Влияние симметрии подводного препятствия на распространение поверхностных гравитационных волн

Изложены особенности метода улучшенной редукции применительно к задаче о рассеянии поверхностных гравитационных волн на донной неоднородности в виде прямоугольной призмы. В развитие известного метода решения подобных задач на основе разложения решения в ряд по собственным функциям задачи в работе вы...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Прикладна гідромеханіка
Date:	2016
Main Authors:	Городецкая, Н.С., Щербак, Н.С., Никишов, В.И.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут гідромеханіки НАН України 2016
Subjects:	Науковi статтi
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116546
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Влияние симметрии подводного препятствия на распространение поверхностных гравитационных волн / Н.С. Городецкая, Н.С. Щербак, В.И. Никишов // Прикладна гідромеханіка. — 2016. — Т. 18, № 1. — С. 16-30. — Бібліогр.: 31 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860236756226408448
author	Городецкая, Н.С. Щербак, Н.С. Никишов, В.И.
author_facet	Городецкая, Н.С. Щербак, Н.С. Никишов, В.И.
citation_txt	Влияние симметрии подводного препятствия на распространение поверхностных гравитационных волн / Н.С. Городецкая, Н.С. Щербак, В.И. Никишов // Прикладна гідромеханіка. — 2016. — Т. 18, № 1. — С. 16-30. — Бібліогр.: 31 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Прикладна гідромеханіка
description	Изложены особенности метода улучшенной редукции применительно к задаче о рассеянии поверхностных гравитационных волн на донной неоднородности в виде прямоугольной призмы. В развитие известного метода решения подобных задач на основе разложения решения в ряд по собственным функциям задачи в работе выделены особенности по скоростям в окрестности угловых точек препятствия. Это позволило асимптотически оценить вклад мод высших порядков. Показаны преимущества предлагаемого метода по сравнению с обычной редукцией. Приведены результаты расчетов коэффициентов отражения и прохождения для разных глубин канала до и после препятствия. Викладено особливостi методу полiпшеної редукцiї, стосовно до задачi про розсiювання поверхневих гравiтацiйних хвиль на доннiй неоднорiдностi у виглядi прямокутної призми. Вiдомий метод розв’язання подiбних задач на основi розвинення розв’язку в ряд власним функцiям у роботi модiфiковано шляхом видiлення особливостi по швидкостi в околi кутових точок перешкоди. Це дозволило асимптотично оцiнити внесок мод високих порядкiв. Показано переваги запропонованого методу в порiвняннi iз звичайною редукцiєю. Приведено результати розрахункiв коефiцiєнтiв вiдбиття та проходження для рiзних глибин каналу до i пiсля перешкоди. The features of the improved reduction method in respect to the problem of scattering of surface gravity waves by bottom irregularity of rectangular shape have been expounded. The known method of solving of similar tasks on the basis of expanding of solution in series of eigenfunctions has been developed by selection of singularity relative to velocity in neighborhood of angular point of the obstacle. This makes possible to estimate the contribution of higher order modes by asymptotically. The advantages of the proposed method in compared with usual reduction has been demonstrated. The results of calculation of the reflection and transmising coeffcients for different depths of the channel before and behind obstacle have been represented.
first_indexed	2025-12-07T18:25:43Z
format	Article
fulltext	ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2016. Том 18, N 1. С. 16 – 30 УДК 532.591 ВЛИЯНИЕ СИММЕТРИИ ПОДВОДНОГО ПРЕПЯТСТВИЯ НА РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТНЫХ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН Н. С. Г ОР О Д ЕЦ К А Я∗, Т. Н. Щ ЕР БА К∗∗, В. И. Н И К И ШО В∗ ∗Институт гидромеханики НАН Украины, Киев вул. Желябова, 8/4, 03680, МСП, Київ-180, Україна ∗∗Национальный транспортный университет, г. Киев ул. Киквидзе, 42, 01103, Киев E-mail: vinihm@gmail.com Получено 16.11.2015 Изложены особенности метода улучшенной редукции применительно к задаче о рассеянии поверхностных грави- тационных волн на донной неоднородности в виде прямоугольной призмы. В развитие известного метода решения подобных задач на основе разложения решения в ряд по собственным функциям задачи в работе выделены особен- ности по скоростям в окрестности угловых точек препятствия. Это позволило асимптотически оценить вклад мод высших порядков. Показаны преимущества предлагаемого метода по сравнению с обычной редукцией. Приведены результаты расчетов коэффициентов отражения и прохождения для разных глубин канала до и после препятствия. КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: поверхностные волны, рассеяние, препятствие, собственные функции Викладено особливостi методу полiпшеної редукцiї, стосовно до задачi про розсiювання поверхневих гравiтацiйних хвиль на доннiй неоднорiдностi у виглядi прямокутної призми. Вiдомий метод розв’язання подiбних задач на основi розвинення розв’язку в ряд власним функцiям у роботi модiфiковано шляхом видiлення особливостi по швидкостi в околi кутових точок перешкоди. Це дозволило асимптотично оцiнити внесок мод високих порядкiв. Показано переваги запропонованого методу в порiвняннi iз звичайною редукцiєю. Приведено результати розрахункiв коефi- цiєнтiв вiдбиття та проходження для рiзних глибин каналу до i пiсля перешкоди. КЛЮЧОВI СЛОВА: поверхневi хвилi, розсiювання, перешкода, власнi функцiї The features of the improved reduction method in respect to the problem of scattering of surface gravity waves by bottom irregularity of rectangular shape have been expounded. The known method of solving of similar tasks on the basis of expanding of solution in series of eigenfunctions has been developed by selection of singularity relative to velocity in neighborhood of angular point of the obstacle. This makes possible to estimate the contribution of higher order modes by asymptotically. The advantages of the proposed method in compared with usual reduction has been demonstrated. The results of calculation of the reflection and transmising coefficients for different depths of the channel before and behind obstacle have been represented. KEY WORDS: surface waves, scattering, obstacle, eigenfunctions ВВЕДЕНИЕ Известно, что под воздействием волн могут происходить разрушение расположенных в шель- фовой зоне гидротехнических сооружений, эрозия берегов. Поэтому задача защиты сооружений и бе- регов с помощью искусственных конструкций ра- знообразной формы, зависящей от волнового кли- мата, наклона берегов, глубины места установки волнолома, а также доступности и стоимости ма- териалов, остается актуальной. Наиболее распро- страненные волноломы представляют собой ка- менную наброску и бетонные конструкции или комбинацию обоих типов. Поскольку к волноло- мам предъявляются высокие требования, их кон- струкции становятся все более и более сложными, и они проектируются с учетом понимания процес- сов взаимодействия волн со структурами и бере- гами. Примеры конструкций используемых волно- ломов можно найти в обобщающих монографиях [1-3]. Задача расчета параметров волн, распространя- ющихся над волноломами, продолжает вызывать интерес у исследователей в связи с необходимо- стью совершенствования их характеристик, улу- чшения экологических качеств. Понимание про- цесса взаимодействия волн с препятствиями осно- вывается на изучении простых, “канонических” форм волноломов типа уступ, барьер, барьер ко- нечной толщины и др. Более сложные констру- кции волноломов представляют собой, как прави- ло, различные комбинации