Компактные винтовые вихри

Компактные винтовые вихри

Приведены одномерные невязкие модели компактных винтовых течений. К ним относятся компактный компенсированный винтовой вихрь, компактный винтовой кольцевой вихрь и компактный винтовой вихрь с тремя областями постоянной завихренности. Второй и третий вихри также компенсированы: суммарная завихренност...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :Прикладна гідромеханіка
Дата:2011
Автор: Лукьянов, П.В.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут гідромеханіки НАН України 2011
Теми:
Науковi статтi
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116308
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Компактные винтовые вихри / П.В. Лукьянов // Прикладна гідромеханіка. — 2011. — Т. 13, № 3. — С. 61-68. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-116308
record_format dspace
spelling Лукьянов, П.В.
2017-04-24T12:51:15Z
2017-04-24T12:51:15Z
2011
Компактные винтовые вихри / П.В. Лукьянов // Прикладна гідромеханіка. — 2011. — Т. 13, № 3. — С. 61-68. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.
1561-9087
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116308
301.17.15.13; 532.5; 551.465; 629.76
Приведены одномерные невязкие модели компактных винтовых течений. К ним относятся компактный компенсированный винтовой вихрь, компактный винтовой кольцевой вихрь и компактный винтовой вихрь с тремя областями постоянной завихренности. Второй и третий вихри также компенсированы: суммарная завихренность в них равна нулю. На основе полученных ранее результатов, описывающих поля завихренности и азимутальной скорости, найдены аналитические выражения для продольной компоненты скорости и возмущений давления. Показано, что компактный винтовой вихрь является компактным аналогом q-вихря.
Наведені одновимірні нев'язкі моделі компактних гвинтових течій. До них відносяться компактний компенсований гвинтовий вихор, компактний гвинтовий кільцевий вихор та компактний гвинтовий вихор з трьома областями сталої завихреності. Другий та третій вихори є також компенсованими: сумарна завихреність у них дорівнює нулеві. На підставі отриманих раніше результатів, що описують поля завихреності та азимутальної швидкості, виводяться аналітичні вірази для продовжньої компоненти швидкості та збурень тиску. Показано, що компактний гвинтовий вихор є компактним аналогом q-вихра.
This paper presents one-dimensional inviscid models of compact spiral flows. They are compact compensated screw-like vortex, compact spiral vortex that has ring-like domain, and compact spiral vortex that has three constant vorticity domains. Second and third vortexes are also compensated: their overall vorticity is equal to zero. On the basis of obtained earlier relations that describe vorticity and azimuthal velocity fields, the analytical solutions for axial velocity and pressure disturbances fields have been derived. It has been shown that compact spiral vortex is the compact analog of q-vortex.
ru
Інститут гідромеханіки НАН України
Прикладна гідромеханіка
Науковi статтi
Компактные винтовые вихри
Компактні гвинтові вихори
Compact spiral vortexes
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Компактные винтовые вихри
spellingShingle Компактные винтовые вихри
Лукьянов, П.В.
Науковi статтi
title_short Компактные винтовые вихри
title_full Компактные винтовые вихри
title_fullStr Компактные винтовые вихри
title_full_unstemmed Компактные винтовые вихри
title_sort компактные винтовые вихри
author Лукьянов, П.В.
author_facet Лукьянов, П.В.
