Пульсации сферической оболочки с жидкостью при вводе энергии в центре

Исследуется динамическая система, состоящая из замкнутой сферической оболочки, заполненной идеальной сжимаемой жидкостью с газовой полостью в центре. Представлена математическая модель системы в безразмерном виде и выполнено ее численное решение. Рассматриваются и анализируются зависимости пульсаций...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Прикладна гідромеханіка
Datum:	2014
Hauptverfasser:	Шептилевский, А.В., Косенков, В.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут гідромеханіки НАН України 2014
Schlagworte:	Науковi статтi
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116468
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Пульсации сферической оболочки с жидкостью при вводе энергии в центре / А.В. Шептилевский, В.М. Косенков // Прикладна гідромеханіка. — 2014. — Т. 16, № 1. — С. 70-77. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-116468
record_format	dspace
spelling	Шептилевский, А.В. Косенков, В.М. 2017-04-27T19:51:23Z 2017-04-27T19:51:23Z 2014 Пульсации сферической оболочки с жидкостью при вводе энергии в центре / А.В. Шептилевский, В.М. Косенков // Прикладна гідромеханіка. — 2014. — Т. 16, № 1. — С. 70-77. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116468 534.131.2 Исследуется динамическая система, состоящая из замкнутой сферической оболочки, заполненной идеальной сжимаемой жидкостью с газовой полостью в центре. Представлена математическая модель системы в безразмерном виде и выполнено ее численное решение. Рассматриваются и анализируются зависимости пульсаций системы от ее линейных размеров и величины введенной энергии. Досліджується динамічна система, що складається з замкненої сферичної оболонки, яка заповнена ідеальною стисливою рідиною з сферичною газовою порожниною в центрі. Представлена математична модель системи в безрозмірному вигляді і виконано її чисельне розв'язання. Розглядаються та аналізуються залежності пульсацій системи від її лінійних розмірів і величини введеної енергії. The dynamic system consisting of the closed spherical shell filled with ideal coercible liquid with a spherical gas cavity in the center, is investigated. The mathematical model of the system is presented in a dimensionless form and its numeral solution is carried out. Dependences of the dynamics of system pulsations are considered on its linear sizes and size of the input energy. ru Інститут гідромеханіки НАН України Прикладна гідромеханіка Науковi статтi Пульсации сферической оболочки с жидкостью при вводе энергии в центре Пульсації сферичної оболонки з рідиною при введенні енергії в центрі Pulsations of spherical shell with a liquid at input energy in the center Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Пульсации сферической оболочки с жидкостью при вводе энергии в центре
spellingShingle	Пульсации сферической оболочки с жидкостью при вводе энергии в центре Шептилевский, А.В. Косенков, В.М. Науковi статтi
title_short	Пульсации сферической оболочки с жидкостью при вводе энергии в центре
title_full	Пульсации сферической оболочки с жидкостью при вводе энергии в центре
title_fullStr	Пульсации сферической оболочки с жидкостью при вводе энергии в центре
title_full_unstemmed	Пульсации сферической оболочки с жидкостью при вводе энергии в центре
title_sort	пульсации сферической оболочки с жидкостью при вводе энергии в центре
author	Шептилевский, А.В. Косенков, В.М.
author_facet	Шептилевский, А.В. Косенков, В.М.
topic	Науковi статтi
topic_facet	Науковi статтi
publishDate	2014
language	Russian
container_title	Прикладна гідромеханіка
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
format	Article
title_alt	Пульсації сферичної оболонки з рідиною при введенні енергії в центрі Pulsations of spherical shell with a liquid at input energy in the center
description	Исследуется динамическая система, состоящая из замкнутой сферической оболочки, заполненной идеальной сжимаемой жидкостью с газовой полостью в центре. Представлена математическая модель системы в безразмерном виде и выполнено ее численное решение. Рассматриваются и анализируются зависимости пульсаций системы от ее линейных размеров и величины введенной энергии. Досліджується динамічна система, що складається з замкненої сферичної оболонки, яка заповнена ідеальною стисливою рідиною з сферичною газовою порожниною в центрі. Представлена математична модель системи в безрозмірному вигляді і виконано її чисельне розв'язання. Розглядаються та аналізуються залежності пульсацій системи від її лінійних розмірів і величини введеної енергії. The dynamic system consisting of the closed spherical shell filled with ideal coercible liquid with a spherical gas cavity in the center, is investigated. The mathematical model of the system is presented in a dimensionless form and its numeral solution is carried out. Dependences of the dynamics of system pulsations are considered on its linear sizes and size of the input energy.
