Влияние граничных условий на собственные частоты и формы колебаний пьезоэлектрических пластин с диаметральными разрезами электродов

Влияние граничных условий на собственные частоты и формы колебаний пьезоэлектрических пластин с диаметральными разрезами электродов

Отримано загальний розв’язок задачі про неосесиметричні електромеханічні коливання п’єзокерамічної кільцевої пластини. Для пластин з радіальними розрізами електродного покриття при граничних умовах (жорстке закріплення – вільний край, вільний край – жорстке закріплення, вільний край – вільний край)...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:Прикладная механика
Datum:2015
1. Verfasser: Левченко, В.В.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2015
Online Zugang:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116652
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Влияние граничных условий на собственные частоты и формы колебаний пьезоэлектрических пластин с диаметральными разрезами электродов / В.В. Левченко // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 2. — С. 78-87. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-116652
record_format dspace
spelling Левченко, В.В.
2017-05-11T20:02:28Z
2017-05-11T20:02:28Z
2015
Влияние граничных условий на собственные частоты и формы колебаний пьезоэлектрических пластин с диаметральными разрезами электродов / В.В. Левченко // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 2. — С. 78-87. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.
0032-8243
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116652
Отримано загальний розв’язок задачі про неосесиметричні електромеханічні коливання п’єзокерамічної кільцевої пластини. Для пластин з радіальними розрізами електродного покриття при граничних умовах (жорстке закріплення – вільний край, вільний край – жорстке закріплення, вільний край – вільний край) чисельно визначено і проаналізовано вплив граничних умов на спектри власних частот коливань для перших гармонік по окружній координаті.
A general solution is obtained for the problem on non-axisymmetric electromechanical vibrations of piezoceramic ring plate. For the plates with radial cuts of electrode covering, an effect of boundary conditions on spectra of the natural frequencies of vibrations (for the first harmonics by the circumferential coordinate) are determined and analyzed for the boundary conditions «rigid clamping – free edge», «free edge – rigid clamping», «free edge – free edge».
ru
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
Прикладная механика
Влияние граничных условий на собственные частоты и формы колебаний пьезоэлектрических пластин с диаметральными разрезами электродов
Effect of Boundary Conditions on Natural Frequencies of Non-Axisymmetric Electroelastic Vibrations of Piezoceramic Plates
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Влияние граничных условий на собственные частоты и формы колебаний пьезоэлектрических пластин с диаметральными разрезами электродов
spellingShingle Влияние граничных условий на собственные частоты и формы колебаний пьезоэлектрических пластин с диаметральными разрезами электродов
Левченко, В.В.
title_short Влияние граничных условий на собственные частоты и формы колебаний пьезоэлектрических пластин с диаметральными разрезами электродов
title_full Влияние граничных условий на собственные частоты и формы колебаний пьезоэлектрических пластин с диаметральными разрезами электродов
title_fullStr Влияние граничных условий на собственные частоты и формы колебаний пьезоэлектрических пластин с диаметральными разрезами электродов
title_full_unstemmed Влияние граничных условий на собственные частоты и формы колебаний пьезоэлектрических пластин с диаметральными разрезами электродов
title_sort влияние граничных условий на собственные частоты и формы колебаний пьезоэлектрических пластин с диаметральными разрезами электродов
author Левченко, В.В.
author_facet Левченко, В.В.
publishDate 2015
language Russian
container_title Прикладная механика
publisher Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
format Article
title_alt Effect of Boundary Conditions on Natural Frequencies of Non-Axisymmetric Electroelastic Vibrations of Piezoceramic Plates
description Отримано загальний розв’язок задачі про неосесиметричні електромеханічні коливання п’єзокерамічної кільцевої пластини. Для пластин з радіальними розрізами електродного покриття при граничних умовах (жорстке закріплення – вільний край, вільний край – жорстке закріплення, вільний край – вільний край) чисельно визначено і проаналізовано вплив граничних умов на спектри власних частот коливань для перших гармонік по окружній координаті. A general solution is obtained for the problem on non-axisymmetric electromechanical vibrations of piezoceramic ring plate. For the plates with radial cuts of electrode covering, an effect of boundary conditions on spectra of the natural frequencies of vibrations (for the first harmonics by the circumferential coordinate) are determined and analyzed for the boundary conditions «rigid clamping – free edge», «free edge – rigid clamping», «free edge – free edge».
