Нестационарные контактные задачи для цилиндра в слое жидкости на твердом полупространстве
Рассмотрена нестационарная задача для цилиндра, взаимодействующего со слоем сжимаемой жидкости и упругим полупространством при силовых или кинематических граничных условиях. Решена система дифференциальных уравнений, описывающих волновые процессы в слое жидкости и упругом полупространстве, изгибные...
Saved in:
| Date: | 1999 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
1999
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1166 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Нестационарные контактные задачи для цилиндра в слое жидкости на твердом полупространстве / В. М. Сеймов // Акуст. вісн. — 1999. — Т. 2, N 4. — С. 58-68 — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860247068824567808 |
|---|---|
| author | Сеймов, В.М. |
| author_facet | Сеймов, В.М. |
| citation_txt | Нестационарные контактные задачи для цилиндра в слое жидкости на твердом полупространстве / В. М. Сеймов // Акуст. вісн. — 1999. — Т. 2, N 4. — С. 58-68 — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Рассмотрена нестационарная задача для цилиндра, взаимодействующего со слоем сжимаемой жидкости и упругим полупространством при силовых или кинематических граничных условиях. Решена система дифференциальных уравнений, описывающих волновые процессы в слое жидкости и упругом полупространстве, изгибные колебания цилиндра. Использованы методы интегральных преобразований Лапласа и Ханкеля, ортогональных многочленов, координатных функций, коллокаций. В области изображений Лапласа задачи сведены к системе алгебраических уравнений. Обращение выполнено численно с помощью интеграла Фурье. Получены решения гармонических и нестационарных задач о горизонтальных и угловых колебаниях жесткого цилиндра и изгибных колебаниях упругого цилиндра. Для случая горизонтальных колебаний жесткого цилиндра под действием горизонтальных силы проведен численный анализ. Выявлены зависимости реакции основания, перемещения и равнодействующей гидродинамического давления на цилиндр от времени при нестационарных воздействиях. Установлена зависимость искомых функций от высоты слоя жидкости и массы цилиндра. Задачи представляют интерес при исследованиях и расчетах колебаний морских платформ под действием волновых, ледовых и сейсмических нагрузок.
Розглянуто нестаціонарну задачу для циліндра, що взаємодіє з шаром стисливої рідини та пружним півпростором при силових або кінематичних граничних умовах. Розв'язано систему диференційних рівнянь, які описують хвильові процеси у шарі рідини та пружньому напівпросторі, згинні коливання циліндра. Використано методи інтегральних перетворень Лапласа і Ханкеля, ортогональних поліномів, координатних функцій, колокацій. В області зображень Лапласа задачі зведено до системи алгебраїчних рівнянь. Обернення виконано чисельно за допомогою інтеграла Фур'є. Отримано рішення гармонічних і нестаціонарних задач для горизонтальних та кутових коливань жорсткого циліндра та згинних коливань пружного циліндра. Для випадку горизонтальних коливань жорсткого циліндра під дією горизонтальної сили проведено чисельний аналіз. Виявлено залежність реакції основи, переміщення і рівнодійної гідродинамічного тиску на циліндр від часу при нестаціонарних навантаженнях. Встановлено залежність шуканих функцій від висоти шару рідини та маси циліндра. Задачі становлять інтерес при дослідженнях і розрахунках коливань морських платформ під дією хвильових, льодових і сейсмічних навантажень.
Nonstationary problem for the cylinder interacting with layer of compressible liquid and elastic halfspace under dynamic or kinematic loadings is considered. The system of differential equation is solved that describes the wave processes in liquid layer and elastic halfspace, and the bending vibration of the cylinder. Method of integral transforms (Laplace on time, and Hankel on radial coordinate), method of orthogonal polynomials, method of coordinate functions, and method of collocations are used. In the domain of the Laplace images the problem is reduced to a system of algebraic equations. The Laplace transform inversion is made numerically by means of the Fourier integral. The solutions are obtained for harmonic nonstationary problems on horizontal and angular vibration of rigid cylinder, and on bending vibration elastic cylinder. Numerical analysis is made for case of horizontal vibration of rigid cylinder undergoing the action of horizontal force. There are detected the time dependences of reaction of foundation, displacement and hydrodynamic pressure on the cylinder at nonstationary loading. The dependence of desired functions from the height of liguid layer and mass of the cylinder is established. The considered problems are of interest at studying and calculation of oscillations of a gravitational offshore platforms undergoing the wave, ice, and seismic loading.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:38:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1028- 7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢iᨪ. 1999. �®¬ 2, N 4. �. 