Нелинейно-дисперсионные волны в жидкости переменной глубины от солитонов до детерминированного хаоса
Представлен анализ распространения нелинейных поверхностных гравитационных волн в жидкости переменной глубины на основе асимптотического метода многомасштабных разложений. Показано, что при некоторых неоднородностях донной поверхности задача может быть сведена к неавтономной динамической системе, ко...
Saved in:
| Published in: | Прикладна гідромеханіка |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2012
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116352 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Нелинейно-дисперсионные волны в жидкости переменной глубины от солитонов до детерминированного хаоса / В.Ю. Королевич, И.Т. Селезов // Прикладна гідромеханіка. — 2012. — Т. 14, № 2. — С. 80-83. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859822228512702464 |
|---|---|
| author | Королевич, В.Ю. Селезов, И.Т. |
| author_facet | Королевич, В.Ю. Селезов, И.Т. |
| citation_txt | Нелинейно-дисперсионные волны в жидкости переменной глубины от солитонов до детерминированного хаоса / В.Ю. Королевич, И.Т. Селезов // Прикладна гідромеханіка. — 2012. — Т. 14, № 2. — С. 80-83. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладна гідромеханіка |
| description | Представлен анализ распространения нелинейных поверхностных гравитационных волн в жидкости переменной глубины на основе асимптотического метода многомасштабных разложений. Показано, что при некоторых неоднородностях донной поверхности задача может быть сведена к неавтономной динамической системе, которая приводится к системе Лоренца. Отсюда следует возможность перехода солитонного решения в детерминированный хаос.
Представлено аналіз поширення нелінійних поверхневих гравітаційних хвиль у рідині змінної глибини на основі асимптотичного методу багатомасштабних розкладів. Показано, що при деяких неоднорідностях донної поверхні задача може бути зведена до неавтономної динамічної системи, яка приводиться до системи Лоренца. Звідси, як наслідок, випливає можливість переходу солітонного розв'язку в детермінований хаос.
An analysis of surface gravity wave propagation over a variable bottom using the asymptotic method of multiple scale expansions is presented. It is shown that under some inhomogeneous of a bottom surface the problem can be reduced to a nonautonomous dynamical system, which is reduced to the Lorenz system. It is follow from that the possibility of transition of a soliton solution to a determinate chaos.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:26:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2012. Том 14, N 2. С. 80 – 83 КОРОТКI ПОВIДОМЛЕННЯ
УДК 532.5
НЕЛИНЕЙНО-ДИСПЕРСИОННЫЕ ВОЛНЫ В ЖИДКОСТИ
ПЕРЕМЕННОЙ ГЛУБИНЫ: ОТ СОЛИТОНОВ
ДО ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО ХАОСА
В. Ю. К О Р ОЛ ЕВ И Ч,∗ И. Т. С ЕЛ ЕЗ ОВ∗∗
∗Отделение природоохранительных технологий, Лаборатория “Чалк Ривер”, Агенство атомной
энергии Канады, г. Чалк Ривер, Онтарио, Канада
∗∗Институт гидромеханики НАН Украины, Киев
Получено 23.12.2011
Представлен анализ распространения нелинейных поверхностных гравитационных волн в жидкости переменной
глубины на основе асимптотического метода многомасштабныхразложений. Показано, что при некоторых неодноро-
дностях донной поверхности задача может быть сведена к неавтономной динамической системе, которая приводится
к системе Лоренца. Отсюда следует возможность перехода солитонного решения в детерминированный хаос.
Представлено аналiз розповсюдження нелiнiйних поверхневих гравiтацiйних хвиль в рiдинi змiнної глибини на
основi асимптотичного методу багатомасштабних розкладань. Показано, що при деяких неоднорiдностях донної
поверхнi задача може бути зведена до неавтономної динамiчної системи, яка приводиться до системи Лоренца.
Звiдси, як наслiдок, випливає можливiсть переходу солiтонного розв’язку в детермiнований хаос.
Analysis of surface gravity wave propagation over a variable bottom using the asymptotical method of multiple scale
expansions is presented. It is shown that under some inhomogeneous of a bottom surface the problem can be reduced to a
nonautonomic dynamical system, which is reduced to the Lorenz system. It is follow from that the possibility of transition
of a soliton solution to a determinate chaos.