issn 0032-8243
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116652
citation_txt Влияние граничных условий на собственные частоты и формы колебаний пьезоэлектрических пластин с диаметральными разрезами электродов / В.В. Левченко // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 2. — С. 78-87. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT levčenkovv vliâniegraničnyhusloviinasobstvennyečastotyiformykolebaniipʹezoélektričeskihplastinsdiametralʹnymirazrezamiélektrodov
AT levčenkovv effectofboundaryconditionsonnaturalfrequenciesofnonaxisymmetricelectroelasticvibrationsofpiezoceramicplates
first_indexed 2025-11-27T04:17:54Z
last_indexed 2025-11-27T04:17:54Z
_version_ 1850796076827672576
fulltext 2015 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 51, № 2 78 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2015, 51, № 2 В .В .Л е в ч е н к о ВЛИЯНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ НА СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ И ФОРМЫ КОЛЕБАНИЙ ПЪЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПЛАСТИН С ДИАМЕТРАЛЬНЫМИ РАЗРЕЗАМИ ЭЛЕКТРОДОВ Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ, ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: electr@inmex.kiev.ua Abstract. A general solution is obtained for the problem on non-axisymmetric electro- mechanical vibrations of piezoceramic ring plate. For the plates with radial cuts of electrode covering, an effect of boundary conditions on spectra of the natural frequencies of vibrations (for the first harmonics by the circumferential coordinate) are determined and analyzed for the boundary conditions «rigid clamping – free edge», «free edge – rigid clamping», «free edge – free edge». Key words: piezoceramic ring plate, radial cuts of electrode covering, non- axisymmetric electromechanical vibrations, spectra of natural frequencies Введение. В современных электромеханических преобразователях различного функцио- нального назначения широко используются тонкие пьезоэлектрические пластинчатые преобразователи с толщиной поляризацией [2 – 4, 6 – 8, 10 – 12 и др.]. В дисковых и кольцевых вибраторах со сплошными электродами на лицевых плоскостях возбужда- ются осесимметричные колебания [4, 9]. Если же электроды кольцевой пластины имеют диаметральные разрезы и электроупругие сектора возбуждаются противофазно, то в ней возникают неосесимметричные колебания по окружной координате. Формы этих колебаний по указанной координате и их частоты определяются числом диамет- ральных разрезов электродов [2, 3, 11, 12]. В настоящей статье проводится сравнитель- ный анализ частотного спектра при трех условиях закрепления границ пластины. 1. Постановка задачи. Основные уравнения. Рассмотрим пьезокерамическую пластину 0 1( )r r r  толщиной h , отнесенную к цилиндрическим координатам , ,r z , причем координатная плоскость 0z  совпадает со срединной плоскостью пластины. Тонкая пьезокерамическая пластина с толщинной поляризацией и электродированными лицевыми плоскостями 2z h  находится в ус- ловиях плоского напряженного состояния  ( , , )ru r t , ( , , )u r t  , 0zz z zr     , 0rE E  , ( , , )zE r t . Как показано в работах [2, 5, 7, 10, 13], определить переме- щения ru , u можно через потенциалы  , ,r t ,  , ,r t по формулам 1 ru r r        ; 1 u r r        . (1) Если функции  , ,r t ,  , ,r t определить