Задача об ударе пластины о жидкость с произвольной формой свободной поверхности
На примере удара пластинки о свободную поверхность жидкости исследуется влияние формы и величины области, занятой жидкостью, на величину присоединенной массы пластинки. Интегральный метод годографа применен для решения задачи об ударе пластины о несжимаемую жидкость бесконечной глубины, свободная по...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Прикладна гідромеханіка |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2013
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116416 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Задача об ударе пластины о жидкость с произвольной формой свободной поверхности / Ю.Н. Савченко, Ю.А. Семенов // Прикладна гідромеханіка. — 2013. — Т. 15, № 1. — С. 75-82. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-116416 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Савченко, Ю.Н. Семенов, Ю.А. 2017-04-25T20:22:29Z 2017-04-25T20:22:29Z 2013 Задача об ударе пластины о жидкость с произвольной формой свободной поверхности / Ю.Н. Савченко, Ю.А. Семенов // Прикладна гідромеханіка. — 2013. — Т. 15, № 1. — С. 75-82. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116416 532.528 На примере удара пластинки о свободную поверхность жидкости исследуется влияние формы и величины области, занятой жидкостью, на величину присоединенной массы пластинки. Интегральный метод годографа применен для решения задачи об ударе пластины о несжимаемую жидкость бесконечной глубины, свободная поверхность которой имеет произвольную форму. Получены аналитические выражения для комплексной скорости, производной комплексного потенциала и функции, отображающей область параметра на физическую плоскость течения. Краевая задача сведена к системе двух интегральных уравнений, решение которой получено с использованием метода последовательных приближений. Представлены результаты вычислений распределения скорости на свободной границе непосредственно после удара и исследовано влияние формы свободной границы на значение присоединенной массы. На прикладі удару пластинки об вільну поверхню рідини досліджується вплив форми і величин області, що зайнята рідиною, на величину приєднаної маси пластинки. Інтегральний метод годографа застосовано для розв'язання задачі про удар пластинки об нестисливу рідину нескінченної глибини, вільна поверхня якої має довільну форму. Одержано аналітичні вирази для комплексної швидкості, похідної комплексного потенціалу і функції, що відображає область параметра на фізичну площину течії. Гранична задача зводиться до системи двох інтегральних рівнянь, розв'язок якої отримано з використанням методу послідовних наближень. Представлено результати обчислень розподілення швидкості на вільній границі безпосередньо після удару і досліджено вплив форми вільної границі на значення приєдананої маси. This paper considers a flat plate impacting the free surface of the liquid of infinite depth. The primary interest of the study is to investigate the effect of the prescribed free boundaries on the added mass. An integral hodograph method is used to reduce the problem to a system of two integro-differential equations that are solved numerically using the method of successive approximations. The impact of the plate onto the flat free surface is obtained as a specific case. The effect of the geometry of the flow region on the value of the added mass is discussed. ru Інститут гідромеханіки НАН України Прикладна гідромеханіка Науковi статтi Задача об ударе пластины о жидкость с произвольной формой свободной поверхности Задача про удар пластини об рідину з довільною формою вільної поверхні Problem on impact of a plate against a liquid with a free surface of arbitrary shape Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Задача об ударе пластины о жидкость с произвольной формой свободной поверхности |
| spellingShingle |
Задача об ударе пластины о жидкость с произвольной формой свободной поверхности Савченко, Ю.Н. Семенов, Ю.А. Науковi статтi |
| title_short |
Задача об ударе пластины о жидкость с произвольной формой свободной поверхности |
| title_full |
Задача об ударе пластины о жидкость с произвольной формой свободной поверхности |
| title_fullStr |
Задача об ударе пластины о жидкость с произвольной формой свободной поверхности |
| title_full_unstemmed |
Задача об ударе пластины о жидкость с произвольной формой свободной поверхности |
| title_sort |
задача об ударе пластины о жидкость с произвольной формой свободной поверхности |
| author |
Савченко, Ю.Н. Семенов, Ю.А. |
| author_facet |
Савченко, Ю.Н. Семенов, Ю.А. |
| topic |
Науковi статтi |
| topic_facet |
Науковi статтi |
| publishDate |
2013 |
| language |
Russian |
| container_title |
Прикладна гідромеханіка |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Задача про удар пластини об рідину з довільною формою вільної поверхні Problem on impact of a plate against a liquid with a free surface of arbitrary shape |
| description |
На примере удара пластинки о свободную поверхность жидкости исследуется влияние формы и величины области, занятой жидкостью, на величину присоединенной массы пластинки. Интегральный метод годографа применен для решения задачи об ударе пластины о несжимаемую жидкость бесконечной глубины, свободная поверхность которой имеет произвольную форму. Получены аналитические выражения для комплексной скорости, производной комплексного потенциала и функции, отображающей область параметра на физическую плоскость течения. Краевая задача сведена к системе двух интегральных уравнений, решение которой получено с использованием метода последовательных приближений. Представлены результаты вычислений распределения скорости на свободной границе непосредственно после удара и исследовано влияние формы свободной границы на значение присоединенной массы.
