Взаимодействие уединенных внутренних волн при фронтальном столкновении
Численно исследуется динамика и энергетика фронтального столкновения уединенных внутренних волн, распространяющихся в жидкости с двухслойной стратификацией. Расчеты проводятся в рамках уравнений Навье-Стокса в приближении Буссинеска с использованием негидростатической модели. Показано, что взаимодей...
Saved in:
| Published in: | Прикладна гідромеханіка |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116331 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Взаимодействие уединенных внутренних волн при фронтальном столкновении / Е. Терлецкая, В. Мадерич, И. Бровченко // Прикладна гідромеханіка. — 2011. — Т. 13, № 4. — С. 68-77. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859468538089046016 |
|---|---|
| author | Терлецкая, Е. Мадерич, В. Бровченко, И. |
| author_facet | Терлецкая, Е. Мадерич, В. Бровченко, И. |
| citation_txt | Взаимодействие уединенных внутренних волн при фронтальном столкновении / Е. Терлецкая, В. Мадерич, И. Бровченко // Прикладна гідромеханіка. — 2011. — Т. 13, № 4. — С. 68-77. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладна гідромеханіка |
| description | Численно исследуется динамика и энергетика фронтального столкновения уединенных внутренних волн, распространяющихся в жидкости с двухслойной стратификацией. Расчеты проводятся в рамках уравнений Навье-Стокса в приближении Буссинеска с использованием негидростатической модели. Показано, что взаимодействие волн большой амплитуды приводит к сдвиговой неустойчивости и формированию вихрей Кельвина-Гельмгольца в слое раздела.
Чисельно досліджується динаміка та енергетика трансформації внутрішніх відокремлених хвиль великої амплітуди, що розповсюджуються в рідині з двошаровою стратифікацією. Розрахунки проводяться в рамках рівнянь Нав'є-Стокса у наближенні Буссінеска з використанням негідростатічної моделі. Показано, що взаємодія хвиль великої амплітуди призводить до сдвиговой нестійкості та формування вихорів Кельвіна-Гельмгольца в шарі розділу.
The dynamics and energy transformation of internal solitary waves of large amplitude, propagating in a fluid with two-layer stratification are investigated numerically. Calculations are performed in frame of the Navier-Stokes equations in the Boussinesq approximation using non-hydrostatic model. It is shown that the interaction of large-amplitude waves leads to shear instability and the formation of Kelvin-Helmholtz vortices in the layer section.
|
| first_indexed | 2025-11-24T06:13:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Ïðèêëàäíà ãiäðîìåõàíiêà. 2011. Òîì 13, N 4. Ñ . 68 � 77
ÓÄÊ 532.465
ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ ÓÅÄÈÍÅÍÍÛÕ ÂÍÓÒÐÅÍÍÈÕ ÂÎËÍ
ÏÐÈ ÈÕ ÔÐÎÍÒÀËÜÍÎÌ ÑÒÎËÊÍÎÂÅÍÈÈ
Å. Ò Å Ð Ë Å Ö Ê À ß, Â. Ì À Ä Å Ð È ×, È. Á Ð Î Â × Å Í Ê Î
Èíñòèòóò ïðîáëåì ìàòåìàòè÷åñêèõ ìàøèí è ñèñòåì ÍÀÍ Óêðàèíû , Êèåâ
Ïîëó÷åíî 9.03 2011
×èñëåííî èññëåäóåòñÿ äèíàìèêà è ýíåðãåòèêà ôðîíòàëüíîãî ñ òîëêíîâåíèÿ óåäèíåííûõ âíóòðåííèõ âîëí, ðàñïðî-
ñòðàíÿþùèõñÿ â æèäêîñòè ñ äâóõñëîéíîé ñòðàòèôèêàöèåé. Ðàñ ÷åòû ïðîâîäÿòñÿ â ðàìêàõ óðàâíåíèé Íàâüå-Ñòîêñà
â ïðèáëèæåíèè Áóññèíåñêà ñ èñïîëüçîâàíèåì íåãèäðîñòàòè÷å ñêîé ìîäåëè. Ïîêàçàíî, ÷òî âçàèìîäåéñòâèå âîëí áîëü-
øîé àìïëèòóäû ïðèâîäèò ê ñäâèãîâîé íåóñòîé÷èâîñòè è ôîðìèð îâàíèþ âèõðåé Êåëüâèíà-Ãåëüìãîëüöà â ñëîå ðà-
çäåëà.
×èñåëüíî äîñëiäæó¹òüñÿ äèíàìiêà òà åíåðãåòèêà òðàíñôîðìà öi¨ âíóòðiøíiõ âiäîêðåìëåíèõ õâèëü âåëèêî¨ àìïëiòóäè,
ùî ðîçïîâñþäæóþòüñÿ â ðiäèíi ç äâîøàðîâîþ ñòðàòèôiêàöi¹þ. Ðîçðàõóíêè ïðîâîäÿòüñÿ â ðàìêàõ ðiâíÿíü Íàâ'¹-
Ñòîêñà ó íàáëèæåííi Áóññiíåñêà ç âèêîðèñòàííÿì íåãiäðîñòà òi÷íî¨ ìîäåëi. Ïîêàçàíî, ùî âçà¹ìîäiÿ õâèëü âåëèêî¨
àìïëiòóäè ïðèçâîäèòü äî ñäâèãîâî¨ íåñòiéêîñòi òà ôîðìóâàí íÿ âèõîðiâ Êåëüâiíà-Ãåëüìãîëüöà â øàði ðîçäiëó.
The dynamics and energy transformation of internal solitar y waves of large amplitude, propagating in a �uid with two-
layer strati�cation are investigated numerically. Calcul ations are performed in frame of the Navier-Stokes equation s in the
Boussinesq approximation using non-hydrostatic model. It is shown that the interaction of large-amplitude waves lead s
to shear instability and the formation of Kelvin-Helmholtz vortices in the layer section.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Îäíèì èç âûäàþùèõñÿ äîñòèæåíèé òåîðåòè÷å-
ñêîé ôèçèêè ÕÕ âåêà áûëî îòêðûòèå è èññëåäîâà-
íèå ñîëèòîíîâ - óåäèíåííûõ âîëí, êîòîðûå àñèì-
ïòîòè÷åñêè ñîõðàíÿþò ñâîþ ôîðìó è ñêîðîñòü ïðè
âçàèìîäåéñòâèè ñ äðóãèìè ëîêàëèçîâàííûìè âî-
çìóùåíèÿìè [1]. Ðåøåíèÿ ðÿäà óðàâíåíèé, â òîì
÷èñëå óðàâíåíèé Êîðòåâåãà-Äå Âðèçà (ÊäÂ), Ãàð-
äíåðà, íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà è äðó-
ãèõ, îáëàäàþò ýòèìè ñâîéñòâàìè [2]. Âîïðîñ î
òîì, ÿâëÿþòñÿ ëè äëèííûå ãðàâèòàöèîííûå óå-
äèíåííûå âîëíû íà ïîâåðõíîñòè âîäû ñîëèòîíà-
ìè, èíòåíñèâíî îáñóæäàëñÿ â ïîñëåäíèå äåñÿòèëå-
òèÿ. Îêàçàëîñü, ÷òî õîòÿ ñëàáîíåëèíåéíûå àñèì-
ïòîòè÷åñêèå òåîðèè âîëí íà ìåëêîé âîäå è ïðè-
âîäÿò ê èíòåãðèðóåìûì óðàâíåíèÿì, ðåøåíèÿìè
êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ ñîëèòîíû, â áîëåå âûñîêèõ ïî-
ðÿäêàõ óåäèíåííûå âîëíû íà ïîâåðõíîñòè âîäû
íå èìåþò ñîëèòîííûõ ñâîéñòâ, õîòÿ îòêëîíåíèÿ
îò ñîëèòîííîãî ïîâåäåíèÿ íåáîëüøèå (ñì. îáçîð
â [3]). Äëèííûå âíóòðåííèå ãðàâèòàöèîííûå óå-
äèíåííûå âîëíû ïðè íåïðåðûâíîé ñòðàòèôèêàöèè
òàêæå íå îáëàäàþò ñîëèòîííûìè ñâîéñòâàìè èç-çà
êîíå÷íîãî ÷èñëà ñîõðàíÿþùèõñÿ èíâàðèàíòîâ [3],
íî îòêëîíåíèÿ îò ñîëèòîííîãî ïîâåäåíèÿ äëÿ âîëí
ìàëîé àìïëèòóäû òàêæå íåâåëèêè.
