Компьютерное моделирование отрывного обтекания квадратного цилиндра безграничным потоком вязкой жидкости

Представлены результаты численного исследования задачи обтекания цилиндра с квадратной формой поперечного сечения безграничным ламинарным потоком. Метод расчета основан на прямом решении системы нестационарных уравнений Навье-Стокса в переменных скорость-давление. Приведены результаты исследований с...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2012
Автори:	Бруяцкий, Е.В., Костин, А.Г.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут гідромеханіки НАН України 2012
Назва видання:	Прикладна гідромеханіка
Теми:	Науковi статтi
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116389
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Компьютерное моделирование отрывного обтекания квадратного цилиндра безграничным потоком вязкой жидкости / Е.В. Бруяцкий, А.Г. Костин // Прикладна гідромеханіка. — 2012. — Т. 14, № 3. — С. 22-36. — Бібліогр.: 30 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-116389
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1163892025-02-09T18:04:29Z Компьютерное моделирование отрывного обтекания квадратного цилиндра безграничным потоком вязкой жидкости Комп'ютерне моделювання відривного обтікання квадратного цилиндра безграничным потоком в'язкої рідини Computer modeling of the separation flow around a rectangular cylinder in an infinite cross-flow of a viscous fluid Бруяцкий, Е.В. Костин, А.Г. Науковi статтi Представлены результаты численного исследования задачи обтекания цилиндра с квадратной формой поперечного сечения безграничным ламинарным потоком. Метод расчета основан на прямом решении системы нестационарных уравнений Навье-Стокса в переменных скорость-давление. Приведены результаты исследований стационарного и нестационарного периодического режимов течения. Изучены поля скоростей, давления, вихревая структура течения в следе за цилиндром и гидродинамические силы, действующие на цилиндр, в зависимости от времени и числа Рейнольдса. Результаты расчетов широко представлены в графическом виде. Представлені результати чисельного дослідження задачі обтікання циліндра з квадратною формою поперечного перетину безмежним ламінарним потоком. Метод розрахунку заснований на прямому вирішенні системи нестаціонарних рівнянь Нав'є-Стокса у змінних швидкість-тиск. Наведено результати досліджень стаціонарних і нестаціонарних періодичних режимів течії. Вивчені поля швидкостей, тиску, вихрова структура течії у сліді за циліндром і гідродинамічні сили, які діють на циліндр, в залежності від часу і числа Рейнольдса. Результати розрахунків широко представлені у графічному вигляді. Numerical simulation results are presented on the unbounded laminar flow around a cylinder of a rectangular cross-section. The calculation method is based on a direct solution of non-stationary Navier-Stokes equations in velocity-pressure variables. Investigation results are given for stationary and non-stationary periodic flow regimes. Velocity and pressure fields, vortical structure in the wake behind the cylinder and hydrodynamic forces acting on the cylinder are studied depending on time and Reynolds number. Calculation results are exhaustively illustrated graphically. 2012 Article Компьютерное моделирование отрывного обтекания квадратного цилиндра безграничным потоком вязкой жидкости / Е.В. Бруяцкий, А.Г. Костин // Прикладна гідромеханіка. — 2012. — Т. 14, № 3. — С. 22-36. — Бібліогр.: 30 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116389 517.9: 532.5 ru Прикладна гідромеханіка application/pdf Інститут гідромеханіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Науковi статтi Науковi статтi
spellingShingle	Науковi статтi Науковi статтi Бруяцкий, Е.В. Костин, А.Г. Компьютерное моделирование отрывного обтекания квадратного цилиндра безграничным потоком вязкой жидкости Прикладна гідромеханіка
description	Представлены результаты численного исследования задачи обтекания цилиндра с квадратной формой поперечного сечения безграничным ламинарным потоком. Метод расчета основан на прямом решении системы нестационарных уравнений Навье-Стокса в переменных скорость-давление. Приведены результаты исследований стационарного и нестационарного периодического режимов течения. Изучены поля скоростей, давления, вихревая структура течения в следе за цилиндром и гидродинамические силы, действующие на цилиндр, в зависимости от времени и числа Рейнольдса. Результаты расчетов широко представлены в графическом виде.
format	Article
author	Бруяцкий, Е.В. Костин, А.Г.
author_facet	Бруяцкий, Е.В. Костин, А.Г.
author_sort	Бруяцкий, Е.В.
title	Компьютерное моделирование отрывного обтекания квадратного цилиндра безграничным потоком вязкой жидкости
title_short	Компьютерное моделирование отрывного обтекания квадратного цилиндра безграничным потоком вязкой жидкости
title_full	Компьютерное моделирование отрывного обтекания квадратного цилиндра безграничным потоком вязкой жидкости
title_fullStr	Компьютерное моделирование отрывного обтекания квадратного цилиндра безграничным потоком вязкой жидкости
title_full_unstemmed	Компьютерное моделирование отрывного обтекания квадратного цилиндра безграничным потоком вязкой жидкости
title_sort	компьютерное моделирование отрывного обтекания квадратного цилиндра безграничным потоком вязкой жидкости
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate	2012
topic_facet	Науковi статтi
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116389
citation_txt	Компьютерное моделирование отрывного обтекания квадратного цилиндра безграничным потоком вязкой жидкости / Е.В. Бруяцкий, А.Г. Костин // Прикладна гідромеханіка. — 2012. — Т. 14, № 3. — С. 22-36. — Бібліогр.: 30 назв. — рос.
