Нелинейные изгибно-гравитационные волны в море, покрытом льдом

Разложением по малому параметру исходной трехмерной задачи о гидроупругих колебаниях системы "упругая пластина - слой идеальной несжимаемой жидкости" получено обобщенное уравнение типа Кадомцева-Петвиашвили, описывающее распространение длинных двумерных изгибно-гравитационных волн в море,...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2014
Main Authors:	Гончаренко, Т.Б., Яковлев, В.В.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут гідромеханіки НАН України 2014
Series:	Прикладна гідромеханіка
Subjects:	Науковi статтi
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116489
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Нелинейные изгибно-гравитационные волны в море, покрытом льдом / Т.Б. Гончаренко, В.В. Яковлев // Прикладна гідромеханіка. — 2014. — Т. 16, № 4. — С. 28-38. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-116489
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1164892025-02-09T09:49:54Z Нелинейные изгибно-гравитационные волны в море, покрытом льдом Нелінійні згинно-гравітаційні хвилі у морі, вкритому кригою Nonlinear flexible-gravitational waves in the sea covered with ice Гончаренко, Т.Б. Яковлев, В.В. Науковi статтi Разложением по малому параметру исходной трехмерной задачи о гидроупругих колебаниях системы "упругая пластина - слой идеальной несжимаемой жидкости" получено обобщенное уравнение типа Кадомцева-Петвиашвили, описывающее распространение длинных двумерных изгибно-гравитационных волн в море, покрытом льдом. В предположении периодичности по поперечной координате построено точное решение полученного уравнения в виде волнового пакета. Определены соотношения между характерными параметрами задачи, которые обеспечивают существование такого решения. Розкладанням за малим параметром вихідної тривимірної задачі про гідропружні коливання системи "пружня пластина - шар ідеальної нестисливої рідини" отримано узагальнене рівняння типу Кадомцева-Петвіашвілі, яке моделює розповсюдження довгих двовимірних згинно-гравітаційних хвиль у морі, вкритому кригою. В припущенні періодичності за поперечною координатою побудовано точний розв'язок отриманого рівняння у вигляді хвильового пакету. Визначені співвідношення між характерними параметрами задачі, що забезпечують існування такого розв'язку. The generalised equation of Kadomtsev-Petviashvily type, which describes the propagation of long 2D flexible-gravitational waves in the sea, covered with ice, has been built using the expansion of initial 3D problem of hydro-elastic vibrations of the "flexible plate - layer of ideal incompressible fluid" system in terms of a small parameter. Supposing the periodicity with respect to transverse coordinate the exact solution of the equation has been received. The relationship among character parameters of the problem, which allows the existing of such a solution, has been defined. 2014 Article Нелинейные изгибно-гравитационные волны в море, покрытом льдом / Т.Б. Гончаренко, В.В. Яковлев // Прикладна гідромеханіка. — 2014. — Т. 16, № 4. — С. 28-38. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116489 533.6.013.42 ru Прикладна гідромеханіка application/pdf Інститут гідромеханіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Науковi статтi Науковi статтi
spellingShingle	Науковi статтi Науковi статтi Гончаренко, Т.Б. Яковлев, В.В. Нелинейные изгибно-гравитационные волны в море, покрытом льдом Прикладна гідромеханіка
description	Разложением по малому параметру исходной трехмерной задачи о гидроупругих колебаниях системы "упругая пластина - слой идеальной несжимаемой жидкости" получено обобщенное уравнение типа Кадомцева-Петвиашвили, описывающее распространение длинных двумерных изгибно-гравитационных волн в море, покрытом льдом. В предположении периодичности по поперечной координате построено точное решение полученного уравнения в виде волнового пакета. Определены соотношения между характерными параметрами задачи, которые обеспечивают существование такого решения.
format	Article
author	Гончаренко, Т.Б. Яковлев, В.В.
author_facet	Гончаренко, Т.Б. Яковлев, В.В.
author_sort	Гончаренко, Т.Б.
title	Нелинейные изгибно-гравитационные волны в море, покрытом льдом
title_short	Нелинейные изгибно-гравитационные волны в море, покрытом льдом
title_full	Нелинейные изгибно-гравитационные волны в море, покрытом льдом
title_fullStr	Нелинейные изгибно-гравитационные волны в море, покрытом льдом
title_full_unstemmed	Нелинейные изгибно-гравитационные волны в море, покрытом льдом
title_sort	нелинейные изгибно-гравитационные волны в море, покрытом льдом
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate	2014
topic_facet	Науковi статтi
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116489
