Численное исследование взаимодействия внутренних уединенных волн второй бароклинной моды при их фронтальном столкновении
Рассматривается задача о фронтальном столкновении внутренних уединенных волн второй моды. Численные эксперименты показали наличие нескольких типов взаимодействия в зависимости от нормированной на толщину слоя раздела амплитуды волны второй моды. В случае взаимодействия слабо нелинейных волн они сохр...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Прикладна гідромеханіка |
|---|---|
| Datum: | 2015 |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2015
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116532 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Численное исследование взаимодействия внутренних уединенных волн второй бароклинной моды при их фронтальном столкновении / Е. Терлецкая, В. Мадерич, И. Бровченко // Прикладна гідромеханіка. — 2015. — Т. 17, № 3. — С. 44-54. — Бібліогр.: 34 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-116532 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Терлецкая, Е. Мадерич, В. Бровченко, И. 2017-04-29T05:58:02Z 2017-04-29T05:58:02Z 2015 Численное исследование взаимодействия внутренних уединенных волн второй бароклинной моды при их фронтальном столкновении / Е. Терлецкая, В. Мадерич, И. Бровченко // Прикладна гідромеханіка. — 2015. — Т. 17, № 3. — С. 44-54. — Бібліогр.: 34 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116532 532.465 Рассматривается задача о фронтальном столкновении внутренних уединенных волн второй моды. Численные эксперименты показали наличие нескольких типов взаимодействия в зависимости от нормированной на толщину слоя раздела амплитуды волны второй моды. В случае взаимодействия слабо нелинейных волн они сохраняют свой профиль, амплитуда уменьшается в основном за счет вязкого трения и присутствует небольшой фазовый сдвиг. Особенностью взаимодействия переносящих массу волн при числе Фруда, близком к критическому, оказывается то, что волны до соударения являются волнами переносящими массу, а после соударения они трансформируются в слабо нелинейные волны. Взаимодействие устойчивых, переносящих массу волн происходит таким образом, что взаимодействующие волны проходят дальше, частично захватывая окрашенную жидкость в ядрах. При дальнейшем увеличении амплитуд волн с захваченным ядром, при соударении минимальные числа Ричардсона в волнах падают ниже значений 0.12, что приводит к формированию неустойчивости Кельвина-Гельмгольца. Внутри отразившихся и захваченных волнами ядер происходит интенсивное перемешивание, что приводит к росту потерь энергии. Розглядається задача про фронтальне зіткнення усамітнених внутрішніх хвиль другої моди. Чисельні експерименти показали наявність декількох типів взаємодії в залежності від нормованої на товщину шару розділу амплітуди хвилі другої моди. У разі взаємодії слабо нелінійних хвиль вони зберігають свій профіль, амплітуда зменшується в основному за рахунок в’язкого тертя і присутній невеликий фазовий зсув. Особливістю взаємодії хвиль, що переносять масу, при числі Фруда, близькому до критичного, є те, що хвилі до зіткнення є хвилями, що переносять масу, а після зіткнення вони трансформуються в слабо нелінійні хвилі. Взаємодія стійких хвиль, що переносять масу, відбувається таким чином, що взаємодіючі хвилі проходять далі, частково захоплюючи забарвлену рідину в ядрах. При подальшому збільшенні амплітуд хвиль із захопленим ядром, при зіткненні мінімальні числа Річардсона в хвилях падають нижче значень 0.12, що призводить до формування нестійкості Кельвіна-Гельмгольца. Усередині хвиль, що відбилися, і ядер, що були захоплені хвилями, відбувається інтенсивне перемішування, що призводить до зростання втрат енергії. The problem of head-on collision of the solitary internal waves of second mode is considered. Numerical simulations have revealed the presence of several interaction types depending on the normalized second mode wave amplitude on the thickness of the interface. In the case of interaction of weakly nonlinear waves, they retain their profile and the amplitude is reduced mainly due to viscous friction and the small phase shift is occurred. Peculiarity of the interaction of waves with the trapped cores with the Froude numbers close to the critical values is that the waves before collision are the waves with the trapped cores and after the collision, they are transformed into weakly nonlinear waves. Interaction of waves with the trapped cores occurs with the capturing dyed fluid from the cores when waves transmit each other. Further increase of amplitude in waves with the trapped cores lead to decrease of minimum Richardson number below 0.12, resulting in the formation of Kelvin-Helmholtz instability. Inside cores that captured by reflected and waves intensive mixing is occurred. And the intensive mixing leads to the increase of energy losses. ru Інститут гідромеханіки НАН України Прикладна гідромеханіка Науковi статтi Численное исследование взаимодействия внутренних уединенных волн второй бароклинной моды при их фронтальном столкновении Чисельне дослідження взаємодії внутрішніх усамітнених хвиль другої бароклінної моди при їх фронтальному зіткненні Numerical investigation of the interaction of the second baroclinic mode internal solitary waves during head-on collision Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Численное исследование взаимодействия внутренних уединенных волн второй бароклинной моды при их фронтальном столкновении |
| spellingShingle |
Численное исследование взаимодействия внутренних уединенных волн второй бароклинной моды при их фронтальном столкновении Терлецкая, Е. Мадерич, В. Бровченко, И. Науковi статтi |
| title_short |
Численное исследование взаимодействия внутренних уединенных волн второй бароклинной моды при их фронтальном столкновении |
| title_full |
Численное исследование взаимодействия внутренних уединенных волн второй бароклинной моды при их фронтальном столкновении |
| title_fullStr |
Численное исследование взаимодействия внутренних уединенных волн второй бароклинной моды при их фронтальном столкновении |
| title_full_unstemmed |
Численное исследование взаимодействия внутренних уединенных волн второй бароклинной моды при их фронтальном столкновении |
| title_sort |
численное исследование взаимодействия внутренних уединенных волн второй бароклинной моды при их фронтальном столкновении |
| author |
Терлецкая, Е. Мадерич, В. Бровченко, И. |
| author_facet |
Терлецкая, Е. Мадерич, В. Бровченко, И. |
| topic |
Науковi статтi |
| topic_facet |
Науковi статтi |
| publishDate |
2015 |
| language |
Russian |
| container_title |
Прикладна гідромеханіка |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Чисельне дослідження взаємодії внутрішніх усамітнених хвиль другої бароклінної моди при їх фронтальному зіткненні Numerical investigation of the interaction of the second baroclinic mode internal solitary waves during head-on collision |
| description |
Рассматривается задача о фронтальном столкновении внутренних уединенных волн второй моды. Численные эксперименты показали наличие нескольких типов взаимодействия в зависимости от нормированной на толщину слоя раздела амплитуды волны второй моды. В случае взаимодействия слабо нелинейных волн они сохраняют свой профиль, амплитуда уменьшается в основном за счет вязкого трения и присутствует небольшой фазовый сдвиг. Особенностью взаимодействия переносящих массу волн при числе Фруда, близком к критическому, оказывается то, что волны до соударения являются волнами переносящими массу, а после соударения они трансформируются в слабо нелинейные волны. Взаимодействие устойчивых, переносящих массу волн происходит таким образом, что взаимодействующие волны проходят дальше, частично захватывая окрашенную жидкость в ядрах. При дальнейшем увеличении амплитуд волн с захваченным ядром, при соударении минимальные числа Ричардсона в волнах падают ниже значений 0.12, что приводит к формированию неустойчивости Кельвина-Гельмгольца. Внутри отразившихся и захваченных волнами ядер происходит интенсивное перемешивание, что приводит к росту потерь энергии.
