Механика 2D кристаллов: переход от атомно-решеточного описания к уравнениям теории упругости
Рассмотрен двумерный (2D) кристалл, образованный системой одинаковых атомов с парным центрально-симметричным взаимодействием между ними. Предполагается, что в начальном состоянии равновесия атомы занимают узлы плоской трансляционно-симметричной сетки, а деформированное состояние возникает в результа...
Saved in:
| Published in: | Физика низких температур |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/118464 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Механика 2D кристаллов: переход от атомно-решеточного описания к уравнениям теории упругости / В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов // Физика низких температур. — 2013. — Т. 39, № 6. — С. 690–703. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860242131854032896 |
|---|---|
| author | Нацик, В.Д. Смирнов, С.Н. |
| author_facet | Нацик, В.Д. Смирнов, С.Н. |
| citation_txt | Механика 2D кристаллов: переход от атомно-решеточного описания к уравнениям теории упругости / В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов // Физика низких температур. — 2013. — Т. 39, № 6. — С. 690–703. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Физика низких температур |
| description | Рассмотрен двумерный (2D) кристалл, образованный системой одинаковых атомов с парным центрально-симметричным взаимодействием между ними. Предполагается, что в начальном состоянии равновесия атомы занимают узлы плоской трансляционно-симметричной сетки, а деформированное состояние возникает в результате их смещений в плоскости кристалла (продольные деформации) и в перпендикулярном к ней направлении (деформации изгиба). Показано, что при континуальном описании такому кристаллу соответствует бесконечно тонкая анизотропная пленка с конечной плотностью массы, которая способна к упругим продольной и изгибной деформациям. В рамках классической механики вы-ведены базовые соотношения и уравнения для атомных смещений и соответствующие им уравнения теории упругости, описывающие обе моды деформации 2D кристалла как в линейном приближении, так и с учетом ангармонизмов. Получены явные выражения, связывающие модули линейной и нелинейной упругости кристалла с потенциалом межатомного взаимодействия и геометрическими характеристиками плоской кристаллической решетки.
Розглянуто двовимірний (2D) кристал, утворений системою однакових атомів з парною центрально-симетричною взаємодією між ними. Передбачається, що у початковому стані рівноваги атоми розташовані у вузлах плоскої трансляційно-симетричної сітки, а деформований стан виникає як результат їх зміщень у площині кристала (поздовжні деформації) і у перпендикулярному до неї напрямку (деформації згину). Показано, що при континуальному описі такому кристалу відповідає нескінченно тонка анізотропна плівка з кінцевою густиною маси, яка здатна до пружних деформацій та деформацій згину. У рамках класичної механіки виведено базові співвідношення і рівняння для атомних зміщень та відповідні рівняння теорії пружності, які описують обидві моди деформацій 2D кристала як у лінійному наближенні, так і з урахуванням ангармонізмів. Отримано явні вирази, що зв’язують модулі лінійної і нелінійної пружності кристала з потенціалом міжатомної взаємодії та геометричними характеристиками плоскої кристалічної гратки.
A two-dimensional (2D) crystal formed by the sys-tem of identical atoms with a pair centrosymmetrical interaction between them is considered. It is suggested that in the initial equilibrium state the atoms occupy the sites of the plane translation-symmetrical lattice and the deformation state appears due to their dis-placement within the crystal plane (longitudinal de-formation) and in the normal-to-it-direction (flexural strain). It is shown that in the continual description to this crystal corresponds an infinitely thin anisotropic film with a finite mass density that can undergo elastic longitudinal and flexural deformations. In the context of classical mechanics are derived the base relations and equations for atomic displacements and the rele-vant equations of the theory of elasticity that describe the both modes of deformation for the 2D crystal in the linear approximation as well as with the account of anharmonicity. Explicit expressions are obtained which relate the linear and nonlinear elastic moduli of the crystal to the potential of interatomic interaction and the geometrical characteristics of the plane crystal lattice.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:31:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
© В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов, 2013
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 6, c. 690–703
Механика 2D кристаллов: переход от атомно-
решеточного описания к уравнениям теории
упругости
В.Д. Нацик1,2, С.Н. Смирнов1
1
Физико-технический институт низких температур им. Б.И. Веркина НАН Украины
пр. Ленина, 47, г. Харьков, 61103, Украина
E-mail: smirnov@ilt.kharkov.ua
2
Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина, пл. Свободы, 4, г. Харьков, 61077, Украина
Статья поступила в редакцию 30 ноября 2012 г.
