Магнитоплазменные волны на поверхности полупроводниковой нанотрубки со сверхрешеткой

В приближении случайных фаз рассматриваются спектры плазменных волн в электронном газе на поверхности полупроводниковой нанотрубки со сверхрешеткой в магнитном поле, параллельном оси трубки и сверхрешетки. В квантовом и квазиклассическом случаях рассчитаны частоты длинноволновых внутризонных и межз...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Физика низких температур
Дата:	2012
Автори:	Ермолаев, А.М., Рашба, Г.И., Соляник, М.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2012
Теми:	Наноструктуры при низких температурах
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/117244
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Магнитоплазменные волны на поверхности полупроводниковой нанотрубки со сверхрешеткой / А.М. Ермолаев, Г.И. Рашба, М.А. Соляник // Физика низких температур. — 2012. — Т. 38, № 6. — С. 653-659. — Бібліогр.: 40 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-117244
record_format	dspace
spelling	Ермолаев, А.М. Рашба, Г.И. Соляник, М.А. 2017-05-21T16:10:38Z 2017-05-21T16:10:38Z 2012 Магнитоплазменные волны на поверхности полупроводниковой нанотрубки со сверхрешеткой / А.М. Ермолаев, Г.И. Рашба, М.А. Соляник // Физика низких температур. — 2012. — Т. 38, № 6. — С. 653-659. — Бібліогр.: 40 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 73.63.Fg, 73.21.Cd, 71.45.–d, 73.20.Mf https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/117244 В приближении случайных фаз рассматриваются спектры плазменных волн в электронном газе на поверхности полупроводниковой нанотрубки со сверхрешеткой в магнитном поле, параллельном оси трубки и сверхрешетки. В квантовом и квазиклассическом случаях рассчитаны частоты длинноволновых внутризонных и межзонных магнитоплазмонов в вырожденном электронном газе. При большом числе заполненных уровней кругового движения электронов частоты волн испытывают осцилляции, похожие на осцилляции де Гааза–ван Альфена, с изменением параметров нанотрубки и осцилляции Ааронова– Бома с изменением магнитного потока через сечение трубки. Характер осцилляций определяется отношением энергии Ферми к ширине минизоны. При большом значении этого отношения на графике зависимости частоты волны от параметров трубки существуют биения. Если этот параметр мал, биения отсутствуют. У наближенні випадкових фаз розглядаються спектри плазмових хвиль в електронному газі на поверхні напівпровідникової нанотрубки з надграткою у магнітному полі, паралельному осі трубки і надгратки. У квантовому і квазікласичному випадках розраховано частоти довгохвильових внутрізонних та міжзонних магнітоплазмонів у виродженому електронному газі. При великому числі заповнених рівнів колового руху електронів частоти хвиль випробовують осциляції, схожі з осциляціями де Гааза–ван Альфена, зі зміною параметрів нанотрубки і осциляції Ааронова–Бома зі зміною магнітного потоку через переріз трубки. Характер осциляцій визначається відношенням енергії Фермі до ширини мінізони. При великому значенні цього відношення на графіку залежності частоти хвилі від параметрів трубки існують биття. Якщо цей параметр малий, биття відсутні. The spectra of plasma waves in the electron gas on the surface of semiconducting nanotube with a superlattice are considered. The external magnetic field is directed along the axis of the nanotube and the superlattice. The analysis of the intraband and interband magnetoplasma waves in the degenerate electron gas is presented in quantum and quasiclassical limits. If a number of angular motion levels are filled up then the magnetoplasmon frequencies oscillate with variation of nanotube parameters similarly to the de Haas–van Alphen oscillations. The frequencies demonstrate also the Aharonov–Bohm oscillations on magnetic flux through the nanotube cross-section. The oscillation pattern is determined by the ratio of the Fermi energy to minizone width. If this ratio is sufficiently large the beats appear in the plot of magnetoplasmon frequency as a function of tube parameters. Авторы выражают благодарность И.В. Криве за полезные замечания. ru Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України Физика низких температур Наноструктуры при низких температурах Магнитоплазменные волны на поверхности полупроводниковой нанотрубки со сверхрешеткой Magnetoplasma waves on the surface of semiconducting nanotube with a superlattice Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Магнитоплазменные волны на поверхности полупроводниковой нанотрубки со сверхрешеткой
spellingShingle	Магнитоплазменные волны на поверхности полупроводниковой нанотрубки со сверхрешеткой Ермолаев, А.М. Рашба, Г.И. Соляник, М.А. Наноструктуры при низких температурах
title_short	Магнитоплазменные волны на поверхности полупроводниковой нанотрубки со сверхрешеткой
title_full	Магнитоплазменные волны на поверхности полупроводниковой нанотрубки со сверхрешеткой
title_fullStr	Магнитоплазменные волны на поверхности полупроводниковой нанотрубки со сверхрешеткой
title_full_unstemmed	Магнитоплазменные волны на поверхности полупроводниковой нанотрубки со сверхрешеткой
title_sort	магнитоплазменные волны на поверхности полупроводниковой нанотрубки со сверхрешеткой
author	Ермолаев, А.М. Рашба, Г.И. Соляник, М.А.
author_facet	Ермолаев, А.М. Рашба, Г.И. Соляник, М.А.
