Негидростатическая модель течений со свободной поверхностью в двойной σ-системе координат и её применение к моделированию поверхностных волн над уступами
В работе представлена численная негидростатическая модель течений со свободной поверхностью, уравнения которой записаны в двойной σ-системе координат. В отличие от односигменной модели, такая модель пригодна для изучения структуры потоков вблизи подводных препятствий с вертикальными или почти вертик...
Saved in:
| Published in: | Прикладна гідромеханіка |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116453 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Негидростатическая модель течений со свободной поверхностью в двойной σ-системе координат и её применение к моделированию поверхностных волн над уступами / А. Нестеров // Прикладна гідромеханіка. — 2013. — Т. 15, № 4. — С. 56-70. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-116453 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Нестеров, А. 2017-04-27T17:44:37Z 2017-04-27T17:44:37Z 2013 Негидростатическая модель течений со свободной поверхностью в двойной σ-системе координат и её применение к моделированию поверхностных волн над уступами / А. Нестеров // Прикладна гідромеханіка. — 2013. — Т. 15, № 4. — С. 56-70. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116453 532.465 В работе представлена численная негидростатическая модель течений со свободной поверхностью, уравнения которой записаны в двойной σ-системе координат. В отличие от односигменной модели, такая модель пригодна для изучения структуры потоков вблизи подводных препятствий с вертикальными или почти вертикальными стенками, таких как уступы шельфов, рифов, судоходных каналов, океанических впадин. Применение разработанной модели к изучению трансформации солитона над искусственным шельфом в гидравлическом лотке показало достаточно хорошие результаты сравнений с измерениями. Также модель довольно аккуратно воспроизвела вихри, наблюдавшиеся в лабораторных экспериментах вблизи стенок погруженного препятствия при прохождении волны над ним. В обоих случаях хорошее согласование с экспериментальными данными было достигнуто путём калибрования шероховатости дна. В роботі представлена чисельна негідростатична модель течій з вільною поверхнeю, рівняння якої записані в подвійній σ-системі координат. На відміну від односігменної моделі, така модель є придатною для дослідження структури потоків поблизу занурених перешкод з вертикальними або майже вертикальними стінками, такими як заступи шельфів, рифів, судноплавних каналів, океанічних впадин. Застосування розробленої моделі до дослідження трансформації солітона над штучним шельфом у гідравлічному лотку показало достатньо гарні результати порівняння з вимірами. Також модель досить точно відтворила вихори, які спостерігалися в лабораторних дослідженнях поблизу стінок зануреної перешкоди при проходженні хвилі над нею. В обох випадах гарне співпадання з експериментальними даними було досягнуто шляхом калібрування шорсткості дна. A numerical model for free-surface non-hydrostatic flow computation in a double σ-coordinate system is presented. In contrast to a single σ-coordinate model, this model is suitable for flow studies in proximity to submerged obstacles with vertical or nearly vertical walls, such as steep drop-offs of coastal shelfs, reefs, navigation canals, oceanic trenches. An application of the developed model to the study of a solitary wave transformation over an artificial shelf in a lab flume has shown a fairly good agreement with the measurements. Also this model rather accurately reproduced vortices observed in the laboratory experiments at the edges of a submerged obstacle during the passage of a wave over it. In both cases a good agreement with the experimental data has been achieved by calibrating the bed roughness. Автор выражает искреннюю благодарность докт. физ-мат. наук профессору В.С. Мадеричу за ценные замечания и предложения, которые были учтены при подготовке этой публикации. ru Інститут гідромеханіки НАН України Прикладна гідромеханіка Науковi статтi Негидростатическая модель течений со свободной поверхностью в двойной σ-системе координат и её применение к моделированию поверхностных волн над уступами Негідростатична модель течій з вільною поверхнeю в подвійній σ-системі координат і її застосування до моделювання поверхневих хвиль над заступами Nonhydrostatic model of flow with a free surface in σ-double coordinate system and its application to modeling surface waves over banks Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Негидростатическая модель течений со свободной поверхностью в двойной σ-системе координат и её применение к моделированию поверхностных волн над уступами |
| spellingShingle |
Негидростатическая модель течений со свободной поверхностью в двойной σ-системе координат и её применение к моделированию поверхностных волн над уступами Нестеров, А. Науковi статтi |
| title_short |
Негидростатическая модель течений со свободной поверхностью в двойной σ-системе координат и её применение к моделированию поверхностных волн над уступами |
| title_full |
Негидростатическая модель течений со свободной поверхностью в двойной σ-системе координат и её применение к моделированию поверхностных волн над уступами |
| title_fullStr |
Негидростатическая модель течений со свободной поверхностью в двойной σ-системе координат и её применение к моделированию поверхностных волн над уступами |
| title_full_unstemmed |
Негидростатическая модель течений со свободной поверхностью в двойной σ-системе координат и её применение к моделированию поверхностных волн над уступами |
| title_sort |
негидростатическая модель течений со свободной поверхностью в двойной σ-системе координат и её применение к моделированию поверхностных волн над уступами |
| author |
Нестеров, А. |
| author_facet |
Нестеров, А. |
| topic |
Науковi статтi |
| topic_facet |
Науковi статтi |
| publishDate |
2013 |
| language |
Russian |
| container_title |
Прикладна гідромеханіка |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Негідростатична модель течій з вільною поверхнeю в подвійній σ-системі координат і її застосування до моделювання поверхневих хвиль над заступами Nonhydrostatic model of flow with a free surface in σ-double coordinate system and its application to modeling surface waves over banks |
| description |
В работе представлена численная негидростатическая модель течений со свободной поверхностью, уравнения которой записаны в двойной σ-системе координат. В отличие от односигменной модели, такая модель пригодна для изучения структуры потоков вблизи подводных препятствий с вертикальными или почти вертикальными стенками, таких как уступы шельфов, рифов, судоходных каналов, океанических впадин. Применение разработанной модели к изучению трансформации солитона над искусственным шельфом в гидравлическом лотке показало достаточно хорошие результаты сравнений с измерениями. Также модель довольно аккуратно воспроизвела вихри, наблюдавшиеся в лабораторных экспериментах вблизи стенок погруженного препятствия при прохождении волны над ним. В обоих случаях хорошее согласование с экспериментальными данными было достигнуто путём калибрования шероховатости дна.
В роботі представлена чисельна негідростатична модель течій з вільною поверхнeю, рівняння якої записані в подвійній σ-системі координат. На відміну від односігменної моделі, така модель є придатною для дослідження структури потоків поблизу занурених перешкод з вертикальними або майже вертикальними стінками, такими як заступи шельфів, рифів, судноплавних каналів, океанічних впадин. Застосування розробленої моделі до дослідження трансформації солітона над штучним шельфом у гідравлічному лотку показало достатньо гарні результати порівняння з вимірами. Також модель досить точно відтворила вихори, які спостерігалися в лабораторних дослідженнях поблизу стінок зануреної перешкоди при проходженні хвилі над нею. В обох випадах гарне співпадання з експериментальними даними було досягнуто шляхом калібрування шорсткості дна.
A numerical model for free-surface non-hydrostatic flow computation in a double σ-coordinate system is presented. In contrast to a single σ-coordinate model, this model is suitable for flow studies in proximity to submerged obstacles with vertical or nearly vertical walls, such as steep drop-offs of coastal shelfs, reefs, navigation canals, oceanic trenches. An application of the developed model to the study of a solitary wave transformation over an artificial shelf in a lab flume has shown a fairly good agreement with the measurements. Also this model rather accurately reproduced vortices observed in the laboratory experiments at the edges of a submerged obstacle during the passage of a wave over it. In both cases a good agreement with the experimental data has been achieved by calibrating the bed roughness.
|
| issn |
1561-9087 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116453 |
| citation_txt |
Негидростатическая модель течений со свободной поверхностью в двойной σ-системе координат и её применение к моделированию поверхностных волн над уступами / А. Нестеров // Прикладна гідромеханіка. — 2013. — Т. 15, № 4. — С. 56-70. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT nesterova negidrostatičeskaâmodelʹtečeniisosvobodnoipoverhnostʹûvdvoinoiσsistemekoordinatieeprimeneniekmodelirovaniûpoverhnostnyhvolnnadustupami AT nesterova negídrostatičnamodelʹtečíizvílʹnoûpoverhneûvpodvíiníiσsistemíkoordinatííízastosuvannâdomodelûvannâpoverhnevihhvilʹnadzastupami AT nesterova nonhydrostaticmodelofflowwithafreesurfaceinσdoublecoordinatesystemanditsapplicationtomodelingsurfacewavesoverbanks |
| first_indexed |
2025-11-24T16:04:59Z |
| last_indexed |
2025-11-24T16:04:59Z |
| _version_ |
1850482334254497792 |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 4. С. 56 – 70
УДК 532.465
НЕГИДРОСТАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕЧЕНИЙ СО
СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ В ДВОЙНОЙ σ-СИСТЕМЕ
КООРДИНАТ И ЕЁ ПРИМЕНЕНИЕ К МОДЕЛИРОВАНИЮ
ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН НАД УСТУПАМИ
А. A. Н Е СТЕ РОВ
Worley Parsons Canada Services Ltd.