Рассмотрен двумерный (2D) кристалл, образованный системой одинаковых атомов с парным цен-
трально-симметричным взаимодействием между ними. Предполагается, что в начальном состоянии рав-
новесия атомы занимают узлы плоской трансляционно-симметричной сетки, а деформированное состоя-
ние возникает в результате их смещений в плоскости кристалла (продольные деформации) и в
перпендикулярном к ней направлении (деформации изгиба). Показано, что при континуальном описании
такому кристаллу соответствует бесконечно тонкая анизотропная пленка с конечной плотностью массы,
которая способна к упругим продольной и изгибной деформациям. В рамках классической механики вы-
ведены базовые соотношения и уравнения для атомных смещений и соответствующие им уравнения тео-
рии упругости, описывающие обе моды деформации 2D кристалла как в линейном приближении, так и с
учетом ангармонизмов. Получены явные выражения, связывающие модули линейной и нелинейной уп-
ругости кристалла с потенциалом межатомного взаимодействия и геометрическими характеристиками
плоской кристаллической решетки.
Розглянуто двовимірний (2D) кристал, утворений системою однакових атомів з парною центрально-
симетричною взаємодією між ними. Передбачається, що у початковому стані рівноваги атоми розташо-
вані у вузлах плоскої трансляційно-симетричної сітки, а деформований стан виникає як результат їх змі-
щень у площині кристала (поздовжні деформації) і у перпендикулярному до неї напрямку (деформації
згину). Показано, що при континуальному описі такому кристалу відповідає нескінченно тонка анізо-
тропна плівка з кінцевою густиною маси, яка здатна до пружних деформацій та деформацій згину. У рам-
ках класичної механіки виведено базові співвідношення і рівняння для атомних зміщень та відповідні рів-
няння теорії пружності, які описують обидві моди деформацій 2D кристала як у лінійному наближенні,
так і з урахуванням ангармонізмів. Отримано явні вирази, що зв’язують модулі лінійної і нелінійної пруж-
ності кристала з потенціалом міжатомної взаємодії та геометричними характеристиками плоскої криста-
лічної гратки.
PACS: 46.05.+b Общая теория континуальной механики твердых тел;
63.22.-m Фононы или колебательные состояния в низкоразмерных и наномасштабных материалах.
Ключевые слова: двумерные кристаллы, упругие пленки, теория упругости, модули упругости, нелиней-
ная механика.
Введение
В настоящее время в физике конденсированного со-
стояния вещества изучается довольно большое количе-
ство систем, в которых пространственное распределе-
ние микроскопических структурных элементов имеет
трансляционный порядок в двух измерениях. Эти сис-
темы называются двумерными (2D) кристаллами [1–3].
Симметрия структуры 2D кристаллов описывается 17
двумерными пространственными группами (группами
Механика 2D кристаллов: переход от атомно-решеточного описания к уравнениям теории упругости
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 6 691
плоской симметрии), десятью кристаллографическими
точечными группами симметрии и пятью типами пло-
ских ячеек Бравэ [4–6].
В реально существующих 2D кристаллах элемен-
тарными структурными единицами являются частицы
(молекулы, атомы, электроны) или псевдочастицы (на-
пример, топологические солитоны в тонких пленках
сверхтекучей жидкости, сверхпроводника, магнетика
— соответственно квантованные вихри, вихри Абри-
косова, цилиндрические магнитные домены). С целью
упрощения формулировок условимся в дальнейшем
использовать для обозначения элементарной структур-
ной единицы кристалла термин «атом», оговорив воз-
можность более общего толкования этого термина,
если возникнет в этом необходимость. Отметим, что во
многих случаях 2D кристаллы могут существовать
только в условиях достаточно низких температур, а их
физико-механические свойства имеют специфические
низкотемпературные особенности. Поэтому изучение
этих систем относится к одной из актуальных проблем
современной физики низких температур [7,8].
