Об исследовании задачи стабилизации интегратора Брокетта с использованием нестационарной обратной связи
C помощью функции Ляпунова описано предельное поведение решений управляемых систем. Рассмотрена система Брокетта с четырьмя управлениями, для которой решена задача стабилизации. Исследованы свойства πτ -решения на интервале гладкости функции управления [0, τ ]. За допомогою функцiї Ляпунова описано...
Saved in:
| Published in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2014
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116113 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об исследовании задачи стабилизации интегратора Брокетта с использованием нестационарной обратной связи / Т.Н. Астахова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2014. — Вип 44. — С. 94-108. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859603559103856640 |
|---|---|
| author | Астахова, Т.Н. |
| author_facet | Астахова, Т.Н. |
| citation_txt | Об исследовании задачи стабилизации интегратора Брокетта с использованием нестационарной обратной связи / Т.Н. Астахова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2014. — Вип 44. — С. 94-108. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | C помощью функции Ляпунова описано предельное поведение решений управляемых систем. Рассмотрена система Брокетта с четырьмя управлениями, для которой решена задача стабилизации. Исследованы свойства πτ -решения на интервале гладкости функции управления [0, τ ].
За допомогою функцiї Ляпунова описано граничну поведiнку розв’язкiв керованих систем. Розглянуто систему Брокетта з чотирма керуваннями, для якої розв’язано задачу стабiлiзацiї. Дослiджено властивостi πτ -розв’язку на iнтервалi гладкостi функцiї керування [0, τ ].
The limiting behavior of control led system solutions is described by means of Lyapunov function. We have also analyzed the Brockett system with four controls. The stabilization problem has been solved for this system. The πτ-solution properties are investigated for the smoothness interval of control function [0, τ ].
|
| first_indexed | 2025-11-28T01:10:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2014. Вып. 44
УДК 531.38
c©2014. Т.Н. Астахова
ОБ ИССЛЕДОВАНИИ ЗАДАЧИ СТАБИЛИЗАЦИИ
ИНТЕГРАТОРА БРОКЕТТА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
НЕСТАЦИОНАРНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ
C помощью функции Ляпунова описано предельное поведение решений управляемых сис-
тем. Рассмотрена система Брокетта с четырьмя управлениями, для которой решена задача
стабилизации. Исследованы свойства πτ -решения на интервале гладкости функции управ-
ления [0, τ ].
Ключевые слова: система Брокетта, управляемая функция Ляпунова, ряд Вольтерры,
πτ -решение.
В настоящее время задача стабилизации программных движений управ-
ляемых систем, подчиненных неголономным связям, занимает особое мес-
то в исследовании движения механических систем. Среди различных реше-
ний проблемы стабилизации наиболее общим и корректным признан подход
А.М.Ляпунова. Ляпуновым было предложено использование вспомогатель-
ных функций, что позволяет исследовать устойчивость, не находя самих ре-
шений уравнений, что доказывает эффективность прямого метода Ляпунова.
Однако построение данной вспомогательной функции представляет некото-
рую трудность.
Р. Брокетт в работе [1] представил модельный пример вполне управляемой
системы, которая, однако, не удовлетворяет необходимому условию стабили-
зируемости. В данной работе рассмотрена задача стабилизации нелинейной
системы Брокетта, которая не может быть стабилизирована классическим
управлением.
В последующем изложении будем использовать “π-решения”, введенные в
работе [2], и прямой метод Ляпунова.
1. Описание предельного поведения решений с помощью функ-
ции Ляпунова. Следуя работе [3], покажем, что для системы вида
ẋ =
m
∑
i=1
uifi(x), u ∈ R
m, x ∈ R
n, (1)
ни в какой окрестности B точки x = 0 не существует управляемой функции
Ляпунова (в смысле определения управляемой функции Ляпунова из [4]),
если fi ∈ C1(Rn) и
rank(f1(0), f2(0), . . . , fm(0)) = m < n.
Система (1) не удовлетворяет необходимому условию стабилизируемости
Брокетта (см. [5]). Для проверки этого факта перепишем систему (1) в виде
ẋ = u1f1(x) + · · ·+ umfm(x) = uF (x). (2)
94
Задача стабилизации интегратора Брокетта
Действительно, отображение (x, u) 7→ F (x)u не содержит окрестности ну-
ля в своем образе, когда оно ограничено достаточно малой окрестностью ну-
ля. Теперь переопределим F :
F (x) =
(
F1(x)
F2(x)
)
,
где F1(x) – невырожденная матрица размерности m×m для всех x из неко-
торой окрестности B(0, ε). Тогда из условия
(
0
a
)
=
(
F1(x)u
F2(x)u
)
следует u = 0, откуда a = 0. Итак, вектор
(
0
a
)
не принадлежит обра-
зу F (x)u ни при каком a 6= 0, т. е. необходимое условие стабилизируемости
Брокетта не выполнено.
По теореме Артстейна [6, p. 1166], для системы (1) не существует управ-
ляемой функции Ляпунова. Несмотря на отсутствие функции Ляпунова для
системы (1), построим управление, обеспечивающее экспоненциальную схо-
димость решений x(t) системы (1) к x = 0 при t → +∞. Для достижения этой
цели предположим, что задана определенно-положительная функция V (x),
V ∈ C1(Rn), для которой при произвольном x0 ∈ R
n возможно подобрать
управление вида u = u0(t), t ∈ [0, τ ], удовлетворяющее свойству
x(τ ;x0, u0) = x0 − γ∇V (x0), γ > 0. (3)
При x0 6= 0 и достаточно малом γ из свойства (3) следует неравенство
V (x(τ ;x0, u0)) < V (x0).
Здесь x(t;x0, u) – решение системы (1) с начальным условием x = x0 при
t = 0 и управлением u = u(t).
Продолжая такой процесс для t = τ ; 2τ ; 3τ ; . . . , будем определять после-
довательность точек xj и функции управления u = uj(t), j = 1, 2, . . . , из
условий
x(τ ;xj , uj) = xj − γ∇V (xj),
xj+1 = x(τ ;xj , uj), j = 0, 1, 2, . . . .
