Нестационарное температурное поле при разогреве феррожидкостного уплотнения
В настоящей работе представлено решение задачи нестационарного теплового режима феррожидкостного уплотнения на основе уравнений феррогидродинамики, которые приводятся к безразмерному виду с введением критериев подобия Рейнольдса, Прандтля и Бринкмана, полагаемых в дальнейшем замороженными. Проведенн...
Saved in:
| Published in: | Прикладна гідромеханіка |
|---|---|
| Date: | 2015 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2015
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116541 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Нестационарное температурное поле при разогреве феррожидкостного уплотнения / И.Т. Селезов, А.В. Радионов, С.А. Савченко // Прикладна гідромеханіка. — 2015. — Т. 17, № 4. — С. 43-51. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860027799402708992 |
|---|---|
| author | Селезов, И.Т. Радионов, А.В. Савченко, С.А. |
| author_facet | Селезов, И.Т. Радионов, А.В. Савченко, С.А. |
| citation_txt | Нестационарное температурное поле при разогреве феррожидкостного уплотнения / И.Т. Селезов, А.В. Радионов, С.А. Савченко // Прикладна гідромеханіка. — 2015. — Т. 17, № 4. — С. 43-51. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладна гідромеханіка |
| description | В настоящей работе представлено решение задачи нестационарного теплового режима феррожидкостного уплотнения на основе уравнений феррогидродинамики, которые приводятся к безразмерному виду с введением критериев подобия Рейнольдса, Прандтля и Бринкмана, полагаемых в дальнейшем замороженными. Проведенный в статье приближенный аналитический анализ достигается ценой жестких ограничений, но дает возможность получить новые результаты о тепловых полях.
В данiй роботi наведено розв’язок задачi нестацiонарного теплового режиму ферорiдинного ущiльнення на основi рiвнянь ферогiдродинамiки, якi приводяться до безрозмiрного вигляду з введенням критерiїв подiбностi Рейнольдса, Прандтля i Брiнкмана, якi вважаються в подальшому замороженими. Проведений в статтi наближений аналiтичний аналiз досягається цiною жорстких обмежень, але дає можливiсть одержати новi результати про тепловi поля.
This paper presents a solution of the problem of a transient thermal regime for a ferrofluid seal on the basis of ferrohydrodynamics equations which are reduced to a dimensionless form with the introduction of similarity criteria of Reynolds, Prandtl and Brinkman assumed in further to be frozen. Approximate analytical analysis performed in this paper is achieved at the cost of strong restrictions but gives you the opportunity to obtain new results on the thermal fields.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:50:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2015. Том 17, N 4. С. 43 – 51
УДК 537.84
НЕСТАЦИОНАРНОЕ ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ ПРИ
РАЗОГРЕВЕ ФЕРРОЖИДКОСТНОГО УПЛОТНЕНИЯ
И. Т. С ЕЛ ЕЗ ОВ1, А. В. Р АД И О Н ОВ2, С. А. СА В Ч ЕН К О1
1Институт гидромеханики НАН Украины, Киев
03680 Киев – 180, МСП, ул. Желябова, 8/4
2Предприятие "Феррогидродинамика" , Николаев
ADRES
e-mail: selezov@yandex.ua
Получено 15.06.2015
В настоящей работе представлено решение задачи нестационарного теплового режима феррожидкостного уплотне-
ния на основе уравнений феррогидродинамики, которые приводятся к безразмерному виду с введением критериев
подобия Рейнольдса, Прандтля и Бринкмана, полагаемых в дальнейшем замороженными. Проведенный в статье
приближенный аналитический анализ достигается ценой жестких ограничений, но дает возможность получить
новые результаты о тепловых полях. Определена функция разогрева на основе задачи о движении жидкости в
кольцевой области по Лойцянскому и вычислении теплового источника, пропорционального квадрату тензора
скоростей деформации по Ландау. Рассматривается задача о распространении тепла в радиальном направлении
в трех областях: в нижней (вал), внутренней (жидкость) и внешней (корпус). Представлена постановка соответ-
ствующей начально-краевой задачи в случае ступенчатой функции включения источника разогрева (функция
Хевисайда) с коэффициентом, учитывающим все параметры разогрева. Применяется преобразование Лапласа по
времени и построены аналитические решения из анализа обращения Римана-Меллина в комплексной плоскости.
Установлено, что доминирующий вклад дает один вычет. Применением интеграла Дюамеля и его вычисления
по частям получено решение в замкнутом виде для произвольных нарастающих от нуля во времени функций
разогрева. На этой основе проведены расчеты для некоторых реальных сценариев. Полученные результаты могут
быть полезными в расчетах реальных уплотнений, позволяющие задавать различные критерии подобия, в которые
входят конкретные параметры: вязкость, теплоемкость и др.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: феррожидкостный уплотнитель, нестационарное температурное поле, преобразование Ла-
пласа, интеграл Дюамеля
В данiй роботi наведено розв’язок задачi нестацiонарного теплового режиму феррорiдинного ущiльнення на
основi рiвнянь ферогiдродинамiки, якi приводяться до безрозмiрного вигляду з введенням критерiїв подiбностi
Рейнольдса, Прандтля i Брiнкмана, якi вважаються в подальшому замороженими. Проведений в статтi наближений
аналiтичний аналiз досягається цiною жорстких обмежень, але дає можливiсть одержати новi результати про
тепловi поля. Визначена функцiя розiгрiву на основi задачi про рух рiдини в кiльцевiй областi по Лойцянському та
обчисленнi теплового джерела, пропорцiйного квадрату тензора швидкостей деформацiї по Ландау. Розглядається
задача про поширення тепла в радiальному напрямку в трьох областях: у нижнiй (вал), внутрiшнiй (рiдина) та
зовнiшнiй (корпус). Наведено постановку вiдповiдної початково-крайової задачi у випадку ступеневої функцiї
вмикання джерела розiгрiву (функцiя Хевiсайда) з коефiцiєнтом, що враховує всi параметри розiгрiву. Застосо-
вується перетворення Лапласа за часом i побудовано аналiтичнi розв’язки з аналiзу обернення Рiмана-Меллiна в
комплекснiй площинi. Встановлено, що домiнуючий вклад дає один лишок. Застосуванням iнтеграла Дюамеля та
його обчислення по частинам отримано розв’язок у замкнутому виглядi для довiльних наростаючих вiд нуля за
часом функцiй розiгрiву. На цiй основi проведено розрахунки для деяких реальних сценарiїв. Отриманi результати
можуть бути корисними в розрахунках реальних ущiльнювачiв, що дозволяють задавати рiзнi критерiї подiбностi,
в якi входять конкретнi параметри: в’язкiсть, теплоємнiсть та iн.
