Особенности структуры звукового поля при взаимодействии точечных вихрей

В рамках модели точечных вихрей и акустической аналогии Лайтхилла в широком диапазоне геометрических параметров выполнены расчеты и проведен анализ звуковых полей, порождаемых при прямом и обменном взаимодействии в безграничной идеальной жидкости трех точечных вихрей с интенсивностями κ1=κ2=κ3. Обна...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Акустичний вісник
Дата:	2012
Автор:	Коновалюк, Т.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Російська
Опубліковано:	Інститут гідромеханіки НАН України 2012
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116155
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Особенности структуры звукового поля при взаимодействии точечных вихрей / Т.П. Коновалюк // Акустичний вісник — 2012. —Т. 15, № 1. — С. 38-58. — Бібліогр.: 29 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859628365548355584
author	Коновалюк, Т.П.
author_facet	Коновалюк, Т.П.
citation_txt	Особенности структуры звукового поля при взаимодействии точечных вихрей / Т.П. Коновалюк // Акустичний вісник — 2012. —Т. 15, № 1. — С. 38-58. — Бібліогр.: 29 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Акустичний вісник
description	В рамках модели точечных вихрей и акустической аналогии Лайтхилла в широком диапазоне геометрических параметров выполнены расчеты и проведен анализ звуковых полей, порождаемых при прямом и обменном взаимодействии в безграничной идеальной жидкости трех точечных вихрей с интенсивностями κ1=κ2=κ3. Обнаружен эффект вращения диаграммы направленности. Установлены соотношения между поворотом диаграммы направленности и поворотом вихревой системы. Показано, что вихревая система и генерируемое ею звуковое поле могут вращаться как в одном, так и в противоположных направлениях. В рамках моделі точкових вихорів та акустичної аналогії Лайтхіла в широкому діапазонi геометричних параметрiв виконано розрахунки й аналiз звукових полiв, якi породжуються при прямiй та обмiннiй взаємодiї у необмеженiй iдеальнiй рiдинi трьох точкових вихорiв з iнтенсивностями κ1=κ2=κ3. Виявлено ефект обертання діаграми напрямленості. Встановлені спiввiдношення мiж поворотом діаграмі напрямленості й поворотом вихрової системи. Показано, що вихрова система й звукове поле, генероване нею, можуть обертатись як в одному, так i у протилежних напрямках. Within the frameworks of the point vortex model and the Lighthill's acoustic analogy, the sound fields produced by a direct and exchange interactions of three point vortices with the intensities of κ1=κ2=κ3. in an ideal unbounded liquid are computed and analyzed in wide range of geometrical parameters. The effect of rotation of the directivity pattern is detected. The relations between the rotations of the directivity pattern and vortex system are specified. The possibility of rotation of the the vortex system and its sound field both in the same and opposite directions is demonstrated. \keywordsE{point vortices, rotation of the directivity pattern, rotation of the vortex system.
first_indexed	2025-11-29T13:12:18Z
format	Article
fulltext	ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 1. С. 38 – 58 УДК 534.2 ОСОБЕННОСТИ СТРУКТУРЫ ЗВУКОВОГО ПОЛЯ ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ТОЧЕЧНЫХ ВИХРЕЙ Т. П. К О Н ОВ А Л ЮК∗ Институт гидромеханики НАН Украины ул. Желябова, 8/4, 03680, ГСП, Киев-180, Украина ∗E-mail: tpk_8_4@ukr.net Получено 14.06.2011 � Пересмотрено 27.12.2011 В рамках модели точечных вихрей и акустической аналогии Лайтхилла в широком диапазоне геометрических параметров выполнены расчеты и проведен анализ звуковых полей, порождаемых при прямом и обменном взаимо- действии в безграничной идеальной жидкости трех точечных вихрей с интенсивностями κ1 =κ2 =−κ3 . Обнаружен эффект вращения диаграммы направленности. Установлены соотношения между поворотом диаграммы направ- ленности и поворотом вихревой системы. Показано, что вихревая система и генерируемое ею звуковое поле могут вращаться как в одном, так и в противоположных направлениях. КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: точечные вихри, вращение диаграммы направленности, поворот вихревой системы В рамках моделi точкових вихорiв та акустичної аналогiї Лайтхiла в широкому дiапазонi геометричних параметрiв виконано розрахунки й аналiз звукових полiв, якi породжуються при прямiй та обмiннiй взаємодiї у необмеженiй iдеальнiй рiдинi трьох точкових вихорiв з iнтенсивностями κ1 =κ2 =−κ3 . Виявлено ефект обертання дiаграми напрямленостi. Встановленi спiввiдношення мiж поворотом дiаграмi напрямленостi й поворотом вихрової системи. Показано, що вихрова система й звукове поле, генероване нею, можуть обертатись як в одному, так i у протилежних напрямках. КЛЮЧОВI СЛОВА: точковi вихорi, обертання дiаграми напрямленостi, поворот вихрової системи Within the frameworks of the point vortex model and the Lighthill’s acoustic analogy, the sound fields produced by a direct and exchange interactions of three point vortices with the intensities of κ1 =κ2 =−κ3 in an ideal unbounded liquid are computed and analyzed in wide range of geometrical parameters. The effect of rotation of the directivity pattern is detected. The relations between the rotations of the directivity pattern and vortex system are specified. The possibility of rotation of the the vortex system and its sound field both in the same and opposite directions is demonstrated. KEY WORDS: point vortices, rotation of the directivity pattern, rotation of the vortex system ВВЕДЕНИЕ Как отмечено в [1], первой подлинно научной ра- ботой по изучению генерации звука потоком стала работа Струхаля, в которой исследовались эоловы звуки, возникающие при обтекании потоком воз- духа отрезка проволоки. Важный вклад в теорию звука, генерируемого потоком, внесла теория во- здушного винта Л. Я. Гутина [2, 3]. Однако общая теория аэрогидродинамического шума практичес- ки не развивалась до опубликования в 1952 г. пер- вой из двух пионерских работ Лайтхилла [4, 5], в которых была предложена акустическая аналогия для расчета звука, генерируемого турбулентным потоком, помещенным в неограниченную однород- ную среду. В дальнейшем основные положения те- ории Лайтхилла были развиты рядом ученых (в частности, Керлом и Пауэллом) и распространены на ситуации при наличии твердых границ Фокс- Вильямсом и Холлом. Наиболее полный обзор су- ществующих направлений, связанных с изучением данной проблемы, представлен в [1,6 –10]. Эти ис- следования вместе с положениями Л. Я. Гутина позволили создать стройную теорию шума, гене- рируемого аэрогидродинамическим потоком, при- менимую к расчету как шума струи, так и шума турбин. Математическое представление любой акусти- ческой аналогии выражается как неоднородное волновое уравнение с соответствующими гранич- ными и начальными условиями. Физически это означает, что существует подобие между суммар- ным движением жидкости, включающим гидро- динамическое течение и колебательные перемеще- ния частиц, и порожденным им акустическим по- лем с заданным распределением источников. Вся- кая точная акустическая аналогия предполагает, что в функцию, описывающую источник в нео- днородном волновом уравнении, входят величи- ны, которые могут быть определены лишь после его решения. Поэтому формальное решение (на- пример, в виде свертки правой части с функцией Грина), в свою очередь, представляет собой ин- тегральное уравнение, в котором распределение 38 c© Т.П.