Задача Крамерса с аккомодационными граничными условиями для квантовых ферми-газов
Аналитически решена задача Крамерса об изотермическом скольжении квантового ферми-газа с аккомодационными граничными условиями Черчиньяни. Получена скорость изотермического скольжения как функция коэффициента аккомодации и приведенного химического потенциала — отношения химического потенциала к п...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Физика низких температур |
|---|---|
| Datum: | 2008 |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2008
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/117481 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Задача Крамерса с аккомодационными граничными условиями для квантовых ферми-газов / А.А. Костиков, А.В. Латышев, А.А. Юшканов // Физика низких температур. — 2008. — Т. 34, № 9. — С. 914–920. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-117481 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Костиков, А.А. Латышев, А.В. Юшканов, А.А. 2017-05-23T17:11:01Z 2017-05-23T17:11:01Z 2008 Задача Крамерса с аккомодационными граничными условиями для квантовых ферми-газов / А.А. Костиков, А.В. Латышев, А.А. Юшканов // Физика низких температур. — 2008. — Т. 34, № 9. — С. 914–920. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 05.20.Dd;05.30.Fk https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/117481 Аналитически решена задача Крамерса об изотермическом скольжении квантового ферми-газа с аккомодационными граничными условиями Черчиньяни. Получена скорость изотермического скольжения как функция коэффициента аккомодации и приведенного химического потенциала — отношения химического потенциала к произведению постоянной Больцмана на абсолютную температуру. В явном виде представлена функция распределения молекул. Аналітично вирішено задачу Крамерса про ізотермічне ковзання квантового фермі-газу з акомодац ійними граничними умовами Черчиньяні. Отримано швидкість ізотермічного ковзання як функція коефіцієнта акомодації та зведеного хімічного потенціалу — відношення хімічного потенціалу до добутку сталої Больцмана на абсолютну температуру. У явному вигляді представлено функцію розпод ілу молекул. The Kramers problem of isothermal slip of quantum Fermi gas with Cercignani’s accommodative boundary conditions is analytically solved. Speed of isothermal slip is derived as a function of accommodation coefficient and reduced chemical potential (the relation of chemical potential to product of Boltzmann constant on absolute temperature). The distribution function of molecules is presented in an explicit form. ru Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України Физика низких температур Квантовые жидкости и квантовые кpисталлы Задача Крамерса с аккомодационными граничными условиями для квантовых ферми-газов The Kramers problem with accomodative boundary conditions for quantum Fermi gases Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Задача Крамерса с аккомодационными граничными условиями для квантовых ферми-газов |
| spellingShingle |
Задача Крамерса с аккомодационными граничными условиями для квантовых ферми-газов Костиков, А.А. Латышев, А.В. Юшканов, А.А. Квантовые жидкости и квантовые кpисталлы |
| title_short |
Задача Крамерса с аккомодационными граничными условиями для квантовых ферми-газов |
| title_full |
Задача Крамерса с аккомодационными граничными условиями для квантовых ферми-газов |
| title_fullStr |
Задача Крамерса с аккомодационными граничными условиями для квантовых ферми-газов |
| title_full_unstemmed |
Задача Крамерса с аккомодационными граничными условиями для квантовых ферми-газов |
| title_sort |
задача крамерса с аккомодационными граничными условиями для квантовых ферми-газов |
| author |
Костиков, А.А. Латышев, А.В. Юшканов, А.А. |
| author_facet |
Костиков, А.А. Латышев, А.В. Юшканов, А.А. |
| topic |
Квантовые жидкости и квантовые кpисталлы |
| topic_facet |
Квантовые жидкости и квантовые кpисталлы |
| publishDate |
2008 |
| language |
Russian |
| container_title |
Физика низких температур |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
The Kramers problem with accomodative boundary conditions for quantum Fermi gases |
| description |
Аналитически решена задача Крамерса об изотермическом скольжении квантового ферми-газа
с аккомодационными граничными условиями Черчиньяни. Получена скорость изотермического скольжения
как функция коэффициента аккомодации и приведенного химического потенциала — отношения
химического потенциала к произведению постоянной Больцмана на абсолютную температуру.
В явном виде представлена функция распределения молекул.
Аналітично вирішено задачу Крамерса про ізотермічне ковзання квантового фермі-газу з акомодац
ійними граничними умовами Черчиньяні. Отримано швидкість ізотермічного ковзання як функція
коефіцієнта акомодації та зведеного хімічного потенціалу — відношення хімічного потенціалу до добутку
сталої Больцмана на абсолютну температуру. У явному вигляді представлено функцію розпод
ілу молекул.
The Kramers problem of isothermal slip of quantum
Fermi gas with Cercignani’s accommodative
boundary conditions is analytically solved. Speed
of isothermal slip is derived as a function of accommodation
coefficient and reduced chemical potential
(the relation of chemical potential to product
of Boltzmann constant on absolute temperature). The
distribution function of molecules is presented in
an explicit form.
|
| issn |
0132-6414 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/117481 |
| citation_txt |
Задача Крамерса с аккомодационными граничными условиями для квантовых ферми-газов / А.А. Костиков, А.В. Латышев, А.А. Юшканов // Физика низких температур. — 2008. — Т. 34, № 9. — С. 914–920. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kostikovaa zadačakramersasakkomodacionnymigraničnymiusloviâmidlâkvantovyhfermigazov AT latyševav zadačakramersasakkomodacionnymigraničnymiusloviâmidlâkvantovyhfermigazov AT ûškanovaa zadačakramersasakkomodacionnymigraničnymiusloviâmidlâkvantovyhfermigazov AT kostikovaa thekramersproblemwithaccomodativeboundaryconditionsforquantumfermigases AT latyševav thekramersproblemwithaccomodativeboundaryconditionsforquantumfermigases AT ûškanovaa thekramersproblemwithaccomodativeboundaryconditionsforquantumfermigases |
| first_indexed |
2025-11-26T22:49:47Z |
| last_indexed |
2025-11-26T22:49:47Z |
| _version_ |
1850778985704718336 |
| fulltext |
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 9, ñ. 914–920
Çàäà÷à Êðàìåðñà ñ àêêîìîäàöèîííûìè ãðàíè÷íûìè
óñëîâèÿìè äëÿ êâàíòîâûõ ôåðìè-ãàçîâ
À.À. Êîñòèêîâ
ÌÀÒÈ — Ðîññèéñêèé ãîñóäàðñòâåííûé òåõíîëîãè÷åñêèé óíèâåðñèòåò, óë. Îðøàíñêàÿ, 3, ã. Ìîñêâà, 121552, Ðîññèÿ
E-mail: alkostikov@yandex.ru
À.Â. Ëàòûøåâ, À.À. Þøêàíîâ
Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé îáëàñòíîé óíèâåðñèòåò, óë. Ðàäèî, 10à, ã. Ìîñêâà, 105005, Ðîññèÿ
E-mail: avlatyshev@mail.ru,
yushkanov@inbox.ru
Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 10 äåêàáðÿ 2007 ã., ïîñëå ïåðåðàáîòêè 23 àïðåëÿ 2008 ã.
