Регулярная и хаотическая динамика модифицированной модели взаимодействия сердечно-сосудистой и респираторной систем

Исследована модель взаимодействия сердечно-сосудистой и респираторной систем, модифицированная с учетом обратного воздействия деятельности сердца на параметры дыхательных осцилляций. Рассматривались линейные приближения неизвестных функциональных зависимостей обратного воздействия. Респираторный тра...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Акустичний вісник
Datum:	2011
Hauptverfasser:	Краснопольская, Т.С., Печук, Е.Д.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут гідромеханіки НАН України 2011
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116148
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Регулярная и хаотическая динамика модифицированной модели взаимодействия сердечно-сосудистой и респираторной систем / Т.C. Краснопольская, Е.Д. Печук // Акустичний вісник — 2011. —Т. 14, № 4. — С. 27-36. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-116148
record_format	dspace
spelling	Краснопольская, Т.С. Печук, Е.Д. 2017-04-20T18:25:12Z 2017-04-20T18:25:12Z 2011 Регулярная и хаотическая динамика модифицированной модели взаимодействия сердечно-сосудистой и респираторной систем / Т.C. Краснопольская, Е.Д. Печук // Акустичний вісник — 2011. —Т. 14, № 4. — С. 27-36. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116148 534.7 Исследована модель взаимодействия сердечно-сосудистой и респираторной систем, модифицированная с учетом обратного воздействия деятельности сердца на параметры дыхательных осцилляций. Рассматривались линейные приближения неизвестных функциональных зависимостей обратного воздействия. Респираторный тракт моделировался автоколебательной системой, испытывающей импульсное воздействие сердечных сокращений. Методами современной нелинейной динамики исследованы установившиеся режимы построенных моделей. Обнаружены регулярные (периодические и квазипериодические), а также хаотические режимы, характерные для функционирования кардиосистем. Досліджено модель взаємодії серцево-судинної й респіраторної систем, модифіковану з урахуванням зворотного впливу діяльності серця на параметри дихальних осциляцій. Розглядалися лінійні наближення невідомих функціональних залежностей зворотного впливу. Респіраторний тракт моделювався автоколивальною системою, яка зазнає імпульсного впливу сердечних скорочень. Методами сучасної нелінійної динаміки досліджено усталені режими побудованих моделей. Виявлено регулярні (періодичні й квазіперіодичні), а також хаотичні режими, характерні для функціонування кардіосистем. A model for interaction of the cardiovascular and respiratory systems is investigated with the allowance of feedback influence of heart dynamics on the parameters of respiratory oscillations. A linear approximation for the unknown feedback influence functions is considered. The respiratory tract was modeled by by the self-oscillating system under the impulsive influence of heartbeat. The steady-state regimes of the modified models are investigated by methods of the modern nonlinear dynamics. The regular (periodic and quasi-periodic) and chaotic regimes typical for functioning of the cardiosystem are found. ru Інститут гідромеханіки НАН України Акустичний вісник Регулярная и хаотическая динамика модифицированной модели взаимодействия сердечно-сосудистой и респираторной систем Регулярна й хаотична динаміка модифікованої моделі взаємодії серцево-судинної й респіраторної систем A regular and chaotic dynamics of the modified model for interaction of cardiac and respiratory systems Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Регулярная и хаотическая динамика модифицированной модели взаимодействия сердечно-сосудистой и респираторной систем
spellingShingle	Регулярная и хаотическая динамика модифицированной модели взаимодействия сердечно-сосудистой и респираторной систем Краснопольская, Т.С. Печук, Е.Д.
title_short	Регулярная и хаотическая динамика модифицированной модели взаимодействия сердечно-сосудистой и респираторной систем
title_full	Регулярная и хаотическая динамика модифицированной модели взаимодействия сердечно-сосудистой и респираторной систем
title_fullStr	Регулярная и хаотическая динамика модифицированной модели взаимодействия сердечно-сосудистой и респираторной систем
title_full_unstemmed	Регулярная и хаотическая динамика модифицированной модели взаимодействия сердечно-сосудистой и респираторной систем
title_sort	регулярная и хаотическая динамика модифицированной модели взаимодействия сердечно-сосудистой и респираторной систем
author	Краснопольская, Т.С. Печук, Е.Д.
author_facet	Краснопольская, Т.С. Печук, Е.Д.
