Функція Гріна тривимірного конвективного хвильового рівняння для прямого каналу
За допомогою розробленого в роботі методу побудовано функцію Гріна тривимірного конвективного хвильового рівняння для прямого каналу довільної (але незмінної по довжині) форми поперечного перерізу з акустично жорсткими і акустично м’якими стінками, а також зі стінками змішаного типу. С помощью разра...
Saved in:
| Published in: | Акустичний вісник |
|---|---|
| Date: | 2015 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2015
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116232 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Функція Гріна тривимірного конвективного хвильового рівняння для прямого каналу / А.О. Борисюк // Акустичний вісник — 2015. —Т. 17, № 1. — С. 3-16. — Бібліогр.: 23 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860080106283728896 |
|---|---|
| author | Борисюк, А.О. |
| author_facet | Борисюк, А.О. |
| citation_txt | Функція Гріна тривимірного конвективного хвильового рівняння для прямого каналу / А.О. Борисюк // Акустичний вісник — 2015. —Т. 17, № 1. — С. 3-16. — Бібліогр.: 23 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Акустичний вісник |
| description | За допомогою розробленого в роботі методу побудовано функцію Гріна тривимірного конвективного хвильового рівняння для прямого каналу довільної (але незмінної по довжині) форми поперечного перерізу з акустично жорсткими і акустично м’якими стінками, а також зі стінками змішаного типу.
С помощью разработанного в работе метода построена функция Грина трехмерного конвективного волнового уравнения для прямого канала произвольной (но неизменной по длине) формы поперечного сечения с акустически жесткими и акустически мягкими стенками, а также со стенками смешанного типа.
The Green’s function of the three-dimensional convective wave equation for a straight channel of arbitrary (but constant along its length) cross-sectional shape, having either acoustically rigid or acoustically soft walls or the walls of a mixed type, is obtained by the method developed in this work.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:15:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2015. Том 17, N 1. С. 3 – 16
УДК 534.3; 616.12-008
ФУНКЦIЯ ГРIНА ТРИВИМIРНОГО КОНВЕКТИВНОГО
ХВИЛЬОВОГО РIВНЯННЯ ДЛЯ ПРЯМОГО КАНАЛУ
А. О. Б О РИ СЮ К
Iнститут гiдромеханiки НАН України, Київ
вул. Желябова, 8/4, 03680, МСП, Київ-180, Україна
E-mail: aobor@ukr.net
Отримано 17.06.2015 � Переглянуто 18.09.2015
За допомогою розробленого в роботi методу побудовано функцiю Грiна тривимiрного конвективного хвильового
рiвняння для прямого каналу довiльної (але незмiнної по довжинi) форми поперечного перерiзу з акустично
жорсткими i акустично м’якими стiнками, а також зi стiнками змiшаного типу. Ця функцiя представляється рядом
за акустичними модами каналу. Кожний член ряду є суперпозицiєю прямої та зворотної хвиль, якi поширюються на
вiдповiднiй модi вниз та вгору за течiєю вiд одиничного точкового iмпульсного акустичного джерела. У побудованiй
функцiї Грiна в явному виглядi вiдображенi ефекти рiвномiрної осередненої течiї в каналi. Вони стають вагомiшими
зi збiльшенням числа Маха течiї, зумовлюючи, зокрема, появу i подальше збiльшення асиметрiї функцiї вiдносно
поперечного перерiзу каналу, в якому розташоване джерело. Навпаки, зi зменшенням числа Маха вплив течiї на
функцiю Грiна слабшає. У випадку вiдсутностi течiї в каналi функцiя Грiна стає симетричною вiдносно вказаного
перерiзу. На основi запропонованого методу одержано функцiї Грiна тривимiрного конвективного хвильового
рiвняння для прямих каналiв прямокутного та кругового поперечних перерiзiв. Окрiм цього, запропоновано
перетворення, котре дозволяє зводити одновимiрне конвективне рiвняння Кляйна –Гордона до його класичного
одновимiрного аналогу, який має вiдомий розв’язок.
КЛЮЧОВI СЛОВА: течiя в каналi, функцiя Грiна, число Маха, конвективне хвильове рiвняння
С помощью разработанного в работе метода построена функция Грина трехмерного конвективного волнового
уравнения для прямого канала произвольной (но неизменной по длине) формы поперечного сечения с акустически
жесткими и акустически мягкими стенками, а также со стенками смешанного типа. Эта функция представляется
рядом по акустическим модам канала. Каждый член ряда является суперпозицией прямой и обратной волн,
распространяющихся на соответствующей моде вниз и вверх по течению от единичного точечного импульсного
акустического источника. В построенной функции Грина в явном виде отражены эффекты равномерного осре-
дненного течения в канале. Они становятся более весомыми при увеличении числа Маха течения, обуславливая, в
частности, появление и дальнейшее увеличение асимметрии функции относительно поперечного сечения канала, в
котором находится источник. Наоборот, с уменьшением числа Маха влияние течения на функцию Грина слабеет.
В случае отсутствия течения в канале полученная функция Грина симметрична относительно указанного сечения.
На основании предложенного метода получены функции Грина трехмерного конвективного волнового уравнения
для прямых каналов прямоугольного и кругового поперечных сечений. Кроме того, предложено преобразование,
позволяющее сводить одномерное конвективное уравнение Кляйна –Гордона к его классическому одномерному
аналогу, имеющему известное решение.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: течение в канале, функция Грина, число Маха, конвективное волновое уравнение
The Green’s function of the three-dimensional convective wave equation for a straight channel of arbitrary (but constant
along its length) cross-sectional shape, having either acoustically rigid or acoustically soft walls or the walls of a mixed
type, is obtained by the method developed in this work. This function is represented by a series of the channel acoustic
modes. Each term of the series is a superposition of the direct and reverse waves propagating in the corresponding mode
downstream and upstream of the unit point impulse acoustic source, respectively. In the found Green’s function, the
effects of a uniform mean flow in the channel are directly reflected. The effects become more significant as the flow
Mach number increases, causing, in particular, the appearance and further growth of the function asymmetry about the
channel cross-section in which the noted source is located. Vice versa, the decrease of the Mach number results in the
decrease of flow effects and, in particular, decrease of the indicated function asymmetry. In the case of flow absence in the
channel, the obtained Green’s function is symmetric about the noted cross-section. On the base of the above-mentioned
method, the Green’s functions of the three-dimensional convective wave equation for straight channels of rectangular
and circular cross-sectional shape are also obtained. Moreover, a transformation is suggested that allows the reduction of
the one-dimensional convective Klein –Gordon equation to its classical one-dimensional counterpart having the known
solution.
KEY WORDS: flow in the channel, the Green’s function, the Mach number, the convective wave equation
ВСТУП
Проблеми знаходження й дослiдження акусти-
чних полiв, якi генеруються в каналах рiзних гео-
метрiй та розмiрiв, становлять значний iнтерес
для автомобiле- та лiтакобудування, архiтектури,
медицини, нафтогазової промисловостi, комуналь-
ного господарства тощо [1 – 5]. Усi такi задачi, не-
залежно вiд типу каналiв й акустичних джерел у
них, у принципi можуть бути розв’язанi за допомо-
гою методу функцiй Грiна. Проте його застосува-
ння доцiльне лише тодi, коли вiдповiдну функцiю
вдається побудувати, що вимагає вiд дослiдника
високої професiйної квалiфiкацiї, бiльш того, ми-
c© А. О. Борисюк, 2015 3
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2015. Том 17, N 1. С. 3 – 16
10
0
1 2 3( , , )x x x
·
10 20 30( , , )x x x
·
U
z
y
x
3x
2x
1x
Рис. 1. Геометрiя задачi (нескiнченний прямий канал
довiльного поперечного перерiзу)
стецтва.
Окрiм того, така принципова можливiсть визна-
чається багатьма факторами, серед яких згадаємо
геометрiю дослiджуваного каналу, зокрема, фор-
му поперечного перерiзу, фiзичнi властивостi стi-
нок та умови його закрiплення, фiзичнi властивос-
тi зовнiшнього i внутрiшнього середовища, акусти-
чнi умови на кiнцях каналу, наявнiсть або вiдсу-
тнiсть течiї в ньому тощо. Як засвiдчує аналiз вiд-
повiдних наукових джерел, з-помiж конструкцiй,
геометрiя та фiзичнi властивостi яких визнача-
ються рiзними комбiнацiями цих факторiв, най-
бiльш повно дослiдженi нескiнченнi прямi жорс-
ткостiннi канали кругового та прямокутного по-
перечного перерiзу (див., наприклад, [1, 2, 6 – 18]
i вiдповiднi посилання в них). Для них побудо-
вано функцiї Грiна хвильового рiвняння й рiвня-
ння Гельмгольца, що дозволило на основi теоре-
ми Грiна одержати вирази для рiзних характери-
стик акустичних полiв, згенерованих вiдповiдними
джерелами у зазначених каналах. Проте всi зга-
данi результати зазвичай обмежувалися випадком
вiдсутностi течiї в каналi. Якщо ж наявнiсть течiї
i бралася до уваги, то її ефекти у вiдповiдних фун-
кцiях Грiна та/або кiнцевих результатах мiстились
лише у неявному виглядi1 [1, 2, 6 –8,10, 12 –18].