topic	Наноструктуры при низких температурах
topic_facet	Наноструктуры при низких температурах
publishDate	2012
language	Russian
container_title	Физика низких температур
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
format	Article
title_alt	Magnetoplasma waves on the surface of semiconducting nanotube with a superlattice
description	В приближении случайных фаз рассматриваются спектры плазменных волн в электронном газе на поверхности полупроводниковой нанотрубки со сверхрешеткой в магнитном поле, параллельном оси трубки и сверхрешетки. В квантовом и квазиклассическом случаях рассчитаны частоты длинноволновых внутризонных и межзонных магнитоплазмонов в вырожденном электронном газе. При большом числе заполненных уровней кругового движения электронов частоты волн испытывают осцилляции, похожие на осцилляции де Гааза–ван Альфена, с изменением параметров нанотрубки и осцилляции Ааронова– Бома с изменением магнитного потока через сечение трубки. Характер осцилляций определяется отношением энергии Ферми к ширине минизоны. При большом значении этого отношения на графике зависимости частоты волны от параметров трубки существуют биения. Если этот параметр мал, биения отсутствуют. У наближенні випадкових фаз розглядаються спектри плазмових хвиль в електронному газі на поверхні напівпровідникової нанотрубки з надграткою у магнітному полі, паралельному осі трубки і надгратки. У квантовому і квазікласичному випадках розраховано частоти довгохвильових внутрізонних та міжзонних магнітоплазмонів у виродженому електронному газі. При великому числі заповнених рівнів колового руху електронів частоти хвиль випробовують осциляції, схожі з осциляціями де Гааза–ван Альфена, зі зміною параметрів нанотрубки і осциляції Ааронова–Бома зі зміною магнітного потоку через переріз трубки. Характер осциляцій визначається відношенням енергії Фермі до ширини мінізони. При великому значенні цього відношення на графіку залежності частоти хвилі від параметрів трубки існують биття. Якщо цей параметр малий, биття відсутні. The spectra of plasma waves in the electron gas on the surface of semiconducting nanotube with a superlattice are considered. The external magnetic field is directed along the axis of the nanotube and the superlattice. The analysis of the intraband and interband magnetoplasma waves in the degenerate electron gas is presented in quantum and quasiclassical limits. If a number of angular motion levels are filled up then the magnetoplasmon frequencies oscillate with variation of nanotube parameters similarly to the de Haas–van Alphen oscillations. The frequencies demonstrate also the Aharonov–Bohm oscillations on magnetic flux through the nanotube cross-section. The oscillation pattern is determined by the ratio of the Fermi energy to minizone width. If this ratio is sufficiently large the beats appear in the plot of magnetoplasmon frequency as a function of tube parameters.
issn	0132-6414
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/117244
citation_txt	Магнитоплазменные волны на поверхности полупроводниковой нанотрубки со сверхрешеткой / А.М. Ермолаев, Г.И. Рашба, М.А. Соляник // Физика низких температур. — 2012. — Т. 38, № 6. — С. 653-659. — Бібліогр.: 40 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT ermolaevam magnitoplazmennyevolnynapoverhnostipoluprovodnikovoinanotrubkisosverhrešetkoi AT rašbagi magnitoplazmennyevolnynapoverhnostipoluprovodnikovoinanotrubkisosverhrešetkoi AT solânikma magnitoplazmennyevolnynapoverhnostipoluprovodnikovoinanotrubkisosverhrešetkoi AT ermolaevam magnetoplasmawavesonthesurfaceofsemiconductingnanotubewithasuperlattice AT rašbagi magnetoplasmawavesonthesurfaceofsemiconductingnanotubewithasuperlattice AT solânikma magnetoplasmawavesonthesurfaceofsemiconductingnanotubewithasuperlattice
first_indexed	2025-11-24T04:19:16Z
last_indexed	2025-11-24T04:19:16Z
_version_	1850841416008204288
