Квазидвумерные особенности в фононном спектре графита
Детально на микроскопическом уровне проанализирован фононный спектр графита и рассчитаны парциальные вклады в фононную плотность состояний от смещений атомов вдоль слоев и перпендикулярно к ним. Определены основные отличительные особенности фононного спектра графита, обусловленные присущим ему квази...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Физика низких температур |
|---|---|
| Дата: | 2009 |
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2009
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/117277 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Квазидвумерные особенности в фононном спектре графита / И.А. Господарев, К.В. Кравченко, Е.С. Сыркин, С.Б. Феодосьев // Физика низких температур. — 2009. — Т. 35, № 7. — С. 751-758. — Бібліогр.: 30 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-117277 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Господарев, И.А. Кравченко, К.В. Сыркин, Е.С. Феодосьев, С.Б. 2017-05-21T17:36:10Z 2017-05-21T17:36:10Z 2009 Квазидвумерные особенности в фононном спектре графита / И.А. Господарев, К.В. Кравченко, Е.С. Сыркин, С.Б. Феодосьев // Физика низких температур. — 2009. — Т. 35, № 7. — С. 751-758. — Бібліогр.: 30 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 63.20.-e https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/117277 Детально на микроскопическом уровне проанализирован фононный спектр графита и рассчитаны парциальные вклады в фононную плотность состояний от смещений атомов вдоль слоев и перпендикулярно к ним. Определены основные отличительные особенности фононного спектра графита, обусловленные присущим ему квазидвумерным характером распространения фононов, в частности особенность на спектральной плотности, обусловленной смещением атомов вдоль оси c, аналогичная дираковской особенности в электронном спектре графена. Это позволяет прогнозировать общие закономерности изменения фононного и электронного спектров при интеркаляции графита различными металлами, в том числе объяснить изменение температуры сверхпроводящего перехода в интеркалированном графите. Детально на мікроскопічному рівні проаналізовано фононний спектр графіту та розраховано парціальні внески в фононну густину станів від зміщень атомів вздовж шарів та в перпендикулярному до них напрямку. Визначено основні відзначальні особливості фононного спектра графіту, що обумовлені квазідвовимірним характером розповсюдження фононів, зокрема особливість на спектральній густині, що пов'язана зі зміщенням атомів вздовж осі c та є аналогічною до діраківській особливості в електронному спектрі графену. Це дозволяє прогнозувати загальні закономірності зміни фононного та електронного спектрів при інтеркаляції графіту різними металами, в тому числі пояснити зміни температури надпровідного переходу в интеркальованому графіті. The phonon spectrum of graphite is analyzed in details on microscopical level and the partial contributions to the density of phonon states from atomic displacements along and normal to the layers are calculated. Quasi-two-dimensional peculiar features of the graphite phonon spectrum are found, in particular the singularity in the spectral density generated by the atomic displacement along the c-axis which is similar to the Dirac peculiarity in the electron spectrum of graphene. Our calculations make it possibile to forecast the general properties of graphite phonon and electron spectra in the case of intercalation of graphite by different metals and to explain the change of the superconducting transition temperature in the intercalated graphite. Авторы благодарны В.В. Еременко за помощь, поддержку и постоянное внимание к работе. Работа частично поддержана Грантами # 23/07-Н НАН Украины и # 4119 УНТЦ. ru Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України Физика низких температур Динамика кристаллической решетки Квазидвумерные особенности в фононном спектре графита Quasi-two-dimensional peculiar features in graphite phonon spectrum Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Квазидвумерные особенности в фононном спектре графита |
| spellingShingle |
Квазидвумерные особенности в фононном спектре графита Господарев, И.А. Кравченко, К.В. Сыркин, Е.С. Феодосьев, С.Б. Динамика кристаллической решетки |
| title_short |
Квазидвумерные особенности в фононном спектре графита |
| title_full |
Квазидвумерные особенности в фононном спектре графита |
| title_fullStr |
Квазидвумерные особенности в фононном спектре графита |
| title_full_unstemmed |
Квазидвумерные особенности в фононном спектре графита |
| title_sort |
квазидвумерные особенности в фононном спектре графита |
| author |
Господарев, И.А. Кравченко, К.В. Сыркин, Е.С. Феодосьев, С.Б. |
| author_facet |
Господарев, И.А. Кравченко, К.В. Сыркин, Е.С. Феодосьев, С.Б. |
| topic |
Динамика кристаллической решетки |
| topic_facet |
Динамика кристаллической решетки |
| publishDate |
2009 |
| language |
Russian |
| container_title |
Физика низких температур |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Quasi-two-dimensional peculiar features in graphite phonon spectrum |
| description |
Детально на микроскопическом уровне проанализирован фононный спектр графита и рассчитаны парциальные вклады в фононную плотность состояний от смещений атомов вдоль слоев и перпендикулярно к ним. Определены основные отличительные особенности фононного спектра графита, обусловленные присущим ему квазидвумерным характером распространения фононов, в частности особенность на спектральной плотности, обусловленной смещением атомов вдоль оси c, аналогичная дираковской особенности в электронном спектре графена. Это позволяет прогнозировать общие закономерности изменения фононного и электронного спектров при интеркаляции графита различными металлами, в том числе объяснить изменение температуры сверхпроводящего перехода в интеркалированном графите.
Детально на мікроскопічному рівні проаналізовано фононний спектр графіту та розраховано
парціальні внески в фононну густину станів від зміщень атомів вздовж шарів та в перпендикулярному
до них напрямку. Визначено основні відзначальні особливості фононного спектра графіту, що обумовлені квазідвовимірним характером розповсюдження фононів, зокрема особливість на спектральній густині, що пов'язана зі зміщенням атомів вздовж осі c та є аналогічною до діраківській особливості в електронному спектрі графену. Це дозволяє прогнозувати загальні закономірності зміни
фононного та електронного спектрів при інтеркаляції графіту різними металами, в тому числі пояснити зміни температури надпровідного переходу в интеркальованому графіті.
The phonon spectrum of graphite is analyzed in
details on microscopical level and the partial contributions
to the density of phonon states from
atomic displacements along and normal to the layers
are calculated. Quasi-two-dimensional peculiar
features of the graphite phonon spectrum are
found, in particular the singularity in the spectral
density generated by the atomic displacement
along the c-axis which is similar to the Dirac peculiarity
in the electron spectrum of graphene. Our
calculations make it possibile to forecast the general
properties of graphite phonon and electron
spectra in the case of intercalation of graphite by
different metals and to explain the change of the
superconducting transition temperature in the intercalated
graphite.
|
| issn |
0132-6414 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/117277 |
| citation_txt |
Квазидвумерные особенности в фононном спектре графита / И.А. Господарев, К.В. Кравченко, Е.С. Сыркин, С.Б. Феодосьев // Физика низких температур. — 2009. — Т. 35, № 7. — С. 751-758. — Бібліогр.: 30 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT gospodarevia kvazidvumernyeosobennostivfononnomspektregrafita AT kravčenkokv kvazidvumernyeosobennostivfononnomspektregrafita AT syrkines kvazidvumernyeosobennostivfononnomspektregrafita AT feodosʹevsb kvazidvumernyeosobennostivfononnomspektregrafita AT gospodarevia quasitwodimensionalpeculiarfeaturesingraphitephononspectrum AT kravčenkokv quasitwodimensionalpeculiarfeaturesingraphitephononspectrum AT syrkines quasitwodimensionalpeculiarfeaturesingraphitephononspectrum AT feodosʹevsb quasitwodimensionalpeculiarfeaturesingraphitephononspectrum |
| first_indexed |
2025-11-26T08:15:24Z |
| last_indexed |
2025-11-26T08:15:24Z |
| _version_ |
1850618189803683840 |
| fulltext |
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2009, ò. 35, ¹ 7, ñ. 751–758
Êâàçèäâóìåðíûå îñîáåííîñòè â ôîíîííîì ñïåêòðå
ãðàôèòà
È.À. Ãîñïîäàðåâ, Ê.Â. Êðàâ÷åíêî, Å.Ñ. Ñûðêèí, Ñ.Á. Ôåîäîñüåâ
Ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò íèçêèõ òåìïåðàòóð èì. Á.È. Âåðêèíà ÍÀÍ Óêðàèíû
ïð. Ëåíèíà 47, ã. Õàðüêîâ, 61103, Óêðàèíà
E-mail: feodosiev@ilt.kharkov.ua
Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 13 ìàðòà 2009 ã.
Äåòàëüíî íà ìèêðîñêîïè÷åñêîì óðîâíå ïðîàíàëèçèðîâàí ôîíîííûé ñïåêòð ãðàôèòà è ðàññ÷èòàíû
ïàðöèàëüíûå âêëàäû â ôîíîííóþ ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé îò ñìåùåíèé àòîìîâ âäîëü ñëîåâ è ïåðïåíäè-
êóëÿðíî ê íèì. Îïðåäåëåíû îñíîâíûå îòëè÷èòåëüíûå îñîáåííîñòè ôîíîííîãî ñïåêòðà ãðàôèòà, îá-
óñëîâëåííûå ïðèñóùèì åìó êâàçèäâóìåðíûì õàðàêòåðîì ðàñïðîñòðàíåíèÿ ôîíîíîâ, â ÷àñòíîñòè îñî-
áåííîñòü íà ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè, îáóñëîâëåííîé ñìåùåíèåì àòîìîâ âäîëü îñè c, àíàëîãè÷íàÿ
äèðàêîâñêîé îñîáåííîñòè â ýëåêòðîííîì ñïåêòðå ãðàôåíà. Ýòî ïîçâîëÿåò ïðîãíîçèðîâàòü îáùèå çàêî-
íîìåðíîñòè èçìåíåíèÿ ôîíîííîãî è ýëåêòðîííîãî ñïåêòðîâ ïðè èíòåðêàëÿöèè ãðàôèòà ðàçëè÷íûìè
ìåòàëëàìè, â òîì ÷èñëå îáúÿñíèòü èçìåíåíèå òåìïåðàòóðû ñâåðõïðîâîäÿùåãî ïåðåõîäà â èíòåðêàëè-
ðîâàííîì ãðàôèòå.