Рассматриваются плоские квазилинейные уеди-
ненные волны. Задача характеризуется тремя ма-
лыми параметрами k a, k h и k ∆h. Полные дву-
мерные уравнения могут быть приведены либо к
уравнениям мелкой воды, либо сразу к аппрокси-
мации Буссинеска известными соотношениями ба-
ланса малых параметров [1–3].
Остановим свой выбор на системах, получен-
ных для переменной глубины Кеворкяном [4, 5],
а также Ньюэллом [6] и Кникербокером [7]. Пред-
ставляется любопытным исследовать параллель-
но также систему, полученную на основании эври-
стического подхода, которую приведем без выво-
да. Итак, соответственно, в трех случаях имеем
(малые параметры устранены при обезразмерива-
нии):
ht + (uh)x = 0,
ut + hx + uux − 1
3
H0hxtt = 0,
(1)
ht + (uh)x − 1
6
h3uxxx = 0,
ut + hx + uux − 1
2
h2uxxt = 0,
(2)
ht + (uh)x = 0,
ut + hx + uux − 1
3
(
h2hxx
)
x
= 0.
(3)
Как видно, имеется произвол в уравнении со-
хранения продольного импульса (если не прини-
мать во внимание дисперсионный член в кинетиче-
ских граничных условиях системы Ньюэлла (2)).
Однако, как будет показано далее и как можно
было заменить интуитивно по идентичности физи-
ческих посылок для включения поправочных чле-
нов, конечные результаты отличаются лишь ко-
личественно. Следующим существенным момен-
том является определенный произвол и физиче-
ских параметров, в первую очередь, отсутствие
оценок критических градиентов неоднородностей
и их протяженности, позволяющих использовать
тот или иной тип решения, например уединенные
и кноидальные волны, а также пакеты.
Рассмотрим достаточно плавные градиенты не-
однородностей, что позволит пренебречь отражен-
ными волнами (так называемыми “Slope-on” оцен-
ками), но уже не оставит у нас уверенности в ре-
гулярной эволюции амплитуды. Итак, полагаем,
что из бесконечности на неоднородность набега-
ет узкополосный пакет. Используем эффективную
ширину носителя пакета в k -пространстве в каче-
стве малого параметра ε метода многих масштабов
[1,2,6]. Разлагая зависимые и независимые пере-
менные (а в результате и дифференциальные опе-
раторы) в ряд по ε, получаем линейную систему
для первого приближения и условия отсутствия
резонансного отклика у следующих приближений
80 c© В. Ю. Королевич, И. Т. Селезов, 2012
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2012. Том 14, N 2. С. 80 – 83
решения:
u → εu + ε2u1 + ε3u2 + O(ε4),
h → h0 + εh + ε2h1 + ε3h2 + O(ε4),
x → x + X + X1 + X2 + O(ε4),
t → t + T + T1 + T2 + O(ε4),
(4)
ε1 :
(
1
3
H0 h0 ∂x x t t + h0 ∂x x − ∂t t
)(
h
u
)
= 0, (5)
((
1
3
h0 ∂3
x + h0 ∂x
)
∂x −
− ∂t t − 1
2
h2
0 ∂x x t t
) (
h
u
)
= 0,
(6)
(
1
3
h3
0 ∂4
x + h0 ∂2
x − ∂t t
) (
h
u
)
= 0,
ht = −h0 ux −
{
1
6
h3
0 ux x x
}
.
(7)
Здесь и далее член в {...} существует только для
системы типа Ньюэлла. Принимая во внимание
лишь пространственную зависимость коэффици-
ентов, отделим временную компоненту в классе бе-
гущих волн посредством фактора e−i ω t. Чтобы не
усложнять выкладки дополнительными асимпто-
тическими построениями, прибегнем к точному
интегрированию полученных обыкновенных диф-
ференциальных уравнений второго и четвертого
порядка, определив класс тестовых неоднородно-
стей.