Стилл Крик Драйв 4321, Оф. 600, Бурнаби, Британская Колумбия, Канада, V5C6S7
oleksangr_nesterov@gmail.com
Получено 23.07.2013
В работе представлена численная негидростатическая модель течений со свободной поверхностью, уравнения ко-
торой записаны в двойной σ-системе координат. В отличие от односигменной модели, такая модель пригодна для
изучения структуры потоков вблизи подводных препятствий с вертикальными или почти вертикальными стенками,
таких как уступы шельфов, рифов, судоходных каналов, океанических впадин. Применение разработанной модели
к изучению трансформации солитона над искусственным шельфом в гидравлическом лотке показало достаточно
хорошие результаты сравнений с измерениями. Также модель довольно аккуратно воспроизвела вихри, наблюдав-
шиеся в лабораторных экспериментах вблизи стенок погруженного препятствия при прохождении волны над ним.
В обоих случаях хорошее согласование с экспериментальными данными было достигнуто путём калибрования ше-
роховатости дна.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: негидростатические течения со свободной поверхностью, солитон, подводное препятствие,
двойная сигма-система координат, численное моделирование
В роботi представлена чисельна негiдростатична модель течiй з вiльною поверхнeю, рiвняння якої записанi в подвiй-
нiй σ-системi координат. На вiдмiну вiд односiгменної моделi, така модель є придатною для дослiдження структури
потокiв поблизу занурених перешкод з вертикальними або майже вертикальними стiнками, такими як заступи
шельфiв, рифiв, судноплавних каналiв, океанiчних впадин. Застосування розробленої моделi до дослiдження транс-
формацiї солiтона над штучним шельфом у гiдравлiчному лотку показало достатньо гарнi результати порiвняння з
вимiрами. Також модель досить точно вiдтворила вихори, якi спостерiгалися в лабораторних дослiдженнях поблизу
стiнок зануреної перешкоди при проходженнi хвилi над нею. В обох випадах гарне спiвпадання з експерименталь-
ними даними було досягнуто шляхом калiбрування шорсткостi дна.
КЛЮЧОВI СЛОВА: негiдростатичнi течiї з вiльною поверхнею, солiтон, занурена перешкода, подвiйна сiгма-
система координат, чисельне моделювання
A numerical model for free-surface non-hydrostatic flow computation in a double σ-coordinate system is presented. In
contrast to a single σ-coordinate model, this model is suitable for flow studies in proximity to submerged obstacles with
vertical or nearly vertical walls, such as steep drop-offs of coastal shelfs, reefs, navigation canals, oceanic trenches. An
application of the developed model to the study of a solitary wave transformation over an artificial shelf in a lab flume has
shown a fairly good agreement with the measurements. Also this model rather accurately reproduced vortices observed
in the laboratory experiments at the edges of a submerged obstacle during the passage of a wave over it. In both cases a
good agreement with the experimental data has been achieved by calibrating the bed roughness.
KEY WORDS: non-hydrostatic free-surface flows, solitary wave, submerged obstacle, double-sigma coordinate system,
numerical modeling
ВВЕДЕНИЕ
Задачи, связанные с распространением волн
на поверхности водоёмов, являются классическим
предметом исследований гидродинамики окружа-
ющей среды [1, 2]. В настоящее время существует
множество моделей, пригодных для описания волн
на поверхности, начиная от моделей, рассматри-
вающих непосредственно уравнения Навье-Стокса
[3], и заканчивая разновидностями модели Бусси-
неска, например [4– 6]. Последние в основном на-
правлены на быстрый расчёт уровня и/или инте-
гральных характеристик волн, используемых в ин-
женерной практике, не вдаваясь в детальное опи-
сание гидродинамических полей.
Трёхмерные модели океанических течений со
свободной поверхностью [7] вполне хорошо опи-
сывают длинноволновые движения в прибрежных
зонах, такие как приливные волны, однако боль-
шинство из них непригодно для моделирования
коротких поверхностных волн вследствие гидро-
статической аппроксимации давления, как показа-
но на примерах в [8, 9]. Негидростатические моде-
ли всё ещё составляют относительно малую долю
от общего числа моделей океанических течений [7,
10, 11]. Уравнения последних записаны, как пра-
вило, либо в z-системе координат [9, 12], либо в
σ-системе [8, 13–15]. К недостаткам использова-
ния z-системы можно отнести относительно сло-
жное описание кинематики свободной поверхно-
56 c© А. Нестеров, 2013
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 4. С. 56 – 70
сти, большую затрату вычислительной памяти на
дискретизацию z-слоёв над поверхностью, кото-
рые могут быть лишь временно
”
затоплены“ [3, 9],
а также ступенчатую дискретизацию дна. Недо-
статками σ-системы являются отсутствие возмож-
ности моделирования процесса обрушения волн и
более громоздкая форма уравнений по сравнению
с z-системой. Кроме того, гладкое описание дна,
свойственное для σ-системы координат, оказыва-
ется малопригодным для моделирования течений
в областях с большими градиентами дна, таких
как уступы шельфов, рифов, впадин и судоходных
каналов, где точность численного решения и схо-
димость значительно ухудшаются. В некоторых
случаях удаётся построить приближённое анали-
тическое решение, как в задаче про накат соли-
тона на шельф со ступенькой [5]. В общем слу-
чае, для моделирования течений в водоёмах с та-
кими особенностями более уместными являются
двойная σ-система [16–18] либо σ/z система [19],
суть которых состоит в разделении водоёма на две
части, верхняя из которых описывается обычной
σ-системой, а нижняя – либо второй σ-, либо z-
системой.
Упомянутые модели [16–19] являются гидроста-
тическими и поэтому непригодны для описания
коротковолновых движений. В то же время, неги-
дростатические модели [8, 10, 11, 13–15], использу-
ющие одинарную σ-систему, плохо подходят для
описания течений вблизи вертикальных стенок
уступов. Поэтому естественной идеей является со-
здание негидростатической модели в двойной σ-
системе координат, которая могла бы эффективно
применяться в задачах с большими градиентами
дна. Это и было осуществлено в данной работе пу-
тём слияния моделей [8] и [16, 17].
Разработанная модель была применена к изу-
чению трансформации солитона над искусствен-
ным шельфом [5, 6, 20] и достаточно хорошо во-
спроизвела образование вторичной и отражённых
волн, наблюдавшихся в экспериментах. Также мо-
дель довольно аккуратно воспроизвела образова-
ние вихрей вблизи уступов искусственного препят-
ствия, погружённого в гидравлический лоток, при
прохождении волны над ним [3]. В обоих задачах
хорошие результаты сравнений с эксперименталь-
ными данными были достигнуты путём калибро-
вания шероховатости дна.
1. УРАВНЕНИЯ МОДЕЛИ
В настоящей работе рассматриваются уравне-
ния Навье-Стокса, осреднённые по Рейнольдсу,
описывающие гидродинамику водоёмов со свобо-
дной поверхностью, размеры которых значитель-
но меньше планетарных [1]. Последнее позволя-
ет пренебречь заведомо малыми слагаемыми, во-
зникающими при рассмотрении уравнений во вра-
щающейся сферической системе координат. Упро-
щённые трёхмерные уравнения, взятые за основу,
в локальной z∗-системе координат, в которой ось
z∗ направлена противоположно силе земного при-
тяжения, имеют вид, представленный в [8, 12].
Одним из основных недостатков z∗-системы яв-
ляется то, что система уравнений должна быть ре-
шена в области, ограниченной подвижной поверх-
ностью z∗ = η(x∗, y∗, t∗) сверху и дном z∗ =
= −H(x∗, y∗) снизу, где (x∗, y∗) – локальные гори-
зонтальные координаты; t∗ – время. Поэтому для
решения уравнений гидродинамики в водоёмах со
свободной поверхностью широко применяется так
называемая σ-система координат [13, 21], в кото-
рой координата σ = (z∗ − η)/D, где D = H +η –
полная глубина. В отличие от z∗-системы, область
решения в σ-системе не зависит времени и, более
того, форма области значительно упрощается, так
как σ ∈ [−1, 0] ∀ x∗, y∗, t∗. Гидростатическое при-
ближение уравнений движения в σ-системе коор-
динат, как и другие различные упрощения, подро-
бно обсуждаются в [21].
