Автоколебания пластины, взаимодействующей с потоком жидкости
Рассмотрены автоколебания пластины при двухстороннем взаимодействии с движущимся потоком жидкости. Перепад давлений, действующий на пластинку, описывается гиперсингулярным интегральным уравнением, которое решается методом Галеркина. В модели колебаний пластины учтена геометрическая нелинейность. Дви...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Прикладна гідромеханіка |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2011
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116263 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Автоколебания пластины, взаимодействующей с потоком жидкости / К.В. Аврамов, Е.А. Стрельникова, А.А. Киреенков // Прикладна гідромеханіка. — 2011. — Т. 13, № 1. — С. 3-9. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860074778792034304 |
|---|---|
| author | Аврамов, К.В. Стрельникова, Е.А. Киреенков, А.А. |
| author_facet | Аврамов, К.В. Стрельникова, Е.А. Киреенков, А.А. |
| citation_txt | Автоколебания пластины, взаимодействующей с потоком жидкости / К.В. Аврамов, Е.А. Стрельникова, А.А. Киреенков // Прикладна гідромеханіка. — 2011. — Т. 13, № 1. — С. 3-9. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладна гідромеханіка |
| description | Рассмотрены автоколебания пластины при двухстороннем взаимодействии с движущимся потоком жидкости. Перепад давлений, действующий на пластинку, описывается гиперсингулярным интегральным уравнением, которое решается методом Галеркина. В модели колебаний пластины учтена геометрическая нелинейность. Движение пластины описывается нелинейной динамической системой с конечным числом степеней свободы.
Досліджено автоколивання пластини при двосторонній взаємодії з потоком рідини, що рухається. Перепад тиску, який діє на пластину, описується гіперсингулярним інтегральним рівнянням, яке розв'язано методом Гальоркіна. В моделі коливань пластини враховано геометричну нелінійність. Рух пластини описується нелінійною динамічною системою із скінченним числом ступенів вільності.
Self-sustained vibrations of plates at two-sided interaction with moving fluid are considered. Fluid-structure interaction is described by a hyper singular integral equation, which is solved by Galerkin method. The plate performs geometrical nonlinear vibrations, which is described by finite-degree-of-freedom nonlinear dynamical system.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:12:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
НАУКОВI СТАТТI ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 1. С. 3 – 9
УДК 532.595
АВТОКОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИНЫ,
ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕЙ С ПОТОКОМ ЖИДКОСТИ
К. В. А ВР А МОВ∗, Е. А. С ТРЕ Л ЬН И К О В А∗,
А. А. К И РЕ ЕН К О В∗∗
∗ Институт проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
∗∗ Институт проблем механики РАН, Москва
Получено 8.10.2010
Рассмотрены автоколебания пластины при двухстороннем взаимодействии с движущимся потоком жидкости. Пе-
репад давлений, действующий на пластинку, описывается гиперсингулярным интегральным уравнением, которое
решается методом Галеркина. В модели колебаний пластины учтена геометрическая нелинейность. Движение пла-
стины описывается нелинейной динамической системой с конечным числом степеней свободы.
Дослiджено автоколивання пластини при двостороннiй взаємодiї з потоком рiдини, що рухається. Перепад тиску,
який дiє на пластину, описується гiперсингулярним iнтегральним рiвнянням, яке розв’язано методом Гальоркiна.
В моделi коливань пластини враховано геометричну нелiнiйнiсть. Рух пластини описується нелiнiйною динамiчною
системою iз скiнченним числом ступенiв вiльностi.
Self-sustained vibrations of plates at two-sided interaction with moving fluid are considered. Fluid-structure interaction
is described by a hyper singular integral equation, which is solved by Galerkin method. The plate performs geometrical
nonlinear vibrations, which is described by finite-degree-of-freedom nonlinear dynamical system.
ВВЕДЕНИЕ
Тонкостенные конструкции, взаимодействую-
щие с движущейся жидкостью и газом, широко
используются в морской и аэрокосмической тех-
нике, энергетике. При определенных параметрах
взаимодействия пластины с потоком жидкости во-
зникает флаттер. Примером исследований, прово-
димых в этой области, может служить анализ ди-
намической устойчивости подводных крыльев су-
дов и изучение динамики гребных винтов. Боло-
тин, Гришко и др. [1] рассматривают упругую па-
нель в потоке при сверхзвуковых скоростях; по-
ток описывается поршневой теорией. При исследо-
вании многозначности решений в системе с коне-
чным числом степеней свободы применяется пря-
мое численное интегрирование. Нелинейная дина-
мика панели в потоке газа при сверхзвуковых ско-
ростях в области дивергентной и флаттерной по-
тери устойчивости рассматривается в работе [2].
