Застосування методу граничних елементів для розрахунку корабельних хвиль
Побудовано чисельний алгоритм для визначення хвильового опору судна. Він ґрунтується на застосуванні методу граничних інтегральних елементів. Використовується система елементів, розподілених на поверхні судна та на вільній поверхні. Одержані результати порівнюються з експериментальними даними та з р...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Прикладна гідромеханіка |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2011
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116326 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Застосування методу граничних елементів для розрахунку корабельних хвиль / В.О. Горбань, І.М. Горбань, С.В. Масюк, В.І. Нікішов // Прикладна гідромеханіка. — 2011. — Т. 13, № 4. — С. 22-29. — Бібліогр.: 25 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-116326 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Горбань, В.О. Горбань, І.М. Масюк, С.В. Нікішов, В.І. 2017-04-24T17:00:05Z 2017-04-24T17:00:05Z 2011 Застосування методу граничних елементів для розрахунку корабельних хвиль / В.О. Горбань, І.М. Горбань, С.В. Масюк, В.І. Нікішов // Прикладна гідромеханіка. — 2011. — Т. 13, № 4. — С. 22-29. — Бібліогр.: 25 назв. — укр. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116326 532 Побудовано чисельний алгоритм для визначення хвильового опору судна. Він ґрунтується на застосуванні методу граничних інтегральних елементів. Використовується система елементів, розподілених на поверхні судна та на вільній поверхні. Одержані результати порівнюються з експериментальними даними та з результатами інших авторів. Построен численный алгоритм для определения волнового сопротивления судна. Он основан на применении метода граничных интегральных элементов. Используется система элементов, распределенных на поверхности судна и на свободной поверхности. Полученные результаты сравниваются с экспериментальными данными и результатами других авторов. This paper presents a potential based boundary element method for solving a free surface flow problem for a ship moving with a uniform speed in infinite depth of water. A computational algorithm for determination of wave-making resistance of a ship is developed. The surfaces are discretized into flat quadrilateral or triangular elements. Dawson's upstream finite difference operator is used in order to satisfy the radiation condition. Results are compared with experimental data and with results of other authors. uk Інститут гідромеханіки НАН України Прикладна гідромеханіка Науковi статтi Застосування методу граничних елементів для розрахунку корабельних хвиль Применение метода граничных элементов для расчета корабельных волн Adaptation of the boundary element method for ship wave calculations Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Застосування методу граничних елементів для розрахунку корабельних хвиль |
| spellingShingle |
Застосування методу граничних елементів для розрахунку корабельних хвиль Горбань, В.О. Горбань, І.М. Масюк, С.В. Нікішов, В.І. Науковi статтi |
| title_short |
Застосування методу граничних елементів для розрахунку корабельних хвиль |
| title_full |
Застосування методу граничних елементів для розрахунку корабельних хвиль |
| title_fullStr |
Застосування методу граничних елементів для розрахунку корабельних хвиль |
| title_full_unstemmed |
Застосування методу граничних елементів для розрахунку корабельних хвиль |
| title_sort |
застосування методу граничних елементів для розрахунку корабельних хвиль |
| author |
Горбань, В.О. Горбань, І.М. Масюк, С.В. Нікішов, В.І. |
| author_facet |
Горбань, В.О. Горбань, І.М. Масюк, С.В. Нікішов, В.І. |
| topic |
Науковi статтi |
| topic_facet |
Науковi статтi |
| publishDate |
2011 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Прикладна гідромеханіка |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Применение метода граничных элементов для расчета корабельных волн Adaptation of the boundary element method for ship wave calculations |
| description |
Побудовано чисельний алгоритм для визначення хвильового опору судна. Він ґрунтується на застосуванні методу граничних інтегральних елементів. Використовується система елементів, розподілених на поверхні судна та на вільній поверхні. Одержані результати порівнюються з експериментальними даними та з результатами інших авторів.
Построен численный алгоритм для определения волнового сопротивления судна. Он основан на применении метода граничных интегральных элементов. Используется система элементов, распределенных на поверхности судна и на свободной поверхности. Полученные результаты сравниваются с экспериментальными данными и результатами других авторов.
This paper presents a potential based boundary element method for solving a free surface flow problem for a ship moving with a uniform speed in infinite depth of water. A computational algorithm for determination of wave-making resistance of a ship is developed. The surfaces are discretized into flat quadrilateral or triangular elements. Dawson's upstream finite difference operator is used in order to satisfy the radiation condition. Results are compared with experimental data and with results of other authors.
