Взаимодействие уединенных внутренних волн при фронтальном столкновении

Численно исследуется динамика и энергетика фронтального столкновения уединенных внутренних волн, распространяющихся в жидкости с двухслойной стратификацией. Расчеты проводятся в рамках уравнений Навье-Стокса в приближении Буссинеска с использованием негидростатической модели. Показано, что взаимодей...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Прикладна гідромеханіка
Date:	2011
Main Authors:	Терлецкая, Е., Мадерич, В., Бровченко, И.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут гідромеханіки НАН України 2011
Subjects:	Науковi статтi
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116331
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Взаимодействие уединенных внутренних волн при фронтальном столкновении / Е. Терлецкая, В. Мадерич, И. Бровченко // Прикладна гідромеханіка. — 2011. — Т. 13, № 4. — С. 68-77. — Бібліогр.: 31 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-116331
record_format	dspace
spelling	Терлецкая, Е. Мадерич, В. Бровченко, И. 2017-04-24T17:01:04Z 2017-04-24T17:01:04Z 2011 Взаимодействие уединенных внутренних волн при фронтальном столкновении / Е. Терлецкая, В. Мадерич, И. Бровченко // Прикладна гідромеханіка. — 2011. — Т. 13, № 4. — С. 68-77. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116331 532.465 Численно исследуется динамика и энергетика фронтального столкновения уединенных внутренних волн, распространяющихся в жидкости с двухслойной стратификацией. Расчеты проводятся в рамках уравнений Навье-Стокса в приближении Буссинеска с использованием негидростатической модели. Показано, что взаимодействие волн большой амплитуды приводит к сдвиговой неустойчивости и формированию вихрей Кельвина-Гельмгольца в слое раздела. Чисельно досліджується динаміка та енергетика трансформації внутрішніх відокремлених хвиль великої амплітуди, що розповсюджуються в рідині з двошаровою стратифікацією. Розрахунки проводяться в рамках рівнянь Нав'є-Стокса у наближенні Буссінеска з використанням негідростатічної моделі. Показано, що взаємодія хвиль великої амплітуди призводить до сдвиговой нестійкості та формування вихорів Кельвіна-Гельмгольца в шарі розділу. The dynamics and energy transformation of internal solitary waves of large amplitude, propagating in a fluid with two-layer stratification are investigated numerically. Calculations are performed in frame of the Navier-Stokes equations in the Boussinesq approximation using non-hydrostatic model. It is shown that the interaction of large-amplitude waves leads to shear instability and the formation of Kelvin-Helmholtz vortices in the layer section. ru Інститут гідромеханіки НАН України Прикладна гідромеханіка Науковi статтi Взаимодействие уединенных внутренних волн при фронтальном столкновении Взаємодія відокремлених внутрішніх хвиль при фронтальному зіткненні The interaction of internal solitary waves in the head-on collision Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Взаимодействие уединенных внутренних волн при фронтальном столкновении
spellingShingle	Взаимодействие уединенных внутренних волн при фронтальном столкновении Терлецкая, Е. Мадерич, В. Бровченко, И. Науковi статтi
title_short	Взаимодействие уединенных внутренних волн при фронтальном столкновении
title_full	Взаимодействие уединенных внутренних волн при фронтальном столкновении
title_fullStr	Взаимодействие уединенных внутренних волн при фронтальном столкновении
title_full_unstemmed	Взаимодействие уединенных внутренних волн при фронтальном столкновении
title_sort	взаимодействие уединенных внутренних волн при фронтальном столкновении
author	Терлецкая, Е. Мадерич, В. Бровченко, И.
author_facet	Терлецкая, Е. Мадерич, В. Бровченко, И.
topic	Науковi статтi
topic_facet	Науковi статтi
publishDate	2011
language	Russian
container_title	Прикладна гідромеханіка
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
format	Article
title_alt	Взаємодія відокремлених внутрішніх хвиль при фронтальному зіткненні The interaction of internal solitary waves in the head-on collision
description	Численно исследуется динамика и энергетика фронтального столкновения уединенных внутренних волн, распространяющихся в жидкости с двухслойной стратификацией. Расчеты проводятся в рамках уравнений Навье-Стокса в приближении Буссинеска с использованием негидростатической модели. Показано, что взаимодействие волн большой амплитуды приводит к сдвиговой неустойчивости и формированию вихрей Кельвина-Гельмгольца в слое раздела. Чисельно досліджується динаміка та енергетика трансформації внутрішніх відокремлених хвиль великої амплітуди, що розповсюджуються в рідині з двошаровою стратифікацією. Розрахунки проводяться в рамках рівнянь Нав'є-Стокса у наближенні Буссінеска з використанням негідростатічної моделі. Показано, що взаємодія хвиль великої амплітуди призводить до сдвиговой нестійкості та формування вихорів Кельвіна-Гельмгольца в шарі розділу. The dynamics and energy transformation of internal solitary waves of large amplitude, propagating in a fluid with two-layer stratification are investigated numerically. Calculations are performed in frame of the Navier-Stokes equations in the Boussinesq approximation using non-hydrostatic model. It is shown that the interaction of large-amplitude waves leads to shear instability and the formation of Kelvin-Helmholtz vortices in the layer section.
