Численное моделирование процессов теплопередачи в микроканалах сложной геометрии при ламинарном течении вязкой жидкости
Рассмотрена задача теплопередачи из внешнего нагретого тела в однородный, вязкий, жидкий теплоноситель, двигающийся внутри прямолинейного и зигзагообразного микроканалов в приближении малых чисел Рейнольдса Re. Задача решена численно в терминах "функция тока-завихренность" с использованием...
Saved in:
| Date: | 2016 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2016
|
| Series: | Прикладна гідромеханіка |
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116556 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Численное моделирование процессов теплопередачи в микроканалах сложной геометрии при ламинарном течении вязкой жидкости / А.А. Гуржий, А.В. Шалденко // Прикладна гідромеханіка. — 2016. — Т. 18, № 2. — С. 22-35. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-116556 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1165562025-02-09T20:18:04Z Численное моделирование процессов теплопередачи в микроканалах сложной геометрии при ламинарном течении вязкой жидкости Числове моделювання процесів теплопередачі в мікроканалах складної геометрії при ламінарній течії в'язкої рідини Numerial mоdelling of heat transfer process in microchannel of complex shapes with laminar flow of viscous fluid Гуржий, А.А. Шалденко, А.В. Науковi статтi Рассмотрена задача теплопередачи из внешнего нагретого тела в однородный, вязкий, жидкий теплоноситель, двигающийся внутри прямолинейного и зигзагообразного микроканалов в приближении малых чисел Рейнольдса Re. Задача решена численно в терминах "функция тока-завихренность" с использованием простого явного метода для решения уравнения переноса завихренности и уравнения теплопередачи с разностями против потока и уравнения Пуассона для функции тока с использованием метода последовательной верхней релаксации. Розглянуто задачу теплопередачі з зовнішнього нагрітого тіла в однорідний, в'язкий рідкий теплоносій, що рухається всередині прямолінійного і зигзагоподібного микроканалів у наближенні малих чисел Рейнольдса Re. Задачу розв'язано чисельно в термінах "функція току-завихореність" з використанням простого явного методу для розв'язку рівняння переносу завихреності й рівняння теплопередачі з різницями проти потоку і рівняння Пуассона для функції току з використанням методу послідовної верхньої релаксації. The heat transfer problem from the outside heated body into a uniform, viscous heat-transfer agent moved inside the straight and zigzag microchannel in an approximation of small Reynolds numbers Re is considered. The problem is solved numerically in "stream function-vorticity" terms using a simple explicit method for solving the vorticity transport equation and the heat equation with upwind direction and Poisson equation for the stream function using the method of successive over-relaxation. 2016 Article Численное моделирование процессов теплопередачи в микроканалах сложной геометрии при ламинарном течении вязкой жидкости / А.А. Гуржий, А.В. Шалденко // Прикладна гідромеханіка. — 2016. — Т. 18, № 2. — С. 22-35. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116556 532.8 ru Прикладна гідромеханіка application/pdf Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Науковi статтi Науковi статтi |
| spellingShingle |
Науковi статтi Науковi статтi Гуржий, А.А. Шалденко, А.В. Численное моделирование процессов теплопередачи в микроканалах сложной геометрии при ламинарном течении вязкой жидкости Прикладна гідромеханіка |
| description |
Рассмотрена задача теплопередачи из внешнего нагретого тела в однородный, вязкий, жидкий теплоноситель, двигающийся внутри прямолинейного и зигзагообразного микроканалов в приближении малых чисел Рейнольдса Re. Задача решена численно в терминах "функция тока-завихренность" с использованием простого явного метода для решения уравнения переноса завихренности и уравнения теплопередачи с разностями против потока и уравнения Пуассона для функции тока с использованием метода последовательной верхней релаксации. |
| format |
Article |
| author |
Гуржий, А.А. Шалденко, А.В. |
| author_facet |
Гуржий, А.А. Шалденко, А.В. |
| author_sort |
Гуржий, А.А. |
| title |
Численное моделирование процессов теплопередачи в микроканалах сложной геометрии при ламинарном течении вязкой жидкости |
| title_short |
Численное моделирование процессов теплопередачи в микроканалах сложной геометрии при ламинарном течении вязкой жидкости |
| title_full |
Численное моделирование процессов теплопередачи в микроканалах сложной геометрии при ламинарном течении вязкой жидкости |
| title_fullStr |
Численное моделирование процессов теплопередачи в микроканалах сложной геометрии при ламинарном течении вязкой жидкости |
| title_full_unstemmed |
Численное моделирование процессов теплопередачи в микроканалах сложной геометрии при ламинарном течении вязкой жидкости |
| title_sort |
численное моделирование процессов теплопередачи в микроканалах сложной геометрии при ламинарном течении вязкой жидкости |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2016 |
| topic_facet |
Науковi статтi |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116556 |
| citation_txt |
Численное моделирование процессов теплопередачи в микроканалах сложной геометрии при ламинарном течении вязкой жидкости / А.А. Гуржий, А.В. Шалденко // Прикладна гідромеханіка. — 2016. — Т. 18, № 2. — С. 22-35. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. |
| series |
Прикладна гідромеханіка |
| work_keys_str_mv |
AT guržiiaa čislennoemodelirovanieprocessovteploperedačivmikrokanalahsložnoigeometriiprilaminarnomtečeniivâzkoižidkosti AT šaldenkoav čislennoemodelirovanieprocessovteploperedačivmikrokanalahsložnoigeometriiprilaminarnomtečeniivâzkoižidkosti AT guržiiaa čislovemodelûvannâprocesívteploperedačívmíkrokanalahskladnoígeometrííprilamínarníitečíívâzkoírídini AT šaldenkoav čislovemodelûvannâprocesívteploperedačívmíkrokanalahskladnoígeometrííprilamínarníitečíívâzkoírídini AT guržiiaa numerialmodellingofheattransferprocessinmicrochannelofcomplexshapeswithlaminarflowofviscousfluid AT šaldenkoav numerialmodellingofheattransferprocessinmicrochannelofcomplexshapeswithlaminarflowofviscousfluid |
| first_indexed |
2025-11-30T10:36:41Z |
| last_indexed |
2025-11-30T10:36:41Z |
| _version_ |
1850211308153077760 |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2016. Том 18, N 2. С. 22 – 35
УДК 532.8
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ
ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ В МИКРОКАНАЛАХ СЛОЖНОЙ
ГЕОМЕТРИИ ПРИ ЛАМИНАРНОМ ТЕЧЕНИИ ВЯЗКОЙ
ЖИДКОСТИ
А. А. Г У Р ЖИ Й, A. В. Ш А ЛД Е Н К О
Национальный технический университет Украины "КПИ" , Киев,
03056, г. Киев, просп. Победы, 37
E-mail:a.gourjii@gmail.com
Получено 10.04.2016
Рассмотрена задача теплопередачи из внешнего нагретого тела в однородный, вязкий, жидкий теплоноситель, дви-
гающийся внутри прямолинейного и зигзагообразного микроканалов в приближении малых чисел Рейнольдса Re.
