Ще раз про втрати енергії в п’єзокерамічних резонаторах
Проаналізовані різні підходи до проблеми експериментального визначення в’язкопружних коефіцієнтів п’єзокерамічних резонаторів. На прикладі відомої задачі про вимушені поздовжні коливання тонкого п’єзокерамічного стержня з поперечною поляризацією досліджуються амплітудно- та фазо-частотні залежності...
Saved in:
| Published in: | Акустичний вісник |
|---|---|
| Date: | 2015 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2015
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116235 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Ще раз про втрати енергії в п’єзокерамічних резонаторах / В.Л. Карлаш // Акустичний вісник — 2015. —Т. 17, № 1. — С. 34-47. — Бібліогр.: 43 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-116235 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Карлаш, В.Л. 2017-04-22T15:54:17Z 2017-04-22T15:54:17Z 2015 Ще раз про втрати енергії в п’єзокерамічних резонаторах / В.Л. Карлаш // Акустичний вісник — 2015. —Т. 17, № 1. — С. 34-47. — Бібліогр.: 43 назв. — укр. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116235 539.3:537.228.1:534.1 Проаналізовані різні підходи до проблеми експериментального визначення в’язкопружних коефіцієнтів п’єзокерамічних резонаторів. На прикладі відомої задачі про вимушені поздовжні коливання тонкого п’єзокерамічного стержня з поперечною поляризацією досліджуються амплітудно- та фазо-частотні залежності в околі резонансних і антирезонансних частот. Наведені основи уточненої розрахунково-експериментальної методики визначення поперечного коефіцієнта електромеханічного зв’язку, а також тангенсів пружних і п’єзоелектричних втрат. Розрахунки амплітуд і фаз проведено для компонентів повної провідності. Одержані результати добре узгоджуються з експериментальними даними. Проанализированы разные подходы к проблеме экспериментального определения вязкоупругих коэффициентов пьезокерамических резонаторов. На примере известной задачи о продольных колебаниях тонкого пьезокерамического стержня с поперечной поляризацией исследованы амплитудно- и фазо-частотные зависимости в окрестности резонансных и антирезонансных частот. Приведены основы уточненной расчетно-экспериментальной методики определения поперечного коэффициента электромеханической связи, а также тангенсов упругих и пьезоэлектрических потерь. Расчеты амплитуд и фаз проведены для компонент полной проводимости. Полученные результаты хорошо согласуются с экспериментальными данными. The paper deals with analyzing of different approaches to the experimental determining of visco-elastic coefficients of piezoceramic resonators. The amplitude- and phase-frequency relations near the resonant and anti-resonant frequencies are investigated on an example of well-known problem of longitudinal vibrations of thin piezoceramic rod with the transverse polarization. The principles of refined computational-experimental method for determining the transverse electromechanic coupling coefficient as well, as elastic and piezoelectric losses tangent are described. The amplitudes and phases of full admittance components are calculated. The obtained results are in good agreement with the experimental data. uk Інститут гідромеханіки НАН України Акустичний вісник Ще раз про втрати енергії в п’єзокерамічних резонаторах Еще раз о потерях энергии в пьезокерамических резонаторах Once more on energy loss in piezoceramic resonators Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Ще раз про втрати енергії в п’єзокерамічних резонаторах |
| spellingShingle |
Ще раз про втрати енергії в п’єзокерамічних резонаторах Карлаш, В.Л. |
| title_short |
Ще раз про втрати енергії в п’єзокерамічних резонаторах |
| title_full |
Ще раз про втрати енергії в п’єзокерамічних резонаторах |
| title_fullStr |
Ще раз про втрати енергії в п’єзокерамічних резонаторах |
| title_full_unstemmed |
Ще раз про втрати енергії в п’єзокерамічних резонаторах |
| title_sort |
ще раз про втрати енергії в п’єзокерамічних резонаторах |
| author |
Карлаш, В.Л. |
| author_facet |
Карлаш, В.Л. |
| publishDate |
2015 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Акустичний вісник |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Еще раз о потерях энергии в пьезокерамических резонаторах Once more on energy loss in piezoceramic resonators |
| description |
Проаналізовані різні підходи до проблеми експериментального визначення в’язкопружних коефіцієнтів п’єзокерамічних резонаторів. На прикладі відомої задачі про вимушені поздовжні коливання тонкого п’єзокерамічного стержня з поперечною поляризацією досліджуються амплітудно- та фазо-частотні залежності в околі резонансних і антирезонансних частот. Наведені основи уточненої розрахунково-експериментальної методики визначення поперечного коефіцієнта електромеханічного зв’язку, а також тангенсів пружних і п’єзоелектричних втрат. Розрахунки амплітуд і фаз проведено для компонентів повної провідності. Одержані результати добре узгоджуються з експериментальними даними.
Проанализированы разные подходы к проблеме экспериментального определения вязкоупругих коэффициентов пьезокерамических резонаторов. На примере известной задачи о продольных колебаниях тонкого пьезокерамического стержня с поперечной поляризацией исследованы амплитудно- и фазо-частотные зависимости в окрестности резонансных и антирезонансных частот. Приведены основы уточненной расчетно-экспериментальной методики определения поперечного коэффициента электромеханической связи, а также тангенсов упругих и пьезоэлектрических потерь. Расчеты амплитуд и фаз проведены для компонент полной проводимости. Полученные результаты хорошо согласуются с экспериментальными данными.
The paper deals with analyzing of different approaches to the experimental determining of visco-elastic coefficients of piezoceramic resonators. The amplitude- and phase-frequency relations near the resonant and anti-resonant frequencies are investigated on an example of well-known problem of longitudinal vibrations of thin piezoceramic rod with the transverse polarization. The principles of refined computational-experimental method for determining the transverse electromechanic coupling coefficient as well, as elastic and piezoelectric losses tangent are described. The amplitudes and phases of full admittance components are calculated. The obtained results are in good agreement with the experimental data.
|
| issn |
1028-7507 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116235 |
| citation_txt |
Ще раз про втрати енергії в п’єзокерамічних резонаторах / В.Л. Карлаш // Акустичний вісник — 2015. —Т. 17, № 1. — С. 34-47. — Бібліогр.: 43 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT karlašvl ŝerazprovtratienergíívpêzokeramíčnihrezonatorah AT karlašvl eŝerazopoterâhénergiivpʹezokeramičeskihrezonatorah AT karlašvl oncemoreonenergylossinpiezoceramicresonators |
| first_indexed |
2025-11-27T01:28:16Z |
| last_indexed |
2025-11-27T01:28:16Z |
| _version_ |
1850790956096290816 |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2015. Том 17, N 1. С. 34 – 47
УДК 539.3:537.228.1:534.1
ЩЕ РАЗ ПРО ВТРАТИ ЕНЕРГIЇ
В П’ЄЗОКЕРАМIЧНИХ РЕЗОНАТОРАХ
В. Л. К А РЛ А Ш
Iнститут механiки iм. С.П.Тимошенка НАН України
вул. Нестерова, 3, 03057, Київ, Україна
E-mail: karlashv@ukr.net
Отримано 18.03.2015
Проаналiзованi рiзнi пiдходи до проблеми експериментального визначення в’язкопружних коефiцiєнтiв п’єзоке-
рамiчних резонаторiв. На прикладi вiдомої задачi про вимушенi поздовжнi коливання тонкого п’єзокерамiчного
стержня з поперечною поляризацiєю дослiджуються амплiтудно- та фазо-частотнi залежностi в околi резонансних
i антирезонансних частот. Наведенi основи уточненої розрахунково-експериментальної методики визначення
поперечного коефiцiєнта електромеханiчного зв’язку, а також тангенсiв пружних i п’єзоелектричних втрат. Розра-
хунки амплiтуд i фаз проведено для компонентiв повної провiдностi. Одержанi результати добре узгоджуються з
експериментальними даними.