Äåòàëüíî íà ì³êðîñêîï³÷íîìó ð³âí³ ïðîàíàë³çîâàíî ôîíîííèé ñïåêòð ãðàô³òó òà ðîçðàõîâàíî
ïàðö³àëüí³ âíåñêè â ôîíîííó ãóñòèíó ñòàí³â â³ä çì³ùåíü àòîì³â âçäîâæ øàð³â òà â ïåðïåíäèêóëÿðíîìó
äî íèõ íàïðÿìêó. Âèçíà÷åíî îñíîâí³ â³äçíà÷àëüí³ îñîáëèâîñò³ ôîíîííîãî ñïåêòðà ãðàô³òó, ùî îáó-
ìîâëåí³ êâàç³äâîâèì³ðíèì õàðàêòåðîì ðîçïîâñþäæåííÿ ôîíîí³â, çîêðåìà îñîáëèâ³ñòü íà ñïåêòðàëü-
í³é ãóñòèí³, ùî ïîâ'ÿçàíà ç³ çì³ùåííÿì àòîì³â âçäîâæ îñ³ c òà º àíàëîã³÷íîþ äî ä³ðàê³âñüê³é îñîáëè-
âîñò³ â åëåêòðîííîìó ñïåêòð³ ãðàôåíó. Öå äîçâîëÿº ïðîãíîçóâàòè çàãàëüí³ çàêîíîì³ðíîñò³ çì³íè
ôîíîííîãî òà åëåêòðîííîãî ñïåêòð³â ïðè ³íòåðêàëÿö³¿ ãðàô³òó ð³çíèìè ìåòàëàìè, â òîìó ÷èñë³ ïîÿñíè-
òè çì³íè òåìïåðàòóðè íàäïðîâ³äíîãî ïåðåõîäó â èíòåðêàëüîâàíîìó ãðàô³ò³.
PACS: 63.20.–e Ôîíîíû â êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêå.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ôîíîííûé ñïåêòð, çàêîí äèñïåðñèè ôîíîíîâ, èçãèáíàÿ æåñòêîñòü, êâàçèäâóìåðíûå
êðèñòàëëû, ãðàôåí, ãðàôèò.
Ââåäåíèå
Ãðàôèò è ñîåäèíåíèÿ íà åãî îñíîâå â ïîñëåäíåå
âðåìÿ âûçûâàþò ê ñåáå ïîâûøåííîå âíèìàíèå êàê
îáúåêò ôóíäàìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé, òàê è â êà÷åñ-
òâå, âîçìîæíî, íàèáîëåå ïåðñïåêòèâíûõ ìàòåðèàëîâ
ñîâðåìåííûõ òåõíîëîãèé (â ÷àñòíîñòè, íàíîòåõíîëî-
ãèé, ñì., íàïðèìåð, îáçîðû [1–4]). Ñëîèñòàÿ ñòðóêòóðà
ãðàôèòà ïðîÿâëÿåòñÿ â òàêèõ ëþáîïûòíûõ ÿâëåíèÿõ
êàê êâàíòîâûé ýôôåêò Õîëëà [5] è äèðàêîâñêàÿ äèñ-
ïåðñèÿ ýëåêòðîíîâ â ãðàôåíîâûõ ìîíîñëîÿõ [6].
Âàæíîé îñîáåííîñòüþ ãðàôèòîâûõ ñîåäèíåíèé
(îñîáåííî èíòåðêàëèðîâàííûõ ìåòàëëàìè) ÿâëÿåòñÿ
ñâÿçü ìåæäó ýëåêòðîííûìè ñâîéñòâàìè è ïàðàìåòðà-
ìè, îïðåäåëÿþùèìè äèíàìèêó ðåøåòêè (ñîîòíîøåíè-
åì ìàññ àòîìîâ, êîòîðûå îáðàçóþò äàííóþ ñòðóêòóðó,
è âçàèìîäåéñòâèåì ìåæäó íèìè). Ïîä äåéñòâèåì ìå-
õàíè÷åñêèõ äåôîðìàöèé ìåæàòîìíûå âçàèìîäåéñòâèÿ
ñóùåñòâåííî ìåíÿþòñÿ, â ðåçóëüòàòå èçìåíÿåòñÿ íå
òîëüêî ôîíîííûé ñïåêòð, íî è òàêèå âàæíûå õàðàêòå-
ðèñòèêè ýëåêòðîííîé ñèñòåìû ãðàôèòîâûõ ñòðóêòóð,
êàê øèðèíà çàïðåùåííîé çîíû è êîíöåíòðàöèÿ íîñè-
òåëåé. Áëàãîäàðÿ ýòîìó ñîåäèíåíèÿ íà îñíîâå ãðàôèòà
ÿâëÿþòñÿ ýôôåêòèâíûìè ïðåîáðàçîâàòåëÿìè ìåõàíè-
÷åñêîãî äâèæåíèÿ â ýëåêòðè÷åñêèé ñèãíàë, ÷òî äåëàåò
èõ óíèêàëüíûìè ýëåìåíòàìè íàíîýëåêòðîìåõàíè÷åñ-
êèõ ñèñòåì.
Êðîìå òîãî, ïðèñóùàÿ ãðàôèòó òåñíàÿ ñâÿçü ýëåê-
òðîííûõ è êîëåáàòåëüíûõ ñâîéñòâ ñêàçûâàåòñÿ íà
ïðîâîäèìîñòè è ïåðåõîäå â ñâåðõïðîâîäÿùåå ñîñòîÿ-
íèå ãðàôèòà ñ äåôåêòàìè, â ÷àñòíîñòè, èíòåðêàëèðî-
© È.À. Ãîñïîäàðåâ, Ê.Â. Êðàâ÷åíêî, Å.Ñ. Ñûðêèí, Ñ.Á. Ôåîäîñüåâ, 2009
âàííîãî ìåòàëëàìè [7–13]. Òàê, òåìïåðàòóðà ñâåðõ-
ïðîâîäÿùåãî ïåðåõîäà â çàâèñèìîñòè îò òèïà
ìåòàëëè÷åñêîãî èíòåðêàëÿòà èçìåíÿåòñÿ îò 6,5 Ê äëÿ
C 6Yb äî 11,5 Ê äëÿ Ñ 6Ca [12,13]. Ïîñêîëüêó â ôîðìè-
ðîâàíèè ñâåðõïðîâîäÿùåãî ñîñòîÿíèÿ êàê â «îáû÷-
íûõ» ñâåðõïðîâîäíèêàõ, òàê è â ñâåðõïðîâîäíèêàõ
ñ âûñîêîé òåìïåðàòóðîé ñâåðõïðîâîäÿùåãî ïåðåõîäà,
îñíîâíóþ ðîëü èãðàåò ýëåêòðîí-ôîíîííîå âçàèìîäå-
éñòâèå [14], íåò îñíîâàíèÿ ñ÷èòàòü ìåõàíèçì ñâåðõ-
ïðîâîäèìîñòè â èíòåðêàëèðîâàííîì ãðàôèòå îòëè÷-
íûì îò ÁÊØ. Îñîáåííîñòè ïîâåäåíèÿ Tc â òàêèõ
ñîåäèíåíèÿõ äîëæíû îïðåäåëÿòüñÿ ãëàâíûì îáðàçîì
îñîáåííîñòÿìè èõ ôîíîííîãî ñïåêòðà, ïîñêîëüêó çà-
ìåòíîå îòëè÷èå â ïîâåäåíèè ýëåêòðîííûõ ñïåêòðîâ
C6Yb è Ñ 6Ca ìàëîâåðîÿòíî.
Ïîýòîìó, ÷òîáû âûÿñíèòü, êàêèì îáðàçîì ìåíÿþò-
ñÿ ôîíîííûé è ýëåêòðîííûé ñïåêòðû ïðè èíòåðêàëÿ-
öèè ãðàôèòà ðàçëè÷íûìè ìåòàëëàìè è îïðåäåëèòü
çàâèñèìîñòü ýòèõ èçìåíåíèé îò äèíàìè÷åñêèõ ïàðà-
ìåòðîâ óãëåðîäà è èíòåðêàëèðîâàííîãî ìåòàëëà, íåîá-
õîäèìî äåòàëüíî íà ìèêðîñêîïè÷åñêîì óðîâíå ïðî-
àíàëèçèðîâàòü ôîíîííûé ñïåêòð ÷èñòîãî ãðàôèòà.
