Влияние растяжения вдоль трещины нормального отрыва в упругом теле на формирование зоны нелинейности
Наведено критичний аналіз сучасного стану проблеми моделювання процесу руйнування різноманітних тіл з тріщинами. Зокрема, розглянуто теоретичні підходи до адекватного описання характеру руйнування тіл внаслідок поширення тріщини, що спостерігається у експериментах. Дано оцінку перспективності різном...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Прикладная механика |
|---|---|
| Дата: | 2015 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2015
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116647 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Влияние растяжения вдоль трещины нормального отрыва в упругом теле на формирование зоны нелинейности / А.А. Каминский, Е.Е. Курчаков // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 2. — С. 13-33. — Бібліогр.: 40 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859632983921655808 |
|---|---|
| author | Каминский, А.А. Курчаков, Е.Е. |
| author_facet | Каминский, А.А. Курчаков, Е.Е. |
| citation_txt | Влияние растяжения вдоль трещины нормального отрыва в упругом теле на формирование зоны нелинейности / А.А. Каминский, Е.Е. Курчаков // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 2. — С. 13-33. — Бібліогр.: 40 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладная механика |
| description | Наведено критичний аналіз сучасного стану проблеми моделювання процесу руйнування різноманітних тіл з тріщинами. Зокрема, розглянуто теоретичні підходи до адекватного описання характеру руйнування тіл внаслідок поширення тріщини, що спостерігається у експериментах. Дано оцінку перспективності різноманітних підходів до подальшого удосконалення сучасних моделей. Розв’язано задачу про рівноважний стан нелінійного пружного тіла з центральною тріщиною нормального відриву при двовісному розтязі. Досліджено вплив розтягуючих напружень, які діють уздовж тріщини, на її розкриття і на конфігурацію зони нелінійності.
A critical analysis is undertaken of the current state of the modelling problem for the process of fracture of different bodies with cracks. In particular, theoretical approaches are considered for an adequate description of the experimental behavior of materials during their fracture as a result of the crack propagation. An assessment is given for the perspectives of various approaches to the future development of the modern models. A nonlinear problem is solved for the limiting equilibrium state of nonlinear elastic body with a central mode I crack under biaxial loading. The influence of the tensile stresses align the crack on its opening displacement and nonlinearity zone configuration is investigated.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:12:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
2015 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 51, № 2
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2015, 51, № 2 13
А .А .К а м и н с к и й , Е . Е .К у р ч а к о в
ВЛИЯНИЕ РАСТЯЖЕНИЯ ВДОЛЬ ТРЕЩИНЫ НОРМАЛЬНОГО
ОТРЫВА В УПРУГОМ ТЕЛЕ НА ФОРМИРОВАНИЕ
ЗОНЫ НЕЛИНЕЙНОСТИ
Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: fract@inmech.kiev.ua
Abstract. A critical analysis is undertaken of the current state of the modelling problem
for the process of fracture of different bodies with cracks. In particular, theoretical
approaches are considered for an adequate description of the experimental behavior of
materials during their fracture as a result of the crack propagation. An assessment is given
for the perspectives of various approaches to the future development of the modern models.
A nonlinear problem is solved for the limiting equilibrium state of nonlinear elastic body
with a central mode I crack under biaxial loading. The influence of the tensile stresses
align the crack on its opening displacement and nonlinearity zone configuration is
investigated.
Key words: nonlinear elastic body, mode I crack, process zone, nonlinear zone, biaxial
loading, crack opening displacement.
Введение.
Современные материалы имеют разнообразную структуру, различные механиче-
ские и прочностные свойства. Кроме того, им присущи различные механизмы разру-
шения. Поэтому в своем развитии механика разрушения опирается на механику
сплошной среды, материаловедение, физику металлов и полимеров, а также другие
естественные науки.
На начальном этапе построения механики разрушения (линейной механики
разрушения) основное внимание уделялось аналитическому исследованию напря-
женно-деформированного состояния в окрестности вершины трещины, модели-
руемой математическим разрезом (модель Гриффитса), и анализу сингулярности
напряжений и деформаций в вершине трещины. Тогда же было введено понятие
коэффициентов интенсивности напряжений (КИН), а также сформулированы
энергетический и силовой критерии локального разрушения (критерии Гриффитса
и Ирвина, соответственно) [21].
Однако авторы работ [16, 32] необоснованно отвергают само понятие КИН.
Следует отметить, что КИН играют исключительно важную роль в механике
хрупкого разрушения, так как на их основе можно описать асимптотическое распре-
деление напряжений в малой окрестности вершины произвольной трещины. Вместе с
тем, они необходимы не только для расчетов по критериям Гриффитса и Ирвина, но и
при изучении роста трещин в линейно-вязкоупругих телах [7, 27], а также при иссле-
довании локальной потери устойчивости возле трещин [1, 24], при изучении роста
трещин под действием динамических нагрузок [23] и в ряде других актуальных ис-
следований процессов разрушения [18, 21]. В нашей стране и за рубежом опублико-
ваны многочисленные труды, посвященные этому вопросу [18, 33].
Разработаны и получили широкое распространение теоретические и эксперимен-
тальные методы определения этих характеристик [14, 18, 21, 34].
14
Однако подходы линейной механики разрушения не учитывают реальное состоя-
ние материала и его структуру у вершины трещины.
Как показали многие экспериментальные исследования [7 – 9, 19 – 22], перед тре-
щиной образуется зона предразрушения (process zone), которая впоследствии переме-
щается вместе с фронтом трещины. Образование зоны предразрушения вызвано высо-
ким уровнем напряжений у фронта трещины. Материал в зоне предразрушения нахо-
дится в полуразрушенном состоянии (к примеру, деструкция – в металлах, «трещины
серебра» – в полимерах). В волокнистых композитах эта зона представляет собой кли-
новидную область у фронта трещины, в которой разрушено связующее и часть арми-
рующих волокон. Берега этой области связаны не разрушенными волокнами.
Конфигурация зоны предразрушения и ее структура имеют существенное значе-
ние для правильного описания механизма разрушения. Исследования последних лет
показали, что применение моделей мезомеханики разрушения, учитывающих зону
предразрушения, оказалось наиболее эффективным для описания развития трещин в
полимерах и композитах [35 – 40]. Эти модели называют еще двухфазными, посколь-
ку согласно им материал претерпевает две фазы разрушения. К ним относятся: модель
Леонова – Панасюка [13], модифицированная модель [27] и др. Согласно однофазным
моделям типа моделей Гриффитса и Ирвина, материал переходит в разрушенное со-
стояние без образования зоны предразрушения. Выбор той или иной модели разруше-
ния для описания роста трещин обусловливается, прежде всего, физическими и меха-
ническими свойствами материала.
Электронномикроскопическое и рентгеноструктурное исследования окрестности
фронта трещины в стали показало, что зона предразрушения – это очень малая об-
ласть деструкции (значительно меньшая зоны пластичности), содержащая большое
количество микротрещин [8, 9] (рис. 1, а). Поэтому попытки описать процесс дефор-
мирования в этой области на основе механики сплошной среды приводят к физически
некорректным результатам, не согласующимися с экспериментальными данными [3].
а б
Рис. 1
На рис. 1, б изображена зона предразрушения в полимерном материале, характе-
ризуемая аналогичной картиной деструкции [27].
Принимая во внимание эти и другие экспериментальные данные [3, 27],
нельзя признать правильным утверждение авторов работ [16, 32] о том, что па-
раметры зоны предразрушения можно определить на основе теории малых упру-
гопластических деформаций.
В работах [16, 32] с помощью приближенного метода дискретизации, включаю-
щего равномерную схему разбиения области, решена задача о растяжении бесконеч-
ной упругопластической пластины, содержащей трещину (разрез) без зоны предраз-
рушения. Определены границы зоны пластичности у вершины трещины, которую
авторы необоснованно назвали зоной предразрушения, хотя при решении задачи ис-
пользовали теорию малых упругопластических деформаций.
В работе [32] приведено утверждение о том, что согласно этому приближенному
решению напряжения в вершине трещины должны быть конечными. Однако это про-
тиворечит строгому математическому анализу [21, 26], согласно которому напряже-
15
ния в вершине трещины (разреза) в упрочняющемся упругопластическом теле имеют
сингулярность, хотя и другого порядка, чем в линейно-упругом теле.
Как подчеркивается во многих работах (см. библиографию в монографии [14]),
обычные приближенные методы с равномерной схемой разбиения области, один из
которых был использован в статьях [16, 32], не могут адекватно описывать распреде-
ление напряжений и деформаций вблизи вершины трещины (разреза) в упругом и
упругопластическом телах. Ввиду этого необходимо применять методы со специаль-
ным (неравномерным) разбиением области [14].
Отметим, что обращение в бесконечность напряжений в вершине трещины (раз-
реза) является следствием идеализации математической постановки физической про-
блемы. Одной из причин упомянутой особенности служит пренебрежение конечно-
стью деформаций (геометрической нелинейностью). Это утверждение относится к
большинству решений задач для упругого и упругопластического тел с трещиной
(разрезом) [3, 14, 16, 21, 26, 32].
