Опыт численного моделирования смешанного состояния сверхпроводников, примененный к исследованию нестационарного уравнения Шредингера
Опыт численного моделирования сверхпроводящих систем использован для исследования поведения нестационарной волновой функции вдали от равновесия. Показано, что нормировка волновой функции играет роль эффективного нелокального взаимодействия, которое приводит к локализации волновой функции в одной из...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Физика низких температур |
|---|---|
| Дата: | 2010 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2010
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116887 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Опыт численного моделирования смешанного состояния сверхпроводников, примененный к исследованию нестационарного уравнения Шредингера / А.Э. Филиппов // Физика низких температур. — 2010. — Т. 36, № 1. — С. 125-130. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-116887 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Филиппов, А.Э. 2017-05-17T20:12:10Z 2017-05-17T20:12:10Z 2010 Опыт численного моделирования смешанного состояния сверхпроводников, примененный к исследованию нестационарного уравнения Шредингера / А.Э. Филиппов // Физика низких температур. — 2010. — Т. 36, № 1. — С. 125-130. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 03.65.–w, 03.65.Ta https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116887 Опыт численного моделирования сверхпроводящих систем использован для исследования поведения нестационарной волновой функции вдали от равновесия. Показано, что нормировка волновой функции играет роль эффективного нелокального взаимодействия, которое приводит к локализации волновой функции в одной из ям даже при инфинитизимальной разнице их глубин. Это принципиально отличается от решения уравнения Фоккера–Планка, которое в равновесии экспоненциально зависит от энергии и для близких по глубине ям практически симметрично. При флуктуационном (малом) изменении соотношения глубин на обратное максимум волновой функции «туннелирует» в другую яму. Рассмотрен также переход в одноямном потенциале из возбужденного состояния в более низкое. Показано, что он сопровождается излучением локализованного фрагмента электромагнитной волны, который может быть отождествлен с «фотоном». Досвiд чисельного моделювання надпровiдникових систем використовано для дослідження поведінки нестаціонарної волнової функції далеко від рівноваги. Показано, шо норміровка волнової функції відіграє роль ефективної нелокальної взаємодії, що призводить до локалізації волнової функції в однієї із ям, навіть при інфінітізімальній різниці їх глибин. Це принципово відрізняється від рішення рівняння Фоккера-Планка, яке у рівновазі експоненціально залежить від енергії і для близьких по глибині ям практично симетрично. При флуктуаційній (малій) зміні співвідношення глибини на звороті максимум волнової функції «тунелює» у другу яму. Досліджено також перехід в одноямному потенціалі із збудженого становища у більш низьке. Показано, что він супроводжується випромінюванням локалізованого фрагменту електромагнітної хвилі, яке може бути утотожнено з «фотоном». The previous experience of numerical simulation of superconducting systems is applied to study the behavior of nonstationary wave function far from the equilibrium. It is shown that the normalization of the wave function plays a role of effective nonlocal interaction which leads to a localization of the function in one of the potential valleys even at infinitesimally small difference between deepness of the valleys. This principally differs from the solution of Focker–Plank equation which exponentially depends on energy and which is practically symmetric for the valleys close in deepness. At a fluctuation change of the deepness relation into the inverse one the maximum of the wave function «tunnels» from the initial valley into another one. The transition from the excited state a lower one is also studied. It is shown that the transition is accompanied by the emission of a fragment of electromagnetic wave which can be associated with a «photon». ru Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України Физика низких температур Вихревая материя в сверхпроводниках Опыт численного моделирования смешанного состояния сверхпроводников, примененный к исследованию нестационарного уравнения Шредингера Application of the experience of numerical simulation of the mixed state of superconductors to a study of non-stationary Schrödinger equation. Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Опыт численного моделирования смешанного состояния сверхпроводников, примененный к исследованию нестационарного уравнения Шредингера |
| spellingShingle |
Опыт численного моделирования смешанного состояния сверхпроводников, примененный к исследованию нестационарного уравнения Шредингера Филиппов, А.Э. Вихревая материя в сверхпроводниках |
| title_short |
Опыт численного моделирования смешанного состояния сверхпроводников, примененный к исследованию нестационарного уравнения Шредингера |