В статье [3] изучается возможность управления
флаттером. Отмечается, что в области флаттера
желательно учитывать нелинейность как механи-
ческой, так и аэродинамической подсистем. В [4]
рассматривается пластина под действием постоян-
ной нагрузки в плоскости и взаимодействующая
с потоком газа. Показано, что шести собственных
форм достаточно для адекватного описания пове-
дения системы. Однако для некоторых значений
параметров число мод, необходимых для адеква-
тного описания поведения системы, равняется 30.
Попеску [5] для дискретизации пластинки приме-
няет метод конечных элементов. Связь между де-
формациями и перемещениями описывается тео-
рией Кармана; поток, действующий на пластинку,
моделируется поршневой теорией. Автоколебания
ламинированной пластины под действием темпе-
ратурных нагрузок в области флаттера исследу-
ются в [6]. Показано, что амплитуды автоколеба-
ний существенно зависят от температуры. Нови-
чков [7] использует модели трехмерного потенци-
ального течения для описания давлений, действу-
ющих на колеблющуюся пластину. Полученные
результаты сравниваются с данными поршневой
теории. В статье [8] предполагается, что пласти-
на обтекается безвихревым потоком газа. Для по-
строения математической модели потока исполь-
зуется метод дискретных вихрей. Танг, Довэлл [9]
рассмотрели пластинку в несжимаемом невязком
и потенциальном потоке с малыми дозвуковыми
скоростями. Для его описания применяется ме-
тод дискретных вихрей. Аэроупругая неустойчи-
вость панели в дозвуковом потоке изучается в ста-
тье [10]; поток предполагается двухмерным и не-
сжимаемым. Давление, действующее со стороны
потока на пластину, описывается гиперсингуляр-
ным интегралом. Задача сводится к линейному
интегро-дифференциальному уравнению. В статье
[11] рассматриваются колебания пластинки в по-
токе сжимаемого газа. Задача сводится к анализу
уравнения Вольтера. Системное изложение моде-
c© К. В. Аврамов, Е. А. Стрельникова, А. А. Киреенков, 2011 3
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 1. С. 3 – 9
лей и методов исследования взаимодействия кон-
струкций с потоками газа рассматривается в мо-
нографии [12].
Значительно меньше работ посвящено анализу
колебаний систем жидкость-пластина. Здесь мы
приведем только две работы. Колебания пластин-
ки, погруженной в жидкость, рассматриваются в
[13]. Для дискретизации пластинки применяется
метод конечных элементов. Давление жидкости
определяется из гиперсингулярного интегрально-
го уравнения. Линейные колебания консольной
пластинки при ее двухстороннем взаимодействии с
жидкостью рассматриваются в [14]. Для изучения
взаимодействия пластинки с жидкостью применя-
ется метод гиперсингулярных интегральных урав-
нений. С помощью метода граничных элементов
гиперсингулярное интегральное уравнение сводит-
ся к системе линейных алгебраических уравнений.
В настоящей статье рассматривается движу-
щийся поток жидкости, взаимодействующий с
упругой пластиной. Рассматриваются автоколе-
бания пластины при ее геометрически нелиней-
ном деформировании. Взаимодействие жидкости
с пластиной описывается гиперсингулярным ин-
тегральным уравнением, которое решается мето-
дом Бубнова-Галеркина. Автоколебания пластины
описываются нелинейной динамической системой
с конечным числом степеней свободы и исследую-
тся методом нелинейных нормальных форм Шоу-
Пьера.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим динамику шарнирно-опертой пла-
стины в потоке невязкой, несжимаемой, безви-
хревой жидкости, которая на некотором рассто-
янии от пластинки имеет постоянную скорость V
(рис. 1). Динамика жидкости описывается потен-
циалом скоростей ϕ(x, y, z, t). Поперечные пере-
мещения пластины обозначим через w(x, y, t). То-
гда условие непротекания жидкости через поверх-
ность пластины представим так:
∂ϕ
∂z
∣
∣
z=w+h
2
= V
∂w
∂x
+
∂w
∂t
;
∂ϕ
∂z
∣
∣
z=w−
h
2
=
= V
∂w
∂x
+
∂w
∂t
; (1)
где h – толщина пластинки.
Используя интеграл Коши-Лагранжа, получим
величину давления, действующего на поверхность
пластины:
p+ − p−
ρw
=
∂(ϕ− − ϕ+)
∂t
+ V
∂(ϕ− − ϕ+)
∂x
, (2)
Рис. 1. Эскиз исследуемой системы
где p+, p− – давления жидкости на верхнюю и ни-
жнюю стороны пластины; ϕ+, ϕ− – значения по-
тенциала скоростей на верхней и нижней сторо-
нах пластины; ρw – плотность жидкости. На кром-
ках пластинки применим гипотезу Чаплыгина-
Жуковского [8, 15]: p+ → p−.