Задача решена численно в терминах “функция тока–завихренность” с использованием простого явного метода для
решения уравнения переноса завихренности и уравнения теплопередачи с разностями против потока и уравнения
Пуассона для функции тока с использованием метода последовательной верхней релаксации. Численное моделирова-
ние показало, что зигзагообразный микроканал при стационарном режиме в области значений чисел Рейнольдса Re
> 30...40 имеет большие усредненные уровни тепловых потоков за счет образования циркуляционных зон в угловых
областях течения, образования локализованных вихревых структур и смещения потока при изменении направления
течения. Показано, что для всего диапазона значений осевых скоростей теплоносителя разность давлений, которую
необходимо прикладывать к зигзагообразномумикроканалу, больше по сравнению с соответствующими значениями
для прямолинейного микроканала. Установлено, что в области значений чисел Рейнольдса Re < 30...40 изменение
геометрии микроканала не приводит к увеличению усредненных уровней тепловых потоков из внешней среды в
жидкий теплоноситель.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: теплопередача, усредненный уровень тепловых потоков, вязкая жидкость, численное реше-
ние, микроканал
Розглянуто задачу теплопередачi з зовнiшнього нагрiтого тiла в однорiдний, в’язкий рiдкий теплоносiй, що рухає-
ться всерединi прямолiнiйного i зиiзагоподiбного микроканалiв у наближеннi малих чисел Рейнольдса Re. Задача
розв’язана чисельно в термiнах “функцiя току–завихоренiсть” з використанням простого явного методу для розв’яз-
ку рiвняння переносу завихреностi i рiвняння теплопередачi з рiзницями проти потоку i рiвняння Пуассона для
функцiї току з використанням методу послiдовної верхньої релаксацiї. Чисельне моделювання показало, що зигза-
гоподiбний мiкроканал при стацiонарному режимi в областi значень чисел Рейнольдса Re > 30...40 має збiльшенi
усередненi рiвнi теплових потокiв за рахунок утворення циркуляцiйних зон в кутових областях течiї, утворення
локалiзованих вихрових структур i змiщення потоку при змiнi напрямку течiї. Показано, що для всього дiапазону
значень осьових швидкостей теплоносiя рiзниця тискiв, яку необхiдно прикладати до зигзагоподiбного мiкроканалу,
бiльше в порiвняннi з вiдповiдними значеннями для прямолiнiйного мiкроканалу. Встановлено, що в областi зна-
чень чисел Рейнольдса Re < 30...40 змiна геометрiї мiкроканалу не призводить до збiльшення усереднених рiвнiв
теплових потокiв з зовнiшнього середовища в рiдкий теплоносiй.
КЛЮЧОВI СЛОВА: теплопередача, усереднений рiвень теплових потокiв, в’язка рiдина, чисельний розв’язок, мi-
кроканал
The heat transferee problem from the outside heated body into a uniform, viscous heat-transfer agent moved inside
the straight and zigzag microchannel in an approximation of small Reynolds numbers Re is considered. The problem is
solved numerically in “stream function–vorticity” terms using a simple explicit method for solving the vorticity transport
equation and the heat equation with upwind direction and Poisson equation for the stream function using the method of
successive over-relaxation. Numerical simulations show that zigzag microchannel with steady regime at Reynolds numbers
Re > 30...40 has an increased levels of heat flows due to the formation of the circulation zones in the corner areas of the
flow, the formation of localized vortex structures and the displacement of the flow at the changing of the flow direction.
It is shown that the fluid pressure difference, which should be applied to the zigzag microchannel, for all values of axial
velocities is more than the corresponding values for the straight microchannel. It is found that microchannel geometry
changes for Reynolds numbers Re < 30...40 does not increase the level of average rate of heat flows from the environment
into the heat-transfer agent.
KEY WORDS: heat transfer, average rate of heat flow, viscous flow, numerical solution, microchannel
ВВЕДЕНИЕ
Быстрое развитие электроники за последние де-
сятилетия всегда сопровождала проблема наде-
жного отвода тепла от элементов радиоэлектрон-
ной аппаратуры. Рост количества электронных
элементов в различных устройствах за последние
годы приводит к возрастанию удельной электри-
ческой мощности, которую необходимо отводить с
поверхности электронных устройств для обеспече-
ния их надежной работы. Особенно отчетливо эта
тенденция проявляется в компьютерной технике.
Постоянное усложнение микропроцессоров сопро-
вождается чрезвычайно быстрым увеличением ко-
личества элементов в них. Эта особенность позво-
22 c© А. А. Гуржий, А. В. Шалденко , 2016
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2016. Том 18, N 2. С. 22 – 35
лила Г. Муру [1] в середине 60-х годов прошло-
го столетия сформулировать эмпирический закон,
согласно которому количество элементов в ком-
пьютерных микропроцессорах в среднем увеличи-
вается в два раза каждые два года.
В перспективе, в ближайшее десятилетие появя-
тся мощные процессоры, которые будут содержать
до ≈ 1010...1011 элементов. Одновременная тен-
денция к миниатюризации процессоров приводит
к существенному повышению уровней удельной
электрической мощности, выделяемой с единицы
площади в электронных устройствах. Перспектив-
ные оценки [2] показывают, что воздушный при-
нудительный теплоотвод с поверхности современ-
ных процессоров фактически выходит на сегодня-
шний день на свои предельные возможности. По-
этому для организации надежного и контролиру-
емого отвода тепла с поверхности процессоров не-
обходимо разрабатывать новые конструкции теп-
лоотводов.
Одним из возможных технических решений про-
блемы надежного отвода выделяемой процессора-
ми электрической теплоты является создание в
подложке кристалла системы микроканалов, за-
полненных жидким теплоносителем [2, 3]. Нагре-
тый в кристалле теплоноситель по трубкам по-
ступает в отдельно вынесенный теплоотвод, кото-
рый позволяет полученную теплоту передать во
внешнюю среду. Для формирования непрерывного
движения в такой системе необходимо поддержи-
вать в жидкости разность давлений, затрачивая
часть электрической мощности компьютера. При
этом возникает новая проблема: необходимо соз-
дать такие конструкции теплоприемников с жид-
ким теплоносителем, которые, с одной стороны,
затрачивают минимум электрической энергии и,
с другой стороны, обеспечивают надежный отвод
выделяемой процессором теплоты с фиксирован-
ной площади электронного устройства.
Увеличение скорости жидкости в микроканалах
приводит к увеличению уровней тепловой энергии,
выносимой теплоносителем [4].Однако формиро-
вание скоростных режимов требует больших за-
трат энергии на поддержание разности давлений
на их входе и выходе. Отличительной особенно-
стью течений в микроканалах, которые применя-
ются в радиоэлектронной промышленности, явля-
ются малые размеры поперечного сечения и малые
скорости течения жидкости [5, 6]. Другими сло-
вами, в микроканалах формируются, как прави-
ло, ламинарные течения, которые характеризую-
тся малыми числами Рейнольдса Re.
Анализ физических процессов в микроканалах
показывает [7, 8], что в рассматриваемой систе-
ме имеют место два наиболее важных механизма
теплопередачи: молекулярная диффузия, вызван-
ная передачей тепла за счет молекулярного дви-
жения, и конвективный перенос, вызванный пере-
дачей тепла за счет движения теплоносителя в ка-
нале. Если первый механизм, в основном, опреде-
ляется тепловыми свойствами материала подлож-
ки, теплоносителя и поверхностью контакта [9], то
второй – управляется структурой течения в ми-
кроканале. Формирование поперечного потока в
микроканале позволяет выравнивать профиль по-
ля температур в теплоносителе и, как следствие,
повышать значения градиента температур в обла-
стях, прилегающих к границам канала.