citation_txt	Нелинейные изгибно-гравитационные волны в море, покрытом льдом / Т.Б. Гончаренко, В.В. Яковлев // Прикладна гідромеханіка. — 2014. — Т. 16, № 4. — С. 28-38. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
series	Прикладна гідромеханіка
work_keys_str_mv	AT gončarenkotb nelinejnyeizgibnogravitacionnyevolnyvmorepokrytomlʹdom AT âkovlevvv nelinejnyeizgibnogravitacionnyevolnyvmorepokrytomlʹdom AT gončarenkotb nelíníjnízginnogravítacíjníhvilíumorívkritomukrigoû AT âkovlevvv nelíníjnízginnogravítacíjníhvilíumorívkritomukrigoû AT gončarenkotb nonlinearflexiblegravitationalwavesintheseacoveredwithice AT âkovlevvv nonlinearflexiblegravitationalwavesintheseacoveredwithice
first_indexed	2025-11-25T12:19:59Z
last_indexed	2025-11-25T12:19:59Z
_version_	1849764826443677696
fulltext	ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 4. С. 28 – 38 УДК 533.6.013.42 НЕЛИНЕЙНЫЕ ИЗГИБНО-ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ В МОРЕ, ПОКРЫТОМ ЛЬДОМ Т. Б. Г ОН Ч А Р ЕН К О, В. В. Я К О В Л ЕВ Институт гидромеханики НАН Украины, Киев 03680 Киев – 180, МСП, ул. Желябова, 8/4 vvyak@yandex.ua Получено 07.09.2014 Разложением по малому параметру исходной трехмерной задачи о гидроупругих колебаниях системы “упругая пла- стина – слой идеальной несжимаемой жидкости” получено обобщенное уравнение типа Кадомцева-Петвиашвили, описывающее распространение длинных двумерных изгибно-гравитационных волн в море, покрытом льдом. В предположении периодичности по поперечной координате построено точное решение полученного уравнения в виде волнового пакета. Определены соотношения между характерными параметрами задачи, которые обеспечивают существование такого решения. КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: гидроупругие колебания, двумерные изгибно-гравитационные волны, динамическая система, периодические решения Розкладанням за малим параметром вихiдної тривимiрної задачi про гiдропружнi коливання системи “пружня пластина – шар iдеальної нестисливої рiдини” отримано узагальнене рiвняння типу Кадомцева-Петвiашвiлi, яке моделює розповсюдження довгих двовимiрних згинно-гравiтацiйних хвиль у морi, вкритому кригою. В припущеннi перiодичностi за поперечною координатою побудовано точний розв’язок отриманого рiвняння у виглядi хвильового пакету. Визначенi спiввiдношення мiж характерними параметрами задачi, що забезпечують iснування такого розв’язку. КЛЮЧОВI СЛОВА: гiдропружнi коливання, двовимiрнi згинно-гравiтацiйнi хвилi, динамiчна система, перiодичнi розв’язки The generalised equation of Kadomtsev-Petviashvily type, which describes the propagation of long 2D flexible-gravitational waves in the sea, covered with ice, has been built using the expansion of initial 3D problem of hydro-elastic vibrations of the “flexible plate – layer of ideal incompressible fluid” system -in terms of a small parameter. Supposing the periodicity with respect to transverse coordinate the exact solution of the equation has been received. The relationship among character parameters of the problem, which allows the existing of such a solution, has been defined. KEY WORDS: hydro-elastic vibrations, 2D flexible-gravitational waves, dynamic system, periodical solutions ВВЕДЕНИЕ Учет нелинейных эффектов в граничных усло- виях на поверхности жидкости приводит к по- лучению новых, по сравнению с линейными мо- делями, типов уравнений, описывающих распро- странение изгибно-гравитационных волн. Стан- дартные подходы к построению решений получен- ных нелинейно-дисперсионных уравнений не при- менимы, и актуальным является построение при- ближенных решений или хотя бы областей су- ществования этих решений. Нелинейные изгибно- гравитационные волны представляют собой ком- бинацию изгибной волны в ледяной пластине, пла- вающей на поверхности жидкости, и гравитацион- ной волны. Существование этих волн обусловле- но уравновешиванием давления жидкости, с одной стороны, и сил инерции массы льда и упруго- сти пластины, с другой стороны. Сложность со- ответствующих граничных условий и необходи- мость учитывать нелинейные эффекты, которые приводят к получению новых по сравнению с ли- нейными моделями типов решений, описывающих поверхностные волны, ведут к новым попыткам как построения модельных уравнений, так и пои- ска их решений или хотя бы областей существова- ния решений различного характера. 