Нестацiонарний рух точкового вихора в шарі стратифікованої рiдини скінченої товщини
Розв'язана лiнiйна задача про нестацiонарний рух зi стану спокою плоского точкового вихора в шарі стратифікованого середовища скiнченої товщини з експоненційним розподілом густини. Розглянуто режим руху, коли з початкового моменту вихор рухається горизонтально з постійною швидкістю. Розв'я...
Saved in:
| Published in: | Прикладна гідромеханіка |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2012
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116401 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Нестацiонарний рух точкового вихора в шарі стратифікованої рiдини скінченої товщини / О.Г. Стеценко // Прикладна гідромеханіка. — 2012. — Т. 14, № 4. — С. 65-74. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-116401 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Стеценко, О.Г. 2017-04-25T17:48:33Z 2017-04-25T17:48:33Z 2012 Нестацiонарний рух точкового вихора в шарі стратифікованої рiдини скінченої товщини / О.Г. Стеценко // Прикладна гідромеханіка. — 2012. — Т. 14, № 4. — С. 65-74. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116401 532.59 Розв'язана лiнiйна задача про нестацiонарний рух зi стану спокою плоского точкового вихора в шарі стратифікованого середовища скiнченої товщини з експоненційним розподілом густини. Розглянуто режим руху, коли з початкового моменту вихор рухається горизонтально з постійною швидкістю. Розв'язок одержано у виглядi квадратур. Проаналiзовано особливості формування амплiтудної картини збуреного руху та змiни внличини потужностi, яка затрачується вихором на випромiнювання енергiї внутрішніх хвиль. Решена линейная задача о нестационарном движении из состояния покоя плоского точечного вихря в слое стратифицированной среды конечной толщины с экспоненциальным распределением плотности. Рассмотрен режим движения, когда с начального момента вихрь движется горизонтально с постоянной скоростью. Решение получено в виде квадратур. Проанализированы особенности формирования амплитудной картины возмущенного движения и изменения величины мощности, затрачиваемой вихрем на излучение энергии внутренних волн. The linear problem of non-stationary movement of two-dimensional vortex from the state of rest in the layer of stratified medium of finite thickness, a density of wich changes in accordance with exponential law, is solved. A horizontal motion of a vortex with constant velocity from the initial moment of time is studied. The solution is provided in quadrature. The peculiarities of formation of the amplitude pattern of disturbed motion and a change of a power being utilized by the vortex for emitting the energy of the internal waves are analyzed. uk Інститут гідромеханіки НАН України Прикладна гідромеханіка Науковi статтi Нестацiонарний рух точкового вихора в шарі стратифікованої рiдини скінченої товщини Нестационарное движение точечного вихря в слое стратифицированной жидкости конечной толщины Unsteady motion of point vortex in a layer of stratified fluid of a finite thickness Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Нестацiонарний рух точкового вихора в шарі стратифікованої рiдини скінченої товщини |
| spellingShingle |
Нестацiонарний рух точкового вихора в шарі стратифікованої рiдини скінченої товщини Стеценко, О.Г. Науковi статтi |
| title_short |
Нестацiонарний рух точкового вихора в шарі стратифікованої рiдини скінченої товщини |
| title_full |
Нестацiонарний рух точкового вихора в шарі стратифікованої рiдини скінченої товщини |
| title_fullStr |
Нестацiонарний рух точкового вихора в шарі стратифікованої рiдини скінченої товщини |
| title_full_unstemmed |
Нестацiонарний рух точкового вихора в шарі стратифікованої рiдини скінченої товщини |
| title_sort |
нестацiонарний рух точкового вихора в шарі стратифікованої рiдини скінченої товщини |
| author |
Стеценко, О.Г. |
| author_facet |
Стеценко, О.Г. |
| topic |
Науковi статтi |
| topic_facet |
Науковi статтi |
| publishDate |
2012 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Прикладна гідромеханіка |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Нестационарное движение точечного вихря в слое стратифицированной жидкости конечной толщины Unsteady motion of point vortex in a layer of stratified fluid of a finite thickness |
| description |
Розв'язана лiнiйна задача про нестацiонарний рух зi стану спокою плоского точкового вихора в шарі стратифікованого середовища скiнченої товщини з експоненційним розподілом густини. Розглянуто режим руху, коли з початкового моменту вихор рухається горизонтально з постійною швидкістю. Розв'язок одержано у виглядi квадратур. Проаналiзовано особливості формування амплiтудної картини збуреного руху та змiни внличини потужностi, яка затрачується вихором на випромiнювання енергiї внутрішніх хвиль.
Решена линейная задача о нестационарном движении из состояния покоя плоского точечного вихря в слое стратифицированной среды конечной толщины с экспоненциальным распределением плотности. Рассмотрен режим движения, когда с начального момента вихрь движется горизонтально с постоянной скоростью. Решение получено в виде квадратур. Проанализированы особенности формирования амплитудной картины возмущенного движения и изменения величины мощности, затрачиваемой вихрем на излучение энергии внутренних волн.
The linear problem of non-stationary movement of two-dimensional vortex from the state of rest in the layer of stratified medium of finite thickness, a density of wich changes in accordance with exponential law, is solved. A horizontal motion of a vortex with constant velocity from the initial moment of time is studied. The solution is provided in quadrature. The peculiarities of formation of the amplitude pattern of disturbed motion and a change of a power being utilized by the vortex for emitting the energy of the internal waves are analyzed.
|
| issn |
1561-9087 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116401 |
| citation_txt |
Нестацiонарний рух точкового вихора в шарі стратифікованої рiдини скінченої товщини / О.Г. Стеценко // Прикладна гідромеханіка. — 2012. — Т. 14, № 4. — С. 65-74. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT stecenkoog nestacionarniiruhtočkovogovihoravšarístratifíkovanoíridiniskínčenoítovŝini AT stecenkoog nestacionarnoedviženietočečnogovihrâvsloestratificirovannoižidkostikonečnoitolŝiny AT stecenkoog unsteadymotionofpointvortexinalayerofstratifiedfluidofafinitethickness |
| first_indexed |
2025-11-25T15:42:00Z |
| last_indexed |
2025-11-25T15:42:00Z |
| _version_ |
1850517074494881792 |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2012. Том 14, N 4. С. 65 – 74
УДК 532.59
НЕСТАЦIОНАРНИЙ РУХ ТОЧКОВОГО ВИХОРА
В ШАРI СТРАТИФIКОВАНОЇ РIДИНИ СКIНЧЕНОЇ
ТОВЩИНИ
О. Г. С ТЕ ЦЕ Н К О
Iнститут гiдромеханiки НАН України, Київ
Одержано 18.05.2012
Розв’язана лiнiйна задача про нестацiонарний рух зi стану спокою плоского точкового вихора в шарi стратифiко-
ваного середовища скiнченої товщини з експоненцiйним розподiлом густини. Розглянуто режим руху, коли з поча-
ткового моменту вихор рухається горизонтально з постiйною швидкiстю. Розв’язок одержано у виглядi квадратур.
