Инерционно–вихревой принцип генерации усилий на крыльях насекомых
Исследован принцип создания подъемных сил, возникающих на крыльях насекомых. Для численного моделирования процесса броска (основной фазы механизма Вейс-Фо) применялся усовершенствованный метод дискретных вихрей (УМДВ), обобщенный для вязкой вихревой среды, и метод расчета нестационарного поля давлен...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Прикладна гідромеханіка |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2011
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116271 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Инерционно–вихревой принцип генерации усилий на крыльях насекомых / А.В. Шеховцов // Прикладна гідромеханіка. — 2011. — Т. 13, № 1. — С. 61-76. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-116271 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Шеховцов, А.В. 2017-04-23T16:20:24Z 2017-04-23T16:20:24Z 2011 Инерционно–вихревой принцип генерации усилий на крыльях насекомых / А.В. Шеховцов // Прикладна гідромеханіка. — 2011. — Т. 13, № 1. — С. 61-76. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116271 533.6.013:577.31 Исследован принцип создания подъемных сил, возникающих на крыльях насекомых. Для численного моделирования процесса броска (основной фазы механизма Вейс-Фо) применялся усовершенствованный метод дискретных вихрей (УМДВ), обобщенный для вязкой вихревой среды, и метод расчета нестационарного поля давления (обобщенная формула Коши-Лагранжа для вязкой вихревой среды). Для случаев мгновенного и плавного углового старта крыльев при числах Рейнольдса, равных 10² и 10⁶, проведены специальные исследования для выяснения вклада сил различной природы в формирование главного вектора внешних сил на крыльях. Обнаружено, что при уменьшении числа Рейнольдса вклад сил инерционной природы возрастает, вклад сил вихревой природы уменьшается, однако в случае мгновенного старта крыльев он все же может составлять две трети от всей нормальной силы в конце броска. Наоборот, при плавном старте доминируют инерционные силы, а их вклад в конце броска составляет 70%-80%. Вклад сил циркуляционной природы мал во всех случаях. Досліджено принцип утворення підйомних сил, що виникають на крилах комах. Для чисельного моделювання процессу кидка (головної фази механізму Вейс-Фо) застосовувався удосконалений метод дискретних вихорів (УМДВ), узагальнений для в'язкого вихрового середовища, та метод розрахунку нестаціонарного поля тиску (узагальнена формула Коші-Лагранжа для в'язкого вихрового середовища). Для випадків миттєвого та плавного кутового старту крил при числах Рейнольдса, рівних 10² та 10⁶, було проведено спеціальні дослідження для з'ясування внеску сил різної природи у формування головного вектору зовнішніх сил на крилах. З'ясовано, що при зменшенні числа Рейнольдса внесок сил інерційної природи зростає, внесок сил вихрової природи зменшується, однак у випадку миттєвого старту крил він все-таки може складати дві третини від усієї нормальної сили наприкінці кидку. Навпаки, при плавному старті домінують інерційні сили, а їх внесок наприкінці кидку складає 70%-80%. Внесок сил циркуляційної природи малий в усіх випадках. The principle of creation of the lift arising on wings of insect was investigated. The improved method of discrete vortices (IMDV) generalized for a viscous vortical medium and also a method of calculation of a non-steady field of pressure (generalized formula Cauchy-Lagrange for a viscous vertical medium) to numerical modeling process of fling (the main phase of Weis-Fogh mechanism) are applied. For cases of instant and smooth start of wings at Reynolds number equal 10² and 10⁶, for finding the contribution of forces of the various nature in formation of the main vector of external forces on wings, the special researches are carried out. It was revealed that at decreasing of Reynolds number the contribution of forces of the inertial nature grows, the contribution of forces of the vertical nature decreases, however in case of instant start of wings it can constitute two thirds of all normal force in the end of fling. On the contrary, inertial forces dominate over smooth start, and their contribution makes 70%-80% in the end of fling. The contribution of forces of the circulating nature is small in all cases. ru Інститут гідромеханіки НАН України Прикладна гідромеханіка Науковi статтi Инерционно–вихревой принцип генерации усилий на крыльях насекомых Інерційно-вихоровий принцип генерації сил на крилах комах Inertially-vortex principle of generating forces at insect wings Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Инерционно–вихревой принцип генерации усилий на крыльях насекомых |
| spellingShingle |
Инерционно–вихревой принцип генерации усилий на крыльях насекомых Шеховцов, А.В. Науковi статтi |
| title_short |
Инерционно–вихревой принцип генерации усилий на крыльях насекомых |
| title_full |
Инерционно–вихревой принцип генерации усилий на крыльях насекомых |
| title_fullStr |
Инерционно–вихревой принцип генерации усилий на крыльях насекомых |
| title_full_unstemmed |
Инерционно–вихревой принцип генерации усилий на крыльях насекомых |
| title_sort |
инерционно–вихревой принцип генерации усилий на крыльях насекомых |
| author |
Шеховцов, А.В. |
| author_facet |
Шеховцов, А.В. |
| topic |
Науковi статтi |
| topic_facet |
Науковi статтi |
| publishDate |
2011 |
| language |
Russian |
| container_title |
Прикладна гідромеханіка |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Інерційно-вихоровий принцип генерації сил на крилах комах Inertially-vortex principle of generating forces at insect wings |
| description |
Исследован принцип создания подъемных сил, возникающих на крыльях насекомых. Для численного моделирования процесса броска (основной фазы механизма Вейс-Фо) применялся усовершенствованный метод дискретных вихрей (УМДВ), обобщенный для вязкой вихревой среды, и метод расчета нестационарного поля давления (обобщенная формула Коши-Лагранжа для вязкой вихревой среды). Для случаев мгновенного и плавного углового старта крыльев при числах Рейнольдса, равных 10² и 10⁶, проведены специальные исследования для выяснения вклада сил различной природы в формирование главного вектора внешних сил на крыльях. Обнаружено, что при уменьшении числа Рейнольдса вклад сил инерционной природы возрастает, вклад сил вихревой природы уменьшается, однако в случае мгновенного старта крыльев он все же может составлять две трети от всей нормальной силы в конце броска. Наоборот, при плавном старте доминируют инерционные силы, а их вклад в конце броска составляет 70%-80%. Вклад сил циркуляционной природы мал во всех случаях.
Досліджено принцип утворення підйомних сил, що виникають на крилах комах. Для чисельного моделювання процессу кидка (головної фази механізму Вейс-Фо) застосовувався удосконалений метод дискретних вихорів (УМДВ), узагальнений для в'язкого вихрового середовища, та метод розрахунку нестаціонарного поля тиску (узагальнена формула Коші-Лагранжа для в'язкого вихрового середовища). Для випадків миттєвого та плавного кутового старту крил при числах Рейнольдса, рівних 10² та 10⁶, було проведено спеціальні дослідження для з'ясування внеску сил різної природи у формування головного вектору зовнішніх сил на крилах. З'ясовано, що при зменшенні числа Рейнольдса внесок сил інерційної природи зростає, внесок сил вихрової природи зменшується, однак у випадку миттєвого старту крил він все-таки може складати дві третини від усієї нормальної сили наприкінці кидку. Навпаки, при плавному старті домінують інерційні сили, а їх внесок наприкінці кидку складає 70%-80%. Внесок сил циркуляційної природи малий в усіх випадках.