Применение σ-системы эффективно далеко не
всегда, как, например, в случае водоёмов с боль-
шими градиентами дна, где гладкое представление
формы водоёма может оказаться хуже ступенча-
той аппроксимации в z∗-системе с точки зрения
скорости сходимости и точности численного ре-
шения. Форма таких водоёмов более хорошо опи-
сывается двойной σ-системой координат [16–18]
либо комбинированной σ/z-системой [19]. В про-
стейшем варианте двойной σ-системы вся область
решения разбивается горизонтальной плоскостью
z∗ = −Hc на две подобласти, верхняя из которых
описывается в обычной σ-системе, а нижняя - во
второй σ-системе, как показано на pис. 1. В об-
щем случае разделение на подобласти может осу-
ществляться произвольной поверхностью, являю-
щейся однозначной функцией горизонтальных ко-
ординат Hc = Hc(x∗, y∗).
Двойная σ-система связана с z∗-системой следу-
ющими соотношениями:
x=x∗, y=y∗, t= t∗,
σu=(z∗ − η) /Du при − min{H, Hc}≤ z∗≤ η,
σl=(z∗ + Hc) /Dl при − H≤ z∗ ≤ −Hc, (1)
где Du = min{H, Hc}+ η и Dl = max{H −Hc, 0}
– толщины слоёв воды верхней и нижней подо-
А. Нестеров 57
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 4. С. 56 – 70
Рис. 1. Сравнение односигменной и двухсигменной систем координат возле уступа
бластей соответственно. При этом полная глубина
D = Du + Dl. Преобразования уравнений из z∗-
системы проводятся индивидуальным образом для
каждой σ-подобласти, каждое из которых являе-
тся идентичным преобразованию для одинарной
σ-системы. Не вдаваясь в детали, которые при-
водятся в [8, 13, 21], и полагая плотность воды ρ
постоянной, уравнения в двойной σ-системе могут
быть записаны для каждой σ-подобласти как:
∂DsUs
∂t
+
∂DsU
2
s
∂x
+
∂DsUsVs
∂y
+
∂ωsUs
∂σs
−Ds(f̄Vs−f̂Ws)=
=−Ds
(
gs
∂η
∂x
+
∂qs
∂x
−Js,x
∂q
∂σs
)
+
∂
∂σs
(
νs
Ds
∂Us
∂σs
)
+Fs,x,
∂DsVs
∂t
+
∂DsUsVs
∂x
+
∂DsV
2
s
∂y
+
∂ωsVs
∂σs
+Dsf̄Us =
=−Ds
(
g
∂η
∂y
+
∂qs
∂y
−Js,y
∂qs
∂σs
)
+
∂
∂σs
(
νs
Ds
∂Vs
∂σs
)
+Fs,y,
∂DsWs
∂t
+
∂DsUsWs
∂x
+
∂DsVsWs
∂y
+
∂ωsWs
∂σs
−Dsf̂Us =
=−
∂qs
∂σs
+
∂
∂σs
(
νs
Ds
∂Ws
∂σs
)
+Fs,σs
,
(2)
где индекс s принимает одно из двух значений: ли-
бо u (upper), либо l (lower), относящиеся к верхней
и нижней подобластям соответственно; (Us, Vs, Ws)
– вектор скорости; qs – негидростатическая
”
по-
правка“ давления; Fs,x, Fs,y, Fs,σs
– проекции удель-
ной (делённой на плотность ρ) силы вязкости на
оси координат; g – гравитационное ускорение; f̄ =
2 Ω sin φ и f̂ = 2 Ω cosφ – коэффициенты проекций
кориолисовой силы, зависящие от угловой скоро-
сти вращения Земли Ω и географической широты
φ. Коэффициенты трансформации Js,x, Js,y, Js,t
(s = u, l) в общем виде определяются следующи-
ми выражениями:
Ju,x=
1
Du
(
∂η
∂x
+σ
∂Du
∂x
)
, Jl,x=
1
Dl
(
−
∂Hc
∂x
+ σ
∂Dl
∂x
)
,
Ju,y=
1
Du
(
∂η
∂y
+σ
∂Du
∂y
)
, Jl,y=
1
Dl
(
−
∂Hc
∂y
+ σ
∂Dl
∂y
)
,
Ju,t=
1
Du
(
∂η
∂t
+σ
∂Du
∂t
)
, Jl,t ≡ 0. (3)
В уравнениях (2), так же как в [21], вводится
преобразованная "вертикальная"компонента ско-
рости ωs, связанная с Ws соотношением
ωs = Ws − Ds (Js,xUs + Js,yVs + Js,t). (4)
Уравнения неразрывности в верхней и нижней
σ-системах координат имеют вид [13, 21]:
∂DuUu
∂x
+
∂DuVu
∂y
+
∂ωu
∂σu
+
∂η
∂t
= 0,
∂DlUl
∂x
+
∂DlVl
∂y
+
∂ωl
∂σl
= 0, (5)
их также можно переписать в иной форме, без
производных по времени, одинаковой для обоих σ-
систем:
∂DsUs
∂x
+
∂DsVs
∂y
+
∂Ws
∂σs
−
∂ (Js,xDsUs+Js,yDsVs)
∂σs
=0. (6)
Касательные напряжения и, соответственно,
компоненты удельной силы вязкости Fs,x, Fs,y ,
Fs,σ формулируются в упрощённом виде [21].
Для описания турбулентной вязкости предпочте-
ние было отдано параметризации Смагоринского
[22], согласно которой касательные напряжения
определяются как τi,j = −2C∆2 |Si,j |Si,j , где Si,j
– тензор скорости сдвига; ∆ – размер фильтра
вихрей подсеточного масштаба (размер численной
ячейки); C ∼ 0.2 – постоянный коэффициент. При-
менение k/ε модели турбулентной вязкости в за-
дачах, обсуждаемых в следующих разделах, пока-
зало более плохие результаты, что и обусловило
такой выбор.
Немаловажным в тестовых задачах оказалось
влияние придонного трения
→
τb, которое описыва-
лось формулой
→
τb/ρ=−æ2/(ln(∆z/z0)−1)2
(
U2
b +V 2
b
)1/2−−−−−→(
Ub, Vb
)
, (7)
58 А. Нестеров
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 4. С. 56 – 70
где z0 – шероховатость дна;
−−−−−→(
Ub, Vb
)
– вектор ско-
рости в придонном численном слое; ∆z – рассто-
яние центра придонной численной ячейки от дна;
æ = 0.4.
Система уравнений (2) записана в консерватив-
ном виде и, по сути, состоит из двух систем,
связанных друг с другом граничными условия-
ми на поверхности раздела σ-подобластей. Усло-
виями "склейки" решений являются непрерыв-
ность всех физических переменных и их пото-
ков через поверхность раздела. В частности, если
Hc(x, y) = const, то уравнения (4) приводят к усло-
вию ωu|σu=−1
= ωl|σl=0
.
2. ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ
Для дискретизации системы уравнений (2)–(6) в
рассматриваемой модели применяются разнесен-
ные сетки: компоненты скорости Us, Vs, Ws, ωs
и коэффициенты трансформации Js,x, Js,y задаю-
тся на соответствующих гранях численной ячей-
ки (i, j, k); скалярные переменные Cs и поправка
давления qs задаются в её центре, как показано
на pис. 2. Алгоритм расчёта, применённый в дан-
ной работе, по сути не отличается от алгоритма
односигменной модели [8] и условно может быть
разделён на следующие этапы.
1. Вычисление явных слагаемых. На пер-
вом этапе каждого шага интегрирования систе-
мы (2) проводится расчёт адвективных и корио-
лисовых слагаемых, а также горизонтальной вяз-
кости по явным схемам, включая уравнение для
W . Алгоритмы расчёта являются такими же, как
и для односигменной модели [8], и применяю-
тся к верхней и нижней σ-подобластям независи-
мым образом. Для W рассматривается специаль-
ная ячейка, состоящая из двух половинок "скаляр-
ных ячеек" , прилегающих к грани, на которой за-
даётся W (pис. 2). Можно показать, что консерва-
тивность вертикальной составляющей импульса
обеспечивается, если полагать компоненты скоро-
сти на гранях "W -ячеек" как среднее компонент
скоростей, соответствующих скалярным ячейкам.
Для WKu
, заданного на поверхности раздела σ-
подобластей, приходится рассматривать специаль-
ную ячейку, состоящую из половинок скалярных
ячеек, принадлежащим разным σ-подобластям.
2. Вычисление вязкостных слагаемых в
вертикальном направлении. На втором этапе
проводится вычисление вязкостных слагаемых в
вертикальном направлении по неявной схеме, ко-
торая не отличается от схем [9, 21] и подразуме-
вает решение систем линейных уравнений с трёх-
диагональными матрицами. Размер таких матриц
зависит от того, описывается ли столб воды оди-
нарной или двойной σ-системой.