КЛЮЧОВI СЛОВА: п’єзокерамiчнi резонатори, коефiцiєнт електромеханiчного зв’язку, дiелектричнi втрати, пру-
жнi втрати, п’єзоелектричнi втрати, вимушенi коливання
Проанализированы разные подходы к проблеме экспериментального определения вязкоупругих коэффициентов
пьезокерамических резонаторов. На примере известной задачи о продольных колебаниях тонкого пьезокерамиче-
ского стержня с поперечной поляризацией исследованы амплитудно- и фазо-частотные зависимости в окрестности
резонансных и антирезонансных частот. Приведены основы уточненной расчетно-экспериментальной методики
определения поперечного коэффициента электромеханической связи, а также тангенсов упругих и пьезоэлектри-
ческих потерь. Расчеты амплитуд и фаз проведены для компонент полной проводимости. Полученные результаты
хорошо согласуются с экспериментальными данными.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: пьезокерамические резонаторы, коэффициент электромеханической связи, диэлектрические
потери, упругие потери, пьезоэлектрические потери, вынужденные колебания
The paper deals with analyzing of different approaches to the experimental determining of visco-elastic coefficients of
piezoceramic resonators. The amplitude- and phase-frequency relations near the resonant and anti-resonant frequencies
are investigated on an example of well-known problem of longitudinal vibrations of thin piezoceramic rod with the
transverse polarization. The principles of refined computational-experimental method for determining the transverse
electromechanic coupling coefficient as well, as elastic and piezoelectric losses tangent are described. The amplitudes and
phases of full admittance components are calculated. The obtained results are in good agreement with the experimental
data.
KEY WORDS: piezoceramic resonators, the electromechanic coupling coefficient, dielectric losses, elastic losses, pi-
ezoelectric losses, forced vibrations
ВСТУП
При коливаннях п’єзоелектричних тiл вiдбу-
вається перетворення енергiї iз механiчної фор-
ми в електричну (прямий п’єзоефект) або iз еле-
ктричної форми в механiчну (зворотний п’єзо-
ефект) [1 – 6].
Природа внутрiшнiх фiзичних процесiв у п’є-
зоелектричних тiлах обумовлює одночасну наяв-
нiсть у всiх їхнiх електропружних параметрах
(змiщеннях, напруженнях, провiдностi, iмпедан-
сi, коливнiй швидкостi, миттєвiй потужностi то-
що) як дiйсних, так i уявних частин. Це озна-
чає, що розрахувати будь-яку амплiтуду можливо
лише тодi, коли беруться до уваги втрати енер-
гiї [5 – 9]. Донинi аналiтичнi розв’язки задач про
електромеханiчнi коливання побудованi лише для
простих геометричних форм – стержнiв, пластин,
дискiв, цилiндричних i сферичних оболонок [4, 5]
та iн. Огляд сучасних методiв визначення повного
набору матерiальних констант п’єзокерамiки на-
ведено в монографiї [1]. У нiй опрацьовано оригi-
нальну методику, яка дає змогу визначати повний
набiр сумiсних електропружних сталих на єди-
них зразках у виглядi прямокутної призми. При
цьому втрати енергiї до уваги не бралися. В ро-
ботах [4, 10] дослiджувалися залежностi компле-
ксних модулiв п’єзокерамiки ЦТСтБВ-2 вiд тем-
ператури.
Пiдвести до п’єзокерамiчних резонаторiв ефе-
ктивне електричне поле для збудження в них iн-
тенсивних електропружних коливань можливо ли-
ше тодi, коли електродне покриття нерозривно
зв’язане з поверхнею, тобто є невiд’ємною части-
ною самого резонатора. В процесi виготовлення
зразкiв створюються такi умови, коли дуже тон-
ке електродне покриття напилюється, впалюється
або наноситься електролiтичним шляхом [2,5]. Ма-
34 c© В. Л. Карлаш, 2015
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2015. Том 17, N 1. С. 34 – 47
са таких електродiв мала й до уваги при розра-
хунках не береться. Що ж до вiдносної дiелектри-
чної сталої сучасних п’єзокерамiк, то вона стано-
вить сотнi й тисячi одиниць, тому мiжелектродна
ємнiсть п’єзокерамiчних резонаторiв досягає ча-
сом кiльканадцяти нанофарадiв, суттєво вплива-
ючи на електричний струм i провiднiсть [4 – 7].
З проблемою втрат енергiї в п’єзоелектричних
резонаторах ученi зустрiлися давно й намагали-
ся розв’язати її по-рiзному [4 – 10]. Розсiювання
енергiї враховувалися через декременти затухан-
ня, акустичне випромiнювання, дiелектричнi й ме-
ханiчнi втрати тощо [11 –15]. Понад шiстдесят ро-
кiв тому в роботах [16, 17] було показано, що про-
стого врахування втрат – дiелектричних (виклика-
них недосконалiстю процесу перезаряджання дi-
електрикiв) i пружних (викликаних недосконалi-
стю процесу деформування) енергiї недостатньо
для адекватного аналiтичного опису енергетичних
процесiв у п’єзоелектричних тiлах. Натомiсть бу-
ло запропоновано враховувати також особливi, так
званi п’єзоелектричнi втрати, викликанi недоско-
налiстю самого процесу перетворення енергiї. По-
казники затухання в бiльшостi випадкiв вияви-
лись невеликими у порiвняннi з активними ком-
понентами, тому при аналiзi їх можна враховува-
ти через комплекснi модулi [6, 16 –22]. Автори ро-
бiт [4, 10] опрацювали методику з визначення пов-
ного набору дiйсних i уявних частин усiх 20 еле-
ктропружних констант i реалiзували її на спецi-
ально виготовлених зразках у дiапазонi темпера-
тур вiд кiмнатної до точки Кюрi.
Поперечно поляризованi п’єзокерамiчнi стержнi
давно вже стали “пробним каменем” у багатьох
експериментальних дослiдженнях, насамперед, то-
му, що їхнi коливання описуються простими ма-
тематичними формулами, а перший обертон ле-
жить далеко по частотi вiд основного резонан-
су [1, 4 – 9, 13 – 17]. Механiчнi й електричнi вели-
чини цих об’єктiв пов’язує мiж собою так званий
поперечний коефiцiєнт електромеханiчного зв’яз-
ку (КЕМЗ) k31. Тому поздовжнi коливання тонких
п’єзокерамiчних стержнiв у зарубiжних публiкацi-
ях нерiдко називають модою k31 [23 – 29].
У роботi [30] розглянутi поздовжнi коливання
п’єзокерамiчних стержнiв з роздiленими електро-
дами. Показано, що кожен з вiльних електродiв є
п’єзотрансформаторним виходом i його потенцiал
мiж резонансними пiками визначається винятково
коефiцiєнтом передачi ємнiсного подiльника, утво-
реного мiжелектродними ємностями, й вiд проявiв
п’єзоефекту не залежить.
Радiальнi резонанснi коливання тонких п’єзоке-
рамiчних круглих дискiв, якi в зарубiжнiй лiте-
ратурi часто називають модою kp, також харак-
теризуються моночастотнiстю – перший обертон
вiддалений по частотi вiд основного резонансу що-
найменше у два з половиною рази [7 – 10]. До то-
го ж для електромеханiчних коливань цього типу
простежується висока iнтенсивнiсть на основному
резонансi та добре виражена залежнiсть характе-
ристичних частот вiд коефiцiєнту Пуассона. Усе
це стимулювало використання резонансних частот
радiальних коливань i їхнiх вiдношень для експе-
риментального визначення кiлькох важливих па-
раметрiв п’єзокерамiки, таких як планарний ко-
ефiцiєнт електромеханiчного зв’язку (КЕМЗ) kp,
поперечний КЕМЗ k31, п’єзомодуль d31, коефiцi-
єнт Пуассона ν , компоненти пружної податливостi
s11, s12.
У публiкацiях [23 – 26] вперше показано, що ви-
значенi на рiвнi −3 дБ добротностi на резонансi
й антирезонансi вiдрiзняються на десятки процен-
тiв, а iнодi – у кiлька разiв.
Автори роботи [28] зробили огляд праць (пере-
важно власних), присвячених визначенню втрат
енергiї в п’єзокерамiцi, й запропонували набiр на-
ближених формул, якi зв’язують механiчнi добро-
тностi з вiдповiдними тангенсами для п’яти типiв
коливань спецiально виготовлених зразкiв. Фор-
мули виведенi для поздовжнiх коливань стержнiв
з поперечною й поздовжньою поляризацiєю, тов-
щинних коливань тонких дискiв, а також зсувних
коливань тонких стержнiв, у яких робочi електро-
ди нанесенi перпендикулярно до напрямку поля
поляризацiї. Незважаючи на велику кiлькiсть на-
ближених формул, експерименти в [27 –29] прове-
денi лише для поздовжнiх коливань прямокутних
пластин. Дослiджувались залежностi резонансної
й антирезонансної добротностей вiд частоти для
режимiв, якi вiдповiдають сталим за амплiтудою
струму в п’єзоелементi й спаду напруги на ньо-
му або сталiй коливнiй швидкостi на торцi. Ви-
явлено значну нелiнiйнiсть амплiтудно-частотної
характеристики (АЧХ) повної провiдностi в режи-
мi сталої напруги поблизу резонансу й вiдсутнiсть
такої нелiнiйностi в режимi сталого струму. Рiвнi
потужностi в зразках становили вiд десятих ча-
сток мiлiвольтампера до десяткiв мiлiвольтампе-
рiв, а температура на резонансi зростала до 40◦C.