issn	1561-9087
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116468
citation_txt	Пульсации сферической оболочки с жидкостью при вводе энергии в центре / А.В. Шептилевский, В.М. Косенков // Прикладна гідромеханіка. — 2014. — Т. 16, № 1. — С. 70-77. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT šeptilevskiiav pulʹsaciisferičeskoioboločkisžidkostʹûprivvodeénergiivcentre AT kosenkovvm pulʹsaciisferičeskoioboločkisžidkostʹûprivvodeénergiivcentre AT šeptilevskiiav pulʹsacíísferičnoíobolonkizrídinoûprivvedenníenergíívcentrí AT kosenkovvm pulʹsacíísferičnoíobolonkizrídinoûprivvedenníenergíívcentrí AT šeptilevskiiav pulsationsofsphericalshellwithaliquidatinputenergyinthecenter AT kosenkovvm pulsationsofsphericalshellwithaliquidatinputenergyinthecenter
first_indexed	2025-11-25T22:46:30Z
last_indexed	2025-11-25T22:46:30Z
_version_	1850573033134096384
fulltext	ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 1. С. 70 – 77 УДК 534.131.2 ПУЛЬСАЦИИ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С ЖИДКОСТЬЮ ПРИ ВВОДЕ ЭНЕРГИИ В ЦЕНТРЕ А. В. Ш Е П ТИ Л Е ВС К ИЙ∗, В. М. К ОС ЕН К ОВ∗∗ ∗Николаевский национальный аграрный университет, 54020, г. Николаев, ул. Парижской коммуны, 9 ∗∗Институт импульсных процессов и технологий НАН Украины, Николаев 54018, г. Николаев, проспект Октябрьский, v.m.kosenkov@gmail.com Получено 11.07.2013 Исследуется динамическая система, состоящая из замкнутой сферической оболочки, заполненной идеальной сжи- маемой жидкостью с газовой полостью в центре. Представлена математическая модель системы в безразмерном виде и выполнено ее численное решение. Рассматриваются и анализируются зависимости пульсаций системы от ее линейных размеров и величины введенной энергии. КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: сферическая оболочка, пульсации, жидкость, ввод энергии Дослiджується динамiчна система, що складається з замкненої сферичної оболонки, яка заповнена iдеальною сти- сливою рiдиною з сферичною газовою порожниною в центрi. Представлена математична модель системи в безроз- мiрному виглядi i виконано її чисельне розв’язання. Розглядаються та аналiзуються залежностi пульсацiй системи вiд її лiнiйних розмiрiв i величини введеної енергiї. КЛЮЧОВI СЛОВА: сферична оболонка, пульсацiї, рiдина, ввод енергiї The dynamic system consisting of the closed spherical shell filled with ideal coercible liquid with a spherical gas cavity in the center, is investigated. The mathematical model of the system is presented in a dimensionless form and its numeral solution is carried out. Dependences of the dynamics of system pulsations are considered on its linear sizes and size of the input energy. KEY WORDS: spherical shell, pulsations, liquid, input energy ВВЕДЕНИЕ Задачи гидроупругости, сферической оболочки заполненной жидкостью, исследовались во мно- гих работах. Рассматривалось движение замкну- той сферической оболочки [1–5], а также полусфе- ры [6, 7] и шарового сектора [8]. Определены ча- стотные характеристики системы, зависимость ча- стот колебания от соотношения линейных разме- ров компонент системы. В работе [9] исследовались свободные колеба- ния системы, состоящей из замкнутой сфериче- ской оболочки, заполненной жидкостью с газовой полостью в центре системы. Внутренняя задача для газовой полости является источником возму- щения системы при вводе в нее энергии. Источни- ком поступающей энергии на практике может слу- жить электрический разряд, микровзрыв и т.