2. Êðèñòàëëè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà ãðàôèòà è
õàðàêòåð ñèëîâûõ ñâÿçåé ìåæäó àòîìàìè
Ñèëüíî àíèçîòðîïíûé ñëîèñòûé êðèñòàëë ãðàôèòà
(ñì. ðèñ. 1) ñîñòîèò èç òàê íàçûâàåìûõ ãðàôåíîâûõ
ìîíîñëîåâ, àòîìû êîòîðûõ îáðàçóþò ïðàâèëüíûå
øåñòèóãîëüíèêè. Òàêàÿ äâóìåðíàÿ ðåøåòêà ÿâëÿåòñÿ
ñëîæíîé, ñôîðìèðîâàííîé äâóìÿ ïëîòíî óïàêîâàííû-
ìè 2D-òðåóãîëüíûìè ïîäðåøåòêàìè (� è �), ïðè÷åì
àòîìû îäíîé èç íèõ ðàñïîëîæåíû â öåíòðàõ òÿæåñòè
òðåóãîëüíèêîâ äðóãîé ïîäðåøåòêè. Âåêòîðû Áðàâå,
ëåæàùèå â áàçèñíîé ïëîñêîñòè, ìîãóò áûòü âûáðàíû
êàê
R1 0
3
2
1
2
0=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟a ; ; è R 2 0
3
2
1
2
0= −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟a ; ; ,
ïàðàìåòð a0 2 45≈ , �. Ïåðèîä ðåøåòêè âäîëü îñè c ðàâåí
óäâîåííîìó ìåæñëîåâîìó ðàññòîÿíèþ R 3 0 0 0 1= c ( ; ; ),
ïàðàìåòð c0 6 7≈ , �. Òàêèì îáðàçîì, ýëåìåíòàðíàÿ
ÿ÷åéêà ãðàôèòà ñîäåðæèò ÷åòûðå àòîìà.
Îòìåòèì, ÷òî â 2D-ðåøåòêå ãðàôåíà, ñîäåðæàùåé
äâà àòîìà â ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêå, àòîìû ðàçíûõ ïîä-
ðåøåòîê ôèçè÷åñêè ýêâèâàëåíòíû. Ëîêàëüíûå ôóíê-
öèè Ãðèíà, õàðàêòåðèçóþùèå âêëàäû êàæäîãî èç àòî-
ìîâ â ôîíîííóþ ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé (DOS) è
êîëåáàòåëüíûå õàðàêòåðèñòèêè, îäèíàêîâû äëÿ
àòîìîâ ðàçëè÷íûõ ïîäðåøåòîê:
� �
( ( )• ( ) ( )) = °ω ω .
 ðåøåòêå ãðàôèòà äàííàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü íàðóøà-
åòñÿ èç-çà ðàçëè÷èÿ ìåæñëîåâûõ âçàèìîäåéñòâèé êàæ-
äîãî èç íèõ. Äåéñòâèòåëüíî, êàê õîðîøî âèäíî íà
ðèñ. 1, àòîìû ðàçíûõ ïîäðåøåòîê èç áàçèñíîé ïëîñ-
êîñòè ïî ðàçíîìó ðàñïîëîæåíû ïî îòíîøåíèþ ê àòî-
ìàì ñîñåäíèõ ïëîñêîñòåé è, ñëåäîâàòåëüíî, ïî ðàç-
íîìó ñ íèìè âçàèìîäåéñòâóþò. Êàæäûé èç àòîìîâ
ïîäðåøåòêè (�) èìååò â áëèæàéøèõ ñëîÿõ äâà ñîñåä-
íèõ àòîìà èç òîé æå ïîäðåøåòêè, íàõîäÿùèõñÿ íà
ðàññòîÿíèè r c /4 0 2 3 35= ≈ , �, è øåñòü ñîñåäíèõ àòî-
ìîâ èç ïîäðåøåòêè (�), íàõîäÿùèõñÿ íà ðàññòîÿíèè
r r r5 1
2
4
2 3 64= + ≈ , �, à êàæäûé èç àòîìîâ ïîäðåøåòêè
(�) — äâåíàäöàòü ñîñåäíèõ àòîìîâ, íàõîäÿùèõñÿ íà
ðàññòîÿíèè r5 (øåñòü èç ïîäðåøåòêè (�) è øåñòü èç
ïîäðåøåòêè (�)). Òî åñòü àòîìû ðàçíûõ ïîäðåøåòîê
îäíîãî ãðàôåíîâîãî ìîíîñëîÿ, íàõîäÿùåãîñÿ â ðåøåò-
êå ãðàôèòà, ôèçè÷åñêè íåýêâèâàëåíòíû: áóäóò îòëè-
÷àòüñÿ äðóã îò äðóãà ñîîòâåòñòâóþùèå ýòèì àòîìàì
ëîêàëüíûå ôóíêöèè Ãðèíà è îïðåäåëÿåìûå èìè êîëå-
áàòåëüíûå õàðàêòåðèñòèêè, òàêèå, íàïðèìåð, êàê ñðåä-
íåêâàäðàòè÷íûå ñìåùåíèÿ ýòèõ àòîìîâ âäîëü ðàçëè÷-
íûõ êðèñòàëëîãðàôè÷åñêèõ íàïðàâëåíèé.
Ïðèñóùàÿ ãðàôèòó ñèëüíàÿ àíèçîòðîïèÿ ìåæàòîì-
íîãî âçàèìîäåéñòâèÿ è óïðóãèõ ñâîéñòâ îáóñëîâëåíà
êàê ñóùåñòâåííûì ðàçëè÷èåì ðàññòîÿíèé ìåæäó áëè-
æàéøèìè ñîñåäÿìè â ïëîñêîñòè ñëîÿ è â ñîñåäíèõ
ñëîÿõ, òàê è ðàçíûì òèïîì ñèëîâûõ ñâÿçåé âäîëü ðàç-
ëè÷íûõ êðèñòàëëîãðàôè÷åñêèõ íàïðàâëåíèé. Òàê,
ìåæäó áëèæàéøèìè ñîñåäÿìè â áàçèñíîé ïëîñêîñòè,
íàõîäÿùèìèñÿ íà ðàññòîÿíèè r a /1 0 3 1 415= ≈ , �,
âçàèìîäåéñòâèå ÿâëÿåòñÿ êîâàëåíòíûì, à ìåæäó
àòîìàìè, íàõîäÿùèìèñÿ íà ðàññòîÿíèÿõ r a2 0= è
r a /3 02 3 2 83= ≈ , � (âòîðûå è òðåòüè ñîñåäè â áàçèñ-
752 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2009, ò. 35, ¹ 7
È.À. Ãîñïîäàðåâ, Ê.Â. Êðàâ÷åíêî, Å.Ñ. Ñûðêèí, Ñ.Á. Ôåîäîñüåâ
r1
r2
r3
r4
r5
Ðèñ. 1. Ñòðóêòóðà ðåøåòêè ãðàôèòà [15].
íîé ïëîñêîñòè), à òàêæå ìåæäó àòîìàìè, ëåæàùèìè â
ñîñåäíèõ ñëîÿõ íà ðàññòîÿíèÿõ r4 è r5 äðóã îò äðóãà, —
âàí-äåð-âààëüñîâûì. Êðîìå òîãî, ãðàôèò îáëàäàåò ìå-
òàëëè÷åñêîé ïðîâîäèìîñòüþ, êîòîðàÿ ïðèâîäèò ê íå-
êîòîðîé ìîäèôèêàöèè ìåæàòîìíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ,
ãëàâíûì îáðàçîì ìåæäó áëèæàéøèìè ñîñåäÿìè.
3. Ìåæàòîìíûå âçàèìîäåéñòâèÿ â ãðàôèòå
Êàê îáû÷íî, óðàâíåíèÿ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé
àòîìîâ êðèñòàëëà çàïèøåì â âèäå
m u ui ik
k
kω 2 ( ) ( , ) ( )
,
r r r r
r
= ′ ′
′
∑Φ . (1)
 (1) Φ ik ( , )r r′ — ìàòðèöà ñèëîâûõ ïîñòîÿííûõ, îïè-
ñûâàþùàÿ âçàèìîäåéñòâèå àòîìîâ, ðàñïîëîæåííûõ â
òî÷êàõ ñ ðàäèóñ-âåêòîðàìè r è r′
Φ ik
i k
U
u u
( , )
( ) ( )
r r
r r
′ = ∂
∂ ∂ ′
2
,
ãäå U — ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ êðèñòàëëè÷åñêîé ðå-
øåòêè; u — âåêòîð ñìåùåíèÿ àòîìà èç ïîëîæåíèÿ ðàâ-
íîâåñèÿ.
Ïîñêîëüêó â êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêå ãðàôèòà êî-
îðäèíàòà z è êîîðäèíàòû áàçèñíîé ïëîñêîñòè xy ïðå-
îáðàçóþòñÿ ïî ðàçíûì íåïðèâîäèìûì ïðåäñòàâëå-
íèÿì òî÷å÷íîé ãðóïïû ñèììåòðèè êðèñòàëëà D h6 ,
ìàòðèöû ñèëîâûõ ïîñòîÿííûõ â íàèáîëåå îáùåì âèäå
ìîæíî çàïèñàòü êàê Φ Φ Φik ik ik( , ) ( ) ( )r r r r′ = − ′ ≡ Δ è
ïðåäñòàâèòü â âèäå
Φ Δ
Δ Δ
Δ
Δ Δ
ik iz kz
i k
x ik z
( ) ( ) ( )
( ) ( )
Δ = − − +⎡
⎣⎢
+ ⎤
⎦⎥
−
1
2
δ δ α
β δ β δ δiz kz . (2)
Ïàðàìåòðα( )Δ õàðàêòåðèçóåò öåíòðàëüíîå, à ïàðàìåò-
ðû βx ( )Δ è β z ( )Δ — íåöåíòðàëüíîå âçàèìîäåéñòâèå
ìåæäó àòîìàìè.
