К теории квантовых фазовых переходов в димеризованных антиферромагнетиках

Рассмотрен индуцированный внешним магнитным полем квантовый фазовый переход в димеризованном спиновом кристалле из его синглетного основного состояния в антиферромагнитно упорядоченное в предположении, что обменное взаимодействие как внутри димеров, так и между ними носит антиферромагнитный характер...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2010
Автори:	Калита, В.М., Локтев, В.М.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2010
Назва видання:	Физика низких температур
Теми:	№ 8-9 - К 80-летию со дня рождения В.Г. Барьяхтара
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/117440
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	К теории квантовых фазовых переходов в димеризованных антиферромагнетиках / В.М. Калита, В.М. Локтев // Физика низких температур. — 2010. — Т. 36, № 8-9. — С. 838–845. — Бібліогр.: 22 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-117440
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1174402025-02-23T18:14:17Z К теории квантовых фазовых переходов в димеризованных антиферромагнетиках On the theory of quantum phase transition in dimerized antiferromagnets Калита, В.М. Локтев, В.М. № 8-9 - К 80-летию со дня рождения В.Г. Барьяхтара Рассмотрен индуцированный внешним магнитным полем квантовый фазовый переход в димеризованном спиновом кристалле из его синглетного основного состояния в антиферромагнитно упорядоченное в предположении, что обменное взаимодействие как внутри димеров, так и между ними носит антиферромагнитный характер. Показано, что в процессе такого превращения критически возникает магнитная поляризация ионов в димере, а следовательно, и димеров в целом. Ориентации векторов спинов и величины их проекций в магнитоупорядоченной фазе зависят от приложенного магнитного поля, а магнитная восприимчивость этой — по существу, квантовой — фазы остается (аналогично случаю классического неелевского антиферромагнетика) постоянной в ходе разворота спинов магнитных подрешеток. Розглянуто індукований зовнішнім магнітним полем квантовий фазовий перехід у димеризованому спіновому кристалі з його синглетного основного стану в антиферомагнітно впорядкований у припущенні, що обмінна взаємодія як всередині димерів, так і між ними носить антиферомагнітний характер. Показано, що в процесі такого перетворення критичним чином виникає магнітна поляризація іонів в димері, а отже, і димерів взагалі. Орієнтації векторів спінів та величини їх проекцій у магнітовпорядкованій фазі залежать від прикладеного магнітного поля, а магнітна сприйнятливість цієї — по суті, квантової — фази залишається (аналогічно випадку класичного неєлівського антиферомагнетику) постійною в процесі розвороту спінів магнітних підграток. The field-induced quantum magnetic phase transition in a dimerized spin crystal from its singlet ground state in the antiferromagnetic one is considered оn the assumption that the exchange interaction both on dimmers and between them is of antiferromagnetic character. It is shown that because of this transition there occurs a magnetic polarization of the dimer ions and dimers as a whole. Spin orientations and spin projections in the magneto-ordered phase depend on the applied magnetic field, and magnetic susceptibility of this (in fact, quantum) state proves to be constant (as in classical Neel antiferromagnet) with changing orientations of sublattice spins. Работа выполнена в рамках Целевой программы фундаментальных исследований Отделения физики и астрономии НАН Украины. 2010 Article К теории квантовых фазовых переходов в димеризованных антиферромагнетиках / В.М. Калита, В.М. Локтев // Физика низких температур. — 2010. — Т. 36, № 8-9. — С. 838–845. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 75.45.+j, 75.40.Cx https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/117440 ru Физика низких температур application/pdf Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	№ 8-9 - К 80-летию со дня рождения В.Г. Барьяхтара № 8-9 - К 80-летию со дня рождения В.Г. Барьяхтара
spellingShingle	№ 8-9 - К 80-летию со дня рождения В.Г. Барьяхтара № 8-9 - К 80-летию со дня рождения В.Г. Барьяхтара Калита, В.М. Локтев, В.М. К теории квантовых фазовых переходов в димеризованных антиферромагнетиках Физика низких температур
description	Рассмотрен индуцированный внешним магнитным полем квантовый фазовый переход в димеризованном спиновом кристалле из его синглетного основного состояния в антиферромагнитно упорядоченное в предположении, что обменное взаимодействие как внутри димеров, так и между ними носит антиферромагнитный характер. Показано, что в процессе такого превращения критически возникает магнитная поляризация ионов в димере, а следовательно, и димеров в целом. Ориентации векторов спинов и величины их проекций в магнитоупорядоченной фазе зависят от приложенного магнитного поля, а магнитная восприимчивость этой — по существу, квантовой — фазы остается (аналогично случаю классического неелевского антиферромагнетика) постоянной в ходе разворота спинов магнитных подрешеток.
format	Article
author	Калита, В.М. Локтев, В.М.
author_facet	Калита, В.М. Локтев, В.М.
author_sort	Калита, В.М.