Àíàëèòè÷åñêè ðåøåíà çàäà÷à Êðàìåðñà îá èçîòåðìè÷åñêîì ñêîëüæåíèè êâàíòîâîãî ôåðìè-ãàçà
ñ àêêîìîäàöèîííûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè ×åð÷èíüÿíè. Ïîëó÷åíà ñêîðîñòü èçîòåðìè÷åñêîãî ñêîëü-
æåíèÿ êàê ôóíêöèÿ êîýôôèöèåíòà àêêîìîäàöèè è ïðèâåäåííîãî õèìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà — îòíî-
øåíèÿ õèìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà ê ïðîèçâåäåíèþ ïîñòîÿííîé Áîëüöìàíà íà àáñîëþòíóþ òåìïåðàòóðó.
 ÿâíîì âèäå ïðåäñòàâëåíà ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ìîëåêóë.
Àíàë³òè÷íî âèð³øåíî çàäà÷ó Êðàìåðñà ïðî ³çîòåðì³÷íå êîâçàííÿ êâàíòîâîãî ôåðì³-ãàçó ç àêîìî-
äàö³éíèìè ãðàíè÷íèìè óìîâàìè ×åð÷èíüÿí³. Îòðèìàíî øâèäê³ñòü ³çîòåðì³÷íîãî êîâçàííÿ ÿê ôóíêö³ÿ
êîåô³ö³ºíòà àêîìîäàö³¿ òà çâåäåíîãî õ³ì³÷íîãî ïîòåíö³àëó — â³äíîøåííÿ õ³ì³÷íîãî ïîòåíö³àëó äî äî-
áóòêó ñòàëî¿ Áîëüöìàíà íà àáñîëþòíó òåìïåðàòóðó. Ó ÿâíîìó âèãëÿä³ ïðåäñòàâëåíî ôóíêö³þ ðîç-
ïîä³ëó ìîëåêóë.
PACS: 05.20.Dd Êèíåòè÷åñêàÿ òåîðèÿ;
05.30.Fk Ôåðìèîííûå ñèñòåìû è ýëåêòðîííûé ãàç.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: çàäà÷à Êðàìåðñà, àêêîìîäàöèîííûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ, àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå,
ôåðìè-ãàç, èçîòåðìè÷åñêîå ñêîëüæåíèå.
1. Ââåäåíèå
Êèíåòè÷åñêèå ÿâëåíèÿ â ðàçðåæåííûõ ãàçàõ —
ïðåäìåò òåîðåòè÷åñêîãî èçó÷åíèÿ ñî âðåìåí Ìàêñâåë-
ëà è Áîëüöìàíà (èñòîðèÿ âîïðîñà è ñîîòâåòñòâóþùèå
ññûëêè ñì. â [1–4]). Ïðè ýòîì áîëüøàÿ ÷àñòü ðàáîò ïî
äàííîé òåìàòèêå ïîñâÿùåíà èçó÷åíèþ ïîâåäåíèÿ
êëàññè÷åñêèõ ãàçîâ. Êâàíòîâûå ãàçû èçó÷àëèñü ãëàâ-
íûì îáðàçîì â ðàìêàõ ðàññìîòðåíèÿ êèíåòèêè ýëåê-
òðîíîâ â ïîëóïðîâîäíèêàõ è ìåòàëëàõ (ñì., íàïðèìåð,
[5]), à òàêæå êèíåòèêè ôîíîíîâ â êîíäåíñèðîâàííûõ
ñðåäàõ [6].
Îäíàêî è ýëåêòðîíû â òâåðäûõ òåëàõ, è ôîíîíû îò-
íîñÿòñÿ ê êâàçè÷àñòèöàì, ÷üå ïîâåäåíèå â ðÿäå âàæ-
íûõ äåòàëåé îòëè÷àåòñÿ îò ïîâåäåíèÿ ñâîáîäíûõ ÷àñ-
òèö, à ýëåêòðîíû, êðîìå òîãî, îáëàäàþò çàðÿäîì, òàê
÷òî â ýòîì ñëó÷àå ìû èìååì äåëî ñ êèíåòèêîé ïëàçìû.
 òî æå âðåìÿ ïîñòîÿííûé òåîðåòè÷åñêèé èíòåðåñ
ïðåäñòàâëÿåò èçó÷åíèå âëèÿíèÿ êâàíòîâûõ ýôôåêòîâ
íà êèíåòè÷åñêèå ïðîöåññû â íåéòðàëüíûõ ãàçàõ, îñî-
áåííî ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ. Íàèáîëüøåå âëèÿíèå
ýòè ýôôåêòû äîëæíû îêàçûâàòü íà ïîâåäåíèå ëåãêèõ
ãàçîâ, òàêèõ êàê âîäîðîä è ãåëèé.
Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ, îïèñûâàþùèå âçàèìîäåé-
ñòâèå ìîëåêóë ãàçà ñ ïîâåðõíîñòüþ êîíäåíñèðîâàí-
íîé ôàçû, ïðèâëåêàþò âíèìàíèå èññëåäîâàòåëåé â òå-
÷åíèå äëèòåëüíîãî âðåìåíè (ñì., íàïðèìåð, [4]). Ýòà
ïðîáëåìà ïî-ïðåæíåìó îñòàåòñÿ îòêðûòîé, â ÷àñòíîñ-
òè, äëÿ ðåàëüíûõ ïîâåðõíîñòåé.  êîíêðåòíûõ çàäà÷àõ
èñïîëüçóþòñÿ ãëàâíûì îáðàçîì ìîäåëüíûå ãðàíè÷-
íûå óñëîâèÿ. Îäíî èç òàêèõ óñëîâèé — çåðêàëü-
íî-äèôôóçíîå ãðàíè÷íîå óñëîâèå Ìàêñâåëëà. Âñå ïà-
ðàìåòðû îòðàæåííûõ ìîëåêóë â çàäà÷àõ ñêîëüæåíèÿ
îïðåäåëÿþòñÿ ïðè ýòîì îäíîé âåëè÷èíîé — êîýôôè-
© À.À. Êîñòèêîâ, À.Â. Ëàòûøåâ, À.À. Þøêàíîâ, 2008
öèåíòîì çåðêàëüíîñòè, êîòîðûé ÷àñòî îòîæäåñòâëÿþò
ñ êîýôôèöèåíòîì àêêîìîäàöèè òàíãåíöèàëüíîãî èì-
ïóëüñà ìîëåêóë.