Розглядається задача про фронтальне зіткнення усамітнених внутрішніх хвиль другої моди. Чисельні експерименти показали наявність декількох типів взаємодії в залежності від нормованої на товщину шару розділу амплітуди хвилі другої моди. У разі взаємодії слабо нелінійних хвиль вони зберігають свій профіль, амплітуда зменшується в основному за рахунок в’язкого тертя і присутній невеликий фазовий зсув. Особливістю взаємодії хвиль, що переносять масу, при числі Фруда, близькому до критичного, є те, що хвилі до зіткнення є хвилями, що переносять масу, а після зіткнення вони трансформуються в слабо нелінійні хвилі. Взаємодія стійких хвиль, що переносять масу, відбувається таким чином, що взаємодіючі хвилі проходять далі, частково захоплюючи забарвлену рідину в ядрах. При подальшому збільшенні амплітуд хвиль із захопленим ядром, при зіткненні мінімальні числа Річардсона в хвилях падають нижче значень 0.12, що призводить до формування нестійкості Кельвіна-Гельмгольца. Усередині хвиль, що відбилися, і ядер, що були захоплені хвилями, відбувається інтенсивне перемішування, що призводить до зростання втрат енергії.
The problem of head-on collision of the solitary internal waves of second mode is considered. Numerical simulations have revealed the presence of several interaction types depending on the normalized second mode wave amplitude on the thickness of the interface. In the case of interaction of weakly nonlinear waves, they retain their profile and the amplitude is reduced mainly due to viscous friction and the small phase shift is occurred. Peculiarity of the interaction of waves with the trapped cores with the Froude numbers close to the critical values is that the waves before collision are the waves with the trapped cores and after the collision, they are transformed into weakly nonlinear waves. Interaction of waves with the trapped cores occurs with the capturing dyed fluid from the cores when waves transmit each other. Further increase of amplitude in waves with the trapped cores lead to decrease of minimum Richardson number below 0.12, resulting in the formation of Kelvin-Helmholtz instability. Inside cores that captured by reflected and waves intensive mixing is occurred. And the intensive mixing leads to the increase of energy losses.
|
| issn |
1561-9087 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116532 |
| citation_txt |
Численное исследование взаимодействия внутренних уединенных волн второй бароклинной моды при их фронтальном столкновении / Е. Терлецкая, В. Мадерич, И. Бровченко // Прикладна гідромеханіка. — 2015. — Т. 17, № 3. — С. 44-54. — Бібліогр.: 34 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT terleckaâe čislennoeissledovanievzaimodeistviâvnutrennihuedinennyhvolnvtoroibaroklinnoimodypriihfrontalʹnomstolknovenii AT maderičv čislennoeissledovanievzaimodeistviâvnutrennihuedinennyhvolnvtoroibaroklinnoimodypriihfrontalʹnomstolknovenii AT brovčenkoi čislennoeissledovanievzaimodeistviâvnutrennihuedinennyhvolnvtoroibaroklinnoimodypriihfrontalʹnomstolknovenii AT terleckaâe čiselʹnedoslídžennâvzaêmodíívnutríšníhusamítnenihhvilʹdrugoíbaroklínnoímodipriíhfrontalʹnomuzítknenní AT maderičv čiselʹnedoslídžennâvzaêmodíívnutríšníhusamítnenihhvilʹdrugoíbaroklínnoímodipriíhfrontalʹnomuzítknenní AT brovčenkoi čiselʹnedoslídžennâvzaêmodíívnutríšníhusamítnenihhvilʹdrugoíbaroklínnoímodipriíhfrontalʹnomuzítknenní AT terleckaâe numericalinvestigationoftheinteractionofthesecondbaroclinicmodeinternalsolitarywavesduringheadoncollision AT maderičv numericalinvestigationoftheinteractionofthesecondbaroclinicmodeinternalsolitarywavesduringheadoncollision AT brovčenkoi numericalinvestigationoftheinteractionofthesecondbaroclinicmodeinternalsolitarywavesduringheadoncollision |
| first_indexed |
2025-11-26T02:05:55Z |
| last_indexed |
2025-11-26T02:05:55Z |
| _version_ |
1850607759232335872 |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2015. Том 17, N 3. С. 44 – 54
УДК 532.465
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
ВНУТРЕННИХ УЕДИНЕННЫХ ВОЛН ВТОРОЙ
БАРОКЛИННОЙ МОДЫ ПРИ ИХ ФРОНТАЛЬНОМ
СТОЛКНОВЕНИИ
Е. ТЕР Л ЕЦ К А Я, В. М АД Е РИ Ч, И. Б РО ВЧ Е Н К О
Институт проблем математических машин и систем НАН Украины,Киев
03187, просп. академика Глушкова, 42
e-mail: kterletska@gmail.com
Получено 9.06 2015
Рассматривается задача о фронтальном столкновении внутренних уединенных волн второй моды. Численные эк-
сперименты показали наличие нескольких типов взаимодействия в зависимости от нормированной на толщину слоя
раздела амплитуды волны второй моды. В случае взаимодействия слабо нелинейных волн они сохраняют свой
профиль, амплитуда уменьшается в основном за счет вязкого трения и присутствует небольшой фазовый сдвиг.