КЛЮЧОВI СЛОВА: ферорiдинний ущiльнювач, нестацiонарне температурне поле, перетворення Лапласа, iнтеграл
Дюамеля
This paper presents a solution of the problem of a transient thermal regime for a ferrofluid seal on the basis of
ferrohydrodynamics equations which are reduced to a dimensionless form with the introduction of similarity criteria of
Reynolds, Prandtl and Brinkman assumed in further to be frozen. Approximate analytical analysis performed in this
paper is achieved at the cost of strong restrictions but gives you the opportunity to obtain new results on the thermal
fields. Define The function of heating is found on the basis of the problem of fluid motion in the annular region following
Loitsanski and calculating the heat source, which is proportional to the square of the strain rate tensor following Landau.
A problem of the propagation of heat in radial direction in three regions is considered: in the bottom (shaft), internal
(fluid) and external (body). A statement of the corresponding initial boundary value problem in the case of entering the
step-type function of heating source (the Heaviside function) with a coefficient taking into account all the parameters
of heating. The Laplace transform in time is applied and analytical solutions are constructed from the analysis of the
Riemann-Mellin inverse in the complex plane. It is found that the dominant contribution comes from a single residual.
Using the Duhamel integral and its computation in parts, the solution in a closed form is obtained for arbitrary functions
of heating time increasing from zero On this basis the calculations for some real scenarios are carried out. The results
can be useful in calculating the real seals allowing to consider different similarity criteria, which include the specific
parameters: viscosity, heat capacity etc.
KEY WORDS: ferrofluid seal, nonstationary temperature field, Laplace transform, Duhamel integral
c© И. Т. Селезов, А. В. Радионов, С. А. Савченко, 2015 43
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2015. Том 17, N 4. С. 43 – 51
ВВЕДЕНИЕ
Исследование температурных полей в магни-
тожидкостных (МЖ) уплотнителях представляет
большой прикладной интерес. Такие уплотнители
особенно эффективны в больших промышленных
установках и в подводных аппаратах, когда ма-
гнитное поле удерживает феррожидкость в зазоре
уплотнителя.
При вращении вала происходит разогрев фер-
рожидкости в уплотнителе до определенного пре-
дела 50 − 60◦С, когда наступает баланс ввода и
излучения тепла.
Поведение магнитных жидкостей в уплотните-
лях исследовалось с применением численных ме-
тодов во многих работах, отметим [1, 4, 5, 13 –
15, 24].
Конвективные и диффузионные процессы, име-
ющие непосредственное отношение к поведению
феррожидкостей в зазоре, рассматривались в ра-
ботах [2, 7 – 9, 20, 21, 26].
Результаты численного исследования МЖ упло-
тнителей на основе проведенных авторами экспе-
риментов и сопоставление теоретических резуль-
татов с экспериментальными данными представ-
лены в [16]. Исследование распространения волн
в упругой цилиндрической оболочке с магнитной
жидкостью, моделирующей кровеносный сосуд,
проводилось в [17, 19].
В данной статье построено аналитическое реше-
ние для функции разогрева, нарастающей от нуля
до некоторой стационарной величины, с примене-
нием интеграла Дюамеля. Проводится анализ тем-
пературных полей на основе полученных решений
при задании величин конкретных параметров.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Традиционная модель феррогидродинамики в
случае вязкой несжимаемой среды в ортогональ-
ной системе координат ~x = {x1, x2, x3} представ-
ляется системой уравнений [3, 18]
ρ
[
∂~V /∂t +
(
~V · ~∇
)
~V
]
=
= −~∇P̃ + ηd∇2~V + µ0
(
~M · ~∇
)
~H, (1)
~∇ · ~V = 0, (2)
∂T/∂t +
(
~V · ~∇
)
T = χ∇2T + q (t) , (3)
~∇× ~H = 0, ~∇ ·
(
~H + ~M
)
= 0, (4)
ρ = ρ0 [1 − β (T − T0)] , ~M = M ~H/H, (5)
M = M0 − Kp (T − T0) + χm (H − H0) . (6)
Основные обозначения приведены в [3, 18]. Фи-
зические свойства магнитных жидкостей описаны
в [22]. В магнитных жидкостях ~M и ~H коллине-
арны, как это видно из второго соотношения в
(5), а скалярная величина M/H в общем случае
характеризует намагниченность феррожидкости и
определяется сложной функцией M (H) и зави-
сит от других параметров тоже (6). В некоторых
случаях при постоянных величинах плотности ρ и
температуры T из (6) получают
(
∂M
∂H
)
ρ, T
= χr и
тогда принимается
M
H
= χr в (5) (стр. 69 в [3]). Бо-
лее подробное изложение приведено в работе Ро-
зенцвейга – одного из основателей физики магни-
тных жидкостей [25] и представлено затем в [27].
Аналитический анализ задачи для уплотнения
на основе системы уравнений (1)–(6) не реализуем.
Можно рассматривать только некоторые частные
случаи и то с применением численных методов,
отмеченных во введении. Аналитический анализ
возможен только на введении сильных упрощений,
которые приведены ниже.