Âçàèìîäåéñòâèå óåäèíåííûõ âîëí ïðè ôðîí-
òàëüíîì ñòîëêíîâåíèè îòëè÷àåòñÿ îò âçàèìîäåé-
ñòâèÿ âîëí, ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ â îäíîì è òîì
æå íàïðàâëåíèÿ, ðÿäîì ñïåöèôè÷åñêèõ îñîáåííî-
ñòåé.  ÷àñòíîñòè, ïðè ôðîíòàëüíîì âçàèìîäåé-
ñòâèè ïîâåðõíîñòíûõ âîëí îäèíàêîâîé è äîñòà-
òî÷íî áîëüøîé àìïëèòóäû íàáëþäàåòñÿ ôîðìèðî-
âàíèå âåðòèêàëüíîé ñòðóè, âûçâàííîé âåðòèêàëü-
íûì óñêîðåíèåì ïðè ñëèÿíèè âñòðå÷íûõ âîëí [4�
5]. Àíàëèòè÷åñêè è ÷èñëåííî ôðîíòàëüíîå âçà-
èìîäåéñòâèå âíóòðåííèõ âîëí ìàëîé àìïëèòóäû â
äâóõñëîéíîé æèäêîñòè èçó÷àëîñü â [6�8], ãäå áûëî
ïîêàçàíî, ÷òî îíî ïðîÿâëÿåòñÿ â ãåíåðàöèè äèñ-
ïåðñèîííûõ õâîñòîâ è íåêîòîðîì ìàëîì ôàçîâîì
ñäâèãå.
Âçàèìîäåéñòâèå óåäèíåííûõ âíóòðåííèõ âîëí
áîëüøîé àìïëèòóäû, êîòîðûå ÷àñòî âñòðå÷àþòñÿ
íà îêåàíñêîì øåëüôå (ñì. íàïð.[9�10]), äî ñèõ
ïîð ìàëî èçó÷åíî. Èçâåñòíû ñòàöèîíàðíûå ðåøå-
íèÿ óðàâíåíèé Ýéëåðà äëÿ äâóõñëîéíîé íåâÿçêîé
æèäêîñòè, êîòîðûå îïèñûâàþò óåäèíåííûå âîëíû
áîëüøîé àìïëèòóäû [11�13]. Îäíàêî íàëè÷èå ðà-
çðûâà ñêîðîñòè ìåæäó ñëîÿìè ïðèâîäèò ê íåó-
ñòîé÷èâîñòè Êåëüâèíà-Ãåëüìãîëüöà ýòèõ ðåøåíèé
[14]. Ðåãóëÿðèçàöèÿ ðåøåíèé ïóòåì ôèëüòðàöèè
êîðîòêîâîëíîâûõ âîçìóùåíèé [15], ó÷åòà äîïîë-
íèòåëüíûõ ÷ëåíîâ âûñîêîãî ïîðÿäêà [16] èëè ìî-
äèôèêàöèè èñõîäíîé ïîñòàíîâêè [17] ïðèâîäèò ê
óñòîé÷èâûì ðåøåíèÿì. Âçàèìîäåéñòâèå óåäèíåí-
íûõ âîëí â ðàìêàõ òàêèõ ìîäåëåé ñëàáîå è òàêæå
ïðîÿâëÿåòñÿ â ãåíåðàöèè äèñïåðñèîííûõ õâîñòîâ
ìàëîé àìïëèòóäû. Â òî æå âðåìÿ, ôîðìèðîâàíèå
âèõðåé Êåëüâèíà-Ãåëüìãîëüöà â âîëíàõ áîëüøîé
àìïëèòóäû íàáëþäàëîñü êàê â ëàáîðàòîðíûõ ýê-
68 c
Å. Òåðëåöêàÿ, Â. Ìàäåðè÷, È. Áðîâ÷åíêî, 2011
ISSN 1561 -9087 Ïðèêëàäíà ãiäðîìåõàíiêà. 2011. Òîì 13, N 4. Ñ . 68 � 77
Ðèñ. 1. Ãåîìåòðèÿ çàäà÷è. Øòðèõîâûå ëèíèè ïîêàçûâàþò êîíòð îëüíûå ñå÷åíèÿ, ãäå ðàññ÷èòûâàëèñü ïîòîêè
ýíåðãèè (ñì. Ðàçäåë 3)
ñïåðèìåíòàõ [12 � 18], òàê è â íàòóðíûõ èññëåäî-
âàíèÿõ [9�10] è â ÷èñëåííûõ ðàñ÷åòàõ â ðàìêàõ
óðàâíåíèé Íàâüå-Ñòîêñà [19 � 20]. Ýòà íåóñòîé÷è-
âîñòü ïðèâîäèò ê ãåíåðàöèè òóðáóëåíòíîñòè, ïåðå-
ìåøèâàíèþ â ñëîå ðàçäåëà è çàòóõàíèþ óåäèíåí-
íûõ âîëí. Ïîýòîìó ñëåäóåò îæèäàòü, ÷òî âçàèìî-
äåéñòâèå âîëí áîëüøîé àìïëèòóäû áóäåò ñîïðîâî-
æäàòüñÿ íåóñòîé÷èâîñòüþ Êåëüâèíà � Ãåëüìãîëü-
öà, â îòëè÷èå îò ïðåäñêàçàíèé ðåãóëÿðèçîâàííûõ
ìîäåëåé ñèëüíî íåëèíåéíûõ âîëí. Çàäà÷à äàííîé
ñòàòüè � èññëåäîâàíèå â ðàìêàõ óðàâíåíèé Íàâüå-
Ñòîêñà ôðîíòàëüíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ñèëüíî íå-
ëèíåéíûõ âíóòðåííèõ âîëí�ïîíèæåíèé.
1. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Ãåîìåòðèÿ çàäà÷è ïîêàçàíà íà ðèñ. 1. Äâå âíó-
òðåííèå óåäèíåííûå âîëíû äâèæóòñÿ íàâñòðå÷ó
äðóã äðóãó â âåðòèêàëüíî äâóìåðíîì âû÷èñëè-
òåëüíîì áàññåéíå ëàáîðàòîðíûõ ìàñøòàáîâ, çà-
ïîëíåííîì ñòðàòèôèöèðîâàííîé ïî ñîëåíîñòè âî-
äîé, â êîòîðîì äâà îäíîðîäíûõ ñëîÿ ðàçäåëåíû óç-
êèì ñëîåì ñêà÷êà ñîëåíîñòè. Íåâîçìóùåííàÿ ïî-
âåðõíîñòü ðàçäåëà íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè h1 îò
ïîâåðõíîñòè âîäû, òîëùèíà íèæíåãî ñëîÿ h2 =
H � h1. Ïëîòíîñòü âåðõíåãî è íèæíåãî îäíîðîäíûõ
ñëîåâ � � 1 è � 2 ñîîòâåòñòâåííî.
Ðàñ÷åòû ïðîâîäèëèñü â ðàìêàõ óðàâíåíèé
Íàâüå-Ñòîêñà äëÿ ñòðàòèôèöèðîâàííîé ñðåäû â
ïðèáëèæåíèè Áóññèíåñêà. Ñèñòåìà óðàâíåíèé íå-
ðàçðûâíîñòè, äâèæåíèÿ è ïåðåíîñà ñîëè èìååò
âèä:
@Ui
@xi
= 0 ; (1)
@Ui
@t
+ Uj
@Ui
@xj
= �
1
� 0
@P
@xi
+ �
@2Ui
@xi @xj
�
gi �
� 0
; (2)
@S
@t
+ Uj
@S
@xj
= �
@2S
@x2j
; (3)
ãäå x i = ( x; y; z) � äåêàðòîâû êîîðäèíàòû, îñü
z íàïðàâëåíà âåðòèêàëüíî ââåðõ; Ui = ( U; V; W)
� ñîñòàâëÿþùèå ïîëÿ ñêîðîñòè; P � äàâëåíèå; �
� ïëîòíîñòü âîäû; S � ñîëåíîñòü; gi = (0 ; 0; g)
� óñêîðåíèå ñèëû òÿæåñòè; � � êèíåìàòè÷åñêàÿ
âÿçêîñòü; � � ìîëåêóëÿðíàÿ äèôôóçèÿ. Ñèñòåìà
óðàâíåíèé (1)-(3) äîïîëíÿëàñü óðàâíåíèåì ñîñòî-
ÿíèÿ [21]. Íà ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè êàñàòåëüíûå
íàïðÿæåíèÿ îòñóòñòâóþò, à íà äíå èñïîëüçóþòñÿ
óñëîâèÿ ïðèëèïàíèÿ. Ïîòîêè ñîëè ÷åðåç ãðàíèöû
áàññåéíà îòñóòñòâóþò.