1. ДВУМЕРНЫЕ ИЗГИБНО- ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ В МОРЕ, ПОКРЫТОМ СПЛОШНЫМ ЛЬДОМ Точное решение [1] обобщенного уравнения Кортевега-де-Вриза описывает распространение длинных нелинейных изгибно-гравитационных волн. Оно имеет структуру солитона с отрицатель- ной амплитудой. C возрастанием сложности рас- сматриваемых моделей вопросы, связанные с тра- диционными проблемами существования и един- ственности решения получаемых дифференциаль- ных уравнений, остаются без ответа [2], и основ- ным критерием адекватности модели или реше- 28 c© Т. Б. Гончаренко, В. В. Яковлев, 2014 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 4. С. 28 – 38 ния являются свойства соответственно модели или решения, соответствующие физике рассматривае- мого явления. Модель [1] очень хорошо отража- ет физику явления, поскольку полученное точное решение демонстрирует интересные и предполага- емые свойства солитонов с отрицательной ампли- тудой и, кроме того, это решение существует в не- прерывной области изменения физических пара- метров задачи. Известной моделью, в рамках которой описыва- ется двумерное солитоноподобное решение для волн на воде, является уравнение Кадомцева- Петвиашвили (КП). Это уравнение впервые было предложено в работе [3], где для его построе- ния использовались фактически общие представ- ления о характере физических сил, взаимодей- ствующих в данном процессе, и их математиче- ском описании. В обзоре [4] приведена работа 1998 г. [5], где получено уравнение КП для модели- рования изгибно-гравитационных и капиллярных волн. Однако один из основных эффектов, за счет которого и могут возникать наиболее интересные, в том числе солитоноподобные, решения, а имен- но влияние упругой пластины, при выводе урав- нения в [5] не учитывается. Авторы мотивируют это тем, что такой учет “не дает вклада в уравне- ние”. Но если учитывается нелинейность, присут- ствующая в классическом уравнении Эйлера, ло- гичным представляется хотя бы оценить, какого порядка вклад даст нелинейность за счет упругих сил. Учет, например, геометрически нелинейного прогиба упругой пластины дает добавку в коэф- фициент при третьей производной, а если гово- рить о решениях полученного уравнения или да- же об области существования возможных решений различного характера, это не может не влиять на результат. Некорректный учет влияния нелиней- ных эффектов, как, например, в работе [6], при- водит к неправильному моделированию исследуе- мых явлений, соответственно и к неточным выво- дам относительно существования волн того или иного характера в зависимости от параметров за- дачи. Искусственно вводя предварительное натя- жение пластины, автор [8, 6] предопределил на- личие дискретного спектра решений, при котором малое изменение одного из параметров приводит к исчезновению изгибно-гравитационного солито- на, что не соответствует физике рассматриваемого явления. 2. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ Основываясь на результатах [7], построим обоб- щенное уравнение типа Кадомцева – Петвиашви- ли (КП) для моделирования распространения дву- мерных изгибно-гравитационных волн в море, по- крытом сплошным льдом. Для вывода уравнения используем метод, известный давно и применяе- мый в той или иной форме для получения подо- бных моделей вплоть до последнего времени [5, 8]. С точки зрения авторов, данная форма метода построения уравнения более соответствует физике рассматриваемого явления, тогда как в работе [8] обоснованность выбранного ряда для представле- ния неизвестных функций не очевидна. Задача о гидроупругих колебаниях системы “упругая пластина – идеальная несжимаемая жид- кость” сводится к уравнению Лапласа относитель- но потенциала скоростей: β∇2ϕ + ϕzz = 0 (1) с соответствующими граничными условиями на дне ϕz + β( → ∇ϕ · → ∇H) = 0 (2) и на поверхности раздела лед – вода ζt + α[ζxϕx + ζyϕy]− 1 β ϕz = 0, (3) ζ + ϕt + 1 2 α(ϕ2 x + ϕ2 y) + 1 2 α β ϕ2 z+ +γζtt + δ∇4ζ − τ H 3 2 L(ζ, Φ) = 0, (4) где L(ζ, Φ) = ∂2ζ ∂x2 ∂2Φ ∂y2 + + ∂2ζ ∂y2 ∂2Φ ∂x2 − 2 ∂2ζ ∂x∂y ∂2Φ ∂x∂y ; (5) ∂2Φ ∂y2 = σx, ∂2Φ ∂x2 = σy, ∂2Φ ∂x∂y = −τ− компоненты тензора напряжений, ∇4Φ = L(η, η), (6) L(η, η) = ηxxηyy − η2 xy. Подстрочные индексы обозначают дифференци- рование по соответствующим переменным. Без- размерные переменные введены следующим обра- зом: (x∗, y∗) = (x, y)/λ, (z∗, d∗, h∗ 1) = (z, d, h1)/d0, Т. Б. Гончаренко, В. В. Яковлев 29 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 4. С. 28 – 38 ζ∗ = ζ/A, D∗ = D/gd4 0ρ0, t∗ = t √ gd0/λ, ρ∗i = ρi/ρ2, ϕ∗ = ϕ √ gd0/gλA, α = A d0 ; (7) β = ( d0 λ )2 ; γ = βρ1h1/ρ2d0; δ = βD/ ( ρ2gd2 0λ 2 ) ; i = 1, 2. E∗ = βE/((1 − ν2)ρ2gλ; ρ1, h1, D, E − соответственно плотность, толщи- на, цилиндрическая жесткость и модуль упругости пластины; ζ(x, y, t) – прогиб пластины; A, λ – ам- плитуда и длина волны; d0, ρ2 – характерная глу- бина жидкости и ее плотность. Построим длинноволновое приближение систе- мы уравнений (1)-(6) с помощью разложения по малому параметру: ϕ = ∞ ∑ n=0 βn(z + H)nfn(x, y, t). (8) Подставляя этот ряд в граничное условие на дне и приравнивая слагаемые при одинаковых степенях параметра β, получим соотношение f1 = − → ∇ f0 · → ∇H+ (9) +β( → ∇H · → ∇H)( → ∇ f0 · → ∇H). Подстановка ряда (8) в уравнение Лапласа (1) приводит к соотношениям для fn , n = 1, 2, 3, 4,. . . , которые можно выразить через f0. Подставляя эти соотношения в одно из условий на поверхно- сти раздела, с учетом только слагаемых поряд- ка