Коновалюк, 2012 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 1. С. 38 – 58 источников должно быть найдено одновременно с самим звуковым полем. Таким образом, опре- деление функции источника эквивалентно реше- нию системы уравнений газовой динамики, кото- рое для большинства представляющих интерес те- чений не может быть получено. Поэтому функ- ция источника должна быть выражена только че- рез характеристики самого течения. Следует так- же заметить, что строгий учет всех гидродинами- ческих составляющих, входящих в функцию исто- чника, часто приводит к тому, что формальное решение представляет собой расходящийся инте- грал [7]. Поэтому основное внимание при построе- нии акустической аналогии уделяется физической корректности описания функции источника и ее адекватности исследуемой проблеме [9]. Это стало основным стимулом для совершенствования ана- логии Лайтхилла и появления новых акустических аналогий, направленных на более тонкий анализ протекающих процессов. Однако при этом возни- кают трудности, связанные с построением реше- ний полученных уравнений. Благодаря попыткам ряда авторов (в частности, Меринга, Кроу, Обермейера [11 –13]) формализо- вать теорию гидродинамического шума, при реше- нии задач такого класса стал применяться подход, основанный на методе сращиваемых асимптотиче- ских разложений (см. также ссылки, приведенные в [6]). В этом подходе течение жидкости и гене- рируемое им звуковое поле рассматриваются как две отдельные, но перекрывающиеся части пол- ного течения сжимаемой среды. Такое представ- ление поля течения в предположении малых чи- сел Маха M соответствует физике процесса гене- рации звука гидродинамическим потоком. В рабо- те [6] отмечено, что данный метод служит поле- зным напоминанием об ограничении теории Лай- тхилла: аппроксисация тензора Лайтхилла появ- ляется здесь в качестве первого члена асимптоти- ческого разложения. Обоснование применимости подхода, основанно- го на сращиваемых асимптотических разложени- ях, заключается в том, что и он, и метод акусти- ческой аналогии Лайтхилла при M�1 дают оди- наковые оценки излучаемой мощности [11]. Кроме того, применение метода сращиваемых асимпто- тических разложений позволяет дать физическую трактовку асимптотике тензора напряжений Лай- тхилла. Подход, основанный на сращиваемых асимпто- тических разложениях – мощный инструмент, позволяющий почувствовать физику задачи [7, 11], однако, как показал углубленный анализ Кроу [11], сама процедура сшивания не лишена не- достатков, из-за чего необходим тщательный ана- лиз полученного результата. Также важно отме- тить, что применение обсуждаемого метода огра- ничено требованием акустической компактности области, занятой турбулентностью1, тогда как при использовании акустической аналогии такого тре- бования на область гидродинамического течения не накладывается [7]. Метод акустической аналогии Лайтхилла явля- ется базисным при решении задач об излучении аэрогидродинамического шума. Как отмечено в работе [6], среди многочисленных акустических аналогий теория Лайтхилла оказалась наиболее плодотворной, поскольку она способна продемон- стрировать ряд замечательных особенностей шу- ма потока, обнаруженных в экспериментах. Анализ литературы показывает, что описание излучения звука вихревыми потоками – весьма сложная задача. Повысить уровень понимания та- ких явлений существенно помогает исследование процесса звукообразования от модельных течений. В качестве детально исследованной модели вихре- вых течений можно упомянуть точечные вихри. Техника построения решений для нахождения зву- ковых полей, порождаемых такими потоками, так- же хорошо отработана. Имеется большое количе- ство работ, посвященных излучению звука точе- чными вихрями как в безграничной области, так и при наличии границ. Ряд известных результатов можно найти в монографии [10]. Цель этой статьи состоит в установлении свя- зей между акустическими, геометрическими и ди- намическими характеристиками течений, образо- ванных тремя точечными вихрями в безграни- чной идеальной жидкости. При решении зада- чи об излучении звука точечными вихрями будет использована акустическая аналогия Лайтхилла. 1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ Взаимодействие N точечных вихрей с интенсив- ностями κα и координатами (xα, yα) в безграни- чной идеальной среде описывается гамильтоновой системой уравнений [14] καẋα = ∂H ∂yα , καẏα = − ∂H ∂xα , α = 1, . . . , N, (1) 1Акустически компактным называется источник, раз- мер которого мал по сравнению с характерной длиной вол- ны излучаемого звука [7]. Т.П.Коновалюк 39 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 1. С. 38 – 58 0 l l L b 1 3 2 x y Рис. 1. Начальная геометрия модельного течения: 1,3 – падающая вихревая пара; 2 – одиночный вихрь с независящим явно от времени гамильтонианом H : H = − 1 8π N ∑ α,β=1 ′κακβ lnR2 αβ , R2 αβ = (xα − xβ)2 + (yα − yβ)2. (2) Здесь точка над переменными означает диффе- ренцирование по времени. Множитель 1/8 в соо- тношении (2) предполагает, что количество членов суммы в H равно N !/(N−2)!, т. е. имеем дело с ра- змещениями. Кроме H , система (1) обладает еще тремя независимыми первыми интегралами [14]: Q = N ∑ α=1 καxα, P = N ∑ α=1 καyα, I = N ∑ α=1 κα(x2 α + y2 α). (3) Постоянство величин (2) и (3) в процессе движе- ния выражает собой выполнение законов сохране- ния энергии (H), импульса (Q, P ) и момента им- пульса (I) течения, образованного вихрями. По- дробный анализ решений системы (1) и обширная библиография по исследованию точечных вихрей содержатся, например, в [15, 16]. Как известно, задача о движении трех точечных вихрей в отсутствии границ интегрируема [15]. Рассмотрим вихревую систему, образованную ви- хрями с интенсивностями κ1 =κ2 =−κ3 =κ. Ее по- ведение дает полное качественное представление о всех возможных типах взаимодействия при де- терминированном движении нескольких точечных вихрей. В работах [17, 18] детально рассмотрены все возможные типы взаимодействия вихревой па- ры с одиночным вихрем в идеальной несжимаемой жидкости при интенсивностях κ1 =κ2 =−κ3 =κ. Как показал Гребли [17], взаимодействие этой ви- хревой системы полностью определяется инвари- антом Λ=I/(4κ), представляющим собой (с точ- ностью до постоянного множителя) момент им- пульса вихревой системы, и начальным радиусом одного из вихрей, взятым в качестве независи- мой переменной в решении (например, ρ0 1). Ви- хри с заданными интенсивностями и центр зави- хренности системы (3) в процессе взаимодействия образуют параллелограмм – центр завихренности и вихрь 3 с κ3 =−κ расположены в противопо- ложных углах [17]. Гребли поместил начало ко- ординат в центр завихренности, следствием чего стало тождественное равенство нулю импульсов системы относительно координатных осей (P ≡0, Q≡0), и пронормировал все линейные размеры так, что H≡0. Это позволило упростить алге- браические преобразования. Таким образом, един- ственным отличным от нуля инвариантом остался момент импульса I =4κΛ (3). В зависимости от Λ и ρ0 1, взаимодействия в рассмотренной вихревой системе были разделены на три типа: прямое, обменное и взаимный за- хват [17]. В этой статье будет рассмотрено звуко- вое поле, генерируемое в случаях прямого и обмен- ного взаимодействий. Для наглядности перейдем от параметров Гре- бли Λ, ρ0 1 к L, l и b (см. рис. 1). Зафиксируем значе- ния L=const и l=const. Поместив начало коорди- нат в центр завихренности, исследуем зависимость порождаемого вихревыми взаимодействиями зву- кового поля от расстояния b. При нормировке ли- нейных размеров, принятой нами, гамильтониан H в общем случае отличен от нуля. Параллело- граммы, образованные вихрями и их центром за- вихренности при обеих предложенных нормиров- ках – гомотетичные фигуры с центром гомотетии, расположенным в центре завихренности, и коэф- фициентом гомотетии BGr: B2 Gr = [L2 + (b + l/2)2] l2 L2 + (b + 3l/2)2 . (4) Величины Λ, ρ0 1 и начальные геометрические па- раметры L, l, b связаны соотношениями Λ = (2b + l)l 4B2 Gr , (ρ0 1) 2 = L2 + (b + l/2)2 B2 Gr . (5) При количественном анализе рассматрива- лись следующие их значения: L=−20, l=1, −10≤b≤10. Воспользовавшись соотношения- ми (4), (5), получаем диапазоны изменения b для двух сценариев взаимодействия – прямого и обменного. 40 Т.П.Коновалюк ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 1. С. 38 – 58 1. Прямое взаимодействие: 1, 3 + 2 → 1, 3 + 2 (вихревая пара сохраняет свою целостность), b ∈ [−10;−1[∪]3.41 . . .; 10]. 2. Обмен: 1, 3 + 2 → 1 + 2, 3 (пара теряет один из вихрей, захватывая вместо него другой), b ∈ ] − 1;−0.5[∪]− 0.5; 3.41 . . .[. Отметим, что в данной классификации имеют место три граничных случая, разделяющие ти- пы взаимодействия вихрей: b=−1, b=−0.5 и b=3.41670021 . . .. Детальное их рассмотрение бу- дет проведено ниже. 