The principle of creation of the lift arising on wings of insect was investigated. The improved method of discrete vortices (IMDV) generalized for a viscous vortical medium and also a method of calculation of a non-steady field of pressure (generalized formula Cauchy-Lagrange for a viscous vertical medium) to numerical modeling process of fling (the main phase of Weis-Fogh mechanism) are applied. For cases of instant and smooth start of wings at Reynolds number equal 10² and 10⁶, for finding the contribution of forces of the various nature in formation of the main vector of external forces on wings, the special researches are carried out. It was revealed that at decreasing of Reynolds number the contribution of forces of the inertial nature grows, the contribution of forces of the vertical nature decreases, however in case of instant start of wings it can constitute two thirds of all normal force in the end of fling. On the contrary, inertial forces dominate over smooth start, and their contribution makes 70%-80% in the end of fling. The contribution of forces of the circulating nature is small in all cases.
|
| issn |
1561-9087 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116271 |
| citation_txt |
Инерционно–вихревой принцип генерации усилий на крыльях насекомых / А.В. Шеховцов // Прикладна гідромеханіка. — 2011. — Т. 13, № 1. — С. 61-76. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT šehovcovav inercionnovihrevoiprincipgeneraciiusiliinakrylʹâhnasekomyh AT šehovcovav ínercíinovihoroviiprincipgeneracíísilnakrilahkomah AT šehovcovav inertiallyvortexprincipleofgeneratingforcesatinsectwings |
| first_indexed |
2025-11-24T20:16:50Z |
| last_indexed |
2025-11-24T20:16:50Z |
| _version_ |
1850495127870504960 |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 1. С. 61 – 76
УДК 533.6.013:577.31
ИНЕРЦИОННО–ВИХРЕВОЙ ПРИНЦИП
ГЕНЕРАЦИИ УСИЛИЙ НА КРЫЛЬЯХ НАСЕКОМЫХ
А. В. ШЕХ О ВЦ О В
Институт гидромеханики НАН Украины, Киев
Получено 06.10.2009 � Пересмотрено 02.11.2010
Исследован принцип создания подъемных сил, возникающих на крыльях насекомых. Для численного моделиро-
вания процесса броска (основной фазы механизма Вейс-Фо) применялся усовершенствованный метод дискретных
вихрей (УМДВ), обобщенный для вязкой вихревой среды, и метод расчета нестационарного поля давления (обоб-
щенная формула Коши-Лагранжа для вязкой вихревой среды). Для случаев мгновенного и плавного углового старта
крыльев при числах Рейнольдса, равных 102 и 106, проведены специальные исследования для выяснения вклада сил
различной природы в формирование главного вектора внешних сил на крыльях. Обнаружено, что при уменьшении
числа Рейнольдса вклад сил инерционной природы возрастает, вклад сил вихревой природы уменьшается, однако в
случае мгновенного старта крыльев он все же может составлять две трети от всей нормальной силы в конце броска.
Наоборот, при плавном старте доминируют инерционные силы, а их вклад в конце броска составляет 70% − 80%.
Вклад сил циркуляционной природы мал во всех случаях.
Дослiджено принцип утворення пiдйомних сил, що виникають на крилах комах. Для чисельного моделювання про-
цесу кидка (головної фази механiзму Вейс-Фо) застосовувався удосконалений метод дискретних вихорiв (УМДВ),
узагальнений для в’язкого вихрового середовища, та метод розрахунку нестацiонарного поля тиску (узагальнена
формула Кошi-Лагранжа для в’язкого вихрового середовища). Для випадкiв миттєвого та плавного кутового старту
крил при числах Рейнольдса, що дорiвнюють 102 та 106, було проведено спецiальнi дослiдження для з’ясування
внеску сил рiзної природи у формування головного вектору зовнiшнiх сил на крилах. З’ясовано, що при зменшеннi
числа Рейнольдса внесок сил iнерцiйної природи зростає, внесок сил вихрової природи зменшується, однак у ви-
падку миттєвого старту крил вiн все-таки може складати двi третини вiд усiєї нормальної сили наприкiнцi кидка.
Навпаки, при плавному стартi домiнують iнерцiйнi сили, а їх внесок наприкiнцi кидка складає 70% − 80%. Внесок
сил циркуляцiйної природи малий в усiх випадках.
The principle of creation of the lift arising on wings of insect was investigated. The improved method of discrete vortices
(IMDV) generalized for a viscous vortical medium and also a method of calculation of a non-steady field of pressure
(generalized formula Cauchy-Lagrange for a viscous vortical medium) to numerical modeling process of fling (the main
phase of Weis-Fogh mechanism) are applied. For cases of instant and smooth start of wings at Reynolds number equal
10
2 and 10
6, for finding the contribution of forces of the various nature in formation of the main vector of external forces
on wings, the special researches are carried out. It was revealed that at decreasing of Reynolds number the contribution
of forces of the inertial nature grows, the contribution of forces of the vortical nature decreases, however in case of instant
start of wings it can constitute two thirds of all normal force in the end of fling. On the contrary, inertial forces dominate
over smooth start, and their contribution makes 70%−80% in the end of fling. The contribution of forces of the circulating
nature is small in all cases.
ВВЕДЕНИЕ
Исследования нестационарной аэродинамики по-
лета насекомых, для которой характерны свер-
хкритические углы атаки и необычайно сложные
законы движения крыльев, в последнее десятиле-
тие переживают стремительный прогресс. Однако
вместе с открытиями, отказом от классических па-
радигм, он чередуется новыми заблуждениями и
ошибочными гипотезами [1, 2]. Причина этого ле-
жит в том, что для понимания аэродинамической
природы сил, возникающих на крыльях насеко-
мых, необходима информация о трех компонентах
этих сил – инерционной, вихревой и циркуляцион-
ной, которые сложно выделить как в численных,
так и в физических экспериментах.
Данная работа является развитием исследова-
ний природы сил, возникающих при полете насе-
комых. Эти исследования были начаты в работе
[3], опираясь на усовершенствованный метод дис-
кретных вихрей (УМДВ), обобщенный для вязких
вихревых сред [4, 5], и метод расчета нестацио-
нарного поля давления для вязких вихревых сред
(обобщенную формулу Коши–Лагранжа) [6, 7].
Так как насекомые машут крыльями при числах
Рейнольдса 10 < Re < 105, необходима проверка:
имеет ли место установленный в [2] инерционно–
вихревой принцип полета в случае вязкой среды,
и если да, то какие компоненты сил преобладают.
В работе в рамках двумерного приближения бу-
дет рассматриваться начальная фаза раскрытия
крыльев насекомых перед их раздвижением в го-
ризонтальной плоскости в процессе нормального
трепещущего полета (начальная фаза механизма
Вейс–Фо [8]).
Для этого применим подход, который впервые
был с успехом апробирован для рассматриваемо-
го класса задач в работе [5]. Его принципиаль-
ное отличие от всех других методов заключается
в том, что моделирование диффузии завихренно-
c© А. В. Шеховцов, 2011 61
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 1. С. 61 – 76
сти осуществляется не численно, а аналитически.
При этом в качестве частного (базового) решения
используется вихрь Лэмба–Озеена – фундамен-
тальное решение обобщенного уравнения Гельм-
гольца (его автомодельное решение для случая
диффузии прямолинейной вихревой нити) [9].
Сама идея использования в качестве базового,
фундаментального решения обобщенного уравне-
ния Гельмгольца для вязкой вихревой среды (ви-
хря Лэмба–Озеена) не нова – первые попытки ее
воплощения были осуществлены Шифером, Эски-
нази [10], затем Белоцерковским [11], Леонардом
[12]. Грингард [13] провел анализ сходимости дан-
ного метода моделирования дисперсии завихрен-
ности (он назвал его "метод расплывающегося
ядра") и показал, что метод абсолютно правильно
моделирует процесс диффузии завихренности, но
некорректно моделирует ее конвекцию. Однако он
не сделал никаких оценок точности метода. В то
же время, Кида, Накаима и Сумицу [14] показа-
ли, что данный метод достаточно точный, чтобы
решать практические задачи.
Как известно, вследствие нелинейности обоб-
щенного уравнения Гельмгольца, суперпозиция
его частных решений может не являться общим
решением, что формально делает задачу некорре-
ктной.
Большинство важнейших практических задач
некорректны по Адамару (при больших числах
Рейнольдса "включается"действие нелинейности
и начинают проявляться свойства решения, несов-
местимые с определением корректности), но, тем
не менее, они успешно решаются современными
численными методами.