Óñëîâèå Ìàêñâåëëà íåïëîõî çàðåêîìåíäîâàëî ñåáÿ
ïðè ðåøåíèè êîíêðåòíûõ ãðàíè÷íûõ çàäà÷ [3,7].  òî
æå âðåìÿ îíî îáëàäàåò ðÿäîì íåäîñòàòêîâ.  ÷àñòíîñ-
òè, äëÿ íåêîòîðûõ ïîäõîäîâ â êèíåòè÷åñêîé òåîðèè
îíî íåäîñòàòî÷íî óäîáíî, îñîáåííî äëÿ àíàëèòè÷åñ-
êîãî ðåøåíèÿ. Êðîìå òîãî, çåðêàëüíî-äèôôóçíàÿ ñõå-
ìà íå âñåãäà äîñòàòî÷íî àäåêâàòíî îïèñûâàåò ïðîöåññ
îòðàæåíèÿ ìîëåêóë îò ïîâåðõíîñòè. Ýòè îáñòîÿòåëü-
ñòâà ïðèâåëè ê ïîïûòêàì ìîäèôèêàöèè è îáîáùåíèÿ
óñëîâèé Ìàêñâåëëà [2,7–9]. Îäíî èç òàêèõ îáîáùåíèé
ïðåäëîæèë ×åð÷èíüÿíè [7] — âìåñòî çåðêàëüíî-äèô-
ôóçíîãî ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ èñïîëüçîâàòü àêêîìîäà-
öèîííîå ãðàíè÷íîå óñëîâèå äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è î
ñêîëüæåíèè ãàçà. Ýòî óñëîâèå áàçèðóåòñÿ íà ïðåäïî-
ëîæåíèè, ÷òî îòðàæåííûå îò ñòåíêè ìîëåêóëû ÷àñòè÷-
íî ñîõðàíÿþò èíôîðìàöèþ î ìàññîâîé ñêîðîñòè ïàäà-
þùèõ íà ñòåíêó ìîëåêóë ïðè îòðàæåíèè îò ñòåíêè.
Ýòî ÷àñòè÷íîå ñîõðàíåíèå ×åð÷èíüÿíè ñâÿçàë ñ àêêî-
ìîäàöèåé òàíãåíöèàëüíîãî èìïóëüñà. Ïðè ïîëíîé àê-
êîìîäàöèè òàíãåíöèàëüíîãî èìïóëüñà ïàäàþùèõ íà
ñòåíêó ìîëåêóë ñðåäíÿÿ òàíãåíöèàëüíàÿ ñêîðîñòü îò-
ðàæåííûõ ìîëåêóë ðàâíà íóëþ.
Âîñïîëüçóåìñÿ ýòèì ãðàíè÷íûì óñëîâèåì äëÿ îïè-
ñàíèÿ âëèÿíèÿ àêêîìîäàöèîííûõ ñâîéñòâ ïîâåðõíîñ-
òè ñòåíêè íà èçîòåðìè÷åñêîå ñêîëüæåíèå êâàíòîâîãî
ôåðìè-ãàçà âäîëü òâåðäîé ïëîñêîé ïîâåðõíîñòè.
Îòìåòèì, ÷òî ÷àñòíûé ñëó÷àé ýòîé çàäà÷è — çàäà÷à
Êðàìåðñà äëÿ êâàíòîâîãî ôåðìè-ãàçà ñ ÷èñòî äèôôóç-
íûì îòðàæåíèåì ìîëåêóë îò ñòåíêè, êîòîðàÿ ðåøåíà â
[10]. Ïîëó÷åííîå â íàñòîÿùåé ðàáîòå ðåøåíèå êàê
÷àñòíûé ñëó÷àé ñîäåðæèò ðåøåíèå èç [10].
Ïðè íàëè÷èè âäàëè îò ïîâåðõíîñòè ãðàäèåíòà òàí-
ãåíöèàëüíîé ê ïîâåðõíîñòè ñêîðîñòè ãàçà âîçíèêàåò
ñêîëüæåíèå ãàçà âäîëü ïîâåðõíîñòè. Òàêîå ñêîëüæå-
íèå íàçûâàåòñÿ èçîòåðìè÷åñêèì [1]. Çàäà÷à Êðàìåðñà
(ñì. [1–3]) ñîñòîèò â íàõîæäåíèè ñêîðîñòè èçîòåðìè-
÷åñêîãî ñêîëüæåíèÿ ãàçà.
2. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è
Ïóñòü ãàç çàíèìàåò ïîëóïðîñòðàíñòâî x � 0 íàä
ïëîñêîé ñòåíêîé è äâèæåòñÿ âäîëü îñè y ñ ìàññîâîé
ñêîðîñòüþ u xy ( ):
u x
N
f x dy y( ) ( , )� �
1
v v �, d
s m d
� �
�( )
( )
2 1
2
3 3
3
v
��
,
ãäå N — êîíöåíòðàöèÿ (÷èñëîâàÿ ïëîòíîñòü) ãàçà, s —
ñïèí ìîëåêóëû, m — åå ìàññà, f — ôóíêöèÿ ðàñïðåäå-
ëåíèÿ ãàçîâûõ ìîëåêóë, � — ïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà. Áó-
äåì ñ÷èòàòü, ÷òî èçìåíåíèå ñêîðîñòè ãàçà íà äëèíå
ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ìíîãî ìåíüøå òåïëîâîé ñêîðîñ-
òè.  ýòîì ñëó÷àå çàäà÷à äîïóñêàåò ëèíåàðèçàöèþ.
Âîçüìåì ëèíåàðèçîâàííîå êèíåòè÷åñêîå óðàâíå-
íèå äëÿ êâàíòîâûõ ôåðìè-ãàçîâ ñ ïîñòîÿííîé ÷àñòî-
òîé ñòîëêíîâåíèé ìîëåêóë [8]:
C
H
x
H x
C
l
Ñ H x g C d Cx
y
y
�
�
� � � � � ��( , )
( )
( , ) ( )C C
� 0
3 . (1)
Çäåñü C v�
— áåçðàçìåðíàÿ ñêîðîñòü ìîëåêóë,
� m kT/ ( )2 , k — ïîñòîÿííàÿ Áîëüöìàíà, T — àáñî-
ëþòíàÿ òåìïåðàòóðà, x — áåçðàçìåðíàÿ êîîðäèíàòà,
ñâÿçàííàÿ ñ ðàçìåðíîé x1 ñîîòíîøåíèåì x x� �
1 ,
� — ýôôåêòèâíàÿ ÷àñòîòà ñòîëêíîâåíèé. Ôóíêöèÿ H
ñâÿçàíà ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ f ñîîòíîøåíèåì
f x f C g C H xF( , ) ( ) ( ) ( , )C C� � , (2)
f C CF ( ) [ exp ( )]� � � �1 2 1 — àáñîëþòíàÿ ôåðìèåâ-
ñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ,
� F kT/ ( ),
F — õè-
ìè÷åñêèé ïîòåíöèàë ôåðìè-ãàçà, — áåçðàçìåðíûé
õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë,
g C
C
C
( )
exp ( )
[ exp ( )]
�
�
� �
2
2 21
,
l dn
n( ) ln [ exp ( )]
� � �
�
�
0
21 , n � 0 1 2, , , ....
