Симметрия и магнитоэлектрические взаимодействия в BaMnF₄
На основе симметрийного анализа теоретически исследованы магнитная анизотропия и магнитоэлектрические взаимодействия в сегнетоэлектричеcком антиферромагнетике BaMnF₄. Показано, что симметрия допускает существование в этом материале неоднородного магнитоэлектрического взаимодействия (флексомагнитоэле...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Физика низких температур |
|---|---|
| Дата: | 2010 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2010
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/117197 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Симметрия и магнитоэлектрические взаимодействия в BaMnF₄ / А.К. Звездин, А.П. Пятак // Физика низких температур. — 2010. — Т. 36, № 6. — С. 665–672. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-117197 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Звездин, А.К. Пятаков, А.П. 2017-05-20T17:15:24Z 2017-05-20T17:15:24Z 2010 Симметрия и магнитоэлектрические взаимодействия в BaMnF₄ / А.К. Звездин, А.П. Пятак // Физика низких температур. — 2010. — Т. 36, № 6. — С. 665–672. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 75.85.+t, 77.80.–e https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/117197 На основе симметрийного анализа теоретически исследованы магнитная анизотропия и магнитоэлектрические взаимодействия в сегнетоэлектричеcком антиферромагнетике BaMnF₄. Показано, что симметрия допускает существование в этом материале неоднородного магнитоэлектрического взаимодействия (флексомагнитоэлектрического типа) со специфической зависимостью от величины и ориентации внешнего магнитного поля. Это взаимодействие с ростом поля может обеспечить фазовый переход в магнитную несоразмерную фазу с характерным скачком электрической поляризации. Рассмотрены линейный и квадратичный магнитоэлектрические эффекты и вопрос о релятивистском скосе подрешеток, обусловленном магнитоэлектрическим взаимодействием. Предлагаемый подход является естественным обобщением метода построения инвариантов из магнитных мод кристалла на случай фазовых переходов с удвоением элементарной ячейки кристалла и может быть применен для симметрийного анализа других сегнетомагнитных соединений. На підставі симетрійного аналізу теоретично досліджено магнітну анізотропію та магнітоелектричні взаємодії у сегнетоелектричному антиферомагнетику BaMnF₄. Показано, що симетрія припускає існування в цьому матеріалі неоднорідної магнітоелектричної взаємодії (флексомагнітоелектричного типу) із специфічною залежністю від величини та орієнтації зовнішнього магнітного поля. Ця взаємодія з ростом поля може забезпечити фазовий перехід у магнітну неспіввимірну фазу з характерним стрибком електричної поляризації. Розглянуто лінійний і квадратичний магнітоелектричні ефекти та питання про релятивістський скос підграток, який обумовлено магнітоелектричною взаємодією. Запропонований підхід є природним узагальненням методу побудови інваріантів із магнітних мод кристала на випадок фазових переходів з подвоєнням елементарної комірки кристала та може бути застосований для симетрійного аналізу інших сегнетомагнітних сполук. Magnetic anisotropy and magnetoelectric interactions in ferroelectric antiferromagnet BaMnF₄ are considered theoretically using the symmetry analysis. It is shown that the symmetry allows the existence of inhomogeneous magnetoelectric (flexoelectric type) interaction possessing a characteristic dependence on value and orientation of external magnetic field. As the field is increased this interaction at critical field leads to the phase transition to the magnetic incommensurate phase accompanied with a jump of electricpolarization. The linear and quadratic magnetoelectric effects and the relativistic tilt of the magnetic sublattices caused by the magnetoelectric interaction are considered. The proposed technique is a natural generalization of the symmetry analysis to the class of crystals which undergo the phase transitions followed by a doubling of the unit cell and can be applied not only to the BaMnF₄. Авторы благодарны А.М. Кадомцевой, привлекшей их внимание к проблеме BaMnF₄ и в особенности к работе [2], и А.П. Леванюку за критику и дискуссии. Работа поддержана РФФИ (проекты 08-02-01068-а и 10-02-00846-а) и Progetto Lagrange-Fondazione CRT. ru Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України Физика низких температур Магнитоэлектрические эффекты в сегнетомагнетиках Симметрия и магнитоэлектрические взаимодействия в BaMnF₄ Symmetry and magnetoelectric interactions in BaMnF₄ Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Симметрия и магнитоэлектрические взаимодействия в BaMnF₄ |
| spellingShingle |
Симметрия и магнитоэлектрические взаимодействия в BaMnF₄ Звездин, А.К. Пятаков, А.П. Магнитоэлектрические эффекты в сегнетомагнетиках |
| title_short |
Симметрия и магнитоэлектрические взаимодействия в BaMnF₄ |
| title_full |
Симметрия и магнитоэлектрические взаимодействия в BaMnF₄ |
| title_fullStr |
Симметрия и магнитоэлектрические взаимодействия в BaMnF₄ |
| title_full_unstemmed |
Симметрия и магнитоэлектрические взаимодействия в BaMnF₄ |
| title_sort |
симметрия и магнитоэлектрические взаимодействия в bamnf₄ |
| author |
Звездин, А.К. Пятаков, А.П. |
| author_facet |
Звездин, А.К. Пятаков, А.П. |
| topic |
Магнитоэлектрические эффекты в сегнетомагнетиках |
| topic_facet |
Магнитоэлектрические эффекты в сегнетомагнетиках |
| publishDate |
2010 |
| language |
Russian |
| container_title |
Физика низких температур |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Symmetry and magnetoelectric interactions in BaMnF₄ |
| description |
На основе симметрийного анализа теоретически исследованы магнитная анизотропия и магнитоэлектрические взаимодействия в сегнетоэлектричеcком антиферромагнетике BaMnF₄. Показано, что симметрия допускает существование в этом материале неоднородного магнитоэлектрического взаимодействия (флексомагнитоэлектрического типа) со специфической зависимостью от величины и ориентации внешнего магнитного поля. Это взаимодействие с ростом поля может обеспечить фазовый переход в магнитную несоразмерную фазу с характерным скачком электрической поляризации. Рассмотрены линейный и квадратичный магнитоэлектрические эффекты и вопрос о релятивистском скосе подрешеток, обусловленном магнитоэлектрическим взаимодействием. Предлагаемый подход является естественным обобщением метода построения инвариантов из магнитных мод кристалла на случай фазовых переходов с удвоением элементарной ячейки кристалла и может быть применен для симметрийного анализа других сегнетомагнитных соединений.