Открытие Х. Арефом [10] явления хаотической
адвекции позволило взглянуть на проблему интен-
сивного переноса поля температур гидродинами-
ческими течениями с новых концептуальных по-
зиций. Главным достижением исследований конца
прошлого столетия в этом научном направлении
явилось открытие динамической неустойчивости
в ламинарных течениях. Такие режимы в тече-
нии однородной жидкости образуются при возни-
кновении хаотического режима движения отдель-
ных жидких частиц в рассматриваемом течении. В
этом случае в жидкости возникают интенсивные
процессы переноса массы [11, 12] и энергии [13].
Однако не все ламинарные потоки обладают та-
ким свойством, и не во всей области течения хао-
тическая адвекция имеет место. Поиск течений и
условий, при которых возникают режимы хаоти-
ческой адвекции в жидкостях, представляет сего-
дня одну из важных и сложных задач гидромеха-
ники.
С технологической точки зрения генерирование
поперечной составляющей в микроканалах дости-
гается за счет формирования на одной (или не-
скольких) поверхностях канала системы упорядо-
ченных канавок, направленных под углом к оси
микроканала [14], введения в микроканал системы
препятствий различной геометрии [15], изготовле-
ния криволинейных (зигзагообразных) профилей
микроканалов [16] и некоторые другие решения.
В настоящее время известно несколько техноло-
гий изготовления системы микроканалов в кри-
сталлах процессоров и других устройствах радио-
электронной аппаратуры. Наиболее простой явля-
ется технология склеивания [17] слоев подложки,
которые содержат систему каналов различной гео-
метрии. Часто применяется технология травления
и наращивания подложки [18], которая позволяет
формировать не только микроканалы различной
геометрии [16], но и систему различных вставок
внутри микроканалов [15], упорядоченную шеро-
А. А. Гуржий, А. В. Шалденко 23
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2016. Том 18, N 2. С. 22 – 35
ховатость на отдельных поверхностях микрокана-
лов [19] и др.
Цель данной работы – установление количе-
ственной зависимости уровней тепловых потоков
через ограничивающие поверхности прямолиней-
ного и зигзагообразного микроканалов, заполнен-
ных однородной вязкой несжимаемой жидкостью
при ламинарном течении внутри микроканала.
Необходимо выяснить влияние геометрии микро-
канала на значения разности давлений, которые
прикладываются к входу и выходу микрокана-
ла для формирования заданной скорости теп-
лоносителя и уровни усредненных тепловых пото-
ков через ограничивающие поверхности микрока-
нала при достижении стационарных тепловых ре-
жимов.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим процессы теплопередачи внутри
двумерного криволинейного микроканала (рис. 1)
неизменной ширины D, заполненного однородной
вязкой несжимаемой жидкостью с плотностью ρ,
коэффициентом температуропроводности αF , ко-
эффициентом теплопроводности γF и коэффици-
ентом кинематической вязкости ν . Пусть стенки
микроканала выполнены из твердого материала с
коэффициентом температуропроводности αS и ко-
эффициентом теплопроводности γF . Далее инде-
ксы “S” и “F” будут относиться к твердой и жидкой
средам соответственно. Пусть на внешних поверх-
ностях (S9 и S10) поддерживается постоянная тем-
пература T1, а на входе микроканала (S1) поступа-
ет жидкость с температурой T0, T1 > T0, L – общая
длина микроканала вдоль его криволинейной оси.
Необходимо определить уровень тепловых потоков
W из внешней среды в жидкий теплоноситель для
течения, которое развивается в микроканале в на-
правлении стрелок.
Основными уравнениями, описывающими гид-
родинамические процессы внутри микроканала
(область Ω1) и процессы теплопередачи (области
Ω1, Ω2 и Ω3), являются уравнения Навье-Стокса,
уравнение неразрывности и уравнение переноса
тепла, которые в декартовой системе координат
могут быть записаны в следующей консерватив-
ной форме [4, 20]:
∂U
∂t
+
∂U2
∂x
+
∂UV
∂y
=−
1
ρ
∂p
∂x
+ν
{
∂2U
∂x2
+
∂2U
∂y2
}
, (1)
∂V
∂t
+
∂UV
∂x
+
∂V 2
∂y
=−
1
ρ
∂p
∂y
+ν
{
∂2V
∂x2
+
∂2V
∂y2
}
, (2)
Рис. 1. Геометрия микроканала с обозначением
границ и областей
∂U
∂x
+
∂V
∂y
= 0, (3)
∂T
∂t
+
∂UT
∂x
+
∂V T
∂y
= α
{
∂2T
∂x2
+
∂2T
∂y2
}
, (4)
где U(x, y, t), V (x, y, t) – проекции поля скорости,
[м/с]; p(x, y, t) – поле давления, [Па]; T (x, y, t) –
поле температур, [К]; ρ – плотность жидкости,
[кг/м3]; ν – коэффициент кинематической вязко-
сти жидкости, [м2/с]; α = χ/(ρcp) – коэффициент
температуропроводности среды, [м2/с], χ – коэф-
фициент теплопроводности, [Вт/(м·К)]; cp – удель-
ная теплоемкость среды при постоянном давле-
нии, [Дж/(кг · К)]. Распространение тепла в твер-
дой среде (области Ω2 и Ω3) описывается уравне-
нием (4) при условии U = 0, V = 0. В этом урав-
нении α – коэффициент температуропроводности
внешней среды, [м2/с].
При построении решений и проведении анали-
за двухмерных течений удобно пользоваться фун-
кцией тока Ψ(x, y, t), которая связана с проекция-
ми поля скорости выражениями [21]:
U =
∂Ψ
∂y
, V = −
∂Ψ
∂x
. (5)
Линия Ψ = const (линия тока) представляет со-
бой плоскую кривую, в каждой точке которой ка-
сательная и вектор скорости поля течения совпа-
дают. При стационарном течении линии тока и
траектории жидких частиц в рассматриваемом те-
чении совпадают [20].
В двумерных течениях поле завихренности
ω(x, y, t) имеет только одну составляющую, ко-
24 А. А. Гуржий, А. В. Шалденко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2016. Том 18, N 2. С. 22 – 35
торая направлена перпендикулярно к плоскости
течения [22]. В этом случае поле завихренности
связано с проекциями поля скорости следующим
уравнением:
ω =
∂V
∂x
−
∂U
∂y
. (6)
Подстановка выражений (5) в уравнение (6) да-
ет уравнение Пуассона для функции тока:
∂2Ψ
∂x2
+
∂2Ψ
∂y2
= −ω , (7)
которое часто используется при численном реше-
нии задач гидромеханики в терминах “функция
тока–завихренность” [23].
Для получения уравнения переноса завихренно-
сти необходимо уравнение (2) продифференциро-
вать по координате x, а уравнение (1) – по коорди-
нате y. Разность этих выражений с учетом уравне-
ния неразрывности (3) и уравнения (6) позволяет
определить уравнение
∂ω
∂t
+
∂Uω
∂x
+
∂V ω
∂y
= ν
{
∂2ω
∂x2
+
∂2ω
∂y2
}
, (8)
которое описывает развитие во времени поля за-
вихренности. Интересно отметить, что в это урав-
нение явно не входит поле давления. Эта осо-
бенность часто является определяющей при чис-
ленном решении различных двумерных задач в
гидромеханике [20, 21, 23].