Ñèñòåìà óðàâíåíèé ìîäåëè äèñêðåòèçèðîâàëàñü
ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé íà
ñäâèíóòîé ñåòêå. Ðåøåíèå çàäà÷è ðàñùåïëÿëîñü íà
äâå ïîäçàäà÷è: (à) � ðåøåíèå äâóìåðíîé ñèñòåìû
óðàâíåíèé äëÿ âîçâûøåíèé óðîâíÿ è îñðåäíåííûõ
ïî ãëóáèíå ñêîðîñòåé è (á) � ðåøåíèå òðåõìåð-
íîé çàäà÷è äëÿ ñêîðîñòè è äàâëåíèÿ. Ïîëå ñêîðî-
ñòè è äàâëåíèÿ â òðåõìåðíîé ïîäçàäà÷å ðàñùåïëÿ-
ëîñü íà ãèäðîñòàòè÷åñêóþ è íåãèäðîñòàòè÷åñêóþ
ñîñòàâëÿþùèå. Àëãîðèòì ðåøåíèÿ äåòàëüíî îïè-
ñàí â [22].
Âû÷èñëèòåëüíûé áàññåéí ëàáîðàòîðíûõ ìàñ-
øòàáîâ èìåë äëèíó L = 20 ì è ãëóáèíó H = 0 :32ì.
Âñå ÷èñëåííûå ýêñïåðèìåíòû ïðîâîäèëèñü ïðè òî-
ëùèíå âåðõíåãî ñëîÿ h1=4 ñì. Çàäà÷à ðåøàëàñü â
êâàçèäâóìåðíîé ïîñòàíîâêå, êîãäà óðàâíåíèÿ äèñ-
êðåòèçèðîâàëèñü â íåñêîëüêèõ óçëàõ ïîïåðåê áàñ-
ñåéíà ïðè óñëîâèè ñêîëüæåíèÿ íà áîêîâûõ ñòåí-
êàõ áàññåéíà. Ðàçðåøåíèå ñåòêè ïî äëèíå, âûñîòå è
øèðèíå ñîñòàâëÿëî 2400� 260� 4. Íåâîçìóùåííàÿ
ñòðàòèôèêàöèÿ â áàññåéíå ìîäåëèðîâàëàñü â âè-
äå ïîâåðõíîñòíîãî è ïðèäîííîãî îäíîðîäíûõ ñëî-
åâ ñ ñîëåíîñòüþ Sup = 0 è Sbot = 30 ïðè ïîñòîÿí-
íîé òåìïåðàòóðå 20 oC, ðàçäåëåííûõ òîíêèì ïåðå-
õîäíûì ñëîåì. Ïðîôèëü ñîëåíîñòè àïïðîêñèìèðî-
âàëñÿ ôîðìóëîé
S(z) =
Sup + Sbot
2
�
Sbot � Sup
2
th
�
z � h1
dh
�
; (4)
ãäådh = 0.2 cì.  êà÷åñòâå ïîâåðõíîñòè ðàçäå-
ëà â ðàñ÷åòàõ âèçóàëèçèðîâàëàñü èçîõàëèíà,
ðàâíàÿ 15. ×èñëåííûå ýêñïåðèìåíòû ïðîâîäè-
ëèñü ïðè çíà÷åíèÿõ êèíåìàòè÷åñêîé âÿçêîñòè
Å. Òåðëåöêàÿ, Â. Ìàäåðè÷, È. Áðîâ÷åíêî 69
ISSN 1561 -9087 Ïðèêëàäíà ãiäðîìåõàíiêà. 2011. Òîì 13, N 4. Ñ . 68 � 77
� = 1 :14 � 10� 6 ì 2ñ� 1 è ìîëåêóëÿðíîé äèôôóçèè
ñîëè � = 10 � 9 ì 2ñ� 1.
Äëÿ ãåíåðàöèè óåäèíåííûõ âîëí áîëüøîé àì-
ïëèòóäû ïðè ÷èñëåííîì ìîäåëèðîâàíèè èñïîëü-
çóþòñÿ äâà ìåòîäà: ëèáî èñïîëüçóþòñÿ ðåøåíèÿ
óðàâíåíèÿ Äþáðåé-Æàêîòåí-Ëîíãà [23] ëèáî, ïî
àíàëîãèè ñ ëàáîðàòîðíûìè ýêñïåðèìåíòàìè (íàïð.
[24]), ìåõàíèçì êîëëàïñà. Âî âòîðîì ìåòîäå â
âû÷èñëèòåëüíîì áàññåéíå âûäåëÿåòñÿ ÷àñòü îáúå-
ìà, çàïîëíåííàÿ âîäîé îòëè÷àþùåéñÿ ïëîòíîñòè.
Äëÿ òîãî, ÷òîáû ñôîðìèðîâàòü óåäèíåííóþ âîëíó-
ïîíèæåíèå, íà÷àëüíàÿ òîëùèíà âåðõíåãî ñëîÿ â
âûäåëåííîì îáúåìå äîëæíà áûòü áîëüøå, ÷åì â
îñòàëüíîì áàññåéíå.  ïðîòèâîïîëîæíîì ñëó÷àå
ãåíåðèðóþòñÿ âîëíû ïîâûøåíèÿ. Â íàøèõ ðà-
ñ÷åòàõ èñïîëüçîâàëñÿ âòîðîé ìåòîä. Ïîñëå òîãî,
êàê ãîëîâíàÿ âîëíà òðàíñôîðìèðîâàëàñü â óåäè-
íåííóþ âîëíó, îñöèëëèðóþùèé ìåëêîìàñøòàáíûé
õâîñò "îòðåçàëñÿ".
Òàáë 1. Ïàðàìåòðû ðàñ÷åòîâ
Ýêñï.
a�
l
h1
a�
r
h1
a+
l
h1
a+
r
h1
� E �E
1 1:35 1:35 1:3 1:3 0:07 0:03
1� 1:35 � 1:33 � 0:04 �
2 2:17 2:17 2:07 2:07 0:011 0:05
2� 2:17 � 2:1 � 0:06 �
3 2:17 1:35 2:1 1:29 0:085 0:035
 òðåõ ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòàõ, äàííûå êîòî-
ðûõ ïðèâåäåíû â òàáëèöå 1, èçó÷àåòñÿ âçàèìîäåé-
ñòâèå óåäèíåííûõ âîëí óìåðåííîé è áîëüøîé àì-
ïëèòóäû ïî ìîäóëþ a. Îáîçíà÷èì àìïëèòóäó âîëí,
ïåðåìåùàþùèõñÿ ñëåâà íàïðàâî â ñå÷åíèÿõ x l , x r
è ñïðàâà íàëåâî â ñå÷åíèÿõ x r , x l êàê a�
l , a+
r , a�
r ,
a+
l ñîîòâåòñòâåííî. Ïåðâûé è âòîðîé ýêñïåðèìåí-
òû ãåîìåòðè÷åñêè ïîäîáíû, íî àìïëèòóäà âçàèìî-
äåéñòâóþùèõ âîëí â ïåðâîì èç íèõ ìåíüøå, ÷åì
âî âòîðîì. Â òðåòüåì ýêñïåðèìåíòå âîëíû èìåþò
ðàçíóþ àìïëèòóäó. ×òîáû ó÷åñòü ýôôåêò âÿçêîãî
çàòóõàíèÿ óåäèíåííûõ âîëí, â ýêñïåðèìåíòàõ 1* è
2* ïðîâîäèëñÿ ðàñ÷åò îäèíî÷íûõ âîëí ñ ïàðàìå-
òðàìè ýêñïåðèìåíòîâ 1 è 2. Â òàáëèöå ïðèâåäåíû
òàêæå ïîòåðè ýíåðãèè íà ïåðåìåøèâàíèå çà ñ÷åò
íåóñòîé÷èâîñòè, âÿçêîñòè è äèôôóçèè � E è ïîòå-
ðè ýíåðãèè íà ïåðåìåøèâàíèå ïðè âçàèìîäåéñòâèè
�E , äåòàëüíî ðàññìàòðèâàåìûå â ðàçäåëå 3. Ðå-
çóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ïðåäñòàâëåíû â áåçðàçìåðíîì
âèäå. Ãîðèçîíòàëüíàÿ x è âåðòèêàëüíàÿ z êîîðäè-
íàòû è îòêëîíåíèå ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà � íîðìè-
ðóþòñÿ íà h1. Áåçðàçìåðíîå âðåìÿ � èìååò âèä
� = t=
p
� 0h1=� �g; (5)
ãäå ïåðåïàä ïëîòíîñòè � � = � 2 � � 1 . Âðåìÿ îòñ÷è-
òûâàåòñÿ ñ ìîìåíòà ïåðâîãî ïåðåñå÷åíèÿ âîëíàìè
êîíòðîëüíûõ ñå÷åíèé x l è x r . Ñêîðîñòü íîðìèðóå-
òñÿ íà ôàçîâóþ ñêîðîñòü ëèíåéíûõ äëèííûõ âîëí
c0 =
s
gh1h2� �
� 0H
: (6)
2. ÄÈÍÀÌÈÊÀ ÏÐÎÖÅÑÑÎÂ
ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈß
 ïåðâîì ýêñïåðèìåíòå èññëåäîâàëîñü ñòîëêíî-
âåíèå âîëí óìåðåííîé àìïëèòóäû a=h1 � 1. Ðàñ-