Особенностью взаимодействия переносящих массу волн при числе Фруда, близком к критическому, оказывается
то, что волны до соударения являются волнами переносящими массу, а после соударения они трансформируются
в слабо нелинейные волны. Взаимодействие устойчивых, переносящих массу волн происходит таким образом, что
взаимодействующие волны проходят дальше, частично захватываяокрашенную жидкость в ядрах. При дальнейшем
увеличении амплитуд волн с захваченным ядром, при соударении минимальные числа Ричардсона в волнах падают
ниже значений 0.12, что приводит к формированию неустойчивости Кельвина-Гельмгольца. Внутри отразившихся
и захваченных волнами ядер происходит интенсивное перемешивание, что приводит к росту потерь энергии.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: фронтальное столкновение, внтутренние волны второй бароклинной моды, численное моде-
лирование
Розглядається задача про фронтальне зiткнення усамiтнених внутрiшнiх хвиль другої моди. Чисельнi експеримен-
ти показали наявнiсть декiлькох типiв взаємодiї в залежностi вiд нормованої на товщину шару роздiлу амплiтуди
хвилi другої моди. У разi взаємодiї слабо нелiнiйних хвиль вони зберiгають свiй профiль, амплiтуда зменшується
в основному за рахунок в’язкого тертя i присутнiй невеликий фазовий зсув. Особливiстю взаємодiї хвиль, що пе-
реносять масу, при числi Фруда, близькому до критичного, є те, що хвилi до зiткнення є хвилями, що переносять
масу, а пiсля зiткнення вони трансформуються в слабо нелiнiйнi хвилi. Взаємодiя стiйких хвиль, що переносять
масу, вiдбувається таким чином, що взаємодiючi хвилi проходять далi, частково захоплюючи забарвлену рiдину в
ядрах. При подальшому збiльшеннi амплiтуд хвиль iз захопленим ядром, при зiткненнi мiнiмальнi числа Рiчардсона
в хвилях падають нижче значень 0.12, що призводить до формування нестiйкостi Кельвiна-Гельмгольця. Усерединi
хвиль, що вiдбилися, i ядер, що були захопленi хвилями, вiдбувається iнтенсивне перемiшування, що призводить до
зростання втрат енергiї.
КЛЮЧОВI СЛОВА: фронтальне зiткнення, внутiшнi хвилi другої бароклiної моди, чисельне моделювання
The problem of head-on collision of the solitary internal waves of second mode is considered. Numerical simulations have
revealed the presence of several interaction types depending on the normalized second mode wave amplitude on the
thickness of the interface. In the case of interaction of weakly nonlinear waves, they retain their profile and the amplitude
is reduced mainly due to viscous friction and the small phase shift is occurred. Peculiarity of the interaction of waves with
the trapped cores with the Froude numbers close to the critical values is that the waves before collision are the waves with
the trapped cores and after the collision, they are transformed into weakly nonlinear waves. Interaction of waves with the
trapped cores occurs with the capturing dyed fluid from the cores when waves transmit each other. Further increase of
amplitude in waves with the trapped cores lead to decrease of minimum Richardson number below 0.12, resulting in the
formation of Kelvin-Helmgoltz instability. Inside cores that captured by reflected and waves intensive mixing is occurred.
And the intensive mixing leads to the increase of energy losses.
KEY WORDS: head-on collision, second baroclinic mode internal solitary waves, numerical modeling
ВВЕДЕНИЕ
Внутренние волны в океане являются важным
механизмом переноса и диссипации энергии [1]. В
устойчиво стратифицированном океане преобла-
дают внутренние волны первой бароклинной мо-
ды. В зависимости от расположения пикноклина
относительно дна и поверхности внутренние вол-
ны первой моды бывают двух типов – волны по-
вышения (пикноклин ближе ко дну) и волны пони-
жения (пикноклин ближе к поверхности). В то же
время, при наличии прослоек в профиле плотнос-
ти возможно возникновение волн второй моды, ге-
нерируемых бароклинным приливом над неодно-
родностями дна ([2–7]). Волны второй моды хара-
ктеризуются симметричными колебаниями в слое
раздела и могут представлять собой как сужения
пикноклина ("вогнутые"волны второй моды), так
и расширение пикноклина ("выпуклые"волны вто-
44 c© Е. Терлецкая, В. Мадерич, И. Бровченко , 2015
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2015. Том 17, N 3. С. 44 – 54
рой моды). Особенностью "выпуклых"внутренних
волн второй моды является возможность захвата
и переноса на значительные расстояния жидко-
сти в ядре таких волн [8–11] при достаточно боль-
шой амплитуде. Аналогичными свойством обла-
дают волны первой моды, распространяющиеся в
тонком пикноклине у поверхности или у дна в оке-
ане [8] и в пограничном слое атмосферы [12, 13].
Слабо нелинейная теория таких волн второй мо-
ды на глубокой воде была развита в работах [14,
15]. Уединенные волны второй бароклинной моды
больших амплитуд хорошо описываются решения-
ми уравнения Дюбрейль-Жакотен [16]. Динамика
распространения таких волн исследовалась в как в
лабораторных экспериментах [8–11], так и числен-
но [17, 18].
В данной работе изучается столкновение уеди-
ненных внутренних "выпуклых" волн второй мо-
ды. Подобное явление для волн первой моды с
захваченным ядром наблюдается в пограничном
слое атмосферы [19–20].