Следуя результатам Ватсона [8] и К. Иосиды [9,
10], и Мизохаты [11] соответственно, сужаем поиск
решения до класса бесселевых функций. В резуль-
тате получим для неоднородности вида
h0 = Cx(2−m)
решение системы (5)
h ≈ √
xH(1)
ν (kx), (8)
где
ν = m−1, k = C
ω2
m2
×
×
(
1 − 1
3
H0 ω2
)1/2 (
1 − 1
3
H2
0 ω
)1/2
.
(9)
Решение систем (6) и (7) имеет идентичный вид,
однако при неоднородности системы (6) в виде
h0(x) = 4aω2/
(
b2 − 2aCx(2−m)
)
,
a ≈ 1
6
, b = 1 + ω2/2, k2 = Cx(2−m)
(10)
и при неоднородности системы (7) в неявном ви-
де – решении следующего уравнения относительно
h0 будет:
C x(m−2) h2 −
√
b − 1/2ω2h + 3 = 0,
k2 = Cxm−2.
(11)
Как можно видеть, в процессе дифференциро-
вания доминирующую роль в секулярном откли-
ке следующих приближений будет играть член,
порожденный дифференцированием экспоненты в
асимптотическом представлении функции Ханке-
ля, и далее пользуемся приближением оператора
∂x → iθx. Итак, результатом следующего прибли-
жения является:
(a ∂X + b ∂T + c)F = 0, (12)
h1 t = −h0 u1 t −
{
1
6
h3
0 u1 x x x
}
− eiθ (FT +
+
ω
kh0(1/6k3h3
0)
(
h0FX −
{
1
6
h3
0FXk2
}))
,
(13)
a = i
(
h0 ω +
1
3
ω H0 ω2 − ω g
)
,
b = i
(
k − 2 ω2
k h0
− 2
3
k ω2 H0
)
,
(14)
c = i ω h0
′,
a = i
(
h0 ω2
a0
+
h3
0 ω2 k2
6 a0
+ 2 k
ω2
a0
− 2 h2
0 k ω
a0
)
,
b = i
(
−2 ω +
h0 k ω
a0
− h3
0 ω k3
6 a0
+
+
k ω
a0
− h2
0 k3
2 a0
+ h0
ω
a0
)
,
(15)
c = −i h0 ω, a0 = k h0 − 1
6
k3 h3
0,
a = i
(
h0 ω +
1
3
ω h2
0 k2 − ω g
)
,
b = i
(
k − 2 ω2
k h0
− 1
3
k3 h2
0
)
,
c = −i h0 ω +
1
3
ω k2 h2
0.
(16)
Решение (12) выбираем в форме
F (X, T ) = F (X̃) e−∆ T , (17)
где
T̃ = X − CgT, Cg =
a
b
, ∆ =
c
a
,
В. Ю. Королевич, И. Т. Селезов 81
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2012. Том 14, N 2. С. 80 – 83
что согласуется с предельным переходом к одному
случаю.
Решение во втором порядке имеет вид
(
h1
k1
)
∼= F20 f1 ei θ + F21 f2 ei θ
(
E0
G0
)
+ к. с. (18)
Заметим, что константа принадлежит ядру ка-
ждого из уравнений (5), (6) и (7). Однако в силу
симметричного характера квадратичных нелиней-
ностей, а также из начальных условий следовало
бы константы E0 и G0 в первом порядке полагать
равными нулю, что мы и сделаем. В то же вре-
мя, начиная с этого порядка малости, они должны
быть включены в решение (E0 = εE, G0 = εG) и,
как видно будет далее, их роль оказывается суще-
ственной.
В (13) учтено первое уравнение системы, опре-
деляющее рекурентную связь F и Fi j. С равным
успехом (в силу дисперсионного соотношения) мы
могли бы взять и второе уравнение. Перейдем к
следующему порядку ε3:
ET +h0GX +h0G = − ω
h0k
|F 2|X
(
1 −
{
1
12
h2
0k
2
})
,
EX + GT = −
(
ω2
2h2
0k
2
+ C3
)
|F 2|X +
1
6
h
′
0k
2|F 2|,
EX + GT = −
(
ω2
2h2
0k
2
+ C3
)
|F 2|X +
1
6
h
′
0k
2|A2|,
(a3 ∂T2
+ b3 ∂X2
+ a2 ∂XX + b2∂X + C2)F+
+a4FE + b4FG + C4F |F 2| = 0.