issn	1561-9087
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116331
citation_txt	Взаимодействие уединенных внутренних волн при фронтальном столкновении / Е. Терлецкая, В. Мадерич, И. Бровченко // Прикладна гідромеханіка. — 2011. — Т. 13, № 4. — С. 68-77. — Бібліогр.: 31 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT terleckaâe vzaimodeistvieuedinennyhvnutrennihvolnprifrontalʹnomstolknovenii AT maderičv vzaimodeistvieuedinennyhvnutrennihvolnprifrontalʹnomstolknovenii AT brovčenkoi vzaimodeistvieuedinennyhvnutrennihvolnprifrontalʹnomstolknovenii AT terleckaâe vzaêmodíâvídokremlenihvnutríšníhhvilʹprifrontalʹnomuzítknenní AT maderičv vzaêmodíâvídokremlenihvnutríšníhhvilʹprifrontalʹnomuzítknenní AT brovčenkoi vzaêmodíâvídokremlenihvnutríšníhhvilʹprifrontalʹnomuzítknenní AT terleckaâe theinteractionofinternalsolitarywavesintheheadoncollision AT maderičv theinteractionofinternalsolitarywavesintheheadoncollision AT brovčenkoi theinteractionofinternalsolitarywavesintheheadoncollision
first_indexed	2025-11-24T06:13:24Z
last_indexed	2025-11-24T06:13:24Z
_version_	1850844133813387264
fulltext	ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 4. С. 68 – 77 УДК 532.465 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ УЕДИНЕННЫХ ВНУТРЕННИХ ВОЛН ПРИ ИХ ФРОНТАЛЬНОМ СТОЛКНОВЕНИИ Е. ТЕР Л ЕЦ К А Я, В. М АД Е РИ Ч, И. Б РО ВЧ Е Н К О Институт проблем математических машин и систем НАН Украины, Киев Получено 9.03 2011 Численно исследуется динамика и энергетика фронтального столкновения уединенных внутренних волн, распро- страняющихся в жидкости с двухслойной стратификацией. Расчеты проводятся в рамках уравнений Навье-Стокса в приближении Буссинеска с использованием негидростатической модели. Показано, что взаимодействие волн боль- шой амплитуды приводит к сдвиговой неустойчивости и формированию вихрей Кельвина-Гельмгольца в слое ра- здела. Чисельно дослiджується динамiка та енергетика трансформацiї внутрiшнiх вiдокремлених хвиль великої амплiтуди, що розповсюджуються в рiдинi з двошаровою стратифiкацiєю. Розрахунки проводяться в рамках рiвнянь Нав’є- Стокса у наближеннi Буссiнеска з використанням негiдростатiчної моделi. Показано, що взаємодiя хвиль великої амплiтуди призводить до сдвигової нестiйкостi та формування вихорiв Кельвiна-Гельмгольца в шарi роздiлу. The dynamics and energy transformation of internal solitary waves of large amplitude, propagating in a fluid with two- layer stratification are investigated numerically. Calculations are performed in frame of the Navier-Stokes equations in the Boussinesq approximation using non-hydrostatic model. It is shown that the interaction of large-amplitude waves leads to shear instability and the formation of Kelvin-Helmholtz vortices in the layer section. ВВЕДЕНИЕ Одним из выдающихся достижений теоретиче- ской физики ХХ века было открытие и исследова- ние солитонов - уединенных волн, которые асим- птотически сохраняют свою форму и скорость при взаимодействии с другими локализованными во- змущениями [1]. Решения ряда уравнений, в том числе уравнений Кортевега-Де Вриза (КдВ), Гар- днера, нелинейного уравнения Шредингера и дру- гих, обладают этими свойствами [2]. Вопрос о том, являются ли длинные гравитационные уе- диненные волны на поверхности воды солитона- ми, интенсивно обсуждался в последние десятиле- тия. Оказалось, что хотя слабонелинейные асим- птотические теории волн на мелкой воде и при- водят к интегрируемым уравнениям, решениями которых являются солитоны, в более высоких по- рядках уединенные волны на поверхности воды не имеют солитонных свойств, хотя отклонения от солитонного поведения небольшие (см. обзор в [3]). Длинные внутренние гравитационные уе- диненные волны при непрерывной стратификации также не обладают солитонными свойствами из-за конечного числа сохраняющихся инвариантов [3], но отклонения от солитонного поведения для волн малой амплитуды также невелики. Взаимодействие уединенных волн при фрон- тальном столкновении отличается от взаимодей- ствия волн, распространяющихся в одном и том же направления, рядом специфических особенно- стей. В частности, при фронтальном взаимодей- ствии поверхностных волн одинаковой и доста- точно большой амплитуды наблюдается формиро- вание вертикальной струи, вызванной вертикаль- ным ускорением при слиянии встречных волн [4– 5]. Аналитически и численно фронтальное вза- имодействие внутренних волн малой амплитуды в двухслойной жидкости изучалось в [6–8], где было показано, что оно проявляется в генерации дис- персионных хвостов и некотором малом фазовом сдвиге. Взаимодействие уединенных внутренних волн большой амплитуды, которые часто встречаются на океанском шельфе (см. напр.