α и β в предположении, что α и β – величи- ны одного порядка малости, получим следующее соотношение(f0 = f): ζt + → ∇ ·[(H + αζ) → ∇ f ]− −β( → ∇ f · → ∇H)( → ∇H → ∇H)− −βH → ∇H · → ∇( → ∇ f · → ∇H)− −β 2 H2 → ∇H · → ∇(∇2f)− −β 2 H2 → ∇·[∇2f → ∇H ]− −βH → ∇ ·[( → ∇ f · → ∇H) → ∇H ]− −β 2 H( → ∇H · → ∇H)∇2f− −β 2 H2∇2( → ∇ f · → ∇H)− −β 6 H3∇4f = 0. (10) Подставим разложение (8) в оставшееся гранич- ное условие на свободной поверхности и, также удерживая только слагаемые порядка α и β, по- лучим: ζ + γζtt + δ∇4ζ + ft− −βH( → ∇ ft · → ∇H) − β 2 H2∇2ft+ + α 2 ( → ∇ f)2 + O(β2) = 0. (11) Замена переменных s = βx, ξ = εy, ε = λ L = O(β 1 2 ), r = x ∫ 0 dp c(p, y) − t, c = √ H в предположении, что γ = O(β) и δ = O(β), пре- образует последние два уравнения к виду ζr − frr − α H (ζfr)r − 2βH 1 2 frs− −β 2 H−1 2 Hsfr + β H 6 frrrr − ε2[J2Hfrr+ +fr(JH)ξ + 2JHfrξ + (Hfξ)ξ] = O(β2), ζ − fr + α 2H f2 r + βH 2 frrr+ +γζrr − Tωx H ζrr + δζrrrrH −2 = O(εβ) , где ωx = Φyy, а T = αh1E ∗(1 − ν2)A/λ. После ряда преобразований, обозначая ζH 1 4 = h, приходим к следующему соотношению: hs + 3 2 α β H − 7 4hhr + 1 6 H 1 2 hrrr+ + γ 2β H− 1 2 hrrr − Tωx 2βH 3 2 hrrr + δ 2β H− 5 2 hrrrrr = = − ε2 2β H− 1 4 (Hfξ)ξ − ε2 2β H− 1 2 [J2Hhr+ +h(JH)ξ + 2HJhξ]. 30 Т. Б. Гончаренко, В. В. Яковлев ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 4. С. 28 – 38 Переходя к системе переменных (x, ξ, t) и умно- жая полученное в результате этого соотношение на H 1 2 β, получим: ht + H 1 2 hx + 3 2 αH−3 4 hhx + β 6 H 3 2 [H 1 2 (H 1 2 hx)x]x+ + γ 2 H 1 2 [H 1 2 (H 1 2 hx)x]x − Tωx 2H H 1 2 [H 1 2 (H 1 2 hx)x]x+ + δ 2 H− 3 2 [H 1 2 (H 1 2 (H 1 2 (H 1 2 hx)x)x)x]x = = −ε2H 1 4 (Hfξ)ξ . Подстановка в последнее соотношение h = H 3 4 fx с последующим сокращением на H 3 4 дает fxt + H 1 2 fxx + 3 2 αfxfxx + β 6 H 5 2 fxxxx+ + ( γ 2 −−Tωx 2H ) H 3 2 fxxxx+ + δ 2 H 1 2 fxxxxxx = −ε2 2 H 1 2 fξξ. Используя разложение дробных степеней H в ряд и обозначая η = fx, окончательно получим: ηt + ( 1 + 3 2 αη ) ηx + ( β 6 + γ 2 − −Tωx 2 ) ηxxx + δ 2 ηxxxxx = −ε2 2 fξξ. (12) Таким образом, мы получили уравнение, опи- сывающее распространение двумерных изгибно- гравитационных волн в море, покрытом спло- шным льдом. Как и в обобщенном уравнении КдВ [1], в этом уравнении появляется дополнительное слагаемое, включающее третью производную ηxxx, что приводит к существованию решений различно- го типа в зависимости от соотношения параметров при этой производной [1, 9]. 3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ Привлекательность данной модели связана пре- жде всего с тем, что для обобщенного уравнения КдВ, которое описывает рассматриваемые волны в случае одной пространственной переменной и является частным случаем построенного уравне- ния типа КП, получены точные решения в ви- де антисолитона, демонстрирующие характерные для волн такого типа особенности [1]. Кроме того, для таких решений найдены непрерывные обла- сти изменения физических параметров, где они существуют. Поскольку современные математиче- ские модели настолько сложны, что доказатель- ство теоремы единственности и существования ре- шений представляет собой еще более сложную за- дачу, чем непосредственно построение решения, о правомочности решения свидетельствует его соо- тветствие физике явления [2]. Далее, это уравне- ние получено с учетом вклада упругих компонен- тов в слагаемых одного порядка. Трудности, связанные с решением уравнения (12), приводят к естественного рода упрощениям при попытках построить какое-либо аналитиче- ское его решение, например, к заданию определен- ных свойств, которыми решение должно обладать по новой переменной, т.е. по y. Например, пусть наше решение будет периодичным по y. Известно [4, 5], что в таких моделях интересующие нас со- литоноподобные решения возникают, в частности, при бифуркации из состояния покоя – из нулевого числа спектра линейного оператора. Представим наше уравнение в виде соответству- ющей динамической системы. В уравнении ηtx + ηxx + 3α 2 (ηηx)x+ + ( β 6 + γ 6 − Tωx 2 ) ηxxxx+ + δ 2 ηxxxxxx = −ε2 2 ηyy (13) произведем замену переменной x̃ = x − Ut. Опу- ская тильду, перепишем его в виде 2(1 − U) δ ηxx + 3α δ (ηηx)x + 1 δ ( β 3 + γ− −Tωx)ηxxxx + ηxxxxxx = −ε2 δ ηyy. (14) Обозначим V = 2(1 − U) δ , N = 1 δ ( β 3 + γ − Tωx ) , M = −ε δ 2 , D = 3α δ . (15) Имеем: V ηxx + D(ηηx)x + Nηxxxx + ηxxxxxx = Mηyy. (16) В этом уравнении можно избавиться от коэф- фициентов посредством масштабной замены пере- менных, но мы пока что этого делать не будем для Т. Б. Гончаренко, В. В. Яковлев 31 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 4. С. 28 – 38 того, чтобы оценить интересующие нас собствен- ные значения в зависимости от физических пара- метров задачи. Общий подход к решению уравнений такого ти- па состоит в следующем [4, 5]. Поскольку в типи- чной ситуации солитонное решение возникает как