Колебания, локализованные у свободного края полубесконечной незамкнутой безмоментной цилиндрической оболочки
Изучены некоторые особенности волновых процессов в ограниченных тонких цилиндрических оболочках. Исследован вопрос о существовании особых форм колебаний с локализацией возмущений у свободного края полубесконечной незамкнутой цилиндрической оболочки с произвольной гладкой направляющей. Вдоль граничны...
Saved in:
| Date: | 1999 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
1999
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1163 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Колебания, локализованные у свободного края полубесконечной незамкнутой безмоментной цилиндрической оболочки / Г. Р. Гулгазарян, Л. Г. Гулгазарян // Акуст. вісн. — 1999. — Т. 2, N 4. — С. 42-48 — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860071555047882752 |
|---|---|
| author | Гулгазарян, Г.Р. Гулгазарян, Л.Г. |
| author_facet | Гулгазарян, Г.Р. Гулгазарян, Л.Г. |
| citation_txt | Колебания, локализованные у свободного края полубесконечной незамкнутой безмоментной цилиндрической оболочки / Г. Р. Гулгазарян, Л. Г. Гулгазарян // Акуст. вісн. — 1999. — Т. 2, N 4. — С. 42-48 — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Изучены некоторые особенности волновых процессов в ограниченных тонких цилиндрических оболочках. Исследован вопрос о существовании особых форм колебаний с локализацией возмущений у свободного края полубесконечной незамкнутой цилиндрической оболочки с произвольной гладкой направляющей. Вдоль граничных образующих задавались условия шарнирного опирания. Исследование проведено для тонкой упругой изотропной оболочки, для которой жесткость на изгиб равна нулю (безмоментная оболочка). Изложен метод построения решения соответствующей граничной задачи. Конкретные вычисления выполнены для оболочек с направляющей в виде параболы. с различной величиной кривизны. Установлены границы изменения параметров оболочек, при которых существуют собственные колебания с локализацией движения у края в собственных формах и приведены значения соответствующих собственных частот.
Вивчено деякі особливості хвильових процесів в обмежених тонких циліндричних оболонках. Досліджено питання про існування особливих форм коливань з локалізацією збурень біля вільного краю напівнескінченної незамкнутої циліндричної оболонки з довільною гладкою напрямницею. Вздовж граничних твірниць задавались умови шарнирного спирання. Дослідження проведено для тонкої пружної ізотропної оболонки, для якої жорсткість на згин дорівнює нулеві (безмоментна оболонка). Викладено метод побудови розв'язку відповідної граничної задачі. Конкретні обчислення виконані для оболонок з напрямницею в вигляді параболи з різною величиною кривини. Встановлено границі зміни параметрів оболонок, при яких існують власні коливання з локалізацією руху біля краю в власних формах та наведені значення відповідних власних частот.
Some specific features of the wave process in bounded thin cylindrical shells are considered. The problem of existence of the peculiar forms of vibration with localization of disturbances near free edge of semi-infinite open cylindrical shell with arbitrary smooth directing curve is studied. Along the boundary rulings the simple support boundary conditions are specified. The investigation have been carried out for thin elastic shell when bending rigidity is vanishingly small (the moment free shell). The method of solution of the corresponding boundary problem is described. The calculations were carried out for shells with directing curve in form of a parabola with different values of curvature. The limits of the shell parameter changing are determined when the proper vibrations with localization of motion near edges in eigenforms exist. The corresponding eigenfrequency values are calculated.