Автором было показано [4], что для решения
некорректных начально–краевых задач с помо-
щью метода дискретных вихрей (МДВ) нельзя
использовать традиционные методы, предназна-
ченные для решения задачи Коши. Вместо них ну-
жно регуляризировать решение с помощью сгла-
живающего функционала, уменьшающего локаль-
ные ошибки дискретизации вихревой пелены, ко-
торые являются ошибками входных данных зада-
чи Коши и превосходят ошибки усечения на 1–4
порядка.
Это дало возможность решить основную про-
блему МДВ – существенное (до 50%) завышение
значений нормальных сил на пластине для идеаль-
ной среды [15]. Усовершенствованный метод дис-
кретных вихрей открыл также путь для обобще-
ния на случай вязких вихревых течений: к при-
меру, для неустановившегося отрывного обтека-
ния пластины полученные значения нормальной
силы оказались в пределах погрешности экспери-
мента для всего диапазона чисел Рейнольдса и
всех закритических углов атаки [15]. Уточнение
МДВ касалось именно расчета конвективной ско-
рости, что было слабым местом метода расплыва-
ющегося ядра, который грешил при нарушении
осесимметричности течения, когда начинает рабо-
тать конвективный член обобщенного уравнения
Гельмгольца, ответственный за нелинейность.
Важно отметить, что указанное уточнение
МДВ обеспечило выполнение обобщенной теоре-
мы Гельмгольца–Пуанкаре с точностью дискрети-
зации во времени и пространстве, которая утвер-
ждает, что для вязкого двумерного течения баро-
тропной среды в поле консервативных сил вихре-
вые линии вморожены в среду. Это связано с тем,
что в таком случае вектор завихренности оказыва-
ется коллинеарен вектору лапласиана завихренно-
сти. Во всех других моделях вязкого вихревого те-
чения выполнение этой теоремы нужно проверять,
так как в них, как правило, отождествляются
понятия "перемещение завихренности"и "переме-
щение вихревого элемента"(см., например, [16]).
Однако на самом деле вихревые элементы дол-
жны двигаться только со скоростью вязкой дву-
мерной несжимаемой невесомой среды, в то вре-
мя как завихренность – и с конвективной скоро-
стью среды, и со скоростью диффузии завихрен-
ности относительно самой среды, что и обеспечи-
вает обобщенный УМДВ благодаря уточненному
учету нелинейных конвективных слагаемых обоб-
щенного уравнения Гельмгольца.
Также несомненным преимуществом непосред-
ственного использования вихря Лэмба–Озеена для
моделирования диффузии завихренности перед
численным есть то, что он не требует дополни-
тельных тестовых сравнений с такими известными
аналитическими решениями, как диффузия ви-
хревой окружности и диффузия вихревого кру-
га [9], так как линейность обобщенного уравнения
Гельмгольца в этих случаях гарантированно обе-
спечивает сходимость численного решения к ана-
литическому с увеличением числа дискретных ви-
хрей.
Кроме этого, УМДВ, обобщенный для вязких
двумерных вихревых сред, также обеспечивает:
• точное выполнение обобщенного уравнения
Гельмгольца в центрах вихревых нитей и на
бесконечном удалении от них;
• точное выполнение закона сохранения зави-
хренности (закона сохранения момента им-
пульса вихря) в пределах контуров, расши-
ряющихся относительно среды со скоростью
диффузии завихренности;
62 А. В. Шеховцов
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 1. С. 61 – 76
• точное выполнение обобщенного уравнения
Гельмгольца для изолированных пар вихре-
вых нитей одинаковой интенсивности, незави-
симо от их знака, в средней точке между ни-
ми;
• быстрое уменьшение невязки (как exp(−~r 2))
за пределами произвольных пар вихревых ни-
тей (так как она зависит от произведения ка-
сательной скорости на градиент завихренно-
сти).
Это означает, что отклонение от точного реше-
ния обобщенного уравнения Гельмгольца в прои-
звольном двумерном случае происходит только ло-
кально, причем эти локальные ошибки не нака-
пливаются со временем.
Таким образом, использование в качестве ба-
зового, фундаментального решения обобщенного
уравнения Гельмгольца эквивалентно предполо-
жению, что нелинейные диффузионные эффекты
в вязком несжимаемом двумерном течении неве-
сомой среды достаточно малы, влияют только на
локальные характеристики поля завихренности и
поэтому ними можно пренебречь.
Апробация УМДВ для класса задач о колеба-
ниях крыла в неподвижной вязкой несжимаемой
среде с ограниченным решением на кромках пока-
зала, что эта гипотеза успешно работает – полу-
чено удовлетворительное соответствие с экспери-
ментальными и теоретическими данными других
численных методов как по осредненным, так и по
мгновенным кинематическим и динамическим ха-
рактеристикам течения и крыла [5].
1. ФИЗИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
О РАСКРЫТИИ КРЫЛЬЕВ НАСЕКОМЫХ В
ВЯЗКОЙ СРЕДЕ
Сделаем упрощающие предположения относи-
тельно свойств среды и крыльев насекомого.
Пусть вязкая среда является сплошной и обла-
дает свойствами несжимаемости и невесомости
(отсутствуют внешние объемные силы). Во всех
ее точках в начальный момент времени предпо-
лагается отсутствие вихрей, а сама среда – непо-
движной. Пусть в некоторой области пространства
среды находятся два крыла, задние кромки кото-
рых соединены. Будем предполагать, что крылья
являются бесконечно тонкими, непроницаемыми,
прямолинейными и недеформируемыми. Будем
рассматривать лишь средние сечения крыльев, па-
раллельные их хордам. Влиянием эффектов тре-
хмерности будем пренебрегать. В начальный мо-
мент времени вместо сложенных крыльев рас-
смотрим два параллельных крыла, задние кром-
ки B2 которых соединены непроницаемой пере-
мычкой s, длина которой принималась равной 0.2
хорды. Так как рассматривается лишь зеркально–
симметричный тип движения крыльев друг отно-
сительно друга, достаточно моделировать лишь
движение одного крыла S в верхней полуплоско-
сти D, учитывая влияние второго методом зер-
кальных отражений относительно линии симме-
трии L, которая станет непроницаемой. В началь-
ный момент времени t = 0 границей рассматрива-
емой среды D будет совокупность S ∪ s ∪ L = S /∈
D.
В силу того, что среда D является вязкой, на по-
верхности крыла S и перемычки s должно выпол-
няться условие прилипания.
Однако экспериментальные наблюдения гово-
рят о том, что вклад силы трения в главный ве-
ктор внешних сил на крыльях насекомых настоль-
ко мал, что им можно пренебречь. Графически
это означает, что главный вектор внешних сил на
крыле насекомого приближенно ему перпендику-
лярен, что и наблюдается на экспериментальных
диаграммах сил [17].
Кроме того, известно, что во всех эксперимен-
тах с привязанными насекомыми и их моделя-
ми, подобными по числам Рейнольдса и Струхаля,
отрыв потока всегда происходит только с кромок
их крыльев. Это указывает на то, что вторичных
вихрей на крыльях насекомых не образуется.
Физические условия, которые это обеспечива-
ют, достаточно ясны. Дело в том, что основ-
ной рабочий режим работы крыльев насекомых
– это их движение под углами атаки 40◦ −
60◦, причем крылья находятся во вращательно–
поступательном колебательном режиме при чи-
слах Рейнольдса от ∼ 101 до ∼ 103 . Такие большие
углы атаки гарантированно обеспечивают отрыв-
ный режим обтекания всех кромок, что матема-
тически соответствует ограниченному решению на
концах рассматриваемого интервала. Сила трения
при таких больших углах резко уменьшается, а си-
ла давления – резко возрастает. Сравнительно ма-
лые числа Рейнольдса, в свою очередь, ухудшают
условия для турбулизации потока и возникнове-
ния вторичных вихрей.
