О нелинейно упругой волне Стоунли
Запропоновано нові нелінійні рівняння, які описують поширення плоских хвиль вздовж площини розділу двох півпросторів з відмінними густинами та пружними властивостями (поверхневих хвиль Стоунлі). Нелінійність введенo через п’ятиконстантний потенціал Мурнагана, що включає як геометричну, так і фізичну...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Прикладная механика |
|---|---|
| Datum: | 2014 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2014
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116608 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О нелинейно упругой волне Стоунли / Я.Я. Рущицкий // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 6. — С. 39-54. — Бібліогр.: 39 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860246606583955456 |
|---|---|
| author | Рущицкий, Я.Я. |
| author_facet | Рущицкий, Я.Я. |
| citation_txt | О нелинейно упругой волне Стоунли / Я.Я. Рущицкий // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 6. — С. 39-54. — Бібліогр.: 39 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладная механика |
| description | Запропоновано нові нелінійні рівняння, які описують поширення плоских хвиль вздовж площини розділу двох півпросторів з відмінними густинами та пружними властивостями (поверхневих хвиль Стоунлі). Нелінійність введенo через п’ятиконстантний потенціал Мурнагана, що включає як геометричну, так і фізичну нелінійності. Методом послідовних наближень в рамках перших двох наближень отримано розв‘язок нелінійних хвильових рівнянь, що включає другі гармоніки.
The new nonlinear wave equations, describing the propagation of the surface wave along the interface of two half-spaces with differing densities and elastic properties (the Stoneley wave), are proposed. The nonlinearity is introduced by the five-constant Murnaghan potential, which includes both the geometrical and the physical nonlinearities. The solution of nonlinear equations is obtained by the method of successive approximations within the framework of two first approximations. This solution includes the second harmonics.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:37:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
2014 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 50, № 6
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2014, 50, №6 39
Я .Я . Р ущ и ц к и й
О НЕЛИНЕЙНО УПРУГОЙ ВОЛНЕ СТОУНЛИ
Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова 3, 03057, Киев, Украина;
e-mail: rushch@inmech.kiev.ua
Abstract. The new nonlinear wave equations, describing the propagation of the surface
wave along the interface of two half-spaces with differing densities and elastic properties (the
Stoneley wave), are proposed. The nonlinearity is introduced by the five-constant Murnaghan
potential, which includes both the geometrical and the physical nonlinearities. The solution
of nonlinear equations is obtained by the method of successive approximations within the
framework of two first approximations. This solution includes the second harmonics.
Key words: Stoneley wave, elastic wave, Murnaghan elastic potential, nonlinear
Stoneley wave equation, method of successive approximations, the second approximation.
Введение.
Задача о поверхностной волне, распространяющейся вдоль плоскости раздела
двух соединённых между собой упругих полупространств, является классической за-
дачей динамической линейной теории упругости. Считается, что впервые решение
этой задачи было дано Стоунли в публикации 1924 г. [38]. Впоследствии волны вдоль
границы раздела (не только плоской, но и цилиндрической, сферической и т.д.) двух
упругих тел получили название волн Стоунли. Эти волны исследуются до сих пор с
привлечением различных усложняющих факторов. Особенно популярны прикладные
исследования в области геофизики [7, 8, 10, 17, 18, 21, 22, 24, 25, 36, 37, 39]. Доста-
точно полное представление о публикациях, посвященных волнам Стоунли, можно
составить по информации в основных мировых базах научных данных. Например, по
ключевому слову “Stoneley wave” база данных Google дает 52800 источников.
Упругие гармонические волны составляют крупный фрагмент как линейной, так и
нелинейной теории упругости [1 – 6, 11 – 16, 19, 20, 26, 27, 30, 35 и др.]. Первоначаль-
но исследовались так называемые свободные волны, распространяющиеся в беско-
нечном упругом пространстве и которые как-бы генерируются начально на бесконеч-
ности и уходят в бесконечность. Сюда относятся, прежде всего, плоские упругие гар-
монические волны. Далее изучались волны с криволинейными профилями (цилиндри-
ческие, сферические и т.д.), где уже присутствует криволинейная граница, на которой
начально генерируются волны, распространяющиеся далее от границы в бесконеч-
ность. Поверхностные волны представляют собой следующую, третью, группу по
сложности теоретического анализа. Необходимый здесь учет влияния границы раздела
и условие быстрого затухания амплитуд волн при отходе от границы имеет следстви-
ем более сложную волновую картину.
Внутренняя логика развития теории упругости диктовала, по крайней мере, три на-
правления последующих исследований упругих волн. Первое направление состоит в
усложнении модели упругого деформирования (прежде всего, здесь следует отметить
переход от структурной модели первого порядка, соответствующей линейной теории
упругости, к структурным моделям второго порядка – микрополярным моделям, мо-
40
дели упругой смеси, микроморфной модели и т.п.) [4]. Второе направление включает
учет начальных напряжений [3], что невозможно в рамках линейной теории и что
имеет многочисленные приложения. Третье направление ассоциируется с полным
учетом нелинейности процесса деформирования и состоит из различных под-
направлений, часть из которых чисто теоретическая, тогда как иная часть более при-
кладная. Из чисто теоретических поднаправлений можно выделить московское, тал-
линнское, нижегородское и киевское [33, 35]. Приведенный далее в статье анализ не-
линейной волны Стоунли относится к четвертому поднаправлению. Он основан на
введении в модель упругого деформирования нелинейности, которая описывается не-
линейным тензором деформации Коши – Грина и упругим потенциалом Мурнагана,
учитывающим как геометрическую, так и физическую нелинейности.
§1. Линейный анализ волны Стоунли.