из волновых уравнений, тогда имеем 2 2 31 11 2 (1 ) (1 ) E E z Ed E s t            ; 2 11 2 2(1 ) E E s t         . (2) 79 Механические напряжения затем определяем по зависимостям 312 11 1 1 (1 ) (1 ) r r rr E E zE E uu u d E r r rs                    ; 312 11 1 1 (1 ) (1 ) r r E E zE E uu u d E r r rs                   ; (3)   11 1 1 2 1 r r E E u u u r r rs              . Для пластины со сплошными электродами на лицевых плоскостях 2z h  электри- ческий потенциал (при пренебрежении влиянием краев пластины) –  1 0h zV t  . Такому потенциалу соответствуют согласно [2, 8] компоненты напряженности элек- трического поля 0rE E  ,  1 0zE h V t ; в таком случае, как показано в статьях [7 – 9, 12, 13], в уравнении (3) следует пренебречь величиной 31(1 )E zd E . Для круглой пьезокерамической пластины радиуса 1r с отверстием радиуса 0r однородные граничные условия по механическим перемещениям и напряжениям (по два условия при 0r r и 1r r ) формируются по одной из двух альтернативных пар ( 0, 1)j  ( , , ) 0 ( , , ) 0; ( , , ) 0 ( , , ) 0.r j rr j j r ju r t r t u r t r t            (4) Начальные условия при установившихся гармонических колебаниях не формулируются. 2. Методика решения задачи. Примем, что электродное покрытие на лицевых плоскостях 2z h  разбито на 2N секторов с противофазными соседними подключениями, так что   1 01 n zaE V h   ; 1, ..., 2n N . Решение уравнений (2) в полярных координатах ,r  , в первом из кото- рых слагаемое 31(1 ) zd E следует принять равным нулю [3, 10], при гармонических колебаниях    , , Re , expaf r t f r i t   с циклической частотой  примем в виде рядов       2 ,1 1 ,2 1, , Re sin exp ;m m m m m r t R A J k r A Y k r m i t           2 ,3 2 ,4 2, , Re cos expm m m m m r t R A J k r A Y k r m i t     . (5) Здесь ( )m jJ k r и ( )m jY k r – цилиндрические функции первого и второго рода m -го по- рядка [1]; 2 2 2 1 11(1 ) E Ek s   ; 2 2 2 112(1 ) E Ek s   ; ,m iA – безразмерные постоянные. Согласно (1) и (3) определяем [9, 12] механические перемещения 1 1 ,1 2 1 ,2 3 2 ,3 4 2 ,4Re [ ( ) ( ) ( ) ( ) ]sin exp ;r m m m m m m m m m u R u k r A u k r A u k r A u k r A m i t     3 1 ,1 4 1 ,2 1 2 ,3 2 2 ,4Re [ ( ) ( ) ( ) ( ) ]cos expm m m m m m m m m u R l k r A l k r A l k r A l k r A m i t      (6) и механические напряжения 80         1 1 ,1 2 1 ,22 11 1 , , Re 1 rr m m m mE mE r t a k r A a k r A s                    3 2 ,3 4 2 ,4 0 13 1 sin 2 14 sin 1 exp 2 1m m m m E n N n a k r A a k r A m V d i t n                  ;         1 1 ,1 2 1 ,22 11 1 , , Re 1 m m m mE mE r t b k r A b k r A s                    3 2 ,3 4 2 ,4 0 13 1 sin 2 14 sin 1 exp 2 1m m m m E n N n b k r A b k r A m V d i t n                 ; (7)           1 1 ,1 2 1 ,2 3 2 ,3 11 1 , , Re 1 r m m m m m mE mE r t c k r A c k r A c k r A s            4 2 ,4 cos expm mc k r A m i t  . В формулах (6) и (7) использованы обозначения:              22 2 21 1 1 1 1 1 11 1 1 ;m E m E m Ra k r k rJ k r k r m m J k r r                        22 2 22 1 1 1 1 1 11 1 1 ;m E m E m Ra k r k rY k r k r m m Y k r r                     2 23 2 2 1 2 21 1 ;m E m m Ra k r m k rJ k r m J k r r                  2 24 2 2 2 21 1 ;m E m m Ra k r m k rY k r m Y k r r                    22 2 21 1 1 1 1 1 11 1 1 ;m E m E E m Rb k r k rJ k r k r m m J k r r                          22 2 22 1 1 1 1 1 11 1 1 ;m E m E E m