О природе распадного фононного спектра в сверхтекучем гелии
Показано, что распадный характер фононного спектра в сверхтекучем гелии является следствием аналитичности и четности собственной энергии бозонов как функции энергии и импульса. Согласно проведенным ранее самосогласованным численным расчетам, в изотропной сверхтекучей бозе-жидкости с подавленным («ис...
Saved in:
| Date: | 2010 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2010
|
| Series: | Физика низких температур |
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/117360 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О природе распадного фононного спектра в сверхтекучем гелии / Э.А. Пашицкий, С.И. Вильчинский, А.В. Чумаченко // Физика низких температур. — 2010. — Т. 36, № 7. — С. 724–730. — Бібліогр.: 35 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-117360 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1173602025-02-23T19:09:38Z О природе распадного фононного спектра в сверхтекучем гелии On the decay nature of phonon spectrum in superfluid helium Пашицкий, Э.А. Вильчинский, С.И. Чумаченко, А.В. Квантовые жидкости и квантовые кpисталлы Показано, что распадный характер фононного спектра в сверхтекучем гелии является следствием аналитичности и четности собственной энергии бозонов как функции энергии и импульса. Согласно проведенным ранее самосогласованным численным расчетам, в изотропной сверхтекучей бозе-жидкости с подавленным («истощенным») в результате сильного взаимодействия между частицами бозе-эйнштейновским конденсатом нормальная и аномальная собственно энергетические части бозонов являются аналитическими функциями импульса и энергии и на массовой поверхности в длинноволновом пределе зависят только от квадрата импульса. На основе этого показано, что фононный спектр бозе-жидкости является распадным в полном соответствии с экспериментальными данными по нейтронному рассеянию и взаимодействию высокочастотных и низкочастотных фононов в сверхтекучем гелии. Показано, що розпадний характер фононного спектру у надплинному гелії є наслідком аналітичності та парності власної енергії бозонів як функції енергії та імпульсу. Згідно проведеним раніше самоузгодженим чисельним розрахункам, у ізотропній надплинній бозе-рідині з подавленим («виснаженим») внаслідок сильної взаємодії між частинками бозе-ейнштейнівським конденсатом нормальна і аномальна власно енергетичні частини бозонів є аналітичними функціями імпульсу та енергії і на масовій поверхні у довгохвильовій границі залежать лише від квадрату імпульсу. На основі цього показано, що фононний спектр бозе-рідини є розпадним у повному узгодженні з експериментальними даними з нейтронного розсіяння та взаємодії високочастотних та низькочастотних фононів у надплинному гелії. It is shown that the decay character of the phonon spectrum in superfluid helium is a consequence of the analyticity and parity of boson selfenergy as a function of energy and momentum. According to the previous selfconsistent numerical calculations of normal and anomalous selfenergy parts in a homogeneous superfluid Bose-liquid with the Bose–Einstein condensate suppressed («exhausted») due to strong interparticle interaction, these functions are analytical functions of energy and momentum and on the mass shell in a long-wave limit depends only on the square of momentum. On this basis it is shown that the phonon spectrum of the Bose-liquid has the property of decay in full agreement with the experimental data on neutron scattering and interaction of high- and lowfrequency phonons in superfluid helium. Авторы выражают благодарность И.Н. Адаменко за предоставление полной информации по экспериментальным и теоретическим исследованиям особенностей распадного фононного спектра в He II. Один из авторов (Э.А.П.) благодарит фонд УНТЦ за частичную финансовую поддержку данной работы (проект № 3718). 2010 Article О природе распадного фононного спектра в сверхтекучем гелии / Э.А. Пашицкий, С.И. Вильчинский, А.В. Чумаченко // Физика низких температур. — 2010. — Т. 36, № 7. — С. 724–730. — Бібліогр.: 35 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 67.25.D–, 67.25.dt https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/117360 ru Физика низких температур application/pdf Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Квантовые жидкости и квантовые кpисталлы Квантовые жидкости и квантовые кpисталлы |
| spellingShingle |
Квантовые жидкости и квантовые кpисталлы Квантовые жидкости и квантовые кpисталлы Пашицкий, Э.А. Вильчинский, С.И. Чумаченко, А.В. О природе распадного фононного спектра в сверхтекучем гелии Физика низких температур |
| description |