На прикладі удару пластинки об вільну поверхню рідини досліджується вплив форми і величин області, що зайнята рідиною, на величину приєднаної маси пластинки. Інтегральний метод годографа застосовано для розв'язання задачі про удар пластинки об нестисливу рідину нескінченної глибини, вільна поверхня якої має довільну форму. Одержано аналітичні вирази для комплексної швидкості, похідної комплексного потенціалу і функції, що відображає область параметра на фізичну площину течії. Гранична задача зводиться до системи двох інтегральних рівнянь, розв'язок якої отримано з використанням методу послідовних наближень. Представлено результати обчислень розподілення швидкості на вільній границі безпосередньо після удару і досліджено вплив форми вільної границі на значення приєдананої маси.
This paper considers a flat plate impacting the free surface of the liquid of infinite depth. The primary interest of the study is to investigate the effect of the prescribed free boundaries on the added mass. An integral hodograph method is used to reduce the problem to a system of two integro-differential equations that are solved numerically using the method of successive approximations. The impact of the plate onto the flat free surface is obtained as a specific case. The effect of the geometry of the flow region on the value of the added mass is discussed.
|
| issn |
1561-9087 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116416 |
| citation_txt |
Задача об ударе пластины о жидкость с произвольной формой свободной поверхности / Ю.Н. Савченко, Ю.А. Семенов // Прикладна гідромеханіка. — 2013. — Т. 15, № 1. — С. 75-82. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT savčenkoûn zadačaobudareplastinyožidkostʹsproizvolʹnoiformoisvobodnoipoverhnosti AT semenovûa zadačaobudareplastinyožidkostʹsproizvolʹnoiformoisvobodnoipoverhnosti AT savčenkoûn zadačaproudarplastiniobrídinuzdovílʹnoûformoûvílʹnoípoverhní AT semenovûa zadačaproudarplastiniobrídinuzdovílʹnoûformoûvílʹnoípoverhní AT savčenkoûn problemonimpactofaplateagainstaliquidwithafreesurfaceofarbitraryshape AT semenovûa problemonimpactofaplateagainstaliquidwithafreesurfaceofarbitraryshape |
| first_indexed |
2025-11-25T15:42:16Z |
| last_indexed |
2025-11-25T15:42:16Z |
| _version_ |
1850517080500076544 |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 1. С. 75 – 82
УДК 532.528
ЗАДАЧА ОБ УДАРЕ ПЛАСТИНЫ О ЖИДКОСТЬ С
ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМОЙ СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Ю. Н. СА ВЧ Е Н К О, Ю. А. С Е МЕ Н ОВ
Институт гидромеханики НАН Украини, Киев
03680 Киев – 180, МСП, ул. Желябова, 8/4
semenov@a-teleport.com
Получено 12.10.2012
На примере удара пластинки о свободную поверхность жидкости исследуется влияние формы и величины области,
занятой жидкостью, на величину присоединенной массы пластинки. Интегральный метод годографа применен
для решения задачи об ударе пластины о несжимаемую жидкость бесконечной глубины, свободная поверхность
которой имеет произвольную форму. Получены аналитические выражения для комплексной скорости, производной
комплексного потенциала и функции, отображающей область параметра на физическую плоскость течения.
Краевая задача сведена к системе двух интегральных уравнений, решение которой получено с использованием
метода последовательных приближений. Представлены результы вычислений распределения скорости на свободной
границе непосредственно после удара и исследовано влияние формы свободной границы на значение присоединен-
ной массы.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: удар о жидкость, присоединенная масса, комплексный потенциал, свободные границы, ин-
тегральные уравнения
На прикладi удару пластинки об вiльну поверхню рiдини дослiджується вплив форми i величин областi, що
зайнята рiдиною, на величину приєднаної маси пластинки. Iнтегральний метод годографа застосовано для розв’я-
зання задачi про удар пластинки об нестисливу рiдину нескiнченної глибини, вiльна поверхня якої має довiльну
форму. Одержано аналiтичнi вирази для комплексної швидкостi, похiдної комплексного потенцiалу i функцiї, що
вiдображає область параметра на фiзичну площину течiї. Гранична задача зводиться до системи двох iнтегральних
рiвнянь, розв’язок якої отримано з використанням методу послiдовних наближень. Представлено результати
обчислень розподiлення швидкостi на вiльнiй границi безпосередньо пiсля удару i дослiджено вплив форми вiльної
границi на значення приєдананої маси.