Рассмотрим сначала основные моменты классического линейного анализа поверх-
ностной волны Стоунли, распространяющейся вдоль поверхности раздела между
двумя упругими телами. Ограничимся удобным для аналитического рассмотрения
случаем, когда два упругих полупространства с различающимися плотностью и меха-
ническими свойствами разделены плоскостью и соединены согласно условию полно-
го механического контакта. Также выберем декартовы координаты 1 2 3Ox x x и предпо-
ложим, что плоскость раздела является координатной плоскостью и описывается
уравнением 3 0x . Приведем далее анализ случая плоской деформации изотропного
материала, полагая механическое состояние не зависимым от координаты 2x и отсутст-
вие горизонтального поперечного перемещения 2u . Тогда задача сводится к анализу
двух полуплоскостей (верхней и нижней) с прямой линией раздела. На этом геомет-
рическая часть постановки задачи о волне Стоунли заканчивается.
Механическая часть состоит в использовании основных уравнений линейной тео-
рии упругости (уравнений Ляме) для рассматриваемого случая отсутствия горизон-
тальных поперечных перемещений
1 1,11 3,13 1,33
3 3,33 1,13 3,11
2 0;
2 0.
u u u u
u u u u
(1)
Далее рассматривается решение уравнений (1) в виде волны (волны Стоунли), ко-
торая распространяется вдоль линии раздела в направлении оси абсцисс 1Ox и затуха-
ет при удалении от оси аппликат 3Ox как вверх (в положительном направлении), так
и вниз (в отрицательном направлении). При этом должны выполняться геометриче-
ские (прямая линия раздела разграничивает две упругие полуплоскости с различаю-
щимися свойствами) и граничные условия (перемещения и напряжения непрерывны
при переходе через линию раздела).
Как правило, уравнения (1) не решают прямо, а вводят сначала две скалярные
функции-потенциалы 1 3 1 3( , , ), ( , , )x x t x x t по закону
1 1 3 3 1 3
1 3 3 1
( , , ) , ( , , ) .u x x t u x x t
x x x x
(2)
Тогда взаимосвязанная система уравнений (1) относительно продольного и верти-
кального поперечного перемещений преобразуется в два линейных независимых вол-
новых уравнения относительно потенциалов
2 2 2 2 2 20, 0L Tc t c t . (3)
41
Здесь обозначения стандартные: 2Lc – фазовая скорость продольной
волны, Tc – фазовая скорость продольной волны; , – упругие постоянные
Ляме; – плотность.
На следующем шаге волновые уравнения (3) решаются раздельно для верхней и
нижней полуплоскостей и поэтому решения ищутся в виде гармонической волны с
различающимися амплитудами в областях, примыкающих к линии раздела,
1 1( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
1 3 3 1 3 3( , , ) ( ) , ( , , ) ( )S Si k x t i k x tB H B H B H B Hx x t A x e x x t A x e
, (4)
где для верхней полуплоскости использован индекс В (верхняя), для нижней полу-
плоскости – индекс Н (нижняя), четыре амплитуды ( ) ( )
3 3( ), ( )B H B HA x A x должны вы-
полнять условия затухания с увеличением расстояния 3x от линии раздела, а волно-
вое число S Sk v (как и амплитуды) должно быть определено из дополнительных
рассуждений.
Подстановка представлений (4) в волновые уравнения (3) приводит к четырем не-
зависимым обыкновенным дифференциальным уравнениям второго порядка с посто-
янными коэффициентами относительно амплитуд ( ) ( )
3 3( ), ( )B H B HA x A x
2 22 2
2 22 2
0, 0;
0, 0.
B B B B B B
S L S T
H H H H H H
S L S T
A k k A A k k A
A k k A A k k A
(5)
В этих уравнениях волновое число волны Стоунли Sk неизвестно. По условиям, ко-
торые характеризуют волну Стоунли, волна должна быть поверхностной, т.е. затухать
при отходе от линии раздела вверх или вниз. Поэтому решения уравнений (5) должны
быть затухающими функциями и поскольку это экспоненциальные функции вида
2 22 2
3 3
2 22 2
3 3
( )
3 3
3 3
( ) ; ( ) ;
( ) ; ( )
B B
S L S T
H H
S L S T
k k x k k xB B B B H
k k x k k xH H H H
A x A e A x A e
A x A e A x A e
(6)
с неизвестными постоянными множителями ( ) ( ),B H B HA A
, то коэффициенты в урав-
нениях (5) должны удовлетворять условиям затухания
2 22 2( ) ( )0, 0B H B H
S SL Tk k k k (7)
или
2 22 2( ) ( ) ( ) ( )1 0; 1 0.B H B H B H B H
S SL L T Tv v v v
(8)
Теперь можно записать представление волны Стоунли через потенциалы, объеди-
нив формулы (4), (6) и (8),
22
3 1 3 1( ) ( )
1 3( , , ) ;
B BS L S L S
k k x i k x t x i k x tB B Bx x t A e e A e e
22
3 1 3 1( ) ( )
1 3( , , ) ;
B BS T S T S
k k x i k x t x i k x tB B Bx x t A e e A e e
42
22
3 1 3 1( ) ( )
1 3( , , ) ;
H HS L S L S
k k x i k x t x i k x tH H Hx x t A e e A e e
22
3 1 3 1( ) ( )
1 3( , , ) .
H HS T S T S
k k x i k x t x i k x tH H Hx x t A e e A e e
(9)
Далее для удобства запишем еще представление волны Стоунли через перемеще-
ния, использовав для этого формулы (2)
3 1 3 1( ) ( )
1 1 3( , , )
B B
L S T Sx i k x t x i k x tB B B B
S Tu x x t A ik e e A e e
; (10)
3 1 3 1( ) ( )
3 1 3( , , )
B B
L S T Sx i k x t x i k x tB B B B
L Su x x t A e e ik A e e
; (11)
3 1 3 1( ) ( )
1 1 3( , , )
H H
L S T Sx i k x t x i k x tH H H H
S Tu x x t A ik e e A e e
; (12)
3 1 3 1( ) ( )
3 1 3( , , )
H H
L S T Sx i k x t x i k x tH H H H
L Su x x t A e e ik A e e
. (13)
Заметим, что выражения (10) – (13) включают пять неизвестных величин – четыре
амплитудные множители ( ) ( ),B H B HA A
и волновое число Sk . Для их определения ис-
пользуются четыре граничные условия
1 1 1 1 3 1 3 1
33 1 33 1 31 1 31 1
,0, ,0, ; ,0, ,0, ;
( ,0, ) ( ,0, ); ( ,0, ) ( ,0, ).