|
| issn |
1561-9087 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116326 |
| citation_txt |
Застосування методу граничних елементів для розрахунку корабельних хвиль / В.О. Горбань, І.М. Горбань, С.В. Масюк, В.І. Нікішов // Прикладна гідромеханіка. — 2011. — Т. 13, № 4. — С. 22-29. — Бібліогр.: 25 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT gorbanʹvo zastosuvannâmetodugraničnihelementívdlârozrahunkukorabelʹnihhvilʹ AT gorbanʹím zastosuvannâmetodugraničnihelementívdlârozrahunkukorabelʹnihhvilʹ AT masûksv zastosuvannâmetodugraničnihelementívdlârozrahunkukorabelʹnihhvilʹ AT níkíšovví zastosuvannâmetodugraničnihelementívdlârozrahunkukorabelʹnihhvilʹ AT gorbanʹvo primeneniemetodagraničnyhélementovdlârasčetakorabelʹnyhvoln AT gorbanʹím primeneniemetodagraničnyhélementovdlârasčetakorabelʹnyhvoln AT masûksv primeneniemetodagraničnyhélementovdlârasčetakorabelʹnyhvoln AT níkíšovví primeneniemetodagraničnyhélementovdlârasčetakorabelʹnyhvoln AT gorbanʹvo adaptationoftheboundaryelementmethodforshipwavecalculations AT gorbanʹím adaptationoftheboundaryelementmethodforshipwavecalculations AT masûksv adaptationoftheboundaryelementmethodforshipwavecalculations AT níkíšovví adaptationoftheboundaryelementmethodforshipwavecalculations |
| first_indexed |
2025-11-27T04:17:49Z |
| last_indexed |
2025-11-27T04:17:49Z |
| _version_ |
1850796061171384320 |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 4. С. 22 – 29
УДК 532
ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ ГРАНИЧНИХ ЕЛЕМЕНТIВ
ДЛЯ РОЗРАХУНКУ КОРАБЕЛЬНИХ ХВИЛЬ
В. О. ГО Р БА Н Ь, I. М. Г О РБ А Н Ь, С. В. М АС ЮК, В. I. Н IК IШ ОВ
Iнститут гiдромеханiки НАН України, Київ
Одержано 14.04.2011
Побудовано чисельний алгоритм для визначення хвильового опору судна. Вiн грунтується на застосуваннi методу
граничних iнтегральних елементiв. Використовується система елементiв, розподiлених на поверхнi судна та на вiль-
нiй поверхнi. Одержанi результати порiвнюються з експериментальними даними та з результатами iнших авторiв.
Построен численный алгоритм для определения волнового сопротивления судна. Он основан на применении метода
граничных интегральных элементов. Используется система элементов, распределенных на поверхности судна и
на свободной поверхности. Полученные результаты сравниваются с экспериментальными данными и результатами
других авторов.
This paper presents a potential based boundary element method for solving a free surface flow problem for a ship moving
with a uniform speed in infinite depth of water. A computational algorithm for determination of wave-making resistance
of a ship is developed. The surfaces are discretized into flat quadrilateral or triangular elements. Dawson’s upstream finite
difference operator is used in order to satisfy the radiation condition. Results are compared with experimental data and
with results of other authors.
ВСТУП
При проектуваннi корпусу судна необхiдно вирi-
шити ряд питань. Одне з них пов’язане з оцiнкою
повного опору судна iз заданою формою корпуса.
Для цього використовуються розрахунковi мето-
ди i модельнi випробування в дослiдному басейнi.
Iнше питання – пошук форми обводiв судна з най-
меншим хвильовим опором, пов’язаним з генера-
цiєю хвиль при руховi судна. Для вирiшення цьо-
го завдання проводиться ряд випробувань моделей
суден з рiзними обводами корпусу. Розрахунковi
методи в цьому випадку, як правило, тiльки зада-
ють напрямок, вiдповiдно до якого потрiбно змi-
нювати форму корпусу, щоб отримати найменший
опiр.
Складнiсть задачi визначення хвильового опору
судна пов’язана з iнтерференцiєю хвиль, генеро-
ваних рiзними частинами поверхнi. Головнi з них
утворюються носовою та кормовою частинами су-
дна. При руховi судна у спокiйнiй водi з постiйною
швидкiстю обидвi хвильовi системи рухаються ра-
зом з судном.
Визначенням хвильового опору судна займало-
ся багато дослiдникiв у рiзних країнах. Д. Г. Мi-
челл вперше розробив лiнiйну теорiю хвильового
опору судна i отримав формулу для хвильового
опору тонкого судна при його руховi на поверх-
нi iдеальної рiдини нескiнченної глибини [14]. Ним
була отримана наближена залежнiсть хвильового
опору судна вiд форми поверхнi корпусу (iнтеграл
Мiчелла). В. Вiглей [25] розвинув дослiдження Мi-
челла. Вiн розробив серiю моделей з аналiтично
заданими обводами, що дозволило достатньо точ-
но обчислити iнтеграл Мiчелла i порiвняти резуль-
тати розрахункiв з даними експериментiв. Серiйнi
експериментальнi випробування Вiглея дозволили
проаналiзувати iнтеграл Мiчелла i визначити мо-
жливостi його використання для оцiнок хвильово-
го опору суден рiзної форми. З’ясувалося, що iнте-
грал Мiчелла дає прийнятнi результати для моде-
лей з малим вiдношенням ширини корпусу до його
довжини при великiй посадцi судна. Однак розра-
хунковi кривi хвильового опору характеризуються
наявнiстю iстотних локальних максимумiв та мiнi-
мумiв, якi рiдко зустрiчаються в експерименталь-
них даних.