КЛЮЧОВI СЛОВА: удар об рiдину, приєднана маса, комплексний потенцiал, вiльнi межi, iнтегральнi рiвняння
This paper considers a flat plate impacting the free surface of the liquid of infinite depth. The primary interest of the
study is to investigate the effect of the prescribed free boundaries on the added mass. An integral hodograph method is
used to reduce the problem to a system of two integro-differential equations that are solved numerically using the method
of successive approximations. The impact of the plate onto the flat free surface is obtained as a specific case. The effect
of the geometry of the flow region on the value of the added mass is discussed.
KEY WORDS: water impact, added mass, complex potential, free boundaries, integral equations
ВВЕДЕНИЕ
Плоская задача об ударе пластины о поверх-
ность жидкости бесконечной глубины решена Кел-
дышом для случая плоской свободной поверхно-
сти [2]. В реальных условиях свободная поверх-
ность жидкости может отличаться от плоской, на-
пример, при учете волнения на поверхности жид-
кости, а также в результате обтекания тела до уда-
ра, сформировавшего область течения и форму
свободных границ.
Задача об ударе тела о поверхность жидкости,
кроме изучения непосредственно гидродинамиче-
ских характристик при ударе тела, имеет прило-
жение для приближенного исследования нестацио-
нарного движения тел, так как ускоренное движе-
ние можно представить в виде последовательных
ударов, при которых скорость изменяется мгно-
венно на конечную величину, соответствующую
заданному ускоренному движению. Однако изме-
нение формы свободных границ при таком подходе
и ее влияние на присоединенную массу определить
не представляется возможным. Данное исследо-
вание позволяет оценить влияние формы свобод-
ных границ, а также диапазон применимости тако-
го подхода к изучению нестационарного движения
тел в жидкости со свободными границами.
В литературе рассмотрены задачи удара пла-
стинки о плоскую свободную поверхность коне-
чной глубины [6], задачи о центральном и нецен-
тральном ударе круглого диска о жидкость коне-
чной глубины, о вертикальном ударе эллиптиче-
ского цилиндра, плавающего на поверхности иде-
c© Ю. Н. Савченко, Ю. А. Семенов, 2013 75
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 1. С. 75 – 82
альной несжимаемой жидкости. Обзор литерату-
ры можно найти в [7].
В данной работе внимание уделено влиянию
формы области, занятой жидкостью, на величи-
ну присоединенной массы, возникающей при уда-
ре, то есть при мгновенном изменении скорости
потока относительно пластинки. Сформулирована
краевая задача и предложено ее полное решение
в нелинейной постановке. С использованием инте-
грального метода годографа получены выражения
комплексной скорости и производной комплексно-
го потенциала, определенные в первом квадран-
те области параметрического переменного. Ком-
бинация этих выражений позволяет определить
функцию, отображающую область параметра на
область течения жидкости. Краевая задача сведе-
на к системе интегральных уравнений, получен-
ных с использованием динамического и кинема-
тического граничных условий. В случае плоской
свободной поверхности найдено аналитическое ре-
шение системы интегральных уравнений, которое
совпадает с известным в литературе [8].
1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
1.1. Постановка задачи
Рассматривается плоская задача о вертикаль-
ном ударе абсолютно жесткой пластинки по
поверхности идеальной несжимаемой жидкости,
форма границ которой в общем случае произволь-
на и считается известной в момент удара.
Рассмотрим течение в системе координат, свя-
занной с пластинкой, то есть считаем, что пла-
стинка неподвижна, а вся жидкость до удара t ≤
0− покоится. Непосредственно после удара t = 0+
вся масса жидкости приобретает дополнительную
скорость, которая на бесконечности равна U . Не-
обходимо найти распределение скоростей в жидко-
сти в момент, следующий за ударом, распределе-
ние импульса сил давления по поверхности тела,
полный импульс давления или коэффициент при-
соединенной массы. Деформацией свободной по-
верхности за время удара пренебрегается, т. е. счи-
тается, что она совпадает с поверхностью жидко-
сти до удара.
