Дифракція плоскої акустичної хвилі на скінченному жорсткому конусі при осьовому опроміненні

Отримано розв'язок задачі дифракції плоскої акустичної хвилі на скінченному жорсткому порожнистому конусі при осьовому опроміненні. Задачу розв'язано відносно потенціалу швидкості дифрагованого поля методом власних функцій підобластей з використанням процедури аналітичної регуляризації. Не...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Акустичний вісник
Datum:	2013
Hauptverfasser:	Куриляк, Д.Б., Лисечко, В.О.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут гідромеханіки НАН України 2013
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116199
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Дифракція плоскої акустичної хвилі на скінченному жорсткому конусі при осьовому опроміненні / Д.Б. Куриляк, В.О. Лисечко // Акустичний вісник — 2013-2014. —Т. 16, № 2. — С. 8-17. — Бібліогр.: 25 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-116199
record_format	dspace
spelling	Куриляк, Д.Б. Лисечко, В.О. 2017-04-22T11:21:44Z 2017-04-22T11:21:44Z 2013 Дифракція плоскої акустичної хвилі на скінченному жорсткому конусі при осьовому опроміненні / Д.Б. Куриляк, В.О. Лисечко // Акустичний вісник — 2013-2014. —Т. 16, № 2. — С. 8-17. — Бібліогр.: 25 назв. — укр. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116199 534.26 Отримано розв'язок задачі дифракції плоскої акустичної хвилі на скінченному жорсткому порожнистому конусі при осьовому опроміненні. Задачу розв'язано відносно потенціалу швидкості дифрагованого поля методом власних функцій підобластей з використанням процедури аналітичної регуляризації. Невідомі коефіцієнти розкладу отримано з розв'язку нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь другого роду, які допускають розв'язок із заданою точністю. Досліджено вплив параметрів конуса на його дифракційні характеристики. Отримані числові результати порівнюються з відомими даними для диска. Получено решение задачи дифракции плоской акустической волны на конечном жестком полом конусе при осевом облучении. Задача решена относительно потенциала скорости дифрагированного поля методом собственных функций подобластей с использованием процедуры аналитической регуляризации. Неизвестные коэффициенты разложения получены из решения бесконечной системы линейных алгебраических уравнений второго рода, допускающих решение с заданной точностью. Исследовано влияние параметров конуса на его дифракционные характеристики. Полученные численные результаты сравниваются с известными данными для диска. The paper deals with solving of a problem on diffraction a plane acoustic wave by a finite rigid hollow cone in axial irradiation. The problem is solved in terms of the velocity potential using the technique of matching of eigenmodes for subdomains and analytical regularization procedure. The unknown expansion coefficients are determined from the infinite system of linear algebraic equations of the second kind that allow the obtaining of a solution with a desired accuracy. The effect of the finite cone parameters to its scattering characteristics is studied. The obtained numerical results are compared with the known ones for a disk. uk Інститут гідромеханіки НАН України Акустичний вісник Дифракція плоскої акустичної хвилі на скінченному жорсткому конусі при осьовому опроміненні Дифракция плоской акустической волны на конечном жестком конусе при осевом облучении Diffraction of a plane acoustic wave by a finite rigid cone in axial irradiation Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Дифракція плоскої акустичної хвилі на скінченному жорсткому конусі при осьовому опроміненні
spellingShingle	Дифракція плоскої акустичної хвилі на скінченному жорсткому конусі при осьовому опроміненні Куриляк, Д.Б. Лисечко, В.О.
title_short	Дифракція плоскої акустичної хвилі на скінченному жорсткому конусі при осьовому опроміненні
title_full	Дифракція плоскої акустичної хвилі на скінченному жорсткому конусі при осьовому опроміненні
title_fullStr	Дифракція плоскої акустичної хвилі на скінченному жорсткому конусі при осьовому опроміненні
title_full_unstemmed	Дифракція плоскої акустичної хвилі на скінченному жорсткому конусі при осьовому опроміненні
title_sort	дифракція плоскої акустичної хвилі на скінченному жорсткому конусі при осьовому опроміненні
author	Куриляк, Д.Б. Лисечко, В.О.
author_facet	Куриляк, Д.Б. Лисечко, В.О.
publishDate	2013
language	Ukrainian
container_title	Акустичний вісник
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
format	Article
title_alt	Дифракция плоской акустической волны на конечном жестком конусе при осевом облучении Diffraction of a plane acoustic wave by a finite rigid cone in axial irradiation
description	Отримано розв'язок задачі дифракції плоскої акустичної хвилі на скінченному жорсткому порожнистому конусі при осьовому опроміненні. Задачу розв'язано відносно потенціалу швидкості дифрагованого поля методом власних функцій підобластей з використанням процедури аналітичної регуляризації. Невідомі коефіцієнти розкладу отримано з розв'язку нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь другого роду, які допускають розв'язок із заданою точністю. Досліджено вплив параметрів конуса на його дифракційні характеристики. Отримані числові результати порівнюються з відомими даними для диска. Получено решение задачи дифракции плоской акустической волны на конечном жестком полом конусе при осевом облучении. Задача решена относительно потенциала скорости дифрагированного поля методом собственных функций подобластей с использованием процедуры аналитической регуляризации. Неизвестные коэффициенты разложения получены из решения бесконечной системы линейных алгебраических уравнений второго рода, допускающих решение с заданной точностью. Исследовано влияние параметров конуса на его дифракционные характеристики. Полученные численные результаты сравниваются с известными данными для диска. The paper deals with solving of a problem on diffraction a plane acoustic wave by a finite rigid hollow cone in axial irradiation. The problem is solved in terms of the velocity potential using the technique of matching of eigenmodes for subdomains and analytical regularization procedure. The unknown expansion coefficients are determined from the infinite system of linear algebraic equations of the second kind that allow the obtaining of a solution with a desired accuracy. The effect of the finite cone parameters to its scattering characteristics is studied. The obtained numerical results are compared with the known ones for a disk.