58 { 68��� 539.3�������������� ���������� ��������� �������� � ���� ���������� ������� �����������������. �. �������áâ¨âãâ £¨¤à®¬¥å ¨ª¨ ��� �ªà ¨ë, �¨¥¢�®«ã祮 10.07.99 � �¥à¥á¬®â८ 22.10.99� áᬮâॠ¥áâ 樮 à ï § ¤ ç ¤«ï 樫¨¤à , ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãî饣® á® á«®¥¬ ᦨ¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®á⨠¨ ã¯à㣨¬¯®«ã¯à®áâà á⢮¬ ¯à¨ ᨫ®¢ëå ¨«¨ ª¨¥¬ â¨ç¥áª¨å £à ¨çëå ãá«®¢¨ïå. �¥è¥ á¨á⥬ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëåãà ¢¥¨©, ®¯¨áë¢ îé¨å ¢®«®¢ë¥ ¯à®æ¥ááë ¢ á«®¥ ¦¨¤ª®á⨠¨ ã¯à㣮¬ ¯®«ã¯à®áâà á⢥, ¨§£¨¡ë¥ ª®«¥¡ ¨ï樫¨¤à . �ᯮ«ì§®¢ ë ¬¥â®¤ë ¨â¥£à «ìëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© � ¯« á ¨ � ª¥«ï, ®à⮣® «ìëå ¬®£®ç«¥®¢,ª®®à¤¨ âëå äãªæ¨©, ª®««®ª 権. � ®¡« á⨠¨§®¡à ¦¥¨© � ¯« á § ¤ ç¨ á¢¥¤¥ë ª á¨á⥬¥ «£¥¡à ¨ç¥áª¨åãà ¢¥¨©. �¡à 饨¥ ¢ë¯®«¥® ç¨á«¥® á ¯®¬®éìî ¨â¥£à « �ãàì¥. �®«ãç¥ë à¥è¥¨ï £ ମ¨ç¥áª¨å ¨ ¥-áâ 樮 àëå § ¤ ç ® £®à¨§®â «ìëå ¨ 㣫®¢ëå ª®«¥¡ ¨ïå ¦¥á⪮£® 樫¨¤à ¨ ¨§£¨¡ëå ª®«¥¡ ¨ïå ã¯à㣮£®æ¨«¨¤à . �«ï á«ãç ï £®à¨§®â «ìëå ª®«¥¡ ¨© ¦¥á⪮£® 樫¨¤à ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ £®à¨§®â «ìëå á¨«ë ¯à®¢¥¤¥ç¨á«¥ë© «¨§. �ë¥ë § ¢¨á¨¬®á⨠ॠªæ¨¨ ®á®¢ ¨ï, ¯¥à¥¬¥é¥¨ï ¨ à ¢®¤¥©áâ¢ãî饩 £¨¤à®¤¨ ¬¨-ç¥áª®£® ¤ ¢«¥¨ï 樫¨¤à ®â ¢à¥¬¥¨ ¯à¨ ¥áâ 樮 àëå ¢®§¤¥©á⢨ïå. �áâ ®¢«¥ § ¢¨á¨¬®áâì ¨áª®¬ëåäãªæ¨© ®â ¢ëá®âë á«®ï ¦¨¤ª®á⨠¨ ¬ ááë 樫¨¤à . � ¤ ç¨ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ¨â¥à¥á ¯à¨ ¨áá«¥¤®¢ ¨ïå ¨ à áç¥â 媮«¥¡ ¨© ¬®àáª¨å ¯« âä®à¬ ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ ¢®«®¢ëå, «¥¤®¢ëå ¨ ᥩᬨç¥áª¨å £à㧮ª.�®§£«ïãâ® ¥áâ æ÷® àã § ¤ çã ¤«ï 樫÷¤à , é® ¢§ õ¬®¤÷õ § è ஬ áâ¨á«¨¢®ù à÷¤¨¨ â ¯à㦨¬ ¯÷¢¯à®áâ®à®¬¯à¨ ᨫ®¢¨å ¡® ª÷¥¬ â¨ç¨å £à ¨ç¨å 㬮¢ å. �®§¢'ï§ ® á¨á⥬㠤¨ä¥à¥æ÷©¨å à÷¢ïì, ïª÷ ®¯¨áãîâì 墨«ì®¢÷¯à®æ¥á¨ ã è à÷ à÷¤¨¨ â ¯àã¦ì®¬ã ¯÷¢¯à®áâ®à÷, §£¨÷ ª®«¨¢ ï 樫÷¤à . �¨ª®à¨áâ ® ¬¥â®¤¨ ÷â¥£à «ì¨å¯¥à¥â¢®à¥ì � ¯« á ÷ � ª¥«ï, ®à⮣® «ì¨å ¯®«÷®¬÷¢, ª®®à¤¨ â¨å äãªæ÷©, ª®«®ª æ÷©. � ®¡« áâ÷ §®¡à ¦¥ì� ¯« á § ¤ ç÷ §¢¥¤¥® ¤® á¨á⥬¨ «£¥¡à ùç¨å à÷¢ïì. �¡¥à¥ï ¢¨ª® ® ç¨á¥«ì® § ¤®¯®¬®£®î ÷â¥£à « �ãà'õ. �âਬ ® à÷è¥ï £ ମ÷ç¨å ÷ ¥áâ æ÷® à¨å § ¤ ç ¤«ï £®à¨§®â «ì¨å â ªã⮢¨å ª®«¨¢ ì ¦®àá⪮-£® 樫÷¤à â §£¨¨å ª®«¨¢ ì ¯à㦮£® 樫÷¤à . �«ï ¢¨¯ ¤ªã £®à¨§®â «ì¨å ª®«¨¢ ì ¦®àá⪮£® 樫÷¤à ¯÷¤ ¤÷õî £®à¨§®â «ì®ù ᨫ¨ ¯à®¢¥¤¥® ç¨á¥«ì¨© «÷§. �¨ï¢«¥® § «¥¦÷áâì ॠªæ÷ù ®á®¢¨, ¯¥à¥¬÷é¥ï ÷ à÷¢-®¤÷©®ù £÷¤à®¤¨ ¬÷箣® â¨áªã 樫÷¤à ¢÷¤ ç á㠯ਠ¥áâ æ÷® à¨å ¢ â ¦¥ïå. �áâ ®¢«¥® § «¥¦÷áâìè㪠¨å äãªæ÷© ¢÷¤ ¢¨á®â¨ è àã à÷¤¨¨ â ¬ ᨠ樫÷¤à . � ¤ ç÷ áâ ®¢«ïâì ÷â¥à¥á ¯à¨ ¤®á«÷¤¦¥ïå ÷ ஧à -åãª å ª®«¨¢ ì ¬®àáìª¨å ¯« âä®à¬ ¯÷¤ ¤÷õî 墨«ì®¢¨å, «ì®¤®¢¨å ÷ ᥩá¬÷ç¨å ¢ â ¦¥ì.Nonstationary problem for the cylinder interacting with layer of compressible liquid and elastic halfspace under dynamicor kinematic loadings is considered. The system of di�erential equation is solved that describes the wave processes inliquid layer and elastic halfspace, and the bending vibration of the cylinder. Method of integral transforms (Laplace ontime, and Hankel on radial coordinate), method of orthogonal polynomials, method of coordinate functions, and methodof collocations are used. In the domain of the Laplace images the problem is reduced to a system of algebraic equations.The Laplace transform inversion is made numerically by means of the Fourier integral. The solutions are obtained forharmonic nonstationary problems on horizontal and angular vibration of rigid cylinder, and on bending vibration elasticcylinder. Numerical analysis is made for case of horizontal vibration of rigid cylinder undergoing the action of horizontalforce. There are detected the time dependences of reaction of foundation, displacement and hydrodynamic pressure onthe cylinder at nonstationary loading. The dependence of desired functions from the height of liguid layer and massof the cylinder is established. The considered problems are of interest at studying and calculation of oscillations of agravitational o�shore platforms undergoing the wave, ice, and seismic loading.���������ਠä®à¬¨à®¢ ¨¨ ¢®«®¢®£® ¯®«ï ¢ á।¥ â¨-¯ á«®ï ᦨ¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®á⨠¯®«ã¡¥áª®¥ç®¬¤¥ä®à¬¨à㥬®¬ ⢥म¬ ¯®«ã¯à®áâà á⢥ ¢ ¦-®¥ § 票¥ ¨¬¥¥â ãáâ ®¢«¥¨¥ íä䥪⮢ ¢§ -¨¬®¤¥©á⢨ï á। ¯à¨ ¥áâ 樮 àëå ¢¥è¨å £à㧪 å. �¢¨¦¥¨¥ 㪠§ ëå á। ®¯¨áë¢ -¥âáï ¢®«®¢ë¬¨ ãà ¢¥¨ï¬¨. � ¯®«ã®£à ¨ç¥-®© á।¥ ®â ¨áâ®ç¨ª ¢®§¡ã¦¤¥¨ï, ª®â®à묬®¦¥â ¡ëâì ª®«¥¡«î饥áï ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ § ¤ -®© ¤¨ ¬¨ç¥áª®© £à㧪¨ ⥫®, à á¯à®áâà ï-îâáï ¡¥áª®¥ç®áâì ¥áã騥 í¥à£¨î ¢®«ë,çâ® ®¡ãá« ¢«¨¢ ¥â § âãå ¨¥ ª®«¥¡ ¨© ¯à¨ ¯à¥-ªà 饨¨ ¤¥©áâ¢¨ï £à㧪¨. �᫨ â ª¨¬ ⥫®¬ï¢«ï¥âáï ¢¥à⨪ «ì® à ᯮ«®¦¥ë© ¢ á«®¥ ¦¨¤-
ª®á⨠¦¥á⪨© ¨«¨ ã¯à㣨© 樫¨¤à, ®¯¨à î騩-áï ¨¥à樮®¥ ¤¥ä®à¬¨à㥬®¥ (ã¯à㣮¥) ¯®«ã-¯à®áâà á⢮, â® ¢®§¨ª ¥â ¥®¡å®¤¨¬®áâì ¢ à¥-襨¨ ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¥áâ 樮 ன ª®â ªâ-®© § ¤ ç¨ ¤«ï á¨á⥬ë 樫¨¤à { á«®© ¦¨¤ª®á⨠{ã¯à㣮¥ ¯®«ã¯à®áâà á⢮. �ਠ¥¥ à¥è¥¨¨ âà¥-¡ã¥âáï ãáâ ®¢¨âì 䨧¨ç¥áª¨¥ § ª®®¬¥à®á⨠¨§-¬¥¥¨ï ¢® ¢à¥¬¥¨ ¯¥à¥¬¥é¥¨© ¨ ¯à殮¨©¢ 樫¨¤à¥, £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¤ ¢«¥¨ï, ¯àï-¦¥¨© ¯® ª®â ªâã á ®á®¢ ¨¥¬ ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®âå à ªâ¥à ¤¨ ¬¨ç¥áª®© £à㧪¨, ¨¥à樮ëå ¨¤¥ä®à¬ 樮ëå ᢮©á⢠樫¨¤à ¨ ¯®¤á⨫ î-饣® ®á®¢ ¨ï, ¢ëá®âë á«®ï ¦¨¤ª®áâ¨.� ª¨¥ § ¤ ç¨ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ¨â¥à¥á, ¯à¨¬¥à,¯à¨ ¨áá«¥¤®¢ ¨ïå ¨ à áç¥â å ª®«¥¡ ¨© ¬®à᪨寫 âä®à¬ £à ¢¨â 樮®£® ⨯ ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬58 c
�. �. �¥©¬®¢, 1999
ISSN 1028- 7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢iᨪ. 1999. �®¬ 2, N 4. �. 58 { 68
�¨á. 1. �¨«¨¤à ¢ á«®¥ ¦¨¤ª®áâ¨á¨«®¢ëå (¢®«®¢ëå, «¥¤®¢ëå) ¨ ª¨¥¬ â¨ç¥áª¨å(ᥩᬨç¥áª¨å) £à㧮ª.�ãé¥áâ¢ãî騥 ¬¥â®¤ë à¥è¥¨ï § ¤ ç ® ª®«¥-¡ ¨ïå ª®áâàãªæ¨© ãç¨âë¢ îâ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥á ¦¨¤ª®áâìî ¯à¨ ¨§ª®ç áâ®âëå ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨å £à㧪 å [1 {3] ¨«¨ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ á ®á®¢ ¨-¥¬ [4]. � ¤ ®© áâ âì¥ ¯à¥¤« £ ¥âáï ¯®¤å®¤,¢ª«îç î騩 ¨áá«¥¤®¢ ¨¥ ¥áâ 樮 àëå ¯à®-æ¥áᮢ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ª®áâàãªæ¨¨ ª ª á ¢®¤®©á।®©, â ª ¨ á ¯®¤á⨫ î騬 ¤¥ä®à¬¨à㥬묮ᮢ ¨¥¬.� ª ç¥á⢥ à áç¥â®© áå¥¬ë ¯à¨¬¥¨â¥«ì® ª¬®à᪮© ¯« âä®à¬¥ à áᬠâਢ ¥âáï ª®áâàãªæ¨ï¢ ¢¨¤¥ ¢¥à⨪ «ì®£® ¦¥á⪮£® ¨«¨ ã¯à㣮£® æ¨-«¨¤à , § 饬«¥®£® ¢ ¦¥á⪮© ä㤠¬¥â®©¯«¨â¥ ªà㣮¢®£® á¥ç¥¨ï, à ᯮ«®¦¥®© £à -¨æ¥ ã¯à㣮£® ¯®«ã¯à®áâà á⢥ ¯®¤ á«®¥¬ ¦¨¤ª®-á⨠(à¨á. 1). �।¯®« £ ¥âáï, ç⮠㪠§ ï ª®-áâàãªæ¨ï ¯®¤¢¥à£ ¥âáï ¨¡®«¥¥ ®¯ áë¬ £®à¨§®-â «ìë¬ ¤¨ ¬¨ç¥áª¨¬ ¢®§¤¥©á⢨ï¬.�¨¦¥ à áᬠâਢ îâáï ª®ªà¥âë¥ § ¤ ç¨ ¤¨- ¬¨ç¥áª®£® ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ª®áâàãªæ¨© á ¦¨¤-ª®© ¨ ⢥म© á। ¬¨. � ç «¥ ¡ã¤ãâ à áᬮ-âà¥ë ®â®á¨â¥«ì® ¯à®áâë¥ ¬®¤¥«ìë¥ § ¤ ç¨,¯®§¢®«ïî騥 ¢ëâì ®á®¢ë¥ íä䥪âë ¢ ¡®«¥¥á«®¦ëå á¨âã æ¨ïå.1. �������������� ����������������� �������� � ���� ���-����� �� ������� ����������ãáâì ¢¥à⨪ «ìë© æ¨«¨¤à, à ¤¨ãá ª®â®à®-£® r0 à ¢¥ à ¤¨ãáã ä㤠¬¥â®© ¯«¨âë a, ¤¢¨-¦¥âáï £®à¨§®â «ì® ¢ á«®¥ ¦¨¤ª®á⨠¢ëá®â®© H¯® ¯à®¨§¢®«ì®¬ã § ª®ã Ux(t) (à¨á. 1). �ॡã¥â-áï ©â¨ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®¥ ¤ ¢«¥¨¥ 樫¨¤à.�à ¢¥¨¥ ¤«ï ¯®â¥æ¨ « ᪮à®á⨠�(r; '; z; t) ¢