В результате удара течение остается потенци-
альным, поэтому можно ввести в рассмотрение по-
тенциал течения φ(x, y) и сопряженную функцию
тока ψ(x, y). Требуется найти выражение компле-
ксного потенциала течения w(z) = φ(x, y)+
O
D
A
(a)
L
z
n
D
V
U
U
(b)
D
D
O A
1
Рис. 1. Схема физической плоскости течения в
результате удара пластинки по поверхонсти
жидкости с заданной формой свободной границы (a)
и область параметрического переменного (b)
+iψ(x, y), удовлетворяющего условию непротека-
ния на пластинке, а также динамическому и ки-
нематическому граничным условиям на свободной
границе. Следуя методам Жуковского [9] и Ча-
плыгина [10,11], решение задачи ищется путем по-
строения выражений комплексной dw/dz скорости
и производной комплексного потенциала dw/dς в
области параметрического переменного ς, в каче-
стве которой выбран первый квадрант. Соответ-
ствие точек физической области течения и обла-
сти параметра показано на рис.1. Если выраже-
ния комплкесной скорости и производной компле-
ксного потенциала найдены, то зависимость ме-
жду областью параметра и физической плоско-
стью течения определяется отображающей фун-
кцией
z(ς) = z0 +
ς
∫
0
dw/dς ′
dw/dz
dς ′. (1)
Если задача нахождения потенциала течения
w(ζ) и отображающей функции z(ζ) решена, то
можно найти распределение давления по поверх-
ности тела и суммарную силу, действующую на
тело. Обозначим через J импульс сил давле-
ния вдоль поверхности тела. Тогда из интеграла
76 Ю. Н. Савченко, Ю. А. Семенов
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 1. С. 75 – 82
Коши-Лагранжа для случая удара получим J =
−ρϕ(x, y, 0), а суммарный импульс сил даления,
действующий на пластинку, будет
P = −ρ
∫
S
ϕ(x, y)dxdy = mU, (2)
где m – присоединенная масса. Коэффициент при-
соединенной массы определяется как m∗ = =
m/(ρL2).
Методы Жуковского и Чаплыгина позволяют
построить выражения комплексной скорости и
производной комплексного потенциала для задач
стационарного обтекания тел с прямолинейными
границами и постоянной скоростью на свободной
границе. Рассматриваемое течение существенно
нестационарно, поэтому для построения выраже-
ния комплексной скорости и производной компле-
ксного потенциала используется интегральный ме-
тод годографа, представленный в работе [12].
1.2. Нахождение выражения комплексной ско-
рости и производной комплексного потенциала
На данной стадии решения задачи предполо-
жим, что величина скорости на свободной гра-
нице, v(η, 0+), после удара известна как функ-
ция параметрической переменной η. Эта функция
будет определена позже из кинематического гра-
ничного условия. В системе координат, связанной
с пластинкой, нормальная компонента скорости
равна нулю в силу условия непротекания жид-
кости сквозь твердую поверхность. Поэтому ско-
рость на смоченной части пластинки направле-
на по касательной к ней. В случае вертикального
удара течение симметрично относительно оси y.
Ось симметрии можно рассматривать в качестве
твердой границы, на которой выполняется усло-
вие непротекания. Учитывая, что смоченной части
пластинки OA и оси симметрии AD соответству-
ет действительная ось области параметра, грани-
чные условия для функции комплексной скорости
можно записать в виде:
∣
∣
∣
∣
∂w
∂z
∣
∣
∣
∣
= v(η, 0+), 0 < η <∞, ξ = 0, (3)
χ(ξ, t) = arg
(
∂w
∂z
)
=
{
0, 0 < ξ < 1, η = 0,
−π/2, 1 < ξ <∞, η = 0.
(4)
Задача состоит в нахождении функции dw/dς,
определенной в первом квадранте и удовлетворя-
ющей граничным условиям (3) и (4). Интеграль-
ная формула [8]
∂w
∂z
= v∞ exp
1
π
∞
∫
0
∂χ
∂ξ
ln
(
ς + ξ
ς − ξ
)
dξ− (5)
−
i
π
∞
∫
0
∂ ln v
∂η
ln
(
ς − iη
ς + iη
)
dη
позволяет найти комплексную функцию, удовле-
творяющую граничным условиям (3) и (4). Здесь
v∞ – скорость на бесконечности после удара. Ар-
гумент комплексной скорости изменяется скачком
в точке A (ς = 1), что соответствует угловой точке
в физической плоскости. Подставляя выражение
(3) в первый интеграл формулы (5) и опредяляя
аналитически интеграл, можно получить следую-
щее выражение комплексной скорости:
∂w
∂z
= v∞
(
ς − 1
ς + 1
)
1
2
× (6)
× exp
−
i
π
∞
∫
0
∂ ln v
∂η
ln
(
ς − iη
ς + iη
)
dη − i
π
2
.
Можно видеть, что комплексная скорость имеет
нуль порядка
1
2
в угловой точке A. В остальных
точках области течения скорость в нуль не обра-
щается.