series	Прикладна гідромеханіка
work_keys_str_mv	AT bruâckijev kompʹûternoemodelirovanieotryvnogoobtekaniâkvadratnogocilindrabezgraničnympotokomvâzkojžidkosti AT kostinag kompʹûternoemodelirovanieotryvnogoobtekaniâkvadratnogocilindrabezgraničnympotokomvâzkojžidkosti AT bruâckijev kompûternemodelûvannâvídrivnogoobtíkannâkvadratnogocilindrabezgraničnympotokomvâzkoírídini AT kostinag kompûternemodelûvannâvídrivnogoobtíkannâkvadratnogocilindrabezgraničnympotokomvâzkoírídini AT bruâckijev computermodelingoftheseparationflowaroundarectangularcylinderinaninfinitecrossflowofaviscousfluid AT kostinag computermodelingoftheseparationflowaroundarectangularcylinderinaninfinitecrossflowofaviscousfluid
first_indexed	2025-11-29T07:01:03Z
last_indexed	2025-11-29T07:01:03Z
_version_	1850107159558225920
fulltext	ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2012. Том 14, N 3. С. 22 – 36 УДК 517.9: 532.5 КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОТРЫВНОГО ОБТЕКАНИЯ КВАДРАТНОГО ЦИЛИНДРА БЕЗГРАНИЧНЫМ ПОТОКОМ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ Е. В. БРУ Я Ц К ИЙ, А. Г. К ОСТ И Н Институт гидромеханики НАН Украины, Киев Полученоно 14.08.2011 � Пересмотрено 12.05.1212 Представлены результаты численного исследования задачи обтекания цилиндра с квадратной формой поперечного сечения безграничным ламинарным потоком. Метод расчета основан на прямом решении системы нестационарных уравнений Навье-Стокса в переменных скорость-давление. Приведены результаты исследований стационарного и нестационарного периодического режимов течения. Изучены поля скоростей, давления, вихревая структура течения в следе за цилиндром и гидродинамические силы, действующие на цилиндр, в зависимости от времени и числа Рейнольдса. Результаты расчетов широко представлены в графическом виде. Представленi результати чисельного дослiдження задачi обтiкання цилiндра з квадратною формою поперечного перетину безграничним ламiнарним потоком. Метод розрахунку заснований на прямому вирiшеннi системи неста- цiонарних рiвнянь Навьє-Стокса у змiнних швидкiсть-тиск. Наведено результати дослiджень стацiонарних i неста- цiонарних перiодичних режимiв течiї. Вивченi поля швидкостей, тиску, вихрова структура течiї у слiдi за цилiндром i гiдродинамiчнi сили, якi дiють на цилiндр, в залежностi вiд часу i числа Рейнольдса. Результати розрахункiв ши- роко представленi у графiчному виглядi. Numerical simulation results are presented on the unbounded laminar flow around a cylinder of a rectangular cross- section. The calculation method is based on a direct solution of non-stationary Navier-Stokes equations in velocity-pressure variables. Investigation results are given for stationary and non-stationary periodic flow regimes. Velocity and pressure fields, vortical structure in the wake behind the cylinder and hydrodynamic forces acting on the cylinder are studied depending on time and Reynolds number. Calculation results are exhaustively illustrated graphically. ВВЕДЕНИЕ Режимы отрывных течений вязкой жидкости около плохообтекаемых тел или инженерных кон- струкций часто встречаются в природе и техни- ке. Сложность исследования таких течений свя- зана с тем, что при определенных числах Рей- нольдса происходит отрыв потока от твердой обте- каемой поверхности, который вызывает нестаци- онарность течения и образование различных ви- хревых структур [1–4]. Понимание механизма их возникновения имеет большое практическое зна- чение для проектирования различных летатель- ных аппаратов, их элементов и других техниче- ских устройств. В силу сложности отрывных течений очень ча- сто их изучение проводят на примерах двумер- ных задач внешнего обтекания цилиндров с разли- чной формой поперечного сечения (круговой, эл- липтической, квадратной, прямоугольной). Изуче- нию такого класса течений посвящено большое ко- личество теоретических и экспериментальных ра- бот [4–7], особенно много – изучению обтекания кругового цилиндра [8–11]. В данной работе рассматривается обтекание ци- линдрических тел с квадратной формой их попе- речного сечения. Эксперименты показывают, что в задачах такого класса в зависимости от числа Рей- нольдса может реализоваться стационарное без- отрывное обтекание и нестационарный периоди- ческий отрывный режим обтекания. В последнем случае в следе за цилиндром возникает система свободных вихревых образований, которые появ- ляются при их отрыве с угловых кромок обтекае- мого цилиндра. Исследованию сопротивления и процессов срыва вихрей с плохообтекаемых тел в установив- шемся потоке несжимаемой жидкости посвящено множество работ. Характер обтекания цилиндров с квадратной и прямоугольной формой попереч- ного сечения отличается от обтекания кругового цилиндра. Многие из работ этого направления сочетают в себе как экспериментальные [12], так и теоретические подходы. Среди наиболее ранних численных исследова- ний течения за квадратным цилиндром отметим работу Лайтхилла [13]. В качестве исходных урав- нений он использует уравнения Навье-Стокса в переменных скорость–завихренность: V − Ω. Это дает возможность свести задачу к решению инте- гральных уравнений для скорости и завихренно- сти [14]. Примерами другого подхода к решению рассматриваемой задачи являются работы [5, 15– 17], в которых использовался дискретно-вихревой 22 c© Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин, 2012 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2012. Том 14, N 3. С. 22 – 36 метод. Многие численные модели течения около ква- дратного цилиндра, основанные на решении урав- нений Навье-Стокса, выполнялись с исполь- зованием переменных функция тока–вихрь и дискретно-вихревым методом. Прямое числен- ное моделирование течения около прямоугольно- го цилиндра при малых числах Рейнольдса было предпринято в "пионерской" работе [18], одна- ко использование в ней схемы с центральными разностями приводило к появлению осцилляций в решении. В работе [19] приведены результа- ты численного решения задачи о течении око- ло прямоугольного цилиндра в безграничном по- токе с использованием специальных разностных схем для производных по времени и конвектив- ных слагаемых. Результаты моделирования оказа- лись успешными до чисел Рейнольдса Re≤ 1000. Для случая квадратного цилиндра получены зави- симости коэффициентов лобового сопротивления от времени в виде синусоиды. В работе [17] для решения этой задачи авторы используют систему уравнений Навье-Стокса в переменных "скорость- завихренность"и объединяют использование эйле- ровых сеток, лагранжевых вихревых частиц и ме- тод дискретных вихрей. В литературе известны и другие методы решения этой задачи [19, 20]. Современные подходы к численному моделиро- ванию обтекания тел при умеренных числах Рей- нольдса вязкой несжимаемой жидкостью часто основываются на прямом решении полной систе- мы уравнений Навье-Стокса. Одной