На підставі симетрійного аналізу теоретично досліджено магнітну анізотропію та магнітоелектричні взаємодії у сегнетоелектричному антиферомагнетику BaMnF₄. Показано, що симетрія припускає існування в цьому матеріалі неоднорідної магнітоелектричної взаємодії (флексомагнітоелектричного типу) із специфічною залежністю від величини та орієнтації зовнішнього магнітного поля. Ця взаємодія з ростом поля може забезпечити фазовий перехід у магнітну неспіввимірну фазу з характерним стрибком електричної поляризації. Розглянуто лінійний і квадратичний магнітоелектричні ефекти та питання про релятивістський скос підграток, який обумовлено магнітоелектричною взаємодією. Запропонований підхід є природним узагальненням методу побудови інваріантів із магнітних мод кристала на випадок фазових переходів з подвоєнням елементарної комірки кристала та може бути застосований для симетрійного аналізу інших сегнетомагнітних сполук.
Magnetic anisotropy and magnetoelectric interactions in ferroelectric antiferromagnet BaMnF₄ are considered theoretically using the symmetry analysis. It is shown that the symmetry allows the existence of inhomogeneous magnetoelectric (flexoelectric type) interaction possessing a characteristic dependence on value and orientation of external magnetic field. As the field is increased this interaction at critical field leads to the phase transition to the magnetic incommensurate phase accompanied with a jump of electricpolarization. The linear and quadratic magnetoelectric effects and the relativistic tilt of the magnetic sublattices caused by the magnetoelectric interaction are considered. The proposed technique is a natural generalization of the symmetry analysis to the class of crystals which undergo the phase transitions followed by a doubling of the unit cell and can be applied not only to the BaMnF₄.
|
| issn |
0132-6414 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/117197 |
| citation_txt |
Симметрия и магнитоэлектрические взаимодействия в BaMnF₄ / А.К. Звездин, А.П. Пятак // Физика низких температур. — 2010. — Т. 36, № 6. — С. 665–672. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT zvezdinak simmetriâimagnitoélektričeskievzaimodeistviâvbamnf4 AT pâtakovap simmetriâimagnitoélektričeskievzaimodeistviâvbamnf4 AT zvezdinak symmetryandmagnetoelectricinteractionsinbamnf4 AT pâtakovap symmetryandmagnetoelectricinteractionsinbamnf4 |
| first_indexed |
2025-11-24T20:17:11Z |
| last_indexed |
2025-11-24T20:17:11Z |
| _version_ |
1850495135716999168 |
| fulltext |
© А.К. Звездин, А.П. Пятаков, 2010
Физика низких температур, 2010, т. 36, № 6, c. 665–672
Симметрия и магнитоэлектрические взаимодействия
в BaMnF4
А.К. Звездин, А.П. Пятаков
Институт общей физики им. А.М. Прохорова РАН, ул. Вавилова, 38, г. Москва, 119991, Россия
E-mail: zvezdin@gmail.com
Статья поступила в редакцию 5 ноября 2009 г., после переработки 7 декабря 2009 г.
На основе симметрийного анализа теоретически исследованы магнитная анизотропия и магнито-
электрические взаимодействия в сегнетоэлектричеcком антиферромагнетике BaMnF4. Показано, что сим-
метрия допускает существование в этом материале неоднородного магнитоэлектрического взаимо-
действия (флексомагнитоэлектрического типа) со специфической зависимостью от величины и ориента-
ции внешнего магнитного поля. Это взаимодействие с ростом поля может обеспечить фазовый переход в
магнитную несоразмерную фазу с характерным скачком электрической поляризации. Рассмотрены ли-
нейный и квадратичный магнитоэлектрические эффекты и вопрос о релятивистском скосе подрешеток,
обусловленном магнитоэлектрическим взаимодействием. Предлагаемый подход является естественным
обобщением метода построения инвариантов из магнитных мод кристалла на случай фазовых переходов
с удвоением элементарной ячейки кристалла и может быть применен для симметрийного анализа других
сегнетомагнитных соединений.
На підставі симетрійного аналізу теоретично досліджено магнітну анізотропію та магнітоелектричні
взаємодії у сегнетоелектричному антиферомагнетику BaMnF4. Показано, що симетрія припускає існу-
вання в цьому матеріалі неоднорідної магнітоелектричної взаємодії (флексомагнітоелектричного типу) із
специфічною залежністю від величини та орієнтації зовнішнього магнітного поля. Ця взаємодія з ростом
поля може забезпечити фазовий перехід у магнітну неспіввимірну фазу з характерним стрибком
електричної поляризації. Розглянуто лінійний і квадратичний магнітоелектричні ефекти та питання про
релятивістський скос підграток, який обумовлено магнітоелектричною взаємодією. Запропонований під-
хід є природним узагальненням методу побудови інваріантів із магнітних мод кристала на випадок фазо-
вих переходів з подвоєнням елементарної комірки кристала та може бути застосований для симетрійного
аналізу інших сегнетомагнітних сполук.
PACS: 75.85.+t Магнитоэлектрические эффекты, мультиферроики;
77.80.–e Сегнетоэлектричество, антисегнетоэлектричество.
Ключевые слова: мультиферроики, сегнетомагнетики, несоразмерная структура, линейный магнитоэлек-
трический эффект.
