Процессы поперечного переноса в меандрирующем течении

На основании ранее предложенного моделирования меандрирующего течения вихревой дорожкой Кармана [1] рассмотрены процессы перемешивания и поперечного переноса при взаимодействии с кругооборотами [2], а также при образовании отсеченных вихрей. Для изучения процессов перемешивания и переноса применен м...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2011
Hauptverfasser:	Краснопольская, Т.С., Ильченко, В.Н., Мелешко, В.В., Стеценко, А.Г.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут гідромеханіки НАН України 2011
Schriftenreihe:	Прикладна гідромеханіка
Schlagworte:	Науковi статтi
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116294
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Процессы поперечного переноса в меандрирующем течении / Т.С. Краснопольская, В.Н. Ильченко, В.В. Мелешко, А.Г. Стеценко // Прикладна гідромеханіка. — 2011. — Т. 13, № 2. — С. 28-36. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-116294
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1162942025-02-23T17:50:23Z Процессы поперечного переноса в меандрирующем течении Процеси поперечного переносу у меандруючій течії Processes of cross transport in meandering flow Краснопольская, Т.С. Ильченко, В.Н. Мелешко, В.В. Стеценко, А.Г. Науковi статтi На основании ранее предложенного моделирования меандрирующего течения вихревой дорожкой Кармана [1] рассмотрены процессы перемешивания и поперечного переноса при взаимодействии с кругооборотами [2], а также при образовании отсеченных вихрей. Для изучения процессов перемешивания и переноса применен метод слежения за деформацией контура выделенной круговой области и отслеживания обратно во времени ее деформации, что дает возможность понять, из какой области течения данное круглое пятно сформировалось. Показано, что около половины площади круговой области над впадиной третьего меандра формируется из теплой части течения и, таким образом, впервые продемонстрировано, как теплая жидкость поперечно к течению переносится в окружающую холодную область. На основi ранiше запропонованого моделювання меандруючої течiї вихрової дорiжки Кармана [1] розглянутi процеси перемiшування та поперечного переносу при взаємодiї з кругообiгами [2], а також при утвореннi вiдтятих вихорiв. Для вивчення процесiв перемiшування та переносу застосованo метод стеження за деформацiєю контуру видiленої кругової областi та вiдслiдковування зворотньо у часi її деформацiї, що дає можливiсть зрозумiти, з якої областi течiї дана кругла пляма сформувалась. Показано, що близько половини площi кругової областi над западиною третього меандру формується з теплої частини течiї i, таким чином, вперше продемонстровано, як тепла рiдина поперечно до течiї переноситься в навколишню холодну область. The new mathematical model for a stream function of the meandering jet is suggested. It based upon a modification of the von Karman vortex street stream function [1], The processes of mixing and transport across the jet by interaction with rings [2] as well as by initiation of the pinched off eddies are considered. To study mixing across the jet we examine deformation of circular area back in time, so we can determine from which part of the jet this area is composed. Numerical simulations show that approximately half of the circular area above the third trough of meandering jet may contain warm fluid from a central area of the jet. In this study firstly ways by which warm water from jet transfered into surrounding cold water are shown. 2011 Article Процессы поперечного переноса в меандрирующем течении / Т.С. Краснопольская, В.Н. Ильченко, В.В. Мелешко, А.Г. Стеценко // Прикладна гідромеханіка. — 2011. — Т. 13, № 2. — С. 28-36. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116294 551.465.5 ru Прикладна гідромеханіка application/pdf Інститут гідромеханіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Науковi статтi Науковi статтi
spellingShingle	Науковi статтi Науковi статтi Краснопольская, Т.С. Ильченко, В.Н. Мелешко, В.В. Стеценко, А.Г. Процессы поперечного переноса в меандрирующем течении Прикладна гідромеханіка
description	На основании ранее предложенного моделирования меандрирующего течения вихревой дорожкой Кармана [1] рассмотрены процессы перемешивания и поперечного переноса при взаимодействии с кругооборотами [2], а также при образовании отсеченных вихрей. Для изучения процессов перемешивания и переноса применен метод слежения за деформацией контура выделенной круговой области и отслеживания обратно во времени ее деформации, что дает возможность понять, из какой области течения данное круглое пятно сформировалось. Показано, что около половины площади круговой области над впадиной третьего меандра формируется из теплой части течения и, таким образом, впервые продемонстрировано, как теплая жидкость поперечно к течению переносится в окружающую холодную область.
format	Article
author	Краснопольская, Т.С. Ильченко, В.Н. Мелешко, В.В. Стеценко, А.Г.