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:10:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 1999. �®¬ 2, N 4. �. 42 { 48��� 539.3:534.2 ���������, ��������������� ���������� ���� �������������������������� �������������������������� ���������. �. ����������, �. �. �����������áâ¨âãâ ¬¥å ¨ª¨ ��� �ଥ¨¨, �ॢ �®«ã祮 8.06.98 � �¥à¥á¬®â८ 6.12.99�§ãç¥ë ¥ª®â®àë¥ ®á®¡¥®á⨠¢®«®¢ëå ¯à®æ¥áᮢ ¢ ®£à ¨ç¥ëå ⮪¨å 樫¨¤à¨ç¥áª¨å ®¡®«®çª å. �áá«¥¤®-¢ ¢®¯à®á ® áãé¥á⢮¢ ¨¨ ®á®¡ëå ä®à¬ ª®«¥¡ ¨© á «®ª «¨§ 樥© ¢®§¬ã饨© ã ᢮¡®¤®£®ªà ï ¯®«ã¡¥áª®¥ç®©¥§ ¬ªã⮩ 樫¨¤à¨ç¥áª®© ®¡®«®çª¨ á ¯à®¨§¢®«ì®© £« ¤ª®© ¯à ¢«ïî饩. �¤®«ì £à ¨çëå ®¡à §ãîé¨å § -¤ ¢ «¨áì ãá«®¢¨ï è à¨à®£® ®¯¨à ¨ï. �áá«¥¤®¢ ¨¥ ¯à®¢¥¤¥® ¤«ï ⮪®© ã¯à㣮© ¨§®âய®© ®¡®«®çª¨, ¤«ïª®â®à®© ¦¥á⪮áâì ¨§£¨¡ à ¢ ã«î (¡¥§¬®¬¥â ï ®¡®«®çª ). �§«®¦¥ ¬¥â®¤ ¯®áâ஥¨ï à¥è¥¨ï ᮮ⢥â-áâ¢ãî饩 £à ¨ç®© § ¤ ç¨. �®ªà¥âë¥ ¢ëç¨á«¥¨ï ¢ë¯®«¥ë ¤«ï ®¡®«®ç¥ª á ¯à ¢«ïî饩 ¢ ¢¨¤¥ ¯ à ¡®«ë. áà §«¨ç®© ¢¥«¨ç¨®© ªà¨¢¨§ë. �áâ ®¢«¥ë £à ¨æë ¨§¬¥¥¨ï ¯ à ¬¥â஢ ®¡®«®ç¥ª, ¯à¨ ª®â®àëå áãé¥áâ¢ãîâᮡáâ¢¥ë¥ ª®«¥¡ ¨ï á «®ª «¨§ 樥© ¤¢¨¦¥¨ï ã ªà ï ¢ ᮡá⢥ëå ä®à¬ å ¨ ¯à¨¢¥¤¥ë § 票ï ᮮ⢥âáâ¢ã-îé¨å ᮡá⢥ëå ç áâ®â.�¨¢ç¥® ¤¥ïª÷ ®á®¡«¨¢®áâ÷ 墨«ì®¢¨å ¯à®æ¥á÷¢ ¢ ®¡¬¥¦¥¨å ⮪¨å 樫÷¤à¨ç¨å ®¡®«®ª å. �®á«÷¤¦¥® ¯¨â ï¯à® ÷áã¢ ï ®á®¡«¨¢¨å ä®à¬ ª®«¨¢ ì § «®ª «÷§ æ÷õî §¡ãà¥ì ¡÷«ï ¢÷«ì®£® ªà î ¯÷¢¥áª÷祮ù ¥§ ¬ªãâ®ù樫÷¤à¨ç®ù ®¡®«®ª¨§ ¤®¢÷«ì®î £« ¤ª®î ¯àﬨæ¥î. �§¤®¢¦ £à ¨ç¨å â¢÷à¨æì § ¤ ¢ «¨áì㬮¢¨ è à¨à®-£® ᯨà ï. �®á«÷¤¦¥ï ¯à®¢¥¤¥® ¤«ï ⮪®ù ¯à㦮ù ÷§®âய®ù ®¡®«®ª¨, ¤«ï 类ù ¦®àáâª÷áâì §£¨ ¤®à÷¢îõã«¥¢÷ (¡¥§¬®¬¥â ®¡®«®ª ). �¨ª« ¤¥® ¬¥â®¤ ¯®¡ã¤®¢¨ ஧¢'離㠢÷¤¯®¢÷¤®ù £à ¨ç®ù § ¤ ç÷. �®ªà¥â÷ ®¡ç¨-á«¥ï ¢¨ª® ÷ ¤«ï ®¡®«®®ª § ¯àﬨæ¥î ¢ ¢¨£«ï¤÷ ¯ à ¡®«¨ § à÷§®î ¢¥«¨ç¨®î ªà¨¢¨¨. �áâ ®¢«¥® £à ¨æ÷§¬÷¨ ¯ à ¬¥âà÷¢ ®¡®«®®ª, ¯à¨ 直å ÷áãîâì ¢« á÷ ª®«¨¢ ï § «®ª «÷§ æ÷õî àãåã ¡÷«ï ªà î ¢ ¢« á¨å ä®à¬ å â ¢¥¤¥÷ § ç¥ï ¢÷¤¯®¢÷¤¨å ¢« á¨å ç áâ®â.Some speci�c features of the wave process in bounded thin cylindrical shells are considered. The problem of existenceof the peculiar forms of vibration with localization of disturbances near free edge of semi-in�nite open cylindrical shellwith arbitrary smooth directing curve is studied. Along the boundary rulings the simple support boundary conditions arespeci�ed. The investigation have been carried out for thin elastic shell when bending rigidity is vanishingly small (themoment free shell). The method of solution of the corresponding boundary problem is described. The calculations werecarried out for shells with directing curve in form of a parabola with di�erent values of curvature. The limits of the shellparameter changing are determined when the proper vibrations with localization of motion near edges in eigenforms exist.The corresponding eigenfrequency values are calculated.���������®£¨¥ ªâã «ìë¥ ãç®-â¥å¨ç¥áª¨¥ ¯à®¡«¥-¬ë á¢ï§ ë á ¨§ã票¥¬ § ª®®¬¥à®á⥩ ª®«¥¡ -¨© ¨ à á¯à®áâà ¥¨ï ¢®« ¢ ⢥à¤ëå ¤¥ä®à¬¨-à㥬ëå á। å. � ¨¬, ¢ ç áâ®áâ¨, á«¥¤ã¥â ®â-¥á⨠¯à®¡«¥¬ë á¥©á¬®à §¢¥¤ª¨, í«¥ªâà®à §¢¥¤ª¨,¤¨ ¬¨ª¨ í¥à£¥â¨ç¥áª¨å á®®à㦥¨© ¨ ¤à. �।¨à §«¨çëå á®áâ ¢«ïîé¨å ¢®«®¢®£® ¯®«ï ¢ ¦®¥¯à¨ª« ¤®¥ § 票¥ ¨¬¥îâ â¥, ¤«ï ª®â®àëå -¡«î¤ ¥âáï ¨¬¥ì襥 § âãå ¨¥ ¢ ¯à®æ¥áᥠà á-¯à®áâà ¥¨ï. � á¢ï§¨ á í⨬ ®á®¡ë© ¨â¥à¥á¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ¢®«®¢ë¥ ¤¢¨¦¥¨ï, «®ª «¨§®¢ -ë¥ ã ᢮¡®¤®© £à ¨æë ⢥म£® ⥫ . � ç «®¨áá«¥¤®¢ ¨ï ã¯àã£¨å ¯®¢¥àå®áâëå ¢®« á¢ï§ -® á à ¡®â®© �í«¥ï [1], ¢ ª®â®à®© ãáâ ®¢«¥® áã-é¥á⢮¢ ¨¥ ã¯àã£¨å ¢®«, à á¯à®áâà ïîé¨åá®«ì ᢮¡®¤®© £à ¨æë ¯®«ã¯à®áâà á⢠, á ¬-¯«¨â㤮©, ¡ëáâà® ã¡ë¢ î饩 á £«ã¡¨®©. � ª¨¥¢®«ë, ¢®§¨ª î騥 ¢ ã¯à㣨å ⥫ å à §«¨ç®©£¥®¬¥âਨ, ®¡ëç® §ë¢ îâáï ¯®¢¥àå®áâ묨