issn	1028-7507
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116199
citation_txt	Дифракція плоскої акустичної хвилі на скінченному жорсткому конусі при осьовому опроміненні / Д.Б. Куриляк, В.О. Лисечко // Акустичний вісник — 2013-2014. —Т. 16, № 2. — С. 8-17. — Бібліогр.: 25 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT kurilâkdb difrakcíâploskoíakustičnoíhvilínaskínčennomužorstkomukonusípriosʹovomuopromínenní AT lisečkovo difrakcíâploskoíakustičnoíhvilínaskínčennomužorstkomukonusípriosʹovomuopromínenní AT kurilâkdb difrakciâploskoiakustičeskoivolnynakonečnomžestkomkonusepriosevomoblučenii AT lisečkovo difrakciâploskoiakustičeskoivolnynakonečnomžestkomkonusepriosevomoblučenii AT kurilâkdb diffractionofaplaneacousticwavebyafiniterigidconeinaxialirradiation AT lisečkovo diffractionofaplaneacousticwavebyafiniterigidconeinaxialirradiation
first_indexed	2025-11-25T20:43:29Z
last_indexed	2025-11-25T20:43:29Z
_version_	1850530802705629184
fulltext	ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2013 – 2014. Том 16, N 2. С. 8 – 17 УДК 534.26 ДИФРАКЦIЯ ПЛОСКОЇ АКУСТИЧНОЇ ХВИЛI НА СКIНЧЕННОМУ ЖОРСТКОМУ КОНУСI ПРИ ОСЬОВОМУ ОПРОМIНЕННI Д. Б. К У Р И Л Я К, В. О. Л И СЕЧ К О∗ Фiзико-механiчний iнститут iм. Г. В. Карпенка НАН України вул. Наукова, 5, 79060, Львiв, Україна ∗E-mail: vtlysechko@gmail.com Отримано 31.01.2014 Отримано розв’язок задачi дифракцiї плоскої акустичної хвилi на скiнченному жорсткому порожнистому конусi при осьовому опромiненнi. Задачу розв’язано вiдносно потенцiалу швидкостi дифрагованого поля методом власних функцiй пiдобластей з використанням процедури аналiтичної регуляризацiї. Невiдомi коефiцiєнти розкладу отримано з розв’язку нескiнченної системи лiнiйних алгебраїчних рiвнянь другого роду, якi допускають розв’язок iз заданою точнiстю. Дослiджено вплив параметрiв конуса на його дифракцiйнi характеристики. Отриманi числовi результати порiвнюються з вiдомими даними для диска. КЛЮЧОВI СЛОВА: акустична хвиля, скiнченний конус, дiаграма спрямованостi, перерiз розсiяння, аналiтична регуляризацiя Получено решение задачи дифракции плоской акустической волны на конечном жестком полом конусе при осевом облучении. Задача решена относительно потенциала скорости дифрагированного поля методом собственных функций подобластей с использованием процедуры аналитической регуляризации. Неизвестные коэффициенты разложения получены из решения бесконечной системы линейных алгебраических уравнений второго рода, допускающих решение с заданной точностью. Исследовано влияние параметров конуса на его дифракционные характеристики. Полученные численные результаты сравниваются с известными данными для диска. КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: акустическая волна, конечный конус, диаграмма направленности, сечение рассеяния, ана- литическая регуляризация The paper deals with solving of a problem on diffraction a plane acoustic wave by a finite rigid hollow cone in axial irradiation. The problem is solved in terms of the velocity potential using the technique of matching of eigenmodes for subdomains and analytical regularization procedure. The unknown expansion coefficients are determined from the infinite system of linear algebraic equations of the second kind that allow the obtaining of a solution with a desired accuracy. The effect of the finite cone parameters to its scattering characteristics is studied. The obtained numerical results are compared with the known ones for a disk. KEY WORDS: acoustic wave, finite cone, scattering pattern, scattering cross-section, analytical regularization procedure ВСТУП Сучаснi технологiї дiагностування матерiалiв базуються на вивченнi у широкому частотному дi- апазонi взаємодiї акустичних хвиль з макродефе- ктами конструкцiй i виробiв. При дослiдженнi цiєї проблеми важливу роль вiдiграють моделi дефе- ктiв канонiчної форми, оскiльки для них можна отримати коректнi розв’язки вiдповiдних дифра- кцiйних задач. Цi розв’язки вiдiграють ключову роль як репернi для верифiкацiї бiльш загальних числових методiв. У науковiй лiтературi значну кiлькiсть праць присвячено вивченню дифракцiї акустичних хвиль на напiвнескiнченних конусах з рiзними типами граничних умов – Дiрiхле, Неймана чи iмпедансними. В основному розглядались не- скiнченнi круговi конуси [1 –10]. Дифракцiю на елiптичному конусi дослiджено в [11], а на конусi довiльної форми – в [12]. Дифракцiя хвиль на плоских секторах вивчалась у [13, 14]. Для розв’язання задач дифракцiї на скiнчен- них порожнистих конусах (або дисках як грани- чний випадок) використовувався метод Вiнера – Хопфа у поєднаннi з методом iнтегральних пе- ретворень Конторовича – Лебедєва [15, 16]. У ро- ботi [17] розв’язано задачу дифракцiї акустичної хвилi на м’якому скiнченному конусi, де внутрiш- ня область одного з секторiв перегороджувалась сферичним сегментом. Для цього було викори- стано метод спряження полiв, а суттєве покра- щення збiжностi досягнуто завдяки урахуванню асимптотичної поведiнки розв’язку отриманої не- скiнченної системи лiнiйних алгебраїчних рiвнянь (НСЛАР). У статтi [18] задачу дифракцiї на скiн- ченному конусi дослiдили методами геометричної теорiї дифракцiї, а у [19] – експериментально. У публiкацiї [20] для розв’язання задач дифра- 8 c© Д. Б. Куриляк, В. О. Лисечко, 2013 – 2014 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2013 – 2014. Том 16, N 2. С. 8 – 17 кцiї на конусах запропоновано метод аналiтичної регуляризацiї. У данiй роботi цей метод вико- ристовується для дослiдження дифракцiї плоскої звукової хвилi на скiнченному жорсткому конусi. 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧI Нехай у сферичнiй системi координат (r, θ, ϕ) за- дано iдеально жорсткий порожнистий скiнченний конус Q : {r ∈ (0, c); θ = γ; ϕ = [0, 2π)} (див. рис. 1). Конус Q опромiнюється плоскою мо- нохроматичною акустичною хвилею, яка поширю- ється вздовж додатного напряму осi z (θ=0◦). Для цього випадку залежнiсть поля вiд часу задаємо множником e−iωt, який надалi опускаємо. У результатi взаємодiї плоскої хвилi з конусом Q в усьому просторi встановиться незалежний вiд координати ϕ розподiл тиску, знаходження якого зводиться до розв’язання осесиметричної змiша- ної крайової задачi для рiвняння Гельмгольца вiд- носно потенцiалу швидкостi дифрагованого поля U(r, θ): ∆U(r, θ) + k2U(r, θ) = 0. (1) Тут k=ω/c0 – хвильове число; ω – кругова часто- та; c0 – швидкiсть поширення звукової хвилi; ∆ – оператор Лапласа, ∆ = ∂2 ∂r2 + 2 r ∂ ∂r + 1 r2 sin θ ∂ ∂θ ( sin θ ∂ ∂θ ) . Шуканий потенцiал U(r, θ) задовольняє гранич- ну умову ∂ ∂θ [U(r, θ) + U (i)(r, θ)] ∣ ∣ ∣ ∣ r,θ∈Q = 0, (2) (тут U (i)(r, θ)=eikr cos θ – потенцiал швидкостi пло- скої хвилi одиничної амплiтуди), умову випромi- нювання Зомерфельда ∂U(r, θ) ∂r − ikU(r, θ) = o(1/r), (3) а також умову обмеженостi енергiї поля у довiль- ному скiнченному об’ємi V ∫ V ( \|U(r, θ)\|2 + \|∇U(r, θ)\|2 ) dV → const, (4) яка тут зводиться до виконання умови Мейкснера на краю та вершинi конуса. Рис. 1. Геометрична схема Потенцiал первинного поля у сферичнiй системi координат записуємо так [21]: U (i)(r, θ) = 1√ sr ∞ ∑ n=0 A(0) n Pzn−1/2(cos θ)Izn (sr). Тут s=−ik; zn =n+1/2; A (0) n = √ 2π(−1)nzn; Pη−1/2(·) – функцiя Лежандра; Iη(·) – модифiко- вана функцiя Бесселя. 2. ЗВЕДЕННЯ ЗАДАЧI ДО НЕСКIНЧЕННОЇ СИСТЕМИ ЛIНIЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РIВНЯНЬ Розiб’ємо простiр R3 : {r ∈ (0,∞), θ ∈ [0, π], ϕ ∈ [0, 2π)} на пiдобластi D1 : {r ∈ (0, c); θ ∈ [0, γ)}, D2 : {r ∈ (0, c); θ ∈ (γ, π]}, D3 : {r ∈ (c,∞); θ ∈ [0, π]}. Повне поле подамо так: U (t)(r, θ) =    U (i)(r, θ) + U(r, θ), r, θ ∈ D3; U(r, θ), r, θ ∈ D1, D2. Потенцiал швидкостi дифрагованого поля шукає- мо у виглядi Д. Б. Куриляк, В. О. Лисечко 9 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2013 – 2014. Том 16, N 2. С. 8 – 17 U(r, θ) =                        1√ sr ∞ ∑ p=1 y(1) p Pνp−1/2(cos θ) Iνp (sr) Iνp (sc) , r, θ ∈ D1; 1√ sr ∞ ∑ k=1 y (2) k Pµk−1/2(− cos θ) Iµk (sr) Iµk (sc) , r, θ ∈ D2; 1√ sr ∞ ∑ n=0 x̄nPzn−1/2(cos θ) Kzn (sr) Kzn (sc) , r, θ ∈ D3. (5) Тут y (1) p , y (2) k , x̄n – невiдомi коефiцiєнти розкладу; Kη(·) – функцiя Макдональда; νp, µk – додатнi коренi трансцендентних рiвнянь P 1 η−1/2(± cos γ) ∣ ∣ η= { νp µk } = 0. (6) Подання потенцiалу у виглядi рядiв (5) забезпечує виконання граничної умови (2), умови випромiню- вання (3), а також умови обмеженостi поля у вершинi конуса (4). Зауважимо також, що для коректного врахування незалежного вiд координати θ тиску в областях D1 . . .D3, беруться до уваги мiнiмальнi додатнi значення коренiв трансцендентних рiвнянь (6), а саме ν1 =µ1 =1/2, оскiльки P0(cos θ)≡1. Невiдомi коефiцiєнти розкладу потенцiалу дифрагованого поля U(r, θ) шукаємо у класi послiдовно- стей, що забезпечує рiвномiрну збiжнiсть рядiв (5), причому їхнi першi похiднi допускають особливостi типу ρ−1/2, де ρ – вiддаль до краю конуса в локальнiй системi координат. Для знаходження невiдомих коефiцiєнтiв розкладу в рiвняннях (5) використаємо умови спряження повного потенцiалу та його нормальної похiдної на сферi r=c, θ∈ [0, π], яка мiстить край конуса. У результатi отримаємо суматорнi рiвняння задачi, якi у зв’язку з особливiстю градiєнта потенцiалу при r→ c±0 i θ→γ±0 запишемо у виглядi x̄0 + lim N→∞ N ∑ n=1 x̄nPzn−1/2(cos θ) + A (0) 0 I1/2(sc) + lim N→∞ N ∑ n=1 A(0) n Pzn−1/2(cos θ)Izn (sc) = =              y (1) 1 + lim P→∞ P ∑ p=2 y(1) p Pνp−1/2(cos θ), θ ∈ [0, γ); y (2) 1 + lim K→∞ K ∑ k=2 y (2) k Pµk−1/2(− cos θ), θ ∈ (γ, π]; (7) x̄0 K′ 1/2(sc) K1/2(sc) + lim N→∞ N ∑ n=1 x̄nPzn−1/2(cos θ) K′ zn (sc) Kzn (sc) + +A (0) 0 I′1/2(sc) + lim N→∞ N ∑ n=1 A(0) n Pzn−1/2(cos θ)I′zn (sc) = =              y (1) 1 I′1/2(sc) I1/2(sc) + lim P→∞ P ∑ p=2 y(1) p Pνp−1/2(cos θ) I′νp (sc) Iνp (sc) , θ ∈ [0, γ); y (2) 1 I′1/2(sc) I1/2(sc) + lim K→∞ K ∑ k=2 y (2) k Pµk−1/2(− cos θ) I′µk (sc) Iµk (sc) , θ ∈ (γ, π]. (8) Тут N=P+K−1; штрих означає похiдну за аргументом (f ′(sc)=∂f/∂(sc)). У цих рiвняннях окремо видiленi незалежнi вiд θ доданки, а граничний перехiд буде проводитися так, щоб забезпечити вико- нання умови Мейкснера на краю конуса. Для зведення суматорних рiвнянь (7), (8) до НСЛАР використаємо формули перерозкладу функцiй Лежандра: 10 Д. Б. Куриляк, В. О. Лисечко ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2013 – 2014. Том 16, N 2. С. 8 – 17 Pzn−1/2(cos θ) = q(zn, γ)            lim P→∞ P ∑ p=1 νpα +(νp, γ) ν2 p − z2 n Pνp−1/2(cos θ), θ ∈ [0, γ) , lim K→∞ K ∑ k=1 µkα −(µk, γ) µ2 k − z2 n Pµk−1/2(− cos θ), θ ∈ (γ, π], (9) де q(zn, γ)=P 1 zn−1/2(cos γ); α±(η, γ)=∓2[∂P 1 η−1/2(± cos γ)/∂η]−1, η=νp при верхньому знаку i η=µk – при нижньому; P 1 η−1/2(·) – приєднана функцiя Лежандра: P 1 η−1/2(± cos γ)=±∂Pη−1/2(± cos γ)/∂γ [21]. Справедливим є твердження, яке сформулюємо таким чином. Теорема. Для усiх 0<γ<π ряди (9) збiгаються до функцiї Pzn−1/2(cos θ)/q(zn, γ) рiвномiрно по куту θ в областях θ∈ [0, γ] i θ∈ [γ, π] вiдповiдно. Доведення. Розглянемо iнтеграл J± n (θ) = 1 2πi ∫ CR tPt−1/2(± cos θ)dt (t2 − z2 n)P 1 t−1/2(± cos γ) , (10) де CR – коло радiуса \|t\|=R; знак “+” береться, коли θ∈ [0, γ] i “−”, коли θ∈ [γ, π]. Пiдiнтегральна функцiя у спiввiдношеннi (10) має простi полюси у точках t=±zn i t=±ηp, де ηp =νp, коли θ∈ [0, γ] i ηp =µp, коли θ∈ [γ, π], p=1, 2, 3, . . . При \|t\|→∞ пiдiнтегральна функцiя прямує до нуля не повiльнiше нiж t−2. Отже J± n (θ)→0 при R→∞. Якщо тепер CR не перетинає полюсiв пiдiнтегральної функцiї, то, замiнивши iнтеграл (10) рядом лишкiв, приходимо до твердження теореми� Пiдставимо формули (9) у лiвi частини рiвнянь (7), (8) вiдповiдно для кожної з областей θ∈ [0, γ) i θ∈ (γ, π]. Надалi обмежимось скiнченним числом доданкiв i прирiвняємо коефiцiєнти при однако- вих функцiях Лежандра. У результатi прийдемо до скiнченної системи лiнiйних алгебраїчних рiвнянь порядку N=P+K−1, яку запишемо у виглядi N ∑ n=1 xn 1/4 − z2 n = 2y (1) 1 α+(1/2, γ) − 2x̄0 α+(1/2, γ) − 2A (0) 0 I1/2(sc) α+(1/2, γ) − N ∑ n=1 q(zn, γ) 1/4− z2 n A(0) n Izn (sc); N ∑ n=1 xn ν2 p − z2 n = y (1) p νpα+(νp, γ) − N ∑ n=1 q(zn , γ) ν2 p − z2 n A(0) n Izn (sc), p = 2, 3, . . . , P ; N ∑ n=1 xn 1/4 − z2 n = 2y (2) 1 α−(1/2, γ) − 2x̄0 α−(1/2, γ) − 2A (0) 0 I1/2(sc) α−(1/2, γ) − N ∑ n=1 q(zn, γ) 1/4− z2 n A(0) n Izn (sc); N ∑ n=1 xn µ2 k − z2 n = y (2) k µkα−(µk, γ) − N ∑ n=1 q(zn, γ) µ2 k − z2 n A(0) n Izn (sc), k = 2, 3, . . . , K; (11) N ∑ n=1 xn 1/4 − z2 n K′ zn (sc) Kzn (sc) = 2y (1) 1 α+(1/2, γ) I′1/2(sc) I1/2(sc) − 2x̄0 α+(1/2, γ) K′ 1/2(sc) K1/2(sc) − − 2A (0) 0 I′1/2(sc) α+(1/2, γ) − N ∑ n=1 q(zn, γ) 1/4− z2 n A(0) n I′zn (sc); N ∑ n=1 xn ν2 p − z2 n K′ zn (sc) Kzn (sc) = y (1) p νpα+(νp, γ) I′νp (sc) Iνp (sc) − N ∑ n=1 q(zn, γ)A (0) n ν2 p − z2 n I′zn (sc), p = 2, 3, . . . , P ; N ∑ n=1 xn 1/4 − z2 n K′ zn (sc) Kzn (sc) = 2y (2) 1 α−(1/2, γ) I′1/2(sc) I1/2(sc) − 2x̄0 α−(1/2, γ) K′ 1/2(sc) K1/2(sc) − − 2A (0) 0 I′1/2(sc) α−(1/2, γ) − N ∑ n=1 q(zn, γ) 1/4− z2 n A(0) n I′zn (sc); N ∑ n=1 xn µ2 k − z2 n K′ zn (sc) Kzn (sc) = y (2) k µkα−(µk, γ) I′µk (sc) Iµk (sc) − N ∑ n=1 q(zn, γ)A (0) n µ2 k − z2 n I′zn (sc), k = 2, 3, . . . , K. (12) Д. Б. Куриляк, В. О. Лисечко 11 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2013 – 2014. Том 16, N 2. С. 8 – 17 Тут уведено нову змiнну xn =q(zn, γ)x̄n. У рiвняннях (11), (12) виключимо невiдомi x̄0, y (1) p , y (2) k (p, k=1,∞) i отриману систему запишемо так: N ∑ n=1 xn scW [Kzn I1/2]sc [1/4− z2 n]Kzn (sc)I1/2(sc) = = N ∑ n=1 Ā(0) n scW [Izn I1/2]sc [1/4− z2 n]Izn (sc)I1/2(sc) ; (13a) N ∑ n=1 xn scW [Kzn Iνp ]sc [ν2 p − z2 n]Kzn (sc)Iνp (sc) = = N ∑ n=1 Ā(0) n scW [Izn Iνp ]sc [ν2 p − z2 n]Izn (sc)Iνp (sc) , p = 2, 3, . . . , P ; (13b) N ∑ n=1 xn scW [Kzn Iµk ]sc [µ2 k − z2 n]Kzn (sc)Iµk (sc) = = N ∑ n=1 Ā(0) n scW [Izn Iµk ]sc [µ2 k − z2 n]Izn (sc)Iµk (sc) , k = 2, 3, . . . , K, (13c) де W [fg]x =f(x)g′(x) − f ′(x)g(x); Ā (0) n =−q(zn, γ)A (0) n Izn (sc). Iз множин iндексiв {1/2}, {νp}∞p=2 i {µk}∞k=2 утворимо зростаючу послiдовнiсть {ξq}∞q=1 = {1/2} ∪ {νp}∞p=2 ∪ {µk}∞k=2. (14) Перейдемо у спiввiдношеннях (13) до границi, коли N , P , K→∞ (N=P+K−1), розмiстивши рiвняння цiєї системи у вiдповiдностi до послiдов- ностi (14). Отриману НСЛАР запишемо у матри- чному виглядi: A11X = F, (15) де X={xn}∞n=1; A11 – нескiнченний матричний оператор: A11 : { aqn = scW [Kzn Iξq ]sc [ξ2q − z2 n]Kzn (sc)Iξq (sc) }∞ q,n=1 ; (16) F ={fq}∞q=1 – вiдомий вектор; fq = ∞ ∑ n=1 Ā(0) n scW [Izn Iξq ]sc [ξ2q − z2 n]Izn (sc)Iξq (sc) . Зауважимо, що при формальнiй редукцiї НСЛАР (15) з достатньо великим порядком N кiлькiсть рiвнянь у такiй скiнченнiй системi, включених зi спiввiдношень (13a) – (13c), за- довольняє спiввiдношення P/K=γ/(π−γ). Це твердження безпосередньо випливає з асимптоти- чної поведiнки коренiв рiвнянь (6) [22]: νp = π γ ( p − 3 4 ) +O ( 1 p ) , µk = π π − γ ( k − 3 4 ) +O ( 1 k ) . 3. РЕГУЛЯРИЗАЦIЯ НСЛАР Визначимо асимптотики матричних елементiв оператора (16), якi при ξq , zn�\|sc\| i \|sc\|→0 за- пишемо у виглядi [20, 23]: aqn = scW [Kzn Iξq ]sc [ξ2q − z2 n]Kzn (sc)Iξq (sc) ∣ ∣ ∣ ∣ ξq ,zn�\|sc\| = = 1 ξq − zn +O ( 1 ξqzn(ξq − zn) ) , (17) aqn = scW [Kzn Iξq ]sc [ξ2q − z2 n]Kzn (sc)Iξq (sc) ∣ ∣ ∣ ∣ sc→0 = = 1 ξq − zn + O ( ( sc 2 )2 ) . (18) Головнi члени асимптотик (17), (18) визначають матричний оператор типу згортки: A : { aqn = 1 ξq − zn }∞ q,n=1 . (19) Для знаходження оберненого оператора A−1 розглянемо функцiю M(ν, γ) = − cosπν πP 1 ν−1/2(cos γ)P 1 ν−1/2(− cos γ) , (20) яка є парною мероморфною функцiєю, регуляр- ною у смузi Π : {\|Re ν \|<1/2}, а за її межами має простi дiйснi нулi й полюси у точках ±zk, ±ξq (k, q = 1,∞). Окрiм того, M(ν, γ)=O(ν−1) при \|ν \|→∞. Функцiя (20) допускає факторизацiю у виглядi M(ν, γ)=M+(ν, γ)M−(ν, γ), де M±(ν, γ) – функцiї, регулярнi у пiвплощинах Re ν>−1/2 i Re ν<−1/2; M+(ν, γ)=M−(−ν, γ); 12 Д. Б. Куриляк, В. О. Лисечко ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2013 – 2014. Том 16, N 2. С. 8 – 17 M±(ν, γ)=O(ν−1/2) при ν→∞ в областях регу- лярностi. З використанням методу нескiнченних добуткiв функцiю M+(ν, γ) подамо так: M+(ν, γ)=B0 { Γ(ν+1/2)eχν× × ∞ ∏ n=1 ( 1+ ν νn ) e−ν/νn ∞ ∏ n=1 ( 1+ ν µn ) e−ν/µn }−1 , B0 = [P 1 −1/2(cos γ)P 1 −1/2(− cos γ)]−1/2, χ = γ π ln γ π + π − γ π ln π − γ π − −ψ(1/4) − S(γ) − S(π − γ), S(γ) = ∞ ∑ n=1 { γ π(n− 3/4) − 1 νn } , S(π − γ) = ∞ ∑ n=1 { π − γ π(n − 3/4) − 1 µn } . Тут ψ(·) – логарифмiчна похiдна гамма-функцiї. Оператор обернений до (19) подамо у вигля- дi [20]: A−1 : { τkq }∞ k,q=1 , τkq = 1 {M−1 − (ξq , γ)}′M ′ −(zk, γ)(zk − ξq) . (21) Тут штрих означає похiдну за аргументом M ′ −(ν, γ)=d/dν [M−(ν, γ)]\|ν=ξq,zk у точках ν=ξq i ν=zk. Елементи матричних операторiв знаходимо з формул M ′ −(zk, γ) = − 1 [P 1 k (cos γ)]2M+(k + 1/2) , {M−1 − (ξq , γ)}′ = −πM+(ξq) cosπξq × ×              P 1 ν−1/2(− cos γ) ∂P 1 ν−1/2(cos γ) ∂ν ∣ ∣ ∣ ∣ ξq∈{νk}∞ k=2 , P 1 ν−1/2(cos γ) ∂P 1 ν−1/2(− cos γ) ∂ν ∣ ∣ ∣ ∣ ξq∈{µk}∞ k=2 . Справедливо {M−1 − (1/2, γ)}′=M+(1/2, γ). Видiлимо у НСЛАР (15) матричний опера- тор (19) i, використовуючи обернений опера- тор (21), отримаємо НСЛАР другого роду: X = A−1[A− A11]X + A−1F. (22) Єдиний розв’язок НСЛАР (22) iснує в просто- рi b(σ): {‖xn‖=sup n \|xnn σ\|, lim n→∞ xnn σ =0}, при 0≤σ<1/2. Це забезпечує виконання умов Мей- кснера на краю [20]. Коефiцiєнти розкладу дифрагованого потенцiа- лу швидкостi (5) в областi D3 виражаємо через розв’язки НСЛАР (22) формулою x̄n =xn/q(zn, γ), де n=1, 2, 3, . . .