простых форм волно- ломов. Этим объясняется интерес к теоретическо- му анализу рассеяния волн на волноломах про- 16 c© Н. С. Городецька, Т. Н. Щербак, В. И. Никишов, 2016 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2016. Том 18, N 1. С. 16 – 30 стых форм. Анализ форм волноломов и конфигураций дон- ной поверхности показывает, что можно выделить класс задач, в которых область, занимаемую жид- костью, можно условно разделить на подобласти, характеризуемые постоянной глубиной и отделен- ные друг от друга вертикальными плоскостями. К этому классу относятся задачи рассеяния волн на уступе, барьере, прямоугольном препятствии, подводной траншее и др. Следует отметить, что на основе решений указанных задач могут быть изучены вопросы распространения волн в случае произвольной конфигурации донной поверхности, когда она заменяется рядом ступенек. Для расчета параметров волн, рассеивающихся на волноломах, используются различные теорети- ческие подходы. Одним из эффективных методов, применяемых для этой цели, является разложение решения в ряд по системе собственных функций рассматриваемой данной подобласти. В резуль- тате выполнения условий сопряжения на грани- цах между подобластями получаем систему фун- кциональных уравнений, которую с использова- нием свойств ортогональности собственных функ- ций сводим к бесконечной системе алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффици- ентов разложений. Такой подход к решению за- дачи о рассеянии поверхностных гравитационных волн на системе вертикальных барьеров конечной ширины был применен в работе [4]. Получаемая система уравнений была решена среднеквадрати- чным методом, который является, по сути, инте- гральным методом. Возможен другой подход, ко- торый заключается в численном решении получа- емой системы. Хорошо известно решение задачи о трансформа- ции длинных волн на подводном уступе [5]. Осно- вываясь на уравнении сохранения массы и усло- вии непрерывности распределения высоты подъе- ма свободной поверхности, в этой работе получены выражения для коэффициентов отражения и про- хождения поверхностной волны. Отметим, что для получения решения в длинноволновом приближе- нии подробной информации о характере течения в окрестности граней уступа не требуется. Более строгий подход к решению этой проблемы был осу- ществлен в работе [6], в которой задача была све- дена к интегральному уравнению относительно го- ризонтальной компоненты скорости U(z), однако решение уравнения было найдено только для пре- дельного случая длинных волн. Следующий шаг был сделан в работе [7], в которой рассмотрено нормальное падение поверхностной волны на зо- ну резкого изменения донной поверхности (между областям с конечной и бесконечной глубинами). Автор получил интегральное уравнение, подобное рассмотренному в работе [6], и свел его к бесконе- чной системе линейных алгебраических уравнений путем разложения U(z) в ряд по собственным фун- кциям, характерным для области конечной глуби- ны, с использованием свойства их ортогонально- сти. Полученная система уравнений решалась чи- сленно, причем учитывался вклад до 80 нераспро- страняющихся мод. Было показано, что в длин- новолновом приближении результаты находятся в соответствии с результатами работы [5]. Отметим, что в другой работе [8] автор применил анало- гичный подход к рассмотрению распространения поверхностных волн над длинным симметричным препятствием в жидкости конечной глубины. Распространение поверхностных волн над усту- пом в жидкости конечной глубины изучено в ра- боте [9] на основе построения так называемой “ма- трицы рассеяния”, которая связывает коэффици- енты распространяющихся мод по обе стороны скачка глубины. Характерной особенностью дан- ного подхода является использование асимптоти- ческого приближения плоских волн (“plane-wave approximation”), при котором по обе стороны от области резкого изменения глубины потока рас- сматриваются только распространяющиеся моды и влиянием нераспространяющихся мод пренебре- гается. В работе [10] рассматривалась задача о распро- странении поверхностных волн в канале со случай- ным дном. Предполагалось, что неоднородности донной поверхности имеют ступенчатую форму, а случайным является длина каждой ступеньки, что, по сути, каждая неоднородность имеет на кон- цах вид уступа. Авторы сформулировали поста- новку граничной задачи для потенциала, однако конкретные расчеты проводились путем построе- ния “матрицы рассеяния”, т.е. следуя работе [9]. При этом влиянием возникающих неоднородных волн пренебрегалось. Основанием для этого слу- жило введенное ограничение на длину ступень- ки, что приводило к тому, по суждению авторов, что влиянием неоднородных волн, генерируемых на одном конце ступеньки, на условие сопряжения на другом конце можно пренебречь, если длина до- статочно велика. В работе [11] рассматривается рассеяние по- верхностных волн на прямоугольном препятствии в жидкости конечной глубины. Использовалась вариационная формулировка задачи. Проводил- ся учет вклада неоднородных волн с целью про- верки сходимости решения. Установлено, что при увеличении отношения глубины жидкости над Н. С. Городецька, Т. Н. Щербак, В. И. Никишов 17 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2016. Том 18, N 1. С. 16 – 30 препятствием к общей глубине потока требуе- тся увеличивать число учитываемых неодноро- дных волн для достижения необходимой точно- сти. Продемонстрирован осциллирующий харак- тер поведения коэффициента отражения в зависи- мости от волнового числа, причем с увеличением длины препятствия число осцилляций увеличива- ется. Этот вывод согласуется с выводами работы [9], в которой рассмотрено распространение волн над длинным препятствием в жидкости конечной глубины. Физическое объяснение возникновения осцилляций в поведении коэффициента отраже- ния приведено в работе [27], в которой показано, что коэффициент отражения может достигать ну- левых значений (прозрачный волновод). Такое по- ведение указанного коэффициента заключается во взаимодействии волн, отраженных от разных кон- цов препятствия. Одними из первых работ, в которых был при- менен метод разложения решения по системе соб- ственных функций c последующим сведением за- дачи к решению бесконечной системы алгебраиче- ских уравнений, были работы [12,13]. В первой из них рассматривалась задача о рассеянии поверх- ностных волн, падающих нормально на неподви- жную поверхностную преграду конечной длины, во второй в качестве препятствия рассматривался порог конечной длины. Этот подход был развит в работе [14], в которой изучалась дифракция волн на двумерной подводной прямоугольной впадине для случая наклонного падения. Особое внимание было сосредоточено на рассмотрении случая боль- ших углов падения. Показано, что для нормально- го падения результаты соответствуют данным ра- боты [15]. Развитый подход для получения точного реше- ния задачи был применен в ряде работ при изуче- нии рассеяния поверхностных волн на пороге (впа- дине) произвольной конфигурации. В этом слу- чае поверхность порога заменялась рядом ступе- нек прямоугольной формы, и в каждой области, соответствующей данной ступеньке, строилось ре- шение на основе описанного выше подхода [16]. Для расчетов был использован также метод, ра- звитый в работе [10], когда влиянием неодноро- дных волн пренебрегается. В этом методе реше- ния задачи, заключающимся в разбиении области, занимаемой препятствием, на более мелкие подо- бласти, имеется, однако, естественное ограниче- ние. Оно связано с требованием, чтобы размеры области, в которой необходимо учитывать неодно- родные (нераспространяющимися) волны, концен- трирующиеся около сторон разрывов, были ма- лыми по сравнению с расстояниями между