Показано, что распадный характер фононного спектра в сверхтекучем гелии является следствием аналитичности и четности собственной энергии бозонов как функции энергии и импульса. Согласно проведенным ранее самосогласованным численным расчетам, в изотропной сверхтекучей бозе-жидкости с подавленным («истощенным») в результате сильного взаимодействия между частицами бозе-эйнштейновским конденсатом нормальная и аномальная собственно энергетические части бозонов являются аналитическими функциями импульса и энергии и на массовой поверхности в длинноволновом пределе зависят только от квадрата импульса. На основе этого показано, что фононный спектр бозе-жидкости является распадным в полном соответствии с экспериментальными данными по нейтронному рассеянию и взаимодействию высокочастотных и низкочастотных фононов в сверхтекучем гелии. |
| format |
Article |
| author |
Пашицкий, Э.А. Вильчинский, С.И. Чумаченко, А.В. |
| author_facet |
Пашицкий, Э.А. Вильчинский, С.И. Чумаченко, А.В. |
| author_sort |
Пашицкий, Э.А. |
| title |
О природе распадного фононного спектра в сверхтекучем гелии |
| title_short |
О природе распадного фононного спектра в сверхтекучем гелии |
| title_full |
О природе распадного фононного спектра в сверхтекучем гелии |
| title_fullStr |
О природе распадного фононного спектра в сверхтекучем гелии |
| title_full_unstemmed |
О природе распадного фононного спектра в сверхтекучем гелии |
| title_sort |
о природе распадного фононного спектра в сверхтекучем гелии |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Квантовые жидкости и квантовые кpисталлы |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/117360 |
| citation_txt |
О природе распадного фононного спектра в сверхтекучем гелии / Э.А. Пашицкий, С.И. Вильчинский, А.В. Чумаченко // Физика низких температур. — 2010. — Т. 36, № 7. — С. 724–730. — Бібліогр.: 35 назв. — рос. |
| series |
Физика низких температур |
| work_keys_str_mv |
AT pašickijéa opriroderaspadnogofononnogospektravsverhtekučemgelii AT vilʹčinskijsi opriroderaspadnogofononnogospektravsverhtekučemgelii AT čumačenkoav opriroderaspadnogofononnogospektravsverhtekučemgelii AT pašickijéa onthedecaynatureofphononspectruminsuperfluidhelium AT vilʹčinskijsi onthedecaynatureofphononspectruminsuperfluidhelium AT čumačenkoav onthedecaynatureofphononspectruminsuperfluidhelium |
| first_indexed |
2025-11-24T14:42:56Z |
| last_indexed |
2025-11-24T14:42:56Z |
| _version_ |
1849683216422666240 |
| fulltext |
© Э.А. Пашицкий, С.И. Вильчинский, А.В. Чумаченко, 2010
Физика низких температур, 2010, т. 36, № 7, c. 724–730
О природе распадного фононного спектра
в сверхтекучем гелии
Э.А. Пашицкий
Институт физики НАН Украины, пр. Науки, 46, г. Киев, 03028, Украина
E-mail: pashitsk@iop.kiev.ua
С.И. Вильчинский, А.В. Чумаченко
Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко
пр. Глушкова, 2, к. 1, г. Киев, 02033, Украина
Статья поступила в редакцию 1 февраля 2010 г.
Показано, что распадный характер фононного спектра в сверхтекучем гелии является следствием ана-
литичности и четности собственной энергии бозонов как функции энергии и импульса. Согласно прове-
денным ранее самосогласованным численным расчетам, в изотропной сверхтекучей бозе-жидкости с по-
давленным («истощенным») в результате сильного взаимодействия между частицами бозе-эйнштейнов-
ским конденсатом нормальная и аномальная собственно энергетические части бозонов являются анали-
тическими функциями импульса и энергии и на массовой поверхности в длинноволновом пределе
зависят только от квадрата импульса. На основе этого показано, что фононный спектр бозе-жидкости яв-
ляется распадным в полном соответствии с экспериментальными данными по нейтронному рассеянию и
взаимодействию высокочастотных и низкочастотных фононов в сверхтекучем гелии.
Показано, що розпадний характер фононного спектру у надплинному гелії є наслідком аналітичності
та парності власної енергії бозонів як функції енергії та імпульсу. Згідно проведеним раніше самоузго-
дженим чисельним розрахункам, у ізотропній надплинній бозе-рідині з подавленим («виснаженим») вна-
слідок сильної взаємодії між частинками бозе-ейнштейнівським конденсатом нормальна і аномальна
власно енергетичні частини бозонів є аналітичними функціями імпульсу та енергії і на масовій поверхні
у довгохвильовій границі залежать лише від квадрату імпульсу. На основі цього показано, що фононний
спектр бозе-рідини є розпадним у повному узгодженні з експериментальними даними з нейтронного роз-
сіяння та взаємодії високочастотних та низькочастотних фононів у надплинному гелії.
PACS: 67.25.D– Сверхтекучая фаза;
67.25.dt Звук и возбуждения.
Ключевые слова: фононный спектр, бозе-жидкость, сверхтекучий гелий.
1. Введение
Как известно, в теории Боголюбова [1] для разре-
женного слабонеидеального бозе-газа точечных частиц
с нулевым спином спектр элементарных возбуждений
(квазичастиц) имеет следующий вид:
22
2 2 0
0( ) = ; = ,
2B B B
VpE p c p c n
m m
⎛ ⎞
+ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
(1)
где Bc — скорость звука, 0n — число частиц в бозе-
эйнштейновском конденсате (БЭК), почти совпадаю-
щее с полным числом частиц n в единице объема при
температуре, стремящейся к нулю ( 0T → ), 0V — ну-
левая фурье-компонента слабого взаимодействия (от-
талкивания) между частицами, а m — масса бозона.