Rb k r k rY k r k r m m Y k r r                       2 23 2 2 1 2 21 1 ;m E m m Rb k r m k rJ k r m J k r r                   2 24 2 2 1 2 21 1 ;m E m m Rb k r m k rY k r m Y k r r                 2 21 1 1 1 1 11 ;m m m Rc k r m k rJ k r m J k r r             2 22 1 1 1 1 11 ;m m m Rc k r m k rY k r m Y k r r            2 2 2 2 3 2 2 1 2 2 2 1 1 2m m mc k r k rJ k r k r m m J k r R r           ; 81         22 2 24 2 2 1 2 2 2 1 1 ; 2m m m Rc k r k rY k r k r m m Y k r r           (8) 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( );m m m m m m R R u k r m J k r k RJ k r u k r m Y k r k RY k r r r       3 2 2 4 2 2( ) ( ); ( ) ( );m m m m R R u k r m J k r u k r m Y k r r r          1 1 3 1 2 1 2 1 3 2 3 2 4 2 2 2( ); ( ); ( ); ( ).m m m m m m m ml k r u k r l k r u k r l k r u k r l k r u k r      Так как амплитуда   1 1 01 na zE V h    ( 1, 2, ..., 2n N ), а напряженность электрическо- го поля Re expa z zE E i t раскладывается в ряд Фурье по угловой координате  , т.е.  0 1 sin 2 12 , 2 1 a z n N nV E h n         (9) то в формулах (6 – 8) индекс  2 1m N n  , 1, 2, ...n  . При резонансных колебаниях следует воспользоваться концепцией комплексных модулей [2, 9], согласно которой материальные постоянные будут комплексными ве- личинами ( ImE E E ij ij ijs s is  , Im ij ij ijd d id  , ImT T T ij ij iji    ). При определении резонансных частот тангенсами малых углов потерь можно пренебречь и пользоваться действительными значениями физико-механических мате- риальных параметров. При 0N  реализуются электроупругие радиальные колебания 2 2 rrrr ru r r t          ; (10) 312 11 1 (1 ) (1 ) r r rr E E zE E u u d E r rs             и азимутальные колебания 2 2 2r r u r r t            ;   11 1 2 1r E E u u r rs           . (11) Собственные частоты электроупругих радиальных колебаний (11) исследованы в статье [12]; азимутальные колебания (11) электрическим путем не возбуждаются и приведены с целью более полного анализа результатов. При 0N  частоты, которые зарождаются как радиальные (задача (10) и азиму- тальные (задача (11)), будем условно называть, соответственно, квазирадиальными и квазиазимутальными частотами. Рассмотрим колебания кольцевой пластины при жестко защемленной внутренней границе 0r r и свободной внешней границе 1r r  0 , , 0ru r t  ;  0 , , 0;u r t    1, , 0rr r t   ;  1, , 0r r t   (12) при свободной внутренней границе 0r r и жестко защемленной внешней границе 1r r 82  0 , , 0rr r t   ;  0 , , 0r r t   ;  1, , 0ru r t  ;  1, , 0u r t   , (13) а также при свободной внутренней границе 0r r и свободной внешней границе 1r r  0 , , 0rr r t   ;  0 , , 0r r t   ;  1, , 0rr r t   ;  1, , 0r r t   . (14) Из граничных условий (12), используя выражения (6, 7) для перемещений и напряже- ний, получим блочные системы алгебраических уравнений для определения безраз- мерных постоянных  2 1 ,N n iA  ( 1, 2, ... ; 1, ..., 4n i  ) такого вида:            1 0 1 02 1 ,1 2 1 ,1 2 1 , 2 2 1 ,2N n N n N n N nu k r A u k r A                2 0 2 02 1 ,3 2 1 ,3 2 1 , 4 2 1 ,4 0N n N n N n N nu k r A u k r A      ;            1 0 1 02 1 ,1 2 1 ,1 2 1 ,2 2 1 ,2N n N n N n N nl k r A l k r A                2 0 2 02 1 ,3 2 1 ,3 2 1 ,4 2 1 ,4 0N n N n N n N nl k r A l k r A      ;            1 1 1 12 1 ,1 2 1 ,1 2 1 , 2 2 1 ,2N n N n N n N na k r A a k r A                   13 2 1 2 1 02 1 ,3 2 1 ,3 2 