3. Нахождение уровня поверхности в ги-
дростатическом приближении. Алгоритм ра-
счёта уровня поверхности η̃n+1
i,j в гидростатическом
приближении по неявной схеме в двухсигменной
модели является таким же, как алгоритм односи-
гменной модели [8] и алгоритм z-модели [9]: η̃n+1
i,j
находится путём решения системы линейных урав-
нений с 5-диагональной матрицей, после чего про-
водится соответствующая коррекция поля скоро-
сти.
4. Вычисление поправки давления. Суть
четвёртого этапа заключается в подстановке дис-
кретных выражений для негидростатической по-
правки скорости в дискретное уравнение не-
разрывности согласно [8], приводящее к систе-
ме линейных уравнений с несимметричной 25-
диагональной матрицей. Поправка давления q на-
ходится путём решения этой системы методом Bi-
CGSTAB [23], после чего должным образом осу-
ществляется коррекция полей скорости потока и
уровня поверхности.
В одинарной σ-системе уравнение для каждого
слоя k вовлекает неизвестные q с пяти близлежа-
щих слоёв k− 2, k− 1, k, k + 1, k + 2 за исклю-
чением приповерхностного k = 2 и придонного
k=K−1 слоёв, для которых в [8] составлялись от-
дельные уравнения. В двойной σ-системе нижний
слой k=Ku−1 верхней σ-подобласти может быть
расположен как над дном, так и над нижней σ-
подобластью (см. pис. 2). В первом случае уравне-
ние для q со слоя k = Ku−1 является таким же,
как в [8]. Во втором случае необходимо составле-
ние специального уравнения, для вывода которо-
го воспользуемся тем, что на поверхности раздела
z = −Hc при Hc(x, y) = const выполняется условие
ωu|σu=−1
= ωl|σl=0
= W |z=−Hc
, (8)
следующее из (4). Для простоты будем полагать
постоянный в каждой индивидуальной σ-системе
размер численной ячейки {∆x, ∆y, ∆σs} = const
(∆σu 6= ∆σl). Для слоя k = Ku − 1 верхней σ-
подобласти, расположенного над нижней подобла-
стью, уравнение неразрывности (5) записывается
как
(
D
n+1
i+1
2
,j
U
n+1
i+1,j,Ku−1
−D
n+1
i−1
2
,j
U
n+1
i,j,Ku−1
)
/∆x+
+
(
D
n+1
i,j+1
2
V
n+1
i,j+1,Ku−1
−D
n+1
i,j−1
2
V
n+1
i,j,Ku−1
)
/∆y+
+
(
ωn+1
i,j,Ku−1
−ωn+1
i,j,Ku
)
/∆σ +
(
ηn+1
i,j −ηn
i,j
)
/∆t = 0, (9)
А. Нестеров 59
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 4. С. 56 – 70
Рис. 2. Пространственное расположение дискретных переменных в разнесенных сетках
где индекс u у переменных σ, D, U, W и ω опущен
для упрощения записи. Дискретизируем далее (4)
в верхней σ-подобласти:
ωn+1
i,j,k = W
n+1
i,j,k − (1+σk)
(
ηn+1
i,j −ηn
i,j
)
/∆t − 1/4×
×
{
J
n
xi,j,kD
n+1
i−1
2
,j
U
n+1
i,j,k+J
n
xi,j,k−1D
n+1
i−1
2
,j
U
n+1
i,j,k−1+
+J
n
xi+1,j,kD
n+1
i+1
2
,j
U
n+1
i+1,j,k+J
n
xi+1,j,k−1D
n+1
i+1
2
,j
U
n+1
i+1,j,k−1+
+J
n
yi,j,kD
n+1
i,j−1
2
V
n+1
i,j,k+J
n
yi,j,k−1D
n+1
i,j−1
2
V
n+1
i,j,k−1+
+J
n
yi,j+1,kD
n+1
i,j+1
2
V
n+1
i,j+1,k+J
n
yi,j+1,k−1D
n+1
i,j+1
2
V
n+1
i,j+1,k−1
}
, (10)
где индекс u опущен у σ, D, U, W, ω, Jx, Jy. Под-
ставляя выражение (10) в (9) и учитывая (8), урав-
нение неразрывности для слоя k = Ku−1 верхней
σ-подобласти принимает вид:
D
n+1
i+1
2
,j
U
n+1
i+1,j,Ku−1
−D
n+1
i−1
2
,j
U
n+1
i,j,Ku−1
∆x
+
+
D
n+1
i,j+1
2
V
n+1
i,j+1,Ku−1
−D
n+1
i,j−1
2
V
n+1
i,j,Ku−1
∆y
+
W
n+1
i,j,Ku−1
−W
n+1
i,j,Ku
∆σ
=
1
4∆σ
×
×
{
J
n
xi,j,Ku−2
D
n+1
i−1
2
,j
U
n+1
i,j,Ku−2
+J
n
xi+1,j,Ku−2
D
n+1
i+1
2
,j
U
n+1
i+1,j,Ku−2
+
+J
n
xi,j,Ku−1
D
n+1
i−1
2
,j
U
n+1
i,j,Ku−1
+J
n
xi+1,j,Ku−1
D
n+1
i+1
2
,j
U
n+1
i+1,j,Ku−1
+
+J
n
yi,j,Ku−2
D
n+1
i,j−1
2
V
n+1
i,j,Ku−2
+J
n
yi,j+1,Ku−2
D
n+1
i,j+1
2
V
n+1
i,j+1,Ku−2
+
+J
n
yi,j,Ku−1
D
n+1
i,j−1
2
V
n+1
i,j,Ku−1
+J
n
yi,j+1,Ku−1
D
n+1
i,j+1
2
V
n+1
i,j+1,Ku−1
}
. (11)
Уравнение (11) отличается от "придонного"
уравнения односигменной модели [8] только лишь
присутствием слагаемых W
n+1
i,j,Ku
.
Рассмотрим теперь поправку приближён-
ного гидростатического решения D̃
n+1
i+1
2
,jŨ
n+1
i+1,j,k,
D̃
n+1
i,j+1
2
Ṽ
n+1
i,j+1,k, W̃
n+1
i,j,k , полученного без учёта слагае-
мых, содержащих q в (2) на этапах 1–3, которая,
аналогично [8], проводится путём добавления
таковых в полунеявной форме как для верхней,
так и для нижней σ-подобласти:
D
n+1
i−1
2
,j
U
n+1
i,j,k = ˜̃D
n+1
i−1
2
,j
˜̃
U
n+1
i,j,k−Dn
i+1
2
,j
θ∆t
∆x
(
qn+1
i,j,k−qn+1
i−1,j,k
)
+
+Dn
i−1
2
,jJ
n
xi,j,k
θ∆t
4∆σ
(
qn+1
i,j,k−1−qn+1
i,j,k+1
+qn+1
i−1,j,k−1−qn+1
i−1,j,k+1
)
, (12)
D
n+1
i,j−1
2
V
n+1
i,j,k = ˜̃D
n+1
i,j−1
2
˜̃
V
n+1
i,j,k−Dn
i,j−1
2
θ∆t
∆y
(
qn+1
i,j,k−qn+1
i,j−1,k
)
+
+D
n
i,j+1
2
J
n
yi,j,k
θ∆t
4∆σ
(
qn+1
i,j,k−1−qn+1
i,j,k+1
+qn+1
i,j−1,k−1−qn+1
i,j−1,k+1
)
, (13)
W
n+1
i,j,k =
˜̃
W
n+1
i,j,k −
θ∆t
Dn
i,j∆σ
(
qn+1
i,j,k−1−qn+1
i,j,k
)
, (14)
60 А. Нестеров
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 4. С. 56 – 70
где θ ∈ (1/2, 1] – фактор неявности для повышения
точности аппроксимации и
˜̃
D
n+1
i−1
2
,j
˜̃
U
n+1
i,j,k =D̃
n+1
i−1
2
,jŨ
n+1
i,j,k−Dn
i−1
2
,j
(1−θ)∆t
∆x
(
qn
i,j,k−qn
i−1,j,k
)
+
+D
n
i−1
2
,jJ
n
xi,j,k
(1−θ)∆t
4∆σ
(
qn
i,j,k−1−qn
i,j,k+1
+qn
i−1,j,k−1−qn
i−1,j,k+1
)
,
˜̃
D
n+1
i,j−1
2
˜̃
V
n+1
i,j,k =D̃
n+1
i,j−1
2
Ṽ
n+1
i,j,k−Dn
i,j−1
2
(1−θ)∆t
∆y
(
qn
i,j,k−qn
i,j−1,k
)
+
+Dn
i,j−1
2
J
n
yi,j,k
(1−θ)∆t
4∆σ
(
qn
i,j,k−1−qn
i,j,k+1
+qn
i,j−1,k−1−qn
i,j−1,k+1
)
,
˜̃
W
n+1
i,j,k = W̃
n+1
i,j,k −
(1−θ)∆t
Dn
i,j∆σ
(
qn
i,j,k−1−qn
i,j,k
)
.