Такой спектр, будучи акустическим ( ) =B BE p c p при
малых импульсах << Bp c m и квадратичным
2( ) / 2BE p p m≈ при больших импульсах >> Bp c m ,
является распадным, т.е. неустойчивым по отношению
к самопроизвольным распадам квазичастиц на пары,
для которых выполняются законы сохранения энергии
и импульса.
О природе распадного фононного спектра в сверхтекучем гелии
Физика низких температур, 2010, т. 36, № 7 725
Распадный характер спектра (1) послужил одним из
главных аргументов против применимости теории Бо-
голюбова [1] для описания сверхтекучести гелия (4Не),
в спектре которого существует так называемый ротон-
ный минимум, теоретически предсказанный Ландау [2]
и экспериментально наблюдавшийся в [3–5] с помо-
щью рассеяния нейтронов в сверхтекучей (СТ) бозе-
жидкости 4He (He II).
Заметим, что спектр квазичастиц, аналогичный эм-
пирическому спектру He II с ротонным минимумом,
был получен в [6,7] для разреженной бозе-системы в
модели «твердых сферических оболочек» диаметром
a с бесконечным отталкиванием на поверхности
0( ) = ( )V r V r aδ − и в [8] для модели «полупрозрачных
сфер» с конечным отталкиванием в области r a≤ . Фу-
рье-компоненты соответствующих потенциалов равны:
1
0 0 0
( )
( ) = ( ); ( ) = ,
j pa
V p V j pa V p V
pa
(2)
где 0 ( )j x и 1( )j x — сферические функции Бесселя
нулевого и первого порядка. Подстановка осцилли-
рующих знакопеременных функций (2) в боголюбов-
ский спектр (1) вместо 0 = constV приводит к немоно-
тонной импульсной зависимости ( )BE p , которая
путем подбора параметров 0V , a и m позволяет по-
лучить спектр квазичастиц, близкий к эксперимен-
тальному (рис. 1). Такой спектр не является распад-
ным, за исключением точки с энергией, равной
удвоенной энергии ротонной щели, в которой возмо-
жен распад квазичастицы на два ротона [9].
Тем не менее, как показали прецизионные экспери-
менты по рассеянию холодных нейтронов [10–13], фо-
нонный спектр в He II является распадным, что приво-
дит к взаимодействию и взаимному превращению
низкочастотных и высокочастотных фононов [14–17].
При этом скорость первого звука в He II растет с рос-
том импульса p по квадратичному закону
2
1( ) (1 )c p p+ γ∼ , достигает своего максимального зна-
чения, которое на (4–5%) превышает значение 1(0)c
при 0p → , а затем по мере приближения к максимуму
спектра квазичастиц в He II начинает убывать. До на-
стоящего времени причина такой импульсной зависи-
мости скорости первого звука в He II не получила объ-
яснения.
В настоящей работе показано, что распадный харак-
тер фононного спектра в квантовой бозе-жидкости не-
посредственно следует из результатов развитого в ра-
ботах [18–25] теоретико-полевого подхода, в рамках
которого перенормированные нормальная 11( , )Σ εp% и
аномальная 12 ( , )Σ εp% собственно энергетические час-
ти, определяющие перенормировку спектра квазича-
стиц и скорость первого звука, являются аналитиче-
скими функциями импульса p и энергии ω при
0→p и 0ω→ , причем 12 (0,0) 0Σ ≠% , в отличие от
неперенормированных моделей с локальным взаимо-
действием между бозонами [26–29]. В работах [22–25]
для построения самосогласованной теории СТ кванто-
вой бозе-жидкости с сильным нелокальным взаимодей-
ствием между бозонами был учтен экспериментально
наблюдаемый эффект «истощения» одночастичного
БЭК в He II [30,31], в результате которого плотность
БЭК не превышает 10% полной плотности частиц,
0 0,1n n≤ , даже при 0T → , в отличие от слабонеиде-
ального бозе-газа [1], в котором 0n n≈ . Наличие мало-
го параметра 0 / << 1n n в бозе-жидкости позволяет с
точностью 1%≤ оборвать бесконечный ряд в разло-
жении собственных энергий ( , )ijΣ ωp по конденсат-
ным линиям [26], сохраняя только члены, пропорцио-
нальные 0n . Проведенные в [22–25] численные расче-
ты самосогласованной замкнутой системы нелинейных
интегральных уравнений для перенормированных
нормальных и аномальных одночастичных функций
Грина ( , )ijG ωp% и собственно энергетических частей
( , )ijΣ ωp% позволили получить вполне удовлетвори-
тельное количественное согласие между теоретиче-
ским и экспериментальным спектрами квазичастиц
( )E p в He II для различных более или менее реалисти-
ческих модельных потенциалов парного взаимодейст-
вия между бозонами (атомами 4Не). При этом было
показано, что входящие в определение перенормиро-
ванного спектра собственно энергетические части на
«массовой поверхности» ( , ( ))ij p E pΣ% являются анали-
тическими функциями p при 0p → и в изотропной
бозе-жидкости зависят только от 2p . Как будет пока-
зано ниже, разложение этих функций по 2p при малых
p позволяет получить распадный закон дисперсии в
фононной области спектра квазичастиц в He II, в соот-
ветствии с экспериментальными данными [10–13].