1 , 4 2 1 ,4 14 2 1 E N n N n N n N n d a k r A a k r A V n            ; (15)            1 1 1 12 1 ,1 2 1 ,1 2 1 ,2 2 1 ,2N n N n N n N nc k r A c k r A                2 1 2 12 1 ,3 2 1 ,3 2 1 , 4 2 1 ,4 0N n N n N n N nc k r A c k r A      . Резонансные частоты определяем из условия равенства нулю определителей чет- вертого порядка однородных (при 0 0V  ) систем алгебраических уравнений (15)                                 1 1 0 2 1 0 3 2 0 4 2 0 1 1 0 2 1 0 3 2 0 4 2 0 1 1 1 2 1 1 3 2 1 4 2 1 1 1 1 2 1 1 3 2 1 4 2 1 0 m m m m m m m m m m m m m m m m u k r u k r u k r u k r l k r l k r l k r l k r a k r a k r a k r a k r c k r c k r c k r c k r  . (16) Граничные условия (13) при использовании выражений для перемещений и напряже- ний позволяют получить блочные системы алгебраических уравнений для определе- ния безразмерных постоянных), т.е.            1 0 1 02 1 ,1 2 1 ,1 2 1 , 2 2 1 ,2N n N n N n N na k r A a k r A                   13 2 0 2 0 02 1 ,3 2 1 ,3 2 1 , 4 2 1 ,4 14 2 1 E N n N n N n N n d a k r A a k r A V n            ;            1 0 1 02 1 ,1 2 1 ,1 2 1 , 2 2 1 ,2N n N n N n N nc k r A c k r A                2 0 2 02 1 ,3 2 1 ,3 2 1 , 4 2 1 ,4 0N n N n N n N nc k r A c k r A      ; (17)            1 1 1 12 1 ,1 2 1 ,1 2 1 , 2 2 1 ,2N n N n N n N nu k r A u k r A     83            2 1 2 12 1 ,3 2 1 ,3 2 1 , 4 2 1 ,4 0N n N n N n N nu k r A u k r A      ;            1 1 1 12 1 ,3 2 1 ,1 2 1 , 4 2 1 ,2N n N n N n N nl k r A l k r A                2 1 2 12 1 ,3 2 1 ,3 2 2 1 ,4 2 1 .4 0N n N n N n N nl k r A l k r A      . Из условия существования нетривиальных решений однородных (при 0 0V  ) систем уравнений (17) получим зависимости для определения резонансных частот при граничных условиях (14)                                 1 1 0 2 1 0 3 2 0 4 2 0 3 1 0 3 1 0 1 2 0 2 2 0 1 1 1 2 1 1 3 2 1 4 2 1 1 1 1 2 1 1 3 2 1 4 2 1 0 m m m m m m m m m m m m m m m m a k r a k r a k r a k r c k r c k r c k r c k r u k r u k r u k r u k r l k r l k r l k r l k r  . (18) Из граничных условий (14) получим блочные системы алгебраических уравнений для определения безразмерных постоянных  2 1 ,N n iA  ( 1, 2, ...n  ), т.е.            1 0 1 02 1 ,1 2 1 ,1 2 1 ,2 2 1 ,2N n N n N n N na k r A a k r A                   13 2 0 2 0 02 1 ,3 2 1 ,3 2 1 , 4 2 1 ,4 14 2 1 E N n N n N n N n d a k r A a k r A V n            ;            1 0 1 02 1 ,1 2 1 ,1 2 1 , 2 2 1 ,2N n N n N n N nc k r A c k r A                2 0 2 02 1 ,3 2 1 ,3 2 1 , 4 2 1 ,4 0N n N n N n N nc k r A c k r A      ;            1 1 1 12 1 ,1 2 1 ,1 2 1 , 2 2 1 ,2N n N n N n N na k r A a k r A     (19)               13 2 1 2 1 02 1 ,3 2 1 ,3 2 1 , 4 2 1 ,4 14 2 1 E N n N n N n N n d a k r A a k r A V n            ;            1 1 1 12 1 ,1 2 1 ,1 2 1 ,2 2 1 ,2N n N n N n N nc k r A c k r A                2 1 2 12 1 ,3 2 1 ,3 2 1 , 4 2 1 ,4 0N n N n N n N nc k r A c k r A      . Резонансные частоты определяем из условия равенства нулю определителей чет- вертого порядка однородных (при 0 0V  ) систем алгебраических уравнений (20)                                 1 1 0 2 1 0 3 2 0 4 2 0 1 1 0 2 1 0 3 2 0 4 2 0 1 1 1 2 1 1 3 2 1 4 2 1 1 1 1 2 1 1 3 2 1 4 2 1 0 m m m m m m m m m m m m m m m m a k r a k r a k r a k r c k r c k r c k r c k r a k r a k r a k r a k r c k r c k r c k r c k r  . (20) В соотношениях (16) – (20) азимутный индекс (2 1m N n  ( 1, 2, ...,n  N – число диаметральных разрезов электродного покрытия). 