| title_full |
Опыт численного моделирования смешанного состояния сверхпроводников, примененный к исследованию нестационарного уравнения Шредингера |
| title_fullStr |
Опыт численного моделирования смешанного состояния сверхпроводников, примененный к исследованию нестационарного уравнения Шредингера |
| title_full_unstemmed |
Опыт численного моделирования смешанного состояния сверхпроводников, примененный к исследованию нестационарного уравнения Шредингера |
| title_sort |
опыт численного моделирования смешанного состояния сверхпроводников, примененный к исследованию нестационарного уравнения шредингера |
| author |
Филиппов, А.Э. |
| author_facet |
Филиппов, А.Э. |
| topic |
Вихревая материя в сверхпроводниках |
| topic_facet |
Вихревая материя в сверхпроводниках |
| publishDate |
2010 |
| language |
Russian |
| container_title |
Физика низких температур |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Application of the experience of numerical simulation of the mixed state of superconductors to a study of non-stationary Schrödinger equation. |
| description |
Опыт численного моделирования сверхпроводящих систем использован для исследования поведения нестационарной волновой функции вдали от равновесия. Показано, что нормировка волновой функции играет роль эффективного нелокального взаимодействия, которое приводит к локализации волновой функции в одной из ям даже при инфинитизимальной разнице их глубин. Это принципиально отличается от решения уравнения Фоккера–Планка, которое в равновесии экспоненциально зависит от энергии и для близких по глубине ям практически симметрично. При флуктуационном (малом) изменении соотношения глубин на обратное максимум волновой функции «туннелирует» в другую яму. Рассмотрен также переход в одноямном потенциале из возбужденного состояния в более низкое. Показано, что он сопровождается излучением локализованного фрагмента электромагнитной волны, который может быть отождествлен с «фотоном».
Досвiд чисельного моделювання надпровiдникових систем використовано для дослідження поведінки нестаціонарної волнової функції далеко від рівноваги. Показано, шо норміровка волнової функції відіграє роль ефективної нелокальної взаємодії, що призводить до локалізації волнової функції в однієї із ям, навіть при інфінітізімальній різниці їх глибин. Це принципово відрізняється від рішення рівняння Фоккера-Планка, яке у рівновазі експоненціально залежить від енергії і для близьких по глибині ям практично симетрично. При флуктуаційній (малій) зміні співвідношення глибини на звороті максимум волнової функції «тунелює» у другу яму. Досліджено також перехід в одноямному потенціалі із збудженого становища у більш низьке. Показано, что він супроводжується випромінюванням локалізованого фрагменту електромагнітної хвилі, яке може бути утотожнено з «фотоном».
The previous experience of numerical simulation of superconducting systems is applied to study the behavior of nonstationary wave function far from the equilibrium. It is shown that the normalization of the wave function plays a role of effective nonlocal interaction which leads to a localization of the function in one of the potential valleys even at infinitesimally small difference between deepness of the valleys. This principally differs from the solution of Focker–Plank equation which exponentially depends on energy and which is practically symmetric for the valleys close in deepness. At a fluctuation change of the deepness relation into the inverse one the maximum of the wave function «tunnels» from the initial valley into another one. The transition from the excited state a lower one is also studied. It is shown that the transition is accompanied by the emission of a fragment of electromagnetic wave which can be associated with a «photon».
|
| issn |
0132-6414 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116887 |
| citation_txt |
Опыт численного моделирования смешанного состояния сверхпроводников, примененный к исследованию нестационарного уравнения Шредингера / А.Э. Филиппов // Физика низких температур. — 2010. — Т. 36, № 1. — С. 125-130. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT filippovaé opytčislennogomodelirovaniâsmešannogosostoâniâsverhprovodnikovprimenennyikissledovaniûnestacionarnogouravneniâšredingera AT filippovaé applicationoftheexperienceofnumericalsimulationofthemixedstateofsuperconductorstoastudyofnonstationaryschrodingerequation |
| first_indexed |
2025-11-27T05:41:53Z |
| last_indexed |
2025-11-27T05:41:53Z |
| _version_ |
1850799619403939840 |
| fulltext |
© А.Э. Филиппов, 2010
Физика низких температур, 2010, т. 36, № 1, c. 125–130
Опыт численного моделирования смешанного
состояния сверхпроводников, примененный к
исследованию нестационарного уравнения
Шредингера
А.Э. Филиппов
Донецкий физико-технический институт НАН Украины им. А.А. Галкина
ул. Р. Люксембург, 72, г. Донецк, 83114, Украина
E-mail: filippov_ae@yahoo.com
Статья поступила в редакцию 17 марта 2009 г., после переработки 23 июня 2009 г.