author_facet	Краснопольская, Т.С. Ильченко, В.Н. Мелешко, В.В. Стеценко, А.Г.
author_sort	Краснопольская, Т.С.
title	Процессы поперечного переноса в меандрирующем течении
title_short	Процессы поперечного переноса в меандрирующем течении
title_full	Процессы поперечного переноса в меандрирующем течении
title_fullStr	Процессы поперечного переноса в меандрирующем течении
title_full_unstemmed	Процессы поперечного переноса в меандрирующем течении
title_sort	процессы поперечного переноса в меандрирующем течении
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Науковi статтi
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116294
citation_txt	Процессы поперечного переноса в меандрирующем течении / Т.С. Краснопольская, В.Н. Ильченко, В.В. Мелешко, А.Г. Стеценко // Прикладна гідромеханіка. — 2011. — Т. 13, № 2. — С. 28-36. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.
series	Прикладна гідромеханіка
work_keys_str_mv	AT krasnopolʹskaâts processypoperečnogoperenosavmeandriruûŝemtečenii AT ilʹčenkovn processypoperečnogoperenosavmeandriruûŝemtečenii AT meleškovv processypoperečnogoperenosavmeandriruûŝemtečenii AT stecenkoag processypoperečnogoperenosavmeandriruûŝemtečenii AT krasnopolʹskaâts procesipoperečnogoperenosuumeandruûčíjtečíí AT ilʹčenkovn procesipoperečnogoperenosuumeandruûčíjtečíí AT meleškovv procesipoperečnogoperenosuumeandruûčíjtečíí AT stecenkoag procesipoperečnogoperenosuumeandruûčíjtečíí AT krasnopolʹskaâts processesofcrosstransportinmeanderingflow AT ilʹčenkovn processesofcrosstransportinmeanderingflow AT meleškovv processesofcrosstransportinmeanderingflow AT stecenkoag processesofcrosstransportinmeanderingflow
first_indexed	2025-11-24T04:18:35Z
last_indexed	2025-11-24T04:18:35Z
_version_	1849643935372148736
fulltext	ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 2. С. 28 – 36 УДК 551.465.5 ПРОЦЕССЫ ПОПЕРЕЧНОГО ПЕРЕНОСА В МЕАНДРИРУЮЩЕМ ТЕЧЕНИИ Т. C. К РА СН О П ОЛ Ь СК А Я∗, В. Н. И Л Ь Ч ЕН К О∗, В. В. М ЕЛ ЕШ К О∗∗, А. В. СТЕЦ Е Н К О∗ ∗Институт гидромеханики НАН Украины, Киев, ∗∗Киевский национальный университет им. Т. Г. Шевченко Получено 15.07.2010 На основании ранее предложенного моделирования меандрирующего течения вихревой дорожкой Кармана [1] рас- смотрены процессы перемешивания и поперечного переноса при взаимодействии с кругооборотами [2], а также при образовании отсеченных вихрей. Для изучения процессов перемешивания и переноса применен метод слежения за деформацией контура выделенной круговой области и отслеживания обратно во времени ее деформации, что дает возможность понять, из какой области течения данное круглое пятно сформировалось. Показано, что около половины площади круговой области над впадиной третьего меандра формируется из теплой части течения и, та- ким образом, впервые продемонстрировано, как теплая жидкость поперечно к течению переносится в окружающую холодную область. На основi ранiше запропонованогомоделювання меандруючої течiї вихрової дорiжки Кармана [1] розглянутi процеси перемiшування та поперечного переносу при взаємодiї з кругообiгами [2], а також при утвореннi вiдтятих вихорiв. Для вивчення процесiв перемiшування та переносу застосованo метод стеження за деформацiєю контуру видiленої кругової областi та вiдслiдковування зворотньо у часi її деформацiї, що дає можливiсть зрозумiти, з якої областi течiї дана кругла пляма сформувалась. Показано, що близько половини площi кругової областi над западиною третього меандру формується з теплої частини течiї i, таким чином, вперше продемонстровано, як тепла рiдина поперечно до течiї переноситься в навколишню холодну область. The new mathematical model for a stream function of the meandering jet is suggested. It based upon a modification of the von Karman vortex street stream function [1]. The processes of mixing and transport across the jet by interaction with rings [2] as well as by initiation of the pinched off eddies are considered. To study mixing across the jet we examine deformation of circular area back in time, so we can determine from which part of the jet this area is composed. Numerical simulations