title	К теории квантовых фазовых переходов в димеризованных антиферромагнетиках
title_short	К теории квантовых фазовых переходов в димеризованных антиферромагнетиках
title_full	К теории квантовых фазовых переходов в димеризованных антиферромагнетиках
title_fullStr	К теории квантовых фазовых переходов в димеризованных антиферромагнетиках
title_full_unstemmed	К теории квантовых фазовых переходов в димеризованных антиферромагнетиках
title_sort	к теории квантовых фазовых переходов в димеризованных антиферромагнетиках
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
publishDate	2010
topic_facet	№ 8-9 - К 80-летию со дня рождения В.Г. Барьяхтара
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/117440
citation_txt	К теории квантовых фазовых переходов в димеризованных антиферромагнетиках / В.М. Калита, В.М. Локтев // Физика низких температур. — 2010. — Т. 36, № 8-9. — С. 838–845. — Бібліогр.: 22 назв. — рос.
series	Физика низких температур
work_keys_str_mv	AT kalitavm kteoriikvantovyhfazovyhperehodovvdimerizovannyhantiferromagnetikah AT loktevvm kteoriikvantovyhfazovyhperehodovvdimerizovannyhantiferromagnetikah AT kalitavm onthetheoryofquantumphasetransitionindimerizedantiferromagnets AT loktevvm onthetheoryofquantumphasetransitionindimerizedantiferromagnets
first_indexed	2025-11-24T06:14:13Z
last_indexed	2025-11-24T06:14:13Z
_version_	1849651210335813632
fulltext	© В.М. Калита, В.М. Локтев, 2010 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 8/9, с. 838–845 К теории квантовых фазовых переходов в димеризованных антиферромагнетиках В.М. Калита Институт физики НАН Украины, пр. Науки, 46, г. Киев, 03028, Украина E-mail: vmkalita@ukr.net В.М. Локтев Институт теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова НАН Украины ул. Метрологическая, 14-б, г. Киев, 03680, Украина E-mail: vloktev@bitp.kiev.ua Статья поступила в редакцию 23 октября 2009 г., после переработки 10 ноября 2009 г. Рассмотрен индуцированный внешним магнитным полем квантовый фазовый переход в димеризован- ном спиновом кристалле из его синглетного основного состояния в антиферромагнитно упорядоченное в предположении, что обменное взаимодействие как внутри димеров, так и между ними носит антиферро- магнитный характер. Показано, что в процессе такого превращения критически возникает магнитная по- ляризация ионов в димере, а следовательно, и димеров в целом. Ориентации векторов спинов и величины их проекций в магнитоупорядоченной фазе зависят от приложенного магнитного поля, а магнитная вос- приимчивость этой — по существу, квантовой — фазы остается (аналогично случаю классического не- елевского антиферромагнетика) постоянной в ходе разворота спинов магнитных подрешеток. Розглянуто індукований зовнішнім магнітним полем квантовий фазовий перехід у димеризованому спіновому кристалі з його синглетного основного стану в антиферомагнітно впорядкований у припу- щенні, що обмінна взаємодія як всередині димерів, так і між ними носить антиферомагнітний характер. Показано, що в процесі такого перетворення критичним чином виникає магнітна поляризація іонів в димері, а отже, і димерів взагалі. Орієнтації векторів спінів та величини їх проекцій у магнітовпоряд- кованій фазі залежать від прикладеного магнітного поля, а магнітна сприйнятливість цієї — по суті, квантової — фази залишається (аналогічно випадку класичного неєлівського антиферомагнетику) постій- ною в процесі розвороту спінів магнітних підграток. PACS: 75.45.+j Макроскопические квантовые явления в магнитных системах; 75.40.Cx Статические свойства. Ключевые слова: димер, квантовый фазовый переход, параметр порядка. 1. Введение Как правило, наиболее распространенным управ- ляющим параметром большинства наблюдаемых фазо- вых переходов является температура, а параметр по- рядка спонтанным образом возникает в критической точке из термодинамически равновесного и изотропно- го хаотического состояния. С другой стороны, внешнее магнитное поле также может индуцировать фазовые переходы, связанные с изменением ориентации пара- метра порядка. Большой вклад в развитие теории спин- переориентационных фазовых переходов, которые мо- гут происходить как в классических, так и квантовых системах под влиянием изменения то ли поля, то ли температуры, был внесен В.