Введение
Сегнетомагнетик BaMnF4 (по современной терми-
нологии мультиферроик) привлекает к себе большое
внимание уже несколько десятилетий (см., например,
обзор [1] и цитируемые в нем работы, а также более
поздние публикации [2–10]). Он принадлежит к классу
изоструктурных кристаллов типа BaMF4, где M = Mn,
Fe, Co, Ni, Mg, Zn. При комнатной температуре все они
являются парамагнетиками; их кристаллическая струк-
тура описывается орторомбической пространственной
группой 12A am (a = 5,9845 Å, b = 15,098 Å, c = 4,2216 Å)
в стандартных обозначениях (или 12
2vC по Шенфлису).
Группа 12A am включает в себя винтовую ось второго
порядка 12 , параллельную оси a со сдвигом на / 2a ,
зеркальную плоскость a , перпендикулярную оси b со
скользящим сдвигом вдоль оси a на / 2a , две зер-
кальные плоскости m, перпендикулярные оси c , рас-
положенные в точках = 0z , / 2c , и соответствующие
трансляции. В BaMnF4 спонтанная электрическая по-
ляризация sP a . Симметрия допускает существова-
ние антисегнетоэлектрического упорядочения вдоль
оси b , но запрещает таковое вдоль оси c .
А.К. Звездин, А.П. Пятаков
666 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 6
При = 250cT К в BaMnF4 происходит структурный
фазовый переход в несоразмерную структуру, описы-
ваемую волновым вектором = ( ;0,5;0,5)μq , где
= 0,39μ . В плоскости bc происходит удвоение пе-
риодов кристаллической структуры вдоль осей b и c .
Установлено, что этот переход при = 250cT К является
сегнетоэластическим. При = 26NT К происходит фа-
зовый переход в антиферромагнитную фазу с вектором
антиферромагнетизма L , лежащим в bc-плоскости под
углом 9∼ к b-оси [11,21].
Симметрия и фазовые переходы в BaMnF4 были ис-
следованы при помощи теории представлений про-
странственных групп в пионерской работе Дворака [12].
В настоящей работе, которая является в известном
смысле развитием работы [12], предлагается некото-
рый новый подход к описанию симметрийных свойств
мультиферроика, который, с одной стороны, ближе к тра-
дициям магнетизма, с другой стороны, большее внима-
ние уделяет зависимостям физических свойств от ори-
ентации параметров порядка и процессам спиновой пе-
реориентации.
1. Симметрия
Для описания магнитоэлектрических свойств BaMnF4
используем в качестве «прафазы» высокосимметрич-
ную структуру, существующую при > cT T . При
= cT T происходит фазовый переход, в результате ко-
торого в кристалле возникает сверхструктура, пред-
ставляющая собой периодическую дисторсию кри-
сталла с удвоением периода кристалла в bc-плоскости
вдоль направления 1 = +d b c (или 2 = −d b c ). Удвое-
ние периода при данном переходе схематически пока-
зано на рис. 1. Кроме того, возникает несоразмерная
модуляция вдоль оси a с периодом, равным 1a −μ , где
= 0,392μ . Двум направлениям 1 2,d d соответствуют
две возможные сверхструктуры, которые могут реали-
зоваться в кристалле как домены 1 2,D D . Математи-
чески эти сверхструктуры и структурный фазовый пе-
реход описываются функциями Блоха ψk , где k — вол-
новой вектор, принадлежащий звезде S-зоны Брил-
люэна кристалла, т.е. точкам с координатами:
1 = ( ;0,5;0,5)μk , 2 = ( ; 0,5;0,5)μ −k . Этой звезде соот-
ветствуют два двумерных неприводимых представле-
ния S-группы 12A am , описывающие домены 1 2,D D . В
действительности, для описания физических свойств
нужно использовать также комплексно сопряженные
блоховские функции, т.е. S*-представление, так что
гильбертово пространство для рассматриваемого фазо-
вого перехода является четырехмерным. Оно строится
на базе блоховских функций ψk с = ( ; 0,5; 0,5)±μ ± ±k .
Ниже мы увидим, что в него нужно еще включить тен-
зорные блоховские функции, принадлежащие точке
= 0k .
Для нахождения инвариантов термодинамического
потенциала и тензорных связей между различными фи-
зическими величинами в мультиферроике используем
следующий подход. Выберем расширенную элементар-
ную ячейку в прафазе в виде призмы с высотой рав-
ной a, построенной на параллелограмме со сторонами
12d , 22d (рис. 1). Анализ проведем в два этапа. Сна-
чала рассмотрим удвоение периода в bc-плоскости,
после чего учтем модуляцию кристалла вдоль a-оси.
Расширенная ячейка в bc-плоскости состоит из че-
тырех субъячеек со сторонами 1d , 2d . Понижение
симметрии при < cT T в данном случае связано с тем,
что нарушается идентичность субъячеек расширенной
элементарной ячейки. Будем описывать происходящие
при понижении температуры структурные (и магнит-
ные) искажения при помощи полярного и аксиального
тензорных представлений группы 12A am , которые в
данном случае можно характеризовать набором ве-
личин αf (где = 1,2,3, 4α — номер субъячейки),
включающих в себя полярные и аксиальные, t-четные
и t-нечетные тензоры. Другими словами, αf харак-
теризует смещения атомов и магнитные мультиполи в
α-субъячейке при < cT T [13].
Множество величин αf можно рассматривать как
многомерный вектор, образующий векторное про-
странство W , характеризующее состояние рассматри-
ваемого мультиферроика при < cT T . В общем случае
αf являются функциями координат, поэтому W —
функциональное гильбертово пространство, но мы ог-
раничимся ниже случаем, когда его базисные векторы
не зависят от координат. Это ограничивает нас рас-
смотрением лишь однородных фаз и/или слабонеодно-
родных (длиннопериодических) состояний. Как обыч-
но, введем единичные взаимно ортогональные орты ie
в W с тем, чтобы любой вектор, характеризующий со-
стояние кристалла, можно было бы разложить по этим
ортам. При этом операторы ng пространственной груп-
пы кристалла G представляются матрицами ( ),ij nD g
образующими гомоморфное отображение WG группы
G в W , другими словами, проекцию группы G на
пространство W .
