Квантовые осцилляции импеданса слоистых проводников при упругом рассеянии электронов короткодействующими примесными центрами
Теоретически исследовано распространение электромагнитных волн в слоистых проводниках в квантующем магнитном поле B в случае, когда упругое рассеяние на короткодействующих примесных центрах является основным механизмом релаксации в электронной системе. В условиях аномального скин-эффекта вычислены к...
Saved in:
| Published in: | Физика низких температур |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/117366 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Квантовые осцилляции импеданса слоистых проводников при упругом рассеянии электронов короткодействующими примесными центрами / О.В. Кириченко, И.В. Козлов // Физика низких температур. — 2010. — Т. 36, № 7. — С. 782–789. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859714921707601920 |
|---|---|
| author | Кириченко, О.В. Козлов, И.В. |
| author_facet | Кириченко, О.В. Козлов, И.В. |
| citation_txt | Квантовые осцилляции импеданса слоистых проводников при упругом рассеянии электронов короткодействующими примесными центрами / О.В. Кириченко, И.В. Козлов // Физика низких температур. — 2010. — Т. 36, № 7. — С. 782–789. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Физика низких температур |
| description | Теоретически исследовано распространение электромагнитных волн в слоистых проводниках в квантующем магнитном поле B в случае, когда упругое рассеяние на короткодействующих примесных центрах является основным механизмом релаксации в электронной системе. В условиях аномального скин-эффекта вычислены квантовые осцилляции импеданса, в том числе высокотемпературные. Проанализировано влияние пространственной дисперсии на амплитуду и фазу осцилляций.
Теоретично досліджено поширення електромагнітних хвиль в шаруватих провідниках в квантуючому магнітному полі B у разі, коли пружне розсіяння на короткодіючих домішкових центрах є основним механізмом релаксації в электронній системі. В умовах аномального скін-ефекту обчислено квантові осциляції импедансу, у тому числі високотемпературні. Проаналізовано вплив просторової дисперсії на амплітуду та фазу осциляцій.
Propagation of electromagnetic waves in layered conductors placed in a quantizing magnetic field B is studied theoretically in the case when the elastic scattering by short-range impurity centers is a main relaxation mechanism in the electron system. Under anomalous skin-effect conditions the quantum oscillations of the impedance, including high-temperature oscillations, are calculated. The spatial dispersion influence on amplitude and phase of the oscillations is analyzed.
|
| first_indexed | 2025-12-01T08:11:27Z |
| format | Article |
| fulltext |
© О.В. Кириченко, И.В. Козлов, 2010
Физика низких температур, 2010, т. 36, № 7, c. 782–789
Квантовые осцилляции импеданса слоистых
проводников при упругом рассеянии электронов
короткодействующими примесными центрами
О.В. Кириченко, И.В. Козлов
Физико-технический институт низких температур им. Б.И. Веркина НАН Украины
пр. Ленина, 47, г. Харьков, 61103, Украина
E-mail: kozlov@ilt.kharkov.ua
Статья поступила в редакцию 5 января 2010 г., после переработки 1 февраля 2010 г.
Теоретически исследовано распространение электромагнитных волн в слоистых проводниках в
квантующем магнитном поле B в случае, когда упругое рассеяние на короткодействующих примесных
центрах является основным механизмом релаксации в электронной системе. В условиях аномального
скин-эффекта вычислены квантовые осцилляции импеданса, в том числе высокотемпературные.
Проанализировано влияние пространственной дисперсии на амплитуду и фазу осцилляций.
Теоретично досліджено поширення електромагнітних хвиль в шаруватих провідниках в квантуючому
магнітному полі B у разі, коли пружне розсіяння на короткодіючих домішкових центрах є основним
механізмом релаксації в электронній системі. В умовах аномального скін-ефекту обчислено квантові
осциляції импедансу, у тому числі високотемпературні. Проаналізовано вплив просторової дисперсії на
амплітуду та фазу осциляцій.
PACS: 72.30.+q Высокочастотные эффекты, плазменные эффекты.
Ключевые слова: слоистый проводник, квантовые осцилляции импеданса, квантующее магнитное поле.
Изучению осцилляций Шубникова–де Гааза и де
Гааза–ван Альфена в слоистых проводниках посвящено
большое число работ, характерный вид этих осцилляций
ярко продемонстрирован при измерениях магнитосо-
противления и магнитной восприимчивости солей
тетратиафульвалена — слоистых проводящих структур
органического происхождения (см. [1,2] и цитированную
там литературу). Изучению отклика слоистого провод-
ника, помещенного в квантующее магнитное поле, на
возбуждение в виде электромагнитной волны уделено
гораздо меньше внимания, хотя высокочастотные харак-
теристики проводника содержат богатую информацию
об электронных процессах в нем.