д. Динамика сферической газовой полости опи- сывается моделью, предложенной в работе К. А. Наугольных и Н. А. Роя [10]. В соответствии с этой моделью функции, описывающие поведе- ние газа в полости, осредняются по радиусу. В результате давление в полости зависит только от времени, т.е. зависит от ввода энергии. Однако удовлетворяются условия сопряжения для давле- ний и скоростей на поверхности раздела газовой полости и жидкой среды. Цель данной работы – исследование степени влияния волновых процессов в жидкости на об- щую динамику системы, состоящей из сфериче- ского пузырька, жидкости и сферической оболоч- ки. Деформация пузырька предполагается центро- сферически симметричной, а деформация оболоч- ки не симметрична в связи с различными услови- ями ее закрепления. Задачи исследования. Представить систе- му разрешающих уравнений модели [9] в безра- змерной форме, выделив безразмерный комплекс, определяющий ее динамику. Рассмотреть влияние начальных параметров системы на ее динамику, установить общие закономерности волновых про- цессов в жидкости и их влияние на пульсации оболочки и газовой полости. Исследовать влия- ние относительных размеров полости и оболочки, а также способов закрепления оболочки на волно- вые процессы в жидкости. Гипотезы. Форма пузырька предполагается сферической на протяжении всего рассматривае- 70 c© А. В. Шептилевский, В. М. Косенков, 2014 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 1. С. 70 – 77 мого процесса. Учитывается геометрическая не- линейность пульсаций полости, когда перемеще- ние её границы превышает пространственный шаг дискретизации области. Жидкость предполагается идеальной сжимае- мой. Это позволяет рассматривать задачу в потен- циальной постановке. Оболочка – изотропная, упругая, постоянной толщины. Движение оболочки рассматривается в линейной постановке с учётом возможного отрыва жидкости от поверхности на границе раздела сред. Взаимодействие жидкости с газовой полостью определяется условиями контактного взаимодей- ствия. Поскольку жидкость идеальная, то каса- тельные напряжения на границе раздела сред при- нимаем равными нулю. Взаимодействие жидко- сти и оболочки определяются условиями равен- ства нормальных перемещений и нормальных на- пряжений. Такое предположение допустимо, так как погрешность при использовании условий пол- ного контакта и модели “проскальзывания” для за- полненной жидкости не превышает 2% [11]. В общем случае оболочка контактирует с внеш- ней средой (вода или воздух), что приводит к дис- сипации энергии. При этом внешняя среда опи- сывается волновым уравнением, на границе конта- кта удовлетворяются условия сопряжения, а так- же условия Зоммерфельда [13]. В данной статье проводятся оценки волновых процессов без уче- та диссипации энергии [14–16]. Решения постро- ены методом конечных разностей. Представляет интерес построение решений разложением по мо- дам собственных колебаний гидроупругой систе- мы. 