Солитонные решения ряда уравнений, в том чи-
сле уравнений Кортевега-Де Вриза (КдВ), Гар-
днера, нелинейного уравнения Шредингера, обла-
дают свойством сохранять форму при взаимодей-
ствии [21]. В отличие от этих уравнений, взаимо-
действие внутренних уединенных волн, описывае-
мое в рамках уравнений Эйлера и Навье-Стокса,
отличается от солитонного, хотя отклонения от
эластичного взаимодействия (без потерь кинети-
ческой энергии) небольшие (см. обзор в [22]). Вза-
имодействие внутренних волн малой амплитуды в
двухслойной жидкости при фронтальном столкно-
вении аналитически и численно изучалось в [23–
25], где показано, что оно проявляется в генерации
дисперсионных хвостов и некотором малом фазо-
вом сдвиге. Столкновение внутренних уединенных
волн понижения большой амплитуды исследова-
лось численно в работе [26], где было обнаруже-
но, что, кроме фазового сдвига и дисперсионных
хвостов, взаимодействие приводит к сдвиговой не-
устойчивости и формированию вихрей Кельвина-
Гельмгольца в слое раздела. Процессы взаимо-
действия волн с захваченным ядром еще более
сложны из-за взаимодействия объемов переноси-
мой жидкости. В работах [27, 28] приведены ре-
зультаты лабораторных экспериментов, тогда как
результаты моделирования взаимодействия волн
второй моды одинаковой амплитуды представле-
ны в [17], однако эти результаты имеют качествен-
ный характер. Настоящее исследование обобщает
известные работы и впервые представляет класси-
фикацию процессов взаимодействия.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОПИСАНИЕ
ЧИСЛЕННОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
Расчеты проводились в рамках уравнений Навье-
Стокса для стратифицированной по солености во-
ды в приближении Буссинеска:
∂Ui
∂xi
= 0, (1)
∂Ui
∂t
+ Uj
∂Ui
∂xj
= −
1
ρ0
∂P
∂xi
+ ν
∂2Ui
∂xi∂xj
−
giρ
ρ0
, (2)
∂S
∂t
+ Uj
∂S
∂xj
= χ
∂2S
∂x2
j
, (3)
где xi = (x, y, z) – декартовы координаты, ось z на-
правлена вертикально вверх; Ui = (U, V, W ) – со-
ставляющие поля скорости; P – давление; ρ – плот-
ность воды; S – соленость, gi = (0, 0, g) – ускорение
свободного падения; ν – кинематическая вязкость;
χ – молекулярная диффузия. Система уравнений
дополнялась уравнением состояния. На свободной
поверхности касательные напряжения отсутству-
ют, а на твердых границах используются условия
скольжения. Детально алгоритм решения системы
(1)-(3) описан в [29].
Данная численная модель применялась для про-
ведения серии численных экспериментов по фрон-
тальному взаимодействию волн второй моды в
слое раздела. Конфигурация лотка показана на
рис. 1. Лоток длиной L = 3м и высотой 2H = 0.92м
заполнен двухслойной жидкостью с плотностью
верхней жидкости ρ1, нижней жидкости – ρ2, ко-
торые разделены тонким слоем раздела толщиной
2h. Стратификация в лотке симметричная отно-
сительно середины глубины лотка и описывается
функцией:
ρ (z) = ρ0
(
1 −
∆ρ
2
th
( z
2h
)
)
, (4)
где h – толщина слоя раздела. Внутренние волны
генерировались коллапсом перемешанной области
[30], когда в бассейне выделяется часть объема, за-
полненная водой с плотностью ρ0, где ρ0 = (ρ2 +
ρ1)/2 = 1009.5кг м−3 и ∆ρ = (ρ2 − ρ1)/ρ0 = 0.022,
молекулярная вязкость ν = 1.14 · 10−6м2с−1 и мо-
лекулярной диффузии соли χ = 10−9 м2с−1. На-
чальный объем перемешанной жидкости с плот-
ностью ρ0 был помечен пассивной примесью. На
твердых границах расчетной области задавались
условия скольжения.
Основные характеристики волны, используемые
при анализе, изображены на рис. 1. Волна хара-
ктеризуется амплитудой a, которая определяется
как максимальное отклонение изопикны от уровня
Е. Терлецкая, В. Мадерич, И. Бровченко 45
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2015. Том 17, N 3. С. 44 – 54
Рис. 1. Схема численного эксперимента (а), основные характеристики волн, используемые при анализе (б)
h, длиной волны λ, которая равна половине рас-
стояния, на котором амплитуда волны уменьшае-
тся вдвое. Аналогично определяется горизонталь-
ный размер ядра волны l0 как половина рассто-
яния, на котором половинная высота ядра h0 па-
дает в два раза. Высота ядра волны определяется
как расстояние от оси симметрии до границы обла-
сти, переносящей массу, то есть области, где ло-
кальные скорости превышают скорость длинных
линейных волн. Фазовая скорость волны Uc вычи-
сляется как скорость вершины волны. Um – макси-
мальная скорость в вертикальном сечении волны.
Эффект влияния высоты вычислительного лотка
на распространение внутренних волн описывается
с помощью параметра ε:
ε =
H
h
. (5)
Известно, что распространение волн второй мо-
ды в лотке сопровождается появлением волны пер-
вой моды [31]. В работе проведено исследование
влияния первой моды на распространение волны
второй моды. Для этого результаты моделирова-
ния полного лотка, изображенного на рис. 1, срав-
нивались с расчетами для моделирования только
верхней симметричной половины лотка z > 0, при
котором было исключено появление первой баро-
клинной моды. В данном численном эксперименте
h = 0.5 cм и амплитуда волны а/h = 4.5. Сравне-
ние результатов моделирования показало, что на
расстояниях 10-15 длин волн влияние первой мо-
ды не существенно. Амплитуды волн, после про-
хождения 15 длин волн, отличаются на 2.5%. Ра-
зница в оценках потерь энергии для этих случаев
будет обсуждаться при анализе процессов взаимо-
действия. Основные расчеты приведены для верх-
ней половины лотка z > 0. Задача решалась в
квазидвумерной постановке, когда уравнения дис-
кретизировались в нескольких узлах поперек бас-
сейна при условии скольжения на боковых стен-
ках бассейна. Разрешение сетки по длине, высоте
и ширине для верхней половины лотка составляло
3000× 300 × 5 узлов.
Приведем далее основные параметры, характе-
ризующие динамику волн второй моды. Характер-
ная скорость длинных волн второй моды опреде-
ляется как
C =
1
2
√
gh∆ρ. (6)
Характерное время вычисляется по формуле
τ0 = 2
√
ρ0h/∆ρg. (7)
Отношение максимальной локальной скорости
Um к фазовой скорости волн Uc определяет вну-
треннее число Фруда:
Frmax = Um/Uc. (8)
Число Рейнольдса будет
Re = Ch/ν. (9)
Эффективное число Рейнольдса Reeff , характе-
ризующее влияние вязкости на волны конечной
амплитуды, определяется как
Reeff =
Uma
ν
. (10)
Устойчивость волн характеризуется числом Ри-
чардсона:
Ri = −
g
ρ0
∂ρ
∂z
/
(
∂U
∂z
)2
. (11)
Отметим, что в работе [18] была показана не-
полная автомодельность динамики волн по числу
46 Е. Терлецкая, В. Мадерич, И. Бровченко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2015. Том 17, N 3. С. 44 – 54
Рейнольдса, которая выражается в не исчезаю-
щей при больших Reeff зависимости минималь-
ного значения параметра Ричадсона Rimin и ско-
рости затухания амплитуд волн от Reeff .