ñìîòðèì ýâîëþöèþ âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ
ñëåâà íàïðàâî. Êàê âèäíî íà ðèñ. 2, â ìîìåíò
âðåìåíè � = 0 âîëíà â ñå÷åíèè x l îïèñûâàåòñÿ
êàê ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ Ãàðäíåðà [25], òàê è ðå-
øåíèåì óðàâíåíèé ×îÿ-Êàìàñcû ([11�13]). Ýòîò
ðåçóëüòàò ñîãëàñóåòñÿ ñ ïðåäûäóùèìè ðàñ÷åòàìè
äëÿ óåäèíåííûõ âîëí-ïîâûøåíèé [26] è äëÿ âîëí-
ïîíèæåíèé [19].Òðàíñôîðìàöèÿ óåäèíåííûõ âîëí
ïðè èõ ñòîëêíîâåíèè â ýêñï. 1 ïðèâåäåíà íà ðèñ. 3,
ãäå ïîêàçàíî ïîëå ñîëåíîñòè âäîëü áàññåéíà. Êàê
âèäíî èç ðèñóíêà, âîëíû â ïðîöåññå âçàèìîäåé-
ñòâèÿ îñòàþòñÿ óñòîé÷èâûìè. Ðàñ÷åòû ïîêàçàëè,
÷òî ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ÷èñëà Ðè÷àðäñîíà
Ri =
g
� 0
@�
@z" �
@U
@z
� 2
+
�
@W
@x
� 2
# (7)
â íà÷àëüíîì ñå÷åíèè x l ðàâíî 0.2, òîãäà êàê ïðè
ñòîëêíîâåíèè âîëí îíî ðàñòåò è äîñòèãàåò çíà÷å-
íèé, áîëüøèõ ÷åì 0.25, çàòåì ïàäàåò è, íàêîíåö,
ïðè x l Ri = 0.15. Ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ÷èñëà
Ðè÷àðäñîíà Ri äîñòèãàåòñÿ ïðè ìàêñèìàëüíîì çà-
ãëóáëåíèè ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà âîëíû. Çíà÷åíèÿ
ìèíèìàëüíîãî ÷èñëà Ðè÷àðäñîíà â âîëíàõ îêàçà-
ëèñü ìåíüøå, ÷åì êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå 0.25 äëÿ
ïàðàëëåëüíûõ ñòðàòèôèöèðîâàííûõ ïîòîêîâ [27].
Íî íåîäíîðîäíîñòü ïîòîêà â óåäèíåííûõ âîëíàõ
ìîæåò ïðèâåñòè ê òîìó, ÷òî íåîáõîäèìîå óñëîâèå
Ri <0.25 íå áóäåò äîñòàòî÷íûì äëÿ âîçíèêíîâå-
íèÿ íåóñòîé÷èâîñòè Êåëüâèíà-Ãåëüìãîëüöà (ÊÃ).
Òàê, ñîãëàñíî îöåíêàì äëÿ íåóñòîé÷èâûõ âíóòðåí-
íèõ âîëí, ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå Ri, ïðè êîòîðîì
70 Å. Òåðëåöêàÿ, Â. Ìàäåðè÷, È. Áðîâ÷åíêî
ISSN 1561 -9087 Ïðèêëàäíà ãiäðîìåõàíiêà. 2011. Òîì 13, N 4. Ñ . 68 � 77
Ðèñ. 2. Ïðîôèëè: a � ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà â âîëíå â ñå÷åíèè x l (1) è ïðîôèëè ñîëèòîíîâ Ãàðäíåðà ( 2) è Ì×Ê
(3); á � ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà â âîëíå ïîñëå âçàèìîäåéñòâèÿ â ñå÷åíè è x r (1)è ïðîôèëè ñîëèòîíîâ Ãàðäíåðà ( 2)
è Ì×Ê ( 3) â ýêñï. 1, òàêæå ïîêàçàí ïðîôèëü âîëíû ïðè îòñóòñòâèè âçàèì îäåéñòâèÿ (1*)
Ðèñ. 3. Ïîëå ñîëåíîñòè ïðè âçàèìîäåéñòâèè âîëí â ýêñï. 1
íà÷èíàåòñÿ íåóñòîé÷èâîñòü Êà âíóòðåííèõ âîëí,
ÿâëÿåòñÿRi < 0:075� 0:035è Ri < 0:092� 0:016äëÿ
ëàáîðàòîðíûõ ýêñïåðèìåíòîâ [28] è [18] ñîîòâåò-
ñòâåííî, òîãäà êàê óñëîâèå Ri < 0:10 è Ri < 0:13
âûïîëíÿåòñÿ äëÿ ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ ñ íå-
ëèíåéíûìè âîëíàìè [19] è [20] ñîîòâåòñòâåííî.
Èç-çà íåëîêàëüíîñòè ïðîöåññà ðàçâèòèÿ íåó-
ñòîé÷èâîñòè Êà â âîëíàõ, èñïîëüçîâàíèå òîëüêî
÷èñëà Ðè÷àðäñîíà â êà÷åñòâå êðèòåðèÿ íåóñòîé÷è-
âîñòè ìîæåò áûòü íåäîñòàòî÷íûì. Ïîëåçíîé õà-
ðàêòåðèñòèêîé ñîñòîÿíèÿ ïîòîêà ÿâëÿåòñÿ äëèíà
ïîòåíöèàëüíî íåóñòîé÷èâîé îáëàñòè â âîëíå L x , â
êîòîðîé Ri < 0:25. Ýòà äëèíà õàðàêòåðèçóåò ãî-
ðèçîíòàëüíóþ ïðîòÿæåííîñòü îáëàñòè, â êîòîðîé
ìîæåò ðàçâèâàòüñÿ íåóñòîé÷èâîñòü. Ýìïèðè÷åñêîå
ñîîòíîøåíèå L x =� 0:5 = 0 :86, ïîëó÷åííîå â [18], îò-
äåëÿåò äëèíó óñòîé÷èâûõ îáëàñòåé L x > 0:86� 0:5
îò ïîòåíöèàëüíî íåóñòîé÷èâûõ. Çäåñü � 0:5 �äëèíà
âîëíû íà ïîëîâèíå ìîäóëÿ àìïëèòóäû âîëíû. Â
íà÷àëüíîì ñå÷åíèè x l L x =� 0:5 = 0 :65 è âîëíà òàê-
æå õàðàêòåðèçóåòñÿ êàê óñòîé÷èâàÿ.
Äîïîëíèòåëüíûé êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè äëÿ
Å. Òåðëåöêàÿ, Â. Ìàäåðè÷, È. Áðîâ÷åíêî 71
ISSN 1561 -9087 Ïðèêëàäíà ãiäðîìåõàíiêà. 2011. Òîì 13, N 4. Ñ . 68 � 77
Ðèñ. 4. Òðàåêòîðèè âåðøèí âçàèìîäåéñòâóþùèõ âîëí â ýêñï. 1 ( à), ýêñï. 2 ( á) è ýêñï. 3 ( â). Øòðèõîâîé
ëèíèåé ïîêàçàíû òðàåêòîðèè âîëí áåç âçàèìîäåéñòâèÿ
Ðèñ. 5. Ïðîôèëè: a � ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà â âîëíå â ñå÷åíèè x l (1) è ñîëèòîíà Ì×Ê ( 2); á � ïîâåðõíîñòè
ðàçäåëà â âîëíå ïîñëå âçàèìîäåéñòâèÿ â ñå÷åíèè x r (1) è ñîëèòîíà Ì×Ê ( 2) â ýêñï. 2, òàêæå ïîêàçàí ïðîôèëü
âîëíû ïðè îòñóòñòâèè âçàèìîäåéñòâèÿ ( 2*).
äëèííûõ íåëèíåéíûõ âîëí â äâóõñëîéíîé æèäêî-
ñòè ïðåäëîæåí â [16]. Â ïðèáëèæåíèè Áóññèíåñêà
óðàâíåíèå
4a2
cr � acr (h1 � h2) � h1h2 = 0 (8)
ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå acr
àìïëèòóäû âîëíû. Óåäèíåííàÿ âîëíà ñòàíîâèòñÿ
íåóñòîé÷èâîé ïðè jaj > jacr j. Ïðè x l çíà÷åíèå
jaj=jacr j = 0 :6 è òàêèì îáðàçîì âîëíà è ïî ýòîìó
êðèòåðèþ õàðàêòåðèçóåòñÿ êàê óñòîé÷èâàÿ.
