Фазовый переход по магнитному полю в бозе-газе
Изучены зависимости от внешнего магнитного поля термодинамических характеристик бозе-газа частиц с неравными нулю спином и магнитным моментом в состояниях с конденсатом Бозе–Эйнштейна и в его отсутствие. Показано, что существует интервал температур, при которых в бозе-газе с постоянной температурой...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Физика низких температур |
|---|---|
| Datum: | 2010 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2010
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/117021 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Фазовый переход по магнитному полю в бозе-газе / Ю.М. Полуэктов, А.Г. Волоснев // Физика низких температур. — 2010. — Т. 36, № 4. — С. 359-367. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859916927030263808 |
|---|---|
| author | Полуэктов, Ю.М. Волоснев, А.Г. |
| author_facet | Полуэктов, Ю.М. Волоснев, А.Г. |
| citation_txt | Фазовый переход по магнитному полю в бозе-газе / Ю.М. Полуэктов, А.Г. Волоснев // Физика низких температур. — 2010. — Т. 36, № 4. — С. 359-367. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Физика низких температур |
| description | Изучены зависимости от внешнего магнитного поля термодинамических характеристик бозе-газа частиц с неравными нулю спином и магнитным моментом в состояниях с конденсатом Бозе–Эйнштейна и в его отсутствие. Показано, что существует интервал температур, при которых в бозе-газе с постоянной температурой и плотностью числа частиц с увеличением магнитного поля и достижении им критической величины происходит переход в состояние с конденсатом Бозе–Эйнштейна. Производные по температуре и магнитному полю от теплоемкости при постоянном объеме и магнитной восприимчивости испытывают скачок при таком переходе.
Вивчено залежності від зовнішнього магнітного поля термодинамічних характеристик бозе-газу частинок зі спіном та магнітним моментом, які не дорівнюють нулю, у станах з конденсатом Бозе–Ейнштейна та в його відсутності. Показано, що існує інтервал температур, при яких у бозе-газі з постійною температурою та щільністю числа частинок зі збільшенням магнітного поля і досягненні їм критичної величини відбувається перехід у стан з конденсатом Бозе–Ейнштейна. Похідні по температурі та магнітному полі від теплоємності при постійному об’ємі та магнітній сприйнятливості мають стрибок при такому переході.
The magnetic field dependence of thermodynamical properties of non-zero spin and magnetic moment Bose gas particles has been studied in the cases with and without Bose–Einstein condensate. It is shown that as the magnetic field increases and reaches its critical value there is a temperature interval in which Bose gas with constant temperature and particle number density makes a transition to a state with Bose–Einstein condensate. The derivatives of specific heat at constant volume and magnetic susceptibility with respect to temperature or magnetic field are discontinuous at the phase transition.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:05:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Ю.М. Полуэктов, А.Г. Волоснев, 2010
Физика низких температур, 2010, т. 36, № 4, c. 359–367
Фазовый переход по магнитному полю в бозе-газе
Ю.М. Полуэктов
Национальный научный центр «Харьковский физико-технический институт»
ул. Академическая, 1, г. Харьков, 61108, Украина
E-mail: yuripoluektov@kipt.kharkov.ua
А.Г. Волоснев
Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина, пл. Свободы, 4, г. Харьков, 61077, Украина
Статья поступила в редакцию 9 ноября 2009 г.
Изучены зависимости от внешнего магнитного поля термодинамических характеристик бозе-газа час-
тиц с неравными нулю спином и магнитным моментом в состояниях с конденсатом Бозе–Эйнштейна и в
его отсутствие. Показано, что существует интервал температур, при которых в бозе-газе с постоянной
температурой и плотностью числа частиц с увеличением магнитного поля и достижении им критической
величины происходит переход в состояние с конденсатом Бозе–Эйнштейна. Производные по температу-
ре и магнитному полю от теплоемкости при постоянном объеме и магнитной восприимчивости испыты-
вают скачок при таком переходе.
Вивчено залежності від зовнішнього магнітного поля термодинамічних характеристик бозе-газу час-
тинок зі спіном та магнітним моментом, які не дорівнюють нулю, у станах з конденсатом Бозе–Ейнштей-
на та в його відсутності. Показано, що існує інтервал температур, при яких у бозе-газі з постійною тем-
пературою та щільністю числа частинок зі збільшенням магнітного поля і досягненні їм критичної вели-
чини відбувається перехід у стан з конденсатом Бозе–Ейнштейна. Похідні по температурі та магнітному
полі від теплоємності при постійному об’ємі та магнітній сприйнятливості мають стрибок при такому
переході.
PACS: 67.85.Jk Другие явления бозе-эйнштейновской конденсации;
03.75.Mn Многокомпонентная и спинорная конденсации.
Ключевые слова: бозе-эйнштейновская конденсация, магнитное поле, фазовый переход, намагничен-
ность, магнитная восприимчивость, теплоемкость.
1. Введение
Явление накопления макроскопического числа час-
тиц в основном состоянии при низких температурах
предсказано Эйнштейном, на основе подхода, развито-
го Бозе [1], в работах по изучению свойств идеального
квантового газа [2]. Эффект бозе-эйнштейновской кон-
денсации (БЭК) был использован Ф. Лондоном [3] и
Тиссой [4] для объяснения, открытой Капицей [5] и
Алленом [6], сверхтекучести жидкого гелия. Позднее
Ландау [7] построил теорию сверхтекучести, не опира-
ясь на представление о бозе-эйнштейновской конден-
сации. Тем не менее вопрос о связи явления сверхтеку-
чести с БЭК продолжает оставаться актуальным и
в настоящее время. Наличие бозе-эйнштейновского
конденсата в сверхтекучей фазе гелия подтверждено
в экспериментах по неупругому рассеянию нейтро-
нов [8].
Принципиальный интерес представляет вопрос о
конденсации газа бозонов с отличным от нуля спином
и магнитным моментом во внешнем магнитном поле.