Далее рассматриваем задачу в цилиндрической
системе координат r, θ, z в области Ω2, занимае-
мой феррожидкостью между радиусом вала rs и
радиусом корпуса re,
Ω2 = {(r, θ, z)| rs ≤ r ≤ re,
0 < θ ≤ 2π, −l1 ≤ z ≤ l1} ,
где −l1 и l1 – концы уплотнителя.
Система уравнений (1)–(5) после указанных
выше упрощений без учета конвективного члена
(~V · ~∇)T в безразмерных величинах, отнесенных
к радиусу вала rs и его тангенциальной скорости
V s
0θ, записывается в виде
∂~V
∂t
+ (~V · ~∇)~V =
= −~∇P̃ +
1
Re
∇2~V +χr
(
~H · ~∇
)
~H, ~∇· ~V = 0, (7)
∂T
∂t
=
1
PrRe
∇2T + C f (t) , (8)
~∇× ~H = 0, ~∇· ( ~H + ~M ) = 0, ~M = M ~H/H. (9)
Величина q (t) из (3) записывается в (8) как C f (t),
где C – амплитудное значение функции разогрева
C = Br
1
P
Ṡ2
rθ, Ṡrθ – тензор скоростей деформации
44 И. Т. Селезов, А. В. Радионов, С. А. Савченко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2015. Том 17, N 4. С. 43 – 51
вращающейся жидкости , а f (t) – изменение ее во
времени.
В (7)–(8) приняты обозначения: Pr =
vk
χ
– чис-
ло Прандтля, описывающее гравитационную кон-
векцию, νk = ηd/ρ – коэффициент кинематиче-
ской вязкости, ηd – коэффициент динамической
вязкости, χ =
kt
ρcp
– коэффициент температуро-
проводности, kt – коэффициент теплопроводно-
сти, Re =
V s
0θrs
vk
– число Рейнольдса, в резуль-
тате произведения чисел Рейнольдса и Прандтля
получается число, которое будем обозначать как
P ,P = PrRe, V s
0θ – тангенциальная скорость по-
верхности вала, Br =
ηdV
s2
0θ
ktT0
– число Бринкма-
на, характеризующее теплообмен в слое жидкости
(числитель характеризует диссипативные тепло-
выделения в магнитной жидкости, знаменатель –
отвод тепла), T0 – начальная температура, χr –
коэффициент, учитывающий свойства магнитной
жидкости C = Br
1
P
Ṡ2
rθ.
Приведенная система (7)–(9) – это система во-
сьми скалярных уравнений для определения 8 не-
известных P̃ , T, Vn, Tn, n = 1, 2, 3. Она вклю-
чает два существенно нелинейных члена, и постро-
ение аналитических решений проблематично.
В дальнейшем при анализе разогрева влияние
магнитного поля на компоненты скорости в (8) не
учитывается и определяется тензор из обычной за-
дачи для тензора скоростей деформации без уче-
та влияния магнитного поля на скорость [12]. При
этом влияние всех параметров учитывается в ам-
плитудном коэффициенте C.
2. ХАРАКТЕРИСТИКА УПРОЩЕННОЙ
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ
В цилиндрической системе координат r, θ, z
рассматриваются три области (pис. 1): Ω1 – вал,
Ω2 – слой жидкости с зоной разогрева, Ω3 – вне-
шний корпус; кроме того, h – толщина слоя жид-
кости, x – соответствует радиальной координате r.
Задача рассматривается осесимметричная.
Максимальный разогрев от вращающейся жид-
кости имеет место в середине уплотнителя, так что
можно пренебречь влиянием торцов и рассматри-
вать плоскую задачу, полагая производные по z
равными нулю. После осреднения по толщине по-
лучаем функцию, зависящую от времени t, с ко-
эффициентом C, включающим все параметры за-
дачи, которые принимаются "замороженными" . В
общем случае параметры зависят от магнитного
поля и температуры и в различных конкретных
ситуациях они разные и коэффициент C тоже ра-
зный. На этой основе формулируется начально–
краевая задача распространения тепла вдоль ра-
диальной координаты r = x. Толщина слоя намно-
го меньше областей вала Ω1 и корпуса Ω3, h/rs �
1, h/re � 1, поэтому они принимаются полубеско-
нечными при формулировке задачи. Ось Ox на-
правлена от точки поверхности вала x = 0 до точ-
ки поверхности корпуса x = h и далее x > h. В
пределах малой средней зоны по z, −ε < z < ε, за-
дачу можно считать плоской с изменением функ-
ций вдоль радиальной координаты r, т.е. не учи-
тывать отвод тепла в боковые области (произво-
дные по z равны нулю). В дальнейшем при форму-
лировке задачи радиальную координату r обозна-
чаем как x, r = x, а в качестве характерной длины
принимаем толщину зазора h = re − rs. Темпера-
турная зависимость функции разогрева принима-
ется в виде функции Хевисайда, соответствующей
мгновенному включению. Известно, что решение
линейной задачи для функции Хевисайда позволя-
ет получить решения для произвольной функции
разогрева с помощью интеграла Дюамеля.
Рис. 1. Геометрия задачи
В статье рассмотрен класс функций разогре-
ва, нарастающих от нуля, для которых интеграл
Дюамеля вычисляется в квадратурах. Проведе-
ны сравнения результатов для разных функций
разогрева. Поставленная начальнокраевая зада-
ча решается аналитически на основе интеграла
Римана–Меллина [6]. После анализа в компле-
ксной плоскости решение сведено к вычислению
вычетов. Показано, что основной вклад дает один
основной вычет. Соответствующие решения для
температур T1, T2 и T3 представлены формулами
(24)–(26).