Подставляя выражения (12)–(14) в (11) для слоя
k = Ku − 1 верхней σ-подобласти и снова упуская
индекс u у σ, D, U, V, ω, Jx, Jy для упрощения запи-
си, получаем следующее уравнение:
qn+1
i,j,Ku−1
{
Dn
i−1
2
,j
+Dn
i+1
2
,j
∆x2
+
Dn
i,j−1
2
+Dn
i,j+1
2
∆y2
+
2
Dn
i,j∆σ2
+
+S
n
xi,j,Ku−2
+S
n
xi+1,j,Ku−2
+S
n
yi,j,Ku−2
+S
n
yi,j+1,Ku−2
+
+
(
D
n
i−1
2
,jJ
n
xi,j,Ku−1
−D
n
i+1
2
,jJ
n
xi+1,j,Ku−1
)
/(4∆x∆σ)+
+
(
Dn
i,j−1
2
J
n
yi,j,Ku−1
−Dn
i,j+1
2
J
n
yi,j+1,Ku−1
)
/(4∆y∆σ)
}
+
+qn+1
i−1,j,Ku−1
{
−
Dn
i−1
2
,j
∆x2
−
Dn
i−1
2
,j
J
n
xi,j,Ku−1
4∆x∆σ
+S
n
xi,j,Ku−2
}
+
+qn+1
i+1,j,Ku−1
{
−
Dn
i+1
2
,j
∆x2
+
Dn
i+1
2
,j
J
n
xi+1,j,Ku−1
4∆x∆σ
+S
n
xi+1,j,Ku−2
}
+
+qn+1
i−1,j,Ku−1
{
−
Dn
i,j−1
2
∆y2
−
Dn
i,j−1
2
J
n
yi,j,Ku−1
4∆y∆σ
+S
n
yi,j,Ku−2
}
+
+qn+1
i+1,j,Ku−1
{
−
Dn
i,j+1
2
∆y2
+
Dn
i,j+1
2
J
n
yi,j+1,Ku−1
4∆y∆σ
+S
n
yi,j+1,Ku−2
}
+
+qn+1
i,j,Ku−2
{
−1/
(
Dn
i,j∆σ2
)
−
−S
n
xi,j,Ku−1
−S
n
xi+1,j,Ku−1
−S
n
yi,j,Ku−1
−S
n
yi,j+1,Ku−1
+
+Dn
i+1
2
,j
(
J
n
xi+1,j,Ku−1
−J
n
xi+1,j,Ku−2
)
/(4∆x∆σ)−
−Dn
i−1
2
,j
(
J
n
xi,j,Ku−1
−J
n
xi,j,Ku−2
)
/(4∆x∆σ)+
+Dn
i,j+1
2
(
J
n
yi,j+1,Ku−1
−J
n
yi,j+1,Ku−2
)
/(4∆y∆σ)−
−Dn
i,j−1
2
(
J
n
yi,j,Ku−1
−J
n
yi,j,Ku−2
)
/(4∆y∆σ)
}
+
+qn+1
i,j,Ku
{
−1/
(
Dn
i,j∆σ2
)
+
+S
n
xi,j,Ku−1
+S
n
xi+1,j,Ku−1
+S
n
yi,j,Ku−1
+S
n
yi,j+1,Ku−1
+
+
(
Dn
i−1
2
,j
J
n
xi,j,Ku−1
−Dn
i+1
2
,j
J
n
xi+1,j,Ku−1
)
/(4∆x∆σ)−
−
(
Dn
i,j−1
2
J
n
yi,j,Ku−1
−Dn
i,j+1
2
J
n
yi,j+1,Ku−1
)
/(4∆y∆σ)
}
+
+qn+1
i−1,j,Ku−2
{
−Dn
i−1
2
,j
J
n
xi,j,Ku−1
+J
n
xi,j,Ku−2
4∆x∆σ
−S
n
xi,j,Ku−1
}
+
+qn+1
i+1,j,Ku−2
{
Dn
i+1
2
,j
J
n
xi+1,j,Ku−1
+J
n
xi+1,j,Ku−2
4∆x∆σ
−S
n
xi+1,j,Ku−1
}
+
+qn+1
i−1,j,Ku
{
Dn
i−1
2
,j
J
n
xi,j,Ku−1
/(4∆x∆σ)+S
n
xi,j,Ku−1
}
+
+qn+1
i+1,j,Ku
{
−Dn
i+1
2
,j
J
n
xi+1,j,Ku−1
/(4∆x∆σ)+S
n
xi+1,j,Ku−1
}
+
+qn+1
i,j−1,Ku−2
{
−Dn
i,j−1
2
J
n
yi,j,Ku−1
+J
n
yi,j,Ku−2
4∆y∆σ
+S
n
yi,j,Ku−1
}
+
+qn+1
i,j+1,Ku−2
{
Dn
i,j+1
2
J
n
yi,j+1,Ku−1
+J
n
yi,j+1,Ku−2
4∆y∆σ
+S
n
yi,j+1,Ku−1
}
+
+qn+1
i,j−1,Ku
{
Dn
i,j−1
2
J
n
yi,j,Ku−1
/(4∆y∆σ)+S
n
yi,j,Ku−1
}
+
+qn+1
i,j+1,Ku
{
−Dn
i,j+1
2
J
n
yi,j+1,Ku−1
/(4∆y∆σ) + S
n
yi,j+1,Ku−1
}
+
+qn+1
i,j,Ku−3
{
−S
n
xi,j,Ku−2
−S
n
xi+1,j,Ku−2
−S
n
yi,j,Ku−2
−S
n
yi,j+1,Ku−2
}
+
+qn+1
i−1,j,Ku−3
{
−S
n
xi,j,Ku−2
}
+ qn+1
i+1,j,Ku−3
{
−S
n
xi+1,j,Ku−2
}
+
+qn+1
i,j−1,Ku−3
{
−S
n
yi,j,Ku−2
}
+ qn+1
i,j+1,Ku−3
{
−S
n
yi,j+1,Ku−2
}
=
=−
( ˜̃
D
n+1
i+1
2
,j
˜̃
U
n+1
i+1,j,Ku−1
−˜̃D
n+1
i−1
2
,j
˜̃
U
n+1
i,j,Ku−1
)
/(∆x∆t)−
−
( ˜̃
D
n+1
i,j+1
2
˜̃
V
n+1
i,j+1,Ku−1
−˜̃D
n+1
i,j−1
2
˜̃
V
n+1
i,j,Ku−1
)
/(∆y∆t)−
−
(˜̃
W
n+1
i,j,Ku−1
−
˜̃
W
n+1
i,j,Ku
)
/(∆σ∆t) + 1/(4∆σ∆t)×
×
[
J
n
xi,j,Ku−1
˜̃
D
n+1
i−1
2
,j
˜̃
U
n+1
i,j,Ku−1
+J
n
xi+1,j,Ku−1
˜̃
D
n+1
i+1
2
,j
˜̃
U
n+1
i+1,j,Ku−1
+
+J
n
xi,j,Ku−2
˜̃
D
n+1
i−1
2
,j
˜̃
U
n+1
i,j,Ku−2
+J
n
xi+1,j,Ku−2
˜̃
D
n+1
i+1
2
,j
˜̃
U
n+1
i+1,j,Ku−2
+
+J
n
yi,j,Ku−1
˜̃
D
n+1
i,j−1
2
˜̃
V
n+1
i,j,Ku−1
+J
n
yi,j+1,Ku−1
˜̃
D
n+1
i,j+1
2
˜̃
V
n+1
i,j+1,Ku−1
+
+J
n
yi,j,Ku−2
˜̃
D
n+1
i,j−1
2
˜̃
V
n+1
i,j,Ku−2
+J
n
yi,j+1,Ku−2
˜̃
D
n+1
i,j+1
2
˜̃
V
n+1
i,j+1,Ku−2
]
, (15)
где для краткости введены обозначения:
S
n
xi,j,k=
Dn
i−1
2
,j
(
J
n
xi,j,k
)2
16∆σ2
; S
n
yi,j,k=
Dn
i,j−1
2
(
J
n
yi,j,k
)2
16∆σ2
.