В результате получим монотонную последовательность
V (x0) > V (x1) > V (x2) > . . . .
Отсюда, при некоторых дополнительных предположениях, докажем экспо-
ненциальное стремление xj к x = 0 при j → ∞.
Для дальнейших построений будем использовать понятие “πτ -решения”,
которое расширяет определение “π-решений”, введенное в [2].
95
Т.Н. Астахова
Определение 1. Для заданных τ > 0 функции обратной связи
h : [0,+∞) × D → U назовем πτ -решением системы (1) абсолютно непре-
рывную на полуинтервале [0,+∞) функцию x(t) ∈ D, которая удовлетворяет
дифференциальному уравнению
ẋ(t) = f (x(t), h(t, x(tj))) , t ∈ (tj , tj+1),
при всех j = 0, 1, 2, ... .
2. Стабилизация интегратора Брокетта с m=4 управлениями.
Построим нестационарную функцию обратной связи u = h(t, x) для систе-
мы следующего вида [1]:
ẋ1 = u1,
ẋ2 = u2,
ẋ3 = u3,
ẋ4 = u4,
ẋ5 = x1u2 − x2u1,
ẋ6 = x1u3 − x3u1,
ẋ7 = x1u4 − x4u1,
ẋ8 = x2u3 − x3u2,
ẋ9 = x2u4 − x4u2,
ẋ10 = x3u4 − x4u3,
(4)
где x ∈ R
10, u ∈ R
4.
Для синтеза обратной связи воспользуемся семейством функций управле-
ния следующего вида:
u1 = u01 + a12 cos(k12ωt) + a13 cos (k13ωt) + a14 cos (k14ωt) ,
u2 = u02 + a12 sin (k12ωt) + a23 cos (k23ωt) + a24 cos (k24ωt) ,
u3 = u03 + a13 sin (k13ωt) + a23 sin (k23ωt) + a34 cos (k34ωt) ,
u4 = u04 + a14 sin (k14ωt) + a24 sin (k24ωt) + a34 sin (k34ωt) , t ∈ [0, τ ],
(5)
где u0i ∈ R, ajl ∈ R, kjl ∈ Z \ {0}, 1 ≤ i ≤ 4, 1 ≤ j < l ≤ 4, ω = 2π/τ .
Рассмотрим определенно-положительную функцию
V (x) = ‖x‖2 ≥ 0.
Покажем, что для любого x0 ∈ R
10 можно выбрать параметры ajl, kjl и u0i в
управлении ui(t) вида (5) так, чтобы
x(τ ;x0, u) = x0 − γ∇V (x0) = (1− 2γ)x0, (6)
где 0 < γ <
1
2
, x(t;x0, u) – решение системы (1) с управлением (5), удовле-
творяющее начальному условию x(0;x0, u) = x0.
96
Задача стабилизации интегратора Брокетта
Решим уравнения (6) относительно переменных u0i , ajl, полагая, что це-
лочисленные параметры kjl удовлетворяют условию отсутствия резонанса
|kjl| 6= |kqr| (j, l) 6= (q, r). (7)
Используя управление (5) для x(τ ;x0, u), получим:
u0i = −
x0iωγ
π
, i = 1, 4; (8)
a12 = u01 ±
√
u01
2
+ k12ω
(
x02u
0
1 − x01u
0
2 + u05
)
, (9)
a23 =
k23
2u01
[
a13(a13 − 2u01)
k13
+
γω2x06
π
+ ω(u03x
0
1 − u01x
0
3)
]
, (10)
где a13 является корнем уравнения ϕ13(a13) = 0, а
ϕ13(z) = k12k23π
2z4 − 4 k12k23π
2u01z
3 + 2k12π
(
k13k23ω(γωx
0
6 − π(u01x
0
3 − u03x
0
1)−
−2πu01(k13u
0
2 − k23u
0
1))
)
z2 − 4k12k13k23πωu
0
1
(
π(u03x
0
1 − u01x
0
3) + γωx06
)
z +
+k213
[
k12k23ω
2
(
π2(u03
2
x01
2
+ u01
2
x03
2
) + 2γπωx06(u
0
3x
0
1 − u01x
0
3)− 2π2u01u
0
3x
0
1x
0
3 +
+γ2ω2x06
2
)
+ 4k12πωu
0
1
(
π(ωu01u
0
3x
0
2 − u02u
0
3x
0
1) + γω(u01x
0
8 − u02x
0
6)
)
+ 8π2u01
2
u03a12
]
.
Коэффициенты a24 и a34 принимают следующие значения:
a24 =
(
4k34k23k14k13k12πu
0
1
(
k14ω(πu
0
4x
0
1 + γωx07 − πu01x
0
4) + πa14(a14 − 2u01)
)
)−1
×
×
[
2k12k23k13k24k14k34πωa14(2(π(u
0
1
2
x04 − u01u
0
4x
0
1)− γωu01x
0
7) + a14(π(u
0
4x
0
1 + u01x
0
4)−
−γωx07)) + k12k23k13k34k24π
2a414 + k12k23k13k24k
2
14k34ω
2(γ2ω2x07
2
− 2u04u
0
1x
0
1x
0
4π
2)+
+4k12k13k23k
2
14k24πωu
0
1(u
0
1(πu
0
4x
0
3 + γωx010)− πu03u
0
4 − γωu03x
0
7) + 8k214π
2u01
2
u04×
×
(
a23k12k13k24 + a13k12k24k23 − a12k13k23k34
)
+ k12k23k13k24k
2
14k34ω
2u01
2
x04
2
π2+
+4k23k13k34k
2
14k12πωu
0
1(πu
0
2u
0
4x
0
1 + γωu02x
0
7 − u01(πu
0
4x
0
2 − γωx09))+
+4a214k12k13k23π
2u01(k14(k34u
0
2 − k24u
0
3)− k24k34(a14 − u01)
]
; (11)
97
Т.Н. Астахова
a34 =
(
4k34k23k14k13k12πu
0
1
(
k14ω(πu
0
4x
0
1 + γωx07 − πu01x
0
4) + πa14(a14 − 2u01)
)
)−1
×
×
[
2k12k13k14k23k24k34πωa14
(
(πu04x
0
1 + γωx07)a14 − 2u01(πu
0
4x
0
1 + γωx07 − πu01x
0
4))+
+k12k13k23k24k34π
2a214
(
a214 − 2u01(ωx
0
4 + 2u01a14 − 2u01
)
+ k12k13k
2
14k23k24k34 ω
2×
(
γ2ω2x07
2
− 2γπω(u01x
0
4x
0
7 − u04x
0
1x
0
7) + π2(u04
2
x01
2
+ u01
2
x04
2
− 2u01u
0
4x
0
1x
0
4)
)
+
+4k12k13k
2
14k23k24πωu
0
1
(
u03(γωx
0
7 + πu04x
0
1)− u01(πu
0
4x
0
3 − γωu01x
0
10)
)
−
−8k214π
2u01
2
u04 (k12k13k24a23 + k12k23k24a13 − k13k23k34a12)+
+ 4k12k13k
2
14k23k34πωu
0
1
(
u02(πu
0
4 x
0
1 − γωx07) + u01(πu
0
4x
0
2 + γωx09)
)
−
−4k12k13k14k23π
2u01a
2
14(k34u
0
2 − k24u
0
3)
]
, (12)
где a14 является корнем уравнения восьмой степени ϕ14(a14) = 0 (см. п. 3).