topic Науковi статтi
topic_facet Науковi статтi
publishDate 2011
language Russian
container_title Прикладна гідромеханіка
publisher Інститут гідромеханіки НАН України
format Article
title_alt Компактні гвинтові вихори
Compact spiral vortexes
description Приведены одномерные невязкие модели компактных винтовых течений. К ним относятся компактный компенсированный винтовой вихрь, компактный винтовой кольцевой вихрь и компактный винтовой вихрь с тремя областями постоянной завихренности. Второй и третий вихри также компенсированы: суммарная завихренность в них равна нулю. На основе полученных ранее результатов, описывающих поля завихренности и азимутальной скорости, найдены аналитические выражения для продольной компоненты скорости и возмущений давления. Показано, что компактный винтовой вихрь является компактным аналогом q-вихря. Наведені одновимірні нев'язкі моделі компактних гвинтових течій. До них відносяться компактний компенсований гвинтовий вихор, компактний гвинтовий кільцевий вихор та компактний гвинтовий вихор з трьома областями сталої завихреності. Другий та третій вихори є також компенсованими: сумарна завихреність у них дорівнює нулеві. На підставі отриманих раніше результатів, що описують поля завихреності та азимутальної швидкості, виводяться аналітичні вірази для продовжньої компоненти швидкості та збурень тиску. Показано, що компактний гвинтовий вихор є компактним аналогом q-вихра. This paper presents one-dimensional inviscid models of compact spiral flows. They are compact compensated screw-like vortex, compact spiral vortex that has ring-like domain, and compact spiral vortex that has three constant vorticity domains. Second and third vortexes are also compensated: their overall vorticity is equal to zero. On the basis of obtained earlier relations that describe vorticity and azimuthal velocity fields, the analytical solutions for axial velocity and pressure disturbances fields have been derived. It has been shown that compact spiral vortex is the compact analog of q-vortex.
issn 1561-9087
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116308
citation_txt Компактные винтовые вихри / П.В. Лукьянов // Прикладна гідромеханіка. — 2011. — Т. 13, № 3. — С. 61-68. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT lukʹânovpv kompaktnyevintovyevihri
AT lukʹânovpv kompaktnígvintovívihori
AT lukʹânovpv compactspiralvortexes
first_indexed 2025-11-25T01:18:22Z
last_indexed 2025-11-25T01:18:22Z
_version_ 1850500660546502656
fulltext ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 3. С. 61 – 68 УДК 301.17.15.13; 532.5; 551.465; 629.76 КОМПАКТНЫЕ ВИНТОВЫЕ ВИХРИ П. В. Л У К ЬЯ Н О В Институт гидромеханики НАН Украины, Киев Получено 16.09.2010 Приведены одномерные невязкие модели компактных винтовых течений. К ним относятся компактный компенсиро- ванный винтовой вихрь, компактный винтовой кольцевой вихрь и компактный винтовой вихрь с тремя областями постоянной завихренности. Второй и третий вихри также компенсированы: суммарная завихренность в них рав- на нулю. На основе полученных ранее результатов, описывающих поля завихренности и азимутальной