О рассеянии поверхностных гравитационных волн тонкими вертикальными барьерами

В работе предложен метод улучшенной редукции для расчета рассеяния поверхностных гравитационных волн тонкими погруженными в жидкость барьерами, основанный на разложении решения в ряд по собственным функциям задачи. Асимптотические свойства неизвестных коэффициентов разложения находятся на основе выд...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2015
Автори:	Городецкая, Н.С., Миргородская, Т.Н., Никишов, В.И.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут гідромеханіки НАН України 2015
Назва видання:	Прикладна гідромеханіка
Теми:	Науковi статтi
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116518
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	О рассеянии поверхностных гравитационных волн тонкими вертикальными барьерами / Н.С. Городецкая, Т.Н. Миргородская, В.И. Никишов // Прикладна гідромеханіка. — 2015. — Т. 17, № 2. — С. 9-19. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-116518
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1165182025-02-09T14:43:53Z О рассеянии поверхностных гравитационных волн тонкими вертикальными барьерами Про розсіювання поверхневих гравітаційних хвиль тонкими вертикальними бар’єрами On scattering of surface gravity waves by thin vertical barriers Городецкая, Н.С. Миргородская, Т.Н. Никишов, В.И. Науковi статтi В работе предложен метод улучшенной редукции для расчета рассеяния поверхностных гравитационных волн тонкими погруженными в жидкость барьерами, основанный на разложении решения в ряд по собственным функциям задачи. Асимптотические свойства неизвестных коэффициентов разложения находятся на основе выделения локальной особенности по скоростям в вершине барьера. Проведен анализ замыкания системы уравнений. Показано, что использование метода улучшенной редукции позволяет уменьшить объем расчетов и повысить качество получаемого решения. В роботі запропоновано метод поліпшеної редукції для розрахунку розсіювання поверхневих гравітаційних хвиль тонкими зануреними в рідину бар’єрами, що грунтується на розкладанні розв’язку в ряд по власних функціях задачі. Асимптотичні властивості невідомих коефіцієнтів розкладання знаходяться на основі виділення локальної особливості по швидкості у вершині бар’єра. Проведено аналіз замикання системи рівнянь. Показано, що застосування методу поліпшеної редукції призводить до зменшення об’єму розрахунків і підвищення якості отриманого розв’язку. The method of advanced reduction for the calculations of surface gravity wave scattering by thin submerged barriers that is based on eigenfunction expansion of solution has been presented. Asymptotic behaviors of unknown coefficients of expansion are found on basis of extraction of local singularity in respect to velocity in the tip of barrier. The analysis of closing of the equation system has been fulfilled. It is shown that the using of the method of advanced reduction allows to diminish the volume of calculations and to improve the property of obtained solution. 2015 Article О рассеянии поверхностных гравитационных волн тонкими вертикальными барьерами / Н.С. Городецкая, Т.Н. Миргородская, В.И. Никишов // Прикладна гідромеханіка. — 2015. — Т. 17, № 2. — С. 9-19. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116518 532.591 ru Прикладна гідромеханіка application/pdf Інститут гідромеханіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Науковi статтi Науковi статтi
spellingShingle	Науковi статтi Науковi статтi Городецкая, Н.С. Миргородская, Т.Н. Никишов, В.И. О рассеянии поверхностных гравитационных волн тонкими вертикальными барьерами Прикладна гідромеханіка
description	В работе предложен метод улучшенной редукции для расчета рассеяния поверхностных гравитационных волн тонкими погруженными в жидкость барьерами, основанный на разложении решения в ряд по собственным функциям задачи. Асимптотические свойства неизвестных коэффициентов разложения находятся на основе выделения локальной особенности по скоростям в вершине барьера. Проведен анализ замыкания системы уравнений. Показано, что использование метода улучшенной редукции позволяет уменьшить объем расчетов и повысить качество получаемого решения.
format	Article
author	Городецкая, Н.С. Миргородская, Т.Н. Никишов, В.И.
author_facet	Городецкая, Н.С. Миргородская, Т.Н. Никишов, В.И.
author_sort	Городецкая, Н.С.
title	О рассеянии поверхностных гравитационных волн тонкими вертикальными барьерами
title_short	О рассеянии поверхностных гравитационных волн тонкими вертикальными барьерами
title_full	О рассеянии поверхностных гравитационных волн тонкими вертикальными барьерами
title_fullStr	О рассеянии поверхностных гравитационных волн тонкими вертикальными барьерами
title_full_unstemmed	О рассеянии поверхностных гравитационных волн тонкими вертикальными барьерами
title_sort	о рассеянии поверхностных гравитационных волн тонкими вертикальными барьерами
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate	2015
topic_facet	Науковi статтi
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116518
citation_txt	О рассеянии поверхностных гравитационных волн тонкими вертикальными барьерами / Н.С. Городецкая, Т.Н. Миргородская, В.И. Никишов // Прикладна гідромеханіка. — 2015. — Т. 17, № 2. — С. 9-19. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.