Были проведены серии расчетов при толщинах
пикноклина h=0.5;1;2 см (соответствующие чи-
сленным экспериментам из работы [18]). Параме-
тры для серий этих расчетов приведены в таблице
1. Изменяя размеры перемешанного объема, в ка-
ждой серии расчетов были получены наборы волн
различных амплитуд a, характеризующихся без-
размерной скоростью Uc/C, числом Фруда Frmax,
числом Рейнольдса Reeff и минимальным значе-
нием числа Ричардсона Rimin.
Табл. 1. Параметры расчетов
h(см) Re ε
0.5 75 92
1 200 46
2 575 23
В зависимости от значений параметров Frmax и
минимального числа Ричардсона Rimin выделены
три основных класса симметричных уединенных
волн второй моды, распространяющихся в слое ра-
здела между двумя глубокими однородными сло-
ями воды [18]:
1. Слабо нелинейные внутренние уединенные
волны при Frmax < 1 и Rimin > 1, распростра-
няющиеся в слое раздела без захвата жидкости
в ядре. Линии тока в движущейся системе коор-
динат у таких волн разомкнуты. Динамика таких
волн описывается теорией Бенджамина-Оно [14].
2. Сильно нелинейные внутренние волны с
устойчивым ядром захваченной жидкости при
Rimin > 0.15 и 1 < Frmax < 1.3
3. Сильно нелинейные локально неустойчивые
волны Frmax ≈ 1.3. При значениях Rimin ≤
0.1 происходит развитие сдвиговой неустойчиво-
сти, которая приводит к формированию вихрей
Кельвина-Гельмгольца. Волна, в целом, устойчи-
ва и переносит массу, которая, однако, теряется
за счет неустойчивости КГ.
В последующих разделах рассматривается
фронтальное взаимодействие волн второй моды
для каждого из классов и приведены примеры
для серии экспериментов для h=0.5 см.
2. АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
2.1. Взаимодействие слабо нелинейных волн
Взаимодействие волн без захвата жидкости в ядре
показано на рис. 2,а. Амплитуда набегающей вол-
ны a/h = 0.81. При соударении волна сохраняет
свой профиль, амплитуда уменьшается в основном
за счет вязкого трения. Траектория вершин взаи-
модействующих волн представлена на рис. 4,а, из
которого видно, что присутствует небольшой фа-
зовый сдвиг, но в целом при данном типе взаимо-
действия отклонения от эластичного соударения
малы.
2.2. Взаимодействие переносящих массу волн
при числе Фруда, близком к критическому
Особенность данного типа взаимодействия заклю-
чается в том, что волны до соударения являю-
тся волнами, переносящими массу, с числом Фру-
да Frmax в окрестности критического значения 1, а
после соударения они трансформируются в слабо-
нелинейные волны. На рис. 2,б показано столкно-
вение волн в случае, когда нормированные ампли-
туды набегающих волн a/h = 1.6, а число Фру-
да Frmax=1.1. На рис. 3 приведены профили вол-
ны до и после соударения. На рис. 3,а показан
профиль набегающей волны с амплитудой a/h =
1.6, переносящей массу, а на рис. 3,б – профиль
волны после взаимодействия имеющей амплитуду
a/h = 1.1 и число Фруда Frmax=1.1. Видно, что
в результате взаимодействия амплитуда прошед-
шей волны упала на треть и профиль волны опи-
сывается слабо-нелинейной теорией Бенжамина-
Оно [14]. После соударения сами ядра перемешан-
ной жидкости остаются на месте, постепенно ра-
стекаясь под действием сил плавучести, а волны
распространяются далее без переноса массы. Тра-
ектория вершин взаимодействующих волн пред-
ставлена на рис. 4,в. Как видно на рисунке, фа-
зовый сдвиг становится уже значительным.
2.3. Взаимодействие устойчивых, переносящих
массу волн
При значениях Frmax > 1 волны второй моды ха-
рактеризуются устойчивым ядром и достаточно
долгое время после формирования в этих ядрах,
захвативших жидкость, завихренность незначи-
тельна по сравнению с завихренностью за преде-
лами ядра [32]. На рис. 2,в показан случай стол-
кновения для волн с нормированной амплитудой
a/h = 3.3. На рис. 5,а–г показано поле завихренно-
Е. Терлецкая, В. Мадерич, И. Бровченко 47
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2015. Том 17, N 3. С. 44 – 54
Рис. 2. Взаимодействие внутренних волн второй моды, при толщине слоя раздела h = 0.5 см с амплитудами
до взаимодействия:
a – a/h = 0.81; б – a/h = 1.6; в – a/h = 3.3; г – a/h = 4.5.
Показаны изопикны и визуализированы ядра (окрашенная жидкость)
сти и изопикны. В момент сближения между вол-
нами образуется вертикальная струя (рис. 6,б) с
максимальной нормированной вертикальной ско-
ростью W/C ≈ 3, а потом жидкость, вытолкнутая
струей, растекается, обтекая слившиеся объемы.
При этом образуется область, в которой находя-
тся столкнувшиеся ядра (окрашенная жидкость).
Как видно из рис. 2,в, ядра не перемешиваются
при столкновении, что было отмечено в лабора-
торных экспериментах [33]. Затем волны проходят
дальше, частично захватывая окрашенную жид-
кость в ядрах. Этот процесс сопровождается не-
48 Е. Терлецкая, В. Мадерич, И. Бровченко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2015. Том 17, N 3. С. 44 – 54
Рис. 3. Взаимодействие для случая h = 0.5 см:
a – профиль волны (изопикна 1015 кг/м3),
переносящей массу, до соударения в сечении xl с
амплитудой a/h = 1.6;
б – профиль волны после соударения в сечении xl, с
амплитудой a/h = 1.1, распространяющейся без
переноса массы, и теоретический профиль [14]
которым перемешиванием, так что плотность за-
хваченной жидкости в прошедших волнах отлича-
ется от плотности в ядрах до столкновения. На
рис. 5,д показаны вертикальные профили скоро-
сти в центре набегающей и прошедшей волн для
сечения xr до и после столкновения. Профили
скорости подобны наличием ядра почти постоян-
ной скорости. После взаимодействия максималь-
ная скорость падает на 8 процентов. Траектория
вершин взаимодействующих волн представлена на
рис. 4,б. Соответствующий фазовый сдвиг, как ви-
дно на рис. 4,г, обусловленный взаимодействием
волн, также значителен.
