
02 < 0, min{G(1)
11 , G
(2)
11 } ≤ 0, max{G(1)
11 , G
(2)
11 } > 0;
Б. G
(1)
20 < 0, G
(2)
02 < 0, G
(1)
11 > 0, G
(2)
11 > 0, G
(1)
20 G
(2)
02 > G
(1)
11 G
(2)
11 ;
В. G
(1)
20 > 0, или G
(2)
02 > 0, или G
(1)
20 G
(2)
02 < G
(1)
11 G
(2)
11 (G
(1)
11 > 0).
Тогда в случаях А, Б тривиальное решение системы (6) асимптотически
устойчиво, а в случае В – неустойчиво.
Заметим, что справедливость первой части утверждения следует из ре-
зультатов работы [11], поскольку при этом отсутствуют нейтральные и не-
устойчивые лучи. Часть утверждения леммы, касающаяся неустойчивости,
доказывается с помощью теоремы Четаева [8] (с двумя функциями). Фор-
мальное доказательство довольно громоздкое, поэтому мы отметим только,
что оно проводится подобно доказательству теоремы 2.1 из [15].
Рассмотрим также систему
dx
dt
= X0(x, ξ) +X
(3)
1 (x) +X
(3)
2 (x, ξ) + · · · ,
(11)
dξ
dt
= Ξ0(x, ξ) +Ξ
(2)
1 (x, ξ) + · · · .
Здесь через X0(x, ξ),Ξ0(x, ξ) обозначены правые части системы (5), X
(3)
1 ,
X
(3)
2 , Ξ
(2)
1 − однородные формы указанных переменных, X
(3)
2 (x,0) = 0,
Ξ
(2)
1 (x,0) = 0, многоточием обозначена совокупность слагаемых более высо-
кого порядка.
Пусть, как и ранее, x = Λz – линейное нормализующее преобразование
для критических переменных. Обозначим Z1 = (Y1,Y 1)
T = Λ
−1X
(3)
1 (Λz), а
1За исключением некоторых предельных случаев.
80
Асимптотическая устойчивость положения равновесия
j-ю компоненту вектора Y1 представим в виде
∑
p+q=3
g
(j)
PQ yP ȳQ.
Введем в рассмотрение также Ij – m-мерный индекс, компонентами которого
являются символы Кронекера δjs. Справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Если коэффициенты, вычисленные для модельной системы
(6), таковы, что
∑
GPy
PyP является отрицательно определенной формой
при некоторых положительных множителях α1, · · · , αm+1,
2 и форма X
(3)
1 ,
такова, что
Re g
(j)
PP−Ij
= 0, j = 1,m, (12)
то нулевое решение системы (11) асимптотически устойчиво при любых
X
(3)
2 , Ξ
(2)
1 .
Доказательство. Добавим вначале в правую часть системы (5) только
X
(3)
1 (x) и выполним построение ФЛ согласно описанной выше процедуре.
Очевидно, что сделанное изменение повлияет на вид V (4)(z), но не повлия-
ет на Ṽ
(2)
s (z). Учитывая также условия (12), можно видеть, что выражения
для GP не изменятся. Изменится совокупность слагаемых четвертого поряд-
ка в самой функции (обозначим новую форму четвертого порядка через Ṽ (4))
и слагаемые порядка малости выше четвертого в V̇ . Однако это не изменит
знакоопределенности V (z, ξ) и ее производной, поэтому условия теоремы Ля-
пунова по-прежнему будут соблюдены.
Возьмем теперь ФЛ в виде (7) с V (4), замененной на Ṽ (4), и найдем полную
производную по времени в силу системы (11)
V̇ = V̇0(z, ξ) + 〈gradV (2)
0 (z),Z
(3)
2 (z, ξ)〉 + 〈gradV (2)(ξ),Ξ
(2)
1 (z, ξ)〉+
+〈gradξV (3)(z, ξ),Ξ
(2)
1 (z, ξ)〉+..., V̇0(z, ξ) = −α3U
(2)(ξ)+
∑
p=2
GP y
P ȳP . (13)
Второе и четвертое слагаемые в правой части V̇ из (13) содержат критиче-
ские переменные z в третьей степени, некритические ξ – в первой степени и,
как следствие, имеют более высокий порядок малости, чем V̇0. Третье слага-
емое содержит критические переменные z в первой степени, некритические
ξ – во второй и имеют более высокий порядок малости, чем U (2)(ξ), а зна-
чит, и V̇0. Следовательно, V̇ является отрицательно определенной функцией
относительно переменных z, ξ.