Квазидвумерный характер электронного энергети-
ческого спектра слоистых проводников приводит к
своеобразному виду осцилляционной зависимости их
кинетических характеристик, обусловленной квантова-
нием орбитального движения носителей заряда в силь-
ном магнитном поле B, когда циклотронная частота
электронов намного превосходит частоту их столкно-
вений. Поверхность Ферми ( ) = Fpε ε слоистого про-
водника может быть достаточно сложной и состоять из
топологически разных элементов в виде слабого-
фрированных цилиндров и гофрированных плоскостей в
импульсном пространстве. Вклад в осцилляционный
эффект вносят носители заряда, совершающие финитное
движение в плоскости, ортогональной вектору B. Пе-
риоды осцилляций определяются экстремальными значе-
ниями eS площади этих замкнутых сечений поверх-
ности Ферми. Вклад от каждого экстремального сечения
поверхности Ферми приводит к появлению в выражении
для характеристики проводника слагаемого, осцилли-
рующего с частотой / 2encS e , где e — заряд
электрона, — постоянная Планка, c — скорость света,
n — целое число. В результате произведения таких
вкладов появляются гармоники с комбинированными
частотами, в частности слагаемые с частотами
max min( ) / 2nc S S e+ и max min( ) / 2 .nc S S e− Послед-
ние слабо затухают с температурой, что связано с неза-
висимостью фазы осцилляций от Fε [3,4].
В настоящей работе рассмотрено распространение
электромагнитных волн в квазидвумерном проводнике
при низких температурах и вычислен поверхностный
импеданс с помощью метода Кубо. Мы будем пола-
Квантовые осцилляции импеданса слоистых проводников
Физика низких температур, 2010, т. 36, № 7 783
гать, что релаксация в электронной системе осущест-
вляется в основном за счет рассеяния носителей заряда
на примесных центрах.
Чтобы избежать излишне громоздких выражений,
предположим, что в плоскости слоев закон дисперсии
носителей заряда изотропен и может быть представлен
в виде
2 2
=1
1( ) = ( ) cos ,
2
z
x y n
n
anp
p p
m
∞ ⎛ ⎞ε + + ε ⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑p (1)
где — постоянная Планка, a — расстояние между
слоями, а величины nε быстро убывают с ростом
номера n .
Будем полагать, что внешнее постоянное магнитное
поле B и волновой вектор k направлены вдоль нормали
к слоям (ось z ), а поверхность образца ( = 0z )
зеркально отражает носители заряда. Для векторного
потенциала A воспользуемся следующей калибровкой:
0 0= , = (0, ,0), = , = 0,icBx+ − ϕ
ω
A A A A A E (2)
где E — электрическое поле волны.
Волновой процесс можно полагать монохромати-
ческим с частотой ω , так что дифференцирование по
времени эквивалентно умножению на i− ω .
Токовый отклик на возбуждение в виде exp( )iE ikz
представим в виде ( ) = ( )exp( )i ij z j k ikz , где
ˆ ˆˆ( ) = Sp[e ], = ( , ),ikz
i ij k e v f i x y− (3)
0 0
1 ˆˆ ˆ= ( ) =e e e
m c c c
− − −v p A A v A — оператор скорос-
ти, а f̂ — статистический оператор.
Введем циркулярно поляризованные компоненты
электрического поля = x yE E iE± ± , тока = x yj j ij± ±
и оператора скорости ˆ ˆ ˆ= x yv v iv± ± .
В линейном приближении по возмущению в виде
электромагнитной волны можно записать
2
ˆ
1 0
ˆˆ( ) = Sp[e ] Sp[ ] =ikz e Ej k e v f f
i m
±
± − ± −
ω
2
ˆ
1̂ˆSp[e ] ,ikz ee n
e v f E
i m
− ± ±= −
ω
(4)
где статистический оператор представлен в виде
суммы равновесного оператора 0̂f и добавки 1̂f , свя-
занной с возмущением системы носителей заряда
электромагнитной волной, en — плотность носителей
заряда.
Статистический оператор удовлетворяет кинети-
ческому уравнению, которое в линейном приближении
по малому возмущению представим в виде
1 0[ ( )] = [ ; ( )] .E
i ii H H f H f H±
ν μ νμ νμ− ω+ δ + − − (5)
Здесь мы воспользовались представлением собствен-
ных функций оператора Ĥ гамильтониана электрона в
поле примесных центров
ˆ ˆˆ ˆ= ( ),i i
i
H V r Rε + −∑ (6)
где îV — потенциал примесного центра, распо-
ложенного в точке ,iR который будем полагать сла-
бым и короткодействующим, ε̂ — гамильтониан сво-
бодных носителей заряда в магнитном поле.
Полный гамильтониан ˆ ˆ ˆ=T EH H H± ±+ содержит
дополнительное слагаемое, учитывающее возмущение
ˆˆ1ˆ = e .
2
ikz
E
eE vH
i
±
± −
ω
∓
(7)
Определив 1̂f из уравнения (5) и подставив его в
формулу (4), получим выражение для тока при за-
данной конфигурации примесей. Усреднив его по всем
возможным конфигурациям, получим
= , = ,xx yxj E i± ± ± ±σ σ σ ± σ (8)
где
20 02
1 2
1 2 1 2
1 2
( ) ( )
= ( , ) ,ee nf E f Ee dE dE g E E
i E E i i m
± ±−
σ − −
ω ω+ − + δ ω∫
(9)
ˆ ˆ
1 2 1 2
ˆ ˆˆ ˆ( , ) = Sp ( ) e ( ) e ,ikz ikzg E E E H v E H v± ± −〈δ − δ − 〉∓
угловыми скобками обозначено усреднение по приме-
сям. Соотношение (9) представляет собой один из ва-
риантов формы записи формулы Кубо для электро-
проводности в применении к случаю выбранной нами
калибровки векторного потенциала [5].
