Магнитная структура и резонансные свойства гексагональной решетки антиточек

Исследованы статические и резонансные свойства ферромагнитной пленки с гексагональной решеткой антиточек (отверстий в пленке). Описание свойств системы основано на микромагнитном моделировании и аналитических решениях уравнения Ландау–Лифшица. Исследована зависимость спектра ферромагнитного резонанс...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Физика низких температур
Дата:	2012
Автори:	Марченко, А.И., Криворучко, В.Н.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2012
Теми:	Низкотемпеpатуpный магнетизм
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116842
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Магнитная структура и резонансные свойства гексагональной решетки антиточек / А.И. Марченко, В.Н. Криворучко // Физика низких температур. — 2012. — Т. 38, № 2. — С. 195-208. — Бібліогр.: 49 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-116842
record_format	dspace
spelling	Марченко, А.И. Криворучко, В.Н. 2017-05-16T18:57:18Z 2017-05-16T18:57:18Z 2012 Магнитная структура и резонансные свойства гексагональной решетки антиточек / А.И. Марченко, В.Н. Криворучко // Физика низких температур. — 2012. — Т. 38, № 2. — С. 195-208. — Бібліогр.: 49 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 75.50.Tt, 75.50.–у, 75.75.–c https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116842 Исследованы статические и резонансные свойства ферромагнитной пленки с гексагональной решеткой антиточек (отверстий в пленке). Описание свойств системы основано на микромагнитном моделировании и аналитических решениях уравнения Ландау–Лифшица. Исследована зависимость спектра ферромагнитного резонанса от ориентации внешнего магнитного поля в плоскости пленки и геометрических параметров решетки. Изучен характер изменения динамики системы от частоты при фиксированном магнитном поле и от поля при фиксированной частоте, когда изменение поля приводит к изменению статического магнитного упорядочения. Установлено, что специфические особенности динамики системы сохраняются в обеих постановках эксперимента. При малых коэффициентах затухания в спектре магнитного резонанса наблюдается три квазиоднородные моды, отвечающие резонансу различных областей (доменов) элементарной ячейки решетки антиточек. Показано, что угловые зависимости частот резонанса отдельных мод обладают симметрией второго порядка, при этом соответствующие легкие оси повернуты друг относительно друга на 60°. В результате реализуется гексагональная симметрия статических и динамических магнитных характеристик системы. Наличие в спектре резонанса нескольких квазиоднородных мод, отвечающих прецессии магнитных моментов разных участков элементарной ячейки решетки, может быть принципиальным для функционирования рабочих элементов приборов магноники. Досліджено статичні та резонансні властивості феромагнітної плівки з гексагональною граткою антиточок (отворів у плівці). Опис властивостей системи базується на мікромагнітному моделюванні та аналітичному розв’язанні рівнянь Ландау–Ліфшица. Досліджено залежність спектра феромагнітного резонансу від орієнтації зовнішнього магнітного поля у площині плівки та геометричних параметрів гратки. Вивчено характер зміни динаміки системи від частоти при фіксованому магнітному полі та від поля при фіксованій частоті, коли зміна поля приводить до зміни статичного магнітного упорядкування. Встановлено, що специфічні особливості динаміки системи зберігаються в обох постановках експерименту. При малих коефіцієнтах згасання в спектрі магнітного резонансу спостерігаються три квазіоднорідні моди, які відповідають резонансу різних областей (доменів) елементарної комірки гратки антиточок. Показано, що кутові залежності частот резонансу окремих мод характеризуються симетрією другого порядку, при цьому відповідні легкі вісі повернені одна відносно одної на 60°. Таким чином, реалізується гексагональна симетрія статичних та динамічних характеристик системи. Наявність в спектрі резонансу кількох квазіоднорідних мод, що відповідають прецесії магнітних моментів різних часток елементарної комірки гратки, може бути принциповим для функціювання робочих елементів приборів магноніки. Static and resonance properties of ferromagnetic films with an antidot lattice (pores in the film) are studied. The description of the system is based on micromagnetic modeling and analytical solution of the Landau–Lifshitz equation. The dependences of ferromagnetic resonance spectra on the in-plane direction of applied magnetic field and on the lattice parameters are investigated. The dependences of a dynamic system response on frequency at fixed magnetic field and on field at fixed frequency, when the field changes cause the static magnetic order to change are explored. It is found that the specific peculiarities of the system А.И. Марченко, В.Н. Криворучко 208 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2012, т. 38, № 2 dynamics leave unchange for both of these experimental conditions. Namely, for low damping the resonance spectra contain three quasi-homogeneous modes which are due to the resonance of different regions (domains) of the antidot lattice cell. It is shown the angular field dependences of each mode are characterized by a twofold symmetry and the related easy axes are mutually rotated by 60 degrees. As the result, a hexagonal symmetry of the system static and dynamic magnetic characteristics is realized. The existence in the resonance spectrum of severel quasi-homogeneous modes related to different regions of the unit cell could be fundamental for working elements of magnonic devices. ru Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України Физика низких температур Низкотемпеpатуpный магнетизм Магнитная структура и резонансные свойства гексагональной решетки антиточек Magnetic structure and resonance properties of hexagonal antidot lattice Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Магнитная структура и резонансные свойства гексагональной решетки антиточек
spellingShingle	Магнитная структура и резонансные свойства гексагональной решетки антиточек Марченко, А.И. Криворучко, В.Н. Низкотемпеpатуpный магнетизм
title_short	Магнитная структура и резонансные свойства гексагональной решетки антиточек
title_full	Магнитная структура и резонансные свойства гексагональной решетки антиточек
title_fullStr	Магнитная структура и резонансные свойства гексагональной решетки антиточек
title_full_unstemmed	Магнитная структура и резонансные свойства гексагональной решетки антиточек
title_sort	магнитная структура и резонансные свойства гексагональной решетки антиточек
author	Марченко, А.И. Криворучко, В.Н.
author_facet	Марченко, А.И. Криворучко, В.Н.
topic	Низкотемпеpатуpный магнетизм
topic_facet	Низкотемпеpатуpный магнетизм
publishDate	2012
language	Russian
container_title	Физика низких температур
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
format	Article
title_alt	Magnetic structure and resonance properties of hexagonal antidot lattice
description	Исследованы статические и резонансные свойства ферромагнитной пленки с гексагональной решеткой антиточек (отверстий в пленке). Описание свойств системы основано на микромагнитном моделировании и аналитических решениях уравнения Ландау–Лифшица. Исследована зависимость спектра ферромагнитного резонанса от ориентации внешнего магнитного поля в плоскости пленки и геометрических параметров решетки. Изучен характер изменения динамики системы от частоты при фиксированном магнитном поле и от поля при фиксированной частоте, когда изменение поля приводит к изменению статического магнитного упорядочения. Установлено, что специфические особенности динамики системы сохраняются в обеих постановках эксперимента. При малых коэффициентах затухания в спектре магнитного резонанса наблюдается три квазиоднородные моды, отвечающие резонансу различных областей (доменов) элементарной ячейки решетки антиточек. Показано, что угловые зависимости частот резонанса отдельных мод обладают симметрией второго порядка, при этом соответствующие легкие оси повернуты друг относительно друга на 60°. В результате реализуется гексагональная симметрия статических и динамических магнитных характеристик системы. Наличие в спектре резонанса нескольких квазиоднородных мод, отвечающих прецессии магнитных моментов разных участков элементарной ячейки решетки, может быть принципиальным для функционирования рабочих элементов приборов магноники. Досліджено статичні та резонансні властивості феромагнітної плівки з гексагональною граткою антиточок (отворів у плівці). Опис властивостей системи базується на мікромагнітному моделюванні та аналітичному розв’язанні рівнянь Ландау–Ліфшица. Досліджено залежність спектра феромагнітного резонансу від орієнтації зовнішнього магнітного поля у площині плівки та геометричних параметрів гратки. Вивчено характер зміни динаміки системи від частоти при фіксованому магнітному полі та від поля при фіксованій частоті, коли зміна поля приводить до зміни статичного магнітного упорядкування. Встановлено, що специфічні особливості динаміки системи зберігаються в обох постановках експерименту. При малих коефіцієнтах згасання в спектрі магнітного резонансу спостерігаються три квазіоднорідні моди, які відповідають резонансу різних областей (доменів) елементарної комірки гратки антиточок. Показано, що кутові залежності частот резонансу окремих мод характеризуються симетрією другого порядку, при цьому відповідні легкі вісі повернені одна відносно одної на 60°. Таким чином, реалізується гексагональна симетрія статичних та динамічних характеристик системи. Наявність в спектрі резонансу кількох квазіоднорідних мод, що відповідають прецесії магнітних моментів різних часток елементарної комірки гратки, може бути принциповим для функціювання робочих елементів приборів магноніки. Static and resonance properties of ferromagnetic films with an antidot lattice (pores in the film) are studied. The description of the system is based on micromagnetic modeling and analytical solution of the Landau–Lifshitz equation. The dependences of ferromagnetic resonance spectra on the in-plane direction of applied magnetic field and on the lattice parameters are investigated. The dependences of a dynamic system response on frequency at fixed magnetic field and on field at fixed frequency, when the field changes cause the static magnetic order to change are explored. It is found that the specific peculiarities of the system А.И. Марченко, В.Н. Криворучко 208 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2012, т. 38, № 2 dynamics leave unchange for both of these experimental conditions. Namely, for low damping the resonance spectra contain three quasi-homogeneous modes which are due to the resonance of different regions (domains) of the antidot lattice cell. It is shown the angular field dependences of each mode are characterized by a twofold symmetry and the related easy axes are mutually rotated by 60 degrees. As the result, a hexagonal symmetry of the system static and dynamic magnetic characteristics is realized. The existence in the resonance spectrum of severel quasi-homogeneous modes related to different regions of the unit cell could be fundamental for working elements of magnonic devices.