2c
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,50,5
0,5
0,5
2b
Рис. 1. Расширенная элементарная ячейка в bc-плоскости
кристалла. Изображенная здесь магнитная структура [11]
соответствует одному домену и описывается модой 0,≠L
= 0K .
Симметрия и магнитоэлектрические взаимодействия в BaMnF4
Физика низких температур, 2010, т. 36, № 6 667
Рассмотрим свойства этого отображения WG ис-
ходной пространственной группы 12A am более под-
робно. Прежде всего отметим, что для всех операторов
трансляций на 1 2,2 ,2al d k d m , где , ,l k m — целые чис-
ла, соответствующие матрицы являются единичными,
т.е. ( ) =ij n ijD g δ . Таким образом, группа WG , назы-
ваемая в данной области науки [14] редуцированной
группой G , содержит следующие основные элементы:
1 1 2, 2 , , , , ,E a m T T где 1(2)T — оператор трансляции на
1(2)d вдоль оси 1(2)d , заметим также, что 1ˆ ˆ= 2a m .
Следовательно, 1 1 22 , , ,m T T являются генераторами
группы G . Подобный подход, основанный на включе-
нии в редуцированную группу оператора трансляции,
использовался ранее в сегнетоэлектриках [15], а также
недавно в работах по ферроборатам [16,17]. Ниже для
наглядности будем использовать следующий набор
векторов, включенных в αf :
, , , , =1, 2, 3, 4,α α α α αP A m l
которые являются, соответственно, T-четными поляр-
ным и аксиальным векторами, T-нечетными магнит-
ным моментом (т.е. аксиальным вектором) и антифер-
ромагнитным вектором α-субъячейки. Последний име-
ет такие же трансформационные свойства, что и маг-
нитный квадрупольный момент субъячейки. Смещения
ионов субъячейки ,nu α , где n — номер конкретного
иона, описываются, очевидно, полярным вектором.
Рассмотрим действие этих элементов на введенные
выше базисные векторы. Легко видеть, что полярный
вектор αP и аксиальные векторы ,αA αm преобразу-
ются следующим образом (индекс = 1, 2, 3, 4α отно-
сится к субъячейкам):
1 1 1
ˆ ˆ ˆ2 , 2 , 2x x y y z zP P P P P Pα α α α α α= = − = − ,
(1)
x х y y z zmP = P , mP = P , mP = Pα α α α α α− .
1 1 12 , 2 , 2 x x y y z zA = A A A A Aα α α α α α= − = − ,
(2)
, ,x x y y z zmA A mA A mA Aα α α α α α= − = − = ,
где индексы x, y, z — компоненты вдоль осей a, b, и c
соответственно.
Важно отметить, что генераторы 12 и m сохраняют
индекс α . Очевидно, что так же, как ,P Aα α , преобра-
зуются и полярные и аксиальные векторы, не завися-
щие от индекса α (к таковым относятся внешние поля,
поляризация, намагниченность кристалла, тензор де-
формации и др.). Рассмотрим действие оператора 1(2)T
на векторы αf . Прежде всего отметим, что
=T f f , (3)
если вектор f не зависит от α , и
1=T α α±f f (4)
в обратном случае.
В табл. 1 приведены трансформационные свойства
этих величин и соответствующие неприводимые пред-
ставления группы 12A am , полученные на основе ука-
занных выше соотношений. Фактически они относятся
к малой подгруппе D(k = 0) группы 12A am .
Таблица 1. Трансформационные свойства редуцирован-
ной группы G , ее неприводимые представления и базисные
функции в пространстве, построенном на компонентах по-
лярного iP и аксиального iA векторов
iΓ E 12 m 1T 2T iP iA iku
1Γ 1 1 1 1 1 xP iiu
2Γ 1 1 –1 1 1 xA yzu
3Γ 1 –1 –1 1 1 zP yA xzu
4Γ 1 –1 1 1 1 yP zA xyu
Перейдем к рассмотрению трансформационных
свойств векторов αm , αl , определяющих магнитную
структуру BaMnF4, схематически изображенную на
рис. 1. Видно, что магнитная структура субъячеек дей-
ствительно определяется этими векторами. Однако для
выяснения свойств симметрии удобно использовать
следующие их линейные комбинации (так называемые
моды):
1 2 3 4 1 2 3 4
1= , = ,
4 4
+ + + + + +m m m m l l l l
M N
1 2 3 4 1 2 3 4
1 = , = ,
4 4
− − + − − +m m m m l l l l
A L
1 2 3 4 1 2 3 4
2 = , = ,
4 4
+ − − + − −m m m m l l l l
A K
1 2 3 4 1 2 3 4
3 2= , = .
4 4
− + − − + −m m m m l l l l
A N
Моды , iM A реализуют аксиальное представление
[13] группы WG . Представление, построенное на мо-
дах 1,2, ,L K N , естественно определить как антифер-
ромагнитное (или, более строго, как магнитное квад-
рупольное); именно оно является главным в BaMnF4.
Как видно на рис. 1, в BaMnF4 в основном состоянии реа-
лизуется мода 0,≠L = 0K (или 0,≠K = 0L ).
Декартовы компоненты аксиального T-нечетного
вектора M преобразуются по одномерным представ-
лениям 2 3 4, ,Γ Γ Γ (см. табл. 1), а других векторов сле-
дующим образом:
А.К. Звездин, А.П. Пятаков
668 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 6
1 1 1 2 1 1 1 1
1 1 2
2 2 2 1 2 2 2 2
2 = , = , = , =x x x x x x x x
x x x x x x x x
A A A A A A A A
m T T
A A A A A A A A
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
;
1 1 1 2 1 1 1 1
1 1 2
2 2 2 1 2 2 2 2
2 = , = , = , =
y y y y y y y y
y y y y y y y y
A A A A A A A A
m T T
A A A A A A A A
− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
;
1 1 1 2 1 1 1 1
1 1 2
2 2 2 1 2 2 2 2
2 = , = , = , =z z z z z z z z
z z z z z z z z
A A A A A A A A
m T T
A A A A A A A A
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
;
1 1 22 = , = , = , =x x x x x x x x
x x x x x x x x
L L L K L L L L
m T T
K K K L K K K K
− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
;
1 1 22 = , = , = , =
y y y y y y y y
y y y y y y y y
L L L K L L L L
m T T
K K K L K K K K
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
;
1 1 22 = , = , = , =z z z z z z z z
z z z z z z z z
L L L K L L L L
m T T
K K K L K K K K
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
.
