Математичне моделювання просторової узагальненої крайової задачі Неймана теплообміну циліндра, який обертається

Знайдено температурне поле порожнього циліндра, який обертається з постійною кутовою швидкістю ω навколо осі OZ нескінченної довжини з урахуванням кінцевої швидкості поширення тепла у вигляді збіжних ортогональних рядів....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2015
Автор:	Бердник, М.Г.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України 2015
Назва видання:	Штучний інтелект
Теми:	Прикладні інтелектуальні технології та системи
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/117212
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Математичне моделювання просторової узагальненої крайової задачі Неймана теплообміну циліндра, який обертається / М.Г. Бердник // Штучний інтелект. — 2015. — № 3-4. — С. 134-140. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-117212
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1172122025-02-09T18:22:07Z Математичне моделювання просторової узагальненої крайової задачі Неймана теплообміну циліндра, який обертається Математическое моделирование пространственной обобщенной краевой задачи неймана теплообмена вращающегося цилиндра Mathematical modeling of heat transfer of the generalized Neumann boundary value problem of a cylinder which rotates Бердник, М.Г. Прикладні інтелектуальні технології та системи Знайдено температурне поле порожнього циліндра, який обертається з постійною кутовою швидкістю ω навколо осі OZ нескінченної довжини з урахуванням кінцевої швидкості поширення тепла у вигляді збіжних ортогональних рядів. В статье получено обобщенное уравнение баланса энергии для движущегося элемента сплошной среды. В результате использования полученного уравнения было найдено нестационарное температурное поле вращающегося с постоянной угловой скоростью ω вокруг оси OZ цилиндра с учетом конечной величины скорости распространения тепла, в виде ортогональных рядов по специальным функциям. Тhe generalized equation of an energy balance for a driven element of continuum is obtained. As a result of usage of an obtained equation the non-stationary temperature field rotaried with a stationary value by angular rate ω around of an axes OZ empty inside the cylinder was retrieved, in view of final value of speed of heat, as orthogonal numbers(series) on higher transcendental functions 2015 Article Математичне моделювання просторової узагальненої крайової задачі Неймана теплообміну циліндра, який обертається / М.Г. Бердник // Штучний інтелект. — 2015. — № 3-4. — С. 134-140. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1561-5359 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/117212 536.421 uk Штучний інтелект application/pdf Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Прикладні інтелектуальні технології та системи Прикладні інтелектуальні технології та системи
spellingShingle	Прикладні інтелектуальні технології та системи Прикладні інтелектуальні технології та системи Бердник, М.Г. Математичне моделювання просторової узагальненої крайової задачі Неймана теплообміну циліндра, який обертається Штучний інтелект
description	Знайдено температурне поле порожнього циліндра, який обертається з постійною кутовою швидкістю ω навколо осі OZ нескінченної довжини з урахуванням кінцевої швидкості поширення тепла у вигляді збіжних ортогональних рядів.
format	Article
author	Бердник, М.Г.
author_facet	Бердник, М.Г.
author_sort	Бердник, М.Г.
title	Математичне моделювання просторової узагальненої крайової задачі Неймана теплообміну циліндра, який обертається
title_short	Математичне моделювання просторової узагальненої крайової задачі Неймана теплообміну циліндра, який обертається
title_full	Математичне моделювання просторової узагальненої крайової задачі Неймана теплообміну циліндра, який обертається
title_fullStr	Математичне моделювання просторової узагальненої крайової задачі Неймана теплообміну циліндра, який обертається
title_full_unstemmed	Математичне моделювання просторової узагальненої крайової задачі Неймана теплообміну циліндра, який обертається
title_sort	математичне моделювання просторової узагальненої крайової задачі неймана теплообміну циліндра, який обертається
publisher	Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
publishDate	2015
topic_facet	Прикладні інтелектуальні технології та системи
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/117212
citation_txt	Математичне моделювання просторової узагальненої крайової задачі Неймана теплообміну циліндра, який обертається / М.Г. Бердник // Штучний інтелект. — 2015. — № 3-4. — С. 134-140. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.