1. АНАЛIЗ МЕТОДIВ ВИЗНАЧЕННЯ В’ЯЗ-
КОПРУЖНИХ КОЕФIЦIЄНТIВ П’ЄЗОКЕ-
РАМIЧНИХ РЕЗОНАТОРIВ
Усi iснуючi нинi методи з визначення реактив-
них складових електропружних коефiцiєнтiв п’є-
зокерамiчних резонаторiв мають кiлька спiльних
В. Л. Карлаш 35
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2015. Том 17, N 1. С. 34 – 47
рис i базуються на вiдомих розв’язках простих
(як правило, одновимiрних) задач електромеханi-
ки. Насамперед, вважається, що втрати малi й не
перевищують (0.1 . . .5) % активних складових i їх
можна представити в розрахунках через компле-
кснi коефiцiєнти. Це дає можливiсть вивести на-
ближенi формули, якi зв’язують компоненти втрат
енергiї з максимумами або мiнiмумами повної про-
вiдностi на основнiй модi коливань п’єзокерамiчно-
го зразка вибраної геометричної форми.
Основна вiдмiннiсть мiж рiзними пiдходами по-
лягає у визначеннi дiелектричних втрат. Iсто-
рично першою була методологiя, запропонована
Г. Е. Мартiном для поздовжнiх коливань стержнiв
з поперечною або поздовжньою поляризацiєю в
роботi [16]. Суть її зводиться до того, що вира-
зи для повної провiдностi п’єзорезонатора запи-
сують у комплексному виглядi, пiсля чого прово-
дять перетворення в них тригонометричних фун-
кцiй комплексного параметра, нехтуючи квадра-
тами й бiльш високими ступенями малих величин.
Для випадку тонкого п’єзокерамiчного стержня
з товщинною поляризацiєю отриманi такi вирази
для максимальної Ym i мiнiмальної Yn провiдно-
стей:
Ym =
8ωmC0k
2
310
π2s11m
,
Yn = ωnC0
[
ε33m − 2d31m +
π2s11m
8k2
310
]
(1)
i для компонент втрат:
s11m =
16fmC0k
2
310
πYm
,
d31m =
ε33m
2
+
π2s11m
16k2
310
−
Yn
4πfnC0
.
(2)
Дiйсна частина k310 поперечного коефiцiєнта еле-
ктромеханiчного зв’язку k31 визначається за фор-
мулою [31,32]
k2
310
1 − k2
310
=
π
2
fn
fm
tg
[
π(fn − fm)
2fm
]
. (3)
Тут i надалi використовуються позначення, запро-
вадженi у працях [5,7,32]. Зокрема, ωm i ωn – кру-
гова частота максимальної та мiнiмальної провiд-
ностей; C0 – статична ємнiсть дослiдного зразка;
s11m, ε33m i d31m – тангенси пружних, дiелектри-
чних i п’єзоелектричних втрат енергiї вiдповiдно.
При виведеннi виразiв (1) – (3) електропружнi
коефiцiєнти вважались комплексними [5, 7, 33]:
sE
11 = s110(1 − js11m),
εT
33 = ε330(1 − jε33m),
d31 = d310(1 − jd31m)
(4)
i в тонкому стержнi завдовжки l, завширшки w i
завтовшки h покладалось
C = C0(1 − jε33m),
C0 =
ε330lw
h
,
x = x0
(
1 −
j
2
s11m
)
,
d2
31 = d2
310(1 − 2jd31m),
k2
31 = k2
310[1 + j(s11m + ε33m − 2d31m)].
(5)
Компоненти втрат енергiї визначають у такiй
послiдовностi. Спершу мостом змiнного струму на
частотi 1000 Гц вимiрюють статичну ємнiсть C0 i
тангенс дiелектричних втрат tg δ=ε33m. Потiм ви-
значають частоти fm i fn максимальної та мiнi-
мальної провiдностей, а також значення цих про-
вiдностей. Розв’язки вiдповiдних задач про по-
здовжнi коливання стержнiв показали, що макси-
мальна провiднiсть залежить тiльки вiд тангенса
пружних втрат s11m чи оберненої до нього меха-
нiчної добротностi Qm. За величиною максималь-
ної провiдностi пропонувалось визначати параме-
три пружних втрат, а за величиною мiнiмальної
провiдностi – п’єзоелектричнi втрати d31m.
У працях [9, 20 – 22] розглянутий пiдхiд поши-
рено на радiальнi коливання тонких п’єзокерамi-
чних дискiв i виведено формули, якi пов’язують
максимальнi провiдностi з механiчними втратами,
а мiнiмальнi – з п’єзоелектричними та дiелектри-
чними.
Основним недолiком методу Мартiна є те, що
тангенс дiелектричних втрат визначається в ньо-
му незалежно вiд резонансних явищ i вважається
сталим (однаковим i для низьких, i для високих
частот). Дослiд показує, що, коли дослiднi зраз-
ки мають довжину (40 . . .100) мм, частота пер-
шого поздовжнього резонансу лежить у межах
(60 . . .15) кГц i вказаним недолiком можна зне-
хтувати, оскiльки змiна тангенса дiелектричних
втрат у порiвняннi з втратами на частотi вимiрю-
вання незначна. Однак для зразкiв невеликої дов-
жини, частота основного поздовжнього резонансу
36 В. Л. Карлаш
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2015. Том 17, N 1. С. 34 – 47
яких становить сотнi кiлогерц, змiна тангенса дi-
електричних втрат з ростом частоти може бути
помiтною. У випадку радiальних коливань до цiєї
вади методу додається iгнорування комплексностi
коефiцiєнта Пуассона.
Вiльною вiд недолiкiв методу Мартiна є iтера-
цiйна методологiя, вперше запропонована Жаном
Смiтсом [34] i опрацьована пiзнiше авторами пу-
блiкацiй [4, 35]. Згiдно з нею трансцендентнi рiв-
няння для адмiтансу стержня чи iншого п’єзоке-
рамiчного зразка записуються через вимiрянi на
резонансi механiчнi втрати й невiдомi спершу дi-
електричнi та п’єзоелектричнi втрати для щонай-
менше трьох рiзних частот поблизу резонансу. Ве-
личини розрахованої в такий спосiб повної провiд-
ностi порiвнюються з вимiряними на вибраних ча-
стотах, пiсля чого в разi потреби вносяться змiни.
Зауважимо, що таку процедуру зручно реалiзува-
ти на комп’ютерi. Наслiдком iтерацiйних процедур
стає можливiсть отримати величини дiйсних i уяв-
них частин комплексних електропружних параме-
трiв з точнiстю до (4 . . .6) знакiв. На жаль, метод
Смiтса вимагає прецизiйних вимiрювань актив-
ної та реактивної компонент повної провiдностi на
кiлькох частотах, що вимагає значних трудови-
трат i неможливо без застосування спецiального
обладнання.
У роботах К. Учiно i його спiвавторiв, якi ре-
гулярно публiкуються протягом уже майже трьох
десятирiч, опрацьовано й реалiзовано методоло-
гiю, яка дозволяє дослiджувати коливання п’є-
зокерамiчних резонаторiв в умовах високої поту-
жностi й вивчати вплив на них сталих напруг,
струмiв, потужностей i коливних швидкостей [27 –
29]. Будемо умовно називати його методом Учiно.
Самi ж автори дали йому назву HiPoCS – вiд ан-
глiйського словосполучення “high power characteri-
zation system”, що означає “характеризацiйна сис-
тема високої потужностi”. Теоретична частина ме-
тоду складається з набору декiлькох наближених
формул, якi пов’язують вимiрянi в експериментi
механiчнi добротностi на резонансi (Qa) й антире-
зонансi (Qb) з тангенсами пружних s11m i п’єзо-
електричних d31m втрат. Що ж до дiелектричних
втрат ε33m, то їх пропонується вимiрювати спецi-
альними приладами або на низьких (до резонан-
су) або на високих (пiсля антирезонансу) часто-
тах. У методi Учiно формули виведено для зраз-
кiв у формi тонких стержнiв з товщинною або
поздовжньою поляризацiєю (поздовжнi коливан-
ня), стержнiв, для яких “робочi” електроди розта-
шованi перпендикулярно до напрямку поляриза-
цiї (зсувнi коливання) i тонких дискiв (товщиннi
коливання). Наведемо для прикладу вирази для
моди k31:
QA31 =
1
s31m
,
QB31 =
1 +
(
1
k310
− k310
)2
Ω2
B31
2(2d31m − ε33m − s11m)
,
ΩB31 =
ωbl
2vE
11
.