(19)
Итак, мы имеем эволюционную амплитудную
систему, зависящую от выбора исходной модели
лишь количественно (посредством коэффициен-
тов) да и то, не очень существенно. Как видно,
учет средних потоков побудил нас устранить ал-
гебраические секулярности и добавить первые два
уравнения. Без средних потоков амплитудная сис-
тема будет иметь традиционный вид уравнения
Гинзбурга-Ландау или Ньюэлла-Уайтхеда с пе-
ременными коэффициентами. Прежде чем при-
ступить к анализу (19) введем ряд упрощаю-
щих предположений – пренебрежем зависимостью
F (X2, T2), что есть внесение O(ε2) -погрешности в
фазу, а функции E и G в плоскости (X̄, T̄) аппро-
ксимируем квазистационарными по оси T̄ , что по-
зволит ввести замену ∂T → ε∂T2
. Во втором урав-
нении ∂X целесообразно заменить на Cg∂X + ∂T ,
что позволит исключить из системы G.
В итоге получаем амплитудную систему вида
(a2∂X̄X̄+b2∂X +C2)F +a6FE+b6F |F 2|=0,
a5EX+b5E =C5+|F 2|X+d5|F 2|, (20)
где
a2 = a1 − C g b1 + C g2 C1,
b2 = −∆ a1 + C g ∆ b1 + d1 − C g d2,
C2 = ∆2 a1 − ∆ d1 + e,
a1 =
h0ω
k
, b1 = h0 −
1
3
gH0h0ω
2 + g,
C1 =
ω
k h0
, d1 =
ωh
′
0
k
, d2 = 0, e =
ωh
′′
0
k
,
(21)
a1 =
h3
0 ω2 k
6a0
+ 1 +
h2
0 k ω
2 a0
,
b1 =
h0 ω
a0
− h3
0 ω k2
b a0
+
ω
a0
− h2
0 k2
2 a0
,
C1 = 1, d1 = 0, d2 = h
′
0
ω
a0
, e = h
′′
0
ω
a0
,
(22)
a1 =
h0ω
k
+
1
3
g h2
0 ω k − i
g ω h2
0
3
,
b1 =
(
h0 −
1
3
g h2
0 k2 + g
)
+ i
g h2
0 k
3
,
C1 =
ω
k h0
, d1 =
ωh
′
0
k
+
1
3
g (h2
0)
′
k ω,
d2 = −1
3
g (h2
0)
′
k2, e =
ωh
′′
0
k
,
a5 = 1 −
C2
g ω
k h0
, b5 = h
′
0
ω
a0
, C5 = ω k3,
a6 = −h0 k2, b6 = −h0 k2 ω
a0
+
1
2
ω2 k
a0
.
(23)
Заметим, что для систем (1) и (3) a0 аналогично
k h0.
Неавтономную динамическую систему, соответ-
ствующую (20), в свою очередь можно свести к
хорошо известной системе Лоренца [12–14]:
d X/d t = σ (X − Y ),
d Y/d t = r1 X − γ X Z − α Y,
d Z/d t = −β Z + η/2(X∗Y + XY ∗),
(24)
где Y – промежуточная переменная, и
X = α∗ F,
Z = β∗ F + γ F 2.
Как известно [9, 15], при r1 ∈]1 − C2; 1 + C2[
мы имеем устойчивый предельный цикл незату-
хающих пульсаций F и E, а при r1 � 1 – фокус,
82 В. Ю. Королевич, И. Т. Селезов
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2012. Том 14, N 2. С. 80 – 83
т. е. колебания X, релаксирующие к стационарно-
му состоянию. Заметим, что в исходном представ-
лении в ряде случаев можно рассматривать урав-
нения Гинзбурга-Ландау как возмущенное уравне-
ние Шредингера и, соответственно, его возмущен-
ные солитонные решения [16], с которых мы соб-
ственно и начали, полагая их данными Коши. Наи-
более интересная картина в решении возникает не
в солитонной или квазипериодической области, а
при r1 � 1 [15, 17], что соответствует в систе-
ме Лоренца режиму существования бесконечно-
го множества периодических устойчивых, а также
гомоклинических траекторий. Последние, однако,
в пространстве начальных данных принадлежит
множеству меры нуль, т. е. могут рассматриваться
как флуктуации. При дальнейшем увеличении па-
раметра порядка наблюдаются кооперативные эф-
фекты и образование предтурбулентных волновых
структур, а также аттрактора гомоклинических
траекторий. Еще раз заметим, что в исходных ве-
личинах это будут пульсации многопериодическо-
го характера из F в средний поток E, перемежаю-
щиеся хаотическими колебаниями (в процессе про-
движения волн в области с иным балансом параме-
тров). Далее при увеличении параметра порядка
возникает и остается лишь странный аттрактор.