Цей недолiк було частково виправлено у нещо-
давнiх публiкацiях [19 – 21]. У них було побудова-
но функцiї Грiна хвильового рiвняння й рiвняння
Гельмгольца для нескiнченного прямого жорстко-
стiнного каналу з внутрiшньою рiвномiрною осере-
дненою течiєю для випадкiв кругового [19] i пря-
мокутного поперечного перерiзу [20, 21]. Окрiм iн-
шого, у цих функцiях вже у явному виглядi вiд-
ображенi ефекти наявностi течiї.
У даному дослiдженнi результати робiт [19 –21]
розвиваються й узагальнюються на випадок не-
1У явному виглядi (тобто у виглядi явних математичних
залежностейдослiджуваниххарактеристикакустичнихпо-
лiв вiд параметрiв течiї) цi ефекти проявлялись лише у вiд-
повiдних масштабних законах та/або рiзного роду кiлькi-
сних оцiнках.
скiнченного прямого каналу довiльної (але незмiн-
ної по його довжинi) форми й площi поперечно-
го перерiзу з акустично жорсткими чи акустично
м’якими стiнками, або ж зi стiнками змiшаного ти-
пу. Одержанi при цьому результати мають явну
залежнiсть вiд параметрiв течiї в каналi, а у ра-
зi конкретизацiї форми його поперечного перерiзу
(кругової чи прямокутної) спiвпадають з вiдповiд-
ними результатами, наведеними в [19 – 21].
Стаття складається зi вступу, трьох роздiлiв, ви-
сновкiв, списку лiтератури i двох додаткiв. У її
роздiлi 1 формулюється задача. У роздiлi 2 буду-
ється функцiя Грiна тривимiрного конвективного
хвильового рiвняння для каналу довiльної (але не-
змiнної по його довжинi) форми та площi попереч-
ного перерiзу iз зазначеними вище типами стiнок.
У роздiлi 3 розглядаються канали найтиповiших
прямокутної i кругової форм поперечного пере-
рiзу, для яких розробленим у роздiлi 2 методом
будуються функцiї Грiна зазначеного хвильового
рiвняння. Пiсля цього формулюються висновки,
наводяться списки цитованої лiтератури й прийня-
тих позначень (додаток А). У додатку Б виводи-
ться в операторному виглядi i розписується у до-
вiльнiй ортогональнiй криволiнiйнiй системi коор-
динат тривимiрне конвективне хвильове рiвняння.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧI
На рис. 1 зображено нерухомий нескiнченний
прямий канал довiльної (але незмiнної по його дов-
жинi) форми та площi поперечного перерiзу. Тут
мається на увазi така форма поперечного перерiзу
каналу i такий тип його стiнок, для яких можна
знайти (аналiтично або чисельно) його акустичнi
моди. У каналi задано рiвномiрну осереднену по
його поперечному перерiзу течiю рiдини2 зi швид-
кiстю U в напрямку твiрної його стiнки, а також
довiльним чином розташованi акустичнi джерела
рiзної природи. Останнi генерують у каналi аку-
стичне поле, яке описується тривимiрним конве-
ктивним хвильовим рiвнянням (див. рiвняння (46)
2Тут не вводиться нi в’язкiсть рiдини, нi її масова гу-
стина. Це пояснюється тим, що при такiй постановцi задачi
перша характеристика рiдини взагалi не вiдiграватиме нi-
якої ролi (бо вважається, що згенерований звук поширює-
ться в iдеальному стисливому середовищi [1,2,10 – 18]), тодi
як друга вiдобразиться у кiнцевому результатi лише у не-
явному виглядi – через наперед задану швидкiсть звуку в
незбуреному середовищi.
4 А. О. Борисюк
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2015. Том 17, N 1. С. 3 – 16
з додатку Б):
1
c2
0
d2pa
dt2
−∇2pa = γ,
(x1, x2) ∈ A, |x3| < ∞, |t| < ∞.
(1)
Необхiдно побудувати функцiю Грiна рiвняння (1)
для цього каналу.
У рiвняннi (1) c0 – швидкiсть звуку в незбуренiй
рiдинi; pa – акустичний тиск; t – час; γ задає су-
марний розподiл зазначених акустичних джерел;
x1, x2, x3 – вибранi на рис. 1 ортогональнi (у за-
гальному випадку, криволiнiйнi) координати з вiс-
сю x3 уздовж течiї; A – поперечний перерiз ка-
налу з площею |A|. Друга повна похiдна за ча-
сом d2/dt2 i оператор Лапласа ∇2 у системi ко-
ординат (x1, x2, x3) записуються наступним чином
(див. спiввiдношення (48), (53) у додатку Б):
d2
dt2
=
(
∂
∂t
+ ~U · ~∇
)2
=
(
∂
∂t
+ U
∂
∂x3
)2
=
=
∂2
∂t2
+ 2U
∂2
∂t∂x3
+ U2 ∂2
∂x2
3
,
∇2 =
1
h1h2
[
∂
∂x1
(
h2
h1
∂
∂x1
)
+
+
∂
∂x2
(
h1
h2
∂
∂x2
)
+ h1h2
∂2
∂x2
3
]
.
(2)
Тут ~U – вектор швидкостi заданої в каналi течiї:
~U = Ui~ei = U3~e3 = U~e3;
hi (i=1, 2, 3) – коефiцiєнти Ляме [9,22,23] (деталь-
нiше див. формули (49), (52) у додатку Б):
hi =
√
(
∂x
∂xi
)2
+
(
∂y
∂xi
)2
+
(
∂z
∂xi
)2
,
h1 = h1(x1, x2), h2 = h2(x1, x2), h3 = 1;
(3)
~∇ – градiєнт:
~∇ = ∇i~ei =
1
hi
∂
∂xi
~ei =
=
1
h1
∂
∂x1
~e1 +
1
h2
∂
∂x2
~e2 +
∂
∂x3
~e3;
крапка мiж векторами ~U та ~∇ вказує на скалярне
множення:
~U · ~∇ = Ui∇i = U∇3 = U
∂
∂x3
;
~e1, ~e2 та ~e3 – орти координатних осей x1, x2 та x3
вiдповiдно:
~ei · ~ej =
{
1, i = j,
0, i 6= j;
x, y, z – прямокутнi декартовi координати, вибранi
так, що:
• їхнiй початок лежить у тому ж поперечному
перерiзi каналу, що й початок системи коор-
динат (x1, x2, x3),
• вiсь z спiвнаправлена з вiссю x3.
Детальнi пояснення див. у додатку Б перед спiв-
вiдношеннями (51).
Окрiм того, тут i надалi передбачається пiдсу-
мовування по iндексах, що повторюються. Також,
згiдно з умовою задачi,
∂U
∂t
= 0,
∂U
∂xi
= 0,
∂A
∂x3
= 0, |A| = const.
2. ФУНКЦIЯ ГРIНА
2.1. Рiвняння та умови, яким задовольняє
функцiя Грiна
Шукана функцiя Грiна G описує у довiльнiй то-
чцi каналу (x1, x2, x3) в момент часу t акустичний
тиск, згенерований в момент t0 точковим iмпуль-
сним акустичним джерелом одиничної амплiтуди,
розташованим у каналi у точцi (x10, x20, x30), див.
рис. 1. Вона задовольняє рiвняння
1
c2
0
d2G
dt2
−∇2G = δ(~r − ~r0) δ(t − t0), (4)
(x1, x2) ∈ A, |x3| < ∞, |t| < ∞,
(x10, x20) ∈ A, |x30| < ∞, |t0| < ∞.