К этому же типу взаимодействия относится ла-
бораторный эксперимент [27], в котором модели-
ровалось отражение волны второй моды с верти-
кальной стенкой. В этом эксперименте a/h =
2.75, ∆ρ = 0.1, h = 2.5 мм. Соответствующие чис-
ла Фруда и Ричардсона падающей волны Frmax =
1 и Rimin=0.3. На рис. 7,а-б показано сравнение
результатов моделирования с результатами лабо-
раторного эксперимента. Как следует из рисунка,
отражение волны от вертикальной стенки подобно
взаимодействию двух волн, в результате которого
объем захваченной жидкости отражается вместе
с волной. Экспериментальные и расчетные трае-
ктории вершины волны, изображенные на рис. 8,
совпадают.
Рис. 4. Траектории вершин взаимодействующих
волн, эксперименты с волнами:
а – a/h = 0.81; б – a/h = 1.6; в – a/h = 3.3;
г – a/h = 4.5
2.4. Взаимодействие переносящих массу волн
с развитием сдвиговой неустойчивости КГ
На рис. 2,г представлен процесс взаимодействия
волн большой амплитуды a/h = 4.5 при числе Ри-
чадсона Rimin=0.2, близкому к критическому зна-
чению Rimin=0.15 [18]. При столкновении волн,
как и в предыдущем случае, возникает интен-
сивная вертикальная струя, которая затем фор-
мирует течение, обтекающее слившиеся объемы,
и порождает сдвиговую неустойчивость прошед-
ших волн, при которой числа Ричардсона пада-
ют до значений 0.11. В результате неустойчивости
в ядре с захваченной жидкостью происходит пе-
ремешивание и наблюдается обмен жидкости ме-
жду ядром и окружающей средой. С течение вре-
мени амплитуда прошедших волн уменьшается и
волны вновь становятся устойчивыми. Как видно
на рис. 4,д, за счет переформирования волн с за-
хваченными ядрами увеличивается временная за-
держка при взаимодействии.
Е. Терлецкая, В. Мадерич, И. Бровченко 49
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2015. Том 17, N 3. С. 44 – 54
Рис. 5. Взаимодействие внутренних волн второй моды с амплитудой a/h = 3.3 для случая h = 0.5 см:
на рисунках (а–г) показанa эволюция поля завихренности и поля плотности (представлены изопикны);
на рисунке д представлены вертикальные профили скорости по центру волны в сечении xr до и после
столкновения
Рис. 6. Детали взаимодействия волн второй моды с амплитудой набегающих волн a/h = 3.3
Рис. 7. Отражение волны с захваченным ядром от
вертикальной стенки:
а – лабораторный эксперимент [27],
б – поле солености, полученное моделированием
Рис. 8. Отражение волны с захваченным ядром от
вертикальной стенки. Траектории вершины волны
2.5. Взаимодействие волн различной
амплитуды
Процессы взаимодействия волн с захваченными
ядрами при столкновение волн разных амплитуд
приводят к новому эффекту – обмену масс захва-
ченной жидкости между сталкивающимися волна-
ми. Эти процессы до сих пор не рассматривались,
за исключением единственного лабораторного эк-
сперимента [27], параметры которого не приведе-
ны. Расчеты, рассмотренные ниже, проводились
для волн, переносящих массу. Парамеры этих волн
для двух численных экспериментов представлены
в таблице 2. На рис. 9 показаны вертикальные ра-
зрезы поля солености и пассивного трассера, пе-
реносимого волнами в процессе взаимодействия
волн различной амплитуды. В первом случае, ко-
гда взаимодействуют устойчивые волны с ампли-
тудой a/h=2.1 и a/h=3.3, в результате взаимодей-
ствия происходит обмен массой между волнами:
в прошедшую волну большей амплитуды вовлека-
ется жидкость из падающей волны большей ам-
плитуды, медленно перемешивающаяся с водой,
захваченной волной меньшей амплитуды. Во вто-
ром случае, когда взаимодействуют волны боль-
50 Е. Терлецкая, В. Мадерич, И. Бровченко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2015. Том 17, N 3. С. 44 – 54
Рис. 9. Взаимодействие волн разных амплитуд: (а) – a/h = 2.1 и a/h = 3.3; (б) – a/h = 4.5 и a/h = 3.3
шой амплитуды (a/h=4.5 и a/h=3.3), в результа-
те взаимодействия также происходит обмен мас-
сой между волнами, но при этом волны становятся
локально неустойчивыми, развивается неустойчи-
вость КГ, а перемешивание в захваченных ядрах
происходит более интенсивно.
Табл. 2. Характеристики взаимодействия волн
различных амплитуд, для случая толщины слоя
раздела h=0.5 см
Эксп. ail/h air/h arl/h arr/h Etot dt
1 2.1 3.3 3.3 2.05 20 2.7
2 4.5 3.3 4.45 3.15 25 2.1
Из графиков траекторий вершин сталкиваю-
щихся волн разных амплитуд, приведенных на
рис. 10, видно, что траектория волны большей ам-
плитуды в меньшей степени подвергается измене-
ниям при соударении. В первом эксперименте наи-
более устойчива волна с амплитудой a/h = 3.3 -
ее амплитуда незначительно уменьшается, а трае-
ктория остается почти неизменной. Во втором эк-
сперименте волна с амплитудой a/h = 4.5 после
соударения становится локально неустойчивой, пе-
реносимая масса захваченной жидкости уменьша-
ется, вследствие чего ее скорость при дальнейшем
движении падает.