publishDate	2011
language	Russian
container_title	Акустичний вісник
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
format	Article
title_alt	Регулярна й хаотична динаміка модифікованої моделі взаємодії серцево-судинної й респіраторної систем A regular and chaotic dynamics of the modified model for interaction of cardiac and respiratory systems
description	Исследована модель взаимодействия сердечно-сосудистой и респираторной систем, модифицированная с учетом обратного воздействия деятельности сердца на параметры дыхательных осцилляций. Рассматривались линейные приближения неизвестных функциональных зависимостей обратного воздействия. Респираторный тракт моделировался автоколебательной системой, испытывающей импульсное воздействие сердечных сокращений. Методами современной нелинейной динамики исследованы установившиеся режимы построенных моделей. Обнаружены регулярные (периодические и квазипериодические), а также хаотические режимы, характерные для функционирования кардиосистем. Досліджено модель взаємодії серцево-судинної й респіраторної систем, модифіковану з урахуванням зворотного впливу діяльності серця на параметри дихальних осциляцій. Розглядалися лінійні наближення невідомих функціональних залежностей зворотного впливу. Респіраторний тракт моделювався автоколивальною системою, яка зазнає імпульсного впливу сердечних скорочень. Методами сучасної нелінійної динаміки досліджено усталені режими побудованих моделей. Виявлено регулярні (періодичні й квазіперіодичні), а також хаотичні режими, характерні для функціонування кардіосистем. A model for interaction of the cardiovascular and respiratory systems is investigated with the allowance of feedback influence of heart dynamics on the parameters of respiratory oscillations. A linear approximation for the unknown feedback influence functions is considered. The respiratory tract was modeled by by the self-oscillating system under the impulsive influence of heartbeat. The steady-state regimes of the modified models are investigated by methods of the modern nonlinear dynamics. The regular (periodic and quasi-periodic) and chaotic regimes typical for functioning of the cardiosystem are found.
issn	1028-7507
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116148
citation_txt	Регулярная и хаотическая динамика модифицированной модели взаимодействия сердечно-сосудистой и респираторной систем / Т.C. Краснопольская, Е.Д. Печук // Акустичний вісник — 2011. —Т. 14, № 4. — С. 27-36. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT krasnopolʹskaâts regulârnaâihaotičeskaâdinamikamodificirovannoimodelivzaimodeistviâserdečnososudistoiirespiratornoisistem AT pečuked regulârnaâihaotičeskaâdinamikamodificirovannoimodelivzaimodeistviâserdečnososudistoiirespiratornoisistem AT krasnopolʹskaâts regulârnaihaotičnadinamíkamodifíkovanoímodelívzaêmodíísercevosudinnoíirespíratornoísistem AT pečuked regulârnaihaotičnadinamíkamodifíkovanoímodelívzaêmodíísercevosudinnoíirespíratornoísistem AT krasnopolʹskaâts aregularandchaoticdynamicsofthemodifiedmodelforinteractionofcardiacandrespiratorysystems AT pečuked aregularandchaoticdynamicsofthemodifiedmodelforinteractionofcardiacandrespiratorysystems
first_indexed	2025-11-26T04:49:30Z
last_indexed	2025-11-26T04:49:30Z
_version_	1850612394730979328
fulltext	ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 4. С. 27 – 36 УДК 534.7 РЕГУЛЯРНАЯ И ХАОТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА МОДИФИЦИРОВАННОЙ МОДЕЛИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СЕРДЕЧНО-СОСУДИСТОЙ И РЕСПИРАТОРНОЙ СИСТЕМ Т. C. К Р АС Н ОП О Л ЬС К АЯ, Е. Д. П Е Ч УК Институт гидромеханики НАН Украины, Киев Получено 14.12.2011 Исследована модель взаимодействия сердечно-сосудистой и респираторной систем, модифицированная с учетом обратного воздействия деятельности сердца на параметры дыхательных осцилляций. Рассматривались линейные приближения неизвестных функциональных зависимостей обратного воздействия. Респираторный тракт модели- ровался автоколебательной системой, испытывающей импульсное воздействие сердечных сокращений. Методами современной нелинейной динамики исследованы установившиеся режимы построенных моделей. Обнаружены регу- лярные (периодические и квазипериодические), а также хаотические режимы, характерные для функционирования кардиосистем. Дослiджено модель взаємодiї серцево-судинної й респiраторної систем, модифiковану з урахуванням зворотного впливу дiяльностi серця на параметри дихальних осциляцiй. Розглядалися лiнiйнi наближення невiдомих функцiо- нальних залежностей зворотного впливу. Респiраторний тракт моделювався автоколивальною системою, яка зазнає iмпульсного впливу сердечних скорочень. Методами сучасної нелiнiйної динамiки дослiджено усталенi режими по- будованих моделей. Виявлено регулярнi (перiодичнi й квазiперiодичнi), а також хаотичнi режими, характернi