Оператор ˆ( )E Hδ − в формуле (9) можно предста-
вить в виде
ˆ ˆˆ( ) = [ ( ) ( )],
2
iE H G E G E+ −δ − −
π
(10)
где 1ˆ ˆ( ) = ( )G E E H i± −− ± δ — одноэлектронная функ-
ция Грина.
Ограничимся приближением, когда рассеяние на от-
дельном примесном центре учитывается в борновском
приближении, а усреднение по конфигурациям приме-
сей производится самосогласованным образом без уче-
та «перекрестных» диаграмм, что оправдано для корот-
кодействующей примеси, радиус действия которой
много меньше длинны волны де-Бройля фермиевского
электрона. Тогда функции Грина «расцепляются» [5,6],
что позволяет записать
О.В. Кириченко, И.В. Козлов
784 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 7
ˆ
1 2 12
1 ˆ ˆ( , ) = Sp{Im ( ) e ikzg E E G E v± − ± −〈 〉 ×
π
ˆ
2
ˆ ˆIm < ( ) > e },ikzG E v−× ∓ (11)
где 1ˆ< ( ) >=
ˆˆ ( )
G E
E E
±
±− ε −Σ
(12)
выражается с помощью усредненного по примесным
центрам массового оператора, который можно пред-
ставить в виде ˆˆ ( ) = ( ) ,E E I± ±Σ Σ где Î — единичный
оператор.
В дальнейшем ограничимся первым членом ряда в
формуле (1) и представим энергетический спектр элект-
рона в квантующем магнитном поле в виде
1= ( ) 2 cos ,
2
zap
N t ⎛ ⎞ε Ω + − ⎜ ⎟
⎝ ⎠
(13)
где = /eB mcΩ , N — целое число, 2t — интеграл
перекрытия волновых функций электронов, принад-
лежащих соседним слоям, а проекция скорости элект-
рона на нормаль к слоям
0 0
2= sin , = .z
z z z
ap tav v v⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
(14)
Мы полагаем выполненными следующие неравенства:
/ << << 2 << .Ftτ Ω ε (15)
Массовый оператор в случае слабого и коротко-
действующего потенциала рассеяния имеет вид [7]
( )
0
0 =1
2 4( ) = 1 2 exp ,
2
n
D
n
i inE ntE J C
∞
± ⎡ ⎤π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞Σ + ±⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟τ Ω Ω⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
∑∓
(16)
где 0τ — время релаксации носителей заряда в от-
сутствие магнитного поля (см., например, [3]), ( ) =n
DC
0exp( / ( ))n= −π Ωτ — фактор Дингла, 0J — функция
Бесселя.
Учитывая асимптотическое поведение функции
Бесселя при больших значениях аргумента, 0J ≈
2 / cos( / 4)x x≈ π − π , легко видеть, что осциллирую-
щая часть массового оператора меньше первого сла-
гаемого в формуле (16) в силу малости параметра
/ 2tΩ .
При вычислении следа произведения операторов в
формуле (11) будем производить суммирование по со-
стояниям электронов, заданных квантовым числом N
и значением проекции квазиимпульса zp , и восполь-
зуемся формулой Пуассона:
2
=0
2ˆSp{ } = ( ) =
(2 )
NN z z
N
eB p dp
c
∞
φ φ
π
∑ ∫
2
2
= 1/2
2 e ( ).
(2 )
iNn
z NN z
n
eB dN dp p
c
∞∞
π
−∞ −
= φ
π
∑ ∫ ∫ (17)
Это позволяет выделить в выражении для электропро-
водности плавно меняющуюся с магнитным полем и
осциллирующую части:
0 osc= ,± ± ±σ σ +σ (18)
где
2
0 2 2 2
0 0
1= ,
4 ( 1/ )
p
zk v i i
± ω
σ
π + − ω± Ω+ τ
(19)
pω — частота плазменных колебаний электронов.
В результате несложных, но достаточно громоздких
вычислений осциллирующая с магнитным полем часть
электропроводности osc
±σ в свою очередь может быть
представлена в виде суммы
osc 1 2 3 4= , .± ± ± ± ±σ σ +σ +σ +σ (20)
Здесь вклады 1
±σ и 2
±σ описывают осцилляции, зату-
хающие с ростом температуры при T Ω , а осталь-
ные два слагаемых 3
±σ и 4
±σ осциллируют с комби-
нированными частотами и в общем случае убывают с
температурой значительно медленнее, чем 1
±σ и 2
±σ , а
для энергетического спектра вида (13) вообще не име-
ют температурного множителя. Слагаемые 1 2,± ±σ σ в
основном приближении по малому параметру / 2tΩ
имеют вид
____________________________________________________
2
( ) ( )
1 13
=1
21 ( 1)= cos [(1 exp(2 / )) ( , , )
2 8
np n n F
nT D
n
n
C C in I ak
t n
∞
±
τ
ω ⎧ π εΩ − ⎛ ⎞σ − π ω Ω β α +⎨ ⎜ ⎟ω Ω⎝ ⎠π ⎩
∑
1 0 1 0 1
2
exp (2 / ) ( , , ) ( , , )] ( , , )sin F
n n n
F
n
in I ak I ak i I akτ
⎫π εω ⎛ ⎞+ π ω Ω β α + −β α + β α ⎬⎜ ⎟ε Ω⎝ ⎠⎭
, (21)
2
0
2 2 2 2 2 30 0 0
1/
=
4 ( ( 1/ ) )
p
z
i ii
k v i i
± Ωω − ω± Ω+ τ
σ − ×
ωτπ + − ω± Ω+ τ
( ) ( )
0
=1
2( 1) (1 exp (2 / )) ( )cos .