2.6. Энергетика взаимодействия
Важной характеристикой взаимодействия являю-
тся потери энергии при взаимодействии волн. По-
тери энергии за счет диссипации и перемешива-
ния, приводящего к переходу в недоступную фо-
новую потенциальную энергию, могут быть оце-
нены, исходя из бюджета энергии волн до и после
взаимодействия. Сумма кинетической и доступной
потенциальной энергии называется псевдоэнерги-
ей [34]. Метод расчета доступной потенциальной
энергии детально описан в [34]. Обозначим псев-
доэнергию волн, перемещающихся слева направо
в сечениях xl, xr и справа налево в сечениях xr,
xl как PSE−l , PSE+
r , PSE−r , PSE+
l соответствен-
но. Тогда потери псевдоэнергии на перемешивание
за счет неустойчивости и потери псевдоэнергии за
счет вязкости и диффузии можно оценить как
∆E =
PSE−l + PSE−r − PSE+
l − PSE+
r
PSE−l + PSE−r
. (12)
Характеристики набегающей волны фиксирова-
лись в сечении, отстоящем от левого торца лотка
Е. Терлецкая, В. Мадерич, И. Бровченко 51
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2015. Том 17, N 3. С. 44 – 54
Рис. 10. Траектории вершин сталкивающихся волн
амплитудой:
а – a/h = 2.1 и a/h = 3.3; б – a/h = 4.5 и a/h = 3.3
на расстоянии xl = 1.1, а отраженной в сечении
xr = 1.9. Для того чтобы учесть эффект вязко-
го и диффузионного затухания уединенных волн,
для всех численных экспериментов проводились
расчеты с одиночной волной, распространяющей-
ся слева направо, и рассчитывались потери энер-
гии для волны при ее распространении от сечения
xl, до xr. Потери энергии на перемешивание при
столкновении δE (рис. 11,б) определялись как раз-
ность между потерями энергии в экспериментах с
двумя сталкивающимися волнами ∆Etot (рис.11,в)
и в экспериментах, в которых одна волна проходит
между сечениями xl = 1.1 и xr = 1.9, теряя при
этом количество энергии ∆Ediss (рис. 11,а):
δE = ∆Etot − ∆Ediss. (13)
Сравнение результатов взаимодействия волн
второй моды для конфигураций с половинным и
полным лотком показало, что на расстояниях 10–
15 длин волн влияние первой моды не существен-
но. Разница в потерях энергии для волны большой
амплитуды a/h = 4.5 составила для полного лотка
12 процентов, а для половинного – 9 процентов.
Расчеты показали, что общие потери энергии
∆Etot немонотонно зависят от безразмерной ам-
плитуды волн a/h. Как следует из рис. 11,в, ∆Etot
растет в интервале 0 ≤ a/h ≤ 1, достигая ло-
кального максимума в интервале 1 ≤ a/h ≤ 2,
затем падает и снова медленно растет с увели-
чением a/h. Диссипация энергии уединенной вол-
ны ∆Ediss максимальна при малых a/h, затем она
уменьшается и снова растет. Вклад диссипации в
полную потерю энергии доминирует над потерями
энергии при взаимодействии. Результаты расчетов
показали, что зависимость относительных потерь
энергии при взаимодействии от амплитуды немо-
нотонна, а именно, характеризуется хорошо выра-
женным максимумом в окрестности значений a/h
= 1.5. В этом диапазоне после соударения сами
ядра перемешанной жидкости остаются на месте,
постепенно растекаясь под действием сил плавуче-
сти, а волны распространяются далее без переноса
массы.
Рис. 11. График зависимости потерь энергии от
нормированной амплитуды волны a/h:
а – потери энергии за счет вязкости и диффузии на
отрезке xl, до xr ∆Ediss; б – потери энергии при
соударении δE; в – общие потери энергии ∆Etot
52 Е. Терлецкая, В. Мадерич, И. Бровченко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2015. Том 17, N 3. С. 44 – 54
ВЫВОДЫ
В работе исследуется столкновение внутренних
волн второй моды. Численные эксперименты по-
казали наличие нескольких типов взаимодействия
в зависимости от нормированной на толщину слоя
раздела амплитуды волн второй моды a/h. В за-
висимости от значений локального максимального
числа Фруда Frmax и минимального числа Ричард-
сона Rimin выделены три основных класса симме-
тричных уединенных волн второй моды:
1) cлабо нелинейные внутренние уединенные вол-
ны при Frmax < 1 и Rimin > 1, распространяющи-
еся в слое раздела без захвата жидкости в ядре;
2) cильно нелинейные внутренние волны с устой-
чивым ядром захваченной жидкости при Rimin >
0.15 и 1 < Frmax < 1.3;
3) cильно нелинейные локально неустойчивые вол-
ны Frmax ≈ 1.3.
При взаимодействии слабонелинейных волн
волна сохраняет свой профиль, амплитуда умень-
шается в основном за счет вязкого трения и при-
сутствует небольшой фазовый сдвиг. Потери энер-
гии при взаимодействии волн растут с увеличени-
ем a/h. Особенностью взаимодействия перенося-
щих массу волн при числе Фруда, близком к кри-
тическому, является то, что волны до соударения
оказываются волнами, переносящими массу, а по-
сле соударения они трансформируются в слабоне-
линейные волны. Относительные потери энергии
в диапазоне 1 ≤ a/h ≤ 2 максимальны за счет по-
тери жидкости в захваченных ядрах волн второй
моды. Взаимодействие устойчивых переносящих
массу волн происходит таким образом, что взаи-
модействующие волны проходят дальше, части-
чно захватывая окрашенную жидкость в ядрах.
Этот процесс сопровождается некоторым переме-
шиванием, так что плотность захваченной жид-
кости в прошедших волнах отличается от плот-
ности в ядрах до столкновения. При дальнейшем
увеличении амплитуд волн с захваченным ядром
при соударении минимальные числа Ричардсона в
волнах падают ниже значений 0.12, что приводит
к формированию неустойчивости КГ, аналогично
случаю взаимодействия волн больших амплитуд
первой моды [26]. Внутри отразившихся и захва-
ченных волнами ядер происходит интенсивное пе-
ремешивание, что увеличивает потери энергии.
1. Helfrich K. R., Melville W. K. Long nonlinear
internal waves // Annu. Rev. Fluid Mech.– 2006.–
38.– P. 395 – 425.
2. Konyaev, K. V., Sabinin K. D., Serebryany A. N.
Large amplitude internal waves at the Mascarene Ri-
dge in the Indian Ocean // Deep Sea Res. Part I.–
1995.– 42.– P. 2075 – 2091.
3. Yang Y. J., Fang Y. C., Chang M.-H., Ramp
S. R., Kao C.-C., Tang T. Y. Observations of
second baroclinic mode internal solitary waves
on the continental slope of the northern South
China Sea // J. Geophys. Res.– 2009.– 114.–
P. doi:10.1029/2009JC005305.
4. Yang Y. J., Fang Y. C., Tang T. Y., Ramp S.
R. Convex and concave types of second baroclinic
mode internal solitary waves // Nonlin. Processes
Geophys.– 2010.– 17.– P. 605–614.