[9–10]), до сих пор мало изучено. Известны стационарные реше- ния уравнений Эйлера для двухслойной невязкой жидкости, которые описывают уединенные волны большой амплитуды [11–13]. Однако наличие ра- зрыва скорости между слоями приводит к неу- стойчивости Кельвина-Гельмгольца этих решений [14]. Регуляризация решений путем фильтрации коротковолновых возмущений [15], учета допол- нительных членов высокого порядка [16] или мо- дификации исходной постановки [17] приводит к устойчивым решениям. Взаимодействие уединен- ных волн в рамках таких моделей слабое и также проявляется в генерации дисперсионных хвостов малой амплитуды. В то же время, формирование вихрей Кельвина-Гельмгольца в волнах большой амплитуды наблюдалось как в лабораторных эк- 68 c© Е. Терлецкая, В. Мадерич, И. Бровченко, 2011 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 4. С. 68 – 77 Рис. 1. Геометрия задачи. Штриховые линии показывают контрольные сечения, где рассчитывались потоки энергии (см. Раздел 3) спериментах [12 – 18], так и в натурных исследо- ваниях [9–10] и в численных расчетах в рамках уравнений Навье-Стокса [19 – 20]. Эта неустойчи- вость приводит к генерации турбулентности, пере- мешиванию в слое раздела и затуханию уединен- ных волн. Поэтому следует ожидать, что взаимо- действие волн большой амплитуды будет сопрово- ждаться неустойчивостью Кельвина – Гельмголь- ца, в отличие от предсказаний регуляризованных моделей сильно нелинейных волн. Задача данной статьи – исследование в рамках уравнений Навье- Стокса фронтального взаимодействия сильно не- линейных внутренних волн–понижений. 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Геометрия задачи показана на рис. 1. Две вну- тренние уединенные волны движутся навстречу друг другу в вертикально двумерном вычисли- тельном бассейне лабораторных масштабов, за- полненном стратифицированной по солености во- дой, в котором два однородных слоя разделены уз- ким слоем скачка солености. Невозмущенная по- верхность раздела находится на расстоянии h1 от поверхности воды, толщина нижнего слоя h2 = H−h1. Плотность верхнего и нижнего однородных слоев – ρ1 и ρ2 соответственно. Расчеты проводились в рамках уравнений Навье-Стокса для стратифицированной среды в приближении Буссинеска. Система уравнений не- разрывности, движения и переноса соли имеет вид: ∂Ui ∂xi = 0, (1) ∂Ui ∂t + Uj ∂Ui ∂xj = − 1 ρ0 ∂P ∂xi + ν ∂2Ui ∂xi∂xj − giρ ρ0 , (2) ∂S ∂t + Uj ∂S ∂xj = χ ∂2S ∂x2 j , (3) где xi = (x, y, z) – декартовы координаты, ось z направлена вертикально вверх; Ui = (U, V, W ) – составляющие поля скорости; P – давление; ρ – плотность воды; S – соленость; gi = (0, 0, g) – ускорение силы тяжести; ν – кинематическая вязкость; χ – молекулярная диффузия. Система уравнений (1)-(3) дополнялась уравнением состо- яния [21]. На свободной поверхности касательные напряжения отсутствуют, а на дне используются условия прилипания. Потоки соли через границы бассейна отсутствуют. Система уравнений модели дискретизировалась с использованием метода конечных разностей на сдвинутой сетке. Решение задачи расщеплялось на две подзадачи: (а) – решение двумерной системы уравнений для возвышений уровня и осредненных по глубине скоростей и (б) – решение трехмер- ной задачи для скорости и давления. Поле скоро- сти и давления в трехмерной подзадаче расщепля- лось на гидростатическую и негидростатическую составляющие. Алгоритм решения детально опи- сан в [22]. Вычислительный бассейн лабораторных мас- штабов имел длину L = 20 м и глубину H = 0.32 м. Все численные эксперименты проводились при то- лщине верхнего слоя h1=4 см. Задача решалась в квазидвумерной постановке, когда уравнения дис- кретизировались в нескольких узлах поперек бас- сейна при условии скольжения на боковых стен- ках бассейна. Разрешение сетки по длине, высоте и ширине составляло 2400×260×4. Невозмущенная стратификация в бассейне моделировалась в ви- де поверхностного и придонного однородных сло- ев с соленостью Sup = 0 и Sbot = 30 при постоян- ной температуре 20oC, разделенных тонким пере- ходным слоем. Профиль солености аппроксимиро- вался