Для нахождения выражения производной ком-
плексного потенциала полезно ввести в расмотре-
ние единичные векторы внешней нормали n и
касательной к свободной поверхности τ , как по-
казано на рис. 1. Направление вектора τ выбрано
таким образом, чтобы дуговая координата s возра-
стала при таком обходе границы области течения,
когда область жидкости остается справа. С учетом
этих обозначений можно записать
dw = (vn + vs)ds, (7)
где vn и vs – нормальная и касательная компо-
ненты скорости к свободной границе. Введем угол
θ между вектором скорости и единичным векто-
ром τ , касательным к свободной границе: θ =
tg−1(vn/vs).
При ударе ускорение жидкости на свободной
границе направлено перпендикулярно к ней. Это
следует из уравнения движения Эйлера
dV
dt
= −
1
ρ
gradp
при постонянном давлении на свободной поверх-
ности. За бесконечно малое время удара, 0 ≤ t ≤
Ю. Н. Савченко, Ю. А. Семенов 77
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 1. С. 75 – 82
≤ 0+, изменяется нормальная компонента скоро-
сти, а тангенциальная компонента скорости оста-
ется неизменной. Это условие можно выразить в
виде
v cos θ = sin δ̄, (8)
где функция δ̄(s) определяется формой свободной
границы, а v = V/U есть величина безразмер-
ной скорости на свободной границе после удара.
В случае плоской свободной границы, δ̄ = 0, угол
θ = π/2 вдоль всей свободной границы. Таким
образом, функцию θ можно выразить следующим
образом:
θ(η, 0+) =
{
π, η = 0, 0 ≤ ξ <∞,
θ̄(η), 0 < η <∞, ξ = 0,
(9)
где θ̄(η) = arccos
[
sin δ̄(s)
v(η)
]
.
Аргумент производной комплексного потенциа-
ла можно выразить через функцию θ(η) на всей
границе области течения следующим образом:
ϑ(ς, t) = arg
(
∂w
∂ς
)
= arg
(
∂w
∂s
∂s
∂ς
)
= (10)
= arg
(
∂w
∂s
)
+ arg
(
∂s
∂ς
)
=
=
{
π, 0 < ξ <∞, η = 0,
θ(η, 0+) + π/2, ξ = 0, 0 < η <∞.
Подставляя выражение (10) в интегральную фор-
мулу [12]
∂w
∂ς
= K(t) exp
−
1
π
∞
∫
0
∂ϑ
∂ξ′
ln
(
ς2 − ξ′2
)
dξ′
+
+
1
π
∞
∫
0
∂ϑ
∂η′
ln
(
ς2 + η′2
)
dη′ + iϑ(∞)
, (11)
можно получить выражение производной компле-
ксного потенциала в виде
∂w
∂ς
= −K exp
1
π
∞
∫
0
∂θ
∂η
ln
(
ς2 + η2
)
dη
. (12)
Из выражений (6) и (12) можно найти выраже-
ние производной отображающей функции:
∂z
∂ς
=
∂w
∂ς
/
∂w
∂z
= −
K
v∞
(
ς + 1
ς − 1
)
1
2
×
× exp
1
π
∞
∫
0
∂λ
∂η
ln(η2 + ς2)dη′+
+
1
π
∞
∫
0
∂ ln v
∂η′
ln
(
iη − ς
iη + ς
)
dη
. (13)
Параметр K определяется длиной половины
пластинки L:
L =
a
∫
0
∂ s
∂ξ
dξ, (14)
где
∂s
∂ξ
=
∣
∣
∣
∣
∂z
∂ς
∣
∣
∣
∣
ς=ξ
.
1.3. Интегральное уравнение для функции мо-
дуля скорости v(η, 0+)
Функция θ(η, 0+) определяется из кинематиче-
ского граничного условия (8). Для определения
функции v(η, 0+) воспользуемся тем, что форма
свободной границы задана функцией δ̄(s). Опреде-
ляя аргумент производной отображающей функ-
ции из выражения (13) при ς = iη, можно записать
δ(η, 0+) = arg
(
∂z
∂ς
)
= arg
(
∂w
∂ς
)
− arg
(
∂w
∂z
)
.