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗВУКОВОГО ПОЛЯ В случае гомоэнтропичного потока с малыми числами Маха акустическая аналогия приводит к уравнению вихревого звука Пауэлла [19], свя- зывающему звуковое поле с полем завихренности течения несжимаемой жидкости. Будучи записан- ным относительно флуктуаций давления для ади- абатического процесса в линейном приближении (p′ = c2 0ρ ′), оно имеет вид 1 c2 0 ∂2p′ ∂t2 − ∆p′ = ρ0 ~∇ · (~ω × ~v), (6) где p′(~x, t) и ρ′(~x, t) – флуктуации давления и плот- ности, обусловленные распространением звуковой волны; ρ0 и c0 – плотность и скорость распростра- нения волн в невозмущенной среде; ~ω(~x, t), ~v(~x, t) – векторы полей завихренности и скорости в несжи- маемом течении. Решение уравнения (6) должно быть подчинено условию излучения Зоммерфель- да [20] и начальным условиям p′(~x, t)\|t=0 = 0, ∂p′(~x, t) ∂t ∣ ∣ ∣ ∣ t=0 = 0. (7) Они приняты нулевыми, поскольку вихревая пара звук не излучает [21]. Векторы полей завихренности ~ω и скорости ~v не- сжимаемого потока, образованного N точечными вихрями, описываются соотношениями [15] ~ω(~x, t) = ~k N ∑ β=1 κβδ(y1 − y1β(t))δ(y2 − y2β(t)), (8) ~v(~x, t) =~i  − 1 2π N ∑ β=1 κβ(y2 − y2β(t)) R2 β  + +~j   1 2π N ∑ β=1 κβ(y1 − y1β(t)) R2 β   , (9) где y1, y2 – декартовы координаты точки по- ля течения; y1β(t), y2β(t) – координаты ви- хря с номером β; δ – дельта-функция Дира- ка; Rβ = √ (y1−y1β(t))2+(y2−y2β(t))2 – расстояние между точкой течения и вихрем с номером β в плоскости, перпендикулярной осям вихревых ни- тей; ~i, ~j, ~k — единичные векторы в направлении осей координат. По своей геометрии рассматриваемая задача двумерна, однако преобразования решения, свя- занные с предположениями о компактности и дальнем поле, проще осуществить для общего тре- хмерного случая. Решение уравнения (6) с началь- ными условиями (7) будем искать в виде свертки правой части с соответствующей геометрии задачи функцией Грина G(~y, τ \|~x, t) для волнового уравне- ния в отсутствии границ: p′(~x, t) = ρ0 t ∫ 0 ∫ V ~∇y · (~ω × ~v)G(~y, τ \|~x, t) dV dτ, (10) G(~y, τ \|~x, t) = δ(t − τ − \|~x − ~y\|/c0) 4π\|~x − ~y\| . Здесь ~y=(y1, y2, y3) и τ – координаты и время, относящиеся к источнику звука; ~x=(x1, x2, x3) и t – координаты и время, относящиеся к точке на- блюдения. Выполним преобразования решения (10), осно- ванные на предположениях о дальней зоне излу- чения (в плоскости, перпендикулярной вихревым нитям x2 1+x2 2�y2 1+y2 2) и об акустической компа- ктности течения, образованного точечными ви- хрями2. Воспользуемся выражениями для полей завихренности (8) и скорости (9) рассматрива- емого течения. Окончательный результат пред- ставим в безразмерном виде. При обезразмери- вании в качестве масштабов примем интенсив- ность вихря κ= \|κ1\|= \|κ2\|= \|κ3\|; характерный ли- нейный масштаб в области вихревого движения B (определяется таким образом, чтобы расстоя- ние между вихрями в падающей вихревой паре было единичным); характерное время B2/κ (для случая акустически компактного источника хара- ктерные временные масштабы для областей тече- ния и излучения одинаковы [7]); характерную ско- рость в области вихревого движения U =κ/B; ха- рактерную длину волны λ=Bc0/U =B/M (линей- ный масштаб в области излучения); характерную величину флуктуаций давления ρ0U 2/(2π). Соо- тветствующие выкладки детально выписаны в ста- тье [22]. 2При M � 1 условие компактности выполняется авто- матически. Т.П.Коновалюк 41 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 1. С. 38 – 58 С учетом выполненных преобразований имеем следующее выражение для обезразмеренных флу- ктуаций звукового давления в дальней зоне, поро- ждаемых тремя точечными вихрями: p′(~x, t) = −M2× × t−ρ ∫ 0 x2 1f1(τ ) + x2 2f2(τ ) + x1x2f3(τ ) [(t − τ )2 − ρ2]1/2 × × dτ (t − τ )2 , (11) где f1(τ ) = − 3 ∑ β=1 κβ(y1βy′2β)′′; f2(τ ) = 3 ∑ β=1 κβ(y2βy′1β)′′; f3(τ ) = − 3 ∑ β=1 κβ(y2 2β)′′′; (12) ρ = √ x2 1 + x2 2 ; x1 = ρ cos θ; x2 = ρ sin θ; y′1β(τ ), y′2β(τ ) – компоненты скорости вихря с но- мером β; θ – угол наблюдения. Нас будет интересовать эффективность гидро- динамического излучения [4], или коэффициент полезного действия при звукообразовании. Эта ве- личина определяется как отношение излучаемой звуковой энергии к кинетической энергии потока: η = Eзв/Eкин, (13) где энергия звукового поля в дальней зоне в расче- те на единицу высоты цилиндрической поверхно- сти радиуса ρ→∞, охватывающей вихревые нити, задается формулой Eзв = 1 ρ0c0 lim ρ→∞ ∞ ∫ −∞ 2π ∫ 0 ρp′2 dθdt; (14) Eкин – гамильтониан вихревой системы (2) (часть кинетической энергии, которая зависит от взаим- ного расположения вихрей). Поскольку он может быть как положительным, так и отрицательным, то с небольшой погрешностью в качестве его ве- личины примем кинетическую энергию жидкости “вихревого облака”, движущегося вместе с вихре- вой парой в начальный момент времени [14]. Об- щее выражение для кинетической энергии течения в расчете на единицу высоты имеет вид Eкин = mU2 п 2 , где m = ρ0S – масса жидкости, заключенная в “вихревом облаке”; S – площадь “вихревого обла- ка”; Uп – начальная скорость движения вихревой пары 1, 3. Форма облака близка к овалу с полуо- сями 1.73a и 2.09a, где a – половина расстояния между вихрями пары, откуда S≈3.52πa2. В ре- зультате кинетическая энергия потока в расчете на единицу высоты цилиндрической поверхности, охватывающей вихревые нити, оценивается как Eкин = 1.76πρ0a 2U2 п . (15) Обезразмеренные величины Eзв (14) и Eкин (15) – масштабы λρ0U 2B и ρ0U 2B2 соответственно – при- мут вид Eзв = M5 lim ρ→∞ ∞ ∫ −∞ 2π ∫ 0 ρp′2 dθdt (16) и Eкин = 1.76πa2U2 п . (17) Преобразуем выражение для звуковой энер- гии (16) c учетом свойств функций, описываю- щих вихревое поведение, и условия дальнего по- ля (ωρ�1, где ω – безразмерная круговая часто- та). Перепишем выражение для флуктуаций дав- ления (11) в виде p′(~x, t) = −M2 2π t−ρ ∫ 0 dτ× × ∞ ∫ −∞ x2 1F1(ω) + x2 2F2(ω) + x2 1x2F3(ω) ((t − τ )2 − ρ2)1/2(t − τ )2 × × exp(−iωτ ) dω, Fi(ω) = ∞ ∫ −∞ fi(t) exp(iωt) dt, i = 1, 2, 3. (18) Представление функций (12) их Фурье-образами правомочно, поскольку они абсолютно интегриру- емы и удовлетворяют условию Дини [23]. В соо- тношении (18) выполним замену переменных [24] τ = t − √ ρ2 + (x3 − y3)2 и оценим полученный интеграл методом стацио- нарной фазы. Подставим полученное соотношение для флуктуаций давления в формулу для звуко- вой энергии и применим теорему Парсеваля [23]. В результате получим следующее расчетное выра- жение для энергии звукового поля, порождаемого 42 Т.П.Коновалюк ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 1. С. 38 – 58 системой точечных вихрей: Eзв = M5 64π × ×    3 ∞ ∫ −∞ \|F1(ω)\|2 \|ω\| dω + 3 ∞ ∫ −∞ \|F2(ω)\|2 \|ω\| dω+ + ∞ ∫ −∞ \|F3(ω)\|2 \|ω\| dω + 2 ∞ ∫ −∞ F1(ω)F ∗ 2 (ω) \|ω\| dω    , (19) где ∗ – знак комплексного сопряжения. Дифференциальные уравнения (1), описываю- щие динамику вихрей, интегрировались числен- но методом экстраполяции с переменным ша- гом и порядком [25]. Интегрирование в соотно- шении (11) выполнялось по квадратурным фор- мулам, учитывающим интегрируемую особенность при τ = t−ρ [26]. Фурье-образы вычислялись с по- мощью быстрого преобразования Фурье [27]. 3. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТА ЗВУ- КОВОГО ПОЛЯ Течения, формируемые точечными вихрями в безграничной идеальной слабосжимаемой среде, порождают источники звука, являющиеся анало- гом классических квадруполей [4]. Напомним, что диаграмма направленности поперечного квадру- поля по давлению имеет четыре одинаковых ле- пестка, оси симметрии которых расположены под углом 90◦ друг к другу, а сдвиг фаз давления ме- жду соседними лепестками составляет 180◦ [1]. 