Опыт численного моделирования сверхпроводящих систем использован для исследования поведения
нестационарной волновой функции вдали от равновесия. Показано, что нормировка волновой функции
играет роль эффективного нелокального взаимодействия, которое приводит к локализации волновой
функции в одной из ям даже при инфинитизимальной разнице их глубин. Это принципиально отличается
от решения уравнения Фоккера–Планка, которое в равновесии экспоненциально зависит от энергии и для
близких по глубине ям практически симметрично. При флуктуационном (малом) изменении соотноше-
ния глубин на обратное максимум волновой функции «туннелирует» в другую яму. Рассмотрен также
переход в одноямном потенциале из возбужденного состояния в более низкое. Показано, что он сопро-
вождается излучением локализованного фрагмента электромагнитной волны, который может быть отож-
дествлен с «фотоном».
Досвiд чисельного моделювання надпровiдникових систем використовано для дослідження поведінки
нестаціонарної волнової функції далеко від рівноваги. Показано, шо норміровка волнової функції відіграє
роль ефективної нелокальної взаємодії, що призводить до локалізації волнової функції в однієї із ям, на-
віть при інфінітізімальній різниці їх глибин. Це принципово відрізняється від рішення рівняння Фоккера–
Планка, яке у рівновазі експоненціально залежить від енергії і для близьких по глибині ям практично си-
метрично. При флуктуаційній (малій) зміні співвідношення глибини на звороті максимум волнової фун-
кції «тунелює» у другу яму. Досліджено також перехід в одноямному потенціалі із збудженого станови-
ща у більш низьке. Показано, что він супроводжується випромінюванням локалізованого фрагменту елек-
тромагнітної хвилі, яке може бути утотожнено з «фотоном».
PACS: 03.65.–w Квантовая механика;
03.65.Ta Основы квантовой механики, теория измерений.
Ключевые слова: уравнения Гинзбурга–Ландау, уравнение Шредингера, нестационарное.
1. Введение. Использование опыта
моделирования сверхпроводников в
решении уравнения Шредингера
Уравнение Шредингера (УШ) позволило объяснить
и рассчитать множество квантовых эффектов. Однако
из-за аналитических трудностей имеется лишь не-
большой набор хорошо известных точных результатов
и приближенных схем решения этого уравнения, кото-
рые не исчерпывают всех проблем теории. Примени-
тельно к теории сверхпроводимости, УШ было моди-
фицировано к форме уравнений Гинзбурга–Ландау
(УГЛ) [1]. Многочисленные приложения этой теории
стимулировали численное решение УГЛ вдали от рав-
новесия, в различной геометрии, для многокомпонент-
ных полей и при разнообразных граничных условиях
(см., например, [2–4]). Этот опыт теперь может быть
перенесен обратно в фундаментальную теорию.
Формально УШ и УГЛ отличаются следующим:
1. УГЛ являются диссипативными, т.е. имеют фор-
му уравнений диффузии с нелинейной правой частью:
( )
2
21 .ii
t
∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞η + κφ ψ = − ∇ + ψ + − ψ ψ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ κ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
A (1)
А.Э. Филиппов
126 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 1
Нелинейность ограничивает нарастание волновой
функции ψ (параметра порядка) и избавляет от необхо-
димости ее нормировки как в теории, так и при чис-
ленном решении УГЛ. Кроме того, нелинейность типа
«теории φ4» делает численную схему самостабилизи-
руемой. В отличие от УШ, нормировка, т.е. суммарная
плотность параметра порядка, в УГЛ не сохраняется,
что соответствует реальной эволюции системы при
фазовых переходах или при вхождении магнитного
поля и токов в сверхпроводник. Столь же реальным в
этих уравнениях является присутствие поля и токов,
которые формально входят через калибровочно-инва-
риантные «длинные» производные для четырехкомпо-
нентного вектор-потенциала (φ,A)
;st
∂
+∇φ = −∇×∇× − +∇×
∂
A A J H
где ток:
2
Re * ,s
i⎡ ⎤⎛ ⎞= ⎢ψ ∇ + ψ⎥⎜ ⎟κ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
J A (2)
и образуют совместно с комплексным полем
1 2 iψ = ψ + ψ замкнутую систему.