Подставляя в последнее уравнение аргумент ком-
плексной скорости, который можно получить из
выражения (5) при ς = iη, и аргумент производ-
ной комплексного потенциала, который находится
из выражения (12) ς = iη, приходим к следую-
щему интегральному уравнению для определения
функции ∂ ln v/∂η:
1
π
∞
∫
0
∂ ln v
∂η′
ln
∣
∣
∣
∣
η′ − η
η′ + η
∣
∣
∣
∣
dη′+tg−1η = δ̄[s(η)]−θ(η, 0+),
(15)
где функция s = s(η) определяется интегриро-
ванием производной отображающей функции (13)
вдоль мнимой оси области параметра ζ = iη:
s(η) =
K
v(η)
exp
1
π
η
∫
0
∂θ
∂η′
ln(η′2 + ς2)dη′
. (16)
1.4. Аналитическое решение для случая пло-
ской свободной поверхности
В случае плоской свободной поверхности δ̄(s) ≡
π, а угол между вектором скорости и свободной
поверхностью θ(η, 0+) ≡ π/2. Итегральное уравне-
ние (15) принимает вид
1
π
∞
∫
0
∂ ln v
∂η′
ln
∣
∣
∣
∣
η′ − η
η′ + η
∣
∣
∣
∣
dη′ + tg −1η =
π
2
. (17)
78 Ю. Н. Савченко, Ю. А. Семенов
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 1. С. 75 – 82
Это уравнение имеет аналитическое решение
∂ ln v
∂η
=
η
1 + η2
−
1
η
. (18)
Интегрируя последнее уравнение, получаем
v(η, 0+) = v∞ exp
−
∞
∫
η
∂ ln v
∂η
dη′
= v∞
√
η2 + 1
η
.
(19)
Производная комплексного потенциала (12) при
θ(η, 0+) ≡ π/2 есть константа −K, поэтому урав-
нение (16) для функции дуговой координаты s =
s(η) принимает вид
∂s
∂η
=
∣
∣
∣
∣
∂z
∂ς
∣
∣
∣
∣
ς=iη
=
∣
∣
∣
∣
∂W
∂η
∣
∣
∣
∣
1
v(η, 0+)
=
K
v∞
η
√
η2 + 1
.
(20)
Интегрируя выражение (20) вдоль мнимой оси
области параметра, можно выразить дуговую ко-
ординату s = s(η) в явном виде:
s(η, 0+) =
K
v∞
(
√
1 + η2 − 1
)
. (21)
Исключая параметрическую переменную из
выражений (19) и (21), можно выразить модуль
скорости на свободной границе как функцию ду-
говой координаты s:
v(s, 0+) =
s+ 1
√
(s+ 1)2 − 1
. (22)
Из последнего уравнения можно видеть, что при
s→ 0 скорость в точке контакта свободной грани-
цы с пластинкой стремится к бесконечности как
v(s, 0+) ∼ s−1/2. Формула (22) совпадает с по-
лученной в работе [8] при решении задачи удара
методом сращиваемых разложений в физической
области течения. Полученный результат способ-
ствует уверенности в достоверности решения так-
же и для случая произвольной формы свободной
границы.
2. АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ ФОРМЫ СВОБОД-
НЫХ ГРАНИЦ НА ПАРАМЕТРЫ ТЕЧЕНИЯ
Учитывая, что функция ∂ ln v/∂η имеет сингу-
лярность в точке контакта свободной поверхности
и пластинки, как это видно из уравнения (18), удо-
бно представить ее в виде суммы
∂ ln v
∂η
=
∂ ln v̄
∂η
+
∂ ln ṽ
∂η
, (23)
где
∂ ln v̄
∂η
=
η
1 + η2
−
1
η
соотвествует распределению скорости для слу-
чая плоской свободной поверхности (18), а член
∂ ln ṽ/∂η учитывает отклонение рассматриваемой
формы свободной границы от плоской.
Из уравнений (15) и (17) можно получить сле-
дующее интегральное уравнение для функции
∂ ln ṽ/∂η:
1
π
∞
∫
0
∂ ln ṽ
∂η′
ln
∣
∣
∣
∣
η′ − η
η′ + η
∣
∣
∣
∣
dη′ = δ̄[s(η)] − θ(η, 0+) − π/2.
(24)
2.1. Численное решение интегрального
уравнения
Интегральное уравнение (24) решается числен-
но итерационным методом последовательных при-
ближений. На мнимой оси области параметра за-
даются N узлов ηj , j = 1, ..., N . Используя линей-
ную интерполяцию функции ln ṽ на интервалах
(ηj−1, ηj), можно аналитически выразить интеграл
в выражении (24) и получить систему линейных
уравнений относительно неизвестных (∂ ln ṽ/∂η)j .
При вычислении интегралов, входящих в выраже-
ния (6) и (12), функции ln v(η) и θ(η) также интер-
полируется линейно, что позволяет получить ана-
литические выражения соотвествующих интегра-
лов. На каждой итерации константа K определя-
ется из уравнения (14).
2.2. Анализ результатов
На рис. 2 представлены эпюры распределения
скорости на свободной границе при ударе пласти-
ники: (a) – по плоской свободной поверхности, (b) –
по поверхности жидкости, форма свободных гра-
ниц которой соответствует струйному обтеканию
пластинки, и (c) – по поверхности жидкости, фор-
ма свободных границ которой соответствует зер-
кальному отражению случая (b). Для случая (a)
полученная из выражения (2) величина коэффи-
циента присоединенной массы m∗ = 1.57, что сов-
падает со значением, полученным в работе Кел-
дыша [2]. Из рис. 2 видно, что скорость быстро за-
тухает и стремится к постоянному значению, со-
отвествующему скорости движения жидкости на
бесконечности после удара.