 ýêñïåðèìåíòå 1 ÷èñëî Ðè÷àðäñîíà ïðè âçàè-
ìîäåéñòâèè îñòàåòñÿ áîëüøå, ÷åì âûøåïðèâåäåí-
íûå çíà÷åíèÿ äëÿ âîëí, è âîëíû îñòàþòñÿ óñòîé-
÷èâûìè. Îòíîøåíèå L x =� 0:5 íå ïðåâîñõîäèò êðè-
òè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ 0.86. Çà ñ÷åò âÿçêîãî çàòóõà-
íèÿ â ýêñïåðèìåíòå 1* àìïëèòóäà âîëíû óìåíü-
øàåòñÿ íà 1.5% ìåæäó ñå÷åíèÿìè x l è x r è áåç
âçàèìîäåéñòâèÿ. Îäíàêî, â ðåçóëüòàòå âçàèìîäåé-
ñòâèÿ ïðîèñõîäèò âÿçêèé ðàçìûâ ïðè íàëè÷èè äî-
ñòàòî÷íî áîëüøîãî ñäâèãà â âîëíàõ, âèäèìûé íà
ðèñ. 3 äëÿ � = 80. Àìïëèòóäà âîëí óìåíüøàåòñÿ
íà 3.7% (ðèñ. 2, á) è âîçíèêàåò ôàçîâûé ñäâèã, êàê
âèäíî íà ðèñ. 4, à, ãäå ïðèâåäåíû òðàåêòîðèè âåð-
øèí âçàèìîäåéñòâóþùèõ âîëí.
Âî âòîðîì ýêñïåðèìåíòå ìîäåëèðîâàëîñü âçà-
èìîäåéñòâèå ñèëüíî íåëèíåéíûõ óåäèíåííûõ âîëí,
â êîòîðûõ àìïëèòóäà ïî ìîäóëþ âîëí â íà÷àëüíûé
ìîìåíò âðåìåíè áîëüøå, ÷åì ïðåäåëüíàÿ àìïëè-
òóäà ñîëèòîíà Ãàðäíåðà [25], íî ìåíüøå, ÷åì ïðå-
äåëüíàÿ àìïëèòóäà ñîëèòîíà Ì×Ê â ïðèáëèæåíèè
Áóññèíåñêà:
alim = ( h2 � h1)=2: (9)
Êàê âèäíî íà ðèñ. 5, à, ïðè a=alim = 0 :72 óåäèíåí-
íàÿ âîëíà óñòîé÷èâà è ïîâåðõíîñòü ðàçäåëà õîðî-
øî àïïðîêñèìèðóåòñÿ ðåøåíèåì Ì×Ê.
 íà÷àëüíîì ñå÷åíèè ìèíèìàëüíîå ÷èñëî Ðè-
÷àðäñîíà Ri = 0 :15, îòíîøåíèå x l L x =� 0:5 = 0 :82
è jaj=jacr j = 0 :96 è, òàêèì îáðàçîì, âîëíà ïî âñåì
ýòèì êðèòåðèÿì õàðàêòåðèçóåòñÿ êàê óñòîé÷èâàÿ.
Íà ðèñ. 6 ïðèâåäåíî ðàñïðåäåëåíèå ñîëåíîñòè
âäîëü âû÷èñëèòåëüíîãî áàññåéíà. Ïðîöåññ âçàèìî-
äåéñòâèÿ âîëí áîëüøîé àìïëèòóäû ïðèíöèïèàëü-
íî îòëè÷àåòñÿ îò ðàññìîòðåííîãî â ýêñï. 1 âî-
çíèêíîâåíèåì ñäâèãîâîé íåóñòîé÷èâîñòè ïðè ðà-
ñõîæäåíèè âîëí ( � =60�75), â ðåçóëüòàòå êîòîðîé
72 Å. Òåðëåöêàÿ, Â. Ìàäåðè÷, È. Áðîâ÷åíêî
ISSN 1561 -9087 Ïðèêëàäíà ãiäðîìåõàíiêà. 2011. Òîì 13, N 4. Ñ . 68 � 77
Ðèñ. 6. Ïîëå ñîëåíîñòè ïðè âçàèìîäåéñòâèè âîëí â ýêñï. 2
Ðèñ. 7. Ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòè, íîðìèðîâàííîé íà c0 , è ïîòåíöèàëüíî íåóñòîé÷èâûõ îáëàñòåé ( Ri < 0:25) ïðè
âçàèìîäåéñòâèè âîëí â ýêñï. 2
ôîðìèðóþòñÿ áàðàøêè ÊÃ è ïðîèñõîäèò ïåðåìå-
øèâàíèå. Äåòàëüíî ýòîò ïðîöåcc ïîêàçàí íà ðèñ. 7,
ãäå ïðåäñòàâëåíû ïîëÿ ñêîðîñòè è êîíòóðû ïîòåí-
öèàëüíî íåóñòîé÷èâûõ îáëàñòåé, â êîòîðûõ Ri <
0:25. Ïðè ñõîæäåíèè âîëí ( � = 35) ïîòåíöèàëüíî
íåóñòîé÷èâûå îáëàñòè ðàñïîëîæåíû âáëèçè ìàêñè-
ìàëüíîãî îòêëîíåíèÿ ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà, çàòåì,
ïðè ñõîæäåíèè âîëí îáëàñòè ìàêñèìàëüíîãî ñäâè-
ãà ñäâèãàþòñÿ â òûëüíûå ÷àñòè âîëí ( � = 50). Â
îòëè÷èå îò ïîâåðõíîñòíûõ âîëí, çàïëåñêà ñ ôîð-
ìèðîâàíèåì ñòðóè [4�5] íå ïðîèñõîäèò, òàê êàê
èç-çà ìàëîé ðàçíîñòè ïëîòíîñòè îáà ñëîÿ äèíà-
ìè÷åñêè àêòèâíû ïðè íàëè÷èè ñòàáèëèçèðóþùå-
ãî äåéñòâèÿ òðåíèÿ. Ðàñ÷åòû ïîêàçàëè, ÷òî íåó-
ñòîé÷èâîñòü íà÷èíàåòñÿ ïðè ðàñõîæäåíèè âçàèìî-
äåéñòâóþùèõ âîëí, êîãäà äëèíà ïîòåíöèàëüíî íå-
óñòîé÷èâûõ îáëàñòåé L x íàðàñòàåò îò 0 ïðè � = 54
äî L x =� 0:5 = 0 :86, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò êðèòåðèþ íå-
óñòîé÷èâîñòè íåëèíåéíûõ âíóòðåííèõ âîëí. ×èñ-
ëî Ðè÷àðäñîíà óìåíüøàåòñÿ äî çíà÷åíèÿ 0.07. Â
äàëüíåéøåì L x ïàäàåò è âîëíà âíîâü ñòàíîâèòñÿ
óñòîé÷èâîé.  ñå÷åíèè x r âîëíà, äâèæóùàÿñÿ íà-
ïðàâî, óñòîé÷èâà, õàðàêòåðèçóÿñü ìèíèìàëüíûì
÷èñëîì Ðè÷àðäñîíà Ri = 0 :12. Ïðè ýòîì L x =� 0:5 =
0:81 è jaj=jacr j = 0 :91. Ïðîöåññ âçàèìîäåéñòâèÿ ñî-
ïðîâîæäàåòñÿ îòíîñèòåëüíî ìàëûì ôàçîâûì ñäâè-
ãîì (ðèñ. 4, á). Çà ñ÷åò âÿçêîãî çàòóõàíèÿ â ýêñï.
2* àìïëèòóäà âîëíû óìåíüøàåòñÿ íà 3.2% ìåæäó
Å. Òåðëåöêàÿ, Â. Ìàäåðè÷, È. Áðîâ÷åíêî 73
ISSN 1561 -9087 Ïðèêëàäíà ãiäðîìåõàíiêà. 2011. Òîì 13, N 4. Ñ . 68 � 77
Ðèñ. 8. Ïîëå ñîëåíîñòè ïðè âçàèìîäåéñòâèè âîëí â ýêñï. 3
ñå÷åíèÿìè x l è x r .  ðåçóëüòàòå âçàèìîäåéñòâèÿ
ïðîèñõîäèò ïåðåìåøèâàíèå â ñëîå ðàçäåëà è àì-
ïëèòóäà âîëí óìåíüøàåòñÿ íà 4.6% (ðèñ. 5, á).