из первых и наиболее полных работ по обтеканию квадратного цилиндра следует отметить работу Дэвиса и Мура [19], в которой алгоритм решения исходных урав- нений использует метод сеток и метод конечных объемов. Определенная сложность физической картины обтекания квадратного цилиндра делает эту зада- чу подходящей для тестирования новых и модифи- цированных численных схем при расчете отрыв- ных течений с рециркуляциями. Недавно в нашей работе [21] предложен эффективный метод чи- сленного интегрирования полной системы неста- ционарных уравнений Навье-Стокса в физических переменных скорость–давление. Общий принцип решения использует метод конечных разностей и разнесенную сетку подобно "МАС"методу [22]. Ве- рификация численного алгоритма была проведена на решении ряда задач о вынужденном течении в прямоугольной каверне с верхней движущейся крышкой, о течениях в плоском внезапно расши- ряющемся канале и в канале с геометрической не- однородностью на его стенке в виде квадратного препятствия [23–25]. Цель данной работы состоит в применении это- го метода для расчета полей скорости, давления, вихревой структуры течения и коэффициентов ги- дродинамических сил, действующих на обтекае- мый квадратный цилиндр при различных числах Рейнольдса. 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ Рассмотрим двумерную задачу поперечного об- текания цилиндрического тела с квадратной фор- мой поперечного сечения безграничным ламинар- ным потоком u0. Физическая схема течения и гра- ницы расчетной области показаны на рис. 1. На- чало введенной декартовой системы координат на- ходится в левом нижнем углу расчетной области ABCD. Вертикальный размер расчетной области AB равен h, а общая длина расчетной области S состоит из трех участков S = S1 + S2 + S3. Не- подвижный цилиндр FF1K1K находятся внутри области ABCD, имеет вертикальный размер ре- бра ”b”, а горизонтальный размер ребра в общем случае равен ”l”. При l = b имеем случай квадра- тного цилиндра, который будет рассматриваться ниже. Левая внешняя граница расчетной области AB удалена от границы тела FF1 на расстояние S1 = 4, а граница CD удалена от ребра K1K вниз по потоку на расстояние S2 = 15. Верхняя BC и ни- жняя AD границы потока считаются достаточно удаленными от контура тела FF1K1K, чтобы на них можно было принять условия невозмущенного потока. Численный эксперимент показал, что рас- стояние h1 можно принять равным 4, чтобы оно не оказывало существенного влияния на результаты расчета с заданной точностью ε для рассматривае- мых чисел Рейнольдса. Жидкость предполагается несжимаемой с постоянными физическими свой- ствами. Для описания движения жидкости использую- тся нестационарные двумерные уравнения Навье- Стокса без каких-либо упрощающих предположе- ний. При введении безразмерных величин за мас- штаб длины принимается длина ребра l, за мас- штаб скорости принята невозмущенная скорость набегающего потока u0, за масштаб времени – ве- личина t0 = l/u0, за масштаб давления – скоро- стной напор p0 = ρ0u 2 0. В безразмерных величинах Vi, P, Xi система не- стационарных уравнений Навье-Стокса с постоян- ными плотностью ρ0 и кинематической вязкостью ν в консервативной тензорной форме в прямоу- Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин 23 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2012. Том 14, N 3. С. 22 – 36 Рис. 1. Принципиальная схема поперечного обтекания квадратного цилиндра безграничным потоком гольной декартовой системе координат записыва- ется в виде [3] ∂Vi ∂τ = − ∂P ∂Xi + + ∂ ∂Xk [ −ViVk + 1 Re ( ∂Vi ∂Xk + ∂Vk ∂Xi )] , (1) ∂Vk ∂Xk = 0. Здесь по повторяющемуся индексу подразумева- ется суммирование. Для рассматриваемой дву- мерной задачи i, k = 1, 2; X1 = X ; X2 = Y ; V1 = U ; V2 = V . При этом U = u/u0, V = v/u0, X = x/l, Y = y/l, τ = tu0/l, P = p/ρ0u 2 0. Здесь U и V - горизонтальная и вертикаль- ная компоненты скорости соответственно. Для за- вершения постановки задачи необходимо задать начальные и краевые условия на всех границах расчетной области и на обтекаемом теле FF1K1K. Предполагается, что в начальный момент времени во всей расчетной области безразмерная горизон- тальная скорость U = 1, а вертикальная скорость V и давление P равны нулю. В качестве грани- чных условий на входе в расчетную область для скорости используются условия невозмущенного потока, которые состоят в том, что U \|AB = 1 и V \|AB = 0. На верхней BC и нижней AD границах расчетной области используются условия подви- жных стенок с прилипанием. При постановке гра- ничных условий на выходе из расчетной области в сечении CD мы сталкиваемся с проблемой моде- лирования граничных условий на бесконечности. В данном случае использованы стандартные усло- вия свободного вытекания в форме Неймана. На твердых стенках неподвижного цилиндра выпол- няются условия прилипания U \| Γ = 0 и непротека- ния V \| Γ = 0, где Γ – твердая граница препятствия. Таким образом, решение системы уравнений (1) будем искать в области 0 ≤ X ≤ S, 0 ≤ Y ≤ H , где S = s/l, H = h/l с начальными и граничными условиями в виде: начальные условия: U(X, Y, 0)=1, V (X, Y, 0)=0, P (X, Y, 0)=0; граничные условия: U \|AB =1; U \|BC =1; U \|AD =1; ∂U/∂X\|CD =0; V \|AB =0; V \|BC =0; V \|AD =0; ∂V/∂X\|CD =0; U \|FF1 =0; U \|F1K1 =0; U \|K1K =0; U \|KF =0; (2) V \|FF1 =0; V \|F1K1 =0; V \|K1K =0; V \|KF =0. Основными параметрами задачи для цилиндра яв- ляются число Рейнольдса Re= u0l/ν и геометриче- ский размер цилиндра l. Следует подчеркнуть, что давление P в рассматриваемой системе уравнений не является основной переменной ни в одном из этих уравнений. При нашем подходе необходимое уравнение для давления выводится из уравнения неразрывности в виде уравнения типа Пуассона. При этом необходимые для его решения значения давления в граничных узлах определяются с по- мощью уравнений движения в комбинации с гра- ничными условиями для компонентов скорости. В процессе решения задачи требуется определить поля скорости, давления и изучить влияние числа Рейнольдса на структуру течения в следе за ци- линдром и на коэффициенты гидродинамическо- го сопротивления и подъемной силы. Стационар- ное обтекание цилиндра характеризуется тем, что искомые переменные U, V, P не зависят от време- ни. Расчет параметров течения и структуры ви- хревых образований основан на численном реше- нии системы уравнений движения жидкости (1) при начально-краевых условиях (2). 2. ОСОБЕННОСТИ ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА Общий принцип используемого метода решения уравнений Навье-Стокса рассмотрен в нашей ра- боте [23]. Для решения системы исходных неста- ционарных уравнений (1) используется метод ко- нечных разностей. Из-за сложностей согласова- ния полей скорости и давления для дискретиза- ции уравнений движения в X, Y направлениях использовалась разнесенная сетка. Это означает, что компоненты скоростей и давления определя- ются в различных узлах подобно методу МАС [24], что дает определенные преимущества при ра- счете поля давления [27]. Конечно-разностные ап- проксимации рассматриваемых уравнений строя- тся на пятиточечном шаблоне в соответствии с из- вестной схемой "крест"[11]. 