¢®« ¬¨ ⨯ �í«¥ï.�®«ë, «®ª «¨§®¢ ë¥ ¢¡«¨§¨ ᢮¡®¤®© £à -¨æë ¯®«ã¡¥áª®¥ç®© ¯« á⨪¨, ¨ ¢®«ë ¢ ¯®-«ã¡¥áª®¥ç®© 樫¨¤à¨ç¥áª®© ®¡®«®çª¥, § âãå -î騥 ®â ᢮¡®¤®£® â®àæ ®¡®«®çª¨ ¢¤®«ì ¯à -¢«¥¨ï ¥¥ ®¡à §ãîé¨å â ª¦¥ ®â®áïâáï ª ¯®¢¥àå-®áâë¬ ¢®« ¬ ⨯ �í«¥ï [2, 3]. � ¬¥â¨¬, ç⮢ ¯®«ã¡¥áª®¥ç®© ¯« á⨪¥, ª®£¤ ªà © § ªà¥¯-«¥ ¨«¨ ᢮¡®¤® ®¯¥àâ, «¨¡® ¨¬¥îâ ¬¥áâ® ãá«®-¢¨ï ᪮«ì§ï饣® ª®â ªâ , «®ª «¨§®¢ ®© ¢®«ë¥ áãé¥áâ¢ã¥â [4]. � á«ãç ¥ ¯®«ã¡¥áª®¥ç®© ¯« -á⨪¨ ᮠ᢮¡®¤®© £à ¨æ¥© ¥§ ¢¨á¨¬® ¤à㣠®â¤à㣠áãé¥áâ¢ãîâ ¯« àë¥ ¨ ¨§£¨¡ë¥ ¢®«ë,«®ª «¨§®¢ ë¥ ¢¡«¨§¨ £à ¨æë ¯« á⨪¨ [4, 5].�ਠ¨áªà¨¢«¥¨¨ ¯« á⨪¨ ¤¢ 㪠§ ëå ⨯ ¤¢¨¦¥¨ï ®ª §ë¢ îâáï á¢ï§ 묨, ¤ ¢ ï ç «®¤¢ã¬ ®¢ë¬ ⨯ ¬ «®ª «¨§®¢ ëå 㠪஬ª¨ ¢®«(¯à¥¨¬ãé¥á⢥® ¨§£¨¡ëå ¨ ¯à¥¨¬ãé¥á⢥®â £¥æ¨ «ìëå). � áâ®ï饥 ¢à¥¬ï ¢¥¤ãâáï ¨á-á«¥¤®¢ ¨ï á 楫ìî ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¢«¨ï¨ï ªà¨¢¨§ë¯®¢¥àå®á⨠ᮡáâ¢¥ë¥ ç áâ®âë (¤«ï ®£à ¨-42 c
�. �. �ã«£ § àï, �. �. �ã«£ § àï, 1999
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 1999. �®¬ 2, N 4. �. 42 { 48ç¥ëå ®¡« á⥩) ¨«¨ ä §®¢ë¥ ᪮à®á⨠¯®¢¥àå-®áâëå ¢®« ⨯ �í«¥ï [6 {10].� ¤ ®© à ¡®â¥ ¢ë¤¥«ïîâáï ¤®áâ â®çë¥ ãá«®-¢¨ï, ¯à¨ ª®â®àëå áãé¥áâ¢ãîâ ᮡáâ¢¥ë¥ ª®«¥-¡ ¨ï, íªá¯®¥æ¨ «ì® § âãå î騥 ®â ᢮¡®¤-®£® â®àæ ¯®«ã¡¥áª®¥ç®© ¥§ ¬ªã⮩ 樫¨-¤à¨ç¥áª®© ®¡®«®çª¨ á ¯à®¨§¢®«ì®© £« ¤ª®© -¯à ¢«ïî饩. �।¯®« £ ¥âáï, çâ® ®¡®«®çª è à-¨à® ®¯¨à ¥âáï ¤¢¥ ®¡à §ãî騥, ¨ ¥¥ ¦¥áâ-ª®áâì ¨§£¨¡ à ¢ ã«î (¡¥§¬®¬¥â ï ®¡®-«®çª ). � ª¨¬ ®¡à §®¬, à á¯à®áâà ¥¨¥ ¯®¢¥àå-®áâëå ¢®« ¢ ¥§ ¬ªã⮩ ®¡®«®çª¥ ¯à¨¢®¤¨âª ¢®§¨ª®¢¥¨î ᯥæ¨ä¨ç¥áª¨å ᮡá⢥ëå ª®-«¥¡ ¨© ¤ ¦¥ ¢ ¯®«ã¡¥áª®¥çëå 樫¨¤à¨ç¥áª¨å®¡®«®çª å á ¢ëà ¦¥®© «®ª «¨§ 樥© ª®«¥¡ ¨©¢ ᮡá⢥®© ä®à¬¥ ¢¡«¨§¨ ªà ï ®¡®«®çª¨. �«ï樫¨¤à¨ç¥áª¨å ®¡®«®ç¥ª á ¯à ¢«ïî騬¨y = ba�2(2ax� x2); 0 � x � 2a; (1)¯à¨¢¥¤¥ë ¯à¨¡«¨¦¥ë¥ § ç¥¨ï ¡¥§à §¬¥à®©å à ªâ¥à¨á⨪¨ ᮡá⢥®© ç áâ®âë ¯à¨ á«¥¤ã-îé¨å § 票ïå ¯ à ¬¥â஢: a=1, b=2 ¨ a=10,b=1. �¨á«¥ë© «¨§ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¯à¨ 㢥-«¨ç¥¨¨ ªà¨¢¨§ë ¯à ¢«ïî饩 ªà¨¢®© 樫¨-¤à¨ç¥áª®© ®¡®«®çª¨ 㢥«¨ç¨¢ îâáï ¯¥à¢ë¥ ç áâ®-âë ᮡá⢥ëå ª®«¥¡ ¨©.1. ���������� ������ � ������������������ áᬠâਢ îâáï ᢮¡®¤ë¥ ª®«¥¡ ¨ï ¥§ -¬ªã⮩ ¯®«ã¡¥áª®¥ç®© 樫¨¤à¨ç¥áª®© ®¡®«®ç-ª¨ 0���+1, â ª®©, ã ª®â®à®© ®¡à §ãî騥 ®à-⮣® «ìë ªà î ®¡®«®çª¨. �ë¡®à á¨á⥬ ª®®à-¤¨ â ¨ ¢®§¬®¦ ï ä®à¬ ®¡®«®çª¨ ¯®ª § ë à¨á㪥. �।¯®« £ ¥âáï, çâ® ª¢ ¤à ⠪ਢ¨§ë ¯à ¢«ïî饩 ªà¨¢®© ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥á«¥¤ãî饣® á室ï饣®áï àï¤ �ãàì¥:R�2 = k2�r02 + 1Xm=1 rm cos km��;1Xm=0 jrmj < +1;k = 2�=s; 0 < � < s: (2)�¤¥áì � { ⥪ãé ï ¤«¨ ¤ã£¨ ¯à ¢«ïî饩 ªà¨-¢®©; s { ¯®« ï ¤«¨ ¯à ¢«ïî饩 ªà¨¢®© ¬¥¦¤ãè à¨à® ®¯¥àâ묨 ®¡à §ãî騬¨.� ª ç¥á⢥ ¨á室ëå ãà ¢¥¨©, ®¯¨áë¢ îé¨åª®«¥¡ ¨ï ®¡®«®çª¨, ¨á¯®«ì§ãîâáï ãà ¢¥¨ï, ª®-â®àë¥ á®®â¢¥âáâ¢ãîâ â¥å¨ç¥áª®© ⥮ਨ 樫¨-¤à¨ç¥áª¨å ®¡®«®ç¥ª [11] ¨ § ¯¨á ë ¢ ¢ë¡à ëå
�¨á㮪. �¥§ ¬ªãâ ï 樫¨¤à¨ç¥áª ï ®¡®«®çª ªà¨¢®«¨¥©ëå ª®®à¤¨ â å �, �:�@2u1@�2 � 1� �2 @2u1@�2 ��1 + �2 @2u2@�@� + �R @u3@� = �u1;�1� �2 @2u2@�2 � @2u2@�2 ��1 + �2 @2u1@�@� + @@� �u3R � = �u2;� 1R @u2@� � �R @u1@� + u3R2 = �u3: (3)�¤¥áì u1, u2, u3 { ¯à®¥ªæ¨¨ ¢¥ªâ®à ᬥ饨©, á®-®â¢¥âá⢥® ¢ ¯à ¢«¥¨ïå �, � ¨ ®à¬ «¨ ª ¯®-¢¥àå®á⨠®¡®«®çª¨;� = (1� �2)!2�=E; (4)£¤¥ � { ¯«®â®áâì; E { ¬®¤ã«ì �£ ; � { ª®íää¨-樥â �ã áá® ¬ â¥à¨ « ®¡®«®çª¨; ! { 㣫®¢ ïç áâ®â .�à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ªà ïå ®¡®«®çª¨ ®¯à¥¤¥«ï-îâáï á«¥¤ãî騬¨ ¢ëà ¦¥¨ï¬¨:u1����0;s = @u2@� + �@u1@� � u3R ����0;s = 0; (5)@u1@� + @u2@� �����=0 == @u1@� + ��@u2@� � u3R ������=0 = 0;3Xj=1 jujj�����!+1 = 0; (6)£¤¥ á®®â®è¥¨ï (5) ¢ëà ¦ îâ ãá«®¢¨ï è à¨à-®£® § ªà¥¯«¥¨ï ¯® ®¡à §ãî騬 �=0 ¨ �=s, �. �. �ã«£ § àï, �. �. �ã«£ § àï 43