Из проведенных рассуждений вытекает следующее утверждение.
Предложение 1. Предположим, что для заданных τ > 0, 0 < γ <
1
2
,
x0 ∈ R
10 параметры управления (5) удовлетворяют соотношениям (7)–
(12). Тогда решение x(t;x0, u), t ∈ [0, τ ], системы (4) с начальным условием
x(0) = x0 и управлением (5) удовлетворяет условию
x(τ ;x0, u) = (1− 2γ)x0. (13)
Выражения (8)–(12) могут быть использованы для задания параметров
u0i , ajl при любом фиксированном x0 ∈ R
10. Запишем представления (8)–(12)
в виде
u0i = u0i (x
0), ajl = ajl(x
0), 1 ≤ i ≤ 4, 1 ≤ j < l ≤ 4. (14)
Перепишем теперь функции управления (5) в виде обратной связи
u = h(t, x) = (h1(t, x), h2(t, x), h3(t, x), h4(t, x))
T :
hi(t, x) = u0i (x) +
∑
1≤j<l≤4
ajl(x)
{
δij cos
(
2πkjl
τ
t
)
+ δil sin
(
2πkjl
τ
t
)}
,
i = 1, 2, 3, 4.
(15)
Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Пусть 0 < γ <
1
2
, τ > 0, и пусть управление с обратной
связью u = h(t, x) задано формулой (15), где функции u0i (x) и ajl(x) определе-
ны соотношением (14), тогда для произвольного x0 ∈ R
10 соответствующее
πτ -решение x(t) системы (4) с управлением (15) удовлетворяет неравенству
‖x(tj)‖ ≤ eλtj‖x0‖, tj = jτ, j = 0, 1, 2, . . . , (16)
98
Задача стабилизации интегратора Брокетта
где λ =
1
τ
ln(1− 2γ) < 0.
Доказательство. Обозначим πτ -решение системы (4) с обратной свя-
зью (15) через x(t). Пусть V (x) = ‖x‖2. По утверждению
x(τ) = (1− 2γ)x0.
Вычислим значение функции V (x) в каждой точке xn = x(nτ), n = 1, 2, . . . :
V (x1) = ‖x1‖2 = ‖x0(1− 2γ)‖2 ≤ ‖x0‖2‖(1 − 2γ)‖2 = V (x0)‖1− 2γ‖2,
V (x2) = ‖x2‖2 = ‖x0(1− 2γ)2‖2 ≤ ‖x0‖2‖(1− 2γ)‖4 = V (x0)‖1 − 2γ‖4,
...
V (xn) = ‖xn‖2 = ‖x0(1− 2γ)n‖2 ≤ ‖x0‖2‖(1− 2γ)‖2n = V (x0)‖1− 2γ‖2n.
(17)
Таким образом, V (xn) ≤ V (x0)‖1 − 2γ‖2n, или
V (x0) ≥
1
(1− 2γ)2n
при 0 < γ <
1
2
.
Следовательно,
‖xn‖2 = V (xn) ≤ (1− 2γ)2nV (x0) = (1− 2γ)2n‖x0‖2 (18)
за время nτ .
Пусть exp(2nλτ) = (1 − 2γ)2n и γ ∈
(
0,
1
2
)
, ln(1 − 2γ) < 0, а значит, и
λ < 0.
Неравенство (18) доказывает утверждение теоремы.
3. Исследование свойств πτ -решений на интервалах гладкости
функции управления. Отметим, что неравенство (16) характеризует
оценку πτ -решений в узлах разбиения t = jτ . Исследуем поведение данных
решений внутри интервалов (jτ, (j +1)τ). Для этого воспользуемся разложе-
нием их в ряд Вольтерры [7].
Напомним, что указанное разложение решений системы (4) можно пред-
ставить как x(t) = V0 + V1(t) + V2(t), где
V0 = x0, V1(t) =
m
∑
i=1
fi(x
0)
∫ t
0
ui(s)ds,
V2(t) =
1
2
∑
i≤j
(
∂fj(x
0)
∂x
fi(x
0) +
∂fi(x
0)
∂x
fj(x
0)
)
∫ t
0
ui(s)ds
∫ t
0
uj(s)ds+
+
1
2
∑
i<j
[fi, fj ](x
0)
∫ t
0
∫ s
0
(uj(s)ui(p)− ui(s)uj(p)) dpds, t ≥ 0.
(19)
99
Т.Н. Астахова
Таким образом, получаем оценку вида ‖x(t)−V0‖ ≤ ‖V1(t)‖+‖V2(t)‖. Обо-
значим S = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}, M(x0) = max1≤i≤4 ‖fi(x
0)‖.