Следует отметить, что в 50 – 70-х годах ХХ века получено большое количест-
во решений аналогичных задач для бесконечных упругопластических тел с тре-
щинами (разрезами) [3]. Некоторые из этих решений не согласуются с результата-
ми, полученными в работах [16, 32]. Так, в работе [14] на основе численного ме-
тода установлено, что в тонкой упругопластической пластине зона пластичности
вытянута вдоль линии продолжения трещины (разреза). Это не соответствует вы-
водам работы [32]. Авторы работ [16, 32] утверждают, что их расчеты носят уни-
версальный характер и на их основе делают заключение о некорректности моде-
лей типа модели Леонова – Панасюка, поскольку считают, что узкой зоны пред-
разрушения в действительности не бывает.
Экспериментальные данные [3, 27], напротив, свидетельствуют, что во многих
случаях, особенно на ранней стадии нагружения тела с трещиной, из-за тенденции к
локализации нелинейных деформаций в узких слоях у вершины трещины, зона пред-
разрушения представляет собой узкую клинообразную область на продолжении тре-
щины. На рис. 2 показана такая область в стальной пластине (рис. 2, а) и в тонких по-
лимерных пленках (рис. 2, б, в) [19, 20].
а б
в
Рис. 2
16
Недостаток знаний о зоне предразрушения восполняется с привлечением различ-
ных моделей трещины. Поскольку во многих случаях зона предразрушения распола-
гается на продолжении трещины и имеет, как правило, малый (по сравнению с длиной
трещины) размер (рис. 2), то обычно ее представляют, развивая модель Леонова – Па-
насюка, в виде разреза, к поверхностям которого приложены самоуравновешенные
напряжения, подлежащие определению расчетно-экспериментальными методами [22].
При этом должно выполняться условие конечности напряжений в вершине трещины и
в зоне предразрушения [13, 14].
В работах [10, 11] рассмотренные выше подходы распространены на составные,
кусочно-однородные тела с трещинами по их границам раздела. Введение зон
предразрушения, представляемых моделями типа модели Леонова – Панасюка,
приводит к физически корректным результатам – устраняется осциллирующий
характер перемещений и напряжений вблизи вершин трещин, что свойственно
классическим решениям [21]. К тому же, полученные результаты хорошо согла-
суются с экспериментальными данными.
Подавляющее число публикаций по этой проблеме посвящено разнообразным
моделям зоны предразрушения у вершины трещины в линейно-упругих телах [18, 21].
В отличие от этих публикаций, в статьях [29, 30] рассмотрена задача нелинейной
механики разрушения, когда зона предразрушения представляется модифицирован-
ной моделью Леонова – Панасюка и расположена внутри зоны нелинейности. Иссле-
довано влияние зоны предразрушения на конфигурацию зоны нелинейности у верши-
ны трещины нормального отрыва, а также на раскрытие трещины.
В настоящей статье исследовано равновесное состояние нелинейного упругого
тела малой толщины с центральной трещиной нормального отрыва при двухосном
растяжении. Это исследование базируется на модели зоны предразрушения, предло-
женной в работах [5, 7, 27, 28]. Изучено влияние растягивающей нагрузки вдоль тре-
щины на ее раскрытие и на конфигурацию зоны нелинейности.
Согласно принятой модели, длина зоны предразрушения считается, как и в
работах [7, 29, 30], не зависящей от внешних нагрузок. Такая автомодельность
зоны предразрушения характерна для многих полимеров и композитов [5, 7].
Длину зоны предразрушения можно определить экспериментально [7, 8]. Само-
уравновешенные напряжения, действующие по границе зоны предразрушения,
подлежат определению при решении краевой задачи. При этом требуется со-
блюдение условия непрерывности напряжений в зоне предразрушения и в окру-
жающей ее зоне нелинейности.
§1. Исходные предпосылки.
Предполагается, что связь компонент тензора напряжений с компонентами тензо-
ра деформаций для рассматриваемого тела будет линейной на начальной стадии его
деформации, но нелинейной в последующем.
Внимание акцентируется на случае обобщенного плоского напряженного со-
стояния. Деформации полагаются малыми. Постановка краевой задачи осуществ-
ляется в перемещениях.
Тело отнесем к системе произвольных координат 1 2 3, ,x x x . Будем подразумевать,
что для этой системы координат известны ковариантный метрический тензор с компо-
нентами gez и контравариантный метрический тензор с компонентами gez , причем
1
,
g
g
g g
ez
ez
¶
=
¶
(1.1)
где det[ ]g gez= – метрический определитель.
1.1. Определяющие уравнения. Для постановки краевой задачи потребуются оп-
ределяющие уравнения, связывающие компоненты контравариантного тензора на-
пряжений S с компонентами ковариантного тензора деформаций D.
17
Воспользуемся тензорно-линейными определяющими уравнениями в виде [12]
2
2
D F g F S F ggd gd gd
ab abgd abgd abgd
E
X- æ öE HZ ÷ç= + - ÷ç ÷çè øZ ZH
K-
Z
(1.2)
( ; ; ;g D F g g F g Sab ab gd ab gd
ab abgd abgdE= Z= H=
); .F S S G D Dab gd abgd
abgd ab gdK= X= (1.3)
В уравнениях (1.2) содержатся компоненты двух взаимно обратных тензоров
анизотропии, а именно, ковариантного тензора F и контравариантного тензора G.
Заметим, что в этих компонентах можно переставлять как индексы, относящиеся к
любой одной паре индексов, так и сами пары индексов. Затем, для названных
компонент имеем
( ), .F Gabez e z
abgd g dd d e z= (1.4)
В формулах (1.4) фигурируют символы Кронекера i
hd , т.е.
( )
( )
1 ;
0 .
i
h
h i
d
h i
ìï =ï=íï ¹ïî
(1.5)
Ниже будем пользоваться правом замены немых индексов, не оговаривая это особо.
Свернув уравнения (1.2) с компонентами Gabez , а также учитывая формулы (1.4)
и равенства (1.5), получим
2
2
.S g G D gab ab abgd ab
gd
H
K- æ öH EZ ÷ç= + - ÷ç ÷çè øZ ZE
X-
Z
(1.6)
Содержащиеся в уравнениях (1.6) инварианты тензоров S и D должны быть связа-
ны между собой.
Отметим, что инвариант Е представляет собой относительное изменение объема
элемента тела, а инвариант Н – относительное изменение объема элемента тела при
условии, что компоненты тензоров S и D связаны между собой линейно. Можно
допустить [2], что
Н=Е (1.7)
При этом, как показывает анализ уравнений (1.6) с позиций первого и второго на-
чал термодинамики [17, 25], будем иметь
2 2
.j
æ ö÷çE E ÷çK- = X- ÷ç ÷ç ÷Z Z ÷çè ø
(1.8)
Таким образом, величина
2E
K-
Z
оказывается однозначной функцией величи-
ны
2E
X-
Z
(вне зависимости от вида тензора D).
18
В соответствии с формулами (1.7) и (1.8) уравнения (1.6) будут
2
2
.S g G D gab ab abgd ab
gd
j
æ ö÷ç E ÷ç X- ÷ç ÷ç ÷Z ÷ç æ öE Eè ø ÷ç= + - ÷ç ÷çè øZ ZE
X-
Z
(1.9)
Представим функцию
2
j
æ ö÷ç E ÷ç X- ÷ç ÷ç ÷Z ÷çè ø
следующим образом:
2 2 2
1 .j j
é ùæ ö æ ö÷ ÷ç çE E Eê ú÷ ÷ç çX- ÷= - X- ÷ X-ê úç ç÷ ÷ç ç÷ ÷Z Z Zê ú÷ ÷ç çè ø è øë û
(1.10)
Используя формулу (1.10), запишем уравнения (1.9) в таком виде:
( )S G D G D gab abgd abgd ab
gd gdj
æ öE ÷ç= - W - ÷ç ÷çè øZ
(1.11)
2
.
æ ö÷ç E ÷çW= X- ÷ç ÷ç ÷Z ÷çè ø
(1.12)
Для изотропного тела компоненты Fabgd могут быть выражены через две кон-
станты ( r и s ):
( ), .F g g g gabgd ab gd ag bdr s g d= + (1.13)
Учитывая выражения (1.13), на основании формул (1.4) и равенств (1.5) для ком-
понент Gabgd будем иметь
( )1
, .
3
G g g g gabgd ag bd ab gdr
g d
s r s
æ ö÷ç ÷= -ç ÷ç ÷ç +è ø
(1.14)
Заметим, что константы r и s связаны с константами Ламе (l и m ) такими
равенствами [15]:
( )
1
; .
2 3 2 2
l
r s
m l m m
- = =
+
Воспользовавшись выражениями (1.13), для второго из инвариантов (1.3) установим
( )3 3 .r sZ= + (1.15)
Привлекая выражения (1.14) и первый из инвариантов (1.3), для пятого из инвари-
антов (1.3) получим
1
3
r
s r s
æ öE ÷ç ÷çX= U- ÷ç ÷÷ç +è ø
(1.16)
( ).g g D Dag bd
ab gdU= (1.17)
Учитывая формулы (1.15) и (1.16), установим, что
19
2 21
.
3s
æ öE E ÷ç ÷çX- = U- ÷ç ÷÷çZ è ø
(1.18)
Согласно формуле (1.18) формула (1.12) примет вид
21
.