series	Прикладна гідромеханіка
work_keys_str_mv	AT gorodeckaâns orasseâniipoverhnostnyhgravitacionnyhvolntonkimivertikalʹnymibarʹerami AT mirgorodskaâtn orasseâniipoverhnostnyhgravitacionnyhvolntonkimivertikalʹnymibarʹerami AT nikišovvi orasseâniipoverhnostnyhgravitacionnyhvolntonkimivertikalʹnymibarʹerami AT gorodeckaâns prorozsíûvannâpoverhnevihgravítacíjnihhvilʹtonkimivertikalʹnimibarêrami AT mirgorodskaâtn prorozsíûvannâpoverhnevihgravítacíjnihhvilʹtonkimivertikalʹnimibarêrami AT nikišovvi prorozsíûvannâpoverhnevihgravítacíjnihhvilʹtonkimivertikalʹnimibarêrami AT gorodeckaâns onscatteringofsurfacegravitywavesbythinverticalbarriers AT mirgorodskaâtn onscatteringofsurfacegravitywavesbythinverticalbarriers AT nikišovvi onscatteringofsurfacegravitywavesbythinverticalbarriers
first_indexed	2025-11-26T23:37:51Z
last_indexed	2025-11-26T23:37:51Z
_version_	1849898069819129856
fulltext	ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2015. Том 17, N 2. С. 9 – 19 УДК 532.591 О РАССЕЯНИИ ПОВЕРХНОСТНЫХ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН ТОНКИМИ ВЕРТИКАЛЬНЫМИ БАРЬЕРАМИ Н. С. Г О РО Д ЕЦ К А Я, Т. Н. МИ РГ О РО Д СК А Я, В. И. Н И К И ШО В Институт гидромеханики НАН Украины, Киев 03680 Киев – 180, МСП, ул. Желябова, 8/4 email: vinihm@gmail.com Получено 07.04.2015 В работе предложен метод улучшенной редукции для расчета рассеяния поверхностных гравитационных волн тон- кими погруженными в жидкость барьерами, основанный на разложении решения в ряд по собственным функциям задачи. Асимптотические свойства неизвестных коэффициентов разложения находятся на основе выделения ло- кальной особенности по скоростям в вершине барьера. Проведен анализ замыкания системы уравнений. Показано, что использование метода улучшенной редукции позволяет уменьшить объем расчетов и повысить качество полу- чаемого решения. КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: поверхностные волны, рассеяние, барьер, собственные функции В роботi запропоновано метод полiпшеної редукцiї для розрахунку розсiювання поверхневих гравiтацiйних хвиль тонкими зануреними в рiдину бар’єрами, що грунтується на розкладаннi розв’язку в ряд по власним функцiям задачi. Асимптотичнi властивостi невiдомих коефiцiєнтiв розкладання знаходяться на основi видiлення локальної особливостi по швидкостi у вершинi бар’єра. Проведено аналiз замикання системи рiвнянь. Показано, що застосу- вання методу полiпшеної редукцiї призводить до зменшення об’єму розрахункiв i пiдвищення якостi отриманого розв’язку. КЛЮЧОВI СЛОВА: поверхневi хвилi, розсiювання, бар’єр, власнi функцiї The method of advanced reduction for the calculations of surface gravity wave scattering by thin submerged barriers that is based on eigenfunction expansion of solution has been presented. Asymptotic behaviors of unknown coefficients of expansion are found on basis of extraction of local singularity in respect to velocity in the tip of barrier. The analysis of closing of the equation system has been fulfilled. It is shown that the using of the method of advanced reduction allows to diminish the volume of calculations and to improve the property of obtained solution. KEY WORDS: surface waves, scattering, barrier, eigenfunctions ВВЕДЕНИЕ Для защиты берегов и гидротехнических кон- струкций от разрушительного воздействия волн, как правило, используют различного вида вол- ноломы. Одними из простейших, но часто при- меняемых волноломов из-за простоты и низкой стоимости, являются конструкции, представляю- щие погруженный в жидкость непроницаемый ба- рьер. Волны отражаются от него или обрушаются, что приводит к увеличению диссипации волновой энергии, а следовательно, к уменьшению степе- ни воздействия волн. В зависимости от условий применяют также частично погруженные в воду барьеры и барьеры с промежуточным зазором, в частности, внутри гаваней для уменьшения высо- ты волн до требуемого уровня [1]. Проблемы рассеяния поверхностных волн ука- занными типами волноломов, имеющих вид верти- кального тонкого барьера, интенсивно изучаются на протяжении многих лет. Влияние волн на вер- тикальный тонкий барьер для случая нормального падения волн исследовалось в работе [2]. В рабо- тах [3, 4] проведено численное моделирование рас- сеяния поверхностных волн в случае нормально- го и наклонного падения соответственно. Исполь- зовался метод представления решения в виде ря- да по собственным функциям задачи. На основе свойства ортогональности указанных функций за- дача сводилась к бесконечной системe алгебраиче- ских уравнений, решение которой находится мето- дом редукции. Однако сходимость численного ре- шения получаемой системы является медленной, что приводит к необходимости увеличивать чис- ло уравнений. Как указано в работах [5, 6], для получения точности до второго знака приходится рассматривать порядка N = 400 уравнений. Особенностью рассматриваемых конструкций волноломов является наличие острой кромки на вершине барьера. Это приводит к появлению кор- невой сингулярности в выражении для скорости потока [7], что и обуславливает необходимость уве- личения числа используемых уравнений, т.