Отсюда следует, что эти компоненты преобразуются по двумерным неприводимым представлениям редуциро-
ванной группы WG . Нетрудно убедиться, что они могут быть представлены в виде следующих произведений:
1 1 2 1( , ) = ( ),i i i id A A Mτ Γ⊗ 2 2( , ) = ,i i id L K τ Γ⊗ (5)
где 1 2,τ τ — так называемые перестановочные неприводимые представления [14] группы WG :
1 1 2
1 0 0 1 1 0 1 0
: 2 = , = , = , = ;
0 1 1 0 0 1 0 1
m T T
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
τ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 1 2
1 0 0 1 1 0 1 0
: 2 = , = , = , = .
0 1 1 0 0 1 0 1
m T T
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
τ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
_______________________________________________
Заметим, что 2 2
1 2= = 1,τ τ 1 2 2=τ τ Γ⊗ . Компоненты
мод 3 1,2,A N , преобразующиеся по одномерным пред-
ставлениям группы WG , в BaMnF4 не реализуются,
поэтому они здесь опущены. Моды 2,3A тоже не рели-
зуются в BaMnF4; здесь они приведены для демонст-
рации вышеприведенной связи аксиального и переста-
новочных представлений.
Механическое представление [13], построенное на
координатах всех ионов расширенной элементарной
ячейки ,nu α , где = 1,2,3, 4α — номер субъячейки,
n — номер позиции иона в субъячейке, может быть
также разложено по неприводимым перестановочным
представлениям 1,2τ :
2
,
=1
( ) = ( ),m n i
i
d u α τ Γ⊗∑ P (6)
где ( )Γ P — представление, по которому преобразует-
ся полярный вектор (см. табл. 1). Легко видеть, что
имеется всего 6 независимых механических двумерных
базисных векторов:
,
,
,
= i
i
i
α
α
α
ξ⎛ ⎞
ζ ⎜ ⎟η⎝ ⎠
, (7)
где = 1, 2α , = , ,i x y z .
При рассмотрении однодоменного кристалла, напри-
мер, c доменом L-типа, нужно во всех базисных векто-
рах положить = 0,K , = 0iαη . В этом случае удобно
использовать табл. 2 для построения инвариантов и
тензорных соотношений. В ней приведены коэффици-
енты, показывающие, как трансформируются компо-
ненты ,iL ,iαξ под воздействием элементов группы
WG , при этом нужно иметь в виду, что элемент m воз-
действует лишь на ориентационную часть базисных
векторов.
Таблица 2. Данные для построения инвариантов и тензор-
ных соотношений
iΓ E 12 m 1T 2T iP iM iku il 1,iζ 2,iζ
1Γ 1 1 1 1 1 xP iiu
2Γ 1 1 –1 1 1 xM yzu
3Γ 1 –1 –1 1 1 zP yM xzu
4Γ 1 –1 1 1 1 yP zM xyu
5Γ 1 1 1 –1 1 1,1ζ 2,2ζ
6Γ 1 1 –1 –1 1 xL 2,3ζ
7Γ 1 –1 –1 –1 1 yL 1,3ζ
8Γ 1 –1 1 –1 1 zL 1,2ζ 2,1ζ
Симметрия и магнитоэлектрические взаимодействия в BaMnF4
Физика низких температур, 2010, т. 36, № 6 669
2. Несоразмерная структура в BaMnF4
Как сказано выше, на втором этапе процедуры сле-
дует обратиться к учету несоразмерности, т.е. зависи-
мости параметров кристаллической структуры от ко-
ординат. Из опыта известно, что величины магнитных
моментов практически не зависят от координат, в то
время как «механические» антивекторы ζ являются
периодическими функциями x с периодом /a μ , где
= 0,39μ . Например,
2= exp c.c.i iQ i x
a
π⎛ ⎞ζ μ +⎜ ⎟
⎝ ⎠
(8)
Теоретическое описание механизма образования
несоразмерной структуры (IC) в BaMnF4 дано в рабо-
тах [11,18].
Физической причиной, приводящей к возникнове-
нию IC структуры, является наличие в термодинамиче-
ском потенциале системы слагаемого типа инварианта
Лифшица, который, в свою очередь, объясняется от-
сутствием центра инверсии в структуре и существова-
нием спонтанной электрической поляризации xP .
Иногда используют представление о «средней» сим-
метрии несоразмерной фазы. Так, принято считать, что
структурный фазовый переход при = 250T К является
переходом в фазу типа несоразмерный несобственный
сегнетоэластик со средней моноклинной симметрией
1( 2P ) [2,3]. Искажения исходной орторомбической
структуры в низкотемпературной фазе невелики; они
могут быть охарактеризованы углом моноклинной дис-
торсии ( 210−α ∼ [3]). Естественно принять величину
α за параметр малости, характеризующий изменения
физических величин, происходящие при переходе из
орторомбической в моноклинную фазу.
3. Магнитоэлектрические взаимодействия
Рассмотрим два типа магнитоэлектрических взаи-
модействий, привлекающих в последнее время боль-
шое внимание исследователей мультиферроиков: од-
нородное — билинейное по m и L, и неоднородное —
линейное по производным вектора антиферромагне-
тизма.
Однородное магнитоэлектрическое взаимодействие
u
meV определяется произведениями типа i j kPm L . Легко
видеть из данных табл. 2, что они могут входить в
энергию, а значит, быть инвариантными, только в со-
четаниях ,i j k nPm L αζ . Отсюда следует, что это взаимо-
действие периодически изменяется с x и в среднем
обращается в нуль.