Г. Барьяхтаром и его шко- лой [1–4]. В то же время имеются физические ситуации, когда в процессе фазового превращения происходит измене- ние (квантовое «сокращение») модуля проекции спина (и/или его величины как характеристики — квантового числа — состояния), причем такие переходы могут осуществляться при нулевой температуре, а роль управляющих параметров играет какое-либо поле — электрическое, магнитное, упругое. Исследование та- ких — квантовых — фазовых переходов (КФП) вызы- вает в настоящее время большой интерес. Для КФП, в частности, не выполняется часто используемое в фе- номенологической теории спин-переориентационных К теории квантовых фазовых переходов в димеризованных антиферромагнетиках Физика низких температур, 2010, т. 36, № 8/9 839 фазовых переходов приближение неизменности моду- ля спина подрешетки. Как отмечается в работах [5–9], КФП далеко не всегда получают объяснение, адекват- ное возникающей физической ситуации. Так, для них часто неочевидным является определение энергии ос- новного состояния системы и вариационного парамет- ра, минимизирующего эту энергию. Эти и некоторые другие сложности приводят к тому, что в ряде случаев магнитные КФП интерпретируются (или описываются) с привлечением физических явле- ний, не имеющих прямого отношения к рассматривае- мой задаче. Например, в ван-флековском антиферро- магнетике со спинами ионов S = 1, так называемом DTN (химическая формула которого NiCl2–4SC(NH2)2), КФП из синглетной (парамагнитной ван-флековской фазы) в антиферромагнитную многоподрешеточную фазу рас- сматривается как бозе-энштейновская конденсация магнонов [10–12]. Однако процесс намагничивания DTN не может сопровождаться бозе-энштейновской конденсацией возбуждений, поскольку речь идет ис- ключительно о перестройке основного состояния сис- темы (вакуума), которая лишь формально может быть описана с привлечением виртуальных спиновых воз- буждений. А как известно, процесс бозе-конденсации должен происходить и происходит в подсистеме ре- альных спиновых возбуждений (см., например, [13]). В работах [14–16] нами показано, что в ван- флековских антиферромагнетиках со спинами ионов S = 1 КФП не требует представлений о процессах бозе- эйнштейновской конденсации и является прямым следствием спонтанной поляризации основного кван- тового состояния ионов. При этом такая поляризация служит параметром порядка, а расчет характеристик этого КФП осуществлялся путем анализа энергии ос- новного состояния, которая, как это всегда бывает, должна быть минимальной. Как вариационный пара- метр использовалась величина, задававшая степень смешивания базисных векторов волновой функции основного состояния. Иными словами (с точки зрения формальной процедуры расчетов), в этих работах КФП в ван-флековских антиферромагнетиках рассматривал- ся аналогично тому, как это делается в теории Ландау. Недавно появились экспериментальные данные (см., в частности, обзор [17]) об индуцируемых внеш- ним магнитным полем КФП. Речь идет о совершенно другом классе магнитных веществ — димеризованных синглетных магнетиках с общей формулой XСuCl3, где X = K, Cs, Tl, NH4, и спином S = 1/2 на узле. В одном из соединений этого семейства, TlCuCl3, которое для конкретности рассматривается ниже, структура такова, что в ней присутствуют пары (димеры) антиферромаг- нитно связанных спинов с S = 1/2 для ионов меди Cu2+ [18]. Причем это обменное взаимодействие между ни- ми заметно превосходит взаимодействие между спи- нами, относящимися к разным димерам, которое также имеет антиферромагнитный характер. При таком соот- ношении обменных констант в этом магнетике при Т = 0 реализуется не магнитоупорядоченное (скажем, не- елевское) состояние, а квантово-разупорядоченное, когда средние значения проекций спина на каждом из ионов равны нулю, т.е. какой-либо магнитный порядок в целом в образце отсутствует. Нужно, однако, заме- тить, что при Т = 0 синглетное (ненамагниченное даже в не слишком больших полях) состояние димеров, ка- ждый из которых описывается единой для обоих ионов димера волновой функцией, является пространственно упорядоченным с идеальным трансляционным поряд- ком. При этом следует отметить, что такое синглетное состояние отличается от ван-флековского, где немаг- нитному состоянию отвечает равенство нулю не пол- ного спина, а лишь его проекции, что является следст- вием действия одноионной анизотропии. В изучаемом же кристалле синглетному состоянию соответствует отсутствие спина как такового, а само состояние может реализоваться и в системах с изотропными обменными взаимодействиями. Эксперименты показали [17,19], что во внешнем магнитном поле, большем 23 Тл, образцы TlCuCl3 пе- реходят в магнитоупорядоченное состояние, причем спиновая поляризация ионов Cu2+ возникает спонтан- но, формируя индуцированную полем антиферромаг- нитную структуру со скошенными