Тут, згiдно зi спiввiдношеннями (48), (53) з дода-
тку Б, δ(~r−~r0) – тривимiрна просторова дельта-
функцiя Дiрака:
δ(~r−~r0) =
1
h1h2
δ(x1−x10) δ(x2−x20) δ(x3−x30);
δ(xi−xi0), i=1, 2, 3 – одновимiрнi просторовi, а
δ(t−t0) – одновимiрна часова дельта-функцiї;
~r=xi~ei i ~r0 =xi0~ei – радiус-вектори вiдповiдно точ-
ки поля i зазначеного джерела; оператори d2/dt2 i
∇2 даються спiввiдношеннями (2).
Граничнi умови для функцiї G можуть вiдобра-
жати, зокрема:
А. О. Борисюк 5
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2015. Том 17, N 1. С. 3 – 16
• вiдсутнiсть нормальної компоненти акусти-
чної швидкостi на поверхнi каналу S (у разi
акустично жорсткої його стiнки)
∂G
∂~n
∣
∣
∣
∣
S
= 0 (5)
де ~n – зовнiшня нормаль до S;
• рiвнiсть нулевi акустичного тиску на S (у разi
акустично м’якої стiнки)
G|S = 0, (6)
• у разi акустичної жорсткостi якоїсь частини
стiнки каналу i акустичної м’якостi решти йо-
го стiнки:
∂G
∂~n
∣
∣
∣
∣
S1
= 0, G|S2
= 0 (7)
(тут S1 i S2 – частини поверхнi каналу
S=S1 ∪ S2, на яких вiдповiдно нормальна
компонента акустичної швидкостi i акусти-
чний тиск дорiвнюють нулевi).
Окрiм цього, не повинно бути приходу звукових
хвиль з нескiнченностi. Акустичне поле в усьому
каналi до початку його генерацiї джерелом вважа-
ємо вiдсутнiм:
G|t<t0 = 0. (8)
На додаток має виконуватись принцип взаємно-
стi3 [9 – 18]:
G(~r, t; ~r0, t0) = G(~r0,−t0; ~r,−t). (9)
2.2. Побудова функцiї Грiна та її аналiз
Розв’язок початково-граничної задачi (4) – (9)
шукатимемо у виглядi розкладу функцiї G в ряд
по акустичних модах вибраного каналу Ψnm:
G(x1, x2, x3, t; x10, x20, x30, t0) =
=
∑
n
∑
m
Gnm(x3, t; x10, x20, x30, t0)×
×Ψnm(x1, x2).
(10)
Цi моди задовольняють рiвняння
∇2
(x1,x2)
Ψnm(x1, x2) = −k2
nmΨnm(x1, x2), (11)
3У разi кругової форми поперечного перерiзу каналу
(див. пiдроздiл 3.2) додаються ще й умови перiодичностi
та вiдповiдної симетрiї шуканої функцiї Грiна.
(в якому ∇2 – оператор Лапласа в координатах x1,
x2 – див. (50), (53) у додатку Б:
∇2
(x1,x2)
=
1
h1h2
[
∂
∂x1
(
h2
h1
∂
∂x1
)
+
∂
∂x2
(
h1
h2
∂
∂x2
)]
;
knm – модальнi хвильовi числа у перерiзi A), а та-
кож одну з граничних умов (5) – (7), залежно вiд
типу стiнок каналу, i можуть бути знайденi ана-
лiтично або чисельно. Їхня ж кiлькiсть, а вiдтак,
i межi сум у формулi (10), залежать вiд форми
поперечного перерiзу каналу i типу його стiнок.
Вираз (10) мiстить невiдомi коефiцiєнти Gnm.
Для їх визначення пiдставимо ряд з правої части-
ни у рiвняння (4), розписане з урахуванням рiвня-
ння (2), помножимо одержаний при цьому вираз
скалярно на моди Ψnm, а також врахуємо ортого-
нальнiсть функцiй Ψnm:
∫ ∫
A
Ψnm(x1, x2)Ψsq(x1, x2)dA =
=
{ ‖Ψnm‖2, (s, q) = (n, m),
0, (s, q) 6= (n, m);
(12)
‖Ψnm‖2 =
∫ ∫
A
Ψ2
nm(x1, x2)dA;
dA = h1h2dx1dx2
i спiввiдношення (11). Послiдовнiсть цих операцiй
приводить до одновимiрного конвективного рiвня-
ння Кляйна – Гордона для Gnm [9, 19 –21]:
1
c2
0
∂2Gnm
∂t2
+ 2
M
c0
∂2Gnm
∂t∂x3
−
(
1 − M2
)
×
×∂2Gnm
∂x2
3
+ k2
nmGnm =
Ψnm(x10, x20)
‖Ψnm‖2
×
×δ(x3 − x30) δ(t − t0),
(13)
в якому M =U/c0 – число Маха течiї в каналi, а
квадрати норм мод ‖Ψnm‖2 i межi всiх змiнних
для областi каналу даються формулами (12) i (4)
вiдповiдно.
Подальше введення нових безрозмiрних змiн-
них:
X3 =
λx3
l
, T = λ−1 c0t
l
+ M
λx3
l
,
X30 =
λx30
l
, T0 = λ−1 c0t0
l
+ M
λx30
l
,
λ =
1√
1 − M2
(14)
6 А. О. Борисюк
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2015. Том 17, N 1. С. 3 – 16
дозволяє позбутися в рiвняннi (13) конвективних
доданкiв, якi мiстять число Маха течiї i переписа-
ти його у класичному виглядi [9]:
∂2Gnm
∂T 2
− ∂2Gnm
∂X2
3
+ k2
nml2Gnm =
= l2
Ψnm(x10, x20)
‖Ψnm‖2
δ
(
l
λ
(X3 − X30)
)
×
×δ
(
λl
c0
(T − T0 − M(X3 − X30))
)
(15)
в областi |X3|<∞, |X30|<∞, |T |<∞, |T0|<∞. За-
уважимо, що l – масштаб довжини, вибiр якого
пояснюється пiсля спiввiдношення (17).
Розв’язком класичного одновимiрного рiвняння
Кляйна – Гордона (15) у вказанiй областi буде су-
перпозицiя прямої та зворотної хвиль, якi поши-
рюються вiдповiдно вправо та влiво вiд iмпуль-
сного джерела, розташованого у точцi X3 =X30
[9, 10, 19 –21]:
Gnm =
c0
2
Ψnm(x10, x20)
‖Ψnm‖2
×
×
[
H(X30 − X3)H(T − T0 + X3 − X30)+
+H(X3 − X30)H(T − T0 − (X3 − X30))
]
×
×J0
(
knml
√
(T − T0)2 − (X3 − X30)2
)
.
(16)
Тут H(·) – функцiя Хевiсайда [9, 10, 12 –18]:
H(x) =
x
∫
−∞
δ(η)dη =
{
0, x < 0,
1, x ≥ 0;
J0(·) – цилiндрична функцiя Бесселя першого роду
порядку 0. Також було взято до уваги умову ви-
промiнювання на нескiнченнiсть (умову Зоммер-
фельда), яку має задовольняти функцiя G (див.
пiдроздiл 2.1).
Тодi пiдстановка виразiв (14) для змiнних X3,
X30, T , T0 у спiввiдношення (16) дає остаточнi ви-
рази для коефiцiєнтiв Gnm у представленнi (10):
Gnm =
c0
2
Ψnm(x10, x20)
‖Ψnm‖2
J0
(
knml
√
ξ
)
×
×
[
H
(
λ
l
(x30−x3)
)
×
×H
(
c0
λl
(t−t0) + (M + 1)
λ
l
(x3−x30)
)
+
+H
(
λ
l
(x3−x30)
)
×
×H
(
c0
λl
(t−t0) + (M−1)
λ
l
(x3−x30)
)]
,
(17)
де
ξ =
c2
0
λ2l2
(t − t0)
2 + 2
c0M
l2
(t − t0)×
×(x3 − x30) + (M2 − 1)
λ2
l2
(x3 − x30)
2.
Бачимо, що параметр l не впливає на значення жо-
дної з функцiй у виразi (17), а вiдтак i на коефi-
цiєнти Gnm у функцiї Грiна (10). Дiйсно, функ-
цiї Ψnm i квадрати їхнiх норм ‖Ψnm‖2, а також
функцiя Бесселя J0 не пов’язанi з l. Знаки аргу-
ментiв усiх функцiй Хевiсайда у формулi (17) не
залежать вiд додатного параметра l>04. Це вка-
зує на те, що масштаб довжини l у перетвореннi
(14) можна вибирати довiльним чином.