樫¨¤à¨ç¥áª¨å ª®®à¤¨ â å ¨¬¥¥â ¢¨¤@2�@r2 + 1r @�@r + 1r2 @2�@'2 + @2�@z2 = 1c20 @2�@t2 ; (1)£¤¥ c0 { ᪮à®áâì §¢ãª ¢ ¦¨¤ª®áâ¨. �à ¨çë¥ãá«®¢¨ï ¨¬¥îâ á«¥¤ãî騩 ¢¨¤:z = 0; @�@t = 0 (2)(ã«¥¢®¥ ¤ ¢«¥¨¥ ¯®¢¥àå®á⨠¦¨¤ª®áâ¨),z = H; @�@z = 0 (3)(¢¥à⨪ «ì ï ᪮à®áâì ¦¨¤ª®áâ¨ à ¢ ã«î),r = r0; @��@r = dUx(t)dt ; 0 � z � H (4)(ãá«®¢¨¥ à ¢¥á⢠᪮à®á⨠樫¨¤à £®à¨§®-⠫쮩 á®áâ ¢«ïî饩 ᪮à®á⨠¦¨¤ª®á⨠¯® ¡®-ª®¢®© ¯®¢¥àå®á⨠樫¨¤à , ¯à ¢«¥®© ¯® ®á¨x).�ਠí⮬ á¯à ¢¥¤«¨¢® à §«®¦¥¨¥ ¨áª®¬®©äãªæ¨¨ ¯® 㣫®¢®© ª®®à¤¨ â¥:�(r; '; z; t) = ��(r; z; t) cos': (5)�®á«¥¤¥¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¯®¤áâ ¢«ï¥¬ ¢ (1) ¨ ¢ë¯®«-塞 ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ � ¯« á ¯® ¯¥à¥¬¥®© t(¯à¨ ã«¥¢ëå ç «ìëå ãá«®¢¨ïå):d2���dr2 + 1r d���dr � 1r2 ��� + d2���dz2 � p2c20 ��� = 0; (6)£¤¥ p { ¯ à ¬¥âà ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï � ¯« á .�à ¢¥¨¥ (6) à¥è ¥¬ á ¯®¬®éìî ¨â¥£à «ì®£®¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ � ª¥«ï ¯®«ã¡¥áª®¥ç®¬ ¨-â¥à¢ «¥ (r0�r<1) [4]:��(r) = 1Zr0 �(r)C�(r; �)rdr; (7)�(r) = 1Z0 ��(�)C�(r; �)�d�: (8)�¤¥áì á®®â®è¥¨ï (7) ¨ (8) ¢ëà ¦ îâ ¯àאַ¥ ¨®¡à ⮥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ᮮ⢥âá⢥®, ï¤à®¯à¥®¡à §®¢ ¨ï C�(r; �) ¨¬¥¥â ¢¨¤C�(r; �) = J�(�r)N 0�(�r0)�N�(�r)J 0�(�r0)p[J 0�(�r0)]2 + [N 0�(�r0)]2 (9)¨ ®¡« ¤ ¥â ᢮©á⢠¬¨d2C�dr2 + 1r dC�dr + ��2 � �2r2�C� = 0; (10)�. �. �¥©¬®¢ 59
ISSN 1028- 7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢iᨪ. 1999. �®¬ 2, N 4. �. 58 { 68limr!1hr�C� d���dr � ��� dC�dr �i = 0: (11)�¤¥áì J�(�r) ¨ N�(�r0) { äãªæ¨¨ �¥áá¥«ï ¨ �¥©¬- , èâà¨å ¬¨ ®¡®§ ç¥ë ¯à®¨§¢®¤ë¥ ¯® ¯®«-®¬ã à£ã¬¥âã. �®á«¥ ¢ë¯®«¥¨ï ¯à®æ¥¤ãàë¯à¥®¡à §®¢ ¨ï (7) ª ãà ¢¥¨î (6) ¯à¨ �=1 ¯®-«ãç ¥¬1Zr0 �d2���dr2 + 1r d���dr � 1r2 ����C1(r; �)rdr++d2'��dz2 � p2c20 '�� = 0: (12)�ந§¢®¤¨¬ ¤¢ãåªà ⮥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ á®®â-®è¥¨ï (12) ¯® ç áâï¬ ¨, ãç¨âë¢ ï ᢮©á⢠ï¤à (10) ¨ (11), ¨¬¥¥¬d2'��dz2 � ��2 + p2c20 �'�� = r0C1(r0�)d'��dr ���r=r0 ; (13)£¤¥ '��(�; z; p) = 1Zr0 ���(r; z; p)C1(r; �)rdr (14)ï¥âáï ¨§®¡à ¦¥¨¥¬ ¯® � ¯« áã ¨ � ª¥«îäãªæ¨¨ ��(r; z; t). � £à ¨ç®¬ã ãá«®¢¨î (4)¯à¨¬¥ï¥¬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ � ¯« á ¨ १ã«ìâ ⯮¤áâ ¢«ï¥¬ ¢ ãà ¢¥¨¥ (13):d2'��dz2 � ��2 + p2c20 �'�� = r0C1(r0�)p �Ux(p): (15)�¥è¥¨¥ í⮣® ãà ¢¥¨ï, 㤮¢«¥â¢®àïî饥ãá«®¢¨ï¬ (2) ¨ (3), ¨¬¥¥â ¢¨¤'��(�; z; p) = r0p �Ux(p)�� C1(r0�)�2 �ch�(H � z)ch�H � 1�;� =s�2 + p2c20 : (16)�ਬ¥ïï ä®à¬ã«ã ®¡à é¥¨ï ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï� ª¥«ï (8), ¯®«ãç ¥¬ ¨áª®¬ãî äãªæ¨î (¢ ¨§®-¡à ¦¥¨ïå � ¯« á ) ¤«ï ¯®â¥æ¨ « ᪮à®á⨦¨¤ª®áâ¨:���(r; z; p) = r0p �Ux(p)�� 1Z0 C1(r0�)�2 �ch�(H � z)ch�H � 1�C1(r; �)�d�: (17)
�ç¨âë¢ ï, çâ® £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®¥ ¤ ¢«¥¨¥ ¢¦¨¤ª®á⨠®¯à¥¤¥«ï¥âáï § ¢¨á¨¬®áâﬨpH (r; '; z; t) = ��H @�@t ;p�H(r; z; t) = ��H @��@t ; (18)£¤¥ �H { ¯«®â®áâì ¦¨¤ª®áâ¨, ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãî饥¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï ¥£® ®¯à¥¤¥«¥¨ï (¢ ¨§®¡à ¦¥¨ïå� ¯« á ):�p�H(r; z; p) = r0�Hp2 �Ux(p)�� 1Z0 C1(r0�)�2 hch�(H � z)ch�H � 1iC1(r; �)�d�: (19)� ¬¥â¨¬, çâ® �pH(r; '; z; p)= �p�H(r; z; p) cos'. � ¢-®¤¥©áâ¢ãîé ï £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¤ ¢«¥¨ï 樫¨¤à ¢ ¯à®¥ªæ¨¨ ®áì x ®¯à¥¤¥«¨âáï ¨â¥-£à «®¬�QH(r0;H; p) = r0 HZ0 2�Z0 �p�H (r0; z; p)cos2'd'dz: (20)�®¤áâ ¢«ïï á®®â®è¥¨¥ (19) ¢ (20) ¨ ¢ë¯®«ïï¨â¥£à¨à®¢ ¨¥, ¨¬¥¥¬�QH (r0;H; p) = �r0�Hp2 �Ux(p)�� 1Z0 C1(r0�)�2 �thH�� �H��d�: (21)� «¥¥ ©¤¥¬ ¬®¬¥â £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¤ ¢«¥-¨ï 樫¨¤à ®â®á¨â¥«ì® ®á¨, à ᯮ«®¦¥®©ã ¨¦¥£® ª®æ 樫¨¤à . �ਠ¨â¥£à¨à®¢ ¨¨¯® ¢¥à⨪ «ì®© ª®®à¤¨ ⥠¢¢¥¤¥¬ ¯¥à¥¬¥ãîz0 =H�z. �®£¤ ¨áª®¬ë© ¬®¬¥â ®¯à¥¤¥«¨âáï ¨-â¥£à «®¬�MH (r0; p) = r0 HZ0 2�Z0 �p�H (r0; z0 ; p)��z0 cos2 'd'dz0 : (22)�®á«¥ ¯®¤áâ ®¢ª¨ á®®â®è¥¨ï (19) ¢ ä®à¬ã-«ã (22) ¨ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¯®«ãç ¥¬�MH (r0; p) = ��r0�Hp2 �Ux(p) 1Z0 C1(r0�)�2 ��h 1�2�H�shH�+ 1chH� � 1�� 12H2i�d�: (23)�®à¬ã«ë (21) ¨ (23) ¥®¡å®¤¨¬ë ¤«ï à¥è¥¨ï § -¤ ç¨ ® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¨ 樫¨¤à á ®á®¢ ¨¥¬.60 �. �. �¥©¬®¢
ISSN 1028- 7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢iᨪ. 1999. �®¬ 2, N 4. �. 58 { 682. ���������� ������ ��� ������-�� ��������, ����������������-�� �� ������������� � � ������������������������ ��� �������-������� �����������ãáâì ¦¥á⪨© 樫¨¤à § 饬«¥ ¨¦¨¬ ª®-殬 ¢ ¦¥á⪮© ä㤠¬¥â®© ¯«¨â¥ à ¤¨ãá a ¨¢ëá®âë h (á¬. à¨á. 1), à ᯮ«®¦¥®© ¯®¤ á«®-¥¬ ¦¨¤ª®á⨠£à ¨æ¥ á ã¯à㣨¬ ¯®«ã¯à®áâà -á⢮¬, ¨ ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ § ¤ ®© £®à¨§®â «ì-®© £à㧪¨ ᮢ¥àè ¥â ⮫쪮 £®à¨§®â «ì륪®«¥¡ ¨ï (㣫®¢ë¥ ¨ á¢ï§ ë¥ £®à¨§®â «ì®-¢à é ⥫ìë¥ ª®«¥¡ ¨ï ¬®£ãâ ¡ëâì à áᬮâà¥ë®â¤¥«ì®). �¥¨§¢¥áâ묨 ¢ ¤ ®© § ¤ ç¥ ï¢«ï-îâáï £®à¨§®â «ì®¥ ¯¥à¥¬¥é¥¨¥ 樫¨¤à ¢¬¥-á⥠á ä㤠¬¥â®¬ Ux(t), £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®¥ ¤ -¢«¥¨¥ ¡®ª®¢ãî ¯®¢¥àå®áâì 樫¨¤à ¨ ä㤠-¬¥â pH (r0; '; z; t), ®¤® ¯à ¢«¥ë¥ ª á ⥫ì-ë¥ ¯à殮¨ï ¯® ª®â ªâã ªà㣫®© ä㤠¬¥â-®© ¯«¨âë á ®á®¢ ¨¥¬ �x(r; t).