результат бифуркации из состояния покоя, то во- змущают параметр при производной, который и отвечает за такую бифуркацию. В уравнении (16) это, к примеру, V . Далее в уравнении выделяют линейную часть и нелинейную, причем во вторую относят и слагаемые, возникающие благодаря во- змущению. Для линейного оператора исследуют спектр, чтобы найти чисто мнимые собственные значения (СЗ), если они существуют, и проанали- зировать возможность их существования. Появле- ние сопряженных чисто мнимых собственных зна- чений в спектре линейного оператора как раз и свидетельствует о бифуркации, в результате кото- рой возникает солитонное решение [4, 10]. Исследуя динамику собственных значений, можно найти области изменения параметров за- дачи, в которых возможны такие бифуркации. По полученным собственным значениям опреде- ляют собственные векторы и проекции оператора на соответствующие инвариантные подпространс- тва. Наличие чисто мнимых СЗ говорит о суще- ствовании у оператора центрального многообра- зия, что позволяет понизить размерность рассма- триваемой задачи. Искомое решение можно по- строить, используя теорию нормальных форм и теорему о центральном многообразии [5]. Пусть V = V0+ε̃, где V0– некоторое фиксирован- ное значение, ε̃ – параметр возмущения. Предста- вим возмущенное уравнение в виде динамической системы: ẇ = Aw + F (ε̃, w), (17) где w = (η, η1, η2, η3, η4, η5) T , ηi = ∂i xη, i = 1, ...5, (18) A =         0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 M∂2 yy 0 −V 0 −N 0         , (19) F (ε̃, w) =         0 0 0 0 0 ε̃η2 − Dη2 q − Dηη2         . (20) Система обладает рядом симметрий. Она инва- риантна относительно трансляций по y, τaw(y) = w(y + a), относительно отражения Sw(y) = w(−y) и является обратимой. Ищем решение уравне- ния (12), 4l-периодическое по переменной y. Тогда спектр A составляют значения g, удовлетворяю- щие соотношению g6 + Ng4 − V0g 2 = −M k2π2 4l2 (21) для любого целого положительного k. Очевидно, случай k = 0 исключает зависимость по y и при- водит тем самым к обобщенному уравнению КдВ. Оператор A действительный, так что вследствие обратимости, если g – собственное значение, тако- выми будут и ḡ , и (−g). Как известно [4, 10], бифуркация из состояния покоя возникает при попадании собственных зна- чений линейного оператора на мнимую ось, т.е. мы будем искать g = iq, причем в силу выше сказанно- го достаточно рассмотреть вариант q > 0. В этом случае соотношение (21) принимает вид f(q) = −q6 + Nq4 + V0q 2 = −M k2π2 4l2 . (22) Правая часть положительна, так что при k 6= 0 равенство может иметь место только в том случае, если f(q) = 0 (23) имеет корни и соответственно существуют интер- валы изменения q, где функция положительна. Независимо от значения V0 всегда получим в качестве корня (23) двукратный ноль, что гово- рит о форме кривой, приведенной на рис. 1. Это следствие инвариантности оператора относитель- но трансляции η → η + const, V → V + const и его обратимости. На мнимую ось собственные значе- ния приходят парами (опять же вследствие обра- тимости), когда график функции касается гори- зонтальной прямой −M k2π2 4l2 (см. (22), рис. 1 ). Проанализируем поведение полинома. Наличие действительных корней определяется дискрими- нантом d = N2 + 4V0 и знаком N . Дискриминант неотрицателен в области вне параболы на рис. 2. Очевидно, что внутри параболы действительных корней, кроме двух нулей, полином не имеет. Не имеет он их также при κ = Nδ < 0 и U > 1 в обла- сти вне параболы. При κ = Nδ > 0 и U > 1 в обла- сти вне параболы полином имеет четыре действи- тельных корня помимо нуля, а при U < 1, незави- 32 Т. Б. Гончаренко, В. В. Яковлев ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 4. С. 28 – 38 симо от знака κ, – два. Соответственно для обла- сти III форма полинома представлена на рис. 1, а, для области IV – на рис. 1, b. Отсюда следует, что интересующие нас бифур- кации возможны для областей III и IV. Рассмотрим более подробно функцию f(q). Из (22) заключаем, что первая бифуркация происходит при f ′ q = 0, 2q(−3q4 + 2Nq2 + V0) = 0. (24) Из условия существования экстремума для функ- ции f(q) можем записать значение V0 = 3q4 0 − 2Nq2 0. (25) Подставив его в f(q), получим уравнение 2q6 0 − Nq4 0 = −M π2 4l2 , (26) где M < 0. Отсюда имеем q2 0 > N 2 ⇒ V0 > −N 4 и для обобщенного КдВ (26) имеет четырехкра- тный нулевой корень (случай вырождения) и еще два корня для положительных N . Следуя [5], получаем, что ∀l ∈ (0,∞) V0 ме- няется в интервале ( −N 4 ,∞ ) , и для любого V0 из этого интервала существует такой период, т.е. такое l, для которого V0 является точкой бифурка- ции. При l = ∞ ( V0 = −N 4 иV0 = 0 ) получаем 2D- решение (т.