(6)
Тут QA31 – добротнiсть на резонансi; QB31 – до-
бротнiсть на антирезонансi; vE
11 – швидкiсть звуку
в матерiалi в поздовжньому напрямку:
vE
11 = (ρsE
11)
−1/2. (7)
Оскiльки вiдношення кутової частоти ω до
швидкостi v дає хвильове число k, добуток якого
на характерний розмiр l/2 можна вважати безроз-
мiрною частотою, то множник у дужках форму-
ли (6) – це не що iнше як безрозмiрна антирезо-
нансна частота xb:
ΩB31 =
ωbl
2vE
11
=
ωb
vE
11
l
2
= kb
l
2
= xb. (8)
Методологiя визначення коефiцiєнтiв втрат у
методi Учiно була такою. Спершу за вимiряними
резонансною i антирезонансною частотами знахо-
дили поперечний КЕМЗ за формулою [32]
k2
310
1 − k2
310
=
π
2
ωb31
ωa31
tg
[
π(ωb31 − ωa31)
2ωa31
]
. (9)
Це спiввiдношення є альтернативною до (3) фор-
мою запису стандартизованого виразу для k31
(див. [32, (7)]). За допомогою вимiрювача LCR на
частотi нижче резонансної визначали тангенс дi-
електричних втрат ε33m. На рiвнi −3 дБ по АЧХ
бiля максимуму адмiтансу визначали резонансну
добротнiсть Qa i тангенс пружних втрат s11m:
s31m =
1
QA31
. (10)
Так само, на рiвнi −3 дБ по АЧХ бiля мiнiмуму
адмiтансу визначали антирезонансну добротнiсть
Qb i тангенс п’єзоелектричних втрат d31m:
d31m=
ε33m+s11m
2
+
1
4
(
1
QA31
−
1
QB31
)
×
×
[
1+
(
1
k310
−k310
)2
Ω2
B31
]
.
(11)
В. Л. Карлаш 37
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2015. Том 17, N 1. С. 34 – 47
Вирази для мод k33, kt, k15, аналогiчнi до фор-
мул (6) – (11), наведенi в роботi [28].
Резонансну добротнiсть тонкого п’єзокерамiчно-
го стержня можна також визначати детально опи-
саним у [5,7,36 –38] методом п’єзотрансформатор-
ного датчика за АЧХ коефiцiєнта передачi на рiвнi
−3 дБ вiд максимуму.
В Iнститутi механiки НАН України опрацьовано
й реалiзовано нову просту методику з визначення
КЕМЗ i параметрiв втрат, яка базується на порiв-
няннi вимiряних максимальних i мiнiмальних про-
вiдностей та вiдношень вiдповiдних частот з дани-
ми, розрахованими за вiдомими формулами. При-
клад її застосування для випадку радiальних ко-
ливань тонких дискiв з поляризацiєю по товщинi
наведено в роботах [7,39,40]. Принагiдно зауважи-
мо, що недолiк застосування iтерацiйної методики
до радiальних коливань диска полягає в iгнору-
ваннi уявних складових коефiцiєнта Пуассона.
2. ОСНОВИ ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНО-
РОЗРАХУНКОВОГО IТЕРАЦIЙНОГО МЕ-
ТОДУ ВИЗНАЧЕННЯ КОЕФIЦIЄНТIВ
ЗВ’ЯЗКУ I ВТРАТ ЕНЕРГIЇ
Суть iтерацiйного методу стосовно поздовжнiх
коливань поперечно поляризованого п’єзокерамi-
чного стержня полягає в такому.
1. П’єзокерамiчний зразок приєднується до мо-
сту змiнного струму для вимiрювання на ча-
стотi 1000 Гц його власної мiжелектродної
ємностi C0 i тангенса дiелектричних втрат
tg δ=ε33m.
2. У визначеному дiапазонi частот почергово ви-
мiрюються спади напруг на дослiдному п’єзо-
елементi Upe, на його резисторi навантаження
UR та на входi вимiрювального кола Uin. Для
цього до вiдомої схеми пасивного чотирипо-
люсника [2, 5, 9] вводиться додатковий кому-
татор, який перемикає точку заземлення з ре-
зистора навантаження на п’єзоелемент i нав-
паки [41,42]. Вiдношення струму Ipe через п’є-
зоелемент до спаду потенцiалу Upe на ньому є
за означенням повною електричною провiднi-
стю (адмiтансом) п’єзоелемента Ype:
Ype =
Ipe
Upe
=
UR
RUpe
. (12)
3. За формулою (12) будуються АЧХ повної про-
вiдностi, з яких визначаються її максимальна
Ym i мiнiмальна Yn величини, а також резо-
нансна QA i антирезонансна QB добротностi.
4. Розраховується АЧХ повної провiдностi в ча-
стотному iнтервалi поблизу основного поздов-
жнього резонансу стержня за вiдомою форму-
лою [7, 39, 40]:
Ype = jωC0
∆a
∆r
(13)
з одночасним урахуванням комплексних ви-
разiв (4) i (5) та спiввiдношень
∆r(x) = cos x,
∆a(x) = (1 − k2
31)∆(x) + k2
31
sin x
x
.
(14)
Принагiдно слiд зауважити, що в кiнцевому
рахунку формулою (13) можуть бути пред-
ставленi усi вiдомi спiввiдношення для повної
провiдностi п’єзокерамiчних резонаторiв [4].
Вiдрiзнятимуться вони лише виразами для ре-
зонансного ∆r i антирезонансого ∆a визна-
чникiв. На цьому автор цiєї статтi вперше зро-
бив акцент в роботi [7].
5. Для зручностi розрахунку в певнiй часто-
тнiй смузi ємнiсну провiднiсть запишемо че-
рез множник a i безрозмiрну частоту x:
ωC0 =
2πf01C0x
x01
= ax, a =
2πf01C0
x01
, (15)
де x – поточне значення безрозмiрної компле-
ксної частоти; x01 – активна складова резо-
нансної безрозмiрної частоти; f01 – вимiряна
частота максимуму повної провiдностi (в Гц).
6. Розрахованi на кожному кроцi АЧХ адмiтан-
су та iмпедансу порiвнюються з експеримен-
тальними даними i в разi потреби вносяться
корективи.
7. Процес повторюється доти, доки не буде до-
сягнуто бажаної рiзницi мiж результатами об-
числень i вимiряними величинами.
Розглянемо конкретний приклад. Для визна-
чення поперечного КЕМЗ k31, а також тангенсiв
механiчних s11m i п’єзоелектричних d31m втрат
енергiї проведемо iтерацiйнi кроки для основного
поздовжнього резонансу стержня з розмiрами
33.4× 5.8× 1.25 мм iз п’єзокерамiки ЦТБС-3, в
якому C0 =2.98 нФ, tg δ=0.0093, Ym =11.6 мС,
Yn =0.0637 мС (Zn =15.7 кОм), fm =51.01 кГц,
fn =53.04 кГц, fn/fm =1.0398, a=0.608 мС,
x01=1.571. Вимiрювання здiйснювались у схемi
з комутатором при навантаженнi 229 Ом. Рис. 1
38 В. Л. Карлаш
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2015. Том 17, N 1. С. 34 – 47
1.6 1.7
0
1.5
3
6
Y, mS
1.5 1.6 1.7
0
3
6
Z, kOhm
1.5 1.6 1.7
0
4
8
Y, mS
1.5 1.6 1.7
0
6
12
Z,kOhm
1.5 1.6 1.7
0
4
8
Y, mS
1.5 1.6 1.7
0
5
10
Z, kOhm
а
б
в
Рис. 1. Етапи iтерацiйного процесу для стержня
33.4× 5.8× 1.25 мм iз п’єзокерамiки ЦТБС-3
(злiва – адмiтанс, справа – iмпеданс)
iлюструє три iтерацiйнi кроки (насправдi їх було
бiльше). Заради наочностi у лiвому ряду поданi
частотнi залежностi для повної провiдностi, а
у правому – вхiдного iмпедансу. Як видно з
рисунка, графiки для всiх крокiв подiбнi й рi-
зняться лише положеннями мiнiмуму провiдностi
(або максимуму iмпедансу) по частотi, а також
амплiтудами максимумiв i мiнiмумiв.