�ਠà¥è¥¨¨ § ¤ ç¨ á¤¥« ¥¬ â ª¨¥ ¤®¯ã饨ï:1) ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® h�H (H� l) ¨ ¢«¨ï¨¥ á㬬 ஥ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®¥ ¤ ¢«¥¨¥ ®â«¨-ç¨ï ¤¨ ¬¥â஢ a ¨ r0 ¬ «®;2) ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ á«®ï ¦¨¤ª®á⨠á ã¯à㣨¬ ¯®-«ã¯à®áâà á⢮¬ ¯à®¨á室¨â ç¥à¥§ ä㤠-¬¥âãî ¯«¨âã, ¥áãéãî 樫¨¤à, ¢¥àâ¨-ª «ìë¥ á®áâ ¢«ïî騥 ᪮à®á⨠¦¨¤ª®á⨠£à ¨æ¥ á«®ï ¦¨¤ª®á⨠¨ ã¯à㣮£® ¯®«ã¯à®-áâà á⢠¬ «ë.�£à ¨ç¥¨¥, ª« ¤ë¢ ¥¬®¥ ¯®á«¥¤¨¬ ¤®¯ãé¥-¨¥¬, ¢ ¤ «ì¥©è¥¬ ¬®¦¥â ¡ëâì ãáâà ¥® ¯ã⥬ãç¥â í⮩ á®áâ ¢«ïî饩 ᪮à®á⨠¦¨¤ª®áâ¨.� áᬠâਢ ¥¬ ï ª®áâàãªæ¨ï (樫¨¤à {äã-¤ ¬¥â) ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ã¥â á ¤¢ã¬ï á। ¬¨: á«®¥¬¦¨¤ª®á⨠¨ ã¯à㣨¬ ¯®«ã¯à®áâà á⢮¬. �®íâ®-¬ã ¥®¡å®¤¨¬® à¥è âì ᮢ¬¥áâ® ãà ¢¥¨ï ¤«ïá«®ï ¦¨¤ª®á⨠(1), ã¯à㣮£® ¯®«ã¯à®áâà á⢠[6]¨ ä㤠¬¥â á 樫¨¤à®¬. �®á«¥¤¥¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤M d2Ux(t)dt2 = Q(t)� QH(r0;H; t)� QR(t); (24)£¤¥ Ux(t) { £®à¨§®â «ì®¥ ¯¥à¥¬¥é¥¨¥ á¨á⥬ë樫¨¤à-ä㤠¬¥â; ¯ à ¬¥âà Q(t) ï¥âáï § -¤ ®© £®à¨§®â «ì®© ᨫ®© ( ¯à¨¬¥à, à ¢®-¤¥©áâ¢ãî饩 ¢®«®¢®£® ¤ ¢«¥¨ï ¨«¨ «¥¤®¢®© ¤¨- ¬¨ç¥áª®© £à㧪¨). � á«ãç ¥ ᥩᬨç¥áª®£® £®-ਧ®â «ì®£® ¢®§¤¥©á⢨ïQ(t) = �Mgcfx(t); (25)£¤¥ M { ¬ áá 樫¨¤à ¢¬¥á⥠á ä㤠¬¥â®¬;fx(t) { ®à¬¨à®¢ ®¥ £®à¨§®â «ì®¥ ã᪮२¥
¯«®é ¤ª¨ ( ªá¥«¥à®£à ¬¬ ) ¯à¨ ®âáãâá⢨¨ á®-®à㦥¨ï; gc { å à ªâ¥à®¥ ã᪮२¥ ªá¥«¥à®-£à ¬¬ë. � à ¬¥âà QH(r0;H; t) { à ¢®¤¥©áâ¢ãî-é ï £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¤ ¢«¥¨ï 樫¨¤à (21)(§ ¯¨á ¢ ¨§®¡à ¦¥¨ïå � ¯« á ); QR(t) { à ¢-®¤¥©áâ¢ãîé ï ª á ⥫ìëå ¯à殮¨© �x(r; t)¯® ª®â ªâã ä㤠¬¥â á ®á®¢ ¨¥¬.�à ¢¥¨¥ (24) ¥®¡å®¤¨¬® à¥è âì ᮢ¬¥áâ-® á ãà ¢¥¨ï¬¨ ¤¢¨¦¥¨ï ¤«ï ã¯à㣮£® ¯®-«ã¯à®áâà á⢠. �¥è¥¨¥ ¯®¤®¡®© § ¤ ç¨,® ¯à¨ ®âáãâá⢨¨ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®© £à㧪¨QH(r0;H; t), ¯®«ã祮 ¢ à ¡®â¥ [6]. �¨¦¥ ¯à¨¢¥-¤¥¬ à¥è¥¨¥ á ãç¥â®¬ í⮩ £à㧪¨. �®â ªâë¥ ¯à殮¨ï �x(r; t) ¨é¥¬ ¢ ¢¨¤¥ àï¤ �x(r; t) = 1Xk=0B2k(t)P2k(p1� r2)p1� r2 ; (26)£¤¥ B2k(t) { ¥®¯à¥¤¥«¥ë¥ ª®íää¨æ¨¥âë, § ¢¨-áï騥 ®â ¢à¥¬¥¨, P2k(p1�r2) { ¯à¥®¡à §®¢ 륯®«¨®¬ë �¥¦ ¤à . �¤¥áì r { ¡¥§à §¬¥à ï ª®-®à¤¨ â , â. ¥. ¨áâ¨ ï ª®®à¤¨ â , ®â¥á¥ ïª à ¤¨ãáã ä㤠¬¥â®© ¯«¨âë a.� á«ãç ¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï (26) à ¢®¤¥©áâ¢ãîé ﮤ® ¯à ¢«¥ëå ª á ⥫ìëå ¯à殮¨© ®¯à¥-¤¥«ï¥âáï ç¥à¥§ ¯¥à¢ë© ª®íää¨æ¨¥â à §«®¦¥¨ï:QR(t) = 2�a2B0(t): (27)�®à¨§®â «ìë¥ ¯¥à¥¬¥é¥¨ï ¢ ¯à ¢«¥¨¨ ®á¨x £à ¨æë ã¯à㣮£® ¯®«ã¯à®áâà á⢠®â £àã§-ª¨ (26) 室ïâáï (¢ ¨§®¡à ¦¥¨ïå � ¯« á ) ¨§¢ëà ¦¥¨ï�ux(r; 0; s)= a2� 1Z0 hs2p�2+s2F (�; s) + 1p�2+s2 i��'� x(�; s)�J0(r�)d�; (28)£¤¥ á®®â®è¥¨¥'� x(�; s)= 1p2� 1Xk=0 �B2k(s)�(k+1=2)�(k+1) J2k+1=2(�) (29)¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ � ¯« á ¨� ª¥«ï ã«¥¢®£® ¯®à浪 äãªæ¨¨ (26); J0(r�) ¨J2k+1=2(�) { äãªæ¨¨ �¥áᥫï ã«¥¢®£® ¨ ¯®«ãæ¥-«®£® ¯®à浪®¢;F (�; s) = (2� + s2) � 4�2p�2 + �2s2p�2 + s2;s=ap=c2 { ¡¥§à §¬¥àë© ¯ à ¬¥âà ¯à¥®¡à §®¢ -¨ï � ¯« á ; �=c2=c1; c2 ¨ c1 { ᪮à®á⨠¯®¯¥à¥ç-®© ¨ ¯à®¤®«ì®© ¢®« ¢ ã¯à㣮¬ ¯®«ã¯à®áâà -á⢥; � { ¯®áâ®ï ï �ﬥ ¢ ¥¬.�. �. �¥©¬®¢ 61
ISSN 1028- 7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢iᨪ. 1999. �®¬ 2, N 4. �. 58 { 68� 楫ìî 㤮¢«¥â¢®à¥¨ï ª®â ªâ®¬ã ãá«®¢¨îUx(t) = ux(z; 0; t); 0 � r � 1 (30)¢ëà ¦¥¨¥ (28) à §«®¦¨¬ ¢ àï¤ ¯® ¬®£®ç«¥ ¬P2n(p1�r2), ¨á¯®«ì§ãï ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥J0(r�) =p2=� 1Xn=0 (2n+ 1=2)�(n+ 1=2)�(n+ 1) ��J2k+1=2(�)P2n(p1� r2): (31)� १ã«ìâ ⥠¨¬¥¥¬�ux(r; 0; s) = a� 1Xk=0 1Xn=0 �B2k(s)�� b2k+1=2;2n+1=2(s)P2n(p1� r2); (32)£¤¥b2k+1=2;2n+1=2(s) == �(k + 1=2)�(n+ 1=2)(2n+ 1=2)2�(k + 1)�(n+ 1) �� 1Z0 hs2p�2 + s2F (�; s) + 1p�2 + s2 i��J2k+1=2(�)J2n+1=2(�)d�: (33)�¥à¥å®¤¨¬ ª à¥è¥¨î ãà ¢¥¨ï (24). �ਬ¥-¨¬ ª ¥¬ã ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ � ¯« á ¯® ¢à¥¬¥¨,¢¢¥¤ï ¡¥§à §¬¥à®¥ ¢à¥¬ï t=c2�t=a (�t { ¢à¥¬ï ¢ á¥-ªã¤ å). � ãç¥â®¬ ¢ëà ¦¥¨ï (27) ¨¬¥¥¬m0�as2 �Ux(s) + �QH(r0;H; s)2�a2 + �B0(s) = �Q(s)2�a2 ; (34)£¤¥ m0 { ¯à¨¢¥¤¥ ï ¬ áá 樫¨¤à ¢¬¥á⥠áä㤠¬¥â®¬: m0 = M2�a3�0 ; (35)�0 { ¯«®â®áâì ¬ â¥à¨ « ®á®¢ ¨ï. �ëà ¦¥¨¥¤«ï à ¢®¤¥©áâ¢ãî饩 £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¤ ¢«¥-¨ï (21) ¢ ¡¥§à §¬¥àëå ¯¥à¥¬¥ëå ¯à¨¬¥â ¢¨¤�QH(r0;H; s) = ��ar20s2 �H�0 �Ux(s)I1(r0;H; s); (36)£¤¥I1(r0;H; s) = �H 1Z0 C21(r0�)�2 � thH�H� �1��d�; (37)�=p�2+�20s2; �0=c2=c0; r0=�r0=a; H= �H=a. �®-á«¥ ¯®¤áâ ®¢ª¨ ¢ëà ¦¥¨ï (36) ¢ ãà ¢¥¨¥ (34)¯®«ãç ¥¬[m0 + �mH (s)]s2�a �Ux(s) + �B0(s) = �Q(s)2�a2 ; (38)
£¤¥ á« £ ¥¬®¥�mH (s) = 12r20 �H�0 I1(r0;H; s) (39)¬®¦¥â à áᬠâਢ âìáï ª ª ¯à¨¢¥¤¥ ï ¯à¨á®-¥¤¨¥ ï ¬ áá ¦¨¤ª®á⨠¯à¨ ª®«¥¡ ¨ïå 樫¨-¤à ¢ á«®¥ ¦¨¤ª®áâ¨. �¤®¢«¥â¢®àïï ª®â ªâ®¬ããá«®¢¨î (30), ¯®¤áâ ¢«ï¥¬ ¢ëà ¦¥¨¥ (32) ¢ ãà ¢-¥¨¥ (38)[m0 + �mH (s)]s2 1Xk=0 1Xn=0 �B2k(s)��b2k+1=2;2n+1=2(s)P2n(p1� r2)++ �B0(s) = �Q(s)2�a2 : (40)�à¨à ¢¨¢ ¥¬ ¢ í⮬ ãà ¢¥¨¨ ª®íää¨æ¨¥âë¯à¨ ¯®«¨®¬ å �¥¦ ¤à ®¤¨ ª®¢ëå ¯®à浪®¢ ¨,ãç¨âë¢ ï, çâ® P0(p1�r2)=1, ¯®«ãç ¥¬ ¡¥áª®¥ç-ãî á¨á⥬㠫£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¤«ï ®¯à¥-¤¥«¥¨ï ¥¨§¢¥áâëå �B2k(s) (¢ ¤®«ïå �Q(s)=2�a2):[1+(m0+ �mH )b1=2;1=2(s)] �B0(s)++(m0+ �mH )s2 1Xk=0 �B2k(s)b2k+1=2;1=2(s)=1;1Xk=0 �B2k(s)b2k+1=2;2n+1=2(s)=0n=1; 2; : : :: (41)�¥è¨¢ íâã á¨á⥬ã, ¯¥à¥¬¥é¥¨¥ �Ux(s) ¨§ ¢ëà -¦¥¨ï (38) 室¨¬:�Ux(s) = a� �Q(s)=2�a2(m0 + �mH (s))s2 [1� �B0(s)]: (42)�᫨ ¯à¨ à¥è¥¨¨ à áᬠâਢ ¥¬®© § ¤ 種£à ¨ç¨âìáï ®¯à¥¤¥«¥¨¥¬ ⮫쪮 à ¢®¤¥©áâ¢ã-î饩 (27), â® ¢ à §«®¦¥¨¨ (26) ¤®áâ â®ç® 㤥à-¦ âì ¯¥à¢ë© ç«¥ àï¤ (k=0). �®£¤ ¨§ ¯¥à¢®£®ãà ¢¥¨ï (41) 室¨¬ ¢ ¬ ¢¨¤¥ ª®íää¨æ¨¥â�B0(s) = �Q(s)=2�a21 + (m0 + �mH )s2b1=2;1=2(s) ; (43) ¯¥à¥¬¥é¥¨¥ ¯à¨ ¯®¤áâ ®¢ª¥ á®®â®è¥¨ï (43)¢ (42) § ¯¨áë¢ ¥¬ â ª:�Ux(s) = a� b1=2;1=2(s) �Q(s)=2�a21 + (m0 + �mH (s))s2b1=2;1=2(s) : (44)�®«ã祮¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï ¯¥à¥¬¥é¥¨ï ¯®¤áâ -¢«ï¥¬ ¢ á®®â®è¥¨¥ (36) ¨ ¯®«ãç ¥¬ ¢ ¬ ¢¨-¤¥ ä®à¬ã«ã ¤«ï à ¢®¤¥©áâ¢ãî饩 £¨¤à®¤¨ ¬¨-ç¥áª®£® ¤ ¢«¥¨ï 樫¨¤à:�QH(r0;H; s)= s2 �mH (s)b1=2;1=2(s) �Q(s)1+(m0+ �mH (s))s2b1=2;1=2(s) : (45)62 �. �. �¥©¬®¢