2. Исходные уравнения для сверхтекучей бозе-
жидкости с подавленным БЭК
В рамках развитой Беляевым [26] полевой теории
сверхтекучести разреженных бозе-систем при 0T →
спектр квазичастиц определяется выражением [27]
22
2
11 12
11
( ) = ( , ( )) | ( , ( )) |
2
( , ( )) ,
s
a
E E p E
m
E
⎡ ⎤
+ Σ −μ − Σ +⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
+ Σ
pp p p p
p p (3)
где
[ ],
11 1111
1( , ) = ( , ) ( , ) ,
2
s aΣ ε Σ ε ± Σ − −εp p p (4)
11Σ и 12Σ — нормальная и аномальная собственно
энергетические части, а μ — химический потенциал
бозонов, который, согласно теореме Гугенгольтца–
Пайнса [32], определяется соотношением
11 12= (0,0) (0,0).μ Σ −Σ (5)
Э.А. Пашицкий, С.И. Вильчинский, А.В. Чумаченко
726 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 7
Благодаря этому спектр (3) при малых импульсах
является акустическим ( ) = | |E cp p со скоростью зву-
ка, равной
*
12= (0,0) / ,c mΣ (6)
где *m — эффективная масса квазичастиц, определяе-
мая соотношениями
11 12
* 2 2
(0,0) (0,0)1 1 1= 2 2 ;
| | | |B mm
⎡ ⎤∂Σ ∂Σ
+ −⎢ ⎥
∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦p p
(7)
2 2
11 11
12 2
2
2
122
(0,0) (0,0)
= 1 (0,0)
1 | (0,0) | .
2
B
∂Σ ∂ Σ⎡ ⎤− −Σ +⎢ ⎥∂ε⎣ ⎦ ∂ε
∂
+ Σ
∂ε
(8)
В неперенормированной полевой теории с локаль-
ным взаимодействием между бозонами в исходном ла-
гранжиане типа 4
0 | |U Ψ (см. [28]) аномальная собст-
венная энергия 12 ( , )Σ εp является неаналитической
функцией и стремится к нулю при | | 0→p и 0ε → как
ln(1/ )p p . При этом, как было показано в [18,29], ве-
личина B и, следовательно, эффективная масса m∗
также обращаются в нуль, что приводит к неопределен-
ности типа 0 / 0 в выражении (6) для скорости звука.
С другой стороны, скорость гидродинамического
звука при 0p → определяется соотношениями [28,33]
2
1 = = ,P n dc
m dn
∂ μ
∂ρ
(9)
где P — давление, а ρ — плотность бозе-жидкости, и
совпадает со скоростью первого звука в He II, что по-
зволяет устранить неопределенность в (6). Однако, как
будет показано ниже, в правильной, перенормирован-
ной и самосогласованной теории 12 (0,0) 0Σ ≠% и
0m∗ ≠% .
Как было показано в [22–24], система уравнений
для нормальной 11( , )Σ εp% и аномальной 12 ( , )Σ εp% пе-
ренормированных собственных энергий с точностью
до малых членов порядка 2 2
0 / 0,01n n ≤ имеет вид
11 110 1( , ) = ( , ) ( , ) (0) ( , ) ,n V n Vp p p pΣ ε Λ ε ε + +Ψ ε (10)
12 120( , ) = ( , ) ( , ) ( , ) .n Vp p p pΣ ε Λ ε ε +Ψ ε (11)
Здесь
3
( , ) =
= ( , ) ( , ) ( , , , ).
2(2 )
ij
ij
d di G V
p
k k p k p k
Ψ ε
ω
ω − ε−ω Γ ε ω
ππ∫ ∫ (12)
( )( , ) = ,
1 ( ) ( , )
VV
V
ε
− Π ε
pp
p p
% (13)
1 0 113= = ( , ) ,
2(2 )
d dn n n i Gω
− ω
ππ∫ ∫
k k% (14)
где ( , )ijG ωk% — нормальная и аномальная функции
Грина бозонов:
2 2
11
11 2 2
( / 2 ) ( , )
( , ) = ,
( )
m
G
E i
ω + −μ +Σ − ω
ω
ω − + δ
k k
k
k
%
% (15)
12
12 2 2
( , )
( , ) = , 0 .