 çàäà÷àõ ñêîëüæåíèÿ ôóíêöèÿ H èùåòñÿ â âèäå
H x C h xy( , ) ( , )C �
,
�C x . (3)
Òîãäà óðàâíåíèå (1) çàïèñûâàåòñÿ â âèäå
�
�
� � � � �
��
�
�
h
x
h x K h x d( , ) ( ) ( , ) , (4)
ãäå K ( )
— ÿäðî óðàâíåíèÿ:
K
l
( )
ln ( exp ( ))
( )
�
� �1
2
2
0
.
Ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (4) — óäâîåííàÿ y-ïðîåê-
öèÿ áåçðàçìåðíîé ìàññîâîé ñêîðîñòè:
2
1
2
1
0
2
u x
l
h x dy ( )
( )
( , ) ln ( exp ( ))� � �
��
�
� .
Äëÿ âûâîäà ýòîãî ðàâåíñòâà ïîäñòàâèì (2), (3) â îïðå-
äåëåíèå ìàññîâîé ñêîðîñòè.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì:
2
1
0
2
�
u x
l
h x C dC C g C dC dCy x x y y z( )
( )
( , ) ( )�
��
�
��
�
��
�
� �� .
Çàäà÷à Êðàìåðñà ñ àêêîìîäàöèîííûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè äëÿ êâàíòîâûõ ôåðìè-ãàçîâ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 9 915
Âû÷èñëÿÿ âíóòðåííèé äâîéíîé èíòåãðàë, ïåðåõîäÿ ê
ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàì è äâàæäû èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñ-
òÿì, ïðèõîäèì ê ïðåäûäóùåìó âûðàæåíèþ.
Àêêîìîäàöèîííûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ íà ñòåíêå
äëÿ îòðàæåííûõ ìîëåêóë, ñîãëàñíî [7], äëÿ óðàâíåíèÿ
(1) âîçüìåì â âèäå
H q C C C H g C d Cy x
C
y
x
( , ) ( ) ( ) | | ( ) ( , ) ( )0 1 01
0
1
3
C C� � � � � �
�
�� � �,
C x � 0 .
Ôóíêöèÿ � � 1 12� C ly / [ ( )]. Ñ èñïîëüçîâàíèåì (3)
ýòî óñëîâèå óïðîùàåòñÿ:
h d q( , ) ( , )0 2 0
� ,
� 0 , (5)
ãäå
d q q
l
l
K h d0
0
1
0
1 0( , ) ( )
( )
( )
( ) ( , )
� � �
��
� . (6)
Çäåñü q — êîýôôèöèåíò àêêîìîäàöèè òàíãåíöèàëüíî-
ãî èìïóëüñà ìîëåêóë. Óñëîâèå (5) îçíà÷àåò, ÷òî ïîòîê
òàíãåíöèàëüíîãî èìïóëüñà, ïåðåíîñèìîãî îòðàæåí-
íûìè îò ñòåíêè ìîëåêóëàìè, ñîñòàâëÿåò 1� q ÷àñòü ñî-
îòâåòñòâóþùåãî ïîòîêà, ïåðåíîñèìîãî ïàäàþùèìè
íà ñòåíêó ìîëåêóëàìè. Òàêèì îáðàçîì, q-àÿ ÷àñòü ïà-
äàþùåãî íà ñòåíêó ïîòîêà òàíãåíöèàëüíîãî èìïóëüñà
«àêêîìîäèðóåòñÿ» ñòåíêîé. Ïðè q �1 ïîëó÷àåì ÷èñòî
äèôôóçíîå, èçîòðîïíîå îòðàæåíèå ìîëåêóë îò ñòåíêè.
Èç óñëîâèÿ (5) âèäíî, ÷òî ôóíêöèÿ h x( , )
ïðè x � 0
è
� 0 íå çàâèñèò îò ïåðåìåííîé
.
Çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå (4) èìååò äâà ÷àñòíûõ ðå-
øåíèÿ A è B x( )�
, ãäå A è B — ïîñòîÿííûå. Âåëè-
÷èíà A ñâÿçàíà ñî ñêîðîñòüþ ñêîëüæåíèÿ U q0( , ) :
A U q� 2 0( , ) . Âåëè÷èíà B ðàâíà óäâîåííîìó ãðàäèåí-
òó ìàññîâîé ñêîðîñòè g
v
: B g� 2
v
.
 ñîîòâåòñòâèè ñ ïîñòàíîâêîé çàäà÷è ôóíêöèÿ ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ âäàëè îò ñòåíêè ïåðåõîäèò â àñèìïòîòè-
÷åñêóþ
h x U q g xas ( , ) ( , ) ( )
� � �2 20 v
. (7)
Ïðàâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà (7) — ëèíåéíàÿ êîìáèíà-
öèÿ äâóõ ÷àñòíûõ ðåøåíèé 1è x �
óðàâíåíèÿ (4). Êî-
îðäèíàòà x îòðàæàåò ôàêò íàëè÷èÿ â ãàçå ãðàäèåíòà
ìàññîâîé ñêîðîñòè ãàçà, «ñêîðîñòíàÿ ïåðåìåííàÿ»
îòðàæàåò íàëè÷èå â ãàçå ïîòîêà èìïóëüñà ìîëåêóë,
ïðèâîäÿùåãî ê âîçíèêíîâåíèþ âÿçêîñòè ãàçà.