ISSN 1028- 7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢iᨪ. 1999. �®¬ 2, N 4. �. 58 { 68�̈ ¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®¥ ¤ ¢«¥¨¥ 樫¨¤à (19) ¢¡¥§à §¬¥àëå ¯¥à¥¬¥ëå ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ëà ¦¥-¨¥¬�p�H (r0; z; s) = �r0 �H�0 ��s2 �Ux(s)�� 1Z0 C21(r0�)�2 hch�(H � z)ch�H � 1i�d�: (46)�¤¥áì H= �H=a, z= �z=a { ¡¥§à §¬¥àë¥ ¢¥«¨ç¨ë.�ਠ¯®¤áâ ®¢ª¥ (44) ¢ (46) ¨¬¥¥¬�p�H (r0; z; s) = � �Q(s)2�a r0�H�0 �� s2b1=2;1=2(s)1 + (m0 + �mH )s2b1=2;1=2(s)�� 1Z0 C21(r0�)�2 hch�(H � z)ch�H � 1i�d�: (47)� ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®«ãç¥ë (¢ ¨§®¡à ¦¥¨ïå � -¯« á ¯® ¢à¥¬¥¨) ¢á¥ ¨áª®¬ë¥ äãªæ¨¨, ®¯à¥¤¥-«ïî騥 à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨: à ¢®¤¥©áâ¢ãîé ï ª®-â ªâëå ¯à殮¨© (43), £®à¨§®â «ì®¥ ¯¥à¥-¬¥é¥¨¥ 樫¨¤à (44), à ¢®¤¥©áâ¢ãîé ï £¨¤à®-¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¤ ¢«¥¨ï 樫¨¤à (45), à á¯à¥-¤¥«¥¨¥ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¤ ¢«¥¨ï ¯® ¢ëá®â¥æ¨«¨¤à (47).�¡à ⮥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ � ¯« á ¢ë¯®«ï¥¬ç¨á«¥®, á ¯®¬®éìî ¨â¥£à «®¢ �ãàì¥ [7, 8], ¯®-« £ ï s= i� ¨ ¢ë¯®«ïï ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ¯® ¯¥à¥-¬¥®© �, ª®â®à ï ¡ã¤¥â ¡¥§à §¬¥à®© ç áâ®â®©£ ମ¨ç¥áª¨å ª®«¥¡ ¨© (�=a!=c2). �᫨ �f (s) {¨§®¡à ¦¥¨¥ � ¯« á äãªæ¨¨ f(t), â® ¯à¨ s= i�f(t) = � 2� 1Z0 ReIm n �f(i�) cos t�sin t� od�: (48)�ਠ¯®¤áâ ®¢ª¥ s= i� ¢ ä®à¬ã«ë (43) { (47) ¨á-ª®¬ë¥ äãªæ¨¨ áâ ®¢ïâáï ª®¬¯«¥ªá묨, â ªª ª ª®¬¯«¥ªáë¬ ¡ã¤¥â ª®íää¨æ¨¥â b1=2;1=2(i�)¨§ (33).3. �������� ������� ������ � ��-�������� �������� ��������,������������������ �� ������������� � ������� ����-�������������� áᬮâਬ ª®«¥¡ ¨ï 樫¨¤à ¢ á«®¥ ¦¨¤ª®-á⨠¢ á«ãç ¥, ª®£¤ ¦¥á⪮áâì ¨§£¨¡ ï¥âáï
ª®¥ç®© ¨ ¤¢¨¦¥¨¥ ¥£® ¬®¦® ®¯¨á âì ¤¨ää¥-à¥æ¨ «ìë¬ ãà ¢¥¨¥¬ ¨§£¨¡ áâ¥à¦ï ªà㣮-¢®£® á¥ç¥¨ï. �®« £ ¥¬, çâ® Ux(r; t) { ¯¥à¥¬¥é¥-¨ï áâ¥à¦ï, á®áâ®ï饥 ¨§ ®¡é¥£® £®à¨§®â «ì®-£® ᬥ饨ï 樫¨¤à á ä㤠¬¥â®¬ ¨ ¯à®£¨¡ .�à ¢¥¨ï ¤«ï ¯®â¥æ¨ « ᪮à®á⨠¦¨¤ª®á⨠(1)¨ ¤¢¨¦¥¨ï ä㤠¬¥â (24) á«¥¤ã¥â ¤®¯®«¨âì¢ ¤ ®¬ á«ãç ¥ ãà ¢¥¨¥¬ ª®«¥¡ ¨© 樫¨¤à (áâ¥à¦ï)EJ @4Ux@z4 + �r20�@2Ux@t2 = ��r0p�H(r0; z; t); (49)£¤¥ �r0��H(r0; z; t) { £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª ï £à㧪 樫¨¤à (¢ ¯à®¥ªæ¨¨ ®áì x), ®¯à¥¤¥«ï¥¬ ïç¥à¥§ ¯®â¥æ¨ « ᪮à®á⨠¯® ä®à¬ã«¥ (18); EJ {¨§£¨¡ ï ¦¥á⪮áâì áâ¥à¦ï. �ਠà¥è¥¨¨ ãà ¢-¥¨ï (1) £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ (4) § ¯¨è¥âáï ¢ á«¥-¤ãî饬 ¢¨¤¥:@��@r = @Ux(z; t)@t (r = r0; 0 � z � H): (50)�®£¤ , ¯®á«¥ ¯à¨¬¥¥¨ï ª ãà ¢¥¨î (1) ¯à¥-®¡à §®¢ ¨ï � ¯« á ¨ � ª¥«ï (7), ª ãà ¢-¥¨î (49) { ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï � ¯« á , á ãç¥â®¬ãá«®¢¨ï (50) ¯®«ã稬 á«¥¤ãîéãî á¨á⥬㠤¨ää¥-à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨© ¢ ¡¥§à §¬¥àëå ¯¥à¥¬¥-ëå:d2'��dz2 ��2'��(�; z; s) = r0l2c2C1(r0�)s �Ux(z; s); (51)d4 �Uxdz4 +k21 ��0 s2 �Ux(z; s) = k21r0 �H�0 sc2 ���(r0; z; s); (52)£¤¥ k21 = �r20 �l4EJ ;�2 = l2a2 (�2 + �20s2); (53)� { ¯«®â®áâì ¬ â¥à¨ « ᯫ®è®£® 樫¨¤à , �z {à §¬¥à ï ª®®à¤¨ â , z= �z=l; l { ¤«¨ áâ¥à¦-ï (¯®« £ ¥¬, çâ® l� �H { ¢ëá®â á«®ï ¦¨¤ª®áâ¨).�ਠà¥è¥¨¨ ãà ¢¥¨ï (51) ¥®¡å®¤¨¬® 㤮¢«¥-⢮à¨âì £à ¨çë¬ ãá«®¢¨ï¬ (2) ¨ (3), ¯à¨ à¥-襨¨ (52) { ãá«®¢¨ï¬ ª®æ å áâ¥à¦ï. � ¯à¨-¬¥à, ¥á«¨ ª ¢¥à奬㠪®æã áâ¥à¦ï ¯à¨«®¦¥ £®à¨§®â «ì ï ᨫ Q(t), â® £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï¡ã¤ãâ â ª¨¬¨:8>><>>: @2Ux(z; t)@z2 = 0;@3Ux(z; t)@z3 = l3EJ Q(t); z = 0; (54)(55)�. �. �¥©¬®¢ 63
ISSN 1028- 7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢iᨪ. 1999. �®¬ 2, N 4. �. 58 { 688><>: Ux(1; t) = U�(t);@Ux(z; t)@z = 0; z = 1: (56)�¤¥áì U�(t) { ¯¥à¥¬¥é¥¨¥ ä㤠¬¥â .�¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨© (51) ¨ (52) ¯à®¢¥¤¥¬ á ¯®¬®-éìî ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï â ª §ë¢ ¥¬ëå ª®®à¤¨ â-ëå äãªæ¨© [2] ¤«ï ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ¥¨§¢¥á⮩äãªæ¨¨ Ux(z; t) = 1Xp=0 ap(t)wp(z); (57)£¤¥ wp(z) = 8<: 1; p = 0;(z � 1)2zp�1; p = 1; 2; : : : ; (58)ap(t) { ¥®¯à¥¤¥«¥ë¥ ª®íää¨æ¨¥âë, § ¢¨áï騥®â ¢à¥¬¥¨. �®®à¤¨ âë¥ äãªæ¨¨ (57) 㤮¢«¥-⢮àïîâ ãá«®¢¨ï¬ (55) ¦¥á⪮© § ¤¥«ª¨ ¢ ä㤠-¬¥âãî ¯«¨âã. �®íää¨æ¨¥â a0(t)=U�(t) å à ª-â¥à¨§ã¥â ®¡é¥¥ £®à¨§®â «ì®¥ ᬥ饨¥ áâ¥à¦-ï ¢¬¥á⥠á ä㤠¬¥â®¬. �§ ãá«®¢¨© (54) ¯®«ã-ç ¥¬ ¤¢ ãà ¢¥¨ï, á¢ï§ë¢ î騥 ¥ª®â®àë¥ ª®-íää¨æ¨¥âë ¢ à §«®¦¥¨¨ (56):a1(t)� 2a2(t) + a3(t) = 0; (59)a2(t)� 2a3(t) + a4(t) = l36EJ Q(t): (60)�஬¥ ⮣®, äãªæ¨ï Ux(z; t) ¤®«¦ 㤮¢«¥â¢®-àïâì ãà ¢¥¨î (52).� ç « à¥è¨¬ ãà ¢¥¨¥ (51). �ਠ¯®¤áâ ®¢-ª¥ ¢ëà ¦¥¨ï (56) ¢ (51) ¯®á«¥¤¥¥ ãà ¢¥¨¥ ¯à¨-¨¬ ¥â ¢¨¤d2'��dz2 � �2'��(�; z; s) == r0l2c2C1(r0�)s 1Xp=0 �ap(s)wp(z): (61)�¥®¤®à®¤®¥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¢â®-ண® ¯®à浪 á ¯à ¢®© ç áâìî, ᮤ¥à¦ 饩 áâ¥-¯¥ãî äãªæ¨î (57), ¬®¦¥â ¡ëâì à¥è¥® ¬¥â®-¤®¬ ¢ ਠ樨 ¯®áâ®ïëå. �¯ãá⨢ ¯à®¬¥¦ãâ®ç-ë¥ ¢ëª« ¤ª¨, § ¯¨è¥¬ ®ª®ç ⥫ìë© à¥§ã«ìâ âà¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï (60), 㤮¢«¥â¢®àïî騩 £à -¨çë¬ ãá«®¢¨ï¬ (2) ¨ (3):'��(�; z; s) = �r0c2l2sC1(r0�)�� 1Xp=0 �ap(s)F �p (�; z; s); (62)
£¤¥ F �p (�; z; s) = 1�2hFp(�; z; s)� Fp(�; 0; s)��ch�(1� z)ch� � F 0p(�; 1; s) sh�z�ch�i; (63)Fp(�; z; s) = [(p+1)=2]Xk=0 1�2k d2kwp(z)dz2k ;F 0p(�; z; s) = [(p+1)=2]Xk=0 1�2k d2k+1wp(z)dz2k+1 : (64)�¤¥áì [ � ] ®¡®§ ç ¥â 楫ãî ç áâì ç¨á« . � ¬¥-⨬, çâ® ¯à¨ �=0 äãªæ¨ï (62) ¨¬¥¥â ¥®¯à¥¤¥-«¥®áâì ¢¨¤ 0=0. � áªàë¢ ï ¥¥, ¯®«ãç ¥¬F �0 (�; z; s)���=0 = 12 � 12(1� z)2; (65)F �p (�; z; s)���=0 = 2zp(p+ 1)(p+ 2) �� zp+1p(p+ 1) + 2zp+2(p + 1)(p+ 2) �� zp+3(p+ 2)(p+ 3) ; p > 0: (66)� äãªæ¨¨ (61) ¯à¨¬¥ï¥¬ ®¡à ⮥ ¯à¥®¡à §®¢ -¨¥ � ª¥«ï (8)���(r; z; s) = �r0c2 l2�2 s 1Xp=0 �ap(s)��p(r; z; s); (67)£¤¥��p(r; z; s) = 1Z0 C1(r0�)F �p (�; z; s)C1(r; �)�d�: (68)�®«ã祮¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï ¯®â¥æ¨ « ᪮à®á⨦¨¤ª®á⨠(66) ¯à¨ r=r0 ¯®¤áâ ¢«ï¥¬ ¢ ãà ¢¥-¨¥ (52):d4 �Uxdz4 + k21 ��0 s2 �Ux(z; s) == k21 l2a2 �H�0 s2 1Xp=0 �ap(s)���(r0; z; s); (69)£¤¥ ���(r0; z; s) = 1Z0 C21(r0�)F �p (�; z; s)�d�: (70)64 �. �. �¥©¬®¢