Оценка соотношения сил, обусловленных давле-
нием потока на крыло, CN = 1.95+50/Re [18] (это
для углов атаки 90◦; для рабочих углов атаки CN
уменьшается на ∼ 15%− 30%), и сил, обусловлен-
ных трением на одной стороне крыла (поток не по-
падает на другую сторону из–за его срыва со всех
кромок крыла), Cf = 0.664/
√
Re (это для углов
атаки 0◦; для рабочих углов атаки Cf уменьшае-
А. В. Шеховцов 63
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 1. С. 61 – 76
тся на ∼ 50% − 70%), показывает, что для рабо-
чих углов атаки и чисел Рейнольдса силы трения
меньше сил давления почти на два порядка. В слу-
чае вращения крыла вокруг одной из кромки углы
атаки составляют 90◦, что приводит к еще боль-
шей диспропорции сил трения и давления.
Поэтому мы примем к рассмотрению модель об-
текания крыла S со сходом слоя течения с его
передней кромки B1, что равносильно выполне-
нию постулата Кутта–Жуковского–Чаплыгина о
конечности скорости в окрестности этой кромки, а
также будем пренебрегать эффектами прилипания
частиц среды к поверхности вращающегося крыла
и неподвижной перемычки.
При вращательном движении крыла эпюра ско-
ростей в поперечном сечении сходящего потока бу-
дет несимметричной: из-за вязкого трения между
его слоями будет развиваться неустойчивость с по-
следующим возникновением вращательного дви-
жения жидких частиц, то есть течение будет ви-
хревым. Будем считать вихревой слой бесконеч-
но тонким. Таким образом, с передней кромки
B1 вращающегося крыла S, которое заменим при-
соединенным вихревым слоем, будет сходить ви-
хревая пелена σ, точки которой будут двигаться
по траекториям жидких частиц в соответствии с
обобщенной теоремой Гельмгольца-Пуанкаре (по-
этому будем называть ее свободной). Нормальные
компоненты скорости ~W при переходе через нее не
меняются, а касательные будут терпеть разрыв γ:
~n(~r0, t) ×
[
~W−(~r0, t)− ~W+(~r0, t)
]
= ~γ(~r0, t) ,
~r0 ∈ S ∪ s ∪ σ .
(1.1)
Отметим, что γ имеет физический смысл погон-
ной вихревой интенсивности, или плотности ви-
хревого слоя.
Так как среда вязкая, то циркуляция скорости
по жидким контурам не будет сохраняться, что об-
условлено тем, что завихренность уже не будет со-
средоточена все время в свободных вихревых пеле-
нах, а будет распространяться относительно среды
с течением времени с некоторой скоростью диф-
фузии ~Vd.
Дисперсия завихренности в несжимаемой вяз-
кой среде описывается обобщенным уравнением
Гельмгольца, которое в двумерном случае имеет
вид:
∂~Ω
∂t
+ Wx
∂~Ω
∂x
+ Wy
∂~Ω
∂y
= ν
(
∂2~Ω
∂x2
+
∂2~Ω
∂y2
)
, (1.2)
где ~Ω =
(
∂Wy
∂x
− ∂Wx
∂y
)
~k .
Для случая изолированной прямолинейной ви-
хревой нити уравнение (1.2) имеет автомодельное
решение, являющееся фундаментальным [9]:
~Ω =
~Γ0
4πνt
exp
(
− ~r 2
4νt
)
. (1.3)
Оно справедливо для t > 0 , то есть сразу после
того, как изъяли источник завихренности, во всем
объеме вязкой среды мгновенно возникло указан-
ное распределение завихренности, ядро которого
начало диффундировать (расплываться) относи-
тельно частиц среды в радиальном направлении
со скоростью ~Vd :
~Vd = −ν
∇Ω
Ω
=
~r
2t
. (1.4)
Выражение (1.4) следует из уравнения (1.2),
если его слегка преобразовать:
∂~Ω
∂t
+
[(
~W − ν
∇Ω
Ω
)
· ∇
]
~Ω = 0 . (1.5)
Анализируя решение, можно видеть, что прои-
звольной последовательности фиксированных
окружностей с радиусами ~rm1 < ~rm2 < ~rm3 . . .
соответствует последовательность моментов вре-
мени tm1 < tm2 < tm3 . . . таких, что для каждого
~rmi в момент времени tmi = ~r 2
mi/(4ν) завихрен-
ность в точках этих окружностей достигает
своего максимума, причем Ωm1 < Ωm2 < Ωm3 . . ..
Таким образом, времена tmi – это последова-
тельные времена прохождения максимума (ядра)
расплывающейся завихренности со скоростью:
ṙm =
(
ν
tm
)1/2
=
2ν
rm
. (1.6)
В то же время, согласно (1.4):
~Vd =
~rm
2tm
=
2ν~rm
~r2
m
. (1.7)
Следовательно, ~Vd = ~̇rm.
Теперь покажем, что циркуляция скорости по
окружностям с радиусами ~rm = ~rm(tm) (то есть,
по контурам Cm, расширяющимся со скоростью
диффузии ~Vd относительно среды) не меняется с
течением времени.
Учитывая, что при этом 4νtm = ~r 2
m , имеем:
~Γm = ~k
∮
Cm
~Vm · δ~rm = 2π~rm × ~Vm = 2π~rm×
×
~Γ0 × ~rm
2π~r 2
m
[
1 − exp
(
− ~r 2
m
4νtm
)]
= ~Γ0(1 − e−1) .
(1.8)
64 А. В. Шеховцов
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 1. С. 61 – 76
Таким образом, циркуляция скорости по указан-
ным контурам, а следовательно, и суммарная за-
вихренность в пределах своего ядра ~r = ~rm, кото-
рое распространяется относительно вязкой среды
с радиальной скоростью диффузии ~Vd = ~̇rm, дей-
ствительно сохраняются.
Распределение скорости, соответствующее авто-
модельному распределению завихренности (1.3),
имеет вид [9]:
~W =
~Γ0 × ~r
2π~r 2
[
1 − exp
(
− ~r 2
4νt
)]
. (1.9)
Поле скорости (1.9), а также суперпозиция по-
лей скорости от любого конечного числа прямо-
линейных вихревых нитей будет точно удовлетво-
рять уравнению неразрывности:
∂Wx
∂x
+
∂Wy
∂y
= 0 . (1.10)
Кроме того, поля (1.3) и (1.9) для любого момен-
та времени точно удовлетворяют уравнению дис-
персии завихренности (1.2) в центрах вихревых
нитей, а также на бесконечном удалении от них.
В остальных точках суперпозиция полей скорости
от конечного числа прямолинейных вихревых ни-
тей, а также соответствующих полей завихренно-
сти будут удовлетворять уравнению дисперсии за-
вихренности (1.2) приближенно.
2. ФОРМУЛИРОВКА
НАЧАЛЬНО–КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
Сформулируем начально–краевую задачу для
нахождения общего решения обобщенного уравне-
ния Гельмгольца (1.2) в случае вращения крыла S
в вязкой среде D вблизи твердой поверхности L и
перемычки s, с учетом принятых упрощений.
Как было показано в предыдущем параграфе,
вместо условия прилипания для данного класса
задач достаточно задавать условие непроницаемо-
сти границы S∪s∪L = S ′ , пренебрегая эффекта-
ми трения:
lim
~r→~r0
~W (~r, t) · ~n(~r0(t)) = ~W ∗(~r0(t)) · ~n(~r0(t)) ,
∀t , ~r0 ∈ S ′\(~r1 ∪ ~r2) , ~r ∈ D ,
(2.1)
где ~W ∗ – вектор скорости точек границы S ′; ~r1
– радиус–вектор передней кромки крыла: ~r2 –
радиус–вектор задней кромки крыла: ~n – вектор
нормали к ~W ∗.
Условие движения вихревой пелены σ по трае-
кториям жидких частиц:
lim
~r→~r0
~W (~r,t) =
~̃
W (~r0(t,t̃),t) ,
t ≥ t̃ , ~r0 ∈ σ , ~r ∈ D ,
(2.2)
где ~̃W – вектор скорости точек вихревой пелены;
t̃ – время, при котором ~r0 = ~r1.