Рассматривается система уравнений Навье –
Стокса в цилиндрической системе координат
(r, θ, z). Последний член в (8) включает ква-
И. Т. Селезов, А. В. Радионов, С. А. Савченко 45
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2015. Том 17, N 4. С. 43 – 51
драт тензора скоростей деформации, учитываю-
щий процессы внутреннего трения в жидкости, ко-
гда различные ее участки движутся с различной
скоростью. Ненулевая компонента поля скоростей
в безразмерных величинах равна
Vθ(r) =
r2
e − r2
r
1
r2
e − 1
.
В системе координат (r, θ, z) нетривиальная ком-
понента тензора скоростей деформации после вы-
числений имеет вид
Ṡrθ = Ṡθr =
1
2
(
∂Vθ
∂r
− Vθ
r
)
= − r2
e
r2 (r2
e − 1)
.
Тензор скоростей деформации (последний член
в правой части уравнения (8)) вычисляется на
основе известного решения для вращающейся вяз-
кой жидкости в зазоре и осредняется по площади
так, что начальное распределение температуры по
толщине зазора равномерное:
C = Br
1
P2
{
r4
e
8 (r2
e − 1)
2×
×
(
3r4
eln (re) (ln (re) − 2) + 6r2
e
(
r2
e + ln (re)+ 1
)
− 1
3r3
e
−
−11
3
)}
= const, (10)
где P2 =
V s
0θrs
χ2
, rs – радиус вала (r∗s =
rs
rs
= 1),
re – радиус внешней границы зазора.
Из (10) видно, что величина C =
Br
P2
{} зависит
от числа Бринкмана Br, от числа P2 и от выра-
жения в фигурных скобках, зависящего только от
толщины зазора. Следовательно, разогрев ферро-
жидкости в зазоре определяется величиной C.
Приближенный анализ проводится для плоского
элемента в зазоре (область Ω2), нижняя грань ко-
торого контактирует с валом (область Ω1), а верх-
няя – с внешним корпусом Ω3. Влияние магнитно-
го поля на поведение жидкости учитывается в чи-
сле Бринкмана Br.
Задача рассматривалась на основе уравнений
(10) и (12) для внутренней области от точки x = 0,
соответствующей радиусу вала rs, до точки x = 1,
соответствующей корпусу re, что соответствует ве-
личине h = re − rs. Величина h принята в ка-
честве характерной, тогда x ∈ [0, 1]. В этом слу-
чае область вала и область корпуса в связи с ма-
лостью h рассматриваются как полубесконечные,
rs/h � 1, re/h � 1.
Начально-краевая задача для температуры
формулируется с учетом (10) и приведенных выше
соображений:
уравнение, описывающее температурное поле в за-
зоре
∂T2
∂t
=
1
P2
∂2T2
∂x2
+ CH(t), в Ω2, (11)
где H (t) – функция Хевисайда;
уравнения во внутренней и внешней областях
(i = 1, 3)
∂Ti
∂t
=
1
Pi
∂2Ti
∂x2
в Ω1 и Ω3, (12)
условия сопряжения на границе раздела вала и
МЖ–зазора
k1T1|x=0 = k2 T2|x=0 ,
k1
∂T1
∂x
∣
∣
∣
∣
x=0
= k2
∂T2
∂x
∣
∣
∣
∣
x=0
, (13)
условия сопряжения на границе раздела МЖ–
зазора и корпуса
k3 T3|x=1 = k2 T2|x=1 ,
k3
∂T3
∂x
∣
∣
∣
∣
x=1
= k2
∂T2
∂x
∣
∣
∣
∣
x=1
. (14)
Коэффициент теплопроводности kt обозначаем
как k1, k2, k3.
Условия убывания решений T1 и T3 на бесконе-
чности:
T1 (x, t)|x=−∞ = 0, T3 (x, t)|x=∞ = 0. (15)
Начальные условия предполагаются нулевыми:
Tn (x, t)|t=0 = 0, n = 1, 2, 3. (16)
Решение задачи (11)–(16) определяет распределе-
ние температурных полей в областях Ω1, Ω2, Ω3.
Перепад температур не должен быть большим,
иначе уплотнение выйдет из строя при любой си-
стеме охлаждения [3].
3. РЕШЕНИЯ ДЛЯ ТЕМПЕРАТУРНЫХ
ПОЛЕЙ ПРИ ДЕЙСТВИИ СТУПЕНЧАТОЙ
ФУНКЦИИ (ФУНКЦИИ ХЕВИСАЙДА)
В дальнейшем для решения задачи (13)–(16)
применяем преобразование Лапласа [6]:
TL
k (x, p) =
∞
∫
0
Tk (x, t) e−ptdt,
46 И. Т. Селезов, А. В. Радионов, С. А. Савченко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2015. Том 17, N 4. С. 43 – 51
Tk (x, t) =
1
2πi
a+i∞
∫
a−i∞
TL
k (x, p) eptdp. (17)
Величина x в (17) рассматривается как параметр.
С учетом приведенных выше замечаний и выра-
жения (17) получаем из (13)–(16) в пространстве
изображений Лапласа уравнения
d2TL
1
dx2
− P1pTL
1 = 0 в Ω1 , (18)
d2TL
2
dx2
− P2pTL
2 = −P2
1
p
C в Ω2 , (19)
d2TL
3
dx2
− P3pTL
3 = 0 в Ω3. (20)
Решения уравнений (18)–(20) записываются в виде
TL
1 (x) = C1e
√
P1px , (21)
TL
2 (x) = C2e
√
P2px + C3e
−
√
P2px +
1
p2
C , (22)
TL
3 (x) = C4e
−
√
P3px, (23)
где коэффициенты Ck (k = 1, 2, 3) определяются
из условий убывания внешних решений (i = 1, 3)
на бесконечности и преобразованных по Лапласу
условий сопряжения (13)–(14).