М. Є. Кочин та Л. М. Сретенський [4, 6] також
iнтенсивно вивчали розв’язки Мiчелла. М. Є. Ко-
чин отримав розв’язок, подiбний до iнтеграла Мi-
тчелла. Побудована ним функцiя Кочина i до-
сi широко використовується для визначення хви-
льового опору. Лiнiйнiй теорiї хвильового опо-
ру присвяченi роботи Дж. Лунде (Норвегiя) [12],
Дж. Ньюмана (США) [15, 16], М. Бесшо (Японiя)
[7], Е. Така (Австралiя) [17] та iн.
Увага дослiдникiв до лiнiйних теорiй є цiлком
зрозумiлою. Зазвичай в iнженерних розрахунках
обмежуються розв’язками першого порядку, якi
дають змогу одержати головну частину шуканої
величини. Лiнiйна теорiя Мiчелла пiдтверджує це
22 c© В.О. Горбань, I.М. Горбань, С.В. Масюк, В.I. Нiкiшов, 2011
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 4. С. 22 – 29
положення. Однак для багатьох типiв суден з ре-
альними обводами iнтеграл Мiчелла дає резуль-
тати, що iстотно вiдрiзняються вiд експеримен-
тальних. Зокрема, його не можна використовува-
ти для обчислення хвилевого опору суден типу
рiчка–море, суден прибережного плавання, рибо-
ловецьких суден та їм подiбних. Значнi похибки те-
орiї Мiчелла пов’язанi також iз наявнiстю локаль-
них екстремумiв на кривiй залежностi хвильового
опору вiд числа Фруда, якi вiдображають взаємо-
дiю кормової та носової хвильових систем.
Вдосконалення обчислювальної технiки стиму-
лювало розробку чисельних методiв для визначе-
ння хвильового опору. З появою потужних ком-
п’ютерiв чисельнi методи стали головним iнстру-
ментом для розв’язку таких задач. Спочатку
Дж. Хесс i А. Смiт розробили чисельний метод ви-
значення поля швидкостей i тиску навколо зануре-
ного тiла довiльної форми [10]. Потiм Г. Е. Гедд [8]
запропонував використовувати граничнi елементи
(панелi) для задоволення граничних умов як на
корпусi судна, так i на вiльнiй поверхнi рiдини.
Для прикладу вiн розрахував хвилi i хвильовий
опiр для судна з тупим носом i бульбом в носовiй
частинi. С. Даусон розробив алгоритм для розра-
хунку хвиль i хвильового опору [9], що дає можли-
вiсть врахувати умови розсiяння хвиль попереду
судна i за судном. Робота Даусона стала базовою
майже для всiх сучасних дослiджень хвильового
опору [18–23].
На даний час у бiльшостi дослiдних басейнiв
розробленi комплекси комп’ютерних програм для
визначення гiдродинамiчних характеристик суден,
зокрема, для виконання розрахункiв хвильового
опору. Суднобудiвельними кампанiями широко ви-
користовуються обчислювальнi пакети MICHLET,
FLOTSM, KELVIN, RANS, CHAPMAN та iн.
Труднощi, що залишаються на даний час при
визначеннi хвильового опору, пов’язанi, зокрема,
з: великим часом, необхiдним для розрахункiв;
врахуванням нелiнiйних (нелiнеаризованих) гра-
ничних умов на вiльнiй поверхнi; гiдродинамiчною
взаємодiєю декiлькох суден, що рухаються з рiзни-
ми швидкостями (нестацiонарна задача); взаємодi-
єю суден з особливостями берегової лiнiї (гiдроте-
хнiчними спорудами, хвилерiзами, причалами i т.
п.); в’язкими ефектами, вiдривом потоку та вихро-
утворенням.
У роботi розвинута математична модель, яка
описує стацiонарний рух судна довiльної форми
на вiльнiй поверхнi рiдини. На основi методу гра-
ничних елементiв (МГЕ) побудований чисельний
алгоритм, що враховує лiнiйнi граничнi умови на
вiльнiй поверхнi. Проведенi розрахунки хвиль, ге-
нерованих при руховi судна з постiйною швидкi-
стю та розраховано хвильовий опiр для судна типу
“Wigley hull”. Виконано аналiз одержаних резуль-
татiв розрахункiв та порiвняння з експерименталь-
ними даними.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧI
Розглянемо обтiкання (або рух) тiла в iдеальнiй
нестисливiй рiдинi з вiльною поверхнею. Позначи-
мо область, у якiй рухається тiло, через Ω, а її
граничну поверхню – через S. В даному випадку
S складається з поверхнi тiла SВ та вiльної поверх-
нi рiдини SF : S = SВ∪SF . У випадку стацiонарної
безвихрової течiї або руху тiла з постiйною швид-
кiстю задачу можна описати за допомогою потен-
цiалу ϕ (~x), де ~x = (x, y, z) ∈ Ω, який задовольняє
рiвнянню Лапласа:
∆ϕ (~x) = 0. (1)
Граничнi умови на поверхнi судна мають ви-
гляд:
∂ϕ(~x)
∂n
∣
∣
∣
∣
SВ
= ~V (~x0) · ~n (~x0) , ~x0 ∈ S, (2)
~n (~x0) = [nx, ny, nz] – одинична зовнiшня нормаль
до поверхнi судна SВ, ~x0 = (x0, y0, z0) ∈ SВ.