е. независимое от y решение обобщен- ного КдВ), возникшее из состояния покоя вслед- ствие бифуркации. Для V0 < 0 имеются четыре, для V0 > 0 – два дополнительных собственных значения, которые лежат на мнимой оси. Эти соб- ственные значения появляются вследствие влия- ния 2D-решений, возникающих по причине бифур- каций из V0 = −N 4 или V0 = 0. В целом этим влиянием на бифуркационную ди- аграмму нельзя пренебрегать. Если представить уравнение (16) в виде динамической системы (ДС) по переменной y, то можно увидеть, что стаци- онарные состояния такой ДС имеют структуру (0, ζ(x)), где ζ(x) – решение уравнения обобщенно- го КдВ [1]. В [1] возмущение параметра бифурка- ции, при котором возможно существование реше- ния солитонного типа, выражено непосредственно через физические параметры задачи, в чем ска- зывается преимущество сохранения их в явном ви- де (в коэффициентах уравнения модели) хотя бы до этапа построения ДС. a b Рис. 1. Форма полинома (23) при 1 < U < 1 + k2 8δ и k > 0 (a); U < 1 (b) Две новых пары СЗ приходят на мнимую ось, когда график полинома f(q) пересекает впер- вые следующую по k линию k2π2 4l2 , параллельную q−оси (см. рис. 1). Затем СЗ расходятся вдоль мнимой оси, причем кратность их зависит и от гра- ничных условий, которым искомое решение дол- жно удовлетворять по переменной y. Когда возникает вторая (следующая) бифурка- ция при (очередном) касании, первая не исчезает, только сдвигаются значения q, при которых она имеет место. Уравнение (16) аналитически исследовать до- статочно сложно. Несколько более легким в этом отношении является уравнение (26). Определяю- щее соотношение для его корней имеет вид: R = −N3 M + 27 k2π2 4l2 . (27) Т. Б. Гончаренко, В. В. Яковлев 33 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 4. С. 28 – 38 Рис. 2. Области существования корней полинома f(q) в плоскости (k, U) В зависимости от знака этого выражения мы бу- дем иметь один, два или три различных действи- тельных корня, причем нас интересует положи- тельный наибольший из них. При N > 0 правая часть, очевидно, положительна, при N < 0 линией раздела областей с различными знаками для R яв- ляется ветвь кубической параболы M < 0(рис. 3, ветвь 1). Выше этой ветви интересующее нас зна- чение положительно, ниже – отрицательно. Ана- логичная парабола, точнее, ее ветвь при M < 0 (рис. 3, ветвь 2), проходящая чуть выше первой, определяет наибольший корень (26). Рис. 3. Области существования корней полинома f(q) в плоскости (N, M) Область I на рис. 3 (R > 0) дает один действи- тельный корень уравнения (26), область II (R ≤ 0) – три, которые достаточно просто упорядочить. На рис. 3 положительная часть оси N и верхняя ветвь кубической параболы 2 служат границей, ниже которой наибольшим корнем будет z1 = −2r cos θ 3 , а выше – z2 = 2r ( 0.5 cos θ 3 + √ 3 2 sin θ 3 ) , где θ = Arc cos Q r3 ; Q = 1 8 ∗ 27 ( −N3 + 27 2 k2π2 l2 M ) ; r = sign (Q) \|N \| 6 . Единственный действительный корень в области I равен q0 = −2r ∗ ch θ 3 , ch θ = Q r3 . Таким образом, мы получили собственное значе- ние σ = iq0, при котором происходит интересую- щая нас бифуркация, и нашли соотношения .па- раметров задачи, при которых она может иметь место. Для построения решения произведем в уравне- нии (16) масштабную замену переменных, чтобы избавиться от коэффициентов при производных. В результате получим уравнение ∂2 yyη − V ∂2 xη + ∂x(η∂xη) + s∂4 xη + ∂6 xη = 0. (28) Положим V = V0 + ε̃, где V0– некоторое фикси- рованное значение, ε̃ – параметр возмущения. Для построения 4l- периодического по переменной y ре- шения представим возмущенное уравнение в виде динамической системы: ẇ = Aw + F (ε̃, w), (29) где w = (η, η1, η2, η3, η4, η5) T , ηi = ∂i xη, i = 1, ...5, (30) A =         0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 −∂2 yy 0 V0 0 −s 0         , (31) F (ε̃, w) =         0 0 0 0 0 ε̃η2 − η2 1 − ηη2         . (32) 34 Т. Б. Гончаренко, В. В. Яковлев ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 4. С. 28 – 38 Как и ранее, система обладает рядом симме- трий. Она инвариантна относительно трансляций по y, τaw(y) = w(y + a), относительно отражения Sw(y) = w(−y) и является обратимой. Определив для данного уравнения q0, построим собственные векторы линейного оператора. Собственные векторы, соответствующие СЗ ±iq0, т.е. такие ϕ0, что Aϕ0 = iq0ϕ0, имеют вид: ϕ0 = (1, iq0,−q2 0,−iq3 0 ,−iq3 0, q 4 0, iq 5 0) T cos ( π 2l y ) . Для нахождения присоединенного вектора имеем: Aϕ1 = iq0ϕ1 + ϕ0. Тогда ϕ1 = (0, 1, 2iq0,−3q2 0,−4iq3 0 ,−iq3 0, 5q4 0) T cos ( π 2l y ) . Искомое решение (28) может иметь только следу- ющий вид [5]: w = Fϕ0 + Gϕ1 + Fϕ0 + +Gϕ1 + Φ(ε, F, G, F,G). Последнее слагаемое включает члены более высо- кого порядка по своим аргументам, а амплитуды F, G удовлетворяют следующей системе диффе- ренциальных уравнений: Fx = iq0F + G + f(ε̃, F, G, F̄, Ḡ, Gx = iq0G + g(ε̃, F, G, F, G). (33) В нормальной форме наша система принимает вид: Fx = iq0F + G + iFP (ε̃, \|F \|2 , 1 2 i(FG− FG)), Gx = iq0G + iGP (ε̃, \|F \|2 , 12 i (FG− (34) −FG)) + FQ(ε̃, \|F \|2 , 1 2 