n
n n F
nD T
n
n
in C C J
n
∞ π ε− ⎛ ⎞× − π ω Ω α ⎜ ⎟Ω⎝ ⎠
∑ (22)
Квантовые осцилляции импеданса слоистых проводников
Физика низких температур, 2010, т. 36, № 7 785
Здесь множитель ( ) = / sinhn
TC nu nu , где =u 22 / ,Tπ Ω учитывает затухание осцилляций с ростом температуры
,T
0
0
/4= , = , = ,
2 2n
int i
t tτ
− ω± Ω − τπ − ω± Ω − δ
α β β
Ω
(23)
и интеграл 1I определяется выражением
1 0
0
exp( cos )( , , ) =
cos ( ) cos ( )
i dI
π
−π
α ϕ ϕ
β α ϕ =
β+ ϕ+ϕ − ϕ∫
0 1 0 2
1 1
0 1 2 1 1 2 2
(cos 1) (cos 1)1 2 1 2= exp( ) ( ,1,1; ,2 ) ,1,1; , 2 ,
(cos 1)( ) 1 2 1 1 2 1
z z
i i i
z z z z z z
⎫⎧ ⎛ ⎞β + ϕ − β+ ϕ −π ⎪− α Φ α − Φ α⎨ ⎬⎜ ⎟ϕ − − + + + + ⎪⎩ ⎝ ⎠⎭
(24)
где 1 2,z z — корни уравнения
2 2
2 0
0
sin
= 0.
2(1 cos )
z z
β − ϕ
−β +
− ϕ
(25)
Приведенное выражение (24) интеграла 1I через вырожденную гипергеометрическую функцию двух
переменных
1 1( , , ; , ) = ( , , , ; ,1 / )lim
N
a b c x y F a b Ny c x N
→∞
Φ (26)
можно получить, если воспользоваться ее интегральным представлением (см. [8], формула (3.211)):
1
1 1
1
0
1( , , , ; , ) = (1 ) (1 ) (1 )
( , )
F u v dx x x ux vx
B
λ− μ−λ− −ρ −σλ ρ σ μ − − −
μ −λ λ ∫ (27)
и записать интеграл (24), как предел интеграла (27).
В дальнейшем будет удобнее воспользоваться асимптотическим выражением для 1 0( , , )I β α ϕ при >> 1α .
Учитывая, что основной вклад в интеграл 1I вносят окрестности точек = 0,ϕ π , получим
2 4
2 0
1 0 2
0 00
/ 4
( , , ) 2exp cos 1 sign Im
2 2
i iI
⎧ ⎛ ⎞⎡ ⎤β + ϕπ β⎪ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟β α ϕ ≈ − αβ α − +⎢ ⎥⎨ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ϕ ϕ⎝ ⎠ ϕ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎩
2 22 2 2 2
0 0 0 0
0 0 0 0
/ 2 / 2 / 2 / 21 1exp 1 erf exp 1 erf ,
2 2 2 2
i ii i
⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞β −ϕ β−ϕ β+ϕ β+ϕα α ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ α − − − − α −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ϕ ϕ ϕ ϕ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎭
(28)
где
2
0
erf ( ) = (2 / ) e
x
tx dt−π ∫ — интеграл вероятности.
Вклад 1σ определяется слагаемыми с 0n ≠ в формуле (17), а вклад 2σ связан с квантовыми осцилляциями
массового оператора (16). Вывод выражений для 1σ и 2σ , а также приведенных ниже 3σ и 4σ существенно
упрощается, если заметить, что при замене 1 2=E E E′ − в формуле (9) , интеграл по E ′ , будучи взят в последнюю
очередь, сведется к единственному вычету 1 2 = 0E E− + ω для вкладов 2 3 4, ,σ σ σ и для большей части 1σ , за
исключением слагаемых, содержащих 1 0( , , )nI ak±β α .