Особого внимания заслуживает величина
1,3 1,2x y zP L L ζ ζ , которая содержит не зависящее от x
слагаемое, дающее моноклинный вклад в энергию маг-
нитной анизотропии (см. ниже).
Представляет интерес неоднородное киральное взаи-
модействие, определяемое инвариантом типа Лифшица
и допустимое в данной симметрии. Например,
2
2 2= = ,yn z
me x z y x
L L
V u P L L P L
x x x
∂⎛ ⎞∂ ∂θ
γ − γ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
(9)
где θ — угол между вектором L и осью z в плоско-
сти yz . Такой инвариант допустим в низкосимметрич-
ной фазе. Взаимодействие (9) называют флексомагни-
тоэлектрическим из-за его близкой аналогии с флексо-
электрическим эффектом, известным в физике жидких
кристаллов и диэлектриков.
Инвариант (9) не существует в орторомбической
фазе. Он допустим в моноклинной фазе (т.е. в классе 2),
при этом 2 1,2 1,3γ 〈ζ ζ 〉∼ , т.е. является малым. Его можно
усилить внешними полями. Легко видеть (см. табл. 2),
что
y z
y z x z y
L L
H H P L L
x x
∂⎛ ⎞∂
−⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
и
y z
y z x z y
L L
E E P L L
x x
∂⎛ ⎞∂
−⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
преобразуются по представлению 1Γ , т.е. являются
инвариантами (они разрешены и в орторомбической
фазе). Поэтому можно представить 2γ в виде
0
2 2 2 2= .y z y zH H E E′ ′′γ γ + γ + γ (10)
Отсюда следует, в частности, возможность реализации
индуцированного магнитным полем фазового перехода
в несоразмерную фазу при < NT T .
Авторы работы [2] обнаружили весьма необычный
скачок электрической поляризации в магнитном поле
H ∼ 50 кЭ, ориентированном под углом к оси c при-
мерно в 45°. Это наблюдение не вписывается в сущест-
вующую теорию и до сих пор не получило объяснения.
В работе [19] сделана попытка объяснить этот эффект,
принимая во внимание неоднородное магнитоэлектри-
ческое взаимодействие, ставшее в последние годы ак-
туальным при исследовании и других мультифер-
роиков.
Возникает вопрос — какие компоненты векторов,
нечетных относительно T̂ , образуют IC фазу? Возможна
ситуация, когда при < NT T они соответствуют приво-
димому представлению, например, 7 8 ,Γ Γ⊗ как это
имеет место для магнитного порядка: = (0, , )y zL L L .
Легко убедиться, что в этом случае реализуется упомя-
нутая выше средняя моноклинная симметрия. Более того,
вполне допустима ситуация, когда задействованы 3 или
все 4 представления Γ5, Γ6, Γ7, Γ8. Представляет инте-
рес гипотетическая возможность, когда некоторые из
компонент f гармонически зависят от x , в то время
А.К. Звездин, А.П. Пятаков
670 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 6
как другие — нет. Эти важные для интерпретации экс-
перимента вопросы требуют дополнительного изуче-
ния. Строго говоря (т.е. при 0ζ ≠ ), симметрия низко-
температурной фазы понижается до 1 за счет IC струк-
туры, так как поворот осуществляется со сдвигом на
/ 2a , т.е. 12 , разрушает ось 2-го порядка, если при-
нять во внимание зависимость ( )xζ . Однако можно
полагать, что эффекты, допустимые в классе 1, но за-
прещенные в классе 2, являются малыми, что подтвер-
ждается, в частности, измерениями магнитоэлектри-
ческого эффекта [8].
4. Релятивистский скос подрешеток и спонтанная
намагниченность
Следует заметить, что стандартное взаимодействие
Дзялошинского–Мория здесь запрещено симметрией,
так как компоненты iM и jL принадлежат различным
представлениям группы G (см. табл. 2). Скос подре-
шеток может быть вызван здесь магнитоэлектрическим
взаимодействием, на что впервые указано в [20].
Пользуясь табл. 2, можно написать следующие фор-
мулы для намагниченности:
2 1 1,1 2 1,2 3 1,3
3 4 1,2 5 1,1
4 6 1,3 7 1,1,
( ) = ,
( ) ,
( )
x x y z
y x y
z x z
M c L c L c L
M c L c L
M c L c L
Γ ζ + ζ + ζ
Γ = ζ + ζ
Γ = ζ + ζ
(11)
где ,iαζ — механические антивекторы, определяемые
формулой (7). Во избежание громоздких формул, мы
положили 2, = 0iζ . Согласно (8), ( )iM x — гармони-
ческиe функции. Усредняя (11) по , ,x y z , получим
= 0,iM〈 〉 (12)
если все = 0i〈ζ 〉 . Согласно (11), спонтанная намагни-
ченность может быть отличной от 0 только за счет ан-
тисимметричных искажений структуры jζ , которые
придают дополнительную малость ее абсолютной ве-
личине ( 2 3-Fe Oα , 3YFeO и др.). В экспериментальной
работе [21] говорится о том, что 0zM〈 〉 ≠ . Авторы
[20,21] полагают, что отличная от 0 намагниченность
BaMnF4 образуется благодаря скосу подрешеток, с
углом скоса подрешеток 3Δϕ ≈ мрад. Эти результаты
могут быть согласованы с формулой (11), только если
предположить, что 0x〈ζ 〉 ≠ . С другой стороны, в экс-
периментальной работе [4] слабый ферромагнетизм
обнаружен не был, позднее в работе [10] были повтор-
но произведены детальные измерения намагниченно-
сти BaMnF4 в широком интервале температур, также
не выявившие спонтанной намагниченности. Данные
результаты находятся в согласии с (12).