2. УШ является динамическим:
( )
2
.ii i U
t
∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ κφ ψ = − ∇ + ψ + ψ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ κ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
A r (3)
В отличие от УГЛ, для незаряженных частиц оно мо-
жет рассматриваться отдельно от калибровочного
электромагнитного поля, вырождаясь при этом в
«стандартное» УШ:
( ) .i U
t
∂
ψ = −Δψ + ψ
∂
r (4)
Для замкнутой системы в бесконечном пространстве
УШ сохраняет все интегралы движения, присущие ди-
намическим системам, а также нормировку волновой
функции:
2
1.
V
ψ =∫ (5)
Реальная система всегда конечна и открыта. Помимо
обмена энергией и импульсом, она может обменивать-
ся частицами с «квантовым вакуумом», так что норми-
ровка ψ -функции, вообще говоря, может не сохра-
няться. Кроме того, численное решение ограничено
некоторым массивом, что вынуждает принудительно
фиксировать нормировку при каждом шаге счета.
Задание нормировки эквивалентно дополнительно-
му допущению, что частица не покидает области, в
которой рассматривается движение, и связано с из-
вестным парадоксом Эйнштейна–Подольского–Розена.
Математически сохранение интеграла
2
V
ψ∫ по всему
пространству эквивалентно нелокальному взаимодей-
ствию, которое одновременно перенормирует ψ -
функцию по всему объему. Кроме того, оно делает
уравнение эффективно нелинейным. Возможно, в фи-
зической реальности, стоящей за феноменологией УШ,
мы имеем дело с коллективным многочастичным по-
ведением, которое на уровне линейного УШ удается
редуцировать к единственному интегральному вкладу
— условию нормировки [5].
2. Поведение волновой функции в двухъямном
потенциале
Представляет интерес распространить кинетический
подход теории сверхпроводимости на исследование
динамики комплексных полей, задаваемой УШ с фик-
сированной нормировкой. А именно: в пространстве
размерности d = 1, 2, 3 с заданной формой границы в
присутствии потенциалов U(r) и постоянно действую-
щих источников шума (флуктуаций) задавать физиче-
ски мотивированное (в том числе «random») начальное
распределение комплексного поля 1 2iψ = ψ + ψ и сле-
дить за его спонтанной эволюцией. Для сверхпровод-
ников такой метод действительно приводит к наблю-
даемому поведению фазового упорядочения, вхожде-
нию магнитного поля, возникновению вихрей и т.п.
Тестовые численные эксперименты с УШ в форме
(4), (5) выполнялись для ряда стандартных задач кван-
товой механики: отражение от барьеров и туннелиро-
вание, дифракция и интерференция на двух и более
отверстиях, стационарные состояния в потенциальной
яме и т.п. Уравнения в частных производных решались
стандартным методом, в котором, например, уравнение
( )i U x
t
∂
ψ = −Δψ + ψ
∂
заменяется его дискретным ана-
логом
1, ,к j к ji i+ψ = ψ +
( ), 1 , 1 , ,[( 2 ) / ]к j к j к j j к jt x U x+ −+Δ ⋅ ψ +ψ − ψ Δ + ψ
и пошагово итерируется параллельно для обеих ком-
плексных компонент , 1, , 2, ,к j к j к jiψ = ψ + ψ . Пакет
MatLab, в частности, оперирует непосредственно с
комплексными матрицами , 1, , 2, ,к j к j к jiψ = ψ + ψ раз-
мерности max max{2 }j k⋅ при max1, 2, ..., ;j j=
max1, 2, ...,k k= . В конкретных численных процедурах
были использованы:
1) одномерные { }jx и двумерные { , }j jx y про-
странственные массивы, содержащие по 104 и 103·103
элементов соответственно;
2) нулевые min max( ) ( ) 0x xψ = ψ = или периоди-
ческие граничные условия в зависимости от конкрет-
ной физической задачи;
3) принудительное восстановление нормировки
2 2
, , , , 0 ,/k j k j k j k j t k j
j j
=ψ → ψ = ψ ψ ψ∑ ∑ на каждом
шаге счета.