На основе (18)–(23) была рассмотрена
начально–краевая задача и построены точные
аналитические решения для температурных полей
в трех областях Ω1, Ω2 и Ω3. Эти решения имеют
вид:
T1
C
(x, t) = ep2te
√
P1p2(x−1)×
×
(
2e2
√
P1p2(re+1)
√
P3 + e2
√
P1p2P−
23 −
−e2
√
P1p2reP +
23
)
:
:
(
e2
√
P2p2P−
23P
−
21 − e2
√
P2p2reP +
23P
+
21
)
, (24)
T c
2 (x, t) =
T2 (x, t)
C
= 1 + ep2t×
×
[
e
√
P2p2x
(
e
√
P2p2re P +
21
√
P3 + e
√
P2p2P−
23
√
P1
)
+
+e−
√
P2p2x×
×
(
e
√
P2p2(re+2) ·P−
21
√
P3 + P +
23
√
P1e
√
P2p2(2re+1)
)]
:
:
(
e2
√
P2p2P−
23P
−
21 − e2
√
P2p2reP +
23P
+
21
)
, (25)
T3(x, t)
C
= ep2te
√
P3p2(re−x)×
×
[
−e2
√
P2p2re P +
21+2e
√
P2p2(re+1)
√
P1+e2
√
P2p
2P−
21
]
:
:
(
e2
√
P2p2P−
23P
−
21 − e2
√
P2p2reP +
23P
+
21
)
. (26)
Решения (24) и (26) однородные. Решение (25)
включает частное решение (функция Хевисайда)
и однородное.
Температурное поле T2 в зазоре h определяется
по (25). Величины, входящие в (25), вычисляются
по формулам
P±
21 =
√
P2 ±
√
P1, P±
23 =
√
P2 ±
√
P3. (27)
Вычеты определяются бесконечным дискре-
тным множеством. В [13] было показано, что пер-
вый вычет p1 равен нулю, а основной вклад дает
только второй вычет p2:
p1 = 0, p2 =
1
4P2 (re − 1)
2×
× ln2
(
(√
P1 −
√
P2
) (√
P3 −
√
P2
)
(√
P2 +
√
P1
) (√
P3 +
√
P2
)
)
. (28)
Можно показать, что вклад вычетов более высо-
кого порядка p3, p4. . . очень мал и может не учи-
тываться.
В результате приближенное решение (25) с уче-
том (28) принимает вид
T c
2 (x, t) = ep2t
[
Ãea(x−1) + B̃e−a(x−1)
]
+ 1, (29)
где величина a в (29) определяется по формуле
a =
√
P2p2 , (30)
а коэффициенты в (29) вычисляются по формулам
à =
Ã1
Ã2
, B̃ =
B̃1
Ã2
,
Ã1 = P +
21
√
P3 + P−
23
√
P1 ,
Ã2 = P +
23P
+
21 − P−
23P
−
21,
B̃1 = P−
21
√
P3 + P +
23
√
P1 . (31)
В качестве характерных величин принимаем
V s
0θ, и h. Тогда безразмерные величины равны
x∗ =
x
h
, t∗ =
V s
0θ
h
t, h∗ =
h
h
= 1, (32)
величина Pk равна
Pk =
V s
0θh
χk
, k = 1, 2, 3. (33)
По формуле (33) вычисляем P1, P2, P3, а по фор-
муле (28) – p2.
И. Т. Селезов, А. В. Радионов, С. А. Савченко 47
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2015. Том 17, N 4. С. 43 – 51
Для проведения расчетов необходимо вычи-
слить следующие величины: Br, P1, P2, P3, p2
– вычет, ηd, Vθ, kT , χ, rs = 1 (безразмерная),
re = re/rs (безразмерная).
Расчеты проводились на основе (28)–(33) для
параметров: V s
0θ=2 м/с, rs=0.1 м, r∗s = 1,
re=0.1002 м, r∗e = 1.002, h = re − rs=0.0002 м.
Для этих величин безразмерная величина x∗ рав-
на 2 · 10−4
(
м-1
)
x (м), а безразмерное время
t∗ равно 10−4
(
c-1
)
t (c). Коэффициенты темпе-
ратуропроводности: вала χ1 = 1.172 · 10−5 м2/с,
корпуса χ3 = 0.94 · 10−5 м2/с, феррожидкости
χ2 = 1.4 · 10−7 м2/с. Для этих данных получа-
ем
√
P1=5.842,
√
P2=53.451,
√
P3=6.573, P2=2857,
p2=473.53, a =
√
P2p2=1163, Ã1=660.9, Ã2=1321.3,
B̃1=660.9, Ã=0.500, B̃= 0.500.
Решение (29) для вычисленных величин прини-
мает вид
T c
2 (x, t) = ep2t
[
Ãea(x∗−1) + B̃e−a(x∗−1)
]
+ 1. (34)
При Ã = B̃ = 0.500 и a = 1163 получаем из (34):
T c
2 (x, t) = ep2t0.5
[
e1.163·103(x∗−1)+
+ e−1.163·103(x∗−1)
]
+ 1. (35)
Выражение (35) означает, что исходная система
координат: от 0 до 1=h/h изменилась на новую:
от 1=h/h до 0. Это означает, что начало коорди-
нат х=0 (поверхность вала) теперь есть x∗ = 1, т.
е. x∗ − 1 = 0. При проведении расчетов интервал
x=1 разделяем на 5 частей. Результаты расчетов
по формуле (35) представлены в таблице 1, а от
времени – в таблице 2.