2В частности, если выполнены условия А,Б леммы.
81
В.Е. Пузырев, Н.В. Савченко
3. Построение функции Ляпунова для изучаемой системы. Вос-
пользуемся результатами предыдущего пункта для построения функции Ля-
пунова. Удостоверимся вначале, что ω1 6= ω2. В самом деле,
b2−4ac = [m2+m3ξ
2
0−l1(m3ξ0+m2)]
2+12m2m3ξ0(m2+m3ξ0)+4(m3
3ξ
3
0+m3
3) > 0.
Заметим, что для произвольной конфигурации рассматриваемой механи-
ческой системы формулы преобразования довольно объемные, поэтому мы
ограничимся случаем одинаковых звеньев, т. е. l1 = l2 = l, m1 = m2 = m,
кроме того, положим m3 = m/2, ξ0 = 1/2.
С целью привести уравнения (1) к виду (5) воспользуемся переменными
Гамильтона. Введем обычным образом [16] обобщенные импульсы
p1 =
5
2
ϕ̇1 + ϕ̇2 cos(ϕ1 − ϕ2) +
1
2
ξϕ̇2 cos(ϕ1 − ϕ2)−
1
2
ξ̇ sin(ϕ1 − ϕ2),
p2 = ϕ̇2 +
1
2
ξ2ϕ̇2 + ϕ̇1 cos(ϕ1 − ϕ2) +
1
2
ξϕ̇1 cos(ϕ1 − ϕ2),
p3 =
1
2
ξ̇ − 1
2
ϕ̇1 sin(ϕ1 − ϕ2).
Функция Гамильтона имеет вид H = H(2) +H(3) +H(4) + ... , где
H(2) =
9
20
p21 − p1p2 + p22 + p23 +
5
4
ϕ2
1 +
5
8
ϕ2
2 +
1
2
kξ2,
H(3) =
1
5
p21ξ −
2
5
p1ξp2 +
9
10
ϕ1p1p3 −
9
10
ϕ2p1p3 − ϕ1p2p3 + ϕ2p2p3 +
1
4
ϕ2
2ξ,
H(4) = − 9
25
ϕ2
1p
2
1 +
18
25
ϕ1ϕ2p
2
1 −
4
25
p21ξ
2 − 9
25
ϕ2
2p
2
1 +
13
10
ϕ2
1p1p2 −
13
5
ϕ1ϕ2p1p2+
+
4
5
p1p2ξ
2 +
13
10
ϕ2
2p1p2 +
2
5
ϕ1ξp1p3 − ϕ2
1p
2
2 + 2ϕ1ϕ2p
2
2 −
4
5
p22ξ
2 − ϕ2
2p
2
2−
−2
5
ϕ1ξp2p3 +
2
5
ϕ2ξp2p3 +
9
20
ϕ2
1p
2
3 −
9
10
ϕ1ϕ2p
2
3 +
9
20
ϕ2
2p
2
3 −
5
48
ϕ4
1 −
5
96
ϕ4
2.
Получаем систему вида (5) при
A =
0 0 9
10 −1
0 0 −1 2
−5
2 0 0 0
0 −5
4 0 0
, C̃(1) =
0 0 2
5 −2
5
0 0 −2
5 0
0 0 0 0
0 −1
2 0 0
,
C̃(2) =
9
10 − 9
10 0 0
−1 1 0 0
0 0 − 9
10 1
0 0 9
10 −1
, x =
ϕ1
ϕ2
p1
p2
, ξ =
(
ξ
p3
)
,
82
Асимптотическая устойчивость положения равновесия
ξ′1 = 2ξ2 −
9
10
p1ϕ2 +
9
10
p1ϕ1 + p2ϕ2 − p2ϕ1,
ξ′2 = −kξ1 −
1
5
p21 +
2
5
p1p2 −
1
4
ϕ2
2 − h(2ξ2 −
9
10
p1ϕ2 +
9
10
p1ϕ1 + p2ϕ2 − p2ϕ1).
Учитывая, что ω1 =
√
38− 2
√
201/4, ω2 =
√
38 + 2
√
201/4, вычисляем
матрицу преобразования
Λ =
1 1 1 1
1.3177 −1.5177 1.3177 −1.5177
3.2199i 1.2276i −3.2199i −1.2276i
2.1215i −0.9316i −2.1215i 0.9316i
.