3.1. Вращение диаграммы направленности. Давление на оси лепестка Обычно при решении задач об излучении зву- ка завихренностью исследуются временные зави- симости звуковых характеристик (например, дав- ления) при фиксированном угле наблюдения [22, 28, 29]. Для рассматриваемых здесь типов взаимо- действия точечных вихрей – прямого и обменно- го – звуковое давление в фиксированном направ- лении представляет собой импульс сложной фор- мы длительности B/U , характеризующийся не- сколькими пиками. Вследствие закона сохранения импульса постоянная его составляющая равна ну- лю. Амплитудные спектры звукового давления – гладкие кривые, максимумы которых локализова- ны в низкочастотной области, что характерно для течений с M�1. Детальный анализ этих характе- ристик можно найти, например, в [22]. Поскольку проведенные численные эксперимен- ты по изучению звуковых полей при прямом и обменном взаимодействиях показали, что диа- грамма направленности звукового поля вращае- тся, то логично исследовать звуковое поле с уче- том его вращения. Для того чтобы представить его поведение, зафиксируем один из лепестков ди- аграммы направленности (опорный лепесток) и в процессе взаимодействия вихрей будем опреде- лять давление на его оси и ее угол поворота. Найдем связь между особенностями распределе- ния звукового поля и геометрическими и динами- ческими характеристиками течения. Вращение диаграммы направленности связано с поворотом вихревой системы при взаимодействии. Поскольку вихрь 3 входит как в падающую, так и в уходящую вихревые пары для всех исследуемых типов взаимодействия, логично считать, что его поворот за время взаимодействия отражает пово- рот всей вихревой системы. При изменении пара- метра b в выбранном для исследования диапазоне [−10; 10] вихревая пара 1, 3 в начальный момент располагается вдоль прямой x=L=−20, занимая при этом различные положения относительно во- змущающего вихря 2 (x02 =0, y02 =−1), см. рис. 1. Поворот диаграммы направленности вычислял- ся следующим образом. В начальный момент вре- мени в точке приема t0 =ρ+∆t, когда давление на оси опорного лепестка диаграммы направлен- ности pd=O(0), фиксируем угловую координату оси θd(t0), определяем звуковое давление pd(t0) и угловую координату вихря 3 θ3(t0). Здесь ∆t – шаг дискретизации по времени при вычислении зву- кового поля. В расчетах ∆t принимался равным (0.042 . . .0.07). На каждом шаге вычислений фи- ксируем эти величины. В результате для каждо- го заданного значения параметра b получены вре- менные зависимости угла поворота диаграммы на- правленности θd(t), давления на оси лепестка pd(t) и угла поворота вихря 3 θ3(t). Полный поворот диаграммы направленности ∆θd равен разности между конечным и начальным значениями угла ее поворота, а полный поворот вихревой системы ∆θ3 – разности между конечной и начальной угло- выми координатами вихря 3. Анализ показал, что начальное угловое распре- деление звукового поля формируется таким обра- зом, что вдоль траектории падающей вихревой па- ры всегда ориентирован лепесток диаграммы на- правленности. Опорный лепесток определялся та- ким образом, чтобы его ось совпадала с направле- нием падения вихревой пары. После поворота диа- граммы, обусловленного взаимодействием вихрей, спадающее звуковое поле pd(t→+∞)=O(0) всегда ориентируется так, что ось одного из лепестков квадруполя направлена вдоль траектории уходя- Т.П.Коновалюк 43 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 1. С. 38 – 58 щей вихревой пары. Следовательно, угловое рас- пределение физических характеристик звукового поля при его зарождении и спадании таково, что их максимальные (минимальные) значения всегда связаны с направлениями движения падающей и уходящей вихревых пар. Отметим, что в качестве положительного при- нят против часовой стрелки. На всех приведен- ных ниже графиках данные, относящиеся к ви- хрю 1, представлены сплошными кривыми с кру- глыми маркерами, к вихрю 2 – штриховыми с треугольными маркерами, к вихрю 3 – штрих- пунктирными с квадратными маркерами. Марке- ры (“реперные” точки), нанесенные на кривые, со- ответствуют одним и тем же моментам времени интервала звукообразования. Для облегчения во- сприятия на траекториях вихрей отмечены лишь его начало и конец, а также начальные и коне- чные положения вихрей. Кривые θd(t) и θ3(t) на графиках изображены сплошными и штриховыми линиями соответственно. Отложенное на оси аб- сцисс время относится к моменту приема сигнала. 3.1.1. Прямое взаимодействие при b ∈ [−10; −1[ (первый сценарий) В этом случае возмущенная вихрем 2 пара 1, 3 движется, сохраняя свою целостность в процес- се взаимодействия. При этом вихрь 2 несколько отклоняется от своего первоначального положе- ния (рис. 2, а). Вдоль падающей вихревой пары направлен положительный лепесток диаграммы направленности. Обусловленное взаимодействием звуковое поле поворачивается таким образом, что вдоль уходящей вихревой пары 1, 3 располагае- тся положительный лепесток, центрально симме- тричный лепестку, ориентированному вдоль пада- ющей вихревой пары. Таким образом, поворот зву- кового поля оказывается на 180◦ больше поворота вихревой системы. Соотношение ∆θd = ∆θ3 + 180◦ отражает связь между поворотами звукового по- ля и вихревой системы в исследуемом диапазоне параметра b (рис. 2, б). При этом и вихревая сис- тема, и ее звуковое поле вращаются в одинаковом, положительном, направлении. С ростом b углы по- ворота возрастают. Давление на оси лепестка pd(t) представляет со- бой импульс, фаза которого с течением времени не меняется (см. рис. 2, б). Сравнение характеристик в “реперных” точках позволяет сделать вывод о том, что формирование звукового поля происхо- дит на временном интервале ускоренного движе- ния вихрей (рис. 2, в). При увеличении параметра b в исследуемом ди- апазоне начальная конфигурация вихрей изменяе- тся таким образом, что вихревая пара 1, 3 прибли- жается к вихрю 2, перемещаясь вверх вдоль пря- мой x=L. В предельном случае b=−1 в началь- ный момент времени t=0 срединная точка вихре- вой пары 1, 3 и вихрь 2 имеют одну и ту же ор- динату. Более подробно предельные случаи будут рассмотрены ниже. 3.1.2. Обмен при b ∈] − 1;−0.5[ (второй сцена- рий) В случае реализации второго сценария возму- щенная вихрем 2 вихревая пара 1, 3 разрушается: образуется новая вихревая пара 2, 3, а вихрь 1 тормозится (рис. 3, а). Вдоль траектории падаю- щей вихревой пары 1, 3 расположен положитель- ный лепесток диаграммы направленности. Вихре- вая система и диаграмма направленности повора- чиваются сходным образом, поэтому после взаимо- действия вдоль уходящей вихревой пары располо- жена ось того же лепестка. Зависимости θd(t) и θ3(t) – возрастающие по близким временным зако- нам функции, выходящие при t→+∞ на асимпто- ту θd(+∞)=θ3(+∞)=const (рис. 3, б). Для данно- го типа взаимодействия полный поворот диаграм- мы направленности и равен полному повороту ви- хревой системы: ∆θd = ∆θ3. Давление на оси лепестка pd(t) представляет собой двугорбый импульс с постоянной фазой (рис. 3, б). Анализ результатов показывает, что звук излучается в процессе обмена вихрями, т. е. при ускоренном их движении (рис. 3, в). В иссле- дуемом диапазоне параметра b диаграмма направ- ленности и вихревая система вращаются в одном, положительном, направлении. При увеличении b полный угол поворота диаграммы направленности и полный угол поворота вихревой системы умень- шаются. В предельном случае при b=−0.5 в на- чальный момент времени вихри 2 и 3 имеют оди- наковые ординаты (y02 =y03 =−1), т. е. лежат на прямой, параллельной оси абсцисс. Отметим, что на графике траектории вихря 1 для случаев обменного взаимодействия маркеры, обозначающие конец интервала звукообразования и конечное положение вихря, совпадают. Также совпадают маркеры, обозначающие начальное по- ложение вихря 2 и начало интервала звукоообра- зования. 44 Т.П.Коновалюк ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 1. С. 38 – 58 x -20 -10 0 10 20 30 40 y -8 -6 -4 -2 2 1 1 2 3 3 а t 0 50 100 150 200 250 300 200 300 400 500 600 pd/M 2 0 5e-5 1e-4 1.5e-4 2e-4 2.5e-4 3e-4 pd(t) d(t) 3(t) (град) t 50 100 150 200 \|a\| 0 5e-4 0.001 0.0015 0.002 0.0025 pd/M 2 0 5e-5 1e-4 1.5e-4 2e-4 2.5e-4 3e-4 pd(t) 1 2 3 б в Рис. 2. Поведение системы при b=−5: а – траектории вихрей; б – временные зависимости давления на лепестке диаграммы направленности, угла поворота диаграммы направленности, угла поворота вихревой системы; в – временные зависимости модулей ускорения вихрей и давления на лепестке диаграммы направленности 3.1.3. Обмен при b ∈]−0.5; 3.41 . . . [ (второй сце- нарий) При значениях b>−0.5 вдоль падающей вихре- вой пары 1, 3 направлен отрицательный лепесток диаграммы направленности. Данный интервал па- раметра b интересен тем, что на нем происходит изменение направления вращения звукового поля. По характеру вращения диаграммы направленно- сти и вихревой системы, а также по особенностям фазового распределения звукового поля рассма- триваемый диапазон значений можно разделить на три подынтервала, каждый из которых проана- лизируем отдельно. • −0.5<b≤1.45 Повороты диаграммы направленности и вихре- вой системы здесь связаны соотношением ∆θd = ∆θ3 (рис. 4, б, рис. 5, б), из чего следует, что вдоль па- дающей 1, 3 и уходящей 2, 3 вихревых пар на- правлен один и тот же лепесток – отрицательный. В нижней части этого диапазона диаграмма на- правленности звукового поля и вихревая система сходным образом монотонно поворачиваются в по- ложительном направлении, см. рис. 4, б (траекто- рии вихрей представлены на рис. 4, а). Затем при увеличении b диаграмма направленности начинает совершать колебания, хотя сама вихревая систе- ма продолжает монотонно поворачиваться в пре- жнем, положительном, направлении (см. рис. 5, б). Соответствующие траектории вихрей представле- ны на рис. 5, а. Таким образом, при определенных значениях параметра b существует временной ин- тервал, на котором вихревая система и порожда- емое ею вихревое поле вращаются в противополо- жных направлениях (см. рис. 5, б). Импульс дав- ления на оси лепестка приобретает более сложную форму, сохраняя при этом фазу постоянной (см. рис. 5, б). Величины ∆θd и ∆θ3 с ростом b падают, Т.