Предположим, что функции ajl в (14), которые находятся путем решения
алгебраических уравнений (8)–(12), удовлетворяют неравенствам
|ajl| ≤ Mjl(x
0) (j, l) ∈ S. (20)
Тогда, подставляя функцию управления (15) в (19), получим следующие
оценки:
‖V1(t)‖ =
4
∑
i=1
‖fi(x
0)‖
∫ t
0
|ui(s)|ds ≤ 4M(x0)
4
∑
i=1
∫ τ
0
|ui(s)|ds ≤
≤ 16M(x0)
∫ t
0
|u0i |+
∑
(j,l)∈S
|ajl|
{
|δij |
∣
∣
∣
∣
cos
2πkjl
τ
s
∣
∣
∣
∣
+ |δjl|
∣
∣
∣
∣
sin
2πkjl
τ
s
∣
∣
∣
∣
}
ds ≤
≤ 16M(x0)
γω
π
‖x0‖+ 2
∑
(j,l)∈S
Mjl(x
0)
t, t ∈ [0, τ ], (21)
‖V2(t)‖ ≤
∣
∣
∣
∫ t
0
∫ s
0 {uj(s)ui(p)− ui(s)uj(p)}dpds
∣
∣
∣
≤ 2
∫ t
0
∫ s
0 |uj(s)ui(p)|dpds ≤
≤ 2
|u0j |+ 2
∑
(j,l)∈S
|ajl|
2
t2
2
≤
γω
π
‖x0‖+ 2
∑
(j,l)∈S
Mjl(x
0)
2
t2, t ∈ [0, τ ].
(22)
Для оценивания правых частей неравенств (21), (22) через x0 воспользуемся
соотношением (8):
|u0i | ≤
γω
π
|x0i | ≤
γω
π
‖x0‖, i = 1, 4. (23)
Функцию M12(x
0) найдем с помощью представления (9):
|a12| ≤ −|u01|+
1
π
√
γω
(ω
π
(
|x01|
2 + 2k12π2|x01x
0
2|
)
+ k12πω|x05|
)
≤
≤ −
γω
π
|x01|+
1
π
√
γω
(ω
π
(
|x01|
2 + 2k12π2|x01x
0
2|
)
+ k12πω|x
0
5|
)
≤ M12(x
0),
где
M12(x
0) = −
γω
π
‖x0‖+
1
π
√
γω‖x0‖
(γω
π2
‖x0‖+ |k12|ωπ(2‖x0‖+ 1)
)
. (24)
100
Задача стабилизации интегратора Брокетта
Функцию M13(x
0) построим с помощью верхней оценки корней алгебраи-
ческого уравнения ϕ13(z) = 0:
k12k23π
2z4 − 4 k12k23π
2u01z
3+
+2k12π
(
k13k23ω(γωx
0
6 − π(u01x
0
3 − u03x
0
1)− 2πu01(k13u
0
2 − k23u
0
1))
)
z2−
−4k12k13k23πωu
0
1
(
π(u03x
0
1 − u01x
0
3) + γωx06
)
z+
+k213
[
k12k23ω
2
(
π2(u03
2
x01
2
+ u01
2
x03
2
) + 2γπωx06(u
0
3x
0
1 − u01x
0
3)−
−2π2u01u
0
3x
0
1x
0
3 + γ2ω2x06
2
)
+ 4k12πωu
0
1
(
π(ωu01u
0
3x
0
2 − u02u
0
3x
0
1)+
+γω(u01x
0
8 − u02x
0
6)
)
+ 8π2u01
2
u03a12
]
= 0.
(25)
Приведем уравнение (25) к виду z4 + p313z
3 + p213z
2 + p113z + p013 = 0, где
p013 = k213ω
2u01(u
0
1x
0
3
2
− 2u03x
0
1x
0
3) +
k213
π2
(
πω2u03
2
x01
2
+ γ2ω4x06ω
2
)
+
+
2γω3
π
(u03x
0
1x
0
6 − u01x
0
3x
0
6) +
k213
k12k23π2
× [8π2u01
2
u03a12+
+4k12πωu
0
1
(
π(u01u
0
3x
0
2 − u02u
0
3x
0
1) + γω(u01x
0
8 − u02x
0
6)
)
];
p113 = 4k13ωu
0
1(u
0
1x
0
3 − u03x
0
1)−
4
π
k13γω
2u01x
0
6;
p213 = 2k13ω(u
0
3x
0
1 − u01x
0
3) +
2
π
k13γω
2x06 −
4k13
k23
u01u
0
2 + u01
2
; p313 = −4u01.
Обозначим через
M13(x
0) =
max
(
|p113|, |p
2
13|, |p
3
13|
)
|p013|
+ 1, (26)
тогда, по лемме о модуле старшего члена [8, с. 150], получим оценку
|a13| ≤ M13(x
0). (27)
Аналогично рассмотрим уравнение ϕ14(z) = 0 в виде
z8 + p714z
7 + p614z
6 + p514z
5 + p414z
4 + p314z
3 + p214z
2 + p114z + p014 = 0,
101
Т.Н. Астахова
p014 =
k14
4
k13
2k23
2k34
2π4k12
2k24
2 ×
[(
l44k34
2k23
2k24
2k13
2k12
2ω4 + 8u01u
0
4k23
2k24k34×
×l4(l2k34 + l3k24)k13
2k12
2ω3 + 16u01
2
u04
[
k13k23
2k24k34
(
l24(a12k12k13k34 + a13k24
)
+
+
((
l23u
0
4k23 + l24a23k34
)
k23k24
2 + l22u
0
4k34
2k23
2 − 2u04l3l2k34k23
2k24
)
k13
2
)
k12
2
]
ω2+
+64
[
u01
3
u04
2
(l2k34 − l3k24) a12k12k13
2k23
2k34+
+
(
u01
3
u04
2
(l3k24 − l2k34) a13k13k23
2k24+
+u01
3
u04
2
(l3k24 − l2k34) a23k13
2k23k24
)
k12
2
]
ω−
−128u01
4
u04
2
l5k12k13k23k24k34a12 + 64u01
4
u04
2
l25k12
2k24
2
)
π4+
+
(
l34x
0
7k34
2k23
2k24
2k13
2k12
2γ ω5 + 8u01
((
u01x
0
9l
2
4 + x07
(
2u04l4l2 − u02l
2
4
))
k34
2k23
2k24+
+
(
u01x
0
10l
2
4 + x07(2u
0
4l4l3 − u03l
2
4
)
k34k23
2k24
2
)
k13
2k12
2γ ω4+
+32u01
2