сту- пеньками. Размеры этих областей можно оценить численно путем вычисления относительного вкла- да неоднородных волн, которые эмитируются от каждой из двух близлежащих ступенек [17]. Отметим, что в работе [16] получено также ре- шение задачи с помощью подхода, основанного на построении матрицы рассеяния Майлса. Обнару- жено, что возникает заметная разница в результа- тах, полученных на основе полной модели (с уче- том нераспространяющихся мод) и аппроксимаци- онной модели Майлса при уменьшении длины ба- ра. В частности, распределение амплитуды вол- ны претерпевает разрыв в вертикальной плоско- сти, соответствующей границе бара. Это связано с тем, что матрицы рассеяния Майлса строятся на основе использования приближения плоских волн (“plane-wave approximation”), которое может опи- сывать волновое поле в дальней зоне, но не вбли- зи угловых плоскостей бара, где проявляется силь- ное влияние нераспространяющихся мод. Здесь же проведено сравнение теоретических и эксперимен- тальных результатов авторов. Показано, что име- ет место неплохое их соответствие. Анализируется влияние формы угла бара на характер волн. По- казано, что при наличии острой кромки имеет ме- сто сворачивание вихревых возмущений, вызван- ных кромкой, в результате формируются вихри, которые могут проникать в поток. Сглаживание кромки приводит к исчезновению такого эффекта. Интересно отметить, что была сделана попытка осуществить моделирование закругленной кромки рядом ступенек (до 10 ступенек), однако никаких оценок влияния нераспространяющихся мод, эми- тируемых с одного конца ступеньки на другой, не приведено. В работе [18] изучено распространение поверх- ностных волн над подводной траншеей. Рассмо- трены случаи симметричной и несимметричной форм указанных донных углублений. Показано, что в симметричном случае коэффициент отраже- ния носит осциллирующий характер и его локаль- ные минимумы достигают нуля (бреговское рассе- яние). Несимметрия формы траншеи приводит к тому, что этот коэффициент отличен от нуля, хо- тя и осциллирует. Некоторая разновидность обсуждаемого метода развита в работе [19], в которой изучается рассе- яние поверхностных гравитационных волн на не- однородности донной поверхности, рассматривае- мой в виде ступенчатой структуры, а также на не- которых видах отдельных препятствий. На осно- ве условий сопряжения для горизонтальных ком- понент скорости на вертикальных границах, кото- рые соответствуют границам отдельных ступенек 18 Н. С. Городецька, Т. Н. Щербак, В. И. Никишов ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2016. Том 18, N 1. С. 16 – 30 в общей ступенчатой структуре, авторы получи- ли систему интегральных уравнений. Используя разложение выражения для скорости по системе собственных функций, в чем и заключается глав- ное отличие от рассмотренного выше подхода, ко- гда осуществлялось разложение в ряд величины потенциала скорости, авторы на основе свойства ортогональности собственных функций свели ука- занную систему к системе алгебраических урав- нений. В работе проведено сравнение рассчитан- ных интегральных параметров задачи (коэффи- циентов отражения и прохождения) с результа- тами, полученными в других работах на основе традиционного подхода. Показано, что точность данного метода не хуже традиционного, продемон- стрировано соответствие результатов. Обсуждаю- тся преимущества предложенного подхода. В работе [20] также рассматривалось распро- странение поверхностных волн над ступенчатой подводной структурой, с помощь которой осуще- ствлялось моделирование гладкого произвольного профиля донной поверхности. Использовался ме- тод решения задачи, разработанный в работе [10], который заключался в построении матрицы рассе- яния Майлса с последующим применением к сту- пенчатой конфигурации донной поверхности. Ав- торы выполнили расчеты коэффициентов отраже- ния и прохождения для простых конфигураций (одна и две ступенька) при учете нераспростра- няющихся мод, т.е. в полной постановке. Показа- но, что расчеты по разработанной методике не- плохо согласуются с точным решением. Обнару- жено, что для сложных профилей донной поверх- ности и для участков с крутыми склонами точ- ность расчетов падает. Анализ результатов рабо- ты [10], в которой, как указано выше, были вве- дены определенные ограничения на длину сту- пеньки (длина должна быть большой по сравне- нию с локальной глубиной потока), показал, что описанная широко-интервальная аппроксимация (wide-spacing approximation) может быть сведена к плоско-волновой аппроксимации, если отноше- ние высоты ступеньки к локальной глубине потока меньше, чем 0.02. Следует также отметить работу [21], в кото- рой рассмотрено распространение поверхностных гравитационных волн над подводным препятстви- ем конечной ширины. Для решения задачи был использован метод представления решения по си- стеме собственных функций, как в работах [12- 14]. Полученная бесконечная система алгебраи- ческих уравнений решалась методом редукции. Было рассмотрено также приближенное решение, полученное на основе плоско-волнового приближе- ния (plane-wave approximation), а также в длинно- волновом приближении. Показано, что для опре- деленных частот возникает известное резонансное явление, когда коэффициент отражения принима- ет нулевое значение, а фаза волны изменяется на 180 градусов (волна “не чувствует” препятствия). Особенностью конструкций волноломов, пред- ставляющих собой прямоугольное препятствие, находящееся на дне, является наличие у них острых кромок. Это приводит к появлению степен- ной сингулярности (∝ r− 1 / 3, где r - радиальная координата полярной системы координат с цен- тром в вершине острой грани) в выражении для скорости потока [22, 23], что обуславливает необ- ходимость увеличения числа используемых урав- нений, т.е. учета мод высокого порядка. Отметим, что в работах [24, 25] было использовано разложе- ние решения в ряд по собственным функциям, за- тем с использованием инверсионной формулы Ха- велока и выполнения условий сопряжения на вер- тикальной плоскости, проходящей через угловую кромку препятствия, задача свелась к интеграль- ному уравнению для неизвестной горизонтальной компоненты скорости. Это интегральное уравне- ние решалось путем разложения по Галеркину, причем в качестве координатных функций при- менялись ультрасферические полиномы Гегенбау- ера степени 1/6, что позволило учесть упомяну- тую степенную особенность. Более подробно ука- занный подход освещен в монографии [26]. В данной работе на основе разложения реше- ния в ряд по собственным функциям рассмотре- на задача рассеяния поверхностных гравитацион- ных волн подводным прямоугольным препятстви- ем в случае нормального падения. Выполнен учет описанных особенностей распределения скорости в окрестности острых кромок препятствия. Найде- на асимптотика неизвестных коэффициентов ра- зложения для больших номеров n. Учет вклада мод высоких порядков позволил улучшить каче- ство получаемого решения при уменьшении ра- змерности системы для нахождения искомых ко- эффициентов Рассмотрено симметричное распо- ложение препятствия, в том числе в приближении плоских волн. Изучено влияние несимметрии кон- струкции, когда глубины потока до и после пре- пятствия отличаются друг от друга. 