Впервые этот вопрос исследован в работе [9]. В связи с
экспериментальным открытием БЭК в атомарных газах
[10–14], которая реализуется в магнитном поле, теоре-
тическое изучение конденсации в магнитном поле
вновь привлекло внимание [15–19]. Особенностью бо-
зе-эйнштейновского перехода во внешнем магнитном
поле является то, что в конденсат выпадают только те
частицы, магнитный момент которых направлен вдоль
магнитного поля. Частицы с другими значениями про-
екции магнитного момента имеют большую энергию и
остаются в надконденсатном состоянии при всех тем-
пературах. Еще одна важная особенность состоит в
том, что температура перехода в фазу с конденсатом
оказывается зависящей от магнитного поля и возраста-
ет с его увеличением до некоторого максимального
значения.
Ю.М. Полуэктов, А.Г. Волоснев
360 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 4
Зависимости термодинамических величин бозе-газа в
магнитном поле от температуры достаточно подробно
изучены в [9,15–19]. В настоящей работе исследуются
зависимости термодинамических характеристик бозе-
газа частиц с отличным от нуля магнитным моментом
от величины магнитного поля. Показано, что сущест-
вует интервал температур, в котором при фиксирован-
ной температуре и плотности числа частиц становится
возможным фазовый переход в состояние с БЭК при
увеличении магнитного поля. В точке фазового перехо-
да, который наступает при достижении магнитным
полем критического значения, теплоемкость, намагни-
ченность и магнитная восприимчивость оказываются
непрерывными, а производные от теплоемкости и маг-
нитной восприимчивости по температуре и магнитно-
му полю испытывают скачок.
2. Бозе-эйнштейновская конденсация
в магнитном поле
Поскольку частица с магнитным моментом
s= κsκ ( s — вектор спина, κ — величина магнит-
ного момента, предполагаемая положительной) в маг-
нитном поле B приобретает энергию − Bκ , то в иде-
альном газе бозе-частиц N со спином s , занимающих
объем V и находящихся во внешнем магнитном поле
B , равновесная функция распределения зависит от
проекции спина частиц σ на направление магнитного
поля и имеет вид
1
exp ( ) 1p pf
−
σ σ⎡ ⎤= β ε −μ −⎣ ⎦ , (1)
где 1 Tβ = — обратная температура, 2 2p p mε = —
кинетическая энергия, p — импульс, m — масса час-
тицы, /B sσμ = μ +σκ — эффективный химический
потенциал частицы во внешнем магнитном поле, μ —
истинный химический потенциал. Спиновый индекс σ
принимает целочисленные значения от s− до s . Все
термодинамические характеристики бозе-газа могут
быть выражены через специальные функции:
( )
1
0
1
( ) exp ( ) 1
z dzt
z t
∞ ν−
νΦ =
Γ ν + −∫ , (2)
где ( )Γ ν — гамма-функция. Функции (2) определены
для неотрицательных значений t и представимы в ви-
де ряда
( )
1
e nt
n
t
n
∞ −
ν ν
=
Φ =∑ . (3)
Для описания термодинамических свойств бозе-
газа, как правило, достаточно функций ( )tνΦ при
1 2, 3 2, 5 2ν = . Отметим, что при 1ν > выполняется
полезное соотношение ( ) ( )1t tν ν−′Φ = −Φ . Кроме того,
( ) ( ) ( ) ( )3/2 5/20 3 2 2,612, 0 5 2 1,341Φ = ζ = Φ = ζ = , а
при 0t → ( )1/2 t tΦ ≈ π , где ( )ζ ν — дзета-функция
Римана. Функции ( )tνΦ монотонно убывают с воз-
растанием t , а при t →∞ для них справедлива асим-
птотика ( ) e tt −
νΦ ≈ .
В дальнейшем будут использованы следующие обо-
значения для сумм:
2
( ) ,
( ) ,
( ) ,
s
s
s
s
s
s
t
t
t
ν ν σ
σ=−
ν ν σ
σ=−
ν ν σ
σ=−
δ ≡ Φ
′δ ≡ σΦ
′′δ ≡ σ Φ
∑
∑
∑
(4)
где t t bσ σ= −βμ = −σ , t = −βμ , /b B s= βκ . Функции
(4) зависят от двух переменных t и b : ( , )t bν νδ = δ и
т.д.
Из вида функции распределения (1) следует, что
число частиц с проекцией спина σ определяется фор-
мулой
3/23 ( )VN tσ σ= Φ
Λ
, (5)
а полное число частиц
3/23
s
s
VN Nσ
σ=−
= = δ
Λ
∑ . (6)
В формулы (5) и (6) входит тепловая длина волны
частицы
2 1/2(2 )mTΛ = π . (7)
В отсутствие магнитного поля при высоких темпе-
ратурах химический потенциал, как известно [20], от-
рицателен и приближается к нулю при понижении
температуры. Условием БЭК является обращение в
нуль химического потенциала. При наличии магнитно-
го поля условием БЭК, как это следует из вида функ-
ции распределения (1), будет требование обращения в
нуль эффективного химического потенциала
/B sσμ = μ +σκ , который различен для частиц с раз-
ным σ . Конденсация в магнитном поле начнется с
того момента, когда при понижении температуры σμ
при каком-то σ обратится в нуль. Очевидно, что вна-
чале это произойдет для частиц, магнитный момент
которых направлен вдоль поля. Таким образом, усло-
вие конденсации в магнитном поле имеет вид
0sμ = или Bμ = −κ . (8)
Условие (8) остается справедливым для всех темпера-
тур ниже температуры БЭК в магнитном поле BT , по-
этому при BT T< эффективный химический потен-
циал
Фазовый переход по магнитному полю в бозе-газе
Физика низких температур, 2010, т. 36, № 4 361
( )s B sσμ = − − σ κ , (9)
так что параметр
( )t s bσ = − σ . (10)
Согласно (9), эффективные химические потенциалы
частиц с проекциями спина sσ ≠ не обращаются в
нуль, а следовательно, эти частицы при любых темпе-
ратурах находятся в надконденсатном состоянии. При
0T = остаются только находящиеся в конденсате бо-
зоны с магнитным моментом, направленным по полю.