5. Линейный магнитоэлектрический эффект
='
i ij jδ αP H
Из данных табл. 1 и 2 следует:
1 1 1,1 2 1,2 3 1,3( ) = ( )'
x x x y zP H c L c L c Lδ Γ ζ + ζ + ζ +
4 1,2 5 1,1( )y x yH c L c L+ ζ + ζ +
6 1,3 7 1,1( ).z x zH c L c L+ ζ + ζ (13)
Пространственное усреднение по IC структуре дает
= 0,'
xP〈δ 〉
что согласуется с выводом экспериментальной работы
[2]. Аналогичный результат следует и для других ком-
понент электрической поляризации:
= 0, = 0.' '
y zP P〈δ 〉 〈δ 〉
6. Квадратичный по магнитному полю
магнитоэлектрический эффект
Квадратичный по магнитному полю магнитоэлек-
трический эффект =''
i ijk j kP H Hδ β , очевидно, суще-
ствует и в парамагнитных орторомбической и средней
моноклинной фазах. В орторомбической фазе отлич-
ными от нуля компонентами тензора ijkβ являются
лишь 111 122 133 212 313, , , ,β β β β β . В моноклинной фазе к
ним прибавляются компоненты 123 213 312, ,β β β . Оче-
видно, что их величины пропорциональны углу моно-
клинной дисторсии ~ 0,01.α
Отметим, что в кристалле, обладающем моноклин-
ной симметрией 2 , с осью второго порядка, парал-
лельной оси x, компоненты электрической поляриза-
ции ''
yPδ и ''
zPδ обращаются в 0, если внешнее маг-
нитное поле направлено по осям кристалла. Однако
эксперимент [8] показал, что ниже температуры струк-
турного фазового перехода < = 250cT T К измеренные
значения коэффициентов 211 222 233 311 322 333, , , , ,β β β β β β
отличны от 0, хотя и по крайней мере на порядок
меньше, чем 111 122,β β . Отсюда следует, что точечная
группа 2 , предложенная в [2,3] для описания усред-
ненной симметрии BaMnF4 при < cT T , является здесь
завышенной. Это говорит в пользу того, что, кроме
мод 1,2 1,3,ζ ζ , отвечающих за усредненную моноклин-
ность несоразмерной фазы, в ней присутствует также
примесь моды 1,1ζ . Нужно иметь также в виду, что
элемент симметрии 12 , очевидно, нарушается в несо-
размерной фазе. Поэтому, строго говоря, ее средняя
симметрия должна понижаться до триклинной, в кото-
рой все элементы тензора ijkβ (2) отличны от 0 [22].
Конечно, отличие «триклинного» тензора ijkβ от «мо-
ноклинного» (2) является в данном случае малым с
параметром малости 1/2( / )a λ α∼ , где λ — длина
волны модуляции в несоразмерной фазе, a — посто-
янная решетки вдоль оси a .
Симметрия и магнитоэлектрические взаимодействия в BaMnF4
Физика низких температур, 2010, т. 36, № 6 671
При < NT T в поведении магнитоэлектрического
эффекта возникают новые особенности, связанные с
возникновением антиферромагнитного порядка (в наи-
низшем по α приближении):
3
2 2
1 2 3
=1
= ( )'' x x x
x i i i y z y z
i
P L H L L H Hδ β +β +β +∑
4 5 ,x x
x z x z x y x yL L H H L L H H+ β +β (14)
2 2
2 3
=1
= ( ),y y y''
y i x y x y ii
i i
P H L L H H Lδ β + β +β∑ ∑ (15)
2 2
2 3
=1
= ( ) .'' z z z
z i i x z x z i
i i
P H L L H H Lδ β + β +β∑ ∑ (16)
Для моделирования конкретных экспериментальных
ситуаций нужно подставить в формулы (14)–(16) соот-
ветствующие зависимости = ( )L L H .
Для полноты картины обсудим еще формулы для
квадратичного по электрическому полю МЭ эффекта:
= .''
i ijk j kM E Eδ γ (17)
Этот эффект, очевидно, линеен по вектору iL . По-
скольку =i iT M M , =i iT L L− , симметрия требует,
чтобы тензор ijkγ содержал члены типа ,i j rL ζ , кото-
рые при усреднении по IC структуре обращаются в 0.
Отсюда следует вывод, что = 0''
iM〈δ 〉 с теми же ого-
ворками, которые сделаны при обсуждении спонтан-
ной намагниченности (см. разд. 4).
7. Энергия магнитной анизотропии
В низшем приближении по величине моноклинных
искажений энергию магнитной анизотропии можно
представить в виде
2 2=A x x y y yz y zE K l K l K l l+ + +
+ члены порядка 4
il и выше, (18)
где il — компоненты единичного вектора вдоль L;
,xK yK , yzK — компоненты разложения энергии ани-
зотропии по iL , малым параметром разложения явля-
ется, как обычно для d-ионов, релятивистский пара-
метр /cv , или более детально, применительно к дан-
ному случаю, — отношение энергии спин-орби-
тального взаимодействия к обменной для ионов Mn,
отвечающих за магнитные свойства BaMnF4. Кроме
того, константа yzK имеет дополнительную малость
1,2 1,3< >yzK ζ ζ∼ ∼ α (см. разд. 2).
В BaMnF4, согласно опытным данным, константа
xK положительна и много больше по абсолютной ве-
личине, чем yK и yzK , поэтому можно положить
= 0xL и ограничиться рассмотрением процессов пе-
реориентации в плоскости bc . Это предположение от-
носится лишь к BaMnF4, в других соединениях этого
класса нужно представлять формулу (18) в полном
объеме.
Таким образом, энергия анизотропии в плоскости
bc кристалла принимает вид
2
1
1= sin 2 ,cos
2A yzE K Kθ + θ (19)
где θ — угол между l и осью z в плоскости bc ,
1 yK K≡ . Известно, что в основном состоянии спины
(вектор L) в BaMnF4 ориентированы, в основном,
вдоль оси ( )b y , отклоняясь от нее на малый угол
9ϕ °∼ [11]. Используя эти данные, можно заключить,
что в (19) 1 > 0K и
0
1
= tg 2 = tg 2 ,yzK
K
θ − α (20)
где 0 = / 2θ π − ϕ . Соотношение (20) следует из усло-
вия равновесия / = 0E∂ ∂θ и 2 2/ 0AE∂ ∂θ ≥ .