issn	0132-6414
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116842
citation_txt	Магнитная структура и резонансные свойства гексагональной решетки антиточек / А.И. Марченко, В.Н. Криворучко // Физика низких температур. — 2012. — Т. 38, № 2. — С. 195-208. — Бібліогр.: 49 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT marčenkoai magnitnaâstrukturairezonansnyesvoistvageksagonalʹnoirešetkiantitoček AT krivoručkovn magnitnaâstrukturairezonansnyesvoistvageksagonalʹnoirešetkiantitoček AT marčenkoai magneticstructureandresonancepropertiesofhexagonalantidotlattice AT krivoručkovn magneticstructureandresonancepropertiesofhexagonalantidotlattice
first_indexed	2025-11-25T22:46:31Z
last_indexed	2025-11-25T22:46:31Z
_version_	1850573048265048064
fulltext	© А.И. Марченко, В.Н. Криворучко, 2012 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2012, т. 38, № 2, c. 195–208 Магнитная структура и резонансные свойства гексагональной решетки антиточек А.И. Марченко, В.Н. Криворучко Донецкий физико-технический институт им. А.А. Галкина НАН Украины ул. Р. Люксембург, 72, г. Донецк, 83114, Украина E-mail: krivoruc@gmail.com Статья поступила в редакцию 27 января 2011 г., после переработки 3 августа 2011 г. Исследованы статические и резонансные свойства ферромагнитной пленки с гексагональной решет- кой антиточек (отверстий в пленке). Описание свойств системы основано на микромагнитном моделиро- вании и аналитических решениях уравнения Ландау–Лифшица. Исследована зависимость спектра фер- ромагнитного резонанса от ориентации внешнего магнитного поля в плоскости пленки и геометрических параметров решетки. Изучен характер изменения динамики системы от частоты при фиксированном магнитном поле и от поля при фиксированной частоте, когда изменение поля приводит к изменению ста- тического магнитного упорядочения. Установлено, что специфические особенности динамики системы сохраняются в обеих постановках эксперимента. При малых коэффициентах затухания в спектре магнит- ного резонанса наблюдается три квазиоднородные моды, отвечающие резонансу различных областей (доменов) элементарной ячейки решетки антиточек. Показано, что угловые зависимости частот резонан- са отдельных мод обладают симметрией второго порядка, при этом соответствующие легкие оси повер- нуты друг относительно друга на 60°. В результате реализуется гексагональная симметрия статических и динамических магнитных характеристик системы. Наличие в спектре резонанса нескольких квазиодно- родных мод, отвечающих прецессии магнитных моментов разных участков элементарной ячейки решет- ки, может быть принципиальным для функционирования рабочих элементов приборов магноники. Досліджено статичні та резонансні властивості феромагнітної плівки з гексагональною граткою анти- точок (отворів у плівці). Опис властивостей системи базується на мікромагнітному моделюванні та ана- літичному розв’язанні рівнянь Ландау–Ліфшица. Досліджено залежність спектра феромагнітного резо- нансу від орієнтації зовнішнього магнітного поля у площині плівки та геометричних параметрів гратки. Вивчено характер зміни динаміки системи від частоти при фіксованому магнітному полі та від поля при фіксованій частоті, коли зміна поля приводить до зміни статичного магнітного упорядкування. Встанов- лено, що специфічні особливості динаміки системи зберігаються в обох постановках експерименту. При малих коефіцієнтах згасання в спектрі магнітного резонансу спостерігаються три квазіоднорідні моди, які відповідають резонансу різних областей (доменів) елементарної комірки гратки антиточок. Показано, що кутові залежності частот резонансу окремих мод характеризуються симетрією другого порядку, при цьому відповідні легкі вісі повернені одна відносно одної на 60°. Таким чином, реалізується гексаго- нальна симетрія статичних та динамічних характеристик системи. Наявність в спектрі резонансу кількох квазіоднорідних мод, що відповідають прецесії магнітних моментів різних часток елементарної комірки гратки, може бути принциповим для функціювання робочих елементів приборів магноніки. PACS: 75.50.Tt Системы из малых частиц (мелкодисперсные системы), нанокристаллические мате- риалы; 75.50.–у Изучение конкретных магнитных материалов; 75.75.–c Магнитные свойства наноструктур. Ключевые слова: решетка антиточек, микромагнитное моделирование, ферромагнитный резонанс. А.И. Марченко, В.Н. Криворучко 196 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2012, т. 38, № 2 1. Введение Магнитные свойства решеток ферромагнитных на- ноточек (nanodots) и наноразмерных антиточек (antidots) (отверстий в ферромагнитной пленке) в на- стоящее время являются предметом интенсивных экс- периментальных и теоретических исследований (см., например, [1–6] и приведенные там ссылки). В основ- ном речь идет о нанообъектах цилиндрической формы, но иногда обсуждаются и более сложные структуры [7–9]. Интерес к таким системам обусловлен потенци- альными возможностями их использования в устрой- ствах информационных нанотехнологий следующего поколения [10]. Кроме того, изучение магнитных свойств решеток наноточек и антиточек является необ- ходимым для понимания особенностей магнитных свойств наноструктурированных систем, что обуслов- ливает академический интерес к ним. Оба эти фактора стимулируют формирование нового направления в физике магнетизма, получившего название магноники (magnonics) [11,12]. Важной особенностью наноструктурированных магнитных систем является существенная роль конфи- гурационной анизотропии. Причиной появления кон- фигурационной анизотропии есть магнитодипольное взаимодействие [13]. Магнитодипольное взаимодей- ствие, в свою очередь, определяется симметрией ре- шетки точек/антиточек и их формой; т.е. может быть сформировано на этапе создания образца. Установле- ние характера зависимости статических и динамиче- ских свойств системы от геометрических параметров и магнитной структуры нанообъектов исключительно важно при использовании этих систем в приложениях. Один из наиболее информативных методов исследо- вания магнитных свойств систем наноточек и антиточек — метод ферромагнитного резонанса (ФМР). Именно результаты таких исследований чаще всего представле- ны и обсуждаются в литературе (см., например, [14– 16]). Однако большая часть сообщений относится к рас- смотрению структур с прямоугольной решеткой анти- точек. Разработано несколько моделей статических и динамических свойств таких систем [17,18]. Моделиро- вание же динамических характеристик систем с более сложной конфигурацией антиточек, например гексаго- нальной, существенно сложнее прямоугольной, и теоре- тические исследования в этой области только начина- ются [19–21]. Следует отметить, что особенностью теоретического описания наноструктурированных сис- тем является то, что сложная геометрия образца не по- зволяет получить общие аналитические соотношения, описывающие статические и динамические характери- стики системы. Поэтому основной аппарат теоретиче- ских исследований наноструктурированных систем — компьютерное моделирование, в частности микромаг- нитное моделирование (см., например, [22–24]). В данном сообщении приведены результаты модели- рования статических и динамических свойств тонкой ферромагнитной пленки с гексагональной решеткой ан- титочек, основанные на теории микромагнетизма и ана- литических вычислениях. Использование аналитических выражений позволяет выявить некоторые особенности резонансных свойств системы, которые обычно теряют- ся при «полном» численном моделировании. Основной задачей в таком подходе является нахождение равновес- ного распределения намагниченности, соответствующе- го минимуму магнитной энергии системы. При извест- ном распределении намагниченности, используя уравнение движения для намагниченности (уравнение Ландау–Лифшица), можно восстановить динамический отклик системы на внешнее однородное переменное магнитное поле. Показано, что влияние наведенной ре- шеткой антиточек анизотропии усиливается с увеличе- нием отношения радиуса антиточки к параметру решет- ки. Установлено наличие в спектре ФМР системы локализованных мод, которые соответствуют прецессии магнитных моментов отдельных участков (доменов) элементарной магнитной ячейки решетки. Проанализи- рованы зависимости резонансных частот локализован- ных мод от направления внешнего магнитного поля в плоскости пленки. Обнаружено, что локальная конфигу- рационная анизотропия доменов обладает симметрией второго порядка, а их легкие оси повернуты друг отно- сительно друга на 60°. В результате частота резонанса всей системы, соответствующая максимуму резонансной кривой, меняется с периодом 60° в