B H B H
B H B H
u x t u x t u x t u x t
x t x t x t x t
(14)
Для вычисления напряжений через перемещения используются линейные соотно-
шения Коши
( ) ( ) ( )
, ,1 2B H B H B H
ik i k k iu u (15)
и линейный закон Гука
( ) ( )( ) 2B H B HB H
ii ikik ik . (16)
В итоге напряжения представляются в виде
22
3
22
3 1
2 22 2
3 3
22
22 ( )
33
22 2
2
B
S L
B
S T S
B B
S L S T
k k xB B
S L
B B
k k x i k x tB B B
S S T
k k x k k xB B B
B S S S T
k k A e
eik k k A e
A k e A ik k k e
;
(17)
22
3
22
3 1
2 22 2
3 3
22
22 ( )
33
22 2
2
H
S L
H
S T S
H H
S L S T
k k xH H
S L
H H
k k x i k x tH H B
S S T
k k x k k xH H H
H S S S T
k k A e
eik k k A e
A k e A ik k k e
;
(18)
43
22
3
1
22
3
22
( )
31
22
2
2
B
S L
S
B
S T
k k xB B
S S L
i k x tB
B
k k xB B
S T
A ik k k e
e
A k k e
; (19)
22
3
1
22
3
22
( )
31
22
2
2
H
S L
S
H
S T
k k xH H
S S L
i k x tH
H
k k xH H
S T
A ik k k e
e
A k k e
. (20)
Представления (10) – (13) и (17) – (20) позволяют записать граничные условия
(14) в виде
2 22 2
2 22 2
0;
0;
B B B H H H
S S T S S T
B B B H H H
S L S S L S
A ik A k k A ik e A k k
k k A ik A k k A ik A
2 22 2
2 22 2
2 2
2 2 0;
B B B B
B S S L B S T
H H H H
H S S L H S T
A i k k k A k k
A i k k k A k k
(21)
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 1 2 2 1 0S S S SB B H H
B B H H
B B H H
T T T T
v v v v
A A i A A i
v v v v
.
Однородная система четырех линейных алгебраических уравнений (19) имеет не-
тривиальное решение, если ее детерминант равен нулю. Для компактности записи де-
терминанта лучше перейти к фазовым скоростям v k
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1
1 1
2 2
2 1 2 1
2 2
1 2 1
S S
B H
T T
S S
B H
L L
S S S SB B H H
B B B B H H H H
T T T T T T T T
S S SB B H H
B B B B H H
T L T T T L
v v
i i
v v
v v
i i
v v
v v v vi i
v v v v v v v v
v v vi i
v v v v v v
2
2 2
0
2 S
H H
T T
v
v v
.
(22)
44
Здесь уместно вспомнить, что задача о волне Стоунли в определенном смысле яв-
ляется обобщением задачи о волне Рэлея (волна Стоунли – поверхностная волна вдоль
границы между двумя полупространствами, волна Рэлея – вдоль свободной границы
одного полупространства). Поэтому полезно иногда их сравнивать. Сравнение полу-
ченного из граничных условий уравнения для определения фазовой скорости волны
Рэлея (оно имеет название уравнения Рэлея) с уравнением (22) показывает, что волна
Стоунли, как и волна Рэлея, является недисперсионной волной, поскольку ее скорость
не зависит от волнового числа, а зависит лишь от исходных параметров задачи (фазо-
вых скоростей плоских волн в полупространствах) и при заданных параметрах явля-
ется постоянной величиной.
Уравнение Стоунли (22), как и уравнение Рэлея, является уравнением относи-
тельно квадрата фазовой скорости и включает корни (иррациональности)
22( ) ( )
( ) ( )1B H B H
SL T L TK v v
. (23)
В обозначениях (23) классическое представление Стоунли уравнения (22) имеет
вид
2 2 2 22 2
2 2 2 22 2
02 2 2 2
2 2 2 2
B H
T T
B H
L L
B B B H H H
B T S B T T H T S H T T
B B B H H H
B T L B T S H T L H T S
i K i K
K i K i
v v i v K v v i v K
i v K v v i v K v v
или
4 2
2 22
22 2
4
4 1 1 0
B H B H
S B H H L B L H T B T
B H B B H H
S B T H T H B H L T B L T
H B H H B B
H T B T L T L T
v K K K K
v v v K K K K
v v K K K K
(24)
или
2 22 22
4
2 22 2
1 1
1 1
B H
B H H S L B S L
S
B H
H S T B S T
v v v v
v
v v v v
2 22 2
2 22
2 22 2
1 1
4
1 1
B B
H B H S L S T
B H
S B T H T
H H
B S L S T
v v v v
v v v
v v v v
+
22 2 2 22 2
4 1 1 1H B H H
H T B T S L S Tv v v v v v
45
2 22 2
1 1 1 0.B B
S L S Tv v v v
(25)
Полагается понятным, что существование как волны Рэлея, так и волны Стоунли
эквивалентно существованию действительного корня уравнения Рэлея и уравнения
Стоунли (22). Напомним, что уравнение Рэлея следует из уравнения Стоунли при
предположении, что 0H
2 42 4 2
4 4 1 0B B B B
S S S T T L TR v v v v v K K .