П.Коновалюк 45 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 1. С. 38 – 58 x -20 -10 0 10 20 30 y 1 2 3 1 2 3 -5 8 а t 0 50 100 150 200 250 300 150 200 250 300 350 400 pd/M 2 0 1e-4 2e-4 3e-4 4e-4 pd(t) d(t) 3(t) ( )град t 90 120 150 180 \|a\| 0 0.002 0.004 0.006 0.008 pd/M 2 0 1e-4 2e-4 3e-4 4e-4 pd(t) 1 2 3 б в Рис. 3. Поведение системы при b=−0.7: а – траектории вихрей; б – временные зависимости давления на лепестке диаграммы направленности, угла поворота диаграммы направленности, угла поворота вихревой системы; в – временные зависимости модулей ускорения вихрей и давления на лепестке диаграммы направленности оставаясь положительными. • 1.45<b<1.5 Начиная с b≈1.45, диаграмма направленности резко начинает вращаться в противоположном (отрицательном) направлении. В этом узком ин- тервале давление на оси лепестка меняет знак в процессе взаимодействия вихрей. Звуковое поле и вихревая система вращаются в противоположных направлениях, рис. 6, б (траектории вихрей пред- ставлены на рис. 6, а). Показанная на рис. 6, б зависимость pd(t) демонстрирует тот интересный факт, что при взаимодействии вихрей в некото- рые моменты времени (в данном примере их два) звуковое давление становится равным нулю, т. е. вихри “молчат”. Полный поворот звукового поля возрастает в отрицательном направлении, а пово- рот вихревой системы уменьшается в положитель- ном. Соотношение, связывающее поворот звуко- вого поля и вихревой системы, будет следующим (рис. 6, б): ∆θd = −∆θ3. Вдоль падающей вихревой пары расположен отри- цательный лепесток диаграммы направленности, а вдоль уходящей – центрально симметричный ле- песток. • 1.5≤b<3.41 . . . Фаза импульса давления на оси лепестка остае- тся знакопостоянной. Диаграмма направленности монотонно вращается в отрицательном направле- нии. В начале интервала диаграмма направленно- сти и вихревая система вращаются в противополо- жных направлениях, рис. 7, б (траектории вихрей представлены на рис. 7, а). Затем вращение вихре- вой системы приобретает колебательный харак- тер, рис. 8, б (траектории вихрей см. на рис. 8, а). Это приводит к изменению направления ее вра- щения, которое теперь начинает соответствовать направлению вращения звукового поля, рис. 9, б 46 Т.П.Коновалюк ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 1. С. 38 – 58 x -20 -10 0 10 20 30 y -20 -10 1 2 3 2 3 1 2 а t 0 50 100 150 200 250 300 150 200 250 300 350 400 pd/M 2 -2e-4 -1.5e-4 -1e-4 -5e-5 0 pd(t) d(t) 3(t) (град) t 100 110 120 130 140 150 \|a\| 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 pd/M 2 0 5e-5 1e-4 1.5e-4 2e-4 pd(t) 1 2 3 б в Рис. 4. Поведение системы при b=0: а – траектории вихрей; б – временные зависимости давления на лепестке диаграммы направленности, угла поворота диаграммы направленности, угла поворота вихревой системы; в – временные зависимости модулей ускорения вихрей и давления на лепестке диаграммы направленности (траектории вихрей см. на рис. 9, а). Связь между полным поворотом звукового поля и вихревой системы имеет вид ∆θd = ∆θ3 − 360◦. Вдоль падающей 1, 3 и уходящей 2, 3 вихревых пар направлен один и тот же, отрицательный, ле- песток диаграммы направленности. При значени- ях 1.45<b<3 полные повороты вихревой системы и генерируемого ею звукового поля имеют разные знаки. 3.1.4. Прямое взаимодействие при b ∈ ]3.41 . . . ; 10] (первый сценарий) При увеличении параметра b в исследуемом ди- апазоне в начальный момент времени вихревая па- ра 1, 3 удаляется от вихря 2, перемещаясь вдоль прямой x=L, ее целостность в процессе взаимо- действия не нарушается. Вдоль падающей вихре- вой пары расположен отрицательный лепесток ди- аграммы направленности, а вдоль уходящей – цен- трально симметричный лепесток, рис. 10, б (трае- ктории вихрей представлены на рис. 10, а). Пол- ные повороты звукового поля и вихревой системы связаны соотношением ∆θd = ∆θ3 − 180◦. Вихревая система и звуковое поле вращаются в отрицательном направлении. При этом с увеличе- нием b углы поворота уменьшаются. Фаза импуль- са звукового давления не меняется (см. рис. 10, б). 3.2. Общие закономерности Обобщим полученные выше результаты по вра- щению звукового поля и вихревой системы точе- чных вихрей. На рис. 11 представлены зависимости полных углов поворота диаграммы направленности ∆θd(b) (сплошная кривая) и вихревой системы ∆θ3(b) (штриховая кривая) от параметра b на времен- Т.П.Коновалюк 47 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 1. С. 38 – 58 x -20 -15 -10 -5 0 5 10 y -25 -20 -15 -10 -5 1 3 2 1 3 2 2 а t 0 50 100 150 200 250 300 150 200 250 300 pd /M2 -8e-5 -6e-5 -4e-5 -2e-5 0 pd(t) d(t) 3(t) ( )град t 50 100 150 200 250 \|a\| 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 pd/M 2 0 2e-5 4e-5 6e-5 8e-5 pd(t) 1 2 3 б в Рис. 5. Поведение системы при b=1.4: а – траектории вихрей; б – временные зависимости давления на лепестке диаграммы направленности, угла поворота диаграммы направленности, угла поворота вихревой системы; в – временные зависимости модулей ускорения вихрей и давления на лепестке диаграммы направленности ном интервале длительности звукового импульса, излучаемого при взаимодействии вихрей. На кри- вые нанесены маркеры, соответствующие одина- ковым значениям b. Римскими цифрами от I до VI на рис. 11 обозначены характерные диапазо- ны изменения параметра b. В таблице приведены соотношения, связывающие ∆θd(b) и ∆θ3(b) для характерных диапазонов b. Таким образом, для случаев прямого взаимодей- ствия (b∈ [−10;−1[∪ ]3.41 . . . ; 10] – области I и VI) характерно вращение диаграммы направленности и вихревой системы в одном направлении – по- ложительном (для области I) или отрицательном (для области VI). В области I повороты диаграм- мы направленности и вихревой системы связаны зависимостью ∆θd =∆θ3+180◦, а в области VI – ∆θd =∆θ3−180◦ (см. таблицу). Из этого можно за- ключить, что при прямом взаимодействии поворот звукового поля опережает поворот вихревой систе- мы на угол 180◦. В случае обмена (b∈]− 1;−0.5[ – область II) зву- ковое поле и вихревая система вращаются схо- 48 Т.П.Коновалюк ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 1. С. 38 – 58 x -20 -15 -10 -5 0 5 10 y -25 -20 -15 -10 -5 5 1 3 2 1 3 2 а t 0 50 100 150 200 250 300 50 100 150 200 250 300 pd /M 2 -6e-5 -3e-5 0 3e-5 pd(t) d(t) 3(t) ( )град t 50 100 150 200 250 \|a\| 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 pd/M 2 -3e-5 0 3e-5 6e-5 pd(t) 1 2 3 б в Рис. 6. Поведение системы при b=1.48: а – траектории вихрей; б – временные зависимости давления на лепестке диаграммы направленности, угла поворота диаграммы направленности, угла поворота вихревой системы; в – временные зависимости модулей ускорения вихрей и давления на лепестке диаграммы направленности дным образом: ∆θd =∆θ3, т. е. повороты звукового поля и вихревой системы равны между собой (см. также таблицу). Наиболее интересным диапазоном изменения параметра b оказывается ]− 0.5; 3.41 . . . [ (области III – V). Здесь с увеличением b изменяется направ- ление вращения диаграммы направленности с по- ложительного на отрицательный, а при дальней- шем росте b происходит изменение направления вращения вихревой системы. Весь рассматривае- мый диапазон делится на три интервала, для ка- ждого из которых характерны свои особенности во вращении звукового поля и вихревой системы. • b∈]− 0.5; 1.45] (область III). Начиная с некото- рого значения b, диаграмма направленности совершает колебательные движения. Вихре- вая система вращается в прежнем, положи- тельном, направлении. Полные повороты зву- кового поля и вихревой системы равны между собой: ∆θd =∆θ3 (см. таблицу). • 1.45<b<1.5 (область IV). Диаграмма направ- ленности и вихревая система вращаются в противоположных направлениях: ∆θd =−∆θ3 Т.