соответствии с гекса- гональной симметрией решетки. Результаты теории срав- ниваются с существующими экспериментальными дан- ными. Модель позволяет описать резонансные свойства решетки антиточек в широком диапазоне полей, частот и геометрических параметров образца и адекватно воспро- изводит наблюдаемые экспериментально статические и динамические свойства рассматриваемых систем. Предварительные результаты данных исследований опубликованы в работе [25]. Здесь мы детально обсуж- даем условия применимости предложенного метода вычислений, его эффективность и адекватность по- ставленной задаче и более полно анализируем свойства рассматриваемых систем. В частности, в данной работе рассмотрена и традиционная для магнитного резонанса (однородно намагниченных систем) постановка экспе- римента — регистрация поглощаемой мощности на заданной частоте при изменении внешнего магнитного поля. Заметим, что для систем в ненасыщенном со- стоянии изменение поля приводит и к изменению ста- тического магнитного упорядочения. Показано, что специфические особенности динамики системы сохра- няются в таких постановках эксперимента. Отметим, что приведенные результаты численных расчетов по- лучены для параметров системы/геометрии экспери- мента, отличных от использованных в работе [25]. Магнитная структура и резонансные свойства гексагональной решетки антиточек Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2012, т. 38, № 2 197 2. Аналитическая модель Равновесное распределение намагниченности сис- темы определяется условием минимума функционала плотности магнитной энергии. Предположим, что температура много меньше температуры Кюри и тем- пературными эффектами можно пренебречь. Считаем также, что величина намагниченности не зависит от координат; т.е. функцией координат является только ориентация магнитного момента в пространстве. То- гда условие 0( ) constM= =M r дополняет вариацион- ную задачу нахождения распределения намагниченно- сти, отвечающей минимуму энергии системы. В силу последнего ограничения необходимое условие мини- мума имеет вид [26–28]: [ ]eff( ), ( ) 0=M r H r , (1) где eff ( ) ( / )i i W W x x ∂ ∂ ∂ = − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ H r M M — эффективное магнитное поле, действующее на магнитный момент ( ),M r W — плотность энергии системы. Энергию решетки антиточек во внешнем магнитном поле можно представить в виде суммы вкладов, обу- словленных энергией Зеемана, анизотропией, обмен- ным взаимодействием и размагничивающим полем. В веществах, используемых для создания систем антито- чек (например, пермаллоя), магнитострикцией обычно пренебрегают. Тогда эффективное поле, действующее на магнитный момент в точке ,r имеет вид: eff app an ex dem( ) ( ) ( ) ( ).= + + +H r H H r H r H r (2) Здесь appH — внешнее магнитное поле, которое счи- тается однородным, an ( )H r — поле магнитокристал- лической анизотропии, ex ( )H r — поле обменного взаимодействия, dem ( )H r — размагничивающее по- ле. Пермаллой характеризуется кубической анизотро- пией [29], так что поле an ( )H r может быть записано в виде [27]: 3 3 3 an 4 0 4( ) ( ( ) ( ) ( ) ),x x y y z z K M M M M = + +H r r e r e r e (3) где K — константа анизотропии, ,xe ,ye ze — орты. Для системы с кубической симметрией третье слагае- мое в уравнении (2), которое определяется обменным взаимодействием, принимает вид [28]: ex 2 0 ( ) ( ) ( ), M α = λ + ⋅ΔH r M r M r (4) где λ и α — постоянные однородного и неоднородного обмена. Известно [27,28], что при исследовании равно- весного состояния намагниченности системы слагае- мое, описывающее однородный обмен, может быть отброшено, поскольку оно не влияет на результат вы- числения векторного произведения (1). Однако мы об- наружили, что при численном нахождении равновес- ного состояния системы учет этого слагаемого позволяет существенно ускорить сходимость итераци- онного процесса (см. Приложение). Размагничивающее поле в ферромагнетике произ- вольной формы может быть записано в виде [27]: dem 3 ( ( ))( )( ) V d∇⋅ − = − + − ∫ M q r qH r q r q 3 ( ( ) )( ) , S ds⋅ − ′+ − ∫ M q n r q r q (5) где n — внешняя нормаль к поверхности ds′. Известно, что только для однородно намагниченного образца эллипсоидальной формы выражение (5) может быть сведено к стандартному виду dem ˆ ,DN=H M где тен- зор размагничивающих факторов ˆ DN не зависит от координат. В случае систем со сложной геометрией тензор ˆ DN зависит от координат и получить аналити- ческую зависимость для demH не удается. Более того, будучи нелокальным, поле dem ( )H r есть функция не только ( ),M r но зависит от всей магнитной конфигу- рации системы {M}. В результате и выражение (2) для eff ( ),H r а значит, и магнитная структура основного состояния системы, могут быть найдены только в чис- ленном виде. Динамические свойства решетки антиточек могут быть определены из уравнения движения намагничен- ности Ландау—Лифшица в форме: eff( , ) ( , ) ( , )t t t t ∂ = −γ ⋅ × − ∂ M r M r H r eff2 0 ( , ) ( ( , ) ( , )),t t t M β − × ×M r M r H r (6) где γ — гиромагнитное отношение, 0β > — коэффи- циент затухания. Нас будет интересовать линейный отклик системы на внешнее однородное переменное поле. При исследованиях линейного отклика намагни- ченность ( , )tM r и эффективное поле eff ( , )tH r тради- ционно представляют в виде суммы статической 0 ( ), M r eff0 ( )H r и динамической ( , ),tm r eff ( , )th r составляющих. Переменные части при этом считаются малыми: 0( , ) ( ) ,t <<m r M r eff eff0( , ) ( ) .t <<h r H r Поскольку 0 ( )M r и eff0 ( )H r известны только в чис- А.И. Марченко, В.Н. Криворучко 198 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2012, т. 38, № 2 ленном виде, обычно (см., например, [30]) следующим шагом при исследовании динамических свойств сис- темы является численное решение линеаризованных уравнений движения (6). Заметим, что формально можно ввести линейный оператор — оператор размагничивания N — и ли- нейное соотношение (5) записать в виде dem{ } =H – { }= N M (явный вид оператора N приведен, напри- мер, в [31]). Тогда выражение для эффективного поля принимает вид eff app{ } – { } .= +H N M H При этом пе- ременные составляющие ( , )tm r и eff ( , )th r связаны линейным операторным соотношением eff{ } =h 0 app– { ( )} .= +N M r m h Используя это соотношение, для линеаризованного уравнения (6) можно получить решение в аналитическом виде, которое будет функци- ей оператора размагничивания 0{ ( )}N M r (см. [31]). Но как нахождение равновесной магнитной конфигурации 0 0[ ( ) , { ( )}] 0,=M r N M r так и решение динамического уравнения могут быть выполнены только в численном виде, что требует достаточно мощного компьютерного обеспечения (пример подобного расчета можно найти в работе [31]). Мы предлагаем метод расчета, позволяющий при ис- следовании линейной динамики систем с неоднородным распределением намагниченности в основном состоя- нии получить аналитические решения уравнения Лан- дау–Лифшица. Метод опирается на некоторые идеи ме- тода «эффективных размагничивающих факторов» (см., например, [32,33]) и оператора размагничивания [31]. А именно, в начале методами микромагнитного модели- рования определяются равновесные распределения на- магниченности 0 ( )M r и эффективного поля eff 0 ( ).H r Как уже отмечалось, при 0( ) constM= =M r необхо- димое условие минимума энергии системы имеет вид: eff[ ( ), ( )] 0.