u04
(
l4a12x
0
7k34
2k23
2k24k13
2k12+
+
(
l4a13x
0
7k34k23
2k24
2k13 − (l8l3 + l9l2) k34k23
2k24 + l6l2k34
2k23
2+
+
(
x07l4a23k34k23 + l7l3k23
2
)
k24
2
)
k13
2
)
k12
2
)
γ ω3+
+64u01
3
u04
((
l6a12k34
2k23
2 − l7a12k34k23
2k24
)
k13
2k12+
+
((
l7a13k23
2k24
2 − l6a13k34k23
2k24
)
k13+
+
(
l7a23k23k24
2 − l6a23k34k23k24
)
k13
2
)
k12
2
)
γ ω2
)
π3+
+
(
6x07
2
l24k34
2k23
2k24
2k13
2k12
2γ2ω6 +
(
8u01x
0
7
(
−2l11l4 + u04x
0
7l10
)
k34
2k23
2k24+
+8u01x
0
7
(
2l7l4 + u04x
0
7l3
)
k34k23
2k24
2
)
k13
2k12
2γ2ω5+
+
(
16 k13
2k23
2k34
2u01
2
k12k24x
0
7
2
u04a12 +
(
16 k13k23
2k34u
0
1
2
k24
2x07
2
u04a13+
+
(
16u01
2
l26k34
2k23
2 − 32u01
2
l6
(
u01x
0
10 − u03x
0
7
)
k34k23
2k24+
+
(
16 k23k34u
0
1
2
x07
2
u04a23 + 16u01
2
l27k23
2
)
k24
2
)
k13
2
)
k12
2
)
γ2ω4
)
π2+
+
(
4x07
3
l4k34
2k23
2k24
2k13
2k12
2γ3ω7 + 8u01x
0
7
2 (
l6k34
2k23
2k24+
+l7k34k23
2k24
2
)
k13
2k12
2γ3ω6
)
π + k13
2k23
2k34
2k12
2k24
2γ4ω8x07
4
+
+64 k13
2k23
2k34
2u01
4
u04
2
a12
2
]
;
102
Задача стабилизации интегратора Брокетта
p114 =
−8k14
3u01ω
k13k23k34π3k12k24
×
[(
l34k34
2k23
2k24
2k13
2k12
2ω2+
+
(
4u01u
0
4l4l3k34k23
2k24
2 + 4u01u
0
4l2l4k34
2k23
2k24
)
k13
2k12
2ω+
+8u01
2
u04l4a12k34
2k23
2k24k13
2k12+
+8u01
2
u04
(
l4a23k34k23k24
2k13
2 + l4a13k34k23
2k24
2k13
)
k12
2
)
π4+
+
(
3x07l
2
4k34
2k23
2k24
2k13
2k12
2γ ω3 +
(
4u01
(
l7l4 + u04x
0
7l3
)
k34k23
2k24
2+
+4u01
(
l6l4 − u04x
0
7l2
)
k34
2k23
2k24
)
k13
2k12
2γ ω2+
+
(
8u01
2
u04x
0
7 ((a13k23 − a23k13)k12k24 + a12k13k23k34) k12k13k23k24k34γ ω
)
π3+
+
(
3x07
2
l4k34
2k23
2k24
2k13
2k12
2γ2ω4+
+4u01x
0
7
(
l7k34k23
2k24
2 + l6k34
2k23
2k24
)
k13
2k12
2γ2ω3
)
π2−
−ω5x07
3
k34
2k23
2k24
2k13
2k12
2γ3π
]
;
p214 =
4k14
2
k13k23π3k12k34
2k24
2 ×
[(
− l34k14k34
2k23
2k24
2k13
2k12
2ω3+
+
(
2
(
u01u
0
2l
2
4 + 2u01u
0
4(u
0
2x
0
1l4 + u01x
0
4l2)
))
k14k34
2k23
2k24+
+
(
−6u01
2
l24k34
2 + 2
(
u01u
0
3l42− 2u01u
0
4l4l3
)
k14k34
)
k23
2k24
2
)
k13
2k12
2ω2−
−8
((((
−u01
3
u04l2k34
2 + u01
2
u04
(
u02l3 + u03l2
)
k14k34
)
k23
2k24−
−u01
2
u02u
0
4l2k14k34
2k23
2 +
((
−u01
2
u03u
0
4l3k14 + u01
3
u04l3k34
)
k23
2+
+u01
2
u04l4a23k14k23k34
)
k24
2
)
k13
2 + u01
2
u04l4a13k14k34k23
2k24
2k13
)
k12
2+
+u01
2
u04l4a12k14k34
2k23
2k24k13
2k12
)
ω + 16u01
3
u04
((
l12k24 − u02k14k34
)
a23k13
2k23k24+
+
(
l12k24 − k14u
0
2k34
)
a13k13k23
2k24
)
k12
2−
−16u01
3
u04
(
l12k24 − k14u
0
2k34
)
a12k12k13
2k23
2k34
)
π4−
−
(
3l24k12
2k13
2k14k23
2k24
2k34
2γ ω4 +
(
4
(
u01l6l4 + u01u
0
4x
0
7l2
)
k14k23
2k24k34
2−
−
(
4
(
u01x
0
7(−u04l3 + u03l4)− u01
2
x010l4
)
k14k34 − 12x07l4k34
2
)
k23
2k24
2
)
k13
2k12
2γ ω3−
−
(((
u01
2 (
u03 (l7k14 + l13k34) k23
2 − k14u
0
4x
0
7a23k34k23
)
k24
2+
+u01
2
u02l6k14k34
2k23
2 +
(
−u01
3
l6k34
2 − u01
2 (
u03l6 + u02l7
)
k14k34
)
k23
2k24
)
k13
2+
+k14
5u01
2
u04a13x
0
7k34k23
2k24
2k13
)
k12
2+
+ k14
5u01
2
u04a12x
0
7k34
2k23
2k24k13
2k12
)
γ ω2
)
π3−
−
(
−3l4k14k34
2k23
2k24
2k13
2k12
2γ2ω5+
+
(
2u01x
0
7
(
3u01x
0
7k34 − 2u01x
0
10k14 + 3u03x
0
7k14
)
k34k23
2k24
2+
+2u01x
0
7
(
3u02x
0
7 − 2u01x
0
9
)
k14k34
2k23
2k24
)
k13
2k12
2γ2ω4
)
π2+
+k14ω
6x07
3
k34
2k23
2k24
2k13
2k12
2γ3π
]
;
103
Т.Н. Астахова
p314 =
−8k14u
0
1
k13k23k34π2k12k24
×
[(
3l24k14k34
2k23
2k24
2k13
2k12
2ω2+
+
((
4u01
2
l4k34
2 + 4
(
u01u
0
4l3 − u01u