Ïðè îïèñàíèè âíóòðèñëîåâîãî âçàèìîäåéñòâèÿ
ñëåäóåò ó÷èòûâàòü, êàê ìèíèìóì, âçàèìîäåéñòâèå
ïåðâûõ, âòîðûõ è òðåòüèõ ñîñåäåé (öåíòðàëüíîå è íå-
öåíòðàëüíîå) [16]. Ïðè îïèñàíèè ñëàáîãî ìåæñëîåâî-
ãî âçàèìîäåéñòâèÿ åñòåñòâåííî îãðàíè÷èòüñÿ âçàèìî-
äåéñòâèåì àòîìîâ èç áëèæàéøèõ äðóã ê äðóãó ñëîåâ.
Äëÿ áëèæàéøèõ ñîñåäåé â áàçèñíîé ïëîñêîñòè
(Δ = r1), âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó êîòîðûìè îïðåäåëÿåò-
ñÿ ñóïåðïîçèöèåé êîâàëåíòíîé è ìåòàëëè÷åñêîé ñâÿ-
çåé, ìàòðèöû (2) áóäóò õàðàêòåðèçîâàòüñÿ òðåìÿ ïàðà-
ìåòðàìè. Ìåæäó áîëåå óäàëåííûìè ñîñåäÿìè (Δ = r2,
r3, r4 è r5) ìåæàòîìíîå âçàèìîäåéñòâèå ìîæíî ñ÷èòàòü
âàí-äåð-âààëüñîâûì è îïèñûâàòü ïàðíûì èçîòðîïíûì
ïîòåíöèàëîì. Ñîîòâåòñòâóþùèå ìàòðèöû ñèëîâûõ
ïîñòîÿííûõ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå (2) ïðè
β βz x( ) ( )Δ Δ= .
Ñèëüíàÿ àíèçîòðîïèÿ ìåæàòîìíîãî âçàèìîäåé-
ñòâèÿ îáóñëîâëèâàåò ðÿä õàðàêòåðíûõ îòëè÷èòåëüíûõ
îñîáåííîñòåé â ïîâåäåíèè ôîíîííûõ ñïåêòðîâ è êîëå-
áàòåëüíûõ õàðàêòåðèñòèê (ñì., íàïðèìåð, [17]). Òàê,
óïðóãèå ìîäóëè C 33 è C 44 , ñâÿçàííûå ñî ñìåùåíèÿìè
âäîëü îñè c è îïðåäåëÿþùèå ñêîðîñòè çâóêà, ðàñïðî-
ñòðàíÿþùåãîñÿ èëè ïîëÿðèçîâàííîãî âäîëü äàííîãî
íàïðàâëåíèÿ, â 30–300 ðàç ìåíüøå óïðóãèõ ìîäóëåé
C11 è C 66, îïðåäåëÿþùèõ ñêîðîñòè çâóêà, ðàñïðîñòðà-
íÿþùåãîñÿ è ïîëÿðèçîâàííîãî â áàçèñíûõ ïëîñêîñòÿõ
[15,18]. Ïîýòîìó, åñëè áû ðàñïðîñòðàíåíèå â áàçèñ-
íîé ïëîñêîñòè ab êîëåáàíèé, ïîëÿðèçîâàííûõ âäîëü c,
ïðè ìàëûõ ÷àñòîòàõ èìåëî áû õàðàêòåð çâóêîâîé, à íå
êâàçèèçãèáíîé âîëíû, ñðåäíåêâàäðàòè÷íûå ñìåùåíèÿ
àòîìîâ â äàííîì íàïðàâëåíèè óæå ïðè íèçêèõ òåìïå-
ðàòóðàõ ïðèîáðåëè áû çíà÷åíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå
ïëàâëåíèþ êðèñòàëëà. Òî åñòü óæå ñàì ôàêò ñóùåñòâî-
âàíèÿ òâåðäîãî ãðàôèòà ïðè êîìíàòíûõ òåìïåðàòóðàõ
ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî äàííûå êîëåáàíèÿ ñó-
ùåñòâåííûì îáðàçîì îïðåäåëÿþòñÿ âîçâðàùàþùèìè
ñèëàìè, êîòîðûå äåéñòâóþò íà àòîì ñî ñòîðîíû äðó-
ãèõ àòîìîâ, ëåæàùèõ â îäíîì ñ íèì ñëîå. Ýòè âîçâðà-
ùàþùèå ñèëû îáóñëîâëåíû íåöåíòðàëüíûì ìåæ-
àòîìíûì âçàèìîäåéñòâèåì è ñâèäåòåëüñòâóþò î
íàëè÷èè óïðóãèõ íàïðÿæåíèé â ãðàôåíîâûõ ñëîÿõ,
êîòîðûå ôîðìèðóþò êðèñòàëëè÷åñêóþ ðåøåòêó ãðà-
ôèòà.
 äëèííîâîëíîâîé îáëàñòè çàêîí äèñïåðñèè ïîïå-
ðå÷íîé ôîíîííîé ìîäû ωTA⊥ ( )k ñèëüíî àíèçîòðîïíî-
ãî ñëîèñòîãî êðèñòàëëà, ÷àñòîòà êîòîðîé îáðàùàåòñÿ â
íóëü ïðè k = 0 è ñîîòâåòñòâóåò êîëåáàíèÿì, ðàñïðîñ-
òðàíÿþùèìñÿ â ïëîñêîñòè ab è ïîëÿðèçîâàííûì
âäîëü îñè c (òî åñòü êâàçèèçãèáíîé ìîäû), áóäåò èìåòü
âèä
ω
ρ
κ
TA
C
k
m
k
⊥
≈ +2 44 2 4 . (3)
Çäåñü ρ — ïëîòíîñòü ãðàôèòà; V0 — óäåëüíûé îáúåì,
ïðèõîäÿùèéñÿ íà îäèí àòîì; m V= ρ 0 — ìàññà àòîìà
óãëåðîäà, êîýôôèöèåíò κ õàðàêòåðèçóåò èçãèáíóþ
æåñòêîñòü ñëîåâ. Îáóñëîâëåííîå âòîðûì ñëàãàåìûì â
(3) õàðàêòåðíîå êâàçèèçãèáíîå èñêðèâëåíèå äëèííî-
âîëíîâîé ÷àñòè äèñïåðñèîííîé êðèâîé TA⊥ îò÷åòëèâî
âèäíî íà âåðõíåì ôðàãìåíòå ðèñ. 2, ïðåäñòàâëÿþùåì
ðåçóëüòàòû ýêñïåðèìåíòà ïî íåóïðóãîìó ðàññåÿíèþ
íåéòðîíîâ, â êîòîðîì áûëè ïîëó÷åíû ôîíîííûå äèñ-
ïåðñèîííûå êðèâûå ãðàôèòà â îáëàñòè íèçêèõ ÷àñòîò
[15]. Íà íèæíåì ôðàãìåíòå ýòîãî ðèñóíêà ïðåäñòàâëå-
íû äèñïåñèîííûå êðèâûå âûñîêî÷àñòîòíûõ ôîíîíîâ,
îïðåäåëåííûå â ýêñïåðèìåíòå ïî íåóïðóãîìó ðàññåÿ-
íèþ ðåíòãåíîâñêèõ ëó÷åé [20].
Êâàçèäâóìåðíûå îñîáåííîñòè â ôîíîííîì ñïåêòðå ãðàôèòà
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2009, ò. 35, ¹ 7 753
 [16] îïðåäåëåíà ñâÿçü èçãèáíîé æåñòêîñòè ñ ñè-
ëîâûìè êîíñòàíòàìè, êîòîðûå îïèñûâàþò íåöåí-
òðàëüíîå ìåæàòîìíîå âçàèìîäåéñòâèå àòîìîâ óãëåðî-
äà. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ ðàâíîâåñèÿ ïëîñêîãî
ñëîÿ, èìåþùåãî äëÿ èçîëèðîâàííîãî ãðàôåíîâîãî ìî-
íîñëîÿ âèä β β β1 2 36 4 0z + + = , èçãèáíóþ æåñòêîñòü κ
ìîæíî çàïèñàòü êàê
κ
β β
β β
6β β
= ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
−
= ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+a
m
a
m
z
z
z0
2
1
2
2
2
1 2
2
3 1
8
36
2 8( )
6 3
1 3
β
β β( )
.
z +
(4)
 (4) è äàëåå ïðèíÿòû îáîçíà÷åíèÿ α α( )ri i≡ ;
β βx xr( )1 1≡ ; β βz zr( )1 1≡ ; β β( )ri i≥ ≡2 (i = 1 5, ..., ). Èç (4)
ñëåäóåò, ÷òî èçãèáíàÿ æåñòêîñòü ãðàôåíîâûõ ñëîåâ íå
ìîæåò áûòü îïèñàíà â ðàìêàõ ìîäåëè, ó÷èòûâàþùåé
âçàèìîäåéñòâèå ïåðâûõ è âòîðûõ ñîñåäåé, êîòîðàÿ õî-
ðîøî îïèñûâàåò èçãèáíóþ æåñòêîñòü òðåóãîëüíûõ
(ñì., íàïðèìåð, [21]) èëè êâàäðàòíûõ [22] 2D-ðåøå-
òîê. Â òàêîé ìîäåëè èçãèáíàÿ æåñòêîñòü ãðàôèòà îáðà-
òèòñÿ â íóëü, â òî âðåìÿ êàê èç âûøåèçëîæåííîãî ñëå-
äóåò, ÷òî äàííàÿ õàðàêòåðèñòèêà ãðàôèòå äîñòàòî÷íî
âåëèêà. Ïîýòîìó äëÿ àäåêâàòíîãî àíàëèçà íà ìèêðî-
ñêîïè÷åñêîì óðîâíå êîëåáàòåëüíûõ õàðàêòåðèñòèê
ãðàôèòà ïðè îïèñàíèè âíóòðèñëîåâîãî âçàèìîäåé-
ñòâèÿ ñëåäóåò ó÷èòûâàòü âçàèìîäåéñòâèå êàê ìèíè-
ìóì ïåðâûõ, âòîðûõ è òðåòüèõ ñîñåäåé. Ôîíîííûé
ñïåêòð ãðàôèòà â ïðåäëîæåííîé ìîäåëè îïèñûâàeòñÿ
ñ ïîìîùüþ îäèííàäöàòè ñèëîâûõ ïîñòîÿííûõ: ïÿòè,
îïèñûâàþùèõ öåíòðàëüíîå, è øåñòè — íåöåíòðàëü-
íîå âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó àòîìàìè.