У результатi першої iтерацiї, проведеної в iнтер-
валi частот 1.5≤x≤1.75 при вибраних величинах
k2
310=0.1, s11m =0.01, ε33m=0.0093, d31m=0.01,
a=0.608 мС, отримано провiдностi Ym =7.8 мС,
Yn =0.112 мС i вiдповiднi частоти xn =1.64,
xm =1.571, xn/xm=1.0446 (див. рис. 1, а). Очеви-
дна необхiднiсть зменшувати вiдношення xn/xm,
а це можна зробити лише за рахунок зниження
k2
310. Для пiдвищення Ym, у свою чергу, необхiдно
зменшувати s11m.
Наступну iтерацiю проведено в тому ж ча-
стотному дiапазонi, але при iнших заданих ве-
личинах: k2
310=0.09, s11m=0.006, ε33m=0.0093,
d31m=0.007, a=0.608 мС. Як результат отримано
значення провiдностi Ym =11.7 мС, Yn =0.0735 мС
i вiдповiднi їм частоти xn =1.6321, xm =1.571,
xn/xm=1.0389 (див. рис. 1, б). Тут максимум пов-
ної провiдностi й вiдношення частот наближенi до
В. Л. Карлаш 39
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2015. Том 17, N 1. С. 34 – 47
51 51.5
0
4
8
f, kHz
Y, mS
52.6 53.2
0
6
12
f, kHz
Z, kOm
50.2 50.8 51.4 52
2
4
6
f, kHz
K
t
а
б
в
Рис. 2. АЧХ електромеханiчних величин
п’єзотрансформаторнорго датчика тонкого стержня:
а – адмiтанс; б – iмпеданс; в – коефiцiєнт передачi
експериментальних величин. Для зменшення мiнi-
муму провiдностi потрiбно знижувати тангенс п’є-
зоелектричних втрат.
Виходячи з цього, останню iтерацiю (на пра-
ктицi вона була п’ятою) проведено в тому ж
частотному iнтервалi при d31m=0.004. Отри-
мано Ym =11.7 мС, Yn =0.0684 мС, i частоти:
xn=1.6321, xm =1.571, xn/xm =1.0389 (рис. 1, в).
Розбiжнiсть з експериментом на цьому етапi ста-
новила 0.86 % по Ym, 7.4 % по Yn, 0.03 % по fn/fm,
що є цiлком прийнятним.
Таким чином, в результатi iтерацiйних проце-
дур для дослiджуваного стержня одержанi такi
параметри: k2
310=0.09, s11m =0.006, ε33m =0.0093,
d31m=0.004. Перевiрочна пiдстановка експеримен-
тальних даних для цього стержня у першу з фор-
мул (2) дає s11m =6.008 · 10−3, тобто отриманi дво-
ма способами результати практично збiгаються.
Для порiвняння з розрахунком на графi-
ках наведенi експериментальнi кривi адмiтансу
(рис. 2, а), iмпедансу (рис. 2, б) i коефiцiєнта пере-
дачi п’єзотрансформаторного датчика (рис. 2, в),
отриманi в околi першого поздовжнього резонан-
су стержня з розмiрами 33.4× 5.8× 1.25 мм, ви-
готовленого з п’єзокерамiки ЦТБС-3. Визначе-
нi за вiдношенням частоти максимуму до рiзни-
цi частот на рiвнi −3 дБ добротностi дорiвню-
ють вiдповiдно QA =160 (s11m=0.00625), QB =177
i Qm =146 (s11m =0.00685). П’єзотрансформатор-
ний датчик [10, 18] дiаметром 2.2 мм було вiддiле-
но в центрi електродного покриття однiєї з голов-
них поверхонь стержня пiсля вимiрювання спадiв
напруг. Розбiжнiсть мiж величинами s11m при ви-
значеннi за АЧХ адмiтансу i за АЧХ коефiцiєнта
передачi п’єзотрансформаторного датчика досягає
9.6 %. Це може бути пов’язано з шунтуванням
п’єзотрансформаторного датчика вхiдним опором
вольтметра.
Якщо для визначення добротностi скористати-
ся графiками рис. 1, в, то отримаємо QA =150.8,
QB =175.6 (у розрахунках на останньому iтера-
цiйному кроцi вважалося s11m =0.006, Q=166.7).
Як бачимо, i експеримент, i розрахунок дають рi-
знi величини для резонансної QA та антирезонан-
сної QB добротностей. У нашому випадку анти-
резонансна добротнiсть бiльша вiд резонансної на
(10 . . .15) %.
3. ЛIНIЙНI ПЕРЕТВОРЕННЯ ВИМIРЯНИХ
АМПЛIТУД У НАБЛИЖЕННI МАЛОГО СИ-
ГНАЛУ
Дослiднi зразки виготовлялися зi шматкiв тон-
ких дискiв п’єзокерамiки ЦТС-19 або ЦТБС-3 за
допомогою шлiфування. У центрi електродiв при-
паювалися провiдники завтовшки 0.1 мм i до 50 мм
завдовжки. Спочатку мостом змiнного струму
Е8-4 на частотi 1000 Гц вимiрювалися стати-
чнi ємностi C0 i тангенси дiелектричних втрат
tg δ=ε33M . До виходу генератора Г3-56/1, увi-
мкнутого на вихiдний опiр 50 Ом, приєднувався
узгоджувальний подiльник напруги з двох послi-
довно увiмкнутих резисторiв з номiналами 68 i
10 Ом. Дослiджуванi п’єзоелементи разом з рези-
сторами навантаження через комутатор приєдну-
валися паралельно до вихiдного резистора подiль-
ника. Частоту вимiрювали електронним частото-
40 В. Л. Карлаш
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2015. Том 17, N 1. С. 34 – 47
мiром Ч3-38, а спади напруг реєстрували цифро-
вим вольтметром В2-27А/1 або мiлiвольтметром
В3-38.
Удосконалена схема пасивного чотириполюсни-
ка [39 – 42] з додатковим комутатором давала мо-
жливiсть проводити дослiди в кiлькох режимах
електричного навантаження – при заданих сталих
за амплiтудою струмовi, що протiкає через зразок;
спадi напруги на ньому або на входi вимiрювальної
ланки; при заданiй миттєвiй потужностi. Саме в
такий спосiб були отриманi графiки [39, рис. 2, 4],
якi показали, що компоненти повної провiдностi
та фазовi зсуви мiж ними в околi першого радi-
ального резонансу тонкого диска не залежать вiд
режиму електричного навантаження.
Значнi труднощi, якi виникають при пiдтриман-
нi в експериментi заданого режиму електричного
навантаження, стимулювали пошуки бiльш про-
стих пiдходiв. Один iз них полягає в такому. Спа-
ди напруг Upe, UR i Uin вимiрюються на вибра-
них частотах “як є”. Це означає, що жодних умов
на них не накладається, окрiм задання на поча-
тку вимiрювань певної величини вхiдної напруги
(наприклад, Uin =100, 200 або 300 мВ). У процесi
перестроювання частоти генератора всi три спади
напруг змiнюються, як i спiввiдношення мiж ни-
ми. Вимiрянi величини разом з вiдповiдними ча-
стотами фiксуються, пiсля чого за формулою (12)
вираховуються адмiтанси, iмпеданси (як величи-
ни, оберненi до адмiтансiв), фазовi зсуви мiж спа-
дами напруг i миттєвi потужностi. Фазовi зсуви
визначаються за теоремою косинусiв [8, 33, 39, 40]:
cosα =
U2
pe + U2
R − U2
in
2UpeUR
,
cosβ =
U2
in + U2
R − U2
pe
2UinUR
,
cos γ =
U2
in + U2
pe − U2
R
2UinUpe
,
(16)
а миттєва потужнiсть є добутком струму в п’єзо-
елементi на спад напруги на ньому:
Ppe = UpeIpe =
URUpe
R
. (17)
Перейти вiд режиму “як є” до iнших режимiв
електричного навантаження (в наближеннi малих
амплiтуд) можна за допомогою простих лiнiйних
перетворень:
Uin = Uin00, Upe =
Uin00Upe0
Uin0
, UR =
Uin00UR0
Uin0
;
UR = UR00, Uin =
UR00
Uin0UR0
, Upe =
UR00
Upe0UR0
;
Upe = Upe00, Uin =
Upe00
Uin0Upe0
, UR =
Upe00
UR0Upe0
;
Upe = Upe0t, UR = UR0t, Uin = Uin0t;
p0 = p00, t =
√
p0
UR0Upeo
.