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Для преобразования системы к безразмерному виду достаточно рассмотреть три характерных (первичных) величины [12, 13]: время, линейный размер, массу. В качестве характерных принима- ем: период собственных колебаний оболочки – Ts, радиус оболочки – Rs, плотность оболочки – ρs. В этом случае безразмерные величины вводятся по формулам: P = ρsR 2 s T 2 s P̃ , εij = ε̃ij , χij = 1 Rs χ̃ij , Tij = ρsR 3 s T 2 s T̃ij , Mij = ρsR 4 s T 2 s M̃ij , Qi = ρsR 3 s T 2 s Q̃i, σij = ρsR 2 s T 2 s σ̃ij , f = R2 s Ts f̃ , E = ρsR 2 s T 2 s Ẽ, (1) R̃s = 1, ρ̃s = 1. Приведем постановку задачи в безразмерной форме в соответствии с формулами (1). Уравне- ния движения оболочки [9]записываются следую- щим образом ∂T̃11 ∂θ + 1 sin θ ∂T̃12 ∂ϕ + ( T̃11 − T̃22 ) ctgθ−Q̃1+q̃1 = h̃ ∂2ũ ∂t̃2 ; ∂T̃12 ∂θ + 1 sin θ ∂T̃22 ∂ϕ +2T̃12ctg θ−Q̃2 + q̃2 = h̃ ∂2ṽ ∂t̃2 ; (2) ∂Q̃1 ∂θ + 1 sin θ ∂Q̃2 ∂ϕ +Q̃1ctg θ+ T̃11+ T̃22− q̃3 = −h̃ ∂2w̃ ∂t̃2 ; ∂M̃11 ∂θ + 1 sin θ ∂M̃12 ∂ϕ + ( M̃11 − M̃22 ) ctg θ = = Q̃1 + h̃3 12 ∂2θ∗ ∂t̃2 ; ∂M̃12 ∂θ + 1 sin θ ∂M̃22 ∂ϕ + 2M̃12ctg θ = Q̃2 + h̃3 12 ∂2ϕ∗ ∂t̃2 . Физические и геометрические соотношения: деформации и соответствующие им усилия ε̃11 = ∂ũ ∂θ + w̃; ε̃22 = ( 1 sin θ ∂ṽ ∂ϕ + ũctgθ + w̃ ) ; ε̃12 = 1 2 ( 1 sin θ ∂ũ ∂ϕ + ∂ṽ ∂θ −ṽctg θ ) ; ε̃13 = 1 2 ( ∂ũ ∂R̃ − ũ + ∂w̃ ∂θ ) ; ε̃23 = 1 2 ( 1 sin θ · ∂w̃ ∂ϕ + ∂ṽ ∂R̃ − ṽ ) ; T̃11 = Ẽh̃ 1 − υ2 (ε̃11 + υε̃22) ; T̃22 = Ẽh̃ 1 − υ2 (ε̃22 + υε̃11) ; T̃12 = Ẽh̃ 1 + υ ε̃12, χ̃11 = ∂θ∗ ∂θ ; повороты и соответствующие им моменты и по- перечные силы χ̃22 = ( 1 sin θ ∂ϕ∗ ∂ϕ + θ∗ctg θ ) ; χ̃12 = ( 1 sin θ ∂θ∗ ∂ϕ − ϕ∗ctg θ − ∂ṽ ∂θ ) ; А. В. Шептилевский, В. М. Косенков 71 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 1. С. 70 – 77 M̃11 = Ẽh̃3 12 (1 − υ2) (χ̃11 + υχ̃22) ; M̃22 = Ẽh̃3 12 (1 − υ2) (χ̃22 + υχ̃11) ; M̃12 = Ẽh̃3 12 (1 + υ) χ̃12, Q̃1 = Ẽh̃ 1 + υ ε̃13, Q̃2 = Ẽh̃ 1 + υ ε̃23. Уравнение Коши-Лагранжа: P̃ = P̃0 − ρ̃l ∂f̃ ∂t̃ , волновое уравнение: ∂2f̃ ∂t̃2 = c2 T 2 s R2 s [ 1 r̃2 ∂ ∂r̃ ( r̃2 ∂f̃ ∂r̃ ) + + 1 r̃2 sin θ ∂ ∂θ ( sin θ ∂f̃ ∂θ ) + 1 r̃2 sin2 θ ∂2f̃ ∂ϕ2 ] . Динамика газовой полости описывается уравне- нием баланса энергии [10]: 1 γ − 1 d dt̃ ( P̃b · Ṽb ) + P̃b dṼb dt̃ = Ñ (t) . Условия сопряжения, определяющие взаимодей- ствие жидкости и газовой полости, имеют вид: P̃ b = P̃ ∗; ∂R̃b ∂t̃ = ∂f̃ ∂r̃ , условия на границе жидкости и оболочки: q̃3 = P̃ ∗∗; ∂ w̃ ∂ t̃ = ∂f̃ ∂r̃ Каждая из компонент системы имеет свой пери- од собственных пульсаций. Период собственных пульсаций полости вычисляется по формуле [14, 15]: T 0 b = 2πR0 √ ρ0 3γP0 , (3) где R0 – среднее значение радиуса полости, отно- сительно которого происходят пульсации; ρ0 – плотность жидкости; P0 – давление в жидкости; γ – показатель адиабаты. Период собственных пульсаций оболочки нахо- дится по формуле [16]: T 0 s = 2πRs √ ρs (1 − ν) 2E , (4) где Rs – радиус оболочки, относительно которого она пульсирует; ρs – плотность материала оболоч- ки; ν – коэффициент Пуассона; E – модуль упру- гой деформации. На пульсации системы влияют также волновые процессы в жидкости. Время пробега волн нахо- дится из условия T 0 l = 2 (Rs − Rb) c0 . (5) При вводе энергии в газовую полость система выходит из состояния равновесия, при этом ка- ждый компонент системы пульсирует с определён- ным периодом. Период пульсации системы зависит от её линейных размеров, при этом начальный ра- диус полости не оказывает существенного влияния на общую динамику, а величиной радиуса оболоч- ки в совокупности с количеством введённой энер- гии характеризуется динамика системы. В зависимости от относительной амплитуды и скорости пульсаций газовой полости изменение давления в жидкости обусловлиется квазистати- ческими или волновыми явлениями. При относи- тельно малой скорости пульсации полости ампли- туда волн в жидкости мала, поэтому давление в ней определяется изменением объема газовой по- лости. В случае больших скоростей пульсации по- лости волновые процессы в жидкости преоблада- ют и наблюдается неравномерное распределение давления в жидкости по отношению к среднему давлению [17]. 2. РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ Влияние радиуса оболочки на динамику жидко- сти рассмотрено при следующих параметрах: на- чальное давление P̃0 = 7.2 · 10−6 (P0 = 0.1 МПа), радиус оболочки R̃s = 1 (0.1 м≤ Rs ≤ 1 м), обо- лочка стальная, плотность жидкости ρ̃l = 0.128 (ρl =1000 кг/м3), начальный радиус полости 0.001 ≤ R̃b0 ≤ 0.01 (Rb0 =1 мм), величина введенной в по- лость энергии Ẽ0 = 7.2 · 10−10 (E0 =10 Дж). Замкнутость объёма жидкости, ограниченной оболочкой, приводит к ограничению роста газовой полости. Увеличение радиуса оболочки приводит к увеличению амплитуды и периода пульсаций по- лости (рис. 1), которые стремятся к значениям в неограниченной сжимаемой жидкости [14]. При этом изменение относительного радиуса по- лости уменьшается. Интенсивность изменения пе- риода пульсации полости тем выше, чем ближе начальное значение радиуса к радиусу оболочки. 72 А. В. Шептилевский, В. М. Косенков ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 1. С. 70 – 77 Рис. 1. Изменение радиуса полости при различных радиусах ограничивающей оболочки: R=0.1 м – пунктирная линия; R=0.2 м – штриховая линия; R=0.5 м – тонкая сплошная линия; неограниченная жидкость – сплошная жирная линия Поскольку период пульсаций полости линейно за- висит от радиуса оболочки, то период пульсаций полости увеличивается (штриховые линии рис. 2). При существенном отличии начального радиуса полости от радиуса оболочки изменение периода и амплитуды пульсаций происходят не так интен- сивно (рис. 1) и это приводит к уменьшению без- размерного периода пульсаций (сплошные линии, рис. 2). Рис. 2. Изменение относительного радиуса полости при различных радиусах ограничивающей оболочки: R̃=0.01 – пунктирная линия; R̃=0.005 – штриховая линия; R̃=0.002 – тонкая сплошная линия; R̃=0.001 – сплошная жирная линия Динамика пульсаций оболочки существенно за- висит от радиуса оболочки (рис. 3). Радиальное перемещение оболочки характеризуется наличи- ем низкочастотных и высокочастотных составля- ющих. Низкочастотные пульсации соответствуют росту газовой полости, а высокочастотные – вре- мени пробега волны в жидкости. В безразмерных переменных амплитуда переме- Рис. 3. Перемещение оболочки при различных значениях ее начального радиуса: R̃=0.01 – пунктирная линия; R̃=0.005 – штриховая линия; R̃=0.002 – тонкая сплошная линия; R̃=0.001 – сплошная жирная линия щений оболочки уменьшается, а изменения отно- сительного периода низкочастотных пульсаций оболочки – увеличиваются (рис. 4). Рис. 4. Изменение относительного перемещения оболочки при различных значениях радиуса ограничивающей оболочки: R̃=0.01 – пунктирная линия; R̃=0.005 – штриховая линия; R̃=0.002 – тонкая сплошная линия; R̃=0.001 – сплошная жирная линия Высокочастотные составляющие пульсаций сре- динной поверхности оболочки связаны с волно- выми процессами в жидкости, их период (pис. 5) совпадает со временем пробега волны в жидко- сти, определяемым по формуле (5). Отличие ра- счётных значений (сплошная линия) от вычислен- ных по формуле (4) (штриховая линия) связано с движением поверхности границы полости и изме- нением при этом длины пути пробега волны в жид- кости. Низкочастотные колебания связаны с процесса- ми движения полости в жидкости, что вызывает изменение объема оболочки. А. В. Шептилевский, В. М. Косенков 73 