подрешетками. Ока- зывается также, что ионы меди из одного димера формируют разные подрешетки, что является очевид- ным результатом антиферромагнитного взаимодействия между такими ионами. Что касается попыток теоретиче- ского рассмотрения димеризованных магнетиков, то, как и в случае ван-флековских систем, оно в настоящее время базируется на привлечении идей бозе-эйштей- новской конденсации магнонов. В работах [18–21] (подробнее см. [17]) магнитоиндуцированный фазовый переход между квантовым синглетным и квазикласси- ческим антиферромагнитным состояниями описывают с помощью бозе-эйнштейновской конденсации возбу- ждений нижайшей магнонной моды. Дело в том, что появление в конечных магнитных полях поперечных (относительно направления внешнего поля) проекций намагниченности можно действительно связать с по- явлением в системе большого числа неравновесных виртуальных магнитных возбуждений, релаксирующих к нижайшему состоянию и тем самым приводящих к появлению наблюдаемой намагниченности. Однако возможность такого описания обусловлена лишь не- удачным выбором оси квантования (вдоль поля) спи- нов, направленных поперек поля, поэтому никакой истинной конденсации квазичастиц не происходит. Как будет видно, КФП в магнитных димеризован- ных системах может быть описан иначе, а именно са- мосогласованно, как такой, где изменяется последова- тельность одноионных квантовых (спиновых) уровней. В.М. Калита, В.М. Локтев 840 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 8/9 При этом в том или ином поле (либо той или иной фа- зе) следует определять основное состояние. Коллекти- визация уровней, или образование спин-волновых зон, важна лишь для возбужденных состояний. В частно- сти, в настоящей работе будет продемонстрировано, как в димеризованных системах с антиферромагнитной обменной связью между соседними спинами происхо- дит КФП, обусловленный исключительно спонтанной поляризацией основного одноионного состояния. Бу- дет также показано, что КФП, индуцированный в та- ких системах магнитным полем, последовательно опи- сывается в рамках стандартного подхода путем минимизации энергии их основного квантового со- стояния, что одновременно позволяет найти соответст- вующие им возможные спиновые конфигурации. По- нятно также, что спонтанное изменение основного состояния магнитных ионов неизбежно изменяет и магнонный спектр. Как правило, квазиклассическое описание много- подрешеточных магнитных структур проводят в пред- положении о неелевском характере упорядоченных состояний с использованием эффективных полей, дей- ствующих на спины магнитных ионов подрешеток. В этом случае получить синглетное состояние не удает- ся, а следовательно, искомый КФП не происходит. Ниже учет обменного взаимодействия между спинами внутри димера осуществляется точно, а между диме- рами — в приближении самосогласованного поля, что позволяет частично отойти от неелевского случая с исходно сформированными магнитными подрешетка- ми. Последние возникают лишь в результате разруше- ния синглетного квантового состояния внешним маг- нитным полем, вызывающим перестройку структуры спектра парамагнитных ионов и, что одно и то же, на- магничивание системы. Основная цель работы — развитие теории спонтан- ного возникновения спиновой поляризации в системе немагнитных, но обменно взаимодействующих диме- ров в том случае, когда они находятся во внешнем магнитном поле. 2. Модель Структура димеризованных соединений типа TlCuCl3 показана на рис. 1. На рисунке видно, что будь в них магнитное состояние неелевского типа, то в предположении об антиферромагнитном характере обменного взаимодействия между спинами, как в каж- дом димере, так и между ближайшими спинами из раз- ных димеров, система разбилась бы на четыре магнит- ные подрешетки (что, собственно, и изображено на рис. 1). Поэтому с учетом этого обстоятельства, а именно наличия двух димеров в одной ячейке, гамиль- тониан кристалла удобно записать в виде ,1 ,2dimĤ J α α α = +∑ n n n S S ,1 ,1 ,2 ,2,1 ,1 , 1 [ ( ) 2 XYJ α β α βα β α β + + +∑ n m n mn m n m S S S S ,1 ,2,1 ,2 ,1 ,2 ] ( )Z Z ZJ H S S α βα β α α α + − +∑n mn m n n n S S , (1) где пары 1 и 2 обменно связанных спинов ,1 , αnS ,2αnS принадлежат одному димеру, положение которого за- дано вектором ,n а спины ,1βmS и ,2βmS принадлежат соседнему димеру, положение которого задает вектор ;m H — напряженность магнитного поля, которая параллельна оси \|\| ;ZH dim 0J > — параметр межспи- нового взаимодействия внутри димера; ,1 ,1 0XYJ α β >n m — параметр межспинового взаимодействия для бли- жайших спинов