3s
æ öE ÷ç ÷çW= U- ÷ç ÷÷çè ø
(1.19)
Используя выражения (1.14), а также первый из инвариантов (1.3) и формулу
(1.15), преобразуем уравнения (1.11) к виду
( )1
.
3 3
S g g D g g g D gab ag bd ab ag bd ab
gd gd
r
j
s r s
é ùæ öE E ÷çê ú= - - W - ÷ç ÷çê úè ø+ë û
(1.20)
Уравнения (1.20) идентичны уравнениям Каудерера [31], однако более удобны
для постановки краевой задачи.
1.2. Критерий нелинейности. Подчеркнем, что уравнения (1.11), имеющие
место для анизотропного тела, и уравнения (1.20), имеющие место для изотропно-
го тела, линейны относительно компонент тензора D. Нелинейной же связь ком-
понент тензора S с компонентами тензора D по этим уравнениям становится
вследствие функции ( )j W . Пусть имеется некоторая положительная постоянная
u . Предположим, что функция ( )j W будет равной нулю, если величина W не пре-
восходит постоянную u , но отличной от нуля, если величина W оказывается
больше постоянной u . Тогда связь компонент тензора S с компонентами тензора
D по указанным уравнениям будет нелинейной, как только величина W превысит
постоянную u . Отсюда имеем критерий нелинейности
.uW= (1.21)
Выясним физический смысл критерия (1.21), предполагая тело анизотропным.
При ( ) 0j W = уравнения (1.11) вырождаются в уравнения Гука [15]
.S G Dab abgd
gd= (1.22)
Принимая во внимание уравнения (1.22), нетрудно увидеть, что величина
2X-E Z представляет собой удвоенную разность всей энергии деформации и той ее
части, которая идет на изменение объема. Итак, в нелинейное состояние тело перей-
дет тогда, когда сама эта разность станет равной 21
2
u .
§2. Общие положения.
Если система координат 1 2 3, , ,x x x к которой отнесено тело, является прямо-
угольной декартовой, то компоненты gez принимают следующие значения:
( )
( )
1 ;
0 .
gez
e V
e V
ìï =ï=íï ¹ïî
(2.1)
Согласно формулам (1.1) и равенствам (2.1) компоненты gez будут такими:
( )
( )
1 ;
0 .
gez e z
e z
ìï =ï=íï ¹ïî
(2.2)
20
2.1. Основные уравнения. Выведем основные уравнения для компонент вектора
перемещений u. Для этого воспользуемся соотношениями Коши [15]:
( ), .
u
D
x
e
eV V e V
¶
=
¶
(2.3)
В соответствии с равенствами (2.2), а также соотношениями (2.3) для первого из
инвариантов (1.3) и инварианта (1.17) установим:
3
1
;
u
x
b
b
b=
¶
E=
¶
å
3 3
1 1
1
.
4
u uu u
x x x x
g gd d
d g d g
g d= =
æ öæ ö¶ ¶¶ ¶÷ ÷ç ç÷ ÷U = + +ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç¶ ¶ ¶ ¶è øè ø
åå (2.4)
Учитывая соотношения (2.3), представим уравнения (1.20) в виде
1 1
2 3
u u
S g g g
x x
gab ag bd abd
d g
r
s r s
ì æ öï ¶ ¶ E÷ï ç ÷= + - -çí ÷ç ÷ï ç +¶ ¶è øïî
( ) 1
.
2 3
u u
g g g
x x
gag bd abd
d gj
üé ùæ ö ï¶ ¶ E ï÷çê ú÷- W + -ç ý÷ê úç ÷ç ï¶ ¶è øê úïë ûþ
(2.5)
Остановимся на случае обобщенного плоского напряженного состояния, в котором
( ) ( )1 2, 1, 2, 1, 2S S x xab ab a b= = = ; (2.6)
( )0 1, 2, 3; 3, 1, 2; 3, 3 .Sab a b a b a b= = = = = = = (2.7)
Привлекая равенства (2.2), а также первый из инвариантов (2.4), на основании
уравнений (2.5) получим
( )11 31 2
1 2 3
1 1
2
3
uu u
S
x x x
r s r
s r s
ì é ùæ öï ¶¶ ¶ï ÷çê ú= + - + -÷í ç ÷çê úï è ø+ ¶ ¶ ¶ï ë ûî
( ) 31 2
1 2 3
1
2 ;
3
uu u
x x x
j
üæ öﶶ ¶ ï÷çW - - ÷ýç ÷÷ç ïè ø¶ ¶ ¶ ïþ
( )22 32 1
2 1 3
1 1
2
3
uu u
S
x x x
r s r
s r s
ì é ùæ öï ¶¶ ¶ï ÷çê ú= + - + -÷í ç ÷çê úï è ø+ ¶ ¶ ¶ë ûïî
( ) 32 1
2 1 3
1
2 ;
3
uu u
x x x
j
üæ öﶶ ¶ ï÷çW - - ÷ýç ÷÷ç ïè ø¶ ¶ ¶ ïþ
( )33 3 1 2
3 1 2
1 1
2
3
u u u
S
x x x
r s r
s r s
ì é ùæ öï ¶ ¶ ¶ï ÷çê ú= + - + -÷í ç ÷çê úï è ø+ ¶ ¶ ¶ë ûïî
( ) 3 1 2
3 1 2
1
2 .
3
u u u
x x x
j
üæ öï¶ ¶ ¶ ï÷çW - - ÷ýç ÷ç ïè ø¶ ¶ ¶ ïþ
(2.8)
Принимая во внимание равенства (2.7), с помощью третьего из уравнений (2.8) найдем
( )3 31 2 1 2
3 1 2 3 1 2
3 1
2 .
2 3 3
u uu u u u
x x x x x x
r s r
j
r s r s
é ùæ öæ ö¶ ¶¶ ¶ ¶ ¶+ ÷÷ ççê ú= + + W - - ÷÷ çç ÷÷ç çê úè ø è ø+ +¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ë û
(2.9)
Если внести в первое и второе из уравнений (2.8) выражение (2.9), то установим
( )
( )11 1 2
1 2
1
2
u u
S
x x
r s r
s r s
ì ¶ ¶ïï= + - -íï+ ¶ ¶ïî
( ) ( ) ( ) 31 2
1 2 3
1
3 2 3 ;
3
uu u
x x x
j r s r s s
üé ùﶶ ¶ ïê úW + - + - ýïê ú¶ ¶ ¶ë ûïþ
( )
( )22 2 1
2 1
1
2
u u
S
x x
r s r
s r s
ì ¶ ¶ïï= + -íï+ ¶ ¶ïî
( ) ( ) ( ) 32 1
2 1 3
1
3 2 3 .
3
uu u
x x x
j r s r s s
üé ùﶶ ¶ ïê ú- W + - + - ýïê ú¶ ¶ ¶ë ûïþ
(2.10)
21
Привлекая равенства (2.2), на основании уравнений (2.5) получим
( )12 1 2 1 2
2 1 2 1
1
;
2
u u u u
S
x x x x
j
s
é ùæ ö¶ ¶ ¶ ¶ ÷çê ú= + - W + ÷ç ÷çê úè ø¶ ¶ ¶ ¶ë û
( )21 2 1 2 1
1 2 1 2
1
.
2
u u u u
S
x x x x
j
s
é ùæ ö¶ ¶ ¶ ¶ ÷çê ú= + - W + ÷ç ÷çê úè ø¶ ¶ ¶ ¶ë û
(2.11)
Поскольку ( ) 1j W ¹ , то вследствие равенств (2.7) и (2.2) из уравнений (2.5)
следует, что
( )0 1, 2, 3; 3, 1, 2 .
u u
x x
g d
d g g d g d
¶ ¶
+ = = = = =
¶ ¶
(2.12)
С учетом равенств (2.12) второй из инвариантов (2.4) примет вид
2 2
3 3
3 3
1 1
1
.
4
u u u uu u
x x x x x x
g gd d
d g d g
g d= =
æ öæ ö¶ ¶ ¶ ¶¶ ¶÷ ÷ç ç÷ ÷U = + + +ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶è øè ø
åå (2.13)
Запишем уравнения (2.10) и (2.11) так:
( )
( )11 111 2
1 2
1
;
2
u u
S T
x x
r s r
s r s
é ù¶ ¶
ê ú= + - -
ê ú+ ¶ ¶ë û
12 121 2
2 1
1
;
2
u u
S T
x xs
æ ö¶ ¶ ÷ç= + -÷ç ÷çè ø¶ ¶
21 212 1
1 2
1
;
2
u u
S T
x xs
æ ö¶ ¶ ÷ç= + -÷ç ÷çè ø¶ ¶
( )
( )22 222 1
2 1
1
,
2
u u
S T
x x
r s r
s r s
é ù¶ ¶
ê ú= + - -
ê ú+ ¶ ¶ë û
(2.14)
где введены следующие обозначения:
( )
( ) ( ) ( )11 31 2
1 2 3
1
3 2 3 ;
3 2
uu u
T
x x x
j r s r s s
s r s
é ù¶¶ ¶ê ú= W + - + -
ê ú+ ¶ ¶ ¶ë û
( )12 1 2
2 1
1
;
2
u u
T
x x
j
s
æ ö¶ ¶ ÷ç= W + ÷ç ÷çè ø¶ ¶
( )21 2 1
1 2
1
;
2
u u
T
x x
j
s
æ ö¶ ¶ ÷ç= W + ÷ç ÷çè ø¶ ¶
( )
( ) ( ) ( )22 32 1
2 1 3
1
3 2 3 .