Следуя [16 – 19], функцию ϕ(x, y, z, t) предста-
вим в виде потенциала двойного слоя:
ϕ(x, y, z, t) =
1
4π
∫
S
γ(ξ, t)
∂
∂nξ
×
× 1
√
(x − ξ1)2 + (y − ξ2)2 + (z − ξ3)2
dS, (3)
где nξ – орт нормали к поверхности пластинки;
γ(ξ, t) = ϕ+ − ϕ− – циркуляция скорости; S =
{(x, y) ∈ R2|0 ≤ x ≤ a; 0 ≤ y ≤ b} – область, зани-
маемая срединной плоскостью пластинки. Уравне-
ние (3) введем в (1), в результате получим следу-
ющее гиперсингулярное интегральное уравнение:
V
∂w
∂x
+
∂w
∂t
=
1
4π
∫
S
γ(ξ, t)
∂2
∂z∂nξ
×
×
(
1
√
(x − ξ1)2 + (y − ξ2)2 + (z − ξ3)2
)
dS. (4)
После тождественных преобразований уравне-
ние (4) может быть представлено так:
V
∂w
∂x
+
∂w
∂t
=
1
4π
∫
S
γ(ξ1, ξ2, t)dξ1dξ2
[(x− ξ1)2 + (y − ξ2)2]3/2
. (5)
Исследуем тонкие пластинки, поэтому дефор-
мациями сдвига и инерцией вращения пренебрега-
ем. Линейные колебания таких пластинок опишем
4 К. В. Аврамов, Е. А. Стрельникова, А. А. Киреенков
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 1. С. 3 – 9
следующим уравнением:
h2
12
∇4w + ρp
1 − µ2
E
ẅ +
(1 − µ2)ρw
Eh
×
×(γ̇ + V γ′
x) = 0, (6)
где ρp – плотность материала пластинки; E, µ –
модуль Юнга и коэффициент Пуассона.
Если пластина испытывает автоколебания, ее
деформации описываются на основании геоме-
трически нелинейной теории. Амплитуды колеба-
ний пластинки конечны. Тогда движения систе-
мы жидкость-пластинка опишем гиперсингуляр-
ным интегральным уравнением (4) и уравнениями
Вон фон Кармана:
h
12
∇4w +
(1 − µ2)ρp
E
ẅ +
(1 − µ2)ρW
Eh
(γ̇ + V γ′
X) =
=
(1 − µ2)
Eh
(F ′′
Y Y w′′
XX −2F ′′
XY w′′
XY +F ′′
XXw′′
Y Y ); (7)
1
Eh
∇4F = (w′′
XY )2 − w′′
XXw′′
Y Y , (8)
где F – функция напряжений.
2. РЕШЕНИЕ ГИПЕРСИНГУЛЯРНОГО
ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
Циркуляцию скорости разложим по собствен-
ным формам колебаний шарнирно опертой пла-
стинки:
γ(ξ1 , ξ2, t) =
N1
∑
l=1
N1
∑
m=1
Clm(t) sin
(
lπξ1
a
)
×
× sin
(
mπξ2
b
)
; (9)
а прогиб пластины w представим так:
w(x, y, t) =
NS
∑
r1=1
NS
∑
r2=1
θr1r2
sin
(r1πx
a
)
sin
(r2πy
b
)
.
(10)
Соотношения (9), (10) введем в гиперсингуляр-
ное интегральное уравнение (5) и воспользуемся
методом Бубнова-Галеркина. В результате полу-
чим систему линейных алгебраических уравнений
относительно Cl,m(t):
N1
∑
l=1
N1
∑
m=1
an1n2lmClm(t) = bn1n2
;
n1 = 1, ..N1; n2 = 1, ..N1, (11)
где
an1n2lm =
1
4π
∫
S
sin
(n1πx
a
)
sin
(n2πy
b
)
dxdy×
×
∫
S
sin
(
lπξ1
a
)
sin
(
mπξ2
b
)
dξ1dξ2
[(x − ξ1)2 + (y − ξ2)2]3/2
;
bn1n2
=
∫
S
(
V
∂w
∂x
+
∂w
∂t
)
sin
(n1πx
a
)
×
× sin
(n2πy
b
)
dxdy = 0.25bV
NS
∑
r1=1
NS
∑
r2=1
θr1
(t)r1δr2n2
×
×ϑn1,n2,r1
+ 0.25ab
NS
∑
r1=1
NS
∑
r2=1
θ̇r1r2
(t)δr1n1
δr2n2
;
δr2n2
– символ Кронекера;
ϑn1n2r1
=
1 − δn1r1
n1 − r1
[1− (−1)n1−r1 ] +
1 − (−1)n1+r1
n1 + r1
.