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассматривается плоская задача о рассеивании поверхностных гравитационных волн на неодноро- дности донной поверхности в жидкости конечной глубины. Предполагается, что монохроматическая Н. С. Городецька, Т. Н. Щербак, В. И. Никишов 19 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2016. Том 18, N 1. С. 16 – 30 волна с частотой ωd i m падает нормально на нео- днородность, которая представляет собой прямоу- гольное препятствие длины 2b с резкими кромка- ми. Волна распространяется вдоль горизонталь- ной оси x из x = −∞. Направленная вверх вер- тикальная ось z декартовой системы координат проходит через середину верхней грани препят- ствия с началом отсчета на свободной поверхно- сти. Расположение препятствия и системы коор- динат представлено на рис. 1. Полагается,что глу- бина жидкости перед препятствием, H 1, в общем Рис. 1. Расположение перятствия и системы координат случае не равна глубине за препятствием, H 3. Глу- бина жидкости над препятствием составляет H 2. Жидкость предполагается идеальной и несжима- емой. Поведение линейных поверхностных волн, кото- рые распространяются вдоль свободной поверхно- сти, описывается уравнением Лапласа для потен- циала скорости [5]: ∆Φ = ∂2 Φ ∂ x2 + ∂2Φ ∂ z2 = 0. (1) Граничные условия имеют следующий вид: ∂2 Φ ∂ t2 + g ∂ Φ ∂ z = 0 при z = 0, (2) ∂Φ ∂ z = 0 при z = −H1, (3) где g – ускорение силы тяжести. Полагаем, что переменные изменяются во вре- мени по гармоническому закону e− i ω t. Разделяя переменные в уравнении (1), находим выражение для потенциала скорости [27]: Φ = − i a g ω ch k (z +H1) ch kH1 ei ( k x− ω t), где a – амплитуда падающей волны; k – волно- вое число, которое является корнем дисперсион- ного уравнения ω2 d i m = k g th kH1. Приведем указанные уравнения к обезразмеренно- му виду, введя следующие характерные масшта- бы длины L c h = H1 и времени T c h = √ H1/g. Тогда выражение для потенциала и соответствую- щее дисперсионное уравнение можно представить в виде Φ = a ω ch k1 (z +H1) ch k1H1 ei (k 1 x− ω t), (4) ω 2 = k1H1 th k1H1, (5) где a и ω теперь уже безразмерные величины ам- плитуды и частоты, соответственно. Величину H1 для удобства оставим в прежнем виде, хотя она и равна 1. Волновое число k1 является действительным по- ложительным корнем дисперсионного уравнения (4) и характеризует распространяющуюся волну. Кроме этого корня, указанное уравнение имеет бе- сконечное множество чисто мнимых корней, кото- рые относятся к неоднородным волнам и опреде- ляются уравнением ω 2 = −α nH1 tg α nH1. (6) Корням дисперсионного уравнения k1, αn соответ- ствует ортогональная система собственных функ- ций ch k1(z + H1), cos αn(z + H1), где n = 1, 2, . . .N, . . . Запишем выражения для потенциалов скорости в областях 1–3 (множитель e− i ω t опускаем): Φ1 = ( ei k 1(x+b) + Re− i k 1(x+b) ) ϕ 0(z)+ + ∞ ∑ n=1 eα n(x+b)An ϕn(z), (7) Φ2 = (B0 cos k2x+ C0 sin k2x)ψ0(z)+ + ∞ ∑ n=1 ( Bn chβnx chβnb +Cn shβnx shβnb ) ψn(z), (8) Φ3 = Tei k 3(x−b)f0(z)+ + ∞ ∑ n=1 e− γ n(x−b)Dn fn(z), (9) где ϕ 0(z) = ch k1 (z +H1) ch k1H1 , ϕn (z) = cos αn (z +H1) cos αnH1 , ψ0(z) = ch k2 (z +H2) ch k2H2 , ψn(z) = cos βn(z +H2) cos βnH2 , 20 Н. С. Городецька, Т. Н. Щербак, В. И. Никишов ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2016. Том 18, N 1. С. 16 – 30 f0(z) = ch k3 (z +H3) ch k3H3 , fn(z) = cos γn (z +H3) cos γn H3 . Решение задачи заключается в нахождении коэф- фициентов отражения и прохождения R, T и ко- эффициентов разложений An, Bn, C n,Dn путем удовлетворения условиям сопряжений выражений для потенциала и скорости в плоскостях x = −b и x = b, которые могут быть представлены в виде в плоскости x = −b ∂Φ1 ∂ x = { ∂Φ2 ∂ x при −H2 < z < 0, 0 при −H1 < z < −H2, (10) Φ1 = Φ2 при −H2 < z < 0, (11) и в плоскости x = b ∂Φ3 ∂ x = { ∂Φ2 ∂ x при −H2 < z < 0, 0 при −H1 < z < −H3, (12) Φ3 = Φ2 при −H2 < z < 0. (13) 2. МЕТОД РЕШЕНИЯ Подставляя выражения для потенциалов (7)– (9) в условия сопряжения (10)–(13), получаем бес- конечную систему функциональных уравнений, которую преобразуем в систему алгебраических уравнений путем их умножения на соответствую- щие собственные функции и интегрирования по вертикальной оси z с учетом свойств их орто- гональности. Таким образом, задача сводится к бесконечной системе алгебраических уравнений относительно коэффициентов отражения и прохо- ждения R, T и коэффициентов разложений An, Bn, C n, Dn. Полученная система решается, как правило, методом редукции. Однако наличие осо- бенности по скорости в угловой точке обуславли- вает плохую сходимость решения и возникает не- обходимость учета большого количества неодноро- дных мод, что приводит к существенному увели- чению размерности системы. В отличие от простой редукции в работе предла- гается использовать асимптотические выражения коэффициентов разложений при больших значе- ниях n, которые могут быть найдены исходя из конкретного вида сингулярности, в данном случае сингулярности по скорости степенного вида. Из (5) следует, что выражение, описывающее поведение горизонтальной компоненты скорости в области 1 при x = −b, имеет вид U 1\|x=− b = ik1(1 −R) ch k1 (z +H1) ch k1H1 + + ∞ ∑ n = 1 αnAn cos αn (z +H1) cos αnH1 . (14) Ранее было указано, что скорость жидкости в окрестности угловой точки в рассматриваемом случае имеет особенность порядка r− 1 / 3. Отсюда следует, что поведение горизонтальной компонен- ты скорости в плоскости x = −b при z → −H2 +0 описывается следующим выражением: U1(z)\|x=− b = V1 (H2 2 − z2) 1 / 3 , (15) где V1 – константа, требующая определения. Представим это выражение в виде ряда по соб- ственным функциям: V1 (H2 2 − z2)1 / 3 = V1 E0 ch k1 (z +H1) ch k1H1 + +V1 ∞ ∑ n = 1 En cos αn (z +H1) cos αnH1 . (16) Прибавим и отнимем от правой части (12) выра- жение (13) и после ряда преобразований получим: U 1\|x=− b = ik1(1 −R) ch k1 (z +H1) ch k1H1 + + N ∑ n =1 κn An cos αn (z +H1) cos αn H1 + +V1 ∞ ∑ n = N +1 En cos αn (z +H1) cos αnH1 . (17) Выражение (13) в приведенном виде получено на основе предположения, что при больших значени- ях n, больших некоторого N , характер коэффи- циентов An определяется поведением скорости в окрестности угловой точки. Следующее равенство отображает эту связь: κnAn ∼= V1 E n при n ≥ N, (18) Для коэффициентов En находим асимптотиче- скую зависимость для больших значений n. Для этого умножаем выражение (12) на cos αm (z+H1) и интегрируем по интервалу [−H1, 0]. С учетом ор- тогональности собственных функций получаем: 0 ∫ −H1 cos αm (z +H1) (H2 2 − z2)1 / 3 d z = Em Nm cos αmH1 . Вычисляя интеграл на основе табличного интегра- ла [28] a ∫ 0 ( a2 − t2 )β−1 { sin bt cos bt } dt = = √ π 2 ( 2 a b )β − 1 / 2 Γ(β) { Hβ − 1 / 2 (a b) Jβ − 1 / 2 (a b) } , Н. С. Городецька, Т. Н. Щербак, В. И. Никишов 21 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2016. Том 18, N 1. С. 16 – 30 находим: Em = √ Nm √ π 2 ( 2H2 k1 )1 / 6 Γ ( 2 3 ) × × [ cos αmH1 × J1 / 6(αmH2)+ + sinαmH1 ×H1 / 6(αmH2) ] . (19) Здесь Γ(β) – гамма-функция; H β - 1/ 2(a b) – мо- дифицированная функция Струве; Jβ − 1 /2 (a b) – функция Бесселя первого рода; Nm = 4αm sh 2αmH1 + 2αmH1 . Для расчетов применялись асимптотические выражения для коэффициентов Em для больших значений m, которые находились с использова- нием асимптотик функций Струве и Бесселя с учетом известной зависимости αm от m[29]: αmH ≈ (m− 1)π. В итоге получаем Em = I1 ·Nm cos αmH1 , (20) I1 = √ π 2 ( 2H2 αm )1 / 6 Γ ( 2 3 ) × × [S1 cos αmH1 + (S2 + S3) sinαmH1] , где S1 ≈ √ 2 π αmH2 ( cos α̃m − 1 9 1 αmH2 sin α̃m ) , S2 ≈ √ 2 π αmH2 ( sin α̃m + 1 9 1 κnH2 cos α̃m ) , S3 ≈ 1 π Γ ( 1 2 ) Γ ( 2 3 ) ( 2 αmH2 )5 / 6 , α̃m = αmH2 − π 3 . Переходя к области 2, запишем выражение для го- ризонтальной скорости в плоскости x = −b, исходя из (8): U2\|x =− b = k2 (B0 sin k2b+C0 cos k2b) ψ0(z)+ + ∞ ∑ n=1 βn ( −Bn shβnb chβnb + Cn chβnb sh βnb ) ψn(z). Как и ранее, прибавляем и отнимаем от правой части этого уравнения выражение, описывающee указанную выше степенную особенность, которую также разлагаем в ряд по системе собственных функций, но теперь относящихся к области 2. Про- цедура нахождения асимптотических выражений для коэффициентов Bn и Cn та же, что и при вы- числении E n. После ряда преобразований получа- ем: U2\|x =− b = k2 (B0 sin k2b+C0 cos k2b) ψ0(z)+ + N ∑ n=1 βn ( −Bn shβnb ch βnb + Cn chβnb sh βnb ) ψn(z)+ +(V + 2 + V − 2 ) ∞ ∑ n = N +1 R nψn(z), где V + 2 R n = −βnBnthβnb, (21) V − 2 R n = βnCncth βnb. (22) В итоге имеем Rn = I2 ·Mn cos βnH2 , I2 = √ π 2 ( 2H2 βn )1 / 6 Γ ( 2 3 ) × × [L1 cos βnH2 + (L2 + L3) sinβnH2] , L1 ≈ √ 2 π βnH2 ( cos β̃n − 1 9 1 βnH2 sin β̃n ) , L2 ≈ √ 2 π βnH2 ( sin β̃n + 1 9 1 βnH2 cos β̃n ) , S3 ≈ 1 π Γ ( 1 2 ) Γ ( 2 3 ) ( 2 βnH2 )5 / 6 , β̃n = βnH2 − π 3 , Mn = 4 βn sh 2 βnH2 + 2 βnH2 . Аналогичным образом находятся выражения для горизонтальных компонент скорости на гра- нице x = b и соответствующие зависимости для ко- эффициентов разложений при больших значений n. Удовлетворяя условиям сопряжения, получаем систему 4N + 4 уравнений для такого же коли- чества неизвестных. Необходимые для замыкания системы коэффициенты Vi выбирались из усло- вий (13), (17), (18) и подобных, которые находятся при рассмотрении выражений для поля скорости в плоскости x = b. Полученная система алгебраических уравнений является системой второго рода, т.