Уравнение Стоунли (22) классифицируется как имеющее действительный корень
лишь при определенных ограничениях на свойства упругих полуплоскостей. К приме-
ру, Стоунли и его последователи исследуют случай ограничения, которое называют
условиями Вайхерта для поверхности разрыва земной коры – условиями равенства
продольных и поперечных плоских волн в упругих полуплоскостях
,B H B H
L L L T T Tv v v v v v . (26)
Из условий (26) следует, что
,B H B H
L L L T T TK K K K K K . (27)
При этих ограничениях и в новых обозначениях
2 2 2 22 0, 0 1S T T LV v v v v
уравнение Стоунли (22) принимает вид
2 22 4
2 22 24 1 2 0.
B H H B L T
B H L T L T
S V V K K
V V K K K K
(28)
Классический способ доказательства существования действительного корня урав-
нения (28) состоит в определении интервала, на котором функция 2S V изменяет
знак.
Оказывается, что таким интервалом может быть интервал 0;1 –
21 0B HS и 20 1 0B HS K K .
Таким образом, при условиях Вайхеpта действительный корень уравнения Стоун-
ли существует и фазовая скорость волны Стоунли меньше фазовой скорости попереч-
ной волны 2 221 0S TV v v .
§2. Нелинейный анализ волны Стоунли.
Настоящий подход основывается на введении нелинейности деформирования
обеих полуплоскостей посредством нелинейного тензора деформации Коши – Грина
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, , , ,
1
2
B H B H B H B H B H
nm n m m n n i i mu u u u ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
11 1,1 1,1 1,1 1,3 3,1
1
2
B H B H B H B H B H B Hu u u u u ;
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
33 3,3 3,1 1,3 3,3 3,3
1
2
B H B H B H B H B H B Hu u u u u ; (29)
13 1,3 3,1 1,1 1,3 1,3 3,3 1,3 3,1 1,3 1,1 3,3
1 1
2 2
u u u u u u u u u u u ;
46
31 3,1 1,3 3,1 1,1 3,3 3,1 1,3 3,1 3,1 1,1 3,3
1 1
2 2
u u u u u u u u u u u
и потенциала Мурнагана [23, 35]
2 2( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) 11 11 33 331 2 2B H B H B H B HB H
B HW
2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )
( ) 11 33 13 31
B H B H B H B H
B H
( )1 3 B HA (30)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
11 11 11 11 13 13 13 11 31 13 13 33
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
13 31 11 13 33 13 33 31 31 33 33 33
B H B H B H B H B H B H B H B H B H B H B H B H
B H B H B H B H B H B H B H B H B H B H B H B H
2 2 2 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
11 33 11 33 13 31 11 331 3B H B H B H B H B H B H B H B HB C
,
где ( ) ( ),B H B H – упругие постоянные второго порядка (постоянные Ляме),
( ) ( ), ,B H B HA B ( )B HC – упругие постоянные третьего порядка (постоянные Мурнагана).
Далее дополнительно принято, что запись потенциала Мурнагана включает толь-
ко квадратично нелинейные составляющие градиентов деформации [33, 35]
2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )1,1 3,3 1,1 3,3 1,3 3,1
1 1
2 2
B H B H B H B H B H B HB H
B H B HW u u u u u u
2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )1,1 3,3 1,1 3,3 1,1 3,3 1,3 3,1
1
2
2
B H B H B H B H B H B H B H B H
B H B Hu u u u u u u u
3 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1,1 3,3 1,1 3,3 1,3 3,1 1,1 3,3
1
2
2
B H B H B H B H B H B H B H B Hu u u u u u u u
2 2( ) ( )
1,3 3,1
B H B Hu u
+
3 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) 1,1 3,3 1,3 3,1 1,1 3,3
1 3
3 4
B H B H B H B H B H B H
B HA u u u u u u
(31)
2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) 1,1 3,3 1,1 3,3 1,3 3,1
B H B H B H B H B H B H
B HB u u u u u u
3( ) ( )
( ) 1,1 3,3
1
3
B H B H
B HC u u .
Уравнения движения записываются через несимметричный тензор напряжений
Кирхгоффа ( )B H
nmt
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )11,1 31,3 1 13,1 33,3 3;B H B H B H B H B H B H
B H B Ht t u t t u . (32)
Компоненты тензора Кирхгоффа определяются по формуле
( )
( )
( )
,
B H
B H
nm B H
m n
W
t
u
47
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )11 1,1 1,1 3,3 1,1
2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) 1,1 1,3 3,1 1,1 3,3
2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) 1,1 1,3 3,1 1,3 3,1
2( )
( ) 1,1
2
1
2
1
3
2
1
B H B H B H B H B HB H
B H B H
B H B H B H B H B H
B H
B H B H B H B H B H
B H
B H
B H
t W u u u u
u u u u u
u u u u u
A u
2( ) ( )
1,3 3,14
B H B Hu u
2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) 1,1 1,1 3,3 3,3 1,3 3,1
2 2( ) ( ) ( ) ( )
( ) 1,1 3,3 1,1 3,3
3 2
2 ;
B H B H B H B H B H B H
B H
B H B H B H B H
B H
B u u u u u u
C u u u u
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )33 3,3 1,1 3,3 3,3
2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )3,3 1,3 3,1 1,1 3,3
2
1
2
B H B H B H B H B HB H
B H B H
B H B H B H B H B H
B H B H
t W u u u u
u u u u u
(33)
2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )3,3 1,3 3,1 1,3 3,1 3,3 1,3 3,1
1 1
3
2 4
B H B H B H B H B H B H B H B H
B Hu u u u u A u u u
2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) 1,1 1,1 3,3 3,3 1,3 3,1
2 2( ) ( ) ( ) ( )
( ) 1,1 3,3 1,1 3,3
2 3
2 ;
B H B H B H B H B H B H
B H
B H B H B H B H
B H
B u u u u u u
C u u u u
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )13 1,3 3,1 1,1 3,3 3,1
B H B H B H B H B H B H
B H B Ht u u u u u
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 1,1 3,3 1,3 3,12B H B H B H B H
B H u u u u
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )1,1 3,3 1,3 3,1 1,1 3,3 1,3 3,1
1
2 ;
4
B H B H B H B H B H B H B H B H
B H B HA u u u u B u u u u
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )31 1,3 3,1 1,1 3,3 1,3
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 1,1 3,3 1,3 3,12
B H B H B H B H B H B H
B H B H
B H B H B H B H
B H
t u u u u u
u u u u
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )1,1 3,3 1,3 3,1 1,1 3,3 1,3 3,1
1
2
4
B H B H B H B H B H B H B H B H
B H B HA u u u u B u u u u .