 ýêñïåðèìåíòå 3 ìîäåëèðîâàëîñü âçàèìîäåé-
ñòâèå ñèëüíî-íåëèíåéíîé óåäèíåííîé âîëíû ñ òà-
êèìè æå ïàðàìåòðàìè, êàê â ýêñïåðèìåíòå 2, ñ âîë-
íîé ìåíüøåé ïî ìîäóëþ àìïëèòóäîé ñ ïàðàìåòðà-
ìè, êàê â ýêñïåðèìåíòå 1. Íà ðèñ. 8 ïîêàçàíà ýâî-
ëþöèÿ ïîëÿ ñîëåíîñòè ïðè âçàèìîäåéñòâèè ýòèõ
âîëí. Âîëíà ìåíüøåé àìïëèòóäû âçàèìîäåéñòâóåò
áåç ïîÿâëåíèÿ íåóñòîé÷èâîñòè, õîòÿ íåêîòîðûé ðà-
çìûâ ñëîÿ ðàçäåëà è ïðîèñõîäèò ïðè � = 60. ×èñëî
Ðè÷àðäñîíà â ýòîé âîëíå ïàäàåò äî Ri = 0 :15, òî-
ãäà êàê äëèíà ïîòåíöèàëüíî íåóñòîé÷èâîé îáëàñòè
âîçðàñòàåò äî L x =� 0:5 = 0 :7 è çàòåì âíîâü óìåíü-
øàåòñÿ. Íåóñòîé÷èâîñòü âîëíû áîëüøåé àìïëèòó-
äû íà÷èíàåòñÿ ïðè ðàñõîæäåíèè âçàèìîäåéñòâóþ-
ùèõ âîëí, êîãäà äëèíà ïîòåíöèàëüíî íåóñòîé÷è-
âîé îáëàñòè íàðàñòàåò äî L x =� 0:5 = 0 :86, ÷òî ñîîò-
âåòñòâóåò êðèòåðèþ íåóñòîé÷èâîñòè íåëèíåéíûõ
âíóòðåííèõ âîëí. ×èñëî Ðè÷àðäñîíà óìåíüøàåòñÿ
äî çíà÷åíèÿ 0.08.  äàëüíåéøåì L x ïàäàåò è âîëíà
âíîâü ñòàíîâèòñÿ óñòîé÷èâîé. Ïðîöåññ âçàèìîäåé-
ñòâèÿ òàêæå ñîïðîâîæäàåòñÿ îòíîñèòåëüíî ìàëûì
ôàçîâûì ñäâèãîì (ðèñ. 4, â). Â ðåçóëüòàòå âçàèìî-
äåéñòâèÿ ïðîèñõîäèò ïåðåìåøèâàíèå â ñëîå ðàçäå-
ëà âîëí è àìïëèòóäà ìåíüøåé èç âîëí óìåíüøàå-
òñÿ íà 4.4%, à áîëüøåé èç âîëí � íà 3.2%.
3. ÝÍÅÐÃÅÒÈÊÀ ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈß
Ðàññìîòðèì ïðåîáðàçîâàíèÿ ýíåðãèè ïðè âçàè-
ìîäåéñòâèè âíóòðåííèõ óåäèíåííûõ âîëí. Â ïðè-
áëèæåíèè Áóññèíåñêà óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ ëèíå-
àðèçóåòñÿ è âìåñòî (3) âîçíèêàåò îäíî óðàâíåíèå
ýâîëþöèè ïëîòíîñòè:
@�
@t
+ Uj
@�
@xj
= �
@2�
@x2j
: (10)
Óìíîæàÿ óðàâíåíèå êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ (2) íà
U� è óðàâíåíèå (10) íà gz, à çàòåì, ñêëàäûâàÿ ýòè
óðàâíåíèÿ, ïîëó÷èì ýâîëþöèîííîå óðàâíåíèå äëÿ
ïëîòíîñòè ïîëíîé ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè:
@E
@t
+
@fE
@xj
= Di�usion + Dissipation ; (11)
ãäå E � ñóììà êèíåòè÷åñêîé EK = U2
� è ïîòåí-
öèàëüíîé EP = �gz ýíåðãèé íà åäèíèöó îáúåìà,
òîãäà êàê
f E = U� (P + EK + EP ) (12)
ÿâëÿåòñÿ ïîòîêîì ýíåðãèè. Ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíå-
íèÿ (11) îïèñûâàåò äèôôóçèþ ýíåðãèè è âÿçêóþ
äèññèïàöèþ [29].
74 Å. Òåðëåöêàÿ, Â. Ìàäåðè÷, È. Áðîâ÷åíêî
ISSN 1561 -9087 Ïðèêëàäíà ãiäðîìåõàíiêà. 2011. Òîì 13, N 4. Ñ . 68 � 77
Ðèñ. 9. Ýâîëþöèÿ êèíåòè÷åñêîé KE (ñïëîøíàÿ) è äîñòóïíîé ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè AP E (øòðèõîâàÿ)
âçàèìîäåéñòâóþùèõ âîëí â ýêñï. 1 (à), ýêñï. 2 (á) è ýêñï. 3 (â)
Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ( P E) êîíå÷íîãî îáúåìà
æèäêîñòè (V)ìîæåò áûòü ðàçäåëåíà íà ñîñòàâëÿ-
þùóþ, äîñòóïíóþ äëÿ ïåðåõîäà â êèíåòè÷åñêóþ
ýíåðãèþ ( AP E ), è ñîñòàâëÿþùóþ, íåäîñòóïíóþ
äëÿ òàêîãî ïåðåõîäà (ôîíîâóþ) ïîòåíöèàëüíóþ
ýíåðãèþ ( BP E ), êîòîðàÿ îïðåäåëåíà êàê ìèíèìóì
ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè â çàìêíóòîé ñèñòåìå, äî-
ñòèãàåìîé ïðè àäèàáàòè÷åñêîé ïåðåñòðîéêå ïîëÿ
ïëîòíîñòè â äàííîì îáúåìå æèäêîñòè [29-30]. Äî-
ñòóïíàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ êîíå÷íîãî îáúåìà
AP E ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàçíîñòü ìåæäó ïîòåí-
öèàëüíîé ýíåðãèåé P E è BP E :
AP E = P E � BP E = g
Z
V
z�dV � g
Z
V
z��dV; (13)
ãäå �� (z; t) � ãîðèçîíòàëüíî îäíîðîäíûé ôîíîâûé
ïðîôèëü ïëîòíîñòè, ïîëó÷åííûé àäèàáàòè÷åñêîé
ïåðåñòðîéêîé ïîëÿ ïëîòíîñòè â îáúåìå V . Ïëîò-
íîñòü äîñòóïíîé ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè EA îïðå-
äåëåíà êàê
EA (x; z; t ) = g
z �Z
z
( �� (z0) � � )dz: (14)
Ãîðèçîíòàëüíî îäíîðîäíûé ôîíîâûé ïðîôèëü
ïëîòíîñòè ïðåäïîëàãàåòñÿ îáðàòèìûì ñ îáðàòíûì
çíà÷åíèåì z� (�; x; z; t ). Ïðàêòè÷åñêè ýòîò ïðîôèëü
â çàìêíóòîì îáúåìå ïîëó÷àåòñÿ òàê íàçûâàåìîé
ñîðòèðîâêîé ïîëÿ ïëîòíîñòè [30]. Ñîîòâåòñòâóþ-
ùåå çíà÷åíèå ãèäðîñòàòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ ðàâíî
�P (z). Çíà÷åíèå EA ñîîòâåòñòâóåò ðàáîòå ïåðåìå-
ùåíèÿ åäèíè÷íîãî îáúåìà æèäêîñòè ñ âûñîòû z�
íà âûñîòó z ïðîòèâ ñèë ïëàâó÷åñòè â æèäêîñòè
ñ ôîíîâûì ïðîôèëåì �� (z; t) [31]. Ñóììà Ek +
Ea = EPSE íàçûâàåòñÿ ïëîòíîñòüþ ïñåâäîýíåð-
ãèè [29]. Óðàâíåíèå (11) ìîæíî ïåðåïèñàòü â òåð-
ìèíàõ ïñåâäîýíåðãèè:
@EPSE
@t
+
@fE�
@x�
= g
z �Z
z
@�� (z0; t)
@t
dz +
+Di�usion + Dissipation : (15)
Ïîòîê ýíåðãèè (13) ïåðåïèñûâàåòñÿ â âèäå
f E� = U� (p + EK + EA ); (16)
ãäå p = P � �P (z). Ïðîèíòåãðèðîâàâ (15) ïî îáúå-
ìó V , îõâàòûâàþùåìó âñþ òîëùó æèäêîñòè è ïðå-
íåáðåãàÿ âÿçêîé äèññèïàöèåé, ïîëó÷àåì óðàâíåíèå
äëÿ ïñåâäîýíåðãèè P SE:
d
dt
P SE = F (n ) jn +
Z
V
0
@
z �Z
z
@�� (z0t)
@t
dz0
1
A dV0; (17)
ãäåP SE = AP E + KE , KE � êèíåòè÷åñêàÿ ýíåð-
ãèÿ,
KE =
Z
V
EK dV0: (18)
Ðàññìîòðèì ïðåîáðàçîâàíèÿ ýíåðãèè ïðè âçàè-
ìîäåéñòâèè âîëí. Íà ðèñ. 9 ïðèâåäåíà ýâîëþöèÿ
êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè KE è äîñòóïíîé ïîòåíöè-
àëüíîé ýíåðãèè AP E â ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòàõ.