для функцiонування кардiосистем. A model for interaction of the cardiovascular and respiratory systems is investigated with the allowance of feedback influence of heart dynamics on the parameters of respiratory oscillations. A linear approximation for the unknown feedback influence functions is considered. The respiratory tract was modeled by by the self-oscillating system under the impulsive influence of heartbeat. The steady-state regimes of the modified models are investigated by methods of the modern nonli- near dynamics. The regular (periodic and quasi-periodic) and chaotic regimes typical for functioning of the cardiosystem are found. Посвящается светлой памяти профессора доктора физико-математических наук Вячеслава Владимировича Мелешко ВВЕДЕНИЕ Сердце и легкие относятся к важнейшим со- ставляющим человеческого организма. Несмотря на относительную простоту основных принципов их работы, ученые до сих пор находятся в спо- рах по поводу деталей устройства этих органов. В средние века большинство исследователей придер- живались мнения, что в системе кровообращения главенствует печень, а сердце только добавляет в кровь кислород, получаемый из легких. Наличие пульса объяснялось тем, что кровь поступает в ар- терии и вены в виде приливов и отливов. Однако уже в начале XVII века английский физиолог Ви- льям Гарвей провозгласил новую теорию, согласно которой сердце представляет собой насос, перека- чивающий кровь через артерии в ткани. Обратно же кровь возвращается к нему по венам, прохо- дя через легкие, обогащается кислородом и круг замыкается. Кроме того, впервые была показана непрерывность циркуляции крови. В наше время, когда основные принципы работы сердца и лег- ких уже хорошо известны, одна из важнейших за- дач состоит в построении физиологически корре- ктных моделей работы сердечно-сосудистой и ре- спираторной систем человека. Учитывая то, что работа сердца тесно связана с деятельностью легких, моделирование их вза- имодействия представляет собой важную и весь- ма актуальную проблему современной биофизи- ки. Основным экспериментальным материалом, используемым при моделировании, являются эле- ктрокардиограммы (ЭКГ). До недавнего времени наблюдаемая иррегулярность поведения ЭКГ здо- рового человека объяснялась лишь наличием сто- хастической составляющей, связанной с воздей- ствием на сердечно-сосудистую систему случай- ных сигналов, возникающих, например, в резуль- тате деятельности органов чувств под влиянием окружающей среды. Так, в работе [1] исследова- лась “синтетическая ЭКГ”, полученная в резуль- тате наложения гауссовского шума на периодиче- ский сигнал. При этом в качестве сигнала исполь- зовано приближение экспонентами характерных c© Т. C. Краснопольская, Е. Д. Печук, 2011 27 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 4. С. 27 – 36 пиков эталонной ЭКГ. В связи с открытием явления детерминиро- ванного хаоса для моделирования и диагности- ки сердечных ритмов в последнее время широко применяются методы нелинейной динамики, осно- ванной на современной теории динамических си- стем [2 – 8]. Возможность возникновения хаотиче- ских режимов в динамических системах, не явля- ющихся по своей природе стохастическими, позво- ляет по-новому объяснять многие закономерности сердечных ритмов и исследовать влияние параме- тров существующих моделей на их результирую- щую динамику. Среди важнейших характеристик деятельности сердечно-сосудистой системы и организма челове- ка в целом особо выделим артериальное давление. Его изменение во времени, наряду с ЭКГ, – важ- ный источник информации при моделировании и исследовании закономерностей, характерных для нормы и патологий сердечно-сосудистой системы. Задача построения математической модели, опи- сывающей динамику артериального давления, на сегодняшний день далека от завершения. Возни- кающие здесь сложности связаны с необходимо- стью учета влияния на сердечный ритм не толь- ко самой сердечно-сосудистой, но и других систем организма, в первую очередь, респираторной. В 1987 г. в работе ДеБура (deBoer) [9] предложена модель взаимодействия сердечно-сосудистой и ре- спираторной систем, которую, несмотря на высо- кую степень физиологической корректности, нель- зя считать полной и окончательной. В частнос- ти, она не учитывает обратного воздействия де- ятельности сердца на параметры, описывающие респираторное воздействие. В то же время, изве- стно, что существует эффект синхронизации ри- тмов дыхания и сердца, экспериментально наблю- даемый у здоровых людей и у пациентов с боль- ным сердцем [10]. Его проявление свидетельствует о наличии как прямой, так и обратной связи ме- жду дыханием и сердечными ритмами. Впервые такое обратное воздействие для модели [9] было предложено в 2006 году в работе Гринченко и Ру- дницкого [11], где в соответствии с принципами оптимального управления исследованы регуляция и взаимодействие