Аналогично составляются уравнения для q со
слоя k = 2 нижней σ-подобласти. Такой подход
приводит к необходимости рассмотрения q с
”
фи-
ктивных“ слоёв k = Ku верхней и k = 1 нижней
подобластей, однако позволяет избежать рассмо-
трения слоёв k = Ku + 1 верхней и k = 0 нижней
подобластей. Получившуюся незамкнутую систе-
му уравнений необходимо дополнить условиями
"склейки" на поверхности раздела. Одним из этих
условий является условие непрерывности q:
А. Нестеров 61
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 4. С. 56 – 70
Рис. 3. Схема эксперимента работы [6]
1
2
(
qn+1
u,i,j,Ku−1
+ qn+1
u,i,j,Ku
)
=
1
2
(
qn+1
l,i,j,1 + qn+1
l,i,j,2
)
. (16)
Второе условие заключается в том, что поправ-
ка вертикальной компоненты скорости W на по-
верхности раздела, вычисляемая по формуле (14),
должна приводить к равным значениям в верх-
ней и нижней подобластях. Принимая во внимание
условие равенства вертикальных компонент ско-
рости W̃
n+1
u,i,j,Ku
=W̃
n+1
l,i,j,2 на поверхности раздела после
осуществления гидростатического этапа расчёта,
второе условие склейки выражается в виде
qn+1
u,i,j,Ku−1
− qn+1
u,i,j,Ku
Dn
u,i,j∆σu
=
qn+1
l,i,j,1 − qn+1
l,i,j,2
Dn
l,i,j∆σl
. (17)
Условия (16) и (17) можно исключить из систе-
мы уравнений для q явным образом, однако ал-
горитмически более удобно решать систему урав-
нений с дополнительными неизвестными qu,i,j,Ku
и ql,i,j,1, поскольку последние входят в уравнения
для q со слоёв k = Ku−2 верхней и k = 3 нижней
σ-подобластей. Кроме того, неизвестные q со слоя
k = Ku могут входить в "придонное" уравнение
верхней подобласти, когда столб воды описывае-
тся одинарной σ-координатой, и исключить их яв-
ным образом из системы уравнений не удаётся [8].
3. ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛИ
3.1. Накат солитона на шельф с уступом
Односигменные негидростатические модели [8, 10,
11, 13] применимы для моделирования распро-
странения поверхностных волн над гладким дном
с относительно малыми уклонами, такими как
1:10, в экспериментах [4, 24], однако малопригодны
в случаях больших градиентов дна, как в задаче о
накате солитона на шельф со ступенькой [5, 6, 13,
20].
Суть лабораторного исследования [6] заключа-
лась в анализе трансформации уединённой волны
при её накате на искусственный шельф прямоу-
гольной формы, погруженный в гидравлический
лоток, как показано на pис. 3. Авторы рассмо-
трели 80 различных конфигураций эксперимен-
та, главными в которых были отношения A/H0 и
H1/H0 – высоты солитона A и глубины шельфа H1
к глубине в левой части лотка H0 при невозмущён-
ном уровне поверхности. Было исследовано укру-
чение первичной волны, измерены вторичная и
третичная волны, образующиeся в результате ра-
сщепления солитона (более мелкие волны не под-
давались измерению вследствие малости их ам-
плитуд), а также отражённая волна, распростра-
няющаяся в противоположную от уступа шельфа
сторону. Вследствие ограниченной длины лотка и
технических характеристик генератора волн эк-
сперименты [6] были продублированы для измере-
ния прямых и отражённых волн. Изначальный ди-
зайн генератора волн подразумевал его использо-
вание только для создания синусоидальных волн.
Поэтому он был неспособен порождать уединён-
ную волну, форма которой соответствовала бы те-
оретической форме солитона в идеальной жидко-
сти, и приводил к порождению
”
хвоста“ волн зна-
чительной амплитуды. С целью его устранения в
положении ©1 гидравлического лотка была уста-
новлена заслонка, которая быстро опускалась сра-
зу после прохождения первичной волны, так что
последующие волны отсекались. По утверждению
[6] сам процесс опускания заслонки порождал нам-
ного меньшие возмущения уровня.
Предложенная в настоящей работе модель наи-
более подходит для изучения структуры потока в
случаях необрушающихся волн, исследованных в
[6]. В качестве тестовой задачи был выбран экспе-
римент со следующими параметрами: глубина в
левой части лотка H0 = 20 см, толщина слоя воды
над шельфом H1 = 10 см, высота солитона в кон-
трольном положении ©3 (см. pис. 3) A = 3.65 см.
В качестве граничных условий для численной мо-
62 А. Нестеров
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 4. С. 56 – 70
Рис. 4. Сравнение рассчитанного и измеренного уровней поверхности: — модель, ◦ ◦ ◦ – измерения.
Направление движения волны указано стрелками: → – набегающая волна, ← – отражённая волна.
В положении ©6 рассчитанный уровень опережал измеренный на 0.12 с (на рисунке фазы согласованы)
дели задавались уровень поверхности и компонен-
ты скорости, описывающие движение солитона в
идеальной жидкости в водоёме постоянной глуби-
ны H0 и бесконечной длины, приведённые в [20].
Учитывая, что на дне z = −H0, это условие имеет
вид:
η= A · sech2
[√
3A
4H0
χ
H0
]
,
u= η
√
g
H0
[
1 −
η
4H0
+
H2
0
3η
(
1−
3(z+H0)2
2H2
0
)
d2η
dχ2
]
,
w=−(z+H0)
√
g
H0
[
2H0−η
2H0
dη
dχ
+
2H2
0−(z+H0)2
6
d3η
dχ3
]
,
где χ = −ct; c =
√
g(H0 + A). (18)
Чтобы одновременно исследовать прямую и
отражённую волны, в численном эксперименте
граничные условия задавались на расстоянии 12 м
от уступа. Поскольку как физическая (обуслов-
ленная вязкостью и придонным трением), так и
численная (обусловленная погрешностью числен-
ных схем) диссипации энергии приводят к не-
сколько меньшей амплитуде волны в контроль-
ном положении ©3 по сравнению с задаваемой на
открытой границе, то последняя полагалась на
4.1% больше, чем измеренная в положении ©3 . Ра-
зрешение численной сетки было 1 см по горизон-
тали; столб воды описывался 20-ью равноудалён-
А. Нестеров 63
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 4. С. 56 – 70
Рис. 5. Временная развёртка уровня поверхности в лотке
Табл. 1. Максимальный рассчитанный уровень (см)
Положение относительно уступа
z0 x 30мм ©1 ©2 ©3 ©4 ©5 ©6 ©7
-9 м -6 м -3 м 0 м 3 м 6 м 9 м
Без трения 3.58 3.56 3.53 3.83 4.99 5.84 6.15
0.25 3.57 3.53 3.48 3.76 4.79 5.49 5.63
0.5 3.56 3.52 3.47 3.74 4.74 5.40 5.49
1.0 3.56 3.50 3.45 3.71 4.65 5.26 5.29
2.0 3.55 3.48 3.41 3.66 4.53 5.05 5.01
4.0 3.54 3.45 3.36 3.59 4.35 4.75 4.61
Измерения - - 3.67 3.91 4.87 5.43 5.32
ными слоями в каждой из σ-подобластей, разде-
лённых горизонтальной плоскостью Hc = 10 см.
Начало отсчёта по времени t = 0 полагалось в мо-
мент прохождения гребня солитона через положе-
ние ©3 .
Максимальный рассчитанный уровень поверх-
ности в положениях ©1 – ©7 в зависимости от ше-
роховатости дна z0 приведён в табл. 1 в сравне-
нии с максимальным уровнем, измеренным в этих
положениях. Результаты визуального сравнения с
экспериментальными данными показаны на рис. 4.
Как видно, форма волны достаточно хорошо была
воспроизведена моделью на всех станциях. В це-
лом, в процессе калибрования модели наилучшие
результаты были достигнуты при шероховатости
дна z0 = 0.5/30 мм. Высота первичной волны и,
как следствие, фазовая скорость её распростране-
ния оказались весьма чувствительными к z0, в осо-
бенности в положениях ©5 – ©7 . Как видно из табл.
1 полное отсутствие придонного трения приводит
к заметному завышению высоты первичной волны
(16% в положении ©7 ) по сравнению с эксперимен-
тальными данными, что согласуется с результата-
ми [6, 20].
В работах [6, 20] в положениях ©6 и ©7 также
наблюдалось существенное фазовое отличие ме-
жду результатами моделирования и данными эк-
сперимента. В [6] такое расхождение было объя-
снено погрешностями численной модели, а в [20]
было высказано предположение об ошибке изме-
рений, поскольку две различные модели показали
схожие результаты. В настоящей работе посред-
ством калибрования z0 было достигнуто хорошее
согласование как формы, так и фазы волны на
всех станциях, за исключением ©6 , если глубина
H1 полагалась равной 9.8 см вместо 10 см. Рассо-
гласованность фаз в положении ©6 составила при-
близительно 0.12 с, и устранить её не удалось. По
всей видимости, причиной этого является погре-
шность измерений, как было предположено в [20].
Развёртка профиля уровня поверхности η во
времени показана на pис. 5. В частности, виден
процесс расщепления солитона, образование вто-
ричной, третичной и отражённой волн.