Íàéäåì ôóíêöèþ d q0( , ) èç (5). Äëÿ ýòîãî èíòåã-
ðàë èç óñëîâèÿ (6) ïî îòðèöàòåëüíîé ïîëóîñè çàìåíèì
ðàçíîñòüþ èíòåãðàëîâ, îäèí èç êîòîðûõ áåðåòñÿ ïî
âñåé äåéñòâèòåëüíîé îñè, à âòîðîé — ïî ïîëîæèòåëü-
íîé. Â ñèëó çàêîíà ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà â èíòåãðà-
ëå ïî âñåé äåéñòâèòåëüíîé îñè çàìåíèì ôóíêöèþ
h x( , )
åå àñèìïòîòè÷åñêèì ðåøåíèåì (7).  èíòåãðàëå
ïî ïîëîæèòåëüíîé ÷àñòè äåéñòâèòåëüíîé îñè âîñ-
ïîëüçóåìñÿ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì (5).  ðåçóëüòàòå ïî-
ëó÷àåì
d q
q
q
l
l
g0
2
1
1 2
( , )
( )
( )
�
�
�
v
. (8)
Âåëè÷èíà U q0( , ) îïðåäåëÿåòñÿ êèíåòè÷åñêèìè
ïðîöåññàìè âáëèçè ïîâåðõíîñòè — íåîáõîäèìî ðå-
øèòü êèíåòè÷åñêîå óðàâíåíèå â òàê íàçûâàåìîì ñëîå
Êíóäñåíà, ò.å. â ñëîå ãàçà, ïðèìûêàþùåãî ê ïîâåðõ-
íîñòè òîëùèíîé ïîðÿäêà äëèíû ñâîáîäíîãî ïðîáåãà l.
Ñêîðîñòü ñêîëüæåíèÿ U q0( , ) è ãðàäèåíò g
v
ñâÿçà-
íû ëèíåéíûì ñîîòíîøåíèåì
U q C q g0( , ) ( , ) �
v
. (9)
Íàøà öåëü — íàéòè ôóíêöèþ C q( , ) — êîýôôèöè-
åíò èçîòåðìè÷åñêîãî ñêîëüæåíèÿ, ïîñòðîèòü ôóíêöèþ
h x( , )
è îïðåäåëèòü åå çíà÷åíèå h( , )0
íà ãðàíèöå ïî-
ëóïðîñòðàíñòâà. Íà îñíîâàíèè ðàâåíñòâ (2) è (3) âèä-
íî, ÷òî ïîëó÷åíèå ôóíêöèè h x( , )
ïîçâîëÿåò ïîñòðî-
èòü ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ãàçîâûõ ìîëåêóë f x( , )C .
 ñâÿçè ñ ýòèì ôóíêöèþ h x( , )
òàêæå áóäåì íàçûâàòü
ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ.
Èòàê, çàäà÷à Êðàìåðñà ñ àêêîìîäàöèîííûìè ãðà-
íè÷íûìè óñëîâèÿìè ñôîðìóëèðîâàíà ïîëíîñòüþ.
3. Àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è
Ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ â óðàâíåíèè (4) ïðèâîäèò
ê ðåøåíèÿì
h x
x
�
�
�
( , ) exp ( , )� �
�
�
��
�
�
��� ,
ãäå ôóíêöèÿ � óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèÿì
( ) ( , )�
�
�� �� , K d( ) ( , )
��
�
� �
�
� 1. (10)
Èç óðàâíåíèé (10) ïðè �� �� ��( , ) íàõîäèì
�( , )
( )
( )
( )�
�
�
� �
�
� �
�
�
� �P
K
1
.
Çäåñü ñèìâîë Px �1 îçíà÷àåò ãëàâíîå çíà÷åíèå èíòåãðà-
ëà ïðè èíòåãðèðîâàíèè x �1, �( )x — äåëüòà-ôóíêöèÿ,
�( )
( )
z z
K u du
u z
� �
�
��
�
�1 .
Ñ ó÷åòîì ïîâåäåíèÿ ôóíêöèè h x( , )
íà áåñêîíå÷íîñòè
ðåøåíèå çàäà÷è èùåì â âèäå ðàçëîæåíèÿ
916 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 9
À.À. Êîñòèêîâ, À.Â. Ëàòûøåâ, À.À. Þøêàíîâ
h x U q g x
x
a( , ) ( , ) ( ) exp ( , ) (
�
�
� � � � �
�
�
��
�
�
��
�
�2 20
0
v
� � �) ,d
(11)
ãäå U q0( , ) è a( )� — íåèçâåñòíûå ïîñòîÿííàÿ è ôóíê-
öèÿ.
Ïîäñòàâëÿÿ ðàçëîæåíèå (11) â ãðàíè÷íîå óñëîâèå
íà ñòåíêå (5), ïðèõîäèì ê ñèíãóëÿðíîìó èíòåãðàëüíî-
ìó óðàâíåíèþ ñ ÿäðîì Êîøè:
� � � �
�
�
�
�2 2 20 0
0
d q U q g
a d
K
a( , ) ( , )
( ) ( )
( )
( )
� � �
�
�
v
� 0,
� 0.
Ââåäåì âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ
N z
a d
z
( )
( )
�
�
�
�
� � �
�
0
è ñâåäåì ñèíãóëÿðíîå óðàâíåíèå ê êðàåâîé çàäà÷å Ðè-
ìàíà:
�
� � � � � �( )[ ( ) ( , ) ( , )]N U q g d q2 2 20 0v
� � � �� ��
( )[ ( ) ( , ) ( , )]N U q g d q2 2 20 0v
,
� 0.
Çäåñü �
� ( ) — ãðàíè÷íûå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè �( )z
ñâåðõó/ñíèçó íà äåéñòâèòåëüíîé îñè,
�
�
�
�
�
�
� �( ) lim ( )
0
i , � � 0 .
Ðàññìîòðèì ñîîòâåòñòâóþùóþ êðàåâóþ çàäà÷ó
X
X
�
�
�
�
�
( )
( )
( )
( )
�
�
,
� 0.
Ìåòîä ðåøåíèÿ òàêèõ êðàåâûõ çàäà÷ èçëîæåí, íà-
ïðèìåð, â [9]. Îïóñêàÿ ïîäðîáíîñòè, ïðèâåäåì îãðà-
íè÷åííîå â íóëå ðåøåíèå:
X z
z
V z( ) exp ( )�
1
, V z
u du
u z
( )
( )
�
�
�
�
1
0
�
.
Çäåñü ! �( ) ( )u u� � , !( )u — íåïðåðûâíàÿ ðåãóëÿðíàÿ
âåòâü àðãóìåíòà ôóíêöèè �� ( )u , ôèêñèðîâàííàÿ â íó-
ëå óñëîâèåì !( )0 0� .
Âåðíåìñÿ ê çàäà÷å Ðèìàíà è ïðåîáðàçóåì åå ê âèäó
X N U q g d q� � � � � �( )[ ( ) ( , ) ( , )]
2 2 20 0v
� � � �� �X N U q g d q( )[ ( ) ( , ) ( , )]
2 2 20 0v
,
� 0.