Из формулы (6), с учетом условия (8), следует соот-
ношение, определяющее температуру БЭК в магнит-
ном поле BT :
2/32
0 3/2
0
( / ) (3 2)
s
B BT T B sT g
σ=
⎡ ⎤
= Φ σκ ζ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
∑ , (11)
где
( )
2
2/3
0
2 (3 2)T n g
m
π
= ζ (12)
— температура БЭК в отсутствие магнитного поля,
n N V= — плотность числа частиц, 2 1g s= + . Темпе-
ратура BT монотонно возрастает с ростом магнитного
поля. Это связано с тем, что в магнитном поле БЭК
начинается уже тогда, когда истинный химический
потенциал еще остается отрицательным, а не равняется
нулю, как в случае отсутствия магнитного поля.
В бозе-газе частиц с ненулевым спином естественно
ввести критическую величину магнитного поля 0B ,
определяемую температурой БЭК
0 0B T= κ . (13)
Температурные зависимости термодинамических ха-
рактеристик бозе-системы и характер конденсации
будут различаться в зависимости от величины магнит-
ного поля в сравнении с характерным полем (13). В
сильном поле 0B B>> температура конденсации стре-
мится к предельному значению
( )
2
2/32/3
1 0
2(2 1) (3 2)T s T n
m
π
= + = ζ . (14)
Отметим, что температура конденсации в отсутствие
поля (12) уменьшается с увеличением спина частицы,
тогда как температура БЭК в предельно сильном поле
(14) не зависит от спина, а определяется только плот-
ностью числа частиц и их массой.
Ниже температуры конденсации BT T< число над-
конденсатных частиц с проекцией спина σ дается фор-
мулой (5) с учетом условий (8)–(10), а полное число
надконденсатных частиц N Nσ
σ
′ = ∑ оказывается
меньше N . Разница между полным числом и числом
надконденсатных частиц BN N N ′= − определяет число
частиц, находящихся в БЭК:
( ) ( ) ( )
2
3/2
3/2 3/23
0
1 ,
s
B B B
VN N T T b b
σ=
⎡ ⎤= − + Φ σ −Φ σ⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ Λ
∑
(15)
где /B Bb B s= β κ , 1B BTβ = . При наличии магнитно-
го поля число частиц в конденсате всегда больше, чем
при той же температуре в отсутствие поля. При BT T<
равновесная функция распределения частиц принимает
вид
( ) 1 3
,exp ( ) 1 (2 ) ( ) ,p p B sf s B s n
−
σ σ⎡ ⎤= β ε − σ− κ − + π δ δ⎣ ⎦ p
(16)
где /B Bn N V= — плотность числа частиц в конден-
сате. Конденсация в магнитном поле качественно от-
личается от БЭК в отсутствие поля тем, что в магнит-
ном поле конденсат включает только частицы с одним
значением проекции спина.
3. Зависимости термодинамических характеристик
бозе-газа от магнитного поля в отсутствие
конденсата
Как следует из зависимости температуры БЭК от
магнитного поля, при температурах 1T T> , когда вы-
полнено условие ( ) ( )3 3 2 2,612n TΛ < ζ ≈ , при произ-
вольной величине магнитного поля конденсат в бозе-
газе отсутствует. Число частиц с проекцией спина σ
определяется формулой (5). Зависимости плотностей
числа частиц nσ от величины магнитного поля для
1s = показаны на рис. 1. При увеличении поля число
частиц с магнитным моментом, направленным по полю
sσ = , монотонно возрастает. Число частиц с проек-
циями 0 s< σ < вначале возрастает с увеличением
магнитного поля, достигает максимума и в дальней-
шем убывает до нуля (см. вставку на рис. 1,а). Число
частиц с проекциями 0s− ≤ σ ≤ монотонно убывает до
нуля с возрастанием поля, причем тем сильнее, чем
меньше σ . В пределе сильного поля магнитные момен-
ты всех частиц сориентированы вдоль поля.
Термодинамический потенциал газа, с учетом вида
функции распределения (1), может быть найден так же,
как и в отсутствие поля [20]:
5/23
VT
Ω = − δ
Λ
, (17)
где функция 5/2δ определена формулами (4). Диффе-
ренцируя Ω по объему, температуре и магнитному
полю, находим давление p , энтропию S и намагни-
ченность M бозе-газа:
5/23
Tp = δ
Λ
, (18)
Ю.М. Полуэктов, А.Г. Волоснев
362 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 4
5/2 3/2 3/23
5
2
VS t b⎛ ⎞′= δ + δ − δ⎜ ⎟
⎝ ⎠Λ
, (19)
3/23
VM
s
κ ′= δ
Λ
. (20)
Соотношения (18)–(20), совместно с (6), параметричес-
ки (параметр sb t< < ∞ ) определяют зависимости этих
величин от температуры, плотности числа частиц и
магнитного поля. Полная энергия, включающая энер-
гию магнитного поля и энергию взаимодействия бозе-
газа с магнитным полем, определяется формулой
2
5/2 3/23
3
2 8
VT V BE b⎛ ⎞′= δ − δ +⎜ ⎟ π⎝ ⎠Λ
, (21)
и может быть представлена в виде
2
8I
VBE E MB= − +
π
, (22)
где
5/2
3
3
2
I
VT
E
δ
=
Λ
(23)
имеет смысл внутренней энергии. Отметим, что для
внутренней энергии (23) выполнено характерное для
идеальных квантовых газов соотношение 3 2IE = − Ω
[20], а также справедливо термодинамическое тожде-
ство
IE N TS MB pV= μ + + − . (24)
Давление, внутренняя энергия и энтропия убывают
с увеличением магнитного поля, достигая в сильных
полях некоторых предельных значений. В эксперимен-
тах по конденсации атомарных газов [10–12] темпера-
тура конденсации очень мала 610−≈ – 710− К, в силу
чего оказывается малым и критическое поле (13)
2
0 10B −≈ Гс, так что здесь реализуется случай силь-
ных полей. Поэтому рассмотрим более подробно этот
предельный случай. При условии 1b >> для функций
(4) справедлива асимптотика
2( ), ( ), ( ) .t sb s t sb s t sbν ν ν ν ν ν′ ′′δ ≈ Φ − δ ≈ Φ − δ ≈ Φ −
(25)
Для фиксированных значений плотности и температу-
ры из (6) следует, что в рассматриваемом пределе ар-
гумент функций (25) стремится к постоянной величине
t sb c− → , причем постоянная c , согласно (6), опреде-
ляется уравнением
3
3/2 ( )n cΛ = Φ . (26)
Формулы (25), (26) позволяют получить термодинами-
ческие характеристики бозе-газа в предельно сильных
полях при температурах 1T T> . Для давления, внут-
ренней энергии и энтропии в пределе b → ∞ находим:
5/23
5/23
5/2 3/23
( ),
3 ( ),
2
5 ( ) ( ) .