Условие затухания возмущений на бесконечном
удалении от крыла и вихревой пелены:
lim
~r−~r0→∞
~W (~r, t) = 0 , ∀t , ~r ∈ D , ~r0 ∈ S ′ ∪ σ . (2.3)
Условие существования решения внешней крае-
вой задачи (2.1)–(2.3) для уравнения (1.2) следует
из закона сохранения массы внутри границы S ′\L
(в общем случае – произвольной замкнутой), что
в плоском случае для несжимаемой среды эквива-
лентно сохранению площади внутри непроницае-
мого контура S ∪ s, или нулевому балансу потока
через этот контур:
∮
S∪s
~W ∗(~r0, t) · ~n(~r0(t)) ds = 0 , ∀t , ~r0 ∈ S ∪ s . (2.4)
В силу принятых ограничений, это условие бу-
дет выполняться для любого момента времени, то
есть существование решения краевой задачи (2.1)–
(2.3) для уравнения (1.2) обеспечено.
Так как область D является односвязной, усло-
вие единственности решения задачи обеспечивае-
тся автоматически.
Задача Коши для нахождения формы свободной
вихревой пелены σ в произвольный момент време-
ни t имеет вид:
~r0(t, t̃) = ~r1(t̃) , t = t̃ ,
d~r0(t, t̃)
dt
=
~̃
W (~r0(t, t̃), t) , t > t̃ ,
(2.5)
где ~r0 ∈ σ.
Для внешней начально–краевой задачи (1.2),
(2.1)–(2.5) начальным условием будет известная
форма границ и отсутствие вихревой пелены в мо-
мент t = 0:
S ′ ∪ σ = S ′, t = 0 . (2.6)
Скорости точек свободных вихревых пелен, вхо-
дящие в уравнения (2.2) и (2.5), являются фун-
кционалами от всех предшествующих положений
границ S и σ, причем форму вихревой пелены σ
необходимо находить в процессе решения задачи.
Поэтому внешняя начально–краевая задача (1.2),
(2.1)–(2.6) является нелинейной.
А. В. Шеховцов 65
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 1. С. 61 – 76
3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ
ХАРАКТЕРИСТИК С ПОМОЩЬЮ
ОБОБЩЕННОЙ ФОРМУЛЫ
КОШИ-ЛАГРАНЖА
После решения кинематической задачи (1.2),
(2.1)–(2.6), используя обобщенную формулу
Коши–Лагранжа [6, 7], можно определить поле
давления вокруг крыла, вращающегося по прои-
звольному закону вблизи твердой поверхности в
вязкой несжимаемой среде, и его динамические
характеристики.
Впервые формула для определения коэффи-
циента давления в смешанной потенциально–
вихревой области идеальной несжимаемой среды
в неинерциальной системе координат была полу-
чена автором в работе [6]. Через несколько лет в
работе [7] была выведена практически та же самая
формула, что и в работе [6], однако в более уни-
версальном виде, который позволял рассчитывать
поля давления вне группы тел произвольной фор-
мы. Позже в работе [16] было показано, что эта
формула справедлива и для вязких течений.
Приведем ее в интегральной безразмерной фор-
ме для случая, когда скорость потока на бесконе-
чности равна нулю, а положительный обход цир-
куляции – по часовой стрелке:
CP (~r, τ ) = 2
∫
Σ∪Σ◦
d~r0
dτ
· ~w(~r, ~r0, τ ) dr0+
+
1
2π
∫
S∪S◦
∂ ′Γ(~r0, τ )
∂τ
α(~r, ~r0, ~r
∗) dr0
− ~W 2(~r, τ ) ,
(3.1)
где Σ = S ∪ σ; τ – безразмерное время; ~w – ско-
рость, индуцированная вихревым элементом в ра-
счетной точке; Γ – циркуляция вихревого элемен-
та; α – угол, под которым видна из точки ~r ли-
ния, соединяющая точки ~r0 и произвольную то-
чку ~r ∗ , такую, что ~r0 − ~r ∗ ∈ S (в инверсивной
полуплоскости D◦: ~r ◦
0 − ~r ∗◦ ∈ S◦, соответствен-
но) [7]. Штрих означает, что дифференцирование
совершается в системе координат, связанной с по-
движным крылом. Верхний индекс "◦" означает
инверсивное отражение относительно твердой по-
верхности L.
В общем случае обобщенная формула Коши–
Лагранжа (3.1) справедлива с точностью до кон-
станты, однако по условиям данной задачи эта
константа равняется нулю.
Применим формулу (3.1) к нижней "−"и верх-
ней "+"поверхностям крыла, учитывая, что абсо-
лютная скорость ~W есть сумма переносной ~W ∗ и
относительной ~Wr , а также принимая во внимание
соотношение (1.1), и взаимосвязь:
(
~W−(~r0, t) + ~W+(~r0, t)
)/
2 = ~W (~r0, t) ,
~r0 ∈ S ∪ σ ,
(3.2)
а также то, что при обходе контура крыла от ~r0−
до ~r0+, 4α = 2π. В итоге получим выражение для
перепада коэффициента давления на крыле, кото-
рое полностью совпадает с аналогичным выраже-
нием для случая идеальной среды, потенциальной
вне вихревых поверхностей:
4CP (~r, τ ) = 2
{
[
~γ(~r, τ ) × ~n(~r, τ )
]
·
[
~W (~r, τ )−
−∂~r
∂τ
]
− ∂ ′
∂τ
∫
σ
+
~r
∫
~r1
ΓΛ(~r0, τ ) dr0
,
(3.3)
где ~n – вектор нормали к крылу; ΓΛ – циркуляция
по контуру Λ, охватывающему вихревую пелену σ
и часть крыла до расчетной точки, а также всю
область вязкого вихревого течения D против ча-
совой стрелки (это позволит учесть все поле зави-
хренности от пелены σ, в соответствии с фунда-
ментальным решением (1.3)).
Для коэффициента нормальной силы будем
иметь:
CN(τ ) =
∫
S
4CP (~r, τ ) dr . (3.4)
Метод дискретных вихрей позволяет предста-
вить скорость любой точки среды в виде суммы
невозмущенной скорости потока ~U , возмущенной
скорости от системы суммарных дискретных ви-
хрей
~̂
W , моделирующих обтекаемое тело, а также
возмущенной скорости от системы свободных ви-
хрей ~̃W , моделирующих вихревую пелену, сошед-
шую с тела. Как было показано выше, в случае, ко-
гда крыло полагается бесконечно тонким, приме-
нение обобщенной формулы Коши–Лагранжа (3.1)
для расчета перепада давления на крыле с уче-
том свойств вихревого слоя (1.1) и (3.2) приводит
к линеаризации нелинейных слагаемых (3.3). Ука-
занные особенности моделирования дают возмож-
ность представить коэффициент нормальной силы
в виде суммы трех компонент:
– инерционной:
CNI
(τ ) = −2
∫
S
∂ ′
∂τ
∫
σ
+
~r
∫
~r1
ΓΛ(~r0, τ ) dr0
dr , (3.5)
66 А. В. Шеховцов
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 1. С. 61 – 76
где штрих при частной производной означает, что
дифференцирование совершается в подвижной си-
стеме координат крыла;
– циркуляционной:
CNC
(τ )=2
∫
S
[
~γ(~r,τ )×~n(~r,τ )
]
·
[
~̂
W(~r,τ )−∂~r
∂τ
]
dr; (3.6)
– вихревой:
CNV
(τ )=2
∫
S
[
~γ(~r,τ )×~n(~r,τ )
]
· ~̃W(~r,τ ) dr. (3.7)
Данное разделение сил имеет довольно ясную
физическую основу: циркуляционная компонента
(3.6) есть аналог квазистационарной силы Жуков-
ского для нормальной силы и определяется мгно-
венным значением циркуляции по контуру, приле-
гающему к крылу (без учета сошедших вихрей);
инерционная компонента (3.5) есть нестационар-
ная составляющая, зависящая от мгновенной при-
соединенной массы крыла; вихревая (индуктив-
ная) компонента (3.7) определяется текущими ве-
личиной и распределением завихренности вокруг
крыла [19].
4. СВЕДЕНИЕ ЗАДАЧИ К СИНГУЛЯРНЫМ
ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ
ДЛЯ ЕЕ РЕШЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ УМДВ
Закон дальнодействия для индуцированного по-
ля конвективной окружной скорости от прямоли-
нейной вихревой нити в вязкой среде (1.9) отлича-
ется от закона Био–Савара множителем для цир-
куляции:
~Γ = ~Γ0
[
1 − exp
(
− ~r 2
4νt
)]
, (4.1)
который обеспечивает ее уменьшение с течени-
ем времени вследствие диффузионного растека-
ния ядра завихренности с радиальной скоростью
~Vd (1.4), (1.7) по заранее известному закону.
Данное обстоятельство, в совокупности с до-
казанным ранее свойством сохранения циркуля-
ции (1.8) по контурам, расширяющимся со скоро-
стью диффузии (а, следовательно, и по бесконечно
удаленному контуру), позволяет свести начально–
краевую задачу (2.1)–(2.6) для вихревого течения
вязкой несжимаемой среды, описываемого обоб-
щенным уравнением Гельмгольца (1.2), к системе
сингулярных интегро–дифференциальных урав-
нений с начальными данными для плотности ви-
хревого слоя γ (1.1), непрерывно распределенного
по контуру S ∪ s∪σ в классе функций, ограничен-
ных на концах интервала S ∪ s.
В соответствии со свойствами вихревого
слоя (1.1), (3.2) (аналогам формул Сохоцкого–
Племеля) и известным частным решением (1.9)
уравнения (1.2), одновременно являющимся
фундаментальным решением уравнения (1.10),
непрерывное распределение плотности вихревого
слоя по контуру крыла S, перемычки s и по
контуру свободной вихревой пелены σ приве-
дет к следующим предельным интегральным
выражениям для скорости на границах:
~W±(~r0(t), t) =
=
1
2π
∫
S∪s
γ(~r(t), t)
[y0(t) − y(t)]~i − [x0(t) − x(t)]~j
[x0(t) − x(t)]2 + [y0(t) − y(t)]2
dr−
− 1
2π
∫
S◦∪s◦
γ(~r(t), t)
[y0(t) + y(t)]~i − [x0(t) − x(t)]~j
[x0(t) − x(t)]2 + [y0(t) + y(t)]2
dr+
+
1
2π
∫
σ
γ(~r(t, t̃))
[y0(t) − y(t, t̃)]~i − [x0(t) − x(t, t̃)]~j
[x0(t) − x(t, t̃)]2 + [y0(t) − y(t, t̃)]2
×
×
[
1 − exp
{
− [x0(t)−x(t, t̃)]2+ [y0(t)−y(t, t̃)]2
4ν(t − t̃)
}]
dr−
− 1
2π
∫
σ◦
γ(~r(t, t̃))
[y0(t) + y(t, t̃)]~i − [x0(t) − x(t, t̃)]~j
[x0(t) − x(t, t̃)]2 + [y0(t) + y(t, t̃)]2
×
×
[
1 − exp
{
− [x0(t)−x(t, t̃)]2+[y0(t)+y(t, t̃)]2
4ν(t− t̃)
}]
dr∓
∓1
2
~m(~r0(t)) γ(~r0(t), t) , ~r0 ∈ S ∪ s . (4.2)
~W±(~r0(t, t̃), t) =
=
1
2π
∫
S∪s
γ(~r(t), t)
[y0(t, t̃)−y(t)]~i−[x0(t, t̃)−x(t)]~j
[x0(t, t̃)−x(t)]2+[y0(t, t̃)−y(t)]2
dr−
− 1
2π
∫
S◦∪s◦
γ(~r(t), t)
[y0(t, t̃)+y(t)]~i−[x0(t, t̃)−x(t)]~j
[x0(t, t̃)−x(t)]2+[y0(t, t̃)+y(t)]2
dr+
+
1
2π
∫
σ
γ(~r(t, t̃))
[y0(t, t̃)−y(t, t̃)]~i−[x0(t, t̃)−x(t, t̃)]~j
[x0(t, t̃)−x(t, t̃)]2+[y0(t, t̃)−y(t, t̃)]2
×
×
[
1−exp
{
− [x0(t, t̃)−x(t, t̃)]2+[y0(t, t̃)−y(t, t̃)]2
4ν(t − t̃)
}]
dr−
А. В. Шеховцов 67
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 1. С. 61 – 76
− 1
2π
∫
σ◦
γ(~r(t, t̃))
[y0(t, t̃)+y(t, t̃)]~i−[x0(t, t̃)−x(t, t̃)]~j
[x0(t, t̃)−x(t, t̃)]2+[y0(t, t̃)+y(t, t̃)]2
×
×
[
1−exp
{
− [x0(t, t̃)−x(t, t̃)]2+[y0(t, t̃)+y(t, t̃)]2
4ν(t− t̃)
}]
dr∓
∓1
2
~m(~r0(t, t̃)) γ(~r0(t, t̃)) , ~r0 ∈ S ∪ s , (4.3)
где ~m – вектор касательной.
Применяя метод зеркальных отражений отно-
сительно линии симметрии L, из (4.2), с учетом
(3.2), легко получить выражение для скорости в
присоединенном вихревом слое крыла S и пере-
мычки s. Подстановка его в условие непроница-
емости крыла (2.1) даст следующее сингулярное
интегральное уравнение:
1
2π
∫
S∪s
γ(~r(t), t)×
× [y0(t)−y(t)]nx(~r0(t)) − [x0(t)−x(t)]ny(~r0(t))
[x0(t)−x(t)]2 + [y0(t)−y(t)]2
dr−
− 1
2π
∫
S◦∪s◦
γ(~r(t), t)×
× [y0(t)+y(t)]nx(~r0(t)) − [x0(t)−x(t)]ny(~r0(t))
[x0(t)−x(t)]2 + [y0(t)+y(t)]2
dr =
= − 1
2π
∫
σ
γ(~r(t, t̃))×
× [y0(t)−y(t, t̃)]nx(~r0(t)) − [x0(t)−x(t, t̃)]ny(~r0(t))
[x0(t)−x(t, t̃)]2 + [y0(t)−y(t, t̃)]2
×
×
[
1 − exp
{
− [x0(t)−x(t, t̃)]2 + [y0(t)−y(t, t̃)]2
4ν(t− t̃)
}]
dr+
+
1
2π
∫
σ◦
γ(~r(t, t̃))×
× [y0(t)+y(t, t̃)]nx(~r0(t)) − [x0(t)−x(t, t̃)]ny(~r0(t))
[x0(t)−x(t, t̃)]2 + [y0(t)+y(t, t̃)]2
×
×
[
1 − exp
{
−(x0(t)−x(t, t̃))2+(y0(t)+y(t, t̃))2
4ν(t− t̃)
}]
dr+
+ ~W ∗(~r0(t)) · ~n(~r0(t)) , ~r0 ∈ S ∪ s \ (~r1 ∪ ~r2) . (4.4)
Сингулярные интегралы в (4.4) понимаются в
смысле главного значения Коши. Положительный
обход циркуляции принят по часовой стрелке.