Проаналiзовано особливостi формування амплiтудної картини збуреного руху та змiни внличини потужностi, яка
затрачується вихором на випромiнювання енергiї внутрiшнiх хвиль.
Решена линейная задача о нестационарном движении из состояния покоя плоского точечного вихря в слое страти-
фицированной среды конечной толщины с экспоненциальным распределением плотности. Рассмотрен режим дви-
жения, когда с начального момента вихрь движется горизонтально с постоянной скоростью. Решение получено в
виде квадратур. Проанализированны особенности формирования амплитудной картины возмущенного движения и
изменения величины мощности, затрачиваемой вихрем на излучение энергии внутренних волн.
The linear problem of non-stationary movement of two-dimensional vortex from the state of rest in the lauer of stratified
medium of finite thickness, a density of wich changes in accordance with exponential law, is solved. A horizontal motion
of a vortex with constant velocity from the initial moment of time is studied. The solution is provided in quadrature. The
peculiarities of formation of the amplitude pattern of disturbed motion and a change of a power being utilized by the
vortex for emitting the energy of the internal waves are analyzed.
ВСТУП
Вимушений рух двовимiрних точкових вихорiв
належить до класу задач, якi мають важливе зна-
чення в гiдродинамiцi руху пiдводних об’єктiв. Ре-
зультати дослiджень такого типу рухiв є базовими
при розв’язаннi задач динамiки руху плоских про-
фiлiв довiльної форми, зокрема, пiдводних крил.
Детальний аналiз робiт цього напрямку з вiдповiд-
ною бiблiографiєю проведено в роботах [1, 2]. Пе-
реважна бiльшiсть виконаних дослiджень вiднося-
ться до схем шаруватої стратифiкацiї, а вiдповiднi
розв’язки одержанi в лiнiйнiй постановцi.
Стацiонарнi режими руху точкових вихорiв у се-
редовищах з неперервною стратифiкацiєю дослi-
джувались у роботах [3–9]. В роботах [3–5] розгля-
нутi вiльнi точковi вихори в баротропнiй рiдинi,
густина якої змiнюється по квадратичному зако-
ну ρ(z) = ρ0z
2, за умови нехтування впливом на
процес руху та взаємодiї вихорiв генерованих ни-
ми внутрiшнiх хвиль (ВХ).
Вимушений рiвномiрний рух точкового вихора
вперше розглянуто в [6] для необмеженого лiнiйно
стратифiкованого середовища. Розв’язок вiдповiд-
ної задачi одержано методом асимптотичного зро-
щування при переходi вiд вихрового до потенцi-
ального обтiкання вихора. В роботi [7] одержано
лiнiйне рiвняння, яке описує збурений рух сере-
довища з довiльною стiйкою стратифiкацiєю при
русi плоского точкового вихора i мiстить в явнiй
формi параметри вихора (iнтенсивнiсть i коорди-
нати розташування). Це дозволяє при розв’язаннi
задач цього класу ефективно використовувати ме-
тоди iнтегральних перетворень, що в подальшому
i було зроблено в роботах [7–9].
Нестацiонарний рух точкових вихорiв вивчено
значно менше i то, головним чином, для схем ша-
руватої стратифiкацiї. В [2] представлено розв’я-
зок задачi динамiки горизонтального руху плоско-
го вихроджерела з iнтенсивнiстю, яка змiнюється
по гармонiчному закону, бiля границi роздiлення
середовищ з рiзними густинами. В роботах [10,
11] при розв’язаннi задач нестацiонарного руху зi
стану спокою плоских профiлiв довiльної форми
пiд вiльною поверхнею глибокого середовища та
бiля границi роздiлення двохшарового необмеже-
ного середовища спецiально знаходився розв’язок
вiдповiдних задач для точкового вихора. Нестацiо-
нарний рух зi стану спокою точкового вихора в
двохшаровому середовищi з верхнiм шаром скiнче-
ної товщини розглянуто в роботi [12]. Такого роду
дослiдження для випадку неперервної стратифiка-
цiї виконано лише в роботi [13], де одержано вiдпо-
вiдне лiнiйне рiвняння нестацiонарного руху збу-
реного середовища, яке мiстить в явному вигля-
дi параметри рухомого вихора. З використанням
методу iнтегральних перетворень у нiй розв’язана
задача генерацiї поля внутрiшнiх хвиль при вер-
c© О. Г. Стеценко, 2012 65
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2012. Том 14, N 4. С. 65 – 74
тикальному русi у шарi скiнченої товщини лiнiйно
стратифiкованого середовища протягом скiнчено-
го iнтервалу часу вихрової пари з постiйною iнтен-
сивнiстю вихорiв.
В данiй роботi в лiнiйнiй постановцi розв’яза-
на задача про нестацiонарний рух зi стану спо-
кою плоского точкового вихора в шарi скiнченої
товщини стратифiкованої рiдини з експоненцiй-
ним законом змiни густини середовища, для яко-
го виконується умова постiйностi частоти Брента-
Вяйсяля. При цьому використовується загальна
схема наближення Бусинеска в системi рiвнянь
Ейлера для iдеального середовища. Дослiджено
особливостi формування збуреного гiдродинамi-
чного поля в такому середовищi та величину поту-
жностi, яка затрачується вихором у процесi руху
на випромiнювання ВХ.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧI
Розглядається нестацiонарний рух зi стану спо-
кою плоского точкового вихора iнтенсивностi Γ(t)
в шарi скiнченої товщиниH з неперервною страти-
фiкацiєю, якiй вiдповiдає експоненцiальний закон
змiни густини середовища ρ0(z) = ρ00e
−βz, β > 0.
Розв’язок задачi знаходиться в нерухомiй системi
координат, вибранiй так, що її початок має мiсце
на нижнiй границi середовища, вiсь 0z направлена
вгору i в початковий момент часу проходить через
центр вихора, який iснує на горизонтi z0(0) = h.
Додатнiй напрямок горизонтальної вiсi 0y направ-
лено в бiк, протилежний напрямку горизонталь-
ного руху вихора.