Тут Uin00 , Upe00, UR00 i p00 – заданi амплiтуднi зна-
чення; тодi як Uin0 , Upe0, UR0 – значення, вимiрянi
в режимi “як є”.
Рис. 3 iлюструє результат цих перетворень на
прикладi розглянутого тонкого стержня з п’єзоке-
рамiки ЦТБС-3. Перший ряд графiкiв побудовано
для даних режиму “як є”, другий вiдповiдає зада-
ному струмовi постiйної амплiтуди 1 мA, у тре-
тьому наведенi результати перерахунку для зада-
ного спаду напруги на п’єзоелементi амплiтудою
100 мВ, а в четвертому мiстяться залежностi для
вибраної сталої миттєвої потужностi 0.218 мВА.
На рис. 3, а поданi спади напруг Uin (неперерв-
нi), Upe (штриховi) та UR (пунктирнi). АЧХ пов-
ної провiдностi й миттєвої потужностi розмiщенi
на рис. 3, б i в вiдповiдно. Фазовi зсуви зображе-
нi на рис. 3, г – α (неперервнi), β (пунктирнi) та
γ (штриховi). Кут α, утворений сторонами UR i
Upe, характеризує зсув фаз мiж струмом i спадом
напруги в п’єзоелементi. Кут β, утворений сторо-
нами Uin i UR, вiдповiдає фазовому зсуву мiж ви-
хiдною напругою генератора й споживаним стру-
мом. Кут γ, утворений сторонами Uin i Upe, ха-
рактеризує рiзницю фаз мiж вихiдною напругою
генератора i спадом напруги на п’єзоелементi.
Аналiз графiкiв показує, що режим електрично-
го навантаження в умовах лiнiйних перетворень
експериментальних даних не впливає нi на адмi-
танс, нi на фазовi зсуви. Зате спади напруг Upe,
UR i Uin, а також миттєва потужнiсть p дуже за-
лежать вiд режиму навантаження. При наближен-
нi до резонансу в режимi “як є” спад напруги Uin
дещо знижується (завдяки шунтувальнiй дiї ви-
мiрювального кола на вихiд узгоджувального по-
дiльника). Водночас має мiсце рiзке зростання на-
пруги на резисторi навантаження UR i зниження
спаду напруги на п’єзоелементi Upe. При набли-
женнi до антирезонансу спад напруги на резисторi
навантаження знижується й досягає мiнiмуму на
В. Л. Карлаш 41
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2015. Том 17, N 1. С. 34 – 47
51 52 53
0
100
200
300
f, kHz
U, mV
51 52 53
0
4
8
f, kHz
Y, mS
51 52 53
0
4
8
12
f, kHz
U, V
51 52 53
0
4
8
f, kHz
Y, mS
51 52 53
0
100
200
300
f, kHz
U, mV
51 52 53
0
4
8
f, kHz
Y, mS
51 52 53
0
0.6
1.2
1.8
f, kHz
U, V
51 52 53
0
4
8
f, kHz
Y, mS
а б
Рис. 3. АЧХ параметрiв п’єзокерамiчного стержня в залежностi вiд режиму електричного навантаження:
42 В. Л. Карлаш
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2015. Том 17, N 1. С. 34 – 47
51 52 53
0
100
200
f, kHz
P, VA
51 52 53
0
1.5
3
f, kHz
An, rad
51 52 53
0
6
12
f, kHz
P, mVA
51 52 53
0
1.5
3
f, kHz
An, rad
51 52 53
0
40
80
f, kHz
P, VA
51 52 53
0
1.5
3
f, kHz
An, rad
51 52 53
0.218
f, kHz
P, mVA
51 52 53
0
1.5
3
f, kHz
An, rad
в г
а – спад напруг, б – адмiтанс, в – потужнiсть, г – фазовий зсув
В. Л. Карлаш 43
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2015. Том 17, N 1. С. 34 – 47
певнiй частотi, яку ототожнюють з антирезонан-
сною [4, 5, 40]. Щоб забезпечити тут режим зада-
ного струму, потрiбно пiдвищуючи вхiдну напругу
й напругу на п’єзоелементi. Рiзко зростає поблизу
вiд антирезонансу й миттєва потужнiсть. Навпа-
ки, при пiдходi до резонансу в режимi заданого
струму спад напруги на п’єзоелементi й миттєва
потужнiсть знижуються.
Для забезпечення режиму сталого спаду напру-
ги на п’єзоелементi також доводиться пiднiмати у
кiлька разiв вхiдну напругу на резонансi, а це при-
зводить до зростання спаду напруги на резисторi
навантаження, збiльшення струму в колi п’єзоеле-
мента i, як наслiдок, до збiльшення миттєвої по-
тужностi. На антирезонансi в цьому режимi струм
знижується, бо зростає вхiдний iмпеданс i, вiдпо-
вiдно, знижується миттєва потужнiсть. “Провал”,
який спостерiгається на АЧХ миттєвої потужно-
стi в режимi “як є”, може бути наслiдком видiлен-
ня в цьому режимi значної потужностi на резисто-
рi навантаження. Щоб реалiзувати режим заданої
сталої миттєвої потужностi, необхiдно збiльшува-
ти вхiдну напругу i спад напруги на п’єзоелементi
в околi резонансу до (30 . . .40 %), а бiля антирезо-
нансу – в кiлька разiв.
Незалежнiсть АЧХ повної провiдностi й фазо-
вих зсувiв вiд режиму електричного навантаження
пояснюється тим, що в лiнiйному наближеннi спiв-
вiдношення мiж спадами напруг, якими визнача-
ються провiдностi i косинуси кутiв, не змiнюються,
незважаючи на зниження чи зростання їхнiх ам-
плiтуд у кiльканадцять разiв. Для основної моди
поздовжнiх коливань стержня фазовий зсув мiж
спадом напруги на п’єзоелементi й струмом у ньо-
му (кут α) наближається до π на резонансi й ан-
тирезонансi, а при вiддаленнi вiд них знижується
до π/2.
4. ВПЛИВ РIВНЯ ЕЛЕКТРИЧНОГО ПОЛЯ
НА ВТРАТИ ЕНЕРГIЇ В П’ЄЗОРЕЗОНАТО-
РАХ
Досi йшлося про роботу п’єзокерамiчних резо-
наторiв у режимi малих амплiтуд, коли їхнi нелi-
нiйнi властивостi до уваги не бралися – вони не
проявлялися зовсiм або ними можна було знехту-
вати у порiвняннi з основними параметрами. За-
уважимо, що рiзнi за хiмiчним складом п’єзоеле-
ктричнi керамiки мають неоднаковi властивостi,
тому прояви нелiнiйних ефектiв у них по-рiзному
спостерiгаються на резонансах, антирезонансах i
далеко вiд них. Дослiдження саморозiгрiву п’є-
зорезонаторiв пiд впливом зовнiшнього електри-
чного поля, проведенi багатьма авторами (зокре-
ма [25, 27, 35, 37, 43]), показали iстотну рiзницю у
проявах нелiнiйностi й компонентах енергетичних
втрат. Встановлено, що зростання амплiтуди еле-
ктричного поля на частотах, якi лежать нижче
вiд резонансу, супроводжується помiтним збiль-
шенням тангенса дiелектричних втрат. Поблизу
вiд резонансних частот найбiльший внесок у на-
грiвання зразкiв роблять механiчнi втрати енергiї,
оскiльки тут має мiсце значне зростання амплiту-
ди коливань навiть у порiвняно слабких (за рiвнем
напруженостi) полях. На антирезонансних часто-
тах i поблизу вiд них добротнiсть коливань зрос-
тає, завдяки чому температура зразкiв тут значно
нижча, нiж на резонансi.
У цьому планi цiкаво розглянути рис. 4, запози-
чений з роботи [29]. Вiн показує, що режим заданої
сталої напруги супроводжується значною нелiнiй-
нiстю АЧХ адмiтансу (аж до стрибкiв), тодi як у
режимi заданого сталого струму жодної нелiнiй-
ностi не спостерiгається. Цi графiки були проана-
лiзованi в статтi [40], де за формулою (17) пiдра-
хованi величини максимальних (для кожної кри-
вої) значень миттєвих потужностей. Показано, що
режими сталого спаду напруги i сталого струму
вiдрiзняються за рiвнем максимальної потужно-
стi у кiлька разiв: у першому випадку отримано
60.7 мВА, а у другому – 23.5 мВА.