24 Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2012. Том 14, N 3. С. 22 – 36 Локальная геометрия расположения узлов се- тки показана в [23, рис.1]. Сеточные функции давления расположены в узлах основной сетки S0(j, i, n). Сеточные функции компонентов скоро- стей U и V определены в узлах вспомогательных полуцелых сеток S1(j + 1/2, i, n) и S2(j, i + 1/2, n) соответственно. Шаги сеток hxj и hyi могут быть как равномерными, так и переменными в обеих направлениях. В соответствии с выбранным сето- чным шаблоном, вводятся следующие компактные обозначения: P (Xj , Yi, τ n) = Pn j,i, U((j + 1/2) · ∆x, i · ∆y, n · ∆τ) = Un j+1/2,i, (3) V (j · ∆x, (i + 1/2) · ∆y, n · ∆τ) = V n j,i+1/2. Вся расчетная область разбивается на прямоу- гольные ячейки. Схема их расположения и соо- тветствующие узлы сеток приведены в работе [23]. 3. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ Для конечно-разностной аппроксимации исхо- дных уравнений движения и неразрывности используются неявная конечно-разностная схема первого порядка точности для производных по времени и второго порядка точности для произво- дных по пространству. Кроме того, диффузион- ные слагаемые аппроксимируются по схеме с цен- тральными разностями, а для конвективных сла- гаемых используются схемы с односторонними ра- зностями "против потока". Особенностью дискре- тизации является то, что конечно-разностная ап- проксимация центрируется в соответствии с вы- бранным шаблоном. При этом сеточные индексы для зависимых переменных оказываются сдвину- тыми. Подстановка конечно-разностных формул в исходную систему уравнений движения позволя- ет записать их дискретные аналоги для X и Y направлений. Эти уравнения, после соответствую- щей группировки слагаемых, дополненные уравне- нием неразрывности, имеют следующий конечно- разностный вид: dU j+1/2,iU n+1 j+1/2,i + cU 1 Un+1 j+3/2,i + cU 0 Un+1 j−1/2,i+ +bU 1 Un+1 j+1/2,i+1 + bU 0 Un+1 j+1/2,i−1 = = −∆y(Pn+1 j+1,i − Pn+1 j,i ) + fU , (4) dV j,i+1/2V n+1 j,i+1/2 + cV 1 V n+1 j,i+3/2 + cV 0 V n+1 j,i−1/2 + +bV 1 V n+1 j+1,i+1/2 + bV 0 V n+1 j−1/2,i+1/2 = = −∆x(Pn+1 j,i+1 − Pn+1 j,i ) + fV , (5) Un+1 j+1/2,i − Un+1 j−1/2,i ∆x + V n+1 j,i+1/2 − V n+1 j,i−1/2 ∆y = 0, (6) где коэффициенты дискретизации dj+1/2,i, dj,i+1/2, c1, c0, b1, b0 и свободные члены f с верхними индексами U, V являются известными величинами по данным с предыдущего шага и определяются по определенным алгебраическим формулам. Хотя полученная система уравнений (4)–(6) яв- ляется основной, однако она пока незамкнута, так как содержит неизвестное давление. 4. УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ДАВЛЕНИЯ Необходимое уравнение для вычисления давле- ния можно получить из уравнения неразрывности. С этой целью будем следовать известной процеду- ре SIMPLE [27] и преобразуем уравнения (4) и (5) к следующему виду: Un+1 j+1/2,i = −∆y(Pn+1 j,i − Pn+1 j+1,i) + GU j+1/2,i dU j+1/2,i , (7) V n+1 j,i+1/2 = −∆x(Pn+1 j,i − Pn+1 j,i+1 ) + GV j,i+1/2 dV j,i+1/2 , (8) где введенные выражения GU j+1/2,i и GV j,i+1/2 изве- стны, так как они зависят от скоростей с предыду- щего шага n. Далее для получения необходимого уравнения для давления на n+1 шаге используем уравнение неразрывности (6). Учитывая его стру- ктуру, подставим значения соответствующих ком- понентов скорости из (7), (8) в уравнение нера- зрывности (6). Тогда получим выражение, в ко- тором неизвестными величинами являются лишь сеточные функции давления в узле с номером (j, i) и окружающих его соседних узлах. Выпол- нив простые преобразования, после группировки соответствующих слагаемых получим следующий конечно-разностный аналог для вычисления сето- чных функций давления: dP j,iP n+1 j,i + cP 1 Pn+1 j+1,i + cP 0 Pn+1 j−1,i+ +bP 1 Pn+1 j,i+1 + bP 0 Pn+1 j,i−1 = fP , (9) где свободный член fP и коэффициенты дискре- тизации dP j,i, c P 1 , cP 0 , bP 1 , bP 0 известны. Pазностное уравнение для давления (9) явля- ется замаскированным уравнением Пуассона и Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин 25 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2012. Том 14, N 3. С. 22 – 36 представляет собой систему линейных алгебраи- ческих уравнений. Полученная система уравнений движения (7)–(9) связывает значения давления и компонентов скоростей на (n + 1) временном слое и является фундаментальным результатом, пред- ставляющим универсальный дискретный аналог системы общих уравнений движения несжимаемой жидкости. Отметим, что уравнение Пуассона для давления фактически заменяет уравнение нера- зрывности и система уравнений оказывается за- мкнутой. Для решения таких систем алгебраических уравнений разработаны эффективные итерацион- ные методы. Например, уравнение Пуассона для давления решается методом покоординатного ра- сщепления и использования метода прогонки. 5. ПРОЦЕДУРА РЕШЕНИЯ В настоящем методе компоненты скорости и давления расщеплены так, что на любом этапе расчета решаются уравнения относительно одной зависимой переменной. Это упрощает примене- ние стандартных методов решения систем линей- ных алгебраических уравнений полученного ви- да. Расчеты проводятся для двух основных фи- зических переменных – скорость, давление. Ите- рационный вычислительный процесс состоит из шагов по времени. В начале каждого временно- го цикла предполагаются известными поля скоро- сти и давления. Вычислительная процедура ра- счета каждого шага по времени разбивается на три этапа и выполняется в следующей последо- вательности. На первом этапе при заданных на предыдущем временном шаге значениях Un j+1/2,i и V n j,i+1/2 по соответствующим алгебраическим фор- мулам рассчитываются коэффициенты дискрети- зации dU j+1/2,i, d V j,i+1/2 , dP j,ic P 1 , cP 0 , bP 1 , bP 0 и выраже- ния GU j+1/2,i(U n, V n), GV j,i+1/2 (Un, V n), включая свободный член fP (j, i). На втором этапе, зная ко- эффициенты уравнения Пуассона, путем его реше- ния находится поле давления Pn+1 j,i . Далее, на тре- тьем этапе, зная коэффициенты дискретизации и поле давления Pn+1 j,i , по уравнениям (7), (8) рас- считываются поля скорости Un+1 j+1/2,i, V n+1 j,i+1/2 на (n + 1) шаге. На этом первый временной цикл за- канчивается и далее он повторяется. Задача ре- шается на установление. Критерием окончания ре- шения служит заданное время счета или условие, когда максимальная разность между значениями искомых переменных на предыдущем и следую- щем временном шаге не превышает заданную ве- личину ошибки ε. Рис. 2. Схема расположения реперных точек и их координаты: № 1 – X=4.08; Y =5.08; № 2 – X=4.72; Y =5.08; № 3 – X=5.16; Y =5.00; № 4 – X=5.24; Y =5.00 На каждом шаге по времени контролируется сходимость расчетов как основных уравнений, так и граничных условий. Алгоритм решения на уста- новление позволяет получить как стационарное решение, так и исследовать динамику течений во времени. Важным моментом расчетов является переход в граничных условиях для U и V к конечным разно- стям и контроль за выполнением уравнения нера- зрывности. Разработанный алгоритм решения эво- люционной гидродинамической задачи для систе- мы двумерных нестационарных уравнений Навье- Стокса реализован в виде оригинальной компью- терной программы UDAMEL (Universal Discrete Analogue Momentum Equation Liquid) на языке Фортран. 6. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ. СТАЦИОНАРНЫЙ РЕЖИМ С помощью разработанной программы была выполнена серия расчетов по определению полей скорости, давления и гидродинамических сил, дей- ствующих на обтекаемый безграничным потоком квадратный цилиндр при различных числах Рей- нольдса (Re=50, 70, 100, 250, 500, 1000) на рав- номерной сетке размером 225×500. Как и ожида- лось, расчеты показали, что поле скоростей в зо- не цилиндра, поле давления и коэффициенты ги- дродинамического сопротивления и подъемной си- лы зависят от числа Рейнольдса. В случае низ- ких чисел Рейнольдса, меньших критического Re∗, реализуется стационарный режим обтекания ква- дратного цилиндра однородным безграничным по- 26 Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2012. Том 14, N 3. С. 22 – 36 Рис. 3. Зависимость продольной U , вертикальной V скоростей и коэффициента давления Cр от времени при обтекании квадратного цилиндра для различных чисел Рейнольдса в трех реперных точках −→1, −−−2 и − · − · −3 Рис. 4. Фрагменты векторного поля скоростей при обтекании квадратного цилиндра числах Рейнольдса Re=40 и Re=70 для τ=140 током. Экспериментальное подтверждение такого безотрывного режима обтекания отмечается в ря- де работ [5]. Интересно отметить, что в случае об- текания кругового цилиндра критическое значе- ние числа находится в диапазоне Re∗ ≈ (40 . . . 50) [8]. Для квадратного цилиндра критическое чис- ло Рейнольдса так однозначно не определено. По литературным источникам оно составляет поря- док Re∗ ≈ (80 . . . 100), но встречаются и другие оценки. Из экспериментов известно, что при чи- слах Re>Re∗ наблюдается явление отрыва и снос вихрей с задних кромок цилиндра, которые ока- зывают существенное влияние на режим обтека- ния, структуру полей скорости и давления, а сле- довательно, и на сопротивление обтекаемого тела и его подъемную силу. В качестве первого примера результатов числен- ных исследований рассмотрим изменение во вре- мени локальных значений скоростей и коэффици- ентов давления Cp в четырех реперных точках по- тока при различных числах Рейнольдса. Схема ра- сположения реперных точек и их координаты при- ведены на рис. 2. Изучение характеристик потока было проведено при различных числах Рейнольд- са в диапазоне 40 ≤ Re≤ 1000. Для наших целей характерными оказались точки № 1, 2, 3. Результаты расчетов зависимости компонентов скорости U, V и коэффициента давления Cp от вре- мени для трех реперных точек показаны на рис. 3. Анализ расчетных кривых подтверждает, что в за- висимости от числа Рейнольдса наблюдаются два режима обтекания цилиндра. Первый – это ста- ционарный режим, при котором значения пара- метров со временем выходят на постоянные зна- чения. Этот режим наблюдается при числах Рей- нольдса Re<Re∗ = 70. С ростом числа Рейнольдса картина обтекания изменяется. Примеры динами- ки значений скоростей U, V и коэффициента дав- ления Cp для чисел Рейнольдса Re=100, 250, 500, 1000 приведены на четырех фрагментах рис. 3, из Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин 27 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2012. Том 14, N 3. С. 22 – 36 Рис. 5. Фрагменты векторного поля скоростей (a), их изолиний (b) и изолиний коэффициентов давления (с) при числе Re=50 для τ=140 которого видно, что с ростом числа Рейнольдса по- ведение параметров потока изменяется во време- ни вследствие потери устойчивости течения. При этом в рассматриваемых трех характерных репер- ных точках наблюдаются периодические осцилля- ции параметров потока. Они приводят к образова- нию вихрей на верхней и нижней горизонтальных стенках обтекаемого цилиндра. Далее эти вихри сносятся основным потоком и в следе за цилин- дром развиваются периодические вихревые струк- туры, которые известны в литературе как вихре- вые дорожки Кармана [3]. В качестве второго примера расчетов рассмо- трим результаты установившегося обтекания ква- дратного цилиндр. На рис. 4 представлены фра- гменты векторного поля скоростей при числах Рейнольдса Re=40 и Re=70. Анализ этих фра- гментов показывает, что в следе за цилиндром ха- рактерно образование возвратного течения. При этом циркуляционная зона вытянута вдоль по те- чению и при Re=40 она еще симметрична, а при Re=70 симметрия нарушается и указывает на во- 28 Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2012. Том 14, N 3. С. 22 – 36 Рис. 6. Принципиальная схема нестационарного отрывного обтекания квадратного цилиндра (Re=100) зникновение переходного режима. Впереди цилин- дра поток тормозится и обтекает его без образова- ния вихревых зон на передних кромках цилиндра. Поскольку исходные уравнения движения за- писаны и решаются в переменных скорость– давление, то это позволяет в процессе решения за- дачи сразу определить и поле давления в виде изо- линий коэффициентов давления Cp: Cp = 2(p − p1)/ρu2 0, где p – локальное давление; p1 – характерное дав- ление в невозмущенном потоке. Результаты расче- тов полей давления представлены в виде изолиний коэффициентов давления. С целью полноты представления результатов расчета для числа Рейнольдса Re=50 на компле- ксном рис. 5 приведены изолинии коэффициентов давления совместно с расчетными фрагментов ве- кторного поля скоростей и их изолиний. Характер- ным для этого режима является симметрия тече- ния как в ближнем его следе, так и во всей зоне ра- сположения цилиндра. Векторное поле скоростей и их изолиний дополняют друг друга и позволяют наглядно видеть структуру течения и поле давле- ния при заданном числе Рейнольдса. Результаты расчетов показывают, что такой ста- ционарный режим обтекания наблюдается при чи- слах Re<70 и согласуется с экспериментами. При этом полученные значения параметров потока при численном решении задачи выходят на постоян- ные значения, что свидетельствует об их асимпто- тической устойчивости. А вот при числе Re≥70 на- блюдается потеря стационарного режима обтека- ния. Средства компьютерной техники позволяют наглядно видеть формирование неустановившейся структуры течения с ростом числа Рейнольдса. 