Подстановка соотношений (33) в уравнения (32) дает два нелинейные уравнения
движения в перемещениях
( ) 1 ( ) ( ) 1,11 ( ) ( ) 3,13 ( ) 1,332B H B H B H B H B H B Hu u u u
48
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1,1 1,113 2 2 3 B H B H
B H B H B H B H B HA B C u u
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 1,3 1,13 3,1 1,13
3
3 4
4
B H B H B H B H
B H B H B H B HA B u u u u
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,3 3,11 3,1 3,11
1 1
2 2 2
2 2
B H B H B H B H
B H B H B H B H B H B H B HA B u u A B u u
(34)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3,3 3,13 1,1 3,13
1
4 2
4
B H B H B H B H
B H B H B H B H B HA B C u u u u
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 1,1 1,33 3,3 1,33 1,3 3,33
1
2 2
4
B H B H B H B H B H B H
B H B H B H B HA B u u u u u u
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3,1 3,33 3,3 1,11
1
2 2 2
4
B H B H B H B H
B H B H B H B H B H B HA B u u B C u u
;
( ) 3 ( ) ( ) 3,33 ( ) ( ) 1,31 ( ) 3,112B H B H B H B H B H B Hu u u u
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3,3 3,333 2 2 3 B H B H
B H B H B H B H B HA B C u u
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 1,3 3,31 3,1 3,31
3
3 4
4
B H B H B H B H
B H B H B H B HA B u u u u
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3,1 1,33 1,3 1,33
1 1
2 2 2
2 2
B H B H B H B H
B H B H B H B H B H B H B HA B u u A B u u
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1,1 1,31 3,3 1,31
1
4 2
4
B H B H B H B H
B H B H B H B H B HA B C u u u u
(35)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 3,3 3,11 1,1 3,11 3,1 1,11
1
2 2
4
B H B H B H B H B H B H
B H B H B H B HA B u u u u u u
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,3 1,11 1,1 3,33
1
2 2 2
4
B H B H B H B H
B H B H B H B H B H B HA B u u B C u u
.
Уравнения (34), (35) получены с учетом геометрической (посредством нелиней-
ных представлений зависимости деформаций от перемещений (29), допускающих не
только обязательные для линейной теории бесконечно малые деформации) и физиче-
ской (посредством кубической нелинейности упругого потенциала Мурнагана (30),
соответствующей квадратичной нелинейности в определяющих уравнениях) нелиней-
ностей. Однако существуют ситуации, когда деформирование материала можно счи-
тать только геометрически нелинейным процессом (деформации не бесконечно малые
и определяющие соотношения линейные) или только физически нелинейным процес-
сом (деформации бесконечно малые и определяющие соотношения нелинейные).
Для этих случаев уравнения (34), (35), реализующие общий нелинейный подход
(далее подход 1), могут быть упрощены.
49
В случае подхода 2, когда учитывается геометрическая нелинейность и не учиты-
вается физическая, уравнения (34), (35) имеют вид (далее вторые уравнения не приво-
дятся, поскольку они, как и второе уравнение (35), получаются из первых заменой
индексов 1 3
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1,11 3,13 1,332B H B H B H B H
B H B H B H B H B H B Hu u u u
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 1,1 1,11 3,1 3,11 3,1 3,332 3 B H B H B H B H B H B H
B H B H u u u u u u (36)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) 1,1 1,33 1,3 3,11 1,3 3,33 3,3 1,33
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 1,1 3,13 3,3 3,13
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )1,3 1,33 3,1 1,13 3,3 1,11
2
3 .
B H B H B H B H B H B H B H B H
B H
B H B H B H B H
B H B H
B H B H B H B H B H B H
B H B H B H
u u u u u u u u
u u u u
u u u u u u
В случае подхода 3, когда учитывается физическая нелинейность и не учитывает-
ся геометрическая, первое уравнение имеет вид
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1,11 3,13 1,332B H B H B H B H
B H B H B H B H B H B Hu u u u (37)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,1 1,11 1,1 1,33
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1,3 3,33 3,3 1,33 1,3 1,33 3,1 1,13 3,1 3,11 3,1 3,33
2 3 1 2
2 2
B H B H B H B H
B H B H B H B H B H
B H B H B H B H B H B H B H B H B H B H B H B H
A B C u u A B u u
u u u u u u u u u u u u
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 1,1 3,13 3,3 3,13
( ) ( )
( ) ( ) 3,3 1,11
1 2 3 2
2 .
B H B H B H B H
B H B H B H
B H B H
B H B H
A B C u u u u
B C u u
Пожалуй, самые важные новые качества полученных нелинейных уравнений со-
стоят в их нелинейности и взаимосвязанности (линейные уравнения (1) невзаимосвя-
заны).
В уравнениях (34) – (37) линейные составляющие записаны в левых частях урав-
нений, тогда как правые части включают лишь квадратично нелинейные составляю-
щие одинаковой структуры – произведения первой производной на вторую производ-
ную. Каждое уравнение содержит 12 нелинейных составляющих. Такие составляющие
в первом и втором уравнениях не совпадают, поэтому их общее число составляет 24
(четыре варианта первых производных, умноженные на шесть вариантов вторых про-
изводных).
Напомним, что в случае зависимости компонентов перемещений от одной пере-
менной (случай, характерный для плоских волн) три уравнения движения в переме-
щениях включают только три различающиеся нелинейные составляющие) [4, 9, 32,
35].