П.Коновалюк 49 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 1. С. 38 – 58 x -20 -15 -10 -5 0 5 10 y -25 -20 -15 -10 -5 5 1 3 2 3 2 1 а t 0 50 100 150 200 250 300 -100 0 100 200 300 pd/M 2 -6e-5 -4e-5 -2e-5 0 d(t) 3(t) pd(t) ( )град t 50 100 150 200 250 \|a\| 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 pd/M 2 0 2e-5 4e-5 6e-5 1 2 3pd(t) б в Рис. 7. Поведение системы при b=1.6: а – траектории вихрей; б – временные зависимости давления на лепестке диаграммы направленности, угла поворота диаграммы направленности, угла поворота вихревой системы; в – временные зависимости модулей ускорения вихрей и давления на лепестке диаграммы направленности (см. таблицу). Только для этого интервала ха- рактерно изменение фазы звукового давления на лепестке с течением времени. • b∈ [1.5; 3.41 . . .[ (область V). Вихревая систе- ма осуществляет колебательные движения и с ростом b начинает вращаться в одном направ- лении с диаграммой направленности. Полный поворот диаграммы направленности отлича- ется от поворота вихревой системы на 360◦: ∆θd =∆θ3−360◦ (см. таблицу). Обратим внимание на интервал значений пара- метра b, немного выходящий слева и справа за границы области IV (см. рис. 11). Здесь с ростом b в процессе взаимодействия наблюдается плав- ное изменение как поворота вихревой системы (см. рис. 5, а, рис. 6, а и рис. 7, а), так и модулей уско- рений (см. рис. 5, в, рис. 6, в, рис. 7, в). В то же время, характер вращения диаграммы направлен- 50 Т.П.Коновалюк ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 1. С. 38 – 58 x -40 -30 -20 -10 0 10 y -5 1 3 2 3 2 1 7 а t 0 100 200 300 400 -200 -100 0 100 200 pd/M 2 -1.5e-4 -1e-4 -5e-5 0 pd(t) d(t) 3(t) ( )град t 50 100 150 200 250 \|a\| 0 5e-4 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003 pd/M 2 0 5e-5 1e-4 1.5e-4 1 2 3 pd(t) б в Рис. 8. Поведение системы при b=2.95: а – траектории вихрей; б – временные зависимости давления на лепестке диаграммы направленности, угла поворота диаграммы направленности, угла поворота вихревой системы; в – временные зависимости модулей ускорения вихрей и давления на лепестке диаграммы направленности ности претерпевает существенные изменения. На- пример, • ∆θd =∆θ3 при b=1.4 (см. рис. 5, б); • ∆θd =−∆θ3 при b=1.48 (см. рис. 6, б); • ∆θd =∆θ3−360◦ при b=1.6 (см. рис. 7, б). Можно предположить, что причина этого заклю- чается в поведении источника звука, в формиро- вании которого динамика вихрей участвует сло- жным образом. 3.3. Граничные случаи Как было отмечено выше, к граничным относя- тся случаи, которым соответствуют значения па- раметра b, разделяющие типы взаимодействия ви- хрей: b=−1, b=−0.5 и b=3.41 . . . Поведение сис- темы при этих параметрах детально исследовано в работах [17,18], и здесь будет уместно ограничи- ться краткой его характеристикой. • b=−1 Вихревая пара 1, 3 в процессе взаимодействия с вихрем 2 образует равносторонний треугольник (рис. 12, а), вращающийся вокруг центра зави- хренности (начала координат) с постоянной угло- вой скоростью: Таблица. Связь между ∆θd и ∆θ3 для различных диапазонов значений параметра b (см. рис. 11) Диапазон b Соотношение I [−10;−1[ ∆θd =∆θ3+180◦ II ] − 1;−0.5[ ∆θd =∆θ3 III ]− 0.5; 1.45] ∆θd =∆θ3 IV ]1.45; 1.5[ ∆θd =−∆θ3 V [1.5; 3.41 . . .[ ∆θd =∆θ3−360◦ VI ]3.41 . . .; 10] ∆θd =∆θ3−180◦ Т.П.Коновалюк 51 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 1. С. 38 – 58 x -20 -10 0 10 20 y 10 20 1 3 2 2 3 1 -6 а t 0 100 200 300 400 -400 -300 -200 -100 0 100 200 pd/M 2 -1.5e-4 -1e-4 -5e-5 0 pd(t) d(t) 3(t) ( )град t 50 100 150 200 250 300 350 \|a\| 0 5e-4 0.001 0.0015 0.002 0.0025 pd/M 2 0 5e-5 1e-4 1.5e-4 1 2 3 pd(t) б в Рис. 9. Поведение системы при b = 3.4: а – траектории вихрей; б – временные зависимости давления на лепестке диаграммы направленности, угла поворота диаграммы направленности, угла поворота вихревой системы; в – временные зависимости модулей ускорения вихрей и давления на лепестке диаграммы направленности ω(−1) = dθ1 dt = dθ2 dt = dθ3 dt = 1 2πB2 Gr , ρ1 = ρ2 = BGr , ρ3 = √ 3 BGr . (20) Здесь (ρi, θi) – полярные координаты вихря с но- мером i; BGr=1 (4). Опорный лепесток диаграммы направленности направлен перпендикулярно стороне 1–2 вихре- вого треугольника. Диаграмма направленности эквивалентного квадруполя вращается с посто- янной угловой скоростью, равной угловой скоро- сти вращения вихрей: ωd =ω(−1) (20). Давление на оси лепестка при вращении вихрей как едино- го целого постоянно: pd(t)=const. Таким образом, звуковое поле вращается синхронно с вихревой системой (рис. 12, б). Вдоль падающей вихревой пары расположен положительный лепесток диа- граммы направленности. Модули ускорений ви- хрей и угловая скорость вращения связаны соот- ношением \|~ai\|=ρiω 2 (−1) (рис. 12, в). Вихри поро- ждают монохроматический источник звука с ча- стотой, равной удвоенной частоте их вращения: ω=2ω(−1). Это характерно для источника квадру- польной природы. • b=−0.5 В этом случае происходит обменное взаимодей- ствие вихрей. Его существенная особенность за- ключается в том, что вихри движутся по парал- лельным прямым (рис. 13, а). Диаграмма направ- ленности эквивалентного квадруполя и вихревая система вращаются на плоскости сходным обра- зом (рис. 13, б). Вдоль падающей 1, 3 и уходя- щей 2, 3 вихревых пар расположен один и тот же лепесток диаграммы направленности – отрица- тельный. Для данного типа взаимодействия хара- 52 Т.П.Коновалюк ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 1. С. 38 – 58 x -20 -10 0 10 20 30 40 y -2 2 4 6 8 1 2 3 1 3 а t 0 100 200 300 400 -200 -100 0 100 200 pd/M 2 -4e-5 -3e-5 -2e-5 -1e-5 0 3(t) d(t) pd(t) ( )град t 50 100 150 200 250 \|a\| 0 1e-4 2e-4 3e-4 4e-4 5e-4 6e-4 pd/M 2 0 1e-5 2e-5 3e-5 4e-5 1 3 2 pd(t) 1 3 б в Рис. 10. Поведение системы при b=7.0: а – траектории вихрей; б – временные зависимости давления на лепестке диаграммы направленности, угла поворота диаграммы направленности, угла поворота вихревой системы; в – временные зависимости модулей ускорения вихрей и давления на лепестке диаграммы направленности ктерны уровни звука, близкие к нулевым значени- ям: pd(t)=O(10−13M2). Отметим, что на рис. 13, в временные зависимости модулей ускорений визу- ально совпадают. При этом кривые модулей уско- рений вихрей 1 и 2 относятся к левой оси y, а кри- вая модуля ускорения вихря 3 и зависимость pd(t) – к правой. Анализ этого случая позволяет сделать вывод о том, что уровень генерируемого звукового поля су- щественным образом зависит от наличия центро- стремительных ускорений у вихрей: их движение по искривленным траекториям порождает звуко- вое поле более высокого уровня, чем при движении по параллельным траекториям. • b = 3.41 . . . В этом случае при взаимодействии вихри выстраиваются в одну линию с неподвижным ви- хрем 3 в начале координат (рис. 14, а). Отрезок, ограниченный вихрями 1 и 2, вращается с посто- янной угловой скоростью: ω(3.41)= dθ1 dt = dθ2 dt =− 1 16πB2 Gr , dθ3 dt =0, ρ1 =ρ2 =2BGr, ρ3 =0. (21) В данном случае BGr≈0.9886 (4). Поскольку ви- хрь 3 в процессе взаимодействия тормозится, то в качестве поворота системы принимаем поворот ви- хря 1. Диаграмма направленности эквивалентного квадруполя вращается синхронно с вихревой си- стемой: ωd =ω(3.41) (формула (21)). Опорный ле- песток диаграммы направленности перпендикуля- рен отрезку, образованному вихрями 1 и 2. Так как вихревая система вращается в отрицательном направлении, то ее поворот отстает от поворота звукового поля на 90◦ (рис. 14, б). Значение дав- ления на оси лепестка при вращении вихрей как единого целого постоянно – pd(t)=const. Модули Т.П.