series	Штучний інтелект
work_keys_str_mv	AT berdnikmg matematičnemodelûvannâprostorovoíuzagalʹnenoíkrajovoízadačínejmanateploobmínucilíndraâkijobertaêtʹsâ AT berdnikmg matematičeskoemodelirovanieprostranstvennojobobŝennojkraevojzadačinejmanateploobmenavraŝaûŝegosâcilindra AT berdnikmg mathematicalmodelingofheattransferofthegeneralizedneumannboundaryvalueproblemofacylinderwhichrotates
first_indexed	2025-11-29T13:12:52Z
last_indexed	2025-11-29T13:12:52Z
_version_	1850130544262643712
fulltext	ISSN 1561 – 5359. Штучний інтелект, 2015, № 3-4 134 © М.Г. Бердник УДК 536.421 М.Г. Бердник Державний вищий навчальний заклад "Національний гірничий університет", Україна Україна, 49005, м. Дніпропетровськ, проспект Карла Маркса, 19 МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПРОСТОРОВОЇ УЗАГАЛЬНЕНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧІ НЕЙМАНА ТЕПЛООБМІНУ ЦИЛІНДРА, ЯКИЙ ОБЕРТАЄТЬСЯ M. G. Berdnyk State Higher Education Institution "National Mining University", Ukraine Ukraine, 49005, Karl Marx avenue, 19. MATHEMATICAL MODELING OF HEAT TRANSFER OF THE GENERALIZED NEUMANN BOUNDARY VALUE PROBLEM OF A CYLINDER WHICH ROTATES М.Г. Бердник Государственное высшее учебное заведение "Национальный горный университет", Украина Украина, 49005, г. Днепропетровск, проспект Карла Маркса, 19 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ОБОБЩЕННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА ТЕПЛООБМЕНА ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ЦИЛИНДРА Отримано узагальнене рівняння переносу енергії для рушійного елемента суцільного середовища. Знайдено температурне поле порожнього циліндра, який обертається з постійною кутовою швидкістю навколо осі OZ нескінченної довжини з урахуванням кінцевої швидкості  поширення тепла у вигляді збіжних ортогональних рядів. Ключові слова: крайова задача Неймана, інтегральне перетворення, час релаксації. Тhe generalized equation of an energy balance for a driven element of continuum is obtained. As a result of usage of an obtained equation the non-stationary temperature field rotaried with a stationary value by angular rate around of an axes OZ empty inside the cylinder was retrieved, in view of final value of  speed of heat, as orthogonal numbers(series) on higher transcendental functions Key words: Neumann boundary value problem, integral transformation, relaxation time. В статье получено обобщенное уравнение баланса энергии для движущегося элемента сплошной среды. В результате использования полученного уравнения было найдено нестационарное температурное поле вращающегося с постоянной угловой скоростью вокруг оси OZ цилиндра,  с учетом конечной величины скорости распространения тепла, в виде ортогональных рядов по специальным функциям. Ключевые слова: краевая задача Неймана, интегральное преобразование, время релаксации. Постановка проблеми, аналіз останніх досліджень і публікацій У феноменологічній теорії теплопровідності передбачається, що швидкість поширення тепла є нескінченно великою [3, 4]. Однак, при високих інтенсивних нестаціонарних процесах, що спостерігаються, наприклад, при вибухах, надзвукових потоках, великих швидкостях обертання вплив скінченності величини швидкості поширення тепла на теплообмін стає помітним [3]. У [3] показано, що рівняння переносу енергії у випадку узагальненого закону ISSN 1561 – 5359. Штучний інтелект, 2015, № 3-4 © М.