Наявнiсть спiввiдношень (17) дозволяє на основi
формули (10) записати вираз для шуканої функцiї
Грiна G:
G(x1, x2, x3, t; x10, x20, x30, t0) =
=
c0
2
[
H
(
λ
l
(x30 − x3)
)
×
×H
(
c0
λl
(t − t0) + (M + 1)
λ
l
(x3 − x30)
)
+
+H
(
λ
l
(x3 − x30)
)
×
×H
(
c0
λl
(t − t0) + (M − 1)
λ
l
(x3 − x30)
)]
×
×
∑
n
∑
m
Ψnm(x10, x20)
‖Ψnm‖2
Ψnm(x1, x2)×
×J0
(
knml
√
ξ
)
,
(18)
4Акустичнi моди каналу i квадрати їхнiх норм залежать
вiд геометричних розмiрiв його поперечного перерiзу. З ци-
ми розмiрами може спiвпадати параметр l.
А. О. Борисюк 7
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2015. Том 17, N 1. С. 3 – 16
( , , )x y z
0 0 0( , , )x y z
·
U
z
0
yl
xl
y
x
·
Рис. 2. Нескiнченний прямий канал
прямокутного поперечного перерiзу
де ξ дається у спiввiдношеннi (17).
Бачимо, що побудована функцiя Грiна (18)
представляється рядом по акустичних модах ви-
браного каналу Ψnm. Кожен член цього ряду є
сумою прямої та зворотної хвиль, якi поширюю-
ться вiдповiдно вниз та вгору за течiєю вiд оди-
ничного точкового iмпульсного акустичного дже-
рела, розташованого у поперечному перерiзi кана-
лу x3 =x30. Окрiм цього, функцiя (18) задовольняє
умову причинностi (8) i принцип взаємностi (9), а
також граничнi умови та умову випромiнювання
на нескiнченнiсть.
Подальший аналiз виразу (18) засвiдчує, що в
одержанiй функцiї Грiна через числа M i λ=λ(M)
у явному виглядi вiдображенi ефекти дослiджува-
ної течiї. Цi ефекти стають вагомiшими зi збiль-
шенням M , зумовлюючи, окрiм iншого, появу i
подальше наростання асиметрiї функцiї G вiдно-
сно поперечного перерiзу каналу x3 =x30, в якому
розташоване джерело. Зi зменшенням числа Ма-
ха вплив течiї на функцiю G стає менш вагомим.
У випадку вiдсутностi течiї в каналi (M =0, λ=1)
функцiя (18) стає симетричною вiдносно його пе-
рерiзу x3 =x30:
G|M=0 =
=
c0
2
[
H
(
x30 − x3
l
)
H
(
c0(t − t0)
l
+
x3 − x30
l
)
+
+H
(
x3 − x30
l
)
H
(
c0(t − t0)
l
− x3 − x30
l
)]
×
×
∑
n
∑
m
Ψnm(x10, x20)
‖Ψnm‖2
Ψnm(x1, x2)×
×J0
(
knm
√
c2
0(t − t0)2 − (x3 − x30)2
)
.
Вiдзначимо, що у данiй роботi увага придiляє-
ться каналам лише з такими поперечними перерi-
зами i властивостями стiнок, для яких аналiтично
або чисельно можуть бути знайденi їхнi акусти-
чнi моди Ψnm. Далi розглянемо двi найтиповiшi з
таких форм – прямокутну i кругову. Для них вiд-
повiдним чином виберемо координати x1, x2, x3 i
перепишемо граничнi умови (5) – (7), а також зна-
йдемо їхнi акустичнi моди Ψnm i модальнi хвильовi
числа knm. Усе це дасть можливiсть:
• на основi спiввiдношення (18) одержати ви-
рази для вiдповiдних функцiй Грiна рiвняння
(1);
• продемонструвати застосування розробленого
у данiй роботi методу побудови зазначених
функцiй до каналiв типових геометрiй.
3. ЧАСТИННI ВИПАДКИ
Продемонструємо застосування розробленої ви-
ще теорiї для випадку нескiнченних прямих кана-
лiв прямокутної та кругової форм поперечного пе-
рерiзу iз зазначеними у пiдроздiлi 2.1 типами стi-
нок.
3.1. Канал прямокутного поперечного перерiзу
Якщо канал має прямокутний поперечний пере-
рiз розмiрiв lx×ly (рис. 2), то очевидно, що:
• система координат (x1, x2, x3) повинна бути
прямокутною декартовою i спiвпадати з ко-
ординатною системою (x, y, z);
• зв’язок мiж координатами x, y, z та x1, x2, x3
довiльної точки каналу (формула (51) у дода-
тку Б) має бути таким:
x = x1, y = x2, z = x3.
У такiй ситуацiї всi коефiцiєнти Ляме (3) дорiв-
нюватимуть одиницi:
h1 = h2 = h3 = 1,
а рiвняння (4) для функцiї Грiна G матиме вигляд
1
c2
0
d2G
dt2
−∇2
(x,y,z)G =
= δ(x − x0) δ(y − y0) δ(z − z0) δ(t − t0),
d2
dt2
=
∂2
∂t2
+ 2U
∂2
∂t∂z
+ U2 ∂2
∂z2
;
∇2
(x,y,z) =
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
+
∂2
∂z2
;
8 А. О. Борисюк
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2015. Том 17, N 1. С. 3 – 16
0 ≤ x, x0 ≤ lx;
0 ≤ y, y0 ≤ ly;
|z| < ∞; |z0| < ∞;
|t| < ∞; |t0| < ∞.
Тут x0 =x10, y0 =x20, z0 =x30 – координати одини-
чного точкового iмпульсного акустичного джере-
ла.
Сама ж функцiя Грiна рiвняння (1) для обгово-
рюваного каналу перепишеться на основi спiввiд-
ношення (18) наступним чином:
G(x, y, z, t; x0, y0, z0, t0) =
=
c0
2
[
H
(
λ
l
(z0 − z)
)
×
×H
(
c0
λl
(t − t0) + (M + 1)
λ
l
(z − z0)
)
+
+H
(
λ
l
(z − z0)
)
×
×H
(
c0
λl
(t − t0) + (M − 1)
λ
l
(z − z0)
)]
×
×
∑
n
∑
m
Ψnm(x0, y0)
‖Ψnm‖2
Ψnm(x, y)×
×J0
(
knml
√
ξ
)
,
(19)
де
ξ =
c2
0
λ2l2
(t − t0)
2 + 2
c0M
l2
(t − t0)(z − z0)+
+(M2 − 1)
λ2
l2
(z − z0)
2.
Щоб мати можливiсть використовувати цю
функцiю для знаходження характеристик акусти-
чних полiв у зображеному на рис. 2 каналi, спiв-
вiдношення (19) ще необхiдно доповнити вираза-
ми для акустичних мод Ψnm, квадратiв їхнiх норм
‖Ψnm‖2 i модальних хвильових чисел knm каналу,
а також знати кiлькiсть самих мод Ψnm i чисел
knm. Усе це визначається пiсля вибору типу стi-
нок каналу.
3.1.1. Канал прямокутного поперечного перерi-
зу з акустично жорсткими стiнками
Якщо стiнки зображеного на рис. 2 каналу є аку-
стично жорсткими, то його акустичнi моди Ψnm i
вiдповiднi модальнi хвильовi числа knm задоволь-
няють розписане у координатах x, y рiвняння (11):
∇2
(x,y)Ψnm(x, y) = −k2
nmΨnm(x, y), (20)
∇2
(x,y) =
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
,
knm =
√
k2
xn + k2
ym ;
граничну умову (5):
∂Ψnm
∂x
∣
∣
∣
∣
x=0, lx
= 0,
∂Ψnm
∂y
∣
∣
∣
∣
y=0, ly
= 0,
i мають такий вигляд:
Ψnm(x, y) = cos(kxnx) cos(kymy), (21)
kxn =
nπ
lx
; kym =
mπ
ly
;
n, m = 0, 1, 2, . . .
Тут i далi knm – модальнi хвильовi числа; kxn i
kym – модальнi хвильовi числа у напрямках x та
y вiдповiдно. Функцiї Ψnm ортогональнi у попере-
чному перерiзi каналу:
lx
∫
0
ly
∫
0
Ψnm(x, y)Ψsq(x, y)dxdy =
=
{ ‖Ψnm‖2, (s, q) = (n, m);
0, (s, q) 6= (n, m).
Квадрати їхнiх норм даються спiввiдношеннями
‖Ψnm‖2 =
lx
∫
0
ly
∫
0
Ψ2
nm(x, y)dxdy =
=
lxly , n = 0, m = 0;
lxly
2
, n = 0, m ≥ 1;
lxly
2
, n ≥ 1, m = 0;
lxly
4
, n ≥ 1, m ≥ 1.