Îïðåäåëèì ýòè ñèëîâûå êîíñòàíòû èç èçâåñòíûõ
ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ ïî óïðóãèì ñâîéñòâàì
ãðàôèòà è äèñïåðñèè ôîíîíîâ â ýòîì âåùåñòâå
[15,18,20].
4. Îïðåäåëåíèå ñèëîâûõ ïîñòîÿííûõ
Óïðóãèå ìîäóëè êðèñòàëëà ñâÿçàíû ñ åãî ñòðóêòó-
ðîé è ìàòðèöåé ñèëîâûõ ïîñòîÿííûõ ñëåäóþùèìè ñî-
îòíîøåíèÿìè (ñì., íàïðèìåð, [21]):
c b b b
b
V
iklm imkl kmil lmki
iklm ik l m
= + +
= −
⎧
⎨ ∑
;
( ) .
1
2 0
Φ Δ Δ
Δ
Δ
⎪
⎩⎪
(5)
Ïîýòîìó íà îñíîâå ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ ïî
îïðåäåëåíèþ ïÿòè íåçàâèñèìûõ óïðóãèõ ìîäóëåé
ãðàôèòà (C11, C 66, C 33, C13 è C 44) ìîæíî ïîëó÷èòü
ïÿòü èç îäèííàäöàòè íåîáõîäèìûõ óðàâíåíèé äëÿ
îïðåäåëåíèÿ ñèëîâûõ ïîñòîÿííûõ ïðåäëîæåííîé ìî-
äåëè.
Êðîìå òîãî, ïîñêîëüêó êîîðäèíàòû áàçèñíîé ïëîñ-
êîñòè ab è âäîëü îñè c ïðåîáðàçóþòñÿ ïî ðàçíûì
íåïðèâîäèìûì ïðåäñòàâëåíèÿì òî÷å÷íîé ãðóïïû
ñèììåòðèè ãðàôèòà D h6 , óñëîâèå ñèììåòðèè òåíçîðà
ciklm îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè ïàð èíäåêñîâ
( )c ciklm lmik= , êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ óñëîâèåì ïåðåõîäà â
äèííîâîëíîâîì ïðåäåëå óðàâíåíèé äèíàìèêè ðåøåò-
êè (2) â óðàâíåíèÿ òåîðèè óïðóãîñòè [21], íå ñëåäóåò
èç âûðàæåíèé (5) òîæäåñòâåííî (êàê, íàïðèìåð, äëÿ
êðèñòàëëîâ êóáè÷åñêîé ñèììåòðèè), à ÿâëÿåòñÿ äî-
ïîëíèòåëüíûì ñîîòíîøåíèåì ìåæäó ñèëîâûìè
ïîñòîÿííûìè è ïàðàìåòðàìè ðåøåòêè. Â ïðåäëîæåí-
íîé ìîäåëè ýòî ñîîòíîøåíèå èìååò âèä:
β β β β β1 2 3
1
2 4
2
4 1
2
4
2
56 4
2
3
9 2z
r
r r r+ + = − −[ ( ) ] . (6)
754 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2009, ò. 35, ¹ 7
È.À. Ãîñïîäàðåâ, Ê.Â. Êðàâ÷åíêî, Å.Ñ. Ñûðêèí, Ñ.Á. Ôåîäîñüåâ
L0
L0
LAT0
TA
LA
T0
TA
[001] [100]
A Ã
ÃÃ
M
M
1
2
a á
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
×
àñ
òî
òà
,
Ò
Ã
ö
×
àñ
òî
òà
,
Ò
Ã
ö
0,4 0,2 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
z
( )II
( )I
24
30
36
42
48
(III)
(IV)
⊥
⊥
k, 2 /aπ 0 k, 4 /π
200
175
150
125
100
K
Âîëíîâîé âåêòîð
Ý
í
åð
ãè
ÿ
ô
î
í
î
í
î
â
,
ì
ýÂ
Ðèñ. 2. Ôîíîííûå äèñïåðñèîííûå êðèâûå ãðàôèòà: âåðõ-
íèé ôðàãìåíò — äàííûå ïî íåóïðóãîìó ðàññåÿíèè íåé-
òðîíîâ, îïèñûâàþùèå íèçêî÷àñòîòíûé äèàïàçîí ñïåêòðà
[15]; íèæíèé ôðàãìåíò — äàííûå ïî íåóïðóãîìó ðàññåÿ-
íèþ ðåíòãåíîâñêèõ ëó÷åé [20], îïèñûâàþùèå âûñîêî÷àñ-
òîòíûé äèàïàçîí.
Ñ ó÷åòîì (6) èç (5) äëÿ óïðóãèõ ìîäóëåé ãðàôèòà ïîëó-
÷àåì ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ:
C
r
r
r
x
11
4
1 2 3
1 2 3
1
2
5
2
3
12
3 6 4
4 6 4
9
= + + +⎡
⎣⎢
+ + + +
( )
( )
α α α
β β β α 5 512+
⎤
⎦
⎥
⎥
β ; (7)
C
r
r
r
x
66
4
1 2 3
1 2 3
1
2
5
2 5
3
12
6 4
4 6 4
3
1
= + + +⎡
⎣⎢
+ + + + +
α α α
β β β α( ) 2 5β
⎤
⎦
⎥
⎥
; (8)
C
r
r
r
r
33
4
1
2 4
4
2
5
2 5 4 5
2 3
9
9
9= + + +
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟α α β β ; (9)
C r
r r
44 4
5
5
2
4 5
1
2
3
2 9
9
= +
+⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
α β β( )
; (10)
C r
r r
13 4
5
5
2
4 5
1
2
3
2 9
9
= −
+⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
α β β( )
. (11)
Îïðåäåëåííûå ýêñïåðèìåíòàëüíî çíà÷åíèÿ óïðóãèõ
ìîäóëåé ãðàôèòà ïðèâåäåíû â òàáë. 1.
Òàáëèöà 1. Óïðóãèå ìîäóëè ãðàôèòà
Èñòî÷íèê
C11 C66 C33 C44 C13
1011äèí / cì 2
[15] 106 2± 44 2± 3 65 01, ,± 0 4 0 04, ,± —
[19] 106 44 3,7 0 37 0 02, ,± 1,5
×åòûðå èç ïÿòè óïðóãèõ ìîäóëåé (C11, C 66, C 33 è
C 44) îïðåäåëÿþò ñêîðîñòè çâóêà âäîëü âûñîêîñèììåò-
ðè÷íûõ êðèñòàëëîãðàôè÷åñêèõ íàïðàâëåíèé è íàäåæ-
íî îïðåäåëÿþòñÿ â àêóñòè÷åñêèõ ýêñïåðèìåíòàõ, ÷òî
ïîäòâåðæäàåòñÿ õîðîøèì ñîâïàäåíèåì çíà÷åíèé ýòèõ
âåëè÷èí, ïîëó÷åííûõ â [15] è [18]. Óïðóãèé ìîäóëü
C13 îïðåäåëÿþò áîëåå ñëîæíûìè ñïîñîáàìè (íàïðè-
ìåð, ïî èçìåðåíèþ ìîäóëÿ Þíãà è êîýôôèöèåíòà Ïó-
àññîíà), ÷òî, ó÷èòûâàÿ ìàëîñòü ýòîé âåëè÷èíû, ïðèâî-
äèò ê ðàñõîæäåíèÿì åãî çíà÷åíèé ïîðÿäêà ñàìîé åãî
âåëè÷èíû. Ïîýòîìó èñïîëüçîâàòü äëÿ îïðåäåëåíèÿ
ñèëîâûõ ïîñòîÿííûõ óðàâíåíèå (11) ïðàêòè÷åñêè
íåâîçìîæíî.
Íåäîñòàþùèå óðàâíåíèÿ ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû ïî
íåéòðîíîãðàôè÷åñêèì äàííûì [15], äàííûì ïî ðàìà-
íîâñêîìó ðàññåÿíèþ [23] è äàííûì ïî íåóïðóãîìó
ðåíòãåíîâñêîìó ðàññåÿíèþ [20]. Òàê, äëÿ ÷àñòîò
ωTO ( )Γ è ωLO ( )Γ (ñì. ðèñ. 2) â ïðåäëîæåííîé ìîäåëè
ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ:
m Q T Q TTOω β β β2
4 4
2
4
22 2 2 2( ) ( ) ( ) ;Γ = + + − − + −
(12)
m G F R G F F RLOω 2 2 22( ) ( ) ( )Γ = + + − − + −
(13)
(m — ìàññà àòîìà óãëåðîäà). Â (12) è (13) ââåäåíû îáî-
çíà÷åíèÿ:
Q
T
r
r
G
x≡
+
+ +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
≡ +
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
≡
3
2
3 2
2
1 3
1 3
1
2
5
5 5
α α
β β
α β
;
;
(α β
α β
β β β
4 4
4
2
5
5 5
2 3
4
2
1
2
3 2
6 12 2
+
≡ +
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
≡ − − +
) ;
;F
r
r
R
r
r
4
4
2
1
2
1
2 59
2
+
−r r
r
β .