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 1999. �®¬ 2, N 4. �. 42 { 48ãá«®¢¨ï (6) ïîâáï ãá«®¢¨ï¬¨ ᢮¡®¤®£® ªà ï¯à¨ �=0 ¨ ãá«®¢¨ï¬¨ ã¡ë¢ ¨ï ¢®§¬ã饨© ¯à¨�!+1 ᮮ⢥âá⢥®.2. ��������� �������������� ���-�������� �������ä®à¬ã«¨à®¢ ï £à ¨ç ï § ¤ ç ï¥âáﯮ áãé¥áâ¢ã § ¤ 祩 ᮡáâ¢¥ë¥ § ç¥¨ï ¢¥®£à ¨ç¥®© ®¡« áâ¨. �®áª®«ìªã à¥çì ¨¤¥â ®¢®«®¢ëå ¯à®æ¥áá å ¢ ¬¥å ¨ç¥áª®¬ ®¡ê¥ªâ¥ ¡¥§ãç¥â § âãå ¨ï ¢ ¬ â¥à¨ «¥ â®, áâண® £®¢®-àï, ãá«®¢¨¥ ¡¥áª®¥ç®á⨠¢ á®®â®è¥¨ïå (6)á«¥¤®¢ «® ¡ë § ¬¥¨âì ãá«®¢¨¥¬ ¨§«ã票ï. �®-᪮«ìªã ¬ë ¨â¥à¥á㥬áï ¢®«®¢ë¬¨ ¤¢¨¦¥¨ï-¬¨, ¥ á¢ï§ 묨 á ¯¥à¥®á®¬ í¥à£¨¨ ¡¥á-ª®¥ç®áâì, 㪠§ ®¥ ãá«®¢¨¥ ¢ á®®â®è¥¨ïå (6)¬®¦® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¤«ï ®â¡®à ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨åᮡá⢥ëå ç¨á¥«.�«ï ¤¥â «ì®£® «¨§ à §à¥è¨¬®á⨠à áᬠ-âਢ ¥¬®© £à ¨ç®© § ¤ ç¨ á«¥¤ã¥â ¤®¯®«¨-â¥«ì® ¢¢¥á⨠¥ª®â®àë¥ ¯®ïâ¨ï. �«ï ¯ à뢥ªâ®à-äãªæ¨© f (j)(�; �)=(u(j)1 ; u(j)2 ; u(j)3 ), j=1; 2,¢¢¥¤¥¬ ¯®ï⨥ ᪠«ïண® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¯® ä®à-¬ã«¥ �f (1); f (2)�= +1Z0 sZ0 3Xk=1u(1)k �u(2)k d�d�: (7)�¡®§ 稬 ç¥à¥§ L0 ®¯¥à â®à, ᮮ⢥âáâ¢ãî-騩 «¥¢®© ç á⨠á¨á⥬ë ãà ¢¥¨© (3), ¯¥à-¢® ç «ì® ®¯à¥¤¥«¥ë© £« ¤ª¨å ¢¥ªâ®à-äãªæ¨ïå f=(u1; u2; u3), 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ãá«®-¢¨ï¬ (5) ¨ (6). �¥âà㤮 ¯à®¢¥à¨âì, çâ® ¤«ï â ª¨å¢¥ªâ®à-äãªæ¨© ¢ë¯®«ï¥âáï á®®â®è¥¨¥�L0f (1); f (2)�= �f (1); L0f (2)�: (8)�®«¥¥ ⮣®, ¤«ï «î¡®© äãªæ¨¨ f =(u1; u2; u3),㤮¢«¥â¢®àïî饩 ãá«®¢¨ï¬ (5) ¨ (6), ¨¬¥¥â ¬¥áâ®¥à ¢¥á⢮ �L0f; f�� 0 (9)(á¬. [12, áâà. 45]). �§ ¥à ¢¥á⢠(9) á«¥-¤ã¥â, çâ® á § ¤ 祩 ᮡáâ¢¥ë¥ § ç¥-¨ï (3), (5), (6) ¬®¦® á¢ï§ âì ¥®âà¨æ ⥫쮮¯à¥¤¥«¥ë© á ¬®á®¯àï¦¥ë© ®¯¥à â®à (à á-è¨à¥¨¥ ¯® �ਤà¨åáã ®¯¥à â®à L0, á¬. [11], â ª¦¥ [13, áâà. 350]), ¤«ï ª®â®à®£® ¢ ¤ «ì¥©è¥¬á®åà ¨¬ ®¡®§ 票¥ L0. �ª ¦¥¬, çâ® ¯à¨ à á-è¨à¥¨¨ ¯® �ਤà¨åáã ª ®¡« á⨠®¯à¥¤¥«¥¨ï ®¯¥-à â®à ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¤®¡ ¢«ïîâáï äãªæ¨¨, ¬¥-¥¥ £« ¤ª¨¥, 祬 ᮡáâ¢¥ë¥ äãªæ¨¨ ¨á室®£®
®¯¥à â®à . �âáë« ï ç¨â â¥«ï ª १ã«ìâ â ¬, ¯®-«ãç¥ë¬ ¢ à ¡®â å [11{13], § ¬¥â¨¬, çâ® ¢ á®-®â¢¥âá⢨¨ á ®¯à¥¤¥«¥¨¥¬, ¯à¨ïâë¬ ¢ â¥®à¨¨á ¬®á®¯à殮ëå ®¯¥à â®à®¢, ç¨á«® � ¥áâì â®ç-ª ᯥªâà ®¯¥à â®à L0, ¥á«¨ ¥®¤®à®¤®¥ ãà ¢-¥¨¥ (L0��I)f =g, £¤¥ I { ¥¤¨¨çë© ®¯¥à â®à,¨¬¥¥â à¥è¥¨¥ ¨§ ®¡« á⨠®¯à¥¤¥«¥¨ï ®¯¥à â®-à L0 ¥ ¯à¨ ¢á类© ¯à ¢®© ç á⨠g, á㬬¨à㥬®©á ª¢ ¤à ⮬ ¬®¦¥á⢥ [0; s]� [0;+1). �᫨� ï¥âáï ᮡáâ¢¥ë¬ § 票¥¬ L0, â. ¥. ¯à¨¥ª®â®à®¬ ¥ã«¥¢®¬ f0 ¨¬¥¥¬ (L0��I)f0=0, ⮥®¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥ ¥à §à¥è¨¬®, ¯à¨¬¥à,¯à¨ g=f0. �«¥¤®¢ ⥫ì®, ᮡáâ¢¥ë¥ § 票ï¢á¥£¤ ïîâáï â®çª ¬¨ ᯥªâà . �¨á«® � §ë-¢ ¥âáï â®çª®© ¤¨áªà¥â®£® ᯥªâà , ¥á«¨ ®® ¨§®-«¨à®¢ ® ®â ¤à㣨å â®ç¥ª ᯥªâà ¨ ¥¬ã ®â¢¥ç -¥â «¨èì ª®¥ç®¥ ç¨á«® «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå ᮡ-á⢥ëå äãªæ¨©. �ᥠ®áâ «ìë¥ â®çª¨ ᯥªâà ( ¯à¨¬¥à, ¯à¥¤¥«ìë¥ â®çª¨ ¤¨áªà¥â®£® ᯥª-âà , â®çª¨ ᯥªâà , § ¯®«ïî騥 ¨â¥à¢ «ë ¢¥-é¥á⢥®© ®á¨), ¯à¨ïâ® §ë¢ âì â®çª ¬¨ áã-é¥á⢥®£® ¨«¨ ¥¯à¥à뢮£® ᯥªâà .�¯¥ªâà ®¯¥à â®à L0 ¥ ï¥âáï ç¨áâ® ¤¨á-ªà¥âë¬ [12,14]. �ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ¯à¨ «î¡ëå á -¬®á®¯à殮ëå £à ¨çëå ãá«®¢¨ïå, ®¯¥à â®àë,¯®à®¦¤¥ë¥ á¨á⥬®© (3), ¨¬¥îâ ãç á⮪ ¥¯à¥-à뢮£® ᯥªâà , ᮢ¯ ¤ î騩 á ®â१ª®¬ [0; �0] {¬®¦¥á⢮¬ § 票© äãªæ¨¨