2
I
Tp c
TVE c
VS c c c
= Φ
Λ
= Φ
Λ
⎡ ⎤= Φ + Φ⎢ ⎥⎣ ⎦Λ
(27)
Обратим внимание, что уравнения (26), (27) в точности
совпадают с соотношениями, определяющими соот-
ветствующие величины для бозе-газа частиц с нуле-
вым спином. Это является естественным следствием
того, что в бесконечно сильном поле существует един-
ственно возможное спиновое состояние sσ = , как и
при 0s = . Используя свойства функций ( )tνΦ , не-
Рис. 1. Зависимости плотности числа частиц с проекцией
спина σ от магнитного поля: фаза без БЭК ( 1T T> ) (а); об-
ласть фазового перехода ( 0 1T T T< < ) (б); фаза с БЭК
0( )T T< (в). Кривые 1 соответствуют проекции спина 1σ = ;
2 — 0σ = ; 3 — 1σ = − , а кривые 4 ( Bσ = ) плотности числа
частиц в БЭК. На вставке показаны зависимости для 2s = .
n
�
/n
n
�
/n
n
�
/n
2
1
3
a
0,5 1,0 1,5 2,00
0,5
1,0
b
0,5 1,0 1,5 2,00
b
0,5 1,0 1,5 2,00
b
n
1
4
2
3
â
0,5
1,0
2
4
1
3
á
0,5
1,0
bc
Фазовый переход по магнитному полю в бозе-газе
Физика низких температур, 2010, т. 36, № 4 363
сложно показать, что , ,Ip E S , определяемые форму-
лами (27), всегда меньше этих же величин в нулевом
магнитном поле, которые описываются формулами
(18), (19) и (23) при 0b = и (0)t t= , где параметр ( )0t
находится из уравнения
3 (0)
3/2 ( )n g tΛ = Φ . (28)
Рассмотрим влияние магнитного поля на теплоем-
кости бозе-газа. Теплоемкость при постоянном объеме
в магнитном поле в отсутствие конденсата определяет-
ся формулой
2
3/2 1/2
5/23 2
1/2 3/2
15 3
4 5V
VC
⎡ ⎛ ⎞δ δ
⎢= δ − +⎜ ⎟⎜ ⎟δ⎢Λ δ⎝ ⎠⎣
2
21/2 3/2 1/2
3/2 1/2
1/2 3/2 1/2 1/2
3 1 .b b
⎤⎛ ⎞′ ′ ′⎛ ⎞δ δ δ
′′ ⎥+ δ − + δ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟′′δ δ δ δ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦
(29)
Для теплоемкости при постоянном давлении pC в
этом случае имеем
( )
1/2 1/2 1/2 3/2
5/2 5/2 5/23 2 2
3/2 3/2 3/2
2 23/2 1/2 1/2
1/2 3/22
3/2 3/2
25 3
5
4 5
2 . 30
p
V
C b
b
′ ′δ δ δ δ
= δ δ − + δ − +
Λ δ δ δ
′ ′δ δ δ
′′ ′+ δ − + δ
δ δ
⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣
⎤⎛ ⎞
⎜ ⎟⎥⎜ ⎟⎥⎝ ⎠⎦
Разность этих теплоемкостей может быть представлена
в виде
22
3/2 1/2 5/2 1/2 3/2 1/2
3 2
1/2 3/2 3/2 1/23/2
5 3 ,
2 2p V
VC C b
⎡ ⎤′ ′⎛ ⎞δ δ δ δ δ δ
− = − + −⎢ ⎥⎜ ⎟δ δ δ δΛ δ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
(31)
из которого очевидна выполнимость известного термо-
динамического условия устойчивости системы
p VC C> . Формулы (29), (30), совместно с (6), пара-
метрически (параметр sb t< < ∞ ) определяют зависи-
мости VC , pC от температуры, плотности числа час-
тиц и магнитного поля. Зависимости теплоемкостей от
магнитного поля представлены на рис. 2 и, в частно-
сти, в фазе без конденсата на рис. 2,а.
В классическом пределе, при условии 3 1nΛ << , те-
плоемкости в магнитном поле, приходящиеся на одну
частицу
3 5 ( ) ,
2 2
pV CC
b
N N
− = − = ξ (32)
отличаются от теплоемкостей в нулевом поле на одну
и ту же величину
2
2
2
1
( ) ln 1 2 ch ( )
sdb b b
db σ=
⎡ ⎤
ξ = + σ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
∑ . (33)
Функция ( )bξ при 0 b< < ∞ положительна. Возрастая
от нуля при 0b = до максимального значения mξ при
mb , она в дальнейшем вновь убывает до нуля. Таким
образом, теплоемкости бозе-газа частиц с магнитным
моментом при высоких температурах одинаковы при
нулевом поле и в пределе бесконечно сильных полей.