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 1. С. 70 – 77 Рис. 5. Период высокочастотных составляющих динамики пульсации оболочки: расчетные значения – сплошная линия, вычисленные по формуле (5) – штриховая линия Рис. 6. Относительный период высокочастотных составляющих динамики пульсации оболочки: расчетные значения – сплошная линия, вычисленные по формуле (5) – штриховая линия Как видно из рис. 1 и 2, максимальная амплиту- да достигается в первый период после ввода энер- гии в газовую полость. Не всегда компоненты сис- темы пульсируют с одинаковым периодом (рис. 7– 9). Если радиус оболочки не превышает 0.3 м, ее период (штриховая линия) практически совпадает с периодом пульсации полости (сплошная линия) как при первой, так и при последующих пульсаци- ях. Штриховой линией представлен период пуль- сации пустой оболочки, вычисленный по форму- ле (4), который при любых значениях радиуса оболочки существенно меньше реального перио- да пульсации оболочки, как элемента замкнутой системы. Период пульсации полости для значений радиуса оболочки, больших 0.3 м, определённый в результате математического моделирования, отли- чается от периода, вычисленного по формуле (4), менее чем на 3%. В пределах изменения энергии от Ẽ0 = 7.2·10−10 до Ẽ0 = 3.6 · 10−9 можно говорить о едином пери- оде пульсаций системы для радиусов оболочки, не превышающих 0.3 м. При этом период пульсации полости превышает период пульсации оболочки не более чем на 7% (рис. 7, 8). Для второй и после- дующих пульсаций отличие периодов составляет около 3% (рис. 9). Рис. 7. Первый период пульсаций компонентов системы: результат моделирования полости – жирная сплошная линия, полости вычисленный по формуле (3) – тонкая сплошная линия, результат моделирования оболочки – жирная штриховая, оболочки вычисленный по формуле (2) – тонкая штриховая Рис. 8. Первый относительный период пульсаций компонентов системы: результат моделирования пульсаций полости – сплошная линия, вычисления по формуле (3) – пунктирная линия, результат моделирования оболочки – штриховая Динамика оболочки обусловлена двумя факто- рами – общее изменение объема жидкости за счёт роста газовой полости (низкочастотные состав- ляющие) и распространение волны в жидкости (высокочастотные составляющие) (рис. 3, 4). Сте- пень влияния этих факторов различна при разных значениях относительного радиуса полости и ве- личины вводимой энергии. Рассматривая отноше- ние амплитуды высокочастотных составляющих 74 А. В. Шептилевский, В. М. Косенков ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 1. С. 70 – 77 Рис. 9. Второй период пульсаций компонентов системы: результат моделирования пульсаций полости – жирная сплошная линия, вычисления по формуле (3) – тонкая сплошная линия, результат моделирования пульсации оболочки – жирная штриховая, вычисления по формуле (4) – тонкая штриховая) AВ к амплитуде низкочастотных AH (рис. 10), ви- дим, что при достаточно больших значениях ра- диуса оболочки, когда влияние изменения объема жидкости мало, волновые процессы в жидкости существенно влияют на динамику оболочки. Рис. 10. Отношение амплитуд высокочастотных к низкочастотным составляющим: сплошная линия – первая пульсация, штриховая – вторая пульсация, жирные – для Е=10Дж, тонкие – для Е=50 Дж При увеличении количества вводимой энергии для малых значений радиуса оболочки (до 1 м) отношение высокочастотных составляющих к низ- кочастотным возрастает. Это связано с увеличе- нием энергии