Вiдповiднi адмiтанси також вiдрiзняються. Ма-
ксимальна величина адмiтансу при сталiй напрузi
досягає лише 50 мС, тодi як у режимi сталого стру-
му вона значно вища – 80 мС. Рiзними виявились
i частоти, якi вiдповiдають максимальним адмi-
тансам – (55.9 . . .56.1) кГц у першому випадку i
(56.2 . . .56.4) кГц у другому. Це означає, що умо-
ви для потужностi й температури в обох режимах
не iдентичнi.
Про вплив електричного поля на добротнiсть ко-
ливань п’єзорезонаторiв свiдчить рис. 5, побудова-
ний на основi даних з публiкацiй [5, 29, 37]. Авто-
ри огляду [28] реалiзували систему HiPoCS в екс-
периментi з використанням як простих приладiв
(генератор сигналiв, частотомiр, вольтметр), так
i спецiальних систем (включаючи лазерний iнтер-
ферометр, iнфрачервоний термометр). При цьому
виявлено сильну залежнiсть резонансної й анти-
резонансної добротностей вiд величини коливної
швидкостi на торцi пластини (див. рис. 5, а). Спер-
шу механiчна добротнiсть при зростаннi коливної
швидкостi майже не змiнюється, а потiм рiзко зни-
жується. Разом з тим, не слiд забувати, що i поту-
жнiсть, i коливна швидкiсть, i температура п’єзо-
резонатора є наслiдками дiї прикладеного до нього
електричного поля.
З частотних залежностей коефiцiєнта передачi
44 В. Л. Карлаш
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2015. Том 17, N 1. С. 34 – 47
а б
Рис. 4. АЧХ адмiтансу в околицi першого поздовжнього резонансу п’єзокерамiчного стержня [29]:
а – при сталому спадi напруги; б – при сталому струмi
а б
Рис. 5. Вплив фiзичних величин на резонансну добротнiсть п’єзокерамiчних резонаторiв:
а – коливна швидкiсть; б – рiвень напруженостi електричного поля
електрода-датчика дiаметром 2 мм з охоронним
кiльцем 4 мм, розмiщеного в центрi тонкого ди-
ска з п’єзокерамiки ЦТС-19 дiаметром 50 мм i тов-
щиною 1.25 мм (див. рис. 5, б), випливає, що при
пiдвищеннi напруженостi електричного поля збу-
дження вiдбувається зниження резонансної часто-
ти основного радiального резонансу, а також iсто-
тне зменшення добротностi. Зокрема, було вста-
новлено, що при варiюваннi вхiдної рiзницi потен-
цiалiв вiд 0.1 до 10 В (що вiдповiдає напружено-
стям електричного поля вiд 80 до 8000 В/м) змiни
резонансної частоти до 5 % i добротностi в 5.9 ра-
зiв були оборотними – пiсля зняття навантаження
властивостi пластини вiдновлювались [37]. Втiм,
досить було пiдняти вхiдну рiзницю потенцiалiв
на частотi першого радiального резонансу пласти-
ни до 20 В, як вiдбулися необоротнi змiни – ча-
стотний спектр став багаточастотним, а iнтенсив-
нiсть усiх мод рiзко знизилася. Очевидно, це вiд-
булося внаслiдок часткової деполяризацiї керамi-
ки. Зауважимо, що дослiди велися в режимi сталої
за амплiтудою напруги, проте жодних стрибкiв у
АЧХ коефiцiєнта трансформацiї не вiдзначалось,
а нелiнiйнiсть проявлялася в порушеннi симетрiї
кривої до i пiсля резонансу. Вiдсутнiсть стрибкiв
на АЧХ рис. 5, б i їх наявнiсть на рис. 4, а може
бути наслiдком значної рiзницi у величинах добро-
тностей – до 100 у [37] i майже 2000 у [27 – 29].
Зниження механiчної добротностi при пiдви-
щеннi амплiтуди електричного навантаження в ре-
зонансному режимi спостерiгалося i на зразках з
п’єзокерамiки ЦТБС-3 у формi дискiв та прямоку-
В. Л. Карлаш 45
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2015. Том 17, N 1. С. 34 – 47
тникiв. У статтi [37] також вiдзначалося, що зраз-
ки з цiєї керамiки помiтно нагрiвалися, тому важ-
ко вказати достовiрно, що було причиною вiдзна-
чених змiн добротностi – температура чи електри-
чне поле. У цiй же роботi проведено порiвняння
величин механiчної добротностi з використанням
пропонованого нового метода та за стандартною
методикою [32]. Показано, що при пiдвищеннi ча-
стоти кiлькiсна розбiжнiсть стає все бiльш суттє-
вою i може сягати 50 % на другому радiальному
резонансi.
В умовах значних амплiтуд поля збудження, ко-
ли втрати помiтно зростають i знижується добро-
тнiсть, для пiдвищення точностi вимiрювань мо-
жна замiсть вхiдної рiзницi потенцiалiв пiдтри-
мувати сталим вихiдний потенцiал датчика (тоб-
то перебувати в рамках наближення заданої де-
формацiї) i вимiрювати залежнiсть вхiдної рiзни-
цi потенцiалiв вiд частоти. У випадку прямоку-
тних пластинок з п’єзокерамiки вимiрювальний
електрод-датчик теж розмiщувався в центрi i ото-
чувався охоронним кiльцем. Виявлено, що при се-
реднiх рiвнях електричного навантаження визна-
ченi обома способами величини механiчної добро-
тностi збiгаються.
Насамкiнець вiдзначимо, що автори робiт [27 –
29] без пояснення причини декларували неможли-
вiсть при великих потужностях забезпечити ре-
жим заданого струму на антирезонансi. Виходячи
з цього, пропонувалось визначати резонансну до-
бротнiсть QA в режимi заданого сталого струму,
а антирезонансну QB – в режимi заданої сталої
напруги.
ВИСНОВКИ
1. Усi методи з експериментального визначення
тангенсiв пружних, дiелектричних i п’єзоеле-
ктричних втрат енергiї базуються на форму-
лах їхнього зв’язку з адмiтансом або iмпедан-
сом зразка простої геометричної форми на ви-
бранiй модi коливань (як правило, найнижчiй
по частотi).
2. АЧХ повної провiдностi та вхiдного iмпедан-
су в iнтервалi резонансних – антирезонансних
частот, а також фазовi зсуви мiж вимiряни-
ми спадами напруг на входi, на п’єзоелементi
та навантажувальному резисторi не залежать
вiд умов електричного навантаження.
3. В режимi заданого (сталого за амплiтудою)
спаду напруги на п’єзоелементi при набли-
женнi до резонансу миттєва потужнiсть зрос-
тає, а поблизу вiд антирезонансу -– знижує-
ться. Навпаки, в режимi заданого струму че-
рез п’єзоелемент при наближеннi до резонан-
су миттєва потужнiсть знижується, а в око-
лi антирезонансу – збiльшується. Цей факт
може бути причиною виявленої авторами ро-
бiт [27 –29] нелiнiйностi повної провiдностi
в умовах великої вхiдної потужностi, а та-
кож неможливостi забезпечити режим стало-
го струму на антирезонансi.
4. Опрацьована на прикладi поздовжнiх коли-
вань тонкого п’єзокерамiчного стержня з тов-
щинною поляризацiєю iтерацiйна методика
може застосовуватись також при дослiдженнi
вимушених коливань стержнiв змiнної шири-
ни та при експериментально-розрахунковому
визначеннi ефективних коефiцiєнтiв зв’язку i
втрат. Iтерацiйну методику можна також ви-
користати для перевiрки результатiв, отрима-
них iншими методами (наприклад, методом
п’єзотрансформаторного датчика).
5. Отриманi на рiвнi −3 дБ величини QA i QB
виявились рiзними, хоча у розрахунках були
закладенi незалежнi вiд частоти сталi значен-
ня тангенсiв втрат. Цей результат наводить на
думку, що таким чином можна визначати не
механiчну добротнiсть резонатора, а характе-
ристики його коливань на поздовжньому та
паралельному резонансах. Цей висновок пiд-
тверджують також дослiдження, виконанi на
LCR моделях.
6. Розрахунок фазово-частотних i амплiтудно-
частотних характеристик коливань у компле-
кснiй формi забезпечує результати, якi добре
узгоджуються з експериментами.
1. Акопян В. А., Соловьев А. Н., Шевцов С. Н. Ме-
тоды и алгоритм определения полного набора сов-
местимых материальных констант пьезокерами-
ческих материалов.– Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ,
2008.– 144 с.
2. Глозман И. А. Пьезокерамика.– М.: Энергия,
1972.– 288 с.