Для текущего момента времени можно опреде-
лить поле давления по заданному распределению
поля скорости, U(x, y, t) и V (x, y, t). Если уравне-
ние (1) продифференцировать по координате x, а
уравнение (2) – по координате y и определить в
дальнейшем сумму полученных выражений, то по-
лучим уравнение Пуассона для давления:
∂2p
∂x2
+
∂2p
∂y2
= 2ρ
{
∂U
∂x
∂V
∂y
−
∂U
∂y
∂V
∂x
}
. (9)
Далее удобно пронормировать физические вели-
чины в задаче на ширину микроканала D, макси-
мальную скорость течения в средней части на вхо-
де микроканала U0, плотность жидкости ρ и на
разницу температур ∆T = T1 − T0. В результате
получаем следующую систему безразмерных вели-
чин:
x? =
x
D
, y? =
y
D
, t? =
tU0
D
,
U? =
U
U0
, V ? =
V
U0
, Ψ? =
Ψ
DU0
, (10)
ω? =
ωD
U0
, q? =
T − T0
∆T
, W ? =
WD
γF ∆T
.
Здесь W ? – нормированный тепловой поток через
ограничивающие поверхности.
В этом случае нормированные уравнения пере-
носа завихренности (8) и уравнение переноса теп-
ла (4) принимают вид (здесь и далее звездочки у
безразмерных величин опущены):
∂ω
∂t
+
∂Uω
∂x
+
∂V ω
∂y
=
1
Re
{
∂2ω
∂x2
+
∂2ω
∂y2
}
, (11)
∂Q
∂t
+
∂UQ
∂x
+
∂V Q
∂y
=
1
Pe
{
∂2Q
∂x2
+
∂2Q
∂y2
}
, (12)
где Re = U0 · D/ν – число Рейнольдса, а Pe = U0 ·
D/α – число Пекле. Отметим, что Pe = Pr · Re, где
Pr = ν/α – число Прандтля для заданной среды.
Форма записи уравнения Пуассона для функции
тока (7) в данном случае не изменилась.
Корректная математическая постановка задачи
должна быть дополнена начальными и граничны-
ми условиями (рис. 1):
U |S1,S2 =
4yU0
D
(
1 −
y
D
)
, U |S3,S4 = 0,
V |S1,S2,S3,S4 = 0, Ψ|S1,S2 =
4y2U0
D
(
1
2
−
y
3D
)
,
Ψ|S3 =0, Ψ|S4 =
2DU0
3
, ω|S1,S2 =
4U0
D
(
1−
2y
D
)
,
p|S1 = p1, p|S2 = p0,
∂p
∂n
∣
∣
∣
∣
S3,S4
= 0, (13)
QF |S3,S4 = QS|S3,S4 ,
∂QF
∂n
∣
∣
∣
∣
S3,S4
=γ
∂QS
∂n
∣
∣
∣
∣
S3,S4
,
∂QS
∂x
∣
∣
∣
∣
S5,S6,S7,S8
= 0, QS |S9,S10 = 1.
Здесь γ = γS/γF – относительная теплопрово-
дность сред. Выражения для поверхностей S1 и S2
записаны в локальной системе координат, связан-
ной с нижней поверхностью микроканала. Грани-
чные условия для поля завихренности на твердых
поверхностях микроканала определяются в про-
цессе вычислений [23].
В дальнейшем целесообразно присвоить U0 зна-
чение, соответствующее скорости течения, напри-
мер, при Re = 100. В этом случае будет удобно
проводить сравнительный анализ тепловых пото-
ков через ограничивающие поверхности, посколь-
ку масштаб времени (10) для различных режимов
скорости течения и различных геометрий микро-
канала будет одинаковым.
В качестве начальных условий для поля скоро-
сти U(x, y, 0), V (x, y, 0), функции тока Ψ(x, y, 0) и
завихренности ω(x, y, 0) выбираются распределе-
ния полей, полученные в результате решения соо-
тветствующей стационарной задачи (7), (11), (12) с
А. А. Гуржий, А. В. Шалденко 25
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2016. Том 18, N 2. С. 22 – 35
граничными условиями (13). Некоторые подробно-
сти постановки задачи и последовательности про-
ведения вычислений можно найти в [23, 24].
2. ЧИСЛЕННАЯ МОДЕЛЬ
Задача о переносе тепла в двухмерном криво-
линейном микроканале, заполненном однородной
вязкой несжимаемой жидкостью, решалась чис-
ленно на равномерной сетке с шагом пространс-
твенной дискретизации δx = δy = δ по обеим ко-
ординатам и с шагом ∆ по временной координате.
Введем обозначение индексов узлов вычислитель-
ной сетки:
ω(x, y, t) = ω(iδ, jδ, n∆) ≡ ωn
i,j,
Ψ(x, y, t) = Ψ(iδ, jδ, n∆) ≡ Ψn
i,j ,
U(x, y, t) = U(iδ, jδ, n∆) ≡ Un
i,j, (14)
V (x, y, t) = V (iδ, jδ, n∆) ≡ V n
i,j,
p(x, y, t) = p(iδ, jδ, n∆) ≡ pn
i,j.
Дифференциальные уравнения (7) и (9) пред-
ставляют собой уравнения эллиптического типа
(уравнение Пуассона), общий вид которых можно
записать в форме
∂2R
∂x2
+
∂2R
∂y2
= G , (15)
где R(x, y, t) = {Ψ(x, y, t), p(x, y, t)} ,
G =
{
−ω, 2
(
∂U
∂x
∂V
∂y
−
∂U
∂y
∂V
∂x
)}
.
Для решения дифференциальных уравнений эл-
липтического типа в работе применялся метод
последовательной верхней релаксации, который
основан на проведении итерационных вычислений
в соответствии с выражением ([23, 25])
R
(k+1)
i,j = R
(k)
i,j (1 − λ) +
λ
4
[
R
(k)
i+1,j + R
(k)
i−1,j+
+ R
(k)
i,j+1 + R
(k)
i,j−1 − Gi,jδ
2
]
, (16)
где λ – параметр релаксации, который принимает
значения в диапазоне 1.0 < λ < 2.0. Верхний ин-
декс (k) в приведенном выражении означает но-
мер итерации. Некоторые рекомендации по выбо-
ру значения параметра λ в методе последователь-
ной верхней релаксации можно найти в [23].
Уравнение переноса завихренности (11) и урав-
нение переноса тепла (12) представляют собой
дифференциальные уравнения параболического
типа. Эти уравнения можно записать в общем ви-
де:
∂F
∂t
+
∂UF
∂x
+
∂V F
∂y
=
1
Ze
{
∂2F
∂x2
+
∂2F
∂y2
}
, (17)
где F (x, y, t) = ω(x, y, t), Q(x, y, t), Ze = Re, Pe.
Для решения этого уравнения использовалась
простая явная схема второго порядка точности по
пространственным координатам и первого поряд-
ка точности по времени с разностями против по-
тока [23, 24]:
F n+1
i,j = (1 − 4β)F n
i,j − β?(An
i,j + Bn
i,j) +
+β(F n
i+1,j + F n
i−1,j + F n
i,j+1 + F n
i,j−1) , (18)
где
An
i,j =
{
Un
i,jF
n
i,j − Un
i−1,jF
n
i−1,j при Un
i,j ≤ 0 ,
Un
i+1,jF
n
i+1,j − Un
i,jF
n
i,j при Un
i,j < 0 ,
Bn
i,j =
{
V n
i,jF
n
i,j − V n
i,j−1F
n
i,j−1 при V n
i,j ≤ 0 ,
V n
i,j+1F
n
i,j+1 − V n
i,jF
n
i,j при V n
i,j < 0 ,
β =
∆
δ2
, β? =
∆
δ2Ze
.