( )
G
E i
Σ ω
ω δ→
ω − + δ
k
k
k
%
% (16)
( )V p — фурье-компонента исходного потенциала
парного взаимодействия бозонов, ( , ; , )Γ ε ωp k — вер-
шинная часть (трехполюсник), описывающая много-
частичные корреляции типа эффектов локального по-
ля, ( , ) = ( , ;0,0) = (0,0; , )Λ ε Γ ε Γ εp p p , а ( , )Π εp — поля-
ризационный оператор бозонов:
3
11 11 12 12
( , )= ( , , , )
2(2 )
[ ( , ) ( , ) ( , ) ( , )] .
d di
G G G G
kp p k
k k p k k p
ω
Π ε Γ ε ω ×
ππ
× ω + ε+ω + ω + ε+ω
∫ ∫
(17)
3. Спектр квазичастиц в бозе-жидкости
с подавленным БЭК
Подставляя приближенные выражения (10) и (11) в
точные соотношения (3)–(5) и учитывая четность соб-
ственно энергетических частей ( , )ijΣ εp% по p и ε в
изотропной бозе-жидкости, получаем следующее вы-
ражение для спектра квазичастиц:
22
0 12
( )=
( , ( )) ( , ( )) ( , ( )) ( , ( )) ,
E p
A E n E V E E⎡ ⎤= − Λ +Ψ⎣ ⎦p p p p p p p p% %
(18)
где
2
0
11 11 12
( , ) = ( , ) ( , )
2
( , ) (0,0) (0,0) .
A n V
m
ε Λ ε ε + +
+ Ψ ε −Ψ +Ψ
pp p p
p
%
% % % (19)
С другой стороны, соотношения (12) для 11( , )Ψ εp% и
12 ( , )Ψ εp% в результате интегрирования по ω с учетом
полюсов функций Грина (15) и (16) принимают вид
3
11 3
1( , )= ( , ; , ( )) ( , ( ))
2 (2 )
( , ( ))[ 1] ,
( )
d E V E
A E
E
kp p k k p k k
k k
k
Ψ ε Γ ε − ε− ×
π
× −
∫
(20)
О природе распадного фононного спектра в сверхтекучем гелии
Физика низких температур, 2010, т. 36, № 7 727
3
12 3
120
1( , )= ( , ; , ( )) ( , ( ))
2 (2 )
( , ( )) ( , ( )) ( , ( ))
.
( )
d E V E
n E V E E
E
kp p k k p k k
k k k k k k
k
Ψ ε − Γ ε − ε− ×
π
Λ +Ψ
×
∫
(21)
В работах [22–24] система нелинейных интеграль-
ных уравнений (20) и (21) с учетом выражений (18) и
(19) для спектра квазичастиц, (13) и (17) для перенор-
мированной фурье-компоненты парного взаимодейст-
вия и поляризационного оператора, а также выражений
(15) и (16) для функций Грина, численно решалась ме-
тодом итераций с использованием в качестве нулевого
приближения боголюбовского спектра (1) для модели
«твердых сферических оболочек», близкого к экспери-
ментальному (рис. 1). Стартуя с такого исходного ну-
левого приближения, удается за 3–4 итерации с точно-
стью 1%≤ выйти на самосогласованное решение с
перенормированным спектром, который удовлетвори-
тельно согласуется с эмпирическим спектром квазича-
стиц в He II в широкой области импульсов как для мо-
дельных потенциалов «твердых сферических оболо-
чек» или «полупрозрачных сфер» [23] с учетом его
перенормировки (13) и отрицательных значений поля-
ризационного оператора (17) на массовой поверхности
(см. рис. 2, 3, 4), так и для более реалистических по-
тенциалов исходного взаимодействия между атомами
4Не, например, в виде комбинации потенциала Ленар-
да-Джонса на больших расстояниях с экранированным
электронными оболочками атомов кулоновским по-
тенциалом на малых расстояниях [24] (см. рис. 5). Од-
нако вычислительной точности итерационного метода,
использованного в [22–24], оказалось недостаточно
для выявления распадного характера фононного спек-
Рис. 1. Боголюбовский спектр (1) для потенциала «твердых
сферических оболочек» (сплошная кривая), максимально
приближенный к экспериментальному спектру (точечная
кривая) в области 1< 2,5 Åp − для 3
0 / = 169V a К при
= 2,4 Åa и 4=m m ( 4m — масса атома гелия).
00 11 22
2,52,5
5,05,0
7,57,5
10,010,0
12,512,5
15,015,0
17,517,5
EE
,,
BB
ÊÊ
p,p, ÅÅ
–1–1
Рис. 2. Фурье-компонента потенциала «полупрозрачных
сфер» (штриховая кривая) и соответствующий перенормиро-
ванный потенциал (сплошная кривая), полученный в [23–25]
с учетом импульсной зависимости поляризационного опера-
тора (см. формулу (17)), который является отрицательным на
массовой поверхности (см. рис. 3).