скорости, найдены аналитические выражения для продольной компоненты скорости и возмущений давления. Показано, что компактный винтовой вихрь является компактным аналогом q-вихря. Наведенi одновимiрнi нев’язкi моделi компактних гвинтових течiй. До них вiдносяться компактний компенсований гвинтовий вихор, компактний гвинтовий кiльцевий вихор та компактний гвинтовий вихор з трьома областями сталої завихреностi. Другий та третiй вихори є також компенсованими: сумарна завихренiсть у них дорiвнює нулевi. На пiдставi отриманих ранiше результатiв, що описують поля завихреностi та азимутальної швидкостi, виводяться аналiтичнi вiрази для продовжньої компоненти швидкостi та збурень тиску. Показано, що компактний гвинтовий вихор є компактним аналогом q-вихра. This paper presents one-dimensional inviscid models of compact spiral flows. They are compact compensated screw-like vortex, compact spiral vortex that has ring-like domain, and compact spiral vortex that has three constant vorticity domains. Second and third vortexes are also compensated: thier overall vorticity is equal to zero. On the basis of obtained earlier relations that descibe vorticity and azimuthal velocity fields, the analitycal solutions for axial velocity and pressure disturbances fields have been derived. It has been shown that compact spiral vortex is the compact analog of q-vortex. Светлой памяти Вадима Федоровича Козлова посвящается ВВЕДЕНИЕ В природе винтовые течения встречаются до- вольно часто. Это, например, истечение струи из сосуда с покоющейся жидкостью; возникающее за изгибами русел и после поворотов в трубах цирку- ляционное течение в изначально равномерном по- токе [1]. Винтовые вихри, которым посвящена дан- ная работа, являются моделями, которые также используют для изучения срывающейся с крыла и сворачивающейся вихревой пелены [2]. Винто- вые течения считаются установившимися (стаци- онарными) движениями идеальной жидкости. До сих пор при изучении винтовых вихрей пользу- ются моделями, в которых поля, характеризую- щие течение, не компактны. А ведь ещё в се- редине 80-х годов прошлого столетия был полу- чен экспериментально [3] интерполяционный ана- лог компактного компенсированного вихря [4, 5]. В открытом океане реальные вихри также ком- пактны (и компенсированны) [6]. Поэтому, есть необходимость в развитии существующего уровня представлений в данной области. Настоящая статья состоит из четырех частей. В первой части рассматривается простейшая модель компактного компенсированного винтового вихря. На основе найденных ранее [4,5] полей азимуталь- ной скорости и завихренности, получены соответ- ствующие выражения для продольной составля- щей скорости и возмущений поля давления. Те же процедуры выполняются соответственно для коль- цевого (полого) винтового вихря (вторая часть) и для винтового вихря, состоящего из трех обла- стей постоянной завихренности (третья часть). В четвёртой части вкратце упоминается о Q-вихре и указывается на его компактный аналог, рассмо- тренный в первой части работы. 