Выполним преобразование x = Λy. Система (6) запишется в виде
y′ = J1y +C(1)ξ1y +C(2)ξ2y,
y′ = J1y +C
(1)
ξ1y +C
(2)
ξ2y, (14)
ξ′1 = 2ξ2+2.6019i(y1 ȳ2−y2ȳ1)−1.3077i(ȳ1 ȳ2−y1y2)−0.2467i(y21−ȳ21)+5.1273i(y22−ȳ22),
ξ′2 = −kξ1 − hξ2 − 0.7393(y1 ȳ2 + y2ȳ1) + 2.7393(ȳ1 ȳ2 + y1y2) + 0.183(ȳ22 + y22)−
−1.093(y21 + ȳ21) + 0.4495y1ȳ1 − 2.6695y2ȳ2,
где y =
(
y1
y2
)
, J1 = diag(iω1, iω2). Матрицы C(1), C(2) − прямоуголь-
ные матрицы 4× 2, состоящие из 1 и 2 строк матриц Λ
−1C̃(1)
Λ и Λ
−1C̃(2)
Λ
соответственно.
Определим квадратичную форму V (2)(ξ) = (ξ21 + 2k1ξ1ξ2 + k2ξ
2
2)/2, где
k1 > 0, k2 > 0, k2 > k21 . Подберем коэффициенты k1, k2 таким образом, чтобы
производная от V (2) в силу линейной части системы (14) была отрицательно
определенной. Имеем
V̇ (2)(ξ) = −kk1ξ
2
1 + (2− hk1 − kk2)ξ1ξ2 + (2k1 − hk2)ξ
2
2 .
Положим k2 = (2− k1h)/k. Тогда при выборе произвольного достаточно
малого значения для k1 получаем отрицательно определенную квадратичную
форму V̇ (2)(ξ).
С учетом вышеизложенного материала запишем ФЛ в виде
V (y,y, ξ) = α1y1ȳ1+α2y2ȳ2+α3V
(2)(ξ)+ξ1(k
(1)
200y
2
1+k
(1)
110y1y2+k
(1)
101y1ȳ1+k
(1)
020y
2
2+
+k
(1)
011y2ȳ1+k
(1)
010y2ȳ2+k̄
(1)
200ȳ
2
1+k̄
(1)
110ȳ1ȳ2+k̄
(1)
020ȳ
2
2+k̄
(1)
011y1ȳ2)+ξ2(k
(2)
200y
2
1+k
(2)
110y1y2+
+k
(2)
101y1ȳ1+ k
(2)
020y
2
2 + k
(2)
011y2ȳ1+ k
(2)
010y2ȳ2+ k̄
(2)
200ȳ
2
1 + k̄
(2)
110ȳ1ȳ2+ k̄
(2)
020ȳ
2
2 + k̄
(2)
011y1ȳ2),
где αj , (j = 1, 2, 3) – некоторые вещественные, а k
(1)
npq, k
(2)
npq – комплексные
постоянные.
83
В.Е. Пузырев, Н.В. Савченко
Выражения для констант Gnp примут вид
G20 = Re[k
(2)
200(−2.186 − 0.4934ih) + 0.899k
(2)
101 + 0.4934i(k
(1)
200 − k̄
(1)
200)+
+k̄
(2)
200(−2.186 + 0.4934ih)], G02 = Re[−10.2546i(k
(1)
020 − k̄
(1)
020 + k̄
(2)
020h)−
−5.339k
(2)
010 + k
(2)
020(0.366 + 10.25466ih)], G11 = Re[−0.7393(k̄
(2)
011 + k
(2)
011)+
+2.7393(k̄
(2)
110 + k
(2)
110)− 2.6695k
(2)
101 − 2.6019i(k̄
(1)
011 − k
(1)
011 − hk̄
(2)
011 + hk
(2)
011)−
−1.3077i(k
(1)
110 − k̄
(1)
110 − hk
(2)
110 + hk̄
(2)
110) + 0.4495k
(2)
010 ].