е. хорошо обу- словленной. Граничные задачи, которые сводятся к таким системам, как правило, дают приемле- мые результаты при простой редукции системы уравнений, когда величины коэффициентов отра- жения R и прохождения T практически не изме- няются при расчетах, начиная с некоторого N . В 22 Н. С. Городецька, Т. Н. Щербак, В. И. Никишов ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2016. Том 18, N 1. С. 16 – 30 данной задаче, начиная с 50 членов ряда, величи- ны коэффициентов R и T практически не изме- нялись и совпадали до 5 значащих цифр, незави- симо от того, учитывается асимптотическое пове- дение неизвестных коэффициентов или нет. Одна- ко при проверке выполнения условий сопряжения ситуация иная. Если условия сопряжения по по- тенциалу скорости (11), (13) выполняются с до- статочной точностью даже при простой редукции системы, то для условий сопряжения по скоро- сти (10), (11) простая редукция системы приво- дит к значительной погрешности их выполнения в окрестности угловых точек. При использовании метода улучшенной редукции, в котором учитыва- ется асимптотическое поведение неизвестных, для N = 50 ошибка выполнения условий сопряжения по потенциалу не превышала 0.1 % потенциала падающей волны. О качестве выполнения усло- Рис. 2. График точности условий сопряжения по скорости при x = −b вий сопряжения по скоростям можно судить по данным, представленным на рис. 2. Здесь пред- ставлена зависимость модуля разности скоростей δ U = \|U1 − U2\| для сечения x = −b. Расчеты про- ведены для H2 = 0.5, H3 = 1.0, b = 0.5, N = 100, k1H1 = 2. Как видно из рисунка, погре- шность выполнения условий сопряжения по скоро- стям не превышает 2% от скорости падающей вол- ны для всех z = −H2±ε, ε = 0.15. Интересно отме- тить, что область, в которой условия сопряжения выполняются с данной точностью, расположена симметрично относительно z = −H2. При возра- стании N величина ε уменьшалась. Аналогичные результаты получены при рассмотрении условий сопряжения по скорости в плоскости x = b. Вели- чина ε оказалась практически одинаковой как для x = b, так и для x = −b. Также отметим, что по- грешности выполнения условий сопряжения для x = −b и для x = b оказались очень близки. 3. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ Путем численного решения описанной выше системы 4N + 4 уравнений были найдены зависи- мости коэффициентов отражения и прохождения от волнового числа падающей волны для разных соотношений глубин до и за препятствием, глуби- ны над препятствием, длины препятствия. Симметричное препятствие Для симметричного препятствия необходимо принять в вышеприведенных формулах H3 = H1 = 1.0. Результаты расчетов коэффициентов R и T в зависимости от волнового числа падающей волны для некоторых соотношений глубин и дли- ны препятствия представлены в виде графиков на рисунках, приведенных ниже. Рис. 3. Зависимости коэффициентов R и T от k1 H1 при H2 = 0.3 и b = 0.5 На рис. 3–5 представлены результаты расчетов коэффициентов отражения R и прохождения T в зависимости от величины волнового числа падаю- щей волны для разных длин препятствия. Рис. 4. Зависимости коэффициентов R и T от k1 H1 при H2 = 0.3 и b = 1.0 Глубина воды над препятствием в области 2 (см. Н. С. Городецька, Т. Н. Щербак, В. И. Никишов 23 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2016. Том 18, N 1. С. 16 – 30 Рис. 5. Зависимости коэффициентов R и T от k1 H1 при H2 = 0.3 и b = 2.0 рис. 1) составляла H2 = 0.3. Видно, что изменение длины препятствия вызывает небольшие измене- ния максимальных величин максимумов коэффи- циентов отражения: с ростом b эти максимальные значения растут, что связано с увеличением загро- мождения канала. Однако эти изменения R неве- лики. В то же время, для определенных значений волнового числа k1 коэффициент отражения ста- новится равным нулю, так называемое “бреговс- кое” рассеяние. Причина появления нулевых зна- чений коэффициента R связана с взаимодействием волны, отраженной от границы x = −b с волной, прошедшей через эту границу, распространившей- ся в области над препятствием до границы x = b, отраженной от нее и дошедшей обратно до грани- цы x = −b. В случае, когда фазы этих волн проти- воположны, коэффициент отражения становится равным нулю и волнолом оказывается полностью “открытым”. Подробно этот механизм рассмотрен в монографии [27]. Увеличение длины препятствия приводит к по- явлению новых локальных минимумов в распре- делении коэффициента R и его график станови- тся сильно изрезанным. Что касается коэффици- ента прохождения T , то его поведение четко корре- лирует с поведением коэффициента R, поскольку выполняется закон сохранения энергии, который в данном случае принимает вид R2 + T 2 = 1. Уменьшение высоты препятствия (увеличение глубины воды над препятствием) приводит, как и следовало ожидать, к уменьшению максимальных значений коэффициента отражения. Это наглядно видно на рис. 6-8. Здесь глубина воды H2 равня- лась 0.5. Как и при величине H2 = 0.3, коэффици- ент отражения принимает при определенных зна- чениях волнового числа падающей волны нулевые значения, число которых возрастает с ростом дли- ны препятствия. Интересно отметить, что величи- ны k1H1, при которых коэффициент R обращае- тся в нуль в случае H2 = 0.3, отличаются от ана- логичных величин при H2 = 0.5 для равных длин препятствий. Это связано с тем, что длины волн (а значит и скорости волн), распространяющихся над препятствиями, будут отличаться в этих слу- чаях в соответствии с дисперсионным уравнением (5). Это приводит к изменению набега фазы в вол- не и смещению условий, при которых фазы волн отличаются на π. Рис. 6. Зависимости коэффициентов R и T от k1 H1 при H2 = 0.5 и b = 0.5 Рис. 7. Зависимости коэффициентов R и T от k1 H1 при H2 = 0.5 и b = 1.0 Как и в предыдущем случае (H2 = 0.3), наблю- дается небольшое увеличение максимальных зна- чений коэффициента отражения при возрастании длины препятствия. Были также проведены ра- счеты коэффициентов отражения и прохождения для случаев, когда глубина жидкости над препят- ствием составляла H2 = 0.7 и H2 = 0.9. Получен- ные результаты отличаются от вышеприведенных только количественно. Анализ приведенных результатов показал, при уменьшении глубины жидкости над препятствием относительная роль длины препятствия в измене- 24 Н. С. Городецька, Т. Н. Щербак, В. И. Никишов ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2016. Том 18, N 1. С. 16 – 30 Рис. 8. Зависимости коэффициентов R и T от k1 H1 при H2 = 0.5 и b = 2.0 нии максимальных значений коэффициента R воз- растает. Но, в целом, основные выводы остаются прежними: (i) максимальные значения коэффици- ента отражения существенным образом зависят от высоты препятствия; (ii) коэффициент отражения при определенных значениях волнового числа па- дающей волны становится равным нулю; (iii) изме- нение высоты препятствия приводит к изменению значений волнового числа k1, при котором коэф- фициент R становится равным нулю; (iv) увели- чение длины препятствия приводит к росту числа осцилляций коэффициента отражения. Отметим, что полученные результаты, касаю- щиеся зависимости коэффициентов отражения от волнового числа падающей волны, совпадают с графической точностью с данными расчетов, при- веденными в работе [21], при одинаковых параме- трах задачи. Несимметричное препятствие Рис. 9. Зависимости коэффициентов R и T от k1 H1 при H2 = 0.5,H3 = 0.9 и b = 0.5 Рассмотрим сначала результаты расчета коэф- фициентов отражения и прохождения в зависимо- сти от волнового числа падающей волн для разных длин 2b, когда H2 = 0.5 и глубина жидкости за препятствием меняется. На рис. 9-11 представле- ны такие графики для случая, когда глубина жид- кости за препятствием H3 = 0.9, т.