Важно еще раз подчеркнуть, что использованный
метод решения связанных уравнений в частных произ-
водных является абсолютно стандартным, не имею-
щим никаких вычислительных преимуществ и рутинно
Опыт численного моделирования смешанного состояния сверхпроводников
Физика низких температур, 2010, т. 36, № 1 127
используемым в физике, в том числе и для моделиро-
вания кинетики сверхпроводников. До известной сте-
пени «оригинальной» является лишь идея применить
такой же подход к старым классическим задачам.
Выполненные эксперименты дают ожидаемые ре-
зультаты во всех статических асимптотиках, доступных
проверке аналитической теорией. Численное моделиро-
вание может быть использовано как для проверки ана-
литических результатов, так и в преподавании, по-
скольку дает доступный и наглядный способ визуали-
зации классических решений УШ. При этом, например,
непосредственно на дисплее видно, как в соответствии
с теорией, статические распределения получаются
только для плотности вероятности 2ψ , тогда как ком-
плексные компоненты 1,2ψ осциллируют с частотой,
определяемой энергией kE конкретного состояния.
Далее подробно остановимся лишь на двух нетри-
виальных сценариях поведения. Один из них получает-
ся при рассеянии «частицы» на двухъямном потенциа-
ле U(r). Если потенциал строго симметричен, то части-
ца должна с одинаковой вероятностью бывать в его
ямах. Однако в реальности всегда есть флуктуации.
Заимствованный из физической кинетики опыт реше-
ния уравнения Фоккера–Планка [6] формирует интуи-
тивное ожидание, что при малом различии ям
min| | U Uδ << не только суммарные вероятности их
заполнения будут мало различаться, но и вся функция
распределения 2ψ будет близка к обратной экспонен-
те от потенциала 2( ) exp ( ( ))Uψ ∝ −r r .
Решение УШ показывает, что в квантовой механике
это не так. Если ямы достаточно разнесены в про-
странстве и глубоки, так что в каждой из них возможен
дискретный уровень энергии, то даже при
min| | U Uδ << распределение полностью локализует-
ся в той из них, которая глубже. Более того, при сла-
бом «шевелении» потенциала, когда неравенство глу-
бин ям меняется на обратное, т.е. U Uδ →−δ , распре-
деление 2( )ψ r за конечное время «туннелирует» из
одной ямы в другую. На рис. 1 показаны начальное,
некоторое промежуточное и близкие к стационарным
распределения, полученные численно для одномерного
потенциала 2 4( )U r ar br= − + при малом возмущении
U rδ δ∼ . Такие же результаты были получены и для
2d-случая. Случай 1d здесь и далее изображен только
потому, что для него можно привести статическое изо-
бражение временной эволюции плотности 2( ; )tψ r в
виде пространственно-временной карты. В частности,
такой сценарий для описанного выше процесса пред-
ставлен на рис. 2, где плотность 2( ; )tψ r представлена
градациями серого для каждого момента времени t.
Координата, x
U
(x
),
|
|
ψ
Координата, x
г
a
в
U
(x
),
|
|
ψ
Рис. 1. Характерные стадии эволюции ψ-функции (жирная линия) в двухъямном потенциале (тонкая линия), численно полу-
ченные для потенциала 2 4( )U r ar br= − + начальное случайное (random) распределение ψ-функции (a); локализация ψ-функции
в более глубокой яме (показан момент, когда локальный максимум | ψ| во второй яме практически исчез, но еще виден как «гид
для глаз») (б); промежуточное состояние в процессе «туннелирования» после смены соотношения минимумов потенциала (в);
близкая к завершению стадия «туннелирования», на которой максимум в первой яме постепенно исчезает (г).
А.Э. Филиппов
128 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 1
Хорошо видны как спонтанная локализация 2( ; )tψ r в
одной из ям ( )U r в ходе начального переходного пе-
риода, так и «туннелирование» после принудительного
изменения их глубин. Момент изменения знака Uδ от-
мечен штрих-пунктирной линией.
Физически это означает, что частица всегда выби-
рает нижайший на данный момент минимум. Но из-за
взаимодействия с флуктуациями термостата («прибо-
ром») сами минимумы могут оказываться глубже дру-
гих с различной вероятностью, в зависимости от их
характерной глубины в среднем по времени, что и
приводит к тому, что частица может наблюдатья в раз-
ных состояниях, но всегда «целиком». Чем чище орга-
низован эксперимент, тем реже флуктуации, и тем
«парадоксальнее» будет выглядеть случайное обнару-
жение частицы только в одном, заранее неизвестном
состоянии.