Постоянные k
(1)
npq, k
(2)
npq определяются из условия V ′(3)(ξ1, ξ2) = 0. Имеем
k
(1)
200 = −α1(1.6191k − 0.2002k2 + 1.4634ikh − 1.6609 − 2.7553h2)
23.5476h2 + 9.7656k2 − 23.5476k + 14.1949
,
k
(2)
200 =
−4.6829α1(−37.6762i + 31.25ik − 48.5259h)
2354.7623h2 + 976.5625k2 − 2354.7623k + 1419.4958
,
k
(1)
110 =
α1(0.0187ikh − 0.1601h2 − 0.3167 + 0.1338k − 0.0136k2)
1.9781h2 + 0.25k2 − 1.9781k + 3.9128
+
+
α2(0.0426ihk + 0.3047k − 0.0309k2 − 0.3646h2 − 0.7212
1.9781h2 + 0.25k2 − 1.9781k + 3.9128
, k
(2)
101 = 0,
k
(2)
110 =
α1(1.8702ik − 5.2605h − 7.3986i) + α2(4.2588ik − 11.9796h − 16.8486i)
197.8069h2 + 25k2 − 197.8069k + 391.2759
,
k
(1)
020 = −α2(−204.7698k + 29.252 + 24.2626k2 + 97.0881ikh + 7.0535h2)
414.7181h2 + 25k2 − 414.7181k + 1719.9109
,
k
(2)
020 = − α2[i(0.9709k − 8.0528) − 3.9543h]
4.1472h2 + 0.25k2 − 4.1472k + 17.1991
,
k
(1)
011 = −α1(1.8702ihk + 2.7033k2 − 3.1138k + 0.7683 + 1.9356h2)
39.6931h2 + 25k2 − 39.6931k + 15.7554
−
−α2(7.0911k − 6.1561k2 − 1.7496 − 4.2588ihk − 4.4079h2)
39.6931h2 + 25k2 − 39.6931k + 15.7554
, k
(2)
010 = 0,
k
(2)
011 = −α1(1.8702ik − 1.4846i − 2.3565h) + α2(3.3809i − 4.2588ik + 5.3664h)
39.6931h2 + 25k2 − 39.6931k + 15.7554
.
С учетом этого выражения для Gnp перепишутся в виде
G20 = − 0.3480α1h
h2 + 0.4147k2 − k + 0.6028
, G11 = G10 +G01,
G10 = α1h(
0.1069
h2 + 0.6298k2 − k + 0.3969
− 0.0479
h2 + 0.1264k2 − k + 1.9781
),
84
Асимптотическая устойчивость положения равновесия
G01 = −α2h(
0.1090
h2 + 0.1264k2 − k + 1.9781
+
0.2433
h2 + 0.6298k2 − k + 0.3969
),
G02 = − 39.1257α2h
h2 + 0.0603k2 − k + 4.1472
.
Нетрудно убедиться, что все знаменатели в этих выражениях положи-
тельны. Таким образом, G20 < 0, G01 < 0, G02 < 0 при любых значениях
k и h, а G10 может менять знак. Следовательно, найденные выражения для
констант G удовлетворяют пункту А леммы.
Покажем, что выполнены условия теоремы. Для этого необходимо прове-
рить выполнимость условия (12). Используя выражение для H(4), запишем
вектор-функцию X
(3)
1 , компоненты которой суть формы третьего порядка
от критических переменных
X
(3)
1 =
−18
25ϕ
2
1p1 +
36
25ϕ1ϕ2p1 − 18
25ϕ
2
2p1 +
13
10ϕ
2
1p2 − 13
5 ϕ1ϕ2p2 +
13
10ϕ
2
2p2
13
10ϕ
2
1p1 − 13
5 ϕ1ϕ2p1 − 2ϕ2
1p2 +
13
10ϕ
2
2p1 − 2ϕ2
2p2 + 4ϕ1ϕ2p2
18
25ϕ1p
2
1 − 18
25ϕ2p
2
1 +
5
12ϕ
3
1 − 13
5 ϕ1p1p2 +
13
5 ϕ2p1p2 + 2ϕ1p
2
2 − 2ϕ2p
2
2
−18
25ϕ1p
2
1 +
18
25ϕ2p
2
1 +
13
5 ϕ1p1p2 − 13
5 ϕ2p1p2 +
5
24ϕ
3
2 + 2ϕ2p
2
2 − 2ϕ1p
2
2
.
Учитывая преобразование x = Λy, получаем g
(1)
2010 = −0.2388i, g
(1)
1101 =
= 0.6433i, g
(2)
1101 = 1.4650i, g
(2)
0201 = −14.7693i.