Численная схема решения задачи была про-
тестирована на стационарной двумерной задаче
течения вязкой несжимаемой жидкости внутри
прямолинейного микроканала. Аналитическое ра-
спределение поля скорости [21, 26] в размерном ви-
де, записанное в системе координат, связанной с
нижней поверхностью микроканала, имеет вид:
U(x, y, t) =
4yU0
D
(
1 −
y
D
)
, V (x, y, t) = 0. (19)
Этому решению соответствует следующее рас-
пределение функции тока:
Ψ(x, y, t) =
4y2U0
D
(
1
2
−
y
3D
)
, (20)
которое удовлетворяет граничным условиям (13).
В прямолинейном канале при стационарном те-
чении устанавливается линейное распределение
поля завихренности:
ω(x, y, t) =
4U0
D
(
1 −
2y
D
)
, (21)
и линейное распределение поля давления [26]:
dp
dx
=
8ρνU0
D2
. (22)
Анализ численных результатов показал, что
относительная точность определения поля функ-
ции тока при пространственной дискретизации
26 А. А. Гуржий, А. В. Шалденко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2016. Том 18, N 2. С. 22 – 35
δ = 0.05 составляет величину EΨ ≈ 10−5, а по-
ля скорости – EU ≈ 10−4 для течений, соответ-
ствующих значениям чисел Рейнольда Re < 650. В
этом диапазоне скоростей относительная ошибка в
определении поля завихренности составила вели-
чину Eω ≈ 10−3, а поля давления – Ep ≈ 10−4.
Тестирование численного решения для нестаци-
онарного режима было проведено на одномерной
нестационарной задаче теплопередачи в однород-
ной среде от нагретой стенки y = 0.0 с темпера-
турой Q1 = 1.0 к холодной стенке y = ±12.0 с
температурой Q2 = 0.0. Численный эксперимент
проводился для случая Pe = 5.0 на сетке с шагом
δ = 0.05 пространственной дискретизации. Ма-
ксимальная разность между вычисленными зна-
чениями поля температур Q(y, t) и аналитиче-
ским решением [27], отнесенная к ∆Q = Q1 − Q0,
для различных моментов времени не превышает
≈ 0.3 · 10−3.
3. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Рассмотрим процессы теплопередачи на крем-
ниевой подложке длиной L = 18.0 и высотой
W = 25.0, внутри которой имеется сначала пря-
молинейный микроканал шириной D, заполнен-
ный водой. В этом случае относительная тепло-
проводность сред принимает значение γ = 23.5,
а числа Прандтля для теплоносителя и внешней
среды, отнесенные к вязкости жидкости, будут:
PrF = 7.0, PrS = 0.33 соответственно.
Процесс теплопередачи начинается с момента
времени, при котором внешняя среда и теплоноси-
тель были нагреты до температуры Q1. В момент
t = 0.0 на вход микроканала подается холодная
жидкость с температурой Q0, где Q1 > Q0. Про-
веденная ранее нормировка задачи позволяет, не
нарушая общности расчетов и анализа получен-
ных данных, решить обратную задачу, связанную
с нагревом внешней среды за счет подачи нагре-
того теплоносителя. В этом случае в начальный
момент времени имеем Q1 < Q0.
Исследования показали, что начальные нестаци-
онарные тепловые процессы внутри прямолиней-
ного микроканала можно условно разделить на не-
сколько этапов.
Первый этап связан с постепенным началь-
ным заполнением холодного теплоносителя поло-
сти микроканала с нагретыми ограничивающи-
ми поверхностями. Диффузионные тепловые по-
токи постепенно нагревают часть жидкости, ра-
сположенную около стенок микроканала (γ > 0).
На рис. 2,а показано распределение поля темпе-
ратур на входе микроканала в момент времени
t = 2.0 для случая, при котором внутри ми-
кроканала уже сформировалось течение с профи-
лем осевой скорости, соответствующим числу Рей-
нольдса Re=150. На рисунке нанесены линии рав-
ного уровня (изотермы) с шагом дискретизации
∆Q = 0.05. При постепенном прогревании в теп-
лоносителе формируется градиент поля темпера-
тур как в продольном направлении микроканала,
так и в поперечном его сечении. Однако жидкость,
прилегающая к границам течения, все еще име-
ет в первом приближении начальную температу-
ру. Продолжительность этого этапа обратно про-
порциональна скорости течения теплоносителя и
для указанных выше физических параметров сред
принимает значения t1 < 4.0 при Re=150.
Второй этап сопровождается образованием
высокого градиента поля температур в области,
прилегающей к границам течения, за счет движе-
ния холодного теплоносителя вдоль микроканала.
При этом теплоноситель около границ постепенно
нагревается, а внешняя среда около микроканала
остывает за счет диффузионного теплового пото-
ка, направленного в микроканал. Характерное ра-
спределение поля температур показано на рис. 2,б
для момента времени t = 5.0. Исследования пока-
зывают, что на втором этапе градиент поля темпе-
ратур в поперечном сечении микроканала дости-
гает максимального значения и, как результат, из
внешней среды в теплоноситель формируется ма-
ксимальный тепловой поток.
С течением времени диффузионный тепловой
поток из внешней среды в жидкость постепенно
выравнивает поля температур на границе микро-
канала. Это приводит к уменьшению теплового по-
тока из внешней среды. Исследования показыва-
ют, что для медленных течений и длинных микро-
каналов может возникнуть ситуация, при которой
на входе микроканала уже наступил второй этап
теплопередачи, а на выходе микроканала еще про-
должается первый этап.
Третий этап связан с дальнейшим выравнива-
нием поля температур на границах микроканала
и выходом рассматриваемой термодинамической
системы на стационарный тепловой режим. Хара-
ктерное распределение поля температур для этого
случая показано на рис. 2,в. На этом этапе мо-
жет возникнуть нестационарное гидродинамиче-
ское течение в микроканале, вызванное формиро-
ванием нестационарных вихревых структур. При
этом может возникнуть соответствующий неста-
ционарный (или квазистационарный) тепловой ре-
жим. Исследования показывают, что третий этап
наступает при t3 ≈ 200...300.
А. А. Гуржий, А. В. Шалденко 27
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2016. Том 18, N 2. С. 22 – 35
Рис. 2. Распределение поля температур на входе
микроканала при Re = 150 для моментов времени:
а – t = 2.0; б – t = 5.0; в – t = 30.0
Рис. 3. Динамика изменения поля температур в
сечении x = 2.0 в прямолинейном микроканале при
Re = 150
Приведенные выше этапы развития поля темпе-
ратур и тепловых потоков в микроканале можно
проследить на рис. 3, где представлена динамика
изменения поля температур Q(y) в сечении микро-
канала x = 2.0. На первом этапе происходит за-
полнение холодным теплоносителем полости ми-
кроканала. При этом в области, прилегающей к
границе, жидкость остается нагретой. На втором
этапе профиль поля температур на ограничиваю-
щих поверхностях начинает постепенно выравни-
ваться, формируя максимальный тепловой поток
из внешней среды в жидкость. На третьем этапе
происходит постепенный выход системы на стаци-
онарный тепловой режим.