ISSN 1028- 7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢iᨪ. 1999. �®¬ 2, N 4. �. 58 { 68�।áâ ¢«¥¨¥ (56) ¤«ï äãªæ¨¨ Ux(r; t) ¨ ¥¥ ¯à®-¨§¢®¤ãî ç¥â¢¥à⮣® ¯®à浪 ¯®¤áâ ¢«ï¥¬ ¢ ãà ¢-¥¨¥ (68). � १ã«ìâ ⥠¯®á«¥¤¥¥ § ¯¨è¥¬ ¢ á«¥-¤ãî饬 ¢¨¤¥:1Xp=1 �ap(s) �Wp(z; s) + �a0(s) �W0(z; s) = 0;0 � z � 1; (71)£¤¥ �Wp(z; s) = w0000p (z) + k21s2���p(r0; z; s); (72)���p(r0; z; s) = ��0wp(z)� l2a2 ��0 ��p(r0; z; s); (73)w0000p (z) = (p� 1)(p � 2)�� [p(p+ 1)zp�3�� 2p(p� 3)zp�4++ (p � 3)(p� 4)zp�5]:�à ¢¥¨¥ ª®«¥¡ ¨© 樫¨¤à (70) ¥®¡å®¤¨¬®á¢ï§ âì á ª®«¥¡ ¨ï¬¨ ä㤠¬¥â ã¯à㣮¬ ¯®-«ã¯à®áâà á⢥. �â® ®áãé¥á⢫ï¥âáï ç¥à¥§ ª®-íää¨æ¨¥â �a0(s). � ª ª ª �a0(s)= �Ux(s)= �ux(t; 0; s)(á¬. (30)), â® ¯® «®£¨¨ á á®®â®è¥¨¥¬ (34)¬®¦® § ¯¨á âì ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï ¨áª®¬®£® ª®íää¨-樥â ��0(s) = a�m1s2 h �Q1(s)2�a2 � �B0(s)i; (74)£¤¥ ¯¥à¥à¥§ë¢ îé ï ᨫ ¢ § ¤¥«ª¥ à ¢ �Q1(s) = 6EJl3 1Xp=2(p� 1)�ap(s); (75)m1=M�=2�a3�0 { ¯à¨¢¥¤¥ ï ¬ áá ä㤠¬¥-â . � ãç¥â®¬ á®®â®è¥¨© (30) ¨ (74) § ¢¨á¨-¬®áâì (73) ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤�ux(r; 0; s) = a�m1s2 h 1Xp=2(p� 1)�a�p � �B0(s)i; (76)£¤¥ �a�p(s) = 3EJ�a2l3 �ap(s): (77)� ä®à¬ã«ã (75) ¯®¤áâ ¢«ï¥¬ à §«®¦¥¨¥ (32) ¨¯à¨à ¢¨¢ ¥¬ ª®íää¨æ¨¥âë ¯à¨ ¬®£®ç«¥ å �¥-¦ ¤à ®¤¨ ª®¢ëå ¯®à浪®¢. �®«ãç ¥¬ á¨á⥬ã
«£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©, ãç¨âë¢ îéãî ¢§ ¨-¬®¤¥©á⢨¥ ä㤠¬¥â ¨ 樫¨¤à á ®á®¢ ¨¥¬:� 1Xp=2(p� 1)�a�p(s) + �B0(s) +m1s2�� 1Xk=0 �B2k(s)b2k+1=2;1=2(s) = 0;1Xk=0 �B2k(s)b2k+1=2;2n+1=2(s) = 0;n = 1; 2; : : : (78)� «¥¥ á«¥¤ã¥â ¨áª«îç¨âì ª®íää¨æ¨¥â �a0(s) ¨§ãà ¢¥¨ï (70), ¢ëà §¨¢ ¥£® ç¥à¥§ à §«®¦¥-¨¥ (32). � १ã«ìâ ⥠¨¬¥¥¬1Xp=1 �a�p(s) �Wp(z; s)++3r20 las2 ���0(r0; z; s)�� 1Xk=0 �B2k(s)b2k+1=2;1=2(s) = 0;0 � z � 1: (79)�®á«¥¤¥¥ ãà ¢¥¨¥ ¤®«¦® 㤮¢«¥â¢®àïâìáï ¢«î¡®© â®çª¥ 㪠§ ®£® ¨â¥à¢ « . �᫨ ¢®á-¯®«ì§®¢ âìáï ¬¥â®¤®¬ ª®««®ª 権, 㤮¢«¥â¢®àïïí⮬ã ãà ¢¥¨î ¢ ®â¤¥«ìëå â®çª å zi= i4z(i=0; 1; 2; : : :; 4z { ¯à¨ïâë© è £ à §¡¨¥¨ï ¨-â¥à¢ « ), â® ãà ¢¥¨¥ (78) ¬®¦® § ¬¥¨âì á¨-á⥬®© «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©, § ¯¨á ëå¤«ï ª ¦¤®£® zi. � ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®« ï á¨áâ¥-¬ «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© (¢ ®¡« á⨠¨§®-¡à ¦¥¨© � ¯« á ), à §à¥è îé ï § ¤ çã, ¡ã¤¥â¢ª«îç âì ãà ¢¥¨ï (58) ¨ (59) ¤«ï £à ¨çëåãá«®¢¨© ¢¥à奬 ª®æ¥ áâ¥à¦ï; á¨á⥬ã ãà ¢-¥¨©, ¯®«ãç ¥¬ëå ¨§ ãà ¢¥¨ï (78) ¤«ï àï¤ § 票© zi, 㤮¢«¥â¢®àïî饣® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®-¬ã ãà ¢¥¨î ¨§£¨¡ áâ¥à¦ï (52); á¨á⥬ã ãà ¢-¥¨© (77), 㤮¢«¥â¢®àïîéãî ãá«®¢¨î ª®â ªâ ä㤠¬¥â , ¥áã饣® 樫¨¤à, á ã¯à㣨¬ ¯®«ã-¯à®áâà á⢮¬. �᪮¬ ï á¨á⥬ ãà ¢¥¨© ¡ã-�. �. �¥©¬®¢ 65
ISSN 1028- 7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢iᨪ. 1999. �®¬ 2, N 4. �. 58 { 68¤¥â â ª®©:�a�1(s) � 2�a�2(s) + �a�3(s) = 0;�a�2(s) � 2�a�3(s) + �a�4(s) = 1;1Xp=1 �a�p(s) �Wp(zi; s) + 3r20 las2 ���0(r0; zi; s)�� 1Xk=0 �B2k(s)b2k+1=2;1=2(s) = 0;i = 0; 1; 2; : : :;� 1Xp=2(p � 1)�a�p(s) + �B0(s) +m1s2�� 1Xk=0 �B2k(s)b2k+1=2;1=2(s) = 0;1Xk=0 �B2k(s)b2k+1=2;2n+1=2(s) = 0n = 1; 2; : : : : (80)
(᢮¡®¤ë© ç«¥ ¤ ¢ ¤®«ïå �Q(s)=2�a2). �®à冷ªá¨á⥬ë ãà ¢¥¨© (79) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª®«¨ç¥á⢮¬â®ç¥ª ª®««®ª 樨 (è £®¬ 4z) ¤«ï ãà ¢¥¨ï (78)¨ ª®«¨ç¥á⢮¬ ç«¥®¢ àï¤ ¢ à §«®¦¥¨¨ ¤«ï ª®-â ªâëå ¯à殮¨© (26). �®®â¢¥âá⢨¥ ¬¥¦-¤ã ç¨á«®¬ ¥¨§¢¥áâëå ¨ ¯®à浪®¬ á¨á⥬ë (79)ॣ㫨àã¥âáï ª®«¨ç¥á⢮¬ ª®®à¤¨ âëå äãªæ¨©wp(z) (57) (p=1; 2; : : :), 㤥ন¢ ¥¬ëå ¢ à §«®¦¥-¨¨ (56). � ¯à¨¬¥à, ¥á«¨ ¯à¨ïâì 4z = 0; 2 (ª®-«¨ç¥á⢮ â®ç¥ª ª®««®ª 権 6: i=0; 1; 2; : : : ; 5), â® ¢à §«®¦¥¨¨ (56), ªà®¬¥ ª®íää¨æ¨¥â �a0(s), ª®â®-àë© ¯à¨ à¥è¥¨¨ ª®â ªâ®© § ¤ ç¨ ¢ëà ¦ ¥âáïç¥à¥§ ª®íää¨æ¨¥â �B0(s), ¥®¡å®¤¨¬® 㤥ঠâì 8ç«¥®¢ àï¤ (p= 1; 2; : : :; 8).�®á«¥ à¥è¥¨ï 㪠§ ®©, 㪮à®ç¥®© á¨á⥬ë9 ¯®à浪 ª®íää¨æ¨¥â �a0(s) (®¡é¥¥ ᬥ饨¥) -室¨âáï ¯® ä®à¬ã«¥�a0(s) = �Q(s)2�a� �B0(s)b1=2;1=2(s): (81)�ண¨¡ áâ¥à¦ï ¢¥à奬 ª®æ¥ (z=0) ®¯à¥¤¥-«ï¥âáï ª®íää¨æ¨¥â®¬ �a1(s). �㬬 ஥ ¯¥à¥¬¥-饨¥ ¢ ¯à®¨§¢®«ì®© â®çª¥ áâ¥à¦ï (®¡é¥¥ ᬥ-饨¥ ¯«îá ¯à®£¨¡) ®¯à¥¤¥«¨âáï ¢ëà ¦¥¨¥¬�Ux(z; s) = l3 �Q(s)6EJ ��h3 r20k21 la �B0(s) + 1Xp=1 �a�p(s)wp(z)i: (82)
�ਠ©¤¥ëå § 票ïå �Ux(z; s) £¨¤à®¤¨ ¬¨-ç¥áª®¥ ¤ ¢«¥¨¥ 樫¨¤à ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ ãà ¢-¥¨ï (49) ¢ëà ¦¥¨¥¬�p�H(r0; z; s) = � �Q(s)2�a2��nr0 ��0 s2h �B0(s)b1=2;1=2(s)++ k213r20 al (�a�1(s)w1(z) + ��2(s)w2(z))i++ a3l 8Xp=3 �a�p(s)hw0000p (z) + k21r0 al ��0 s2wp(z)io: (83)� ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®«ãç¥ë (¢ ¨§®¡à ¦¥¨¨ � -¯« á ) ¥®¡å®¤¨¬ë¥ á®®â®è¥¨ï, à §à¥è î騥¯®áâ ¢«¥ãî § ¤ çã: á¨á⥬ «£¥¡à ¨ç¥áª¨åãà ¢¥¨© (79); ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ¤«ï ¯¥à¥¬¥é¥¨©(¯à®£¨¡®¢) 樫¨¤à (56), ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ª®-â®à®£® ¯®§¢®«ï¥â ©â¨ ã£«ë ¯®¢®à®â á¥ç¥¨©æ¨«¨¤à , ¨§£¨¡ î騥 ¬®¬¥âë ¨ ¯¥à¥à¥§ë¢ î-騥 á¨«ë ¢ ¥¬; ®¡é¥¥ ᬥ饨¥ 樫¨¤à ¢¬¥áâ¥á ä㤠¬¥â®¬ (80); á㬬 ஥ ¤ ¢«¥¨¥ ¯® ¢ëá®-⥠樫¨¤à (á®®â®è¥¨¥ (82) ¢ ¯à®¥ªæ¨¨ ®áìx). �®§¢à â ª ®à¨£¨ « ¬, ¯à®¨§¢®¤¨¬ á ¯®¬®éìî¨â¥£à « �ãàì¥ (48).4. ��������� ���������� ������-���� ��������«ï ç¨á«¥®© ॠ«¨§ 樨 ¬¥â®¤¨ª¨ à¥è¥¨ïª®â ªâ®© § ¤ ç¨ ¤«ï ¦¥á⪮£® 樫¨¤à , ¢§ -¨¬®¤¥©áâ¢ãî饣® á® á«®¥¬ ¦¨¤ª®á⨠¨ á ã¯àã-£¨¬ ¯®«ã¯à®áâà á⢮¬ ¯à¨ £®à¨§®â «ìëå ª®-«¥¡ ¨ïå, ¡ë« à §à ¡®â ¯à®£à ¬¬ ¨ ¢ë¯®«-¥ë à áç¥âë ���� (¯à®£à ¬¬¨à®¢ ¨¥ ¨ ¢ë-ç¨á«¥¨ï ¢ë¯®«¥ë �. �. �ମ«¥ª®). � ª -ç¥á⢥ ¥¨§¬¥ëå ¯ à ¬¥â஢ ¯à¨ïâë à ¤¨ãáä㤠¬¥â®© ¯«¨âë, à ¢ë© à ¤¨ãáã 樫¨¤à :a=�r0 (r0=1); ¢ëá®â 樫¨¤à à ¢ï¥âáï ¢ëá®-â¥ á«®ï ¦¨¤ª®á⨠l= �H ; ®â®è¥¨¥ ¯«®â®á⨠¬ -â¥à¨ « 樫¨¤à (¡¥â®) ª ¯«®â®á⨠¬ â¥à¨ -« ®á®¢ ¨ï (¬ï£ª¨© £àãâ) �H=�0=1:4; ®â®è¥-¨¥ ¯«®â®á⨠¢®¤ë ª ¯«®â®á⨠¬ â¥à¨ « ®á®-¢ ¨ï �=�0=0:55; ®â®è¥¨¥ ᪮à®á⨠¯®¯¥à¥ç-®© ¢®«ë ¢ ®á®¢ ¨¨ ª ᪮à®á⨠§¢ãª ¢ ¢®¤¥�0=c2=c0=0:143; ª®íää¨æ¨¥â �ã áá® ¬ â¥à¨- « ®á®¢ ¨ï �0=0:3.�¨á«¥ë© «¨§ ¢ë¯®«¥ ¯à¨ ¢ ਠæ¨ïå â -ª¨å ¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯ à ¬¥â஢: m0 { ¯à¨¢¥¤¥- ï ¬ áá 樫¨¤à , �H { ¢ëá®â á«®ï ¦¨¤ª®áâ¨,�r0=a { à ¤¨ãá 樫¨¤à . �ëç¨á«¥¨ï ¯à®¢¥¤¥ë¢ ¯à¥¤¯®«®¦¥¨¨ ¢®§¤¥©áâ¢¨ï £®à¨§®â «ì®© ¢¥-66 �. �. �¥©¬®¢