При температурах, сравнимых с температурой Дингла, с вкладами 1σ и 2σ начинают конкурировать
слагаемые
2 2
(2 )
3 0 12 2
=10
1= exp(2 / ) ( ) ( , , ) ,
4 (2 )
p n
n nD
n
C in J I ak
t
∞
τ
τ
ω ∂
σ − π ω Ω α β α
∂βπ τ
∑ (29)
2 2 2 2
(2 )20 0
4 02 2 2 2 5 =10 0 0
2( 1/ )
= exp (2 / ) ( ) ,
4 ( ( 1/ ) )
p nz
n D
nz
i i k v
in J C
k v i i
∞ω − ω± Ω+ τ −
σ π ω Ω α
πτ + − ω± Ω+ τ
∑ (30)
О.В. Кириченко, И.В. Козлов
786 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 7
возникающие в следующем порядке по параметру
/ 2tΩ , однако не содержащие температурного мно-
жителя ( )n
TC . Его отсутствие связано с тем, что интер-
ференция осциллирующих функций, содержащихся в
выражении для массового оператора и в разложении
следа произведения операторов по формуле Пуассона в
(17), приводит к появлению гармоник с частотами, не
зависящими от энергии Ферми. Заметим, что в одно-
электронном приближении выполняется следующее
соотношение:
0 ( )
( , ) = ( ) .ij F ij
f E
T F E dE
E
∂⎛ ⎞σ ε −⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ (31)
Здесь ( )ijF E — тензор электропроводности ijσ , взя-
тый при энергии Ферми, равной E, и нулевой тем-
пературе. В соответствии с формулой (31) незави-
симость фазы осцилляций от энергии Ферми приводит
к отсутствию их температурного затухания. Возник-
новение осцилляций на комбинаторных частотах в
присутствии упругого рассеяния было замечено в
работе [9]. Существование высокотемпературных ос-
цилляций в случае квазидвумерного энергетического
спектра было показано в работе [4] для случая про-
дольной статической проводимости и в работе [3] для
случая нормального скин-эффекта вдали от резонанса
| |>> 1/ .ω−Ω τ
Квантовые осцилляционные эффекты в высоко-
частотных полях можно наблюдать, измеряя поверх-
ностный импеданс проводника, связывающий поле на
поверхности образца с величиной полного тока. В
случае зеркального отражения носителей заряда по-
верхностью образца, параллельной слоям, импеданс
имеет вид
2 2 2 2
4 (0) 4= = .
(0) 4 ( , ) /
i E i dkZ
c E c k i k c
∞±
±
± ±
−∞
π ω ω
−
′ − π ωσ ω∫ (32)
Учитывая, что осциллирующая с магнитным полем
часть электропроводности мала по сравнению с 0σ ,
импеданс можно представить в виде суммы плавно
меняющейся части 0Z± и малых квантовых поправок
0= .b sZ Z Z Z± ± ± ±+ + (33)
Так же, как осциллирующие слагаемые в выраже-
нии для электропроводности, квантовые поправки к
импедансу можно разделить на два типа. Слагаемые
первого типа bZ (основные гармоники) имеют вид бие-
ний и затухают с температурой, а слагаемые второго
типа sZ («медленные осцилляции») обладают меньшей
амплитудой, но могут наблюдаться при более высоких
температурах, чем осцилляции первого типа.
В случае нормального скин-эффекта, когда прост-
ранственной дисперсией можно пренебречь
*0( / | | 0)zkv ω → , справедливы следующие выражения:
*
0 = 4 ,
p
Z i
c
± ωω
− π
ω
(34)
-___________________________________________________
* ( ) ( )
0 2 3/2* =10
2( 1) 4= 1 [1 exp(2 / )] cos cos ,
2 42
n
n n F
b D T
n
nntZ Z in C C
t n
∞
± ± ⎡ ⎤ π εΩ Ω ω − π π ⎛ ⎞⎛ ⎞− + − π ω Ω −⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ω Ω Ω Ω⎝ ⎠ ⎝ ⎠π ωω τ ⎢ ⎥⎣ ⎦
∑∓
(35)
(2 )
0 2 * * =10 0
1 8= 1 exp (2 / ) sin ,
22
n
s D
n
i i ntZ Z C in
t n
∞
± ± ⎛ ⎞Ω π
− π ω Ω⎜ ⎟⎜ ⎟ Ωπ ω τ ω τ⎝ ⎠
∑ (36)
где *
0= /iω ω Ω+ τ∓ . Эти формулы соответствуют результатам для низкочастотного импеданса слоистого
проводника, полученным нами в работе [3].
Ниже сосредоточим наше внимание на случае сильной пространственной дисперсии, когда
* 2 2 1/30
0 0 0*<< , = ( / ) .
| |
z
z p
v
l c vδ ≡ δ ω ω
ω
(37)
В результате несложных вычислений можно убедиться, что в рассматриваемом случае вклады в импеданс,
связанные со слагаемыми 2 4,± ±σ σ , несущественны и могут быть опущены, а вклады, связанные со слагаемыми 1
±σ
и 3
±σ , имеют вид
0
0 2
8= (1 3) ,
3 3
Z i
c
± ωδπ
− (38)
( ) ( )
2 2
=1
24 ( 1)= cos
n
n n F
b T D
n
naZ C C
nc
∞
± π εΩ − ⎛ ⎞×⎜ ⎟Ω⎝ ⎠π
∑
2 2 0 2 0 2[(1 exp (2 / )) ( , ) exp (2 / ) ( , ) ( , ) ( , )],n n n n
F
in I in I I i Iτ τ
ω
× − π ω Ω α β + π ω Ω α β + α −β + α β
ε
(39)
Квантовые осцилляции импеданса слоистых проводников
Физика низких температур, 2010, т. 36, № 7 787
(2 )
0 22
=10
8= exp (2 / ) ( ) ( , ),
2
n
s n nD
n
aZ C in J I
t c
∞
±
τ
τ
ω ∂
− π ω Ω α α β
π ∂βτ
∑ (40)
где
2 1 02 2
0
( , ) = ( , , / ).