(22)
Пiдстановка представлень (21) i (22) у спiввiдно-
шення (19) дає остаточний вираз для функцiї Грi-
на конвективного хвильового рiвняння (1) для не-
скiнченного прямого жорсткостiнного каналу пря-
мокутного поперечного перерiзу, який збiгається з
А. О. Борисюк 9
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2015. Том 17, N 1. С. 3 – 16
виразом для вiдповiдної функцiї Грiна, одержаним
у роботах [20, 21].
3.1.2. Канал прямокутного поперечного перерi-
зу з акустично м’якими стiнками
Якщо зображений на рис. 2 канал має акустично
м’якi стiнки, то його моди Ψnm разом з модальни-
ми хвильовими числами knm задовольняють рiв-
няння (20), граничну умову (6):
Ψnm
∣
∣
∣
∣
x=0,lx
= 0, Ψnm
∣
∣
∣
∣
y=0,ly
= 0,
i задаються виразами
Ψnm(x, y) = sin(kxnx) sin(kymy), (23)
де
kxn =
nπ
lx
; kym =
mπ
ly
;
n, m = 0, 1, 2, . . .
Пiдстановка спiввiдношення (23) разом iз вираза-
ми для квадратiв норм мод
‖Ψnm‖2 =
lxly
4
у формулу (19) дає остаточний вираз для функцiї
Грiна рiвняння (1) для даного випадку.
3.1.3. Канал прямокутного поперечного перерi-
зу зi стiнками змiшаного типу
Розглянемо канал прямокутного поперечного
перерiзу зi стiнками трьох типiв:
1) одна акустично жорстка стiнка i три акусти-
чно м’якi;
2) двi акустично жорсткi та двi акустично м’якi
стiнки;
3) три акустично жорсткi стiнки й одна акусти-
чно м’яка.
Як i ранiше, через kxn та kym позначатимемо
модальнi хвильовi числа у напрямках x та y вiд-
повiдно.
Одна стiнка каналу акустично жорстка, а три –
акустично м’якi
Для визначеностi вважаємо акустично жорс-
ткою буде стiнку при x=0. Тодi гранична умова
(7) для акустичних мод Ψnm перепишеться таким
чином:
∂Ψnm
∂x
∣
∣
∣
∣
x=0
= 0, Ψnm
∣
∣
x=lx
= 0,
Ψnm
∣
∣
y=0, ly
= 0.
(24)
Рiвняння для функцiй Ψnm i вiдповiдних модаль-
них хвильових чисел knm, як i ранiше, матиме ви-
гляд (20).
Розв’язком рiвняння (20), який задовольняє
умови (24), будуть функцiї Ψnm числа knm, заданi
формулами
Ψnm(x, y) = cos(kxnx) sin(kymy), (25)
kxn =
(2n + 1)π
2lx
; kym =
mπ
ly
;
n = 0, 1, 2, . . .; m = 1, 2, . . .
Квадрати їхнiх норм виглядатимуть так:
‖Ψnm‖2 =
lxly
4
. (26)
Пiдстановка виразiв (25) i (26) у спiввiдношення
(19) дає функцiю Грiна конвективного хвильового
рiвняння (1) для каналу розглянутого тут типу.
Двi стiнки каналу акустично жорсткi, а двi –
акустично м’якi
Для визначеностi вважаємо акустично жорстки-
ми стiнки при x=0 та x= lx), а акустично м’яки-
ми – двi iншi (при y=0 та y= ly). Тодi гранична
умова (7) для акустичних мод каналу Ψnm набуде
вигляду
∂Ψnm
∂x
∣
∣
∣
∣
x=0, lx
= 0, Ψnm
∣
∣
y=0, ly
= 0. (27)
Окрiм неї, моди Ψnm i вiдповiднi модальнi хвильо-
вi числа knm повиннi задовольняти рiвняння (20).
Розв’язком задачi (20), (27) будуть наступнi
функцiї Ψnm i числа knm:
Ψnm(x, y) = cos(kxnx) sin(kymy), (28)
kxn =
nπ
lx
; kym =
mπ
ly
;
n = 0, 1, 2, . . . ; m = 1, 2, . . . ;
10 А. О. Борисюк
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2015. Том 17, N 1. С. 3 – 16
а квадрати норм функцiй Ψnm даватимуться ви-
разами
‖Ψnm‖2 =
lxly
2
, n = 0, m ≥ 1;
lxly
4
, n ≥ 1, m ≥ 1.
(29)
Остаточний вигляд функцiї Грiна рiвняння (1) для
вибраного тут каналу одержимо зi спiввiдношення
(19) пiсля пiдстановки в нього спiввiдношень (28)
i (29).
Три стiнки каналу акустично жорсткi, а одна –
акустично м’яка
Вважаємо акустично м’якою стiнку при y=0, а
всi iншi – акустично жорсткими. Гранична умова
(7) для акустичних мод Ψnm такого каналу вигля-
датиме наступним чином:
∂Ψnm
∂x
∣
∣
∣
∣
x=0, lx
= 0, Ψnm
∣
∣
y=0
= 0,
∂Ψnm
∂y
∣
∣
∣
∣
y=ly
= 0.
(30)
Окрiм цього, моди Ψnm й вiдповiднi модальнi хви-
льовi числа knm мають задовольняти рiвняння
(20).
Шуканим розв’язком цiєї задачi будуть такi
функцiї Ψnm i числа knm:
Ψnm(x, y) = cos(kxnx) cos(kymy), (31)
kxn =
nπ
lx
; kym =
(2m + 1)π
2ly
;
n, m = 0, 1, 2, . . .
При цьому квадрати норм функцiй Ψnm задаю-
ться виразами
‖Ψnm‖2 =
lxly
2
, n = 0, m ≥ 0;
lxly
4
, n ≥ 1, m ≥ 0.
(32)
Пiдстановка спiввiдношень (31) i (32) у ряд (19)
дає остаточний вираз для функцiї Грiна конве-
ктивного хвильового рiвняння (1) у розглянутму
частинному випадку.
( , , )r zj
·
0 0 0( , , )r zj
·
U j r
z
y
x
a
0
Рис. 3. Нескiнченний прямий канал
кругового поперечного перерiзу
3.2. Канал кругового поперечного перерiзу
Якщо поперечний перерiз каналу, розглянутого
у роздiлах 1 i 2, – круг iз радiусом a, то за систе-
му координат (x1, x2, x3) доцiльно вибрати цилiн-
дричну – (r, ϕ, z) (див. рис. 3). Зауважимо, що тут
спiвпадають початки координатних систем (x, y, z)
i (x1, x2, x3)=(r, ϕ, z), а також їхнi осi z i x3, на-
правленi вздовж напрямку основної течiї в каналi.
У такiй ситуацiї
x1 ≡ r, x2 ≡ ϕ, x3 ≡ z,
а зв’язок (51) мiж координатами x, y, z та x1, x2,
x3 довiльної точки каналу (див. додаток Б) буде
x = r cosϕ ≡ x1 cos x2,
y = r sin ϕ ≡ x1 sin x2,
z = x3.
За таких обставин коефiцiєнти Ляме (3) мати-
муть вигляд
h1 = 1, h2 = r, h3 = 1,
а рiвняння (4) для функцiї Грiна G перепишеться
таким чином:
1
c2
0
d2G
dt2
−∇2
(r,ϕ,z)G =
=
1
r
δ(r − r0) δ(ϕ − ϕ0) δ(z − z0) δ(t − t0),
d2
dt2
=
∂2
∂t2
+ 2U
∂2
∂t∂z
+ U2 ∂2
∂z2
;
∇2
(r,ϕ,z) =
1
r
∂
∂r
(
r
∂
∂r
)
+
1
r2
∂2
∂ϕ2
+
∂2
∂z2
;
А. О. Борисюк 11
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2015. Том 17, N 1. С. 3 – 16
0 ≤ r, r0 ≤ a;
0 ≤ ϕ, ϕ0 ≤ 2π;
|z| < ∞, |z0| < ∞;
|t| < ∞, |t0| < ∞.
Тут r0 =x10, ϕ0 =x20, z0 =x30 – координати одини-
чного точкового iмпульсного акустичного джере-
ла.