Лiнiйна система рiвнянь, яка описує нестацiо-
нарний рух збуреного середовища, викликаний ру-
хом вихора, пiсля введення функцiї течiї ψ(y, z, t)
такої, що горизонтальна v(y, z, t) i вертикальна
w(y, z, t) складовi швидкостi визначаються як
v =
∂ψ
∂y
, w = −
∂ψ
∂z
,
зводиться до рiвняння [13]
∂2
∂t2
(
∆ψ −
N2
g
∂ψ
∂z
)
+N2 ∂
2ψ
∂y2
=
= −
∂2
∂t2
{Γ(t)δ [y − y0(t)] δ [z − z0(t)]} , (1)
де ∆ =
∂2
∂y2
+
∂2
∂z2
– двовимiрний оператор Лапла-
са; N =
[
−
g
ρ0(z)
dρ0
dz
]
1
2
– частота Брента-Вяйсяля;
g – прискорення падiння; y0(t) i z0(t) визначають
задану траєкторiю руху вихора; δ [y − y0], δ [z − z0]
– дельта-функцiї Дiрака.
Граничнi умови, з врахуванням наближення
"твердої стiнки" на вiльнiй поверхнi мають вигляд
∂ψ
∂y
= 0 при z = 0 i z = 1 . (2)
Початковi умови приймаються нульовими:
ψ(y, z, 0) = 0 ;
∂ψ
∂t
(y, z, 0) = 0 при t = 0 . (3)
В безрозмiрнiй формi, де в якостi лiнiйного мас-
штабу взято H , масштабу часу –
H
U
(тут U – ха-
рактерна швидкiсть руху вихора), масштабiв для
функцiї течiї i iнтенсивностi вихора – UH , рiвня-
ння (1) набирає вигляду
∂2
∂t2
(
∆ψ − λ
∂ψ
∂z
)
+ α2 ∂
2ψ
∂y2
=
= −
∂2
∂t2
{Γ(t)δ [y − y0(t)] δ [z − z0(t)]} . (4)
Тут λ = HN2/g = α2Fr, α = HN/U – густин-
не число Фруда, Fr = U2/gH – динамiчне число
Фруда. Граничнi i початковi умови пiсля обезро-
змiрювання не змiнюють свого вигляду (2), (3).
2. МЕТОД IНТЕГРАЛЬНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ
Розв’язок рiвняння (4) знаходиться у виглядi iн-
тегральних представлень Фур’є по поздовжнiй ко-
ординатi y i Лапласа по часу t:
ψ(y, z, t) = −
1
4π2i
ε+i∞
∫
ε−i∞
estds
∞
∫
−∞
eikxψ̄ dk . (5)
Для знаходження функцiї-образу ψ̄(k, z, s) необ-
хiдно розв’язати звичайне диференцiальне рiвня-
ння
ψ̄′′ − λψ̄′ − k2
(
1 +
α2
s2
)
ψ̄ =
=
∞
∫
0
Γ(t)e−st−iky0(t)δ [z − z0(t)] dt (6)
з граничними умовами
ψ̄ = 0 при z = 0 i z = 1 . (7)
Використання методу варiацiї сталих iнтегрува-
ння для знаходження частинного розв’язку рiвня-
ння (6) дозволяє одержати наступний розв’язок
66 О. Г. Стеценко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2012. Том 14, N 4. С. 65 – 74
для ψ̄(k, z, s):
ψ̄(k, z, s) =
1
2M∗
∞
∫
0
e
1
2
λ[z−z0(τ)]Φdτ , (8)
де
M∗ =
[
1
4
λ2 + k2
(
1 +
α2
s2
)]
1
2
,
Φ(k, z, s, τ) = Γ(τ)e−sτ−iky0(τ)Π(k, z, s, τ) ,
Π(k, z, s, τ) = Π1(k, z, s, τ) + Π2(k, z, s, τ) ,
Π1(k, z, s, τ) = e−M∗[z+z0(τ)] − e−M∗|z−z0(τ)| ,
Π2(k, z, s, τ) =
Π2∗e
−M∗
eM∗ − e−M∗
,
Π2∗(k, z, s, τ) = eM∗[z+z0(τ)] + e−M∗[z+z0(τ)] −
−eM∗[z−z0(τ)] − e−M∗[z−z0(τ)] .
Оскiльки Φ(τ) мiстить множник e−sτ , пiдiнте-
гральна функцiя представлення (5) вiдмiнна вiд
нуля лише при t > τ . Тодi шуканий розв’язок
для ψ(y, z, t) пiсля видiлення його дiйсної части-
ни представляється як
ψ(y, z, t) = −
1
8π2
Im
ε+i∞
∫
ε−i∞
ds
t
∫
0
dτ
∞
∫
−∞
Gψdk , (9)
Gψ =
ΓΠ
M∗
e
1
2
λ[z−z0(τ)]+s(t−τ)+ik[y−y0(τ)] .
Вiдповiднi представлення мають мiсце для верти-
кальної складової швидкостi та амплiтуди верти-
кальних змiщень η =
t
∫
0
w(τ)dτ :
w(y, z, t) =
1
8π2
Re
ε+i∞
∫
ε−i∞
ds
t
∫
0
dτ
∞
∫
−∞
Gwdk , (10)
η(y, z, t) =
1
8π2
Re
ε+i∞
∫
ε−i∞
ds
t
∫
0
dτ
∞
∫
−∞
Gηdk , (11)
де
Gw = kGψ , Gη =
k
s
Gψ.
На основi загального розв’язку (9)–(11) дослi-
джуються збуренi гiдродинамiчнi поля для кон-
кретних нестацiонарних режимiв руху вихора.
3. ПОТУЖНIСТЬ, ЯКА ВИТРАЧАЄТЬСЯ
ВИХОРОМ НА ГЕНЕРАЦIЮ ВНУТРIШНIХ
ХВИЛЬ
Для визначення величини потужностi випромi-
нюваної вихором енергiї ВХ використовується пiд-
хiд, який застосовувався для стацiонарних режи-
мiв руху джерела маси [14] та точкового вихора
[15].
Розмiрна система рiвнянь, з якої безпосередньо
отримується рiвняння (1) для функцiї течiї, в рiв-
няннi кiлькостi руху в z–напрямку мiстить силове
джерело, потужнiсть i характер руху якого визна-
чається параметрами вихора:
ρ0(z)
∂v
∂t
+
∂p
∂y
= 0 , (12)
ρ0(z)
∂w
∂t
+
∂p
∂z
+ gρ =
= ρ0(z)
∂2
∂t2
{Γ(t)H [y − y0(t)] δ [z − z0(t)]} , (13)
∂ρ
∂t
+
dρ0
dz
w = 0 , (14)
∂v
∂y
+
∂w
∂z
= 0 . (15)
Тут p – збурений тиск; ρ – збурена густина;
H [y − y0(t)] – одинична функцiя Хевiсайда.