В частности, при 1s = 1,880, 0,637m mb = ξ = , а при
2s = 1,350, 0,807m mb = ξ = , так что с увеличением
спина частицы максимум функции ( )bξ смещается в
сторону меньших полей, а ее значение в максимуме
увеличивается. С понижением температуры теплоем-
кости в бесконечно сильных полях становятся больше
их значений в нулевом поле и определяются форму-
лами
2
3/2
5/23
1/2
5/2 1/2
5/23 2
3/2
( )15 3( ) ,
4 5 ( )
( ) ( )25 3( ) ,
4 5( )
V
p
cVC c
c
c cVC c
c
⎡ ⎤Φ
= Φ −⎢ ⎥
ΦΛ ⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤Φ Φ
= Φ −⎢ ⎥
Λ Φ⎢ ⎥⎣ ⎦
(34)
где параметр c задан соотношением (26). Эти тепло-
емкости, как и другие термодинамические величины
(27), совпадают с теплоемкостями бозе-газа частиц с
нулевым спином.
Перейдем к рассмотрению магнитной восприимчи-
вости бозе-газа ( )1
, ,N V TV M B−χ = ∂ ∂ . При температу-
рах выше температуры БЭК она дается формулой
22
1/2
1/23 2
1/2 1/2
1
T s
⎛ ⎞′δκ ′′χ = δ −⎜ ⎟⎜ ⎟′′δ δΛ ⎝ ⎠
. (35)
Формула (35), совместно с (6), параметрически (пара-
метр sb t< < ∞ ) определяет зависимость χ от темпе-
ратуры, плотности числа частиц и магнитного поля.
Зависимости восприимчивости от магнитного поля
представлены на рис. 3 и, в частности, в фазе без кон-
денсата на рис. 3,а.
Рис. 2. Зависимости теплоемкостей при постоянном объеме
VC (кривые 1) и давлении pC (кривые 2) от магнитного
поля: фаза без БЭК ( 1T T> ) (а); область фазового перехода
0 1( )T T T< < (б), (в); фаза с БЭК ( 0T T< ) (г).
2
1
a
0 b
C
1
2
á
0 b
C
1
2 â
0 b
C
1
ã
0 b
C
bc
bc
Ю.М. Полуэктов, А.Г. Волоснев
364 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 4
В классическом пределе 3 1nΛ << зависимость вос-
приимчивости от поля имеет вид
( )
2 2
2 2
1
ln 1 2 ch
sn d b
Ts db σ=
⎡ ⎤κ
χ = + σ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
∑ . (36)
Из (36) следует, что в пределе нулевого поля
( )2 1
3
n s
T s
κ +
χ = . (37)
Эта формула отличается от классической формулы
Кюри–Ланжевена множителем ( )1s s+ , который по-
является вследствие квантования ориентации магнит-
ного момента. В классическом пределе восприимчи-
вость монотонно убывает до нуля в сильных полях.
При произвольных температурах 1T T> в нулевом
поле восприимчивость определяется формулами
( )( )2
(0)
1/23
1 2 1
( )
3
s s
t
sT
+ +κ
χ = Φ
Λ
(38)
и (28) и также монотонно убывает с увеличением поля
(рис. 3,а). В пределе сильных полей намагниченность
достигает своего максимально возможного значения
Nκ , а восприимчивость стремится к нулю. Последнее
естественно, поскольку в пределе сильного поля изме-
нение поля не приводит к изменению намагничен-
ности.
4. Зависимости термодинамических характеристик
бозе-газа от магнитного поля при наличии БЭК
При температурах 0T T< , когда выполнено условие
( )3 3 2n gΛ > ζ , БЭК существует при произвольной
величине магнитного поля. Зависимости плотностей
числа надконденсатных частиц nσ и плотности числа
частиц в конденсате Bn от величины магнитного поля
представлены на рис. 1,в. Видно (кривая 1), что число
надконденсатных частиц с магнитным моментом, ори-
ентированным вдоль поля, ( ) 33 2sn = ζ Λ не меняет-
ся с увеличением поля, а число частиц с проекциями
sσ ≠ убывает тем быстрее, чем меньше σ . Число частиц
в БЭК монотонно возрастает с увеличением поля. Таким
образом, в предельно сильных полях магнитные момен-
ты всех частиц оказываются ориентированными по маг-
нитному полю. При этом часть частиц находится в над-
конденсатном состоянии, а остальные частицы с плот-
ностью ( ) 33 2Bn n= − ζ Λ — в конденсате.
В рассматриваемом случае давление газа и его эн-
тропия также определяются формулами (18), (19), в
которых следует учесть условия (9), (10). В полную
энергию (21) следует включить также энергию взаимо-
действия намагниченности конденсата с магнитным
полем. Для внутренней энергии остается справедливой
формула (23), где ( )t s bσ = − σ , а также тождество (24),
где Bμ = −κ . Полная намагниченность определяется
как намагниченностью надконденсатных частиц, так и
намагниченностью конденсата
3/23B
VM N
s
⎡ ⎤′= κ + δ⎢ ⎥
Λ⎣ ⎦
. (39)
Теплоемкость при постоянном объеме в состоянии с
конденсатом определяется формулой
( )
( ) ( ) ( )
3
2
2 2
5/2 3/2 1/2
1
15 5 2
4
15 3
4
V
s
VC
b b b b b
σ=
⎧= ζ +⎨
⎩Λ
⎫⎪⎡ ⎤+ Φ σ + σΦ σ + σ Φ σ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎪⎭
∑ (40)
и монотонно убывает с увеличением магнитного поля
к предельному значению, которое в g раз меньше теп-
лоемкости в нулевом поле (рис. 2,г). Теплоемкость при
постоянном давлении pC , как и в отсутствие поля
[21], в фазе с БЭК обращается в бесконечность. Указан-
ная особенность является следствием того, что давление в
этом случае — функция только температуры. Это свой-
ство вызвано пренебрежением взаимодействия между
частицами. Учет хотя бы слабого межчастичного взаи-
модействия делает утверждение о бесконечной величи-
не изобарической теплоемкости при наличии конденса-
та неверным.