Математическое описание и теоретико-физический
анализ свойств 2D кристаллов требует определенной
модификации моделей и методов, ранее разработанных
для трехмерных (3D) кристаллов. В частности, для
континуального описания механических свойств 2D
кристаллов необходима формулировка базовых поло-
жений и уравнений двумерной теории упругости, ко-
торая может иметь специфические особенности по
сравнению с хорошо известной теорией упругости для
3D кристаллических сред [9–11]. Такие различия воз-
никают уже в приближении линейной теории упруго-
сти и особенно возрастают при переходе к описанию
нелинейных деформационных эффектов, например,
свойств нелинейных волн атомных смещений или то-
пологических дефектов структуры (дислокаций, дис-
клинаций, краудионов).
К настоящему времени появилось довольно много
теоретических исследований, посвященных анализу
акустических колебаний и дислокационных процес-
сов в 2D (или в слоистых квазидвумерных) кристаллах
[1–3,12]. Но при этом в большинстве из них микроско-
пический анализ направлен в основном на описание
общих закономерностей гармонических колебаний
простейших моделей 2D кристаллов, а континуальная
механика таких систем строится на основе 3D теории
упругости: 2D кристалл рассматривается как предель-
но тонкий слой трехмерной упругой среды (упругая
пластина или мембрана); в классической теории упру-
гости для описания статических деформаций пластин и
волновых процессов в них разработан специальный
раздел [9,13,14]. Такие подходы дают возможность
предсказывать и строить полуколичественное описа-
ние целого ряда физико-механических эффектов, от-
ражающих специфику кристаллических систем с по-
ниженной размерностью, но не могут претендовать на
роль последовательной теории. В частности, рассмат-
ривая 2D кристалл как упругую пластину, мы вынуж-
дены использовать плохо определенный параметр —
конечную толщину слоя: данное обстоятельство не
приводит к затруднениям, если 2D кристалл представ-
ляет собой решетку топологических солитонов в плен-
ке, но при рассмотрении плоских моноатомных слоев
или моноэлектронных структур возникает неопреде-
ленность в микроскопической интерпретации указан-
ного параметра и количественных оценок его величи-
ны. Отсутствует также ясность в вопросе о микроско-
пической интерпретации модулей упругости и цилин-
дрической жесткости 2D кристалла, рассматриваемого
как упругая пластина, а именно, связи этих феномено-
логических параметров теории упругости с характери-
стиками межатомного взаимодействия.
В настоящей работе предложен последовательный и
непротиворечивый вывод базовых уравнений теории
упругости 2D кристалла: предполагается, что кристалл
образован системой одинаковых атомов, их взаимодей-
ствие описывается парным центрально-симметричным
потенциалом, а теория упругости соответствует пре-
дельному переходу от уравнений атомно-решеточной
механики к континуальному описанию в приближении
малых деформаций. Будут получены уравнения для
описания деформаций в плоскости кристалла и изгиб-
ных деформаций, которые в приближении линейной
теории упругости являются независимыми (как и для
тонких упругих слоев). Получены и обсуждены глав-
ные нелинейные поправки к линейному приближению,
определяющие взаимосвязь обоих типов деформаций.
Выведены явные выражения, позволяющие вычислять
модули упругости 2D кристалла при заданном потен-
циале парного межатомного взаимодействия.
Следует отметить, что в физике конденсированного
состояния существует отдельная специфическая про-
блема механизмов формирования и критериев устой-
чивости низкоразмерных кристаллических структур
[1–3,15,16], но ее обсуждение выходит за рамки данно-
го исследования.
1. Геометрия, динамические переменные и
уравнения движения 2D кристалла в атомно-
решеточном приближении
Рассмотрим евклидово пространство R
3
, в котором
выделим плоское подпространство R
2
и зададим в нем
сетку эквивалентных узлов с симметрией решетки 2D
кристалла. Будем использовать декартову правовинто-
вую прямоугольную систему координат с началом О в
одном из решеточных узлов и ортонормированным
базисом 1 2{ , , }i i s , где 1 2{ , }i i — орты в пространстве
R
2
, а s — единичный вектор нормали к плоскости R
2
,
задающий ее ориентацию (рис. 1). Отдельная точка
В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов
692 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 6
пространства R
2
относительно этой системы координат
определяется радиус-вектором 1 1 2 2 1 2{ , }x x x x r i i .