 [15] ïîëó÷åíî:ω /2πTO ≈ 1 44, ÒÃö;ω 2πLO / ≈ 3 76, ÒÃö
(ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷êè îáîçíà÷åíû íà âåðõíåì
ôðàãìåíòå ðèñ. 2 êàê (I) è (II)).
Äëÿ ðàìàíîâñêîé ÷àñòîòû ω π
E g
/
2
2 2 47 64≈ , ÒÃö
(òî÷êà (III) íà íèæíåì ôðàãìåíòå ðèñ. 2) è ïðîÿâ-
ëÿþùåéñÿ â èíôðàêðàñíîì èçëó÷åíèè ÷àñòîòû
ω πA u
/
2
2 26 04≈ , ÒÃö [23]� ñîîòíîøåíèÿ èìåþò âèä:
m m Q T
Q T
R
E g
ω ω β
β β
≡ = + + +
+ − + −
2
2
2
4
4
2
4
2
2 2
2 2
( )
( ) ( ) ;
Γ
(14)
m m R GIR A u
ω ω2 2
2
2 5≡ = +( ) ( ) .Γ (15)
Ïî äàííûì ðèñ. 2 èç ñîîòíîøåíèé (3) è (4) äëÿ
äëèííîâîëíîâûõ ôîíîíîâ ìîäû ωTA⊥ ìîæåò áûòü ïî-
ëó÷åíî åùå îäíî óðàâíåíèå.
Äëÿ âûáîðà ñèëîâûõ ïîñòîÿííûõ α1, α 2 è α 3 ïðè-
âåäåííûå âûøå ñîîòíîøåíèÿ îñòàâëÿþò íåêîòîðûé
ïðîèçâîë, òàê êàê äàííûå âåëè÷èíû âõîäÿò â ñîîò-
íîøåíèÿ (7) è (8) â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè
α α α1 2 36 4+ + è â ñîîòíîøåíèÿ (12), (14) è (15) â âèäå
Êâàçèäâóìåðíûå îñîáåííîñòè â ôîíîííîì ñïåêòðå ãðàôèòà
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2009, ò. 35, ¹ 7 755
* Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé ãðóïïû D h6
4 ïðèìåíåíû îáîçíà÷åíèÿ, èñïîëüçîâàííûå, íàïðèìåð, â [24,25].
ñóììû α α1 3+ . Äëÿ óñòðàíåíèÿ ýòîé íåîïðåäåëåííîñ-
òè ìîæíî èñïîëüçîâàòü, íàïðèìåð, äàííûå [20,23] äëÿ
÷àñòîò àêóñòè÷åñêèõ êîëåáàíèé, ïîëÿðèçîâàííûõ â
ïëîñêîñòè ñëîÿ â òî÷êàõ K è M çîíû Áðèëëþåíà ãðà-
ôèòà. Òàê, äëÿ ÷àñòîò ω
TA
M
||
è ωLA
M
ω
π
TA
M
||
( , %)
2
22 35 5≈ ± ÒÃö;
ω
π
LA
M
2
39 7 5= ±( , %) ÒÃö
(òî÷êà (IV) íà íèæíåì ôðàãìåíòå ðèñ. 2) ìîæíî çàïè-
ñàòü:
m O
m
TA
M
z
LA
M
x
ω β β α β
ω α α α β
||
( ) ( , );= + +
= + + +
4 2
2 6 3 2
1 2 4 4
1 2 3 1 + + +8 62 3 4 4β β α βO( , ).
(16)
(TA || — ïîïåðå÷íàÿ àêóñòè÷åñêàÿ ìîäà, ïîëÿðèçîâàí-
íàÿ è ðàñïðîñòðàíÿþùàÿñÿ â ïëîñêîñòè ñëîÿ). Èç ñî-
îòíîøåíèé (3), (4), (6)–(10), è (12)–(16) ìîãóò áûòü
îäíîçíà÷íî ïîëó÷åíû è ïðîâåðåíû çíà÷åíèÿ âñåõ ñè-
ëîâûõ ïîñòîÿííûõ, êîòîðûå õàðàêòåðèçóþò âçàèìî-
äåéñòâèå ìåæäó àòîìàìè ãðàôèòà. Ýòè çíà÷åíèÿ ïðè-
âåäåíû â òàáë. 2.
Òàáëèöà 2. Ñèëîâûå ïîñòîÿííûå ãðàôèòà
Δ
r1 r2 r3 r4 r5
α, äèí/ñì 337882 50475,9 19647,0 2581,1 370,61
βx = 170864
β, äèí/ñì β z = 96375,3 –10149,0 –8661,0 –65,370 –35,259
Îòìåòèì, ÷òî â êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêå ãðàôèòà
ðàññòîÿíèÿ r4 è r5 îòëè÷àþòñÿ íà âåëè÷èíó ìåíåå 10%.
Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî íè îäíî èõ íèõ íå ìîæåò áûòü
ðàâíîâåñíûì äëÿ ïàðíîãî ïîòåíöèàëà, îïèñûâàþùåãî
ìåæñëîåâîå âàí-äåð-âààëüñîâî âçàèìîäåéñòâèå. Ðàâ-
íîâåñíîå ðàññòîÿíèå r0 äëÿ ýòîãî ïîòåíöèàëà íàõîäèò-
ñÿ ìåæäó ýòèìè çíà÷åíèÿìè: r r r4 0 5< < . Ìàëîå, ïî-
ðÿäêà àìïëèòóä ãàðìîíè÷åñêèõ àòîìíûõ êîëåáàíèé
âäîëü îñè c, îòëè÷èå ðàññòîÿíèé r4 è r5 îò r0 ïîçâîëÿåò
îïèñàòü ìåæñëîåâîå âàí-äåð-âààëüñîâî âçàèìîäåé-
ñòâèå ïîòåíöèàëîì Ëåííàðä–Äæîíñà:
ϕ ϕ ε σ σ
⊥ −= = ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
( ) ( )r r
r r
L J 4
12 6
.
Ïî äàííûì çíà÷åíèÿì ñèëîâûõ ïîñòîÿííûõα 4 , β4 ,α 5
è β5 ìîæíî âîññòàíîâèòü ïàðàìåòðû ýòîãî ïîòåíöèà-
ëà: σ ≈ 3 092, �; ε ≈ 152 3, Ê. Ýòî âàæíî äëÿ ðàñ÷åòîâ
èçìåíåíèÿ ìåæñëîåâîãî ðàññòîÿíèÿ è ìåæñëîåâîãî
âçàèìîäåéñòâèÿ ïðè îáðàçîâàíèè ïîâåðõíîñòè èëè
òîíêèõ ãðàôèòîâûõ ïëåíîê (ò.å. ïîâåðõíîñòíîé ðåêîí-
ñòðóêöèè è ïîâåðõíîñòíîé ðåëàêñàöèè â ãðàôèòå).
5. Ôîíîííàÿ ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé è ñïåêòðàëüíûå
ïëîòíîñòè
Äëÿ ïðåäëîæåííîé â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå ìîäåëè
êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè ãðàôèòà ìåòîäîì ÿêîáèå-
âûõ ìàòðèö (ñì., íàïðèìåð, [26–29]) áûëè ðàññ÷èòàíû
ôîíîííàÿ ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé g( )ω è ñïåêòðàëüíûå
ïëîòíîñòè � i
s( )
( )ω , ñîîòâåòñòâóþùèå ñìåùåíèÿì àòî-
ìîâ ïîäðåøåòêè s âäîëü êðèñòàëëîãðàôè÷åñêîãî íà-
ïðàâëåíèÿ i. Âåêòîð òàêîãî ñìåùåíèÿ â 3N -ìåðíîì
(N → ∞ — ÷èñëî àòîìîâ â ðåøåòêå) ïðîñòðàíñòâå
àòîìíûõ ñìåùåíèé H îáîçíà÷èì h i
s( )
. Òîãäà
� � �i
s
i
s
i
s
i
s( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( , �( ) )ω
π
ω
π
ω= =1 1
Im Im h h ,
ãäå � i
s( )
( )ω — ëîêàëüíàÿ ôóíêöèÿ Ãðèíà, à îïåðàòîð
�( ) ( � �)� � �ω ω ω≡ − −2 2 1 ( �� — îïåðàòîð, îïèñûâàþùèé
êîëåáàíèÿ ðåøåòêè, åãî ìàòðèöà
�ik
ik
m m
( , )
( , )
( ) ( )
r r
r r
r r
′ =
′
′
Φ
;
�� — åäèíè÷íûé îïåðàòîð).
Íà ðèñ. 3 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà ôîíîííîé
ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé (g( )ω — âåðõíèé ôðàãìåíò, à
òàêæå ïàðöèàëüíûõ âêëàäîâ â ýòó âåëè÷èíó îò àòîì-
íûõ ñìåùåíèé âäîëü áàçèñíûõ ïëîñêîñòåé
� � � � �ab a a b b
( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )]( ) ( ( ) (• •ω ω ω ω ω= + + +° °) )1
6
è âäîëü îñè c� � �c c c( ) ( ) ( )( ) (•ω ω ω= +⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
° )1
6
— öåíòðàëü-
íûé è íèæíèé ôðàãìåíòû ñîîòâåòñòâåííî), è ñïåê-
òðàëüíûå ïëîòíîñòè � i
s( )
( )ω íîðìèðîâàíû íà åäèíèöó,
g ab c( ) ( ) ( )ω ω ω= +� � .