е. учета мод высокого порядка. Для ряда задач рассеяния волн тонкими вертикальными барьерами в работе [5] предлагается использовать в качестве базисных функций полиномы Чебышева для получения при- c© Н. С. Городецкая, Т. Н. Миргородская, В. И. Никишов, 2015 9 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2015. Том 17, N 2. С. 9 – 19 Рис. 1. Схема расположения барьера и системы координат емлемых численных результатов с умеренно боль- шим количеством уравнений. В данной работе рассматривается задача рас- сеяния поверхностных гравитационных волн оди- ночным вертикальным тонким барьером в слу- чае нормального падения, выполняется выделение указанной выше особенности. На основе разложе- ния этой особенности в ряд по собственным фун- кциям задачи находится асимптотика неизвестных коэффициентов разложения для больших значе- ний N . Это позволило улучшить качество решения при использовании меньшего количества уравне- ний. Проведено сравнение применяемого метода улучшенной редукции по сравнению с обычной ре- дукцией. Осуществлена проверка точности выпол- нения граничных условий и условий сопряжения. Показаны преимущества метода по сравнению с методом обычной редукции. 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим тонкий, погруженный в жидкость барьер, параллельный оси z. На барьер падает распространяющаяся вдоль горизонтальной оси x из x = −∞ монохроматическая волна с частотой ωdim. Барьер высотой h1 находится на дне пото- ка глубиной H . Расположение барьера и системы координат с началом отсчета на свободной поверх- ности представлено на рис. 1. Обозначим область, занимаемую барьером −H < z < −h1, через Lb и область над барьером −h1 < z < 0 – через Lg . Поведение линейных поверхностных волн, ра- спространяющихся вдоль свободной поверхности идеальной несжимаемой жидкости, описывается уравнением Лапласа для потенциала скорости [8]: ∆Φ = ∂2Φ ∂x2 + ∂2Φ ∂z2 = 0 (1) с соответствующими граничными условиями ∂2Φ ∂t2 + g ∂Φ ∂z = 0 при z = 0, (2) ∂Φ ∂z = 0 при z = −H, (3) где g – ускорение силы тяжести. Полагаем, что переменные изменяются во вре- мени по гармоническому закону e−iωt. Разделяя переменные в уравнении (1), получаем выражение для волны, распространяющейся в положитель- ном направлении вдоль оси x: Φ = ag ω ch k(z + H) ch kh ei(kx−ωt), (4) где a – амплитуда падающей волны, здесь так- же учтен сдвиг по фазе между отклонением сво- бодной поверхности от положения равновесия и потенциалом. Волновое число падающей волны k является действительным положительным корнем дисперсионного уравнения ω2 dim = kgth kH. (5) Приведем все величины к безразмерному виду, введя характерные масштабы длины Lch = H и времени Tch = √ H/g. Тогда в обезразмеренном виде выражения для потенциала (4) и дисперси- онного уравнения (5) можно представить следую- щим образом: Φ = ϕ(z)ei(kx−ωt) = = a ω ch k(z + H) ch kh ei(kx−ωt), (6) ω2 = kHth kH . (7) Отметим, что в этих выражениях все величины являются обезразмеренными. Для удобства вели- чина H оставлена в прежнем виде, однако ее зна- чение равно единице. Введем норму функции ‖ϕ‖ = 0 ∫ −H ϕϕ∗dz. Тогда ее нормированный вид будет описываться выра- жением ϕ0(z) = √ Nch k(z + H), (8) где N = 4k sh 2kH + 2kH . (9) 10 Н. С. Городецкая, Т. Н. Миргородская, В. И. Никишов ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2015. Том 17, N 2. С. 9 – 19 Как отмечено выше, k является действительным положительным корнем дисперсионного уравне- ния (7). Это уравнение имеет также бесконечное множество чисто мнимых корней κn, которые на- ходятся как решение следующего уравнения: ω2 = −κnHtg κnH. (10) Корни уравнения (10) характеризуют неодноро- дные (нераспространяющиеся) волны, которые во- збуждаются по обе стороны барьера. Им соответ- ствуют следующие нормированные ортогональные собственные функции: ϕn = √ Mn cosκn(z + H), (11) где Мn = 4κn sin 2κnH + 2κnH . (12) Энергия, связанная с падающей волной, кото- рая сталкивается с волновым барьером, частично переносится за барьер и частично отражается. Ре- зультирующее волновое движение в области 1 (см. рис. 1) состоит из падающей и отраженной волн, в то время как в области 2 формируется прошедшая волна. Общее решение задачи для потенциала ско- рости, удовлетворяющее граничным условиям (2) и (3), в области 1 (x < 0) можно записать в виде Φ1 = ( eikx + Re−ikx ) ϕ0(z)+ + ∞ ∑ n=1 Aneκnxϕn(z) (13) и в области 2 (x > 0) Φ2 = Teikxϕ0(z)+ + ∞ ∑ n=1 Bne−κnxϕn(z) . (14) Здесь полагается, что амплитуда падающей вол- ны равна 1; R и T – коэффициенты отражения и прохождения соответственно. Потенциалы Φ1 и Φ2 должны удовлетворять ря- ду условий сопряжения при x = 0. Рассмотрим их последовательно. Горизонтальная скорость пото- ка, нормальная к барьеру, должна равняться ну- лю: ∂Φ1 ∂x = 0 при z ∈ Lb, (15) ∂Φ2 ∂x = 0 при z ∈ Lb. (16) Горизонтальные компоненты скорости над ба- рьером равны между собой, т.