fulltext	© А.М. Ермолаев, Г.И. Рашба, М.А. Соляник, 2012 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2012, т. 38, № 6, c. 653–659 Магнитоплазменные волны на поверхности полупроводниковой нанотрубки со сверхрешеткой А.М. Ермолаев, Г.И. Рашба, М.А. Соляник Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина, пл. Свободы, 4, г. Харьков, 61077, Украина E-mail: alexander.m.ermolaev@univer.kharkov.ua georgiy.i.rashba@univer.kharkov.ua Статья поступила в редакцию 22 декабря 2011 г. В приближении случайных фаз рассматриваются спектры плазменных волн в электронном газе на по- верхности полупроводниковой нанотрубки со сверхрешеткой в магнитном поле, параллельном оси труб- ки и сверхрешетки. В квантовом и квазиклассическом случаях рассчитаны частоты длинноволновых внутризонных и межзонных магнитоплазмонов в вырожденном электронном газе. При большом числе заполненных уровней кругового движения электронов частоты волн испытывают осцилляции, похожие на осцилляции де Гааза–ван Альфена, с изменением параметров нанотрубки и осцилляции Ааронова– Бома с изменением магнитного потока через сечение трубки. Характер осцилляций определяется отно- шением энергии Ферми к ширине минизоны. При большом значении этого отношения на графике зави- симости частоты волны от параметров трубки существуют биения. Если этот параметр мал, биения от- сутствуют. У наближенні випадкових фаз розглядаються спектри плазмових хвиль в електронному газі на поверх- ні напівпровідникової нанотрубки з надграткою у магнітному полі, паралельному осі трубки і надгратки. У квантовому і квазікласичному випадках розраховано частоти довгохвильових внутрізонних та міжзон- них магнітоплазмонів у виродженому електронному газі. При великому числі заповнених рівнів колового руху електронів частоти хвиль випробовують осциляції, схожі з осциляціями де Гааза–ван Альфена, зі зміною параметрів нанотрубки і осциляції Ааронова–Бома зі зміною магнітного потоку через переріз трубки. Характер осциляцій визначається відношенням енергії Фермі до ширини мінізони. При великому значенні цього відношення на графіку залежності частоти хвилі від параметрів трубки існують биття. Якщо цей параметр малий, биття відсутні. PACS: 73.63.Fg Нанотрубки; 73.21.Cd Сверхрешетки; 71.45.–d Коллективные эффекты; 73.20.Mf Коллективные возбуждения (включая плазмоны и другие возбуждения зарядовой плотности). Ключевые слова: нанотрубка, сверхрешетка, магнитоплазмоны, спектр, биения. 1. Введение Идея Келдыша [1] о возможности управлять зонным спектром проводников путем создания в кристалле дополнительной периодичности интенсивно развива- ется благодаря совершенствованию технологических методов изготовления таких систем, названных сверх- решетками [2,3]. В одномерной сверхрешетке потен- циальная энергия электрона вдоль ее оси представляет собой систему чередующихся барьеров и ям с перио- дом, превышающим постоянную решетки. В результа- те в энергетическом спектре электронов, движущихся вдоль оси сверхрешетки, существует система минизон, разделенных энергетическими щелями. Такая структу- ра спектра проявляется во многих явлениях. Физические свойства сверхрешеток рассмотрены во многих статьях, обзорах, монографиях. В статьях [4] рассмотрен эффект де Гааза–ван Альфена в сверхре- шетках и слоистых системах. Обзор [5] охватывает широкий круг вопросов физики сверхрешеток, содер- жит анализ работ по плазменным колебаниям в сверх- решетках в отсутствие магнитного поля. В работе [6] изучены переходы металл–диэлектрик в сверхрешет- ках в магнитном поле, вычислена фотопроводимость. А.М. Ермолаев, Г.И. Рашба, М.А. Соляник 654 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2012, т. 38, № 6 Обзор [7] и монография [8] содержат подробное опи- сание высокочастотных свойств полупроводниковых сверхрешеток. В монографии [9] приведена классифи- кация сверхрешеток, описаны методы их изготовления и многочисленные применения. В статье [10] рассмот- рены свойства двумерного электронного газа с квад- ратной сверхрешеткой. Магнитоплазменные волны в полупроводниковых сверхрешетках в приближении случайных фаз рассмат- ривались в работах [11–13]. В этих работах предпола- галось, что вектор напряженности магнитного поля параллелен оси одномерной сверхрешетки, а барьеры, чередующиеся с квантовыми ямами, широкие и высо- кие. В этом случае электроны локализованы в ямах, туннелирование электронов между ямами отсутствует, система аппроксимируется набором независимых парал- лельных плоскостей с двумерным электронным газом. Эффекты запаздывания при распространении волн в такой структуре не учитывались. Эти эффекты учтены в статьях [14]. Туннелирование электронов между ямами учтено в работе [15], в которой рассмотрен по- лупроводник с одномерной сверхрешеткой в магнит- ном поле, параллельном ее оси. Расчет спектра магни- топлазмонов выполнен методом самосогласованного поля [16] с использованием модели эффективной мас- сы электрона и сильной связи электронов в ямах. Тун- нелирование электронов предполагается слабым. Ав- торы работы [15] рассмотрели