Ýòà çàäà÷à èìååò îáùåå ðåøåíèå
N z d q U q g z
c
X z
( ) ( , ) ( , )
( )
� � � �2 2 20 0
0
v
,
ãäå c0 — íåèçâåñòíàÿ ïîñòîÿííàÿ.
×òîáû ýòî ðåøåíèå ìîæíî áûëî ïðèíÿòü â êà÷åñòâå
âñïîìîãàòåëüíîé ôóíêöèè N z( ), ââåäåííîé âûøå, ïî-
òðåáóåì, ÷òîáû îáùåå ðåøåíèå îáëàäàëî ñâîéñòâîì
N ( )� � 0. Íà ýòîì ïóòè ïîëó÷àåì c g0 2� �
v
, à òàêæå
íàõîäèì ñ èñïîëüçîâàíèåì (9) èñêîìóþ ñêîðîñòü
ñêîëüæåíèÿ
U q d q g V C q g0 0 1( , ) ( , ) ( ) ( , ) � � �
v v
, (12)
ãäå, ñîãëàñíî (8), êîýôôèöèåíò èçîòåðìè÷åñêîãî ñêîëü-
æåíèÿ ðàâåí
C q V
q
q
l
l
( , ) ( )
( )
( )
� �
�
�1
2
1
1 2
. (13)
Çäåñü
V d1
0
1
( ) [ ( ) ]
�
!
�
� � �
�
� , !
�
�
( )
Re ( )
Im ( )
�
�
�
arcctg .
Èç ðàâåíñòâà (14) âèäíî, ÷òî V1( ) — êîýôôèöèåíò
èçîòåðìè÷åñêîãî ñêîëüæåíèÿ (ñì. [1,2,8,11]), åñëè
q �1, ò.å. â ñëó÷àå ìàêñèìàëüíîé àêêîìîäàöèè òàíãåí-
öèàëüíîãî èìïóëüñà.
Èç ôîðìóë Ñîõîöêîãî äëÿ N z( ) íàéäåì íåèçâåñ-
òíóþ ôóíêöèþ a( )� ðàçëîæåíèÿ (11):
� �
� � �
�
� � �
a
g
i X X
g
X
( )
( ) ( )
sin ( )
( )
� � �
"
#
$
$
%
&
'
'
�
� �
v
v
1 1 2
. (14)
Òàêèì îáðàçîì, âñå íåèçâåñòíûå êîýôôèöèåíòû
ðàçëîæåíèÿ (11) íàéäåíû (ôîðìóëû (12) è (14)). Òåì
ñàìûì, ñîãëàñíî (2), (3), (11)–(13), ôóíêöèÿ ðàñïðåäå-
ëåíèÿ ïîñòðîåíà â ÿâíîì âèäå.
4. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ
Ïîäñòàâëÿÿ (12) è (14) â (11), ïîñëå íåêîòîðûõ ïðå-
îáðàçîâàíèé ïîëó÷àåì
h x
g
V x
x
X
( , )
( ) exp
sin ( )
( )
� �
�
�2
1
1
0
v
� � � � �
�
�
��
�
�
��
�
�
d�
�
�
�
� �
�
�
��
�
�
�� �exp
cos ( )
( )
( )
x
X
!
, (15)
ãäå !
� ( ) — ôóíêöèÿ Õýâèñàéäà, !
� �( ) 1,
� 0,
!
� �( ) 0,
( 0.
Ôîðìóëó (15) óäîáíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ïîñòðîåíèÿ
ïðîôèëÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ â ïîëóïðîñòðàíñòâå.
Èç ðàçëîæåíèÿ (15) íàéäåì ôóíêöèþ ðàñïðåäåëå-
íèÿ ëåòÿùèõ ê ñòåíêå ìîëåêóë (�� ( (
0) íåïîñðåä-
ñòâåííî ó ñòåíêè (ò.å. ïðè x � 0). Ïîäñòàâëÿÿ x � 0 â
(15) è ó÷èòûâàÿ, ÷òî
( 0, ïîëó÷àåì çíà÷åíèå ôóíêöèè
ðàñïðåäåëåíèÿ íà ãðàíèöå:
h
g
C q
d
X
( , )
( , )
sin ( )
( )( )
0
2
1
0
�
� �
� �
v
� � �
�
�
� . (16)
Çàäà÷à Êðàìåðñà ñ àêêîìîäàöèîííûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè äëÿ êâàíòîâûõ ôåðìè-ãàçîâ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 9 917
Èñïîëüçóÿ èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå
1 1
0
1�
� �
� �
sin ( )
( )( )
( )
( )
d
X
V
X�
� � � �
�
� ,
âûâîä êîòîðîãî èçëîæåí â [11], íà îñíîâàíèè (16) ïî-
ëó÷àåì
h
g
q
q
l
l X
( , ) ( )
( ) ( )
0
2
1 2 12
1
v
�
�
� � , �� ( (
0 . (17)
Ôîðìóëà (17) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çíà÷åíèå ôóíê-
öèè ðàñïðåäåëåíèÿ íà ñòåíêå äëÿ ëåòÿùèõ ê íåé
ìîëåêóë.
5. Âÿçêîñòü, êîíöåíòðàöèÿ è ñêîðîñòü ñêîëüæåíèÿ
êâàíòîâîãî ãàçà
Ôîðìóëó (12) äëÿ áåçðàçìåðíîé ñêîðîñòè ñêîëüæå-
íèÿ ïðèâåäåì ê ðàçìåðíîìó âèäó. Äëÿ ýòîãî ïîíàäî-
áèòñÿ âûðàæåíèå äëÿ êîýôôèöèåíòà âÿçêîñòè êâàíòî-
âîãî ôåðìè-ãàçà.
Êîýôôèöèåíò äèíàìè÷åñêîé âÿçêîñòè � îïðåäåëÿ-
åòñÿ èç ôîðìóëû äëÿ ( , )x y -êîìïîíåíòû òåíçîðà âÿç-
êèõ íàïðÿæåíèé â ãàçå:
P x Gx y, ( )as
1 � ��
v
, G
du x
dx
y
v
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
( )1
1
, (18)
ãäå x1 — ðàçìåðíàÿ êîîðäèíàòà,
P x m f x dx y x y, ( ) ( , )as
as1 1� � v v v � , (19)
à ôóíêöèÿ fas îïðåäåëÿåòñÿ ñîãëàñíî (2) ïðè ïîäñòà-
íîâêå â íåå ôóíêöèè has , ââåäåííîé ðàâåíñòâîì (7).