соседних димеров в плоскости XY, а ,1 ,2 0ZJ α β >n m — параметр межспинового взаимодейст- вия для ближайших спинов соседних димеров вдоль оси Z (обратим внимание, что все эти параметры есть ни что иное, как константы изотропного обменного взаимодей- ствия). Ниже будем полагать, как это имеет место для ионов меди в TlCuCl3, величину спинов в (1) 1/ 2,S = а напряженность магнитного поля и параметры обмена заданы в энергетических единицах. Как правило, при описании многоподрешеточных структур в приближении самосогласованного поля вво- дят обменные поля, создаваемые спинами подрешеток. Если применить такое приближение к системе (1), то будет «потеряна» спиновая димеризация: спины в диме- ре окажутся расцепленными. Чтобы сохранить димер как пару связанных спинов, ограничимся среднеполе- вым приближением только для взаимодействий между соседними димерами. В этом случае энергия (гамильто- ниан для пары спинов димера) будет иметь вид ,1 ,2 ,1dim dim ,1Ĥ J α α αα= − −n n nS S h S ,2 ,1 ,2,2 ( ),Z ZH S S α α αα− − +n n nh S (2) Рис. 1. Ориентация спинов димеров в магнитном поле. ,2βmS ,1 ,2 ZJ α βn m ,1 ,1 XYJ α βn m ,1αnS ,1βmS Jdim Z X ,2αnS Y H ϕ К теории квантовых фазовых переходов в димеризованных антиферромагнетиках Физика низких температур, 2010, т. 36, № 8/9 841 где αh — обменные поля, действующие на каждый из спинов со стороны соседей. Вектор обменного поля Jα β= −h s , (3) где J — параметр межспинового взаимодействия, просуммированный по числу ближайших соседей: ,1 ,1 ,1 ,2 4 2 .XY ZJ J J α β α β = +n m n m При этом считается, что основное состояние однородно, поэтому векторы сред- них спинов подрешеток, оставаясь зависимыми от но- мера подрешетки, теряют зависимость от узла. Заме- тим также, что ось X направлена перпендикулярно оси Z и лежит в плоскости, образованной векторами ,1 , αnS ,2 , αnS как на рис. 1. Из записи (2) действительно видно, что, согласно выбранному подходу, приближенно (хотя и самосогла- сованно) учитывается только междимерное обменное взаимодействие, а обмен внутри пары входит точно. Другими словами, для спиновой пары в димере поня- тие об обменном взаимодействии как обменном поле не используется и тем самым процедура самосогласо- вания не применяется. Далее (см. рис. 1) будем предполагать, что подре- шетки симметричны и спины подрешеток одинаковым образом скашиваются к магнитному полю. Запишем очевидные для такой конфигурации соотношения меж- ду проекциями средних спинов подрешеток: ,1 ,2 ,1 ,2 ,1 ,1 ,2 ,2 , . Z Z Z Z Z X X X X X s s s s s s s s s s α α β β α β α β = = = = − = = = − = (4) С учетом этих равенств обменные поля также перепи- сываются: ,1 ,2 Z Z Zh h hα α= = , ,1 ,2 X X Xh h hα α− = = , (5) и выражение (2) для гамильтониана димера принимает достаточно простую форму: ,1 ,2 ,1 ,2dim dim ˆ X X X XH J h S h S α α α α = + − −n n n nS S ,1 ,2( )( ).Z Z ZH h S S α − + + nn (6) Собственные функции оператора скалярного произ- ведения двух спинов 1 2n nS S определяются, как хоро- шо известно, полным спиновым моментом пары и его проекцией. Для пары спинов с 1 / 2S = полный спино- вый момент может быть равным dim 1S = или dim 0.S = Собственные волновые функции оператора скалярного произведения такой пары спинов имеют вид [17,19,22] , S SSM S Mψ = , где 11 10 001 1 1,1 , 1,0 , 1, 1 1, 1 , 0,0 , ψ = ψ = ψ = ≡ − ψ = (7) первое число отвечает полному спиновому моменту S пары, а второе — его проекции .SM Из физических соображений ясно (и нетрудно про- верить), что для спинов димера при dim 0J > основ- ным состоянием будет синглет 00ψ с полным спином, равным нулю. При значительном преобладании dimJ над J этот синглет сохранится как одноионное со- стояние димера и для полного гамильтониана (1). Оче- видно, однако, что в сравнительно большом магнитном поле намагниченное состояние с максимальными зна- чениями спина и его проекции, описываемое функцией 11,ψ станет энергетически более предпочтительным, а его появление как основного и будет соответствовать исследуемому (и искомому) КФП. Основной задачей как раз и является описание этого, происходящего в магнитном поле, КФП из исходного синглетного состояния в максимально намагниченное (через образования антиферромагнитной неелевской фа- зы) и определение критических полей такого перехода. Исходные волновые функции (7) можно легко пере- писать в явном виде через проекции векторов спинов ионов пары: 11 10 001 1 1 1 1 1 1 1 1, , , , , 2 2 2 2 2 22 1 1 1 1 1 1 1, , , , . 