Нехай тiло рухається з постiйною швидкiстю V0
в напрямку вiсi x. Введемо ортогональну декар-
тову систему координат 0xyz, зв’язану з рухомим
судном так, щоб горизонтальна площина 0xy збi-
галася з поверхнею ватерлiнiї судна, тобто з не-
збуреною поверхнею води. В такiй рухомiй систе-
мi координат потенцiал швидкостi ϕ є функцiєю
лише координат x, y, z i не залежить вiд часу.
Якщо розглядати обтiкання тiла потоком зi
швидкiстю −V0, потенцiал швидкостi ϕ̃ такої те-
чiї можна записати у виглядi
ϕ̃ (x, y, z) = −V0x + ϕ (x, y, z) , (3)
де ϕ – потенцiал швидкостей, викликаний наявнi-
стю тiла в стацiонарному потоцi.
Нехай ζ = f (x, y) – рiвняння вiльної поверхнi.
Тодi кiнематична гранична умова на вiльнiй по-
верхнi рiдини для потенцiалу швидкостей ϕ̃ має
вигляд:
∂ϕ̃
∂x
∂f
∂x
+
∂ϕ̃
∂y
∂f
∂y
− ∂ϕ̃
∂z
= 0, z = ζ. (4)
Динамiчна умова на вiльнiй поверхнi випливає
з iнтеграла Ейлера-Бернуллi:
В.О. Горбань, I.М. Горбань, С.В. Масюк, В.I. Нiкiшов 23
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 4. С. 22 – 29
ζ +
1
2g
[
(
∂ϕ̃
∂x
)2
+
(
∂ϕ̃
∂y
)2
+
+
(
∂ϕ̃
∂z
)2
− V 2
0
]
= 0. (5)
Тут g – прискорення вiльного падiння. У загаль-
ному випадку граничнi умови (4)–(5) є нелiнiйни-
ми i виконуються на невiдомiй хвильовiй поверхнi
ζ = f (x, y).
Знайшовши з рiвняння (5) похiднi ∂ζ/∂x i ∂ζ/∂y
та пiдставляючи їх у (4), отримаємо граничну умо-
ву у виглядi
∇ϕ̃ · ∇
(
1
2
∇ϕ̃ · ∇ϕ̃
)
+ g
∂ϕ̃
∂z
= 0, z = ζ,
де ∇ =
(
∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z
)
. (6)
Запишемо потенцiал ϕ̃ у виглядi суми потенцiа-
лу “дубльованого тiла” Φ (симетричного вiдносно
площини ватерлiнiї) та потенцiалу, що враховує
хвильовi збурення ϕ∗:
ϕ̃ = Φ + ϕ∗. (7)
Потенцiал Φ задовiльняє рiвнянню Лапласа (1),
граничним умовам на поверхнi тiла (2) та умовам
непротiкання на вiльнiй незбуренiй поверхнi:
∂Φ
∂z
= 0, z = 0. (8)
Переходячи в умовi (6) до диференцiювання
вздовж лiнiй течiї та нехтуючи квадратами похi-
дних ϕ∗, отримаємо:
∂
∂l
(
(
∂Φ
∂l
)2
∂ϕ̃
∂l
)
+ g
∂ϕ̃
∂z
=
= 2
(
∂Φ
∂l
)2
∂2Φ
∂l2
, z = 0. (9)
Гранична умова (9) вперше була запропонована
Даусоном [9].
Пiдставляючи вираз (3) в (9), одержимо:
∂
∂l
(
(
∂Φ
∂l
)2
∂ϕ
∂l
)
+ g
∂ϕ
∂z
=
= 2
∂2Φ
∂l2
∂Φ
∂l
(
∂Φ
∂l
+ V0 · lx
)
+ V0
∂lx
∂l
(
∂Φ
∂l
)2
, (10)
де lx = ∂x/∂l – проекцiя на вiсь x дотичного до
лiнiї течiї одиничного вектора ~l.
Зауважимо, що ∂Φ/∂l = Vl, Vl – швидкiсть
вздовж лiнiї течiї, отримана шляхом розв’язку рiв-
няння (1) з граничними умовами (2) та (6). Врахо-
вуючи, що ∂/∂l = ∂/∂x · ∂x/∂l = lx · ∂/∂x, отрима-
ємо корисне для практичного застосування спiв-
вiдношення:
2Vl
∂Vl
∂x
∂ϕ
∂l
+ V 2
l
∂
∂x
(
∂ϕ
∂l
)
+
g
lx
∂ϕ
∂z
=
= 2Vl · (Vl + V0 · lx)
∂Vl
∂x
+ V0 · V 2
l
∂lx
∂x
. (11)
2. ЧИСЕЛЬНИЙ РОЗВ’ЯЗОК ЗАДАЧI
Розподiлимо джерела iнтенсивностi q
(
~ξ
)
по по-
верхнi S. Тодi значення потенцiалу ϕ̃ (~x) визнача-
ється через iнтеграл по поверхнi S:
ϕ (~x) =
∫
S
G
(
~x, ~ξ
)
q
(
~ξ
)
dS + C,
де функцiя Грiна
G
(
~x, ~ξ
)
=
1
4πr
(
~x, ~ξ
) ,
r
(
~x, ~ξ
)
=
√
(x − ξ)
2
+ (y − η)
2
+ (z − ζ)
2
.