Значение нормированного теплового потока че-
рез верхнюю поверхность микроканала со стороны
жидкости определяется выражением [4]:
W (x, t) =
∂QF
∂y
∣
∣
∣
∣
y=D/2
. (23)
На рис. 4 показаны профили теплового пото-
ка W (x) для различных моментов времени вдоль
верхней границы микроканала для течения с про-
дольной скоростью, соответствующей числу Рей-
нольдса Re=150. Значения моментов времени по-
казаны на рисунке цифрами. Видно, что наиболь-
ший тепловой поток устанавливается на входе ми-
кроканала. С течением времени его уровень посте-
пенно уменьшается и выравнивается по длине ми-
кроканала. Кривая, соответствующая стационар-
ному тепловому режиму, обозначена на рисунке
штриховой линией.
28 А. А. Гуржий, А. В. Шалденко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2016. Том 18, N 2. С. 22 – 35
Рис. 4. Изменение распределения теплового потока
вдоль микроканала для различных моментов времени
при Re = 150
Видно, что выравнивание поля температур на
границе микроканала приводит с течением вре-
мени к постепенному снижению уровня теплового
потока через ограничивающие поверхности. Рис. 5
иллюстрирует динамику во времени изменения
усредненного по длине уровня теплового потока
на верхней границе:
W̄ (t) =
1
L
L
∫
0
∂QF
∂y
∣
∣
∣
∣
∣
∣
y=D/2
dx, (24)
и средней по сечению температуры теплоносителя
на выходе микроканала:
Qout(t) =
L
∫
0
QF (L, y, t)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
y=D/2
dx . (25)
Анализ полученных результатов позволяет за-
ключить, что стационарный тепловой режим в
микроканале определяется многими параметрами.
Момент времени, при котором наступает стацио-
нарный тепловой режим (или близкий к нему ква-
зистационарный режим), зависят, в первую оче-
редь, от осевой скорости теплоносителя (числа
Рейнольдса Re), отношения значений коэффици-
ентов теплопроводности жидкости и внешней сре-
ды (числа Пекле PeF и PeS), отношения коэф-
фициентов теплопроводности γ = γS/γF внешней
среды и теплоносителя, и длины микроканала L.
В дальнейшем будем проводить анализ термоди-
намических процессов в микроканалах только для
стационарных (или квазистационарных) режимов.
Рис. 5. Изменение усредненного уровня теплового
потока через верхнюю поверхность и температуры
жидкости на выходе микроканала с течением времени
Наличие только продольной составляющей ско-
рости течения жидкости в диапазоне чисел Рей-
нольдса Re < 650 приводит к тому, что в попе-
речном сечении микроканала имеет место толь-
ко диффузионная составляющая теплового пото-
ка. По этой причине минимальное значение по-
ля температуры Q(x, y) в теплоносителе устанав-
ливается на оси микроканала. Пример распределе-
ния стационарного поля температур на входе мик-
роканала при скорости осевого потока, соответ-
ствующего числу Рейнольдса Re=65, показан на
рис. 6. Видно, что значения Q(x, y) в жидкости
постепенно увеличиваются по мере приближения
к границам.
Профили поля температур Q(y) в сечении мик-
роканала x = 2.0 показаны на рис. 7 для раз-
личных значений чисел Рейнольдса Re. При ме-
дленном движении теплоносителя (например, при
Re= 40) тепловые потоки успевают сформировать
параболический профиль поля температур в сече-
нии микроканала. По мере увеличения продоль-
ной скорости течения на оси микроканала остае-
тся область течения с температурой, которая со-
ответствует температуре теплоносителя на входе
микроканала. Интересно отметить общую тенден-
цию, связанную с тем, что при увеличения зна-
чений числа Рейнольдса градиенты поля темпера-
тур в области, прилегающей к границе, постепенно
увеличиваются за счет диффузионного теплового
потока из внешней среды.
Такой неравномерный нагрев теплоносителя
приводит к тому, что локальный максимум тепло-
А. А. Гуржий, А. В. Шалденко 29
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2016. Том 18, N 2. С. 22 – 35
Рис. 6. Распределение поля температур внутри
прямолинейного микроканала при Re = 65
Рис. 7. Профили поля температур в сечении x = 2.0
прямолинейного микроканала при разных числах Re
вого потока из внешней среды в теплоноситель че-
рез твердые поверхности смещается ко входу мик-
роканала, где контактируют друг с другом холо-
дный теплоноситель и нагретая стенка. Величина
теплового потока постепенно уменьшается по мере
удаления от входа микроканала и достигает своего
минимума на выходе микроканала.
Теперь рассмотрим особенности процессов теп-
лопередачи в криволинейном микроканале (рис. 8)
с одинаковыми начальными и граничными усло-
виями. Для проведения сравнительного анализа
гидродинамических и термодинамических свойств
Рис. 8. Геометрия криволинейного микроканала
микроканалов различной геометрии общая дли-
на зигзагообразного микроканала по осевой его
линии равна длине прямолинейного микроканала
L = 18D, рассмотренного ранее.
Распределение функции тока Ψ(x, y) в области,
прилегающей к входу микроканала, показано на
рис. 9 для течений, соответствующих значениям
чисел Рейнольдса Re = 40 и Re = 150 для момен-
та времени t = 300, при котором течение жидкости
вышло на стационарный режим. На рисунках на-
несено семейство линий тока равного уровня с ша-
гом дискретизации ∆Ψ = ΨS2/20, где ΨS2 – зна-
чение функции тока на верхней границе микрока-
нала. Границы циркуляционных зон течения пока-
заны на рисунках штриховой линией. Замкнутые
линии тока внутри циркуляционных зон показаны
на рисунках с шагом дискретизации ∆Ψ = 0.01.
Видно, что при малых скоростях течения теп-
лоносителя в микроканале формируется тече-
ние, которое характеризуется плавным обтекани-
ем угловых областей зигзагообразного микрока-
нала (рис. 9,а). При увеличении осевой скоро-
сти жидкости начинают появляться циркуляцион-
ные зоны во внутренних углах микроканала. Сле-
дует обратить внимание, что площади циркуля-
ционных зон в рассматриваемом течении явля-
ются неодинаковыми. Исследования показывают,
что наибольшие площади этих образований возни-
кают в углах после прохождения теплоносителем
коротких прямолинейных сегментов микроканала.
Наилучшим образом появлению циркуляционных
зон способствует чередования направления изги-
бов. В рассматриваемом течении наибольшие цир-
куляционные зоны образуются во втором и шестом
30 А. А. Гуржий, А. В. Шалденко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2016. Том 18, N 2. С. 22 – 35
Рис. 9. Распределение функции тока внутри микроканала:
а – Re = 40, б – Re = 150
изгибах микроканала (рис. 8).
Совместное влияние сил инерции и сил вязкости
в областях, прилегающих к острым кромкам мик-
роканала, приводят к генерации локализованных
вихревых структур, которые постепенно сносятся
основным течением. На рис. 10 показано распре-
деление поля завихренности ω(x, y) для случаев,
показанных на рис. 9. На рисунках построено се-
мейство линий равного уровня с шагом дискрети-
зации ∆Ω = 0.2 (рис. 10,а) и ∆Ω = 1.0 (рис. 10,б).
Видно, что максимум поля завихренности образуе-
тся около внешних углов микроканала. В циркуля-
ционных зонах течения поле завихренности име-
ет локальный минимум, что приводит к тому, что
локальное вращение теплоносителя в этих зонах
происходит с меньшей скоростью по сравнению с
продольной скоростью течения жидкости в микро-
канале.