е. ∂Φ1 ∂x = ∂Φ2 ∂x при z ∈ Lg . (17) Непрерывность давления (что эквивалентно по- тенциалу) над барьером приводит к следующему условию: Φ1 = Φ2 при z ∈ Lg. (18) 2. МЕТОД РЕШЕНИЯ Условия (15) и (17) могут быть представлены как смешанное граничное условие [9, 10], которое устанавливает связь потенциалов или скоростей вдоль оси z: G1(z) =      ∂Φ1 ∂x = 0 при z ∈ Lb, ∂Φ1 ∂x = ∂Φ2 ∂x при z ∈ Lg. (19) Подставляя в это условие выражения для потен- циалов (13) и (14), получаем систему бесконеч- ных функциональных уравнений, умножая кото- рые на собственные функции задачи ϕ0(z) и ϕn(z) и используя свойство ортогональности, осуществ- ляем так называемую алгебраизацию системы, в результате чего находим бесконечную систему ал- гебраических уравнений, которые, как правило, решаются методом редукции. Аналогичным образом поступаем и с условиями (16) и (18), объединяя которые, запишем смешан- ное граничное условие: G2(z) =    ∂Φ2 ∂x = 0 при z ∈ Lb, Φ1 = Φ2 при z ∈ Lg . (20) Дальнейшие вычислительные шаги – те же, что и при рассмотрении условия (19). В отличие от обычного метода редукции, в ра- боте предлагается применить метод улучшенной редукции, который заключается в использовании асимптотических представлений для коэффициен- тов разложения An и Bn для больших значений n. Эти асимптотические представления находятся на основе рассмотрения конкретного вида сингу- лярности, возникающего в задаче. Для рассматри- ваемого типа задач характерно существование ло- кальных особенностей по скоростям. Стремление к бесконечности скорости частицы жидкости в окре- стности вершины барьера в рамках модели иде- альной жидкости с малыми амплитудами ставит вопрос о достоверности полученного решения. В Н. С. Городецкая, Т. Н. Миргородская, В. И. Никишов 11 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2015. Том 17, N 2. С. 9 – 19 связи с этим отметим, что возникновение локаль- ных особенностей следует рассматривать как “ра- сплату” за слишком грубое моделирование реаль- ного процесса. При этом имеется в виду не толь- ко моделирование свойств среды (идеальная жид- кость), но и постановка граничной задачи в целом, речь идет о моделировании характера границы, которая представляет собой также существенную идеализацию [11]. При существовании локальных особенностей в характеристиках волновых полей, как правило, возникает неоднозначность в решении граничной задачи. При этом возможно построение несколь- ких решений, удовлетворяющих основным урав- нениям задачи и отличающихся только скоростью стремления к бесконечности той или иной характе- ристики поля. Тогда для построения единственно- го решения необходимо определить характер осо- бенности. Как показано в работе [7], выражение для скорости в окрестности вершины барьера про- порционально r−1/2 (здесь r – радиальная коор- дината локальной полярной системы координат с началом в вершине барьера). В плоскости сопряжения x = 0 выражение для горизонтальной компоненты скорости в области 1, как следует из (13), имеет вид (множитель e−iωt опускаем) U1\|x=0 = ∂Φ1 ∂x ∣ ∣ ∣ ∣ x=0 = = ik(1 − R)ϕ0(z) + ∞ ∑ n=1 κnAnϕn(z). (21) Введем в рассмотрение функцию, которая отра- жает особенность распределения скорости в окре- стности вершины барьера: F1(z) =      V1 ( h̃2 1 − z2 )1/2 при z ∈ Lg , 0 при z ∈ Lb, (22) где V1 – некоторая неизвестная постоянная, подле- жащая определению; h̃1 = H − h1. Раскладываем эту функцию в ряд по собствен- ным функциям: F1(z) = V1C0ϕ0(z) + V1 ∞ ∑ n=1 Cnϕn(z). (23) Добавляя и вычитая функцию F1(z) из выраже- ния (21), после ряда преобразований с использова- нием разложения (23) находим: U1\|x=0 = ik(1 − R)ϕ0(z)+ + N ∑ n=1 κnAnϕn(z) + V1 ∞ ∑ n=N+1 Cnϕn(z). (24) Здесь было сделано предположение, что при до- статочно больших значениях n (больших неко- торого N) характер постоянных разложения An определяется поведением скорости вблизи ребра. При достаточно большом N можно записать κnAn ∼= V1Cn при n > N. (25) Возвращаясь к выражению (22), умножаем его на собственные функции ϕn(z) и интегрируем по интервалу от −Hдо 0: 0 ∫ −H F1(z)ϕn(z)dz = = V1 √ Mn [ cos κnH 0 ∫ −h̃1 cos κnzdz ( h̃2 1 − z2 )1/2 − − sin κnH 0 ∫ −h̃1 sin κnzdz ( h̃2 1 − z2 )1/2    . С использованием табличного интеграла [12] a ∫ 0 ( a2 − t2 )β−1 { sin bt cos bt } dt = = √ π 2 ( 2a b )β−1/2 Γ(β) { Hβ−1/2(ab) Jβ−1/2(ab) } , где Γ(β), Hβ−1/2(ab), Jβ−1/2(ab) – гамма-функция, функции Струве и Бесселя первого рода соответ- ственно, находим 0 ∫ −H F1(z)ϕn(z)dz = V1 √ Mn √ π 2 Γ ( 1 2 ) × × [ cosκnHJ0(κnh̃1) + sin κnHH0(κnh̃1) ] . В то же время, умножая выражение (23) на соб- ственные функции ϕm(z) и интегрируя по интер- валу от −H до 0, получаем с учетом свойства ор- тогональности функций 0 ∫ −H F1(z)ϕm(z)dz = V1 0 ∫ −H C0ϕ0(z)ϕm(z)dz+ +V1 ∞ ∑ n=1 Cn 0 ∫ −H ϕn(z)ϕm(z)dz = V1Cm. В результате, используя асимптотики для функ- ций Струве и Бесселя для больших значений κn, получаем следующее выражение для коэффициен- тов Cn для больших значений n: Cn = √ Mn √ π 2 Γ ( 1 2 ) × × (Π1 cosκnH + Π2 sin κnH) , (26) 12 Н. С. Городецкая, Т. Н. Миргородская, В. И. Никишов ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2015. Том 17, N 2. С. 9 – 19 где Π1 ≈ √ 2 πκnh̃1 [ cos ( κnh̃1 − π 4 ) + + 1 8κnh̃ sin ( κnh̃1 − π 4 ) ] , Π2 ≈ 2 πκnh̃1 + √ 2 πκnh̃1 [ sin ( κnh̃1 − π 4 ) − − 1 8κnh̃ cos ( κnh̃1 − π 4 ) ] . Аналогичным образом поступаем и с выражением для горизонтальной компоненты скорости в обла- сти 2. Введем в рассмотрение функцию F2(z) =      V2 ( h̃2 1 − z2 )1/2 при z ∈ Lg, 0 при z ∈ Lb, (27) которую раскладываем в ряд по собственным фун- кциям ϕn(z): F2(z) = V2E0ϕ0(z) + V2 ∞ ∑ n=1 Enϕn(z). Здесь, как и в выражении (22), постоянная V2 яв- ляется неизвестной. Выражение для горизонтальной компоненты скорости в области 2 с учетом вышеизложенно- го, основываясь на представлении для потенциала скорости (14), можно записать в виде U2\|x=0 = ikTϕ0(z) − N ∑ n=1 κnBnϕn(z)− −V2 ∞ ∑ n=N+1 Enϕn(z). (28) Умножая функцию (27) на собственные функции ϕn(z) и интегрируя от −H до 0, находим анало- гично выражение для коэффициентов разложения En для больших значений n, которое совпадает с выражением (26). Таким образом, задача сводится к определе- нию коэффициентов An и Bn, которые находя- тся из условий (19) и (20) с учетом асимптотиче- ских представлений неизвестных коэффициентов разложения, т.