0
3l4
)
k14k34
)
k23
2k24
2+
+ 4
(
u01u
0
4l2 − u01u
0
2l4
)
k14k34
2k23
2k24
)
k13
2k12
2ω+
+8 k14u
0
1
2
u04a12k34
2k23
2k24k13
2k12 + 8u01
2
u04l5k12
2k13k14k23k24
2k34
)
π4+
+
(
6x07l4k34
2k23
2k24
2k13
2k12
2γ ω3 +
(
4
(
−u01x
0
7l12 + u01k14l7
)
k23
2k24
2k34+
+4u01l6k14k23
2k24k34
2
)
k13
2k12
2γ ω2
)
π3 + 3π2k14ω
4x07
2
k34
2k23
2k24
2k13
2k12
2γ2
]
;
p414 =
2
k13k23π2k12k34
2k24
2 ×
[(
3l24k
2
14k34
2k23
2k24
2k13
2k12
2ω2+
+
((
24u01
2
l4k14k34
2 + 4
(
u01u
0
4l3 − 2u01u
0
3l4
)
k214k34
)
k23
2k24
2+
+4
(
u01u
0
4l2 − 2u01u
0
2l4
)
k214k34
2k23
2k24
)
k13
2k12
2ω+
+8 k13
2k23
2k34
2k14
2u01
2
u04a12k12k24 +
(((
−8u01
2
l212k23
2+
+8 k23k34k14
2u01
2
u04a23
)
k24
2 + 8 k23
2k34
2k14
2u01
2
u02
2
+
+16l12k14k23
2k24k34
)
k13
2 + 8 k13k23
2k34k14
2u01
2
k24
2u04a13
)
k12
2
)
π4+
+
(
6x07l4k
2
14k34
2k23
2k24
2k13
2k12
2γ ω3 +
(
4u01
(
l6 − 2u02x
0
7
)
k214k34
2k23
2k24+
+
(
4u01
(
l7 − 2u03x
0
7
)
k214k34 + 24 k14u
0
1
2
x07k34
2
)
k23
2k24
2
)
k13
2k12
2γ ω2
)
π3+
+3 k13
2k23
2k34
2k14
2π2k12
2k24
2γ2ω4x07
2
]
;
p514 =
8u01
2
k24k34
(
k14k34u
0
2 − k24k34u
0
1 + k14k24u
0
3
)
−
24
π
k14ωu
0
1
(
πl4 + γωx07
)
;
p614 = −
4
π
ωk14
(
πl4 + γω2x07
)
+
8
k24k34
u01
(
k14k34u
0
2 + k14k24u
0
3 − 3k24k34u
0
1
)
;
p714 = −8u01,
где l2 = u01x
0
2 − u02x
0
1, l3 = u01x
0
3 − u03x
0
1, l4 = u04x
0
1 − u01x
0
4,
l5 = a13k23 + a23k13, l6 = u01x
0
9 − u02x
0
7, l7 = u01x
0
10 − u03x
0
7,
l8 = u01x
0
9 − u02, l9 = u01x
0
10 − u03, l10 = u04x
0
2 − u02x
0
4,
l11 = u01x
0
9 + u02x
0
7, l12 = u03k14 − u01k34, l13 = u01x
0
7 − u01x
0
10.
Теперь обозначим через
M14 =
max
(
|p114|, |p
2
14|, |p
3
14|, |p
4
14|, |p
5
14|, |p
6
14|, |p
7
14|
)
|p014|
+ 1, (28)
104
Задача стабилизации интегратора Брокетта
тогда, по лемме о модуле старшего члена [8, с. 150], получим оценку
|a14| ≤ M14(x
0). (29)
С помощью полученных неравенств оценим коэффициент a23 в формуле (10):
a23 = −
a13k23
k13
+
a213k23
2k13u01
+
k23γω
2x06
2πu01
+
k23ωu
0
3x
0
1
2u01
−
k23ωx
0
3
2
,
|a23| ≤
∣
∣
∣
∣
a13k23
k13
∣
∣
∣
∣
+
∣
∣
∣
∣
a213k23
2k13u01
∣
∣
∣
∣
+
∣
∣
∣
∣
k23γω
2x06
2πu01
∣
∣
∣
∣
+
∣
∣
∣
∣
k23ωu
0
3x
0
1
2u01
∣
∣
∣
∣
+
∣
∣
∣
∣
k23ωx
0
3
2
∣
∣
∣
∣
≤ M23(x
0),
где
M23(x
0) =
∣
∣
∣
∣
k23
k13
∣
∣
∣
∣
M13(x
0)+
|k23|ω
2
+
∣
∣
∣
∣
k23
k13
∣
∣
∣
∣
π
2γω
M2
13(x
0)‖x0‖−1+ |k23|ω‖x
0‖. (30)
Используя формулу (11), получим оценку для коэффициента a24:
|a24| ≤ M24(x
0),
где
M24(x
0) =
(
2|k14|γω
2‖x0‖2 + (|k14|γω
2 + 2γωM14(x
0))‖x0‖+ πM14(x
0)2
)−1
×
[
|k24|π
|k14|
M14(x
0)2 +
|k24|π
2M14(x
0)2
4|k14|γω‖x0‖
+
(
|k24|γω
2M14(x
0) + 2|k24|πωM14(x
0)2+
+
|k14k24|γ
2ω3
π
M14(x
0)2 +
|k14k24|γω
3
4
+
2|k14|γ
2ω2
π
M12(x
0) + γωM14(x
0)2+
+
|k24|γω
|k34|
M14(x
0)2
)
‖x0‖+
(
2|k24|γω
2M14(x
0) +
|k14k24|γ
2ω3(k34 + 1)
|k34|π
+
+
2|k14k34|γ
2ω3
|k34|π
+
2|k14k24|γ
2ω2
|k23k34|π
(M13(x
0) +M23(x
0)) ) ‖x0‖2+
+(
5|k14k24k34|γπω
3 + 8|k14k24|γω
2(|k34|+ γω) + 16|k14k34|γ
2ω3
8|k34|π
)
‖x0‖3
]
. (31)
Аналогично, получаем оценку для коэффициента a34:
|a34| ≤ M34(x
0),
где
M34(x
0) =
(
πM14(x
0)2 + (|k14|γω
2 + 2γωM14(x
0))‖x0‖+ 2|k14|γω
2‖x0‖2
)−1
×
×
(
|k34|πωM14(x
0)2
2γ
+
|k34|πM14(x
0)3
|k14|
+
4|k34|π
2M14(x
0)4
|k14|γω‖x0‖
+
(
|k34|γω
2M14(x
0)+
105
Т.Н. Астахова
+
|k34|πωM14(x
0)2
2
+
|k34|πωM14(x
0)2
2|k14|
+
|k34|γωM14(x
0)2