1. КОМПАКТНЫЙ КОМПЕНСИ- РОВАННЫЙ ВИНТОВОЙ ВИХРЬ Уравнения неоднородного вихревого потока в криволинейных ортогональных координатах име- ют следующий вид [1, 7]: 1 L2L3 ( ∂L3V3 ∂q2 − ∂L2V2 ∂q3 ) = λV1, (1) 1 L3L1 ( ∂L1V1 ∂q3 − ∂L3V3 ∂q1 ) = λV2, (2) 1 L1L2 ( ∂L2V2 ∂q1 − ∂L1V1 ∂q2 ) = λV3, (3) где (V1, V2, V3) – проекции вектора скорости в ор- тогональной системе координат; (L1, L2, L3) – ко- эффициенты Лямэ [8]. c© П. В. Лукьянов, 2011 61 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 3. С. 61 – 68 Поскольку для цилиндрической системы коор- динат (r, θ, z) L1 = 1, L2 = r, L3 = 1, то система уравнений (1)-(3) имеет конкретный вид: 1 r ( ∂Vz ∂θ − ∂rVθ ∂z ) = λVr , (4) ∂Vr ∂z − ∂Vz ∂r = λVθ, (5) 1 r ( ∂Vθ ∂r − ∂Vr ∂θ ) = λVz . (6) Предположим, что течение зависит лишь от одной координаты – радиальной, а λ 6= 0 в выше- приведенных уравнениях [1]. Тогда последняя система уравнений упростится до вида − ∂Vz ∂r = λVθ, (7) 1 r ∂Vθ ∂r = λVz . (8) Исключая λ из системы уравнений (7), (8), по- лучаем: −Vz ∂Vz ∂r = Vθ r ∂ (rVθ) ∂r . (9) Последнее уравнение удобно переписать в виде: − ∂V 2 z 2∂r = Vθωz, (10) где ωz = 1 r ∂ (rVθ) ∂r . В монографии [1], со ссылкой на [7], в качестве окружной скорости выбирается распределение в ядре вихря Рэнкина: Vθ = αr. (11) Подстановка последнего выражения в (10) и ин- тегрирование даёт: Vθ = √ V 2 0 − 2αr2, (12) где V0 – значение продольной скорости на оси. Поскольку реальные вихри имеют ядра коне- чных размеров, то в качестве примеров в [1] можно найти три различных модели одномерных (коло- нообразных) винтовых вихря. Вертикальная ком- понета завихренности у них задается константой, дробно-степенной функцией и гауссовским распре- делением. Указанные модели не описывают ком- пактные течения: поле окружной скорости в них имеет одну и ту же асимптоту – потенциальное вращение по закону 1/r, которое не является ком- пактным. Кроме того, что реальные вихри имеют поля ненулевой завихренности конечных размеров, они также имеют поле течения конечных размеров: независимо от того, конечная или бесконечная область их существования. Поэтому имеет смысл устранить указанный недостаток и рассмотреть компактный винтовой вихрь. Поле окружной ско- рости в таком вихре представляется компактным компенсированным вихрем [4, 5]: Vθ =            V0r a , 0 ≤ r ≤ a, V0a r ( R2 − r2 R2 − a2 ) , a ≤ r ≤ R, 0, r > R. (13) ωz =            2V0 a , 0 ≤ r ≤ a, − 2V0a R2 − a2 , a ≤ r ≤ R, 0, r > R. (14) Поэтому правая часть уравнения (10) представ- ляется в виде: Vθωz =                2 ( V0r a )2 r, 0 ≤ r ≤ a, − 2V 2 0 a2 r R2 − r2 (R2 − a2) 2 , a ≤ r ≤ R 0, r > R (15) Из уравнения (10) находим продольную компо- ненту скорости по формуле V 2 z 2 = V 2 0 2 − r ∫ 0 Vθωzdr. (16) В последнем выражении сразу учтено значение скорости на оси выбором соответсвующей констан- ты. Подставляя уравнение (15) в (16), получаем: 1) для области 0 ≤ r ≤ a : V 2 z 2 = V 2 0 2 − r ∫ 0 2 ( V a ) rdr = V 2 0 2 − V 2 ( r a )2 ; 62 П. В. Лукьянов ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 3. С. 61 – 68 2) для области a ≤ r ≤ R : V 2 z 2 = V 2 0 2 − V 2 + r ∫ a 2 V 2a2 (R2 − a2) 2 ( R2 r − r ) dr = = V 2 0 2 − V 2 + 2 V 2a2 (R2 − a2) 2 ( R2 ln r a − 1 2 ( r2 − a2 ) ) . Условие