2 2 2 2 2 22 ⎛ ⎞ ψ = ψ = +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ψ = ψ = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (8) Используя волновые функции (8), для которых опе- ратор dim dimĤ J= SS диагональный, легко записать матричные элементы гамильтониана (6): ____________________________________________________ 11 10 0011 11 dim 10 dimdim dim11 00 dim 1 10 0 4 2 10 0 0ˆ 4 1 10 0 4 2 1 1 30 42 2 Z X j k Z X X X J h H h JH J h H h h h J ψ ψ ψ ψ ψ − − − ψψ ψ = ψ + + ψ − − . (9) В.М. Калита, В.М. Локтев 842 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 8/9 Исходя из вида матрицы (9) видим, что основное состояние описывается смешанной функцией gr 1 1 00 00 , 1 S S S S S S SM SM M M S M M C C Cψ = ψ = ψ + ψ∑ ∑ , (10) причем 10 0,C = а остальные коэффициенты должны удовлетворять условию нормировки 22 11 1 1C C+ + 2 00 1.C+ = Эта функция записана, как функция обще- го вида для оператора (9) с произвольными относи- тельными значениями параметров . SSMC Такая произ- вольность устраняется проведением процедуры самосогласования, которое задает их величину для функции, отвечающей минимуму энергии системы — основного ее состояния. 3. Энергия основного состояния Определим основное состояние системы путем рас- чета ее энергии с помощью функции (10). Действи- тельно, с помощью этой функции просто найти выра- жения для средних величин проекций спинов каждого димера (см. (4)): 2 2 11 11 * * * * 11 00 11 00 00 001111 1 (\| \| \| \| ), 2 1 [ ( )]. 2 2 Z X s C C s C C C C C C C C = − = + − + (11) Легко убедиться, что отсутствие Y-компонент средних значений проекций спинов (см. спиновую конфигура- цию на рис. 1) приводит к тому, что коэффициенты SSMC — действительные числа. С помощью функции (10) и средних (11), которые пропорциональны проекциям полей самосогласования (6), запишем выражение для энергии основного со- стояния системы (1): 2 2 2 2 2 gr dim 11 111 1 1 1 3 1( ) ( ) 4 2 E J C C J C C⎡= + − + − −⎢⎣ 2 2 2 2 2 2 11 11 11 1111 1 1 1 1 11( ) ( )( ) ( ),C C C C C C H C C⎤− − + + − − −⎦ (12) где уже учтены нормировка и действительность коэф- фициентов SSMC (энергия (12) записана в расчете на один димер). Минимизируя (12), приходим к системе уравнений gr 11 E C ∂ = ∂ 2 2 dim 11 11 11 1111 1 12[ ( )(3 1) ] 0,J C J C C C C HC= + − + − − = (13) gr 11 E C ∂ = ∂ 2 2 dim 11 1111 11 11 1 12[ ( )(3 1) ] 0.J C J C C C C HC= + − + − + = (14) Заметим, что выписанные уравнения (13) и (14) при изменении знака поля ( H H→− ) не изменяют своего вида, если 11 1 1C C→ , а 111 1C C→ . Как видно из уравнений (13), (14), решением может быть функция с 11 0C = и 1 1 0C = и, следовательно, с 00 1C = , когда основным состоянием является синглет, описываемый функцией gr 00ψ = ψ . Энергия этого синглетного состояния равна (sing) gr dim 3 0 4 E J= − < . Появление состояний 1 1ψ в состоянии (10) энерге- тически невыгодно. Из уравнения (14) также следует, что при 1 1 0C = коэффициент 11C строго принимает значение 11 1C = , когда основным является чистое со- стояние gr 11ψ = ψ . Это условие отвечает предельно намагниченному состоянию с максимальной намагни- ченностью, которое реализуется в больших полях. Для определения границ устойчивости этих состоя- ний выпишем вторые производные от энергии основ- ного состояния: 2 gr 2 dim 11 112 11 2{ [(3 ) 1] } E J J C C H C ∂ = + − − − ∂ , (15) 2 gr 2 dim 111 12 1 1 2{ [(3 ) 1] } E J J C C H C ∂ = + − − + ∂ , (16) 2 gr 2 2 11 1111 11 11 11 2 [ 3 2 3 1] E J C C C C C C ∂ = − + − + ∂ ∂ . (17) При этом необходимо иметь в виду, что параметры SSMC могут достигать своих предельных значений. В синглетной фазе 11 0,C = 1 1 0C = и 00 1,C = т. е., как было видно, она описывается функцией gr 00.ψ = ψ Соответственно для этих значений параметров находим 11 11 2 gr dim2 011 0 2( ) C C E J J H C = = ∂ = − − ∂ , (18) 11 11 11 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 gr gr gr 2 2 0 0 011 1111 1 10 0 0 C C C C C C E E E C C C C= = = = = = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟− = ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 dim dim4[ ( 2 ) ]J J J H= − − . (19) К теории квантовых фазовых переходов в димеризованных антиферромагнетиках Физика низких температур, 2010, т. 36, № 8/9 843 Отсюда следует, что устойчивость синглетной фазы ограничена полем (1) cr dim dim 21 JH J J = − , (20) которое при dim/ 1J J << приобретает вид (1) cr dimH J J= − . (21) Используя (15)–(17), определим границу устойчиво- сти фазы с предельно возможной намагниченностью, когда все спины димеров ориентированы вдоль поля (парамагнитная фаза) и 1 1 0,C = 11 1C = и gr 11.