( / )
dI x y I y x a
i
∞ ξ
ξ δ
ξ − ξ∫ (41)
Формулы (38)–(41) представляют собой общее выражение для поверхностного импеданса слоистого про-
водника в случае аномального скин-эффекта. Приведем асимтотический вид импеданса слоистого проводника для
следующих предельных случаев.
В случае, если выполнено неравенство
*0
0<< << ,
2 | |
zv
l
t
Ω
δ
ω Ω∓
(42)
выражение для высокотемпературного вклада в поверхностный импеданс имеет вид
(2 )
2 2 2* =10
8 1 8= exp (2 / )sin .
3 ( )
n
s D
n
i a ntZ C in
nc
∞
± ωΩ π
π ω Ω
Ωπ τ ω
∑ (43)
Низкотемпературная быстроосциллирующая часть импеданса представляет собой сумму вкладов =bZ±
1 2 3b b bZ Z Z± ± ±= + + , где
2
( ) ( )
1 2 2 3/2* =10
28 2 ( 1) 4= cos cos [1 exp (2 / )]
43 ( )
n
n n F
b T D
n
na t ntZ C C in
c n
∞
± π εΩ − π π ⎛ ⎞⎛ ⎞− − − π ω Ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟Ω Ω Ω⎝ ⎠ ⎝ ⎠π ω τ ω Ω
∑
∓
(44)
— основной вклад при не слишком малой концентрации примеси, два других вклада становятся существенными в
бесстолкновительном пределе:
23
( ) ( )
2 2 2 3/2
=10
216 3 3 2 ( 1) 4= cos cos ,
27 2 4
n
n n F
b T D
n
ni a t ntZ C C
tc n
∞
± π ε− Ω Ω − π π ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ω Ω Ω Ωπ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠δ
∑∓
(45)
( ) ( )
3 2 2 3/2* =1
2 28 ( 1) 4= cos cos .
43
n
n n F
b T D
F n
t na ntZ C C
c n
∞
± Ω π εΩ ω − π π ⎛ ⎞⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟ε Ω Ω⎝ ⎠ ⎝ ⎠π ω
∑ (46)
_______________________________________________
Уместно провести параллель с расчетом, основан-
ным на применении цепочки уравнений Боголюбова,
который для случая нормального скин-эффекта и квад-
ратичного закона дисперсии проведен в работе [10].
Тогда можно сказать, что вклад 3bZ± связан с той час-
тью тензора проводимости, в которой не учитывается
квантовый характер ядра интеграла столкновений.
Вклад 3bZ мал и приведен исключительно из мето-
дических соображений. Вклад 2bZ± , как и 3bZ± , не исче-
зает в бесстолкновительном пределе, но существен
только в случае сильной пространственной дисперсии.
Роль 2bZ± возрастает с ростом магнитной составляю-
щей электромагнитного поля в среде.
Случай предельно сильной пространственной дис-
персии, когда
*
0
2 << << ,
2
t a l
t
Ω
δ
Ω
(47)
физически может быть реализован за счет увеличения
эффективной длины пробега *l в окрестности резо-
нанса * <<ω Ω . Тогда
(2 )
2
=10 0
32( 3 ) 8= exp(2 / ) cos ,
9 3
n
s D
np
i ntZ C in
∞
± − π
− π ω Ω
Ωω τ δ
∑ (48)
____________________________________________________
2
0
1 2
=10
232 ( 1) 2 4= ( 3 3 ) cos 1 exp sin ,
27 2 4
n
n n F
T Db
n
n in ntZ i C C
t nc a
∞
± δ π εΩ − ⎡ π ω ⎤ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥Ω Ω Ω⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠τ ⎣ ⎦
∑ (49)
О.В. Кириченко, И.В. Козлов
788 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 7
2 2
=1
216 2 ( 1) 4= cos cos ,
3 4
n
n n F
b T D
n
na t ntZ C C
nc
∞
± π εΩ − π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟π Ω Ω Ω⎝ ⎠⎝ ⎠
∑ (50)
0
3 2
=1
28 ( 1) 4= ( 3 3 ) sin cos .
27
n
n n F
b T D
F n
n ntZ i C C
nc
∞
± Ωδ π εω − π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎜ ⎟ε Ω Ω⎝ ⎠⎝ ⎠
∑ (51)
_______________________________________________
При этом фаза медленных осцилляций sZ сдвинута на
/ 2π относительно случая, определяемого неравенст-
вом (42).