е. отличия от симметричного случая невелики. Рис. 10. Зависимости коэффициентов R и T от k1 H1 при H2 = 0.5,H3 = 0.9 и b = 1.0 Сравнение с графиками, которые соответствуют симметричному случаю при той же глубине жид- кости над препятствием, т.е. H2 = 0.5 (см. рис. 6–8), показывает, что осциллирующий характер изменений коэффициента отражения в зависимо- сти от k1H1 остается и в несимметричном случае. Однако есть принципиальное отличие, которое за- ключается в том, что нет полного гашения отра- женной волны для относительно больших длин волн. Другими словами, локальные минимумы ко- эффициента отражения не равны нулю, по край- ней мере, до величин k1H1 ≈ 2.0, причем с возра- станием длины препятствия эти отличия становя- тся более выраженными. Для малых длин волн, когда влияние препятствия становится малым, эти отличия нивелируются. Рис. 11. Зависимости коэффициентов R и T от k1 H1при H2 = 0.5,H3 = 0.9 и b = 2.0 Н. С. Городецька, Т. Н. Щербак, В. И. Никишов 25 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2016. Том 18, N 1. С. 16 – 30 Увеличение глубины жидкости за препятствием приводит к тому, что влияние несимметрии воз- растает. Рис. 12. Зависимости коэффициентов R и T от k1 H1 при H2 = 0.5,H3 = 0.7 и b = 0.5 Рис. 13. Зависимости коэффициентов R и T от k1 H1 при H2 = 0.5,H3 = 0.7 и b = 1.0 На рис. 12–14 представлены результаты расче- тов упомянутых коэффициентов для случая, ко- гда H3 = 0.7, а глубина жидкости над препятстви- ем остается той же самой, H2 = 0.5. Из рисунков видно, что для более выраженной несимметрии (глубина жидкости за препятствием уменьшилась от величины 0.9 до 0.7) вызывает за- метные отличия локальных минимумов в распре- делении коэффициента отражения от нуля, при- чем это наблюдается до величин k1H1 ≈ 4.0, т.е. эти отличия наблюдаются и в более высокочасто- тной области по сравнению со случаем, когда глу- бина жидкости за препятствием (H3 = 0.9) была близка к соответствующей глубине до препятствия (H1 = 1.0). Были также проведены расчеты коэффициен- тов отражения и прохождения для более высо- кого препятствия (высота жидкости над ним со- ставляла H2 = 0.3). Отметим, что относитель- Рис. 14. Зависимости коэффициентов R и T от k1 H1 при H2 = 0.5,H3 = 0.7 и b = 2.0 Рис. 15. Зависимости коэффициентов R и T от k1 H1 при H2 = 0.3,H3 = 0.9 и b = 0.5 ная роль глубины жидкости (H3 = 0.9) за пре- пятствием в данном случае, когда высота пре- пятствия заметно возросла по сравнению с пре- дыдущим случаем(H2 = 0.5), казалось бы, дол- жна нивелироваться. Однако для длинных волн отличие локальных минимумов коэффициента R от нуля продолжает наблюдаться, хотя и очень не- значительное, особенно для более короткого пре- пятствия. Это видно из рисунков 15–17, кото- рые соответствуют таким длинам препятствия: b = 0.5; 1.0; 2.0, глубина жидкости за препятстви- ем составляла H3 = 0.9. Тем не менее, упомянутое отличие от нуля хо- рошо наблюдается. Интересно сравнить приведен- ные результаты с данными, представленными на рис. 3–5, которые соответствуют симметричному случаю (H3 = H1 = 1.0, H2 = 0.3) и рис. 9– 11, на которых представлены результаты расче- тов несимметричного случая (H1 = 1.0, H2 = 0.5, H3 = 0.9). Сравнение показывает, что даже не- большая несимметрия расположения препятствия приводит к отличию минимумов коэффициента R от нуля. 26 Н. С. Городецька, Т. Н. Щербак, В. И. Никишов ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2016. Том 18, N 1. С. 16 – 30 Рис. 16. Зависимости коэффициентов R и T от k1 H1 при H2 = 0.3,H3 = 0.9 и b = 1.0 Рис. 17. Зависимости коэффициентов R и T от k1 H1 при H2 = 0.3, H3 = 0.9 и b = 2.0 Возрастание глубины за препятствием приводит к тому, что отличие локальных минимумов от ну- ля становится существенным. На рис.18–20 пред- ставлены результаты расчетов упомянутых коэф- фициентов в случае, когда H2 = 0.3, а глубина жидкости за препятствием существенно больше, чем в предыдущем случае, H3 = 0.5. Видно, что рост глубины жидкости за препятствием приводит к существенному увеличению значений локальных минимумов коэффициента R. Аналогичные выводы следуют из анализа ре- зультатов расчетов коэффициентов R и T в слу- чае других глубин жидкости над препятствием, в частности, H2 = 0.5, H3 = 0.7. Анализ рис. 15–17 и 18–20 наглядно подтвер- ждает сделанный выше вывод о влиянии умень- шения глубины жидкости за препятствием на ко- эффициенты отражения, а значит и прохождения. Действительно, для случая H2 = 0.3 длинноволно- вой части отличия минимальных значений коэф- фициента R сопоставимы с максимальными зна- чениями. Так, для b = 2.0 первый минимум дости- гает значений, равных приблизительно 0.16 (см. Рис. 18. Зависимости коэффициентов R и T от k1 H1 при H2 = 0.3,H3 = 0.5 и b = 0.5 Рис. 19. Зависимости коэффициентов R и T от k1 H1 при H2 = 0.3, H3 = 0.5 и b = 1.0 Рис. 20. Зависимости коэффициентов R и T от k1 H1 при H2 = 0.3,H3 = 0.5 и b = 2.0 рис. 20), в то время как первый максимум ≈ 0.4. И здесь уже говорить о равенстве нулю, как в сим- метричном случае, не приходится. В то же время, количество минимумов, напри- мер, до значений k1H1 = 7.0 при b = 2.0 иH2 = 0.3 остается одинаковым в симметричном (рис. 5) и несимметричном (рис. 20) случаях. Аналогичные выводы относительно влияния не- Н. С. Городецька, Т. Н. Щербак, В. И. Никишов 27 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2016. Том 18, N 1. С. 16 – 30 симметричности препятствия на поведение коэф- фициента отражения сделаны в работе [30], в ко- торой в приближении длинных волн рассмотре- но рассеяние поверхностных гравитационных волн на препятствии при наличии примыкающих к не- му углублений. Авторы показали, что в симметри- чном случае, когда указанные углубления одина- ковы, то коэффициент R достигает нулевых значе- ний, и его величина отлична от нуля при наличии несимметричных склонов в углублениях. Следует также упомянуть работу [18], в которой изучено распространение поверхностных волн над подво- дной траншеей. Показано, что коэффициент отра- жения носит осциллирующий характер, и локаль- ные минимумы равны нулю для прямоугольной траншеи. В случае, когда склоны траншеи наклон- ны и имеют разные формы, то локальные миниму- мы этого коэффициента отличны от нуля. Плоско-волновое приближение Решение рассматриваемой задачи заключалось, в том числе, в выполнении условий сопряжения, для чего необходимо учитывать существование не- однородных волн. Если пренебрегать этими волна- ми, то волновое поле вблизи рассмотренных выше вертикальных границ будет определяться с ошиб- кой, в частности, величины отклонений свободной поверхности будут отличаться по разные