Невiдоме значення x̄0 знаходимо iз розв’язку системи двох лiнiйних алгебраїчних рiв- нянь, якi формуємо з перших рiвнянь (11) i (12), що дає x̄0≡0. 4. АНАЛIЗ РЕЗУЛЬТАТIВ Усi характеристики розсiяного поля розрахо- вувались на основi розв’язку скiнченної системи рiвнянь, отриманої з НСЛАР (22) методом ре- дукцiї. Окрiм того, використовувалися спiввiдно- шення (5). Порядок редукцiї вибирався з умови N= \|kc\|+q, q=(4 . . .10). Аналiзувались дiаграми спрямованостi дифрагованого поля, якi розрахо- вувались за формулою D(θ)= lim r→∞ \|rU(r, θ)e−ikr\|, де U(r, θ) – потенцiал швидкостi дифрагованого поля (5) в областi D3. На рис. 2 показано вплив хвильової довжини твiрної kc на дiаграми спрямованостi вузького ко- нуса (γ=20◦) при опромiненнi його плоскою зву- ковою хвилею зi сторони вершини. Коли довжина твiрної c<λ/2, то дифраговане поле слабо зале- жить вiд параметра kc. Як видно з поведiнки кри- вих на рис. 2, а, у цьому випадку поле практично рiвномiрно розподiлене по куту θ. Iз ростом пара- метра kc головний пелюсток дiаграм спрямовано- стi формується у напрямi θ=0◦, тобто основна ча- стина енергiї дифрагованого поля зосереджується у напрямi падiння плоскої хвилi (див. рис. 2, б). У той же час, зворотне випромiнювання (θ=180◦) з ростом kc спадає. Спостерiгаємо також формува- ння “глухої” областi при 100◦<θ<130◦, де модуль потенцiалу швидкостi дифрагованого поля близь- кий до нуля. На рис. 3 показанi аналогiчнi залежностi дiа- грам спрямованостi, коли конус опромiнюється з боку основи (γ=160◦). Як видно з порiвняння кри- вих на рис. 2, а i 3, а, при c<λ/2 дiаграми спрямо- ваностi скiнченних вузьких конусiв, опромiнених Д. Б. Куриляк, В. О. Лисечко 13 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2013 – 2014. Том 16, N 2. С. 8 – 17 а б Рис. 2. Залежнiсть дiаграм спрямованостi дифрагованого поля при γ=20◦ вiд параметра kc: а – 1≤kc≤5; б – 6≤kc≤10 а б Рис. 3. Залежнiсть дiаграм спрямованостi дифрагованого поля при γ=160◦ вiд параметра kc: а – 1≤kc≤5; б – 6≤kc≤10 а б Рис. 4. Дiаграми спрямованостi дифрагованого поля для диска (γ=90.01◦) при рiзних значеннях kc: а – 1≤kc≤6; б – 7≤kc≤10 14 Д. Б. Куриляк, В. О. Лисечко ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2013 – 2014. Том 16, N 2. С. 8 – 17 плоскою хвилею вздовж осi з бокiв вершини чи основи, виявляються близькими за формою. Про- те формування вираженої головної пелюстки дi- аграм спрямованостi при γ=160◦ спостерiгається вже при c<λ. На вiдмiну вiд попереднього випад- ку, тепер максимальне випромiнювання дифраго- ваного поля спрямоване “назад” (θ=180◦). Окрiм того, достатньо високий рiвень випромiнювання дифрагованого поля спостерiгається i в напрямi поширення падаючої хвилi (θ=0◦). Ця тенденцiя зберiгається i при c>λ. При зростаннi параметра kc тут також формується область, “глуха” до про- никнення дифрагованого поля при 50◦<θ<100◦ (див. на рис. 3, б). Аналогiчний вплив параметра kc на форму дiаграм спрямованостi скiнченного конуса спостерiгаємо i при його розширеннi. На рис. 4 наведено дiаграми спрямованостi ко- нуса з γ→π/2. Зауважимо, що при проведеннi ре- альних обчислень приймалося γ=90.01◦. У зв’язку з тим, що при γ→π/2 кутовi розподiли модуля по- тенцiалу швидкостей дифрагованого поля в обла- стях 0≤θ≤π/2 i π/2≤θ≤π спiвпадають (а фази протилежнi), то дiаграми спрямованостi наведенi тiльки для 0≤θ≤π/2. Як видно з поведiнки кривих на рис. 4, для ди- ска вже при kc>3 починає формуватись спрямо- ванiсть поля уздовж його осi, а область “глуха” до проникнення дифрагованого поля суттєво розши- рюється. У науковiй лiтературi наведено багато результа- тiв дослiдження дифракцiї плоскої хвилi на диску, який можна вважати одним з граничних випадкiв для геометрiї скiнченного цилiндра. На рис. 5 по- рiвнюються дiаграми спрямованостi, отриманi рi- зними авторами з застосуванням незалежних ме- тодiв [8, 24, 25]. Як видно з графiка, наша крива 1 практично спiвпадає з результатом, отриманим то- чним методом у [8] (крива 2, поле розкладене в ряд за сфероїдальними функцiями). Незначна розбi- жнiсть спостерiгається при θ<10◦, причому вiдно- сна похибка у напрямi θ=0◦ складає всього 3.6 %. Крива 