непрерывности поля скорости Vz при r = a удовлетворяется лишь при равенстве нулю константы интегрирования в последнем выраже- нии. При r ≥ R: V 2 zR 2 = V 2 0 2 − V 2 + +2 V 2a2 (R2 − a2)2 ( R2 ln R a − 1 2 ( R2 − a2 ) ) . Последнее выражение означает, в общем случае, равенство константе продольной скорости вне гра- ницы вихря. Важной характеристикой винтовых течений с внутренней границей, особенно в технических при- ложениях, является поле возмущения давления, генерируемое вихрем. Оно определяется из соот- ношения [1]: V 2 θ r = 1 ρ ∂p ∂r , (17) откуда давление как функция радиальной коорди- наты выражется следующим образом: p = p∞ + ρ r ∫ ∞ V 2 θ r dr. (18) Подставляя явное выражение для окружной скорости в последнее соотношение, получаем за- висимость для возмущения поля давления ∆p = (p − p∞)/p∞: ∆p =                          D [ R4 ( 1 R − 1 a ) − 2R2(a − R) + (a3 − R3) 3 ] + + 1 3 ( V0 a )2 ( r3 − a3 ) , 0 ≤ r ≤ +a, D [ R4 ( 1 R − 1 r ) − 2R2(r − R) + (r3 − R3) 3 ] , a ≤ r ≤ +R, 0, r > R, Рис. 1. Продольная компонента вскорости (a) и возмущение давления (b) где D = V 2 0 a2/ ( R2 − a2 )2 . Следует отметить, что профили продольной скорости и возмущений давления схожи со свои- ми аналогами, полученными на основе модели ви- хря Рэнкина [1]. Ненулевое значение продольной компоненты скорости соответствует таким зада- чам, как вихрь в потоке и подобным. Отличие лишь в том, что на границе вихря r = R поле во- змущений давления строго равно нулю, что соот- ветствует компактности поля азимутальной ско- рости. Кроме того, поле продольной компоненты скорости Vz также может быть компактным. Это относится к тем задачам (течение в замкнутых по- верхностях, компактные геофизические вихревые течения), где задано вращение и продольная ско- рость определяется после удовлетворения условия компактности: Vz|r=R = 0 . П. В. Лукьянов 63 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 3. С. 61 – 68 Очевидно, что для этого нужно в выражении для продольной скорости вычесть значение на гра- нице вихря VzR. Следовательно, компактный ком- пенсированный вихрь имеет ненулевые распреде- ления всех величин (продольной и азимутальной скоростей, вертикальной компоненты завихренно- сти, возмущения давления) в строго ограниченной области: 0 ≤ r ≤ R. 2. КОМПАКТНЫЙ ВИНТОВОЙ КОЛЬЦЕВОЙ ВИХРЬ В монографии [1] приведено обобщение винтово- го вихря на случай, когда внутри кольцевой обла- сти b1 ≤ r ≤ b2 задано постоянное значение зави- хренности: ωz = { 0, r ≤ b1, r > b2, 1, b1 ≤ r ≤ b2. (19) Поле окружной скорости в таком вихре не яв- ляется компактным, и вне кольцевой области име- ет потенциальное распределение как в точеченом вихре или вихре Рэнкина. Предпочтение имеет мо- дель, основанная на кольцевом компактном вихре, в которой поля скорости и завихренности пред- ставляются в виде [5]: Vθ =                    Ω0 ( r2 − r2 0 ) 2r , r0 ≤ r ≤ r0 + a, Ω0 ( (r0 + a) 2 − r2 0 ) (r0 + R) 2 − (r0 + a) 2 (r0 + R) 2 − r2 2r , r0 + a ≤ r ≤ r0 + R, 0, r > r0 + R; (20) ωz =                Ω0, r0 ≤ r ≤ r0 + a, − Ω0 ( (r0 + a) 2 − r2 0 ) (r0 + R)2 − (r0 + a)2 , r0 + a ≤ r ≤ r0 + R, 0, r > r0 + R. (21) Для