3. Магнитные и диэлектрические приборы / Под ред.
Г. В. Катца: часть I.– М.-Л.: Энергия, 1964.– 416 с.
4. Шульга Н. А., Болкисев А. М. Колебания пьезо-
электрических тел.– К.: Наук. думка, 1990.– 228 с.
5. Шульга М. О., Карлаш В. Л. Резонанснi електро-
механiчнi коливання п’єзоелектричних пластин.–
К.: Наук. думка, 2008.– 272 с.
6. Яффе Б., Кук У., Яффе Г. Пьезоэлектрическая
керамика.– М.: Мир, 1974.– 288 с.
7. Карлаш В. Л. Методи визначення коефiцiєнтiв
зв’язку i втрат енергiї при коливаннях резонаторiв
iз п’єзокерамiки // Акуст. вiсн.– 2012.– 15, № 4.–
С. 24–38.
46 В. Л. Карлаш
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2015. Том 17, N 1. С. 34 – 47
8. Шульга М. О., Карлаш В. Л. Амплiтудно-фазовi
характеристики радiальних коливань тонкого п’є-
зокерамiчного диска бiля резонансiв // Доп. НАН
України.– 2013.– № 9.– С. 80–86.
9. Karlash V. L. Resonant electromechanical vibrations
of piezoelectric plates // Int. Appl. Mech.– 2005.– 41,
№ 7.– С. 5–46.
10. Болкисев A. M., Карлаш В. Л., Шульга Н. А. О за-
висимости свойств пьезокерамических материалов
от температуры // Прикл. мех.– 1984.– 20, № 7.–
С. 70–74.
11. Cady W. G. Theory of longitudinal vibrations of vi-
scous rods // Phys. Rev.– 1922.– 19.– P. 1–6.
12. Quimby S. L. On the experimental determination of
the viscosity of vibrating solids // Phys. Rev.– 1925.–
38.– P. 568–582.
13. Dye D. E. The piezoelectric quartz resonator and its
equivalent circuit // Proc. Phys. Soc. Lond.– 1926.–
38.– P. 399–453.
14. Van Dyke K. S., Hagen J. P. Decrement investigati-
ons of quartz resonators // Phys. Rev.– 1934.– 46.–
P. 939(A).
15. Mason W. P. Location of hysteresis phenomena in
Roshelle salt // Phys. Rev.– 1940.– 58.– P. 744–756.
16. Martin G. E. Dielectric, piezoelectric and elastic
losses in longitudinally polarized segmented ceramic
tubes US Navy J. Underwater Acoust196515329–332
17. Martin G. E. Dielectric, elastic and piezoelectric
losses in piezoelectric materials // Ultrason. Sympos.
Proc.– Milwaukee, USA, 1974.– P. 613–617.
18. Holland R. Representation of dielectric, elastic and
piezoelectric losses by complex coefficients // IEEE
Trans. SU.– 1967.– SU-14.– P. 18–20.
19. Holland R., EerNisse E. P. Accurate measurement of
coefficients in a ferroelectrics ceramics IEEE Trans.
Son. Ultrason.1969SU-16174–181
20. Карлаш В. Л. Влияние диссипации энергии
на амплитудно-частотную характеристику пол-
ной проводимости тонкого пьезокерамического ди-
ска // Электричество.– 1984.– № 4.– С. 59–61.
21. Карлаш В. Л. Диссипация энергии при колебани-
ях тонких пьезокерамических круглых пластин //
Прикл. мех.– 1984.– 20, № 5.– С. 77–82.
22. Карлаш В. Л. К вопросу об электромеханических
потерях в пьезокерамических телах // Прикл.
мех.– 1988.– 24, № 3.– С. 58–6З.
23. Mezheritsky A. V. Quality factor of piezoceramics //
Ferroelectr..– 2002.– 266.– P. 277–304.
24. Mezheritsky A. V. Efficiency of excitation of pi-
ezoceramic transducer at antiresonance frequency //
IEEE Trans. Ultrason. Ferroelectr. Freq. Control.–
2002.– 49, № 4.– P. 484–494.
25. Mezheritsky A. V. Elastic, dielectric and piezoelectric
losses in piezoceramics; how it works all together //
IEEE Trans. Ultrason. Ferroelectr. Freq. Control.–
2004.– 51, № 6.– P. 695–797.
26. Mezheritsky A. V. Electrical measurements of a high-
frequency, high-capacitance piezoceramic resonator
with resistive electrodes // IEEE Trans. Ultrason.
Ferroelectr. Freq. Control.– 2005.– 52, № 8.– P. 1229–
1238.
27. Uchino K., Zheng J. H., Chen Y. H., Du X. H., Ryu J.,
Gao Y., Ural S., Priya S., Hirose S. Loss mechani-
sms and high power piezoelectrics // J. Mater. Sci.–
2006.– 41.– P. 217–228.
28. Uchino K., Zhuang Yu., Ural S. O. Loss detertmi-
nation methodology for a piezoelectric ceramic:
new phenomenological theory and experimental
proposals // J. Adv. Dielectr.– 2011.– 1, № 1.– P. 17–
31.
29. Ural S. O., Tunсdemir S., Zhuang Yu., Uchi-
no K. Development of a high power piezoelectric
Characterization system and its application for
resonance/antiresonance mode characterization //
Jpn. J. Appl. Phys.– 2009.– 48.– P. 056509(1–5).
30. Karlash V. L. Forced electromechanical vibrations
of rectangular piezoceramic bars with sectionalized
electrodes // Int. Appl. Mech.– 2013.– 49, № 3.–
P. 360–368.
31. ГОСТ 12370-80 Материалы пьезокерамические,
методы испытаний.– М.: Изд-во стандартов, 1980.–
30 с.
32. IRE Standards on Piezoelectric Crystals
Measurements of piezoelectric ceramics // Proс.
IRE.– 1961.– 49.– P. 1161–1169.
33. Безверхий О., Зiнчук Л., Карлаш В. Вплив ре-
жиму електричного навантаження, сталих напру-
ги або струму на характеристики коливань п’є-
зокерамiчних резонаторiв // Фiз.-мат. модел. iнф.
технол.– 2013.– 18.– С. 9–20.
34. Smits J. G. Iterative method for accurate determi-
nation of real and imaginary parts of materials coeffi-
cients of piezoelectric ceramics // IEEE Trans. SU.–
1976.– SU-23.– P. 393–402.
35. Прудько Н. И. Методы определения констант пье-
зокерамических материалов и параметров пье-
зокерамических резонаторов // Пьезокерамиче-
ские преобразователи: Справочник / Под ред.
С. И. Пугачева.– Л.: Судостроение, 1984.– С. 123–
133.
36. Карлаш В. Л., Улiтко А. Т Про один спосiб дослiд-
ження радiальних коливань тонкої п’єзокерамiчної
пластинки // Доп. АН УРСР, сер. А.– 1974.– № 9.–
С. 804–807.
37. Карлаш В. Л. К определению добротности пье-
зокерамических элементов методом пьезотранс-
форматорного датчика // Тепл. напр. в элем.
констр.– 1978.– 18.– С. 95–97.
38. Karlash V. Longitudinal and lateral vibrations of a
planar piezoceramic transformer // Jpn. J. Appl.
Phys.– 2005.– 44, № 4A.– P. 1852–1856.
39. Karlash V. L. Energy losses in piezoceramic
resonators and its influence on vibrations’ characteri-
stics // Electron. Communicat.– 2014.– 19, №2(79).–
P. 82–94.
40. Karlash V. L. Modeling of energy-loss piezoceramic
resonators by electric equivalent networks with passi-
ve elements // Math. Model. Comput.– 2014.– 1,
№ 2.– P. 163–177.
41. Шульга М. О., Карлаш В. Л. Вимiрювання пов-
ної провiдностi п’єзокерамiчних елементiв у схемi
чотириполюсника Мезона та її варiантах // Тези
IV Мiжнарод. наук.-техн. конф. “Датчики, прила-
ди та системи 2008”.– Черкаси / Гурзуф, 2008.–
С. 54–56.
42. Karlash V. L. Particularities of amplitude-frequency
characteristics of admittance of thin piezoceramic
half-disk // Int. Appl. Mech.– 2009.– 45, № 10.–
P. 647–653.
43. Gerson R. Dependence of mechanical Q and Young’s
modulus of ferroelectric ceramics on stress ampli-
tude // J. Acoust. Soc. Am.– 1960.– 32.– P. 1297–
1301.
В. Л. Карлаш 47
|