не только длинновол- новый предел, когда волновое число магнитоплазмона мало по сравнению с шириной зоны Бриллюэна вдоль оси сверхрешетки, но и учли процессы переброса. В этой работе показано, что дрейф электронов вдоль оси сверхрешетки способствует появлению новых ветвей в спектре волн. Соответствующие сверхрешетки и маг- нитоплазмоны в статье [15] названы туннельными. В работе [17] рассмотрены локальные плазменные моды в сверхрешетках с дефектным слоем. Электромагнит- ные и магнитопримесные волны в сверхрешетках и слоистых проводниках в условиях квантового эффекта Холла изучались в статьях [18,19]. Работы [20,21] по- священы плазменным волнам в двумерном электрон- ном газе с одномерной сверхрешеткой в магнитном поле, перпендикулярном плоскости, занятой электро- нами. В статье [20] учтен параболический потенциал конфайнмента, а в [21] рассмотрена не только электри- ческая, но и магнитная модуляция спектра электронов. В цитированных выше работах рассматривались сверхрешетки с плоской геометрией. Между тем со- временные технологические методы позволяют созда- вать не только планарные, но и цилиндрические сверх- решетки — радиальные и продольные [22,23]. Радиаль- ная цилиндрическая сверхрешетка представляет собой совокупность коаксиальных цилиндров, свойства ко- торых чередуются, а продольная сверхрешетка может быть моделирована набором соосных колец (рис. 1). Диамагнетизм вырожденного электронного газа на поверхности цилиндрической нанотрубки с продоль- ной сверхрешеткой рассмотрен в работе [24]. В этой работе магнитное поле предполагается параллельным оси цилиндра и сверхрешетки. Используется модель эффективной массы электрона и модель сильной связи. В настоящей статье на основе модели эффективной массы и сильной связи электронов в приближении слу- чайных фаз вычислен спектр магнитоплазменных волн в электронном газе на поверхности полупроводнико- вой нанотрубки с продольной сверхрешеткой. Магнит- ное поле предполагается параллельным оси трубки. Во втором разделе обсуждается спектр энергии электро- нов на трубке со сверхрешеткой, а в третьем вычисля- ется поляризационный оператор вырожденного элек- тронного газа. В четвертом и пятом разделах приведены результаты расчета спектра внутризонных и межзонных магнитоплазмонов. В заключении резю- мированы результаты работы. 2. Энергетический спектр электронов на трубке со сверхрешеткой Энергия электрона на поверхности полупроводни- ковой цилиндрической нанотрубки с продольной сверхрешеткой в магнитном поле, параллельном ее оси, равна: 2 0 ( ) (1 cos ).lk l kdε ε η Δ= + + − (1) Здесь 2 0 ( )l lε ε η= + — энергия кругового движения электрона, 0, 1, ...l = ± — азимутальное квантовое чис- ло, 2 0 1 2 m aε = — вращательный квант, m — эф- фективная масса электрона, a — радиус трубки, 0η ϕ ϕ= — отношение потока 2a Bϕ π= магнитной индукции B через поперечное сечение трубки к кван- ту потока 0 2 c eϕ π= [25,26], (1 cos )k kdε Δ= − (2) — энергия продольного движения электрона с квази- волновым числом k , Δ и d — амплитуда и период модулирующего потенциала сверхрешетки. Выраже- Рис. 1. Нанотрубка со сверхрешеткой. a d L Магнитоплазменные волны на поверхности полупроводниковой нанотрубки со сверхрешеткой Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2012, т. 38, № 6 655 ние (2) получено в приближении сильной связи [27]. Оно часто используется при изучении свойств метал- лов с открытыми поверхностями Ферми [27,28], слои- стых систем [29], полупроводниковых сверхрешеток [6–8]. Спиновое расщепление уровней в формуле (1) не учитывается. Квантовая постоянная принята равной единице. Если 1kd << , выражение (2) принимает вид 2 /2k k mε = , где 2 1/m dΔ= . (3) Предполагается, что поперечная и продольная эффек- тивные массы электрона одинаковы. Спектр (1) представляет собой набор минизон ши- риной 2Δ с корневыми особенностями плотности со- стояний на их границах lε , 2lε Δ+ [30]. Если 1 2η < , то положения нижних границ минизон lε удовлетво- ряют неравенствам 2 0 1 1 2 ...ε η ε ε ε− −< < < < Ширина k-й щели между соседними минизонами равна 0 0 (1 2 ) 2 , 1, 3, 5, ..., 2 2 , 2, 4, 6, ... k k k k k k δ ε η Δ δ ε η Δ = − − = = − = (4) Если же 1 2η > , то последовательность нижних гра- ниц минизон иная: 2 1 0 2 1 ...