Следует также отметить, что значительное увеличение количества нелинейных
составляющих было ранее зафиксировано при исследовании цилиндрических волн
разных типов [28, 29, 35].
Введем потенциалы (2)
( ) ( ) ( )
1 3 1 3 1 31 ,1 ,3
( ) ( ) ( )
1 3 1 3 1 33 ,3 ,1
, , , , , , ;
, , , , , , .
B H B H B H
B H B H B H
u x x t x x t x x t
u x x t x x t x x t
(38)
50
Подставим представление (38) в уравнения (34),(35) и получим систему двух нели-
нейных уравнений относительно потенциалов (показано только первое уравнение,
поскольку здесь сохраняется указанная ранее особенность перехода ко второму урав-
нению путем замены индексов)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,3,1
2B H B H B H B H
B H B H B H B H B H (39)
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,11 ,1113 2 2 3 B H B H
B H B H B H B H B HA B C
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,11 ,133 ,33 ,1332 3 4 2 B H B H B H B H
B H B H B H B H B HA B C
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ,13 ,113 ,13 ,333
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ,33 ,111
3 2 3
2
B H B H B H B H
B H B H B H B H
B H B H
B H B H B H
A B
B C
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ,11 ,111 ,33 ,1332 1 2 B H B H B H B H
B H B H B H B HA B
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ,11 ,133 ,33 ,111
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ,13 ,113
1 2
2 3 2
B H B H B H B H
B H B H B H
B H B H
B H B H B H B H
A B
A B
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ,11 ,113 ,33 ,113
( ) ( ) ( ) ( ) ,11 ,333 ,33 ,333 ,33 ,333
( ) ( ) ( ) ( ) ,13 ,111 ,13 ,133 ,13 ,111
( )
2 5 3 1 2
2 1 2
3 2 2
1
B H B H B H B H
B H B H B H B H
B H B H B H B H
B H B H B H B H
B H
A B
A B
A B
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ,33 ,113 ,11 ,333
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ,11 ,113
2
4 3 1 2 .
B H B H B H B H
B H B H
B H B H
B H B H B H B H
A B
A B
Далее выбран подход 2 как более простой в записи
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,3,1
2B H B H B H B H
B H B H B H B H B H
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ,11 ,111 ,11 ,133 ,33 ,111
( ) ( ) ,11 ,133 ,33 ,133
( ) ( ) ,13 ,113 ,13 ,113 ,13 ,333
( ) ( )
( ) ( ) ,11 ,111 ,33 ,133,33 ,111
( 2 ) 3
(2 3 )
( 3 ) 3 2
;
B H B H B H B H B H B H
B H B H
B H B H
B H B H
B H B H
B H B H
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,1,3
2B H B H B H B H
B H B H B H B H B H (40)
51
( ) ( ) ,11 ,113 ,33 ,113
( ) ( ) ,13 ,133 ,13 ,133 ,13 ,111
( ) ( ) ,33 ,333 ,11 ,333 ,33 ,113
( ) ,11 ,333 ( ) ,33 ,333 ,11 ,113
2 3
( 3 ) 3 2
( 2 ) 3
.
B H B H
B H B H
B H B H
B H B H
Применим к анализу уравнений (39), (40) метод последовательных приближений
(т.е. используем опыт анализа плоских нелинейных волн [5, 6, 9, 20, 32]). Решение для
первого (линейного) приближения выберем в виде классического представления волны
Стоунли (9)
22
3 1 3 1( ) ( )(1)
1 3( , , ) ;
B BS L S L S
k k x i k x t x i k x tB B Bx x t A e e A e e
22
3 1 3 1( ) ( )(1)
1 3( , , ) ;
B BS T S T S
k k x i k x t x i k x tB B Bx x t A e e A e e
(41)
22
3 1 3 1
22
3 1 3 1
( ) ( )(1)
1 3
( ) ( )(1)
1 3
( , , ) ;
( , , ) .
H HS L S L S
H HS T S T S
k k x i k x t x i k x tH H H
k k x i k x t x i k x tH H H
x x t A e e A e e
x x t A e e A e e
Итак, в первом приближении потенциалы имеют вид, соответствующий гармони-
ческой волне с частотой и волновым числом k , затухающей по экспоненциально-
му закону при удалении от плоскости 1 0x (разному для верхней и нижней полу-
плоскости).
Уравнения второго приближения можно записать в виде
( )
1
2 2 2( )( )(2) ( )(2) ( )(1)
B H
lini k x tB HB H B H B H
Lk A e
2 2( ) ( )2 2
3 32 2( ) ( )
B H B H
L Tlin link k x k k xB H L B H TM e M e
2( ) 2 2 2
3
( ) ;
B H
L lin Tlink k k k x
B H LTM e
( )
1
2 2 2( )( )(2) ( )(2) ( )(1)
B H
lini k x tB HB H B H B H
Tk i A e
(42)
2 2( ) ( )2 2
3 32 2( ) ( )
B H B H
L Tlin link k x k k xB H L B H TM e M e
2 2( ) ( )2 2
3
( ) .