волны, распространяющейся в жид- кости и оказывающей влияние на оболочку. Для различных значений вводимой энергии наблюда- ются интервалы относительных размеров оболоч- ки, при которых квазистатические явления прео- бладают над волновыми. Для Е=10 Дж – это ин- тервал от 0.1 до 0.3 м, для Е=50 Дж – от 0.3 до 0.5 м (рис. 10). При увеличении радиуса оболоч- ки и, как следствие, увеличения объема жидкости, волновые процессы в ней начинают оказывать все большее влияние на оболочку по сравнению с об- щим изменением давления в жидкости, и относи- тельная амплитуда высокочастотных и низкоча- стотных колебаний (AВ/AН) возрастает. Рис. 11. Отношение амплитуд высокочастотных к низкочастотным составляющим: сплошная линия – первая пульсация, штриховая – вторая пульсация, жирные – для Ẽ = 7.2 · 10 −10, тонкие – для Ẽ = 3.6 · 10 −9 При увеличении вводимой энергии для малых значений радиуса оболочки (Ẽ = 3.6 · 10−9, R̃b0 > 0.004) волновые процессы в жидкости оказывают существенное влияние на оболочку, это связано с импульсным вводом энергии в газовую полость и формированием волны давления с большей ампли- тудой. В случае жесткого закрепления оболочки в по- люсах перемещения оболочки в точках закрепле- ния не происходят. Рассмотрим случай вводимой энергии Е=10 Дж, как и в случае незакрепленной оболочки. Динамика полости с увеличением ради- уса оболочки всё меньше будет отличаться от ди- намики полости для случая незакрепленной обо- лочки (рис. 11). Для значений радиуса оболочки, больших 0.5 м, её пульсации на экваторе практи- чески совпадают с незакреплённой оболочкой, а при значениях радиуса оболочки, меньших 0.5 м, амплитуда пульсаций оболочки ∆w, закреплённой в полюсах больше, чем незакреплённой (рис. 5). Это можно объяснить отсутствием фокусировки волны давления в жидкости, как при незакреплен- ной оболочке. Движения оболочки в случае ее закрепления в полюсах симметричны относительно плоскости экватора, для описания пульсаций оболочки до- статочно рассмотреть ее динамику на одном из меридианов. Амплитуда закрепленной оболочки А. В. Шептилевский, В. М. Косенков 75 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 1. С. 70 – 77 Рис. 12. Изменение пульсации полости: жирная сплошная линия – при незакрепленной оболочке для Rs =0.2 м, штрих пунктирная линия – при закреплении оболочке для Rs =0.2 м, тонкая сплошная линия – при незакрепленной оболочке для Rs =0.6 м, тонкая штриховая линия – при закрепленной оболочке для Rs =0.6 м Рис. 13. Изменение амплитуды пульсаций полости: жирные линии – первая пульсация, тонкие – вторая, сплошные линии для случая закрепленной оболочки в полюсах, штриховая – для случая незакрепленной оболочки превышает амплитуду пульсации незакрепленной оболочки вдали от её полюсов (рис. 12–14). ВЫВОДЫ В результате проведенных исследований дина- мики системы, состоящей из сферической оболоч- ки, заполненной жидкостью, в центре которой расположена сферическая полость, при различ- ных относительных размерах элементов системы и способах закрепления оболочки установлено: – пульсации оболочки характеризуются двумя составляющими, одна из которых зависит от пуль- саций полости, а вторая – от волновых процессов в жидкости. Влияние волновых процессов возраста- ет при увеличении энергии, введённой в полость; Рис. 14. Изменение амплитуды первой пульсации оболочки: тонкая линия – при θ = π/2 для закрепленной оболочки, жирная линия – при θ = π/4 для закрепленной оболочки, штриховая линия – для незакрепленной оболочки – в пределах изменения безразмерной энергии от 7.2 · 10−10 до 3.6 · 10−9 период пульсаций полости превышает период пульсации оболочки не более чем на 7%, если радиус оболочки не превышает 0.3 м. Для второй и последующих пульсаций отличие периодов составляет около 3%; – амплитуда пульсаций жeстко закреплённой в полюсах сферической оболочки вблизи её эквато- ра превышает в 2–3 раза пульсации незакреплён- ной оболочки при прочих равных условиях. 