В связи с рассмотренными в разд. 3 и 4 линейными
по ,i jζ эффектами, обращающимися в 0 в результате
усреднения по IC структуре, возникает вопрос о воз-
можности подавления IC фазы внешними полями. По-
следнее хорошо изучено, например, для 3BiFeO [23].
Такая возможность существует и в BaMnF4 относи-
тельно кристаллической IC. Действительно, взаимо-
действия типа = ( ), = ( ),Z dV V ′− ⋅ − δ ⋅M H P E где ,H E
— внешние магнитное и электрическое поля, понижа-
ют энергию однородной антиферромагнитной фазы по
сравнению с кристаллической IC фазой и могут, в
принципе, привести к подавлению последней. Однако
требуемые для этого поля в данном случае, по-
видимому, слишком велики для реализации такой воз-
можности.
Авторы благодарны А.М. Кадомцевой, привлекшей
их внимание к проблеме BaMnF4 и в особенности к
работе [2], и А.П. Леванюку за критику и дискуссии.
Работа поддержана РФФИ (проекты 08-02-01068-а и
10-02-00846-а) и Progetto Lagrange-Fondazione CRT.
1. Г.А. Смоленский, И.Е. Чупис, УФН 137, 415 (1982).
2. Ph. Sciau, M. Clin, J.-P. Rivera, and H. Schmid, Ferroelect-
rics 105, 201 (1990).
3. R.V. Pisarev, B.B. Krichevtzоv, P.A. Markovin, O.Yu. Kor-
shunov, and J.F. Scott, Phys. Rev. B28, 2677 (1983).
4. С.А. Кижаев, Р.В. Писарев, ФТТ 26, 1669 (1984).
5. T. Tsuboi and W. Kleemann, Phys. Rev. B27, 3762 (1983).
6. Ph. Sciau, J.-P. Rivera, and H. Schmid, Ferroelectrics 97,
293 (1989).
7. T. Tsuboi, M. Hangyo, and W. Kleemann, Phys. Rev. B39,
8753 (1989).
8. А.К. Звездин, Г.П. Воробьев, А.М. Кадомцева, Ю.Ф. По-
пов, Д.В. Белов, А.П. Пятаков, ЖЭТФ 136, 265 (2009).
9. J.F. Scott, F. Habbal, and M. Hidaka, Phys. Rev. B25, 1805
(1982).
А.К. Звездин, А.П. Пятаков
672 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 6
10. M. Yoshimura, M. Hidaka, T. Mizushima, J. Sakurai,
T. Tsuboi, and W. Kleemann, J. Magn. Magn. Mater. 299,
404 (2006).
11. D.E. Cox, S.M. Shapiro, R.A. Gowley, M. Eibschutz, and
H.J. Gugenheim, Phys. Rev. B19, 5754 (1979).
12. V. Dvorak, Phys. Status Solidi B71, 269 (1975).
13. Ю.А. Изюмов, В.Е. Найш, Р.П. Озеров, Нейтронография
магнетиков, т. 2, Наука, Москва (1984).
14. Е.А. Туров, А.В. Колчанов, В.В. Меньшенин, И.Ф. Мир-
саев, В.В. Николаев, Симметрия и физические свойства
антиферромагнетиков, Наука, Москва (2001).
15. Б.А. Струков, А.П. Леванюк, Физические основы сегне-
тоэлектрических явлений в кристаллах, Наука, Москва
(1995).
16. А.К. Звездин, С.С. Кротов, А.М. Кадомцева, Г.П. Воро-
бьев, Ю.Ф. Попов, А.П. Пятаков, Л.Н. Безматерных, Е.А.
Попова, Письма ЖЭТФ 81, 335 (2005).
17. А.К. Звездин, Г.П. Воробьев, А.М. Кадомцева, Ю.Ф. По-
пов, А.П. Пятаков, Л.Н. Безматерных, А.В. Кувардин,
Е.А. Попова, Письма ЖЭТФ 83, 600 (2006).
18. B.B. Lavrencic and J.F. Scott, Phys. Rev. B24, 2711 (1981).
19. А.К. Звездин, А.П. Пятаков, УФН 179, 897 (2009).
20. D.L. Fox and J.F. Scott, J. Phys. C10, 329 (1977).
21. E.L. Venturini and F.R. Morgenthaler, AIP Conference Pro-
ceedings 24, 168 (1975).
22. Ю.И. Сиротин, М.П. Шаскольская, Основы кристалло-
физики, Наука, Москва (1975).
23. А.М. Кадомцева, А.К. Звездин, Ю.Ф. Попов, А.П. Пята-
ков, Г.П. Воробьев, Письма ЖЭТФ 79, 705 (2004).
Symmetry and magnetoelectric interactions
in BaMnF4
A.K. Zvezdin and A.P. Pyatakov
Magnetic anisotropy and magnetoelectric inter-
actions in ferroelectric antiferromagnet BaMnF4 are
considered theoretically using the symmetry analysis.
It is shown that the symmetry allows the existence of
inhomogeneous magnetoelectric (flexoelectric type)
interaction possessing a characteristic dependence on
value and orientation of external magnetic field. As
the field is increased this interaction at critical field
leads to the phase transition to the magnetic incom-
mensurate phase accompanied with a jump of electric-
polarization. The linear and quadratic magnetoelectric
effects and the relativistic tilt of the magnetic sublat-
tices caused by the magnetoelectric interaction are
considered. The proposed technique is a natural gene-
ralization of the symmetry analysis to the class of
crystals which undergo the phase transitions followed
by a doubling of the unit cell and can be applied not
only to the BaMnF4.
PACS: 75.85.+t Magnetoelectric effects, multifer-
roics;
77.80.–e Ferroelectricity and antiferro-
electricity.
Keywords: multiferroics, ferroelectromagnets, incom-
mensurate structure, linear magnetoelectric effect.
|