Получив из (4.3) и (3.2) выражения для скоро-
стей в свободном вихревом слое σ, запишем зада-
чу Коши (2.5)–(2.6) в интегро–дифференциальном
виде:
~r0(t, t̃) = ~r1(t̃) , t = t̃ , ~r0 ∈ σ ,
d~r0(t, t̃)
dt
=
=
1
2π
∫
S∪s
γ(~r(t), t)
[y0(t, t̃)−y(t)]~i−[x0(t, t̃)−x(t)]~j
[x0(t, t̃)−x(t)]2+[y0(t, t̃)−y(t)]2
dr−
− 1
2π
∫
S◦∪s◦
γ(~r(t), t)
[y0(t, t̃)+y(t)]~i−[x0(t, t̃)−x(t)]~j
[x0(t, t̃)−x(t)]2+[y0(t, t̃)+y(t)]2
dr+
+
1
2π
∫
σ
γ(~r(t, t̃))
[y0(t, t̃)−y(t, t̃)]~i−[x0(t, t̃)−x(t, t̃)]~j
[x0(t, t̃)−x(t, t̃)]2+[y0(t, t̃)−y(t, t̃)]2
×
×
[
1−exp
{
− [x0(t, t̃)−x(t, t̃)]2+[y0(t, t̃)−y(t, t̃)]2
4ν(t−t̃)
}]
dr−
− 1
2π
∫
σ◦
γ(~r(t, t̃))
[y0(t, t̃)+y(t, t̃)]~i−[x0(t, t̃)−x(t, t̃)]~j
[x0(t, t̃)−x(t, t̃)]2+[y0(t, t̃)+y(t, t̃)]2
×
×
[
1−exp
{
− [x0(t, t̃)−x(t, t̃)]2+[y0(t, t̃)+y(t, t̃)]2
4ν(t−t̃)
}]
dr,
t > t̃ , ~r0 ∈ σ . (4.5)
Решая совместно систему сингулярных интегро–
дифференциальных уравнений (4.4)–(4.5) с на-
чальными данными (2.6) в классе функций, огра-
ниченных на концах интервала, можно найти ра-
спределение плотности вихревого слоя, заменяю-
щего крыло S и перемычку s, а также плотности
вихревого слоя, заменяющего свободную вихревую
пелену σ, для каждого момента времени, что даст
возможность найти поле течения во всей области
D.
Решение будем осуществлять лагранжевым усо-
вершенствованным методом дискретных вихрей
[3].
5. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ
Для того, чтобы изучить влияние закона ра-
скрытия крыльев насекомых, рассмотрим два за-
кона движения крыльев, которые принципиально
отличаются друг от друга по характеру старта.
Первый – это мгновенный старт с постоянной
68 А. В. Шеховцов
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 1. С. 61 – 76
единичной угловой скоростью вращения:
ω = 0 , τ = 0 ,
ω = 1 , τ > 0 .
(5.1)
Второй – плавный старт с угловой скоростью,
меняющейся по линейному закону:
ω =
τ
π
, (5.2)
где τ – время, обезразмеренное по хорде крыла b
и линейной скорости передней кромки крыла U∗
при его развороте на угол β = π/2. При этом изу-
чался вклад инерционной (3.5), циркуляционной
(3.6) и вихревой (3.7) компонент в формирование
нормальной силы на каждом крыле в процессе их
разворота от угла β = 0◦ до β = 60◦, отсчитыва-
емого от плоскости симметрии. Число Рейнольдса
определялось как Re∗ = U∗b/ν , где ν – кинемати-
ческая вязкость среды.
Угол β = 60◦ оказывается наиболее типичным
для насекомых, которые используют механизм
Вейс–Фо перед совершением морфологического
маха вниз в процессе трепещущего полета (к при-
меру, оса–наездница Encarsia formosa). Мы остано-
вимся здесь только на процессе броска, так как мо-
делирование последующего процесса раздвижения
необходимо осуществлять в трехмерной постанов-
ке из–за возникновения вихревого течения вдоль
размахов крыльев по направлению от основания
к концам крыльев. Впервые на механической мо-
дели механизма Вейс–Фо для трепещущего поле-
та такое течение было получено в 1979 году Ма-
ксуорси [20], а в 1996 году Эллингтон и др. [21]
при визуализации полета привязанной ночной мо-
ли Manduca sexta обнаружили, что на передних
кромках ее крыльев возникают и удерживаются с
подветренной стороны на протяжении полуперио-
да махов конические вихри.
На рис. 1–5 представлены поля скоростей (более
темные векторы соответствуют безразмерной ско-
рости, большей 1), вихревые картины (дискретные
вихри, вращающиеся по часовой стрелки показа-
ны темными кружками; против – светлыми), изо-
бары (вектором изображен главный вектор вне-
шних сил, приложенный к крылу в мгновенном
центре давления, уменьшенный в 20 раз), изота-
хи, линии тока и линии равной завихренности для
β = 60◦. Рисунки а, в соответствуют мгновенному
закону раскрытия крыльев; б, г – плавному. Для
рисунков а, б число Рейнольдса Re∗ = 106; для ри-
сунков в, г – Re∗ = 102, что соответствует числам
Рейнольдса при полете насекомых.
На рисунке 6 кривые 1, 2 и 3 означают соответ-
ственно инерционную CNI
/CN , циркуляционную
CNC
и вихревую CNV
приведенные компоненты
нормальной силы. На рис. 7 показано поведение
коэффициента нормальной силы на каждом крыле
в процессе броска. Кривые 1 и 3 соответствуют
мгновенному старту крыла; 2 и 4 – плавному. При
этом кривым 1 и 2 соответствует число Рейнольд-
са Re∗ = 106; кривым 3 и 4 – Re∗ = 102.
Из рисунков видно, что уменьшение числа Рей-
нольдса до Re∗ = 102 приводит к ламинаризации
течения, при котором вихревая пелена сворачива-
ется в регулярный спиралевидный жгут независи-
мо от закона углового старта крыльев (см. рис.
1, в, г). Однако при мгновенном старте крыла, в
отличие от плавного, в полости между крыльями
возникает гораздо более интенсивное вихревое те-
чение. Сравнительный анализ полей течений по-
казывает, что наибольшие значения величин и их
градиентов наблюдаются при мгновенном старте
(при Re∗ = 106 большие, чем при Re∗ = 102), мень-
шие – при плавном старте и Re∗ = 106, и наимень-
шие – при плавном старте и Re∗ = 102.
Так, отрицательный коэффициент давления в
конце броска с подветренной стороны крыла при
мгновенном старте в 3 раза больше по абсолютной
величине, чем при плавном старте. В ядре вихре-
вого жгута это соотношение достигает восьми при
Re∗ = 106 и пяти при Re∗ = 102.
Отметим также, что максимум завихренности
в конце броска при мгновенном старте крыльев
в два раза превосходит максимум завихренности
при плавном старте крыльев.
Интересно, что при мгновенном старте и Re∗ =
106 дискретные вихри вначале равномерно запол-
няют овальную область вокруг стартового дискре-
тного вихря, а затем постепенно начинают группи-
роваться в регулярный спиралевидный жгут, чис-
ло витков которого в конце броска достигает двух.
Доминирование инерционных сил при плавном
угловом старте (до 80% в конце броска) объясня-
ется гораздо меньшей интенсивностью стартово-
го вихря, что приводит к большему порционному
вкладу сил, обусловленных скоростью изменения
импульса среды при торможении крыла, по срав-
нению с вкладом сил вихревой и циркуляционной
природы.
Напротив, в случае мгновенного старта интен-
сивность этого вихря настолько велика, что его ин-
дуктивное влияние начинает быстро преобладать.
При этом максимальный вклад вихревой компо-
ненты при Re∗=106 достигается уже при угле по-
ворота крыла β=24◦, а при Re∗=102 – при β=36◦.