Оскiльки на нескiнченностi виконується умова:
r → ∞, ϕ̃ → 0, то C = 0.
Якщо точка x0 розташована на поверхнi S, отри-
маємо:
ϕ (~x0) =
∫
S
G
(
~x0, ~ξ
)
q
(
~ξ
)
dS. (12)
З виразу (12) будемо мати:
∂ϕ (~x0)
∂n
=
∫
S
Gn
(
~x0, ~ξ
)
q
(
~ξ
)
dS. (13)
2Vl
∂Vl
∂x
∂ϕ̃
∂l
+ V 2
l
∂
∂x
(
∂ϕ
∂l
)
+
g
lx
∂ϕ
∂z
=
=
∫
S
(
V 2
l · Glx
(
~x0, ~ξ
)
+ 2Vl
∂Vl
∂x
· Gl
(
~x0, ~ξ
)
+
+
g
lx
Gz
(
~x0, ~ξ
)
)
q
(
~ξ
)
dS. (14)
24 В.О. Горбань, I.М. Горбань, С.В. Масюк, В.I. Нiкiшов
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 4. С. 22 – 29
Тут Gn
(
~x0, ~ξ
)
– похiдна функцiї G
(
~x0, ~ξ
)
по на-
прямку нормалi ~n (~x0) до поверхнi S; Gz
(
~x0, ~ξ
)
та
Gl
(
~x0, ~ξ
)
– вiдповiдно похiднi функцiї G
(
~x0, ~ξ
)
по
z та по ~l; Glx
(
~x0, ~ξ
)
– похiдна функцiї Gl
(
~x0, ~ξ
)
по x.
Апроксимуємо всю поверхню S граничними еле-
ментами. Будемо вважати, що iнтенсивностi дже-
рел на кожнiй панелi постiйнi i тому їх можна за-
мiнити одним джерелом, розташованим в геоме-
тричному центрi панелi. Використовуючи грани-
чнi умови на тiлi (2) та на вiльнiй поверхнi (11) i
спiввiдношення (13)–(7), можна записати систему
лiнiйних рiвнянь вiдносно невiдомих iнтенсивно-
стей джерел q
(
~ξj
)
, j = 1, ..., N :
N
∑
j=1
q
(
~ξj
)
∫
∆Sj
Gn
(
~xi
0,
~ξj
)
dS = Vn
(
~xi
0
)
, i = 1, ..., NS,
N
∑
j=1
q
(
~ξj
)
∫
∆Sj
(
(
V i
l
)2 · Glx
(
~xi
0,
~ξ
)
+
+2V i
l
∂V i
l
∂x
· Gl
(
~xi
0,
~ξ
)
+
g
lix
Gz
(
~xi
0,
~ξ
)
)
dS =
= 2V i
l ·
(
V i
l + V0 · lix
) ∂V i
l
∂x
+ V0 ·
(
V i
l
)2 ∂lix
∂x
,
i = NS + 1, . . . , NS + NF , (15)
де ~xi
0 – середня точка (точка перетину медiан) i –
го граничного елемента; V i
l , lix, ∂V i
l
/
∂x, ∂lix
/
∂x –
значення Vl i lx та їхнiх похiдних в точцi ~xi
0; ∆Sj
– площа j-го граничного елемента; NS– кiлькiсть
граничних елементiв на тiлi; NF – кiлькiсть грани-
чних елементiв на вiльнiй поверхнi, N = NS +NF .
Пiсля визначення iнтенсивностi джерел q
(
~ξj
)
потенцiал на граничнiй поверхнi розраховується
наступним чином:
ϕ
(
~xi
0
)
=
N
∑
j=1
q
(
~ξj
)
∫
∆Sj
G
(
~xi
0,
~ξj
)
dS. (16)
Вiдомо [5], що iнтеграл
∫
∆Sj
Glx
(
~xi
0,
~ξj
)
dS в дру-
гому рiвняннi системи (10) має сильну сингуляр-
нiсть i не iснує при i = j. Тому похiдну вiд функцiї
Gl
(
~xi
0,
~ξj
)
по x потрiбно замiнити кiнцевою рiзни-
цею. У роботi [24] пропонується зворотна (спрямо-
вана в напрямку, протилежному до напрямку роз-
повсюдження хвиль) триточкова схема диференцi-
ювання з постiйним кроком ∆x. Така схема дифе-
ренцiювання дає можливiсть задовольнити умови
розсiяння хвиль попереду судна i за судном. У вiд-
повiдностi до [24] маємо:
Glx
(
~xi
0,
~ξj
)
=
1
∆x
(
−1.5 · Gl
(
~xi
0,
~ξj
)
+
+ 2 · Gl
(
~xi+1
0 , ~ξj
)
− 0.5 · Gl
(
~xi+2
0 , ~ξj
))
,
rk,0 ≤ i ≤ rk,end − 2,
Glx
(
~xi
0,
~ξj
)
=
1
∆x
(
Gl
(
~xi+1
0 , ~ξj
)
− Gl
(
~xi
0,
~ξj
))
,
i = rk,end − 1,
Glx
(
~xi
0,
~ξj
)
=
1
∆x
(
Gl
(
~xi
0,
~ξj
)
− Gl
(
~xi−1
0 , ~ξj
))
,
i = rk,end . (17)
Тут вважається, що вiльна поверхня розбита чо-
тирикутними граничними елементами на K рядiв,
що розташованi вздовж осi x. Кожний k-тий ряд
(k = 1, ..., K) складається з rk,end − rk,0 елементiв,
де rk,0 та rk,end – номери першого та останнього
граничних елементiв в k-му ряду на вiльнiй по-
верхнi (рис. 1).