стороны от границы. С этой точки зрения важно оценить расстояние Xпо горизонтали от места формирова- ния неоднородных волн, на котором влияние этих волн пренебрежимо мало по сравнению с положе- нием x = 0. В ряде случаев, например, в целях на- хождения аналитических зависимостей для коэф- фициентов отражения и прохождения указанными модами пренебрегают. Это так называемое плоско- волновое приближение (“plane-wave approximati- on”) [27]. Для нахождения указанного выше рас- стояния Xследует оценить вклад от самой низкой моды (n = 1), поскольку она затухает медленнее всех других, α1 < αm, m = 2, 3, . . .. Как показыва- ет анализ распределения корней уравнения (4), ве- личина αnH находится в пределах (n − 1/2)π < αnH < nπ [31]. Тогда для n = 1 в качестве наи- меньшего значения величины αnH можно принять π/2. Выражение для потенциала Φ ∝ exp(−αnX) или Φ ∝ exp(−π X/2H). Отсюда следует, что для оценки вклада в волновое поле от неоднородных мод величиной 1% расстояние Xe должно быть [29] X ≥ 3H . Для альтернативной оценки затухания неоднородных мод полагаем, что их вклад явля- ется существенным на расстоянии X ∝ 1/α2[29]. Тогда получаем Φ ∝ exp(−αnX) = exp(−1), т.е. оценка в четыре раза больше, чем в предыдущем случае, когда πX/2H ≈ 4.6 и полагалось, что вклад на расстоянии X не более 1%. Таким обра- зом, влияние неоднородных волн простирается на достаточно большое расстояние. Рассмотрим в ка- честве примера случай, когда H1 = 3 м, H2 = 1 м, 2b = 3 м. Тогда вклад неоднородных волн в волно- вое поле над препятствием достигнет уровня 1% по сравнению с их влиянием на границе раздела на расстоянии 3 м, т.е. их влияние распространи- тся на всю область над препятствием. В случае длинного препятствия влиянием нео- днородных мод можно пренебречь при изучении волнового поля над препятствием за исключением областей, примыкающих к границам. Остановим- ся на указанном приближении применительно к рассматриваемой задаче. Потенциалы скоростей в областях 1–3, исходя из выражений (7)–(9), можно представить в виде: Φ1 = ( ei k 1(x+b) + Re− i k 1(x+b) ) ϕ0(z), Φ2 = (B0 cos k2x+C0 sin k2x) ψ0 (z) , Φ3 = Tei k 3(x−b)f0 (z) . Для нахождения коэффициентов отражения и прохождения удовлетворяем условиям сопряже- ния (10)–(13). Рассмотрим случай, когда глуби- ны до и за препятствием равны друг другу, т.е. H1 = H3. В результате получаем функциональные уравнения, алгебраизацию которых осуществляем путем умножения на собственные функции и ин- тегрируя по соответствующему интервалу. В ре- зультате получаем следующую систему алгебраи- ческих уравнений: i k1(1 − R) 1 N0 ch k1H1 = = k2(B0 sin k2b+ C0 cos k2b) P1 ch k2H2 , (1 +R) P1 ch k1H1 = = (B0 cos k2b+ C0 sin k2b) 1 M0ch k2H2 , i k1T 1 N0ch k1H1 = = k2 (−B0 sin k2b+ C0 cos k2b) P1 ch k2H2 , 28 Н. С. Городецька, Т. Н. Щербак, В. И. Никишов ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2016. Том 18, N 1. С. 16 – 30 T P1 ch k1H1 = = (B0 cos k2b+C0 sin k2b) 1 M0ch k2H2 , где P1 = sh (k1H1 + k2H2) 2(k1 + k2) + sh (k1H1 − k2H2) 2(k1 − k2) − − k1 k2 1 − k2 2 sh (k1H1 − k1H2), N0 = 4 k1 sh 2 k1H1 + 2 k1H1 , M0 = 4 k2 sh 2 k2H2 + 2 k2H2 . Введем обозначения q = −ik2/k1, Λ = P 2 1 N0M0. Решая полученную систему уравнений, находим следующие выражения для коэффициентов отра- жения и прохождения: R = tg k2b (1 + Λ2q2) (tg k2b− qΛ)(1 + qΛtg k2b) , T = qΛ (1 + tg 2k2b) (qΛ − tgk2b)(1 + qΛtg k2b) . Из этих выражений следует, что коэффициент отражения обращается в ноль при tg k2b = 0 или 2b = nλ2, т.е. на длине препятствия должно укла- дываться четное число полуволн. Другая особая точка в вышеприведенных урав- нениях – tg k2b = ∞. Делаем замену tg k2b = 1/ctg k2b и находим: R = ctg k2b (1 + Λ2q2) (1 − qΛctg k2b)(qΛ + ctg k2b) . Видно, что коэффициент R обращается в ноль при ctg k2b = 0, т.е. 2b = (n + 1/2)λ2. Другими слова- ми, R равен нулю, если на расстоянии 2b укла- дывается нечетное число полуволн. Объединяя с вышеприведенными соображениями, можно ска- зать, что коэффициент отражения обращается в ноль, если на длине препятствия укладывается це- лое число полуволн. Этот вывод согласуется с ре- зультатами, приведенными в монографии [27], по- лученными несколько иным способом. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В работе рассмотрена задача о рассеивании поверхностных гравитационных волн на прямо- угольном погруженном препятствии. Рассмотрен случай нормального падения. Для решения зада- чи использован метод разложения решений в ряд по собственным функциям задачи с последующим удовлетворением условий сопряжения. Для реше- ния получаемой в итоге системы уравнений при- менен улучшенный метод редукции, в котором ко- эффициенты разложения высокого порядка учи- тываются асимптотически. Вид этих зависимостей определяется для конкретного типа особенностей задачи, в данном случае особенности по скоро- стям степенного типа. Сделана проверка точности выполнения условий сопряжения. Проведены расчеты коэффициентов отражения и прохождения поверхностной волны для симме- тричного и несимметричного случая. Показано, что для симметричного случая коэффициент отра- жения обращается в ноль для определенных зна- чений волнового числа падающей волны. Сравне- ние результатов с известными данными при оди- наковых параметрах задачи показало их соответ- ствие. Проведены систематические расчеты коэффи- циентов отражения и прохождения для несимме- тричного случая. Показано, что отсутствие сим- метрии расположения препятствия, в частности, неравенства глубин жидкости до и после препят- ствия, приводит к тому, что характер поведения коэффициента отражения остается осциллирую- щим, как и в симметричном случае, однако его значения в точках локального минимума отличны от нуля. Это отличие становится существенным с возрастанием высоты препятствия и ростом глу- бины жидкости за препятствием. Приведены аналитические зависимости для ко- эффициентов отражения и прохождения, полу- ченные в рамках плоско-волнового приближения (“plane-wave approximation”). 1. Sawaragi T. Coastal engineering – waves, beaches, wave-structures interactions//Elsevier.–1995.–P.497. 2. Gerwick B.C.Construction of marine and offshore structures//CRC Press:2007.– P.802 3. Kamphuis J.W.Introduction to coastal engineering and management//Worfd Scientific Pubiishing:2000.– 470 P. 4. Dalrymple R.A., Martin P.A. Wave diffraction through offshore breakwaters // J.of Waterway, Port, Coastal, and Ocean Engineering.– 1990.– 116, N 6.– P. 727-741. 5. Ламб Г. Гидродинамика.– М.-Л: Гостехиздат, 1947.– 928 с. 6. Bartholomeusz E.F. The reflexion of long waves at a step // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc.– 1958.– 54, N 1.– P. 106–118. 7. Newman J.N. Propagation of water waves over an infi- nite step // J. Fluid Mech.– 1965.– 23, part 2.– P. 399- 415. Н. С. Городецька, Т. Н. Щербак, В. И. Никишов 29 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2016. Том 18, N 1. С. 16 – 30 8. Newman J.N. Propagation of water waves past long two-dimensional obstacles // J. Fluid Mech.– 1965.– 23, part 1.– P. 23-29. 9. Miles J.W. Surface-wave scattering matrix for a shelf // J. Fluid Mech.– 1967.– 28, part 4.– P. 755- 767. 10. Devillard P., Dunlop F., Souillard B. Localization of gravity waves on a channel with a random bottom // J. Fluid Mech.– 1988.– 186.– P. 521-538. 11. Mei C.C., Black J.L. Scattering of surface waves by rectangular obstacles in waters of finite depth // J. Fluid Mech.– 1969.– 38, pt. 3.– P. 499-511. 12. Tакаno K. Effets d’un obstacle parallélépipédique sur la propagation de la houle // La Houille Blanche.– 1960.– 15, N 3.– P. 247-267. 13. Tакаno K., Nakazawa H. Effets d’un obstacle de parallélépipédique rectangle sur la propagation de la houle // J. of the Oceanogr Soc. of Japan..