А. В. Шеховцов 69
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 1. С. 61 – 76
а б
в г
Рис. 1. Визуализация течения:
а, в – мгновенный старт; б, г – плавный старт; а, б – Re
∗
= 10
6 ; в, г – Re
∗
= 10
2
70 А. В. Шеховцов
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 1. С. 61 – 76
а б
в г
Рис. 2. Изобары:
а, в – мгновенный старт; б, г – плавный старт; а, б – Re
∗
= 10
6; в, г – Re
∗
= 10
2
А. В. Шеховцов 71
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 1. С. 61 – 76
а б
в г
Рис. 3. Изотахи:
а, в – мгновенный старт; б, г – плавный старт; а, б – Re
∗
= 10
6; в, г – Re
∗
= 10
2
72 А. В. Шеховцов
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 1. С. 61 – 76
а б
Рис. 4. Линии тока при Re
∗
= 10
6:
а – мгновенный старт; б – плавный старт
а б
Рис. 5. Изолинии завихренности при Re
∗
= 10
2:
а – мгновенный старт; б – плавный старт
А. В. Шеховцов 73
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 1. С. 61 – 76
а б
в г
Рис. 6. Вклад сил инерционной (1), циркуляционной (2) и вихревой (3) природы в нормальную силу:
а, в – мгновенный старт; б, г – плавный старт; а, б – Re
∗
= 10
6; в, г – Re
∗
= 10
2
74 А. В. Шеховцов
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 1. С. 61 – 76
Рис. 7. Поведение коэффициента
нормальной силы на каждом крыле:
кривые 1 и 3 – мгновенный старт;
2 и 4 - плавный; для кривых 1 и 2 –
Re
∗
= 10
6; для 3 и 4 – Re
∗
= 10
2
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Полученные результаты позволяют сделать
вывод о том, что при уменьшении числа Рейнольд-
са от Re∗ = 106 до Re∗ = 102 вклад сил инер-
ционной природы несколько возрастает, вклад сил
вихревой природы несколько уменьшается, одна-
ко в случае мгновенного старта крыльев он все
же составляет две трети от всей нормальной си-
лы в конце броска. При плавном законе раскрытия
крыльев, наоборот, инерционные силы доминиру-
ют независимо от числа Рейнольдса. Вклад сил
циркуляционной природы мал во всех случаях,
что подтверждает то, что установленный ранее
инерционно–вихревой принцип полета насекомых
[3] справедлив для любых чисел Рейнольдса, в
отличие от инерционно–циркуляционного принци-
па, установленного для полета птиц и плавания
рыб и дельфинов при больших числах Рейнольдса
[19].
Учитывая, что в трехмерном случае вместо ци-
линдрических вихревых жгутов возникают кони-
ческие вихревые жгуты, течение в которых на-
правлено вдоль размахов крыльев в сторону их
концов, а сами вихревые жгуты при последую-
щем морфологическом махе крыльев вниз остаю-
тся долгое время вблизи передних кромок, что не
наблюдается при двумерном движении, для уто-
чнения сделанных выводов построенную двумер-
ную модель вязкого вихревого течения между вра-
щающимися крыльями в дальнейшем необходимо
обобщить на трехмерный случай и смоделировать
полный цикл махов крыльев.
1. Sane S.P. The Aerodynamics of Insect Flight // J.
Exp. Biol.– 2003.– 206.– P. 4191–4208.
2. Shyy W., Lian Y., Tang J., Liu H., Trizila P.,
Stanford B., Bernal L., Cesnik C., Friedmann P., Ifju
P. Computational Aerodynamics of Low Reynolds
Number Plunging, Pitching and Flexible Wings for
MAV Applications // 46th AIAA Aerospace Sciences
Meeting and Exhibit.– 7–10 January 2008.– Reno,
Nevada.– P. 1–33.
3. Shekhovtsov A.V Inertial–Vortical Principle of Ani-
mal Flight // BIONA–report 12.– 1998.– Stuttgart,
Jena, Lubeck: G. Fischer, Akad. Wiss. u. Lit.,
Mainz.– P. 307–316.
4. Довгий С.А., Шеховцов А.В. Усовершенствован-
ный метод дискретных вихрей для нестацио-
нарных задач // Обчислювальна та прикладна
математика.– 1997.– 2(82).– С. 30–44.
5. Довгий С.А., Шеховцов А.В. Апробация УМДВ
для класса задач о колебаниях крыла в вязкой
среде с ограниченным решением на кромках //
Вiсник Харк. нац. ун–ту. Сер. "Математичне мо-
делювання. Iнформацiйнi технологiї. Автоматизо-
ванi системи управлiння вип. 12.– 2009.– № 863.–
С. 111–128.
6. Шеховцов А.В. Метод расчета нестационарного
поля давления в области завихренности при на-
личии подвижных границ.– Деп. в ГНТБ Украи-
ны 06.07.95. – № 1693. – Ук95.: (Анот. в РЖ
МЖГ. – № 2, – 1996).– 22 с. (То же: Шеховцов
А.В. Метод расчета нестационарного поля дав-
ления в смешанной потенциально–вихревой обла-
сти, прилегающей к вращающемуся крылу //
Прикладная гидромеханика.– 2000.– 2(74), № 1.–
С. 79–87. То же: Shekhovtsov A.V. A Method for
Evaluation of an Unsteady Pressure Field in a Mixed
Potential–Vortical Domain Adjacent to the Rotating
Wing International // International Journal of Fluid
Mechanics Research.– 2002.– 29, N 1.– P. 111–123.)
7. Дынникова Г.Я. Аналог интеграла Коши–
Лагранжа для нестационарного вихревого течения
идеальной несжимаемой жидкости.– М.: Изд–во
ЦАГИ. Препринт № 117, 1998.– 20 с. (То же:
Дынникова Г.Я. Аналог интегралов Бернулли и
Коши–Лагранжа для нестационарного вихревого
течения идеальной несжимаемой жидкости //
Изв. РАН МЖГ.– 2000.– № 1.– С. 31–41.)
8. Weis–Fogh T. Quick Estimates of Flight Fitness in
Hovering Animals, Including Novel Mechanisms for
Lift Production // J. Exp. Biol.– 1973.– 59.– P. 169–
230.
9. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая
гидромеханика, ч 2.– М.: Физматлит, 1963.– 728 с.
10. Schaefer J.W., Eskinazi S. An analysis of the vortex
street generated in a viscous fluid // J. Fluid Mech.–
1959.– 6.– P. 241–260.
11. Белоцерковский С.М., Ништ М.И. Отрывное и без-
отрывное обтекание тонких крыльев идеальной
жидкостью.– М.: Наука, 1978.– 352 с.
12. Leonard A. Review: Vortex Methods for Flow Si-
mulation // J. Comput. Phys.– 1980.– 37.– P. 289–
335.
А. В. Шеховцов 75
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 1. С. 61 – 76
13. Greengard C. The Core Spreading Vortex Method
Approximates the Wrong Equation // J. Comput.
Phys.– 1985.– 61.– P. 345–348.
14. Kida T., Nakajima T., Suemitsu H. Second–order
core spreading vortex method in two– dimensional
viscous flows // JSME Intl. J., Series B.– 1998.– 41,
N 2..– P. 441–446.
15. Шеховцов А.В. Решение некорректных за-
дач гидроаэродинамики усовершенствованным
методом дискретных вихрей // Комп’ютер-
на гiдромеханiка.– IГМ НАНУ, Київ.– 2008.–
С. 50–51.
16. Дынникова Г.Я. Движение вихрей в двумерных
течениях вязкой жидкости // Изв. РАН МЖГ.–
2003.– № 5.– С. 11–19.
17. Wang Z.J., Birch J.M., Dickinson M.H. Unsteady
Forces and Flows in Low Reynolds Number Hovering
Flight: Two–Dimensional Computations vs Robotic
Wing Experiments // J. Exp. Biol.– 2004.– 207.–
P. 449–460.
18. Ellington C.P. Aerodynamics and the Origin of Fli-
ght // Adv. Insect Physiol.– 1991.– 23.– P. 171–210.
19. Шеховцов А.В. Инерционно–циркуляционный
принцип полета и плавания // Вiсник Харк.
Нац. ун–ту. Сер. "Математичне моделювання.
Iнформацiйнi технологiї. Автоматизованi системи
управлiння вип. 4.– 2005.– № 661.– С. 249–258.
20. Maxworthy T.J. Experiments on the Weis–Fogh
Mechanism of Lift Generation by Insects in Hovering
Flight. Part 1. Dynamics of the ’Fling’ // J. Fluid
Mech.– 1979.– 93.– P. 47–63.
21. Ellington C.P., Van den Berg C., Willmott A.P. and
Thomas A.L.R. Leading–Edge Vortices in Insect Fli-
ght // Nature.– 1996.– 384.– P. 626–630.
76 А. В. Шеховцов
|