давления в кардиосистеме и ам- плитуд осцилляций дыхания. Цель данной работы состоит в развитии и ис- следовании методами современной теории динами- ческих систем модели взаимодействия сердечно- сосудистой и респираторной систем [9, 11], моди- фицированной учетом обратного воздействия де- ятельности сердца на основные параметры дыха- ния – амплитуду и частоту. При этом рассматри- ваются несколько вариантов обратных связей. На первом этапе исследованы линейные приближения функциональных зависимостей параметров меха- нического респираторного воздействия от хара- ктеристик сердечного ритма. Выдвинуто предпо- ложение, что для здорового человека в состоянии покоя, дышащего практически периодически с по- стоянной амплитудой и частотой движений гру- дной клетки, процесс дыхания задается матема- тически автоколебательной системой, находящей- ся под воздействием сердечных сокращений. В ка- честве ее математической модели в работе рас- смотрены отображения Заславского [6], описыва- ющие параметры периодических осцилляций ав- токолебательной системы под периодическим им- пульсным воздействием с постоянной интенсивно- стью. Такого рода отображения [6] обобщены в данном исследовании на случай непериодических ударов сердца с переменной интенсивностью. В первом разделе статьи кратко описана клас- сическая модель ДеБура [9]. Второй раздел посвя- щен моделям обратного воздействия и построению модифицированной модели взаимодействия. Тре- тий раздел содержит анализ установившихся со- стояний модифицированных моделей. Обнаруже- но, что учет обратного механического воздействия сердца на дыхание приводит к хаотизации уста- новившихся режимов модели, которые, как пока- зывают исследования ритмограмм сердца, хара- ктерны для нормального функционирования кар- диосистемы [8,12]. 1. КЛАССИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СЕРДЕЧНО- СОСУДИСТОЙ СИСТЕМЫ Модель взаимодействия сердечно-сосудистой и респираторной систем, исследованная в рабо- тах [9,11], представляет собой систему дискретных отображений, описывающих эволюцию характери- стик состояния кардиоинтервала от удара к уда- ру. Она содержит такие физиологические характе- ристики состояния как систолическое давление S, диастолическое давление D, кардиоинтервал (RR- интервал) I, время артериального затухания T (рис. 1). Для физиологически здорового человека в установившемся состоянии (обозначим его ин- дексом “0”) S0 =120 мм рт ст, D0 =80 мм рт ст, I0 =800 мс, T0 =1500 мс. Исходя из модели ком- прессионной аортальной камеры, в рамках при- нятого нами подхода диастолическое давление на i-ом кардиоинтервале Di выражаем через параметры, характеризующие предыдущий кар- диоинтервал согласно уравнению Виндкесселя 28 Т. C. Краснопольская, Е. Д. Печук ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 4. С. 27 – 36 (Windkessel): Di = Si−1 exp ( −c1 Ii−1 Ti−1 ) , (1) где c1 =2/3. Систолическое давление Si в рамках закона Франка – Старлинга выражается через диастоли- ческое давление и предыдущий кардиоинтервал. Респираторное воздействие учитывается за счет введения аддитивной добавки, характеризуемой третьим слагаемым в соотношении Si = Di + γIi−1 + A sin ( 2πf i−1 ∑ k=0 Ik ) + c2. (2) Здесь γ – некоторая константа; A – амплитуда изменений систолического давления, обусловлен- ная движением грудной клетки во время дыхания; f – частота дыхания; c2 =S0−D0−γI0 . Для моделирования барорецепторного механи- зма, регулирующего уровень артериального дав- ления в сердечно-сосудистой системе, вводится так называемое эффективное систолическое давление Ŝ: Ŝi = S0 + 18 arctan Si − S0 18 . (3) Барорецепторный механизм регулирования часто- ты сердечных сокращений, представленный сим- патическим и β-симпатическим контролем, опре- деляется через относительные коэффициенты уси- ления G и время задержки τ : Ii = GvŜi−τv + GβF (Ŝ, τβ) + c3, (4) где c3 =I0 − S0(Gv + Gβ); F (Ŝ, τ ) – линейно взве- шенная сумма пяти последовательных эффектив- ных систолических давлений: F (Ŝ, τ ) = 1 9 (Ŝi−τ−2 + 2Ŝi−τ−1+ +3Ŝi−τ + 2Ŝi−τ+1 + Ŝi−τ+2). (5) Работа α-адренэргического механизма, активи- зирующего вазоконстрикцию (реактивное сужение просвета кровеносных сосудов), моделируется че- рез коэффициент Gα и время задержки τα: Ti = T ∗ − GαF (Ŝ, τα), (6) где T ∗=T0+GαS0 . После обезразмеривания по характерным вели- чинам S0 и T0 получаем следующую систему дис- Рис. 1. Характеристики состояния кардиоинтервала кретных уравнений [1, 13]: D′ i = S′ i−1 exp ( −c1 I′i−1 T ′ i−1 ) , S′ i = D′ i + γ T0 S0 I′i−1 + A S0 sin(2πfT0ti) + c2 S0 , I′i = Gv S0 T0 Ŝ′ i−τv + Gβ S0 T0 F (Ŝ′, τβ) + c3 T0 , T ′ i = 1 + Gα S0 T0 − Gα S0 T0 F (Ŝ′, τα), Ŝ′ i = 1 + 18 S0 arctan S0(S ′ i − 1) 18 , (7) где i≥1; D′ =D/S0; S′ =S/S0; Ŝ′ = Ŝ/S0; I′=I/T0; T ′ =T/T0; ti – момент времени, в который прои- сходит сердечное сокращение, ti = i−1 ∑ k=0 I′k. Параметры модели имеют следующие значения: γ=0.016 мм рт ст/мс, A=3 мм рт ст, f =0.25 Гц, Gα =18 мс/мм рт ст, Gβ =Gv =9 мс/мм рт ст, τα =τβ = 4, а τv =0, если частота сердечных сокращений (ЧСС) составляет менее 75 удар/мин, и τv =1 если ЧСС превышает это значение (что приводит к разрывности правой части третьего уравнения системы (7)). 