формулой S(z) = Sup + Sbot 2 − Sbot − Sup 2 th ( z − h1 dh ) , (4) где dh = 0.2 cм. В качестве поверхности разде- ла в расчетах визуализировалась изохалина, равная 15. Численные эксперименты проводи- лись при значениях кинематической вязкости Е. Терлецкая, В. Мадерич, И. Бровченко 69 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 4. С. 68 – 77 ν = 1.14 · 10−6 м2с−1 и молекулярной диффузии соли χ = 10−9 м2с−1. Для генерации уединенных волн большой ам- плитуды при численном моделировании исполь- зуются два метода: либо используются решения уравнения Дюбрей-Жакотен-Лонга [23] либо, по аналогии с лабораторными экспериментами (напр. [24]), механизм коллапса. Во втором методе в вычислительном бассейне выделяется часть объе- ма, заполненная водой отличающейся плотности. Для того, чтобы сформировать уединенную волну- понижение, начальная толщина верхнего слоя в выделенном объеме должна быть больше, чем в остальном бассейне. В противоположном случае генерируются волны повышения. В наших ра- счетах использовался второй метод. После того, как головная волна трансформировалась в уеди- ненную волну, осциллирующий мелкомасштабный хвост "отрезался". Табл 1. Параметры расчетов Эксп. a− l h1 a− r h1 a+ l h1 a+ r h1 ∆E δE 1 1.35 1.35 1.3 1.3 0.07 0.03 1∗ 1.35 − 1.33 − 0.04 − 2 2.17 2.17 2.07 2.07 0.011 0.05 2∗ 2.17 − 2.1 − 0.06 − 3 2.17 1.35 2.1 1.29 0.085 0.035 В трех численных экспериментах, данные кото- рых приведены в таблице 1, изучается взаимодей- ствие уединенных волн умеренной и большой ам- плитуды по модулю a. Обозначим амплитуду волн, перемещающихся слева направо в сечениях xl, xr и справа налево в сечениях xr, xl как a− l , a+ r , a− r , a+ l соответственно. Первый и второй эксперимен- ты геометрически подобны, но амплитуда взаимо- действующих волн в первом из них меньше, чем во втором. В третьем эксперименте волны имеют разную амплитуду. Чтобы учесть эффект вязкого затухания уединенных волн, в экспериментах 1* и 2* проводился расчет одиночных волн с параме- трами экспериментов 1 и 2. В таблице приведены также потери энергии на перемешивание за счет неустойчивости, вязкости и диффузии ∆E и поте- ри энергии на перемешивание при взаимодействии δE, детально рассматриваемые в разделе 3. Ре- зультаты расчетов представлены в безразмерном виде. Горизонтальная x и вертикальная z коорди- наты и отклонение поверхности раздела η норми- руются на h1. Безразмерное время τ имеет вид τ = t/ √ ρ0h1/∆ρg, (5) где перепад плотности ∆ρ = ρ2 −ρ1 . Время отсчи- тывается с момента первого пересечения волнами контрольных сечений xl и xr. Скорость нормируе- тся на фазовую скорость линейных длинных волн c0 = √ gh1h2∆ρ ρ0H . (6) 2. ДИНАМИКА ПРОЦЕССОВ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В первом эксперименте исследовалось столкно- вение волн умеренной амплитуды a/h1 ≈ 1. Рас- смотрим эволюцию волны, распространяющейся слева направо. Как видно на рис. 2, в момент времени τ = 0 волна в сечении xl описывается как решением уравнения Гарднера [25], так и ре- шением уравнений Чоя-Камасcы ([11–13]). Этот результат согласуется с предыдущими расчетами для уединенных волн-повышений [26] и для волн- понижений [19].Трансформация уединенных волн при их столкновении в эксп. 1 приведена на рис. 3, где показано поле солености вдоль бассейна. Как видно из рисунка, волны в процессе взаимодей- ствия остаются устойчивыми. Расчеты показали, что минимальное значение числа Ричардсона Ri = g ρ0 ∂ρ ∂z [ ( ∂U ∂z )2 + ( ∂W ∂x )2 ] (7) в начальном сечении xl равно 0.2, тогда как при столкновении волн оно растет и достигает значе- ний, больших чем 0.25, затем падает и, наконец, при xl Ri = 0.15. Минимальное значение числа Ричардсона Ri достигается при максимальном за- глублении поверхности раздела волны. Значения минимального числа Ричардсона в волнах оказа- лись меньше, чем критическое значение 0.25 для параллельных стратифицированных потоков [27]. Но неоднородность потока в уединенных волнах может привести к тому, что необходимое условие Ri <0.25 не будет достаточным для возникнове- ния неустойчивости Кельвина-Гельмгольца (КГ). Так, согласно оценкам для неустойчивых внутрен- них волн, минимальное значение Ri, при котором 70 Е. Терлецкая, В. Мадерич, И. Бровченко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 4. С. 68 – 77 Рис. 2. Профили: a – поверхности раздела в волне в сечении xl (1) и профили солитонов Гарднера (2) и МЧК (3); б – поверхности раздела в волне после взаимодействия в сечении xr (1)и профили солитонов Гарднера (2) и МЧК (3) в эксп. 1, также показан профиль волны при отсутствии взаимодействия (1) Рис. 3. Поле солености при взаимодействии волн в эксп. 1 начинается неустойчивость КГ внутренних волн, является Ri < 0.075±0.035 и Ri < 0.092±0.016 для лабораторных экспериментов [28] и [18] соответ- ственно, тогда как условие Ri < 0.10 и Ri < 0.13 выполняется для численных экспериментов с не- линейными волнами [19] и [20] соответственно. Из-за нелокальности процесса развития неу- стойчивости КГ в волнах, использование только числа Ричардсона в качестве критерия неустойчи- вости может быть недостаточным. Полезной ха- рактеристикой состояния потока является длина потенциально неустойчивой области в волне Lx, в которой Ri < 0.25. Эта длина характеризует го- ризонтальную протяженность области, в которой может развиваться неустойчивость. Эмпирическое соотношение Lx/λ0.5 = 0.86, полученное в [18], от- деляет длину устойчивых областей Lx > 0.86λ0.5 от потенциально неустойчивых. Здесь λ0.5 –длина волны на половине модуля амплитуды волны. В начальном сечении xl Lx/λ0.5 = 0.65 и волна так- же характеризуется как устойчивая. Дополнительный критерий устойчивости для Е. Терлецкая, В. Мадерич, И. Бровченко 71 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 4. С. 68 – 77 Рис. 4. Траектории вершин взаимодействующих волн в эксп. 1 (а), эксп. 2 (б) и эксп. 3 (в). Штриховой линией показаны траектории волн без взаимодействия Рис. 5. Профили: a – поверхности раздела в волне в сечении xl (1) и солитона МЧК (2); б – поверхности раздела в волне после взаимодействия в сечении xr (1) и солитона МЧК (2) в эксп. 2, также показан профиль волны при отсутствии взаимодействия (2). длинных нелинейных волн в двухслойной жидко- сти предложен в [16]. В приближении Буссинеска уравнение 4a2 cr − acr(h1 − h2) − h1h2 = 0 (8) позволяет определить критическое значение acr амплитуды волны. Уединенная волна становится неустойчивой при \|a\| > \|acr\|. При xl значение \|a\|/\|acr\| = 0.6 и таким образом волна и по этому критерию характеризуется как устойчивая. В эксперименте 1 число Ричардсона при взаи- модействии остается больше, чем вышеприведен- ные значения для волн, и волны остаются устой- чивыми. Отношение Lx/λ0.5 не превосходит кри- тического значения 0.86. За счет вязкого затуха- ния в эксперименте 1* амплитуда волны умень- шается на 1.5% между сечениями xl и xr и без взаимодействия. Однако, в результате взаимодей- ствия происходит вязкий размыв при наличии до- статочно большого сдвига в волнах, видимый на рис. 3 для τ = 80. Амплитуда волн уменьшается на 3.7% (рис. 2, б) и возникает фазовый сдвиг, как видно на рис. 4, а, где приведены траектории вер- шин взаимодействующих волн. Во втором эксперименте моделировалось вза- имодействие сильно нелинейных уединенных волн, в которых амплитуда по модулю волн в начальный момент времени больше, чем предельная ампли- туда солитона Гарднера [25], но меньше, чем пре- дельная амплитуда солитона МЧК в приближении Буссинеска: alim = (h2 − h1)/2. (9) Как видно на рис. 5, а, при a/alim = 0.72 уединен- ная волна устойчива и поверхность раздела хоро- шо аппроксимируется решением МЧК. В начальном сечении минимальное число Ри- чардсона Ri = 0.15, отношение xl Lx/λ0.5 = 0.82 и \|a\|/\|acr\| = 0.96 и, таким образом, волна по всем этим критериям характеризуется как устойчивая. На рис. 6 приведено распределение солености вдоль вычислительного бассейна. Процесс взаимо- действия волн большой амплитуды принципиаль- но отличается от рассмотренного в эксп. 1 во- зникновением сдвиговой неустойчивости при ра- схождении волн (τ=60–75), в результате которой 72 Е. Терлецкая, В. Мадерич, И. Бровченко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 4. С. 68 – 77 Рис. 6. Поле солености при взаимодействии волн в эксп. 2 Рис. 7. Распределение скорости, нормированной на c0, и потенциально неустойчивых областей (Ri < 0.25) при взаимодействии волн в эксп. 2 формируются барашки КГ и происходит переме- шивание. Детально этот процеcc показан на рис. 7, где представлены поля скорости и контуры потен- циально неустойчивых областей, в которых Ri < 0.25. При схождении волн (τ = 35) потенциально неустойчивые области расположены вблизи макси- мального отклонения поверхности раздела, затем, при схождении