Математически полная локализация плотности рас-
пределения в одной из ям связана с нелокальным взаи-
модействием через общую для всего массива норми-
ровку и сродни известному в вычислительной матема-
тике «генетическому алгоритму поиска экстремума»
[7]. В ограниченной системе и при нулевых условиях
на границе min max( ) ( ) 0x xψ = ψ = система постоянно
теряет энергию. При этом «поток частиц» скомпенси-
рован принудительным сохранением нормировки на
каждом шаге счета
2 2
, , , , 0 ,/k j k j k j k j t k j
j j
=ψ → ψ = ψ ψ ψ∑ ∑ .
В результате система эволюционирует к нижайшему
энергетическому состоянию. В отличие от формально-
го «генетического алгоритма», где полная конденсация
плотности в минимуме ( )U r разрешена, наличие гра-
диентного слагаемого в функционале энергии:
( )2 21
2 V
H U⎡ ⎤= ∇ψ + ψ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ r (6)
при фиксированной нормировке, т.е. ненулевой плот-
ности 2( ; )tψ r , не допускает полной конденсации.
Процесс естественным образом останавливается на
основном состоянии, являющемся нижайшим по энер-
гии решением уравнения:
( ) 0i U
t
∂
ψ = −Δψ + ψ =
∂
r (7)
при условии
2
1.
V
ψ =∫ Более высокие по энергиям
состояния все же удается реализовать численно либо
при достаточной энергии начального распределения
( ; 0)tψ =r , либо путем стимуляции шумом. Эти со-
стояния, вообще говоря, глобально неустойчивы и раз-
рушаются флуктуациями. Наиболее устойчивые со-
стояния удается получить, заранее выбрав функцию
( )ψ r вблизи одного из возбужденных состояний (для
кулоновой ямы, например, известных аналитически),
отличных от основного состояния по симметрии. На-
пример, в качестве начального в симметричной яме,
где функция основного состояния симметрична, вы-
брать асимметричное распределение ( ; 0)r tψ = =
( ; 0)r t= −ψ − = , что создает «топологический» барьер,
надолго стабилизирующий возбужденное состояние.
Это наблюдение оказывается полезным ниже.
3. Излучение при переходе с уровня на уровень
Полная система уравнений для описания заряжен-
ных частиц включает, помимо собственно нестацио-
нарного УШ ( )
2ii i U
t
∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ κφ ψ = − ∇ + ψ + ψ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ κ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
A r с
условием нормировки
2
1
V
ψ =∫ , также уравнения (2)
для 4 компонент вектор-потенциала (φ,A):
t
∂
+∇φ =
∂
A
s= −∇×∇× − +∇×A J H и потока «частиц» Js. Подоб-
ная по составу система уравнений для сверхпроводни-
ков успешно работает и даже дает состояния с различ-
ным значением момента при вхождении вихрей в ме-
зоскопические таблетки, включая тонкое расщепление
уровней энергии в зависимости от симметрии их упо-
рядочения [3]. До известной степени такие состояния
даже можно интерпретировать как искусственные «ме-
зоскопические атомы». Можно ожидать, что если сис-
тема УШ с вектор-потенциалом верна, то при спонтан-
ном или стимулированном переходе между стационар-
Рис. 2. Пространственно-временная карта эволюции плотно-
сти вероятности 2( ; )tψ r , показанная градациями яркости
серого цвета, соответствующая сценарию, описанному в тек-
сте. Момент «флуктуационного» переключения соотношения
глубин ям U Uδ → −δ помечен штриховой линией. Харак-
терная рябь при малых временах t соответствует переходно-
му процессу при случайном начальном распределении
( ; 0)tψ =r .
Опыт численного моделирования смешанного состояния сверхпроводников
Физика низких температур, 2010, т. 36, № 1 129
Рис. 5. Пространственно-временные карты плотности модуля
ψ-функции и нетривиальной компоненты вектор-потенциала
( ; )A tr (фрагменты (a) и (б) соответственно), показанные
градациями яркости. Видны колебания ветвей ψ-функции в
противофазе и бегущие электромагнитные волны. Область
интенсивной генерации соответствует большему контрасту
бегущих волн и выделена штриховыми линиями.