е. с учетом выражения (26). В ито- ге, выражение (19) примет вид G1(z) =                                        ik(1 − R)ϕ0(z) + N ∑ n=1 κnAnϕn(z)+ +V1 ∞ ∑ n=N+1 Cnϕn(z) = 0 при z ∈ Lb, −ik(1 − R)ϕ0(z) + N ∑ n=1 κnAnϕn(z)+ +V1 ∞ ∑ n=N+1 Cnϕn(z) − ikTϕ0(z)+ + N ∑ n=1 κnBnϕn(z)+ +V2 ∞ ∑ n=N+1 Cnϕn(z) = 0 при z ∈ Lg (29) и выражение (20) преобразуется к такому: G2(z) =                                ikTϕ0(z) − N ∑ n=1 κnBnϕn(z)− −V2 ∞ ∑ n=N+1 Enϕn(z) = 0 при z ∈ Lb, (1 + R − T )ϕ0(z) + N ∑ n=1 Anϕn(z)+ +V1 ∞ ∑ n=N+1 Cnϕn(z) − N ∑ n=1 Bnϕn(z)− −V2 ∞ ∑ n=N+1 En κn ϕn(z) = 0 при z ∈ Lg . (30) Дальнейшая процедура расчетов проводится следующим образом. Умножаем выражения (29) и (30) последовательно на собственные функции ϕ0(z)и ϕm(z), а затем интегрируем по полному промежутку от −Hдо 0. Рассчитывая получаемые интегралы с учетом условия ортогональности соб- ственных функций, приходим к системе 2N + 2 уравнений с 2N +2 неизвестными, но также с пока неопределенными постоянными V1 и V2: ik(1 − R) − ikT · I00 + N ∑ n=1 κnBn · In0+ +V2 ∞ ∑ n=N+1 EnIn0 = 0, κmAm − ikT · I0m + N ∑ n=1 κnBn · Inm+ +V2 ∞ ∑ n=N+1 EnInm = 0, ikT · P00 − N ∑ n=1 κnBn · Pn0 − V2 ∞ ∑ n=N+1 EnPn0+ + N ∑ n=1 AnQn0 + V1 ∞ ∑ n=N+1 Cn κn Qn0− − N ∑ n=1 BnQn0 − V2 ∞ ∑ n=N+1 En κn Qn0 = 0, (31) Н. С. Городецкая, Т. Н. Миргородская, В. И. Никишов 13 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2015. Том 17, N 2. С. 9 – 19 ikT · P0m − N ∑ n=1 κnBn · Pnm − V2 ∞ ∑ n=N+1 EnPnm+ +(1 + R − T )Q0m + N ∑ n=1 AnQnm+ +V1 ∞ ∑ n=1 Cn κn Qnm − N ∑ n=1 BnQnm− −V2 ∞ ∑ n=N+1 En κn Qnm = 0. Структура системы (31) указывает на важную особенность алгебраических соотношений, вытека- ющих из условий сопряжения (19), (20) на поверх- ности x = 0. Полученная система является систе- мой первого рода. Такие системы, как правило, плохо обусловлены, что значительно усложняет их численную реализацию. Это связано, в определен- ной мере, с наличием в вершине барьера корневой особенности по скоростям [7, 13]. Как уже отме- чалось, существование особенности по скоростям может привести к тому, что ряды для скоростей на поверхности x = 0 сходятся медленно. Для по- лучения решения, адекватно описывающего рассе- янное на барьере поле, в работе учтены асимптоти- ческие свойства неизвестных. Переход к конечной системе выполнен с учетом асимптотического по- ведения неизвестных An, Bn для n > N . Последующее построение алгоритма решения системы связано со способом замыкания системы. В работе использован подход, основанный на за- дании асимптотических выражений для An и Bn для больших номеров n. В этом случае V1 и V2 являются неизвестными, а коэффициенты An для всех n > N задаются в асимптотическом виде (25). Аналогичным образом поступаем с Bn и V2. Во- зможны иные способы замыкания системы. При этом, на основе численного эксперимента было по- казано, что точность удовлетворения условий со- пряжения на плоскости x = 0 очень чувствительна к выбору способа замыкания системы. Оказалась, что возможна ситуация, когда точность удовле- творения условий сопряжения при использовании асимптотических свойств неизвестных, учитыва- ющих характер локальной особенности по скоро- стям в точке смены типа граничных условий, мо- жет оказаться даже хуже, чем при использовании метода простой редукции. На этом вопросе оста- новимся более подробно в следующем разделе. 3. АНАЛИЗ КАЧЕСТВА ПОЛУЧЕННОГО РЕШЕНИЯ В предыдущем разделе был рассмотрен метод решения граничной задачи. Целью дальнейшего изложения является анализ особенностей числен- ной реализации и оценка точности выполнения граничных условий. В рамках используемого ме- тода определялись, через известный характер осо- бенности по скоростям, асимптотические свойства неизвестных. Это позволило учитывать большое количество членов ряда в представлении для по- ля (Φ(1,2)) и его производной (U(1,2)), в то же вре- мя бесконечные системы алгебраических уравне- ний заменялись конечными. При этом возникают погрешности, обусловленные как редукцией сис- темы, так и выбором величины N , начиная с ко- торого переходим к асимптотическим значениям неизвестных. В этой ситуации главным критери- ем качества полученного решения является кон- троль точности выполнения условий сопряжения (15-18). Отметим, что в рассматриваемом классе задач, как правило, точность выполнения грани- чных условий на поверхностях z = 0, z = −1 не проверяется, так как эти условия выполняются со значительно большей точностью, чем условия со- пряжения. В качестве дополнительных критери- ев правильности полученного решения можно рас- сматривать сходимость полученного решения при увеличении порядка конечной системы уравнений и выполнение закона сохранения энергии, который в данном случае заключается в требовании: R2 + T 2 = 1. (32) Важным моментом при выполнении численных расчетов является нахождение корней дисперси- онного уравнения (9). Для kH = 10 из уравне- ния (7) была найдена круговая частота ω = 3.16, для которой проводились последующие вычисле- ния, представленные в таб. 1. Табл. 1. n κn κ∗ n 2 5.19122 5.63231 4 11.8661 11.8882 6 18.3500 18.3539 8 24.7487 24.7496 10 31.1049 31.1051 12 37.4381 37.4382 14 43.7576 43.7577 16 50.0683 50.0684 18 56.3731 56.3731 