3 2
uu u
T
x x x
j r s r s s
s r s
é ù¶¶ ¶ê ú= W + - + -
ê ú+ ¶ ¶ ¶ë û
(2.15)
Воспользуемся уравнениями Навье в виде [15]
0.
S
x
ab
b
¶
=
¶
(2.16)
В силу формул (2.6) и равенств (2.7) уравнения (2.16) сводятся к двум таким:
11 12
1 2
0;
S S
x x
¶ ¶
+ =
¶ ¶
21 22
1 2
0.
S S
x x
¶ ¶
+ =
¶ ¶
(2.17)
Допустим, что константы r и s не зависят от координат 1 2, .x x
Подставляя в уравнения (2.17) уравнения (2.14), выведем
22
( ) ( )
2 2 2
11 2 1
1 1 1 2 2 2
1 1
;
2 2 2 2
u u u
Q
x x x x x x
r s
s r s r s s
¶ ¶ ¶+
+ + =
+ +¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶
( ) ( )
2 2 2
22 1 2
1 1 1 2 2 2
1 1
2 2 2 2
u u u
Q
x x x x x x
r s
s r s s r s
¶ ¶ ¶+
+ + =
+ +¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ (2.18)
11 12 21 22
1 2
1 2 1 2
; .
T T T T
Q Q
x x x x
æ ö¶ ¶ ¶ ¶ ÷ç ÷ç = + = + ÷ç ÷÷ç ¶ ¶ ¶ ¶è ø
(2.19)
Следовательно, выведены дифференциальные уравнения в частных производных
второго порядка от компонент 1 2,u u по координатам 1 2,x x .
На поверхности тела зададим вектор напряжений P.
Граничные условия для компонент тензора S имеют вид [15]
,S n Pab a
b = (2.20)
где nb – компоненты единичного вектора внешней нормали n к поверхности тела.
В силу равенств (2.7) условия (2.20) сводятся к двум таким:
11 12 1
1 2 ;S n S n P+ = 21 22 2
1 2 .S n S n P+ = (2.21)
Подставляя в условия (2.21) уравнения (2.14), выведем
( )
( ) 1 11 2 1 2
1 21 2 2 1
1 1
;
2 2
u u u u
n n P R
x x x x
r s r
s r s s
é ù æ ö¶ ¶ ¶ ¶ ÷çê ú+ - + + = +÷ç ÷çê ú è ø+ ¶ ¶ ¶ ¶ë û
( )
( ) 2 22 1 2 1
1 21 2 2 1
1 1
2 2
u u u u
n n P R
x x x x
r s r
s s r s
æ ö é ù¶ ¶ ¶ ¶÷ç ê ú+ + + - = +÷ç ÷ç ê úè ø +¶ ¶ ¶ ¶ë û
(2.22)
( )1 11 12 2 21 22
1 2 1 2; .R T n T n R T n T n= + = + (2.23)
Таким образом, получены дифференциальные уравнения в частных производных
первого порядка от компонент 1 2,u u по координатам 1 2,x x .
Представим уравнения (2.18) и (2.22) в более простом виде.
Введем обозначения:
( ) ( )2 2 1, 2, 1, 2 .T T ababs r s a b+ º = = (2.24)
В свете обозначений (2.24) и формул (2.15) имеем
( ) ( ) ( )11 31 2
1 2 3
2
3 2 3 ;
3
uu u
T
x x x
j r s r s s
é ù¶¶ ¶ê ú= W + - + -
ê ú¶ ¶ ¶ë û
( ) ( )12 1 2
2 1
2 ;
u u
T
x x
r s j
æ ö¶ ¶ ÷ç= + W + ÷ç ÷çè ø¶ ¶
( ) ( )21 2 1
1 2
2 ;
u u
T
x x
r s j
æ ö¶ ¶ ÷ç= + W + ÷ç ÷çè ø¶ ¶
( ) ( ) ( )22 32 1
2 1 3
2
3 2 3 .
3
uu u
T
x x x
j r s r s s
é ù¶¶ ¶ê ú= W + - + -
ê ú¶ ¶ ¶ë û
(2.25)
Умножая обе части уравнений (2.18) на ( )2 2s r s+ и учитывая формулы (2.19), а
также обозначения (2.24), установим
23
( ) ( )
2 2 2
11 2 1
1 1 1 2 2 2
2 2 ;
u u u
Q
x x x x x x
r s s r s
¶ ¶ ¶
+ + + + =
¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶
( ) ( )
2 2 2
22 1 2
1 1 1 2 2 2
2 2
u u u
Q
x x x x x x
r s s r s
¶ ¶ ¶
+ + + + =
¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶
(2.26)
11 12 21 22
1 2
1 2 1 2
; .
T T T T
Q Q
x x x x
æ ö¶ ¶ ¶ ¶ ÷ç ÷ç = + = + ÷ç ÷÷ç ¶ ¶ ¶ ¶è ø
(2.27)
Введем обозначения:
( ) ( )2 2 1, 2 .P Paas r s a+ º = (2.28)
Умножая обе части уравнений (2.22) на
( )2 2s r s+ и учитывая обозначения (2.28), а также
формулы (2.23) и обозначения (2.24), установим
( ) ( ) 1 11 2 1 2
1 21 2 2 1
2 2 ;
u u u u
n n P R
x x x x
r s r r s
é ù æ ö¶ ¶ ¶ ¶ ÷çê ú+ - + + + = +÷ç ÷çê ú è ø¶ ¶ ¶ ¶ë û
( ) ( ) 2 22 1 2 1
1 21 2 2 1
2 2
u u u u
n n P R
x x x x
r s r s r
æ ö é ù¶ ¶ ¶ ¶÷ç ê ú+ + + + - = +÷ç ÷ç ê úè ø¶ ¶ ¶ ¶ë û
(2.29)
( )1 11 12 2 21 22
1 2 1 2; .R T n T n R T n T n= + = + (2.30)
Интегрирование уравнений (2.26) и (2.29) можно выполнить по методу последо-
вательных приближений Ильюшина [6]. При этом в первом приближения величины
1 2,Q Q и 1 2,R R следует приравнять нулю, а в каждом последующем приближении –
вычислить по результатам предыдущего приближения.
2.2. Постановка краевой задачи. Рассмотрим прямоугольное тело малой толщины с
трещиной по центру. С осями симметрии тела совместим оси 1 2,x x .
Предположим, что при растяжении тела в направлении оси 1x у обеих вершин трещи-
ны возникают зоны предразрушения (узкие области на продолжениях трещины), не подчи-
няющиеся уравнениям (2.26). Представим эти зоны в виде разрезов, к поверхностям кото-
рых приложены равномерно распределенные напряжения, подлежащие определению при
решении краевой задачи.
На поверхностях тела, а также трещины и разрезов, зададим компоненты 1 2,P P . Сде-
лаем это симметрично относительно осей 1 2,x x . Поэтому будет достаточно рассмотреть
лишь четвертую часть тела, например, располагающуюся в первом квадранте (рис. 3).
Распишем уравнения (2.29).
Для верхней поверхности рассматриваемой части тела имеем
1 21, 0.n n= = (2.31)
В силу равенств (2.31) уравнения (2.29) примут вид
( ) 1 11 2
1 2
2 ;
u u
P R
x x
r s r
é ù¶ ¶
ê ú+ - = +
ê ú¶ ¶ë û
( ) 2 22 1
1 2
2 .
u u
P R
x x
r s
æ ö¶ ¶ ÷ç+ + = +÷ç ÷çè ø¶ ¶
(2.32)
Согласно равенствам (2.31) формулы (2.30) будут
Рис. 3
24
1 11;R T= 2 21.R T= (2.33)
Для боковой поверхности рассматриваемой части тела имеем
1 20, 1.n n= = (2.34)
В силу равенств (2.34) уравнения (2.29) примут вид
( ) 1 11 2
2 1
2 ;
u u
P R
x x
r s
æ ö¶ ¶ ÷ç+ + = +÷ç ÷çè ø¶ ¶
( ) 2 22 1
2 1
2 .
u u
P R
x x
r s r
é ù¶ ¶
ê ú+ - = +
ê ú¶ ¶ë û
(2.35)
Согласно равенствам (2.34) формулы (2.30) будут
1 12;R T= 2 22.R T= (2.36)
Для верхней поверхности трещины и разреза имеем
1 21, 0.n n- = = (2.37)
Вследствие равенств (2.37) уравнения (2.29) примут вид
( ) 1 11 2
1 2
2 ;
u u
P R
x x
r s r
é ù¶ ¶
ê ú- + - = +
ê ú¶ ¶ë û
( ) 2 22 1
1 2
2 .
u u
P R
x x
r s
æ ö¶ ¶ ÷ç- + + = +÷ç ÷çè ø¶ ¶
(2.38)
В соответствии с равенствами (2.37) формулы (2.30) будут
1 11;R T- = 2 21.R T- = (2.39)
Из симметрии относительно осей 1 2,x x следуют такие уравнения:
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 2 2, , 0; , , 0;u x x u x x u x x u x x- - + = - + + =
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 2 2, , 0; , , 0.u x x u x x u x x u x x- + + = - - + = (2.40)
Из симметрии относительно оси 2x также следует, что в вершине разреза
1 0.u = (2.41)
Остается записать уравнение, содержащее компоненту 2u . Для этого обособим
вблизи вершины разреза точку с координатами 1 2,a a . Пусть в этой точке существуют
все частные производные (до второго порядка включительно) от компоненты 2u по
координатам 1 2,x x .