Таким образом, условия теоремы выполнены. Следовательно, решение (2)
рассматриваемой механической системы асимптотически устойчиво.
Заключение. В данной статье рассмотрена задача о влиянии демпфера
пассивного типа на устойчивость нижнего положения равновесия двойно-
го маятника. Демпфер моделируется посредством массы, присоединенной к
одному из звеньев маятника с помощью вязкоупругого шарнира. Для реше-
ния задачи использован “прямой” подход при построении функции Ляпунова
в критическом случае двух пар чисто мнимых корней. Показано, что введение
демпфера в систему делает нижнее положение равновесия асимптотически
устойчивым.
1. Chinnery A.E., Hall C.D. Motion of a Rigid Body with an Attached Spring-Mass Damper
// J. of Guidance, Control, and Dynamics. – 1995. – 18, No. 6. – P. 1404–1409.
2. Liu K., Liu J. The damped dynamic vibration absorbers: revisited and new result // J. of
Sound and Vibration. – 2005. – 284. – P. 1181–1189.
3. Peiffer K., Savchenko A.Ya. On Passive Stabilization in Critical Cases // J. Math. Anal.
Appl. – 2000. – 244. – P. 106–119.
4. He C., Liu G., Yang L., Tian Y. On the passive stabilization of the equilibrium state of
Lagrangian systems // Acta Mechanica. – 1999. – 134, No. 1. – P. 17–26.
5. Viet L.D., Anh N.D., Matsuhisa H. The effective damping approach to design a dynamic
vibration absorber using Coriolis force // J. of Sound and Vibration. – 2011. – 330. –
P. 1904–1916.
85
В.Е. Пузырев, Н.В. Савченко
6. Савченко А.Я., Позднякович А.Е. Пассивная стабилизация малых колебаний физи-
ческого маятника относительно наклонной оси // Механика твердого тела. – 2003. –
Вып. 33. – С. 97–100.
7. Савченко А.Я., Позднякович А.Е., Пузырев В.Е. Пассивная стабилизация положения
равновесия двузвенного маятника с упругими связями // Механика твердого тела. –
2006. – Вып. 36. – С. 104–113.
8. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. – М.: Наука, 1990. – 176 с.
9. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. – М.: Наука, 1966. – 530 с.
10. Каменков Г. В. Устойчивость и колебания нелинейных систем. – М.: Наука, 1972. –
214 с.
11. Молчанов А. М. Устойчивость в случае нейтральности линейного приближения //
Докл. АН СССР. – 1961. – 141, № 1. – С. 24–27.
12. Плисс В.А. Принцип сведения в теории устойчивости движения. // Изв. АН СССР.
Сер. матем. – 1964. – 28, вып. 6. – С. 1297–1324.
13. Веретенников В.Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. – М.: Наука, 1984.
– 320 с.
14. Грушковская В. В., Зуев А. Л. Асимптотическое поведение решений системы с кри-
тическими переменными в случае двух пар чисто мнимых корней. // Динамические
системы. – 2011. – 1(29), вып. 2. – С. 207–218.
15. Савченко А.Я., Игнатьев А.О. Некоторые задачи устойчивости неавтономных дина-
мических систем. – Киев: Наук. думка, 1989. – 208 с.
16. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике (2-е изд.). – М.: Наука, 1966. –
300 с.
V.E. Puzyrev, N.V. Savchenko
Asymptotic stability of equilibrium of the double pendulum
with the mass attached
We consider the stability problem of the equilibrium of the double pendulum with the mass
attached. The linear approximation cannot give a solution, because the critical case of purely
imaginary roots holds. Therefore, Lyapunov’s direct method is applied. Lyapunov function is
constructed accordingly the approach introduced by A.Ya. Savchenko, and slightly modified due
to special features of the problem. It is proved, that due to the mass influence the equilibrium
of the pendulum becomes asymptotically stable.
Keywords: damper of passive type, asymptotic stability, Lyapunov function, the critical case.
В.Є. Пузирьов, Н.В. Савченко
Асимптотична стiйкiсть стану рiвноваги подвiйного маятника
з доданою масою
Розглянуто задачу про вплив приєднаної маси на стiйкiсть нижнього стану рiвноваги по-
двiйного маятника. Розгляд лiнiйного наближення не дозволяє розв’язати задачу, оскiльки
має мiсце критичний випадок суто уявних коренiв, внаслiдок чого для дослiдження засто-
совано прямий метод Ляпунова. Функцiя Ляпунова будується згiдно з методикою О.Я. Сав-
ченка, дещо модифiкованою з урахуванням особливостей задачi. Встановлено, що додання
маси робить стан рiвноваги маятника асимптотично стiйким.