 èäåàëüíîé êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêå äëÿ íîðìè-
ðîâàííûõ íà åäèíèöó ñïåêòðàëüíûõ ïëîòíîñòåé
� i
s( )
( )ω ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå [21]:
� i
s i
s
V e
dS
( )
( )
,
( )
( )
( )
| ( , )|
| ( )|
ω
π
σ
ωσ
σ
ω ωσ
=
∇
=
0
3
2
2
k
kk
k
k
∫∑
=σ 1
3q
,
ãäå V0 è q — îáúåì ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêè è ÷èñëî àòî-
ìîâ â íåé; èíäåêñ σ íóìåðóåò êîëåáàòåëüíûå ìîäû;
e k
( )( , )s σ — âåêòîðû ïîëÿðèçàöèè; èíòåãðèðîâàíèå
ïðîèçâîäèòñÿ ïî èçî÷àñòîòíûì ïîâåðõíîñòÿì â îáðàò-
íîì ïðîñòðàíñòâå. Ôîíîííàÿ ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé
g( )ω (ñì., íàïðèìåð, [21])
756 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2009, ò. 35, ¹ 7
È.À. Ãîñïîäàðåâ, Ê.Â. Êðàâ÷åíêî, Å.Ñ. Ñûðêèí, Ñ.Á. Ôåîäîñüåâ
g
V dS
q
q
i
( )
( ) | ( )|
,
( )
ω
π ω
σ
σω ωσ σ
=
∇
=
== =
∫∑ ∑0
3
1
3
1
3
2
1
3
k
k
k
k
� i
s
s
q
( )
( ) .ω
=
∑
1
Êàê áûëî ïîêàçàíî â [17], â ñèëüíî àíèçîòðîïíûõ
ñëîèñòûõ êðèñòàëëàõ âçàèìîäåéñòâèå êîëåáàòåëüíûõ
ìîä, ïîëÿðèçîâàííûõ âäîëü íàïðàâëåíèé ñèëüíîé
è ñëàáîé ñâÿçè, ïðîïîðöèîíàëüíî êâàäðàòó îòíîøå-
íèÿ ñëàáîãî ìåæñëîåâîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ê ñèëü-
íîìó âíóòðèñëîåâîìó. Â ãðàôèòå ýòî îòíîøåíèå
∼ −( / ) ~C C33 11
2 310 . Ïîýòîìó ïðè ÷àñòîòàõ ω ω> TO
Γ ,
êîãäà èçî÷àñòîòíûå ïîâåðõíîñòè êîëåáàòåëüíûõ âåò-
âåé, ïîëÿðèçîâàííûõ â ïëîñêîñòè ñëîÿ, ñòàíîâÿòñÿ
îòêðûòûìè âäîëü îñè c, ôîíîííûé ñïåêòð ïðèîáðåòà-
åò ïðàêòè÷åñêè äâóìåðíûé õàðàêòåð è ôóíêöèè �ab ( )ω
è �c ( )ω ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïëîòíîñòè ôîíîííûõ ñî-
ñòîÿíèé ãðàôåíîâûõ ìîíîñëîåâ äëÿ íå çàâèñÿùèõ
äðóã îò äðóãà àòîìíûõ êîëåáàíèé â ïëîñêîñòè ñëîÿ è â
ïåðïåíäèêóëÿðíîì ê íåìó íàïðàâëåíèè.
Íà ôóíêöèè�ab ( )ω (öåíòðàëüíûé ôðàãìåíò íà ðèñ. 3)
ïðè ω ω= TO
Γ èìååòñÿ èçëîì, ò.å. îñîáåííîñòü, àíàëî-
ãè÷íàÿ òðåõìåðíîé âàí-õîâîâñêîé ñèíãóëÿðíîñòè, êî-
òîðàÿ ñîîòâåòñòâóåò ïåðåõîäó îò õàðàêòåðíîé äëÿ
òðåõìåðíûõ êðèñòàëëè÷åñêèõ ðåøåòîê êâàäðàòè÷íîé
çàâèñèìîñòè DOS ïðè íèçêèõ ÷àñòîòàõ ê ëèíåéíîé çà-
âèñèìîñòè, õàðàêòåðíîé äëÿ ðåøåòîê äâóìåðíûõ (ñì.
âðåçêó íà öåíòðàëüíîì ôðàãìåíòå ðèñ. 3). Äàëüíåé-
øèå îñîáåííîñòè âàí Õîâà íà ýòîé ôóíêöèè èìåþò õà-
ðàêòåðíûé äëÿ äâóìåðíûõ ñòðóêòóð ëîãàðèôìè÷åñêèé
âèä (ñì., íàïðèìåð, [21]). Èçî÷àñòîòíûå ïîâåðõíîñòè
ïðè ω ω> TO ( )Γ èìåþò öèëèíäðè÷åñêóþ ôîðìó è ìî-
ãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê èçî÷àñòîòíûå ëèíèè â 2D-îá-
ðàòíîì ïðîñòðàíñòâå. Ëîãàðèôìè÷åñêèå îñîáåííîñòè
âàí Õîâà ñîîòâåòñòâóþò ÷àñòîòàì èçìåíåíèÿ òîïîëî-
ãèè ýòèõ èçî÷àñòîòíûõ ëèíèé.
Ôóíêöèÿ �c ( )ω (íèæíèé ôðàãìåíò íà ðèñ. 3) ïðèîá-
ðåòàåò äâóìåðíûé õàðàêòåð ïðè ω ω> LO
Γ . Ïðè ýòîì åå
âèä ñîîòâåòñòâóåò DOS äâóìåðíîé ñêàëÿðíîé ìîäåëè,
òî åñòü ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷åí ýëåêòðîííîé DOS ãðà-
ôåíà (ñì., íàïðèìåð, [6,30]. Òàê, íà ôóíêöèè �c ( )ω
èìååòñÿ îñîáåííîñòü, ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷íàÿ òàê íà-
çûâåìîé äèðàêîâñêîé îñîáåííîñòè íà ïëîòíîñòè ýëåê-
òðîííûõ ñîñòîÿíèé ãðàôåíà. Ýòà îñîáåííîñòü òàêæå
ñîîòâåòñòâóåò K -òî÷êå çîíû Áðèëëþåíà.
6. Âûâîäû
Òàêèì îáðàçîì, â íàñòîÿùåé ðàáîòå ïðåäëîæåíà
ìîäåëü êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè ãðàôèòà, íå òîëüêî
ïîëíîñòüþ îòðàæàþùàÿ âñå îòëè÷èòåëüíûå îñîáåí-
íîñòè åãî ôîíîííîãî ñïåêòðà, íî è ïîçâîëÿþùàÿ êîëè-
÷åñòâåííî, ïðè÷åì ñ äîñòàòî÷íî âûñîêîé òî÷íîñòüþ,
ðàññ÷èòûâàòü êîëåáàòåëüíûå õàðàêòåðèñòèêè äàííîãî
ñîåäèíåíèÿ. Âñå ñèëîâûå ïîñòîÿííûå, âõîäÿùèå â ýòó
ìîäåëü, îïðåäåëåíû èç ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ ïî
íåóïðóãîìó ðàññåÿíèþ íåéòðîíîâ è ìÿãêîãî ðåíòãå-
íîâñêîãî èçëó÷åíèÿ, à òàêæå ïî èçìåðåíèþ ñêîðîñòåé
çâóêà. Ïîêàçàíî, ÷òî ñëàáîå ìåæñëîåâîå âàí-äåð-âà-
àëüñîâî âçàèìîäåéñòâèå ìîæåò áûòü îïèñàíî ïîòåí-
öèàëîì Ëåííàðä–Äæîíñà è íàéäåíû ïàðàìåòðû ýòîãî
ïîòåíöèàëà.
 ðàìêàõ ýòîé ìîäåëè ðàññ÷èòàíû ôîíîííàÿ ïëîò-
íîñòü ñîñòîÿíèé ãðàôèòà è ñïåêòðàëüíûå ïëîòíîñòè,
ñîîòâåòñòâóþùèå ñìåùåíèÿì àòîìîâ ðàçëè÷íûõ åãî
ïîäðåøåòîê âäîëü íàïðàâëåíèÿ ñëàáîé ñâÿçè è â ïëîñ-
êîñòè ñëîåâ. Ïîêàçàí êâàçèäâóìåðíûé õàðàêòåð ïîâå-
äåíèÿ ýòèõ ïëîòíîñòåé ïðè ÷àñòîòàõ, ïðåâûøàþùèõ
âàí-õîâîâñêèå ÷àñòîòû, ñîîòâåòñòâóþùèå äëÿ êàæäîé
èç ïîëÿðèçàöèé ïåðåõîäó îò çàìêíóòûõ èçî÷àñòîòíûõ
ïîâåðõíîñòåé ê îòêðûòûì âäîëü îñè c.  äàííîì ÷àñ-
òîòíîì äèàïàçîíå êîëåáàíèÿ, ïîëÿðèçîâàííûå â ïëîñ-
êîñòè ñëîåâ è â ïåðïåíäèêóëÿðíîì ê ñëîÿì íàïðàâëå-
Êâàçèäâóìåðíûå îñîáåííîñòè â ôîíîííîì ñïåêòðå ãðàôèòà
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2009, ò. 35, ¹ 7 757
0,08
0,08
0,06
0,06
0,04
0,04
0,02
0,02
0
0
0
10
10
10
20
20
20
30
30
30
40
40
40
50
50
50
ν, ÒÃö
ν, ÒÃö
ν, ÒÃö
ν, ÒÃö
ρ a
b
,
Ò
Ã
ö
–
1
ρ c
,
Ò
Ã
ö
–
1
g
,
Ò
Ã
ö
–
1
ω
TA⊥
Μ ω
TO⊥
Μ
ω
TA ||
Μ
ω
LA
Μ
ω
LO
Μ
ω
ÒO
Γ
ω
E 2g
Γ
ω
ÒO
Γ
ω
LO
Γ
ω
TA ||
Κ
0,04
0,03
0,02
0,01
K
ω
ÒO
Γ
⊥
1 20
ρ a
b
,
1
0
Ò
Ã
ö
–
4
–
1
5
Ðèñ. 3. Ôîíîííàÿ ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé ãðàôèòà (âåðõíèé
ôðàãìåíò) è ïàðöèàëüíûå âêëàäû â íåå îò àòîìíûõ ñìå-
ùåíèé âäîëü áàçèñíîé ïëîñêîñòè è â ïåðïåíäèêóëÿðíîì ê
íåé íàïðàâëåíèè — öåíòðàëüíûé è íèæíèé ôðàãìåíòû
ñîîòâåòñòâåííî (ν ω π≡ / 2 ).