show that approximately half of the circular area above the third trough of meandering jet may contain warm fluid from a central area of the jet. In this study firstly ways by which warm water from jet transfered into surrounding cold water are shown. ВВЕДЕНИЕ Понимание закономерностей поверхностной циркуляции океанических вод является важней- шей задачей естествознания в силу огромного вли- яния температуры Мирового океана на изменение глобального климата. Данная работа посвящена исследованию процессов перемешивания и массо- переноса в меандрирующих течениях, к которым относится течение Гольфстрим, переносящее боль- шие массы теплой воды вдоль атлантического по- бережья североамериканского континента. У мыса Гаттерас Гольфстрим отделяется от береговой ли- нии и следует на восток. После отрыва от побе- режья Гольфстрим сильно меандрирует, что ведет к изменению во времени оси течения. На сегодня- шний день получено множество данных со спутни- ков и кораблей о среднем во времени положении этого течения. На рис. 1,а показано распределение средней тем- пературы поверхности океана в области Гольф- стрима, где явно виден резкий градиент темпера- туры на северной границе течения. Рисунок пред- ставляет собой черно-белый аналог цветной фо- тографии, сделанной со спутника и приведенной в работе [3]. Изменение температуры поверхности здесь представлено в градациях серого цвета, при- чем наиболее теплой жидкости соответствует наи- более темный оттенок серого; холодная вода пред- ставлена светлым фоном. Таким образом, меан- дрирующая струя Гольфстрима показана здесь са- мым темным цветом. Более светлым серым тоном показаны области вокруг Гольфстрима. Хорошо также заметны на фоне окружающей более холо- дной жидкости теплые области, которые образу- ются выше максимумов меандров. На рис. 1,б та- кая область выделена штриховой линией. Это так называемые вихри Гольфстрима, которые отрыва- ются от течения и несут теплую воду с резко отли- чающейся температурой через воды океана. Эти вихри могут существовать месяцами, двигаясь на запад к восточному побережью США. Само меан- дрирующее течение и эти вихри оставляют свой след в океане прежде всего вследствие процес- сов перемешивания, когда теплая вода течения ра- спространяется на значительные области вокруг 28 c© Т. С. Краснопольская, В. Н. Ильченко, В. В. Мелешко, А. В. Стеценко, 2011 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 2. С. 28 – 36 течения. Объяснению появления таких структур, кото- рые аккумулируют теплую воду Гольфстрима, выносят ее из основного течения и несут к берегам и посвящена настоящая работа. Новизна нашего подхода заключается в том, что в прилегающих к течению областях учитываются так называемые кругообороты или ринги, которые присутствуют в данных со спутников и кораблей [2]. В настоящей работе для исследования процес- сов поперечного обмена и переноса жидкости в меандрирующем течении использован математи- ческий аппарат теории динамических систем, ко- торый в последнее время стал успешно применя- ться для описания лагранжевой динамики океана при процессах перемешивания и обмена. Ключе- вым моментом математического аппарата теории динамических систем является использование та- ких характеристик как инвариантные многообра- зия. Как было показано в работах [4–5], простей- шие кинематические модели течения Гольфстри- ма описывают следующие элементы когерентных структур: само меандрирующее течение на восток; две системы вихрей: одна – к югу, другая – к севе- ру от основного течения; обрамляющее прямоли- нейное течение на запад. В общем случае системы вихрей, которые заключены в рециркуляционные области, отделены друг от друга гетероклиниче- скими траекториями гиперболических точек. Эти сепаратрисы (траектории) и являются инвариан- тными многообразиями гиперболических точек и представляют собой непреодолимые барьеры для движения жидкости [5]. Разрушение такого рода барьеров возможно при взаимодействии с круго- оборотами. 1. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОПЕРЕЧНОГО ПЕРЕНОСА В ГОЛЬФСТРИМЕ Изучению процессов переноса объемов теплой жидкости из меандрирующего течения Гольф- стрима в окружающую холодную воду посвяще- ны многие современные исследования. Перемеши- вание поперек потока было экспериментально ис- следовано в работах Э.Боуэр [6–8]. Боуэр и Росс- би [6] показали, что меандры Гольфстрима во мно- гом ответственны за поперечное перемещение бу- ев RAFOS внутри течения. Однако сами по себе меандры не могут обеспечить движение с одной стороны потока на другую [5, 9]. Для изучения процессов перемешивания Боуэр предложила простую двумерную кинематическую модель, которая описывалась простой функцией тока с периодически повторяющимися кинемати- ческими особенностями для меандрирующего те- чения, распространяющегося в восточном направ- лении. В этой модели параметры меандров вли- яют на скорость и количество жидкости, перено- симой течением. Однако в модели Боуэр невозмо- жны ни перемешивание в поперечном направле- нии, ни переход частиц жидкости с одной сторо- ны струи на другую. Известно, что Гольфстрим не остается постоянным, а характеризуется усилени- ем и ослаблением меандров во времени. Временная зависимость параметров меандров была использо- вана Самелсоном [11] для усиления перемешива- ния. Учесть изменение формы Гольфстрима мож- но, например, при взаимодействии его с рингами. Включение кругооборотов в модель простого ме- андрирующего течения будет усиливать переме- шивание частиц жидкости в течении [3, 7, 12]. Наш подход состоит в рассмотрении усиле- ния перемешивания, вызванного взаимодействием двумерной струи, моделируемой дорожкой Карма- на [1, 9–10], и кругооборотов, моделируемых с по- мощью вихрей Зиммермана [13–14]. Но прежде мы покажем, что в случае отсутствия вихрей переме- шивание может быть только между рециркуляци- онными зонами. Наблюдая перемешивание, кото- рое имеет место в случае взаимодействия с вихря- ми, мы проанализируем распределение лагранже- вых частиц во времени как в самом течении, так и вне его. 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ГОЛЬФСТРИМА С КРУГООБОРОТАМИ Для анализа процессов перемешивания в меан- дрирующем течении Гольфстрима Боуэр [7] пре- дложила использовать функцию тока, которая имеет вид ψ(x, y, t) = ψ0 { 1 − th [ y − yc λ/ cosα ]} , (1) где ψ0 – масштабный множитель, который вме- сте с λ определяет максимальную скорость те- чения; yc = A sin k(x − cxt) – задает централь- ную линию тока, A – волновая амплитуда; k = 2π/L – волновое число; λ – ширина потока; α = arctg{Ak cos k(x−cxt). При расчетах Боуэр исполь- зовала следующие параметры: cx = 10 км/d; A = 50 км; L = 400 км, где d=24 часа. Член cos(α) включен в формулу, чтобы ширина потока была одинаковой на разных участках. В подвижной си- стеме координат, движущейся со скоростью cx, Т. С. Краснопольская, В. Н. Ильченко, В. В. Мелешко, А. В. Стеценко 29 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 2. С. 28 – 36 а б Рис. 1. Распределение температур поверхности океана в области Гольфстрима функция тока имеет вид ψ′(x′, y′) = ψ0 { 1 − th [ y′ − y′c λ/ cosα′ , ]} + cxx ′, (2) где y′c = A sin(kx′), α′ = arctg{Ak cos(kx′). Функция тока в этой системе не зависит от вре- мени, и линии тока могут быть интерпретирова- ны как траектории частиц жидкости относительно подвижной системы. Мы будем исследовать пере- нос пассивных частиц в такой подвижной систе- ме. Поскольку частицы не покидают линий тока в движении, они могут иметь только периодиче- ские траектории в рециркуляционных зонах или двигаться поступательно, как показано в [7, 9, 11, 12]. Главными элементами когерентной структуры Гольфстрима в подвижной системе являются: а) направленная на восток меандрирующая струя; б) области рециркуляции жидкости выше и ниже пи- ков и впадин меандров; в) области направленного к западу течения выше и ниже струи и рецирку- ляционных зон. Для изучения транспортных свойств движения жидкости мы ранее предложили использовать но- вую математическую модель для функции тока Гольфстрима. При этом функция тока есть моди- фицированная функция тока дорожки Кармана, описывающая вихревую систему за цилиндром, движущимся с постоянной скоростью. Функция