– 1966.– 22, N 5.– P. 1-9. 14. Kirby J.T., Dalrymple R.A. Propagation of obliquely incident water waves over a trench // J. Fluid Mech.– 1983.– 133.– P. 47-63. 15. Lee J.-J., Ay er R.M. Wave propagation over a rectangular trench // J. Fluid Mech.– 1981.– 110.– P. 335-347. 16. Rey V., Belzone M., Guazzelli E. Propagation of surface gravity waves over a rectangular bar // J. Fluid Mech.– 1992.– 235.– P. 453-479. 17. Guazzelli E., Rey V., Belzone M. Higher-order Bragg reflection of gravity surface waves by periodic beds // J. Fluid Mech.– 1992.– 245.– P. 301-317. 18. Bender Ch.J., Dean R.G. Wave transformation by two-dimensional bathymetric anomalies with sloped transitions // Coastal Engineering.– 2003.– 50.– P. 61-84. 19. Tsai C.-C., Hsu T.-W., Lin Y.-T. On step approximation for Roseau’s analytical solution of water waves // Hindawi Publishing Corporati- on, Mathematical Problems in Engineering.– 2011.– 2011.– P. Article ID 607196.P. 1-20 20. O’Hare TJ., Davies A.G. A new model for surface wave propagation over undulating topography // Coastal Engineering.– 1992.– 18.– P. 251-266. 21. Abul-Azm A.G. Diffraction through wide submerged breakwater under oblique waves // Ocean Engng.– 1994.– 21, N 7.– P. 683-706. 22. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф. О локальных особен- ностях в математических моделях физических по- лей // Мат. методы и физ.-мех. поля.– 1998.– 41, N 1.– С. 12-34. 23. Городецкая Н.С., Щербак Т.Н., Никишов В.И Рас- сеяние поверхностных гравитационные волны по- дводным уступом // Прикладная гидромеханика.– 2015.– 17(89), N 4.– С. 24-35. 24. Chakraborty R.,·Mandal B.N. Water wave scattering by a rectangular trench // J. Eng. Math.– 2014.– 89.– P. 101-112. 25. Kanoria M., Dolai D.P., Mandal B.N. Water-wave scattering by thick vertical barriers // J. Eng. Math.– 1999.– 35.– P. 361-384. 26. Mandal B.N., De S.Water Wave Scattering// CRC Press.–2015.–P.375 27. Mei C.C., Stiassnie M., Yue D.K.-P. Theory and applications of ocean surface waves//World Scientific Publishing.–2005.–P.1135 28. Прудников А.П., Брычков Ю.А.,Маричев О.И. Интегралы и ряды.– М.: Наука, 1981.– 798 с. 29. Hudspeth R.T.Waves and wave forces on coastal and ocean structures//World Scientific Publishing.–2006.– P. 954 30. Xie J.-J., Liu H.-W., Liu P. Analytical Solution for Long-Wave Reflection by a Rectangular Obstacle with Two Scour Trenches // J. Eng. Mech.– 2011.– 137, N 12.– P. -.919–930 31. Linton C.M., P. McIver P.Handbook of Mathemati- cal Techniques for Wave / Structure Interactions// Chapman & Hull/CRC.–2001.–P. 298 30 Н. С. Городецька, Т. Н. Щербак, В. И. Никишов
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-116546
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1561-9087
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T18:25:43Z
publishDate	2016
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
record_format	dspace
spelling	Городецкая, Н.С. Щербак, Н.С. Никишов, В.И. 2017-04-29T08:07:45Z 2017-04-29T08:07:45Z 2016 Влияние симметрии подводного препятствия на распространение поверхностных гравитационных волн / Н.С. Городецкая, Н.С. Щербак, В.И. Никишов // Прикладна гідромеханіка. — 2016. — Т. 18, № 1. — С. 16-30. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116546 532.591 Изложены особенности метода улучшенной редукции применительно к задаче о рассеянии поверхностных гравитационных волн на донной неоднородности в виде прямоугольной призмы. В развитие известного метода решения подобных задач на основе разложения решения в ряд по собственным функциям задачи в работе выделены особенности по скоростям в окрестности угловых точек препятствия. Это позволило асимптотически оценить вклад мод высших порядков. Показаны преимущества предлагаемого метода по сравнению с обычной редукцией. Приведены результаты расчетов коэффициентов отражения и прохождения для разных глубин канала до и после препятствия. Викладено особливостi методу полiпшеної редукцiї, стосовно до задачi про розсiювання поверхневих гравiтацiйних хвиль на доннiй неоднорiдностi у виглядi прямокутної призми. Вiдомий метод розв’язання подiбних задач на основi розвинення розв’язку в ряд власним функцiям у роботi модiфiковано шляхом видiлення особливостi по швидкостi в околi кутових точок перешкоди. Це дозволило асимптотично оцiнити внесок мод високих порядкiв. Показано переваги запропонованого методу в порiвняннi iз звичайною редукцiєю. Приведено результати розрахункiв коефiцiєнтiв вiдбиття та проходження для рiзних глибин каналу до i пiсля перешкоди. The features of the improved reduction method in respect to the problem of scattering of surface gravity waves by bottom irregularity of rectangular shape have been expounded. The known method of solving of similar tasks on the basis of expanding of solution in series of eigenfunctions has been developed by selection of singularity relative to velocity in neighborhood of angular point of the obstacle. This makes possible to estimate the contribution of higher order modes by asymptotically. The advantages of the proposed method in compared with usual reduction has been demonstrated. The results of calculation of the reflection and transmising coeffcients for different depths of the channel before and behind obstacle have been represented. ru Інститут гідромеханіки НАН України Прикладна гідромеханіка Науковi статтi Влияние симметрии подводного препятствия на распространение поверхностных гравитационных волн Вплив симетрії підводної перешкоди на поширення поверхневих гравітаційних хвиль The effect of underwater obstacle symmetry on surface gravity waves propagation Article published earlier
spellingShingle	Влияние симметрии подводного препятствия на распространение поверхностных гравитационных волн Городецкая, Н.С. Щербак, Н.С. Никишов, В.И. Науковi статтi
title	Влияние симметрии подводного препятствия на распространение поверхностных гравитационных волн
title_alt	Вплив симетрії підводної перешкоди на поширення поверхневих гравітаційних хвиль The effect of underwater obstacle symmetry on surface gravity waves propagation
title_full	Влияние симметрии подводного препятствия на распространение поверхностных гравитационных волн
title_fullStr	Влияние симметрии подводного препятствия на распространение поверхностных гравитационных волн
title_full_unstemmed	Влияние симметрии подводного препятствия на распространение поверхностных гравитационных волн
title_short	Влияние симметрии подводного препятствия на распространение поверхностных гравитационных волн
title_sort	влияние симметрии подводного препятствия на распространение поверхностных гравитационных волн
topic	Науковi статтi
topic_facet	Науковi статтi
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116546
work_keys_str_mv	AT gorodeckaâns vliâniesimmetriipodvodnogoprepâtstviânarasprostraneniepoverhnostnyhgravitacionnyhvoln AT ŝerbakns vliâniesimmetriipodvodnogoprepâtstviânarasprostraneniepoverhnostnyhgravitacionnyhvoln AT nikišovvi vliâniesimmetriipodvodnogoprepâtstviânarasprostraneniepoverhnostnyhgravitacionnyhvoln AT gorodeckaâns vplivsimetríípídvodnoípereškodinapoširennâpoverhnevihgravítacíinihhvilʹ AT ŝerbakns vplivsimetríípídvodnoípereškodinapoširennâpoverhnevihgravítacíinihhvilʹ AT nikišovvi vplivsimetríípídvodnoípereškodinapoširennâpoverhnevihgravítacíinihhvilʹ AT gorodeckaâns theeffectofunderwaterobstaclesymmetryonsurfacegravitywavespropagation AT ŝerbakns theeffectofunderwaterobstaclesymmetryonsurfacegravitywavespropagation AT nikišovvi theeffectofunderwaterobstaclesymmetryonsurfacegravitywavespropagation

Влияние симметрии подводного препятствия на распространение поверхностных гравитационных волн

Institution

Similar Items