íèèè, ïðàêòè÷åñêè íå âçàèìîäåéñòâóþò ìåæäó ñîáîé
è ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ íåçàâèñèìî.
Ïîêàçàíî, ÷òî ïðè çíà÷åíèè ÷àñòîòû, ñîîòâåòñòâó-
þùåé K -òî÷êå íà ïåðâîé çîíå Áðèëëþýíà ãðàôèòà, ñî-
ñòàâëÿþùàÿ ôîíîííîé ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé ãðàôèòà,
êîòîðàÿ îáóñëîâëåíà êîëåáàíèÿìè, ïîëÿðèçîâàííûìè
âäîëü îñè c, èìååò îñîáåííîñòü, àíàëîãè÷íóþ äèðà-
êîâñêîé ñèíãóëÿðíîñòè íà ýëåêòðîííîé DOS. Îòìå-
òèì, ÷òî ôåðìèåâñêèé óðîâåíü â ýëåêòðîííîì ñïåêòðå
ãðàôåíà ïðîõîäèò ÷åðåç K -òî÷êó, à â ýëåêòðîííîì
ñïåêòðå ãðàôèòà — âáëèçè K -òî÷êè. Âíåäðåíèå â ãðà-
ôèò ðàçíîãî ðîäà äåôåêòîâ, â ÷àñòíîñòè èíòåðêàëÿöèÿ
ãðàôèòà ìåòàëëè÷åñêèìè àòîìàìè, áóäåò ïðèâîäèòü
ê ðîñòó ÷èñëà ñîñòîÿíèé (êàê ôîíîííûõ, òàê è ýëåê-
òðîííûõ) âáëèçè äàííîé îñîáåííîñòè, à ñëåäîâàòåëü-
íî, îáóñëîâëèâàòü ñèëüíîå âëèÿíèå èíòåðêàëÿöèè íà
õàðàêòåð ýëåêòðîí-ôîíîííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, â ÷àñò-
íîñòè íà òåìïåðàòóðó ñâåðõïðîâîäÿùåãî ïåðåõîäà.
Àâòîðû áëàãîäàðíû Â.Â. Åðåìåíêî çà ïîìîùü, ïîä-
äåðæêó è ïîñòîÿííîå âíèìàíèå ê ðàáîòå.
Ðàáîòà ÷àñòè÷íî ïîääåðæàíà Ãðàíòàìè # 23/07-Í
ÍÀÍ Óêðàèíû è # 4119 ÓÍÒÖ.
1. Ð.Ô. Êåðë, ÓÔÍ 168, 331 (1998).
2. Ã. Êðîòî, ÓÔÍ 168, 343 (1998).
3. Ð.Å. Ñìîëëè, ÓÔÍ 168, 323 (1998).
4. À.Â. Åëåöêèé, ÓÔÍ 177, 233 (2007).
5. Y. Kopelevich, J.H.S. Torres, R.R. da Silva, F. Mrowka,
H. Kempa, and P. Esquinazi, Phys. Rev. Lett. 90, 156402
(2003).
6. K.S. Novoselov, A.K. Gein, S.V. Morozov, D. Diang,
M.I. Katsnelson, I.V. Grigorieva, S.V. Dubonos, and A.A.
Firsov, Nature (London) 438, 197 (2005).
7. K. Wakabayshi, arXiv: cond-mat/0210687v1
[cond-mat.mes-hall] 31 Oct 2002.
8. R. Clarke and C. Uher, Adv. Phys. 33, 469, (1984).
9. I.I. Mazzin and S.L. Molodtsov, Phys. Rev. B72, 172504
(2005).
10. D.T. Morelli and C. Uher, Phys. Rev. B30, 1080 (1984).
11. A. Akrap, T. Weller, M. Ellerby, S.S. Saxena, G. Csanyi,
and L. Forro, Phys. Rev. B76, 045426 (2007).
12. T.E. Weller, M. Ellerby, S.S. Saxena, R.P. Smith, and
N.T. Skipper, Nat. Phys. 1, 39 (2005).
13. N. Emery, C. Herold, M. d'Astuto, V. Garcia, Ch. Bellina,
J.F. Mareche, P. Lagrange, and G. Loupias, Phys. Rev.
Lett. 95, 087003 (2005).
14. Å.Ã. Ìàêñèìîâ, ÓÔÍ 170, 1033 (2000).
15. R. Nicklow, N. Wakabayashi, and H.G. Smith, Phys. Rev.
B5, 4951 (1972).
16. Å.Ñ. Ñûðêèí, Ñ.Á. Ôåîäîñüåâ, Ê.Â. Êðàâ÷åíêî, À.Â.
Åðåìåíêî, Á.ß. Êàíòîð, Þ.À. Êîñåâè÷, ÔÍÒ 35, 208
(2009) [Low Temp. Phys. 35, 158 (2009)].
17. A.M. Kosevich, E.S. Syrkin, and S.B. Feodosyev, Phys.
Low-Dim. Str. 3, 47 (1994).
18. Ã.Ë. Áåëåíüêèé, Ý.Þ. Ñàëàåâ, Ð.À. Ñóëåéìàíîâ, ÓÔÍ
155, 89 (1988).
19. O.L. Blakslee, D.G. Proctor, E.J. Seldin, G.B. Spence,
and T. Weng, J. Appl. Phys. 41, 3373 (1970).
20. J. Maultzsch., S. Reich, C. Thomsen., H. Requardt and P.
Ordej�n, PRL 92, 075501-1-075501-4 (2004).
21. À.Ì. Êîñåâè÷, Òåîðèÿ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè,
Èçä-âî Õàðüêîâñêîãî Ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà,
Õàðüêîâ (1988).
22. Å.Ñ. Ñûðêèí, Ñ.Á. Ôåîäîñüåâ, ÔÍÒ 9, 535 (1983) [Sov.
J. Low Temp. Phys. 9, 278 (1983)].
23. M.S. Dresselhaus and G. Dresselhaus, Adv. Phys. 30, 2,
139, (1981).
24. Ë.Ä. Ëàíäàó, Å.Ì. Ëèôøèö, Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà, Ãîñ.
Èçä-âî Ôèç.-ìàò. ëèò., Ìîñêâà (1963).
25. Ë.Ä. Ëàíäàó, Å.Ì. Ëèôøèö, Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ôèçèêà,
Íàóêà, Ìîñêâà (1964).
26. Â.È. Ïåðåñàäà, Äèñc. äîêò. ôèç.-ìàò. íàóê, Õàðüêîâ,
1972, (ÔÒÈÍÒ ÀÍ ÓÑÑÐ).
27. Â.È. Ïåðåñàäà, â ñá.: Ôèçèêà êîíäåíñèðîâàííîãî ñî-
ñòîÿíèÿ, ÔÒÈÍÒ ÀÍ ÓÑÑÐ, Õàðüêîâ (1968), ñ. 172.
28. Â.È. Ïåðåñàäà, Â.Í. Àôàíàñüåâ, Â.Ñ. Áîðîâèêîâ, ÔÍÒ
1, 461 (1975).
29. R. Haydock, in: Solid State Physics 35, H. Ehrenreich et
al. (eds.), Academic Press, New York (1980), p. 129.
30. Yu.V. Skrypnyk and V.M. Loktev, Fiz. Nizk. Temp. 34,
1040 (2008) [Low Temp. Phys. 34, 818 (2008)].
Quasi-two-dimensional peculiar features
in graphite phonon spectrum
I.A. Gospodarev, K.V. Kravchenko,
E.S. Syrkin, and S.B. Feodosyev
The phonon spectrum of graphite is analyzed in
details on microscopical level and the partial con-
tributions to the density of phonon states from
atomic displacements along and normal to the lay-
ers are calculated. Quasi-two-dimensional peculiar
features of the graphite phonon spectrum are
found, in particular the singularity in the spectral
density generated by the atomic displacement
along the c-axis which is similar to the Dirac pecu-
liarity in the electron spectrum of graphene. Our
calculations make it possibile to forecast the ge-
neral properties of graphite phonon and electron
spectra in the case of intercalation of graphite by
different metals and to explain the change of the
superconducting transition temperature in the inter-
calated graphite..
PACS: 63.20.–e Phonons in crystal lattice.
Keywords: phonon spectrum, phonon dispersion
law, flexural rigidity, quasi-two-dimensional crys-
tals, graphene, graphite.
758 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2009, ò. 35, ¹ 7
È.À. Ãîñïîäàðåâ, Ê.Â. Êðàâ÷åíêî, Å.Ñ. Ñûðêèí, Ñ.Á. Ôåîäîñüåâ
|