B H B H
L Tlin link k k k x
B H TLM e
52
( )
( )
2B H L
B H
M
6 4 26 ( ) 2 ( ) 4 ( )
( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 5 12 ;B H B H B H
B H B H B H B Hk k k k k k
( )
( )
2B H T
B H
M
4 6 26 2 ( ) ( ) 4 ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 3 8 ;B H B H B H
B H B H B H B Hk k k k k k
3 2( ) 5 ( ) 5 ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
3 2 33 ( ) 3 ( ) ( ) 3 ( )
( ) ( ) ( ) ( )
3 2 4
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 3
4 2
3 8 4 3 2 5
B H LT B H B H B H B H
B H B H B H
B H
B H B H B H B H
B H B H B H B H
B H B H B H B H B H B H
i
M k k k k k k k
k k k k k k k
k k k kk k kk
2 3 ;k
4 2( ) 2 ( ) 4 ( )
( ) ( ) ( )
( )
4
2 3 ;B H L B H B H
B H B H B H
B H
i
M k k k k
(43)
3( ) 5 ( ) 3 ( )
( ) ( ) ( )
( )
2
2 ;B H T B H B H
B H B H B H
B H
i
M k k k k
( )
( )
2B H TL
B H
M
2 2 36 4 ( ) 4 ( ) ( ) 4 ( ) 3 ( )
( ) ( )2 2 B H B H B H B H B H
B H B H k k k k k k k k k k
4 32 ( ) 2 ( ) ( )
( )
B H B H B H
B H k k k k k
3 2 22 ( ) ( ) 2 ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 5 4 9 .B H B H B H B H
B H B H B H B Hk k k k k k
Подстановка формул (41) в уравнения (42) и последующее решение дают доста-
точно простые представления потенциалов во втором приближении
2 ( )( )(2) ( )(1) 2
1 3 1 3
( ) ( )
( )( )
21 3 ( )( )
2 22( ) ( )( )
1 3
1
, ,
4 2
1
4
B HB H B H
B H B H
B HB H
lin B HB H L
L
B H B HB H
L lin
x x t x x A E
k x ik x
M E
k k x k x
53
21 3 ( )( )
2 22( ) ( )( )
1 3
1
4
lin B HB H T
T
B H B HB H
T lin
k x ik x
M E
k k x k x
(44)
1 3 ( ) ( )( )
2 2 2( )( ) ( ) ( )( ) ( )
1 3
2 41
;
2 16
lin B H B HB H LT
L T
B HB H B H B HB H B H
lin lin
x k k ik x
M E E
k k k x k k k x
2 1 3(2) (1) 2 2
1 3 1 3 2 2 2
1 3
1 1
, ,
4 4
lin L
L
L lin
k x ik x
x x t x x A E M E
k k x k x
1 3 2
2 2 2
1 3
1 3
2 2 2
1 3
1
4
2 41
.
2 16
lin T
T
T lin
lin TL
L T
lin lin
k x ik x
M E
k k x k x
x k k ik x
M E E
k k k x k k k x
(45)
Таким образом, решение в рамках двух первых приближений имеет вид (41), (44),
(45). Характерной нелинейной особенностью является зависимость второго прибли-
жения от квадрата амплитуды и координат, а также присутствие второй гармоники.
Р Е ЗЮМ Е . Запропоновано нові нелінійні рівняння, які описують поширення плоских хвиль
вздовж площини розділу двох півпросторів з відмінними густинами та пружними властивостями
(поверхневих хвиль Стоунлі). Нелінійність введенo через п’ятиконстантний потенціал Мурнагана,
що включає як геометричну, так і фізичну нелінійності. Методом послідовних наближень в рамках
перших двох наближень отримано розв‘язок нелінійних хвильових рівнянь, що включає другі
гармоніки.
1. Викторов И.А. Физические основы применения ультразвукових волн Рэлея и Лэмба в технике. –
М.: Наука, 1966. – 168 с. (Viktorov I.A. Rayleigh and Lamb waves. – New York: Plenum Press, 1967.
– 154 p.)
2. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. – К.: Наук. дум-
ка, 1981. – 284 с.
3. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными (остаточными) напряжениями. – К.: А.С.К., 2004. –
672с.
4. Рущицький Я.Я., Цурпал С.І. Хвилі в матеріалах з мікроструктурою. – К.: Ін-т механіки ім. С.П. Тимошенка, 1998.
– 377 с.
5. Achenbach J. D. Wave propagation in elastic solids. – Amsterdam: North Holland, 1973. – 436 p.
6. Bedford A., Drumheller D.S. Introduction to Elastic Wave Propagation. – Chichester: John Wiley, 1994. –
297 p.
7. Biot M.A. The interaction of Rayleigh and Stoneley waves in the ocean bottom // Bulletin of the Seis-
molog. Society of America. – 1952. – 42, N1. – P. 81 – 93.
8. Cagniard L. Reflection and Refraction of Progressive Seismic Waves. – New York: McGraw-Hill Book
Co., 1962. – 452 p.
9. Cattani C., Rushchitsky J.J. Wavelet and Wave Analysis as applied to Materials with Micro or Nanostruc-
ture. – Singapore-London: World Scientific, 2007. – 466 p.
10. Chapman C.H. Fundamentals of seismic wave propagation. – Cambridge: Cambridge University Press,
2004. – 608 p.
54
11. Drumheller D.S. Introduction to Wave Propagation in Nonlinear Fluids and Solids. – Cambridge: Cam-
bridge University Press, 1998. – 513 p.
12. Fedorov F.I. Theory of Elastic Waves in Crystals. – New York: Plenum Press, 1968. – 388 p.
13. Graff K.F. Wave Motion in Elastic Solids. – Dover: London, 1991. – 300 p.
14. Holzapfel G.A. Nonlinear Solid Mechanics. A Continuum Approach for Engineering. – Chichester: John
Wiley & Sons Ltd, 2006. – 303 p.
15. Harris J.G. Linear Elastic Waves. Cambridge Texts in Applied Mathematics. – Cambridge: Cambridge
University Press, 2001. – 165 p.
16. Hudson J.A. The Excitation and Propagation of Elastic Waves. – Cambridge: Cambridge University
Press, 1980. – 236 p.
17. Jian-Fei L., Dong-Sheng J. Dynamic response of an offshore pile to pseudo-Stoneley waves along the
interface between a poroelastic seebad and seewater // Soil Dynamics and Earthquake Engineering. –
2010. – 30, N4. – P.184-201.
18. Kiselev A.P., Parker D.F. Omnidirectional Rayleigh, Stoneley and Scholte waves with general time
dependence // Proc. Royal Soc. A. – 2010. – 466. – P. 2241 – 2258.
19. Lempriere B.M. Ultrasound and Elastic Waves: Frequently Asked Questions. – New York: Academic
Press, 2002. – 350 p.