|k14|
+
|k14k34|γω
3
4
+
+
|k34|γωM14(x
0)2
|k24|
+
M14(x
0)2
2
)
‖x0‖+
(
(|k34|+ 1)γω2M14(x
0)+
+|k14k34|γω
3 +
2|k14|γ
2ω3
π
+
2|k14|γ
2ω2M23(x
0)
|k23|
+
2|k14|γ
2ω2M13(x
0)
|k13|π
+
+
2|k14k34|γ
2ω2M12(x
0)
|k12k24|π
+
2|k14k34|γ
3ω3
|k24|π
)
‖x0‖2 +
( |k14k34|πω
2
4
+
+
2|k14k34|γω
|k12k24|
+
2|k14k34|γ
3ω3
|k12k24|π2
+
2|k14|γ
2ω3
π
+
2|k14k34|γ
2ω3
|k24π|
)
‖x0‖3
)
.
(32)
Из неравенств (21), (22), (23) вытекает следующая оценка:
‖x(t)− x0‖ ≤ 16M(x0)
γω
π
‖x0‖+ 2
∑
(j,l)∈S
Mjl(x
0)
t+
+
γω
π
‖x0‖+ 2
∑
(j,l)∈S
Mjl(x
0)
2
t2,
(33)
где Mjl(x
0) заданы формулами (24)–(32) соответственно.
Применяя неравенство (33) к πτ -решению x(t) на отрезке t ∈ [jτ, (j +1)τ ]
с x(jτ) вместо x0, убеждаемся в справедливости следующего утверждения.
Предложение 2. Для произвольного x0 ∈ R
10 соответствующее
πτ -решение x(t) системы (4) с управлением вида (15) удовлетворяют не-
равенствам
‖x(t)− x(jτ)‖ ≤ K̃1(x(jτ))(t− jτ) + K̃2(x(jτ))(t− jτ)2, t ∈ [jτ, (j +1)τ ], (34)
где
K̃1(ξ) = 16M(ξ)
γω
π
‖ξ‖+ 2
∑
(j,l)∈S
Mjl(ξ)
,
K̃2(ξ) =
γω
π
‖ξ‖+ 2
∑
(j,l)∈S
Mjl(ξ)
2
.
4. Численная реализация предложенного метода стабилизации.
В качестве примера рассмотрим систему (4) с начальным условием
xj(0) = 1, j = 1, 10. (35)
106
Задача стабилизации интегратора Брокетта
Пусть τ = 2π и γ = 0.1, таким образом ω = 1. Положим k12 = −1, k13 = −2,
k14 = −3, k23 = −4, k24 = −5, k34 = −6 с учетом условия (7). Тогда семейство
управлений (5) запишется в виде
u1 = u01 + a12 cos (ωt) + a13 cos (2ωt) + a14 cos (3ωt) ,
u2 = u02 − a12 sin (ωt) + a23 cos (4ωt) + a24 cos (5ωt) ,
u3 = u03 − a13 sin (2ωt)− a23 sin (4ωt) + a34 cos (6ωt) ,
u4 = u04 − a14 sin (3ωt)− a24 sin (5ωt)− a34 sin (6ωt) .
(36)
Используя формулы (8)–(12), получаем, что в момент времени τ решение
x(t) системы (4) с управлением (36) удовлетворяет условию (13) при следую-
щих значениях параметров u0i и ajl:
u0i = −0.03183098862, для i = 1, 4;
a12 = 0.1493987012; a13 = −0.3149430880;
a14 = 0.2470670983; a23 = −0.486232832;
a24 = 0.3863832320; a34 = 0.1245101915.
Определяя обратную связь u = h(t, x) по формулам (15), найдем со-
ответствующее πτ -решение x(t) системы (4) на отрезке t ∈ [0, 20τ ], τ = 2π, с
помощью численного интегрирования.
Экспоненциальный характер стремления к нулю функции x(t) в точках
tj = 2πj, j = 0, 10, проиллюстрирован в таблице:
Значения ‖x(t)‖ в точках tj = 2πj
tj 0 2τ 4τ 6τ 8τ 10τ 12τ 14τ 16τ 18τ
‖x(tj)‖ 3.16 2.53 2.025 1.62 1.3 1.04 0.83 0.67 0.53 0.43
ln
(
‖x(tj)‖
tj
)
− −0.9 −1.8 −2.1 −2.9 −3.4 −3.8 −4.2 −4.5 −4.9
Заключение. Предложена схема построения управления, которая обе-
спечивает убывание функции Ляпунова на решениях в фиксированные мо-
менты времени. При использовании нестационарной функции обратной связи
u = h(t, x) вида (15) для интегратора Брокетта в случае четырех управле-
ний решена задача стабилизации. Найдены значения коэффициентов ajl, kjl
и начальные управления u0i , удовлетворяющие уравнению (6), что сформули-
ровано в виде утверждения. Доказана экспоненциальная оценка (16) для πτ -
решения на узлах разбиения t = jτ . Также исследованы свойства πτ -решений
на интервалах гладкости функции управления [0, τ ]. На основе предложен-
ного подхода представлена численная реализация метода стабилизации для
интегратора Брокетта (4).