=M r H r Данное условие решается численно (см. Приложение) и тем самым восстанавливаются (в численном виде) равновесные значения 0 ( )M r и eff 0 ( ).H r (Фактически это соответствует решению уравнения 0 0[ ( ) , { ( )}] 0=M r N M r в подходе [31].) Далее, как обычно, считается, что переменные со- ставляющие намагниченности малы по сравнению с постоянными, а значит, eff ( , )th r есть линейная функция ( , ).tm r В континуальном приближении ( , )tm r может быть представлено в виде однородного вклада ( )tm и его градиентов. Предположим, что степень неоднород- ного распределения динамической части намагниченно- сти ( , )tm r такова (конкретные оценки будут приведены ниже), что в выражении для eff ( , )th r можно пренебречь градиентами переменных составляющих намагниченно- сти ( , ) / .t∂ ∂m r r Тогда динамическую часть эффектив- ного поля можно записать в виде: ( )eff app ˆ( , ) ( ) ( ) ( ),t t N t= − 0h r h M r m (7) здесь app ( )th — переменная составляющая внешнего поля, 0 ˆ ˆ( ( )) ( )N N≡M r r — локальный тензор эффек- тивных размагничивающих факторов в системе коор- динат, ось oz которой параллельна направлению на- магниченности в данной точке r. Компоненты локального эффективного тензора ˆ ( )N r можно найти следующим образом (здесь мы следуем работе [34]). Представим объем рассматри- ваемой ферромагнитной пленки в виде набора прямо- угольных параллелепипедов ijkK (см. выражение (П.1) Приложения). Эффективное поле элемента равномер- ной сетки, согласно (2), имеет вид: eff ( ) app an( ) ex( ) dem( ).ijk ijk ijk ijk= + + +H H H H H (8) Считаем, что внутри элемента ijkK намагниченность постоянна. Тогда выражение для размагничивающего поля существенно упрощается. Первое слагаемое в (5) обращается в нуль, поскольку внутри элемента ijkK дивергенция намагниченности отсутствует по опреде- лению. Второе слагаемое переходит в сумму интегра- лов по поверхностям всех элементов ,ijkK на которые равномерная сетка разбивает объем системы. Опуская индексы i,j,k, для компонент размагничивающего поля элемента ijkK с 1 2 ,x x xq q q≤ ≤ 1 2 ,y y yq q q≤ ≤ 1 2z z zq q q≤ ≤ имеем: ____________________________________________________ ( ) 2 22 22 2 22 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 dem 0 0 03 3 3\| \| \| , y yx xz z yx z x y z y z x z x y q qq qq q qq qx x x x y z x x z y x y zq q q q q q q q q x q x q x q H dq dq M dq dq M dq dq M R R R − − − = + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫r (9a) ( ) 2 22 22 2 22 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0dem 3 3 3\| \| \| , y yx xz z yx z x y z y z x z x y q qq qq q qy y yq qy y z x x z y x y zq q q q q q q q q y q y q y q H dq dq M dq dq M dq dq M R R R − − − = + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫r (9б) ( ) 2 22 22 2 22 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 dem 0 0 03 3 3\| \| \| . y yx xz z yx z x y z y z x z x y q qq qq q qq qz z z z y z x x z y x y zq q q q q q q q q z q z q z q H dq dq M dq dq M dq dq M R R R − − − = + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫r (9в) Магнитная структура и резонансные свойства гексагональной решетки антиточек Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2012, т. 38, № 2 199 Мы обозначили 2 2 2 1/2[( ) ( ) ( ) ]x y zR x q y q z q= − + − + − — расстояние от точки наблюдения r = (x, y, z,) до точки интегрирования, а символ \|ba означает разность соответствующего двойного интеграла для верхнего и нижнего параметров. Учитывая, что внутри элемента ijkK намагниченность постоянна, соотношения (9) запишем в виде: dem 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ,x xx x xy y xz zH n M n M n M= + +r r r r 0 0 0dem ( ) ( ) ( ) ( ) ,y yx x yy y yz zH n M n M n M= + +r r r r dem 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) .z zx x zy y zz zH n M n M n M= + +r r r r Явный вид введенных здесь компонент тензора раз- магничивающих факторов ˆ( )n r однородно намагни- ченного элемента ijkK легко получить из (9). Так, из (9а) имеем 2 2 2 1 1 1 3( ) \| , y z x x y z q q qx xx y z q q q x q n dq dq R − = ∫ ∫r 2 2 2 1 1 1 3( ) \| , x z y y x z q q qx xy x z q q q x q n dq dq R − = ∫ ∫r 22 2 1 1 1 3( ) \| . yx z z x y qq qx xz x y q q q x q n dq dq R − = ∫ ∫r Аналогичный вид имеют и остальные компоненты тен- зора. Используя табличные интегралы и восстанавливая индексы i, j, k, для диагональных компонент получаем: 2 , , 1 ( )( ) ( ) ( 1) arctg , ( ) yq zlijk l p q xx xp ijkl p q y q z q n x q R + + = − − = − −∑r (10a) 2 , , 1 ( )( ) ( ) ( 1) arctg , ( ) xp zlijk l p q yy yq ijkl p q x q z q n y q R + + = − − = − −∑r (10б) 2 , , 1 ( )( ) ( ) ( 1) arctg . ( ) xp yqijk l p q zz zl ijkl p q x q y q n z q R + + = − − = − −∑r (10в) Недиагональные компоненты равны 2 , , 1 ( ) ( ) ( 1) ln ( ),ijk ijk l p q xy yx zl ijk l p q n n z q R+ + = = = − − +∑r r (11a) 2 , , 1 ( ) ( ) ( 1) ln ( ),ijk ijk l p q xz zx yq ijk l p q n n y q R+ + = = = − − +∑r r (11б) 2 , , 1 ( ) ( ) ( 1) ln ( ),ijk ijk l p q yz zy xp ijk l p q n n x q R+ + = = = − − +∑r r (11в) здесь 1/22 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )ijk xp yq zl ijk R x q y q z q⎡ ⎤= − + − + −⎣ ⎦ . При использовании полученных значений размагничи- вающего поля dem( )ijkH в выражении (8) для элемента ijkK становится возможным определить и значения компонент тензора эффективных размагничивающих факторов ( ) ˆ ( ) .ijkN r Суммирование по всем элементам ijkK позволяет найти тензор ˆ ( ).N r Как и в традици- онном методе эффективных размагничивающих фак- торов [32,33] (см., также [35]), результирующий тензор ˆ ( )N r включает вклад как от поля размагничивания, так и соответствующие вклады от анизотропии и (од- нородной части) обменного взаимодействия. Подчерк- нем, что координатная зависимость коэффициентов ˆ ( )N r воспроизводит статическую неоднородность основного состояния системы. В частности, полностью учитывается геометрия нанесенного на пленку «узо- ра» антиточек. Линеаризация уравнения (6) с использованием со- отношения (7) определяет систему линейных уравне- ний для изменяющейся со временем части намагни- ченности ( , ).tm r Решение этой системы позволяет определить коэффициенты пропорциональности меж- ду намагниченностью и внешним переменным полем. Для переменного поля заданной частоты ω имеем appˆ( , ) ( , ) ( ),χω = ω ωm r r h где ˆ ( , )χ ωr — тензор высо- кочастотной магнитной восприимчивости системы. В данном случае тензор ˆ ( , )χ ωr есть локальный тензор, устанавливающий соответствие между внешним пере- менным магнитным полем app ( )ωh и динамической частью намагниченности ( , )ωm r в точке r решетки на частоте ω . Отметим, что, выбирая локальную систему координат с осью oz, направленной вдоль намагничен- ности 0( )ijkM , переменные eff ( , )th r и ( , )tm r элемен- та ijkK будут иметь только поперечные составляю- щие; т.е. в (7) войдут только поперечные составляющие тензора эффективных размагничиваю- щих факторов: ( )( ) ,xx ijkN r ( )( ) ,xy ijkN r ( )( )yx ijkN r и ( )( ) .yy ijkN r Переход в «лабораторную» систему коор- динат осуществляется по известным формулам «пово- рота» координатных систем. Определим теперь физический смысл приближения (7) и конкретизируем условия его применимости. За- метим, что выражения (10) и (11) позволяют получить для компонент магнитостатического поля формально точные аналитические выражения в виде сумм элемен- тарных функций для коэффициентов дискретизован- ной системы уравнений. Поэтому точность вычисле- ния коэффициентов (10), (11) и компонент тензора размагничивающих факторов ˆ( )n r определяется точ- ностью самих численных расчетов (см. Приложение). Неучтенной остается неоднородная часть обменного взаимодействия (4). Чтобы оценить вклад этой части взаимодействия, удобно трактовать рассматриваемую систему как однородно намагниченную пленку с анти- точками, на которую наложено постоянное во времени неоднородное возмущающее магнитное поле ( ).nhH r А.И. Марченко, В.Н. Криворучко 200 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2012, т. 38, № 2 Влияние неоднородного возмущающего магнитного поля на динамику магнетика достаточно хорошо изу- чено (см., например, [33]). Наличие ( )nhH r приводит к тому, что основной — однородный тип колебаний на- магниченности — будет связываться с другими — не- однородными типами колебаний и передавать им энер- гию. Это приведет к смещению резонансной частоты и уширению резонансной кривой. В уравнениях Лан- дау–Лифшица ширина резонансной кривой resHΔ оп- ределяется соответствующим слагаемым с коэффици- ентом, который есть параметр теории и формально учитывает все возможные механизмы диссипации. За- дача о микроскопическом происхождении и величине вклада отдельных механизмов диссипации требует рассмотрения, выходящего за рамки феноменологиче- ского подхода Ландау—Лифшица. Учет неоднородного обменного взаимодействия (последнее слагаемое в правой части (4)) приводит к смещению частоты магнитных колебаний на величину порядка 2 0 0/ ,k Mα где 0/ ~ ( – )k a rπ π — характер- ный масштаб неоднородного распределения намагни- ченности (здесь a — период решетки антиточек, а r — радиус антиточки, см. рис. 1,а). Этим вкладом в частоту колебаний можно пренебречь, если 2 0 0 res/ .k M Hα < Δ Кроме того, пренебрегая в выражении для eff ( , )th r градиентами переменных составляющих намагниченно- сти, мы не учитываем возможность возбуждения собст- венных неоднородных колебаний намагниченности об- разца однородным внешним полем. Характерный масштаб длин волн таких колебаний 1/ ~ .k a Отсюда следует условие пренебрежения неоднородными возбу- ждениями: 0 ~ 1/ .k k a<< То есть характерный масштаб неоднородного распределения намагниченности по ре- шетке должен быть много больше периода решетки. Наконец, вкладом градиентов намагниченности в demH (5) можно пренебречь, если в объеме с линейными раз- мерами порядка a вклад от объемного интеграла много