Приведем выражение для высокотемпературного
вклада при условии
*
0
2 << << ,t a lδ
Ω
(52)
которое охватывает оба случая. Для этого заметим, что
основной вклад в интеграл 2I , к которому сводится
вычисление высокотемпературного вклада (40), вносят
области интегрирования extr <<1ϕ−ϕ интеграла 1I ,
где extr = 0,ϕ ±π . Также можно заметить, что при усло-
вии (52) основной вклад в высокотемпературные ос-
цилляции импеданса вносит нечетная по β часть инте-
грала 1I . Тогда выражение для высокотемпературных
осцилляций импеданса может быть записано в виде
(40), в котором интеграл 2I имеет вид
0 0 0
2 1 1( , ) exp( ) , exp( ) , ,I i F i F
a a a
− +δ ⎧ δ β δ β ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞α β ≈ α α + − α α⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭
(53)
где
2
1 2
20
exp
2( , ) =
i x dx
dkF
kxik
k
∞ ∞
±
−∞
α⎛ ⎞±⎜ ⎟
⎝ ⎠α β =
β+⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫
3
2
=1
= ( , , ).i i
ii
F k
k
±∂
γ α β
∂∑ (54)
Здесь 2= 1/ (9 )i ikγ суть коэффициенты разложения
знаменателя 2 1[ ( / )]k i k −− на простые дроби, ik —
корни уравнения 3 = 0,k i−
_____________________________________________________
2
2
2 3 2
0
exp
2( , , ) = = Sign Im ( ) 0,i
i i i
i x dx kdk iF k k F
k k kx k k
∞ ∞
β± ±
β
−∞
α⎛ ⎞±⎜ ⎟ ⎛ ⎞π⎝ ⎠ ⎜ ⎟α β ± − +
⎜ ⎟− β+ ⎝ ⎠
∫ ∫
2 2
3 32 2 2 2 1=
2
ln ln ( ) 1ln ( ) , , ,
2 2 2
i
pi i i i
k k k k k k
k F F p
pk k k k
β β β β β β± ±
−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎛ ⎞ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ − − − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(55)
где =
2
kβ
α
β и
2 1
3
0
( , ) = exp ( ) = ( ) exp[ ( / 2 )] ( 1) ( , ) 2 ( ) exp ( ) ( Im ) ( Re ),
p
p p pxF p a ix dx ia i p a p p ia i a ia a a
x a
∞
± +± ± π − Γ + Γ − + π ± θ θ −
+∫ ∓ ∓ ∓ ∓
(56)
_______________________________________________
1( , ) = exp ( )p
x
p x t t dt
∞
−Γ −∫ — неполная гамма-функ-
ция, для всех многозначных функций ( ln( ),x ,px
( , )p xΓ при нецелом p) выбрана главная ветвь с раз-
резом на отрицательной части вещественной оси ком-
плексной плоскости аргумента. Явные выражения для
производных, входящих в выражения (40),(54),(55),
могут быть легко получены и не приведены здесь в
силу громоздкости.
Полученные результаты представляют полную кар-
тину квантовых осцилляций поверхностного импедан-
са слоистого проводника, связанных с квантованием
орбитального движения носителей заряда в магнитном
поле в рассматриваемой геометрии. Во всей области
частот квазидвумерный характер электронного энерге-
тического спектра такого проводника проявляется в
наличии двух типов осциллирующих слагаемых в вы-
ражении для импеданса: биений и «медленных» вы-
сокотемпературных осцилляций. Отсутствие темпера-
турного затухания этих осцилляций является следст-
Квантовые осцилляции импеданса слоистых проводников
Физика низких температур, 2010, т. 36, № 7 789
вием выбора такой модели закона дисперсии носите-
лей заряда, когда интеграл перекрытия волновых фун-
кций электронов, принадлежащих соседним слоям, не
зависит от их энергии. Учет этой зависимости может
привести к уменьшению амплитуды медленных осцил-
ляций с температурой, однако это затухание будет
гораздо более слабым, чем температурное затухание
основных гармоник.
В случае достаточно сильной пространственной
дисперсии, *
0/ (2 ) > ,t lΩ δ возникает сдвиг фазы на
/ 2π высокотемпературных осцилляций. Пространст-
венная дисперсия существенна, когда носители заряда
успевают покинуть скин-слой на эффективной длинне
свободного пробега, т.е. если *
0/ | |> .zv ω δ Однако
квантовые осцилляции формируются относительно не-
большими группами носителей заряда вблизи экстре-
мальных сечений поверхности Ферми, для которых
вектор скорости направлен под острым углом к по-
верхности образца, и его проекция на нормаль к
поверхности образца мала, 0 0/ (2 ) <<z z zv t v vΩ∼ .
Таким образом, для групп носителей заряда, опреде-
ляющих квантовые осцилляции импеданса, прост-
ранственная дисперсия становится существенной при
*
0 < / (2 ) .t lδ Ω Последнее условие разделяет два
режима поглощения электромагнитной волны, что про-
является на изменении амплитуды и фазы осцилляций.
Фазовый сдвиг возникает также и на огибающей
биений высокочастотных низкотемпературных осцил-
ляций. Последний менее выражен, чем фазовый сдвиг
высокотемпературных осцилляций, что связано с кон-
куренцией «примесных» вкладов и вкладов, обязанных
своим существованием сильной пространственной дис-
персии, которая приводит к сложной зависимости
фазы и амплитуды осцилляций от концентрации при-
месей и глубины скин-слоя.
1. M.V. Kartsovnik, Chem. Rev. 104, 5737 (2004).
2. М.В. Карцовник, В.Г. Песчанский, ФНТ 31, 249 (2005)
[Low Temp. Phys. 31, 185 (2005)].
3. О.В. Кириченко, И.В. Козлов, ФНТ 28, 509 (2002) [Low
Temp. Phys. 28, 359 (2002)].
4. M.V. Kartsovnik, P.D. Grigoriev, W. Biberacher, N.D.
Kushch, and P. Wyder, Phys. Rev. Lett. 89, 126802 (2002).
5. S. Doniach and E.H. Sondheimer, Green's Functions for Solid
State Physicists, Imperial College Press, London (1998).