При увеличении скорости течения теплоносите-
ля в микроканале изменение направления пото-
ка вдоль зигзагообразного микроканала приводит
к смещению по инерции основного потока к его
границе. В результате около твердой поверхности
формируется область локализованной завихренно-
сти, которая также сносится потоком основного
течения. Наиболее характерные области локали-
зованной завихренности показаны на рис. 10,б ме-
жду первым и вторым углами, между вторым и
третьим углами микроканала, на внешней сторо-
не прямолинейного сегмента течения.
Такое сложное гидродинамическое течение су-
щественно меняет структуру распределения поля
давления внутри микроканала. Постоянное изме-
нение направления течения, формирование цирку-
ляционных зон в угловых областях и генерация ло-
кализованных вихревых структур около внешних
угловых областей приводят к значительному уве-
личению градиента поля давления, которое необ-
ходимо приложить к микроканалу для формиро-
вания соответствующей осевой скорости.
На рис. 11 показано распределение поля давле-
ния p(x, y) внутри зигзагообразного микроканала,
внутри которого развивается стационарное тече-
ние, показанное на рис. 9. На рисунках нанесе-
но семейство линий равного давления (изобары)
с шагом дискретизации ∆p = 0.2 (рис. 11,а) и
∆p = 0.1 (рис. 11,б). Наибольший градиент поля
давления формируется в областях, прилегающих к
внешним углам микроканала. В этих зонах вектор
скорости течения теплоносителя резко меняет свое
направление. С другой стороны, можно заметить,
что в областях, прилегающих к внутренним углам,
формируется значительно меньший градиент поля
давления.
Криволинейный микроканал довольно интен-
сивно формирует поперечные потоки жидкости
в криволинейном микроканале. Проявляется эта
тенденция не только в формировании циркуляци-
онных зон в угловых зонах микроканала и обла-
стей интенсивной завихренности за острыми кром-
ками, но заметным смещением по инерции при
движения осевого потока вдоль микроканала. Та-
кое смещение потока приводит к образованию
большего градиента поля температур по сравне-
нию со случаем прямолинейного микроканала.
На рис. 12 показано распределение поля тем-
А. А. Гуржий, А. В. Шалденко 31
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2016. Том 18, N 2. С. 22 – 35
Рис. 10. Распределение поля завихренности внутри микроканала:
а– Re = 40, б – Re = 150
Рис. 11. Распределение поля давления внутри микроканала:
а– Re = 40, б – Re = 150
ператур Q(x, y) в области, прилегающей к входу
микроканала, для течений с числами Рейнольдса
Re = 40 и Re = 150 в момент времени t = 300,
при котором поле температур достигает стацио-
нарного распределения. Анализ численных дан-
ных показывает, что максимальный градиент по-
ля температур появляется около поверхностей, к
которым основной поток приближается по инер-
ции. Именно в этих областях поверхности образу-
ется повышенный тепловой поток из внешней сре-
ды в теплоноситель. В результате даже при малых
числах Рейнольдса Re (рис. 12,а), в средней части
потока поле температур выравнивается лучше по
сравнению со случаем прямолинейного микрока-
нала (рис. 6).
Анализ численных данных показывает, что с
увеличением осевой скорости теплоносителя в
циркуляционных зонах течения накапливается на-
гретая жидкость, которая образует повышенный
градиент поля температур на границе циркуляци-
онных зон с основным потоком. Здесь также фор-
мируется повышенный диффузионный тепловой
поток в виде своеобразной промежуточной зоны
теплопередачи тепла из внешней среды в тепло-
32 А. А. Гуржий, А. В. Шалденко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2016. Том 18, N 2. С. 22 – 35
Рис. 12. Распределение поля температур внутри микроканала:
а – Re = 40, б – Re = 150
носитель. С увеличением скорости течения жид-
кости циркуляционные зоны теряют свою стацио-
нарность и достигают квазистационарного режи-
ма, который характеризуется попеременным за-
хватом холодной жидкости из основного течения
и, вследствие несжимаемости жидкости, одновре-
менным выдавливанием нагретой жидкости в осе-
вой поток. Это приводит к дополнительному теп-
ловому потоку, вызванному конвекцией теплоно-
сителя внутри микроканала.
В целом, при ламинарном течении теплоносите-
ля в микроканале конечной длины с увеличением
значений чисел Рейнольдса увеличиваются значе-
ния средних уровней тепловых потоков. На рис. 13
показана зависимость усредненного по длине ми-
кроканала теплового потока (24) от скорости те-
чения теплоносителя. Зависимость W̄ (Re) для зи-
гзагообразного микроканала показана на рисун-
ке сплошной линией, соединяющей сплошные ква-
дратики. Аналогичная зависимость для прямоли-
нейного микроканала одинаковой длины указана
на рисунке штриховой линией. С увеличением ско-
рости течения жидкости в микроканале уменьша-
ется время прохождения теплоносителя через ми-
кроканал конечной длины. По этой причине диф-
фузионные потоки внутри микроканала "не успе-
вают" прогреть все поперечное сечение. При уве-
личении скорости течения теплоносителя гради-
ент поля температур около его границ постепен-
но увеличивается. В результате, уровень тепловых
потоков через ограничивающие поверхности имеет
общую тенденцию к увеличению.
Сравнение кривых показывает, что для малых
Рис. 13. Зависимости усредненного теплового потока
через границы течения и усредненного градиента
давления от чисел Рейнольдса Re в зигзагообразном
(сплошная линия) и прямолинейном (штриховая
линия) микроканале
значений чисел Рейнольдса Re < 30...40 уровни
тепловых потоков фактически не зависят от геоме-
трии микроканала. С увеличением скорости осево-
го потока в криволинейном микроканале начина-
ется образование циркуляционных зон, локализо-
ванных вихревых структур и относительное сме-
щение потока после изгибов в микроканале, ко-
торые приводят к значительной интенсификации
теплового потока из внешней среды в теплоноси-
А. А. Гуржий, А. В. Шалденко 33
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2016. Том 18, N 2. С. 22 – 35
тель. Уровни тепловых потоков в зигзагообразном
микроканале могут быть на два порядка выше в
области значений чисел Рейнольдса Re = 400...650
по сравнению с прямолинейным микроканалом.
На рис. 13 показана зависимость усредненного
по всей длине микроканала разности давлений для
разных значений чисел Рейнольдса:
∆p
L
=
p1 − p0
L
. (26)
Сплошная линия показывает эту зависимость для
зигзагообразного микроканала, а штриховая – со-
ответствует прямолинейному микроканалу. Ана-
лиз численных данных показывает, что при лами-
нарном течении в области малых чисел Рейнольд-
са в микроканалах устанавливается в первом при-
ближении линейная зависимость значений ∆p/L
от продольной скорости теплоносителя. Такой ре-
зультат находится в хорошем соответствии с дан-
ными, опубликованными в литературе [20, 26].
В то же время, можно заметить, что для всех чи-
сел Рейнольдса разность давлений, которую необ-
ходимо прикладывать к зигзагообразному микро-
каналу, больше по сравнению с прямолинейным
микроканалом. Такая разница в значениях вызва-
на образованием угловых циркуляционных тече-
ний и соответствующих потерь на давление, свя-
занных с изменением направления основного пото-
ка. При увеличении осевой скорости течения в зи-
гзагообразном микроканале, эта разница в значе-
ниях приложенного давления постепенно возрас-
тает.