Коновалюк 53 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 1. С. 38 – 58 b -10 -5 0 5 10 d, 3 -400 -200 0 200 400 3 d 3 d b=-1 b=-0.5 b=3.41... I II III IV V VI (град) Рис. 11. Зависимости полного поворота диаграммы направленности ∆θd(b) (сплошная) и вихревой системы ∆θ3(b) (штриховая) от параметра b ускорений вихрей 1 и 2 при вращении вихрей рав- ны между собой – \|~a1\|= \|~a2\|=ρ1ω 2 (3.41). Поскольку вихрь 3 тормозится, то его ускорение стремится к нулю (рис. 14, в). Вдоль падающей вихревой пары расположен отрицательный лепесток диаграммы направленности. Звуковое поле, генерируемое та- ким взаимодействием, – гармоническое с частотой ω=2ω(3.41), что характерно для источника квадру- польной природы. 3.4. Связь между ускоренным движением ви- хрей и излучением звука На рис. 2, в – 14, в представлены временные за- висимости модулей ускорений вихрей \|~aβ\|: \|~aβ\| = √ (y′′1β)2 + (y′′2β)2 , β = 1, 2, 3, где y′′1β, y′′2β – компоненты ускорения вихря с номе- ром β, а также временные зависимости звукового давления на оси положительного лепестка экви- валентного поперечного квадруполя pd(t). Ана- лиз расчетных данных показывает, что излучение звука происходит при ускоренном движении ви- хрей [1]. Отметим, что центральный (по времени) экстремум импульса звукового давления, вычи- сленного на оси лепестка, и экстремум модуля ускорения вихря 3 (всегда образующего вихревую пару) фиксируются в близкие моменты времени. В момент времени, соответствующий экстремуму модуля ускорения вихря 3, модули ускорений ви- хрей 1 и 2, потенциально или активно участвую- щих в обмене, равны. Отметим также, что в случае прямого взаимодействия в окрестности централь- ного экстремума давления pd(t) ускорение вихря 3 имеет порядок (10−6 . . .10−5), т. е. близко к нулю (см. рис. 2, в и 10, в). При обменном взаимодей- ствии вблизи центрального экстремума pd(t) на- блюдается экстремум модуля ускорения вихря 3 с \|~a3\| 6=0 (см. рис. 3, в – 9, в). Отметим, что наличие у вихрей центростремительных ускорений приводит к значительному повышению уровня звука, гене- рируемого вихревой системой. 3.5. Коэффициент полезного действия звуко- образования В статье [4] отмечено, что турбулентность при малых числах Маха – исключительно неэффе- ктивный источник звука. Ее автор ссылается на эксперименты Герарда (Gerrard), которые пока- зали, что коэффициент η/M5 (см. формулу (13)) имеет порядок 10−4 при M→1. В работе [6] отме- чено, что звуковое поле порождается турбулен- тным взаимодействием, и приведены следующие оценки эффективности звукообразования – толь- 54 Т.П.Коновалюк ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 1. С. 38 – 58 x -20 -15 -10 -5 0 5 y -5 5 1 3 2 1 3 2 а t 0 50 100 150 200 200 400 600 800 1000 pd/M 2 0 0.005 0.01 0.015 0.02 pd(t) d(t), 3(t) ( )град t 0 50 100 150 200 \|a\|,pd/M 2 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 3 1,2 pd(t) б в Рис. 12. Поведение системы при b=−1: а – траектории вихрей; б – временные зависимости давления на лепестке диаграммы направленности, угла поворота диаграммы направленности, угла поворота вихревой системы; в – временные зависимости модулей ускорения вихрей и давления на лепестке диаграммы направленности ко ∼ 0.01 % энергии струи переходит в звук и даже для мощных ракетных струй эта величина состав- ляет менее 1 %. Подставив в формулу (13) соотношения (17) и (19), получим расчетное выражение для вычис- ления коэффициента η. Общий вид зависимости η/M5 представлен на рис. 15, а, более детально для малых его величин – на рис. 15, б. Последний график характеризуется двумя основными пика- ми, уровни которых отличаются на несколько по- рядков – в окрестностях b=−1 и 3.41 . . . Как уже отмечалось выше, данные значения параметра b соответствуют вихревым взаимодействиям, поро- ждающим монохроматические источники звука. Кроме того, наблюдаются локальные максимум при b=0.438 и минимум при b=2.046. Оба ука- занных значения соответствуют случаям обменно- го взаимодействия: на рассматриваемом максиму- ме полные повороты диаграммы направленности и вихревой системы равны между собой, а на ми- нимуме – отличаются на 360◦ (см. таблицу). Результаты, приведенные на рис. 15, в целом со- гласуются с данными работы [7]. Отметим, что мо- дель точечных вихрей верно отражает тот факт, что излучение на одной частоте более эффектив- но, чем широкополосное. Следует, однако, обра- тить внимание на окрестность b=−1, в которой величина η/M5 имеет порядок единицы. Наличие этого нефизичного значения эффективности ги- дродинамического излучения при M�1 обуслов- лено идеализированным моделированием распре- деленных вихрей точками с сосредоточенной за- вихренностью. Эффективность гидродинамического излучения в окрестности b=3.41 . . . (η≈4·10−4M5) суще- ственно ниже, чем при b=−1 . Дело в том, что при b=3.41 . . . вихри образуют линейную конфи- гурацию, угловая скорость вращения которой при- мерно в 8 раз (т. е. почти на порядок) ниже угловой скорости вращения вихревого треугольника при b=−1 (ср. значения (20), (21)). Поскольку излу- чение вихрей при отсутствии границ моделируе- тся квадруполем, то прогнозируемое различие в эффективности излучения составляет около пяти Т.П.Коновалюк 55 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 1. С. 38 – 58 x -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 y -5 5 1 3 2 3 1 2 а t 0 50 100 150 200 150 200 250 300 350 400 pd/M 2 0 5e-14 pd(t) d(t) 3(t) -2e-13 ( )град t 50 100 150 200 \|a1\|,\|a2\| 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 \|a3\|,pd/M 2 0 5e-13 1e-12 1.5e-12 2e-12 pd(t) б в Рис. 13. Поведение системы при b=−0.5: а – траектории вихрей; б – временные зависимости давления на лепестке диаграммы направленности, угла поворота диаграммы направленности, угла поворота вихревой системы; в – временные зависимости модулей ускорения вихрей и давления на лепестке диаграммы направленности порядков. Как указано в [21], в общем случае бо- лее симметричные распределения завихренности излучают слабее. Полученный нами результат со- гласуется с этим выводом. Отметим весьма низкую акустическую эффе- ктивность звукового источника для вихревого те- чения при b=−0.5. Здесь η≈8.5·10−10M5, что об- условлено очень слабым звуковым полем, генери- руемым вихрями в данном случае. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В рамках модели точечных вихрей и акустиче- ской аналогии Лайтхилла в широком диапазоне геометрических параметров выполнены расчет и анализ звуковых полей, генерируемых тремя точе- чными вихрями с интенсивностями κ1 =κ2 =−κ3 в безграничной идеальной жидкости при прямом и обменном взаимодействии. Получены следующие основные результаты: • В исследованных случаях прямого и обменно- го взаимодействия наблюдается вращение ди- аграммы направленности генерируемого зву- кового поля, что обусловлено изменением взаимного расположения вихрей в процес- се взаимодействия при отсутствии в системе осей симметрии и вращением вихрей как еди- ного целого. • Угол поворота диаграммы направленности в процессе взаимодействия равен повороту ви- хревой системы, противоположен ему или отличается от угла поворота вихревой систе- мы на постоянную величину, кратную 180◦. • Вихревая система и генерируемое ею звуковое поле могут вращаться как в одном, так и в противоположных направлениях. • Фазовое распределение физических характе- ристик звукового поля при его зарождении и спадании таково, что их максимальные (мини- мальные) значения всегда связаны с направ- лениями падающей и уходящей вихревых пар. • Наиболее эффективны с точки зрения звуко- образования вихревые взаимодействия, при- водящие к вращению вихрей как единого це- 56 Т.П.Коновалюк ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 1. С. 38 – 58 x -20 -15 -10 -5 0 5 y -5 51 3 1 2 3 2 а t 0 100 200 300 400 -300 -200 -100 0 100 200 pd/M 2 -1.5e-4 -1e-4 -5e-5 0 pd(t) 1(t) d(t) ( )град t 0 100 200 300 400 \|a\| 0 5e-4 0.001 0.0015 0.002 0.0025 pd/M 2 0 5e-5 1e-4 1.5e-4 pd(t)3 1 2 б в Рис. 14. Поведение системы при b=3.41 . . .: а – траектории вихрей; б – временные зависимости давления на лепестке диаграммы направленности, угла поворота диаграммы направленности, угла поворота вихревой системы; в – временные зависимости модулей ускорения вихрей и давления на лепестке диаграммы направленности b -10 -5 0 5 10 /M5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 b -10 -5 0 5 10 /M5 0 1e-4 2e-4 3e-4 4e-4 5e-4 а б Рис. 15. Зависимость эффективности излучения вихрей от параметра b: а – общий вид; б – в увеличенном по оси ординат масштабе Т.