ISSN 1028- 7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢iᨪ. 1999. �®¬ 2, N 4. �. 58 { 68
�¨á. 2. �®à¨§®â «ìë¥ ¯¥à¥¬¥é¥¨ï 樫¨¤à ¯à¨ ¢ ਠæ¨ïå ¯ à ¬¥âà ¬ ááë 樫¨¤à m0(a=8 ¬, H=4):1 { m0=0; 2 { m0=0:4; 3 { m0=0:8
�¨á. 3. � ¢®¤¥©áâ¢ãîé ï £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®£®¤ ¢«¥¨ï 樫¨¤à ¯à¨ ¢ ਠæ¨ïå ¯ à ¬¥âà ¬ ááë 樫¨¤à m0 (a=8 ¬, H=4):1 { m0=0; 2 { m0=0:4; 3 { m0=0:8§ ¯® ¯à¨«®¦¥®© ᨫë Q(t)=QH(t), £¤¥ H(t) {äãªæ¨ï �¥¢¨á ©¤ .�¥§ã«ìâ âë à áç¥â ª®«¥¡ ¨© ¯à¥¤áâ ¢«¥ë à¨á. 2 { 7. � à¨á. 2 ¯®ª § ë £à 䨪¨ ¨§¬¥¥¨ï¢® ¢à¥¬¥¨ £®à¨§®â «ìëå ¯¥à¥¬¥é¥¨© 樫¨-¤à (¢ ¤®«ïå áâ â¨ç¥áª®£® § ç¥¨ï ¯¥à¥¬¥é¥¨ïQb1=2;1=2(0)=2��r0�). �ਢ ï 1 å à ªâ¥à¨§ã¥â ¤¢¨-¦¥¨¥ ¥¢¥á®¬®£® 樫¨¤à á ¯à¨á®¥¤¨¥®© ¬ á-ᮩ ¦¨¤ª®áâ¨. �ਠ㢥«¨ç¥¨¨ ᮡá⢥®© ¬ á-áë 樫¨¤à (ªà¨¢ë¥ 2 ¨ 3) ¬ ªá¨¬ «ìë¥ ¯¥à¥-¬¥é¥¨ï à áâãâ. �â®â íä䥪⠮¡ãá«®¢«¥ å à ª-â¥à®¬ ¢¥è¥© £à㧪¨. �®áâ®ï ï ᨫ , ¢¥-§ ¯® ¯à¨«®¦¥ ï ª ⥫ã, ¢®§¡ã¦¤ ¥â ¨¥à樮-ë¥ á¨«ë, ¯à®¯®à樮 «ìë¥ ¬ áᥠ⥫ ¨ ¯à¨¢®-¤ï騥 ª 㢥«¨ç¥¨î ¥£® ¯¥à¥¬¥é¥¨ï. �¡à âë©íä䥪⠨¬¥¥â ¬¥áâ® ¯à¨ ¤¥©á⢨¨ ªà ⪮¢à¥¬¥-®© £à㧪¨, ¯à¨¬¥à, ¢ ¢¨¤¥ ¤¥«ìâ -äãªæ¨¨.
�¨á. 4. �®à¨§®â «ìë¥ ¯¥à¥¬¥é¥¨ï 樫¨¤à ¯à¨ ¢ ਠæ¨ïå ¢ëá®âë á«®ï ¦¨¤ª®á⨠H(m0=0:4, a=8 ¬):1 { H=0; 2 { H=2; 3 { H=4
�¨á. 5. � ¢®¤¥©áâ¢ãîé ï £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®£®¤ ¢«¥¨ï 樫¨¤à ¯à¨ ¢ ਠæ¨ïå ¢ëá®âëá«®ï ¦¨¤ª®á⨠H (m0=0:4, a=8 ¬):1 { H=0; 2 { H=2; 3 { H=4� í⮬ á«ãç ¥ 㢥«¨ç¥¨¥ ¬ ááë ⥫ ¢ë§ë¢ ¥â㬥ì襨¥ ¯¥à¥¬¥é¥¨ï. �á樫«ï樨 ¯à®¨áå®-¤ïâ ®â®á¨â¥«ì® áâ â¨ç¥áª®£® § ç¥¨ï ¨ ¢ ¯à¥-¤¥«¥ ¯¥à¥¬¥é¥¨ï à ¢ë ¥¬ã. � ª®®¬¥à®á⨠¨§-¬¥¥¨ï ¢® ¢à¥¬¥¨ à ¢®¤¥©áâ¢ãî饩 £¨¤à®¤¨- ¬¨ç¥áª®£® ¤ ¢«¥¨ï 樫¨¤à (¢ ¤®«ïå Q) ¢¨¤-ë à¨á. 3. � ¢«¥¨¥ ¦¨¤ª®á⨠ï¥âáï § -ª®¯¥à¥¬¥ë¬, § âãå î騬 ¢® ¢à¥¬¥¨, çâ® ®¡ã-á«®¢«¥® ¨§«ã票¥¬ ¡¥áª®¥ç®áâì í¥à£¨¨ ¢®á®¢ ¨¨ ¨ á«®¥ ¦¨¤ª®áâ¨. � 㢥«¨ç¥¨¥¬ ¬ ááë樫¨¤à m0 ¬¯«¨âã¤ë ª®«¥¡ ¨© ã¡ë¢ îâ.�«¨ï¨¥ ¢ëá®âë á«®ï ¦¨¤ª®á⨠¯¥à¥¬¥é¥-¨ï 樫¨¤à å à ªâ¥à¨§ã¥â à¨á. 4. � 㢥«¨ç¥-¨¥¬ ¢ëá®âë á«®ï ¦¨¤ª®á⨠¢®§à á⠥⠥¥ ¯à¨á®-¥¤¨¥ ï ¬ áá ¨, ᮮ⢥âá⢥®, 㢥«¨ç¨¢ îâ-áï ¬ ªá¨¬ «ìë¥ ¯¥à¥¬¥é¥¨ï. �à 䨪¨ ¤«ï à ¢-®¤¥©áâ¢ãî饩 £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¤ ¢«¥¨ï �. �. �¥©¬®¢ 67
ISSN 1028- 7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢iᨪ. 1999. �®¬ 2, N 4. �. 58 { 68
�¨á. 6. � ¢®¤¥©áâ¢ãîé ï ª á ⥫ìëå ¯à殮¨©¯® ª®â ªâã á ®á®¢ ¨¥¬ ¯à¨ ¢ ਠæ¨ïåà ¤¨ãá 樫¨¤à �r0 (m0=0:4, �H=32 ¬):1 { �r0=4 ¬; 2 { �r0=8 ¬æ¨«¨¤à ¯à¥¤áâ ¢«¥ë à¨á. 5. �ਠ㢥«¨ç¥-¨¨ ⮫é¨ë á«®ï ¦¨¤ª®á⨠ᮮ⢥âá⢥® à -áâ¥â á㬬 ஥ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®¥ ¤ ¢«¥¨¥ 樫¨¤à.�।áâ ¢«ï¥â â ª¦¥ ¨â¥à¥á ãáâ ®¢«¥¨¥ § -¢¨á¨¬®á⨠à áç¥âëå äãªæ¨© ®â à ¤¨ãá 樫¨-¤à . � à¨á. 6 ¯à¨¢¥¤¥ë £à 䨪¨ ¤«ï à ¢®¤¥©-áâ¢ãî饩 ª á ⥫ìëå ¯à殮¨© ¯® ª®â ªâãá ®á®¢ ¨¥¬ (¢ ¤®«ïå Q). �ਠ㢥«¨ç¥¨¨ à ¤¨ã-á 樫¨¤à ¡«î¤ ¥âáï ᨦ¥¨¥ ¬ ªá¨¬ «ìëå ¬¯«¨âã¤ à ¢®¤¥©áâ¢ãî饩 ª®â ªâëå ¯àï-¦¥¨©, çâ® ®¡ãá«®¢«¥® 㬥ì襨¥¬ ã᪮२ï樫¨¤à ¨, ᮮ⢥âá⢥®, { ¨¥à樮ëå ᨫ.� «®£¨çë¥ § ª®®¬¥à®á⨠¯à®ï¢«ïîâáï ¨ ¤«ïà ¢®¤¥©áâ¢ãî饩 £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¤ ¢«¥¨ï 樫¨¤à (à¨á. 7). �¬¥ì襨¥ ¬¯«¨â㤠ª®«¥-¡ ¨© £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¤ ¢«¥¨ï §¤¥áì á¢ï§ ®á 㬥ì襨¥¬ ᪮à®á⨠¤¢¨¦¥¨ï 樫¨¤à ¯à¨ã¢¥«¨ç¥¨¨ ¥£® à ¤¨ãá .�����������ਬ¥¨â¥«ì® ª ¢®¯à®á ¬ à áç¥â ¬®à᪮©¯« âä®à¬ë £à ¢¨â 樮®£® ⨯ ¯®«ã祮 à¥è¥-¨¥ ¯à®áâà á⢥®© ¤¨ ¬¨ç¥áª®© ª®â ªâ®©§ ¤ ç¨ ¤«ï ¦¥á⪮£® 樫¨¤à , ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãî-饣® á® á«®¥¬ ᦨ¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®á⨠¨ ã¯à㣨¬ ¯®-«ã¯à®áâà á⢮¬ ¯à¨ £®à¨§®â «ìëå ª®«¥¡ ¨-ïå. �믮«¥ ç¨á«¥ë© «¨§ £®à¨§®â «ìë媮«¥¡ ¨© 樫¨¤à ¯à¨ ¥áâ 樮 àëå £àã§-ª å. �áâ ®¢«¥ë § ª®®¬¥à®á⨠¨§¬¥¥¨ï ¢®¢à¥¬¥¨ ¯¥à¥¬¥é¥¨© ¨ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¤ -¢«¥¨ï 樫¨¤à. �஢¥¤¥ «¨§ ¨áª®¬ëåäãªæ¨© ¯à¨ ¢ ਠæ¨ïå ¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯ à ¬¥â஢:¬ ááë 樫¨¤à , ¢ëá®âë á«®ï ¦¨¤ª®á⨠¨ à ¤¨ã-
�¨á. 7. � ¢®¤¥©áâ¢ãîé ï £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®£®¤ ¢«¥¨ï ¯à¨ ¢ ਠæ¨ïå à ¤¨ãá 樫¨¤à �r0(m0=0:4, �H=32 ¬):1 { �r0=4 ¬; 2 { �r0=8 ¬á 樫¨¤à . �®ª § ®, çâ® íä䥪âë ¢§ ¨¬®¤¥©-á⢨ï 樫¨¤à á ã¯à㣨¬ ¯®«ã¯à®áâà á⢮¬ ¨á«®¥¬ ¦¨¤ª®á⨠¨£à îâ áãé¥á⢥ãî à®«ì ¯à¨à áç¥â å ª®áâàãªæ¨© (¬®àáª¨å £à ¢¨â 樮ë寫 âä®à¬) ¥áâ 樮 àë¥ ¢®§¤¥©á⢨ï.� §à ¡®â ¬¥â®¤¨ª à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ ¢ á«ãç ¥ãç¥â ¨§£¨¡ëå ª®«¥¡ ¨© 樫¨¤à ¢ á«®¥ ¦¨¤ª®-á⨠ã¯à㣮¬ ¯®«ã¯à®áâà á⢥.��������������¢â®à ¡« £®¤ à¨â ª ¤¥¬¨ª ��� �ªà ¨ë�. �. �à¨ç¥ª® § ¢¨¬ ¨¥ ª à ¡®â¥, æ¥ë¥ § -¬¥ç ¨ï ¨ ᮢ¥âë, ª®â®àë¥ ¡ë«¨ ¤ ë ¯à¨ ¯®¤£®-⮢ª¥ áâ âì¨.1. �¥©¨ �. �. �®«¥¡ ¨ï ª®áâàãªæ¨© £¨¤à®á®®àã-¦¥¨© ¢ ¦¨¤ª®áâ¨.{ �.: �¥à£¨ï, 1967.{ 314 á.2. �ã«ì¬ �. �. � áç¥âë ᥩᬮá⮩ª®á⨠£¨¤à®-á®®à㦥¨© á ãç¥â®¬ ¢«¨ï¨ï ¢®¤®© á।ë.{ �.:�¥à£¨ï, 1976.{ 336 á.3. Junger M., Feit D. Sound, structures and theirinteraction.{ MIT: Cambridge, 1972.{ 448 p.4. �¨«¥ª® �. �., � ¯ãáâï᪨© �. � �§ ¨¬®¤¥©-á⢨¥ ᥩᬨç¥áª¨å ¢®« á ¬®à᪮© áâ 樮 ன¯« âä®à¬®© ¢ 襫ì䮢®© §®¥ // �¥©á¬®á⮩ª®¥áâநâ.{ 1998.{ N 6.{ �. 5{6.5. �ëåâ �. �. �¥â®¤ ¨â¥£à «ìëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨©¢ ¢®«®¢ëå § ¤ ç å £¨¤à® ªãá⨪¨.{ �.: � ãª. ¤ã¬-ª , 1981.{ 286 á.6. �¥©¬®¢ �. �., �ମ«¥ª® �. �., � ©æ¥¢ �. �.�¥®á¥á¨¬¬¥âà¨çë¥ ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨¥ ¨ ¥áâ 樮 à-ë¥ ª®«¥¡ ¨ï ªà㣫®£® èâ ¬¯ ã¯à㣮¬ ¯®«ã-¯à®áâà á⢥ // �ਪ«. ¬¥å.{ 1997.{ 33, N 5.{ �. 41{48.7. Silverberg M. An e�cient method for numericalLaplace fransform inversion based on error control //IEEE Int. Conv. Rec.{ 1967.{ 15, N 5.{ P. 117{120.8. �¥©¬®¢ �. �. �¨ ¬¨ç¥áª¨¥ ª®â ªâë¥ § ¤ ç¨.{�.: � ãª. ¤ã¬ª , 1976.{ 284 á.68 �. �. �¥©¬®¢
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1166 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-7507 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:38:17Z |