нахождения продольной компоненты ско- рости Vz вновь воспользуемся соотношением (10) и найдем произведение: −Vϑω2 z =                        − Ω2 0 ( r2 − r2 0 ) 2r , r0 ≤ r ≤ r0 + a, Ω2 0 ( (r0 + a)2 − r2 0 )2 [ (r0 + R) 2 − (r0 + a) 2 ]2 ( (r0 + R) 2 − r2 2r ) , r0 + a ≤ r ≤ r0 + R, 0, r > r0 + R. Используя соотношение (16), получаем: 1 2 V 2 z =                                                      1 2 V 2 z0 − Ω2 0 ( − r2 0 2 ln ( r r0 ) + 1 4 ( r2 − r2 0 ) ) , r0 ≤ r ≤ r0 + a, 1 2 V 2 z0 − Ω2 0 ( − r2 0 2 ln ( r0 + a r0 ) + + 1 4 ( (r0 + a)2 − r2 0 ) ) + +B [ (r0 + R)2 2 ln ( r r0 + a ) + (r0 + a) 2 − r2 ] , r0 + a ≤ r ≤ r0 + R, 0, r > r0 + R, где B – константа, B = Ω2 0 ( (r0 + a)2 − r2 0 )2 ( (r0 + R) 2 − (r0 + a) 2 )2 . Согласно полученным результатам, поле скоро- сти Vz также сначала убывает, а потом возрастает, выходя на границе вихря на постоянное значение 1 2 V 2 zR = 1 2 V 2 z0 − Ω2 0 a(3r0 + a) + +B [ (r0 + R) 2 2 ln ( R r0 + a ) + (r0 + a) 2 − R2 ] . (22) Поле возмущения давления находится как и прежде. Имеем: 64 П. В. Лукьянов ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 3. С. 61 – 68 ∆p =                                              p2 = p1(r = r0 + a) + B 2 ( r4 0 (r0 + a)2 − r4 0 r2 ) + +B ( 1 2 ( r2 − (r0 + a) 2 ) − 2r2 0 ln ( r r0 + a )) + +0.5Br4 0 ( 1 (r0 + a)2 − 1 r2 ) , r0 ≤ r ≤ r0 + a, p1 = −0.5B (r0 + R)4 ( 1 r2 − 1 (r0 + R)2 ) − −2B(r0 + R)2(ln ( r r0 + R ) + 0.5B(r2 − (r0 + R)2), r0 + a ≤ r ≤ r0 + R, 0, r > r0 + R. Важно отметить, что давление на внутренней границе вихря всегда меньше давления на бесконе- чности, а поле продольной скорости также может быть компактным, если от Vz вычесть VzR. Рис. 2. Продольная компонента вскорости (a) и возмущение давления (b) 3. КОМПАКТНЫЙ ВИНТОВОЙ ВИХРЬ С ТРЕМЯ ОБЛАСТЯМИ ЗАВИХРЕННОСТИ В природе существуют и более сложные вихре- вые течения, в частности состоящие из трех обла- стей завихренностей с разными значениями [6, 9]. В работе [5] получено решение, описывающее со- ответствующий компактный вихрь. Принципиаль- ным для этого течения является то, что, в отличие от вихря с двумя областями завихренности, у дан- ного вихря продольная скорость сначала убывает, потом возрастает, а затем снова убывает на всем протяжении вплоть до границы вихря. Распределение вертикальной компоненты зави- хренности и окружной компоненты скорости в данном случае имеют следующий вид [5]: ωz =              Ω0, 0 ≤ r ≤ +a, Ω1, a ≤ r ≤ R1, − Ω0a 2 + Ω1 ( R2 1 − a2 ) (R2 2 − R2 1 ) , R1 ≤ r ≤ R2, 0, r > R2. (23) Vθ =                                        Ω0r 2 , 0 ≤ r ≤ a, Ω0a 2 2r + Ω1 ( r2 − a2 ) 2r , a ≤ r ≤ R1, Ω0a 2 2r + Ω1 ( R2 1 − a2 ) 2r − − [ Ω0a 2 + Ω1 ( R2 1 − a2 )] ( r2 − R2 1 ) (R2 2 − R2 1 ) 2r , R1 ≤ r ≤ R2, 0, r > R2. (24) Поэтому −Vθωz =                                          Ω2 0r 2 , 0 ≤ r ≤ a, − (Ω0 − Ω1)Ω1a 2 2r + Ω2 1r 2 , a ≤ r ≤ R1, −B (Ω0 − Ω1) a2 2r + Ω2 1 R2 1 2r + +B [ Ω0a 2 + Ω1 ( R2 1 − a2 )] ( r2 − R2 1 ) (R2 2 − R2 1 ) 2r , 0, r > R. П. В. Лукьянов 65 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 3. С. 61 – 68 Используем соотношение (16), с учётом гранич- ного условия на оси для Vz , и непрерывность поля скорости. 