ВЫВОДЫ
В работе рассмотрена задача теплопередачи из
внешней твердой среды в жидкий теплоноситель,
движущийся внутри прямолинейного и зигзаго-
образного микроканалов одинаковой длины. За-
дача решается в терминах "функция тока–завих-
ренность" и сводится к одновременному решению
уравнения переноса завихренности, уравнения пе-
реноса тепла, уравнению Пуассона для функции
тока с соответствующими начальными и гранич-
ными условиями. Задача решается в безразмер-
ном виде. Численное решение поставленной зада-
чи основано на решении дифференциальных урав-
нений параболического типа простым явным ме-
тодом с разностями против потока и дифферен-
циальных уравнений эллиптического типа мето-
дом последовательной верхней релаксации на рав-
номерной сетке, дискретизирующей вычислитель-
ную область.
Проведено тестирование численной схемы на
двумерной гидродинамической задаче стационар-
ного ламинарного течения вязкой несжимаемой
жидкости внутри прямолинейного микроканала и
одномерной нестационарной задаче теплопередачи
от нагретой стенки к холодной стенке. Сравнение
численных результатов и аналитических решений,
представленных в научной литературе, свидетель-
ствуют о хорошей точности полученных числен-
ных решений поставленной задачи.
Показано, что термодинамические процессы в
микроканале развиваются в несколько этапов с
разными временными масштабами. Первый этап
связан с заполнением микроканала холодным теп-
лоносителем. Второй этап определяется одновре-
менным прогревом теплоносителя и охлаждением
внешней среды в области, прилегающей к грани-
цам микроканала. На этом этапе достигаются ма-
ксимальные значения уровней тепловых потоков
через границы микроканала. Последний этап свя-
зан с асимптотическим выходом поля температур
во внешней среде и внутри микроканала на стаци-
онарный режим.
Анализ численных данных показал, что уров-
ни тепловых потоков в зигзагообразных микро-
каналах при ламинарных течениях теплоносителя
в стационарном режиме могут превышать уров-
ни тепловых потоков в прямолинейных микрока-
налах за счет формирования поперечного потока
жидкости. Такое течение формирует циркуляци-
онные зоны во внутренних углах зигзагообразных
микроканалов, локализованные вихревые струк-
туры около внешних углов и приводит к смещению
потока. Однако образование поперечного течения
требует больших затрат энергии на формирование
осевого потока с заданной скоростью.
Установлено, что в области чисел Рейнольдса Re
> 40...65 уровни тепловых потоков через ограни-
чивающие поверхности в зигзагообразном микро-
канале больше соответствующих потоков в пря-
молинейном микроканале. С увеличение скорости
эта разница возрастает и при скоростях течения,
соответствующих значениям чисел Рейнольдса Re
= 400...650 могут превышать почти в два раза для
стационарных режимов теплопередачи. В то же
время, при малых числах Рейнольдса Re < 30...40
отличий в значениях усредненного по длине ми-
кроканала тепловых потоков из внешней нагретой
среды в жидкость в зигзагообразном и прямоли-
нейном микроканалах не обнаружено.
1. Moore G.E. Cramming more components onto
integrated circuits // Electronics.– 1965.– 38, N8.–
P. 114-117.
34 А. А. Гуржий, А. В. Шалденко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2016. Том 18, N 2. С. 22 – 35
2. Colgan E.G., Furman B., Gaynes M. et.al. Practi-
cal implementation of silicon microchannel coolers for
high power chips // Packaging Technologies, IEEE
Transactions.– 2007.– 3, N2.– P. 218-225.
3. Kandlikar S.G., Grande W.J. Evolution of mi-
crochannel flow passages - Thermohydraulic
performance and fabrication technology // Transfer
Engineering.– 2003.– 24, N1.– P. 3-17.
4. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена.–
М.: Атомиздат, 1979.– 416 с.
5. Akbari M., Sinton D., Bahrami M. Viscous flow
in variable cross-section microchannels of arbitrary
shapes // International Journal of Heat and Mass
Transfer.– 2011.– 54, N17.– P. 3970-3978.
6. Tahseen T.A., Rahman M.M., Ishak M. Experimental
study on heat transfer and friction factor in laminar
forced convection over flat tube in channel flow //
Procedia Engineering.– 2015.– 105.– P. 46-55.
7. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физи-
ка. Т.6. Гидродинамика.– М.: Наука, 1986.– 736 с.
8. Favre-Marinet M., Tardu S. Convective heat trans-
fer.– London: John Wiley and Sons, 2013.– 373 p.
9. Chen Y., Cheng P. Heat transfer and pressure drop
in fractal tree-like microchannel nets // International
Journal of Heat and mass Transfer.– 2002.– 295.–
P. 2643-2648.
10. Aref H. Stirring by chaotic advection // Journal of
fluid mechanics.– 1984.– 143.– P. 1-23.
11. Ottino J.M. The kinematics of mixing: stretching,
chaos and transport.– Cambridge: Cambridge Uni-
vercity Press, 1989.– 364 p.
12. Mashelkar R.A. Seamless chemical engineering sci-
ence: the emerging paradigm // Chemical Engineeri-
ng Science.– 1995.– 50.– P. 1-22.
13. Tangborn A.V. Chaotic advection in 2-D mixed
convection flow // Chaos.– 1995.– 5, N2.– P. 432-438.
14. Stroock A.D., Dertinger S.K.W., Ajdari A. et al.
Chaotic mixer for microchannels // Science.– 2002.–
295.– P. 647-651.
15. Roberts E.P.L., Mackley M.R. The simulation of
stretch rates for the quantitative prediction and
mapping mixing within a channel flow // Chemical
Engneering Science.– 1995.– 50, N23.– P. 3727-3746.
16. Mengeaud V., Josserand J., Girault H.H. Mi-
xing processes in a zigzag microchannel: Finite
element simulations and optical study // Analitical
Chemistry.– 2002.– 74.– P. 4279-4286.
17. Oh K.W., Han A., Bhansali S., Ahn C.H. A
low-temperature bonding technique using spin-on
fluorocarbon polymers to assemble microsystems //
Journal of Micromechanics and Microengineering.–
2002.– 12, N2.– P. 187-191.
18. Liu R.H., Stremler M.A., Sharp K.V. et.al. Passi-
ve mixing in a three-dimensional serpentine mi-
crochannel // Microelectromechanical Systems.–
2000.– 9, N2.– P. 190-197.
19. Stroock A.D., McGraw J.M. Investigation of the
stragglered herringbone mixer with a simple analyti-
cal model // Philosophical Transactions of the Royal
Society of London.– 2004.– A362.– P. 971-986.
20. Ламб Г. Гидромеханика.– М.,Л.: ГИТТЛ, 1947.–
929 с.
21. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа.– М.:
Наука, 1987.– 840 с.
22. Вилля Г. Теория вихрей.– М.Л: Гостехиздат, 1936.–
266 с.
23. Роуч П. Вычислительная гидромеханика.– М.:
Мир, 1980.– 616 с.
24. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике
жидкостей.– М.: Мир, 1991.– 504 с.
25. Ozisik M.N. Finite difference method in heat trans-
fer.– London: CRC Press, 1994.– 412 p.
26. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя.– М.: На-
ука, 1974.– 712 с.
27. Лыков А.В. Теория теплопроводности.– М.:
Высшая школа, 1967.– 600 с.
А. А. Гуржий, А. В. Шалденко 35
|