Якщо рiвняння (12)–(15) домножити вiдповiдно
на v, w,−gρ (dρ0.dz))
−1 i p i потiм додати їхнi лiвi i
правi частини, то в результатi отримуємо рiвняня
∂E
∂t
+ diw
(
p~V
)
=
= ρ0(z)w
∂
∂t
{Γ(t)H [y − y0(t)] δ [z − z0(t)]} , (16)
де E =
1
2
ρ0(z)
(
v2 + w2
)
−
1
2
g
(
dρ0
dz
)−1
− енергiя
збуреного руху у видiленiй точцi. В безрозмiрнiй
формi, де масштабом для збуреного тиску p взято
ρ00U
2, для енергiї E - ρ00U
2, i для ρ0−ρ00, рiвняння
для E не змiнює свого вигляду.
Потужнiсть випромiнюваної енергiї W (t), мас-
штабом розмiрностi якої вибрано ρ00U
3H , визна-
чається iнтегруванням рiвняння (16) по всiй площi
S шару рiдини. В результатi
W =
∫∫
S
ρ0w
∂
∂t
{Γ(t)H [y − y0(t)] δ [z − z0(t)]} dydz .
Враховуючи особливостi iнтегрування виразiв з
дельта-функцiями, одержаний розв’язок можна
представити у виглядi
W (t) = W1 +W2 +W3 +W4 , (17)
де
W1 = ρ0[z0(t)]
dΓ
dt
∞
∫
y0(t)
w[y, z0(t), t]dy ,
О. Г. Стеценко 67
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2012. Том 14, N 4. С. 65 – 74
W2 = −ρ0[z0(t)]Γ(t)y′0(t)w[y0(t), z0(t)] ,
W3 = Γ(t)z′0(t)
∞
∫
y0(t)
dρ0
dz
[z0(t)]w[y, z0(t), t]dy ,
W4 = Γ(t)z′0(t)
∞
∫
y0(t)
ρ0[z0(t)]
dw
dz
[y, z0(t), t]dy .
Тут символ (′) означає похiдну по часу.
4. ПРИКЛАД НЕСТАЦIОНАРНОГО РУХУ
ВИХОРА
Розглядається схема руху, коли в початковий
момент часу t = 0 вихор iнтенсивностi Γ0, який
знаходиться на горизонтi z = h, починає рухатись
з постiйною швидкiстю U у вiд’ємному напрямку
горизонтальної вiсi координат, не змiнюючи при
цьому горизонту руху i своєї iнтенсивностi. Для
такої схеми руху в безрозмiрних величинах
v0(t) = v0(τ) = 1 ; y0(t) = −t ; y0(τ) = −τ ;
z0(t) = z0(τ) = h ; Γ(t) = Γ(τ) = Γ0 .
У цьому випадку в (9) iнтегрування по τ вико-
нується явно, в результатi чого отримується таке
представлення для функцiї течiї:
ψ(y, z, t) = −
Γ0e
λ
2
(z−h)
8π2
Im
∞
∫
−∞
eikyG1(k, z, t)dk , (18)
G1(k, z, s, t) =
ε+i∞
∫
ε−i∞
Πh
(
eikt − est
)
M∗(ik − s)
ds ,
де
Πh(k, z, s) = Πh1(k, z, s) + Πh2(k, z, s) ,
Πh1(k, z, s) = e−M∗(z+h) − e−M∗|z−h| ,
Πh2(k, z, s) =
Πh2∗e
−M∗
eM∗ − e−M∗
,
Πh2∗(k, z, s) = eM∗(z+h) + e−M∗(z+h) −
−eM∗(z−h) − e−M∗(z−h) .
Для обчислення iнтегралiв у комплекснiй s–
площинi використовується математичний апарат
теорiї лишкiв. Пiдiнтегральна функцiя в (18) за-
довольняє в цiй площинi умовам леми Жорда-
на а також має там особливi точки – полюси:
s(1) = ik i нескiнчена система s
(2)
n = ±iθn, θn =
α|k|
[
k2 +
1
4
λ2 + (πn)2
]− 1
2
, n = 1, 2, 3, ..., яка одер-
жуються з рiвняння
eM∗ + e−M∗ = 0 ,
та ±s(3) = ±2λ|k|i/
(
λ2 + 4k2
)
1
2 – точки розгалу-
ження, якi випливають з умови M∗ = 0.
З огляду на можливiвсть знаходження полю-
сiв s
(2)
n на уявнiй вiсi мiж точками розгалуження,
область однозначностi пiдiнтегральної функцiї до-
цiльно видiлити шляхом виконання двох розрiзiв
в s–площинi вздовж прямих, якi iдуть вiд точок
±s(3) до s = ∞ паралельно дiйснiй вiсi в обла-
стi Re s < 0. На протилежних берегах розрiзiв, як
неважко переконатися, пiдiнтегральна функцiя не
змiнює свого значення. Використання теореми Ко-
шi для замкнутого контура, який обходить всi осо-
бливi точки по колам нескiнчено малого радiуса,
а коло нескiнчено великого радiуса замикається в
областi Re s < 0, приводить до наступного розв’яз-
ку для ψ(y, z, t):
ψ(y, z, t) =
Γ0e
λ
2
(z−h)
4π
(ψ1 + ψ2 + ψw) . (19)
Тут
ψ1(y, z, t) = −
∞
∫
0
Πh1 cos[k(y + t)]dk ,
ψ2(y, z, t) = −
∞
∫
0
Πh2 cos[k(y + t)]dk ,
ψw(y, z, t) =
8
α2
∞
∑
n=1
1
n
sin(πnz) sin(πnh)Πhw ,
де
Πh1(k, z) =
1
M+
(
e−M+(z+h) − e−M+|z−h|
)
,
Πh2(k, z) =
Πh∗e
−M+
M+ (eM+ − e−M+)
,
Πh∗(k, z) = eM+(z+h) + e−M+(z+h) −
−eM+(z−h) − e−M+(z−h) ,
Πhw(y, t) =
∞
∫
0
θ3nΠw∗
k2(k2 − θ2n)
dk ,
Πw∗(k, y, t) = k cos[k(y + t)] − k cos(θnt) cos(ky) −
−θn sin(θnt) sin(ky);
M+ =
(
1
4
λ2 + k2
)
1
2
. Складова ψw(y, z, t) описує n
– модове поле внутрiшнiх хвиль, генерованих ру-
хомим вихором.