6. А.А. Абрикосов, Л.П. Горьков, И.Е. Дзялошинский,
Методы квантовой теории поля в статистической
физике, Физматгиз, Москва (1962).
7. О.В. Кириченко, И.В. Козлов, Д. Крстовска, В.Г. Песчанс-
кий, ФНТ 34, 681 (2008) [Low Temp. Phys. 34, 538 (2008)].
8. И.С. Градштейн, И.М. Рыжик, Таблицы интегралов,
сумм, рядов и произведений, Физматгиз, Москва (1963).
9. В.Л. Гуревич, Письма в ЖЭТФ 5, 260 (1967).
10. В.В. Андреев, А.М. Косевич, ЖЭТФ 43, 1061 (1962).
Quantum oscillations of the impedance of layered
conductors at elastic scattering of electrons
by short-range impurity centers
O.V. Kirichenko and I.V. Kozlov
Propagation of electromagnetic waves in layered
conductors placed in a quantizing magnetic field B is
studied theoretically in the case when the elastic
scattering by short-range impurity centers is a main
relaxation mechanism in the electron system. Under
anomalous skin-effect conditions the quantum oscil-
lations of the impedance, including high-temperature
oscillations, are calculated. The spatial dispersion
influence on amplitude and phase of the oscillations is
analyzed.
PACS: 72.30.+q High-frequency effects; plasma
effects.
Keywords: layered conductor, quantum oscillations of
the impedance, quantizing magnetic field.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-117366 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0132-6414 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T08:11:27Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кириченко, О.В. Козлов, И.В. 2017-05-22T15:44:28Z 2017-05-22T15:44:28Z 2010 Квантовые осцилляции импеданса слоистых проводников при упругом рассеянии электронов короткодействующими примесными центрами / О.В. Кириченко, И.В. Козлов // Физика низких температур. — 2010. — Т. 36, № 7. — С. 782–789. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 72.30.+q https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/117366 Теоретически исследовано распространение электромагнитных волн в слоистых проводниках в квантующем магнитном поле B в случае, когда упругое рассеяние на короткодействующих примесных центрах является основным механизмом релаксации в электронной системе. В условиях аномального скин-эффекта вычислены квантовые осцилляции импеданса, в том числе высокотемпературные. Проанализировано влияние пространственной дисперсии на амплитуду и фазу осцилляций. Теоретично досліджено поширення електромагнітних хвиль в шаруватих провідниках в квантуючому магнітному полі B у разі, коли пружне розсіяння на короткодіючих домішкових центрах є основним механізмом релаксації в электронній системі. В умовах аномального скін-ефекту обчислено квантові осциляції импедансу, у тому числі високотемпературні. Проаналізовано вплив просторової дисперсії на амплітуду та фазу осциляцій. Propagation of electromagnetic waves in layered conductors placed in a quantizing magnetic field B is studied theoretically in the case when the elastic scattering by short-range impurity centers is a main relaxation mechanism in the electron system. Under anomalous skin-effect conditions the quantum oscillations of the impedance, including high-temperature oscillations, are calculated. The spatial dispersion influence on amplitude and phase of the oscillations is analyzed. ru Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України Физика низких температур Электронные свойства проводящих систем Квантовые осцилляции импеданса слоистых проводников при упругом рассеянии электронов короткодействующими примесными центрами Quantum oscillations of the impedance of layered conductors at elastic scattering of electrons by short-range impurity centers Article published earlier |
| spellingShingle | Квантовые осцилляции импеданса слоистых проводников при упругом рассеянии электронов короткодействующими примесными центрами Кириченко, О.В. Козлов, И.В. Электронные свойства проводящих систем |
| title | Квантовые осцилляции импеданса слоистых проводников при упругом рассеянии электронов короткодействующими примесными центрами |
| title_alt | Quantum oscillations of the impedance of layered conductors at elastic scattering of electrons by short-range impurity centers |
| title_full | Квантовые осцилляции импеданса слоистых проводников при упругом рассеянии электронов короткодействующими примесными центрами |
| title_fullStr | Квантовые осцилляции импеданса слоистых проводников при упругом рассеянии электронов короткодействующими примесными центрами |
| title_full_unstemmed | Квантовые осцилляции импеданса слоистых проводников при упругом рассеянии электронов короткодействующими примесными центрами |
| title_short | Квантовые осцилляции импеданса слоистых проводников при упругом рассеянии электронов короткодействующими примесными центрами |
| title_sort | квантовые осцилляции импеданса слоистых проводников при упругом рассеянии электронов короткодействующими примесными центрами |
| topic | Электронные свойства проводящих систем |
| topic_facet | Электронные свойства проводящих систем |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/117366 |
| work_keys_str_mv | AT kiričenkoov kvantovyeoscillâciiimpedansasloistyhprovodnikovpriuprugomrasseâniiélektronovkorotkodeistvuûŝimiprimesnymicentrami AT kozloviv kvantovyeoscillâciiimpedansasloistyhprovodnikovpriuprugomrasseâniiélektronovkorotkodeistvuûŝimiprimesnymicentrami AT kiričenkoov quantumoscillationsoftheimpedanceoflayeredconductorsatelasticscatteringofelectronsbyshortrangeimpuritycenters AT kozloviv quantumoscillationsoftheimpedanceoflayeredconductorsatelasticscatteringofelectronsbyshortrangeimpuritycenters |