Умови (5) – (7), яким задовольняє функцiя G,
слiд доповнити природними умовами її перiоди-
чностi по азимутальнiй координатi ϕ:
G
∣
∣
ϕ=ϕ∗+2sπ
= G
∣
∣
ϕ=ϕ∗
, s = ±1,±2, . . . (33)
i симетрiї вiдносно осьового перерiзу каналу
ϕ=ϕ0, в якому розташоване джерело:
G
∣
∣
ϕ=ϕ0+∆ϕ
= G
∣
∣
ϕ=ϕ0−∆ϕ
, ∆ϕ > 0. (34)
Сама ж функцiя Грiна G рiвняння (1) для зо-
браженого на рис. 3 каналу з урахуванням спiв-
вiдношення (18) матиме такий вигляд5:
G(r, ϕ, z, t; r0, ϕ0, z0, t0) =
=
c0
2
[
H
(
λ
a
(z0 − z)
)
×
×H
(
c0
λa
(t − t0) + (M + 1)
λ
a
(z − z0)
)
+
+H
(
λ
a
(z − z0)
)
×
×H
(
c0
λa
(t − t0) + (M − 1)
λ
a
(z − z0)
)]
×
×
2
∑
j=1
∑
n
∑
m
Ψ
(j)
nm(r0, ϕ0)
‖Ψ(j)
nm‖2
Ψ(j)
nm(r, ϕ)×
×J0
(
knma
√
ξ
)
,
(35)
де
ξ =
c2
0
λ2a2
(t − t0)
2 + 2
c0M
a2
(t − t0)(z − z0)+
+(M2 − 1)
λ2
a2
(z − z0)
2.
Наявнiсть у виразi (35) додаткової (у порiвняннi
з формулою (18)) суми пояснюється тим, що аку-
стичнi моди каналу кругового поперечного пере-
рiзу Ψnm природним чином подiляються на парнi
5Тут, виходячи з наведеного пiсля виразу (17) пояснен-
ня, за масштаб довжини l вибрано радiус поперечного пе-
рерiзу каналу a.
Ψ
(1)
nm i непарнi Ψ
(2)
nm по азимутальнiй координатi ϕ
моди: Ψnm ={Ψ(1)
nm, Ψ
(2)
nm}.
Щоб мати можливiсть застосовувати функцiю
(35) для знаходження на основi теореми Грiна [1,
9 – 18] характеристик акустичних полiв, потрiбно
конкретизувати вигляд акустичних мод Ψnm, ква-
дратiв їхнiх норм ‖Ψnm‖2 i модальних хвильових
чисел knm зазначеного каналу. Також необхiдно
вказати кiлькiсть мод Ψnm i чисел knm. Усi цi пара-
метри однозначно даються рiвнянням (11) з ураху-
ванням вигляду граничних умов, наведених у пiд-
роздiлi 2.1.
3.2.1. Канал кругового поперечного перерiзу з
акустично жорсткими стiнками
Нехай зображений на рис. 3 канал має акусти-
чно жорсткi стiнки. У такiй ситуацiї його акусти-
чнi моди Ψnm i вiдповiднi модальнi (радiальнi)
хвильовi числа knm задовольнятимуть розписане
у координатах (r, ϕ) рiвняння (11):
∇2
(r,ϕ)Ψnm(r, ϕ) = −k2
nmΨnm(r, ϕ), (36)
∇2
(r,ϕ) =
1
r
∂
∂r
(
r
∂
∂r
)
+
1
r2
∂2
∂ϕ2
,
граничну умову (5):
∂Ψnm
∂r
∣
∣
∣
∣
r=a
= 0,
умови перiодичностi (33) та симетрiї (34), i мати-
муть такий вигляд:
Ψnm = {Ψ(1)
nm, Ψ(2)
nm},
Ψ(1)
nm(r, ϕ) = Jn(knmr) cos(nϕ),
Ψ(2)
nm(r, ϕ) = Jn(knmr) sin(nϕ),
knm =
ζnm
a
; n=0, 1, 2, . . .; m=1, 2, . . .
(37)
Тут Jn – цилiндричнi функцiї Бесселя першого ро-
ду порядку n, ζnm – коренi рiвняння
J ′
n(ζnm) = 0,
а Ψ
(2)
0m ≡ 0.
12 А. О. Борисюк
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2015. Том 17, N 1. С. 3 – 16
Квадрати норм функцiй Ψnm, ортогональних у
поперечному перерiзi каналу:
a
∫
0
2π
∫
0
Ψ(j)
nm(r, ϕ)Ψ(l)
sq (r, ϕ)rdrdϕ =
=
‖Ψ(j)
nm‖2, (s, q, l) = (n, m, j),
0, (s, q, l) 6= (n, m, j),
задаються спiввiдношеннями
‖Ψ(1)
nm‖2 =
πa2J2
0 (k0ma), n=0,
πa2
2
J2
n(knma)
[
1− n2
k2
nma2
]
, n≥1.
‖Ψ(2)
nm‖2 =
0, n = 0,
‖Ψ(1)
nm‖2, n ≥ 1.
(38)
Пiдстановка виразiв (37) i (38) у формулу (35)
дає функцiю Грiна конвективного хвильового рiв-
няння (1) для розглянутого у даному пiдроздiлi
каналу. Вона збiгається з вiдповiдною функцiєю
Грiна, одержаною в роботi [19].
3.2.2. Канал кругового поперечного перерiзу з
акустично м’якими стiнками
Якщо стiнки зображеного на рис. 3 каналу аку-
стично м’якi, то його акустичнi моди Ψnm, квадра-
ти їхнiх норм ‖Ψnm‖2 i модальнi хвильовi числа
knm вiдрiзнятимуться вiд наведених у пiдроздiлi
3.2.1 лише значеннями параметрiв ζnm. У даному
разi цi величини будуть коренями рiвняння
Jn(ζnm) = 0,
яке випливає з граничної умови (6) для мод Ψnm:
Ψnm
∣
∣
r=a
= 0.
Зауважимо, що кiлькiсть мод Ψnm i чисел knm
спiвпадає з кiлькiстю мод для каналу, розглянуто-
му в попередньому пiдроздiлi. Вiдповiдно, й функ-
цiї Грiна рiвняння (1) каналiв кругового попереч-
ного перерiзу з акустично жорсткими й акустично
м’якими стiнками вiдрiзнятимуться лише значен-
нями ζnm.
ВИСНОВКИ
1. Розробленим у данiй роботi методом побудо-
вано функцiю Грiна G тривимiрного конве-
ктивного хвильового рiвняння для нескiнчен-
ного прямого каналу довiльної (але незмiнної
по його довжинi) форми та площi попереч-
ного перерiзу з акустично жорсткими й аку-
стично м’якими стiнками, а також зi стiнками
змiшаного типу. Ця функцiя дає можливiсть
на основi теореми Грiна визначати характери-
стики акустичних полiв, згенерованих у кана-
лi акустичними джерелами рiзної природи.
2. Побудована функцiя Грiна представляється
рядом по акустичних модах вибраного каналу.
Кожен член цього ряду є суперпозицiєю пря-
мої та зворотної хвиль, якi поширюються на
вiдповiднiй модi вiдповiдно вниз та вгору за
течiєю вiд одиничного точкового iмпульсного
акустичного джерела.
3. У побудованiй функцiї Грiна в явному вигля-
дi вiдображенi ефекти рiвномiрної осередне-
ної течiї в каналi. Вони стають вагомiшими зi
збiльшенням числа Маха течiї, зумовлюючи,
зокрема, появу i подальше наростання асиме-
трiї функцiї G вiдносно поперечного перерiзу
каналу x3 =x30, в якому розташоване зазна-
чене джерело. Навпаки, зi зменшенням числа
Маха вплив течiї на функцiю G зменшується
i її асиметрiя зникає. У випадку вiдсутностi
течiї в каналi функцiя G є симетричною вiд-
носно перерiзу x3 =x30.
4. У процесi побудови функцiї Грiна запропоно-
ване перетворення (14), котре дозволяє зводи-
ти одновимiрне конвективне рiвняння Кляй-
на – Гордона (13) до його класичного однови-
мiрного аналогу (15), розв’язок якого вiдо-
мий. Це дозволяє одержати розв’язок рiвня-
ння (13).
5. Одержано функцiї Грiна тривимiрного конве-
ктивного хвильового рiвняння для нескiнчен-
них прямих каналiв найтиповiших прямоку-
тної та кругової форм поперечного перерiзу з
акустично жорсткими або м’якими стiнками.
6. Необхiдне проведення подальших дослiджень
з метою перевiрки можливостi розширення за-
пропонованого методу на випадок нескiнчен-
них прямих каналiв довiльного поперечного
перерiзу зi стiнками довiльних типiв (за умови
збереження лiнiйностi задачi).