3 побудована на основi асимптотичного ви- разу, отриманого у працi [24] для круглого отво- ру у м’якiй площинi, що, згiдно принципу Бабi- не, еквiвалентно розв’язку задачi дифракцiї для жорсткого диска. Крива 4 вiдповiдає наближен- ню Кiрхгофа [25]. Хороше узгодження наших ре- зультатiв з дiаграмами спрямованостi, отримани- ми наближеними методами, спостерiгається в око- лi осi симетрiї 0◦≤θ<30◦. Цi данi можуть служити пiдтвердженням достовiрностi отриманих резуль- татiв. На рис. 6 наведенi залежностi перерiзiв розсiя- ння σs =σs(kc) для рiзних кутiв розхилу конуса, Рис. 5. Порiвняння дiаграм спрямованостi, отриманих рiзними авторами для диска: 1 – нашi розрахунки при γ =90.01◦; 2 – “точна” теорiя [8]; 3 – геометрична теорiя дифракцiї Келлера [24]; 4 – наближення Кiрхгофа [25] Рис. 6. Сiмейство перерiзiв розсiяння σs(kc) для рiзних кутiв розхилу конуса Рис. 7. Залежностi величини перерiзу розсiяння вiд значення kc: 1 – γ =90.01◦; 2, 3 – за даними [8]; 4 – γ =80◦; 5 – γ =100◦ Д. Б. Куриляк, В. О. Лисечко 15 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2013 – 2014. Том 16, N 2. С. 8 – 17 а б Рис. 8. Залежностi D(θ) вiд кута розхилу конуса γ при рiзних значеннях kc: а – θ=0◦; б – θ=180◦ який визначали за формулою σs 2πc2 = − π (sc)2 ∞ ∑ n=0 \|x̄n\|2 (2n+ 1)\|Kzn (sc)\|2 . Як видно з поведiнки кривих на рис. 6, за- лежностi σs(kc) мають осцилюючий характер. Зi збiльшенням кута розхилу конуса головний макси- мум σs(kc) зсувається у низькочастотну область до значень kc=2.6, а ефективна площа розсiяння зростає. При γ→π/2 i зростаннi параметра kc ма- ємо σs(kc)→2πc2. Зауважимо, що розсiяна на ко- нусi енергiя не залежить вiд положення джерела (θ=0◦ чи θ=180◦), тому перерiзи розсiяння для конусiв з кутами розхилу γ i π−γ спiвпадають. Порiвняння залежностей σs(kc), отриманих для диска незалежними методами, наведено на рис. 7. На цьому графiку спостерiгаємо практично повне спiвпадiння наших результатiв (крива 1) iз дани- ми [8] (крива 2) i хорошу їхню вiдповiднiсть з ре- леївським наближенням при kc<1 [8]. Поведiнка кривих 1, 4 i 5 показує, що незначне (±10◦) вiдхи- лення γ вiд π/2 мало впливає на σs, тобто перерiз розсiяння широкого конуса близький до перерiзу розсiяння диска. Найбiльше вiдхилення спостерi- гається для 2.5<kc<6. На рис. 8 наведено залежностi модуля потенцiа- лу швидкостi дифрагованого поля вiд кута γ для рiзних значень хвильового параметра kc. При цьо- му, рис. 8, а вiдповiдає напряму поширення пада- ючої хвилi θ=0◦ (розсiяння вперед), а рис. 8, б – θ=180◦ (зворотне розсiяння). Вони дозволяють визначити один iз двох геометричних параметрiв конуса γ або c за даними одночастотного зондува- ння, коли вiдомим другий з них (швидкiсть поши- рення звукової хвилi c0 вважається вiдомою). Дiйсно, D(θ=0◦) як функцiя кута розхилу кону- са γ симетрична вiдносно γ=π/2 (див. рис. 8, а) i характер поведiнки кривих для рiзних kc дозволяє однозначно встановити довжину твiрної конуса за значенням D(θ=0◦) при вiдомому кутi розхилу γ, частотi ω i швидкостi поширення звукової хвилi c0. Як видно з рис. 8, б, аналогiчнi залежностi D(θ=180◦) при c>λ/2 є несиметричними вiдносно γ=π/2. Поведiнка наведених кривих вказує, що при фiксованому kc iснує не менше двох кутiв роз- хилу (γ 6=π/2), якi вiдповiдають одному значенню D(θ=180◦). Проте вiдсутнiсть такої симетрично- стi вiдносно γ дозволяє за значеннями D(θ=0◦) i D(θ=180◦), отриманими при одночастотному зон- дуваннi й фiксованому kc, однозначно встановити параметр γ. Зауважимо, що при вiдомому кутi розхилу кону- са для однозначного визначення довжини твiрної c можемо використати також данi по зворотному розсiюваннi, наведенi на рис. 8, б. ВИСНОВКИ Методом розкладу потенцiалу швидкостi в ря- ди за власними функцiями пiдобластей сумiсно з методами спряження полiв i аналiтичної регуляри- зацiї задачу дифракцiї поля плоскої звукової хви- лi на скiнченному абсолютно жорсткому порожни- стому конусi при осьовому опромiненнi зведено до НСЛАР другого роду, розв’язок якої забезпечує виконання усiх необхiдних умов. Iз застосуванням методу редукцiї iз заданою то- чнiстю отримано числовий розв’язок НСЛАР i до- слiджено характеристики розсiяння скiнченного конуса у широкому дiапазонi змiни геометричних параметрiв i частоти. Порiвняння дiаграм спрямо- 16 Д. Б. Куриляк, В. О. Лисечко ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2013 – 2014. Том 16, N 2. С. 8 – 17 ваностi й перерiзiв розсiяння конусiв з γ→π/2 i вi- домими даними для дискiв дозволило встановити достовiрнiсть отриманих результатiв. Встановлено можливiсть однозначного визначе- ння довжини твiрної конуса c i кута розхилу γ за даними одночастотного зондування, коли апрiор- но вiдомий один iз цих геометричних параметрiв. Показано, що для визначення довжини конуса до- статньо даних по розсiянню вперед або у зворо- тному напрямку. Для визначення ж кута розхилу за вiдомої довжини c необхiднi данi як по розсiю- ваннi вперед, так i по зворотному розсiюваннi при обмеженнi на частоту зондування c>λ/2. 1. Carslaw H. S. The scattering of sound waves by a cone // Mathematische Annalen.– 1914.– 75.– P. 133 – 147. 2. Siegel K. M., Alperin H. A. Studies in radar cross- sections // III. Scattering by a cone. Radiation Lab., Univ. of Michigan.– 1952.– Rep. UMMM-87.– P. 55. 3. Felsen L. B. Backscattering from wide-angle and narrow-angle cones // J. App. Phys.– 1955.– 26, № 2.– P. 138 – 151. 4. Felsen L. B. Plane-wave scattering by small-angle cones // IEEE Trans. Antennas Propag.– 1957.– 5, № 1.– P. 121 – 129. 5. Николаев Б. Г. О волновых процессах, возникаю- щих при дифракции на идеально отражающем ко- нусе в осесимметричном случае // Зап. науч. сем. ЛОМИ.– 1972.– 25.– С. 151 – 171. 6. Smyshlyaev V. Diffraction by conical surface at high frequency // Wave motion.– 1990.– 12, № 4.– P. 329 – 339. 7. Bonner B. D., Graham I. G., Smyshlyaev V. The computation of the conical diffraction coefficients in high-frequency acoustic wave scattering // SIAM J. Numer. Anal.– 2005.– 43, № 3.– P. 1202 – 1230. 8. Bowman J. J., Senior T. B. A., Uslenghi L. E., Asvestas J. S. Electromagnetic and acoustic scatteri- ng by simple shapes.– Amsterdam: North-Holland, 1969.– 728 p. 9. Antipov Y. A. Diffraction of a plane wave by a ci- rcular cone with an impedance boundary condition // SIAM J. Appl. Math.– 2002.– 62, № 4.– P. 1122 – 1152. 10. Лялинов М. А. О дифракции плоской волны на импедансном конусе // Зап. науч. сем. ПОМИ.– 2003.– 297.– С. 191 – 215. 11. Kraus L., Levine L. M. Diffraction by an elliptic cone // Comm. Pure Appl. Math.– 1957.– 14, № 1.– P. 49 – 68. 12. Бабич В. М., Дементьев Д. Б., Самокиш Б. А., Смышляев В. П. О рассеянии высокочастотной волны вершиной произвольного конуса // Зап. на- уч. сем. ПОМИ.– 2000.– 264.– С. 7 – 21. 13. Shanin A. V. Modified Smyshlyaev’s formulae for the problem of diffraction of a plane wave by an ideal quarter-plane // Wave Motion.– 2005.– 41.– P. 79 – 93. 14. Assier R. C., Peake N. On the diffraction of acoustic waves by a quarter-plane // Wave Motion.– 2012.– 49, № 1.– P. 64 – 82. 15. Leitner A., Wells C. Radiation by disks and conical structures // IEEE Trans. Antennas Propag.– 1956.– 4, № 4.– P. 637 – 640. 16. Вайслейб Ю. В. Рассеяние звуковых волн на коне- чном конусе // Акуст. ж.– 1971.– 17, № 1.– С. 33 – 42. 17. Вовк И. В., Гринченко В. Т. Излучение звуковой волны из полого конечного конуса // Линейные краевые задачи мат. физики.– К.: Ин-т математи- ки АН УССР, 1973.– С. 129 – 139. 18. Keller J. B. Backscattering from a finite cone // IEEE Trans. Antennas Propag.– 1960.– 8.– P. 175 – 182. 19. Wiener F. M. Notes on sound diffraction by rigid ci- rcular cones // J. Acoust. Soc. Amer.– 1948.– 20, № 4.– P. 367 – 369. 20. Куриляк Д. Б., Назарчук З. Т. Аналiтико-числовi методи в теорiї дифракцiї хвиль на конiчних i кли- ноподiбних поверхнях.– К.: Наук. думка, 2006.– 280 с. 21. Градштейн И.., Рыжик И. М. Таблицы интегра- лов, сумм, рядов и произведений.– М.: Физматиз, 1963.– 1100 с. 22. Гобсон Е. Теория сферических и эллипсоидальных функций.– М.: ИЛ, 1952.– 370 с. 23. Kuryliak D. B., Nazarchuk Z. T. Convolution type operators for wave diffraction by conical structures // Radio Science.– 2008.– 43.– RS4S03, doi 10.1029/2007RS003792. 24. Keller J. B. Geometrical theory of diffraction // J. Opt. Soc. Amer.– 1962.– 52, № 2.– P. 116 – 130. 25. Leitner A. Diffraction of sound by a circular disk // J. Acoust. Soc. Amer.– 1949.– 21, № 4.– P. 331 – 334. Д. Б. Куриляк, В. О. Лисечко 17

Дифракція плоскої акустичної хвилі на скінченному жорсткому конусі при осьовому опроміненні

Institution

Ähnliche Einträge