Êàê ñëåäóåò èç ðèñ. 9,à, á, ïðè ôðîíòàëüíîì âçàè-
ìîäåéñòâèè âîëí îäèíàêîâîé àìïëèòóäû â ìîìåíò
ñòîëêíîâåíèÿ ïðàêòè÷åñêè âñÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåð-
ãèÿ âîëí ïåðåõîäèò â ïîòåíöèàëüíóþ, êîòîðàÿ â
äàëüíåéøåì ïðåîáðàçóåòñÿ â êèíåòè÷åñêóþ. Íåó-
ñòîé÷èâîñòü âîëí â ýêñï. 2 è 3 ðàçâèâàåòñÿ â ïðî-
ìåæóòîê âðåìåíè, êîãäà ïåðåõîä ïîòåíöèàëüíîé
ýíåðãèè â êèíåòè÷åñêóþ óñêîðÿåò ñäâèãîâûå òå-
÷åíèÿ â âîëíàõ.  ñâîþ î÷åðåäü, ñäâèãîâàÿ íåó-
ñòîé÷èâîñòü ïðèâîäèò ê ïåðåìåøèâàíèþ è ïåðåõî-
äó êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè â äîñòóïíóþ ïîòåíöèàëü-
íóþ â âèõðÿõ ÊÃ ïðè � = 60 � 75 íà ðèñ. 9, á, â. Èç-
çà àñèììåòðèè ïðîöåññà âçàèìîäåéñòâèÿ â ýêñï. 3
Å. Òåðëåöêàÿ, Â. Ìàäåðè÷, È. Áðîâ÷åíêî 75
ISSN 1561 -9087 Ïðèêëàäíà ãiäðîìåõàíiêà. 2011. Òîì 13, N 4. Ñ . 68 � 77
íå âñÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ïåðåõîäèò â ïîòåíöè-
àëüíóþ â ìîìåíò ñòîëêíîâåíèÿ.
Ïîòåðè ýíåðãèè çà ñ÷åò ïåðåìåøèâàíèÿ, ïåðåõî-
äà â íåäîñòóïíóþ ôîíîâóþ ïîòåíöèàëüíóþ ýíåð-
ãèþ è äèññèïàöèè ìîãóò áûòü îöåíåíû, èñõîäÿ èç
áþäæåòà ýíåðãèè âîëí äî è ïîñëå âçàèìîäåéñòâèÿ.
Îáîçíà÷èì ïñåâäîýíåðãèþ âîëí, ïåðåìåùàþùèõñÿ
ñëåâà íàïðàâî â ñå÷åíèÿõ x l , x r è ñïðàâà íàëåâî â
ñå÷åíèÿõ x r , x l , êàê P SE�
l , P SE+
r , P SE�
r , P SE+
l
ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà ïîòåðè ïñåâäîýíåðãèè íà ïå-
ðåìåøèâàíèå çà ñ÷åò íåóñòîé÷èâîñòè è âÿçêîñòè è
äèôôóçèè ìîæíî îöåíèòü òàê
� E =
P SE�
l + P SE�
r � P SE+
l � P SE+
r
P SE�
l + P SE�
r
: (19)
Îöåíèì ïîòåðè ýíåðãèè íà ïåðåìåøèâàíèå �E êàê
ðàçíîñòü � E ìåæäó ýêñïåðèìåíòàìè 1 è 1� , 2 è 2� ,
à òàêæå 3 è ïîëóñóììîé 1� è 2� . Ðåçóëüòàòû ðà-
ñ÷åòîâ, ïðèâåäåííûå â òàáëèöå 1, ïîêàçûâàþò, ÷òî
äàæå â îòñóòñòâèå íåóñòîé÷èâîñòè Êà èíòåíñèôè-
êàöèÿ ñäâèãîâûõ ïîòîêîâ â ñëîå ðàçäåëà ïðèâîäèò
ê ïîòåðå 3% ýíåðãèè íà ïåðåìåøèâàíèå (ýêñï. 1),
òîãäà êàê ïðè íåóñòîé÷èâîñòè Êà ïîòåðè ýíåðãèè
íà ïåðåìåøèâàíèå ñîñòàâëÿþò 5% (ýêñï. 2). Ïîòå-
ðè ýíåðãèè ïðè ñòîëêíîâåíèè âîëí ðàçíîé àìïëè-
òóäû â ýêñï. 3 îòíîñèòåëüíî ìàëû (îêîëî 3.5%).
ÂÛÂÎÄÛ
 ðàáîòå ÷èñëåííî â ðàìêàõ óðàâíåíèé Íàâüå-
Ñòîêñà èññëåäîâàíà äèíàìèêà è ýíåðãåòèêà ôðîí-
òàëüíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ óåäèíåííûõ âíóòðåííèõ
âîëí-ïîíèæåíèé áîëüøîé àìïëèòóäû, ðàñïðîñòðà-
íÿþùèõñÿ â æèäêîñòè ñ äâóõñëîéíîé ñòðàòèôèêà-
öèåé. Âçàèìîäåéñòâèå âîëí ïðèâîäèëî ê íåêîòî-
ðîìó ìàëîìó ôàçîâîìó ñäâèãó â ðàñïðîñòðàíåíèè
âîëí. Ïîêàçàíî, ÷òî âçàèìîäåéñòâèå âîëí áîëüøîé
àìïëèòóäû ïðèâîäèò ê ñäâèãîâîé íåóñòîé÷èâîñòè
è ôîðìèðîâàíèþ âèõðåé Êåëüâèíà-Ãåëüìãîëüöà â
ñëîå ðàçäåëà. Ðàñ÷åòû ïðåîáðàçîâàíèé ýíåðãèè ïî-
êàçàëè, ÷òî îêîëî 5% ðàñõîäóåòñÿ íà ïåðåìåøè-
âàíèå ïðè âçàèìîäåéñòâèè âîëí áîëüøîé àìïëè-
òóäû, òîãäà êàê ïðè âçàèìîäåéñòâèè âîëí óìå-
ðåííîé àìïëèòóäû, ïðîèñõîäÿùåì áåç ôîðìèðîâà-
íèÿ âèõðåé Êåëüâèíà-Ãåëüìãîëüöà, èíòåíñèôèêà-
öèÿ ñäâèãîâûõ ïîòîêîâ â ñëîå ðàçäåëà ïðèâîäèò ê
ïîòåðå 3% ýíåðãèè íà ïåðåìåøèâàíèå.
1. Zabusky N. J., Kruskal M. D. Interactions of solitons
in a collisionless plasma and the recurrence of initial
states // Phys. Rev. Lett.� 1965.� 15.� P. 240�243.
2. Ablowitz M., Segur H. Solitons and inverse scattering
transform.� Philadelphia: SIAM, 1981.� 410 p.
3. Lamb K.G Are solitary internal waves solitons? //
Studies Appl. Math.� 1998.� 101.� P. 289�308.
4. Maxworthy T. Experiments on collisions between
solitary waves // J. Fluid Mech.� 1976.� 76.� P. 177-
�185.
5. Chambarel J., Kharif C. , Touboul J. Head-on colli-
sion of two solitary waves and residual falling jet
formation // Nonlinear Proc. Geoph.� 2009.� 16.�
P. 111-�122.
6. Mirie R.M., Su C. H. Internal solitary waves and their
head-on collision. I // J. Fluid Mech.� 1984.� 147.�
P. 213�231.
7. Mirie R.M., Su C. H. Internal solitary waves and their
head-on collision. II // Phys. Fluids.� 1986.� 29.�
P. 31�37.
8. Nguyen H.Y., Dias F. A Boussinesq system for two-
way propagation of interfacial waves. // Physica D.�
2008.� 237 .� P. 2365�2389.