84 Из граничных условий (12) – (14), формул (6), (7) для механических перемещений и напряжений и частотных уравнений (16), (18) и (20) следуют такие общие свойства теоретического частотного спектра. При колебаниях пластины с одним диаметраль- ным разрезом ( 1N  , два электрода) возникают резонансы на частотах 1,kf , 3,kf , 5,kf , ... ; с двумя диаметральными разрезами ( 2N  , четыре электрода) – резонансы на частотах 2,kf , 6,kf , 10,kf , ... ; с тремя диаметральными разрезами ( 3N  , шесть электродов) – на частотах 3,kf , 9,kf , 15,kf , ... ; с четырьмя диаметральными разрезами ( 4N  , восемь электродов) – на частотах 4,kf , 12,kf , 20,kf , ... ; с пятью диаметральны- ми разрезами ( 5N  , десять электродов) – на частотах 5,kf , 15,kf , 25,kf , ... ; с шестью диаметральными разрезами ( 6N  , двенадцать электродов) – на частотах 6,kf , 18,kf , 30,kf , ... ; с семью диаметральными разрезами ( 7N  , четырнадцать электродов) – на частотах 7,kf , 21,kf , 35,kf , ... ; с восемью диаметральными разрезами ( 8N  , шестна- дцать электродов) – на частотах 8,kf , 24,kf , 40,kf , … . В принятой нумерации частот ,m kf первый индекс отвечает номеру гармоники по азимутальному углу  (номер формы по азимуту), а второй индекс k является порядковым номером корня соответ- ствующего частотного уравнения. 3. Результаты численных экспериментов и их анализ. Результаты анализа частотных уравнений представлены в табл. 1 – 3, в которых при- ведены значения безразмерных резонансных частот _ 2 11 1(1 ) E E s r    , определяемых соответственно из (17), (19), (21) при различных значениях N . Расчеты проведены при таких исходных данных: 0 1/ 0,4r r  ; 37740кг м  ; 12 2 11 15,2 10 м НEs   ; 12 Es  = 12 25,8 10 м Н ;  12 31 125 10 Кл Нd    , что соответствует пъезокерамике ЦТС-19 [2]. Таблица 1 k 0, 0 k N   1, 1 k N   2, 2 k N   3, 3 k N   1 0,77405 1,2108 1,85491 2,31119 2 2,7658 2,70754 2,87211 3,50261 3 4,24997 4,61023 5,4193 6,40551 4 7,211044 7,05481 6,88761 6,87753 5 7,93913 8,24799 8,85883 9,53872 6 10,14251 10,15934 10,23068 10,43583 7 13,06489 13,04537 13,09362 13,22587 Таблица 2 k 0, 0 k N   1, 1 k N   2, 2 k N   3, 3 k N   1 2,31578 2,46586 2,70391 3,14207 2 3,20884 3,3252 3,93292 4,80765 3 4,81907 5,20747 6,05161 6,743159 4 7,56991 7,377518 7,278965 7,747007 5 8,04387 8,391521 8,976372 9,558131 6 10,40329 10,43448 10,56156 10,88514 7 13,20124 13,1704 13,22125 13,38097 85 Таблица 3 k 0, 0 k N   1, 1 k N   2, 2 k N   3, 3 k N   1 1,42334 1,6265 0,69281 1,54389 2 3,31746 3,85103 2,34721 3,18735 3 5,49151 5,20302 4,85053 4,97488 4 6,05803 6,53165 5,05288 6,17078 5 8,896337 8,88278 7,294018 7,983204 6 10,59329 10,72654 8,93175 9,28126 7 11,76887 11,81621 11,049 11,42551 Из результатов табл. 1 – 3 следует, что при 0N  (осесимметричные колебания) при одной закрепленной (внутренней или внешней) границе (граничные условия (12) и (13)) вторая, пятая, седьмая частоты соответствуют радиальным колебаниям (10), а первая, третья, четвертая, шестая частоты соответствуют азимутальным колебаниям (11). При свободной внутренней и внешней границах радиальным колебаниям соот- ветствуют первая, третья, шестая частоты, а азимутальным колебаниям соответствуют вторая, четвертая, пятая, седьмая частоты. При граничных условиях (12), (13) (одна из