Для визначення iнтегралiв
∫
∆Sj
Gn
(
~xi
0,
~ξj
)
dS,
∫
∆Sj
Gl
(
~xi
0,
~ξj
)
dS,
∫
∆Sj
Gz
(
~xi
0,
~ξj
)
dS та
∫
∆Sj
Gl
(
~xi
0,
~ξj
)
dS застосовуються чисельнi схеми,
описанi в роботi [13].
Алгоритм розв’язання задачi (1) з граничними
умовами (2) та (11) розбивається на два етапи.
На першому етапi розв’язується задача для по-
тенцiалу “дубльованого тiла” Φ з використанням
алгоритму, описаного в [1–2]. Пiсля цього визнача-
ються лiнiї течiї на вiльнiй поверхнi (в площинi ва-
терлiнiї судна). Незбурена вiльна поверхня апро-
ксимується граничними елементами. Сiтка скла-
дається з лiнiй течiї та лiнiй y = const (рис. 1). В
середнiй точцi xi
0 кожної панелi обраховуються ве-
личини V i
l та lix. Похiднi вiд цих величин ∂V i
l
/
∂x
i ∂lix
/
∂x розраховуються за допомогою чисельної
схеми диференцiювання типу (13).
На другому етапi розв’язується рiвняння Лапла-
са (1) для потенцiалу ϕ (~x) з граничними умовами
(2) на тiлi та (11) на вiльнiй поверхнi.
Збурення вiльної поверхнi розраховується за
формулою, що випливає з (5) при пiдстановцi туди
В.О. Горбань, I.М. Горбань, С.В. Масюк, В.I. Нiкiшов 25
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 4. С. 22 – 29
Рис. 1. Схема розбиття сiтки на вiльнiй поверхнi
виразу (3):
ζ(~x0) =
2V0 · Vx(~x0) − V 2(~x0)
2g
,
~V (~x0) =
(
∂ϕ(~x0)
∂x
,
∂ϕ(~x0)
∂y
,
∂ϕ(~x0)
∂z
)
. (18)
Хвильовий опiр судна розраховується як сума
iнтегралiв по змоченiй поверхнi судна вiд динамi-
чного та гiдростатичного тискiв. Його можна за-
писати у наступному виглядi:
Rw =
ρ
2
∫
SB
(
V 2
0 − ~V 2(~x0)
)
nxdS+
+
ρg
2
∮
WL
ζ2nxdL, (19)
де
∮
WL
(·)dL – iнтеграл по ватерлiнiї судна, а nx про-
екцiя нормалi до поверхнi судна на вiсь x.
Коефiцiєнт хвильового опору Cw обчислюється
як 2Rw
/
ρV 2
0 :
Cw =
NS
∑
i=1
Ci
p · ni
x ·
∫
∆Si
dS +
g
V 2
0
∮
WL
ζ2nxdL
NS
∑
i=1
∫
∆Si
dS
, (20)
де Ci
p та ni
x – коефiцiєнт тиску та проекцiя нормалi
на вiсь x, якi розрахованi в точцi ~xi
0.
Коефiцiєнт тиску Cp визначається формулою:
Cp(~x0) =
2V0 · Vx(~x0) − V 2(~x0)
V 2
0
. (21)
3. РЕЗУЛЬТАТИ ЧИСЕЛЬНОГО
МОДЕЛЮВАННЯ
Моделювання стацiонарних корабельних хвиль
проводилося для судна типу “Wigley hull” при йо-
го руховi в безграничнiй рiдинi. Таке судно має па-
раболiчну форму бокової поверхнi, яка описується
рiвнянням:
y = ±B
2
·
(
1 − (2x/L)
2
)
·
(
1 − (z/T )
2
)
, (22)
де L – довжина судна, B – максимальна ширина
судна (у мiдель шпангоутi), а T – просадка. Спiв-
вiдношення осей судна: L/B = 10, B/T = 1.6.
Сiтка на вiльнiй поверхнi показана на рис. 1.
Вiльна поверхня покривалась панелями на дiлянцi
вiд носа судна вгору проти течiї (по напрямку руху
судна), а також на дiлянцi вiд корми судна вниз за
течiєю (в напрямку протилежному руховi судна).
Довжина кожної з дiлянок – L, а ширина − 1.5L.
Також панелями покривалась дiлянка вiльної по-
верхнi вздовж бортiв судна. Поверхня судна по-
кривалась панелями рiвномiрно по бортах. Кiль-
кiсть панелей на корпусi судна – 508, кiлькiсть па-
нелей на вiльнiй поверхнi – 4620.