Складова розв’язку ψ1(y, z, t) в рухомiй системi
координат, пов’язанiй з вихором, при λ → 0 з то-
чнiстю до множника
1
2
спiвпадає з розв’язком за-
дачi про стацiонарний рух точкового вихора бiля
68 О. Г. Стеценко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2012. Том 14, N 4. С. 65 – 74
твердої горизонтальної стiнки в однорiдному се-
редовищi. В роботi [6] показано, що задача ста-
цiонарного руху точкового вихора в необмежено-
му середовищi має два представлення розв’язку,
один з яких в однорiдному середовищi (центр ви-
хора знаходиться в початку системи координат)
представляється як
ψs1(y/z) = −
Γ0
2π
∞
∫
0
e−k|y|
k
cos(kz)dk , (20)
а другий спiвпадає з точнiстю до вказаного мно-
жника з першою складовою в ψ1(y, z, t) при λ→ 0
в рухомiй системi координат, коли центр вихора
також знаходиться в початку координат. Розра-
хунки картини обтiкання вихора показали, що по-
будову ближнього поля для функцiї течiї помiтно
ефективнiше (з точки зору обчислювальної проце-
дури) виконувати з використанням розв’язку (20).
Тому в одержаному розв’язку (19) замiсть складо-
вої ψ1(y, z, t) використовується надалi рiвнозначне
представлення
ψ1∗(y, z, t) = −
Γ0e
λ
2
(z−h)
2π
∞
∫
0
Πh1∗e
−M+|y+t|dk ,
Πh1∗(k, z) =
1
M+
{cos[k(z + h)] − cos[k(z − h)]} ,
яке при λ→ 0 дає з точнiстю до множника
1
2
вiд-
повiдний розв’язок для стацiонарного руху вихора
бiля стiнки в однорiдному середовищi, коли обтiка-
ння окремого вихора в необмеженому однорiдно-
му середовищi описується представленням (20).
З розв’язку для ψ(y, z, t) одержуються вiдповiднi
представлення для складових збуреної швидкостi
та амплiтуд вертикальних змiщень:
w(y, z, t) =
Γ0e
λ
2
(z−h)
4π
(w1 + w2 + ww) , (21)
η(y, z, t) =
Γ0e
λ
2
(z−h)
4π
(η1 + η2 + η3) , (22)
де w1(y, z, t) = −sign(y)
∞
∫
0
Πw1e
−M+|y+t|dk ,
Πw1(k, z) = cos[k(z + h)] − cos[k(z − h)] ,
w2(y, z, t) = −
∞
∫
0
kΠh2 sin[k(y + t)]dk ,
w3(y, z, t) =
8
α2
∞
∑
n=1
1
n
sin(πnz) sin(πnh)Πw ,
Πw(y, t) =
∞
∫
0
θ3nΠw∗
k(k2 − θ2n)
dk ,
Πw∗(k, y, t) = k sin[k(y + t)] −
−k cos(θnt) sin(ky) + θn sin(θnt) cos(ky) ,
η1 =
∞
∫
0
1
M+
Πw1
[
e−M+|(y+t)| − e−M+|y|
]
dk ,
η2 =
∞
∫
0
Πh2{cos[k(y + t)] − cos(ky)}dk ,
ηw = −
8
α2
∞
∑
n=1
1
n
sin(πnz) sin(πnh)Πηw ,
Πηw(y1, t) =
∞
∫
0
θ3nΠη∗
k(k2 − θ2n)
dk ,
Πη∗(k, y1, t) =
k
θn
[sin(ky) sin(θnt) +
+ cos(ky)[cos(θnt) − 2] + cos[k(y + t)] .
Одержаний розв’язок для амплiтуд мiстить
складовi, якi для скiнчених y при t → ∞ дають
поле "заморожених" збурень, що протирiчить фi-
зицi руху рiдкого середовища. Цi збурення забез-
печують нульову початкову умову для поля амплi-
туд. Оскiльки їх необхiдно вiдняти вiд одержаного
розв’язку, це означає, що для даної схеми руху по-
чатковi умови для амплiтуд, на вiдмiну вiд збуре-
них функцiї течiї i швидкостi, є ненульовi. Фiзично
коректний розв’язок для η(y, z, t), таким чином,
випливає з (22) пiсля вилучення там з η1(y, z, t),
складової з e−k|y|, а з η2(y, z, t) i ηw(y, z, t) вiд-
повiдно складових з cos(ky).
Потужнiсть випромiнюваної енергiї для даної
схеми руху на пiдставi (17) i (21) представляється
виразом
W (t) =
2Γ2
0
πα2
∞
∑
n=1
1
n
sin2(πnh)
∞
∫
0
θ3nΠW
k (k2 − θ2n)
dk , (23)
ΠW (k, t) = k cos(θnt) sin(kt) + θn sin(θnt) cos(kt) .
Для побудови i аналiзу збурених рухомим вихо-
ром гiдродинамiчних полiв у данiй схемi руху зру-
чно представити їх у рухомiй системi координат
такiй, що її центр рухається горизонтально разом
з вихором. Вiдповiднi представлення одержуються
пiсля замiни горизонтальної координати y на y1−t.
В цiй системi координат амплiтуда вертикального
змiщення з розв’язку (22), пiсля вiднiмання в ньо-
О. Г. Стеценко 69
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2012. Том 14, N 4. С. 65 – 74
му "заморожених" складових, визначається як
η(y1, z, t) =
Γ0e
λ
2
(z−h)
4π
(η1 + η2 + ηw) , (24)
де
η1(y1, z, t) =
∞
∫
0
1
M+
Πw1e
−M+|y1|dk ,
η2(y1, z, t) =
∞
∫
0
Πh2 cos(ky1)dk ,
ηw(y1, z, t) = −
8
α2
∞
∑
n=1
1
n
sin(πnz) sin(πnh)Πηw ,
Πηw(y1, t) =
∞
∫
0
θ3nΠη∗
k(k2 − θ2n)
dk ,
Πη∗(k, y1, t) =
k
θn
sin[k(y1 − t)] sin(θnt) +
+ cos[k(y1 − t)] cos(θnt) + cos(ky1) .
5. РЕЗУЛЬТАТИ ЧИСЕЛЬНИХ
ЕКСПЕРИМЕНТIВ
Для iлюстрацiї характеру гiдродинамiчної кар-
тини обтiкання вихора на пiдставi одержаного
розв’язку виконанi чисельнi розрахунки амплiту-
дних картин i потужностi випромiнюваної вихо-
ром енергiї в рухомiй системi координат для рiз-
них значень визначальних параметрiв α, λ, гори-
зонту руху та iнтервалу часу руху, але при постiй-
ному значеннi iнтенсивностi вихора Γ0 = 0.5. В
силу лiнiйностi задачi змiна амплiтуд i збуреної
швидкостi пропорцiйна змiнi Γ0, а змiна потужно-
Рис. 1. Амплiтудна картина при
λ = 10
−5, α = 10
−2, z = 0.2, t = 10
стi випромiнюваної енергiї пропорцiйна Γ2
0. Розра-
хунки виконанi в дiапазонi змiни t вiд 10 до 100,
що дозволили виконати аналiз особливостей фор-
мування збурених гiдродинамiчних полiв.