волн области максимального сдви- га сдвигаются в тыльные части волн (τ = 50). В отличие от поверхностных волн, заплеска с фор- мированием струи [4–5] не происходит, так как из-за малой разности плотности оба слоя дина- мически активны при наличии стабилизирующе- го действия трения. Расчеты показали, что неу- стойчивость начинается при расхождении взаимо- действующих волн, когда длина потенциально не- устойчивых областей Lx нарастает от 0 при τ = 54 до Lx/λ0.5 = 0.86, что соответствует критерию не- устойчивости нелинейных внутренних волн. Чис- ло Ричардсона уменьшается до значения 0.07. В дальнейшем Lx падает и волна вновь становится устойчивой. В сечении xr волна, движущаяся на- право, устойчива, характеризуясь минимальным числом Ричардсона Ri = 0.12. При этом Lx/λ0.5 = 0.81 и \|a\|/\|acr\| = 0.91. Процесс взаимодействия со- провождается относительно малым фазовым сдви- гом (рис. 4, б). За счет вязкого затухания в эксп. 2* амплитуда волны уменьшается на 3.2% между Е. Терлецкая, В. Мадерич, И. Бровченко 73 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 4. С. 68 – 77 Рис. 8. Поле солености при взаимодействии волн в эксп. 3 сечениями xl и xr . В результате взаимодействия происходит перемешивание в слое раздела и ам- плитуда волн уменьшается на 4.6% (рис. 5, б). В эксперименте 3 моделировалось взаимодей- ствие сильно-нелинейной уединенной волны с та- кими же параметрами, как в эксперименте 2, с вол- ной меньшей по модулю амплитудой с параметра- ми, как в эксперименте 1. На рис. 8 показана эво- люция поля солености при взаимодействии этих волн. Волна меньшей амплитуды взаимодействует без появления неустойчивости, хотя некоторый ра- змыв слоя раздела и происходит при τ = 60. Число Ричардсона в этой волне падает до Ri = 0.15, то- гда как длина потенциально неустойчивой области возрастает до Lx/λ0.5 = 0.7 и затем вновь умень- шается. Неустойчивость волны большей амплиту- ды начинается при расхождении взаимодействую- щих волн, когда длина потенциально неустойчи- вой области нарастает до Lx/λ0.5 = 0.86, что соот- ветствует критерию неустойчивости нелинейных внутренних волн. Число Ричардсона уменьшается до значения 0.08. В дальнейшем Lx падает и волна вновь становится устойчивой. Процесс взаимодей- ствия также сопровождается относительно малым фазовым сдвигом (рис. 4, в). В результате взаимо- действия происходит перемешивание в слое разде- ла волн и амплитуда меньшей из волн уменьшае- тся на 4.4%, а большей из волн – на 3.2%. 3. ЭНЕРГЕТИКА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ Рассмотрим преобразования энергии при взаи- модействии внутренних уединенных волн. В при- ближении Буссинеска уравнение состояния лине- аризуется и вместо (3) возникает одно уравнение эволюции плотности: ∂ρ ∂t + Uj ∂ρ ∂xj = χ ∂2ρ ∂x2 j . (10) Умножая уравнение количества движения (2) на Uα и уравнение (10) на gz, а затем, складывая эти уравнения, получим эволюционное уравнение для плотности полной механической энергии: ∂E ∂t + ∂fE ∂xj = Diffusion + Dissipation, (11) где E – сумма кинетической EK = U2 α и потен- циальной EP = ρgz энергий на единицу объема, тогда как fE = Uα(P + EK + EP ) (12) является потоком энергии. Правая часть уравне- ния (11) описывает диффузию энергии и вязкую диссипацию [29]. 74 Е. Терлецкая, В. Мадерич, И. Бровченко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 4. С. 68 – 77 Рис. 9. Эволюция кинетической KE (сплошная) и доступной потенциальной энергии APE (штриховая) взаимодействующих волн в эксп. 1 (а), эксп. 2 (б) и эксп. 3 (в) Потенциальная энергия (PE) конечного объема жидкости (V )может быть разделена на составля- ющую, доступную для перехода в кинетическую энергию (APE), и составляющую, недоступную для такого перехода (фоновую) потенциальную энергию (BPE), которая определена как минимум потенциальной энергии в замкнутой системе, до- стигаемой при адиабатической перестройке поля плотности в данном объеме жидкости [29-30]. До- ступная потенциальная энергия конечного объема APE представляет собой разность между потен- циальной энергией PE и BPE: APE = PE − BPE = g ∫ V zρdV − g ∫ V zρ̄dV, (13) где ρ̄(z, t) – горизонтально однородный фоновый профиль плотности, полученный адиабатической перестройкой поля плотности в объеме V . Плот- ность доступной потенциальной энергии EA опре- делена как EA(x, z, t) = g z∗ ∫ z (ρ̄(z′) − ρ)dz. (14) Горизонтально однородный фоновый