2. ВЛИЯНИЕ ЗАПАЗДЫВАНИЯ НА ДИНА- МИКУ МОДЕЛИ Модель (7) содержит как простые переменные, так и переменные с отклоняющимся (запаздыва- ющим) дискретным аргументом. Согласно совре- Т. C. Краснопольская, Е. Д. Печук 29 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 4. С. 27 – 36 менной теории динамических систем [14], параме- тры запаздывания τ в динамических системах ра- зличной природы могут быть бифуркационными и приводить к усложнению структуры поведения всей системы. Например, в случае дифференци- альных уравнений с запаздывающим аргументом наличие постоянного запаздывания приводит к бе- сконечномерности фазового пространства систе- мы. Причина этого кроется в необходимости за- давать начальное условие для искомых перемен- ных на интервале [−τ, 0], который является беско- нечномерным для любых τ . При этом одним из основных сценариев перехода к хаосу будет су- бгармонический каскад бифуркаций устойчивых циклов [14]. После исключения зависимых переменных сис- тема (7) может быть представлена в виде трех су- щественно нелинейных дискретных отображений с шестью запаздываниями по переменной S′: S′ i = ϕ1(I ′ i−1, S ′ i−1, S ′ i−3, . . . , S ′ i−7, ti−1), I′i = ϕ2(I ′ i−1, S ′ i−1, . . . , S ′ i−6), ti = ti−1 + I′i−1, (8) где ϕ1 и ϕ2 – нелинейные функции. Заменой пе- ременных полученную систему (8) сведем к су- щественно нелинейной системе девяти дискретных отображений без запаздывания: S′ i = ϕ1(I ′ i−1, S ′ i−1, S 2 i−1, . . . , S 6 i−1, ti−1), I′i = ϕ2(I ′ i−1, S ′ i−1, S 1 i−1, . . . , S 5 i−1), S1 i = S′ i−1, S2 i = S1 i−1, S3 i = S2 i−1, S4 i = S3 i−1, S5 i = S4 i−1, S6 i = S5 i−1, ti = ti−1 + I′i−1. (9) Таким образом, наличие такого неустранимого свойства функционирования сердечно-сосудистой системы человека как запаздывание приводит к существенному повышению порядка совокупной системы (7). В дальнейшем при численном моде- лирования будем использовать систему (9). 3. ОБРАТНОЕ ВЛИЯНИЕ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ СЕРДЦА НА ДЫХАНИЕ В настоящее время связи, лежащие в основе вза- имодействия сердца и легких изучены не полно- стью. В первую очередь, трудности здесь связаны с тем, что кардиореспираторная система находи- тся в тесной связи практически со всем органи- змом. Поэтому как прямое, так и обратное вза- имодействие происходит при участии других ор- ганов и систем человеческого организма. В рас- сматриваемой модели (7) учтено чисто механиче- ское влияние респираторной системы на сердечно- сосудистую динамику. Введением соответствую- щей аддитивной добавки моделируется процесс увеличения артериального давления, связанный с понижением давления в грудной полости во вре- мя вдоха. Обратного влияния деятельности сердца на дыхательные осцилляции модель не учитывает. В данной работе исследуется система (7), моди- фицированная за счет введения обратного воздей- ствия сердца на дыхание. При этом мы рассма- триваем несколько подходов. На первом этапе ис- следуется динамика модели, включающей линей- ные приближения функциональных зависимостей параметров респираторного воздействия от хара- ктеристик кардиоинтервала. Далее респиратор- ный тракт моделируется автоколебательной систе- мой, находящейся под импульсным механическим воздействием ритмов сердца. 3.1. Линейное приближение Влияние респираторной системы на сердечно- сосудистую в модели (7) контролируется параме- трами A и f . Поэтому обратное воздействие карди- осистемы может реализовываться путем задания этих двух характеристик как функций сердечной деятельности. В рамках данного подхода предпо- лагается, что амплитуда изменений систолическо- го давления, обусловленная движением грудной клетки, зависит от значения систолического дав- ления A=A(S), а частота дыхания зависит от ЧСС, а именно, от кардиоинтервала f =f(I). Рассмотрим линейное приближение указанных функциональных зависимостей. Амплитуда изме- нений систолического давления предполагается зависящей от значения систолического давления на предыдущем кардиоинтервале и изменяющей- ся по закону Ai = A0 − A1(Si−1 − S0). (10) Здесь A0 =A; A1≥0, что моделирует уменьшение амплитуды дыхания при увеличении систоличе- 30 Т. C. Краснопольская, Е. Д. Печук ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 4. С. 27 – 36 ского давления. Частота дыхания предполагается изменяющей- ся так: f i = f0 + f1 ( 1 Ii−1 − 1 I0 ) . (11) Здесь f0 =f ; f1≥0. Таким образом, на первом этапе исследуется система (7), модифицированная c учетом обратно- го влияния (10) или (11). 