i(FG − FG)), где P и Q – полиномы от своих аргументов с дей- ствительными коэффициентами. Пусть P (ε, v, K) = p1ε + p2v + p3K + O((\|ε\|+ \|v\|+ \|K\|)2), Q(ε, v, K) = q1ε + q2v + q3K + O((\|ε\| + \|v\| + \|K\|)2. Система (34) обладает двумя первыми интегра- лами: Z = i 2 (FG − FG), H = \|G\|2 − \|F \|2 ∫ 0 Q(ε, s, Z)ds. Коэффициент q1 легко вычислить. Он связан с собственными значениями линеаризации системы (34): σ = iq0 + iP (ε, 0, 0)± √ Q(ε, 0, 0, так что σ = iq0 ± √ q1ε̃ + ip1ε + O(\|ε̃\| 3 2 ). В рассматриваемом случае q1 < 0, поэтому q1 = 1 4(1 − 3q2 0) . Коэффициент q2 определяется с помощью выра- жения q2 = − 〈 2N2(φ0,Φ1100) + 2N2(φ0, Φ2000), φ ∗ 1 〉 , где 〈·〉 означает скалярное произведение в L2(−l, l), а φ∗ 1 – собственный вектор сопря- женного к A оператора A∗, удовлетворяющий соотношениям A∗φ∗ 1 = −iq0φ ∗ 1, 〈φ1, φ ∗ 1〉 = 1. Вычислим φ∗ 1 = r(q0)(iq 3 0(2q2 0 − 1),−q2 0(2q2 0 − 1), −iq0(1 − q2 0), 1 − q2 0 ,−iq0, 1)T cos ( π 2l y ) , где r(q0) = 1 4lq2 0(3q2 0 − 1) . Коэффициенты Φ1100 и Φ2000 удовлетворяют урав- нениям AΦ2000 + N2(φ0, φ0) = 2iq0Φ2000, AΦ1100 + 2N2(φ0, φ0) = 0, oткуда получаем: Φ1100 = 0, Φ2000 = (1, 2iq0,−4q2 0,−8iq3 0 , 16q4 0, 32iq5 0) tf1, f1 = c1 cos h(ωy) + c2 cos2 ( π 2l y ) + c3, c1 = 2q2 0 − 1 12q2 0(5q2 0 − 1)(13q2 0 − 2) sech(ωl), c2 = 1 6q2 0(1 − 5q2 0) , c3 = 2q2 0 − 1 12q2 0(1 − 5q2 0)(13q2 0 − 2) , ω = 2q2 0 √ 13q2 0 − 2. Т. Б. Гончаренко, В. В. Яковлев 35 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 4. С. 28 – 38 Значение q2, определяемое аналогично [5], являе- тся положительной убывающей функцией q0 и при q0 → ∞ имеет асимптотику q2 → 1 12 , q9 → 1√ 2 , q2 ≈ 43 13 · 15 · 96q6 0 . Напомним, что q0 > 1√ 2 . Форма зависимости q2(q0) приведена на рис. 4. Решение уравнения (28) через эти параметры выражается следующим образом: η(x, y) = ±2 √ 2εq1 q2 sech( √ εq1x)∗ ∗ cos(q0x) cos( π 2l y) + O(\|ε\| 3 2 ). Рис. 4. Зависимость Q2(q0) Форма полученного решения приведена на рис. 5. 4. ВАРИАНТ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПО Y Рассмотрим уравнение (28) и предположим, что V = V1 +µ, где V1– некоторое фиксированное зна- чение скорости, µ – малый параметр. В качестве динамической переменной берем y. Соответствую- щая уравнению (28) динамическая система имеет вид [11]: η̇ = η1, η̇1 = V1∂ 2 xη − s∂4 xη − ∂6 xη + µ∂2 xη− −(∂xη)2 − η∂2 xη, (35) где точка обозначает дифференцирование по y. Представим (35) в следующем виде: ẇ = Aw + F (µ, w), (36) Рис. 5. Отклонение поверхности изгибно-гравитационной волны при qo = −0.75, l = 10, ε = −0.015, t = 0 где w = (η, η1) T , η1 = ∂xη, A = ( 0 1 V1∂ 2 x − s∂4 x − ∂6 x 0 ) , (37) F (µ, w) = ( 0 µ∂2 xη − (∂xη)2 − η∂2 xη ) . Как и ранее, система обладает рядом симметрий. Она инвариантна относительно трансляций по y, τaw(y) = w(y + a), относительно отражения Sw(y) = w(−y) и является обратимой. Будем искать четное 2l-периодическое по x ре- шение (35). Для получения дисперсионного соот- ношения делаем подстановку η = exp(σy) cos(nkx), k = π l , n ∈ N+, σ ∈ C. Тогда спектр оператора A определяется соотноше- нием σ2 = −V1n 2k2 − sn4k4 + n6k6. (38) Вследствие обратимости и действительности оператора собственные значения являются симме- тричными относительно действительной и мнимой осей комплексной σ-плоскости. Интересующая нас бифуркация происходит, когда собственные значе- ния парами приходят на мнимую ось. Нам доста- точно рассмотреть σ = iq для q ≥ 0, т.е. (38) при- нимает вид: f(q) = q2 = V1n 2k2 + sn4k4 − n6k6 = g(n). (39) Собственные значения приходят на мнимую ось, когда график f(q) касается горизонтальной линии g(n). Первая бифуркация происходит при касании линией g(1) графика f(q) в точке q = 0. В нашем 36 Т. Б. Гончаренко, В. В. Яковлев ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 4. С. 28 – 38 случае обобщенного уравнения КП такая бифур- кация возможна для обоих значений s. Ограни- чимся случаем s = 1, соответствующим изгибно- гравитационным волнам. Для таких s бифуркация происходит, если k > 1√ 5 . Легко проверить, что для таких k g(n) > g(n+1). Из (38) получаем, что первая бифуркация возникает при V1 = −k2 + k4. Отметим, что новая пара СЗ приходит на мни- мую ось, когда график полинома f(q) касается следующей “линии уровня” g(n), параллельной оси q. Затем СЗ расходятся вдоль мнимой оси. Кра- тность расходящихся СЗ равна единице вслед- ствие того, что мы рассматриваем только четные по x решения. Ноль является СЗ для любого V1 вследствие ин- вариантности η → η + const, V → V + const, име- ет кратность 2 благодаря обратимости. Нулевое СЗ увеличивает размерность центрального много- образия на 2. Оба дополнительных измерения мо- гут быть исключены с помощью тождеств l ∫ −l η1dx = 0, l ∫ −l ηdx = const, где константа принимается равной 0, что соответ- ствует случаю солитонных решений. Применение теоремы о центральном многообра- зии приводит к