тока вихревой дорожки Кармана включает те же три главных элемента когерентной структуры. В подвижной системе координат, движущейся с по- стоянной скоростью вместе с вихрями, функция тока имеет вид [1] ψ(x, y) = − Γ 4π ln P (x, y) Q(x, y) + cy, (3) где c – скорость перемещения системы вихрей по направлению x; Γ – интенсивность вихрей; P (x, y) = ch 2π l ( y + h 2 ) + sin 2πx l ; Q(x, y) = ch 2π l ( y − h 2 ) − sin 2πx l . (4) После перехода к безразмерным переменным x̃ = = x/l, ỹ = y/l выражение (3) примет вид ψ̃(x̃, ỹ) = − 1 2k ln P (x̃, ỹ) Q(x̃, ỹ) + c̃ ỹ, (5) где P (x̃, ỹ) = ch k(ỹ + b) + sin kx̃; Q(x̃, ỹ) = ch k(ỹ − b) − sin kx̃; ψ̃ = ψ/Γ; c̃ = cl/Γ; b = h/2l; k = 2π. В работе [1] было показано, что модели (2) и (5) имеют подобные поля течений. Известно, что уравнения адвекции пассивной примеси имеют вид ẋ = u = −∂ψ ∂y ; ẏ = v = ∂ψ ∂x . (6) Для функции тока (5) уравнения (6) в безразмер- ных координатах могут быть записаны в виде ˙̃y = −ch kb PQ cos kx̃ ch kỹ; (7) ˙̃x = ch kb PQ (sh kb− sin kx̃ sh kỹ) − c̃. (8) Для нахождения гиперболических точек мы используем уравнения ˙̃y = 0; ˙̃x = 0. откуда име- ем x̃3 = 1 4 ; x̃4 = 3 4 ; ỹ3,4 = ∓ 1 k Arsh (1 c̃ ch kb− sh kb ) , (9) 30 Т. С. Краснопольская, В. Н. Ильченко, В. В. Мелешко, А. В. Стеценко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 2. С. 28 – 36 а б Рис. 2. Перенос жидкости в струе Гольфстрима при наличии дополнительных компонент скорости: а – vx = 5 cos πt; б – vy = 0.1 cos πt В моделях Боуэр и вихревой дорожки Карма- на невозможно движение жидких частиц с одной стороны струи на другую, т. е. поперечное дви- жение. Пассивные частицы могут иметь периоди- ческие или хаотические траектории в рециркуля- ционных зонах или вдоль потока, если мы предпо- ложим, что амплитуда функции тока имеет малые вариации по времени. При этом мы будем следить, как различные круглые области будут распределя- ться по течению за 18 периодов колебаний пери- одических возмущений. Как показывают числен- ные эксперименты, сплошные выделенные обла- сти жидкости, окруженные штриховыми контура- ми (рис. 2), не будут покидать течение. На рис. 2 показана деформация выделенной области (закра- шенной черным цветом) в кармановой модели, ко- гда дополнительные компоненты есть vx = 5 cos πt (рис. 2, а) и vy = 0.1 cosπt (рис. 2, б). Для поперечного перемешивания и переноса жидкости через границы струи частицы должны иметь возможность покидать линии тока. Такую возможность порождает взаимодействие течения с оборотными вихрями, которые стационарны во времени. Это означает, что в подвижной системе координат они движутся на запад с постоянной скоростью c. Для функции тока кругооборотов мы использу- ем функцию тока Зиммермана, которая в неподви- жной системе координат может быть записана как ψz = 1 π √ 2 sin 2πx1 sin 2πy1. (10) Структура линий тока состоит из квадратных ячеек с вихрями внутри и гиперболических точек в каждом углу ячейки. Полагаем, что система ко- ординат, связанная с вихрями Зиммермана, распо- ложена относительно подвижной системы коорди- нат следующим образом: ее оси координат повер- нуты против часовой стрелки на угол β = π/4, а начало в момент времени t = 0 совпадает с то- чкой (1,0) подвижной системы. Системы коорди- нат (при t = 0) связаны преобразованиями x1 = (x− y)/ √ 2; y1 = (x+ y)/ √ 2. (11) Тогда в подвижной системе координат функция тока примет вид ψz = 1 π √ 2 sinπ √ 2 ( x−ct−y ) sinπ √ 2 ( x−ct+y ) = = 1 2π √ 2 ( cosπ √ 2y − cos π √ 2(x− ct) ) .(12) При этом уравнения адвекции в поле течения, ко- торое есть суперпозиция двух функций тока, мо- гут быть записаны в виде (здесь и в последующих Т. С. Краснопольская, В. Н. Ильченко, В. В. Мелешко, А. В. Стеценко 31 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 2. С. 28 – 36 выражениях знак тильды опускается): ẋ = Γ1 ch kb PQ (sh kb− sin kx sh ky) − c− sinπ √ 2y; ẏ = −Γ1 ch kb PQ cos kx ch ky + sinπ √ 2(x− ct). (13) Здесь Γ1 = 1 + ε cosωt – амплитуда вихревой до- рожки с малым возмущением ε cosωt, где ε > 0 и ω – частота приливного течения. Выделим только две цепочки вихрей из беско- нечного множества цепочек