5. Shroyer E. L., Moum J. N., Nash J. D. Mode-2 waves
on the continental shelf: ephemeral components of the
nonlinear internal wave field // J. Geophys. Res.–
2010.– 1115.– P. doi:10.1029/2009JC005605.
6. Ramp S. R. Y. J. Yang D. B. Reeder, and F. L. Bahr
Observations of a mode-2 nonlinear internal wave
on the northern Heng-Chun Ridge south of Taiwan
// Journal of Geophysical Research.– 2012.– 117.–
P. 30–43.
7. Liu K.,Su F.-C.,Hsu M.-K.,Kuo N.-J.,Ho C.-R.
Generation and evolution of mode-two internal
waves in the South China Sea // Continental Shelf
Research.– 2013.– 59.– P. 18–27.
8. Davis, R. E., Acrivos A. Solitary internal waves in
deep water // J. Fluid Mech.– 1967.– 29.– P. 593–
607.
9. Maderich, V. S., Kulik, A. I Laboratory experiments
on the collapse of an intrusion in a layered medium //
Izv. Akad. Nauk. SSSR, Phys. Atmos. Ocean.– 1992.–
28.– P. 1197–1204.
10. Maderich, V. S., Heijst, G. J. F. van Brandt,
A. Laboratory experiments on intrusive flows and
internal waves on a pycnocline // J. Fluid Mech.–
2001.– 432.– P. 285–311.
11. Carr M. , Davies P. A. , Hoebers R. P. Experiments
on the structure and stability of mode-2 internal
solitary-like waves propagating on an offset pycnocli-
ne // Phys. Fluids.– 2015.– 27.– P. 046602.
12. Rottman, J., Simpson, J The formation of internal
bores in the atmosphere - a laboratory model //
Quarterly Journal Of The Royal Meteorological
Society.– 1989.– 76.– P. 177-–185.
13. Christie, D. R. The morning glory of the Gulf of
Carpentaria: a paradigm for non-linear waves in the
lower atmosphere // Austral. Met. Mag.– 1992.– 41.–
P. 21-–60.
14. Benjamin, T. B. waves of permanent form in fluids of
great depth. // J. Fluid Mech.– 1967.– 29.– P. 559–
592.
15. Ono H. Algebraic solitary wave in stratified fluids. //
J. Phys. Soc. Jpn..– 1974.– 39.– P. 1082–1091.
16. Dubreil-Jacotin L. Sur les ondes type permanent dans
les liquides heterogenes // Atti R. Accad. Naz. Li-
ncei, Mem. Cl. Sci.Fis., Mat. Nat.– 1932.– 15.– P. 44–
72.
17. Terez, D. E., Knio, O. M. Numerical simulations of
large-amplitude internal solitary waves // J. Fluid
Mech.– 1998.– 362.– P. 53–82.
18. Maderich V., Jung K.T.,Terletska K., Brovchenko I.
and Talipova T. Incomplete similarity of internal soli-
tary waves with trapped cores // Fluid Dyn. Res.–
2015.– 47.– P. doi:10.1088/0169-5983/47/3/035511.
Е. Терлецкая, В. Мадерич, И. Бровченко 53
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2015. Том 17, N 3. С. 44 – 54
19. Clarke, R. H. Colliding sea breezes and the creation
of internal atmospheric waves: a numerical model //
Austral. Met. Mag.– 1984.– 32.– P. 207-–226.
20. Alan Lapworth Collision of two sea-breeze fronts
observed in Wales // Weather.– November 2005.–
60.– P. 316.
21. Zabusky N. J., Kruskal M. D. Interactions of solitons
in a collisionless plasma and the recurrence of initial
states // Phys. Rev. Lett.– 1965.– 15.– P. 240–243.
22. Lamb K.G Are solitary internal waves solitons? //
Studies Appl. Math.– 1998.– 101.– P. 289–308.
23. Mirie R.M., Su C. H. Internal solitary waves and their
head-on collision. I // J. Fluid Mech.– 1984.– 147.–
P. 213–231.
24. Mirie R.M., Su C. H. Internal solitary waves and their
head-on collision. II // Phys. Fluids.– 1986.– 29.–
P. 31–37.
25. Nguyen H.Y., Dias F. A Boussinesq system for two-
way propagation of interfacial waves. // Physica D.–
2008.– 237 .– P. 2365–2389.
26. Терлецкая Е.В., Мадерич В.С. Бровченко И.А.
Взаимодействие уединенных внутренних волн при
их фронтальном столкновении // Прикладна
гiдромеханiка.– 2011.– 13(85).– С. 68–77.
27. Stamp, A. P., Jacka, M Deep-water internal solitary
waves // J. Fluid Mech.– 1995.– 305.– P. 347–341.
28. Honji H., Matsunaga N. Sugihara Y. Sakai K. Experi-
mental observation of internal symmetric solitarty
waves in a two- layer fluid // Fluid Dyn. Res.– 1995.–
15.– P. 89-102.
29. Kanarska Y., Maderich V. A non-hydrostatic
numerical model for calculating free-surface stratified
flows // Ocean Dynamics.– 2003.– 53.– P. 176–185.
30. Kao T.W., Pan F.S., Renouard D. Internal solitions
on the pycnocline: generation, propagation, shoaling
and breaking over a slope // J. Fluid Mech.– 1985.–
159.– P. 19–53.
31. Akylas T. and Grimshaw R. Solitary internal waves
with oscillatory tails // J.Fluid Mech.– 1992.– 242.–
P. 279-298.
32. Козлов В. Ф., Макаров, В. Г. Об одном клас-
се стационарных гравитационных течений со ска-
чком плотности. // Изв. РАН, Физ. Атм. Океана.–
1990.– 26.– С. 395–402.
33. Kamachi, M. and H. Honji Steady flow patterns of
internal solitary bulges in a stratified fluid // Phys.
Fluids .– 1982.– 15.– P. 1119 - 1120.
34. Maderich V., Talipova T., Grimshaw R., Terletska K.,
Brovchenko I., Pelinovsky E., Choi B.H. Interacti-
on of a large amplitude interfacial solitary wave of
depression with a bottom step. // Physics of Fluids.–
2010.– 22.– P. doi:10.1063/1.3455984.
54 Е. Терлецкая, В. Мадерич, И. Бровченко
|