ными состояниями она также воспроизведет естест-
венным образом излучение конечного фрагмента элек-
тромагнитной волны (фотона). В остальное время из-
лучение должно отсутствовать.
Результаты численного решения системы (2)–(4)
суммированы на рис. 3, 4, 5. В качестве начального
было выбрано антисимметричное состояние
( ; 0) ( ; 0)r t r tψ = = −ψ − = , близкое к стационарному. В
переходном процессе система спонтанно релаксирует к
«точному» стационарному состоянию, которое с уче-
том конечности и дискретности численного массива
всегда требует небольшой адаптации. После этого ма-
лым (по сравнению с амплитудой последующего пере-
хода) возмущением был введен дисбаланс между ам-
плитудами ветвей антисимметричной функции
( ) ( )r rψ = −ψ − , в результате которого развилась неус-
тойчивость, и система за конечное время перешла в
четное основное состояние 0( ) ( ) ( )r r rψ = ψ − ≡ ψ . В
ходе процесса был прогенерирован конечный цуг элек-
тромагнитной волны (фотон).
Нетривиальным здесь является именно наблюдение
конкретного процесса развития неустойчивости вда-
ли от обоих равновесий, которое не может быть описа-
но теорией возмущений. В частности, оказалось, что
процесс идет не в виде постепенного нарастания одной
и угасания другой ветви модуля ассиметричной волно-
вой функции ( ; )r tψ . Вместо этого в системе развива-
ются колебания, так что обе ветви попеременно нарас-
тают и уменьшаются со все большей амплитудой,
вплоть до достижения одной из них некоторой сепа-
ратриссы («седловой точки» в функциональном про-
странстве), после чего другая ветвь постепенно угаса-
ет, а вся функция притягивается к аттрактору — чет-
ному основному состоянию 0 0( ) ( )r rψ = ψ − .
Из рис. 3–5 следует, что именно переходные коле-
бания ψ-функции вдали от равновесия порождают ге-
нерацию волны вектор-потенциала A. Проинтегриро-
вав плотность потока энергии электромагнитного поля,
можно убедиться, что энергия прогенерированного
«фотона» совпадает с энергией перехода (что, собст-
венно, есть лишь проверка решения, так как определя-
ется динамическим характером исходных уравнений).
Следует подчеркнуть также, что соответствии с общей
теорией в численных экспериментах в обоих стацио-
Рис. 3. Изменение полной энергии при стимулированном
переходе из возбужденного антисимметричного состояния в
симметричное основное состояние. На вставке показан ма-
лый скачок энергии Е в момент стимуляции перехода (поме-
ченный прямоугольником на основном графике). Область
интенсивной генерации электромагнитного излучения выде-
лена штриховыми линиями.
0 3 9 12
– 4,85
– 4,5
Âðåìÿ, t
Ý
í
åð
ãè
ÿ
,
<
H
>
0,6 0,8
Âðåìÿ
Ý
í
åð
ãè
ÿ
– 4,551
– 4,553
Рис. 4. Типичные мгновенные распределения плотности не-
тривиальной компоненты вектор-потенциала (в 1d-системе),
модуля ψ-функции (жирная серая кривая) и двух ее компо-
нент 1,2ψ (сплошная и штриховая линии соответственно на
фоне жирной серой) в области интенсивной генерации элек-
тромагнитного поля ( ; )A tr . Стрелками показаны направле-
ния движения волн.
0
50 100 150 200
– ,0 4
– ,0 2
0
0 2,
0 4,
– ,0 2
0
0 2,
Êîîðäèíàòà, x
|
|
�
À
А.Э. Филиппов
130 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 1
нарных состояниях генерация поля отсутствует, хотя
вещественная и мнимая компоненты ψ-функции ос-
циллируют с частотой, определяемой энергией
1,2 ~ exp( )iEtψ − .
4. Заключение
Непосредственное численное решение нестацио-
нарного уравнения Шредингера вдали от равновесия
может быть использовано как для проверки и иллюст-
рации известных аналитических результатов, так и для
продвижения в область существенно неравновесных
квантовых процессов и их более глубокого понимания.