Г. Бердник 135 теплопровідності Фур'є справедливо для одномірного, однорідного і стаціонарного простору. Питання про можливості узагальнення рівняння переносу на тривимірний випадок розглянутий у [4]. Метою роботи є розробка нових узагальнених тривимірних математичних моделей температурних розподілів у рухомому середовищі у вигляді крайових задач математичної фізики для рівняння теплопровідності та розв’язання отриманих крайових задач для рівняння теплопровідності, розв’язки яких використовуються під час керування температурними полями. Постановка задачі Розглянемо розрахунок нестаціонарного температурного поля суцільного циліндра, який обертається з постійною кутовою швидкістю  навколо осі OZ скінченної довжини L з урахуванням кінцевої швидкості поширення тепла, теплофізичні властивості якого не залежать від температури, а внутрішні джерела тепла відсутні. У початковий момент часу температура циліндра постійна 0G , а на поверхні циліндра тепловий потік не залежить від часу  zG , . В роботі [1] одержано узагальнене рівняння переносу енергії для рушійного елемента суцільного середовища:                         (1) t Tс 2 2                                                         V VV T PTT t VV V T PTTqradTV tt TqradTV V r V r де γ ‒щільність середовища; с-питома теплоємність; τ  тензор напруг; �̅� вектор локальної швидкості середовища; ∇- оператор Гамильтона “набла”; P  тиск; Т  температура середовища; t  час; τ𝑟  час релаксації,   коефіцієнт теплопровідності. Згідно з (1) узагальненим рівнянням балансу енергії твердого тіла, яке обертається, з постійною кутовою швидкістю  навколо осі OZ, теплофізичні властивості якого не залежать від температури, а внутрішні джерела тепла відсутні, у циліндричній системи координат  z,, набуває вигляду:                                                2 2 2 2 22 22 2 2 11 t Tc z TT rr T rr T t T t TT r       (2) Математично задача визначення температурного поля циліндра складається в інтегруванні диференціального рівняння теплопровідності (2) в області            0,t,0,1z ,0,2 ,0,1 ,,,   tzD , що з урахуванням прийнятих допущень запишеться у вигляді: ISSN 1561 – 5359. Штучний інтелект, 2015, № 3-4 136 © М.Г. Бердник                                2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 11 zR a ttt rr            (3) з початковими умовами     0 0,,, ,00,,,     t zz  (4) і граничними умовами  zVde r t t , 10             (5)   0,0,, t ,   0,1,, t , (6) де   0max 0,,, GT GtzT       відносна температура циліндра; R r  ; R – зовнішній радіус циліндра;  LR 2 ;   c a   коефіцієнт температуропровідності;     ,,,    rzGzV     DC , zV  . Розв’язок задачі Тоді розв’язок крайової задачі (3)-(6)  tz,,, є двічі неперервно диференційованим по  і z , , один раз по t в області D і неперервним на D [3,5], тобто      DCDCtz 1,2,,,  , а функції  zV , ,  tz,,, можуть бути розкладені в комплексний ряд Фур'є [5]:              in zV tz zV tz n n n exp ,, , ,,,                  , (7) де               din zV tz zV tz n n )exp( , ,,, 2 1,, 2 0                ;                 ;zV V ,,,,,,, 2 n 1 n 21 izVztzitztz nnnn   i – уявна одиниця. З огляду на те, що  tz,,, функція дійсна, обмежимося надалі розглядом  tzn ,, для n=0,1,2,…,тому що  tzn ,, і  tzn ,, будуть комплексно- спряженими [5]. Підставляючи значення функцій з (7) у (3)-(6) одержимо систему диференціальних рівнянь:                     1 2 2 2 2 2 2 22 2                          z n R a ttt i ni n i n i n m ni nr i n r m n i n i n i i      (8) з початковими умовами       00,, ,00,,     t zz i ni n  (9) і граничними умовами ISSN 1561 – 5359. Штучний інтелект, 2015, № 3-4 © М.Г. Бердник 137      (10) , 10 zVde i n t t i n r                   ,0,1, ,0,0,  tt i n i n  (11) де   1 ;2 ; ; mm 21 21  nn nn  . Застосовуємо до системи диференціальних рівнянь (8) інтегральне перетворення Ханкеля [2,4]:        dJf knnkn f , 1 0 ,  , де  xJn  функція Бесселя го1 роду гоn порядку; kn,  корені трансцендентного рівняння   0,  knnJ  , при 1,2,3,k 0 n при 0 ,1,2,3,,0k 0n 00   . Формула оберненого перетворення має вигляд:          kn k knnkn knnkn f Jn J f , 0 , 222 , , 2 , 2           . У результаті одержуємо систему диференціальних рівнянь:                   . 