П.Коновалюк 57 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2012. Том 15, N 1. С. 38 – 58 лого вокруг центра завихренности. Такие ви- хревые течения порождают монохроматиче- ские источники звука с частотой, равной удво- енной частоте вращения вихрей. При этом ди- аграмма направленности вращается синхрон- но с вихревой системой. • Наличие у вихрей центростремительных уско- рений существенно повышает уровень генери- руемого звукового поля, по сравнению с ви- хревыми системами, в которых центростреми- тельные ускорения отсутствуют. БЛАГОДАРНОСТИ Автор выражает благодарность доктору физико-математических наук, профессору Игорю Владимировичу Вовку за помощь в постановке акустической части задачи и конструктивное обсуждение результатов на этапе расчетов и при написании статьи. 1. Вовк И. В., Гринченко В. Т. Звук, рожденный потоком.– К.: Наук. думка, 2010.– 224 с. 2. Гутин Л. Я. О звуковом поле вращающегося во- здушного винта // Избранные труды.– Л.: Судо- строение, 1977.– С. 61–71. 3. Гутин Л. Я. О “звуке вращения” воздушно- го винта.– Избранные труды: Л.: Судостроение, 1977.– 126–134 с. 4. Lighthill M. J. On sound generated aerodynamically. I. General theory // Proc. Roy. Soc. Lond.– 1952.– A211.– P. 564–587. 5. Lighthill M. J. On sound generated aerodynamically. II. Turbulence as a source of sound // Proc. Roy. Soc. Lond.– 1954.– A221.– P. 1–32. 6. Ffowcs Williams J. E. Hydrodynamic Noise // Ann. Rev. Fluid Mech.– 1969.– 1.– P. 197–222. 7. Crighton D. G. Basic principles of aerodynamic noise generation // Progr. Aerospace Sci.– 1975.– 16, № 1.– P. 31–96. 8. Голдстейн М. Е. Аэроакустика.– М.: Машиностро- ение, 1981.– 294 с. 9. Крайтон Д. Акустика как ветвь гидродинами- ки // Современная гидродинамика. Успехи и проблемы.– М.: Мир, 1984.– С. 359–412. 10. Howe M. S. Theory of vortex sound.– Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2003.– 216 p. 11. Crow S. C. Aerodynamic sound emission as a singular perturbation problem // Stud. Appl. Math.– 1970.– XLIX, № 1.– P. 21–44. 12. Möhring W. On vortex sound at the low Mach number // J. Fluid Mech.– 1978.– 85, Pt. 4.– P. 685– 691. 13. Obermeier F. On a new representation of aeroacoustis source distribution. II. Two-dimensional model flows // Acustica.– 1979.– 42.– P. 62–71. 14. Бэтчелор Дж. Введение в механику жидкости.– М.: Мир, 1973.– 758 с. 15. Aref H. Intergable, chaotic, and turbulent vortex motion in two-dimensional flows // Ann. Rev. Fluid Mech.– 1983.– 15.– P. 345–389. 16. Мелешко В. В., Константинов М. Ю. Динамика вихревых структур.– К.: Наук. думка, 1993.– 279 с. 17. Gröbli W. Specielle Promleme uber die Bewegung geradliniger paralleler Wirbelfaden // Vi- erteljahrschrrift der Naturfors. Zurich.– 1877.– 22.– С. 37–81, 129–165. 18. Коновалюк Т. П. Классификация взаимодействия вихревой пары с точечным вихрем в идеальной жидкости // Гидромеханика.– 1990.– 62.– С. 64– 71. 19. Powell A. Theory of vortex sound // J. Acoust. Soc. Amer.– 1964.– 36, № 1.– P. 177–195. 20. Грiнченко В. Т., Вовк I. В., Маципура В. Т. Основи акустики.– Київ: Наук. думка, 2007.– 640 с. 21. Гряник В. М. Излучение звука линейными вихре- выми нитями // Изв. АН СССР. ФАО.– 1983.– 19, № 2.– С. 203–206. 22. Коновалюк Т. П., Мелешко В. В. Излучение зву- ка системой точечных вихрей // Гидромеханика.– 1996.– 70.– С. 41–52. 23. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа.– М.: Фи- зматлит, 2004.– 572 с. 24. Новацкий В. Теория упругости.– М.: Мир, 1975.– 872 с. 25. Хайрер Э., Нерсет С., Ваннер Г. Решение обыкно- венных дифференциальных уравнений. Нежес- ткие задачи.– М.: Мир, 1990.– 512 с. 26. Абрамовиц А., Стиган И. М. Справочник по спе- циальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами.– M.: Наука, 1973.– 830 с. 27. Отнес Р., Эноксон А. Прикладной анализ времен- ных рядов. Основные методы.– М.: Мир, 1982.– 537 с. 28. Hardin J. C., Pope D. S. Sound generation by a stenosis in a pipe // AIAA J.– 1992.– 30, № 2.– P. 312–317. 29. Mitchell B. E., Lele S. K., Moin P. Direct computati- on of the sound from a compressible co-rotating vortex pair // J. Fluid Mech.– 1995.– 285.– P. 181– 202. 58 Т.П.Коновалюк
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-116155
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1028-7507
language	Russian
last_indexed	2025-11-29T13:12:18Z
publishDate	2012
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
record_format	dspace
spelling	Коновалюк, Т.П. 2017-04-20T19:49:09Z 2017-04-20T19:49:09Z 2012 Особенности структуры звукового поля при взаимодействии точечных вихрей / Т.П. Коновалюк // Акустичний вісник — 2012. —Т. 15, № 1. — С. 38-58. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116155 534.2 В рамках модели точечных вихрей и акустической аналогии Лайтхилла в широком диапазоне геометрических параметров выполнены расчеты и проведен анализ звуковых полей, порождаемых при прямом и обменном взаимодействии в безграничной идеальной жидкости трех точечных вихрей с интенсивностями κ1=κ2=κ3. Обнаружен эффект вращения диаграммы направленности. Установлены соотношения между поворотом диаграммы направленности и поворотом вихревой системы. Показано, что вихревая система и генерируемое ею звуковое поле могут вращаться как в одном, так и в противоположных направлениях. В рамках моделі точкових вихорів та акустичної аналогії Лайтхіла в широкому діапазонi геометричних параметрiв виконано розрахунки й аналiз звукових полiв, якi породжуються при прямiй та обмiннiй взаємодiї у необмеженiй iдеальнiй рiдинi трьох точкових вихорiв з iнтенсивностями κ1=κ2=κ3. Виявлено ефект обертання діаграми напрямленості. Встановлені спiввiдношення мiж поворотом діаграмі напрямленості й поворотом вихрової системи. Показано, що вихрова система й звукове поле, генероване нею, можуть обертатись як в одному, так i у протилежних напрямках. Within the frameworks of the point vortex model and the Lighthill's acoustic analogy, the sound fields produced by a direct and exchange interactions of three point vortices with the intensities of κ1=κ2=κ3. in an ideal unbounded liquid are computed and analyzed in wide range of geometrical parameters. The effect of rotation of the directivity pattern is detected. The relations between the rotations of the directivity pattern and vortex system are specified. The possibility of rotation of the the vortex system and its sound field both in the same and opposite directions is demonstrated. \keywordsE{point vortices, rotation of the directivity pattern, rotation of the vortex system. Автор выражает благодарность доктору физико-математических наук, профессору Игорю Владимировичу Вовку за помощь в постановке акустической части задачи и конструктивное обсуждение результатов на этапе расчетов и при написании статьи. ru Інститут гідромеханіки НАН України Акустичний вісник Особенности структуры звукового поля при взаимодействии точечных вихрей Особливості структури звукового поля при взаємодії точковмх вихорів Features of sound field structure at interaction of the point vortices Article published earlier
spellingShingle	Особенности структуры звукового поля при взаимодействии точечных вихрей Коновалюк, Т.П.
title	Особенности структуры звукового поля при взаимодействии точечных вихрей
title_alt	Особливості структури звукового поля при взаємодії точковмх вихорів Features of sound field structure at interaction of the point vortices
title_full	Особенности структуры звукового поля при взаимодействии точечных вихрей
title_fullStr	Особенности структуры звукового поля при взаимодействии точечных вихрей
title_full_unstemmed	Особенности структуры звукового поля при взаимодействии точечных вихрей
title_short	Особенности структуры звукового поля при взаимодействии точечных вихрей
title_sort	особенности структуры звукового поля при взаимодействии точечных вихрей
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116155
work_keys_str_mv	AT konovalûktp osobennostistrukturyzvukovogopolâprivzaimodeistviitočečnyhvihrei AT konovalûktp osoblivostístrukturizvukovogopolâprivzaêmodíítočkovmhvihorív AT konovalûktp featuresofsoundfieldstructureatinteractionofthepointvortices

Особенности структуры звукового поля при взаимодействии точечных вихрей

Репозитарії

Схожі ресурси