7. НЕСТАЦИОНАРНЫЙ ПЕРИОДИЧЕСКИЙ РЕЖИМ ОБТЕКАНИЯ Обратимся теперь к анализу результатов расче- та в случае нестационарного отрывного обтека- ния квадратного цилиндра, то есть при числах Re>Re∗. Выше, на рис. 3 представлены расчетные зависимости от времени мгновенных значений ско- ростей U, V и коэффициента давления Cp в репер- ных точках № 1, 2, 3 для различных режимов об- текания. При этом в процессe расчетов никаких искусственных возмущений в поток не вводилось. Эти результаты расчетов согласуются с данными экспериментов [5] и с физической точки зрения объясняют влияние вихрей, образующихся при чи- слах Re>Re∗ на верхней и нижней горизонталь- ных границах квадратного цилиндра, на структу- ру течения в следе. На рис. 6 приведены результа- ты расчетов при числе Re=100, когда реализуется нестационарный режим обтекания. Рассмотрим принципиальную схему нестацио- нарного отрывного обтекания квадратного цилин- дра, приведенную на рис. 6. Набегающий на ци- линдр поток тормозится и давление в передней критической точке A достигает максимума. На участке поверхности цилиндра AF1 давление, по мере продвижения от точки A к точке F1, снижае- тся. В то же время, продольная скорость сразу за точкой F1 на верхней стенке цилиндра F1K1 в при- стенной области, в силу условия прилипания жид- кости, убывает, тогда как давление в этой обла- сти растет. Поэтому вблизи стенки F1K1 затормо- женная жидкость не может далеко продвинуться в область повышенного давления между точками F1 и K1, и где-то, не доходя до точки K1, останав- ливается, а затем под действием положительно- го градиента давления жидкость в пристеночной области начинает двигаться в обратном направле- нии, увеличивая толщину пограничного слоя на участке F1K1. Если число Re>Re∗, то образовав- шиеся вихри развиваются, и, достигнув определен- ных размеров, сносятся основным потоком и поо- чередно срываются с задних угловых кромок ци- линдра. После отрыва вихрей структура течения в следе сильно изменяется и становится нестаци- онарной и несимметричной. Аналогичная карти- на течения имеет место и на нижней стенке ква- драта FK. Рассмотренный процесс образования и отрыва вихрей с квадратного цилиндра приводит к появлению периодических вихревых структур в следе за цилиндром. С целью более подробного изучения нестацио- нарных режимов обтекания квадратного цилин- дра была выполнена серия методических расчетов Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин 29 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2012. Том 14, N 3. С. 22 – 36 Рис. 7. Фрагменты векторного поля скоростей (a), их изолиний (b) и изолиний коэффициентов давления (с) при числе Re=100 для τ=140 при различных числах Рейнольдса. На рис. 7 – 9 представлены результаты расче- тов в виде фрагментов векторного поля скоростей, их изолиний и изолиний коэффициентов давле- ния Cp в зоне обтекаемого квадратного цилиндра при трех числах Рейнольдса Re=100, Re=250 и Re=1000 соответственно. Эти рисунки наглядно демонстрируют изменение картины поля скоро- стей и давлений при трех рассматриваемых числах Рейнольдса, по сравнению с рис. 5 для случая ста- ционарного режима обтекания, когда число Рей- нольдса Re=50. Их анализ показывает, что при числах Re=100, Re=250 и Re=1000 кинематическая структура те- чения в зоне за цилиндром качественно измени- лась и уже не является симметричной. Рост числа Рейнольдса приводит к интенсивному срыву ви- хревых сгустков с верхней и нижней правых кро- мок цилиндра. При этом когда отрывается верх- ний вихревой сгусток, то нижний задерживается 30 Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2012. Том 14, N 3. С. 22 – 36 Рис. 8. Фрагменты векторного поля скоростей (a), их изолиний (b) и изолиний коэффициентов давления (с) при числе Re=250 для τ=140 на некоторое время в донной области, увеличива- ясь по размеру и смещаясь к осевой линии. Верх- ний вихрь вращается по часовой стрелке, а ни- жний – против нее. Эта картина течения периодически повторяется, так как вихревые сгустки на верхней и нижней кромках цилиндра генерируются и срываются по- очередно, а затем уносятся из донной области. Это приводит к возникновению периодического тече- ния за цилиндром в виде так называемой вихревой дорожки Кармана, которая хорошо наблюдается в расчетах на рис. 7 – 9 и в экспериментах при визу- ализации течения [19]. С ростом числа Рейнольд- са количество вихрей в следе увеличивается, а их взаимодействие в ближней зоне приводит к росту вертикального размера следа. Представленные на рис. 7 – 9 векторная карти- на течения и результаты расчетов в виде изоли- ний скоростей выразительно показывают особен- ности тонкой структуры отрывного течения и ве- личину скорости в зоне расположения цилиндра при трех числах Рейнольдса. С удалением от ци- линдра вихревые структуры вырождаются вслед- ствие вязкости. Представленные выше результа- ты расчетов согласуются с другими данными, по- лученными средствами измерительной техники и визуализацией течения [5]. Чтобы лучше понять физический механизм пе- Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин 31 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2012. Том 14, N 3. С. 22 – 36 Рис. 9. Фрагменты векторного поля скоростей (a), их изолиний (b) и изолиний коэффициентов давления (с) при числе Re=1000 для τ=100 рестройки течения в следе за цилиндром, приво- дящий к асимметрии течения и образованию пери- одического вихревого следа, рассмотрим результа- ты расчета фрагментов векторных полей скорости (рис. 10, a) и их изолиний (рис. 10, b) в различные моменты времени τ=(80...87) с интервалом ∆τ=1 на одном периоде колебания параметров потока при числе Рейнольдса Re=1000. Эти рисунки наглядно демонстрируют структу- ру поля скоростей в течение одного периода ко- лебания, обусловленного срывом вихря с правой верхней кромки цилиндра. Этот сход вихря при- водит к разбалансированию структуры течения в следе. Первый фрагмент из рассматриваемой се- рии (a) (наверху слева рис. 10) относится к мо- менту времени τ=80, когда на верхней стенке ци- линдра происходит образование вихря. Затем этот вихрь развивается и увеличивает свои размеры 32 Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2012. Том 14, N 3. С. 22 – 36 Рис. 10. Зависимость от времени векторного поля скоростей (a) и их изолиний (b) на интервале τ1=80 до τ2=87 с шагом ∆τ=1 при обтекании квадратного цилиндра для числа Re=1000 как по вертикали, так и по горизонтали навстречу основному потоку. Это заметно на верхнем фра- гменте справа рис. 10, a, соответствующем момен- ту времени τ=81. На следующем, третьем фрагменте рис. 10, a для момента времени τ=82 уже видно вырожде- ние сорвавшегося верхнего вихря и образование нового вихря в нижней части ближнего следа за цилиндром. Следующие фрагменты, представлен- ные на рис. 10, a для других моментов времени τ , иллюстрируют различные фазы эволюции вихрей, оторвавшихся с верхней и нижней кромок квадра- та в моменты времени τ=83, 84, 85, 86, 87 соответ- ственно. При числе Re=1000 на фрагментах (a) и (b) рис. 10 хорошо видны вертикальные колеба- ния параметров потока. Периодический сход ви- хрей практически повторяется во времени и при- водит к автоколебаниям течения в следе за телом с частотой, равной частоте срыва вихрей. 