Рис. 3. Импульсная зависимость поляризационного операто-
ра бозонов на «массовой поверхности», полученная в [23], в
результате самосогласованных численных расчетов при
= 1Γ (сплошная кривая) и при = 1,5Γ (штриховая кривая).
Рис. 4. Теоретический спектр квазичастиц, полученный в
[23–25] в результате самосогласованных расчетов в модели
«полупрозрачных сфер» (сплошная кривая), с учетом им-
пульсной зависимости поляризационного оператора при
= 1Γ . Точками показан экспериментальный спектр Не II.
11 22 33 4400
––0,40,4
––0,20,2
00
0,20,2
W
/V
W
/V
00
p,p, ÅÅ
–1–1
00 0,50,5 1,01,0 1,51,5 2,02,0 2,52,5 3,03,0 3,53,5
––3232
––2828
––2424
––2020
––1616
––1212
––88
––44
00
��
VV
00
p,p, ÅÅ
–1–1
0,50,5 1,01,0 1,51,5 2,02,0 2,52,5 3,03,000
44
88
1212
1616
2020
E
,
E
,ÊÊ
p,p, ÅÅ
–1–1
Э.А. Пашицкий, С.И. Вильчинский, А.В. Чумаченко
728 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 7
тра в He II.
4. Спектр квазичастиц в длинноволновой области
Поскольку в выражении для перенормированного
спектра квазичастиц (3) или (18) входят значения соб-
ственно энергетических частей ( , )ijΣ εp% или функций
( , )ijΨ εp% , ( , )Λ εp и ( , )V εp% на массовой поверхности
при = ( )Eε p , то естественно предположить, что все
эти функции в изотропной бозе-жидкости являются
четными по p и ε и зависят только от модуля p . Бо-
лее того, проведенные в [22–25] самосогласованные
компьютерные расчеты показали, что функции
( , ( ))ij p E pΨ% являются аналитическими при 0p → и
имеют экстремум (минимум или максимум) в точке
= 0p , а в области малых импульсов зависят только от
2p (см. рис. 6). При этом перенормированный потен-
циал ( )V p% практически не зависит от p в области
11 Åp −≤ (рис. 2).
Таким образом, при малых p можно с хорошей
точностью представить функции ( , ( ))ij p E pΨ% в виде
следующих разложений по 2p :
11
2 2 4 4
2 4
=0 =0
( ) ( , ( ))
| (0) | ;
2 24
p p
p p E p
p p
p p
Φ ≡ Ψ ≅
⎛ ⎞∂ Φ ∂ Φ
≅ − Φ + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
%
(22)
2 2
12 2
=0
( ) ( , ( )) (0) .
2
p
pp p E p
p
∂ Ψ
Ψ ≡ Ψ ≅ Ψ −
∂
% (23)
Здесь учтено, что функция ( )pΦ , будучи отрица-
тельной при всех p , в области малых импульсов имеет
точку перегиба при 1= 0,5 Åp − , таким образом,
2 2/ > 0p∂ Φ ∂ , а 4 4/ < 0p∂ Φ ∂ . В то же время, функция
( )pΨ положительна и может быть с хорошей точно-
стью аппроксимирована параболой в области
11 Åp −≤ с 2 2/ < 0p∂ Ψ ∂ .
Подставляя (22) в соотношение (19), получим с за-
данной точностью:
2 4 4
0 4
=0
( ) (0) (0) ,
242 p
p pA p n W
m p∗
∂ Φ
≅ +Ψ + −
∂
% (24)
где (0) = (0,0) (0)W VΛ% % — перенормированное взаимо-
действие во всей области импульсов 11 Åp −≤ (см.
рис. 2), а m∗ — эффективная масса, определяемая в
данном случае соотношением (ср. с формулой (7))
2 2
2 2
=0 =0
1 1= .
p p
mm p p∗
⎛ ⎞∂ Φ ∂ Ψ
+ −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
(25)
Подставляя разложения (22)–(24) в (18) и сохраняя
все члены вплоть до кубических по 2p , получим сле-
дующее приближенное выражение для спектра квази-
частиц в длинноволновой области:
Рис. 5. Теоретический спектр квазичастиц, вычисленный в
[24], на основе комбинированного потенциала, полученного
путем сшивки потенциала Ленарда-Джонса с экранирован-
ным кулоновским потенциалом при учете импульсных зави-
симостей поляризационного оператора и вершинной части Γ
(сплошная кривая). Точками и звездочками показаны экспе-
риментальные данные по измерению спектра Не II [5,34,35].
00
22
44
66
88
1010
1212
1414
1616
1818
3 53 5,,332 52 5,,221 51 5,,110 50 5,,
E
,
E
,ÊÊ
p,p, ÅÅ
–1–1
Рис. 6. Импульсные зависимости функций ( )pΦ (a) и ( )pΨ
(б), полученные в [23–25] с помощью самосогласованных
численных расчетов для модели «полупрозрачных сфер».