 ïðàâîé ÷àñòè (18) ñòîèò ãðàäèåíò ðàçìåðíîé ìàñ-
ñîâîé ñêîðîñòè G
v
. Ó÷èòûâàÿ ñâÿçü ìåæäó áåçðàçìåð-
íîé è ðàçìåðíîé êîîðäèíàòàìè x x� �
1, íàéäåì
ñâÿçü ìåæäó ãðàäèåíòàìè G
v
è g
v
: G g
v v
� � .
Âûðàçèì êîýôôèöèåíò âÿçêîñòè � èç ðàâåíñòâ (18)
è (19) è ïåðåéäåì â ïîëó÷åííîì ðàâåíñòâå ê èíòåãðè-
ðîâàíèþ ïî áåçðàçìåðíûì êîìïîíåíòàì ñêîðîñòè. Ñ
èñïîëüçîâàíèåì (2), (3) è (7) ïîëó÷àåì
�
� �
� �
�
�
m s
g
C C g C h x C d Cx y x
4
3 5
2 32 1
2
( )
( ) ( )
( , ) ( , )
v
�
as .
Âû÷èñëÿÿ èíòåãðàë â ýòîì âûðàæåíèè, íàõîäèì êîýô-
ôèöèåíò âÿçêîñòè
�
�
� �
�
�2 2 1
2
4
2
3 5
( ) ( )
( ) ( )
s m l
�
.
Íàéäåì êîíöåíòðàöèþ êâàíòîâîãî ôåðìè-ãàçà. Ïî
îïðåäåëåíèþ, êîíöåíòðàöèÿ N fd� � �. Ëèíåàðèçóÿ
ýòî ðàâåíñòâî ñîãëàñíî (2), ïîëó÷àåì
N
s m l
�
�2 2 1
2
3
0
3 3
�
�
( ) ( )
( ) ( )�
. (20)
Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèÿ (19) è (20) äëÿ êîýôôèöèåíòà
âÿçêîñòè è êîíöåíòðàöèè, íàéäåì ñâÿçü ìåæäó íèìè:
�
�
�
Nm l
l
2
0
( )
( )
.
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïëîòíîñòü ãàçà ) ðàâíà Nm, çàïèøåì
�
)
�
� �
l
l
2
0
( )
( )
. (21)
Ïåðåéäåì â ðàâåíñòâå (12) ê ðàçìåðíîé ñêîðîñòè
ñêîëüæåíèÿ, êîòîðóþ îáîçíà÷èì ÷åðåç U sl . Ðàâåíñòâî
(12) ïåðåïèøåì c èñïîëüçîâàíèåì ãðàäèåíòà ðàçìåð-
íîé ìàññîâîé ñêîðîñòè â âèäå
�U C q Gsl � ( , ) /
v
,
îòêóäà ðàçìåðíàÿ ñêîðîñòü ñêîëüæåíèÿ ðàâíà
U
C q
l Gsl �
( , )
�
v
. (22)
Äëèíà ñâîáîäíîãî ïðîáåãà l â ãàçå îïðåäåëåíà íå-
îäíîçíà÷íî. Ñîõðàíÿÿ ïðååìñòâåííîñòü ñ êëàññè÷åñ-
êèì ãàçîì, äëèíó ñâîáîäíîãî ïðîáåãà â êâàíòîâîì
ôåðìè-ãàçå âûðàçèì ÷åðåç êîýôôèöèåíò âÿçêîñòè �,
ñîãëàñíî ×åð÷èíüÿíè [2], â òîé æå ôîðìå, ÷òî è â êëàñ-
ñè÷åñêèõ ãàçàõ: l � � �
)/ . Èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî (21)
äëÿ âÿçêîñòè, ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ
äëèíû ñâîáîäíîãî ïðîáåãà â êâàíòîâîì ôåðìè-ãàçå:
l
l
l
�
�
�
0
2
( )
( )
. (23)
Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå (23) â (22), ïîëó÷àåì ðàçìåð-
íóþ ñêîðîñòü ñêîëüæåíèÿ:
U K q l Gsl � v v
( , ) ,
ãäå
K q
C q l
l
v
( , )
( , ) ( )
( )
�
� 0
2
,
òàê æå, êàê è C q( , ) , êîýôôèöèåíò èçîòåðìè÷åñêîãî
ñêîëüæåíèÿ. Ïðè ýòîì áåçðàçìåðíàÿ ñêîðîñòü ñêîëü-
æåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ êîýôôèöèåíòà
C q( , ) , à ðàçìåðíàÿ — ñ ïîìîùüþ êîýôôèöèåíòà
K q
v
( , ) .
6. Çàêëþ÷åíèå
Îòìåòèì, ÷òî ïðè � �� êâàíòîâûé ôåðìè-ãàç ïå-
ðåõîäèò â êëàññè÷åñêèé. Âû÷èñëÿÿ â (12) ïðåäåë ïðè
918 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 9
À.À. Êîñòèêîâ, À.Â. Ëàòûøåâ, À.À. Þøêàíîâ
� ��, ïîëó÷àåì êëàññè÷åñêèé ðåçóëüòàò ×åð÷èíüÿ-
íè [7]:
C q V
q
q
( , ) ( )�� � �� �
�
1
1
� , V1 101619( ) ,�� * . (24)
Ôîðìóëà (24) äàåò èçâåñòíóþ âåëè÷èíó êîýôôèöè-
åíòà èçîòåðìè÷åñêîãî ñêîëüæåíèÿ îäíîàòîìíîãî êëàñ-
ñè÷åñêîãî ãàçà ñ ïîñòîÿííîé ÷àñòîòîé ñòîëêíîâåíèé
ìîëåêóë (ñì., íàïðèìåð, [1–3,11]).
Òî÷íî òàê æå ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî è âñå îñòàëüíûå
ðåçóëüòàòû íàñòîÿùåé ðàáîòû (ôîðìóëû (15)–(17))
ïåðåõîäÿò â èçâåñòíûå ðåçóëüòàòû [11], åñëè êâàíòî-
âûé ôåðìè-ãàç ïåðåõîäèò â êëàññè÷åñêèé.
Íà ðèñ. 1 ïîêàçàíà çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòà
C q( , ) èçîòåðìè÷åñêîãî ñêîëüæåíèÿ îò áåçðàçìåðíîé
âåëè÷èíû õèìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà ïðè ðàçëè÷íûõ
çíà÷åíèÿõ êîýôôèöèåíòà àêêîìîäàöèè òàíãåíöèàëü-
íîãî èìïóëüñà ìîëåêóë q.
Íà ðèñ. 2 ïðèâåäåíà çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòà
C q( , ) èçîòåðìè÷åñêîãî ñêîëüæåíèÿ îò âåëè÷èíû àê-
êîìîäàöèè òàíãåíöèàëüíîãî èìïóëüñà ìîëåêóë q ïðè
ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ áåçðàçìåðíîé âåëè÷èíû õèìè-
÷åñêîãî ïîòåíöèàëà .