Зависимость магнитной восприимчивости от поля в
рассматриваемом случае (рис. 3,г) определяется фор-
мулой
( )
22
2
1/23 2
1
s
b
T s σ=
κ
χ = σ Φ σ
Λ
∑ . (41)
В слабых полях B T<< κ формула (41) принимает вид
3/222
3
1
s
T B sσ=
κ π σ⎛ ⎞χ = ⎜ ⎟κ ⎝ ⎠Λ
∑ . (42)
Рис. 3. Зависимости восприимчивости от магнитного поля:
фаза без БЭК ( 1T T> ) (а); область фазового перехода
0 1( )T T T< < (б), (в); фаза с БЭК ( 0T T< ) (г).
a
b
á
b
â
b
ã
b
bñ
bñ
Фазовый переход по магнитному полю в бозе-газе
Физика низких температур, 2010, т. 36, № 4 365
Таким образом, в пределе 0B → в фазе с конденсатом
восприимчивость стремится к бесконечности. Физиче-
ски это означает, что при температуре ниже точки кон-
денсации включение бесконечно слабого внешнего
магнитного поля, в силу макроскопического числа час-
тиц в конденсате, приводит к появлению конечной
намагниченности бозе-газа. Это свойство также обу-
словлено пренебрежением межчастичным взаимодей-
ствием.
5. Фазовый переход по магнитному полю
В интервале температур 0 1T T T< < , где выполнено
неравенство ( ) ( )33 2 3 2n gζ < Λ < ζ , бозе-газ в зави-
симости от величины поля может находиться как в
состоянии без конденсата, так и в конденсатном со-
стоянии. В достаточно слабом магнитном поле конден-
сат отсутствует, но при некотором критическом значе-
нии магнитного поля cB происходит переход в со-
стояние с БЭК. Критическое магнитное поле определя-
ется уравнением (11), которое в данном случае примет
вид
2/32
0 3/2
0
( / ) (3 2)
s
cT T B sT g
σ=
⎡ ⎤
= Φ σκ ζ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
∑ . (43)
Критическое поле растет с температурой от нуля при
0T до бесконечности при 1T T→ (рис. 4).
Зависимости числа частиц с различными проекция-
ми спина и числа частиц в конденсате для 1s = пред-
ставлены на рис. 1,б. При увеличении поля в области
отсутствия БЭК число частиц с магнитным моментом,
направленным по полю sσ = , монотонно возрастает.
Выше критического поля cB число надконденсатных
частиц sn перестает зависеть от величины поля (кри-
вая 1), но возникает конденсат с sσ = (кривая 4). Чис-
ло частиц в конденсате Bn возрастает с магнитным
полем за счет уменьшения числа надконденсатных
частиц с sσ ≠ . Количество частиц с проекциями
0 s< σ < вначале возрастает с увеличением магнитно-
го поля, достигает максимума и в дальнейшем убывает
до нуля (см. вставку на рис. 1,а). Количество частиц с
проекциями 0s− ≤ σ ≤ монотонно убывают до нуля с
возрастанием поля, причем тем сильнее, чем меньше σ .
В пределе сильного поля магнитные моменты частиц,
как в конденсате, так и в надконденсатном состоянии
сориентированы вдоль поля.
При критическом поле cB испытывает скачок
( ) ( )0 0c cf f B f BΔ = + − − производная по B от числа
надконденсатных частиц с магнитным моментом, на-
правленным по полю:
( )
23
1/2
1
s
s
c
dN s n b
dB T σ=
κ Λ⎛ ⎞Δ = − σΦ σ⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ , (44)
где /c cb B s= βκ . Скачок производной по B от числа
частиц в конденсате имеет ту же величину, но с обрат-
ным знаком, так что производная от полного числа час-
тиц с sσ = по магнитному полю остается непрерывной
при cB B= .
Зависимости теплоемкостей от магнитного поля в
области температур, где возможен фазовый переход,
показаны на рис. 2,б,в. Примечательно, что эти зави-
симости в рассматриваемой области качественно раз-
личаются в различных температурных интервалах. При
1T T T′ < < теплоемкость при постоянном объеме дос-
тигает максимума в магнитном поле меньшем, чем
критическое поле cB , и затем начинает убывать
(рис. 2,б, кривая 1). По достижению критического поля
кривая претерпевает излом и далее VC в фазе с кон-
денсатом продолжает монотонно убывать с ростом
магнитного поля. C понижением температуры макси-
мум теплоемкости смещается ближе к критическому
полю cB и, начиная с T ′ , максимум достигается при
cB (рис. 2,в, кривая 1). Для 1s = 0/ 1,79T T′ = , что
соответствует 3 3, 27nΛ = и критическому полю
0,901cb = . При 0T T T ′< < в точке максимума при
cb b= кривая зависимости VC от поля претерпевает
излом. В интервале 0 1T T T< < имеется еще одна ха-
рактерная температура T ′′ (для 1s = 0/ 1,91T T′′ = ,
3 2,97nΛ = и 1,35cb = ), выше которой величина VC
при бесконечном поле больше ее значения в отсутст-
вие поля, а ниже соотношение меняется на обратное.
Зависимости магнитной восприимчивости от поля в
температурном интервале 0 1T T T< < также имеют
качественно различный вид. Несколько ниже темпера-
туры 1T в интервале 1 1T T T′′< < зависимость воспри-
имчивости от поля имеет качественно такой же вид,
как при 1T T> (рис. 3,а). При 1 1T T T′ ′′< < восприимчи-
вость, возрастая в слабых полях, достигает максимума
в поле, меньшем критического (рис. 3,б), а затем убы-
вает, претерпевая излом при критическом поле cB .