Как видно, параметром порядка амплитудной
системы (20) можно считать величину r = ω h
′
0.
Поскольку h
′
0 измеряется в единицах медлeнной
шкалы, в системе могут достигаться необходимые
для детерминированного хаоса величины r.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Исследуется распространения уединенных волн
в жидкости переменной глубины методом много-
масштабных асимптотических разложений. Пока-
зана возможность сведения задачи к системе Ло-
ренца и в результате переход к режиму детерми-
нированного хаоса.
1. Whitham G. B. Linear and nonlinear waves.– John
Wiley & Sons: New York, 1974.– 656 p.; русский пе-
ревод: Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. –
М.: Мир. – 1977. – 622 с.
2. Nayfeh A. H. Perturbation methods.– New York:
Wiley-Interscience, 1973.– 425 p.; русский перевод:
Найфэ А. Методы возмущений. – М.: Мир. – 1976. –
456 с.
3. Kevorkian J., Cole I. D. Perturbation methods in
applied mathematics.– Springer-Verlag: New York,
1981.– 558 p.
4. Kevorkian J., Li H.-K. Resonant modal interactions
and adiabatical invariance for a nonlinear wave conati-
ons in a variabl domain // Stud. Appl. Math.– 1984.–
71, N 1.– P. 1–64.
5. Kevorkian J., Yu J. Passage through the critical
Froude number for shallow-water waves over a variable
bottom // J. Fluid Mech.– 1989.– 204.– P. 31–56.
6. Newell A. C. Solitons in mathematics and physics.– SI-
AM: CBMS-NSF Vol. 48, 1985.– 244 p.; русский пере-
вод: Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике.
М.: Мир. – 1989. – 326 с.
7. Knickerbocker C., Newell A. Reflection of solitary
waves in channels of decreasing depth // J. Fluid
Mech.– 1985.– 153.– P. 1–16.
8. Watson Gr. N. A treatise on the theory of
Bessel functions.– Cambridge: University Press, 1922.–
804 p.; русский перевод: Ватсон Г. Н. Теория бессе-
левых функций. – М.: ИЛ. – 1949. – 798 с.
9. Yoshida K. On algebroid solutions of ordinary di-
fferential equations // Jap. J. Math.– 1933.– 10.–
P. 253–256.
10. Yoshida K. Functional analysis.– New York: Springer-
Verlag, 1980.– 256 p.; русский перевод: Иосида К.
Функциональный анализ. – М.: Мир. – 1967. – 624 с.
11. Мизохата С. Теория уравнений с частными
производными.– М.: Мир, 1977.– 504 с.
12. Странные аттракторы / Математика. Сб. статей.–
М.: Мир, 1981.– 253 с.
13. Lorenz E. N. Deterministic nonperiodic flow // J.
Atmospheric Sci.– 1963.– 20.– P. 130–141.
14. Sparrow C. The Lorenz equations.– New York:
Springer-Verlag, 1982.– 321 p.
15. Hassard B. D., Kazarinov N. D., Ven Y.-H. Theory
and applications of hopf bifurcation. Cambridge: Uni-
versity Press. –1981.; русский перевод:Хэссард Б.,
Казаринов Н, Вэн И. Теория и приложения бифур-
кации рождения цикла. – М.: Мир. – 1985. – 280 с.
16. Kaup D. Forced integrable systems // SIAM-AMS,
Santa-Fe.– 1984.– 2.– P. 195–215.