(�; �) = (1� �2) cos4 �R�2(�);0 � � � s; 0 � � � 2�: (10)�®ï¢«¥¨¥ í⮣® ãç á⪠¥¯à¥à뢮£® ᯥªâà ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ àã襨ï í««¨¯â¨ç®áâ¨á¨á⥬ë (3) ¯® �㣫¨áã {�¨à¥¡¥à£ã.3. ����� � ������ ������������-������� ����������«ï ¯®á«¥¤ãîé¨å ¢ëç¨á«¥¨© á¨á⥬ã ãà ¢¥-¨© (3) 楫¥á®®¡à §® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥�u1 = �@3w@�3 � @3w@�@�2 + 2��1� � @w@� ;�u2 = @3w@�3 + (2 + �) @3w@�2@� + 2�1� � @w@� ;�R�2@u2@� � �R�2@u1@� + R�2w = �w (11)(á¬. [15]), £¤¥ w=u3=R, ®¯¥à â®à � ¢ëà ¦ ¥âáïç¥à¥§ ®¯¥à â®à � ¯« á � á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:� = ��+ 3� �1� ���+ 2�2(1 � �) : (12)44 �. �. �ã«£ § àï, �. �. �ã«£ § àï
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 1999. �®¬ 2, N 4. �. 42 { 48�¥è¥¨¥ á¨á⥬ë (11), 㤮¢«¥â¢®àïî饥 ãá«®-¢¨ï¬ (5), ¨é¥¬ ¢ ¢¨¤¥u1 = exp(k��) 1Xm=1um sin km�;u2 = exp(k��) 1Xm=1 vm cos km�;w = exp(k��) 1Xm=1wm sin km�: (13)�ਠí⮬ ⮦¤¥á⢥® ¢ë¯®«ïîâáï ãá«®¢¨ïè à¨à®£® ®¯¨à ¨ï ªà ïå �=0 ¨ �=s.�®¤áâ ¢¨¬ ¢ëà ¦¥¨ï (13) ¢ á¨á⥬ã (11). �§¯¥à¢ëå ¤¢ãå ãà ¢¥¨© (11), ¯à¨à ¢¨¢ ï á®®â-¢¥âáâ¢ãî騥 ª®íää¨æ¨¥âë ¯®«ãç¥ëå âਣ®®-¬¥âà¨ç¥áª¨å à冷¢, ¯®«ã稬kcmum = �amwm;kcmvm = mbmwm;am = ��2 +m2 + ��2;bm = (2 + �)�2 �m2 + �2;�2 = 2�= �(1� �)k2� ;cm = (�2 �m2)2 + (�2 �m2)(3 � �)=2�2++ (1� �)=2�4;m = 1;+1: (14)�§ âà¥â쥣® ãà ¢¥¨ï (11), ãç¨âë¢ ï á®®â®è¥-¨ï (14) ¨ ¯à ¢¨« 㬮¦¥¨ï âਣ®®¬¥âà¨ç¥-᪨å à冷¢ (á¬. [16, áâà. 592]), ¯®«ãç ¥¬ ¡¥áª®¥ç-ãî á¨á⥬ã ãà ¢¥¨©�Am(r0 � r2m) � (1� �)�2�wm++ 1Xn=1;n6=mAn(rjm�nj � rm+n)wn = 0;m = 1;+1; (15)£¤¥An = (cn + n2bn � ��2an)=cn; n = 1;+1: (16)� ª ª ª ¢ ®¡« á⨠®¯à¥¤¥«¥¨ï An ¨¬¥¥¬An=O(1=n2), £¤¥ ª®áâ â ¢ O-ç«¥¥ ¥ § ¢¨á¨â®â n, â®, ãç¨âë¢ ï ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ (2) ¨ â®â ä ªâ,çâ® 1Xn=1 jAnj < +1;
¯®«ãç ¥¬1Xn;m=1 jAnj�jrjm�njj+ jrm+nj� �� 3� 1Xm=0 jrmj�� 1Xn=1 jAnj� < +1: (17)�«¥¤®¢ ⥫ì®, ¡¥áª®¥çë© ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì á¨áâ¥-¬ë (15) ¯à¨ «î¡ëå ª®¬¯«¥ªáëå �2= [0; �0] ¨ � ¢®¡« á⨠®¯à¥¤¥«¥¨ï ª®íää¨æ¨¥â®¢ (16) ®â®á¨â-áï ª ¨§¢¥á⮬㠪« ááã á室ïé¨åáï ®¯à¥¤¥«¨â¥-«¥© { ª ®à¬ «ìë¬ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï¬ [17]. �⮡ëá¨á⥬ (15) ¨¬¥« ¥âਢ¨ «ì®¥ à¥è¥¨¥, ¥®¡-室¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç®, çâ®¡ë ¥¥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì à ¢-ï«áï ã«î: M (�; �; �) = 0: (18)�ãáâì �j ; j=1; 2 { à §«¨çë¥ ª®à¨ ãà ¢¥-¨ï (18) á ®âà¨æ ⥫ì묨 ¤¥©á⢨⥫ì묨 ç -áâﬨ, (w(j)1 ; w(j)2 ; : : : ; w(j)m ; : : :), j=1; 2 ïîâáï¥âਢ¨ «ì묨 à¥è¥¨ï¬¨ á¨á⥬ë (15) ¯à¨ �j ,j=1; 2 ᮮ⢥âá⢥®. �।áâ ¢¨¬ à¥è¥¨¥ § -¤ ç¨ (5), (6) (11) ¢ ¢¨¤¥ui = u(1)i + u(2)i ; i = 1; 2;w = w(1) +w(2): (19)�®£¤ à¥è¥¨ï á¨á⥬ë (11) ¯à¨ �j, j=1; 2 ¨¬¥î⢨¤ (13). �ç¨âë¢ ï £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï (6), ¯à¨å®-¤¨¬ ª á¨á⥬¥ ãà ¢¥¨©2Xj=1 R(m)1jc(j)m w(j)m = 0;2Xj=1 R(m)2jc(j)m w(j)m = 0;m = 1;+1; (20)£¤¥ R(m)1j = �2ja(j)m � �m2b(j)m � �c(j)m ;R(m)2j = m�j(a(j)m + b(j)m ); (21) a(j)m , b(j)m , c(j)m { § 票ï am, bm, cm ¨§ (14)¯à¨ �=�j, j=1; 2 ᮮ⢥âá⢥®. �⮡ë á¨áâ¥-¬ (20) ¨¬¥« ¥âਢ¨ «ì®¥ à¥è¥¨¥, ¤®áâ â®ç-®, ç⮡ë ᮢ®ªã¯®áâì ãà ¢¥¨©jR(m)ij j2i;j=1 = 0; m = 1;+1 (22)¢¥ ®â१ª [0; �0] ¨ ¢ ®¡« á⨠®¯à¥¤¥«¥¨ï ª®íä-ä¨æ¨¥â®¢ (16) ¨¬¥« ¥ª®â®à®¥ à¥è¥¨¥ �. �à ¢-�. �. �ã«£ § àï, �. �. �ã«£ § àï 45
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 1999. �®¬ 2, N 4. �. 