В случае (b) получено значение коэффициента
присоединенной массы m∗ = 1.685, что близко к
Ю. Н. Савченко, Ю. А. Семенов 79
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 1. С. 75 – 82
a) b) c)
Рис. 2. Эпюры распределения скоростей при ударе пластиники (вертикальные линии):
(a) – по плоской свободной поверхности и (b) – по свободной поверхности, соотвествующей струйному
обтеканию пластинки, форма свободной границы для случаев (b) и (c) симметричны отностительно оси x.
значению 1.6896, приведенному в работе Гуреви-
ча [3]. Это значение больше, чем для случая (a),
так как большая масса жидкости вовлечена в дви-
жение в результате удара. Однако это увеличение
не пропорционально увеличению массы жидкости
в области течения для случаев (a) и (b). Это объя-
сняется тем, что скорость вдоль свободной грани-
цы быстро затухает при удалении от пластинки.
Карман [13] ввел в рассмотрение эффективный ра-
диус r ∼ L, внутри которого масса жидкости при-
обретает скорость, равную скорости пластинки, то
есть ее можно рассматривать как массу, присоеди-
ненную к массе пластинки, а влиянием остальной
массы жидкости пренебречь. Из рис. 2, b можно
видеть, что увеличение площади, занятой жидко-
стю, на расстоянии от кромки пластинки r = L
не столь велико, как при r = 5L. Поэтому уве-
личение коэффициента присоединенной массы до
значения m∗ = 1.685 в большей степени соответ-
ствует увеличению площади для радиуса r = L,
чем для r = 5L. Аналогично сравнивая случаи (a)
и (c), можно видеть, что уменьшение коэффици-
ента присоединенной массы с m∗ = 1.57 для (a)
до m∗ = 1.44 для случая (c) в большей степени
соответствует эффективному радиусу r = L, чем
R
O
B
D
Рис. 3. Задаваемая форма свободной границы для
результатов, представленных в таблице 1
r = 5L.
В таблице 1 представлены результаты вычис-
лений коэффициента присоединенной массы для
свободной границы, состоящей из прямолинейных
участков и дуги окружности радиуса R, как пока-
зано на рис. 3. Отрицательным значениям радиуса
R соответствует область жидкости, находящаяся
в нижней полуплоскости. Предельный случай при
R → 0− соответствует удару плоской струи о пла-
стинку, а случай R → 0+ – удару пластинки в без-
граничной жидкости с вырезанной полосой вдоль
80 Ю. Н. Савченко, Ю. А. Семенов
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 1. С. 75 – 82
Табл. 1. Влияние радиуса закругления границы
жидкости, показанной на рис.3, на величину
коэффициента присоединенной массы.
R m∗ R m∗
∞ 1.574 -∞ 1.574
6.37 1.603 -6.37 1.564
3.19 1.608 -3.19 1.548
0.64 1.662 -0.64 1.434
0.32 1.709 -0.32 1.349
0.064 1.787 -0.064 1.211
0.0064 1.869 -0.0064 1.127
0.00064 1.886 -0.00064 1.114
0.000064 1.892 -0.000064 1.113
1E-5 1E-4 1E-3 0.01 0.1 1
1
10
100
1000
v
s
Рис. 4. Распределение величины скорости вдоль
свободной границы для случая удара пластинки по
плоской поверхности (сплошная линия), удара в
безграничной жидкости с вырезанной полосой
(штриховая линия) и удара пластинки и плоской
струи жидкости (пунктирная линия)
оси y, 0 ≤ y ≤ ∞, ширина которой равна ширине
пластинки.
На рис. 4 представлены распределения скорости
вдоль свободной границы для случая удара пла-
стинки по плоской свободной поверхности (спло-
шная кривая), удара пластинки в безграничной
жидкости с вырезанной полосой (случай R → 0+
на рис. 3) и удара пластинки по плоской струе
(случай R→ 0− на рис. 3).
Для случая удара плоской струи о пластинку ве-
личина скорости на свободной поверхности мень-
ше, чем для полупространства жидкости на лю-
бом расстоянии от пластинки. Для случая без-
граничной жидкости с вырезанной полосой ско-
рость вблизи пластинки выше, чем для случая
Рис. 5. Характерные случаи удара пластинки по
области жидкости со свободными границами и
соответствующие значения коэффициента
присоединенной массы
удара пластинки по плоской поверхности. Одна-
ко скорость быстро затухает при удалении от пла-
стинки и на расстоянии примерно 0.1L становится
меньше, чем для случая удара пластинки по пло-
ской свободной поверхности. Такое поведение так-
же вытекает из условия сохранения массы жидко-
сти при ударе.