Табл. 1. Зависимость температуры от радиальной
координаты в зазоре при a = 1163
x∗ − 1 x∗ x∗ − 1
[
Ãea(x∗−1)+
+B̃e−a(x∗−1)
]
0 1.0000 0 1.000
0.2 1.00004 0.00004 1.0011
0.4 1.00008 0.00008 1.0044
0.6 1.00012 0.00012 1.0098
0.8 1.00016 0.00016 1.0174
1.0 1.0002 0.00020 1.0271
Решение (29) для вычисленных величин прини-
мает вид
T c
2 (x, t) = ep2t
[
Ãea(x∗−1) + B̃e−a(x∗−1)
]
+ 1. (36)
При Ã = B̃ = 0.500 и a = 1163 получаем из (34):
T c
2 (x, t) = ep2t0.5
[
e1.163·103(x∗−1)+
+ e−1.163·103(x∗−1)
]
+ 1. (37)
Выражение (35) означает, что исходная система
координат: от 0 до 1=h/h изменилась на новую:
от 1=h/h до 0. Это означает, что начало коорди-
нат x=0 (поверхность вала) теперь есть x∗ = 1, т.
е. x∗ − 1 = 0. При проведении расчетов интервал
x=1 разделяем на 5 частей. Результаты расчетов
по (35) представлены в таблице 1, а от времени –
в таблице 2.
Табл. 2. Зависимость температуры в зазоре от
времени при p2 = 473.53 при мгновенном включении
без отвода тепла
t∗ без-
разм.
t, час p2t
∗ ep2t∗
0 0 0 1
0.00720 0.2 3.4094 30.25
0.01440 0.4 6.8188 91.49·101
0.02160 0.6 10.2282 27.67·103
0.02880 0.8 13.6377 83.71·104
0.036000 1.0 17.0471 25.32·106
4. РЕШЕНИЕ ДЛЯ НАРАСТАЮЩЕЙ
ФУНКЦИИ РАЗОГРЕВА
На рис. 2 показаны реальные функции разогре-
ва b1, b2, b3 в зависимости от времени t, b1 < b2 <
b3, которые отличаются от функции Хевисайда по-
степенным нарастанием разогрева от t∗ = 0 до
t = 1.0:
f (t) = 1 − e−bt при t ≥ 0, (38)
в то время как функция Хевисайда (единичная
функция) определяется как
H (t) =
{
1 при t > 0 ,
0 при t < 0.
(39)
Решение для функции разогрева (36) может
быть построено по формуле Дюамеля по известно-
му решению T c
2 (x, t) (34) для функции Хевисайда
(37):
T̂ c
2 (x, t) =
t
∫
0
(
1 − e−bτ
)∂T c
2 (x, t − τ )
∂τ
dτ. (40)
48 И. Т. Селезов, А. В. Радионов, С. А. Савченко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2015. Том 17, N 4. С. 43 – 51
Рис. 2. Изменение функции разогрева во времени
Решение T c
2 (x, t) на основе (29) представим в виде
T c
2 (x, t) = ep2t
[
Ãea(x−1) + B̃e−a(x−1)
]
+ 1 =
= ep2tE (x) + 1, 0 ≤ x ≤ 1, t > 0, (41)
где
E (x) = Ãea(x−1) + B̃e−a(x−1).
В дальнейшем производная решения (39) подстав-
ляется в (38) и проводится вычисление интегра-
лов.
Окончательное решение (38) записывается в ви-
де
T̂ c
2 (x, t) = −E (x)×
×
[(
1 − p2
p2 + b
)
ep2t −
(
1 − p2
p2 + b
e−bt
)]
. (42)
Результаты расчетов по (40) представлены в та-
блице 3.
Табл. 3. Зависимость температуры в зазоре от
времени при нарастающей функции разогрева без
отвода тепла
t∗ безразм. t, час t, мин
T̂ (t) ,
b1 = 100
0 0 0
0.00720 0.2 12 29.64
0.01440 0.4 24 91.45·101
0.02160 0.6 36 27.67·103
0.02880 0.8 48 83.71·104
0.036000 1.0 60 23.32·106
В реальных условиях разогрев происходит до-
вольно быстро. Поэтому температурное поле T̂ (t)
только при малых начальных моментах времени
от включения будет мало отличаться от реше-
ния, полученного для функции Хевисайда T (x).
Из сравнения таблиц 2 и 3 можно установить, что
в случае постепенного нагрева в начальные момен-
ты времени температура несколько меньше.
Проведенный анализ характеризует изменение
температурного поля T c
2 (x, t) в зазоре в без-
размерном виде. Для вычисления температуры
T c
2 /T0 в зазоре h из (35) с учетом (39) получаем
соотношение
T c
2 (x, t)
T0
= T0C
[
ep2tE (x) + 1
]
=
ηdV
s
0θχ2
kth
{} ,
(43)
где {} соответствует (10).
В реальных условиях тепловая энергия от разо-
грева феррожидкости, которую можно вычислить
по формуле (41), передается во внешний корпус,
а от него излучается в окружающую среду. В ре-
зультате через некоторое время от включения на-
ступит тепловой баланс, так что температура бу-
дет порядка 50◦.