3.2. Моделирование процесса дыхания автоко- лебательной системой под импульсным воздей- ствием Предположим, что здоровый человек в состо- янии покоя дышит периодически с постоянными частотой и амплитудой движений грудной кле- тки. При этом внешние воздействия на респира- торную систему приводят к возмущению этих па- раметров дыхательных осцилляций, релаксирую- щих после прекращения воздействия к состоянию покоя. Тогда математически процесс дыхания мо- жет быть описан как автоколебательная система, имеющая соответствующий устойчивому предель- ному циклу установившийся режим коллебаний. Примером такой классической автоколебательной системой может служить нелинейная схема эле- ктрогенератора, состоящая из усилителя (радио- лампы или транзистора) и колебательного конту- ра [5]. Известно, что соединение любой автоколеба- тельной системы через трансформаторную связь с периодически колеблющейся нагрузкой приво- дит к установившимся режимам системы, хара- ктеризуемым измененными амплитудой и часто- той колебаний [15]. Поэтому влияние наличия связи на параметры автоколебаний следует учи- тывать при моделировании. Рассмотрим устойчи- вую автоколебательную систему, представленную на рис. 2 [6], в которой реализуются периодиче- ские колебания с постоянными амплитудой и ча- стотой. Пусть на нее действуют периодические им- пульсы, моделирующие воздействие на легкие ри- тмов сердца. После очередного импульса ампли- туда колебаний устремляется к предельному ци- клу. Если учесть зависимость частоты колебаний от амплитуды, то процесс релаксации будет сопро- вождаться накоплением добавки к фазе. В проме- жутке между импульсами динамика такой систе- мы описывается следующими уравнениями: ṙ = −κr, ϕ̇ = ω + νr. (12) Здесь r – отклонение амплитуды от предельного цикла; κ – коэффициент затухания возмущения Рис. 2. Схема модели диссипативного отображения Заславского для автоколебательной системы амплитуды; ϕ – фаза колебаний; ω – частота ко- лебаний на предельном цикле, добавка к которой учитывается в линейном приближении по r. Пусть перед очередным n-ым импульсом откло- нение по амплитуде было rn, а фаза – ϕn. В ре- зультате воздействия импульса возникла добавка к амплитуде, которая обязана быть периодической функцией фазы в момент толчка. Для определен- ности предполагаем, что это просто синус. Тогда сразу после толчка имеем: rn(+0) = rn + η sin ϕn, где η – параметр, характеризующий интенсив- ность импульсов. Проинтегрировав уравнения (12) с начальными условиями rn(+0) и ϕn, на периоде следования им- пульсов T получим систему отображений Заслав- ского [6]: rn+1 = (rn + η sin ϕn) exp{−κT}, ϕn+1 = ϕn + ωT+ +ν T ∫ 0 (rn + η sin ϕn) exp{−κt}dt = = ϕn + ωT + ν(rn + η sin ϕn)× × 1 − exp(−κT ) κ . (13) Отображения Заславского описывают динамику фазы и добавки к невозмущенной амплитуде пе- риодических осцилляций автоколебательной сис- темы под периодическим импульсным воздействи- ем с постоянной интенсивностью. В данной ра- боте для моделирования воздействия сердечных Т. C. Краснопольская, Е. Д. Печук 31 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 4. С. 27 – 36 а б в Рис. 3. Бифуркационные диаграммы старших показателей Ляпунова системы (7): а – с обратной связью (10); б – с обратной связью (11); в – с обратной связью (14) а б в Рис. 4. Характеристики модели (7) без учета обратного воздействия: а – реализация систолического давления по номеру кардиоинтервала; б – частотный спектр реализации; в – проекция фазового пространства а б в Рис. 5. Характеристики модели (7) с линейной обратной связью (10), при A1=0.03: а – реализация систолического давления по номеру кардиоинтервала; б – частотный спектр реализации; в – проекция фазового пространства 32 Т. C. Краснопольская, Е. Д. Печук ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 4. С. 27 – 36 а б в Рис. 6. Характеристики модели (7) с линейной обратной связью по ЧСС (11) при f1=0.22: а – реализация систолического давления по номеру кардиоинтервала; б – частотный спектр реализации; в – проекция фазового пространства сокращений на дыхательные осцилляции исполь- зуются соотношения (13), обобщенные на случай непериодических ударов сердца разной интенсив- ности. Для их получения интегрирование уравне- ний (12) проводится на n-ом кардиоинтервале, а интенсивность предполагается пропорциональной приращению систолического давления на нем. В результате получаем уравнения, описывающие в рамках такого подхода, обратное воздействие ри- тмов сердца на динамику респираторной системы: rn+1 = (rn + η(Sn − S0) sin ϕn) exp(−κIn), ϕn+1 = ϕn + 2πfIn+ +ν(rn + η(Sn − S0) sin ϕn) 1 − exp(−κIn) κ . (14) Таким образом, в данной работе исследуется мо- дель (7) с прямым респираторным воздействием типа (A+ri) sin ϕi при учете обратного влияния вида (14). 