2 2 2 ,,22 2                            z VJ R a ttt i ni nkn i nknn i n r m n r m n i n i n i i        (12) з початковими умовами       00, ,00,     t zz i ni n  (13) і граничними умовами       ,0,1 ,0,0  tt i n i n  i=1,2. (14) Застосовуємо до системи диференціальних рівнянь (12) інтегральне перетворення Фур'є :       dx x m sin 1 0    xff m  , де mm   ; m=1,2,…,а формула оберненого перетворення має вигляд:      m m fxf       x m sin2 1 . У результаті одержуємо систему звичайних диференціальних рівнянь:                    (15) 22 ,,22 2 i nmkn i nknn i n r m n r m n i n i n VJ R a dt d td d td d i i                     з початковими умовами ISSN 1561 – 5359. Штучний інтелект, 2015, № 3-4 138 © М.Г. Бердник       00, ,00,     t zz i ni n    Застосовуємо до системи звичайних диференціальних рівнянь (15) інтегральне перетворення Лапласа:       d ~ 0 sefsf    . У результаті одержуємо систему алгебраїчних рівнянь відносно  i n ~ :                 (16) , ~~ ~~~~ 22 , , , 2                   i n mkn i nknn kn i nr m nr m n i n i n VJ qsss ii        де i=1,2;  mknknq 22 ,2, R a   . Розв’язавши систему рівнянь (18), одержуємо:               , 1 q 1~1 q ~~ 2222 kn, 2 1 kn, 2 , rr r m n i r i n kn i n snss sVnssV i        (i=1,2) (17) де  knnknkn J ,,2, R a   . Застосовуючи до зображення функцій (17) формули оберненого перетворення Лапласа, одержуємо оригінали функцій:                                  (18) , 1 1212 1 1212 2 14 3 , 2 12 1 , 1        ts jrrnrjrn j jkn ts jrrnrjrn j jknn j j e isnVnisVse isnVnisVst                                      (19) , 1 1212 1 1212 1 24 3 , 1 22 1 , 2        ts jrrnrjrn j jkn ts jrrnrjrn j jknn j j e isnVnisVse isnVnisVst           12 5.0 22 1 , ns s s rjr j jkn      , а значення js для j=1,2,3,4 визначаються за формулами: ISSN 1561 – 5359. Штучний інтелект, 2015, № 3-4 © М.Г. Бердник 139         . 2 411 , 2 411 , 2 4,3, , 2 2,1 r knrrr r knrrr qnini s qnini s         Таким чином, з урахуванням формул обернених перетворень одержуємо температурне поле суцільного циліндра, який обертається з постійною кутовою швидкістю  навколо осі OZ довжини L з урахуванням кінцевої швидкості поширення тепла у вигляді збіжних ортогональних рядів по функціях Бесселя і Фур’є              exp z m sin 22,,, 1k kn, 1 21  intittz n m nn                        tt nn 21 ,   визначаються за формулами (18), (19);      knnkn knnkn kn Jn J , 222 , , 2 , ,      . Висновки Отримано узагальнене рівняння переносу енергії для рушійного елемента суцільного середовища (1). Знайдено температурне поле суцільного циліндра, який обертається з постійною кутовою швидкістю  навколо осі OZ скінченної довжини L з урахуванням кінцевої швидкості поширення тепла у вигляді збіжних ортогональних рядів по функціях Бесселя і Фур’є. Знайдений аналітичний розв’язок узагальненої крайової задачі теплообміну суцільного циліндра, який обертається, з урахуванням скінченності величини швидкості поширення тепла, може знайти застосування при модулюванні температурних полів, які виникають у багатьох технічних системах (у супутниках, прокатних валках, турбінах і т.і.). Література 1. Бердник М.Г..Математичне моделювання температурного поля в циліндрі, який обертається, з урахуванням кінцевої швидкості поширення тепла // Питання прикладної математики і математичного моделювання. – Д.: РВВ ДНУ,2005.–С.37–44. 2. Галицын А.С., Жуковский А.И. Интегральные преобразования и специальные функции в задачах теплопроводности/А.С.Галицын, А.И. Жуковский.– Киев., Наук.думка. 1979. – 561 с. 3. Лакуста Л.В., Тимофеев Ю.А. Некоторые оценки границ применимости гиперболического уравнения теплопроводности / Л.В.Лакуста, Ю.А.Тимофеев. // ИФЖ. – 1979, т.37. – №2. С. 366-370 4. Подстригач Я.С., Коляно Ю.М. Обобщенная термомеханика / Я.С. Подстригач, Ю.М. Коляно. – Киев., Наукова думка, 1976. – 310 С. 5. Толстов Г.П. Ряды Фурье / Г.П. Толстов. – М., Наука, 1980. – 384 С. Literaturа 1. .Berdnyk M.G.. Mathematical simulation of temperature field in cylinder, taking into account the finite velocity of propagation of heat//Questions of applied mathematics and mathematical modeling. –: RVV DNU,2005 p. 37-44. 