Рис. 2. Порiвняння розрахованого коефiцiєнта
хвильового опору з експериментальними даними [11]
для рiзних чисел Фруда Fr
Результати обчислень, одержанi за допомогою
вищеописаного алгоритму, продемонстрованi на
рис. 2, (Fr=V0/
√
gL). На цьому графiку розра-
хований коефiцiєнт хвильового опору Cw порiв-
нюється з результатами серiї експериментiв, про-
ведених японським iнститутом кораблебудування
“Ship Reseach Institute (SRI)” [11]. Експеримен-
ти проводились для моделi судна типу “Wigley
hull” чотирьохметрової довжини зi спiввiдношен-
ням осей L/B = 10, B/T = 1.6. Експериментальнi
26 В.О. Горбань, I.М. Горбань, С.В. Масюк, В.I. Нiкiшов
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 4. С. 22 – 29
роботи складалися з двох частин. У першiй части-
нi хвильовий опiр вимiрювався при фiксованих ди-
ферентi та просадцi моделi. Данi першої частини
експериментiв на графiку позначенi як SRI (FX).
У другiй частинi експериментiв диферент та про-
садка не фiксувалися. Цi данi позначенi на рис. 2
як SRI (FR).
З рис. 2 видно, що результати розрахункiв
близькi до експериментальних даних. Це свiдчить
про адекватнiсть та ефективнiсть розвиненої тут
математичної моделi та побудованого чисельного
алгоритму. Зазначимо, що одержанi в роботi роз-
рахунки також добре узгоджуються з результата-
ми, опублiкованими в роботах iнших авторiв [17–
19].
Рис. 3. Iзолiнiї вiльної поверхнi для корабельних
хвиль при рiзних числах Фруда:
а – Fr = 0.25; б – Fr = 0.3
Як вiдомо [3], повна картина корабельних хвиль
складається з двох систем хвиль – поперечних та
розбiжних. В свою чергу, поперечнi хвилi є резуль-
татом взаємодiї носової та кормової груп хвиль. В
Рис. 4. Iзолiнiї вiльної поверхнi для корабельних
хвиль при рiзних числах Фруда:
а – Fr = 0.35; б – Fr = 0.4
зонi “несприятливих” чисел Фруда спостерiгається
зростання амплiтуд поперечних хвиль. Тому при
вiдповiдних швидкостях хвильовий опiр зростає
iнтенсивнiше нiж при “сприятливих” числах Фру-
да, тобто хвильовий опiр має ряд локальних мiнi-
мумiв та максимумiв. Так, для судна типу “Wigley
hull” максимуми досягаються при числах Фруда Fr
= 0.25, Fr = 0.32 та Fr = 0.5.
Рис. 3 (Fr = 0.25; 0.3) та 4 (Fr = 0.35; 0.4) де-
монструють хвильовi картини для рiзних швидко-
стей судна. Показанi поперечна та розбiжна си-
стем хвиль, якi розташованi мiж двома прямими
лiнiями, кожна з яких утворює кут 19◦ 28’ з дiа-
метральною площиною судна.
На рис. 5 (Fr = 0.25; 0.3) та 6 (Fr = 0.35; 0.4)
наведенi хвильовi профiлi по борту судна i за су-
дном для рiзних чисел Фруда. Амплiтуди хвильо-
вих профiлiв по борту судна дещо меншi, нiж отри-
манi в експериментi [11]. Це пов’язано з впливом
В.О. Горбань, I.М. Горбань, С.В. Масюк, В.I. Нiкiшов 27
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 4. С. 22 – 29
нелiнiйних членiв у граничнiй умовi на вiльнiй
поверхнi (6). З рисункiв 5 та 6 добре видно, що
зi збiльшенням швидкостi судна довжина хвиль
зростає.
ВИСНОВКИ
Таким чином, у роботi побудована математична
модель, яка описує стацiонарний рух тiла на вiль-
нiй поверхнi рiдини, зокрема, суден з довiльним
подовженням та формою поверхнi, i враховує хви-
леутворення. На основi методу граничних елемен-
тiв побудований чисельний алгоритм, який реалi-
зує дану математичну модель.
Рис. 5. – Хвильовi профiлi на борту судна i за судном
для рiзних чисел Фруда:
а – Fr = 0.25; б – Fr = 0.3
Проведенi розрахунки параметрiв хвиль, що
утворюються при руховi судна типу “Wigley hull”
в дiапазонi чисел Фруда Fr = 0.2 ÷ 0.5. Показано,
що результати розрахункiв хвильового опору до-
бре узгоджуються з експериментальними даними
на всьому дiапазонi чисел Фруда [11].
Змiнюючи вiдповiдним чином функцiю Грiна,
побудований алгоритм можна поширити на випа-
док руху судна при обмеженiй глибинi акваторiї
(з плоским дном), а також застосувати для мо-
делювання хвилеутворення при обтiканнi вiдкри-
тим потоком нерiвностей дна, наприклад, пере-
шкод або заглиблень.
1. Горбань В.О., Масюк С.В. Гiдродинамiчна
взаємодiя суден на мiлководдi // Прикладна
гiдромеханiка.– 2007.– 9 (81), № 4.– С. 17–29.