вихрей Зиммермана, подавляя остальные цепочки экспоненциальным затуханием по y: ψz = 1 2π √ 2 A(t) B(y) ( cosπ √ 2y−cos π √ 2(x−ct) ) , (14) где A(t) = 1 + ε1 cosω1t; B(y) = exp{C2y}2. (15) Тем самым мы выделяем только две цепочки ви- хрей: одна – над гиперболическими точками ре- циркуляционных зон над меандрирующим тече- нием, другая – под гиперболическими точками, как это наблюдается в действительности и соот- ветствует северному и южному кругооборотам [2]. Тогда уравнения адвекции будут иметь вид: ẋ = Γ1 ch kb PQ (sh kb− sin kx sh ky) − c− − A(t) B(y) sinπ √ 2y + C2 2y π √ 2 × (16) × A(t) B(y) ( cos π √ 2y − cosπ √ 2(x− ct) ) ; ẏ = −Γ1 ch kb PQ cos kx ch ky + + A(t) B(y) sinπ √ 2(x− ct). (17) На рис. 3 показаны линии тока дорожки Кар- мана [1] в подвижной системе координат и кру- гообороты. Направление северных кругооборотов указано стрелками. 3. ЧИСЛЕННЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ Мы будем изучать деформацию круглой обла- сти, показанной на рис. 1, б, назад по времени, так что можем определить, из какой части тече- ния эта область будет составлена в будущем. Для этого будем следовать за движением математиче- ских точек на границе области, которые движу- тся в каждый момент со скоростью, соответству- ющей скорости поля течения в данной точке, т.е. Рис. 3. Линии тока с двумя кругооборотами выделенные частицы предполагаются безынерци- онными и не подвергающимися диффузии. Алгоритм слежения за изменением линии кон- тура основан на наблюдении за перемещением то- чек, равномерно расположенных вдоль начальной границы пятна, и проведением линии, связываю- щей соседние точки [15–16]. Поскольку в процес- се деформации области может иметь место нео- динаковое растяжение и образование складок ли- нии контура, то две соседние точки могут оказа- ться в последующий момент времени существенно удалены друг от друга. Очевидный путь преодоле- ния этой проблемы – увеличение числа точек для тех отрезков линии контура, где происходит зна- чительное растяжение и складкообразование. Сущность алгоритма следующая [15–17]: 1•. Для момента времени t0 на начальной ли- нии контура выбирается некоторое число равно- отстоящих друг от друга точек, для которых ре- шается система уравнений адвекции, в результате чего определяются положения точек в момент вре- мени t1 = t0 + ∆t. 2•. Вычисляются расстояния между соседними точками. Если расстояние ∆lk между двумя со- седними точками k и k + 1 оказывается больше, чем некоторое заранее заданное значение ldis, то вставляется дополнительная точка на контуре в середине между данными точками. 3•. Решается система уравнений адвекции для новой точки, после чего все точки нумеруются за- ново. Затем точки соединяются отрезками пря- мых, формируя многоугольник. 4•. Определяются величины углов при верши- 32 Т. С. Краснопольская, В. Н. Ильченко, В. В. Мелешко, А. В. Стеценко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 2. С. 28 – 36 а б в г д е Рис. 4. Вынос жидкости из струи Гольфстрима при взаимодействии с кругооборотами Т. С. Краснопольская, В. Н. Ильченко, В. В. Мелешко, А. В. Стеценко 33 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 2. С. 28 – 36 нах многоугольника. Если угол при вершине в то- чке m оказывается меньше, чем некоторый зара- нее заданный угол γ (обычно γ = 120◦), вводятся дополнительные точки в промежутках между то- чкамиm−1 иm,m иm+1, после чего повторяются действия п. 3•. 5•. Следующий шаг состоит в переходе к моменту времени t2 = t0 + 2∆t, для которого повторяются действия пп. 1• − 4•. Дополнительная проверка корректности пре- дложенного алгоритма заключается в выполнении условия сохранения площади области в процес- се деформации в пределах заданной погрешности (например 0.5%). 