С понижением температуры точка максимума χ при-
ближается к критическому полю и в интервале
0 1T T T ′< < восприимчивость достигает максимума
при cB , претерпевая в максимуме излом (рис. 3,в). Для
Рис. 4. Зависимость критического магнитного поля бозе-
эйнштейновского перехода от температуры.
T1
Bñ
T0
Ю.М. Полуэктов, А.Г. Волоснев
366 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 4
1=s 1 0/ 2,03T T′′ = , чему соответствует 3 2, 7nΛ = и
критическое поле 2,54cb = , а 1 0/ 1,26T T′ = , чему
соответствует 3 5,53nΛ = и критическое поле
0,10cb = .
При критическом поле cB испытывают скачок произ-
водные теплоемкости и магнитной восприимчивости
по температуре и магнитному полю:
2
2
2 3 2
3
3
2 3 3
( ) ( ) ,
2
( ) ,
2
c c
c
A b D b
T T s
A b
B T s
∂χ κ⎛ ⎞Δ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠ π Λ
∂χ κ⎛ ⎞Δ = −⎜ ⎟∂⎝ ⎠ π Λ
(45)
3
3
2
3
( ) ,
2
( ) ( ) ,
2
V
c
V
c c
C V D b
T T
C V A b D b
B T s
∂⎛ ⎞Δ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠ π Λ
∂ κ⎛ ⎞Δ = −⎜ ⎟∂⎝ ⎠ π Λ
(46)
где использованы обозначения
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
1/2
1
2 2
3/2 1/2
0 1
,
3 .
2
s
s s
A b b
D b b b b
σ=
σ= σ=
= σΦ σ
= Φ σ + σΦ σ
∑
∑ ∑
.
Величина скачков (45) и ( )VC BΔ ∂ ∂ стремится к бес-
конечности при 0cb → и монотонно убывает до нуля
при cb →∞ . Величина скачка производной от тепло-
емкости по температуре монотонно убывает от
( ) ( ) 3 3
0 027 3 2 16VC T V g TΔ ∂ ∂ = ζ π Λ⎡ ⎤⎣ ⎦ при 0cb → до
величины в 8/3g раз меньше при cb →∞ . Следует
отметить, что приведенная выше величина
( )VC TΔ ∂ ∂ в пределе 0cb → не совпадает по вели-
чине со скачком производной от теплоемкости в нуле-
вом поле при переходе по температуре [20]. Это отра-
жает качественное отличие конденсации в магнитном
поле, обусловленное тем, что в этом случае в конден-
сат выпадают только те частицы, магнитный момент
которых направлен по полю.
В отличие от теплоемкости VC , которая остается
конечной в магнитном поле cB и меняется непрерыв-
но при переходе в фазу с конденсатом, изобарическая
теплоемкость, как и в случае перехода по температуре
[21], стремится к бесконечности при приближении к
критическому полю (рис. 2,б,в, кривые 2):
2
5/2 3/2
3
3/2 3/2
( ) ( )2 5 ,
( )( ) 2 ( ) ( )
c c
p c
c c c c
b bV TsC b s
A b B B b b
⎡ ⎤′⎛ ⎞δ δπ
= + −⎢ ⎥⎜ ⎟κ − δ δΛ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
(47)
где
2 2
0 1
( ) ( ), ( ) ( )
s s
c c c cb b b bν ν ν ν
σ= σ=
′δ ≡ Φ σ δ ≡ σΦ σ∑ ∑ .
6. Заключение
В отсутствие магнитного поля бозе-эйнштейнов-
ский переход, приводящий к возникновению конденса-
та, может происходить в двух случаях. Во-первых, при
понижении температуры, во-вторых, при увеличении
плотности числа частиц, когда она достигает критиче-
ского значения. Следует, однако, оговориться, что в
действительности при достаточно высоких температу-
рах критическая плотность может оказаться столь вы-
сокой, что перестанет быть применимой модель иде-
ального газа. В настоящей работе показано, что для
бозе-газа частиц с магнитным моментом имеется еще
одна возможность перехода в состояние с БЭК, а
именно, фазовый переход может быть осуществлен
при постоянных температуре и плотности числа частиц
в результате увеличения магнитного поля и достиже-
нии им критического значения. Такая возможность
может быть реализована только в определенном ин-
тервале температур, когда температура выше темпера-
туры конденсации в нулевом поле, но меньше темпе-
ратуры конденсации в предельно сильном поле. При
переходе по магнитному полю давление, энтропия, теп-
лоемкость при постоянном объеме, намагниченность и
магнитная восприимчивость оказываются непрерыв-
ными, а производные от теплоемкости при постоянном
объеме и восприимчивости по температуре и магнит-
ному полю испытывают скачок. Теплоемкость при по-
стоянном давлении стремится к бесконечности при при-
ближении магнитного поля к критическому значению
со стороны фазы, где конденсат отсутствует. Зависи-
мости термодинамических величин от магнитного поля
качественно различны при температурах выше темпе-
ратурного интервала, где возможен фазовый переход, и
ниже этого интервала.
1. S.N. Bose, Z. Phys. 26, 178 (1924).
2. А. Эйнштейн, Собрание научных трудов, Наука, Москва
(1966), т. 3.
3. F. London, Nature 141, 643 (1938).
4. L. Tisza, Nature 141, 913 (1938).
5. P.L. Kapitsa, Nature 141, 74 (1938).
6. J.F. Allen, Nature 141, 234 (1938).
7. Л.Д. Ландау, ЖЭТФ 11, 592 (1941).
8. R.A. Cowley and A.D.B. Woods, Can. J. Phys. 49, 177
(1971).