Рис. 2. Амплiтудна картина при
λ = 10
−5, α = 10
−2, z = 0.4, t = 10
Для випадку слабкої стратифiкацiї характерна
картина амплiтуд збурень представлена на рис. 1
i 2 для горизонту руху вихора h = 0.4 i λ = 10−5,
α = 10−2 вiдповiдно для двох розрахункових го-
ризонтiв z = 0.2 i z = 0.4 в момент часу t = 10.
Як видно, iнтенсивнiшi збурення мають мiсце на
горизонтi руху вихора. Розрахунки амплiтудних
картин для iнших горизонтiв пiдтверджують цю
закономiрнiсть. Iнакше може бути лише при на-
явностi в околi вихора "атмосфери" вихрової па-
ри, особливостi утворення якої проаналiзованi у [8,
9]. Тут цi випадки не розглядаються. Тому нада-
лi розрахунки амплiтудних картин виконанi лише
для одного горизонту руху вихора h = 0.4. Для по-
чаткового перiоду часу характерною особливiстю
гiдродинамiчної картини руху в збуреному сере-
довищi є наявнiсть двох характерних областей за
вихором. Це область безпосередньо в околi вихора
i область, яка еволюцiонує в околi точки старту.
В околi вихора достатньо швидко формується те-
чiя, подiбна стацiонарнiй картинi його обтiкання.
В околi точки старту в початковий перiод руху
утворюється зона з початковими змiщеннями ча-
стинок середовища, вiд якої в бiк вихора та в про-
тилежному напрямку поширюються асиметрично-
го характеру одне вiдносно другого збурення. Мiж
цими характерними областями знаходиться про-
мiжна область, в якiй формується гiдродинамiчна
картина, що з часом (при t→ ∞) прямує до вiдпо-
вiдного стацiонарного вигляду. На рис. 3 представ-
лена амплiтудна картина на горизонтi руху вихора
при t = 50. З порiвняння амплiтудних картин для
цих двох моментiв часу випливає, що в околi рухо-
мого вихора вже при t = 10 практично має мiсце
сформована стацiонарна картина його обтiкання,
70 О. Г. Стеценко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2012. Том 14, N 4. С. 65 – 74
яка в подальшому не змiнюється. В той самий час
структура областi в околi точки старту (на рис. 1
i 2 це зони в околi y = 10, а на рис. 3 – зона в околi
y = 50) продовжує iнтенсивно змiнюватись. Ха-
рактер цiєї еволюцiї нагадує нестацiонарний про-
цес генерацiї поля внутрiшнiх хвиль вiд перемi-
шаної в початковий момент цилiндричної областi.
Однак, на вiдмiну вiд цього процесу, поширення
збурень, утворених вихором в початковий перiод
руху в околi точки старту, має, як вище вiдмiчено,
асиметричний характер вiдносно цiєї точки.
Рис. 3. Амплiтудна картина при
λ = 10
−5, α = 10
−2, z = 0.4, t = 50
Промiжна область мiж ближньою до вихора
областю протяжнiстю близько двох товщин ша-
ру середовища i зоною збурень в околi старту
має протягом певного початкового iнтервалу руху
значно меншi величини амплiтуд змiщення точок
середовища. Як видно, для даного режиму руху
в початковий перiод руху амплiтуднi збурення в
околi вихора пiсля першого етапу зростання почи-
нають зменшуватись, прямуючи до свого стацiо-
нарного вигляду. В областi точки старту процес
зростання амплiтуд збурень продовжується протя-
гом тривалiшого перiоду. Це пiдтверджується по-
рiвнянням амплiтудних картин рис. 2 та 3, де спо-
стерiгається вже незначне зменшення максимуму
амплiтуд в околi вихора в перiод часу мiж t = 10 i
t = 100 i помiтне зростання вiдповiдних максиму-
мiв у зонi точки старту. Однак з часом збурення
в областi точки старту, досягнувши своїх макси-
мальних значень, затухатимуть за рахунок дис-
персiйних ефектiв стратифiкованого середовища.
В цiлому ця область iснує протягом достатньо три-
валого перiоду часу. Про швидке набуття гiдроди-
Рис. 4. Потужнiсть випромiнюваної енергiї при
λ = 10
−5, α = 0, 01, h = 0.5
намiчної картини в областi, близькiй до вихора,
вигляду, вiдповiдного стацiонарному режиму ру-
ху, свiдчить також характер змiни величини поту-
жностi, яка затрачується на генерацiю внутрiшнiх
хвиль (тобто, випромiнюється в навколишнє сере-
довище). З рис. 4 можна зробити висновок, що вже
при t, дещо бiльшому вiд 2, величина W (t) вихо-
дить на постiйне значення для розглянутого варi-
анту з α = 0.01. Одержане постiйне значення W (t)
вiдповiдає енергiї внутрiшнiх хвиль, якi випромi-
нюються в область позаду вихора i беруть участь
у формуваннi вiдповiдного стацiонарного гiдроди-
намiчного поля.
При посиленнi стратифiкацiї картина збурень
за вихором змiнюється. З амплiтудних картин на
горизонтi руху вихора при λ = 10−3, α = 0.1,
представлених на рис. 5 i 6 для рiзних момен-
тiв часу, видно, що головнi змiни вiдбуваються в
околi вихора та в областi старту. В околi вихора
амплiтуда збурень зростає при зростаннi α. Сут-
тєвi змiни вiдбуваються в зонi стартової точки.
Тут з часом формується область чiтко вираже-
них хвильових рухiв, якi поширюються в протиле-
жних напрямках. Зi збiльшенням величини пара-
метра α для однакових iнтервалiв часу пiсля стар-
ту збiльшується ширина цiєї областi та значення
амплiтуд, а такох розширюється видимий спектр
присутнiх там внутрiшнiх хвиль. Про це можна су-
дити з порiвняння рис. 5 i 6 з рис. 7 i 8 вiдповiдно,
на яких наведена амплiтудна картина також на го-
ризонтi руху вихора при λ = 0, 1, α = 1 i t = 100 .