4. ПОПЕРЕЧНЫЙ ПЕРЕНОС ПРИ ВЗАИМО- ДЕЙСТВИИ С ОБОРОТНЫМИ ВИХРЯМИ Результаты, представленные здесь, получены численным моделированием уравнений адвекции (16) при ε = 0; ε1 = 0.033; C2 = 2; ω = 39.77; ω1 = ω/120 ≈ 0.33. На рис. 1, а приведено изобра- жение средней температуры поверхности океана, построенное на основе фотографии, полученной со спутника. Оттенками серого цвета показано распо- ложение относительно теплых водных масс, при- чем более теплым участкам соответствует более темный фон (см. Введение). Побережье Северной Америки закрашено серым “в крапинку” цветом. Выше впадины третьего меандра ясно видна большая площадь теплой жидкости, покинувшая Гольфстрим. Как это произошло и из какой части струи была вынесена эта жидкость? Для ответа на этот вопрос была изучена деформация круглой области, ограниченной штриховой линией, назад по времени с применением алгоритма слежения за точками линии контура. На рис. 1, б и 4 располо- жение контура круглого пятна радиуса R = 0.4 с координатами центра x = 0.4, y = 0.95 показано штриховой линией вместе со сплошными линия- ми тока дорожки Кармана. На рис. 4 континуаль- ное распределение жидкости этого пятна показа- но для ряда значений назад по времени от t = −5 до t = −1 в виде областей, закрашенных черным цветом. Время t = −5 (рис. 4, а) соответствует 15 дням до того момента, когда вся “закрашенная” жидкость соберется в круговой области при t = 0 (рис. 4, е). Время t = −4 (рис. 4, б) соответству- ет 12 дням, t = −3 (рис. 4, в) – 9 дням, t = −2 (рис. 4, г) – 6 дням, t = −1 (рис. 4, д) – 3 дням до указанного момента. Если мы сравним на рис. 4, а (t = −5) пло- щадь части закрашенного пятна, расположенную выше всех линий тока Гольфстрима, с площадью начального круглого пятна, ограниченного штри- ховой линией, то увидим, что площадь первого (предположительно холодная вода) приблизитель- но в два раза меньше. Таким образом, начальное пятно (t = 0) будет формироваться наполовину из холодной жидкости, наполовину из теплой. 5. ОТСЕЧЕННЫЕ ВИХРИ Известно, что при потере устойчивости меан- дрирующего течения и взаимном приближении меандров отсекаются фронтальные синоптические вихри, имеющие вид кольцевых течений и называ- емые рингами [2, 6–8]. Боуэр и Лозье [8] пытались объяснить появление больших зон теплой жидко- сти выше течения Гольфстрима образованием от- дельных отсеченных вихрей соседними меандрами и отрывом этих вихрей в точках, где меандры мо- гли бы соприкоснуться. Функция тока, описывающая взаимное прибли- жение пиков меандров, может быть записана в ви- де ψβ = 1 k sin kx 2 cosω2t. (18) Тогда уравнения адвекции будут иметь вид ẋ = Γ1 ch kb PQ (sh kb− sin kx sh ky) − c; (19) ẏ = − Γ1 ch kb PQ cos kx ch ky + + 1 2 cos kx 2 cosω2t, (20) где Γ1 = 1 + 0.05 cosωt; ω2 = ω/200. Процесс выталкивания теплых масс жидкости при сближении соседних меандров и образование отсеченных вихрей продемонстрируем численным экспериментом, следуя за движением и распро- странением во времени выделенной области, кон- тур которой показан штриховой линией на рис. 1, б и 5. При этом не будем учитывать оборотные вихри, а только дополнительную функцию тока (18). Для исследования растекания пятна обратно по времени мы опять применим метод слежения за контуром. На рис. 5, а показана черным цве- том конфигурация выделенного пятна при t = −5 или за 15 дней до того, как жидкость соберется в выделенной круглой области (рис. 5, е). На рис. 5, б–д показано положение выделенного пятна при t = −4, t = −3, t = −2 и t = −1, т. е. соответ- ственно за 12, 9, 6 и 3 дня до образования круглой области. 34 Т. С. Краснопольская, В. Н. Ильченко, В. В. Мелешко, А. В. Стеценко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 2. С. 28 – 36 а б в г д е Рис. 5. Вынос жидкости из струи Гольфстрима при образовании отсеченных вихрей Т. С. Краснопольская, В. Н. Ильченко, В. В. Мелешко, А. В. Стеценко 35 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 2. С. 28 – 36 Если сравнить часть закрашенного пятна вну- три линий тока дорожки Кармана по площади с выделенной круглой областью, то приходим к выводу, что за 15 дней в выделенной области поло- вину площади займет теплая вода из Гольфстри- ма, а другая половина “придет” из холодного окру- жения. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В настоящей работе мы рассматривали модель меандрирующего течения на основе дорожки Кар- мана при ее взаимодействии с кругооборотами. Они обеспечивают перенос жидких частиц через струю и обширное хаотическое перемешивание. Численным моделированием на основе аналити- ческих модификаций функции тока меандрирую- щего течения в данной работе были продемонстри- рованы возможные сценарии поперечного массо- переноса и перемешивания жидкости течением. Первый сценарий моделирует существующий про- цесс взаимодействия течения с кругооборотами. В частности, было рассмотрено взаимодействие с северным кругооборотом и показано, что область выше впадины третьего меандра вне течения на- половину состоит из теплой воды, вынесенной из основной струи течения. Второй сценарий основывается на возможном относительном движении меандров, в результате которого при соприкосновении меандров теплая вода вытесняется в холодное окружение. В этой модели численный эксперимент также подтвердил возможный поперечный массоперенос и переме- шивание меандрирующим течением. Выделенная область над третьим меандром может, по крайней мере, наполовину быть образована теплой жидко- стью. 1. Краснопольская Т.С., Ильченко В.Н. Кинематиче- ская модель течения Гольфстрим // Прикладна гiдромеханика.– 2008.– T.10, N 4.– С. 43–51. 2. Дийкстра Х. А. Нелинейная физическая океано- графия.– М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и стоха- стическая динамика Институт компьютерных ис- следований, 2007.– 680 с. 3. Jones C. K. R. T., Winkler S. Invariant manifold and Lagrangian dynamics in the ocean and atmosphere // In:Handbook of Dynamical Systems (Ed. B.Fiedler), v.2.– Elsevier Science B.V., Amsterdam, 2002.– P. 55–92. 4. Samelson R., Wiggins S. Lagrangian transport in geophysical jets and waves.– New York: Springer, 2005.– 148 p. 5. Wiggins S. The dynamical system approach to Lagrangian transport in oceanic flows // Ann. Rev. Fluid Mech.– 2005.– v. 37.– P. 295–328. 6. Bower A. S., Rossby H. T. Evidence of cross-frontal exchange in the Gulf Stream based isopycnal RAFOS float data // Journ. of phys. oceanography.– 1989.– v.19, N 9.– P. 1177–1190. 7. Bower A. S. A simple kinematic mechanism for mixi- ng fluid parcels across a meandering jet // Journ. of phys. oceanography.– 1991.– v.21, N 1.– P. 173–180. 8. Bower A. S., Lozier M. S. A clooser look at parti- cle exchange in the Gulf Stream // Journ. of phys. oceanography.– 1994.– v.24.– P. 1399–1418. 9. Krasnopolskaya T. S., Meleshko V. V., Il’chenko V. N., Stetsenko O. V. Modelling of transport and mixing across Gulf Stream // Bulletin of the American Physical Society.– 2009.– v.54, N 19.– P. 292. 10. Krasnopolskaya T. S., Il’chenko V. N. Modelli- ng of Gulf Stream by the von Karnan vortex street // IUTAM Symposium on 150 Years of Vortex Dynamics.– Lyngby&Copenhagen, 2008.– P. 5. 11. Samelson R. M. Fluid exchange across a meandering jet // Journ. of phys. oceanography.– 1992.– v.22, N 4.– P. 431–440. 12. Кошель К. В., Пранц С. В. Хаотическая адвекция в океане.– М.-Ижевск: НИЦ “Регулярная и стоха- стическая динамика”, Институт компьютерных ис- следований, 2008.– 360 с. 13. Zimmerman J. T. F. The tidal whirpool: a revi- ew of horizotal dispersion by tidal and residual currents // Netherland journ. of sea research.– 1986.– v.20, N 2/3.– P. 133–154. 14. Dutkiewicz S.,Paldor N. On the mixing enhancement in a meandering jet due to the interaction with an eddy // Journ. of phys. oceanography.– 1994.– v.24.– P. 2418–2424. 15. Краснопольская Т.С., Мелешко В.Н. Ламинарное смешивание жидкостей. Часть 1. Методологиче- ские аспекты исследования // Прикладна гiдро- механика.– 2004.– т.6, N 3.– С. 28–40. 16. Краснопольская Т.С., Мелешко В.Н. Ламинарное смешивание жидкостей. Часть 2. Периодические течения Стокса в клинообразной кольцевой поло- сти // Прикладна гiдромеханика.– 2004.– т.6, N 4.– С. 45–61. 17. Krasnopolskaya T. S., Meleshko V. V. Quality measures and transport properties // In: Analyses and control of mixing with an application to mi- cro and macro flow processes (Ed. L.Cortelezzi and I.Mezic).– Springer-Verlag, Udine, 2009.– P. 291–306. 36 Т. С. Краснопольская, В. Н. Ильченко, В. В. Мелешко, А. В. Стеценко

Процессы поперечного переноса в меандрирующем течении

Institution

Ähnliche Einträge