9. K. Yamada, Prog. Theor. Phys. 67, 443 (1982).
10. M.H. Anderson, J.R. Ensher, M.R. Matthews, C.E. Wieman,
and E.A. Cornell, Science 269, 198 (1995).
11. K.B. Davis, M.-O. Mewes, M.R. Andrews, N.J. van Druten,
D.S. Durfee, D.M. Kurn, and W. Ketterle, Phys. Rev. Lett.
75, 3969 (1995).
12. C.C. Bradley, C.A. Sackett, J.J. Tollet, and R.G. Hulet, Phys.
Rev. Lett. 75, 1687 (1995).
13. Б.Б. Кадомцев, М.Б. Кадомцев, УФН 167, 649 (1997).
14. Л.П. Питаевский, УФН 168, 641 (1998).
Фазовый переход по магнитному полю в бозе-газе
Физика низких температур, 2010, т. 36, № 4 367
15. А.И. Ахиезер, С.В. Пелетминский, Ю.В. Слюсаренко,
ЖЭТФ 113, 918 (1998).
16. M.V. Simkin and E.G.D. Cohen, Phys. Rev. 59, 1528 (1999).
17. Ю.М. Полуэктов, УФЖ 46, 282 (2001).
18. E. Eisenberg and E.H. Lieb, Phys. Rev. Lett. 89, 220403
(2002).
19. Q. Gu and R.A. Klemm, Phys. Rev. A68, 031604(R) (2003).
20. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Статистическая физика,
Наука, Москва (1976), ч. 1.
21. Ю.М. Полуэктов, Известия вузов. Физика 47, 56 (2001).
Phase transition in Bose gas at magnetic field
Yu.M. Poluektov and A.G. Volosnev
The magnetic field dependence of thermodynami-
cal properties of non-zero spin and magnetic moment
Bose gas particles has been studied in the cases with
and without Bose–Einstein condensate. It is shown
that as the magnetic field increases and reaches its crit-
ical value there is a temperature interval in which Bose
gas with constant temperature and particle number
density makes a transition to a state with Bose–Ein-
stein condensate. The derivatives of specific heat at
constant volume and magnetic susceptibility with re-
spect to temperature or magnetic field are disconti-
nuous at the phase transition.
PACS: 67.85.Jk Other Bose–Eіnsteіn condensates
phenomena;
03.75.Mn Multіcomponent and spіnor con-
densates.
Keywords: Bose–Einstein condensation, magnetic
field, phase transition, magnetization, magnetic sus-
ceptibility, thermal capacity.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-117021 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0132-6414 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:05:39Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Полуэктов, Ю.М. Волоснев, А.Г. 2017-05-19T08:33:33Z 2017-05-19T08:33:33Z 2010 Фазовый переход по магнитному полю в бозе-газе / Ю.М. Полуэктов, А.Г. Волоснев // Физика низких температур. — 2010. — Т. 36, № 4. — С. 359-367. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 67.85.Jk, 03.75.Mn https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/117021 Изучены зависимости от внешнего магнитного поля термодинамических характеристик бозе-газа частиц с неравными нулю спином и магнитным моментом в состояниях с конденсатом Бозе–Эйнштейна и в его отсутствие. Показано, что существует интервал температур, при которых в бозе-газе с постоянной температурой и плотностью числа частиц с увеличением магнитного поля и достижении им критической величины происходит переход в состояние с конденсатом Бозе–Эйнштейна. Производные по температуре и магнитному полю от теплоемкости при постоянном объеме и магнитной восприимчивости испытывают скачок при таком переходе. Вивчено залежності від зовнішнього магнітного поля термодинамічних характеристик бозе-газу частинок зі спіном та магнітним моментом, які не дорівнюють нулю, у станах з конденсатом Бозе–Ейнштейна та в його відсутності. Показано, що існує інтервал температур, при яких у бозе-газі з постійною температурою та щільністю числа частинок зі збільшенням магнітного поля і досягненні їм критичної величини відбувається перехід у стан з конденсатом Бозе–Ейнштейна. Похідні по температурі та магнітному полі від теплоємності при постійному об’ємі та магнітній сприйнятливості мають стрибок при такому переході. The magnetic field dependence of thermodynamical properties of non-zero spin and magnetic moment Bose gas particles has been studied in the cases with and without Bose–Einstein condensate. It is shown that as the magnetic field increases and reaches its critical value there is a temperature interval in which Bose gas with constant temperature and particle number density makes a transition to a state with Bose–Einstein condensate. The derivatives of specific heat at constant volume and magnetic susceptibility with respect to temperature or magnetic field are discontinuous at the phase transition. ru Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України Физика низких температур Бозе-эйнштейновская конденсация Фазовый переход по магнитному полю в бозе-газе Phase transition in Bose gas at magnetic field Article published earlier |
| spellingShingle | Фазовый переход по магнитному полю в бозе-газе Полуэктов, Ю.М. Волоснев, А.Г. Бозе-эйнштейновская конденсация |
| title | Фазовый переход по магнитному полю в бозе-газе |
| title_alt | Phase transition in Bose gas at magnetic field |
| title_full | Фазовый переход по магнитному полю в бозе-газе |
| title_fullStr | Фазовый переход по магнитному полю в бозе-газе |
| title_full_unstemmed | Фазовый переход по магнитному полю в бозе-газе |
| title_short | Фазовый переход по магнитному полю в бозе-газе |
| title_sort | фазовый переход по магнитному полю в бозе-газе |
| topic | Бозе-эйнштейновская конденсация |
| topic_facet | Бозе-эйнштейновская конденсация |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/117021 |
| work_keys_str_mv | AT poluéktovûm fazovyiperehodpomagnitnomupolûvbozegaze AT volosnevag fazovyiperehodpomagnitnomupolûvbozegaze AT poluéktovûm phasetransitioninbosegasatmagneticfield AT volosnevag phasetransitioninbosegasatmagneticfield |