42 { 48¥¨ï (22) íª¢¨¢ «¥âë ãà ¢¥¨ï¬�1�21�22 + �2�1�2 + �3 ��21 + �22�+ �4 = 0;m = 1;+1 (23)£¤¥ �1 = 2(2(1 + �)m2 � ��2);�2 = ��2(2m2 + ��2);�3 = 2��2(m2 � �2);�4 = ��4(m2 � �2): (24)� ¬¥â¨¬, çâ® ¢ á«ãç ¥ R�1(�)�0 ¤«ï «®£¨ç-®© § ¤ ç¨ ¨¬¥¥¬ �21 = m2 � �2;�22 = m2 � (1� �)=2�2; (25) ãà ¢¥¨ï (23) ¯à¥®¡à §ãîâáï ª ¢¨¤ã(2� �2=m2)4 = 16(1� �2=m2)���1� (1� �)=2�2=m2�;m = 1;+1; (26)ᮮ⢥âáâ¢ãî饬ã ãà ¢¥¨ï¬ �í«¥ï ¤«ï ¯« -á⨪¨ { ¯®«®áë. � ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤®ª § ® á«¥¤ã-î饥 ã⢥ত¥¨¥: ¥á«¨ R�2(�)n�3 ¬®¦® ¯à¥¤-áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ (2) ¨ �2= [0; �0], â® ãà ¢¥¨ï (23)ïîâáï å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¬¨ ãà ¢¥¨ï¬¨ § -¤ ç¨ (3), (5), (6), £¤¥ �1 ¨ �2 { à §«¨çë¥ ª®à¨ãà ¢¥¨ï (18) á ®âà¨æ ⥫ì묨 ¤¥©á⢨⥫ìë-¬¨ ç áâﬨ.4. ������� ������� á¢ï§¨ á «¨ç¨¥¬ ¡¥áª®¥ç®£® ç¨á« ¯®«î-ᮢ ã ª®íää¨æ¨¥â®¢ á¨á⥬ë (15), ¢ ®¡é¥¬ á«ã-ç ¥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (18) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â á«®¦ãî§ ¤ çã. �®í⮬ã à áᬮâਬ á«¥¤ãî騩 ç áâë©á«ãç ©: R�2 = k2(r0=2 + r1 cos k�): (27)� í⮬ á«ãç ¥ ª ¦¤®¥ ãà ¢¥¨¥ á¨á⥬ë (15) á®-¤¥à¦¨â âਠ¥¨§¢¥áâë¥ ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¬®¦¥â¡ëâì ¯à¥®¡à §®¢ ® ª ¢¨¤ãr1pm�1cmcm+1wm�1 + qmcm�1cm+1wm++r1pm+1cm�1cmwm+1 = 0;m = 1;+1 (28)
£¤¥ ª®íää¨æ¨¥âë ïîâáï ¬®£®ç«¥ ¬¨ ®â®-á¨â¥«ì® �2 ¨ �2:pn = cn + n2bn � ��2an;qn = r0pn � (1� �)�2cn;n = 1;+1 (29)� ª ª ª ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì á¨á⥬ë (28) ®â®á¨âáï ª®à¬ «ì®¬ã ⨯ã, â® ¤«ï 宦¤¥¨ï ¥ã«¥¢®£®à¥è¥¨ï ¯à¨à ¢ï¥¬ ª ã«î ¥¥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì:D(�2; �; r1; r0; �) = 0: (30)�à ¢¥¨¥ (30) ãáâ ¢«¨¢ ¥â äãªæ¨® «ìãî§ ¢¨á¨¬®áâì �2=g(�; r1; �1; r0; �). � © ä®à-¬¥ íâã § ¢¨á¨¬®áâì ¬®¦® ãáâ ®¢¨âì á«¥¤ãî騬®¡à §®¬. �®§ì¬¥¬ ãá¥ç¥ë© ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¨§ D¯à¨ ª®¥ç®¬ m ¨ ¯à¨à ¢ï¥¬ ¥£® ª ã«î:Dm(�2; �; r1; r0; �) = 0: (31)� ©¤¥¬ �m, ïî饥áï à¥è¥¨¥¬ ãà ¢¥¨ï (31).�®ç®¥ à¥è¥¨¥ ¯®«ãç ¥âáï ¨§ �m ¯à¨ m!1.� áªàë¢ ï ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì Dm ¯® í«¥¬¥â ¬ ¯®á«¥¤-¥£® á⮫¡æ ¨«¨ áâப¨, ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãîéãî à¥-ªãàà¥âãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì:D1=q1c2;D2=(q2D1�r21p1p2)c1c2c3;Dm=(qmDm�1�r21pm�1pmcm�2cmDm�2)��cm�1cm+1; m=3;+1: (32)�¯à ¢¥¤«¨¢® á«¥¤ãî饥 ã⢥ত¥¨¥: ¯à¨ 䨪-á¨à®¢ ®¬ m�2 ¨ ¯à¨ ãá«®¢¨ïår21 � 1; �0 < � < (1� �)=2m2k2 (33)ãà ¢¥¨¥ (30) ¨¬¥¥â ä®à¬ «ìë¥ à¥è¥¨ï ¢¨¤ �2j = ��(m)j �2 + �(m)j r21 + �(m)j r41 + : : : ;j = 1; 2; (34)£¤¥ �(m)j { ª®à¨ ãà ¢¥¨ï qm=0, �(m)j = (qm�1pm+1+qm+1pm�1)pmqm�1qm+1q0m �����=�(m)j ;j=1; 2: (35)�¥©á⢨⥫ì®, «¥£ª® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® ¯à¨ ãá«®¢¨-ïå (33) ãà ¢¥¨¥ ¨¬¥¥â ¤¢ ¯®«®¦¨â¥«ìëå ª®à-ï: �2=(�(m)j )2, j=1; 2. � 票ï �2, ïî騥-áï ª®àﬨ ãà ¢¥¨ï Dm+1(�2; r1)=0 ¢ §®¥ (33),46 �. �. �ã«£ § àï, �. �. �ã«£ § àï
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 1999. �®¬ 2, N 4. �. 42 { 48� ¡«. 1. � à ªâ¥à¨á⨪¨ § âãå ¨ï ¨ ᮡáâ¢¥ë¥ ç áâ®âë ®¡®«®çª¨á ¯ à ¬¥âà ¬¨ a=2, b=1, s�4:5917, r0�0:137056, r1��0:055066m R�2 � k2r0=2 R�2 � k2(r0=2 + r1 cos k�)k�1=m k�2=m �=m k�1=m k�2=m �=m2 �0:5016 �1:2559 0.92397 �0:5033 �1:2449 0.922763 �0:5210 �1:2029 0.92144 �0:5205 �1:2061 0.921794 �0:5283 �1:1841 0.92055 �0:5291 �1:1815 0.920365 �0:5318 �1:1754 0.92014 �0:5345 �1:1658 0.9193210 �0:5366 �1:1636 0.91959 �0:5363 �1:1646 0.91967100 �0:5382 �1:1597 0.91940 �0:5382 �1:1597 0.91940� ¡«. 2. � à ªâ¥à¨á⨪¨ § âãå ¨ï ¨ ᮡáâ¢¥ë¥ ç áâ®âë ®¡®«®çª¨á ¯ à ¬¥âà ¬¨ a=10, b=1, s�20:1325, r0�0:007898, r1��0:000188m R�2 � k2r0=2 R�2 � k2(r0=2 + r1 cos k�)k�1=m k�2=m �=m k�1=m k�2=m �=m2 �0:1222 �0:2658 0.91967 �0:1222 �0:2658 0.919673 �0:1225 �0:2651 0.91952 �0:1225 �0:2651 0.919524 �0:1226 �0:2648 0.91947 �0:1226 �0:2648 0.919475 �0:1227 �0:2647 0.91944 �0:1227 �0:2647 0.9194410 �0:1227 �0:2645 0.91941 �0:1227 �0:2645 0.91941100 �0:1227 �0:2645 0.91940 �0:1227 �0:2645 0.91940¨é¥¬ ¢ ¢¨¤¥�2jm = ��(m)j �2 + �(m)j r21 + �(m)j r41 + : : : ;j = 1; 2 m = 2;+1: (36)� ª ª ªDm+1 = ((qm+1qm � r21pmpm+1)Dm�1��r21qm+1pm�1pmcm�2cmDm�2)cm�1��cmcm+1cm+2; m = 3;+1; (37)â®, ¯®¤áâ ¢«ïï (36) ¢ ãà ¢¥¨¥ Dm+1(�2; r1)=0 ¨¯à¨à ¢¨¢ ï ª®íää¨æ¨¥âë ¯à¨ r21 ã«î, ¯®«ãç -¥¬ (qm+1q0m�(m)j � pmpm+1)Dm�1��qm+1pm�1pmcm�2cmDm�2�����=�(m)j = 0;j = 1; 2: (38)�ç¨âë¢ ï, çâ®Dn�1����r1=0 = qn�1cm�2cmDn�2����r1=0¯®«ãç ¥¬ ä®à¬ã«ã (35).� «®£¨çë¬ ®¡à §®¬ (ª ª íâ® ¡ë«® ¯à®¤¥« ®¢ [7]), ¬¥â®¤®¬ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© ¨¤ãªæ¨¨ ¬®¦®