Координаты вершины разреза представим в виде 1 1 2 2, .a ae e+ +
Составим кратный ряд Тейлора, расположенный по степеням 1 2,e e :
( ) ( ) ( )1 2 1 2
22 2 2
1 2 2 2
2 2 , ,
1 1 1
1
, .
2a a a a
u u
u u a a
x x x
b b g
b b g
b b g
e e e
= = =
¶ ¶
= + +
¶ ¶ ¶
å åå
(2.42)
На основании формулы (2.42) имеем
( ) ( ) ( )1 2 1 2
1 2 1 22 2
2 2 1 2, ,
,
a a a a
u u
u u a a
x x
e e
¶ ¶
- + + + +
¶ ¶
25
( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2
2 2 2
1 1 1 2 2 22 2 2
1 1 1 2 2 2, , ,
1
2 0.
2 a a a a a a
u u u
x x x x x x
e e e e e e
æ ö¶ ¶ ¶ ÷ç ÷ç+ + + =÷ç ÷÷ç¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶è ø
(2.43)
Уравнения (2.26) и (2.32), (2.35), (2.38), а также (2.40), (2.41) и (2.43) являются
разрешающими для компонент 1 2,u u .
2.3. Преобразование разрешающих уравнений. Дискретизируем переменные, для
чего, введя шаг h, образуем сетку координат (рис. 4)
( ) ( )1 2 1, 2,..., ;
i
x i h i d= - =
( ) ( )2 2 1, 2,..., .
j
x j h j e= - = (2.44)
Примем, что вершины трещины и разреза – это точка A , имеющая координаты
1 2
2
,
f
x x , и точка B , имеющая координаты 1 2
2
,
g
x x , соответственно.
Введем обозначения:
1 2 1 2
1 2, ; , ,s t
i j i j
u x x y u x x y
æ ö æ ö÷ ÷ç çº º÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
(2.45)
где принято
( ) ( )2 1 1; 2 1 2.s i e j g t i e j gé ù é ù= - + - + = - + - +ë û ë û (2.46)
Представляя частные производные от компонент 1 2,u u по координатам 1 2,x x через ко-
нечные разности (с учетом формул (2.44), обозначений (2.45) и формул (2.46)), на основании
уравнений (2.26) и (2.32), (2.35), (2.38), а также (2.40), (2.41) и (2.43), полагая 1 2 he e- = = ,
получим n линейных алгебраических уравнений с неизвестными 1 2, ,..., :ny y y
2 2 2 2 2 2 2 2ss s ss e s e ss e s e ss s ss sA y A y A y A y A y+ + - - + + - -+ + + + +
2( 1) 2( 1) 2( 1) 2( 1) 2( 1) 2( 1) 2( 1) 2( 1) ;st e t e st e t e st e t e st e t e sA y A y A y A y B+ + + + + - + - - - - - - + - ++ + + + »
2 2 2 2 2 2 2 2tt t tt e t e tt e t e tt t tt tA y A y A y A y A y+ + - - + + - -+ + + + +
2( 1) 2( 1) 2( 1) 2( 1)ts e s e ts e s eA y A y+ + + + + - + -+ + +
2( 1) 2( 1) 2( 1) 2( 1)ts e s e ts e s e tA y A y B- - - - - + - ++ + »
( )2, 1,..., 1; 3,..., 1, 2,..., 1 ;i j g e i d j e= = + - = - = -
2 2 4 4 6 6ss s ss e s e ss e s e ss e s eA y A y A y A y- - - - - -+ + + +
2 2 4 4 6 6ss s ss s ss sA y A y A y- - - - - -+ + + +
+ 2 2 4 4st t st t st tA y A y A y- - - -+ + +
2 2 2( 1) 2( 1) 2( 2) 2( 2)st e t e st e t e st e t eA y A y A y- - - + - + - + - ++ + + +
4 4 2(2 1) 2(2 1) 4( 1) 4( 1) ;st e t e st e t e st e t e sA y A y A y B- - - + - + - + - ++ + + »
2 2 4 4 6 6tt t tt e t e tt e t e tt e t eA y A y A y A y- - - - - -+ + + +
2 2 4 4 6 6tt t tt t tt tA y A y A y- - - - - -+ + + +
2 2 4 4ts s ts s ts sA y A y A y- - - -+ + + +
2 2 2( 1) 2( 1) 2( 2) 2( 2)ts e s e ts e s e ts e s eA y A y A y- - - + - + - + - ++ + + +
Рис. 4
26
4 4 2(2 1) 2(2 1) 4( 1) 4( 1)ts e s e ts e s e ts e s e tA y A y A y B- - - + - + - + - ++ + + »
( ), ;i d j e= =
2 2 4 4 2 2 2 2 ;ss s ss e s e ss e s e st t st t sA y A y A y A y A y B- - - - + + - -+ + + + »
2 2 4 4 2 2 2 2tt t tt e t e tt e t e ts s ts s tA y A y A y A y A y B- - - - + + - -+ + + + »
( ), 2,..., 1 ;i d j e= = -
2 2 4 4 2 2 2 2 ;ss s ss s ss s st e t e st e t e sA y A y A y A y A y B- - - - + + - -+ + + + »
2 2 4 4 2 2 2 2tt t tt t tt t ts e s e ts e s e tA y A y A y A y A y B- - - - + + - -+ + + + »
( )2,..., 1, ;i d j e= - =
2 2 4 4 2 2 2 2 ;ss s ss e s e ss e s e st t st t sA y A y A y A y A y B+ + + + + + - -+ + + + »
2 2 4 4 2 2 2 2tt t tt e t e tt e t e ts s ts s tA y A y A y A y A y B+ + + + + + - -+ + + + »
( )2, 2,..., 1 ;i j g= = -
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2;s s s s s s s t t t t t t tA y A y B A y A y B- - - - + + - - - - - + + -+ = + =
( )2,..., , 2 ;i d j= =
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2;s es e s e s es e s e s e t et e t e t et e t e t eA y A y B A y A y B- - - - + + - - - - - + + -+ = + =
( )2, ,..., ;i j g e= =
4 4 2 2;ss s s tt t tt t tt tA y B A y A y A y- - - -= + + +
2( 1) 2( 1) 2 2 4( 1) 4( 1) 4 4tt e t e tt e t e tt e t e tt e t e tA y A y A y A y B+ - + - + + + - + - + ++ + + + »
( )2,i j g= = (2.47)
( ) ( ) ( )( 2 28 4 3 ; 8 ; 8 ;ss ss e ss eA A Ar s r s r s+ -- = + = + = +
( ) ( )2 24 2 ; 4 2 ;ss ssA Ar s r s+ -= + = +
2( 1) 2( 1) 2( 1) 2( 1); ; ; ;st e st e st e st eA A A As s s s+ + + - - - - += - = - = =
( ) ( ) ( )2 28 4 3 ; 4 2 ; 4 2 ;tt tt e tt eA A Ar s r s r s+ -- = + = + = +
( ) ( )2 28 ; 8 ;tt ttA Ar s r s+ -= + = +
2( 1) 2( 1) 2( 1) 2( 1); ; ; ;ts e ts e ts e ts eA A A As s s s+ + + - - - - += - = - = =
27
1 1 224 , ;s
i j
B h Q x x
æ ö÷ç= ÷ç ÷çè ø
2 1 224 ,t
i j
B h Q x x
æ ö÷ç= ÷ç ÷çè ø
( )2, 1,..., 1; 3,..., 1, 2,..., 1 ;i j g e i d j e= = + - = - = -
( ) ( ) ( ) ( )2 4 68 4 3 ; 40 ; 32 ; 8 ;ss ss e ss e ss eA A A Ar s r s r s r s- - -= + - = + = + - = +
( ) ( ) ( )2 4 620 2 ; 16 2 ; 4 2 ;ss ss ssA A Ar s r s r s- - -- = + = + - = +
2 49 ; 12 ; 3 ;st st stA A As s s- -= - = =
2 2( 1) 2( 2)12 ; 16 ; 4 ;st e st e st eA A As s s- - + - +- = = - =
4 2(2 1) 4( 1)3 ; 4 ; ;st e st e st eA A As s s- - + - += - = =
( ) ( ) ( ) ( )2 4 68 4 3 ; 20 2 ; 16 2 ; 4 2 ;tt tt e tt e tt eA A A Ar s r s r s r s- - -= + - = + = + - = +
( ) ( ) ( )2 4 640 ; 32 ; 8 ;tt tt ttA A Ar s r s r s- - -- = + = + - = +
2 49 ; 12 ; 3 ;ts ts tsA A As s s- -= - = =
2 2( 1) 2( 2)12 ; 16 ; 4 ;ts e ts e ts eA A As s s- - + - +- = = - =
4 2(2 1) 4( 1)3 ; 4 ; ;ts e ts e ts eA A As s s- - + - += - = =
1 1 224 , ;s
i j
B h Q x x
æ ö÷ç= ÷ç ÷çè ø
2 1 224 ,t
i j
B h Q x x
æ ö÷ç= ÷ç ÷çè ø
( ), ;i d j e= =
( ) ( ) ( )2 4 2 26 ; 8 ; 2 ; 2 ; 2 ;ss ss e ss e st stA A A A Ar s r s r s r r- - + -= + - = + = + - = =
( ) ( )2 4 2 23 2 ; 4 2 ; 2 ; 2 ; 2 ;tt tt e tt e ts tsA A A A Ar s r s r s r s r s- - + -= + - = + = + = + - = +
1 1 2 1 1 22 , , ;s
i j i j
B h P x x R x x
é ùæ ö æ ö÷ ÷ç çê ú= +÷ ÷ç ç÷ ÷ç çê úè ø è øë û
2 1 2 2 1 22 , ,t