20 62.6736 62.6736 Здесь представлены значения чисто мнимых корней дисперсионного уравнения, полученные при непосредственном решении дисперсионного 14 Н. С. Городецкая, Т. Н. Миргородская, В. И. Никишов ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2015. Том 17, N 2. С. 9 – 19 уравнения (κn) и вычисленные по асимптотиче- скому соотношению для больших значений n(κ∗ n) для различных номеров корней (n). Выражение для асимптотических значений кор- ней имеет вид (Linton, 2001) [6]: κ∗ n ≈ nπ H − ω2 nπH − ( 1 ω2 − 1 3 )( ω2 nπ )3 1 H . (33) Как видно из сравнения значений корней дис- персионного уравнения, найденных как решения уравнения и асимптотически, начиная с n = 18, то- чные значения корня и его асимптотические зна- чения совпадают до шести значащих цифр. Для более низких частот ω совпадение между точно вычисленными корнями дисперсионного уравне- ния и приближенными значениями корней начи- нается с меньших номеров n. Например, волново- му числу падающей волны kH = 2 соответству- ет круговая частота ω = 1.39 и совпадение то- чного и асимптотического значений корней с ука- занной точностью наблюдается, начиная с n = 7. Поэтому для всех дальнейших вычислений для n = (N +1) ≥ 20 использовались асимптотические значения корней дисперсионного уравнения. Прежде чем перейти к анализу качества полу- ченного решения, приведем зависимость модуля амплитуды коэффициента отражения и прохожде- ния от kHдля различных соотношений α = h1/H . На рис. 2 представлены такие зависимости при условии, что N = 50, а во вторых суммах в правых частях выражений (24) и (28) вместо бе- сконечности учитывали 400 членов ряда. Номер кривой соответствует различным значениям α: 1 – α = 0.25, 2 – α = 0.5, 3 –α = 0.75. Напомним, что коэффициенты отражения обозначены R, ко- эффициенты прохождения через T . Приведенные данные с графической точностью совпадают с ре- зультатами работы (Abul-Azm, 1993) [3]. Как видно из рисунка, наибольшей величины коэффициент отражения достигает при kH = 1.2 для α = 0.75. Именно для этих исходных пара- метров рассмотрим точность выполнения условий сопряжения при изменении числа членов ряда с учетом асимптотических свойств неизвестных и способа замыкания системы. При выполнении численных расчетов, начиная с N = 10, наблюдалась устойчивость решения, ко- торая проявлялась в том, что при увеличении чис- ла членов рядов в выражениях (24), (28) величи- ны коэффициентов отражения R и прохождения T изменялись в третьем знаке. В качестве следующе- го критерия качества полученного решения рас- сматривались интегральные характеристики, ко- Рис. 2. Распределения коэффициентов отражения и прохождения в зависимости от волнового числа падающей волны Рис. 3. Изменения величины ∆в зависимости от N торые в данной задаче эквивалентны равенству (32). На рис. 3 представлены изменения величины ∆ = (R2 + T 2) при увеличении N для случая простой редукции системы (кривая 2) и с уче- том асимптотических свойств неизвестных (кри- вая 1). В данных расчетах при учете асимптоти- ческих свойств неизвестных система замыкалась, используя уравнения (25) для AN и аналогичного выражения для BN . Для N ≥ 10 равенство (32) выполнялось с точностью до 2% как с учетом, так Н. С. Городецкая, Т. Н. Миргородская, В. И. Никишов 15 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2015. Том 17, N 2. С. 9 – 19 и без учета асимптотических свойств неизвестных. Однако для величин 10 < N < 40 интегральные оценки точности полученных результатов при уче- те асимптотических свойств неизвестных в 2 раза лучше, чем при простой редукции системы. Таким образом, даже интегральные оценки показывают, что при учете до 40 членов ряда в выражениях для поля Φ1,2 следует учитывать асимптотические свойства неизвестных. При дальнейшем увеличе- нии количества членов ряда в обоих случаях зна- чения коэффициентов отражения и прохождения практически не изменяются. Отметим еще одну особенность рассматривае- мых кривых. При простой редукции системы (кри- вая 2) увеличении числа членов ряда приводит к плавному увеличению точности интегральных ха- рактеристик. При учете асимптотических свойств неизвестных (кривая 1) с увеличением числа чле- нов ряда точность выполнения интегральных ха- рактеристик имеет осциллирующий характер. Та- кая же особенность зависимости величины ∆ = (R2 + T 2) от N отмечалась в работе [14] и объясня- лась осциллирующим характером поведения ко- эффициентов An, Bn больших номеров. Основным критерием качества полученного ре- шения является контроль точности выполнения условий сопряжения. В качестве примера ниже представлены результаты расчета погрешности выполнения условий сопряжения при учете 50 чле- нов ряда для учете асимптотических свойств не- известных и при простой редукции системы. Рас- сматривалась разность значений потенциала δΦ = \|Φ1 − Φ2\|, которая не превышала в данном слу- чае величины 0.2 % на всем промежутке z ∈ Lg . Для скорости – ситуация иная. В точке z = 0.25 в поле скоростей существует корневая особенность. Поэтому говорить о выполнении условий сопряже- ния в этой точке нет смысла. Следует анализиро- вать точность выполнения условий сопряжения в окрестности точки z = 0.25. На рис. 4 приведены зависимости погрешности выполнения условий сопряжения по скорости при учете 50 членов ряда. На рисунке 4, а представлен общий вид кривых δU = \|U1 − U2\|/k, на рисунке 4, b – их