А. О. Борисюк 13
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2015. Том 17, N 1. С. 3 – 16
1. Борисюк А. О. Генерацiя звуку обмеженою обла-
стю збуреної течiї в жорсткостiнному каналi кру-
гового поперечного перерiзу. Частина 1. Загальна
теорiя // Акуст. вiсн.– 2003.– 6, № 3.– С. 3–9.
2. Борисюк А. О. Генерацiя звуку обмеженою обла-
стю збуреної течiї в жорсткостiнному каналi кру-
гового поперечного перерiзу. Частина 2. Частиннi
випадки // Акуст. вiсн.– 2004.– 7, № 4.– С. 10–20.
3. Berger S. A., Jou L.-D. Flows in stenotic vessels //
Ann. Rev. Fluid Mech.– 2000.– 32.– P. 347–382.
4. Вовк И. В., Гринченко В. Т., Малюга В. С. Особен-
ности движения среды в каналах со стенозами //
Прикл. гiдромех.– 2009.– 11, № 4.– С. 17–30.
5. Young D. F. Fluid mechanics of arterial stenosis //
J. Biomech. Eng.– 1979.– 101.– P. 157–175.
6. Davies H. G., Ffowcs Williams J. E. Aerodynamic
sound generation in a pipe // J. Fluid Mech.– 1968.–
32, № 4.– P. 765–778.
7. Doak P. E. Excitation, transmission and radiation
of sound from source distributions in hard-walled
ducts of finite length (1): The effects of duct cross-
section geometry and source distribution space-time
pattern // J. Sound Vib.– 1973.– 31, № 1.– P. 1–72.
8. Blake W. K. Mechanics of flow-induced sound and
vibration: in 2 vols.– New York: Acad. Press, 1986.–
974 p.
9. Morse P. M., Feshbach H. Methods of theoretical
physics: vol. 1.– New York: McGraw-Hill, 1953.–
997 p.
10. Morse P. M., Ingard K. U. Theoretical acoustics.–
New York: McGraw-Hill, 1968.– 927 p.
11. Junger M. C., Feit D. Sound, structures and their
interaction.– Cambridge, MA: MIT Press, 1972.–
477 p.
12. Howe M. S. Acoustics of fluid-structure interactions.–
Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1998.– 560 p.
13. Howe M. S. Hydrodynamics and sound.– Cambridge:
Cambridge Univ. Press, 2007.– 463 p.
14. Howe M. S. Theory of vortex sound.– Cambridge:
Cambridge Univ. Press, 2003.– 216 p.
15. Crighton D. G., Dowling A. P., Ffowcs Willi-
ams J. E., Heckl M., Leppington F. G. Modern
methods in analytical acoustics. Lecture Notes.–
London: Springer-Verlag, 1992.– 738 p.
16. Исакович М. А. Общая акустика.– М.: Наука,
1973.– 495 с.
17. Грiнченко В. Т., Вовк I. В., Маципура В. Т. Основи
акустики.– К.: Наукова думка, 2007.– 640 с.
18. Голдстейн М. Е. Аэроакустика.– М.: Машиностро-
ение, 1981.– 294 с.
19. Борисюк А. О. Функцiї Грiна хвильового рiвняння
й рiвняння Гельмгольца для нескiнченного прямо-
го жорсткостiнного каналу кругового поперечно-
го перерiзу з осередненою течiєю // Акуст. вiсн.–
2011.– 14, № 4.– С. 9–17.
20. Borisyuk A. O. Green’s function of the convective
wave equation for a rigid rectangular pipe // Sci.-
Bas. Technol.– 2014.– 3(23).– P. 374–378.
21. Борисюк А. О. Функцiя Грiна конвективного хви-
льового рiвняння для нескiнченної прямої жорс-
ткостiнної труби прямокутного поперечного пере-
рiзу // Доп. НАН України.– 2015.– № 3.– С. 40–44.
22. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа.– М.:
Наука, 1987.– 840 с.
23. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и ин-
тегрального исчисления: том 2.– М.: Физматгиз,
1962.– 808 с.
ДОДАТОК А. УМОВНI ПОЗНАЧЕННЯ
l – характерний розмiр поперечного пе-
рерiзу каналу;
a – радiус поперечного перерiзу (для ка-
налу кругового поперечного перерi-
зу);
lx, ly – розмiри поперечного перерiзу (для
каналу прямокутного поперечного
перерiзу);
U – осереднена осьова швидкiсть рiвно-
мiрної течiї в каналi;
c0 – швидкiсть звуку в незбуренiй рiдинi;
M – число Маха течiї в каналi;
λ – безрозмiрний параметр, який зале-
жить вiд числа M ;
x1, x2, x3 – довiльнi ортогональнi (у загальному
випадку, криволiнiйнi) координати;
x, y, z – прямокутнi декартовi координати;
r, ϕ, z – цилiндричнi координати;
~r – радiус-вектор точки поля;
~r0 – радiус-вектор акустичного джерела;
t – час;
t0 – пов’язаний з акустичним джерелом
час;
Z, Z0 – безрозмiрнi осьовi координати;
T , T0 – безрозмiрний час;
δ(·) – дельта-функцiя Дiрака;
ρ – масова густина рiдини;
p – тиск;
~v – швидкiсть рiдини;
ρ0 – масова густина нестисливої рiдини;
p0 – тиск у нестисливiй рiдинi;
ρa – акустична густина;
pa – акустичний тиск;
~va – акустична швидкiсть;
~F – об’ємнi сили;
q – iнтенсивнiсть масових джерел;
γ – функцiя, яка описує сумарний розпо-
дiл акустичних джерел у каналi;
Ψnm – акустичнi моди каналу довiльного
або прямокутного поперечного пере-
рiзу;
Ψ
(j)
nm – акустичнi моди каналу кругового по-
перечного перерiзу;
knm – модальнi хвильовi числа;
kxn, kym – модальнi хвильовi числа у напрямках
x та y вiдповiдно;
G – функцiя Грiна;
hi – коефiцiєнти Ляме (i=1, 2, 3).
14 А. О. Борисюк
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2015. Том 17, N 1. С. 3 – 16
ДОДАТОК Б. ТРИВИМIРНЕ КОНВЕКТИВ-
НЕ ХВИЛЬОВЕ РIВНЯННЯ
Генерацiя та поширення малих (акустичних)
збурень в рiдинi, яка рухається в областi Ω, опи-
сується рiвняннями Ейлера [9, 10, 12 –14,16 –18]:
ρ
d~v
dt
= ~F − ~∇p, (39)
нерозривностi:
dρ
dt
+ ρdiv(~v) = q (40)
та балансу енергiї:
dp
dt
= c2
0
dρ
dt
. (41)
Тут через
ρ = ρ0 + ρa, p = p0 + pa, ~v = ~U + ~va (42)
позначено масову густину, тиск i швидкiсть рiди-
ни. Величини ρ0 =const, p0 =const та ~U вiдповiд-
ають значенням цих параметрiв у нестисливому
середовищi в областi Ω; ρa, pa i ~va – акустичним
флуктуацiям густини, тиску та швидкостi навколо
ρ0, p0 i ~U вiдповiдно:
ρa � ρ0 , pa � p0, |~va| � |~U |. (43)
Тут t – час; ~F i q – об’ємнi сили та iнтенсив-
нiсть масових джерел, розмодiленi в областi Ω; c0 –
швидкiсть звуку в незбуреному середовищi. Повна
похiдна за часом записується так:
d
dt
=
∂
∂t
+ ~v · ~∇. (44)
Крапка мiж векторами ~v та ~∇ вказує на їх скаляр-
не множення.
Враховуючи представлення (42), нерiвностi (43),
а також той факт, що за умовою задачi ~U = ~const
(див. роздiл 1), перепишемо рiвняння (39) – (41) i
спiввiдношення (44) у спрощеному виглядi:
ρ0
d~va
dt
= ~F − ~∇pa,
dρa
dt
+ ρ0div(~va) = q,
dpa
dt
= c2
0
dρa
dt
,
d
dt
=
∂
∂t
+ ~U · ~∇.
(45)
Вiзьмемо повну похiдну за часом вiд другого i
дивергенцiю вiд першого рiвнянь системи (45), пi-
сля чого вiднiмемо вiд першого з одержаних спiв-
вiдношень друге. Тепер врахуємо третє рiвняння
зазначеної системи, яке можна переписати у ви-
глядi [9, 10, 12 –14,16 – 18,22]
pa = c2
0ρa.