8. ПОЛЕ ДАВЛЕНИЯ В ЗОНЕ ОБТЕКАНИЯ КВАДРАТНОГО ЦИЛИНДРА В рассматриваемой задаче большой практиче- ский интерес представляет распределение давле- ния в зоне расположения цилиндра. Наш метод, в отличие от предшествующих работ, позволяет не- посредственно рассчитывать поля давления как в зоне расположения цилиндра, так и на его поверх- ности. В качестве примера расчетов полей давления на рис. 7, c и рис. 9, c показаны фрагменты распре- деления полей давления в зоне цилиндра в виде изолиний коэффициентов давления Cp при числах Re=100, Re=250 и Re=1000. Картина этих изоли- ний сложна и характерна для отрывных течений за плохообтекаемыми телами. Анализ рис. 7 – 9 по- зволяет выявить области низкого и высокого дав- ления. Как и ожидалось, области высокого дав- ления сильно коррелируют с областями, где жид- кость тормозится, то есть там, где линии равных скоростей наименее уплотнены. Области низкого давления наоборот, соответствуют областям, где изолинии скоростей наиболее уплотнены, то есть скорости велики. На расчетных графиках полей давления хоро- шо наблюдается развитие парных областей низко- го и высокого давления, соответствующих каждо- му сорвавшемуся вихрю. Учитывая, что центры срывающихся вихрей двигаются со скоростью пе- ремещения локальных минимумов давления [28], можно определить скорость переноса вихрей. В Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин 33 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2012. Том 14, N 3. С. 22 – 36 Рис. 11. Распределение давления Cp по поверхности цилиндра KFF1K1K при трех числах Рейнольдса Re=40, 250, 1000: кривые - расчет; ◦ - эксперимент [29] этом смысле картина распределения давления су- щественно дополняет информацию о динамике пе- реноса вихрей. В завихренной зоне позади кормовой части ци- линдра давление значительно ниже давления в не- возмущенном потоке. Это пониженное давление является причиной возникновения обратных тече- ний в следе за цилиндром. Срывающиеся с кон- цов цилиндра поочередно вихревые сгустки взаи- модействуют с циркуляционным течением в сле- де и позади обтекаемого цилиндра возникает ша- хматная последовательность вихревых образова- ний. Далее это нестационарное течение стабили- зируется и выходит на устойчивый периодический режим, когда частота схода вихрей и амплитуда колебаний перестают меняться со временем. 9. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ОБТЕКАЕМЫЙ КВАДРАТНЫЙ ЦИЛИНДР Моделирование отрывного обтекания квадра- тного цилиндра на основе системы полных не- стационарных уравнений движения Навье-Стокса в переменных скорость–давление позволяет не- посредственно рассчитать гидродинамические си- лы, действующие на обтекаемое тело. Величина полного гидродинамического сопротивления пло- хообтекаемых тел в основном определяется сила- Рис. 12. Изменение во времени силы лобового сопротивления Cx и подъемной силы Cy , действующих на квадратный цилиндр при отрывном обтекании для Re=250, 1000 ми давления. Для определения сил, действующих на обтекаемое тело, необходимо иметь эпюру ра- спределения давления по поверхности цилиндра. Используемый численный метод позволяет опре- делить все характеристики течения во всей ра- счетной области, включая распределение давле- ния и силы трения по поверхности обтекаемого те- ла, однако лишь при малых и умеренных числах Рейнольдса. Давление в точке на поверхности те- ла обычно характеризуют коэффициентами дав- ления. Рассмотрим результаты расчета локальных зна- чений коэффициента давления Cp по поверхно- сти квадратного цилиндра. На рис. 11 представ- лено распределение давления Cp по поверхности цилиндра KFF1K1K при трех числах Рейнольд- са Re=40, 250, 1000. Легко видеть, что на пере- дней стороне FF1 коэффициент давления всюду положительный и в средней критической точке Cp=1. На остальных трех сторонах квадратного контура коэффициент давления отрицательный. На этом же рисунке для сравнения, наряду с чи- сленным расчетом, представлены эксперименталь- ные данные, полученные в работе [29] при числах Re= 3.3·104 и Re= 6.6·104. Из их сравнения видно, что теория и опытные данные хорошо согласуются между собой. Кроме того, здесь подтверждается гипотеза о слабой зависимости распределения дав- ления по поверхности квадрата с острыми кромка- ми от числа Рейнольдса. Зная распределение давления по обтекаемому контуру тела легко определяются гидродинамиче- 34 Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2012. Том 14, N 3. С. 22 – 36 ские силы сопротивления Fx и подъемной силы Fy согласно общей формулы [3] −→ F = ∫ σ −→ Pndσ. (10) Как обычно, вместо компонентов сил Fx, Fy вве- дем в рассмотрение безразмерные гидродинамиче- ские коэффициенты сил сопротивления Cx и по- дъемной силы Cy в виде отношения значений сил Fx, Fy к скоростному напору и характерной пло- щади обтекаемого тела Ω = l: Cx = 2Fx ρu2 0 · l ; Cy = 2Fy ρu2 0 · l . (11) Вычисление этих безразмерных интегральных ха- рактеристик в виде суммарного коэффициента профильного сопротивления Cx = Cxp + Cxf и по- дъемной силы Cy = Cyp+Cyf выполнялось по сле- дующим формулам: Cx = ∫ S1 C(p1)dy − ∫ S3 C(p3)dy+ + 1 Re [ ∫ S2 ∂U2 ∂y dx − ∫ S4 ∂U4 ∂y dx ] , (12) Cy = ∫ S4 C(p4)dx − ∫ S2 C(p2)dx− − 1 Re [ ∫ S1 ∂V1 ∂y dy − ∫ S3 ∂V3 ∂y dy ] . (13) Здесь цифры у коэффициентов давления и ско- ростей обозначают номера ребер (границу) ква- дратного цилиндра Si, на которых они вычисля- ются (S1 = FF1, S2 = F1K1, S3 = K1K, S4 = KF ) i = 1...4. На рис. 12 представлено изменение во времени силы лобового сопротивления Cx и подъемной си- лы Cy , действующих на квадратный цилиндр при отрывном его обтекании при числах Рейнольдса Re=250, 1000. Нетрудно видеть, что эти коэффи- циенты зависят от времени, а с его увеличением их значения выходят на устойчивый периодиче- ский режим колебаний. При этом среднее значение коэффициентов Cx зависит от числа Рейнольдса. При Re=250, коэффициент Cx=1.81; при Re=500, коэффициент Cx=1.95; при Re=1000, коэффици- ент Cx=2.12. Следует отметить, что значение коэффициента подъемной гидродинамической силы Cy колебле- тся возле нулевого значения с частотой, равной ча- стоте срыва вихрей с поверхности цилиндра, что согласуется с известными теоретическими и экспе- риментальными данными [19]. Частота схода ви- хрей с кормовых кромок квадратного цилиндра Рис. 13. Расчетная зависимость числа Струхаля от числа Рейнольдса при обтекании квадратного цилиндра в сравнении с экспериментом (точки 1–6 – эксперимент в аэродинамической трубе и 7 – эксперимент в бассейне [30]; кривая 8 – расчет) в единицу времени зависит от