В работе [5] исследовано влияние числа кавита-
ции на величину присоединенной массы, которая
изменяется в диапазоне 1.68 < m∗ < 1.9 при изме-
нении числа кавитации σ в диапазоне 0 < σ < 20.
Форма свободных границ может оказывать влия-
ние на величину присоединенной массы в диапазо-
не 1.11 < m∗ < 1.89. Нижняя граница диапазона
соответствует удару плоской струи и пластиники,
а верхняя – удару пластинки в безграничной жид-
кости с вырезанной полосой.
Характер изменения коэффициента присоеди-
ненной массы m∗ при сокращении размеров обла-
сти, занятой жидкостью, можно проследить на
рис. 5, где последовательно изображены характер-
ные схемы удара пластинки по свободной грани-
це областей жидкости, расположенные по мере
убывания размера области, занятой жидкостью.
Cхемы 1 и 7 на рис. 5 соответствуют тревиаль-
ным случаям области полностью, занятой жидко-
стью и полностью свободной от жидкости, для ко-
торых m∗
1 = π и m∗
7 = 0 соответственно. Схемы 2 и
6 соответствуют случаям R → 0+ и R → 0− пока-
занным на рис. 3, а также приведенным в таблице
1. Схемы 3 и 5 соответствуют струйным течениям,
показанным на рис. 2, b, c. Схема 4 соответству-
ет области с полупространством жидкости на рис.
2, a.
Анализ показывает, что наибольшие изменения
присоединенной массы происходят при сокраще-
нии каверны за пластинкой между случаями 1 и 2
на рис. 5 и при уменьшении ширины столба жид-
кости под пластинкой (случай 6 на рис. 5).
Поскольку изменения свободных границ и объе-
Ю. Н. Савченко, Ю. А. Семенов 81
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 1. С. 75 – 82
ма, занятого жидкостью, можно производить раз-
личными путями, например, сокращая длину либо
ширину области в схемах 2 и 6 на рис. 5, то пред-
ставляет дальнейший интерес выяснить характер
изменения присоединенной массы в каждом из
возможных случаев.
1. Логвинович Г.В. Гидродинамика течений со сво-
бодными границами.– Киев: Наукова думка, 1969.–
308 с.
2. Келдыш М. В. Удар пластинки о воду, имеющую
конечную глубину // Труды ЦАГИ.– 1935.– Вып.
152.– С. 13-20.
3. Гуревич М. И. Удар пластины при обтекании с
отрывом струй // ПММ.– 1952.– Т. XVI, вып. 1.–
С. 342-346.
4. Берман Я. Р. Удар клина при обтекании с отрывом
струй // ПММ.– 1956.– Т. XX, вып. 3.– С. 421-425.
5. Пархомовский С. И. Удар клина в ограниченном
потоке при симметричном кавитационном обте-
кании // Изв. вузов. Математика.– 1958.– 6(7).–
С. 215-225.
6. Рябченко В. П. Метод интегральных уравнений в
плоской и пространственной задачах об ударе пла-
стины о жидкость конечной глубины // Прикла-
дная механика и техническая физика.– 2001.– Т.
42, № 4.– С. 98 - 111.
7. Григолюк Э. И., Горшков А. Г. Взаимодействие
упругих конструкций с жидкостью.– Л.: Судо-
строение, 1976.– 336 с.
8. Iafrati A. & A. Korobkin A. Initial stage of flat plate
impact onto liquid free surface // Physics of Fluids.–
2006.– V.16.– P. 2214 - 2227.
9. Жуковский Н.Е.Видоизменение метода Кирхофа
для определения движения жидкости в двух изме-
рениях при постоянной скорости, данной на неи-
звестной линии тока//Матем. Сборник.– 1890.–
T.XV.– C. 95
10. Чаплыгин С.А. О давлении плоскопараллельно-
го потока на преграждающие тела (К теории
аэроплана).– М.: Моск. ун-т, 1910.– 49 с.
11. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости.–
М.: Наука, 1979.– 536 с.
12. Семенов Ю.А. Комплексный потенциал нестацио-
нарного течения со свободной границей // Вестник
Херсонского университета.– Херсон.– 2003, Том
2.– С. 384 - 387.
13. Von Karman T. The impact on seaplane floats, during
landing.– NACA-TN-321: 1929, Washington, D.C.–
234 p.
82 Ю. Н. Савченко, Ю. А. Семенов
|