меньше вклада от поверхностного. Это опять приводит к условию 0 1/ .k a<< Следовательно, описание в рамках предложенного подхода (квази)однородных колебаний неоднородно намагниченного образца справедливо до тех пор, пока можно говорить об уширении резонансных кривых. То есть, когда частоты колебаний неоднородного образца группируются около частот однородной системы, и для частот колебаний можно сохранить классифика- цию однородно намагниченной системы. Одновремен- но это означает, что одной из особенностей магнитной динамики ферромагнитной пленки с антиточками бу- дет значительная ширина линии резонанса. Удиви- тельно, что в сообщениях, посвященных моделирова- нию резонансных свойств решеток антиточек, это обстоятельство игнорируется, что явно противоречит экспериментальным результатам [9,14,15,36–38], где действительно наблюдаются широкие резонансные линии поглощения. Заметим, что значительная ширина резонансной линии характерна и для резонансного от- клика ансамбля однодоменных магнитных наночастиц (см., например, [39,40]). В этом случае локальные оси намагниченности отдельных частиц могут быть ориен- тированы хаотически, и стандартное приближение «узкой резонансной линии» [33] тоже не выполняется. Анализ показывает (см. [39,40] и приведенные там ссылки), что в этих случаях в тензоре высокочастотной восприимчивости ˆ ( , )χ ωr следует удерживать как ре- зонансную (ларморовскую), так и антирезонансную (антиларморовскую) составляющие. В результате ком- Рис. 1. Распределение намагниченности в гексагональной ре- шетке антиточек (r/a = 0,30). Внешнее поле Н = 0,3 Tл направ- лено вдоль оси oz (a), под углом 60° к оси ox в плоскости пленки (легкая ось) (б), вдоль оси oy (трудная ось) (в). Тоном показан угол отклонения проекции намагниченности на плос- кость пленки от направления спонтанной намагниченности. 60° 0° C y A B a 2 r x 30° 30° 0° 0° а б в Магнитная структура и резонансные свойства гексагональной решетки антиточек Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2012, т. 38, № 2 201 поненты тензора высокочастотной восприимчивости (в локальной системе координат) имеют вид: ( , )xx ωχ =r [ ][ ] 2 eff0 0 0 ( ( ) ( ))(1 ) / , / ( ) ( ) / ( ) ( ) yy r r H M N i M H i H i + + δ + ωδ γ = ω γ − − ζ δ ω γ + − ζ δ r r r r r r (12a) ( , ) ( , )xy yxχ ω = χ ω =r r [ ][ ] 2 0 0 ( )(1 ) / . / ( ) ( ) / ( ) ( ) xy r r M N i M H i H i + δ − ω γ = − ω γ − − ζ δ ω γ + − ζ δ r r r r r (12б) Выражение для ( , )yyχ ωr компоненты находится заме- ной индексов x → y → x в правой части формулы (12а). Здесь ( )rH =r 2 2 2 2 2 0 1 4 ( ) ( 1) [4 ( ) ( ( ) ( )) ] 2 xy yy xxM N N N= ζ − δ + + −r r r r (13) и ( )rHγ r — частота прецессии магнитного момента в точке ;r ω — частота микроволнового поля; eff0 0( ) ( ) ( ( ) ( )) / 2xx yyH M N Nζ = + +r r r r и 0/ Mδ = β γ — приведенный коэффициент затухания. Отметим, что в предельном случае сплошной однородно намагни- ченной пленки тензор обобщенных размагничивающих факторов, естественно, становится равным стандарт- ному тензору размагничивающих факторов. Для такого образца резонансное поле (13) (при 0)δ = воспроизво- дит соответствующие формулы Киттеля. Спектр ФМР представляет собой зависимость по- глощаемой системой мощности микроволнового излу- чения от частоты ω и/или постоянной части внешнего поля H [27,28,33]. Мощность микроволнового излуче- ния, поглощаемая элементарной ячейкой решетки анти- точек, ( , )Р Нω определяется мнимой частью внешнего тензора высокочастотной восприимчивости ˆ ( , ):χ ωr app appˆ( , ) Im ( (4 ( , )) ) . 8 V P H dω ω = − πχ ω π ∫ h r h r (14) Отклик системы на высокочастотное поле представля- ет собой сумму откликов отдельных участков системы. Резонансные частоты этих участков в общем случае не совпадают, и можно восстановить распределение резо- нансных частот по элементарной ячейке решетки анти- точек ( ).rω r Распределение ( )rω r позволяет опре- делить участки элементарной ячейки, прецессия маг- нитных моментов в которых дает вклад в динамический отклик системы на данной частоте. Эта информация обычно теряется при традиционном численном решении уравнений динамики для намагниченности [19–24]. Расчет ФМР спектра гексагональной решетки анти- точек производился в два этапа. На первом этапе мето- дами микромагнитного моделирования определялось равновесное распределение намагниченности 0 ( )M r и эффективного поля eff 0 ( )H r по ячейке решетки анти- точек. На втором этапе, используя аналитические вы- ражения (12)–(14), по известным распределениям эф- фективного поля и намагниченности восстанавливались резонансные характеристики системы. В данном под- ходе отпадает необходимость в численном решении динамических уравнений для намагниченности, что существенно сокращает объем компьютерных вычис- лений. В целом, это соответствует общим правилам квантовой механики, согласно которым поправка пер- вого приближения к энергии (собственному значению) состояния определяется волновой функцией этого же состояния [41]. 3. Результаты моделирования Типичными материалами, используемыми при изго- товлении решеток антиточек, являются железосодер- жащие и никельсодержащие сплавы. Нами в качестве параметров материала пленки были выбраны величины, характерные для сплава Ni80Fe20 (пермаллой). В этом случае имеем: намагниченность насыщения M0 = = 830 эме/см3 (= 8,3 105 A/м), константа неоднородного обменного взаимодействия α = 10–6эрг/см (= 10–11 Дж/м) [42], постоянная однородного обмена принималась рав- ной λ = 1,39·102 эрг·cм3/эме2 (= 1,39⋅10–5 Дж/(A2м)). В соответствии с [29] константа магнитокристалличе- ской анизотропии для пермаллоя может изменяться в широком интервале значений. В нашем случае она полагалась равной 100 эрг/см3 (10 Дж/м3) Параметр гексагональной решетки антиточек имел значение a = = 100 нм, а толщина пленки d = 10 нм, что соответ- ствует экспериментально получаемым образцам реше- ток антиточек на пленке пермаллоя, выращенных на подложке из анодированного алюминия (см., напри- мер, [1,16,36,37]). Некоторые детали численного рас- чета приведены в Приложении. 3.1. Магнитостатические свойства Для выявления характера влияния решетки антито- чек на распределение намагниченности в ферромаг- нитной пленке наиболее информативной является гео- метрия «внешнее магнитное поле перпендикулярно плоскости пленки». В этой геометрии сохраняется симметрия решетки и магнитная структура воспроиз- водит основное состояние системы. На рис. 1,a приведен пример распределения намаг- ниченности по ячейке гексагональной решетки антито- чек в поле Н = 0,3 Tл, направленном перпендикулярно плоскости пленки. Стрелками на рисунке показано направление проекции намагниченности на плоскость пленки. Темным тоном отмечена степень (угол) откло- нения проекции намагниченности на плоскость пленки от направления спонтанной намагниченности элемен- А.И. Марченко, В.Н. Криворучко 202 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2012, т. 38, № 2 тарной ячейки решетки. В соответствии с гексагональ- ной (конфигурационной) симметрией решетки, легкие оси повернуты друг относительно друга на 60°. Вдоль одной из этих легких осей спонтанно и ориентируется магнитный момент ячейки. (В реальной вычислитель- ной процедуре «выбор» оси анизотропии определяется выбором области ячейки, с которой начинается итера- ционный процесс.) На рис. 1,а намагниченность на- правлена вдоль короткой диагонали элементарной ячейки (под углом 60° к оси ох). Направление вдоль длинной диагонали является «трудным». Как это видно на рис. 1,а, существует два типа об- ластей. Области первого типа обозначены на рисунке А и В. Направление магнитных моментов в них перпен- дикулярно прямой, соединяющей ближайшие антиточ- ки, между которыми эта область локализована. В отли- чие от областей А и В, область второго типа С своей формой практически повторяет форму элементарной ячейки гексагональной структуры. Проекция магнит- ных моментов на плоскость пленки в области С близка по направлению к соответствующей проекции полного магнитного момента элементарной ячейки решетки антиточек. Такое распределение позволяет существен- но снизить как обменную, так и магнитостатическую энергию системы. В случае магнитного поля, приложенного в плоско- сти пленки (рис. 1,б,в), распределение намагниченно- сти меняется. В этой геометрии магнитные моменты направлены в основном вдоль поля. Доля областей, в которых магнитный момент отклонен от направления поля (на рисунке это области темного цвета), мала. Фактически эти области сосредоточены в основном в окрестности антиточек, где магнитостатическое поле наиболее сильно. На рис. 1,б, соответствующему на- правлению внешнего магнитного поля вдоль «легкой» оси системы, темные области соединены небольшой перетяжкой. На рис. 1,в, где поле направлено вдоль «трудной» оси, видно, что каждая темная область рас- падается на локализованные у антиточек области. Полученная нами статическая магнитная структура тонкой пленки с гексагональной решеткой антиточек воспроизводит аналогичные расчеты, выполненные ранее в работах [43,44]. Это, в частности, подтвержда- ет корректность выбранного нами численного метода. Отметим также, что подобная магнитная доменная структура действительно наблюдается эксперимен- тально [36,43]. 