профиль плотности предполагается обратимым с обратным значением z∗(ρ, x, z, t). Практически этот профиль в замкнутом объеме получается так называемой сортировкой поля плотности [30]. Соответствую- щее значение гидростатического давления равно ¯P (z). Значение EA соответствует работе переме- щения единичного объема жидкости с высоты z∗ на высоту z против сил плавучести в жидкости с фоновым профилем ρ̄(z, t) [31]. Сумма Ek + Ea = EPSE называется плотностью псевдоэнер- гии [29]. Уравнение (11) можно переписать в тер- минах псевдоэнергии: ∂EPSE ∂t + ∂fEα ∂xα = g z∗ ∫ z ∂ρ̄(z′, t) ∂t dz + +Diffusion + Dissipation. (15) Поток энергии (13) переписывается в виде fEα = Uα(p + EK + EA), (16) где p = P − ¯P (z). Проинтегрировав (15) по объе- му V , охватывающему всю толщу жидкости и пре- небрегая вязкой диссипацией, получаем уравнение для псевдоэнергии PSE: d dt PSE = F (n)\|n + ∫ V   z∗ ∫ z ∂ρ̄(z′t) ∂t dz′   dV ′, (17) где PSE = APE + KE, KE – кинетическая энер- гия, KE = ∫ V EKdV ′. (18) Рассмотрим преобразования энергии при взаи- модействии волн. На рис. 9 приведена эволюция кинетической энергии KE и доступной потенци- альной энергии APE в численных экспериментах. Как следует из рис. 9, а, б, при фронтальном взаи- модействии волн одинаковой амплитуды в момент столкновения практически вся кинетическая энер- гия волн переходит в потенциальную, которая в дальнейшем преобразуется в кинетическую. Неу- стойчивость волн в эксп. 2 и 3 развивается в про- межуток времени, когда переход потенциальной энергии в кинетическую ускоряет сдвиговые те- чения в волнах. В свою очередь, сдвиговая неу- стойчивость приводит к перемешиванию и перехо- ду кинетической энергии в доступную потенциаль- ную в вихрях КГ при τ = 60−75 на рис. 9, б, в. Из- за асимметрии процесса взаимодействия в эксп. 3 Е. Терлецкая, В. Мадерич, И. Бровченко 75 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 4. С. 68 – 77 не вся кинетическая энергия переходит в потенци- альную в момент столкновения. Потери энергии за счет перемешивания, перехо- да в недоступную фоновую потенциальную энер- гию и диссипации могут быть оценены, исходя из бюджета энергии волн до и после взаимодействия. Обозначим псевдоэнергию волн, перемещающихся слева направо в сечениях xl, xr и справа налево в сечениях xr , xl, как PSE− l , PSE+ r , PSE− r , PSE+ l соответственно. Тогда потери псевдоэнергии на пе- ремешивание за счет неустойчивости и вязкости и диффузии можно оценить так ∆E = PSE− l + PSE− r − PSE+ l − PSE+ r PSE− l + PSE− r . (19) Оценим потери энергии на перемешивание δE как разность ∆E между экспериментами 1 и 1∗, 2 и 2∗, а также 3 и полусуммой 1∗ и 2∗. Результаты ра- счетов, приведенные в таблице 1, показывают, что даже в отсутствие неустойчивости КГ интенсифи- кация сдвиговых потоков в слое раздела приводит к потере 3% энергии на перемешивание (эксп. 1), тогда как при неустойчивости КГ потери энергии на перемешивание составляют 5% (эксп. 2). Поте- ри энергии при столкновении волн разной ампли- туды в эксп. 3 относительно малы (около 3.5%). ВЫВОДЫ В работе численно в рамках уравнений Навье- Стокса исследована динамика и энергетика фрон- тального взаимодействия уединенных внутренних волн-понижений большой амплитуды, распростра- няющихся в жидкости с двухслойной стратифика- цией. Взаимодействие волн приводило к некото- рому малому фазовому сдвигу в распространении волн. Показано, что взаимодействие волн большой амплитуды приводит к сдвиговой неустойчивости и формированию вихрей Кельвина-Гельмгольца в слое раздела. Расчеты преобразований энергии по- казали, что около 5% расходуется на перемеши- вание при взаимодействии волн большой ампли- туды, тогда как при взаимодействии волн уме- ренной амплитуды, происходящем без формирова- ния вихрей Кельвина-Гельмгольца, интенсифика- ция сдвиговых потоков в слое раздела приводит к потере 3% энергии на перемешивание. 1. Zabusky N. J., Kruskal M. D. Interactions of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states // Phys. Rev. Lett.– 1965.– 15.– P. 240–243. 2. Ablowitz M., Segur H. Solitons and inverse scattering transform.– Philadelphia: SIAM, 1981.– 410 p. 3. Lamb K.G Are solitary internal waves solitons? // Studies Appl. Math.– 1998.– 101.– P. 289–308. 4. Maxworthy T. Experiments on collisions between solitary waves // J. Fluid Mech.– 1976.– 76.– P. 177- –185. 