ψ = ψ Величину критического поля перехода в такое макси- мально намагниченное состояние можно, вообще гово- ря, получить и в приближении Нееля, когда спины считаются квазиклассическими. Величина этого кри- тического поля определяется выражением (2) cr dim 2 .H J J= + (22) Для (2) crH H> в системе реализуется однородная па- рамагнитная (ферромагнитная) фаза. При этом полю (2) crH H= отвечает «классический» магнитный ориентационный фазовый переход схлопы- вания подрешеток. 4. Особенности квантового фазового перехода в системе димеров Проведем анализ поведения системы в критической области КФП из синглетной фазы в многоподрешеточ- ную, т.е. в области полей (1) (1) cr cr( ) / 1H H H− << и при (1) cr .H H> Покажем, что в критической области коэффициенты 11C и 1 1C пропорциональны (1) cr .H H− Для этого учтем, что подмешивание функции 1 1ψ к функции основного состояния энергетически менее выгодно, чем функции 11.ψ Отсюда приходим к выводу, что в области, близкой к критической, может выполняться неравенство 11C >> 1 1C (в больших полях его выпол- нение очевидно). В этом случае из системы (13), (14) приходим к уравнениям 2 dim 11 11[ (3 1) ] 0J J C H C+ − − = , (23) dim 1111 1 1 11( ) 0J C J C C HC+ − + = . (24) Используя (23), находим, что параметр 11C после достижения критического поля зависит от величины H корневым образом: (1) cr 11 dim (2) (1) cr cr 1 3 H H C H J J J H H − = − + = − . (25) Величина коэффициента 11C при этом определяется выражением (см. (24)) (1) cr 1111 (1) (2) (1)dim cr cr cr2 H HJ JC C J J H H H H − = − ≈ − − + − . (26) В итоге из (25) и (26) легко видим, что в критиче- ской области КФП величина полной спиновой проек- ции димера будет линейно зависеть от величины поля: 2 (1) (1) cr cr dim (1) (2) (1) (2) (1) cr cr cr cr cr 1 2 Z H H H HJs H H H H H ⎡ ⎤⎛ ⎞ − −⎢ ⎥= − ≈⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥ − −⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ . (27) Очевидно, что применимость выражения (см. (27)) ограничена соотношением (1) cr/ (2 ) 1J H << , которое физически допустимо при dim/ 1J J << , и именно та- кое соотношение для величин этих констант предпола- галось при записи (2). Отметим, что полученная ли- нейная зависимость (27) для полной средней спиновой проекции димера хорошо согласуется с данными экс- периментов [16]. Интересно, что магнитная восприимчивость в про- цессе рассматриваемого КФП из синглетной фазы в многоподрешеточную антиферромагнитную будет по- стоянной, что фактически совпадает с квазиклассиче- ской картиной, в которой схлопывание спиновых под- решеток происходит при неизменных величинах модулей спинов. Кроме этого, выражение (27) иллюст- рирует процесс осуществления этого фазового перехо- да, который сопровождается спонтанным возникнове- нием спиновой поляризации у ионов димера. Критическое поведение поперечных относительно поля X-проекций спинов димера отличается от полевой зависимости их продольных проекций. Действительно, (1) cr 00 11 1 1 (2) (1) cr cr 1 1[ )] 2 2 X H H s C C C H H − = − ≈ − , (28) т.е. зависимость, которая прямо свидетельствует, что поперечные проекции спинов ионов в димере зависят от поля корневым, или критическим, с точки зрения теории Ландау, образом. Отсюда легко понять, что производные X-проекций по полю в точке фазового перехода будут испытывать особенность. Надо полагать, что именно спонтанное возникновение поперечных проекций (28) у ионов димера и является основным качественным от- личием магнитного КФП из спиново-неупорядоченной синглетной фазы в спиново-упорядоченную. На рис. 2 в качестве примера приведены полевые зависимости полной Z-проекции спина димера, а также X-проекции спина одного из ионов димера в случае (2) (1) cr cr/ 3H H = . Такое соотношение критических полей В.М. Калита, В.М. Локтев 844 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 8/9 Рис. 2. Полевые зависимости для проекций dim,Zs ,Xs рас- считанные для (2) (1) cr cr/ 3.H H = 0 0,5 1,0 H Hcr (2) Hcr (1) s (H) XZ s d im , sX s (H)dim Z близко к данным эксперимента, приведенным в работе [16], а полученные полевые зависимости хорошо со- гласуются с ее результатами качественно и удовлетво- рительно количественно. Заключение В работе показано, что синглетное состояние в ди- меризованных магнетиках является прямым следстви- ем преобладающего антиферромагнитного взаимодей- ствия между магнитными ионами димера по сравне- нию с обменами между димерами. Наличие меньшего (но также антиферромагнитного типа) межспинового взаимодействия между ионами из разных димеров обеспечивает эффект возникновения спонтанной спи- новой поляризации магнитных ионов димеров в