расположения вблизи точки сингулярно- сти в увеличенном виде. Кривая 1 соответствует простой редукции системы, а кривая 2 построе- на при учете асимптотических свойств неизвест- ных. Анализ выполнения условий сопряжения по скоростям позволяет сделать следующие выводы. При учете асимптотических свойств неизвестных (штриховая кривая 2) в малой окрестности точки, в которой существует локальная особенность по скоростям (z = 0.25 + 0.002), точность удовлетво- рения условий сопряжения хуже, чем при простой редукции (кривая 1). Однако область, в которой наблюдается увеличение погрешности выполнения условий сопряжения по скоростям при учете асим- птотических свойств неизвестных, заметно уже, чем при простой редукции. Были проведены ра- счеты выполнения условий сопряжения для дру- гих значений N . Важно отметить, что при даль- нейшем увеличении числа членов ряда при учете асимптотических свойств неизвестных указанная выше область сужается. При этом погрешность удовлетворения условий сопряжения по скоростям может даже незначительно увеличиться. Хара- ктерно, что при простой редукции системы точ- ность выполнения условий сопряжения при уве- личении числа членов ряда увеличивается, однако размер области, в которой наблюдается значитель- ное увеличение ошибки, практически не изменяе- тся. Это позволяет сделать вывод, что учет асим- птотических свойств неизвестных позволяет более точно определить ближнее к барьеру поле. Отме- тим, что для оценки коэффициента отражения R и прохождения T , начиная с 40 членов ряда, можно использовать простую редукцию системы. Остановимся еще на одном вопросе, связанным с выбором способа замыкания системы. Исполь- зуя асимптотические представления для неизвест- ных в виде соотношения (25) для An, n > N и аналогичного для Bn , n > N , мы не накладыва- ем связи между V1 и V2. В то же время, возмо- жны иные способы замыкания системы. В работе [15] при рассмотрении задачи о распространении упругих волн в полуслое со свободными боковыми поверхностями и защемленным торцом, т.е. для волновода с точкой смены типа граничных усло- вий, в которой существует локальная особенность по напряжениям, предлагалось замыкать систему, используя условия сопряжения для двух компо- нент перемещений в заданной точке. Это позво- лило несколько улучшить выполнение граничних условий на торцевой поверхности. В данной работе был также применен аналогичный поход. Для за- мыкания системы используем уравнения (25) для An, n > N , а в качестве второго уравнения - локальное условие сопряжения для функции (18) (непрерывность давления над барьером) в точке z = 0. Это уравнение имеет следующий вид: G2(z) = (1 + R)ϕ0(0) + N ∑ n=1 Anϕn(0)+ +V1 ∞ ∑ n=N+1 Cn κn ϕn(0) = Tϕ0(0)+ + N ∑ n=1 Bnϕn(0) + V1 ∞ ∑ n=N+1 En κn ϕn(0). (34) 16 Н. С. Городецкая, Т. Н. Миргородская, В. И. Никишов ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2015. Том 17, N 2. С. 9 – 19 Рис. 4. Зависимости погрешности выполнения условий сопряжения по скорости для простой и улучшенной редукций Рис. 5. Зависимость погрешности выполнения условий сопряжения по скорости для разных значений N На рис. 5 представлено изменение погрешно- сти выполнения условий сопряжения по скоростям δU на плоскости x = 0, −1 ≤ z ≤ 0. В то- чке z = 0.25 существует локальная особенность по скоростям. Кривая 1 на рис. 5, a соответству- ет 150 членам ряда в представлении для давления и скоростей, штриховая кривая 2 – 250. Аналоги- чные кривые представлены на рис. 5,b, на кото- ром кривая 2 соответствует значению N = 250, а кривая 3 – 350. Как видно из рисунка, погре- шность выполнения условий сопряжения значи- тельно выросла, по сравнению с рассмотренным выше способом замыкания системы (с использо- ванием уравнения (25)), и даже при простой реду- кции системы. Для получения требуемой точности удовлетворения условий сопряжения необходимо учитывать значительно большее количество чле- нов ряда. Отметим, что при увеличении членов ря- да погрешность выполнения условий сопряжения уменьшается, а диапазон 0.25 − ε ≤ z ≤ 0.25 + ε, в котором наблюдается значительный рост погре- шности выполнения условий сопряжения, сужае- тся. Таким образом, при переходе от бесконечной системы уравнений к конечной с использовани- ем метода улучшенной редукции, учитывающим Н. С. Городецкая, Т. Н. Миргородская, В. И. Никишов 17 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2015. Том 17, N 2. С. 9 – 19 асимптотические свойства неизвестных, использо- вание традиционного способа замыкания системы (на основе учета уравнения (25)) дает меньшую погрешность выполнения условий сопряжения (по сравнению с использованием уравнения (34)), при учете одинакового числа членов ряда. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В работе исследована задача рассеяния поверх- ностных гравитационных волн одиночным вер- тикальным тонким барьером. Рассмотрен случай нормального падения волны. Один из эффектив- ных методов решения данного класса задач - использование разложения решений в ряд по соб- ственным функциям задачи. Известно, что рас- пределение скорости потока имеет корневую осо- бенность вблизи вершины барьера. В итоге реше- ние задачи сводится к выполнению условий со- пряжения над барьером и равенства нулю нор- мальных к плоскости барьера компонент скорости. Использованиу свойств ортогональности системы собственных функций приводит задачу к необхо- димости решения бесконечной системы алгебраи- ческих уравнений относительно неизвестных ко- эффициентов разложений. Традиционные подхо- ды к решению такой системы – это метод простой редукции. Однако, как указано в работах [5, 6], для получения точности до второго знака прихо- дится рассматривать достаточно большое количе- ство уравнений, порядка N = 400. Как отмече- но выше, в работе [5] предлагается использовать в качестве базисных функций полиномы Чебышева для получения приемлемых численных результа- тов с умеренно большим количеством уравнений. Особенно важным становится достижение не- обходимой точности вычислений в задачах рассе- яния волн системой вертикальных барьеров, ко- гда рассматриваются резонансные явления, свя- занные с возникновением стоячей волны в про- межутке между барьерами. Для точного опреде- ления частоты запирания при рассмотрении волн высокой частоты, как показано в работе [16], необ- ходимо использовать более 400 уравнений. Это вы- звано наличием особенности распределения скоро- сти вблизи вершины барьера. В работе [17] при- ведено спорное утверждение об исчезновении ло- кальной особенности по скоростям при рассмотре- нии барьера конечной толщины. Локальная осо- бенность по скоростям, обусловленная существо- ванием точки смены типа граничных условий, не исчезает при замене бесконечно тонкого барьера на барьер конечной толщины. В этом случае, т.е. при учете конечной толщины барьера, возникает степенная особенность с иным показателем степе- ни [7], и трудности вычисления бесконечной сис- темы алгебраических уравнений остаются. В данной работе для рассмотрения класса задач рассеяния поверхностных гравитационных волн тонкими вертикальными барьерами предлагается использовать метод выделения особенностей и по- следующее использование асимптотических зави- симостей, которые определяются видом указан- ных особенностей, для неизвестных коэффициен- тов разложения для больших значений N . Это да- ет возможность уменьшить не только размер сис- темы алгебраических уравнений, но и существенно расширить область в окрестности точки смены ти- па граничных условий, в которой улучшается точ- ность полученного решения. Проведенное сравне- ние результатов, полученных на основе применя- емого метода и метода простой редукцией, пока- зало, что предложенный подход улучшенной ре- дукции является более эффективным для расчета задач рассеяния поверхностных гравитационных волн барьерами. 1. Lee J.L., Lee D.Y. Modeling of Wave Scattering by Vertical Barriers. Proc. of the Thirteenth Internati- onal Offshore and Polar Engineering Conference, Honolulu, Hawaii, USA.– 2003. 2. Wiegel R. L. Transmission of waves Past a Rigid Vertical Thin Barrier // J. of the Waterways and Harbors Division // ASCE.– 1960.– vol. 86, No. WW1.- P. 1–12. 3. Abul-Azm A. G. Wave diffraction through submerged breakwaters // J. Waterway, Port, Coastal and Ocean Eng.– 1993.– 119(4).– P. 587-605. 4. Losada, I. J., Losada, M. A. & Roldan, A. J. Propagation of oblique incident waves past rigid, vertical thin barriers // Appl. Ocean Res.– 1992.– vol. 14.– P. 191-99. 5. Porter R., Evans D.V. Complementary approximati- ons to wave scattering by vertical barriers // J. Fluid Mech. – 1995.– vol. 294.– P. 155–180. 6. Linton C.M., P. McIver P. Handbook of Mathemati- cal Techniques for Wave / Structure Interactions. Chapman & Hull/CRC, 2001.– 298 p. 7. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф. О локальных осо- бенностях в математических моделях физических полей // Мат. методы и физ.-мех. gоля.– 1998.– T. 41, №1.– C. 12-34. 8. Lamb H. Hydrodynamics.– Cambridge University Press, 1975.– 752 p. 9. Sneddon I.N. Mixed Boundary value Problems in Potential Theory / North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 1966.– 292 p. 10. Dalrymple R.A., Martin P.A. Wave diffraction through offshore breakwaters // J. of the Waterways, Port, Coastal and Ocean Engineering.– 1990.– vol. 116, No. 6.– P. 727-741. 18 Н. С. Городецкая, Т. Н. Миргородская, В. И. Никишов ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2015. Том 17, N 2. С. 9 – 19 11. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические ко- лебания и волны в упругих телах.– Киев: Наук. думка, – 1981.– 284 с. 12. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. – М.: Наука, 1981.– 798 с. 13. Sinclair G.B. Stress singularities in classical elastici- ty: I. Removal, interpretation, and analysis // Appl. Mech. Rev.– 2004.– vol. 57, No.4.– P. 251-297. 14. Мацыпура В.Т. Акустические поля в неканониче- ских областях // Диссертация на соиск. ученой степени докт. физ.-мат. наук.– Киев, Ин-т гидро- механики НАН Украины, 2003.– 331 с. 15. Городецкая Н.С. К задаче об отражения первой симметричной нормальной волны от защемленно- го торца полуполосы // Акустический вестник.– 1999.– T. 2, №2.– C. 26-34. 16. McIver P. Scattering of water waves by two surface- piercing vertical barriers // IMA J. of Applied Mathematics.– 1985.– vol. 35.– P. 339–355. 17. Kagemoto H. Revisiting the complete wave transmi- ssion and reflection due to an array of 2-D surface- piercing truncated plates fixed in regular incident waves // Ocean Engineering.– 2011.– vol. 38.– P. 976– 982. Н. С. Городецкая, Т. Н. Миргородская, В. И. Никишов 19

О рассеянии поверхностных гравитационных волн тонкими вертикальными барьерами

Репозитарії

Схожі ресурси