Исследование наката солитона на шельф с усту-
пом проводилось и во многих других работах. В
частности, в [5] приведены приближённые анали-
тические выражения для числа N солитонов в цу-
ге, следующим за первичной волной, выражения
для их амплитуд At,n и амплитуда отражённой
волны Ar как функции отношения H1/H0 (см. pис.
3) и начальной амплитуды солитона A:
64 А. Нестеров
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 4. С. 56 – 70
Рис. 6. Сравнение моделей: — двухсигменная модель, · · · · · – CADMAS [5], - - - – FLOW-3D [5].
Направление движения волны указано стрелками: → – набегающая волна, ← – отражённая волна
N =E
(
1
2
[√
1+
16
1+
√
H1/H0
H2
0
H2
1
−1
])
,
At,n
A
=
1
4
H2
1
H2
0
[√
1+
16
1+
√
H1/H0
H2
0
H2
1
−(1+2n)
]2
,
Ar
A
=
1
4
[√
1+8
1−
√
H1/H0
1+
√
H1/H0
−1
]2
, (19)
где E(ζ) – целая часть от ζ и n= 0, ..., N − 1. Это
решение следует как результат склейки асимпто-
тических решений на двух этапах: (i) далеко от
уступа предполагалась справедливость уравнения
Кортевега-де Вриза (Korteweg–de Vries), имеюще-
го аналитическое решение; (ii) вблизи уступа пред-
полагалась линейная теория мелкой воды. Приме-
нение последней приводит к изменению амплиту-
ды набегающей волны, но не её формы. Как след-
ствие, солитон становится неустойчивым и распа-
дается на цуг солитонов, динамика которого опи-
сывается уравнением Кортевега-де Вриза. Движе-
ние отражённой волны описывается индивидуаль-
Табл. 2. Амплитуда первичного, вторичного и
отражённого солитонов (см) по разным оценкам
Оценка согласно Перв. Втор. Отраж.
Измерения 5.43 1.92 0.36
По (19), H1=10 см 6.18 2.34 0.76
По (19), H1=9.8 см 6.25 2.44 0.80
Модель, без трения 6.15 1.93 0.47
Модель, z0 = 0.5мм 5.49 1.83 0.46
ным образом также путём решения этого же урав-
нения.
В таблице 2 приведены сравнения оценок ампли-
туд первичного и вторичного солитонов и отра-
жённой волны согласно измерениям [6], форму-
лам (19) и модели с учётом придонного трения и
без него (вязкость присутствовала в обоих случа-
ях). Как видно, оценки по (19) являются завышен-
ными, что и следовало ожидать ввиду отсутствия
учёта вязкости и придонного трения.
В [5] также приведены результаты сравнения
аналитических решений с двумя численными мо-
делями Буссинеска (DHI MIKE BW и EB_FEM),
А. Нестеров 65
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 4. С. 56 – 70
Рис. 7. Схема эксперимента работы [3]
и двумя численными моделями, основанными на
уравнениях Навье-Стокса, осреднённых по Рей-
нольдсу (CADMAS и FLOW-3D) для задачи о на-
кате солитона на уступ со следующими параме-
трами: H0=10 м, H1=5 м, A=30 см. Общая длина
расчётной области составляла 10000 м. На pис. 6
показано сравнение результатов применения двух-
сигменной модели с CADMAS и FLOW-3D. Уступ
полагался при x = 0 м; граничные условия задава-
лись при x = −5000 м; придонное трение и турбу-
лентная вязкость полагались равными нулю; гори-
зонтальное разрешение составляло 1 м; вертикаль-
ное разрешение – по 20 равноудалённых σ-слоёв
для каждой из подобластей. Вследствие большей
глубины придонное трение и вязкость оказывают
меньшее влияние по сравнению с экспериментами
[6], что приводит к хорошему совпадению резуль-
татов различных моделей.
3.2. Образование вихрей вблизи уступов погру-
женного препятствия
В большинстве работ, посвящённых моделирова-
нию или измерению поверхностных волн, рассма-
триваются задачи только лишь на уровне поверх-
ности, например в [4, 6, 20, 24, 25], в то время как
изучению трёхмерных полей скорости и давления
уделяется относительно мало внимания. Одними
из работ, посвящённых экспериментальныому де-
тальному изучению структуры потока при прохо-
ждении волны над погруженным препятствием,
являются [3, 26]. Интересом последних было иссле-
дование вихрей, которые образуются вблизи усту-
пов прямоугольного препятствия при прохожде-
нии волн над ним, с помощью метода PIV (Particle
Image Velocimetry).
Один из экспериментов [3], суть которого изло-
жена ниже, был выбран в качестве второй зада-
чи, решённой с помощью предложенной модели.
В гидравлический лоток длиной 30 м было уста-
новлено препятствие прямоугольной формы дли-
ной 40 см и высотой 8 см, так что толщина слоя
воды над ним составляла 8 см при невозмущён-
ном уровне поверхности, как показано на pис. 7.
За начало отсчёта принималась координата x = 0
у правого уступа препятствия. В левой части ло-
тка при x=-12.6 м был установлен генератор волн,
порождающий солитоны высотой 2.88 см. В пра-
вом конце лотка был установлен поглощатель волн
с целью предотвращения их отражения. Снимки
полей скорости осуществлялись с помощью двух
камер с разрешением 1024 × 1024 пикселя и ча-
стотой 30 Гц. Камера №1 покрывала зону 12.8 ×
12.8 см у правого (подветренного) уступа, а каме-
ра №2 – зону 10.5 х 10.5 см у левого (наветренно-
го) уступа препятствия. Векторы скорости рассчи-
тывались как среднее в квадратах 64 × 64 пиксе-
ля, с 50%-ым нахлёстыванием друг на друга. По
этой причине эксперимент не мог показать векто-
ры скорости ближе, чем 4 мм от твёрых стенок,
зато погрешность измерений скорости составила
до 0.6 см/с по оценкам [3].
Граничные условия для численной модели за-
давались, как и в предыдущей тестовой задаче, –
по формулам (18). Было проведено два численных
эксперимента с разными разрешениями численной
сетки. В первом из них горизонтальное разреше-
ние составляло 5 мм, а вертикальное – по 20 равно-
удалённых σ-слоёв для каждой из σ-подобластей,
которые разделялись плоскостью Hc = 8 см. Такое
разрешение оказалось достаточным для того, что-
бы численная модель хорошо воспроизвела вихрь,
образующийся позади препятствия, как показано
на рис. 8.
Однако такое разрешение не позволило аккура-
тно воспроизвести поле скорости над препятстви-
ем вблизи его переднего уступа. Согласно экспери-
ментальным данным, накат волны приводил к по-
рождению вихря сплюснутой эллипсоидной фор-
мы с относительно большой скоростью оттока у
дна порядка 30 см/с в сторону, противоположную
направлению распространения первичной волны,
и такой же по величине скорости в сторону, совпа-
дающую с направлением движения волны, на рас-
стоянии приблизительно 2.5-3 см от дна, как пока-
зано на pис. 9. Таким образом, кратковременный
66 А. Нестеров
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 4. С. 56 – 70
Рис. 8. Образование вихря за препятствием:
— – модель, ◦ ◦ ◦ – измерения
перепад скорости составлял до 60 см/с на расстоя-
нии менее 3 см. Поэтому для достижения удовле-
творительной точности численной модели разре-
шение верхней σ-подобласти было увеличено до
40 слоёв, в то время как разрешение нижней σ-
подобласти оставалось 20 слоёв. Горизонтальное
разрешение также было увеличено до 3 мм. Это
привело к значительно лучшим результатам срав-
нения результатов численного моделирования и
экспериментальных данных, показанного на pис.
9.
В процессе калибрования модели установлено,
что шероховатость дна оказывает значительное
влияние на вихрь, образующийся над передним
А. Нестеров 67
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 4. С. 56 – 70
Рис. 9. Образование вихря над передним уступом препятствия:
— – модель, ◦ ◦ ◦ – измерения
уступом препятствия, однако оказывает относи-
тельно малое влияние на вихрь позади препят-
ствия. Шероховатость дна z0 = 0.5/30 мм снова
привела к наилучшим результатам сравнения, как
в первой рассмотренной задаче про накат волны
на уступ шельфа (см. п. 3.1). Меньшие значения
z0 приводили к большим скоростям у дна (поряд-
ка 50 см/с при полном отсутствии придонного тре-
ния), в то время как большие значения z0 приво-
дили к уменьшению интенсивности этого вихря,
вплоть до его полного вырождения. Использова-
ние ламинарной вязкости также привело к суще-
ственному завышению рассчитанных величин ско-
рости, тем самым подтверждая, что режим потока
вблизи препятствия является турбулентным с под-
сеточным масштабом вихрей порядка нескольких
миллиметров.