4. УСТАНОВИВШИЕСЯ РЕЖИМЫ МОДИ- ФИЦИРОВАННОЙ МОДЕЛИ Перейдем к исследованию установившихся со- стояний системы (7). В силу ее нелинейности, для построения решения воспользуемся числен- ным подходом. При этом выбираем следующие на- чальные значения искомых функций: I′[0]=0.53, S′[−j]=1.08, j=0, . . . , 6. Построим зависимости старших показателей Ляпунова [13] совокупной системы от значений би- фуркационных параметров. Вначале рассмотрим модель (7) с учетом обратной связи (10) и бифур- кационным параметром A1. На рис. 3, а представ- лена зависимость старшего показателя Ляпунова системы (7), (10) на интервале 0≤A1≤0.03. При величине бифуркационного параметра A1 =0 модель лишена обратного влияния и ха- рактеризуется регулярным установившемся состо- янием [11]. На рис. 4, а изображена реализация величины обезразмеренного систолического дав- ления по номеру кардиоинтервала в установив- шемся состоянии. Характер зависимости позволя- ет классифицировать наблюдаемый динамический режим как квазипериодический [5]. Соответству- ющий спектр мощности представлен на рис. 4, б. Он дискретный, с характерным пиком на частоте волн Мейера 0.1 Гц. Проекция фазового портрета регулярного аттрактора системы на соответству- ющую фазовую плоскость приведена на рис. 4, в. При дальнейшем увеличении бифуркационного параметра наблюдается регуляризация установив- шегося состояния модели. На рис. 5 представлены характеристики предельного цикла при A1 =0.03. Как видно из графиков, спектр реализации это- го состояния – дискретный, а проекция фазового портрета представляет собой конечное число то- чек, лежащих на проекции предельного цикла. Перейдем к рассмотрению системы (7) с обра- тной связью по ЧСС (11) и бифуркационным па- раметром f1. На рис. 3, б приведена зависимость старшего показателя Ляпунова модели (7), (11) от бифуркационного параметра на интервале 0≤f1≤0.26. В этом случае наблюдается скачок по- казателя к положительным значениям и, следова- тельно, смена регулярного установившегося режи- ма на хаотический. На рис. 6 изображены характе- ристики этого режима при f1 =0.22. Спектр реа- Т. C. Краснопольская, Е. Д. Печук 33 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 4. С. 27 – 36 а б в Рис. 7. Характеристики модели (7) с обратными связями (14) при η=0.23: а – реализация систолического давления по номеру кардиоинтервала; б – частотный спектр реализации; в – проекция фазового пространства а б в Рис. 8. Характеристики модели (7) с обратными связями (14) при η=0.24: а – реализация систолического давления по номеру кардиоинтервала; б – частотный спектр реализации; в – проекция фазового пространства а б в Рис. 9. Характеристики модели (7) с обратными связями (14) при η=0.25: а – реализация систолического давления по номеру кардиоинтервала; б – частотный спектр реализации; в – проекция фазового пространства 34 Т. C. Краснопольская, Е. Д. Печук ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 4. С. 27 – 36 лизации в этом случае – непрерывный, с пиком в области частоты Мейера. Аттрактор представляет собой замкнутое облако изображающих точек без какой-либо структуры. Таким образом, учет ли- нейной обратной связи (11) для модели (7) ведет к хаотизации установившегося состояния систе- мы. При одновременном воздействии на модель (7) обратных связей (10) и (11) наблюдается увеличе- ние амплитуд систолического давления, не согла- сующееся с нормальной физиологией человека. Исследуем динамику модели (7) с респира- торным воздействием (A+ri) sin ϕi и обратными связями вида (14). Для численного модели- рования ипользованы следующие значения искомых фуцкций и констант: I′[0]=0.53, S′[−j]=1.08, j =0, . . . , 6, κ=10−3 (мс)−1, ν =10−3 (мс · ммрт ст)−1. Бифуркационная диаграмма старших показате- лей Ляпунова совокупной модели (7), (14) отно- сительно параметра, характеризующего интенсив- ность импульсного воздействия сердечных сокра- щений, изображена на рис. 3, в. С увеличением ин- тенсивности кардиовоздействия в модели изменя- ется динамический режим. При малых интенсив- ностях наблюдается регуляризация установивше- гося состояния. На рис. 7 приведены характери- стики предельного тора, обнаруженного в модели при η=0.23. Частотный спектр реализации – дис- кретный, с характерными пиками в области часто- ты Мейера и частоты дыхательных осцилляций. При дальнейшем увеличении бифуркационно- го параметра происходит разрушение предельного тора. Так, при η=0.24 в системе обнаружен пре- дельный цикл, характеризующийся нулевым стар- шим показателем Ляпунова (рис. 8). Как видно из рис. 3, в, при значениях интенсив- ности η≥0.245, показатель Ляпунова существен- но положителен в широкой области. Это указыва- ет на наличие хаотической динамики для сис- темы уравнений (7), (14). Характеристики уста- новившегося состояния, соответствующие значе- нию η=0.25 (рис. 9), свидетельствуют о хаотиза- ци установившегося состояния совокупной моде- ли. Отметим, что подобный динамический режим с непрерывным частотным спектром уже наблю- дался нами при исследовании модели сердечно- сосудистой