числа Рейнольдса Re=u0l/ν и, согласно нашим расчетам, она появ- ляется при числе Re≥70, а для числа Re≤Re∗ те- чение остается ламинарным и устойчивым. Безра- змерную частоту срыва вихрей называют числом Струхаля Sh=fl/u0, где f – частота срыва. Часто- та колебаний коэффициента Cx в два раза больше, чем частота схода вихрей. Результаты наших расчетов чисел Струхаля при различных числах Рейнольдса приведены на рис. 13 сплошной линией. Там же значками пока- заны данные экспериментов, заимствованные из работы [30]. Видно, что в целом они хорошо со- гласуются. Однако автор работы [29] отмечает сложность сравнения опытных данных с други- ми работами ввиду отсутствия требуемых наде- жных данных. Часто измерения выполнены на цилиндрах с округленными кромками. Например, данные, приведенные в работе [30] по зависимо- сти числа Струхаля от Рейнольдса, отличаются от данных работы [19]. ВЫВОДЫ Настоящая работа посвящена развитию числен- ного метода расчета параметров отрывного обте- кания тел безграничной вязкой несжимаемой жид- костью в переменных скорость-давление. Данный метод позволяет глубже изучить механизм обра- зования и эволюцию вихревых структур за пло- хообтекаемыми телами при малых и умеренных числах Рейнольдса. Показано, что для цилиндра с квадратной формой поперечного сечения в за- висимости от числа Рейнольдса формируется как Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин 35 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2012. Том 14, N 3. С. 22 – 36 стационарный, так и нестационарный режим обте- кания, при котором структура течения за цилин- дром носит периодический характер и имеет свои пространственные и временные масштабы, опреде- ляемые числом Струхаля. В отличие от других ме- тодов, использующих переменные вихрь–функция тока, данный метод позволяет непосредственно определять поля скоростей, давления, гидродина- мические силы сопротивления и подъемную силу. Результаты расчетов широко представлены в гра- фическом виде, полученном с помощью стандар- тных компьютерных пакетов ORIGIN и SURFER. 1. Чжен П. Отрывные течения. В 3-х т.– М.: Мир, 1972-1973.– 934 с. 2. Гогиш Л. В., Степанов Г. Ю. Турбулентные отрыв- ные течения.– М.: Наука, 1979.– 368 с. 3. Шлихтинг Г. Турбулентные отрывные течения.– М.: Наука, 1969.– 742 с. 4. Белов И. А., Исаев С. А., Коробков В. А. Задачи и методы расчета отрывных течений несжимаемой жидкости.– Л.: Судостроение, 1989.– 256 с. 5. Белоцерковский С. М., Котовский В. Н., Ништ М. И., Федоров Р. М. Математическое моделирование плоскопараллельного отрывного обтекания тел.– М.: Наука, 1988.– 132 с. 6. Белов И. А. Взаимодействие неравномерных по- токов с преградой.– М.: Машиностроение, 1983.– 166 с. 7. Приходько А. А. Компьютерные технологии в аэрогидродинамике и тепломассообмене.– Киев: Наук. думка, 2003.– 382 с. 8. Гущин В. А. Численное исследование отрывных течений вязкой жидкости около цилиндра. Стаци- онарный и периодический режимы.– M.: ВЦ АН СССР, 2085.– 62 с. 9. Приходько А. А. , Редчиц Д. А. Численное мо- делирование нестационарного течения в следе за цилиндром на основе уравнений Навье-Стокса // Прикл. гiдромеханiка.– 2005.– 7, № 1.– С. 56–71. 10. Белоцерковский О. М., Белоцерковский С. О., Гу- щин В. А. Численное моделирование нестационар- ного периодического течения вязкой жидкости в следе за цилиндром // ЖВМ и МФ.– 1984.– 24, № 10.– С. 1207–1216. 11. Белоцерковский О. М. Численное моделирование в механике сплошных сред.– М.: Наука, Физматлит, 1984.– 519 с. 12. Сарпкайя Т., Ириг А. Внезапно начинающееся те- чение около прямоугольной призмы. Эксперимент и модель дискретных вихрей. Теоретические осно- вы инженерных расчетов // Труды Америк. об-ва инж.-мех.– 1986.– 1.– С. 198–213. 13. Lighthill M. J. Laminar boundery layers. Chap. II.– London: Oxford University Press, 1963.– 355 p. 14. Wang C. M., Wu J. C. Numerical solution of steady Navier-Stokes problems using integral respresentati- ons // AIAA J.– 1986.– 8.– P. 1305–1312. 15. Nagano S., Naito M.,Takata H. A numerical analysis of two-dimensional flow a rectangular prism by a discrete vortex model // Computers and Fluids.– 1982.– 10.– P. 243–259. 16. Марцинковски В., Шкадов В. Я. Численное ис- следование двумерного отрыва на основе уравне- ний Навье-Стокса // Механика жидкости и газа.– 1985.– 1.– С. 26–32. 17. Горбань В. О., Горбань I. М. Вихрова структура потоку при обтiканнi квадратної призми: числова модель // Прикл. гiдромеханiка.– 2005.– 7, № 2.– С. 8–26. 18. Fromm J. E. , Harlow F. H. Numerical solution of the problem of vortex street development // Phys. Fluids.– 1963.– 6.– P. 975–982. 19. Davis R. W., Moor E. F. A numerical study of vortex shedding from rectangles // J. Fluid Mech.– 1982.– 116.– P. 475–506. 20. Рокуэлл Д. О. Упорядочные пульсации тече- ния около цилиндра квадратного поперечного сечения // Теоретические основы инженерных расчетов.– 1977.– № 3.– С. 175–196. 21. Бруяцкий Е. В., Костин А. Г., Никифорович Е. И., Розумнюк Н. В. Метод численного решения уравнений Навье-Стокса в переменных скорость– давление // Прикл. гiдромеханiка.– 2008.– 10, № 2.– С. 13–23. 22. Харлоу Ф. Х. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики // Вычислительные ме- тоды в гидродинамике.– М.: Мир, 1967.– 342 с. 23. Бруяцкий Е. В., Костин А. Г. Численное исследо- вание течения жидкости в закрытой прямоуголь- ной полости с движущейся верхней крышкой // Прикл. гiдромеханiка.– 2009.– 11, № 1.– С. 3–15. 24. Бруяцкий Е. В., Костин А. Г., Никифорович Е. И. Численное исследование полей скорости и дав- ления в плоском канале при наличии на его стенке квадратного препятствия // Прикл. гiдромеханiка.– 2011.– 13, № 3.– С. 33–47. 25. Бруяцкий Е. В., Костин А. Г. Прямое численное моделирование течения в плоском внезапно ра- сширяющимся канале на основе уравнений Навье- Стокса // Прикладна гiдромеханiка.– 2010.– 12, № 1.– С. 11–27. 26. Spalding D. B. A novel finite difference formulation for expessions involving both first and second deri- vatioves // Int.J. Number. Methods in Engineering.– 1972.– 4.– P. 551–559. 27. Патанкар С. Численные методы решения задач те- плообмена и динамики жидкости.– М.: Энергоато- миздат, 1984.– 152 с. 28. Perry A. E., Chong M. S., Lim T. T. The vortex shedding process behind two-dimensional bluff bodi- es // J. Fluid Mech.– 1982.– 116.– P. 77–90. 29. Случановская З. П. Распределение давления по поверхности прямоугольного, трехгранного и по- лукруглого цилиндров и их аэродинамические ко- эффициенты // Сб. научных трудов Института механики МГУ.– 1973.– № 24.– С. 52–60. 30. Okajima A. Strouhal numbers of rectangular cyli- nders // J. Fluid Mech.– 1982.– 123.– P. 379–398. 36 Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин

Компьютерное моделирование отрывного обтекания квадратного цилиндра безграничным потоком вязкой жидкости

Репозитарії

Схожі ресурси