ε ε η ε ε− −< < < < В этом случае 0 0 (2 1) 2 , 1, 3, 5, ..., 2 (1 ) 2 , 2, 4, 6, ... k k k k k k δ ε η Δ δ ε η Δ = − − = = − − = (5) При изучении плазменных волн на поверхности трубки можно ограничиться интервалом 0 1η< < [31,32]. Из (4) и (5) видны условия, при которых перекрытие ми- низон отсутствует. Поверхностная плотность вырожденного электрон- ного газа на трубке равна 2 1 l l n k aπ = ∑ , где 01 arccos 1 l lk d μ ε Δ −⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠ (6) — максимальное волновое число электрона в l-й мини- зоне, 0μ — энергия Ферми. Если 1n adπ= , то нижняя минизона заполнена полностью. В этом случае k dπ= , 2 0 0 2μ ε η Δ= + . 3. Поляризационный оператор электронного газа на трубке со сверхрешеткой В теории линейной реакции [33] электронного газа на внешнее поле ( )exp i m qz tϕ ω⎡ + − ⎤⎣ ⎦ дисперсионное уравнение для магнитоплазменных волн, распростра- няющихся вдоль трубки, в приближении случайных фаз имеет вид [31,32,34] ( ) ( )1 , 0m mu q P q ω− = , (7) где ( ) ( ) ( )24m m mu q e aI qa K qaπ= — цилиндрические гармоники кулоновского потен- циала электронов на трубке, mI и mK — модифици- рованные функции Бесселя, mP — поляризационный оператор электронного газа. Он равен ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) 1, 0 l m k q lk m l m k q lklk f f P q aL i ε ε ω π ε ε ω + + + + − = − − −∑ . (8) Здесь f — функция Ферми, L — длина трубки. В знаменателе формулы (8) содержатся частоты верти- кальных переходов электронов между уровнями lε : ( ) ( ) 2 0, 2l m l l l m l m m l m ε ε Ω ε η ε ε + ± − −⎛ ⎞ ⎡ ⎤= = + ±⎜ ⎟ ⎣ ⎦−⎝ ⎠ . (9) С каждым значением целого числа m связана ветвь спектра плазменных волн. При 0m = решения уравне- ния (7) представляют собой спектр внутризонных плазмонов. Значениям 0m ≠ соответствуют межзон- ные плазмоны. При нулевой температуре вещественная часть поля- ризационного оператора (8) в области частот, где зату- хание Ландау отсутствует, равна ____________________________________________________ ( ) ( ) 2 2 22 tg 1 tg 1 1 1 2 2 2 2Re , arctg arctg , 1 1 12 sin 2 l l m l q d q db k b k P q qd b b bad ω π Δ + + + + + ⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎢ ⎥= − + − + → −⎨ ⎬ ⎢ ⎥⎪ ⎪− − − ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭ ∑ (10) где 2 1b± > , 2 sin ( /2) b qd Ω ω Δ ± ± − = . Слагаемые ( )+ → − в фигурных скобках получаются из предыдущих заменой b+ на b− и изменением знака q в аргументе тангенса. Если в формуле (10) положить 0m = , 0ω = , а затем 0q = , то она примет вид ( )0 0 Re 0, 0 2nP ν μ ∂ = − = − ∂ , А.М. Ермолаев, Г.И. Рашба, М.А. Соляник 656 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2012, т. 38, № 6 где ν — плотность состояний фермиевских электронов на трубке со сверхрешеткой [30]. При 0q = из (10) полу- чаем ( ) 2 1 1 1Re 0,m l l P k a ω Ω ω Ω ωπ − + ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟− −⎝ ⎠∑ . (11) Мнимая часть поляризационного оператора вырожденного электронного газа при 0m = может быть представлена в виде ( ) 0 0 0 0 2 2 0 2 2 1Im , sin 2 sin4 sin 22 q qk d k d q qk d k d P q dx dx x qdqdad ω ω δ Δπ Δ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥= ⋅ − −⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ∫ ∫ . (12) _______________________________________________ Из этой формулы видно, что внутризонные плазмоны в вырожденном электронном газе не затухают, если точ- ка ( ),q ω на плоскости волновое число–частота лежит выше синусоиды 2 sin 2 qd ω Δ= в первой зоне Бриллюэна ( ) ( )d q dπ π− ≤ ≤ . 4. Спектр внутризонных плазмонов В длинноволновом пределе, когда 2 sin 2 qdΔ ω<< , (13) из формулы (10) получим ( ) 2 0 2 2 4 sin 2Re , sin l l qd P q k d ad Δ ω π ω = ∑ , (14) где ( ) ( ) 1/2 0 0 1sin 2l l lk d μ ε ε Δ μ Δ ⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦ . Если в формуле (14) учесть 1qd << , 0d → , Δ →∞ так, чтобы выполнялось условие (3), она переходит в известное выражение 2 2Re nqP m ω∗ = для длинноволновых плазмонов на трубке без сверх- решетки [31,32,34]. В этом пределе щели между мини- зонами исчезают, спектр энергии электронов становит- ся сплошным. Из уравнения (7) с учетом (14) получаем спектр ак- сиально-симметричных внутризонных плазмонов: ( ) ( ) 1/22 20 0 0 02 4 ( ) ( ) sin 2 2 l l l u q qdq ad ω μ ε ε Δ μ π ⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦∑ . (15) В актуальном для трубок малого радиуса квантовом пределе, когда 1/2η < , а энергия Ферми находится в нижней минизоне 2 2 0 0[ , 2 ]ε η ε η Δ+ , в сумме по l, вхо- дящей в (15), можно ограничиться слагаемым с 0l = . Для этого необходимо, чтобы плотность электронов не превышала 1 adπ . Тогда при 1qa << и 1qd << из (15) получаем ( ) ( ) ( ) 2 2 1/22 2 2 0 0 0 0 0 4 2ln 2 ,e dqq qaeγω μ ε η ε η Δ μ π ⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦ (16) где 0, 577...