границ закреплена) значения собственных частот с ростом номера моды сближаются. Этот вывод справедлив и для граничных условий (14) (свободные границы), однако значение частот в этом случае приближается со стороны меньших величин. В зависимости от условий закрепления пьезокерамической пластины и числа раз- резов N электродного покрытия первые собственные частоты квазирадиальных и ква- зиазимутальных мод колебаний значительно отличаются (иногда в два – три раза при закреплении по внешнему контуру (условия (13), (14))) по отношению к случаю неза- крепленных краев (условие (15)). С ростом номера частоты отличие в собственных частотах уменьшается (примерно до десяти процентов для седьмой частоты). Выполненные расчеты позволяют заключить, что с ростом числа разрезов N электродного покрытия даже при одной закрепленной границе частоты, соответст- вующие малым k , сдвигаются в высокочастотную область и частотный спектр стано- вится более насыщенным в высокочастотном диапазоне. Представляет интерес исследование зависимости частотного спектра от геомет- рии кольца. В табл. 4 – 6 приведены зависимости первой частоты от отношения 0 1/r r при различном числе N разрезов электродного покрытия в случаях: жесткое закреп- ление – свободный край (табл. 4); свободный край – жесткое закрепление (табл. 5); свободный край – свободный край (табл. 6). Таблица 4 0 1/r r 1N  1,1 2N  2,1 3N  3,1 4N  4,1 0,1 0,71165 1,34364 2,00921 2,61817 0,2 0,87091 1,45357 2,03302 2,62141 0,3 1,02743 1,62725 2,1194 2,6486 0,4 1,21076 1,85491 2,31119 2,75133 0,5 1,45919 2,12615 2,64278 3,01045 0,6 1,84263 2,46673 3,10797 3,52854 0,7 2,5143 3,02277 3,6822 4,32559 0,8 3,91731 4,2612 4,77424 5,39814 0,9 8,23944 8,40371 8,67026 9,02956 86 Таблица 5 0 1/r r 1N  1,1 2N  2,1 3N  3,1 4N  4,1 0,1 1,95992 2,75578 3,79396 4,56191 0,2 2,06778 2,50631 3,55341 4,4994 0,3 2,23762 2,50406 3,22194 4,15698 0,4 2,46665 2,70391 3,14207 3,81339 0,5 2,7481 3,08122 3,36569 3,78359 0,6 3,11977 3,60247 3,93426 4,18378 0,7 3,74549 4,21597 4,81566 5,20081 0,8 5,0915 5,42034 5,92438 6,5546 0,9 9,3562 9,51646 9,77759 10,13163 Таблица 6 0 1/r r 1N  1,1 2N  2,1 3N  3,1 4N  4,1 0,1 1,56127 1,23169 2,00392 2,618 0,2 1,58725 1,05552 1,95461 2,61131 0,3 1,61479 0,86562 1,79267 2,55171 0,4 1,62666 0,69304 1,54389 2,35656 0,5 1,61051 0,54047 1,27326 2,04243 0,6 1,56808 0,4038 1,00296 1,67866 0,7 1,50873 0,28052 0,73471 1,28545 0,8 1,44201 0,17266 0,4703 0,8614 0,9 1,37384 0,07913 0,22072 0,41876 Представленные численные результаты позволяют заключить, что значение час- тот колебаний существенно зависит от геометрии кольца и от количества разрезов. При 1N  эта зависимость имеет максимум, а при 2, 3, 4N  значение частоты убы- вает с ростом величины отверстия. Кроме того, следует отметить, что в случае по- добной геометрии кольца частоты колебаний возрастают при увеличении количест- ва разрезов. С ростом отношения 0 1/r r значения собственных частот, определяемых из соотношений (16), (18), могут отличаться в несколько раз от аналогичных частот, определяемых из соотношения (20). Также отметим, что чем выше значение 0 1/r r , тем больше отличие. Заключение. В тонких кольцевых пьезокерамических пластинах с радиальными разрезами электродного покрытия возбуждаются неосесимметричные электроупругие планар- ные колебания. В статье получено общее решение соответствующей