i j i j
B h P x x R x x
é ùæ ö æ ö÷ ÷ç çê ú= +÷ ÷ç ç÷ ÷ç çê úè ø è øë û
( ), 2,..., 1 ;i d j e= = -
( ) ( )2 4 2 23 2 ; 4 2 ; 2 ; 2 ; 2 ;ss ss ss st e st eA A A A Ar s r s r s r s r s- - + -= + - = + = + = + - = +
( ) ( ) ( )2 4 2 26 ; 8 ; 2 ; 2 ; 2 ;tt tt tt ts e ts eA A A A Ar s r s r s r r- - + -= + - = + = + - = =
28
1 1 2 1 1 22 , , ;s
i j i j
B h P x x R x x
é ùæ ö æ ö÷ ÷ç çê ú= +÷ ÷ç ç÷ ÷ç çê úè ø è øë û
2 1 2 2 1 22 , ,t
i j i j
B h P x x R x x
é ùæ ö æ ö÷ ÷ç çê ú= +÷ ÷ç ç÷ ÷ç çê úè ø è øë û
( )2,..., 1, ;i d j e= - =
( ) ( ) ( )2 4 2 26 ; 8 ; 2 ; 2 ; 2 ;ss ss e ss e st stA A A A Ar s r s r s r r+ + + -= + - = + = + = - =
( ) ( )2 4 2 23 2 ; 4 2 ; 2 ; 2 ; 2 ;tt tt e tt e ts tsA A A A Ar s r s r s r s r s+ + + -= + - = + = + - = + = +
1 1 2 1 1 22 , , ;s
i j i j
B h P x x R x x
é ùæ ö æ ö÷ ÷ç çê ú= +÷ ÷ç ç÷ ÷ç çê úè ø è øë û
2 1 2 2 1 22 , ,t
i j i j
B h P x x R x x
é ùæ ö æ ö÷ ÷ç çê ú= +÷ ÷ç ç÷ ÷ç çê úè ø è øë û
( )2, 2,..., 1 ;i j g= = -
2 2 2 2 2 2 2 2 2 21; 1; 0; 1; 1; 0s s s s s t t t t tA A B A A B- - - + - - - - + -= - = = = = =
( )2,..., , 2 ;i d j= =
2 2 2 2 2 2 2 2 2 21; 1; 0; 1; 1; 0s es e s es e s e t et e t et e t eA A B A A B- - - + - - - - + -= = = = - = =
( )2, ,..., ;i j g e= =
4 21; 0; 3; 1; 4;ss s tt tt ttA B A A A- -= = - = - = =
2( 1) 2 4( 1) 44; 4; 1; 1; 0tt e tt e tt e tt e tA A A A B+ - + + - +- = = = - = = (2.48)
( ))2, .i j g= =
Отметим, что
( )2 1 .n de g= - + (2.49)
Представляя частные производные от величин 11 12 21 22, , ,T T T T по координатам
1 2,x x через конечные разности, на основании формул (2.27) получим, что
1 1 2 11 2 11 2 12 1 12 11 1 2 2
1 1 1 1
1
, , , , , ;
2i j i j i j i j i j
Q x x T x x T x x T x x T x x
h + - + -
é ùæ ö æ ö æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç çê ú» - + -÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç çê úè ø è ø è ø è ø è øë û
2 1 2 21 2 21 2 22 1 22 11 1 2 2
1 1 1 1
1
, , , , ,
2i j i j i j i j i j
Q x x T x x T x x T x x T x x
h + - + -
é ùæ ö æ ö æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç çê ú» - + -÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç çê úè ø è ø è ø è ø è øë û
( )2, 1,..., 1; 3,..., 1, 2,..., 1 ;i j g e i d j e= = + - = - = -
1 1 2 11 1 2 11 2 11 21 1
1 2
1
, 3 , 4 , ,
2i j i j i j i j
Q x x T x x T x x T x x
h - -
é öæ ö æ æ ö æ ö÷÷ ÷ ÷ç ç ç çê» - + +÷÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷êè ø è è ø è øøë
29
12 1 2 12 1 12 12 2
1 2
3 , 4 , , ;
i j i j i j
T x x T x x T x x
- -
æ ùö æ ö æ öç ÷ ÷ ÷ç ç ú+ - +÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç çç úø è ø è øè û
2 1 2 21 1 2 21 2 21 21 1
1 2
1
, 3 , 4 , ,
2i j i j i j i j
Q x x T x x T x x T x x
h - -
é öæ ö æ æ ö æ ö÷÷ ÷ ÷ç ç ç çê» - + +÷÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷êè ø è è ø è øøë
22 1 2 22 1 22 12 2
1 2
3 , 4 , ,
i j i j i j
T x x T x x T x x
- -
æ ùö æ ö æ öç ÷ ÷ ÷ç ç ú+ - +÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç çç úø è ø è øè û
( ), .i d j e= = (2.50)
Принимая во внимание формулы (2.33), (2.36), (2.39), напишем:
1 1 2 11 1 2, , ;
i j i j
R x x T x x
æ ö æ ö÷ ÷ç ç=÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
2 1 2 21 1 2, ,
i j i j
R x x T x x
æ ö æ ö÷ ÷ç ç=÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
( ), 2,..., 1 ;i d j e= = -
1 1 2 12 1 2, , ;
i j i j
R x x T x x
æ ö æ ö÷ ÷ç ç=÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
2 1 2 22 1 2, ,
i j i j
R x x T x x
æ ö æ ö÷ ÷ç ç=÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
( )2,..., 1, ;i d j e= - =
1 1 2 11 1 2, , ;
i j i j
R x x T x x
æ ö æ ö÷ ÷ç ç- =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
2 1 2 21 1 2, ,
i j i j
R x x T x x
æ ö æ ö÷ ÷ç ç- =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
( )2, 2,..., 1 .i j g= = - (2.51)
Ввиду симметрии относительно осей 1 2,x x имеем равенства
12 1 2 12 1 2
1 3
, , ;
i i
T x x T x x
æ ö æ ö÷ ÷ç ç- =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
22 1 2 22 1 2
1 3
, ,
i i
T x x T x x
æ ö æ ö÷ ÷ç ç=÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
( )3,..., 1 ;i d= -
11 1 2 11 1 2
1 3
, , ;
j j
T x x T x x
æ ö æ ö÷ ÷ç ç=÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
21 1 2 21 1 2
1 3
, ,
j j
T x x T x x
æ ö æ ö÷ ÷ç ç- =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
( )1,..., 1 .j g e= + - (2.52)
Разумеется, величины
( )11 1 2 12 1 2 21 1 2 22 1 2, , , , , , , 2,..., , 2,...,
i j i j i j i j
T x x T x x T x x T x x i d j e
æ ö æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç = =÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè ø è ø è ø è ø
должны быть записаны через неизвестные 1,..., ny y .
Решение уравнений (2.47) будем искать по модифицированному методу Гаусса [30].
§3. Числовой пример.
Исследуем влияние растяжения вдоль трещины нормального отрыва на ее рас-
крытие в вершине, а также на размеры и форму зоны нелинейности.
3.1. Решение краевой задачи. Следуя работе [30], предположим, что функция
( )j W имеет такой вид:
( ) 0;
u
j
W£
W = (3.1)
( )
3 2 3 23 3p q r r q r r
u
u
j
W>
W- + - + - + + +
W =
W
(3.2)
( )2 31 1
; ; .
3 3 2
b
p q p r p p
c c c
u
æ ö÷ç = = + = - W- + ÷ç ÷çè ø
(3.3)
30
В этом виде функция ( )j W согласуется с условием термодинамического равновесия [4].
Приведем данные, использованные при решении краевой задачи. Все они позаим-
ствованы из работы [30].
Для констант r и s имеем: 100,046 10r -- = ⋅ Па-1; 100,222 10s -= ⋅ Па-1.
Для постоянной u , а также коэффициентов b и c имеем: 23,25 10u= ⋅ Па1/2;
20,1964 10b -= ⋅ Па-1/2; 40,5632 10c -= ⋅ Па-1.
Используя результаты вычислений по формулам (3.1) – (3.3), построим график функции
( )j W (рис. 5). Как видим, функция ( )j W
становится существенно нелинейной, когда
ее аргумент принимает значения, превы-
шающие 23,25 10⋅ Па1/2. Приведем исход-
ные данные: 20,02 10h -= ⋅ м; 302;d =
152;e = 62; 72.f g= =
По формуле (2.49) вычислено
91666.n =
Уточним длины трещины (разность
2 2
2f
x x- ) и разреза (разность 2 2
g f
x x- ).