17. Guckerheimer J., Holmes P. Nonlinear oscillations
dynamical systems and bifurcations of vector fields.–
New York: Springer-Verlag, 1983.– 453 p.
В. Ю. Королевич, И. Т. Селезов 83
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-116352 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-9087 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:26:38Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Королевич, В.Ю. Селезов, И.Т. 2017-04-25T07:09:23Z 2017-04-25T07:09:23Z 2012 Нелинейно-дисперсионные волны в жидкости переменной глубины от солитонов до детерминированного хаоса / В.Ю. Королевич, И.Т. Селезов // Прикладна гідромеханіка. — 2012. — Т. 14, № 2. — С. 80-83. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116352 532.5 Представлен анализ распространения нелинейных поверхностных гравитационных волн в жидкости переменной глубины на основе асимптотического метода многомасштабных разложений. Показано, что при некоторых неоднородностях донной поверхности задача может быть сведена к неавтономной динамической системе, которая приводится к системе Лоренца. Отсюда следует возможность перехода солитонного решения в детерминированный хаос. Представлено аналіз поширення нелінійних поверхневих гравітаційних хвиль у рідині змінної глибини на основі асимптотичного методу багатомасштабних розкладів. Показано, що при деяких неоднорідностях донної поверхні задача може бути зведена до неавтономної динамічної системи, яка приводиться до системи Лоренца. Звідси, як наслідок, випливає можливість переходу солітонного розв'язку в детермінований хаос. An analysis of surface gravity wave propagation over a variable bottom using the asymptotic method of multiple scale expansions is presented. It is shown that under some inhomogeneous of a bottom surface the problem can be reduced to a nonautonomous dynamical system, which is reduced to the Lorenz system. It is follow from that the possibility of transition of a soliton solution to a determinate chaos. ru Інститут гідромеханіки НАН України Прикладна гідромеханіка Короткi повiдомлення Нелинейно-дисперсионные волны в жидкости переменной глубины от солитонов до детерминированного хаоса Нелінійно-дисперсійні хвилі в рідині змінної глибини від солітонів до детерміновоного хаосу Nonlinear-dispersive waves in fluid of variable depth: from solitons to determinated chaos Article published earlier |
| spellingShingle | Нелинейно-дисперсионные волны в жидкости переменной глубины от солитонов до детерминированного хаоса Королевич, В.Ю. Селезов, И.Т. Короткi повiдомлення |
| title | Нелинейно-дисперсионные волны в жидкости переменной глубины от солитонов до детерминированного хаоса |
| title_alt | Нелінійно-дисперсійні хвилі в рідині змінної глибини від солітонів до детерміновоного хаосу Nonlinear-dispersive waves in fluid of variable depth: from solitons to determinated chaos |
| title_full | Нелинейно-дисперсионные волны в жидкости переменной глубины от солитонов до детерминированного хаоса |
| title_fullStr | Нелинейно-дисперсионные волны в жидкости переменной глубины от солитонов до детерминированного хаоса |
| title_full_unstemmed | Нелинейно-дисперсионные волны в жидкости переменной глубины от солитонов до детерминированного хаоса |
| title_short | Нелинейно-дисперсионные волны в жидкости переменной глубины от солитонов до детерминированного хаоса |
| title_sort | нелинейно-дисперсионные волны в жидкости переменной глубины от солитонов до детерминированного хаоса |
| topic | Короткi повiдомлення |
| topic_facet | Короткi повiдомлення |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116352 |
| work_keys_str_mv | AT korolevičvû nelineinodispersionnyevolnyvžidkostiperemennoiglubinyotsolitonovdodeterminirovannogohaosa AT selezovit nelineinodispersionnyevolnyvžidkostiperemennoiglubinyotsolitonovdodeterminirovannogohaosa AT korolevičvû nelíníinodispersíiníhvilívrídinízmínnoíglibinivídsolítonívdodetermínovonogohaosu AT selezovit nelíníinodispersíiníhvilívrídinízmínnoíglibinivídsolítonívdodetermínovonogohaosu AT korolevičvû nonlineardispersivewavesinfluidofvariabledepthfromsolitonstodeterminatedchaos AT selezovit nonlineardispersivewavesinfluidofvariabledepthfromsolitonstodeterminatedchaos |