маг- нитном поле. При этом оказывается, что величина спиновой поляризации ионов зависит от величины магнитного поля. Ориентации же средних проекций магнитных ионов димера скошены друг к другу и ско- шены к магнитному полю. Такая, индуцированная магнитным полем, антиферромагнитная фаза не явля- ется классической неелевской фазой с предельными величинами спинов подрешеток. В димере под дейст- вием магнитного поля одновременно происходит и возрастание модуля средних спинов, и их скос к маг- нитному полю. И лишь в области больших полей, ко- гда проекции спинов димера достигают насыщения, наблюдается квазиклассический ориентационный маг- нитный фазовый переход в состояние с предельной (насыщенной) намагниченностью, отвечающий схло- пыванию подрешеток. По существу, можно говорить, что для КФП практически полностью сохраняется фи- зика обычных магнитных фазовых переходов, теория которых развита в работах [1–4], однако возможность и особенности использования для КФП подхода Лан- дау требуют отдельного рассмотрения и не содержат никакой необходимости для привлечения представле- ний о бозе-энштейновской конденсации. Работа выполнена в рамках Целевой программы фундаментальных исследований Отделения физики и астрономии НАН Украины. 1. В.Г. Барьяхтар, А.Е. Боровик, В.А. Попов, Письма в ЖЭТФ 9, 634 (1968). 2. В.Г. Барьяхтар, А.А. Галкин, В.Т. Телепа, Письма в ЖЭТФ 22, 552 (1972). 3. В.Г. Барьяхтар, И.М. Витебский, Д.А. Яблонский, ФТТ 19, 2135 (1977). 4. В.Г. Барьяхтар, И.М. Витебский, А.А. Галкин, В.П. Дьяконов, И.М. Фита, Г.А. Цинцинадзе, ЖЭТФ 84, 1083 (1983). 5. В.Ф. Гантмахер, В.Т. Долгополов, УФН 178, 3 (2008). 6. С.М. Стишов, УФН 174, 853 (2004). 7. T. Vojta, arXiv:cond-mat/0010285. 8. S. Sachdev, Quantum Phase Transitions, Cambridge: Cambridge Univ. Press (1999). 9. Masashige Matsumoto, B. Normand, and T.M. Rice, Phys. Rev. B69, 054423 (2004). 10. V.S. Zapf, V.F. Corea, P. Sengupta, C.D. Batista, M. Tsukamoto, N. Kawashima, P. Egan, C. Pantea, A. Migliori, J.B. Bets, M. Jaime, and A. Paduan-Filho, Phys. Rev. B77, 092413 (2008). 11. S.A. Zvyagin, J. Wosnitza, C.D. Batista, M. Tsukamoto, N. Kawashima, J. Krzystek, V.S. Zapf, M. Jaime, N.F. Oliveira, Jr., and A. Paduan-Filho, Phys. Rev. Lett. 98, 047205 (2007). 12. V.S. Zapf, D. Zocco, B.R. Hansen, M. Jaime, N. Harrison, C.D. Batista, M. Kenzelmann, C. Niedermayer, A. Lacerda, and A. Paduan-Filho, Phys. Rev. Lett. 96, 077204 (2006). 13. S.O. Demokritov, V.E. Demidov, O. Dzyapko, G.A. Melkov, A.A. Serga, B. Hillebrands, and A.N. Slavin, Nature 443, 430 (2006). 14. В.М. Калита, В.М. Локтев, ЖЭТФ 125, 1149 (2004). 15. В.М. Калита, В.М. Локтев, ФНТ 32, 158 (2006) [Low Temp. Phys. 32, 114 (2006)]. 16. V.M. Kalita, I.M. Ivanova, and V.M. Loktev, Phys. Rev. B78, 104415 (2008). 17. T. Giamarchi, C. Rüegg, and O. Tchernyshyov, Nature Phys. 4, 198 (2008). 18. M. Matsumoto, B. Normand, T.M. Rice, and M. Sigrist, Phys. Rev. Lett. 89, 077203 (2003). 19. M. Matsumoto, B. Normand, and T.M. Rice, Phys. Rev. B69, 054423 (2004). 20. E.Ya. Sherman, P. Lemmens, B. Busse, A. Oosawa, and H. Tanaka, Phys. Rev. Lett. 91, 057201 (2003). 21. T. Radu, H. Wilheim, V. Yushanhai, D. Kovrizhin, R. Goldea, Z. Tylczynski, T. Luhmann, and F. Steglich, Phys. Rev. Lett. 95, 1272002 (2005). 22. E.C. Samulon, Y.-J. Jo, P. Sengupta, C.D. Batista, M. Jaime, L. Balicas, and I.R. Fisher, Phys. Rev. B77, 214441 (2008). К теории квантовых фазовых переходов в димеризованных антиферромагнетиках Физика низких температур, 2010, т. 36, № 8/9 845 On the theory of quantum phase transition in dimerized antiferromagnets V.M. Kalita and V.M. Loktev The field-induced quantum magnetic phase transi- tion in a dimerized spin crystal from its singlet ground state in the antiferromagnetic one is considered оn the assumption that the exchange interaction both on dimmers and between them is of antiferromagnetic character. It is shown that because of this transition there occurs a magnetic polarization of the dimer ions and dimers as a whole. Spin orientations and spin projections in the magneto-ordered phase depend on the applied magnetic field, and magnetic susceptibility of this (in fact, quantum) state proves to be constant (as in classical Neel antiferromagnet) with changing orientations of sublattice spins. PACS: 75.45.+j Macroscopic quantum phenomena in magnetic systems; 75.40.Cx Static properties. Keywords: dimer, quantum phase transition, order pa- rameter.

К теории квантовых фазовых переходов в димеризованных антиферромагнетиках

Репозитарії

Схожі ресурси