задачи. Для трех типов граничных условий численно исследованы спектры собственных частот коле- баний для низших по азимутальной координате гармоник при различном числе ради- альных разрезов электродного покрытия и отношениях внутреннего и внешнего ра- диусов пластины. Установлена зависимость значений квазирадиальных и квазиазиму- тальных собственных частот от номера частоты и числа разрезов электродного по- крытия. Установлено, что если одна из двух границ пластины закреплена, то значение собственных частот выше, чем в случае свободных внешней и внутренней границ. Для рассматриваемых случаев граничных условий, варьируя геометрией пластины или числом разрезов, можно существенно изменять значение собственных частот ко- лебаний пластин. 87 Р Е ЗЮМ Е . Отримано загальний розв’язок задачі про неосесиметричні електромеханічні ко- ливання п’єзокерамічної кільцевої пластини. Для пластин з радіальними розрізами електродного покриття при граничних умовах (жорстке закріплення – вільний край, вільний край – жорстке закріплення, вільний край – вільний край) чисельно визначено і проаналізовано вплив граничних умов на спектри власних частот коливань для перших гармонік по окружній координаті. 1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1972. – 736 с. 2. Шульга Н.А., Болкисев А.М. Колебания пьезоэлектрических тел. – К.: Наук. думка, 1990. – 228 с. 3. Шульга М.О. До теорії електромеханічних неосесиметричних коливань п’єзокерамічних пластин з товщинною поляризацією // Системні технології. – 2007. – Вип. 7. – С. 63 – 68. 4. Шульга М.О., Левченко В.В. До теорії неосесиметричних електропружних коливань п’єзокера- мічних пластин // Доп. НАН України. – 2012. – № 6. – С. 61 – 68. 5. Dieulesant E., Royer D. Ondes elastiques dans les solides. Application au raiment du signal. – Paris: Mas- son et C, 1974. – 424 p. 6. Krasnopolskaya T.S. Shvets A.Yu. Deterministic Chaos in a System Generator – Piezoceramic Transducer // Nonlinear Dynamics and Systems Theory. – 2006. – 6, N 4 – P. 367 – 387. 7. Huang C.H, Ma C.C., Lin Y.C. Theoretical, numerical, and experimental investigation on resonant vibra- tions of piezoceramic annular disks // IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics and Frequency Control. – 2005. – 52, N 8. –P. 1204 – 1216. 8. Huang C.H. Resonant vibration investigations for piezoceramic disks and annuli by using the equivalent constant method // IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics and Frequency Control. – 2005. – 52, N 8. – P. 1217 – 1228. 9. Mason W.P. Piezoelectricity, its history and applications // J. Acoust. Soc. Am. – 1981. – 70, N 6. – P. 1561 – 1566. 10. Shul’ga N.A. Mixed Systems of Equations in Kirchhoff’s Theory of the Transverse Vibrations of Plates // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 2. – P. 194 – 202. 11. Shul’ga N.A., Levchenko V.V. Natural Modes of Piezoelectric Circural Plates with Radially Cuts Elec- trodes // Int. Appl. Mech. – 2014. – 50, N5. – P. 582 – 592.. 12. Shul’ga N.A., L.O. Grigor`eva, N.O.Volkova. Electrically Excited Nonstationary Vibrations of Thin Circular Piezoelectric Plates // Int. Appl. Mech. – 2014. – 50, N 4. – P. 406 – 412.. 13. Tiersten H. F. Linear theory of piezoelectric plate vibrations. – N – Y.: Plenum Press, 1969. – 206 p. Поступила 18.09.2012 Утверждена в печать 30.09.2014

Ähnliche Einträge