1) 0 ≤ r ≤ a: V 2 z 2 = V 2 z0 2 − Ω2 0r 2 4 . 2) a ≤ r ≤ R1: V 2 z 2 = V 2 z0 2 + Ω2 1 − Ω2 0 4 a2 − − [ (Ω0 − Ω1)ω1a 2 2 ln ( r a ) + Ω2 1 r2 4 ] . 3) R1 ≤ r ≤ R2: V 2 z 2 = V 2 z0 2 + Ω2 1 − Ω2 0 4 a2 − − [ (Ω0 − Ω1)ω1a 2 2 ln ( R1 a ) + Ω2 1R 2 1 4 ] − −B   (Ω0 − Ω1) a2 2 ln ( r R ) + Ω1R 2 1 ln ( r R ) 2  + B × × [ Ω0a 2 + Ω1 ( R2 1 − a2 ) R2 2 − R2 1 ( r2 − R2 1 4 − R2 1 2 ln ( r R ) ) ] . На границе вихря при r = R2: V 2 zR2 2 = V 2 z0 2 + Ω2 1 − Ω2 0 4 a2 − − [ (Ω0 − Ω1)ω1a 2 2 ln ( R1 a ) + Ω2 1R 2 1 4 ] − −B     (Ω0 − Ω1) a2 2 ln ( R2 R1 ) + Ω1R 2 1 ln ( R2 R1 ) 2     + B × × ( Ω0a 2 + Ω1 ( R2 1 − a2 )) [ 1 4 − 0.5R2 1 R2 2 − R2 1 ln ( R2 R1 )] . Проведем предварительный качественный ана- лиз поля продольной компоненты скорости. Как следует из выражений (23)–(24), продольная ско- рость сначала убывает, затем возрастает и, нако- нец, снова убывает вплоть до внешней границы ви- хря r = R2. Если вновь вычесть от всего выра- жения для продольной скорости еe значение на границе r = R2, то такое поле будет уже компа- ктным. И это желаемый результат, поскольку все, без исключения, естественные вихревые течения компактны. Рис. 3. Продольная компонента вскорости (a) и возмущение давления (b) Наконец, приведем решение, описывающее по- ле возмущения давления. Как и выше, используем уравнение циклострофического баланса (17). Квадрат азимутальной скорости удобно пред- ставить в следующем компактном виде: V 2 θ =                              ( Ω0r 2 ) , 0 ≤ r ≤ a ( a2 (Ω0 − Ω1) 2 )2 1 r2 + a2 (Ω0 − Ω1)Ω1 2 + + Ω2 1 4 r2, a ≤ r ≤ R1, C2 r2 + 2CD + D2r2, R1 ≤ r ≤ R2, 0, r > R2. Константы C и D в последних соотношениях бу- дут: 66 П. В. Лукьянов ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 3. С. 61 – 68 C = [ a2(Ω0 − Ω1) 2 + R2 1 ( Ω0a 2 + Ω1 ( R2 1 − a2 )) 2 (R2 2 − R2 1 ) ] , D = −0.5 Ω0a 2 + Ω1 ( R2 1 − a2 ) R2 2 − R2 1 . Поэтому поле возмущений давления находится в следующем виде: 1) R1 ≤ r ≤ R2 p1 = r ∫ R2 [ C2 r3 + 2CD r + D2r ] dr = C2 2 [ 1 R2 2 − 1 r2 ] + +2CD (ln r − lnR1) + D2 2 ( r2 − R2 2 ) ; 2) a ≤ r ≤ R1 p2 = r ∫ R1 [ (Ω0 − Ω1) 2 4r3 + Ω1(Ω0 − Ω1) 2r + Ω2 1 r 4a2 ] dr × ×a2 + p∗1 = p∗1 − 1 8 5a4(Ω0 − Ω1) 2 [ 1 r2 − 1 R2 1 ] + +0.5a2Ω1(Ω0 − Ω1)(ln r − lnR1) + 1 8 Ω2 1 ( r2 − R2 1 ) , где p∗1 = p1(r = R1); 3) 0 ≤ r ≤ a p3 = p∗2 + r ∫ a ( Ω0 2 )2 rdr = p∗2 + 1 8 Ω2 0(r 2 − a2), где p∗2 = p2(r = a). 4. КОМПАКТНЫЙ АНАЛОГ Q-ВИХРЯ Среди простейших одномерных моделей винто- вых течений выделяют еще так называемый Q- вихрь [10], поля скорости в котором представля- ются в виде Vθ = q r ( 1 − exp(−r2) ) , Vz = exp ( −r2 ) . (25) Представления (25) являются упрощeнным ана- логом более общей модели, когда Vz = W1 + W2 exp ( −r2 ) . (26) Именно в таком виде профили скорости с высо- кой точностью описывают экперимент [1]. Не- достатком обоих моделей является их некомпа- ктность. Поле азимутальной скорости асимптоти- чески стремится к потенциальному течению, как в вихре Рэнкина или точечном вихре. В случае наличия границ области (стенок) такое распре- делеие окружной скорости не подходит. Да и в случае бесконечной области некомпактность ви- хря вряд ли приемлима. Поэтому предпочтитель- нее рассматривать компактный аналог Q-вихря, который описывается моделью компактного ком- пенсированного винтового вихря, см. первый ра- здел статьи. ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ВЫВОДЫ В данной работе представлены три модели, опи- сывающие простейшие одномерные (колонообра- зные) невязкие винтовые вихри. Все они основаны на фундаментальном положении о том, что для та- кого класса течений компенсированность поля за- вихренности влечет за собой компактность полей азимутальной скорости, возмущений давления и продольной компоненты скорости (в тех задачах, где это необходимо). В простейшей модели поле завихренности состоит из двух областей. В более сложной, – полый вихрь, – движение сосредото- чено в кольцевой области. И наконец, самой сло- жной является модель вихря, состоящая из трeх областей постоянной завихренности. Если в пер- вом случае все достаточно просто, то для второй и третьей модели появляется определeнный прои- звол в выборе параметров. Особо это заметно в случае вихря, состоящего из трeх областей. Одна- ко в рамках данной работы не планировалось все- стороннего анализа безразмерных соотношений и т. п. Это может стать предметом последующих ис- следований. Важно отметить, что хотя распреде- ления кинематических характеристик в реальных вихревых течениях учитывают вязкость, получен- ные решения можно всегда использовать в каче- стве начального невязкого приближения. Уравне- ния и граничные условия, то есть численная схема, скорректируют его, но главное, – компактность те- чения, – при этом останется. 1. Алексеенко С.В., Куйбин П.А., Окулов В.Л. Введе- ние в теорию концентрированных вихрей.– Ново- сибирск: Институт теплофизики СО РАН, 2003.– 504 с. П. В. Лукьянов 67 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 3. С. 61 – 68 2. Лейбович С. Устойчивость и разрушение вихрей: современное состояние и перспективы // Аэро- косм. текника.– 1985.– Т. 3, № 4.– С. 162-181. 3. Escudier M.P., Borstein J., and Maxworthy T. The Dynamics of Confined Vortices // Proceeding of the Royal Society of London.– 1982.– V. A382.– P. 335- 360. 4. Лук’янов П.В. Одновимiрнi моделi компактних ви- хорiв // Науковi вiстi НТУУ КПI.– 2010.– т. 8 (80), N4.– С. 145–150. 5. Лукьянов П.В. Модели компактных компенсиро- ванных вихрей и их применение в задачах меха- ники жидкости и газа // Прикл.гiдром.– 2011.– т. 13 (85), №2.– С. 37–43. 6. Козлов В.Ф. Стационарные модели бароклинных компенсированных вихрей. // Известия АН ФАО.– 1992.– т.28, № 6.– С. 615-624. 7. Васильев О.Ф. Основы механики винтовых и циркуляционных потоков.– М.Л.:: Госэнергоиздат, 1958.– 144 с. 8. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров.– М.: Наука, 1984.– 832 с. 9. Арсеньев С.А., Губарь А.Ю., Николаевский В.Н. Самоорганизация торнадо и ураганов в атмосфер- ных течениях с мезомасштабными вихрями // ДАН.– 2004.– №4.– С. 541-546. 10. Lessen M.,Singh P.J., Paillet F. The stability of trai- ling line vortex. Part I. Inviscid theory // J. Fluid Mech.– 1974.– V. 65.– P. 753-763. 68 П. В. Лукьянов

Схожі ресурси