Решение системы линейных алгебраических урав-
нений (11) представим так:
Clm =
NS
∑
r1=1
NS
∑
r2=1
C
(r1r2)
lm (t);
l = 1..N1; m = 1..N1. (12)
Решение (12) введем в (11); получим системы ли-
нейных алгебраических уравнений. Решения этих
систем представим так:
C
(r1r2)
l,m = 0.25V bθr1r2
(t)ϕ
(r1r2)
l,m +0.25abθ̇r1r2
(t)ϕ
(r1r2)
l,m ;
l = 1, .., N1; m = 1, .., N1; r1 = 1, .., NS; r2 = 1, .., NS.
(13)
Параметры ϕ
(r1r2)
l,m и ϕ
(r1r2)
l,m определяются из сле-
дующих систем линейных алгебраических уравне-
ний:
N1
∑
l=1
N1
∑
m=1
an1n2lmϕ
(r1r2)
l,m = r1δr2n2
ϑn1n2r1
; (14)
N1
∑
l=1
N1
∑
m=1
an1n2lmϕ
(r1r2)
l,m = δr1n1
δr2n2
; n1 = 1, .., N1;
n2 = 1, .., N1; r1 = 1, .., NS; r2 = 1, .., NS. (15)
Рассмотрим расчет элементов матрицы системы
линейных алгебраических уравнений an1n2lm. Ко-
эффициенты an1n2lm вычисляются из гиперсингу-
лярных интегралов (11). На основании интегри-
рования по частям, коэффициенты an1n2lm могут
быть представлены так:
an1n2lm =
n1πl
4a2
∫ cos
(
n1πx
a
)
sin
(
n2πy
b
)
cos
(
lπξ1
a
)
√
(x − ξ1)2 + (y − ξ2)2
×
К. В. Аврамов, Е. А. Стрельникова, А. А. Киреенков 5
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 1. С. 3 – 9
× sin
(
mπξ2
b
)
dξ1dξ2dxdy +
n2πm
4b2
× (16)
×
∫ sin
(
n1πx
a
)
cos
(
n2πy
b
)
sin
(
lπξ1
a
)
cos
(
mπξ2
b
)
√
(x − ξ1)2 + (y − ξ2)2
×
.
×dξ1dξ2dxdy.
Используя правило вычисления гиперсингуляр-
ных интегралов, представленных в [16], можно по-
лучить следующее соотношение:
∫
S
cos
(
lπξ1
a
)
sin
(
mπξ2
b
)
√
(x − ξ1)2 + (y − ξ2)2
dξ1dξ2 = cos
(
lπx
a
)
×
× sin
(mπy
b
)
R(∆x, ∆y) +
∫
SF
cos
(
lπξ1
a
)
× (17)
×
sin
(
mπξ2
b
)
√
(x − ξ1)2 + (y − ξ2)2
dξ1dξ2,
где
SF = S − Sε;
Sε = {(ξ1, ξ2) ∈ R2|x− ∆x < ξ1 < x + ∆x; y −
− ∆y < ξ2 < y + ∆y};
R(∆x, ∆y) =
∆y
∫
−∆y
ln
[
∆x +
√
∆x2 + z2
√
∆x2 + z2 − ∆x
]
dz.
Итак, в правой части уравнения (17) нет особен-
ности в знаменателе; поэтому интегралы (17) не
относятся к гиперсингулярным. Величины an1n2lm
могут быть вычислены так:
an1n2lm =
n1πl
4a2
∫
S
cos
(n1πx
a
)
sin
(n2πy
b
)
dxdy×
×
∫
SF
cos
(
lπξ1
a
)
sin
(
mπξ2
b
)
√
(x − ξ1)2 + (y − ξ2)2
dξ1dξ2 +
n2πm
4b2
×
×
∫
S
cos
(n2πy
b
)
sin
(n1πx
a
)
dxdy× (18)
×
∫
SF
sin
(
lπξ1
a
)
cos
(
mπξ2
b
)
√
(x − ξ1)2 + (y − ξ2)2
dξ1dξ2+
+
abπ
16
R(∆x, ∆y)
(
n1l
a2
+
n2m
b2
)
δmn2
δln1
.
3. МОДЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ ПЛАСТИНЫ
С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ
СВОБОДЫ
Построим дискретную модель колебаний пла-
стины при ее геометрически нелинейном дефор-
мировании. Соотношение (10) введем в (8) и полу-
чим линейное неоднородное уравнение в частных
производных. Решение этого уравнения предста-
вим так:
F = Fp + Fg, (19)
где Fp – частное решение неоднородного уравне-
ния; Fg – общее решение однородного уравнения.
Частное решение неоднородного уравнения имеет
следующий вид:
0.5Fp =
NS
∑
r1,r2,p1,p2=1
θr1r2
θp1,p2
[A(1)
r1r2p1p2
cos η(r2−p2)×
× cos ξ(r1+p1)+A(2)
r1r2p1p2
cos η(r2+p2) cos ξ(r1−p1)]+
(20)
+
NS
∑
Γ1
θr1r2
θp1p2
A(3)
r1r2p1p2
cos η(r2−p2) cos ξ(p1−r1)+
+
NS
∑
Γ2
θr1r2
θp1p2
A(4)
r1r2p1p2
cos η(r2 + p2) cos ξ(p1 + r1);
где
A(1)
r1r2p1p2
=
Eha2b2(r2
1p
2
2 + r1r2p1p2)
8[b2(r1 + p1)2 + a2(r2 − p2)2]2
;
A(2)
r1r2p1p2
=
Eha2b2(r2
1p
2
2 + r1r2p1p2)
8[b2(r1 − p1)2 + a2(r2 + p2)2]2
;
A(3)
r1r2p1p2
=
Eha2b2(r1r2p1p2 − r2
1p
2
2)
8[b2(r1 − p1)2 + a2(r2 − p2)2]2
;
A(4)
r1r2p1p2
=
Eha2b2(r1r2p1p2 − r2
1p
2
2)
8[b2(r1 + p1)2 + a2(r2 + p2)2]2
;
Γ1 = [r1, r2, p1, p2 = 1, r1 6= r2 u p1 6= p2 r1 6= p1 u r2 6= p2];
Γ2 = [r1, r2, p2 = 1, r1 6= r2up1 6= p2].
Общее решение однородного уравнения Fg опре-
деляется, используя процедуру из [20]. Функция
напряжений удовлетворяет следующим условиям,
которые подробно рассмотрены в [20]:
a
∫
0
[Ny, Nxy]y=0dx = 0;
a
∫
0
[Ny, Nxy]y=bdx = 0;
6 К. В. Аврамов, Е. А. Стрельникова, А. А. Киреенков
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 1. С. 3 – 9
b
∫
0
[Nx, Nxy]x=0dy = 0;
b
∫
0
[Nx, Nxy]x=ady = 0, (21)
где NX =
∂2F
∂y2
; NY =
∂2F
∂x2
; NXY = − ∂2F
∂y∂x
.
Учитывая (21), общее решение однородного урав-
нения принимаем нулевым: Fg = 0.
Теперь полученное решение (19), (20) введем в
уравнение (7) и применим метод Галеркина. В ре-
зультате получим следующую динамическую сис-
тему:
NS
∑
l,m=1
(Mn1n2lmθ̈lm + Dn1n2lmθ̇lm)+ (22)
+Rn1n2
(θ1,1, θ1,2, ...) = 0; n1 = 1, .., NS; n2 = 1, .., NS,
где
Rn1n2
(θ1,1, θ1,2, ...) = −
∫
S
(F ′′
Y Y w′′
XX − 2F ′′
XY w′′
XY +
+F ′′
XXw′′
Y Y ) sin
(n1πx
a
)
sin
(n2πy
b
)
dxdy =
=
NS
∑
r1,r2,p1,p2,l,m=1
α
(n1,n2)
lmr1r2p1p2
θlmθr1r2
θp1p2
;
Mn1n2lm = ρphδln1
δmn2
+ 0.25ρWabϕ
(l,m)
n1n2
;
Dn1n2lm = 0.25ρWV b(F
(l,m)
n1n2
+ ϕ(l,m)
n1n2
);
Kn1n2lm = δln1
δmn2
Dπ4
(
l2
a2
+
m2
b2
)2
+0.25ρWV 2×
×a−1bF
(l,m)
n1n2
; F
(l,m)
n1n2
=
∑
r1
r1ϑn1n2r1
ϕ(l,m)
r1n1
;
F
(l,m)
n1n2
=
∑
r1
r1ϑn1n2r1
ϕ
(l,m)
r1n1
.
4. ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ КОЛЕБАНИЙ
Проводились численные исследования динами-
ки пластинки в потоке для следующих значений
параметров:
E = 2·1011Па; ρp = 7.8·103кг/м
3
; ρW = 1·103кг/м
3
;
(23)
ν = 0.3; h = 0.02м; a = b = 0.5м.