γ = — число Эйлера. Из формул (15) и (16) следует, что полностью заполненные минизоны не участвуют в колебаниях плотности электронов. Если 0d → , Δ →∞ и выполняется условие (3), формула (16) принимает известный вид для спектра плазмонов на трубке без сверхрешетки в квантовом пределе [31,32,34,35]: ( ) 2 2 2 0 0 4 2ln e k q q m qaeγω π ∗ = . Здесь ( ) 1/22 0 0 02k m μ ε η∗ ⎡ ⎤= −⎣ ⎦ . По-прежнему считаем условие (13) выполненным, однако предположим, что ниже уровня Ферми распо- ложено много уровней lε , т.е. 0 0μ ε>> . Тогда входя- щая в (15) сумма по l может быть вычислена при по- мощи формулы Пуассона. В результате спектр плазмонов содержит монотонные и осциллирующие с изменением параметров трубки и магнитного потока ϕ слагаемые. Они зависят от параметра 0 /2μ Δ . Если 0 2μ Δ< , из формулы (15) получаем точное выражение для монотонной части спектра плазмонов: ( ) ( ) 3/2 2 2 mon 0 2 0 0 0 0 8 sin 2 2 2 2 2 m qdq u q d K E Δ ω π Δ μ μ Δ μ μ Δ Δ Δ Δ ∗= × ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − × −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ , (17) где K и E — эллиптические интегралы 1-го и 2-го рода соответственно [36]. В рассматриваемом случае a →∞ , функция ( )0u q равна 22 /е qπ , выражение (17) не зависит от радиуса трубки. Оно относится к двумер- ному электронному газу в отсутствие магнитного поля. Магнитоплазменные волны на поверхности полупроводниковой нанотрубки со сверхрешеткой Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2012, т. 38, № 6 657 Он получается разрезанием трубки по образующей и разворачиванием ее на плоскость. Если 0 2μ Δ<< , 1qd << , 0d → , Δ →∞ , то из формулы (17) получаем спектр плазмонов в двумерном электронном газе в от- сутствие сверхрешетки и магнитного поля [37]: ( ) ( )1/22 02q e qω μ= . Осциллирующая часть спектра плазмонов в случае 0 2μ Δ< равна ( ) ( ) ( )1/4 0 02 2 osc 0 2 0 3/2 01 4 2 sin 2 1 cos 2 sin 2 . 4r qdq u q ad r r r Δ μ ε ω π μ ππ η π ε ∞ = = × ⎛ ⎞ × −⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑ (18) Это выражение описывает осцилляции, похожие на осцилляции де Гааза–ван Альфена [27], и осцилляции Ааронова–Бома [25,26,38]. Осцилляции типа де Гааза– ван Альфена сохраняются и в отсутствие магнитного поля. В случае 0 2μ Δ< причиной этих осцилляций яв- ляется прохождение корневых особенностей плотности состояний в точках lε через уровень Ферми с измене- нием параметров нанотрубки: ее радиуса или плотности электронов. Частота этих осцилляций может быть полу- чена из условия 2 0 0lμ ε= . С изменением радиуса труб- ки она равна фермиевскому волновому числу Fk . Если рассматривать зависимость (18) от корня из плотности электронов, эта частота равна 2 aπ . При 0 0μ ε>> , 0 02μ Δ ε− >> , 0 2μ Δ> монотонная и осциллирующая части спектра магнитоплазмонов равны ( ) ( ) 02 mon 0 2 2 0 0 0 0 8 2 22 2sin 2 m q u q d qd E K μ Δ ω π μ Δ μ ΔΔ Δ Δ μ Δ μ ∗= × ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − × −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ , (19) ( ) ( ) ( )1/4 0 02 2 osc 0 2 3/2 1 1/4 0 0 0 0 0 4 2 1sin cos 2 2 22sin 2 1 sin 2 . 4 4 r qdq u q r ad r r r Δ μ ε ω π η π μ μ Δπ Δ π π π ε μ ε ∞ = = × ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ −⎢ ⎥× − − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ∑ (20) При вычислении (18) и (20) использованы асимптотики интегралов Фурье в том случае, когда подынтеграль- ная функция имеет особенности на нижнем пределе (в случае (18)) или на верхнем и нижнем (в случае (20)) [39]. Второй период осцилляций типа де Гааза–ван Альфена в (20) присутствует потому, что при 0 2μ Δ> с изменением параметров трубки уровень Ферми пере- секает не только нижние границы минизон, но и верх- ние 2lε Δ+ . Ситуация аналогична существованию минимального и максимального сечений поверхности Ферми типа гофрированный цилиндр в эффекте де Гааза–ван Альфена [27]. Вторая частота осцилляций в (20) может быть найдена из условия 02lε Δ μ+ = . Су- ществование двух близких частот осцилляций при 0 2μ Δ>> означает, что на графике зависимости (20) от параметров трубки должны наблюдаться биения. Если считать (20) функцией радиуса трубки, то на час- тоту осцилляций Fk накладывается частота биений 0Fk Δ μ . Относительное различие амплитуд двух сла- гаемых в (20) равно 02Δ μ . С ростом этого параметра биения сменяются слабыми модуляциями. При 0 2μ Δ< биения спектра магнитоплазмонов отсутст- вуют. На рис. 2 показана зависимость основной гармо- ники осциллирующей части спектра плазмонов (20) ( ) ( ) 1 1/42 2 2 osc 0 0 0( ) 4 2 sin 2 qdF q ad u qω π Δ μ ε −⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ от ( )1/22x n aπ= при 3 02 10Δ ε = в отсутствие маг- нитного поля. 5. Спектр межзонных плазмонов При 0m ≠ вместо условия (13), позволяющего ог- раничиться длинноволновым пределом, имеем условие 2 sin 2 qdΔ ω Ω±<< − . (21) В этом случае основной вклад в вещественную часть поляризационного оператора равен (11). Следователь- но, в квантовом пределе уравнение (7) имеет два кор- ня. Один из них расположен ниже Ω− , а другой — выше Ω+ . В частности, в случае 1 2η < , 0l = из (9) получаем 0Ω− < , 0Ω+ > . Спектр межзонных длин- новолновых плазмонов вблизи частоты Ω+ имеет вид Рис. 2. Зависимость основной гармоники осциллирующей части спектра плазмонов (20) от ( )1/22x n aπ= при 0η = и 3 02 10Δ ε = . 65 70 75 80 85 90 95 F А.М. Ермолаев, Г.И. Рашба, М.А. Соляник 658 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2012, т. 38, № 6 1/22 2 2 0 0 0 0 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 m m m u q k u q k q m m a a ω ε η ε π π ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ . (22) Предельные частоты волн со спектром (22) равны 1/22 0 02 4 0 0 4 (0) 2m e k m m m ε ω ε η ε π ⎛ ⎞ = + +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . (23) В формулах (22) и (23) параметры сверхрешетки d и Δ содержатся только в 0k (6). Добавляя к неравенству (21) условие 1qa << , из (22) получаем 1/22 2 2 20 0 0 0 1 0 4 ( ) (0) ( ) ln , 2 e k e kqaq qa ε ε ω ω ε π π − ± ± ⎛ ⎞ = + +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (24) 1/22 2 2 0 0 3 0 ( ) 4 ( ) (0) 1 2 ( 1)m m e k qa e k q m m m ω ω π πε −⎛ ⎞ = − +⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎝ ⎠ , (25) 2, 3, ...m = ± ± Дисперсия волн со спектром (24), (25) аномальная. В случае слабого кулоновского взаимодействия электронов, когда 2 0 0 1e k ε << , формулы (22)–(25) упрощаются: ( ) ( ) ( ) 2 2 20 0 1 0 2 1 2 ln 2 e k e k qaq qaω ε η π π± = ± + + , (26) ( ) ( ) ( ) 222 02 0 0 0 2 2 2 2 m e k qae k q m m m m m ω ε η ε π π = + + − − , 2, 3, ...m = ± ± Из этих формул следует, что предельные частоты маг- нитоплазменных волн отличаются от резонансных час- тот (9) сдвигом 2 02 m e k m δω π = . Измеряя mδω в оптических экспериментах, можно получить максимальный импульс электронов 0k в нижней минизоне. 6. Заключение Наряду с плоскими сверхрешетками все чаще ис- пользуются полупроводниковые сверхрешетки с ци- линдрической симметрией. Они могут быть радиаль- ными и продольными. В таких системах с искусственной периодичностью вдоль оси цилиндра создается возможность управлять энергетическим спектром электронов проводимости. Радиальные сверхрешетки создаются на основе гетеропереходов 1Al Ga As/GaAsx x− , InAs/GaAs , InGaAs/GaAs , GeSi/Si и др. [2,23,40]. Современная техника физического экс- перимента позволяет в качестве барьеров или ям соз- давать на поверхности нанотрубки соосные кольца из другого материала [22,23]. В настоящей статье приведены результаты вычис- лений спектра магнитоплазменных волн в вырожден- ном электронном газе на поверхности полупроводни- ковой нанотрубки с продольной сверхрешеткой в продольном магнитном поле. Рассмотрены внутризон- ные и межзонные плазмоны в квантовом и квазиклас- сическом случаях. Показано, что с изменением пара- метров нанотрубки и магнитного потока через ее сечение частоты волн испытывают осцилляции, похо- жие на осцилляции де Гааза–ван Альфена, и осцилля- ции Ааронова–Бома. Характер осцилляций типа де Гааза–ван Альфена определяется отношением энергии Ферми к ширине минизоны. При большом значении этого отношения на графике зависимости частоты плазмонов от радиуса трубки или плотности электро- нов существуют биения. При малом значении этого отношения биения отсутствуют. Эти особенности спектра плазмонов могут быть обнаружены в опытах с рассеянием света или электронов нанотрубками со сверхрешеткой в магнитном поле. Авторы выражают благодарность И.В. Криве за по- лезные замечания. 1. Л.В. Келдыш, ФТТ 4, 2265 (1962). 2. L. Esaki and R. Tsu, IBM J. Develop. 14, 61 (1970). 3. Молекулярно-лучевая эпитаксия и гетероструктуры (сб. статей), перевод с англ., Мир, Москва (1989). 4. В.М. Гвоздиков, ФТТ 26, 2574 (1984); ФТТ 28, 320 (1986). 5. А.П. Силин, УФН 147, 485 (1985). 6. В.Н. Луцкий, М.И. Каганов, А.