–8–8
–7–7
–6–6
–5–5
–4–4
–3–3
–2–2
aa
44
66
88
1010
1212
1414
1616
2 52 5,,
2 52 5,,
1 51 5,,
1 51 5,,
0 50 5,,
0 50 5,,
3,03,0
3,03,0
2,02,0
2,02,0
1,01,0
1,01,0
��
, Ê,Ê
��
, Ê,Ê
áá
p,p, ÅÅ
–1–1
p,p, ÅÅ
–1–1
00
00
О природе распадного фононного спектра в сверхтекучем гелии
Физика низких температур, 2010, т. 36, № 7 729
2 4 4
2
1 4
2 =0
( ) (0) ,
2 48 p
p pE p p c
m m p∗ ∗
⎛ ⎞ ∂ Ψ
≅ + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠
(26)
где
2
1 0 1 2
1 =0
1 1(0) = [ (0) (0)] / ; = ;
p
c n W m
mm p
∗
∗
⎛ ⎞∂ Φ
+Ψ +⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠
% (27)
22 4
02 2 2 4
2 =0 =0
1 1 1= [ (0) (0)] .
3( ) ( ) p p
n W
m m p p∗ ∗
∂ Ψ ∂ Φ
− − +Ψ
∂ ∂
%
(28)
Заметим, что выражение (27) для 1(0)c с учетом
(11) в точности соответствует соотношению (6) при
12 0(0,0) = (0) (0) 0n WΣ +Ψ ≠%% и 1 0m∗ ≠ . С другой сто-
роны, вблизи точки перегиба функции ( )pΦ , где
4 4/ = 0p∂ Φ ∂ , спектр (26) принимает вид
2
2
1
2
( ) (0) ,
2
pE p p c
m∗
⎛ ⎞
≅ + ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
(29)
аналогичный боголюбовскому спектру (1), но с пере-
нормированными значениями Bc и m .
Из (26) следует выражение для зависящей от p фа-
зовой скорости первого звука:
2 4
1 1( ) (0) 1 ,c p c p p≅ +α −β (30)
где
4
2 2 4
2 1 1 =0
1 1= ; = .
[2 (0)] 48 (0) pm c m c p∗ ∗
∂ Ψ
α β
∂
(31)
При малых импульсах из формулы (30) следует
квадратичная зависимость:
2
1 1( ) = (0)(1 ),c p c p+ γ (32)
где = / 2γ α , тогда как с ростом p скорость 1( )c p
достигает своего максимального значения в точке
max = / 2p α β , равного
2
max
1 1 max 1( ) (0) 1 .
4
c c p c α
≡ +
β
(33)
Параметры α и β могут быть определены из эмпи-
рических данных по нейтронному рассеянию [10–13] в
фононной области спектра He II.
5. Выводы
Таким образом, распадный характер фононного
спектра He II связан с аналитичностью собственно
энергетических частей бозонов на массовой поверхно-
сти, которые в изотропной бозе-жидкости зависят
только от 2p . В области малых импульсов разложение
ijΣ% по 2p (вплоть до членов 4p∼ включительно)
позволяет описать экспериментально наблюдаемую
немонотонную импульсную зависимость скорости
первого гидродинамического звука в He II вплоть до
максонной области спектра квазичастиц и подтвердить
распадный характер фононного спектра.
Авторы выражают благодарность И.Н. Адаменко за
предоставление полной информации по эксперимен-
тальным и теоретическим исследованиям особенно-
стей распадного фононного спектра в He II. Один из
авторов (Э.А.П.) благодарит фонд УНТЦ за частичную
финансовую поддержку данной работы (проект
№ 3718).
1. Н.Н. Боголюбов, Physica 9, 23 (1947).
2. Л.Д. Ландау, J. Phys. 11, 91, 1947.
3. P.G. Henshaw and A.D.B. Woods, Phys. Rev. 121, 1266
(1961).
4. H.R. Glyde and W.G. Stirling, Phys. Rev. B42, 4224 (1990).
5. K.H. Andersen, W.G. Stirling, R. Sherm, A. Stanault, B.
Faak, H. Godfrin, and A.J. Dianox, J. Phys.: Condens.
Matter 6, 821 (1994).
6. K.A. Brucner and K. Sawada, Phys. Rev. 106, 1117 (1957).
7. К. Бракнер, Теория ядерной материи, Мир, Москва (1964).
8. Э.А. Пашицкий, УФЖ 18, 1439, 1973.
9. Л.П. Питаевский, ЖЭТФ 36, 1168 (1959).
10. E.C. Svenson, A.D.B. Woods, and P. Marter, Phys. Rev.
Lett. 29, 1148 (1972).
11. R.C. Dynes and V. Narayamuri, Phys. Rev. B12, 172 (1975).
12. R. Sridhar, Phys. Rep. 146, 259 (1987).
13. И.В. Богоявленский, Л.В. Карнацевич, Ю.А. Козлов, В.Г.