При цьому незмiнним залишається асиметричний
характер поширення ВХ вiд областi збурень в око-
лi точки старту. Порiвняння амплiтудних картин
на рис. 5–8 чiтко показує, що з часом збурення
вiд цiєї складової розв’язку, пiсля досягнення сво-
О. Г. Стеценко 71
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2012. Том 14, N 4. С. 65 – 74
Рис. 5. Амплiтудна картина при
λ = 10
−3, α = 0.1, z = 0.4, t = 10
Рис. 6. Амплiтудна картина при
λ = 10
−3, α = 0.1, z = 0.4, t = 100
го максимуму, затухають.
Аналiз приведених амплiтудних картин показує,
що при наявностi стратифiкацiї середовища в око-
лi вихора в початковий перiод руху має мiсце зрос-
тання амплiтуд, причому воно тим iнтенсивнiше,
чим бiльше величина α. З часом, однак, харак-
тер такої змiни набуває протилежного характеру i
амплiтуди починають зменшуватись, прямуючи до
своїх значень, вiдповiдних стацiонарному режиму
руху. Як видно з наведених результатiв, вже при
α = 0.1 на горизонтi руху вихора h = 0.4 в зонi
y1 → 0 помiтною робиться змiна амплiтуд збуре-
ння в бiк їхнього зростання. Це вiдбувається за
рахунок зростання вкладу у розв’язок складової
ηw(y, z, t) та змiни локальної густини середовища
на горизонтi руху вихора. При α = 1 амплiту-
ди збурення, що набули стацiонарного значення,
бiльшi порiвняно з режимом руху при α = 0.1
приблизно на 50 вiдсоткiв. Якщо розглядати за-
Рис. 7. Амплiтудна картина при
λ = 0.1, α = 1, z = 0.4, t = 10
дачу руху пiдводного крила в середовищi з та-
кою стратифiкацiєю, то динамiка його руху в цьо-
Рис. 8. Амплiтудна картина при
λ = 0, 1, α = 1, z = 0.4, t = 100
му випадку може iстотно змiнитись. Слiд вiдмi-
тити, однак, що наведена оцiнка має мiсце для
сильно стратифiкованих середовищ, вiдповiдних
яким у реальних морях i океанах Землi не iснує.
Значення α, розрахованi для рухомих об’єктiв на-
вiть для максимальних локальних градiєнтiв гу-
стини в реальних морях, змiнюються в дiапазонi
0.005 < α < 0.02. Для такого дiапазону впливом
72 О. Г. Стеценко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2012. Том 14, N 4. С. 65 – 74
стратифiкацiї на динамiку рухомих пiдводних об’-
єктiв можна знехтувати. Стратифiкацiя зi значен-
нями α > 0.1, коли починає спостерiгатись її вплив
на динамiку руху тiл, може мати мiсце лише для
деяких технологiчних середовищ а також, можли-
во, на поверхнях iнших планет, де присутнi подiбнi
до Землi моря, заповненi iншою рiдиною.
В областi старту при збiльшеннi величини
α бiльш чiтко формується область внутрiшнiх
хвиль, якi поширюються в обидва боки вiд точки
старту i мають модову структуру, як це випливає
iз вигляду складової розв’язку ηw(y, z, t). Це добре
видно з представленої на рис. 8 амплiтудної карти-
ни, де можна виокремити зони iснування перших
двох мод цих хвиль. Характер поширення ВХ по-
дiбний випадку генерацiї ВХ вiд початково пере-
мiшаної двовимiрної областi i може бути проаналi-
зований на пiдставi дисперсiйного спiввiдношення,
одержаного в попередньому роздiлi:
θn = αk
[
k2 +
1
2
λ2 + (πn)2
]
1
2
.
Зокрема, з нього визначається швидкiсть пошире-
ння переднього фронту n-моди внутрiшнiх хвиль,
яка вiдповiдає величинi фазової cφ (i групової cg)
швидкостi для k → 0. В даному випадку
cφn(0) = cgn(0) =
α
[
1
4λ
2 + (πn)2
]
1
2
.
При достатньо великих значеннях t кожна iз
мод ВХ за рахунок рiзних швидкостей поширення
їхнiх переднiх фронтiв знаходиться в певнiй обла-
стi середовища (в нерухомiй системi координат це
|y| ≤ cgnt) i, принаймнi, першi двi–три з них мо-
жуть бути видiленi безпосередньо з вигляду хви-
льової картини. Саме це i видно з амплiтудної кар-
тини рис. 8, де при t = 100 i α = 1 можна видiлити
першi двi моди ВХ, якi поширюються вiд точки
старту (в рухомiй системi координат це вiдповiдає
точцi з координатою y1 = t) i визначити швид-
костi їхнього поширення, якi вiдповiдають наведе-
ному вище спiввiдношенню. Цiкаво вiдмiтити при
цьому, що амплiтуди тiєї частини ВХ, що поширю-
ються вiд областi старту в бiк руху вихора, вiдно-
сно меншi вiд вiдповiдних ВХ, якi поширюються в
протилежний бiк. Про це можна судити з хвильо-
вої картини рис. 7 i 8.
При слабкiй стратифiкацiї (навiть при α = 0.1)
для такого ж значення часу t = 100, як це видно
з рис. 6 i 7, структура збуреної картини руху в
областi точки старту ще не дає можливостi видi-
лити наявнiсть сформованих там хвильових рухiв
i, тим бiльше, виокремлених мод ВХ.
Рис. 9. Потужнiсть випромiнюваної енергiї при
λ = 10
−3, α = 0, 1, h = 0.5
Характер змiни потужностi випромiнюваної
енергiї при посиленнi стратифiкацiї практично не
змiнюється, лише її величина зростає приблизно
пропорцiйно значенню α, а iнтервал часу виходу
цiєї величини на стацiонарне значення дещо зрос-
тає. Про це можна судити з порiвняння вiдповiд-
них кривих на рис. 5 i 9. На рис. 9 наведено змiну в
часi потужностi випромiнювання енергiї для гори-
зонтiв руху вихора h = 0.3, h = 0.4 та h = 0.5 при
α = 0, 1, λ = 10−3. З порiвняння вiдповiдних кри-
вих видно, що максимум випромiнюваної вихором
енергiї має мiсце при h = 0.5.
ВИСНОВКИ
У виконаному дослiдженнi зроблена загальна
постановка лiнiйної задачi про нестацiонарний рух
зi стану спокою плоского точкового вихора в ша-
рi скiнченої товщини неперервно стратифiкова-
ного середовища з експоненцiйним законом змi-
ни густини середовища по вертикалi. Розробле-
на вiдповiдна математична модель з використан-
ням рiвнянь Ейлера в загальнiй формi наближен-
ня Бусинеска. З застосуванням методу iнтеграль-
них перетворень одержано загальне представлен-
ня розв’язку, на основi якого дослiджено схему ру-
ху, коли в початковий момент часу вихор починає
рiвномiрний горизонтальний рух. Розв’язок одер-
жано у виглядi квадратур. Аналiз виконаних чи-
сельних експериментiв для такої схеми руху дозво-
ляє зробити наступнi висновки.