3.2. Динамические свойства Традиционно [33] при экспериментальных исследо- ваниях ФМР измеряется динамический отклик систе- мы на заданной частоте при изменении магнитного поля. Однако в системе антиточек насыщение намаг- ниченности не происходит практически во всех иссле- дуемых магнитных полях. То есть мы имеем дело с резонансными свойствами системы в ненасыщенном состоянии, когда изменение магнитного поля приводит к изменению магнитного упорядочения системы. В этом случае корректно изучение ФМР в постоянном магнитном поле. Ниже изложены результаты модели- рования динамических свойств простой гексагональ- ной решетки антиточек во внешнем магнитном поле, направленном в плоскости пленки. Зная распределение эффективного поля eff 0 ( )H r по ячейке решетки и используя выражения (12)–(14), можно определить отклик системы на высокочастотное магнитное поле. Зависимость динамического отклика системы от направления приложенного магнитного поля иллюстрирует рис. 2. Здесь изображены спектры резонанса во внешнем магнитном поле Н = 0,3 Tл, ори- ентированном в плоскости пленки в направлении «лег- кой» оси (a), «трудной» оси (б) и произвольном направ- лении (в). На вставках изображены соответствующие распределения резонансных частот по элементарной ячейке решетки. Как видно на рис. 2, при любой ориентации внеш- него магнитного поля в спектре ФМР (кривая 1) на- блюдается несколько мод. Анализ спектра и соответст- вующего ему распределения резонансных частот по элементарной ячейке решетки (см. вставки на рис. 2) показывает, что каждая из мод в основном определяет- ся колебаниями одной из трех областей (доменов) A, B или С. На рис. 2 мода и область ее локализации обо- значены общей буквой. Сумма трех мод (кривая 2) по- казывает, насколько приближение тремя модами соот- ветствует спектру исследуемой системы. Для сравнения на рисунке также приведен резонанс однородной (сплошной) пленки (кривая 3), рассчитанный для того же коэффициента затухания. Когда направление внешнего поля совпадает с «лег- ким» направлением системы, области A и B дают в спектр резонанса системы одинаковые вклады (см. рис. 2,а). Это приводит к формированию в спектре ФМР двух максимумов, один из которых определяется резонансом в области C, а другой — резонансом в об- ластях A и B. Когда магнитное поле направлено вдоль «трудного» направления (рис. 2,б), симметрично от- носительно поля расположены области А и С, их коле- бания вырождены и они формируют один из двух максимумов резонанса. При произвольном направле- нии внешнего магнитного поля в плоскости пленки каждая из областей (А, В и С) имеет свою собствен- ную частоту резонанса (рис. 2,в). Таким образом, в отличие от однородной пленки, в спектре гексаго- нальной решетки антиточек в общем случае наблюда- ется три локальных резонанса. Кроме того, пик ре- зультирующего спектра смещается в сторону низких частот и ширина спектра возрастает. Магнитная структура и резонансные свойства гексагональной решетки антиточек Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2012, т. 38, № 2 203 Важным фактором, определяющим статические и динамические свойства решетки антиточек, является отношение размера антиточки к параметру гексаго- нальной решетки / .r a С увеличением этого отноше- ния конфигурационная анизотропия растет, что прояв- ляется, в частности, в резонансных характеристиках системы. Формирование сложной структуры спектра ФМР с ростом отношения /r a иллюстрирует рис. 3, где показано уширение и усложнение ФМР спектра с увеличением размера антиточек. Видна эволюция спектра от однородного резонанса до двух хорошо различимых максимумов, характерных для ФМР спек- тра в направлении «трудной» оси конфигурационной анизотропии. (Аналогичные зависимости для поля вдоль «легкой» оси приведены в работе [25].) Как по- казывает эксперимент (см., например, [9,14,15,36–38]), для решеток антиточек наряду с увеличением ширины резонансной кривой действительно наблюдается слож- ная (многопиковая) структура линии ФМР. Для прямо- угольных решеток антиточек пространственная лока- лизация мод ФМР установлена экспериментально методами керровской спектроскопии с временным раз- решением (time-resolved Kerr microscopy) [14,36]. Размагничивающее поле влияет на изменение спек- тра и формы линии резонанса с изменением парамет- ров системы. Возрастание радиуса антиточки и, соот- ветственно, возрастание свободных поверхностей системы приводит к увеличению магнитостатической энергии, следствием чего является смещение спектра в сторону более низких частот. Кроме этого, увеличива- ются градиенты эффективного поля, что, в свою оче- редь, оказывает влияние на ширину спектра. Резонанс- ный отклик системы демонстрирует сложную структуру даже в сильных полях, когда неоднородности в распре- делении намагниченности локализованы только вблизи поверхностей антиточек. Рис. 2. Спектр ФМР решетки антиточек. Кривая 1 — резуль- тат вычисления по формулам (12)–(14); кривая 2 — сумма трех мод, локализованных в областях A, B, C, кривая 3 — резонанс однородной пленки. Угол между внешним полем и осью ox 60° («легкое» направление) (a), 90° («трудное» на- правление) (б), 78° (в). Внешнее поле ориентировано в плос- кости пленки H = 0,3 Tл; r/a = 0,20; δ = 0,10. На вставках показано распределение резонансных частот по элементар- ной ячейке решетки. a � �/ , Tл П о гл о щ ен и е, п р о и зв . ед . П о гл о щ ен и е, п р о и зв . ед . П о гл о щ ен и е, п р о и зв . ед . б в � �/ , Tл � �/ , Tл 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 2 1 3 B A, C C B A 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 2 1 C B A 3 C B A 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1 2A, B C 3 1Tл0,1Tл C B A 1Tл0,1Tл 1Tл0,1Tл Рис. 3. Спектр ФМР гексагональных решеток антиточек с различным отношением r/a. Внешнее поле H = 0,5 Тл на- правлено вдоль «трудной» оси (ось oy); δ = 0,10. � �/ , Тл r a/ = 0,4 r/a = 0,3 r/a = 0,2 r/a = 0 П о гл о щ ен и е, п р о и зв . ед . 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 � = 0,1 А.И. Марченко, В.Н. Криворучко 204 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2012, т. 38, № 2 При изменении направления внешнего магнитного поля резонансная частота каждой локальной моды сме- щается. Анализ зависимости локальных резонансных мод от ориентации поля показывает, что период угловой зависимости частот равен 180°. Рисунок 4 иллюстрирует указанное поведение трех мод резонанса. На нем изо- бражены зависимости резонансных частот соответст- вующих (А, В и С) мод как функции от угла поворота внешнего поля Н = 0,3 Тл в плоскости пленки. Видно, что «легкие» оси каждой из мод повернуты друг отно- сительно друга на 60°. В результате восстанавливается симметрия гексагональной решетки антиточек и угловая зависимость резонансного поля (максимум резонансной кривой) решетки имеет период 60°. На рис. 5 приведена угловая зависимость частоты ФМР решетки с /r a = = 0,20 и 0,25. Видно, что величина гексагональной ани- зотропии растет с ростом отношения / .r a Считается (см., например, [5,9,36,45,46]), что форми- рование решетки нанообъектов приводит к появлению в системе анизотропии, соответствующей симметрии этой решетки. Однако, как показывает проведенный нами анализ (см. рис. 4), наведенная таким образом анизотро- пия в общем случае имеет более сложный характер. От- дельные участки (домены) магнитной решетки могут иметь локальную анизотропию более низкой симметрии. Симметрия решетки восстанавливается только в сум- марном отклике системы. Данное обстоятельство может оказаться важным фактором при использовании решеток антиточек для сверхплотной записи информации. Как уже отмечалось, феноменологический коэффи- циент затухания δ включает в себя все микроскопиче- ские механизмы затухания. Как показывают результаты исследований [30,47,48], для наноструктурированных магнетиков параметр затухания может превышать со- ответствующие значения для монокристаллов на не- сколько порядков. Наш анализ показал [25], что ши- рина спектра резонанса гексагональной решетки дей- ствительно определяется не только приведенным ко- эффициентом затухания δ, но и размером антиточек, т.