| publishDate | 1999 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Сеймов, В.М. 2008-07-23T13:54:20Z 2008-07-23T13:54:20Z 1999 Нестационарные контактные задачи для цилиндра в слое жидкости на твердом полупространстве / В. М. Сеймов // Акуст. вісн. — 1999. — Т. 2, N 4. — С. 58-68 — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1166 539.3 Рассмотрена нестационарная задача для цилиндра, взаимодействующего со слоем сжимаемой жидкости и упругим полупространством при силовых или кинематических граничных условиях. Решена система дифференциальных уравнений, описывающих волновые процессы в слое жидкости и упругом полупространстве, изгибные колебания цилиндра. Использованы методы интегральных преобразований Лапласа и Ханкеля, ортогональных многочленов, координатных функций, коллокаций. В области изображений Лапласа задачи сведены к системе алгебраических уравнений. Обращение выполнено численно с помощью интеграла Фурье. Получены решения гармонических и нестационарных задач о горизонтальных и угловых колебаниях жесткого цилиндра и изгибных колебаниях упругого цилиндра. Для случая горизонтальных колебаний жесткого цилиндра под действием горизонтальных силы проведен численный анализ. Выявлены зависимости реакции основания, перемещения и равнодействующей гидродинамического давления на цилиндр от времени при нестационарных воздействиях. Установлена зависимость искомых функций от высоты слоя жидкости и массы цилиндра. Задачи представляют интерес при исследованиях и расчетах колебаний морских платформ под действием волновых, ледовых и сейсмических нагрузок. Розглянуто нестаціонарну задачу для циліндра, що взаємодіє з шаром стисливої рідини та пружним півпростором при силових або кінематичних граничних умовах. Розв'язано систему диференційних рівнянь, які описують хвильові процеси у шарі рідини та пружньому напівпросторі, згинні коливання циліндра. Використано методи інтегральних перетворень Лапласа і Ханкеля, ортогональних поліномів, координатних функцій, колокацій. В області зображень Лапласа задачі зведено до системи алгебраїчних рівнянь. Обернення виконано чисельно за допомогою інтеграла Фур'є. Отримано рішення гармонічних і нестаціонарних задач для горизонтальних та кутових коливань жорсткого циліндра та згинних коливань пружного циліндра. Для випадку горизонтальних коливань жорсткого циліндра під дією горизонтальної сили проведено чисельний аналіз. Виявлено залежність реакції основи, переміщення і рівнодійної гідродинамічного тиску на циліндр від часу при нестаціонарних навантаженнях. Встановлено залежність шуканих функцій від висоти шару рідини та маси циліндра. Задачі становлять інтерес при дослідженнях і розрахунках коливань морських платформ під дією хвильових, льодових і сейсмічних навантажень. Nonstationary problem for the cylinder interacting with layer of compressible liquid and elastic halfspace under dynamic or kinematic loadings is considered. The system of differential equation is solved that describes the wave processes in liquid layer and elastic halfspace, and the bending vibration of the cylinder. Method of integral transforms (Laplace on time, and Hankel on radial coordinate), method of orthogonal polynomials, method of coordinate functions, and method of collocations are used. In the domain of the Laplace images the problem is reduced to a system of algebraic equations. The Laplace transform inversion is made numerically by means of the Fourier integral. The solutions are obtained for harmonic nonstationary problems on horizontal and angular vibration of rigid cylinder, and on bending vibration elastic cylinder. Numerical analysis is made for case of horizontal vibration of rigid cylinder undergoing the action of horizontal force. There are detected the time dependences of reaction of foundation, displacement and hydrodynamic pressure on the cylinder at nonstationary loading. The dependence of desired functions from the height of liguid layer and mass of the cylinder is established. The considered problems are of interest at studying and calculation of oscillations of a gravitational offshore platforms undergoing the wave, ice, and seismic loading. ru Інститут гідромеханіки НАН України Нестационарные контактные задачи для цилиндра в слое жидкости на твердом полупространстве Non-stationary contact problems for the cylinder in fluid layer on a solid half-space Article published earlier |
| spellingShingle | Нестационарные контактные задачи для цилиндра в слое жидкости на твердом полупространстве Сеймов, В.М. |
| title | Нестационарные контактные задачи для цилиндра в слое жидкости на твердом полупространстве |
| title_alt | Non-stationary contact problems for the cylinder in fluid layer on a solid half-space |
| title_full | Нестационарные контактные задачи для цилиндра в слое жидкости на твердом полупространстве |
| title_fullStr | Нестационарные контактные задачи для цилиндра в слое жидкости на твердом полупространстве |
| title_full_unstemmed | Нестационарные контактные задачи для цилиндра в слое жидкости на твердом полупространстве |
| title_short | Нестационарные контактные задачи для цилиндра в слое жидкости на твердом полупространстве |
| title_sort | нестационарные контактные задачи для цилиндра в слое жидкости на твердом полупространстве |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1166 |
| work_keys_str_mv | AT seimovvm nestacionarnyekontaktnyezadačidlâcilindravsloežidkostinatverdompoluprostranstve AT seimovvm nonstationarycontactproblemsforthecylinderinfluidlayeronasolidhalfspace |