1. Кобычкин В.С., Шмаков В.П. Исследование ча- стот колебаний сферической оболочки, заполнен- ной жидкостью // Строительная механика и ра- счет сооружений.– 1962.– № 2.– С. 49–54. 2. Ali E. Engin Vibrations of fluid-filled spherical shells // J. Acoust. Soc. Amer.– 1969.– V.46. № 1. Pt. 2.– P. 186–190. 3. Mingsion R. Bai., Kuorung Wu Free vibration of a thin spherical shell containing a compressible fluid // Acoust. Soc. Amer.– 1994.– V. 95, № 6.– P. 3300– 3310. 4. Clyde Scandrett Scattering and active acoustic control from a submerged spherical shell // J. Acoust. Soc. Amer.– 2002.– V. 11, № 2.– P. 893–907. 5. Shah S.A., Tajuddin M. On axially symmetric vi- brations of fluid filled poroelastic spherical shells // Open Journal of Acoustics.– 2011.– № 1.– P. 15–26. 6. Самойлов Е.А., Павлов Б.С. Колебания полусфе- рической оболочки, заполненной жидкостью // Известия ВУЗов. Авиационная техника.– 1964.– Е. 7, № 3.– С. 73–86. 7. Kohsetsu Yuji Simplified method of axisymmetric fluid-structure coupled vibrations analysis for pressurized tank of rocket // Trans. Jap. Mech. Eng. Nihon kikai gakkai ronbunshu.– 1999.– V 65, № 636.– P. 50–57. 8. Лавров Ю.А., Лукьянов В.Д. Собственные коле- бания сосуда с жидкостью в форме шарового се- ктора // Акустический журнал.– 2002.– T. 48, № 6.– С. 799–804. 76 А. В. Шептилевский, В. М. Косенков ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 1. С. 70 – 77 9. Sheptilevskiy A. V., Kosenkov V. M., Selezov I. T. Three-dimensional model of a hydroelastic system bounded by a spherical shell // J. Math. Sci.– 2013.– 190, N 6.– P. 823-834. 10. Наугольных К.А., Рой Н.А. Электрические разря- ды в воде.– М.: Наука, 1971.– 155 с. 11. Сапожников С.Б., Фот Е. Я., Мокеев В.В. Экспе- риментальное и численное исследование колеба- ний тонкостенной оболочки, заполненной вязкоу- пругой жидкостью // Известия Челябинского на- учного центра.– 2004.– Bып. 4(26).– С. 66–70. 12. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука.–1976.– T. 1.– 536 с.; Т.2.– 574 с. 13. Селезов И.Т., Селезова Л.В. Волны в магнитоги- дроупругих средах. – Киев: Наук. думка, 1975. – 164 с. 14. Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г., Шрейбер И.Р. Вол- новая динамика газо- и парожидкостных сред.– М: Энергоатомиздат, 1990.– 248 с. 15. Иванов В.А., Ильгамов М.А. Исследование соб- ственных колебаний сферической оболочки, содер- жащей сплошное упругое тело и газ.// Сб. научн. тр. Исследования по теории пластин и оболочек.– Казань, 1967. – Bып.5. – С. 397-409. 16. Шептилевский А.В. Динамика пульсаций газовой полости в сжимаемой жидкости в результате эле- ктроразрядного ввода энергии // Электронная об- работка материалов, – 2013, 49(4).– C. 94–99. 17. Селезов И. Т., Кривонос Ю. Г. Математические методы в задачах распространения и дифракции волн.– Киев: Наук. думка, 2012.– 213 с. А. В. Шептилевский, В. М. Косенков 77

Пульсации сферической оболочки с жидкостью при вводе энергии в центре

Institution

Ähnliche Einträge