Я. Шик, ЖЭТФ 92, 721 (1987). 7. F.G. Bass and A.P. Tetervov, Phys. Rep. 140, 237 (1985). 8. Ф.Г. Басс, А.А. Булгаков, А.П. Тетервов, Высокочас- тотные свойства полупроводников со сверхрешетками, Наука, Москва (1989). 9. М. Херман, Полупроводниковые сверхрешетки, Мир, Москва (1989). 10. V.M. Gvozdikov and M. Taut, New J. Phys. 11, 063005 (2009). 11. M. Apostol, Z. Phys. B22, 13 (1975). 12. Das Sarma and J.J. Quinn, Phys. Rev. B25, 7603 (1982). 13. W.L. Bloss, Solid State Commun. 44, 366 (1982). 14. A.C. Tselis and J.J. Quinn, Phys. Rev. B29, 2021 (1984); Phys. Rev. B29, 3318 (1984). 15. Wei-ming Que and G. Kirczenow, Phys. Rev. B36, 6596 (1987). 16. H. Ehrenreich and M.H. Cohen, Phys. Rev. 115, 786 (1959). 17. В.М. Гвоздиков, ФНТ 16, 1156 (1990) [Sov. J. Low Temp. Phys. 16, 668 (1990)]. Магнитоплазменные волны на поверхности полупроводниковой нанотрубки со сверхрешеткой Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2012, т. 38, № 6 659 18. V.M. Gvozdikov, A.M. Ermolaev, and R. Vega-Monroy, Fiz. Nizk. Temp. 25, 718 (1999) [Low Temp. Phys. 25, 535 (1999)]. 19. V.M. Gvozdikov, A.M. Ermolaev, I.D. Vagner, and R. Ve- ga-Monroy, Physica B284–288, 1734 (2000). 20. K. Sabeeh and M. Tahir, Phys. Rev. B71, 035325 (2005). 21. M. Tahir, K. Sabeeh, and A. Mac Kinnon, arXiv: 0808. 0394V3. 22. V.Ya. Prinz, V.A. Seleznev, V.A. Samoylov, and A.K. Guta- kovsky, Microelectr. Eng. 30, 439 (1996). 23. В.П. Драгунов, И.Г. Неизвестный, В.А. Гридчин, Основы наноэлектроники, Логос, Москва (2006). 24. О.П. Волосникова, Д.В. Завьялов, С.В. Крючков, Труды XVII международного совещания «Радиационная физика твердого тела», Севастополь (2007), c. 645. 25. И.О. Кулик, Письма в ЖЭТФ 11, 407 (1970). 26. I.O. Kulik, Fiz. Nizk. Temp. 36, 1057 (2010) [Low Temp. Phys. 36, 841 (2010)]. 27. И.М. Лифшиц, М.Я. Азбель, М.И. Каганов, Электронная теория металлов, Наука, Москва (1971). 28. И.М. Лифшиц, В.Г. Песчанский, ЖЭТФ 35, 1251 (1958); ЖЭТФ 38, 188 (1960). 29. О. Галбова, О.В. Кириченко, В.Г. Песчанский, ФНТ 35, 1034 (2009) [Low Temp. Phys. 35, 810 (2009)]. 30. А.М. Ермолаев, Г.И. Рашба, М.А. Соляник, ФНТ 37, 1033 (2011) [Low Temp. Phys. 37, 824 (2011)]. 31. А.И. Ведерников, А.О. Говоров, А.В. Чаплик, ЖЭТФ 120, 979 (2001). 32. Р.З. Витлина, Л.И. Магарилл, А.В. Чаплик, ЖЭТФ 133, 906 (2008). 33. A.L. Fetter, J.D. Walecka, Quantum Theory of Many-Par- ticle Systems, Mac Graw-Hill, New York (1971). 34. А.М. Ермолаев, Г.И. Рашба, М.А. Соляник, Вісник ХНУ, №865, сер. «Фізика», вип. 12, 21 (2009); А.М. Ермолаев, Г.И. Рашба, М.А. Соляник, ФНТ 37, 1156 (2011) [Low Temp. Phys. 37, 919 (2011)]. 35. O. Sato, Y. Tanaka, M. Kobayashi, and A. Hasegawa, Phys. Rev. B48, 1947 (1993). 36. И.С. Градштейн, И.М. Рыжик, Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, Наука, Москва (1971). 37. Т. Андо, А. Фаулер, Ф. Стерн, Электронные свойства двумерных систем, Мир, Моска (1985). 38. А.А. Звягин, И.В. Кривe, ФНТ 21, 687 (1995) [Low Temp. Phys. 21, 533 (1995)]. 39. А. Эрдейи, Асимптотические разложения, ГИФМЛ, Москва (1962). 40. Ж.И. Алферов, Ю.В. Жиляев, Ю.В. Шмарцев, ФТП 5, 196 (1971). Magnetoplasma waves on the surface of semiconducting nanotube with a superlattice A.M. Ermolaev, G.I. Rashba, and M.A. Solyanik The spectra of plasma waves in the electron gas on the surface of semiconducting nanotube with a superlattice are considered. The external magnetic field is directed along the axis of the nanotube and the superlattice. The analysis of the intraband and interband magnetoplasma waves in the degenerate electron gas is presented in quantum and quasiclassical limits. If a number of angular motion levels are filled up then the magnetoplasmon frequencies oscillate with variation of nanotube parameters similarly to the de Haas–van Alphen oscillations. The frequencies demonstrate also the Aharonov–Bohm oscillations on magnetic flux through the nanotube cross-section. The oscillation pattern is determined by the ratio of the Fermi energy to minizone width. If this ratio is suffi- ciently large the beats appear in the plot of magneto- plasmon frequency as a function of tube parameters. PACS: 73.63.Fg Nanotubes; 73.21.Cd Superlattices; 71.45.–d Collective effects; 73.20.Mf Collective excitations (including plasmons and other charge-density excita- tions). Keywords: nanotube, superlattice, magnetoplasmons, spectrum, beats.

Магнитоплазменные волны на поверхности полупроводниковой нанотрубки со сверхрешеткой

Репозитарії

Схожі ресурси