Анализ линейной части системы (22) при следую-
щих значениях параметров разложения (9), (10):
(1 ) : N1 = 3; NS = 2;
(2 ) : N1 = 3; NS = 3; (24)
(3 ) : N1 = 4; NS = 4
проводился для определения числа степеней сво-
боды, необходимого для адекватного описания ди-
намического поведения. Итак, случай 1 соответ-
ствует динамической системе (22) с 4 степенями
свободы; случай 2 и 3 отвечает динамике системы
с 9 и 16 степенями свободы соответственно.
Исследовалась устойчивость состояния равнове-
сия θlm = 0 при изменении числа Маха M . Ре-
зультаты анализа качественно представлены на
бифуркационной диаграмме (рис. 2). На этом ри-
Рис. 2. Бифуркационная диаграмма состояния
равновесия
сунке устойчивые состояния равновесия показаны
сплошной линией, а неустойчивые – штриховой.
Точки M = Mj ; j = 1, 3 являются бифуркаци-
онными. В точке M1 происходит потеря устойчи-
вости; один характеристический показатель ста-
новится положительным. Такая потеря устойчи-
вости называется дивергенцией [1]; неустойчивые
состояния равновесия наблюдаются в диапазоне
M ∈ [M1; M2]. В области M ∈ [M2; M3] состо-
яние равновесия является устойчивым. В точке
M = M3 наблюдается бифуркация Хопфа, кото-
рая приводит к флаттеру. Проводился численный
анализ системы (22) с различным числом степеней
свободы для случаев 1, 2, 3, представленных соо-
тношениями (24). Для каждого из этих вариантов
определялись параметры M1, M2, M3. Результаты
расчетов приведены в табл. 1.
Табл 1. Бифуркационные значения числа Маха
– 1 2 3
M1 0.0322 0.0303 0.030
M2 – 0.0419 0.0412
M3 – 0.0470 0.0455
В динамической системе с 4 степенями свобо-
ды наблюдается переход от устойчивого состояния
равновесия к дивергенции; переход к автоколеба-
ниям не обнаружен. Поэтому динамическая систе-
К. В. Аврамов, Е. А. Стрельникова, А. А. Киреенков 7
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 1. С. 3 – 9
ма с 4 степенями свободы неадекватно описывает
колебания пластины.
Рис. 3. Динамика линейной пластинки в потоке
при M=0.02
Для систем с 9 и 16 степенями свободы наблю-
даются близкие значения параметров M1, M2, M3,
при которых обнаружены бифуркации. Поэтому
девяти степеней свободы достаточно для адеква-
тного описания линейной динамики пластины в
потоке жидкости.
Рис. 4. Динамика линейной пластинки в потоке
при M=0.035
Для подтверждения полученных результатов
анализа устойчивости нами проводилось прямое
численное интегрирование динамической системы
с 9 степенями свободы. Колебания системы при
M = 0.02 около устойчивого состояния равнове-
сия представлены на рис. 3; потеря устойчивости
вследствие дивергенции при M = 0.035 показана
на рис. 4. Устойчивые колебания при M = 0.0445
показаны на рис. 5, а потеря устойчивости вслед-
ствие флаттера представлена на рис. 6.
Рис. 5. Динамика линейной пластинки в потоке
при M=0.0445
Рис. 6. Динамика линейной пластинки в потоке
при M=0.05
Исследования автоколебаний в системе (22) осу-
ществляли, используя метод нелинейных нормаль-
ных форм Шоу-Пьера [21–23]. Расчеты проводи-
лись при различных числах Маха. Результаты
анализа приведены на бифуркационной диаграм-
ме (рис. 7). На этом рисунке устойчивые триви-
альные состояния равновесия показаны сплошной
линией, а неустойчивые – штриховой. В точке би-
фуркации Хопфа возникает предельный цикл. Ра-
звитие таких автоколебаний при увеличении числа
Маха показано на рис. 7 сплошной линией.
Для проверки полученных данных по автоко-
лебаниям системы проводилось прямое численное
интегрирование системы (22). В качестве началь-
8 К. В. Аврамов, Е. А. Стрельникова, А. А. Киреенков
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 1. С. 3 – 9
Рис. 7. Бифуркационная диаграмма системы
ных условий выбирались точки на нелинейных мо-
дах. Результаты расчета представлены на рис. 7
ромбами. Итак, результаты прямого численного
интегрирования близки к данным, полученным
методом нелинейных мод.