5. Chambarel J., Kharif C. , Touboul J. Head-on colli- sion of two solitary waves and residual falling jet formation // Nonlinear Proc. Geoph.– 2009.– 16.– P. 111-–122. 6. Mirie R.M., Su C. H. Internal solitary waves and their head-on collision. I // J. Fluid Mech.– 1984.– 147.– P. 213–231. 7. Mirie R.M., Su C. H. Internal solitary waves and their head-on collision. II // Phys. Fluids.– 1986.– 29.– P. 31–37. 8. Nguyen H.Y., Dias F. A Boussinesq system for two- way propagation of interfacial waves. // Physica D.– 2008.– 237 .– P. 2365–2389. 9. Moum J.N., Farmer D.M., Smyth W.D., Armi L., Vagle S. Structure and generation of turbulence at interfaces strained by internal solitary waves propagating shoreward over the continental shelf // J. Phys. Oceanogr.– 2003.– 33.– P. 2093–2112. 10. Orr M.H., Mignerey P.C. Nonlinear internal waves in the South China Sea: observation of the conversi- on of depression internal waves to elevation internal waves // J. Geophys. Res.– 2003.– 108 (C3).– P. 3064–2010. 11. Miyata M. An internal solitary wave of large ampli- tude // La Mer.– 1985.– 23.– P. 43–48. 12. Grue J., Jensen A., Rusas P.-O., Sveen J. K. Properti- es of large amplitude internal waves // J. Fluid Mech.– 1999.– 380.– P. 257–278. 13. Choi W., Camassa R. Fully nonlinear internal waves in a two-fluid system. // J. Fluid Mech.– 1999.– 396.– P. 1–36. 14. Jo T.-C., Choi W. Dynamics of strongly nonlinear solitary waves in shallow water // Stud. Appl. Math.– 2002.– 109.– P. 205–227. 15. Jo T.-C., Choi W. On stabilizing the strongly nonli- near internal wave model // Stud. Appl. Math.– 2002.– 120.– P. 65—85. 16. Choi W., Barros R., Camassa R. A regularized model for strongly nonlinear internal solitary waves // J. Fluid Mech.– 2009.– 629.– P. 73-–85. 17. Cotter C. J., Holm D. D., Percival J. R. The square root depth wave equations // Proc. R. Soc. A.– 2009.– 466.– P. 3621–3633. 18. Fructus D., Carr M., Grue J., Jensen A., Davies P. A. Shear-induced breaking of large internal solitary waves // J. Fluid Mech.– 2009.– 620.– P. 1—29. 19. Maderich V., Talipova T., Grimshaw R., Terletska K., Brovchenko I., Pelinovsky E., Choi B.H. Interacti- on of a large amplitude interfacial solitary wave of depression with a bottom step. // Physics of Fluids.– 2010.– 22.– P. doi:10.1063/1.3455984. 20. Barad M.F., Fringer O. B. Simulations of shear instabilities in interfacial gravity waves // J. Fluid Mech.– 2010.– 644.– P. 61—95. 21. Mellor G.L. An equation of state for numerical models of ocean and estuaries // J Atmos. Ocean. Tech.– 1991.– 8.– P. 609–611. 22. Kanarska Y., Maderich V. A non-hydrostatic numerical model for calculating free-surface stratified flows // Ocean Dynamics.– 2003.– 53.– P. 176–185. 76 Е. Терлецкая, В. Мадерич, И. Бровченко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2011. Том 13, N 4. С. 68 – 77 23. Turkington B., Eydeland A., Wang S. A computati- onal method for solitary internal waves in a conti- nuously stratified fluid // Stud. Appl. Math.– 1991.– 85.– P. 93-–127. 24. Kao T.W., Pan F.S., Renouard D. Internal solitions on the pycnocline: generation, propagation, shoaling and breaking over a slope // J. Fluid Mech.– 1985.– 159.– P. 19-–53. 25. Grimshaw R., Pelinovsky E., Talipova T. Modeling internal solitary waves in the coastal ocean. // Survey in Geophysics.– 2007.– 28.– P. 273–298. 26. Maderich V., Talipova T., Grimshaw R., Pelinovsky E., Choi B.H. , Brovchenko I., Terletska K., Kim D.C. The transformation of an interfacial solitary wave of elevation at a bottom step // Nonlinear Proc. Geoph.– 2009.– 16.– P. 33–42. 27. Miles, J.W., Howard, L.N. Note on a heterogeneous shear flow // J. Fluid Mech.– 1964.– 20.– P. 331-–336. 28. Troy C. D., Koseff J. R. The instability and breaking of long internal waves // J. Fluid Mech.– 2005.– 543.– P. 107-–336. 29. Shepherd, T. G. A unified theory of available potential-energy // Atmos.-Ocean.– 2006.– 31.– P. 1—26. 30. Winters K. B., Lombard P. N., Riley J. J., D’Asaro E. A. Available potential energy and mixing in densi- ty stratified fluids // J. Fluid Mech.– 1995.– 289.– P. 115–128. 31. Lamb K.G., Nguyen V.T. On calculating energy flux in internal solitary waves with an application to reflectance // J Phys Oceanogr.– 2009.– 29.– P. 1–7. Е. Терлецкая, В. Мадерич, И. Бровченко 77

Взаимодействие уединенных внутренних волн при фронтальном столкновении

Institution

Similar Items