Учитывая вторую из формул (2.44),
получим, что
( )2 2
2
2
f
x x f h- = - ; ( )2 2
g f
x x g f h- = - . (3.4)
По формулам (3.4) вычислены: 2 2 2
2
1,20 10
f
x x -- = ⋅ м; 2 2 20,20 10
g f
x x -- = ⋅ м.
Принято, что
( ) ( )1 2
1, , 2,..., 1 ;
i j
P x x P i d j ea aæ ö÷ç = = = -÷ç ÷çè ø
( ) ( )1 2
2, 2,..., 1, ;
i j
P x x P i d j ea aæ ö÷ç = = - =÷ç ÷çè ø
( ) ( )
( ) ( )
( )
31 2
4
2, 2,..., 1 ;
, 1, 2 .
2, ,..., 1i j
P i j f
P x x
P i j f g
a
a
a
a
ìï = = -ïæ ö ï÷ç = =÷ íç ÷ç ïè ø = = -ïïî
Отличными от нуля были исключительно ( ) ( ) ( )
1 2 1
1 2 4, ,P P P .
Решение краевой задачи получено из условия, что компонента 11S принимает в верши-
не разреза такое же значение, как и во всех точках на верхней поверхности разреза, т.е.
( )
1 211 1
4
2
, .
g
S x x P
æ ö÷ç =÷ç ÷çè ø
(3.5)
Представив частную производную от компоненты 1u по координате 1x и ча-
стную производную от компоненты 2u по координате 2x через конечные разно-
сти (с учетом формул (2.44), обозначений (2.45) и формул (2.46)), для первого из
уравнений (2.14) получим
( )
( ) ( ) ( )( )1 211
2 2 1 2 1
2
1
,
2 2 e j g j g
j
S x x y y
h
r s
s r s + - + - +
æ ö é÷ç » + - -÷ç ê÷çè ø ë+
( ) ( )( ) ( )1 211
2 4 2
2
, ,..., 1 .e j g e j g
j
y y T x x j g er + - + + -
æ öù ÷ç- - - = -÷çú ÷çè øû
(3.6)
Рис. 5
31
При расчетах задано ( )
1 7
1 5,00 10P = ⋅ Па; ( )
2
2P придавалось несколько значений (см. табли-
цу). Для приведенного значения ( )
1
1P и каждого из значений ( )
2
2P по уравнениям (2.47) в пят-
надцати приближениях устанавливались (с учетом формул (2.48) и обозначений (2.28)) значе-
ния неизвестных 1, ..., ny y . При этом в первом приближении величины
1 1 2 2 1 2, , ,
i j i j
Q x x Q x x
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
и 1 1 2 2 1 2, , ,
i j i j
R x x R x x
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
приравнивались нулю, а в каждом последую-
щем приближении – вычислялись (с помощью формул (2.50) – (2.52), (2.25), (3.1) – (3.3), первого
из инвариантов (2.4), инварианта (2.13), выражения (2.9), обозначений (2.45) и формул (2.46))
на основе значений неизвестных 1, ..., ny y , установленных в предыдущем приближении.
Во всех случаях при решении краевой задачи выполнялось несколько итераций.
Первоначально значение ( )
1
4P задавалось, а в дальнейшем – корректировалось (до со-
блюдения формулы (3.5)), для чего использовалось значение компоненты 1 211
2
,
g
S x x
æ ö÷ç ÷ç ÷çè ø
,
вычисленное по уравнению (3.6) на основе значений неизвестных ( )4 1 1 22 2, , ,e eey y y y+ +
и значения величины 1 211
2
,
g
T x x
æ ö÷ç ÷ç ÷çè ø
.
3.2. Анализ полученных результатов. В результате решения краевой задачи оп-
ределено раскрытие трещины в вершине, т.е. 1 2
1 1
2
, A
f
u x x u
æ ö÷ç =÷ç ÷çè ø
.
( )
2 7
2 10 ,P -⋅ Па ( )
1 7
4 10 ,P -- ⋅ Па 6
1 10 ,Au ⋅ м
0,00 14,14 6,907
1,00 14,21 6,824
2,00 14,25 6,784
3,00 14,24 6,777
4,00 14,21 6,797
5,00 14,16 6,838
6,00 14,08 6,896
7,00 13,99 6,971
8,00 13,89 7,062
Следует отметить, что растяжение вдоль трещины оказало слабое влияние как на напряже-
ние, приложенное к верхней поверхности разреза, так и на раскрытие трещины в вершине. Ин-
тересно, что с увеличением ( )
2
2P характер его воздействия, как это явствует из таблицы, менялся.
Действительно, ( )
1
4P и 1
Au сначала несущественно уменьшались, а затем – увеличивались.
Рис. 6 Рис. 7
32
Рис. 8
На последней итерации выявлены (с точностью до шага h) точки, в которых выполняется
критерий (1.21), т.е., определена граница зоны нелинейности. Она изображена на рис. 6 – 8.
Особого внимания заслуживает то, что растяжение вдоль трещины привело к значитель-
ному изменению протяженности зоны нелинейности в направлениях осей 1 2,x x . К тому же,
по мере увеличения ( )
2
2P (см. таблицу) наблюдалась существенная трансформация зоны нели-
нейности. Так, из рис. 6 (кривые 1 и 2 получены при первом и четвертом значениях ( )
2
2P , соот-
ветственно) видно, что протяженность зоны нелинейности стала меньшей в обоих направле-
ниях. Далее, из рис. 7 (кривые 1 и 2 получены при пятом и седьмом значениях ( )
2
2P , соответст-
венно) видно, что протяженность зоны нелинейности оказалась меньшей в направлении оси
1x , но большей в направлении оси 2x . Наконец, из рис. 8 (кривые 1 и 2 получены при вось-
мом и девятом значениях ( )
2
2P , соответственно) видно, что протяженность зоны нелинейности
стала большей в обоих направлениях.
Заключение.
Рассмотрено нелинейное упругое тело конечных размеров с центральной трещи-
ной нормального отрыва. Принято, что при нагружении тела у каждой из вершин
трещины возникает зона предразрушения, которая может быть заменена разрезом с
приложенными по его поверхностям некоторыми напряжениями, подлежащими опре-
делению при решении краевой задачи.
Деформация тела изучена в случае обобщенного плоского напряженного состояния. С
этой целью поставлена (в перемещениях) соответствующая краевая задача, для чего исполь-
зованы термодинамически обоснованные определяющие уравнения. В результате числен-
ного решения данной задачи выявлено влияние растяжения вдоль трещины на ее раскрытие,
а также на размеры и форму зоны нелинейности, окружающей зону предразрушения. В ча-
стности, установлено, что растяжение вдоль трещины мало влияет на ее раскрытии в вер-
шине, но приводит к заметному изменению параметров зоны нелинейности.
Р Е ЗЮМ Е . Наведено критичний аналіз сучасного стану проблеми моделювання процесу
руйнування різноманітних тіл з тріщинами. Зокрема, розглянуто теоретичні підходи до адекватного
описання характеру руйнування тіл внаслідок поширення тріщини, що спостерігається у експеримен-
тах. Дано оцінку перспективності різноманітних підходів до подальшого удосконалення сучасних
моделей. Розв’язано задачу про рівноважний стан нелінійного пружного тіла з центральною тріщи-
ною нормального відриву при двовісному розтязі. Досліджено вплив розтягуючих напружень, які
діють уздовж тріщини, на її розкриття і на конфігурацію зони нелінійності.
1. Богданов В.Л., Гузь А.Н., Назаренко В.М. Напряжённо-деформированное состояние материала с
периодической системой соосных круговых трещин радиального сдвига при действии направ-
ленных вдоль них усилий // Прикл. механика. – 2010. – 46, № 12. – С. 3 – 16.
2. Бриджмен П.В. Новейшие работы в области высоких давлений. – М.: И. Л., 1948. – 299 с.
3. Витвицкий П.М., Панасюк В.В., Ярема С.Я. Пластические деформации в окрестности трещины и
критерии разрушения (обзор) // Пробл. прочности. – 1973. – № 2. – С. 3 – 18.
4. Гольденблат И.И. Некоторые вопросы механики деформируемых сред. – М.: ГТИ, 1955. – 272 с.
5. Гузь А.Н., Каминский А.А., Назаренко В.М. Механика разрушения. – К.: ''АСК'', 1996. – 340 с. —
(Механика композитов: В 12-ти т. / Под общ. ред. А.Н. Гузя; Т. 5).
33
6. Ильюшин А.А. Некоторые вопросы теории пластических деформаций // Прикл. математика и меха-
ника. – 1943. – 7, № 4. – С. 245 – 272.
7. Каминский А.А., Гаврилов Д.А. Длительное разрушение полимерных и композитных материалов с
трещинами. – К.: Наук. думка, 1992. – 248 с.
8. Каминский А.А., Усикова Г.И., Курчаков Е.Е., Дмитриева Е.А., Дорошенко С.П. Экспериментальное
исследование зоны пластичности в окрестности вершины трещины // Пробл. машиностороения и
автоматизации. – 1991. – Вып. 6. – С. 79 – 85.