ВЫВОДЫ
В статье исследован процесс взаимодействия
колеблющейся пластинки с потоком движущейся
жидкости. Жидкость предполагается несжимае-
мой, невязкой и безвихревой. Модель колебаний
жидкости линеаризована. Взаимодействие жидко-
сти с пластинкой описывается гиперсингулярным
интегральным уравнением. В статье используется
метод Галеркина для приближенного решения это-
го уравнения.
Для исследования автоколебаний пластинки в
ее модель включена геометрическая нелинейность,
которая ограничивает амплитуды автоколебаний
в области неустойчивости тривиального состояния
равновесия.
Эта работа была частично поддержана Фондом
фундаментальных исследований Украины в рам-
ках проекта Ф28/257.
1. Bolotin V. V., Grishko A. A., Kounadis A. N.,
Gantes C. J. Non-linear panel flutter in remote post-
critical domains // Int. J. Non-Linear Mechanics.–
1998.– 33, N 5.– С. 753–764.
2. Bolotin V. V., Petrovsky A. V. Grishko A. A.
Secondary bifurcations and global instability of
an aeroelastic non-linear system in the divergence
domain // Journal of Sound and Vibration.– 1996.–
191(3).– С. 431–451.
3. L. Librescu, G. Chiocchia, P. Marzocca Implications
of cubic physical aerodynamic non-linearities on the
character of the flutter instability boundary // Int. J.
of Non-Linear Mechanics.– 2003.– 38.– С. 173–199.
4. B. I. Epureanu, L. S. Tang, M. P. Paidoussis
Coherent structures and their influence on the
dynamics of aeroelastic panels // Int. J. of Non-
Linear Mechanics.– 2004.– 39.– С. 977–991.
5. B. Popescu Deteriorated geometrical stiffness for hi-
gher order finite elements with application to panel
flutter // Nonlinear Dynamics.– 1999.– 18.– С. 89–
103.
6. Lee I., D.-M. Lee, I.-K. Oh Supersonic flutter analysis
of stiffened laminated plates subject to thermal
load // J. of Sound and Vibr.– 1999.– 224(1).– С. 49–
67.
7. Новичков Ю.Н. О применении трехмерных аэро-
динамических теорий к задачам выпучивания и
флаттера панелей // Изв. АН СССР. Мех. твер-
дого тела.– 1963.– № 3.– С. 26-37.
8. Вольмир А.С., Ништ М.И., Пономарев А.Т. Нели-
нейные колебания пластины и цилиндрической па-
нели при срывном нестационарном обтекании //
Прикладная механика.– 1976.– Т. 11, № 1.– С. 12–
17.
9. D. Tang, E. H. Dowell Limit cycle oscillations of two-
dimensional panels in low subsonic flow // Int. J. of
Non-linear Mechanics.– 2002.– 37.– С. 1199–1209.
10. A. Kornecki, E. H. Dowell, J. O’Brien On the
aeroelastic instability of two-dimensional panels in
uniform incompressible flow // Journal of Sound and
Vibration.– 1976.– 47(2).– С. 163–178.
11. Селезов И.Т. Панельный флаттер пластины в по-
токе сжимаемого газа // Сб. науч. трудов кон-
ференции “Аэрогидродинамика и аэроакустика:
проблемы и перспективы”.– 22-24 октября 2009.–
ХАИ.– С. 183–186.
12. Фын Я.Ц. Введение в теорию аэроупругости.– М.:
ГИФМЛ, 1950.– 424 с.
13. Y. Fu, W. G. Price Interactions between a parti-
ally or totally immersed vibrating cantilever plate
and the surrounding fluid // Journal of Sound and
Vibration.– 1987.– 118(3).– С. 495-513.
14. Ergin A., Ugurlu B. Linear vibration analysis of canti-
lever plates partially submerged in fluid // Journal of
Fluids and Structures.– 2003.– 17.– С. 927-939.
15. Белоцерковский С.М., Ништ М.И. К расчету срыв-
ного нестационарного обтекания тонкого профи-
ля // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа.–
1972.– № 3.– С. 177–182.
16. Кантор Б.Я., Стрельникова Е.А. Гиперсингуляр-
ные интегральные уравнения в задачах механи-
ки сплошной среды.– Харьков: Новое слово, 2005.–
253 с.
17. Голубев В.В. Лекции по теории крыла.– М.-Л.: Го-
стехтеориздат, 1949.– 480 с.
18. Гюнтер Н.М. Теория потенциала и ее применение
к основным задачам математической физики.– М:
Гостехтеориздат, 1953.– 416 с.
19. J.L. Hess Review of integral-equation techniques for
solving potential-flow problems with emphasis on
the surface-source method // Computer methods
in applied mechanics and engineering.– 1975.– 5.–
С. 145–196.