е. степенью неоднородности внутреннего магнитно- го поля. Влияние радиуса антиточки на ширину линии ФМР для систем с различным периодом решетки удовлетворительно аппроксимируется выражением [ ( / ) (0)] / (0) ~ ( / ) ,H r a H H r a ξΔ − Δ Δ где параметр ξ является функцией размеров антиточек и равен 2,22, 2,30 и 3,33 для a = 50, 75 и 100 нм соответственно. Как уже отмечалось в начале этого раздела, резо- нансные исследования часто выполняются при фикси- рованной частоте и изменяющейся статической частью магнитного поля. В случае неоднородного основного состояния изменение магнитного упорядочения с из- менением поля, естественно, проявляется и в динами- ческих характеристиках системы. Представление о характере изменения динамики системы в этом случае можно получить из трехосных диаграмм, где погло- щаемая мощность представлена как функция частоты и величины постоянного поля. На рис. 6,а представлена типичная для рассматриваемых систем зависимость поглощаемой мощности микроволнового излучения от поля и частоты для внешнего поля, ориентированного в плоскости пленки под углом 45° к оси ох. Спектры резонанса системы, полученные сечением поверхности плоскостями, параллельными осям / constω γ = и const,=H изображены на рис. 6,б,в соответственно. Видно, что во всем исследованном диапазоне полей и частот спектры ФМР представляют собой результи- рующий отклик от отдельных областей решетки анти- точек. В качестве примера на рис. 6,б представлено разложение одного из спектров ФМР на отдельные моды при /ω γ = 1,0 Тл. Эволюцию формы резонанс- ной кривой с изменением поля иллюстрирует рис. 6,в. Рис. 4. Зависимость частот прецессии намагниченности в областях A, B, C решетки антиточек от направления внешне- го поля в плоскости пленки; H = 0,3 Tл; δ = 0,10; r/a = 0,20. 0 30 60 90 120 150 180 0,5 0,6 0,7 A B C Р е зо н ан сн ая ч ас то та , Т л Угол, град Рис. 5. Зависимость максимума линии ФМР решетки антито- чек от направления внешнего поля в плоскости пленки; H = = 0,3 Tл; r/a = 0,20, 0,25; δ = 0,10. Р е зо н ан сн ая ч ас то та , Т л Угол, град 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 0,48 0,52 0,56 0,60 = 0,25r/a r/a = 0,20�� Магнитная структура и резонансные свойства гексагональной решетки антиточек Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2012, т. 38, № 2 205 При переходе от частотных к полевым зависимо- стям, для одной и той же ориентации внешнего поля в плоскости пленки, порядок резонансных частот от- дельных областей решетки меняется. Так, при посто- янном поле с повышением частоты для выбранной ориентации внешнего поля резонанс происходит в об- ласти С, затем в области В и наконец в области А ре- шетки. При повышении внешнего поля при неизмен- ной частоте порядок оказывается противоположным. Изменение частоты максимума резонансной кривой при изменении внешнего поля иллюстрирует рис. 7. Сплошной линией на этом рисунке показана также зависимость частоты резонанса от внешнего магнитно- го поля тонкой ферромагнитной пленки, определенная по формуле Киттеля. Разница между этими частотами остается приблизительно постоянной на протяжении всего исследованного интервала полей и, согласно данным на рис. 5, определяется направлением внешне- го поля и отношением / .r a 4. Заключение В работе исследованы статические и динамические свойства простой гексагональной решетки антиточек. Теоретическое рассмотрение резонансных свойств системы основано на аналитическом решении уравне- ний Ландау–Лифшица с явным учетом неоднородного статического распределения намагниченности и эф- фективного поля в системе. Предложенный метод по- зволяет адекватно описать (квази)однородные колеба- ния неоднородно намагниченного образца, если частоты колебаний неоднородного образца группиру- ются около частот резонанса однородной системы (для частот колебаний сохраняется классификация одно- родно намагниченной системы) и можно говорить об уширении резонансных кривых. Результаты исследований показывают, что влияние гексагональной решетки антиточек на магнитные свой- ства ферромагнитной пленки проявляется не только формированием в ней дополнительной (конфигураци- онной) анизотропии, но и появлением сложной магнит- ной (доменной) структуры пленки. В результате в ФМР спектре системы различаются три локализованные мо- Рис. 6. Зависимость резонансного отклика системы: от внеш- него поля и частоты (a); от внешнего поля при ω/γ = 1,0 Тл (буквами показан резонанс соответствующих областей эле- ментарной ячейки решетки) (б); от частоты при Н = 0,59, 0,68, и 0,85 Tл; поле в плоскости пленки направлено под углом 45° к оси ox (в); r/a = 0,35, δ = 0,06. 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 0,3 0,5 0,7 0,9 a � �/ , Tл П о гл о щ ен и е, п р о и зв . ед . 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 C B A H, Tл П о гл о щ ен и е, п р о и зв . ед . 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 �� Tл = 0,85 TH л H = 0,68 Tл H = 0,59 Tл П о гл о щ ен и е, п р о и зв . ед . Н, Тл �� Тл б в Рис. 7. Зависимость частот резонанса гексагональной решет- ки антиточек и однородной пленки от внешнего поля; поле в плоскости пленки направлено под углом 45° к оси ox; r/a = = 0,35, δ = 0,06. 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 H, Tл Решетка антиточек � �/ , Т л Однородная пленка А.И. Марченко, В.Н. Криворучко 206 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2012, т. 38, № 2 ды, соответствующие прецессии магнитных моментов определенных участков (доменов) элементарной ячейки решетки. Угловые зависимости резонансных частот от- дельных мод демонстрируют анизотропию второго по- рядка, при этом легкие оси локальных колебаний повер- нуты на 60° друг относительно друга. Таким образом, формируется конфигурационная анизотропия, которая в некоторых случаях, например при больших коэффици- ентах затухания, может трактоваться как гексагональ- ная. Данное обстоятельство может быть важным при использовании этих систем в приложениях, например при разработке новых приборов магноники. Модель позволяет описать резонансные свойства решетки анти- точек в широком диапазоне полей, частот и геометриче- ских параметров системы и адекватно воспроизводит существующие экспериментальные данные. Авторы выражают признательность В. Кругляку и К. Метлову за обсуждение работы и полезные замечания. Приложение. Микромагнитное моделирование Микромагнитное моделирование магнитных свойств решетки антиточек требует замены непрерывного рас- пределения намагниченности набором намагниченно- стей дискретных областей. Для этого в объеме V ферро- магнитной пленки вводится равномерная сетка: { , 0,1,..., ; , 0,1,..., ;ijk i x j yw x ih i N y jh j N= = = = = , 0,1,..., },k zz kh k N= = (П.1) которая разделяет область V на элементы .ijkK При решении дискретной задачи по нахождению равно- весного распределения намагниченности в равно- мерной сетке считается, что внутри любого элемента ijkK эффективное поле и намагниченность не изме- няются по величине и направлению. В наших расче- тах элемент ijkK имел кубическую форму с размера- ми 2,5×2,5×2,5 нм. Чтобы убедиться, что размер элемента не влияет на результат, выполнялись дополни- тельные вычисления с меньшим размером ячейки .ijkK Предполагались периодические граничные условия. Для анализа эффектов нелокальности выполнялись также вычисления с расширенной ячейкой, включающей не- сколько элементарных ячеек решетки антиточек. Для нахождения равновесного распределения намаг- ниченности на сеточном множестве ijkK необходимо задать некоторое распределение намагниченности 0 ,ijkM которое является начальным для итерационного процесса. При расчете распределения намагниченности считалось, что начальные направления намагниченно- сти и внешнего поля совпадают. Итерационный процесс при нахождении равновесного распределения намагни- ченности в решетке антиточек может быть представлен в виде трех повторяющихся шагов. 1. Вычисляются значения эффективного поля ( )n ijkH всех элементов равномерной сетки ijkK на n-м шагу. 2. По определенному правилу ( 1) ( ) n ijk + =M ( ) ( ) ( ) ( )( , )n n ijk ijkf= M H строится новое (n+1)-е распределе- ние намагниченности. 