9. Moum J.N., Farmer D.M., Smyth W.D., Armi L.,
Vagle S. Structure and generation of turbulence
at interfaces strained by internal solitary waves
propagating shoreward over the continental shelf //
J. Phys. Oceanogr.� 2003.� 33.� P. 2093�2112.
10. Orr M.H., Mignerey P.C. Nonlinear internal waves
in the South China Sea: observation of the conversi-
on of depression internal waves to elevation internal
waves // J. Geophys. Res.� 2003.� 108 (C3) .�
P. 3064�2010.
11. Miyata M. An internal solitary wave of large ampli-
tude // La Mer.� 1985.� 23.� P. 43�48.
12. Grue J., Jensen A., Rusas P.-O., Sveen J. K.Properti-
es of large amplitude internal waves // J. Fluid
Mech.� 1999.� 380.� P. 257�278.
13. Choi W., Camassa R. Fully nonlinear internal waves
in a two-�uid system. // J. Fluid Mech.� 1999.� 396.�
P. 1�36.
14. Jo T.-C., Choi W. Dynamics of strongly nonlinear
solitary waves in shallow water // Stud. Appl. Math.�
2002.� 109.� P. 205�227.
15. Jo T.-C., Choi W. On stabilizing the strongly nonli-
near internal wave model // Stud. Appl. Math.�
2002.� 120.� P. 65�85.
16. Choi W., Barros R., Camassa R. A regularized model
for strongly nonlinear internal solitary waves // J.
Fluid Mech.� 2009.� 629.� P. 73-�85.
17. Cotter C. J., Holm D. D., Percival J. R. The square
root depth wave equations // Proc. R. Soc. A.� 2009.�
466.� P. 3621�3633.
18. Fructus D., Carr M., Grue J., Jensen A., Davies P.
A. Shear-induced breaking of large internal solitary
waves // J. Fluid Mech.� 2009.� 620.� P. 1�29.
19. Maderich V., Talipova T., Grimshaw R., Terletska K.,
Brovchenko I., Pelinovsky E., Choi B.H. Interacti-
on of a large amplitude interfacial solitary wave of
depression with a bottom step. // Physics of Fluids.�
2010.� 22.� P. doi:10.1063/1.3455984.
20. Barad M.F., Fringer O. B. Simulations of shear
instabilities in interfacial gravity waves // J. Fluid
Mech.� 2010.� 644.� P. 61�95.
21. Mellor G.L. An equation of state for numerical models
of ocean and estuaries // J Atmos. Ocean. Tech.�
1991.� 8.� P. 609�611.
22. Kanarska Y., Maderich V. A non-hydrostatic
numerical model for calculating free-surface strati�ed
�ows // Ocean Dynamics.� 2003.� 53.� P. 176�185.
76 Å. Òåðëåöêàÿ, Â. Ìàäåðè÷, È. Áðîâ÷åíêî
ISSN 1561 -9087 Ïðèêëàäíà ãiäðîìåõàíiêà. 2011. Òîì 13, N 4. Ñ . 68 � 77
23. Turkington B., Eydeland A., Wang S. A computati-
onal method for solitary internal waves in a conti-
nuously strati�ed �uid // Stud. Appl. Math.� 1991.�
85.� P. 93-�127.
24. Kao T.W., Pan F.S., Renouard D. Internal solitions
on the pycnocline: generation, propagation, shoaling
and breaking over a slope // J. Fluid Mech.� 1985.�
159.� P. 19-�53.
25. Grimshaw R., Pelinovsky E., Talipova T. Modeling
internal solitary waves in the coastal ocean. // Survey
in Geophysics.� 2007.� 28.� P. 273�298.
26. Maderich V., Talipova T., Grimshaw R., Pelinovsky
E., Choi B.H. , Brovchenko I., Terletska K., Kim
D.C. The transformation of an interfacial solitary
wave of elevation at a bottom step // Nonlinear Proc.
Geoph.� 2009.� 16.� P. 33�42.
27. Miles, J.W., Howard, L.N. Note on a heterogeneous
shear �ow // J. Fluid Mech.� 1964.� 20.� P. 331-�336.
28. Troy C. D., Kose� J. R. The instability and breaking
of long internal waves // J. Fluid Mech.� 2005.� 543.�
P. 107-�336.
29. Shepherd, T. G. A uni�ed theory of available
potential-energy // Atmos.-Ocean.� 2006.� 31.�
P. 1�26.
30. Winters K. B., Lombard P. N., Riley J. J., D'Asaro
E. A. Available potential energy and mixing in densi-
ty strati�ed �uids // J. Fluid Mech.� 1995.� 289.�
P. 115�128.
31. Lamb K.G., Nguyen V.T. On calculating energy �ux
in internal solitary waves with an application to
re�ectance // J Phys Oceanogr.� 2009.� 29.� P. 1�7.
Å. Òåðëåöêàÿ, Â. Ìàäåðè÷, È. Áðîâ÷åíêî 77
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-116331 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-9087 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-24T06:13:24Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Терлецкая, Е. Мадерич, В. Бровченко, И. 2017-04-24T17:01:04Z 2017-04-24T17:01:04Z 2011 Взаимодействие уединенных внутренних волн при фронтальном столкновении / Е. Терлецкая, В. Мадерич, И. Бровченко // Прикладна гідромеханіка. — 2011. — Т. 13, № 4. — С. 68-77. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116331 532.465 Численно исследуется динамика и энергетика фронтального столкновения уединенных внутренних волн, распространяющихся в жидкости с двухслойной стратификацией. Расчеты проводятся в рамках уравнений Навье-Стокса в приближении Буссинеска с использованием негидростатической модели. Показано, что взаимодействие волн большой амплитуды приводит к сдвиговой неустойчивости и формированию вихрей Кельвина-Гельмгольца в слое раздела. Чисельно досліджується динаміка та енергетика трансформації внутрішніх відокремлених хвиль великої амплітуди, що розповсюджуються в рідині з двошаровою стратифікацією. Розрахунки проводяться в рамках рівнянь Нав'є-Стокса у наближенні Буссінеска з використанням негідростатічної моделі. Показано, що взаємодія хвиль великої амплітуди призводить до сдвиговой нестійкості та формування вихорів Кельвіна-Гельмгольца в шарі розділу. The dynamics and energy transformation of internal solitary waves of large amplitude, propagating in a fluid with two-layer stratification are investigated numerically. Calculations are performed in frame of the Navier-Stokes equations in the Boussinesq approximation using non-hydrostatic model. It is shown that the interaction of large-amplitude waves leads to shear instability and the formation of Kelvin-Helmholtz vortices in the layer section. ru Інститут гідромеханіки НАН України Прикладна гідромеханіка Науковi статтi Взаимодействие уединенных внутренних волн при фронтальном столкновении Взаємодія відокремлених внутрішніх хвиль при фронтальному зіткненні The interaction of internal solitary waves in the head-on collision Article published earlier |
| spellingShingle | Взаимодействие уединенных внутренних волн при фронтальном столкновении Терлецкая, Е. Мадерич, В. Бровченко, И. Науковi статтi |
| title | Взаимодействие уединенных внутренних волн при фронтальном столкновении |
| title_alt | Взаємодія відокремлених внутрішніх хвиль при фронтальному зіткненні The interaction of internal solitary waves in the head-on collision |
| title_full | Взаимодействие уединенных внутренних волн при фронтальном столкновении |
| title_fullStr | Взаимодействие уединенных внутренних волн при фронтальном столкновении |
| title_full_unstemmed | Взаимодействие уединенных внутренних волн при фронтальном столкновении |
| title_short | Взаимодействие уединенных внутренних волн при фронтальном столкновении |
| title_sort | взаимодействие уединенных внутренних волн при фронтальном столкновении |
| topic | Науковi статтi |
| topic_facet | Науковi статтi |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116331 |
| work_keys_str_mv | AT terleckaâe vzaimodeistvieuedinennyhvnutrennihvolnprifrontalʹnomstolknovenii AT maderičv vzaimodeistvieuedinennyhvnutrennihvolnprifrontalʹnomstolknovenii AT brovčenkoi vzaimodeistvieuedinennyhvnutrennihvolnprifrontalʹnomstolknovenii AT terleckaâe vzaêmodíâvídokremlenihvnutríšníhhvilʹprifrontalʹnomuzítknenní AT maderičv vzaêmodíâvídokremlenihvnutríšníhhvilʹprifrontalʹnomuzítknenní AT brovčenkoi vzaêmodíâvídokremlenihvnutríšníhhvilʹprifrontalʹnomuzítknenní AT terleckaâe theinteractionofinternalsolitarywavesintheheadoncollision AT maderičv theinteractionofinternalsolitarywavesintheheadoncollision AT brovčenkoi theinteractionofinternalsolitarywavesintheheadoncollision |