20. Maugin G. Nonlinear Waves in Elastic Crystals. – Oxford: Oxford University Press, 2000. – 314 p.
21. Mendez E.F., Carbajal-Romero M., Flores-Guzman N., Sanchez-Martinez R., Rodriguez-Castella nos A.
Rayleigh’s, Stoneley’s, and Scholte’s interface waves in elastic models using a boundary element
method // J. Appl. Math. – 2012. – P. 1 – 15. doi:10.1155/2012/313207
22. Moiseyenko R.P., Liu J., Benchabane S., Declercq N.F., Laude V. Scholte-Stoneley waves on corrugated
surfaces and on phononic crystal gratings // Proc. Acoustic 2012 Conference (23 – 27 April, 2012,
Nantes, France). – P.3677 – 3681.
23. Murnaghan F.D. Finite deformation in elastic solid. – New York: John Wiley, 1951. – 140 p.
24. Norris A.N. Stoneley wave attenuation and dispersion in permeable formations // Geophysics. – 1989. –
54, N3. – P. 330 – 341.
25. Ranjith K. Destabilization of long-wavelength Love and Stoneley waves in slow sliding // Int. J. Solids
Struct. – 2009. – 45. – P. 3086 – 3092.
26. Royer D., Dieulesaint E. Elastic Waves in Solids (I,II). Advanced Texts in Physics. – Berlin: Springer,
2000. – 390 p., 446 p.
27. Rushchitsky J.J. Interaction of waves in solid mixtures // Appl. Mech. Rev. – 1999. – 52, N 2. – P. 35 – 74.
28. Rushchitsky J.J. Quadratically nonlinear cylindrical hyperelastic waves: Derivation of wave equations
for plane-strain state // Int. Appl. Mech. – 2005. – 41, N5. – P. 496 – 505.
29. Rushchitsky J.J. Quadratically Nonlinear Cylindrical Hyperelastic Waves: Derivation of Wave Equations
for Axisymmetric and Other States // Int. Appl. Mech. – 2005. – 41, N6. – P. 646 – 656.
30. Rushchitsky J.J. Theory of Waves in Materials. – Copenhagen: Ventus Publishing ApS. – 2011. – 280p.
31. Rushchitsky J.J., Khotenko E.A. On the Role of Boundary Conditions in a Nonlinear Analysis of
Rayleigh Wave // Int. Appl. Mech. – 2012. – 48, N1. – P. 305 – 318.
32. Rushchitsky J.J., Khotenko I.N., Sinchilo S.V. Generation of the Second, Fourth, and Eighth Harmonics
by a Hyperelastic Longitudinal Plane Wave: Numerical Simulation // Int. Appl. Mech. – 2012. – 48,
N2. – P.195 – 204.
33. Rushchitsky J.J. Certain class of nonlinear hyperelastic waves: classical and novel models, wave equa-
tions, wave effects // Int. J. Appl. Math. and Mech. – 2013. – 9, N6. – Р.1 – 48.
34. Rushchitsky J.J. On Nonlinear Description of the Love Elastic Wave // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49,
N6. – P. 629 – 640.
35. Rushchitsky J.J. Nonlinear Elastic Waves in Materials. – Heidelberg: Springer, 2014. – 453 p.
36. Schölte F.G. The range of existence of Rayleigh and Stoneley waves // Geophys. J. Int. – 1947. – 5, Sup-
plement 5. – P. 120 – 126.
37. Stevens J.L., Day S.M. Shear velocity logging in slow formations using the Stoneley wave // Geophysics.
– 1986. – 51, N2. – P.137 – 147.
38. Stoneley R. Elastic Waves at the Surface of Separation of Two Solids // Proc. Royal Soc. A. – 1924. –
106. – P. 416 – 428.
39. Zhao X.M., Toksoz M.N., Cheng C.H. Stoneley wave propagation across borehole permeability he tero-
geneities // M.I.T. Borehole Acoustic and Logging Consortium. – 1994. – P. 227 – 270.
Поступила 27.12.2012 Утверждена к печати 29.05.2014
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-116608 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0032-8243 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:37:16Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Рущицкий, Я.Я. 2017-05-10T17:25:05Z 2017-05-10T17:25:05Z 2014 О нелинейно упругой волне Стоунли / Я.Я. Рущицкий // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 6. — С. 39-54. — Бібліогр.: 39 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116608 Запропоновано нові нелінійні рівняння, які описують поширення плоских хвиль вздовж площини розділу двох півпросторів з відмінними густинами та пружними властивостями (поверхневих хвиль Стоунлі). Нелінійність введенo через п’ятиконстантний потенціал Мурнагана, що включає як геометричну, так і фізичну нелінійності. Методом послідовних наближень в рамках перших двох наближень отримано розв‘язок нелінійних хвильових рівнянь, що включає другі гармоніки. The new nonlinear wave equations, describing the propagation of the surface wave along the interface of two half-spaces with differing densities and elastic properties (the Stoneley wave), are proposed. The nonlinearity is introduced by the five-constant Murnaghan potential, which includes both the geometrical and the physical nonlinearities. The solution of nonlinear equations is obtained by the method of successive approximations within the framework of two first approximations. This solution includes the second harmonics. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика О нелинейно упругой волне Стоунли On the Nonlinear Stoneley Wave Article published earlier |
| spellingShingle | О нелинейно упругой волне Стоунли Рущицкий, Я.Я. |
| title | О нелинейно упругой волне Стоунли |
| title_alt | On the Nonlinear Stoneley Wave |
| title_full | О нелинейно упругой волне Стоунли |
| title_fullStr | О нелинейно упругой волне Стоунли |
| title_full_unstemmed | О нелинейно упругой волне Стоунли |
| title_short | О нелинейно упругой волне Стоунли |
| title_sort | о нелинейно упругой волне стоунли |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116608 |
| work_keys_str_mv | AT ruŝickiiââ onelineinouprugoivolnestounli AT ruŝickiiââ onthenonlinearstoneleywave |