Ключовi слова: демпфер пасивного типу, асимптотична стiйкiсть, функцiя Ляпунова,
критичний випадок.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
nina_savchenko@hotmail.com
Получено 25.02.14
86
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-116111 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:51:56Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Пузырев, В.Е. Савченко, Н.В. 2017-04-20T14:05:47Z 2017-04-20T14:05:47Z 2014 Асимптотическая устойчивость положения равновесия двойного маятника с присоединенной массой / В.Е. Пузырев, Н.В. Савченко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2014. — Вип 44. — С. 75-86. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116111 531.36 Рассмотрена задача о влиянии присоединенной массы на устойчивость нижнего положения равновесия двойного маятника. Линейное приближение не позволяет решить задачу, поскольку имеет место критический случай двух пар чисто мнимых корней, вследствие чего для исследования используется прямой метод Ляпунова. Функция Ляпунова строится согласно общей методике, предложенной А.Я. Савченко и несколько модифицированной, с учетом особенностей задачи. Показано, что добавление массы делает положение равновесия маятника асимптотически устойчивым. Розглянуто задачу про вплив приєднаної маси на стiйкiсть нижнього стану рiвноваги подвiйного маятника. Розгляд лiнiйного наближення не дозволяє розв’язати задачу, оскiльки має мiсце критичний випадок суто уявних коренiв, внаслiдок чого для дослiдження застосовано прямий метод Ляпунова. Функцiя Ляпунова будується згiдно з методикою О.Я. Савченка, дещо модифiкованою з урахуванням особливостей задачi. Встановлено, що додання маси робить стан рiвноваги маятника асимптотично стiйким. We consider the stability problem of the equilibrium of the double pendulum with the mass attached. The linear approximation cannot give a solution, because the critical case of purely imaginary roots holds. Therefore, Lyapunov’s direct method is applied. Lyapunov function is constructed accordingly the approach introduced by A.Ya. Savchenko, and slightly modified due to special features of the problem. It is proved, that due to the mass influence the equilibrium of the pendulum becomes asymptotically stable. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Асимптотическая устойчивость положения равновесия двойного маятника с присоединенной массой Асимптотична стiйкiсть стану рiвноваги подвiйного маятника з доданою масою Asymptotic stability of equilibrium of the double pendulum with the mass attached Article published earlier |
| spellingShingle | Асимптотическая устойчивость положения равновесия двойного маятника с присоединенной массой Пузырев, В.Е. Савченко, Н.В. |
| title | Асимптотическая устойчивость положения равновесия двойного маятника с присоединенной массой |
| title_alt | Асимптотична стiйкiсть стану рiвноваги подвiйного маятника з доданою масою Asymptotic stability of equilibrium of the double pendulum with the mass attached |
| title_full | Асимптотическая устойчивость положения равновесия двойного маятника с присоединенной массой |
| title_fullStr | Асимптотическая устойчивость положения равновесия двойного маятника с присоединенной массой |
| title_full_unstemmed | Асимптотическая устойчивость положения равновесия двойного маятника с присоединенной массой |
| title_short | Асимптотическая устойчивость положения равновесия двойного маятника с присоединенной массой |
| title_sort | асимптотическая устойчивость положения равновесия двойного маятника с присоединенной массой |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116111 |
| work_keys_str_mv | AT puzyrevve asimptotičeskaâustoičivostʹpoloženiâravnovesiâdvoinogomaâtnikasprisoedinennoimassoi AT savčenkonv asimptotičeskaâustoičivostʹpoloženiâravnovesiâdvoinogomaâtnikasprisoedinennoimassoi AT puzyrevve asimptotičnastiikistʹstanurivnovagipodviinogomaâtnikazdodanoûmasoû AT savčenkonv asimptotičnastiikistʹstanurivnovagipodviinogomaâtnikazdodanoûmasoû AT puzyrevve asymptoticstabilityofequilibriumofthedoublependulumwiththemassattached AT savčenkonv asymptoticstabilityofequilibriumofthedoublependulumwiththemassattached |