1. В початковий перiод часу руху вихора фор-
муються двi характернi областi збурень – в околi
О. Г. Стеценко 73
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2012. Том 14, N 4. С. 65 – 74
самого вихора та в околi точки його старту. Кар-
тина збурень у першiй областi (в околi вихора)
швидко прямує до стацiонарного стану, подiбно-
го випадку нестратифiкованого середовища. Ево-
люцiя збурень другої областi триває протягом до-
статньо тривалого перiоду часу i вона схожа на
еволюцiю внутрiшнiх хвиль вiд двовимiрної пере-
мiшаної областi, хоч i має асиметричний характер
поширення одна вiдносно другої в обох своїх зо-
нах, одна з яких поширюється в бiк руху вихо-
ра, а iнша – в протилежний бiк. Мiж цими хара-
ктерними областями знаходиться промiжна зона
зi значно меншою iнтенсивнiстю збурень затуха-
ючого та хвильового характеру. З часом перша i
перехiдна областi формують стацiонарну картину
збуреного середовища за рухомим вихором, а збу-
рення в другiй областi пiсля певного перiоду зрос-
тання затухають через механiзм дисперсiї страти-
фiкованого середовища.
2. Особливiстю формування амплiтудної карти-
ни в околi вихора є те, що протягом невеликого
промiжку часу амплiтуди збурень зростають до
певного максимуму, пiсля чого зменшуються до
незмiнних у подальшому величин, значення яких
тим бiльше, чим сильнiша стратифiкацiя.
3. Внутрiшнi хвилi в околi точки старту форму-
ються в такий спосiб, що низькочастотна части-
на їхнього спектру формується тим швидше, чим
бiльше значення параметра α.
4. Головними параметрами, якi визнначають на-
явнiсть i характер генерованих рухомим вихором
внутрiшнiх хвиль та амплiтудну картину в околi
вихора, є густинне число Фруда α i величина λ,
причому визначальним з них є α. Для значень α,
вiдповiдних реальним морям i океанам, коли зна-
чення цього параметра, розрахованi навiть для ма-
ксимальних локальних градiєнтiв густини середо-
вища, змiнюються для реальних рухомих об’єктiв
в дiапазонi 0.005 < α < 0.02, впливом стратифiка-
цiї на динамiку руху пiдводних тiл можна знехту-
вати. Для випадку сильно стратифiкованих сере-
довищ, коли реалiзуються режими руху з велики-
ми значеннями α, вплив стратифiкацiї на динамi-
ку руху тiла може бути iстотним.
5. Величина потужностi випромiнюваної при ру-
сi вихора енергiї протягом iнтервалу часу близько
двох характерних одиниць плавно наростає вiд ну-
ля до певного значення, вiдповiдного стацiонарно-
му режиму руху, яке зростає при посиленнi стра-
тифiкацiї приблизно пропорцiйно значенню α.
В напрямку подальших дослiджень нестцiонар-
них рухiв вихорiв представляє iнтерес розглянути
iншi схеми руху, зокрема, з перiодичними змiнами
їхнiх визначальних параметрiв.
1. Степанянц Н.А., Стурова И.В., Теодорович А.В.
Линейная теория поверхностных и внутренних
волн // Итоги науки и техники, Серия "Механика
жидкости и газа.– М.:.– ВИНИТИ, 1987.– Т. 21.–
С. 92–179.
2. Басин М.Я., Шадрин И.П. Гидродинамика
крыльев вблизи границы раздела сред.– Л.:
Судостроение, 1980.– 304 с.
3. Arendt S.C. Vorticity in stratified fluid I: general
vormulation. // Geophys. Astrophys. Fluid Den.–
1993.– 68.– P. 59–83.
4. Arendt S.C. Vorticity in stratified fluid II: finite cross
- section filaments and rings. // Geophys. Astrophys.
Fluid Den.– 1993.– 70.– P. 161–193.
5. Arendt S.C. Two-dimensional vortex dynamics in
stratified barotropic fluid. // J. Fluid Mech.– 1996.–
314.– P. 139–161.
6. Janowitz G.S. Line singularities in inbounded stratifi-
ed fluid // J.Fluid Mech.– 1974.– 66, 3,.– P. 455–464.
7. Стеценко О.Г. Лiнiйна задача про стацiонарний
рух вихора у стратифiкованому середовищi //
Прикл. гiдромеханiка.– 2004.– 6(78), 1.– С. 62–68.
8. Стеценко О.Г. Стацiонарний рух вихора бiля твер-
дої стiнки у стратифiкованому середовищi //
Прикл. гiдромеханiка.– 2006.– 8(80),4.– С. 58–64.
9. Стеценко О.Г. Стацiонарний рух точкового вихора
в шарi скiнченої товщини стратифiкованого сере-
довища // Прикл. гiдромеханiка.– 2010.– 12(84),
1.– С. 68–75.
10. Шебалов А.Н. О волновом сопротивлении и по-
дъемной силе плоского профиля произвольной
формы при неустановившемся движении под свл-
бодной поверхностью // Прикл. гiдромеханiка.–
1962.– 28, № 6.– С. 1104–1111.
11. Шебалов А.Н. Неустановившееся движение пло-
ского контура произвольной формы под поверхно-
стью раздела жидкостей различной плотности //
Тр.Лен.Корабл.Ин-та.– 1971.– № 107.– С. 52–58.
12. Стеценко О.Г. Нестацiонарний рух точкового вихо-
ра у двохшаровiй рiдинi // Прикл. гiдромеханiка.–
2012.– 14(86), 2.– С. 70–84.
13. Стеценко О.Г. Наведенне магнiтне поле, обумовле-
не вертикальним рухом вихорової пари у страти-
фiкованому середовищi // Прикл. гiдромеханiка.–
2010.– 12(84), 2.– С. 70–84.
14. Городцов В.А., Теодорович В.В. Плоская задача
для внутренних волн, порождаемых движущим-
ся сингулярным источником // МЖГ.– 1981.– 6.–
С. 77-83.
15. Стеценко О.Г. Динамiка стацiонарного руху ви-
жроджерела у стратифiкованому середовищi //
Прикл. гiдромеханiка.– 2006.– 9(80), 4.– С. 66–77.
74 О. Г. Стеценко
|