20. M. Amabili Nonlinear Vibrations and Stability of
Shells and Plates – London: Cambridge University
Press. – 2008.
21. Аврамов К.В. Применение нелинейных нормаль-
ных форм к анализу вынужденных колебаний //
Прикладная механика.– 2008.– № 11.– С. 45–51.
22. Аврамов К.В. Нелинейные нормальные формы па-
раметрических колебаний // Доповiдi Нацiональ-
ної Академiй Наук України.– 2008.– № 11.– С. 41–
47.
23. Аврамов К.В., Пьерр К., Ширяева Н.С. Нелиней-
ные нормальные формы колебаний систем с ги-
роскопическими силами // Доповiдi Нацiональної
Академiй Наук України.– 2006.– № 11.– С. 7–10.
К. В. Аврамов, Е. А. Стрельникова, А. А. Киреенков 9
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-116263 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-9087 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:12:45Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Аврамов, К.В. Стрельникова, Е.А. Киреенков, А.А. 2017-04-23T16:02:59Z 2017-04-23T16:02:59Z 2011 Автоколебания пластины, взаимодействующей с потоком жидкости / К.В. Аврамов, Е.А. Стрельникова, А.А. Киреенков // Прикладна гідромеханіка. — 2011. — Т. 13, № 1. — С. 3-9. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116263 532.595 Рассмотрены автоколебания пластины при двухстороннем взаимодействии с движущимся потоком жидкости. Перепад давлений, действующий на пластинку, описывается гиперсингулярным интегральным уравнением, которое решается методом Галеркина. В модели колебаний пластины учтена геометрическая нелинейность. Движение пластины описывается нелинейной динамической системой с конечным числом степеней свободы. Досліджено автоколивання пластини при двосторонній взаємодії з потоком рідини, що рухається. Перепад тиску, який діє на пластину, описується гіперсингулярним інтегральним рівнянням, яке розв'язано методом Гальоркіна. В моделі коливань пластини враховано геометричну нелінійність. Рух пластини описується нелінійною динамічною системою із скінченним числом ступенів вільності. Self-sustained vibrations of plates at two-sided interaction with moving fluid are considered. Fluid-structure interaction is described by a hyper singular integral equation, which is solved by Galerkin method. The plate performs geometrical nonlinear vibrations, which is described by finite-degree-of-freedom nonlinear dynamical system. Эта работа была частично поддержана Фондом фундаментальных исследований Украины в рамках проекта Ф28/257. ru Інститут гідромеханіки НАН України Прикладна гідромеханіка Науковi статтi Автоколебания пластины, взаимодействующей с потоком жидкости Автоколивання пластини, що взаємодіє з потоком рідини Self-sustained vibrations of plate interacting with moving fluid Article published earlier |
| spellingShingle | Автоколебания пластины, взаимодействующей с потоком жидкости Аврамов, К.В. Стрельникова, Е.А. Киреенков, А.А. Науковi статтi |
| title | Автоколебания пластины, взаимодействующей с потоком жидкости |
| title_alt | Автоколивання пластини, що взаємодіє з потоком рідини Self-sustained vibrations of plate interacting with moving fluid |
| title_full | Автоколебания пластины, взаимодействующей с потоком жидкости |
| title_fullStr | Автоколебания пластины, взаимодействующей с потоком жидкости |
| title_full_unstemmed | Автоколебания пластины, взаимодействующей с потоком жидкости |
| title_short | Автоколебания пластины, взаимодействующей с потоком жидкости |
| title_sort | автоколебания пластины, взаимодействующей с потоком жидкости |
| topic | Науковi статтi |
| topic_facet | Науковi статтi |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116263 |
| work_keys_str_mv | AT avramovkv avtokolebaniâplastinyvzaimodeistvuûŝeispotokomžidkosti AT strelʹnikovaea avtokolebaniâplastinyvzaimodeistvuûŝeispotokomžidkosti AT kireenkovaa avtokolebaniâplastinyvzaimodeistvuûŝeispotokomžidkosti AT avramovkv avtokolivannâplastiniŝovzaêmodíêzpotokomrídini AT strelʹnikovaea avtokolivannâplastiniŝovzaêmodíêzpotokomrídini AT kireenkovaa avtokolivannâplastiniŝovzaêmodíêzpotokomrídini AT avramovkv selfsustainedvibrationsofplateinteractingwithmovingfluid AT strelʹnikovaea selfsustainedvibrationsofplateinteractingwithmovingfluid AT kireenkovaa selfsustainedvibrationsofplateinteractingwithmovingfluid |