заключению о том, что все малые ограниченные решения (35) имеют вид: w = a0ϕ0 + a1ϕ1 + Φ(µ, a0, a1), (40) где ϕ0, ϕ1 – обобщенные собственные векторы A, соответствующие нулевому СЗ: Aϕ0 = 0, Aϕ1 = ϕ0, Φ(µ, a0, a1) – нелинейная функция своих аргу- ментов. Амплитуды a0, a1 удовлетворяют усечен- ной системе ȧ0 = a1, ȧ1 = f(µ, a0, a1), (41) f(µ, a0, a1) − нелинейная функция своих аргу- ментов. Систему (41) представим в нормальной форме ȧ0 = a1, ȧ1 = −k2µa0+Ba2 0+Γa3 0+O(µa0 , a 2 0). (42) Коэффициенты B, Γ равны соответственно B = 0, Γ = 1 6(1 − 5k2) < 0. Локальное решение (42) дается формулой â0 = ±k √ 2µ Γ sech(k √ \|µ\|y) + 0(µ). (43) Из (43), возвращаясь к старым обозначени- ям для пространственных переменных, получим выражение для возвышения свободной поверхно- сти: η(x, y) = ±k √ 2µ Γ sech ( k √ \|µ\|y ) ∗ ∗ cos(kx − V1t) + 0(µ). (44) Форма полученного решения представлена на рис. 6. Рис. 6. Отклонение поверхности изгибно-гравитационной волны при k = 0.85, µ = 0.5, t = 0 5. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ Для нахождения собственных векторов имеем следующие уравнения: Aϕ0 = 0, Aϕ1 = ϕ0, ϕ0 = (f1, f2). Из (37) получим 0 · f1 + f2 = 0, Df1 + 0 · f2 = 0, f2 = 0, Df1 = 0. Таким образом, ϕ0 = (f1, 0) определяется решени- ем линейного однородного уравнения 6-го поряд- ка, вековое уравнение для которого λ6 + sλ4 − V1λ 2 = λ2(λ4 + sλ2 − V1) = 0 Т. Б. Гончаренко, В. В. Яковлев 37 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 4. С. 28 – 38 имеет помимо двукратного нуля еще четыре кор- ня, характер которых зависит от V1, s: λ2 1,2 = −s ± √ 1 + 4V1 2 . (45) Динамика этих корней подробно проанализирова- на в работе [12]. ϕ1 = (g1, g2), A ( g1 g2 ) = ( f1 0 ) , откуда g2 = f1, Dg1 = 0. Таким образом, собственный и присоединенный векторы линейного оператора определяются кор- нями (45). Решение уравнения для f1, g1 известно, в качестве такового выбран косинус (см.(44)). Для дальнейшего полезно помнить, что стацио- нарные состояния ДС такого вида – это объекты вида(0, ς(x)), где вторая координата есть решение обобщенного уравнения КдВ. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Разложением по малому параметру исходной трехмерной задачи о гидроупругих колебани- ях системы “упругая пластина – слой идеаль- ной несжимаемой жидкости” получено обобщен- ное уравнение типа Кадомцева-Петвиашвили, опи- сывающее распространение длинных двумерных изгибно-гравитационных волн в море, покрытом сплошным льдом. Приведены динамические сис- темы, соответствующие нелинейному уравнению и позволяющие рассмотреть те его решения, кото- рые возникают как результат бифуркации из со- стояния покоя. В предположении периодичности по поперечной координате построено точное реше- ние полученного уравнения в виде волнового па- кета. Определены соотношения между характер- ными параметрами задачи, которые обеспечивают существование такого решения. 1. Ткаченко В.А., Яковлев В.В. Нелинейно- дисперсионная модель трансформации поверхно- стных волн в прибрежной зоне моря, покрытой льдом // Прикл. гiдромеханiка.– 1999.– T. 1(73), N 3.– С. 55–64. 2. Гринченко В.Т.,Вовк И.В.,Мацыпура В.Т. Основы акустики. Учебное пособие.–Киев,2009868 c. 3. Кадомцев Б.Б., Петвиашвили В.И. Об устойчиво- сти уединенных волн в слабо диспергирующих сре- дах // ДАН СССР.– 1970.– Т. 192. N4.– С. 753-756. 4. Ильичев А.Т. Уединенные волны в средах с дис- персией и диссипацией (обзор) // МЖГ.– 2000.– N 2.– С. 3–27. 5. Haragus-Courcelle M., Il’ichev A. Three-dimensional solitary waves in the presence of additional surface effects // Eur. J. Mech. B/Fluids.– 1998.– V. 17. N 5.– P. 739–768. 6. Марченко А.В. О длинных волнах в мелкой жид- кости под ледяным покровом // ПММ.– 1988.– Т. 52. Вып. 2.– С. 230–235. 7. Демченко Р.И., Железняк М.И. Нелинейно- дисперсионные эффекты распространения поверх- ностных волн вдоль неоднородностей рельефа дна // Гидромеханика.– 1983.– Вып. 48.– С. 17–22. 8. Prabir Daripa Higher-order Boussinesq equations for two-way propagation of shallow water waves // Eur. J. of Mech. B/Fluids.– 2006.– V 25, N 6.– P. 1008– 1021. 9. Гончаренко Т.Б., Яковлев В.В. Дослiдження ста- лих нелiнiйних згинно-гравiтацiйних хвиль в морi, вкритому суцiльною кригою // Прикл. гiдромеханiка.– 2005.– Т. 7(79), N 2.– С. 3–7. 10. Iooss G., Peroueme M.-C. Perturbed homoclinic solutions in the reversible1:1 resonance vector fi- elds // J. Diff. Eqns.– 1993.– 102.– P. 62–88. 11. Il’ichev A. Self-channelling of surface water waves in the presence of an additional surface pressure // Eur. J. Mech. B/Fluids.– 2001.– V. 18, N 5.– P. 501–510. 12. Ильичев А.Т.,Марченко А.В. О распространении длинных нелинейных волн в тяжелой жидкости под ледяным покровом.– МЖГ: 1989, N 1.– 88– 95 с. 38 Т. Б. Гончаренко, В. В. Яковлев

Нелинейные изгибно-гравитационные волны в море, покрытом льдом

Institution

Similar Items