107
Т.Н. Астахова
1. Brockett R.W. Control Theory and Singular Riemannian Geometry // New Directions
in Applied Mathematics. / P.J. Hilton, G.S.Young, Eds. – New York: Springer, 1981. –
P. 11–27.
2. Астахова Т.Н., Зуев А.Л. Стабилизация нелинейных систем в классе функций управ-
ления с дискретными переключениями // Уч. записки Таврического Национального
ун-та им.В.И. Вернадского. Сер. Физ.-мат. науки, 2011. – 24(63), № 3. – С. 1–9.
3. Sontag E.D. Mathematical Control Theory: Deterministic Finite Dimensional Systems. –
New York: Springer-Verlag, 1998. – 531 p.
4. Brockett R.W. Asymptotic stability and feedback stabilization // Differential Geometric
Control Theory / R.S. Millman, H.J. Sussmann, Eds. – Boston: Birkhäuser, 1983. – P. 181–
191.
5. Sontag E.D. Stability and Stabilization: Discontinuities and the Effect of Disturbances //
Nonlinear Analysis, Differential Equations and Control : Proc. NATO Advanced Study
Institute. – Montreal: Kluwer, 1998. – P. 551–598.
6. Artstein Z. Stabilization with relaxed controls // Nonlinear Analysis, Theory, Methods
and Applications. – 1983. – 7, № 11. – P. 1163–1173.
7. Астахова Т.Н., Зуев А.Л. Задача планирования движения для класса нелинейных
систем с тригонометрическими функциями управления // Динамические системы. –
2013. – 3(31), № 1–2. – C. 159–167.
8. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1968. – 431 c.
T.N. Astakhova
On the investigation of stabilization problem of Brockett integrator by using
time-dependent feedback
The limiting behavior of control led system solutions is described by means of Lyapunov function.
We have also analyzed the Brockett system with four controls. The stabilization problem has
been solved for this system. The πτ -solution properties are investigated for the smoothness
interval of control function [0, τ ].
Keywords: Brockett system, control-Lyapunov function, Volterra series, πτ -solutions.
Т.М. Астахова
Про дослiдження задачi стабiлiзацiї iнтегратора Брокетта за допомогою
нестацiонарного зворотного зв’язку
За допомогою функцiї Ляпунова описано граничну поведiнку розв’язкiв керованих систем.
Розглянуто систему Брокетта з чотирма керуваннями, для якої розв’язано задачу стабi-
лiзацiї. Дослiджено властивостi πτ -розв’язку на iнтервалi гладкостi функцiї керування
[0, τ ].
Ключовi слова: система Брокетта, керована функцiя Ляпунова, ряд Вольтерри,
πτ -розв’язок.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
ctn_af@mail.ru
Получено 22.05.14
108
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-116113 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-28T01:10:09Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Астахова, Т.Н. 2017-04-20T14:09:10Z 2017-04-20T14:09:10Z 2014 Об исследовании задачи стабилизации интегратора Брокетта с использованием нестационарной обратной связи / Т.Н. Астахова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2014. — Вип 44. — С. 94-108. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116113 531.38 C помощью функции Ляпунова описано предельное поведение решений управляемых систем. Рассмотрена система Брокетта с четырьмя управлениями, для которой решена задача стабилизации. Исследованы свойства πτ -решения на интервале гладкости функции управления [0, τ ]. За допомогою функцiї Ляпунова описано граничну поведiнку розв’язкiв керованих систем. Розглянуто систему Брокетта з чотирма керуваннями, для якої розв’язано задачу стабiлiзацiї. Дослiджено властивостi πτ -розв’язку на iнтервалi гладкостi функцiї керування [0, τ ]. The limiting behavior of control led system solutions is described by means of Lyapunov function. We have also analyzed the Brockett system with four controls. The stabilization problem has been solved for this system. The πτ-solution properties are investigated for the smoothness interval of control function [0, τ ]. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Об исследовании задачи стабилизации интегратора Брокетта с использованием нестационарной обратной связи Про дослiдження задачi стабiлiзацiї iнтегратора Брокетта за допомогою нестацiонарного зворотного зв’язку On the investigation of stabilization problem of Brockett integrator by using time-dependent feedback Article published earlier |
| spellingShingle | Об исследовании задачи стабилизации интегратора Брокетта с использованием нестационарной обратной связи Астахова, Т.Н. |
| title | Об исследовании задачи стабилизации интегратора Брокетта с использованием нестационарной обратной связи |
| title_alt | Про дослiдження задачi стабiлiзацiї iнтегратора Брокетта за допомогою нестацiонарного зворотного зв’язку On the investigation of stabilization problem of Brockett integrator by using time-dependent feedback |
| title_full | Об исследовании задачи стабилизации интегратора Брокетта с использованием нестационарной обратной связи |
| title_fullStr | Об исследовании задачи стабилизации интегратора Брокетта с использованием нестационарной обратной связи |
| title_full_unstemmed | Об исследовании задачи стабилизации интегратора Брокетта с использованием нестационарной обратной связи |
| title_short | Об исследовании задачи стабилизации интегратора Брокетта с использованием нестационарной обратной связи |
| title_sort | об исследовании задачи стабилизации интегратора брокетта с использованием нестационарной обратной связи |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116113 |
| work_keys_str_mv | AT astahovatn obissledovaniizadačistabilizaciiintegratorabrokettasispolʹzovaniemnestacionarnoiobratnoisvâzi AT astahovatn prodoslidžennâzadačistabilizaciíintegratorabrokettazadopomogoûnestacionarnogozvorotnogozvâzku AT astahovatn ontheinvestigationofstabilizationproblemofbrockettintegratorbyusingtimedependentfeedback |