Рис. 6. – Хвильовi профiлi на борту судна i за судном
для рiзних чисел Фруда:
а – Fr = 0.35; б – Fr = 0.4
2. Горбань В.О., Масюк С.В. Чисельне моделювання
гiдродинамiчної взаємодiї тiл, що рухаються в рi-
динi // Прикладна гiдромеханiка.– 2006.– 8 (80),
№ 3.– С. 27–49.
3. Войткунский Я.И. Сопротивление движению
судов.– Л.: Судостроение, 1988.– 281 с.
4. Кочин Н.Е. Собрание сочинений. Т. 2.– М.-Л.: АН
СССР, 1949.– 588 с.
5. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегра-
лы и интегральные уравнения.– М.: Физматгиз,
1962.– 256 с.
6. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений
жидкости.– М.: Наука, 1977.– 588 с.
7. Bessho M. On a consistent linearized theory of the
wave-making of ships // Journal of Ship Research.–
1994.– V.38, N.2.– P. 83–96.
8. Gadd G.E. A method for computing the flow and
surface wave pattern around full forms // Trans. RI-
NA 1976.– London, UK.– 1976.– P. 207–220.
9. Dawson C.W. A practical computer method for
solving ship wave problems // In: Proceedings of
Second International Conference on Numerical Ship
Hydrodynamics.– Berkeley.– 1977.– P. 30–38.
10. Hess J. L., Smith A. M. O. Calculations of nonlifti-
ng potential flow about arbitrary three-dimensional
bodies // Journal of Ship Research.– 1964.– 8, N 2.–
P. 22–44.
11. Kajitani H., Miyata H., Ikehata M., Tanaka H.,
Adachi H. Summary of the cooperative experiment on
wigley parabolic model in Japan: // Proceedings of
the Second DTNSRDS Workshop on Ship Wave Resi-
stance Computations.– Washington.– 1983.– P. 5–35.
12. Lunde J.K. On the Linearized Theory of Wave
Resistance for Displacement Ships in Steady and
Accelarated Motion // Transactions of SNAME.–
1951.– V. 59,N.– P. 25–76.
13. Masiuk S., Gorban V. Calculation of ship interaction
forces in restricted waterway using three-dimensional
boundary element method // Int. Shipbuild. Progr.–
2010.– V. 57, N. 3-4.– P. 147–161.
28 В.О. Горбань, I.М. Горбань, С.В. Масюк, В.I. Нiкiшов
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 4. С. 22 – 29
14. Michell J. H. The Wave–Resistance of a Ship // Phi-
losophical Magazine.– 1898.– 45, N 5..– P. 106–123.
15. Newman J. N. Evaluation of the wave-resistance
Green function: part 1 - the double integral //
Journal of Ship Research.– 1987.– 31, N 2.– P. 79–
90.
16. Newman J. N. Evaluation of the wave-resistance
Green function: part 2 - the single integral on the
centerplane // Journal of Ship Research.– 1987.– 31,
N 3.– P. 145–150.
17. Tuck E. O. and Scullen D. C. A comparison of li-
near and nonlinear computations of waves made by
slender submerged bodies // Journal of Engineering
Mathematics.– 2002.– V.42, N. 3-4.– P. 255–264.
18. Tarafder M. S. Third order contribution to the wave-
making resistance of a ship at finite depth of water //
Ocean Engineering, Elsevier Science, UK.– 2007.– V.
34, N. 1.– P. 32–44.
19. Tarafder M.S., Khalil G.M. Calculation of ship si-
nkage and trim in deep water using a potential based
panel method // Int. J. of Applied Mechanics and
Engineering, Poland.– 2006.– V. 11, N. 2.– P. 401–
414.
20. Tarafder M.S., Khalil G.M. Numerical analysis of free
surface flow around a ship in deep water // Indi-
an Journal of Engineering and Materials Sciences.–
2004.– V. 11.– P. 385–390.
21. Tarafder M. S., Suzuki K. Computation of free surface
flow around a ship in shallow water using a potenti-
al based panel method // International Shipbuilding
Progress.– 2006.– V. 53, N. 1.– P. 33–54.
22. Tarafder M. S., Suzuki K. Sinkage and trim of Seri-
es 60 hull at finite depth of water // Internati-
onal Journal of Applied Mechanics and Engineering,
Poland.– 2007.– V. 12, N. 1.– P. 235–254.
23. Tarafder M. S., Suzuki K. Wave-making resistance
of catamaran hull in shallow water using a potential
based panel method // Journal of Ship Research.–
2008.– 52, N.1.– P. 16–29.
24. Raven H.C. A solution method for the nonlinear ship
wave resistance problem.– : MARIN, 1996.– 220 p.
25. Wigley W.C.S. A Comparison of Experiment and
Calculated Wave-Profiles and Wave-Resistances for
a Form Having Parabolic Waterlines // Proceedings
of the Royal Society of London. Series A, Containing
Papers of a Mathematical and Physical Character.–
1934.– V. 144, N. 851.– P. 144–159.
В.О. Горбань, I.М. Горбань, С.В. Масюк, В.I. Нiкiшов 29
|