2. Galitsin A.S., Zhukovsky A.I.Integral transforms and special functions in problems of thermal conductivity/A.S. Galitsin, A.I. Zhukovski.-Kiev, Naukova dumka. 1979-561 with. 3. Lakusta, L. V., Timofeev Y.A. Some assessment boundaries the applicability of hyperbolic heat conduction equation/L.V. Lakusta, Y.A. Timofeev.//IFZ-1979, vol. 37-No. 2 p. 366-370 4. Podstrigac Y.S., Kolano Y.M. Synthesis of thermal mechanics/Y.S,. Podstrigac ,Y.M. Kolano .- Kiev, Naukova dumka, 1976-310 s. 5. Tolstov G.P. Fourier Series/G.P. Tolstov.-M., Science, 1980-384 . ISSN 1561 – 5359. Штучний інтелект, 2015, № 3-4 140 © М.Г. Бердник RESUME M.G. Berdnyk Mathematical modeling of heat transfer of the generalized Neumann boundary value problem of a cylinder which rotates In this article the calculation of the non-stationary temperature field of continuous cylinder is examined that runs around with a permanent angulator about axis of OZ of eventual length of L taking into account eventual speed of distribution of heat. Thermo physical properties of that do not depend on a temperature, and the internal sources of heat are absent. In initial moment of time the temperature of cylinder is permanent , and on the surface of cylinder a thermal stream does not depend on time. The generalized equalization of transfer of energy is in-process got for the motive element of continuous environment. It was set forth the regional task of Neumann is generalized to the heat exchange of cylinder, that runs around, taking into account extremity of size of speed of distribution of heat. By means of integral transformations of Hankel and Laplace the temperature field of continuous cylinder that runs around is found, taking into account extremity of size of speed of distribution of heat as ortogonal rows on the special functions of Bessel of sort of order and Fourier . Found analytical decision of the generalized regional task of Neumann to the heat exchange of cylinder, that runs around, taking into account extremity of size of speed of distribution of heat can find application at modulation of the temperature fields that arise up in many technical systems (in companions, rental rollers, turbines and т.і.). М.Г. Бердник Математичне моделювання просторової узагальненої крайової задачі Неймана теплообміну циліндра, який обертається У даній статті розглядається розрахунок нестаціонарного температурного поля суцільного циліндра, який обертається з постійною кутовою швидкістю  навколо осі OZ скінченної довжини L з урахуванням кінцевої швидкості поширення тепла, теплофізичні властивості якого не залежать від температури, а внутрішні джерела тепла відсутні. У початковий момент часу температура циліндра постійна , а на поверхні циліндра тепловий потік не залежить від 0G часу . zG , У роботі одержано узагальнене рівняння переносу енергії для рушійного елемента суцільного середовища. Була сформульована узагальнена крайова задача Неймана теплообміну циліндра, який обертається, з урахуванням скінченності величини швидкості поширення тепла. За допомогою інтегральних перетворень Ханкеля і Лапласа знайдене температурне поле суцільного циліндра, який обертається, з урахуванням скінченності величини швидкості поширення тепла у вигляді ортогональних рядів по спеціальних функціях Бесселя роду порядку і го1 гоn Фур’є. Знайдений аналітичний розв’язок узагальненої крайової задачі Неймана теплообміну циліндра, який обертається, з урахуванням скінченності величини швидкості поширення тепла, може знайти застосування при модулюванні температурних полів, які виникають у багатьох технічних системах (у супутниках, прокатних валках, турбінах і т.і.). Надійшла до редакції 01.07.2015

Математичне моделювання просторової узагальненої крайової задачі Неймана теплообміну циліндра, який обертається

Репозитарії

Схожі ресурси