У результатi одержимо рiвняння
1
c2
0
d2pa
dt2
−∇2pa =
dq
dt
− div(~F ), (46)
яке називається тривимiрним конвективним хви-
льовим рiвнянням. Конвективним воно називає-
ться за рахунок наявностi повної похiдної за часом
d/dt, яка при ~U =0 має ненульову конвективну по-
хiдну ~U · ~∇, спричинену течiєю в областi Ω (див.
останнє спiввiдношення системи (45)). У разi вiд-
сутностi течiї конвективна похiдна у рiвняннi (46)
зникає i воно спiвпадає з класичним тривимiрним
хвильовим рiвнянням).
Якщо в областi Ω присутнє лише одиничне то-
чкове iмпульсне джерело, яке розташоване у точцi
з радiус-вектором ~r0 i дiє в момент часу t0, то рiв-
няння (46) набуває вигляду
1
c2
0
d2pa
dt2
−∇2pa = δ(~r − ~r0) δ(t − t0). (47)
Тут ~r – радiус-вектор точки поля в областi Ω;
δ(~r−~r0) – тривимiрна просторова, а δ(t−t0) – одно-
вимiрна часова дельта-функцiї Дiрака.
Спiввiдношення (46) i (47) – загальнi (оператор-
нi) рiвняння, якi описують генерацiю та пошире-
ння малих збурень у рухомому акустичному се-
редовищi в областi Ω. Якщо в нiй увести вiдпо-
вiдну ортогональну криволiнiйну систему коорди-
нат (x1, x2, x3) так, щоб вiсь x3 була направлена
уздовж течiї (тобто в напрямку вектора швидкостi
~U), то друга повна похiдна за часом d2/dt2, опера-
тор Лапласа ∇2 i дельта-функцiя Дiрака δ(~r−~r0)
запишуться наступним чином:
d2
dt2
=
(
∂
∂t
+ ~U · ~∇
)2
=
=
(
∂
∂t
+
U
h3
∂
∂x3
)2
=
=
∂2
∂t2
+ 2
U
h3
∂2
∂t∂x3
+
U2
h2
3
∂2
∂x2
3
,
(48)
А. О. Борисюк 15
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2015. Том 17, N 1. С. 3 – 16
∇2 =
1
h1h2h3
[
∂
∂x1
(
h2h3
h1
∂
∂x1
)
+
+
∂
∂x2
(
h3h1
h2
∂
∂x2
)
+
∂
∂x3
(
h1h2
h3
∂
∂x3
)]
=
= ∇2
(x1,x2)
+
1
h1h2h3
∂
∂x3
(
h1h2
h3
∂
∂x3
)
,
δ(~r−~r0)=
1
h1h2h3
δ(x1−x10) δ(x2−x20) δ(x3−x30),
~r=xi~ei, ~r0 =xi0~ei.
Тут hi (i=1, 2, 3) – коефiцiєнти Ляме [9, 22, 23]:
hi =
√
(
∂x
∂xi
)2
+
(
∂y
∂xi
)2
+
(
∂z
∂xi
)2
; (49)
∇2
(x1,x2)
– оператор Лапласа у координатах x1, x2:
∇2
(x1,x2)
=
1
h1h2h3
[
∂
∂x1
(
h2h3
h1
∂
∂x1
)
+
+
∂
∂x2
(
h3h1
h2
∂
∂x2
)]
;
(50)
x, y, z – прямокутнi декартовi координати; δ(xi−
xi0) – одновимiрнi просторовi дельта-функцiї Дi-
рака. Вектор швидкостi течiї ~U , градiєнт ~∇, а та-
кож їхнiй скалярний добуток ~U · ~∇ записуються в
координатах x1, x2, x3 так:
~U = U~e3, ~∇ = ∇i~ei =
1
hi
∂
∂xi
~ei,
~U · ~∇ = Ui∇i = U∇3 =
U
h3
∂
∂x3
.
Тут ~ei – орт координатної осi xi. Окрiм того, пе-
редбачається пiдсумовування по iндексах, що по-
вторюються.
Якщо область Ω i координатнi осi x1, x2, x3 вiд-
повiдають зображеним на рис. 1, а систему коор-
динат (x, y, z) вибрано так, що:
• ї ї початок знаходиться у тому ж поперечно-
му перерiзi областi Ω, що й початок системи
(x1, x2, x3);
• вiсь z спiвнаправлена з вiссю x3,
то
• координати x, y довiльної точки зазначеного
перерiзу не залежатимуть вiд x3;
• ї ї координата z спiвпадатиме з координатою
x3;
• загальний зв’язок мiж координатами x, y, z i
x1, x2, x3 матиме вигляд
x = x(x1, x2); x1 = x1(x, y);
y = y(x1, x2); x2 = x2(x, y);
z = x3; x3 = z.
(51)
У такiй ситуацiї коефiцiєнти Ляме (49) не зале-
жатимуть вiд x3:
h1 = h1(x1, x2), h2 = h2(x1, x2), h3 = 1, (52)
а наведенi у спiввiдношеннях (48), (50) члени рiв-
нянь (46) i (47) вiдповiдним чином спростяться:
d2
dt2
=
∂2
∂t2
+ 2U
∂2
∂t∂x3
+ U2 ∂2
∂x2
3
, (53)
∇2 =
1
h1h2
[
∂
∂x1
(
h2
h1
∂
∂x1
)
+
∂
∂x2
(
h1
h2
∂
∂x2
)
+
+h1h2
∂2
∂x2
3
]
= ∇2
(x1,x2)
+
∂2
∂x2
3
,
∇2
(x1,x2)
=
1
h1h2
[
∂
∂x1
(
h2
h1
∂
∂x1
)
+
∂
∂x2
(
h1
h2
∂
∂x2
)]
,
δ(~r − ~r0) =
1
h1h2
δ(x1−x10) δ(x2−x20) δ(x3−x30).
16 А. О. Борисюк
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-116232 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-7507 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:15:53Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Борисюк, А.О. 2017-04-22T15:46:39Z 2017-04-22T15:46:39Z 2015 Функція Гріна тривимірного конвективного хвильового рівняння для прямого каналу / А.О. Борисюк // Акустичний вісник — 2015. —Т. 17, № 1. — С. 3-16. — Бібліогр.: 23 назв. — укр. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116232 534.3; 616.12-008 За допомогою розробленого в роботі методу побудовано функцію Гріна тривимірного конвективного хвильового рівняння для прямого каналу довільної (але незмінної по довжині) форми поперечного перерізу з акустично жорсткими і акустично м’якими стінками, а також зі стінками змішаного типу. С помощью разработанного в работе метода построена функция Грина трехмерного конвективного волнового уравнения для прямого канала произвольной (но неизменной по длине) формы поперечного сечения с акустически жесткими и акустически мягкими стенками, а также со стенками смешанного типа. The Green’s function of the three-dimensional convective wave equation for a straight channel of arbitrary (but constant along its length) cross-sectional shape, having either acoustically rigid or acoustically soft walls or the walls of a mixed type, is obtained by the method developed in this work. uk Інститут гідромеханіки НАН України Акустичний вісник Функція Гріна тривимірного конвективного хвильового рівняння для прямого каналу Функция Грина трехмерного конвективного волнового уравнения для прямого канала The Green's function of a tree-dimensional convective wave equation for a straight channel Article published earlier |
| spellingShingle | Функція Гріна тривимірного конвективного хвильового рівняння для прямого каналу Борисюк, А.О. |
| title | Функція Гріна тривимірного конвективного хвильового рівняння для прямого каналу |
| title_alt | Функция Грина трехмерного конвективного волнового уравнения для прямого канала The Green's function of a tree-dimensional convective wave equation for a straight channel |
| title_full | Функція Гріна тривимірного конвективного хвильового рівняння для прямого каналу |
| title_fullStr | Функція Гріна тривимірного конвективного хвильового рівняння для прямого каналу |
| title_full_unstemmed | Функція Гріна тривимірного конвективного хвильового рівняння для прямого каналу |
| title_short | Функція Гріна тривимірного конвективного хвильового рівняння для прямого каналу |
| title_sort | функція гріна тривимірного конвективного хвильового рівняння для прямого каналу |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116232 |
| work_keys_str_mv | AT borisûkao funkcíâgrínatrivimírnogokonvektivnogohvilʹovogorívnânnâdlâprâmogokanalu AT borisûkao funkciâgrinatrehmernogokonvektivnogovolnovogouravneniâdlâprâmogokanala AT borisûkao thegreensfunctionofatreedimensionalconvectivewaveequationforastraightchannel |