5. О ВОЗМОЖНЫХ РЕЖИМАХ
ПОВЕДЕНИЯ ФЕРРОЖИДКОСТИ
В ЗАЗОРЕ УПЛОТНИТЕЛЯ
При изменении скорости вращения вала даже
при всех остальных фиксированных параметрах
возможны различные режимы движения жидко-
сти внутри зазора. Эти явления обусловлены син-
гулярным вырождением уравнения движения вяз-
кой жидкости по числу Рейнольдса Re= V
s
0θ h/ν,
где V s
0θ – тангенциальная скорость вращения ва-
ла, h – толщина зазора, ν – коэффициент вяз-
кости. При таком вырождении возможно множе-
ство режимов [16]. Например, если принять ве-
личину зазора и коэффициент вязкости фикси-
рованными, то при уменьшении скорости враще-
ния вала режимы движения жидкости будут суще-
ственно изменяться. При вращении вала в ферро-
жидкости, заполняющей зазор, порождаются ви-
хревые волны Тейлора. Их окружные моды (гар-
моники) определяются периодической функцией
cos mθ. Число мод определяется дискретной вели-
чиной m = 0, 1, 2, ...; m = 0 – осесимметричная
мода, m = 1 – неэксцентричная мода, m = 2 – тре-
тья гармоника – самый опасный режим. Это зна-
чит, что величины, характеризующие феррожид-
кость: давление и скорость, будут изменяться по
представленному закону, т.е. проходить через ну-
ли. При m = 2 (третья гармоника) имеем силь-
но возмущенные поля. При дальнейшем увеличе-
нии количество окружных вихрей будет увеличи-
И. Т. Селезов, А. В. Радионов, С. А. Савченко 49
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2015. Том 17, N 4. С. 43 – 51
ваться и они будут более мелкие. Поэтому самый
опасный – это первый режим m = 2 (третья гар-
моника).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Проведено преобразование полученных ранее
решений для температурных полей в зазоре МЖ –
уплотнителя и примыкающих областях МЖ – кор-
пуса и МЖ – вала при мгновенном включении
разогрева в начальный момент времени (функция
Хевисайда). Построено также новое решение для
нарастающих во времени функций разогрева на
основе интеграла Дюамеля. Проведен анализ при
фиксированных параметрах устройства. Показано
влияние функции разогрева на температурное по-
ле, которое зависит от числа Бринкмана, вклю-
чающего коэффициент вязкости магнитной жид-
кости, зависящий от величины магнитного поля.
Влияние магнитного поля на тепловое состояние
возможно только на основе численного модели-
рования, учитывающее некоторые функциональ-
ные зависимости параметров. В данном анали-
тическом рассмотрении влияние всех параметров
(замороженных) учитывается в коэффициенте ра-
зогрева C и их влияние можно оценивать только
различными заданиями фиксированных параме-
тров. Конечно, проведенный аналитический ана-
лиз весьма приближенный. Поэтому температур-
ное поле будет разное при различных величинах
магнитного поля.
1. Абдибеков У. С., Маканалина Г. С. Влияние
магнитного поля и кривизны канала на турбу-
лентную структуру течения // Вычислительные
технологии.– 2004.– Т. 9, № 3.– С. 13–21.
2. Баштовой В. Г., Полевиков В. К., Альгадал А. М.
Влияние процессов диффузии на статику магни-
тных жидкостей // Вести Национальной Акаде-
мии наук Беларусии, Серия физико–технических
наук.– 2006.– № 3.– С. 42–48.
3. Берковский Б. М., Медведев В. Ф., Краков М. С.
Магнитные жидкости.– М.: Химия, 1989.– 240 с.
4. Вислович А. Н., Полевиков В. К. Влияние центро-
бежных и капиллярных сил на форму свободной
поверхности магнитожидкостного уплотнения //
Магнитная гидродинамика.– 1994.– № 1.– С. 77–
86.
5. Вислович А. Н., Полевиков В. К. О численном
моделировании разрушения магнитожидкостного
уплотнения с вращающимся внешним профили-
рованным цилиндром // Инженерно–физический
журнал.– 1997.– Т. 70, № 1.– С. 105–110.
6. Деч Г. Руководство к практическому применению
преобразования Лапласа.– М.: Наука, 1965.– 288 с.
7. Зибольд А. Ф. Гидродинамические структуры,
порождаемые вращающимся магнитным полем
в цилиндре конечной длины // Прикладная
гидромеханика.– 2011.– 13, № 2.– С. 17–27.
8. Зибольд А. Ф. Эволюция ламинарных течений,
порождаемых в цилиндре вращающимся магни-
тным полем // Вiсник Донецького Нацiонального
унiверситету, Сер. А: Природничi науки.– 2009.–
Вып. 2.– С. 77–88.
9. Краков М. С., Никифоров И. В. Влияние мери-
дионального течения и термомагнитной конвекции
на характеристики магнитожидкостного уплотне-
ния // Журнал технической физики.– 2011.–
Том 81, вып. 12.– С. 47–55.
10. Краков М. С., Никифоров И. В. Скорость тер-
моконвективного течения в высокоскоростном ма-
гнитожидкостном уплотнении после его оста-
новки // Журнал технической физики.– 2012.–
Том 82, вып. 9.– С. 126–129.
11. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика.– М.:
Наука, 1988.– 736 с.
12. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа.– М.:
Наука, 1987.– 840 с.
13. Полевиков В. К. Об устойчивости статического ма-
гнитожидкостного уплотнения под действием вне-
шнего перепада давления // Механика жидкости
и газа.– 1997.– № 3.– С. 170–175.
14. Полевиков В. К. О методах численного моде-
лирования равновестных капиллярных поверхно-
стей // Дифференциальные уравнения.– 1999.–
Т. 35, № 7.– С. 975–981.
15. Полевиков В. К., Тобиска Л. Моделирование ди-
намического магнитожидкостного уплотнения при
наличии перепада давления // Механика жидко-
сти и газа.– 2001.– № 6.– С. 42–51.
16. Селезов И. Т., Гайдук В. Ф., Кравцов А. И., Новак
И. Л. Численное и экспериментальное исследова-
ние комбинированных магнитожидкостных упло-
тнений. – Нелинейные задачи гидроаэромеханики
и теории упругости, Днепропетровск: ДГУ, 1987. -
С. 48–53.
17. Селезов И. Т., Корсунский С. В. Нелинейные вол-
ны в гидроупругих системах с магнитными жидко-
стями // Магнитная гидродинамика.– 1991.– № 2.–
С. 41–44.
18. Селезов И. Т., Кривонос Ю. Г. Волновые задачи
биогидродинамики и биофизики.– Киев: Наукова
думка, 2013.– 308 с.
19. Селезов И. Т., Радионов А. В. Моделирование тем-
пературного поля феррожидкости в зазоре // На-
уч. сб. ”Физико–математическое моделирование и
информационные технологии”.– 2011.– Вып. 19.–
С. 143–151.