В частности, даже простейшие приложения подхода к
известным проблемам: обнаружение частицы в двухъ-
ямном потенциале при флуктуациях окружения и из-
лучение при переходе между уровнями, позволяют по-
новому взглянуть на проблему квантовых наблюдений
и их «копенгагенскую интерпретацию». Квантовые
явления могут и должны быть рассмотрены как дина-
мические, развернутые во времени процессы. Широко
применяемая в феноменологической теории редукция
квантовых процессов к начальному и конечному ста-
ционарным состояниям и «скачкам» между ними при-
водит к известным «парадоксам», которые в настоящее
время могут быть конструктивно преодолены на базе
имеющихся вычислительных возможностей.
Численные эксперименты свидетельствуют в пользу
существования в процессах, описываемых УШ, тех же
явлений, что характерны для всех динамических про-
цессов в многокомпонентных и/или нелинейных систе-
мах: притяжение к динамическим аттракторам (сопро-
вождаемое возникновением порядка из хаоса), развитие
неустойчивостей при достижении некоторых сепарат-
рис (седловых точек) в функциональном пространстве,
генерация нетривиальных плотностей тех полей, кото-
рые симметрийно разрешены в системе, но пренебре-
жимо малы на начальных стадиях процесса и т.п.
Наблюдение колебательного процесса при переходе
между уровнями открывает путь для конструктивного
исследования вопроса о связи структуры волновой
функции стационарных состояний в УШ и энергией
фотонов. С одной стороны, пространственная диспер-
сия волновой функции однозначно фиксируется коэф-
фициентом при градиентных слагаемых уравнения, т.е.
в конечном счете постоянной Планка ћ. С другой, те
же градиенты определяют динамический переходный
процесс, и в частности, частоту колебаний ψ-функции.
Это делает постоянную Планка в УШ не просто «под-
гоночной константой», которая позволяла получить
взаимное соответствие между энергией фотонов и рас-
стоянием между уровнями, а на самом деле общей
константой единого процесса излучения.
Учитывая опыт работы с многокомпонентными, 2d-
и 3d-системами, а также со взаимодействующими по-
лями в кинетике сверхпроводников [4], этот подход
был обобщен автором на системы соответствующей
размерности, а также небольшого числа взаимодейст-
вующих частиц N = 1, 2, 3 .., т.е. именно на ту область,
которая не может быть исследована в термодинамиче-
ском пределе N >> 1, но черезвычайно актуальна с уче-
том потребностей физики наномира.
1. Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский, Статистическая
физика, Наука, Москва (1978).
2. V.V. Moshchalkov, L. Gielen, C. Strunk, R. Jonckheere, X.
Qiu, C. Van Haesendonck, and Y. Bruynseraede, Nature
373, 319 (1995).
3. A.K. Geim, S.V. Dubonos, I.V. Grigorieva, and K.S.
Novoselov, Nature 390, 259 (1997).
4. A.E. Filippov, A.V. Radievsky, and A.S. Zeltser, Phys. Rev.
B54, 3504 (1996).
5. A.E. Filippov, Phys. Lett. A215, 32 (1996).
6. H. Risken, The Fokker–Planck Equation Springer, Berlin
(1996).
7. Michael D. Vose, The Simple Genetic Algorithm:
Foundations and Theory, MIT Press, Cambridge, MA
(1999).
Application of the experience of numerical simulation
of the mixed state of superconductors to a study of
non-stationary Schrödinger equation.
A.E. Filippov
The previous experience of numerical simula-
tion of superconducting systems is applied to
study the behavior of nonstationary wave function
far from the equilibrium. It is shown that the
normalization of the wave function plays a role of
effective nonlocal interaction which leads to a lo-
calization of the function in one of the potential
valleys even at infinitesimally small difference
between deepness of the valleys. This principally
differs from the solution of Focker–Plank equa-
tion which exponentially depends on energy and
which is practically symmetric for the valleys
close in deepness. At a fluctuation change of the
deepness relation into the inverse one the maxi-
mum of the wave function «tunnels» from the ini-
tial valley into another one. The transition from
the excited state a lower one is also studied. It is
shown that the transition is accompanied by the
emission of a fragment of electromagnetic wave
which can be associated with a «photon».
PACS: 03.65.–w Quantum mechanics;
03.65.Ta Foundations of quantum me-
chanics; measurement theory
Keywords: Ginzburg-Landau equations,
Schrödinger equation, non-stationary.
|