системы (7) при учете обратной связи по ЧСС (11). ЗАКЛЮЧЕНИЕ Исследованы закономерности динамики вза- имодействия сердечно-сосудистой и респиратор- ной систем с учетом зависимости респираторно- го воздействия от характеристик кардиоинтер- вала. При этом рассматривались линейные при- ближения амплитудных или частотных неизвест- ных функциональных зависимостей типа обра- тной связи. Респираторный тракт моделировался с помощью обобщенных отображений Заславского для автоколебательной системы, находящейся под импульсным воздействием с частотой сердечных сокращений и интенсивностью, пропорциональной приращению систолического давления. Числен- ный анализ динамики модели в случае одновре- менного влияния двух линейных обратных связей указывает на неприемлемость такого подхода, по- скольку это приводит к неестественно большим по амплитуде колебаниям систолического давления. Следовательно, в общем случае обратное влияние ритмов сердца на дыхание должно моделирова- ться с совместным учетом влияния систолического давления и частоты сердечных сокращений на ам- плитуду и частоту дыхательных осцилляций. Ука- занная особенность свойственна модели типа гене- ратора Заславского. Методами современной теории динамических систем исследованы установившиеся режимы мо- дифицированных моделей. Анализ бифуркацион- ных кривых старших показателей Ляпунова, про- екций фазовых портретов, временных реализа- ций и спектров мощности позволил выявить ре- гулярные (периодические и квазипериодические), а также хаотические режимы. Впервые обнару- жено, что учет обратного влияния частоты сер- дечных сокращений на частоту/фазу дыхатель- ных осцилляций приводит к немедленной хаоти- зации установившегося режима совокупной сис- темы. Реализующееся при этом динамическое по- ведение характеристик кардиоинтервала хорошо согласуется с экспериментальными данными для здорового человека. Как показывают наблюдае- мые данные [9], наибольшее воздействие на ампли- туду артериального давления оказывается на ча- стоте 0.1 Гц. Именно этот эффект хорошо заметен на графиках спектральной плотности хаотических реализаций систолического давления при модели- ровании обратного воздействия ритмов сердца на дыхание по частоте и по связям в отображении За- славского. Обнаруженная иррегулярность поведе- ния фазовых траекторий модифицированных мо- делей напрямую зависит от интенсивности воздей- ствия сердечного ритма на дыхание, что характер- но для динамики кардиореспираторной системы здорового человека [12]. 1. McSharry P. E., Clifford G. D., Tarassenko L., Smi- th L. A. A dynamical model for generating synthetic Т. C. Краснопольская, Е. Д. Печук 35 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 4. С. 27 – 36 electrocardiogram signals // IEEE Trans. Biomed. Eng.– 2003.– 50, № 3.– P. 289–294. 2. Анищенко В. С. Знакомство с нелинейной динамикой.– М.-Ижевск: Институт компьютер- ных исследований, 2002.– 142 с. 3. Болотин Ю. Л., Тур А. В., Яновский В. В. Кон- структивный хаос.– Х.: Ин-т монокристаллов НА- НУ, 2005.– 420 с. 4. Гринченко В. Т., Мацыпура В. Т., Снарский А. А. Введение в нелинейную динамику.– К.: Наук. дум- ка, 2005.– 264 с. 5. Краснопольская Т. С., Швец А. Ю. Регулярная и хаотическая динамика систем с ограниченным возбуждением.– М.-Ижевск: Институт компьютер- ных исследований, 2008.– 278 с. 6. Кузнецов С. П. Динамический хаос.– М.: Физма- тлит, 2001.– 295 с. 7. Яновский В. В. Лекции о нелинейных явлениях.– Харьков: Ин-т монокристаллов НАНУ, 2006/2007 (в 2-х томах). 8. Goldberger A. L. Clinical electrocardiography a si- mplified approach.– Philadelphia: Mosby Elsevier, 2006.– 230 p. 9. DeBoer R. W., Karemaker J. M., Strakee J. Hemodynamic fluctuations and baroreflex sensitivity in humans: A beat-to-beat model // Am. J. Physiol.– 1987.– 253.– P. H680–H689. 10. Toledo E., Akselrod S., Pinhas I., Aravot D. Does synchronisation reflect a true interaction in the cardi- orespiratory system? // Med. Eng. Phys.– 2002.– 24.– P. 45–52. 11. Гринченко В. Т., Рудницкий А. Г. Модель взаимо- действия сердечно-сосудистой и респираторной си- стем // Акуст. вiсн.– 2006.– 9, № 3.– С. 16–26. 12. Glass L. Introduction to controversial topics in nonli- near science: Is the normal heart rate chaotic? // Chaos.– 2009.– 19.– P. 1–3. 13. Benettin G., Galgani L., Strelcyn J. M. Kolmogorov entropy and numerical experiments // Phys. Rev.– 1976.– 14, № 6.– P. 2338–2345. 14. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Новые мето- ды хаотической динамики.– М.: Едиториал УРСС, 2004.– 320 с. 15. Кононенко В.О., Краснопольская Т. С. Лампо- вый генератор в системе возбуждения механиче- ских коллебаний // Вибротехника.– 1979.– 4(28).– С. 105–120. 36 Т. C. Краснопольская, Е. Д. Печук

Регулярная и хаотическая динамика модифицированной модели взаимодействия сердечно-сосудистой и респираторной систем

Institution

Ähnliche Einträge