Интересно отметить то, что сплюснутая форма
вихря у переднего уступа, наблюдавшегося в эк-
сперименте, была воспроизведена предложенной
двухсигменной моделью лучше, чем численной мо-
делью [3]. Последняя показала образование вихрей
приблизительно круглой формы как за препят-
ствием, так и над его передним уступом.
Также следует отметить, что большие перепа-
ды скорости предположительно приводят к поро-
ждению вихрей меньшего масштаба, что объясня-
ет малые флуктуации измеренных профилей ско-
68 А. Нестеров
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 4. С. 56 – 70
рости, заметные на pис. 8 и 9. Однако для их акку-
ратного экспериментального измерения и воспрои-
зведения численной моделью понадобилось бы на
порядок более высокое разрешение.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В работе представлена численная модель ра-
счёта негидростатических течений со свободной
поверхностью в двойной σ-системе координат и
её применение к моделированию распростране-
ния поверхностных волн над уступами. Сравне-
ние результатов моделирования наката солитона
на искусственный шельф прямоугольной формы
с лабораторными измерениями показало, что пре-
дложенная модель достаточно хорошо воспроизво-
дит расщепление первичного солитона и образо-
вание вторичной, третичной и отражённых волн.
Несмотря на неизбежную численную вязкость, мо-
дель также показала способность к относительно
длительному сохранению формы солитона при его
распространении в водоёмах с плоским дном, до-
вольно аккуратно совпадающей с аналитической
формой солитона в идеальной жидкости и резуль-
татами других численных моделей.
Разработанная модель также была применена к
изучению структуры потока вблизи уступов пре-
пятствия прямоугольной формы, погруженного в
гидравлический лоток, при прохождении волны
над ним. Модель хорошо воспроизвела вихри, по-
рождённые волной, которые наблюдались в лабо-
раторных экспериментах. Сплюснутая форма ви-
хря у наветренного уступа препятствия была во-
спроизведена предложенной двухсигменной моде-
лью лучше по сравнению с предыдущими работа-
ми.
В процессе калибрования модели установлено,
что в обоих рассмотренных задачах шерохова-
тость дна и вязкость оказывали значительное вли-
яние на скорость потока, в особенности вблизи на-
ветренных уступов над их мелководной стороной,
что, в свою очередь, оказывало заметное влияние
на трансформацию формы волн, амплитуду и, как
следствие, фазовую скорость. Значение шерохова-
тости z0 = 0.5/30 мм в целом привело к наиболее
хорошим совпадениям результатов моделирования
с экспериментальными данными как в первой, так
и во второй задачах.
Одним из направлений дальнейших исследова-
ний является применение разработанной модели
к изучению стратифицированных течений и вну-
тренних волн, для которых использование непо-
движной во времени нижней σ-подобласти может
оказаться предпочтительным по сравнению с оди-
нарной σ-системой. Также предметом дальнейших
исследований и последующего усовершенствова-
ния является применение более подходящей моде-
ли турбулентности.
Автор выражает искреннюю благодарность
докт. физ-мат. наук профессору В.С. Мадеричу за
ценные замечания и предложения, которые были
учтены при подготовке этой публикации.
1. Филлипс О.М. Динамика верхнего слоя океана.–
М.: Мир, 1969.– 268 с.
2. Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика. В
2-х томах.– М.: Мир, 1984.– 398 (T. 1), 416 (T. 2) с.
3. Chang K.-A., Hsu T.-J., Liu P.L.-F. Vortex generati-
on and evolution in water waves propagating over
a submerged rectangular obstacle. Part I. Solitary
waves. // Coastal Engineering.– 2001.– 44(1).–
P. 13–36.
4. Beji S., Battjes J.A. Numerical simulation of nonli-
near wave propagation over a bar. // Coastal
Engineering.– 1994.– 23.– P. 1–16.
5. Pelinovsky E., Choi B.H., Talipova T., Woo S.B., Kim
D.C. Solitary wave transformation on the underwater
step: Asymptotic theory and numerical experi-
ments. // Applied Mathematics and Computation.–
2010.– 217.– P. 1704-–1718.
6. Seabra-Santos F.J., Renouard D.P., Temperville
A.M. Numerical and experimental study of the
transformation of a solitary wave over a shelf or
isolated obstacle. // J. Fluid Mech.– 1987.– 176.–
P. 117–134.
7. Griffies S.M., Böning C., Bryan F.O., Chassignet
E.P., Gerdes R., Hasumi H., Hirst A., Treguier A.-
M., Webb D. Developments in ocean climate modelli-
ng. // Ocean Dynamics.– 2000.– 2.– P. 123–192.
8. Нестеров A. Полунеявный метод расчёта негидро-
статических течений со свободной поверхностью в
σ-системе координат // Прикл. гидромеханика.–
2012.– 14(2).– С. 41–52.
9. Casulli V. A semi-implicit finite difference method
for non-hydrostatic, free-surface flows. // Int. J. for
numerical methods in fluids.– 1999.– 30.– P. 425–440.
10. Канарская Ю., Мадерич В. Численная негидро-
статическая модель стратифицированных тече-
ний // Прикл. гидромеханика.– 2002.– 3(76).–
С. 12–21.
11. Kanarska Y., Maderich V. A non-hydrostatic numeri-
cal model for calculating free-surface stratified
flows. // Ocean Dynamics.– 2003.– 53.– P. 176–185.
12. Fringer O-B., Gerritsen M., Street R.L. An
unstructured-grid, finite-volume, nonhydrostatic,
parallel coastal ocean simulator. // Ocean
Modelling.– 2006.– 14.– P. 139–173.
13. Lin P., Li C.W. A σ-coordinate three-dimensional
numerical model for surface wave propagation. //
Int. J. for numerical methods in fluids.– 2002.– 38.–
P. 1045–1068.
14. Namin M.M., Lin B., Falconer R.A. An implicit
numerical algorithm for solving non-hydrostatic free-
surface flow problems. // Int. J. Numer. Meth.
Fluids.– 2002.– 35.– P. 341–356.
15. Stansby P.K., Zhou J.G. Shallow-water flow solver
with non-hydrostatic pressure: 2D vertical plane
problems. // Int. J. for Numer. Meth. in Fluids.–
1998.– 28.– P. 541–563.
А. Нестеров 69
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2013. Том 15, N 4. С. 56 – 70
16. Кошебуцкий В., Мадерич В., Нестеров A., Хе-
линг Р. Моделирование распространения тепла
во внутренних водах и прибрежных областях мо-
рей // Прикл. гидромеханика.– 2004.– 6(78).–
С. 34–44.
17. Нестеров A., Мадерич В. Моделирование гидро-
динамики и процессов переноса в Днепро-Бугском
эстуарии // Морской гидрофиз. журнал.– 2008.–
6.– С. 66–77.
18. Beckers J.-M. Application of a 3D model to the
Western Mediterranean. // J. of Marine Systems.–
1991.– 1.– P. 315–332.
19. DHI Water and Environment. MIKE3 Flow Model:
Hydrodynamic Module. Scientific Documentation.–
Hörsholm, Denmark: Danish Hydraulic Institute
(www.dhigroup.com), 2011.– 50 p.
20. Liu P.L.-F., and Cheng Y. A numerical study of the
evolution of a solitary wave over a shelf. // Physics
of Fluids.– 2001.– 13(6).– P. 1660–1667.
21. Blumberg A.F., Mellor G.L. A description of a three-
dimensional coastal ocean circulation. // Three-
Dimensional Coastal Ocean Models.– 1987, N. Heaps
(Ed.), Washington D.C., Am. Geoph. Union.– P. 1–
16.
22. Smagorinsky J. General circulation experiments wi-
th primitive equations. 1. The basic experiment. //
Monthly Weather Rev.– 1963.– 91.– P. 99–164.
23. Barrett R., Berry M., Chan T.F., Demmel J.,
Donato J.M., Dongarra J., Eijkhout V., Pozo R.,
Romine C., Van der Vorst H. Templates for the
Solution of Linear Systems: Building Blocks for
Iterative Methods, 2-nd Ed.– SIAM: siam.org/books,
2006.– 105 p.
24. Beji S., Battjes J.A. Experimental investigati-
on of wave propagation over a bar. // Coastal
Engineering.– 1993.– 19.– P. 151–162.
25. Lin P. A numerical study of solitary wave interaction
with rectangular obstacles. // Coastal Engineering.–
2004.– 51.– P. 35–51.
26. Chang K.-A., Hsu T.-J., Liu P.L.-F. Vortex generati-
on and evolution in water waves propagating over
a submerged rectangular obstacle. Part II. Cnoi-
dal waves. // Coastal Engineering.– 2005.– 52(3).–
P. 257–283.
70 А. Нестеров
|