9. Каминский А.А., Усикова Г.И., Дмитриева Е.А. Экспериментальное исследование распределения
пластических деформаций в окрестности вершины трещины при статическом нагружении
// Прикл. механика. – 1994. – 30, № 11. – С. 69 – 75.
10. Каминский А.А., Кипнис Л.А., Колмакова В.А. О модели Дагдейла для трещины на границе
раздела различных сред // Прикл. механика. – 1999. – 35, № 1. – С. 63 – 68.
11. Каминский А.А., Дудик М.В., Кипнис Л.А. Исследование процесса начального поворота трещины на границе
раздела двух упругих сред при растяжении и сдвиге // Прикл. механика. – 2009. – 45, № 6. – С. 71 – 80.
12. Курчаков Е.Е. Исследование связи деформаций с напряжениями для нелинейной анизотропной
среды // Прикл. механика. – 1979. – 15, № 9. – С. 19 – 24.
13. Панасюк В.В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами. – К.: Наук. думка, 1968. – 246 с.
14. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упругопластического разрушения. – М.: Наука, 1985. – 502 с.
15. Филоненко-Бородич М.М. Теория упругости. – М.: Физматгиз, 1959. – 364 с.
16. Хорошун Л.П. Дискретизация плоской задачи о растяжении тела с трещиной при нелинейном
законе деформирования // Прикл. механика. – 2010. – 46, № 11. – С. 31 – 48.
17. Clausius R. Ueber eine veranderte Form des zweiten Hauptsatzes der mechanischen Warmetheorie
// Annalen der Physik und Chemie. – 1854. – 93, N 12. – S. 481 – 506.
18. Cherepanov G.P. Mechanics of brittle fracture. – New York: McGraw-Hill, 1979. – Р. 710.
19. Cortet P.P., Santucci S., Vanel L., Ciliberto S. Slow crack growth in polycarbonate films // Europhysics
Letters. – 2005. – 71, N 2. – P. 242 – 248.
20. Desai C.K., Kumar A.S., Basu S., Parameswaran V. Measurement of Cohesive Parameters of Crazes in Polystyrene
Films // Conference Proceedings of the Society for Experimental Mechanics Series, 2011. – P. 519 – 526.
21. Fracture: An advanced treatise / Ed. Н.. Liebowitz, vol. I—VI. – New York: Academic press, 1968 – 1974.
22. Gain A.L., Carroll J., Paulino G.H., Lambros J. A hybrid experimental/numerical technique to extract cohesive
properties for mode-I fracture of quasi-brittle materials // Int. J. Fracture. – 2011. – 169, N 2. – P. 113 – 131.
23. Guz A.N., Guz I.A., Men’shikov A.V., Men’shikov V.A. Three-Dimensional Problems in the Dynamic Fracture
Mechanics of Materials with Interface Cracks (review) // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 1. – P. 1 – 61.
24. Guz A.N. Establishing the Foundations of the Mechanics of Fracture of Materials Compressed Along
Cracks (review) // Int. Appl. Mech. – 2014. – 50, N 1. – P. 1 – 57.
25. Helmholtz H. Uеber die Erhaltung der Kraft. Wissenschaftliche Abhandlungen. – Berlin:Reimer, 1847. – 72 s.
26. Hutchison J.W. Singular behaviour at the end of a tensile crack in a hardening material // J. Mech. Phys.
Solids. – 1968. – 16, N 1. – P. 13 – 22.
27. Kaminsky A.A. Long-Term Fracture Mechanics of Viscoelastic Bodies with Cracks (Theory,
Experiment) // Int. Appl. Mech. – 2014. – 50, N 5. – P. 3 –79.
28. Kaminsky A.A. Subcritical crack growth in polymer composite materials // Fracture: A Topical Encyclo-
pedia of Current Knowledge / Ed. G. Cherepanov. – Malabar, Fl: Krieger Publishing Company, 1998. –
P. 758 – 763.
29. Kaminsky A.A., Kurchakov E.E. Modeling of Fracture Process Zone Near a Crack Tip in a Nonlinear
Elastic Body // Int. Appl. Mech. – 2011. – 47, N 6. – P. 735 – 744.
30. Kaminsky A.A., Kurchakov E.E. Modelling a Crack with a Fracture Process Zone in a Nonlinear Elastic
Body // Int. Appl. Mech. – 2012. – 48, N 5. – P. 552 – 562.
31. Kauderer H. Nichtlineare Mechanik. – Berlin: Springer-Verlag, – 1958. – 778 s.
32. Khoroshun L.P., Levchuk O.I. Stress Distribution Around Cracks in Linear Hardening Materials Subject
to Tension: Plane Problem // Int. Appl. Mech. – 2014. – 50, N 2. – P. 128 – 140.
33. Sih G.C. Handbook of stress intensity factors. – Bethlehem: Lehigh Univ. Press, 1973. – 415 p.
34. Voitovich L.V., Malezhik M.P., Chernyshenko I.S. Photoelastic Modeling of the Fracture of Viscoelastic
Orthotropic Plates with a Crack // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 6. – P. 677 – 682.
35. Wells A.A. Critical tip opening displacement as fracture criterion // Proc. Crack Propagation Symp.,
Cranfield. 1961. – Vol. 1. – P. 210 – 221.
36. Williams J.G. Fracture mechanics of polymers. – New York: Wiley, 1984. – 320 p.
37. Wnuk M.P. Subcritical growth of fracture (inelastic fatigue) // Int. J. Fract. Mech. – 1971. – 7, N 4 – P. 383 – 407.
38. Wnuk M.P., Knauss W.G. Delayed fracture in viscoelasticplastic solids // Int. J. Solids Struct – 1970.
– 6, N7. – P. 995 – 1010.
39. Yaffee M.B., Kramer E. J. Plastisization effects on environmental craze microstructure // J. Mater. Sсi.,
– 1981. – 16, N 8. – P. 2130 – 2136.
40. Yokobori T. The strength, fracture and fatigue of materials. – Groningen: P. Noordhoff, 1965. – 372 p.
Поступила 27.12.1012 Утверждена в номер 30.09.2014
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-116647 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0032-8243 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:12:43Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Каминский, А.А. Курчаков, Е.Е. 2017-05-11T19:55:41Z 2017-05-11T19:55:41Z 2015 Влияние растяжения вдоль трещины нормального отрыва в упругом теле на формирование зоны нелинейности / А.А. Каминский, Е.Е. Курчаков // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 2. — С. 13-33. — Бібліогр.: 40 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116647 Наведено критичний аналіз сучасного стану проблеми моделювання процесу руйнування різноманітних тіл з тріщинами. Зокрема, розглянуто теоретичні підходи до адекватного описання характеру руйнування тіл внаслідок поширення тріщини, що спостерігається у експериментах. Дано оцінку перспективності різноманітних підходів до подальшого удосконалення сучасних моделей. Розв’язано задачу про рівноважний стан нелінійного пружного тіла з центральною тріщиною нормального відриву при двовісному розтязі. Досліджено вплив розтягуючих напружень, які діють уздовж тріщини, на її розкриття і на конфігурацію зони нелінійності. A critical analysis is undertaken of the current state of the modelling problem for the process of fracture of different bodies with cracks. In particular, theoretical approaches are considered for an adequate description of the experimental behavior of materials during their fracture as a result of the crack propagation. An assessment is given for the perspectives of various approaches to the future development of the modern models. A nonlinear problem is solved for the limiting equilibrium state of nonlinear elastic body with a central mode I crack under biaxial loading. The influence of the tensile stresses align the crack on its opening displacement and nonlinearity zone configuration is investigated. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Влияние растяжения вдоль трещины нормального отрыва в упругом теле на формирование зоны нелинейности Effect of Tension along the Mode-I Crack in Elastic Body on Forming the Nonlinearity Zone Article published earlier |
| spellingShingle | Влияние растяжения вдоль трещины нормального отрыва в упругом теле на формирование зоны нелинейности Каминский, А.А. Курчаков, Е.Е. |
| title | Влияние растяжения вдоль трещины нормального отрыва в упругом теле на формирование зоны нелинейности |
| title_alt | Effect of Tension along the Mode-I Crack in Elastic Body on Forming the Nonlinearity Zone |
| title_full | Влияние растяжения вдоль трещины нормального отрыва в упругом теле на формирование зоны нелинейности |
| title_fullStr | Влияние растяжения вдоль трещины нормального отрыва в упругом теле на формирование зоны нелинейности |
| title_full_unstemmed | Влияние растяжения вдоль трещины нормального отрыва в упругом теле на формирование зоны нелинейности |
| title_short | Влияние растяжения вдоль трещины нормального отрыва в упругом теле на формирование зоны нелинейности |
| title_sort | влияние растяжения вдоль трещины нормального отрыва в упругом теле на формирование зоны нелинейности |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116647 |
| work_keys_str_mv | AT kaminskiiaa vliânierastâženiâvdolʹtreŝinynormalʹnogootryvavuprugomtelenaformirovaniezonynelineinosti AT kurčakovee vliânierastâženiâvdolʹtreŝinynormalʹnogootryvavuprugomtelenaformirovaniezonynelineinosti AT kaminskiiaa effectoftensionalongthemodeicrackinelasticbodyonformingthenonlinearityzone AT kurčakovee effectoftensionalongthemodeicrackinelasticbodyonformingthenonlinearityzone |