20. Тактаров Н. Г., Рунова О. А. Моделирование
волн на поверхности цилиндрической конфигура-
ции магнитной жидкости, окружающей длинное
пористое ядро // Вестник ПНИПУ: Механика.–
2013.– № 1.– С. 196–209.
21. Шалыбков Д. А. Гидродинамическая и гидрома-
гнитная устойчивость течения Куэтта // Успехи
физических наук.– 2009.– Т. 179, № 9.– С. 971–993.
22. Charles S. W. Some properties of magnetic fluids //
Proc. of the 3rd Int. Conf. on Transfer Phenomena
in Magnetohydrodynamic and Electroconducting
Flows. Aussois, France. Sept. 22-26.– 1997.– 2.–
P. 529–534.
50 И. Т. Селезов, А. В. Радионов, С. А. Савченко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2015. Том 17, N 4. С. 43 – 51
23. Feynman R. P., Leighton R. B., Sands M. The Fei-
nman lectures on physics. Vol. 2. – Addison–Wesley
Publishing Company, INC, 1964; русский перевод:
Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнманов-
ские лекции по физике. 7. Физика сплошных сред.
– М.: Мир, 1966.– 292 с.
24. Mitkova T., Tobiska L. Isoparametric finite element
approximation of the flow in magnetic fluid rotary
shaft seals // Proc. Appl. Math. Mech.– 2004.– 4.–
P. 644–645.
25. Neuringer J. L., Rosensweig R. E. Ferrohydrodynami-
cs // The Physics of Fluids.– 1964.– 7, N 12.–
P. 1927–1937.
26. Patsegon N. F., Popova L N. Space structures in the
magnetic fluid // J. Math. Sci.– 2012.– 180, N 2.–
P. 175–186.
27. Rosensweig R. E. Ferrohydrodynamics.– Cambridge
University Press, 1985; русский перевод: Розен-
цвейг Р. Феррогидродинамика.– М.: Мир, 1989.–
358 с.
И. Т. Селезов, А. В. Радионов, С. А. Савченко 51
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-116541 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-9087 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:50:44Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Селезов, И.Т. Радионов, А.В. Савченко, С.А. 2017-04-29T07:11:10Z 2017-04-29T07:11:10Z 2015 Нестационарное температурное поле при разогреве феррожидкостного уплотнения / И.Т. Селезов, А.В. Радионов, С.А. Савченко // Прикладна гідромеханіка. — 2015. — Т. 17, № 4. — С. 43-51. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116541 537.84 В настоящей работе представлено решение задачи нестационарного теплового режима феррожидкостного уплотнения на основе уравнений феррогидродинамики, которые приводятся к безразмерному виду с введением критериев подобия Рейнольдса, Прандтля и Бринкмана, полагаемых в дальнейшем замороженными. Проведенный в статье приближенный аналитический анализ достигается ценой жестких ограничений, но дает возможность получить новые результаты о тепловых полях. В данiй роботi наведено розв’язок задачi нестацiонарного теплового режиму ферорiдинного ущiльнення на основi рiвнянь ферогiдродинамiки, якi приводяться до безрозмiрного вигляду з введенням критерiїв подiбностi Рейнольдса, Прандтля i Брiнкмана, якi вважаються в подальшому замороженими. Проведений в статтi наближений аналiтичний аналiз досягається цiною жорстких обмежень, але дає можливiсть одержати новi результати про тепловi поля. This paper presents a solution of the problem of a transient thermal regime for a ferrofluid seal on the basis of ferrohydrodynamics equations which are reduced to a dimensionless form with the introduction of similarity criteria of Reynolds, Prandtl and Brinkman assumed in further to be frozen. Approximate analytical analysis performed in this paper is achieved at the cost of strong restrictions but gives you the opportunity to obtain new results on the thermal fields. ru Інститут гідромеханіки НАН України Прикладна гідромеханіка Науковi статтi Нестационарное температурное поле при разогреве феррожидкостного уплотнения Нестацiонарне температурне поле при розігріві ферорiдинного ущiльнювача Transient temperature field under a heating of ferrofluid seal Article published earlier |
| spellingShingle | Нестационарное температурное поле при разогреве феррожидкостного уплотнения Селезов, И.Т. Радионов, А.В. Савченко, С.А. Науковi статтi |
| title | Нестационарное температурное поле при разогреве феррожидкостного уплотнения |
| title_alt | Нестацiонарне температурне поле при розігріві ферорiдинного ущiльнювача Transient temperature field under a heating of ferrofluid seal |
| title_full | Нестационарное температурное поле при разогреве феррожидкостного уплотнения |
| title_fullStr | Нестационарное температурное поле при разогреве феррожидкостного уплотнения |
| title_full_unstemmed | Нестационарное температурное поле при разогреве феррожидкостного уплотнения |
| title_short | Нестационарное температурное поле при разогреве феррожидкостного уплотнения |
| title_sort | нестационарное температурное поле при разогреве феррожидкостного уплотнения |
| topic | Науковi статтi |
| topic_facet | Науковi статтi |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116541 |
| work_keys_str_mv | AT selezovit nestacionarnoetemperaturnoepoleprirazogreveferrožidkostnogouplotneniâ AT radionovav nestacionarnoetemperaturnoepoleprirazogreveferrožidkostnogouplotneniâ AT savčenkosa nestacionarnoetemperaturnoepoleprirazogreveferrožidkostnogouplotneniâ AT selezovit nestacionarnetemperaturnepoleprirozígrívíferoridinnogouŝilʹnûvača AT radionovav nestacionarnetemperaturnepoleprirozígrívíferoridinnogouŝilʹnûvača AT savčenkosa nestacionarnetemperaturnepoleprirozígrívíferoridinnogouŝilʹnûvača AT selezovit transienttemperaturefieldunderaheatingofferrofluidseal AT radionovav transienttemperaturefieldunderaheatingofferrofluidseal AT savčenkosa transienttemperaturefieldunderaheatingofferrofluidseal |