3. Проверяется критерий коллинеарности векторов намагниченности и эффективного поля [дискретный аналог условия (1) вида ( ) ( ) ( ) ( )max ( , ) ,n n ijk ijk < εM H где ε — наперед заданная ошибка (в работе она составля- ла ~ 10–10)]. При его выполнении вычисления преры- ваются, а последнее найденное распределение намаг- ниченности считается равновесным. В противном случае расчеты продолжаются с пункта 1. В качестве функции ( ) ( ) ( ) ( )( , )n n ijk ijkf M H нами использовалась функ- ция ( ) ( ) ( ) ( ) 0( )( ) ( ) ( ) ( )( , ) / \| \|,n n n n ijkijk ijk ijk ijkf M=M H H H которая была впервые предложена, по-видимому, в работе [49], где была продемонстрирована практическая сходи- мость этого метода при исследовании структуры до- менных границ. Можно показать [26], что этот метод расчета является вариантом метода условного гради- ентного спуска. Заметим, что наличие (даже домини- рующего) ферромагнитного взаимодействия между магнитными моментами элементов сетки ijkK не ис- ключает появления в процессе итераций неравновес- ных магнитных конфигураций. Включение в eff ( )H r вклада от однородного обменного взаимодействия по- зволяет избежать (особенно на первых шагах итерацион- ного процесса) появления нефизических конфигураций, что существенно ускоряет нахождение равновесного распределения намагниченности в системе. Зная статическое распределение намагниченности, по формуле (14) можно определить отклик системы на микроволновое поле. Компоненты тензора высокочас- тотной магнитной восприимчивости могут быть полу- чены из выражений вида (12) переходом от зависимо- стей по координатам к зависимостям по индексам элементов равномерной сетки с учетом ориентации системы координат в точке r относительно лаборатор- ной системы координат. 1. J.I. Martín, J. Nogués, Kai Liu, J.L. Vicent, and Ivan K. Schuller, J. Magn. Magn. Mater. 256, 449 (2003). 2. J. Jorzick, S.O. Demokritov, B. Hillebrands, M. Bailleul, C. Fermon, K.Y. Guslienko, A.N. Slavin, D.V. Berkov, and N.L. Gorn, Phys. Rev. Lett. 88, 047204 (2002). 3. G.N. Kakazei, P.E. Wigen, K.Yu. Guslienko, V. Novosad, A.N. Slavin,V.O. Golub, N.A. Lesnik, and Y. Otani, Appl. Phys. Lett. 85, 443 (2004). 4. V.V. Kruglyak, A. Barman, R.J. Hicken, J.R. Childress, and J.A. Katine, Phys. Rev. B71, 220409 (R) (2005). 5. G.N. Kakazei, Yu.G. Pogorelov, M.D. Costa, T. Mewes, P.E. Wigen, P.C. Hammel, V.O. Golub, T. Okuno, and V. Novosad, Phys. Rev. B74, 060406 (R) (2006). Магнитная структура и резонансные свойства гексагональной решетки антиточек Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2012, т. 38, № 2 207 6. V.V. Kruglyak, P.S. Keatley, R.J. Hicken, J.R. Childress, and J.A. Katine, Phys. Rev. B75, 024407 (2007). 7. L. Thevenard, H.T. Zeng, D. Petit, and R.P. Cowburn, J. Appl. Phys. 106, 063902 (2009). 8. N. Singh, C.C. Wang, and A.O. Adeyeye, J. Magn. Magn. Mater. 320, 113 (2008). 9. M. Yu, L. Malkinski, L. Spinu, W. Zhou, and S. Whittenburg, J. Appl. Phys. 101, 09F501 (2007). 10. R.P. Cowburn, A.O. Adeyeye, and J.A.C. Bland, J. Magn. Magn. Mater. 173, 193 (1997). 11. S.A. Nikitov, P. Tailhades, and C.S. Tsai, J. Magn. Magn. Mater. 236, 320 (2001). 12. S. Neusser and D. Grundler, Adv. Mater. 21, 2927 (2009). 13. K.L. Metlov, Phys. Rev. Lett. 97, 127205 (2006). 14. C. Yu, M.J. Pechan, and G.J. Mankey, Appl. Phys. Lett. 83, 3948 (2003). 15. O.N. Martyanov, V.F. Yudanov, R.N. Lee, S.A. Nepijko, H.J. Elmers, R. Hertel, C.M. Schneider, and G. Schönhense, Phys. Rev. B75, 174429 (2007). 16. N.N. Phuoc, S.L. Lim, F. Xu, Y.G. Ma, and C.K. Ong, J. Appl. Phys. 104, 093708 (2008). 17. L. Torres, L. Lopez-Diaz, and J. Iñiguez, Appl. Phys. Lett. 73, 3766 (1998). 18. L.J. Heyderman, F. Nolting, D. Backes, S. Czekaj, L. Lopez- Diaz, M. Kläui, U. Rüdiger, C.A.F. Vaz, J.A.C. Bland, R.J. Matelon, U.G. Volkmann, and P. Fischer, Phys. Rev. B73, 214429 (2006). 19. S.L. Vysotskii, S.A. Nikitov, E.S. Pavlov, and Yu.A. Filimonov, J. Communic. Technol. Electronics 55, 800 (2010). 20. M. Krawczyk, J. Klos, M.L. Sokolovskyy, and S. Mamica, J. Appl. Phys. 108, 093909 (2010). 21. S. Tacchi, M. Madami, G. Gubbiotti, G. Carlotti, A.O. Adeyeye, S. Neusser, B. Botters, and D. Grundler, IEEE Trans. Magn. 46, 1440 (2010). 22. M.J. Donahue and D.G. Porter, http://math.nist.gov/oommf. 23. Sang-Koog Kim, J. Phys. D: Appl. Phys. 43, 264004 (2010). 24. R. Hertel, J. Appl. Phys. 90, 5752 (2001). 25. V.N. Krivoruchko and A.I. Marchenko, J. Appl. Phys. 109, 083912 (2011). 26. С.Г. Осипов, М.М. Хапаев, Математическое моделиро- вание 3, 12 (1991). 27. А.И. Ахиезер, В.Г. Барьяхтар, С.В. Пелетминский, Спиновые волны, Наука, Москва (1967); [A.I. Akhieser, V.G. Baryakhtar, and S.V. Peletminskii, Spin Waves, North-Holland, Amsterdam (1968)]. 28. В.Г. Барьяхтар, В.Н. Криворучко, Д.А. Яблонский, Функции Грина в теории магнетизма, Наукова думка, Киев (1984). 29. Физические величины, Под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова, Энергоатомиздат, Москва (1991). 30. N. Vukadinovic, J. Magn. Magn. Mater. 321, 2074 (2009). 31. S. Labbé and P.-Y. Bertin, J. Magn. Magn. Mater. 206, 93 (1999). 32. C. Kittel, Phys. Rev. 73, 155 (1948). 33. А.Г. Гуревич, Г.А. Мелков, Магнитные колебания и волны, Наука, Москва (1973); [A.G. Gurevich and G.A. Melkov, Magnetization Oscillations and Waves, CRC Press, New York (1996)]. 34. В.В. Альчиков, Математическое моделирование 15, 84 (2003). 35. J.R. Macdonald, Proc. Phys. Soc. A64, No. 383, 968 (1951). 36. M. Pechan, C. Yu, R.L. Compton, J.P. Park, and P.A. Crowell, J. Appl. Phys. 97, 10J903 (2005). 37. A. Vovk, L. Malkinski, V. Golub, S. Whittenburg, C. O’Connor, J.-S. Jung, and S.-H. Min, J. Appl. Phys. 97, 10J506 (2005). 38. E.V. Brigneti, C.A. Ramos, E.B. Urena, K. Pirota, M. Vazquez, P. Prietod, and J.M. Sanz, J. Magn. Magn. Mater. 320, e257 (2008). 39. R. Berger, J. Kliava, J.-C. Bissey, and V. Baïetto, J. Appl. Phys. 87, 7389 (2000). 40. В.Н. Криворучко, А.И. Марченко, А.А. Прохоров, ФНТ 33, 578 (2007) [Low Temp. Phys. 33, 433 (2007)]. 41. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Квантовая механика. Нерелятивистская теория, Наука, Москва (1974); [L.D. Landau and E.M. Lifshitz, Quantum Mechanics: Non- Relativistic Theory, Pergamon Press. (1977)]. 42. C. Wilts and S. Lai, IEEE Trans. Magn. 8, 280 (1972). 43. C.C. Wang, A.O. Adeyeye, and N. Sing, Nanothechnology 17, 1629 (2006). 44. O.F. Schilling, Eur. Phys. J. B68, 543 (2009). 45. E.Th. Papaioannou, V. Kapaklis, P. Patoka, M. Giersing, P. Fumagalli, A. Garcia-Martin, E. Ferreiro-Vila, and G. Ctistis, Phys. Rev. B81, 054424 (2010). 46. N.G. Deshpande, M.S. Seo, X.R. Jin, S.J. Lee, Y.P. Lee, J.Y. Rhee, and K.W. Kim, Appl. Phys. Lett. 96, 122503 (2010). 47. J.L. Dormann, F. D’Orazio, F. Lucari, E. Tronc, P. Prene, J.P. Jolivet, D. Fiorani, R. Cherkaoui, and M. Nogues, Phys. Rev. B53, 14291 (1996). 48. W.T. Coffey, D.S.F. Crothers, J.L. Dormann, Yu.P. Kalmykov, E.C. Kennedy, and W. Wernsdorfer, Phys. Rev. Lett. 80, 5655 (1998). 49. A.E. La Bonte, J. Appl. Phys. 40, 2450 (1969). Magnetic structure and resonance properties of hexagonal antidot lattice А.I. Marchenko and V.N. Krivoruchko Static and resonance properties of ferromagnetic films with an antidot lattice (pores in the film) are stu- died. The description of the system is based on mi- cromagnetic modeling and analytical solution of the Landau–Lifshitz equation. The dependences of ferro- magnetic resonance spectra on the in-plane direction of applied magnetic field and on the lattice parameters are investigated. The dependences of a dynamic sys- tem response on frequency at fixed magnetic field and on field at fixed frequency, when the field changes cause the static magnetic order to change are explored. It is found that the specific peculiarities of the system А.И. Марченко, В.Н. Криворучко 208 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2012, т. 38, № 2 dynamics leave unchange for both of these experimen- tal conditions. Namely, for low damping the resonance spectra contain three quasi-homogeneous modes which are due to the resonance of different regions (domains) of the antidot lattice cell. It is shown the angular field dependences of each mode are characterized by a two- fold symmetry and the related easy axes are mutually rotated by 60 degrees. As the result, a hexagonal sym- metry of the system static and dynamic magnetic cha- racteristics is realized. The existence in the resonance spectrum of severel quasi-homogeneous modes related to different regions of the unit cell could be fundamen- tal for working elements of magnonic devices. PACS: 75.50.Tt Fine-particle systems; nanocrystal- line materials; 75.50.–y Studies of specific magnetic mate- rials; 75.75.–c Magnetic properties of nanostruc- tures. Keywords: antidot lattice, micromagnetic simulation, ferromagnetic resonance.

Магнитная структура и резонансные свойства гексагональной решетки антиточек

Репозитарії

Схожі ресурси