¤®ª § âì, çâ® ¯à¨ ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ ®¯à¥¤¥«¨â¥«¥©¡®«¥¥ ¢ë᮪®£® ¯®à浪 祬 m+1 ¢ ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨¨ �2, ïîé¨åáï ã«ï¬¨ í⮣® ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï¢ ¢¨¤¥ (36), ª®íää¨æ¨¥âë ¯à¨ r21 ¥ ¨§¬¥ïâáï.� ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤®ª § ë ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï (34) á £ -à â¨à®¢ 묨 § 票ﬨ ¯¥à¢ëå ¤¢ãå á« £ ¥-¬ëå. � â ¡«. 1, 2 ¯à¨¢¥¤¥ë ¡¥§à §¬¥àë¥ å à ª-â¥à¨á⨪¨ ᮡá⢥ëå § 票© �=m ¨ å à ªâ¥-à¨á⨪¨ ª®íää¨æ¨¥â®¢ § âãå ¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãî-é¨å ä®à¬ k�i1=m, i=1; 2 ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â m, a, b¤«ï ®¡®«®ç¥ª á ¯à ¢«ïî騬¨ (1) ¯à¨ �=1=3. �à áç¥â å ¨á¯®«ì§®¢ ë ¯à¨¡«¨¦¥ë¥ ä®à¬ã«ë�j = ��(�(m)j )2 + �(m)j r21�1=2; j = 1; 2: (39)� ¬¥â¨¬, çâ® á 㢥«¨ç¥¨¥¬ ª¢ ¤à ⠪ਢ¨§ë㢥«¨ç¨¢ ¥âáï ®â१®ª [0; �0] ¥¯à¥à뢮£® ᯥª-âà § ¤ ç¨ (3), (5), (6) (á¬. ¢ëà ¦¥¨ï (10)).�à ¢¨¢ ï â ¡«. 1 ¨ 2, ¯à¨å®¤¨¬ ª § ª«î票î,çâ® á 㢥«¨ç¥¨¥¬ §®ë ¥¯à¥à뢮£® ᯥªâà § ¤ ç¨ (3), (5), (6) â ª¦¥ 㢥«¨ç¨¢ îâáï ¨ ¯¥à-¢ë¥ ç áâ®âë ᮡá⢥ëå ª®«¥¡ ¨©. �¨á«¥-ë© «¨§ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® á 㬥ì襨¥¬ ª¢ -¤à ⠪ਢ¨§ë, ᮡáâ¢¥ë¥ ä®à¬ë ª®«¥¡ ¨©§ ¤ ç¨ (3), (5), (6) § âãå îâ ¬¥¤«¥¥¥, ¨ ¯à¨R�2!1 ¢á¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨ ᮡá⢥ëå ª®«¥-¡ ¨© 樫¨¤à¨ç¥áª®© ®¡®«®çª¨ áâ६ïâáï ª å -à ªâ¥à¨á⨪ ¬ ¯à¥¨¬ãé¥á⢥® ¯« àëå ª®-«¥¡ ¨© ¯« á⨪¨ {¯®«®áë (�=m=0:91940). �â-¬¥â¨¬, çâ® ¯¥à¢ë¥ £àã¯¯ë ¯ à ¬¥â஢ k�i1=m,�. �. �ã«£ § àï, �. �. �ã«£ § àï 47
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 1999. �®¬ 2, N 4. �. 42 { 48i=1; 2 ¨ �=m ¢ ª ¦¤®© ¨§ â ¡«¨æ ᮮ⢥âáâ¢ãîâªà㣮¢®© 樫¨¤à¨ç¥áª®© ®¡®«®çª¥ à ¤¨ãá r0.����������� áâ âì¥ ¯®ª § ®, çâ® ¢ ¯®«ã¡¥áª®¥ç®© æ¨-«¨¤à¨ç¥áª®© ®¡®«®çª¥ á ¯à®¨§¢®«ì®© ¯à ¢«ï-î饩, ª¢ ¤à ⠪ਢ¨§ë ª®â®à®© ¬®¦® ¯à¥¤áâ -¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ àï¤ (2), ¯à¨ «¨ç¨¨ è à¨à®£® ®¯¨-à ¨ï � ¢ì¥ ¤¢ãå ®¡à §ãîé¨å ¬®£ãâ áãé¥á⢮-¢ âì ᮡáâ¢¥ë¥ ª®«¥¡ ¨ï, § âãå î騥 ®â ᢮-¡®¤®£® ªà ï ¢¤®«ì ¥¥ ®¡à §ãîé¨å. � áâ®âë â -ª¨å ª®«¥¡ ¨© ®¯à¥¤¥«ïîâáï ᮢ®ªã¯®áâìî ãà ¢-¥¨© ⨯ �í«¥ï (23) { (24) (áà. [8]). �¨á«¥ë© «¨§ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ª ¦¤®¥ ãà ¢¥¨¥ ¨§ á¨-á⥬ë (23) ¢ ¨â¥à¢ «¥ (0; 1) ¬®¦¥â ¨¬¥âì ⮫쪮®¤¨ ª®à¥ì ®â®á¨â¥«ì® ¡¥§à §¬¥à®© å à ªâ¥-à¨á⨪¨ ᮡá⢥®© ç áâ®âë �=m. �ਠ¡®«ìè¨åm ¨«¨ ¯à¨ ¬ «®© ªà¨¢¨§¥ ᮡáâ¢¥ë¥ ç áâ®âë§ ¤ ç¨ (3), (5), (6) ¡«¨§ª¨ ª ᮡáâ¢¥ë¬ ç áâ®-â ¬ § ¤ ç¨ ® ¯« àëå ª®«¥¡ ¨ïå ¯« á⨪¨ {¯®«®áë. � 㢥«¨ç¥¨¥¬ ª¢ ¤à ⠪ਢ¨§ë ¯à -¢«ïî饩 ªà¨¢®© 樫¨¤à¨ç¥áª®© ®¡®«®çª¨ ¯¥à¢ë¥ç áâ®âë 㢥«¨ç¨¢ îâáï.1. Rayleigh J. W. On waves propagated along the planesurface of an elastic solid // Proc. London Math.Soc.{ 1885.{ 17.{ P. 4{11.2. �¨ªâ®à®¢ �. �. �¢ãª®¢ë¥ ¯®¢¥àå®áâë¥ ¢®«ë ¢â¢¥à¤ëå ⥫ å.{ �.: � 㪠, 1981.{ 288 á.3. �¥«ã¡¥ªï �. �. �®¢¥àå®áâë¥ ¢®«ë ¢ ã¯àã-£¨å á। å // �஡«¥¬ë ¬¥å ¨ª¨ ¤¥ä®à¬¨à㥬®-£® ⢥म£® ⥫ .{ �ॢ , 1997.{ �. 79{96.4. �¥«ã¡¥ªï �. �., �£¨¡ àï �. �. �®«ë, «®ª «¨-§®¢ ë¥ ¢¤®«ì ᢮¡®¤®© ªà®¬ª¨ ¯« á⨪¨ á ªã-¡¨ç¥áª®© ᨬ¬¥âਥ© // �§¢. ���. ���.{ 1996.{N 6.{ �. 139-143.5. �®¥ª®¢ �. �. �¡ ¨§£¨¡®© ¢®«¥ \àí«¥¥¢áª®£®"⨯ // �ªãáâ. ¦.{ 1960.{ 6, N 1.{ �. 124{126.