Ïðè îòðèöàòåëüíûõ ãðàôèê C q( , ) (ðèñ. 1) âû-
õîäèò íà àñèìïòîòèêó C q q qas ( , ) , ( ) / �� � �1016 1
óæå ïðè + �2. Ïðè + �2 âåëè÷èíà V1( ) ïðàêòè÷åñ-
êè ñîâïàäàåò ñ àñèìïòîòè÷åñêèì çíà÷åíèåì, ñîîò-
âåòñòâóþùèì êëàññè÷åñêîìó ñëó÷àþ. Ïðè q � 0
(ðèñ. 2) ïîâåäåíèå C q( , ) îïðåäåëÿåòñÿ ñëàãàåìûì
2 2 1l l q( ) / ( ( ) ) , êîòîðîå ïðè ìàëûõ ñîâïàäàåò ñ âå-
ëè÷èíîé � / q, âîçíèêàþùåé â êëàññè÷åñêèõ ãàçàõ.
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ÿâëÿþòñÿ
åñòåñòâåííûì îáîáùåíèåì èçâåñòíûõ ðåçóëüòàòîâ
äëÿ êëàññè÷åñêèõ ãàçîâ.
Èòàê, â ðàáîòå àíàëèòè÷åñêè ðåøåíà çàäà÷à Êðà-
ìåðñà îá èçîòåðìè÷åñêîì ñêîëüæåíèè êâàíòîâîãî ôåð-
ìè-ãàçà ñ àêêîìîäàöèîííûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè.
Êîýôôèöèåíò èçîòåðìè÷åñêîãî ñêîëüæåíèÿ C q( , )
íàéäåí êàê ôóíêöèÿ êîýôôèöèåíòà àêêîìîäàöèè òàí-
ãåíöèàëüíîãî èìïóëüñà ìîëåêóë è áåçðàçìåðíîãî õè-
ìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà — ïàðàìåòðà, ðàâíîãî îòíîøå-
íèþ õèìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà ê ïðîèçâåäåíèþ
ïîñòîÿííîé Áîëüöìàíà íà àáñîëþòíóþ òåìïåðàòóðó.
 ÿâíîì âèäå ïðåäñòàâëåíà ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëå-
íèÿ ìîëåêóë â ïîëóïðîñòðàíñòâå, à òàêæå çíà÷åíèå
ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ìîëåêóë ãàçà, ëåòÿùèõ ê ñòåí-
êå, íåïîñðåäñòâåííî ó ñòåíêè.
1. Äæ. Ôåðöèãåð, Ã. Êàïåð, Ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ ïðî-
öåññîâ ïåðåíîñà â íåîäíîðîäíûõ ãàçàõ, Ìèð, Ìîñêâà
(1976).
2. Ê. ×åð÷èíüÿíè, Òåîðèÿ è ïðèëîæåíèÿ óðàâíåíèÿ Áîëüö-
ìàíà, Ìèð, Ìîñêâà (1977).
3. Ì.Í. Êîãàí, Äèíàìèêà ðàçðåæåííîãî ãàçà. Êèíåòè÷åñ-
êàÿ òåîðèÿ, Íàóêà, Ìîñêâà (1967).
4. Â.Ã. Áàðàíöåâ, Âçàèìîäåéñòâèå ðàçðåæåííûõ ãàçîâ ñ
îáòåêàåìûìè ïîâåðõíîñòÿìè, Íàóêà, Ìîñêâà (1975).
5. Äæ. Çàéìàí, Ýëåêòðîíû è ôîíîíû, ÈË, Ìîñêâà (1962).
6. ×. Êèòòåëü, Êâàíòîâàÿ òåîðèÿ òâåðäûõ òåë, Íàóêà,
Ìîñêâà (1967).
7. K. Cercignani, J. Math. Analys. Appl. 10, 568 (1965).
8. À.Â. Ëàòûøåâ, À.À. Þøêàíîâ, Èçâ. ÐÀÍ. Ñåð. ÌÆÃ. 2,
193 (2004).
9. À.Â. Ëàòûøåâ, À.À. Þøêàíîâ, Èíæ-ôèç. æóðí. 74, 63
(2001).
10. À.Â. Ëàòûøåâ, À.À. Þøêàíîâ, Òåîð. ìàòåì. ôèç. 129,
491 (2001).
11. À.Â. Ëàòûøåâ, À.À. Þøêàíîâ, Àíàëèòè÷åñêîå ðåøå-
íèå ãðàíè÷íûõ çàäà÷ êèíåòè÷åñêîé òåîðèè, Èçä-âî
ÌÃÎÓ, Ìîñêâà (2004).
Çàäà÷à Êðàìåðñà ñ àêêîìîäàöèîííûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè äëÿ êâàíòîâûõ ôåðìè-ãàçîâ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 9 919
–1,5 –1,0 –0,5 0 0,5 1,0 1,5
2
4
6
8
1
2
3
4
C
(
,q
)
Ðèñ. 1. Çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòà èçîòåðìè÷åñêîãî ñêîëü-
æåíèÿ îò âåëè÷èíû õèìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà , êðèâûå 1,
2, 3, 4 îòâå÷àþò çíà÷åíèÿì êîýôôèöèåíòà àêêîìîäàöèè q �
= 0,2; 0,3; 0,5; 0,7.
0,4 0,80
5
10
15
20 3
1
2
q
C
(
,q
)
Ðèñ. 2. Çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòà èçîòåðìè÷åñêîãî ñêîëü-
æåíèÿ îò âåëè÷èíû êîýôôèöèåíòà àêêîìîäàöèè, êðèâûå 1,
2, 3 îòâå÷àþò çíà÷åíèÿì õèìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà � 0,
–3, 3.
The Kramers problem with accomodative
boundary conditions for quantum Fermi gases
A.A. Kostikov, A.V. Latyshev, and A.A. Yushkanov
The Kramers problem of isothermal slip of quan-
tum Fermi gas with Cercignani’s accommodative
boundary conditions is analytically solved. Speed
of isothermal slip is derived as a function of ac-
commodation coefficient and reduced chemical po-
tential (the relation of chemical potential to product
of Boltzmann constant on absolute temperature). The
distribution function of molecules is presented in
an explicit form.
PACS: 05.20.Dd Kinetic theory;
05.30.Fk Fermion systems and electron gas.
Keywords: Kramers problem, accommodative boun-
dary condition, analytical solution, Fermi gas, iso-
thermal sliding.
920 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 9
À.À. Êîñòèêîâ, À.Â. Ëàòûøåâ, À.À. Þøêàíîâ
|