Колобродов, В.Б. Приезжев, А.В. Пучков, А.Н. Скоморо-
хов, ФНТ 20, 626 (1994) [Low Temp. Phys. 20, 489 (1994)].
14. И.Н. Адаменко, К.Э. Немченко, A.F.G. Wyatt, ФНТ 28,
123 (2002) [Low Temp. Phys. 28, 85 (2002)].
15. I.N. Adamenko, Yu.A. Kitsenko, K.E. Nemchenko, V.A.
Slipko, and A.F.G. Wyatt, Fiz. Nizk. Temp. 31, 607 (2005)
[Low Temp. Phys. 31, 459 (2005)].
16. I.N. Adamenko, K.E. Nemchenko, and I.V. Tanatarov, Fiz.
Nizk. Temp. 32, 255 (2006) [Low Temp. Phys. 32, 187
(2006)].
17. I.N. Adamenko, Yu.A. Kitsenko, K.E. Nemchenko, V.A.
Slipko, and A.F.G. Wyatt, Fiz. Nizk. Temp. 33, 523 (2007)
[Low Temp. Phys. 33, 387 (2007)].
18. Ю.А. Непомнящий, А.А. Непомнящий, ЖЭТФ 75, 976
(1978).
19. Ю.А. Непомнящий, ЖЭТФ 85, 1244 (1983); там же 89,
511 (1985).
20. Ю.А. Непомнящий, E.A. Пашицкий, ЖЭТФ 98, 178
(1990).
21. Э.А. Пашицкий, ФНТ 25, 115 (1999) [Low Temp. Phys. 25,
81 (1999)].
22. Э.А. Пашицкий, С.И. Вильчинский, ФНТ 27, 253 (2001)
[Low Temp. Phys. 27, 185 (2001)].
Э.А. Пашицкий, С.И. Вильчинский, А.В. Чумаченко
730 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 7
23. Э.А. Пашицкий, С.И. Вильчинский, С.В. Машкевич,
ФНТ 28, 115 (2002) [Low Temp. Phys. 28, 79 (2002)].
24. E.A. Pashitskij, S.V. Mashkevich, and S.I. Vilchynskyy,
Phys. Rev. Lett. 89, 075301 (2002).
25. E.A. Pashitskij, S.V. Mashkevich, and S.I. Vilchynskyy, J.
Low Temp. Phys. 134, 851 (2004).
26. С.T. Беляев, ЖЭТФ 34, 417 (1958).
27. A.A. Aбрикосов, Л.П. Горьков, И.E. Дзялошинский, Ме-
тоды квантовой теории поля в статистической физи-
ке, Физматгиз, Москва (1962).
28. В.Н. Попов, Континуальные интегралы в квантовой
теории поля и статистической физике, Изд-во МГУ,
Москва (1976).
29. V.N. Popov and A.V. Serednyakov, Sov. Phys. JETP 50, 193
(1979).
30. H.R. Glyde and E.C. Swensson, Newtron Scattering in
Methods of Experimental Physics 23, Academ. Press., N.Y.
(1987).
31. A.F.G. Wyatt, Nature 391, 56 (1998).
32. N.M. Hugenholtz and D. Pines, Phys. Rev. 116, 489 (1959).
33. J. Gavoret and P. Nozières, Ann. of Phys. (N.Y.) 28, 349
(1964).
34. S. Putterman, P.H. Roberts, C.A. Jones, and A. Larraza, Ex-
citations Two-Dimensional and Three-Dimensional Quan-
tum Fluids, A.F.G. Wyatt and H.J. Lanter (eds.), Plenum
Press, New York (1991).
35. J.V. Pearce, R.T. Azuah. B. Fak, A.R. Sakhel, H.R. Glyde, and
W.G. Stirling, J. Phys. Condens. Matter 13, 4421 (2001).
On the decay nature of phonon spectrum
in superfluid helium
E.A. Pashitskij, S.I. Vilchynskyy,
and A.V. Chumachenko
It is shown that the decay character of the phonon
spectrum in superfluid helium is a consequence of the
analyticity and parity of boson selfenergy as a function
of energy and momentum. According to the previous
selfconsistent numerical calculations of normal and
anomalous selfenergy parts in a homogeneous super-
fluid Bose-liquid with the Bose–Einstein condensate
suppressed («exhausted») due to strong interparticle
interaction, these functions are analytical functions of
energy and momentum and on the mass shell in a
long-wave limit depends only on the square of mo-
mentum. On this basis it is shown that the phonon
spectrum of the Bose-liquid has the property of decay
in full agreement with the experimental data on neu-
tron scattering and interaction of high- and low-
frequency phonons in superfluid helium.
PACS: 67.25.D– Superfluid phase;
67.25.dt Sound and excitations.
Keywords: phonon spectrum, Bose-liquid, superfluid
helium.
|