6. � £¤ á àï �. �., �¥«ã¡¥ªï �. �., � § àï �. �.�®«ë ⨯ �í«¥ï ¢ ¯®«ã¡¥áª®¥ç®© 樫¨¤à¨-ç¥áª®© ®¡®«®çª¥ // �®«®¢ë¥ § ¤ ç¨ ¬¥å ¨ª¨.{�¨¦¨© �®¢£®à®¤, 1992.{ �. 87{93.7. �ã«£ § àï �. �., � § àï �. �. �®«ë ⨯ �í«¥ï ¢ ¯®«ã¡¥áª®¥ç®© § ¬ªã⮩ ¥ªà㣮¢®©æ¨«¨¤à¨ç¥áª®© ®¡®«®çª¥ // �§¢. ��� �ଥ¨¨.�¥å ¨ª .{ 1997.{ 50, N 1.{ �. 27{33.8. �ã«£ § àï �. �., �ã«£ § àï �. �. �®«ë ⨯ �í«¥ï ¢ ¯®«ã¡¥áª®¥ç®© § ¬ªã⮩ 樫¨¤à¨ç¥-᪮© ®¡®«®çª¥ á ¯à®¨§¢®«ì®© ¯à ¢«ïî饩 //�®¯à®áë ®¯â¨¬ «ì®£® ã¯à ¢«¥¨ï, ãá⮩稢®-á⨠¨ ¯à®ç®á⨠¬¥å ¨ç¥áª¨å á¨á⥬.{ �ॢ ,1997.{ �. 147{150.9. �¥«ã¡¥ªï �. �., �ã«£ § àï �. �., � ªï �. �.�®«ë ⨯ �í«¥ï ¢ ¯®«ã¡¥áª®¥ç®© ªà㣮¢®© § -¬ªã⮩ 樫¨¤à¨ç¥áª®© ®¡®«®çª¥ // �§¢. ����ଥ¨¨. �¥å ¨ª .{ 1997.{ 50, N 3{4.{ �. 49{55.10. �ã«£ § àï �. �., �ã«£ § àï �. �. �®«¥¡ ¨ï, «®-ª «¨§®¢ ë¥ ã ᢮¡®¤®£® â®àæ ¯®«ã¡¥áª®¥ç-®© ¥§ ¬ªã⮩ ªà㣮¢®© 樫¨¤à¨ç¥áª®© ®¡®-«®çª¨ // �¡. ãç. âà. ª®ä., ¯®á¢ïé. 90-«¥â¨î ᮤï ஦¤¥¨ï ¯à®ä. �. �. � ç âàï ¨ �. �. � -¯®¤¦ï , 23{24 ®ªâ. 1998.{ �ॢ , 1999.{ �. 95{98.11. �®«ì¤¥¢¥©§¥à �. �., �¨¤áª¨© �. �., �®¢á⨪ �. �.�¢®¡®¤ë¥ ª®«¥¡ ¨ï ⮪¨å ã¯àã£¨å ®¡®«®ç¥ª.{�.: � 㪠, 1979.{ 383 á.12. �á« ï �. �., �¨¤áª¨© �. �. � á¯à¥¤¥«¥¨¥ ᮡ-á⢥ëå ç áâ®â ⮪¨å ã¯àã£¨å ®¡®«®ç¥ª.{ �.:� 㪠, 1974.{ 155 á.13. �¨áá �., �¥ª¥ä «ì¢¨-� ¤ì �. �¥ªæ¨¨ ¯® äãªæ¨®- «ì®¬ã «¨§ã.{ �.: �¨à, 1979.{ 587 á.14. �ã«£ § àï �. �., �¨¤áª¨© �. �., �᪨ �. �.�¯¥ªâà ¡¥§¬®¬¥â®© á¨áâ¥¬ë ¢ á«ãç ¥ ⮪®©®¡®«®çª¨ ¯à®¨§¢®«ì®£® ®ç¥àâ ¨ï // �¨¡. ¬ â.¦.{ 1973.{ 4, N 5.{ �. 978{986.15. �ã«£ § àï �. �. �ਡ«¨¦¥ë¥ ç áâ®âë ᮡ-á⢥ëå ª®«¥¡ ¨© ¥ªà㣮¢®© 樫¨¤à¨ç¥áª®©®¡®«®çª¨ // �§¢. ��� �ଥ¨¨. �¥å ¨ª .{1996.{ 49, N 1.{ �. 61{70.16. �¨å⥣®«ìæ �. �.�ãàá ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ¨ ¨-â¥£à «ì®£® ¨áç¨á«¥¨ï. �®¬ 3.{ �.: �¨§¬ ⣨§,1963.{ 656 á.17. �¨â⥪¥à �. �., � âá® �¦. �. �ãàá ᮢ६¥®£® «¨§ . �®¬ 1.{ �.: �¨§¬ ⣨§, 1963.{ 342 á.
48 �. �. �ã«£ § àï, �. �. �ã«£ § àï
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1163 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-7507 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:10:39Z |
| publishDate | 1999 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гулгазарян, Г.Р. Гулгазарян, Л.Г. 2008-07-23T13:49:11Z 2008-07-23T13:49:11Z 1999 Колебания, локализованные у свободного края полубесконечной незамкнутой безмоментной цилиндрической оболочки / Г. Р. Гулгазарян, Л. Г. Гулгазарян // Акуст. вісн. — 1999. — Т. 2, N 4. — С. 42-48 — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1163 539.3:534.2 Изучены некоторые особенности волновых процессов в ограниченных тонких цилиндрических оболочках. Исследован вопрос о существовании особых форм колебаний с локализацией возмущений у свободного края полубесконечной незамкнутой цилиндрической оболочки с произвольной гладкой направляющей. Вдоль граничных образующих задавались условия шарнирного опирания. Исследование проведено для тонкой упругой изотропной оболочки, для которой жесткость на изгиб равна нулю (безмоментная оболочка). Изложен метод построения решения соответствующей граничной задачи. Конкретные вычисления выполнены для оболочек с направляющей в виде параболы. с различной величиной кривизны. Установлены границы изменения параметров оболочек, при которых существуют собственные колебания с локализацией движения у края в собственных формах и приведены значения соответствующих собственных частот. Вивчено деякі особливості хвильових процесів в обмежених тонких циліндричних оболонках. Досліджено питання про існування особливих форм коливань з локалізацією збурень біля вільного краю напівнескінченної незамкнутої циліндричної оболонки з довільною гладкою напрямницею. Вздовж граничних твірниць задавались умови шарнирного спирання. Дослідження проведено для тонкої пружної ізотропної оболонки, для якої жорсткість на згин дорівнює нулеві (безмоментна оболонка). Викладено метод побудови розв'язку відповідної граничної задачі. Конкретні обчислення виконані для оболонок з напрямницею в вигляді параболи з різною величиною кривини. Встановлено границі зміни параметрів оболонок, при яких існують власні коливання з локалізацією руху біля краю в власних формах та наведені значення відповідних власних частот. Some specific features of the wave process in bounded thin cylindrical shells are considered. The problem of existence of the peculiar forms of vibration with localization of disturbances near free edge of semi-infinite open cylindrical shell with arbitrary smooth directing curve is studied. Along the boundary rulings the simple support boundary conditions are specified. The investigation have been carried out for thin elastic shell when bending rigidity is vanishingly small (the moment free shell). The method of solution of the corresponding boundary problem is described. The calculations were carried out for shells with directing curve in form of a parabola with different values of curvature. The limits of the shell parameter changing are determined when the proper vibrations with localization of motion near edges in eigenforms exist. The corresponding eigenfrequency values are calculated. ru Інститут гідромеханіки НАН України Колебания, локализованные у свободного края полубесконечной незамкнутой безмоментной цилиндрической оболочки Vibration localized near the free end of semi-infinite open moment free cylindrical shell Article published earlier |
| spellingShingle | Колебания, локализованные у свободного края полубесконечной незамкнутой безмоментной цилиндрической оболочки Гулгазарян, Г.Р. Гулгазарян, Л.Г. |
| title | Колебания, локализованные у свободного края полубесконечной незамкнутой безмоментной цилиндрической оболочки |
| title_alt | Vibration localized near the free end of semi-infinite open moment free cylindrical shell |
| title_full | Колебания, локализованные у свободного края полубесконечной незамкнутой безмоментной цилиндрической оболочки |
| title_fullStr | Колебания, локализованные у свободного края полубесконечной незамкнутой безмоментной цилиндрической оболочки |
| title_full_unstemmed | Колебания, локализованные у свободного края полубесконечной незамкнутой безмоментной цилиндрической оболочки |
| title_short | Колебания, локализованные у свободного края полубесконечной незамкнутой безмоментной цилиндрической оболочки |
| title_sort | колебания, локализованные у свободного края полубесконечной незамкнутой безмоментной цилиндрической оболочки |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1163 |
| work_keys_str_mv | AT gulgazarângr kolebaniâlokalizovannyeusvobodnogokraâpolubeskonečnoinezamknutoibezmomentnoicilindričeskoioboločki AT gulgazarânlg kolebaniâlokalizovannyeusvobodnogokraâpolubeskonečnoinezamknutoibezmomentnoicilindričeskoioboločki AT gulgazarângr vibrationlocalizednearthefreeendofsemiinfiniteopenmomentfreecylindricalshell AT gulgazarânlg vibrationlocalizednearthefreeendofsemiinfiniteopenmomentfreecylindricalshell |