Решетку узлов 2D кристалла можно получить бес-
конечным повторением одной примитивной ячейки,
построенной на паре непараллельных базисных векто-
ров 1 2{ , }a a , а радиус-вектор
n
R отдельного узла с
номером 1 2{ , }n nn определяется соотношением
1 1 2 2n n n
R a a , где n1, n2 = 0, 1, 2, … Разность
двух решеточных векторов с номерами 1 2{ , }n nn и
1 2{ , }m mm также является решеточным вектором
1 1 1 2 2 2( ) ( )n m n m n-m n m
R R R a a .
Пространству R
2
поставим в соответствие двумер-
ное обратное пространство, отдельная точка которого
определяется радиус-вектором k = k1i1 + k2i2 = {k1, k2},
а его компоненты имеют размерность обратной длины.
В этом пространстве также зададим трансляционно
симметричную сетку узлов и элементарную ячейку,
построенную на паре базисных векторов {b1, b2}, ко-
торые связаны с {a1, a2} соотношениями
1 2
0
2
[ ]
s
b a s , 2 1
0
2
[ ]
s
b s a , 0 1 2([ ] )s a a s , (1)
где s0 — площадь примитивной элементарной ячейки
2D кристалла.
Идеальную структуру бесконечно протяженного 2D
кристалла будем представлять как совокупность оди-
наковых атомов, помещенных в узлы
n
R , тогда дефор-
мированное состояние кристалла можно задать трех-
компонентным вектором атомных смещений
1 1 2 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) { , , }t u t u t w t u u w n n n n n n n
q i i s , (2)
где компоненты смещений в плоскости кристалла
1 2{ , }u un n n
u и в поперечном направлении wn заданы
в точках (узлах решетки) с координатами
n
R и явля-
ются функциями времени t. В этих обозначениях мгно-
венная координата атома ( )tn
r и разность координат
двух атомов определяются как
n n n
r R q , nm n m n-m nm
r r r R q , nm n m
q q q .
(2а)
При описании механических процессов в кристалле
выберем в качестве динамических переменных совокуп-
ность смещений отдельных атомов ( ) { , }t wn n n
q u и
соответствующих им скоростей
( ) ( ) { , }
d
t t w
dt
n n n n
q q u *.
В дальнейшем будем рассматривать простейшую
модель 2D кристалла, в которой межатомное взаимо-
действие описывается парным центрально-симметрич-
ным потенциалом ( ) (| |)r r , r — вектор, соединя-
ющий атомы, а каждый узел кристаллической решетки
является центром симметрии. При анализе потенци-
альной энергии такого кристалла расстояние между
двумя атомами | |r nm nm
r удобно представить в
виде
1/2 2 1/2( ) [( ) ]r R J nm nm nm n-m nm
r r , | |R n-m n-m
R , (3)
2
2 2
2( ) ( )
2( ) ( ) ( ) .
J q
u w
nm n-m nm nm
n-m nm nm nm
R q
R u
Отметим важную особенность 2D кристалла — обраще-
ние в нуль скалярного произведения ( ) 0w n-m nm
R s ;
данная особенность приведет в дальнейшем к сущест-
венным различиям уравнений, определяющих переме-
щения n
u (деформации nm
u ) кристалла в его плоско-
сти и перемещения wn (деформации изгиба wnm) в по-
перечном направлении. С учетом соотношений (2), (3)
полную энергию межатомного взаимодействия { }U n
q
можно представить в виде
,
2 1/2
,
1
{ } { , } ( )
2
1
[( ) ] ,
2
U U w r
R J
n n n nm
n m
n-m nm
n m
q u
(4)
где функция атомных смещений ( , )J wnm nm nm
u опре-
деляется формулой (3), а суммирование выполня-
ется по двум наборам чисел n m. При описании от-
носительно малых деформаций 2D кристалла, которые
удовлетворяют неравенствам
| | Rnm n-m
u , | |w Rnm n-m
,
2| | ( )J Rnm n-m
, (5)
потенциальную энергию в (4) можно разложить в ряд
Тейлора по степеням величины J nm , а функцию Ла-
гранжа { , } { , , , }L L w wn n n n n n
q q u u для 2D кристалла,
состоящего из атомов с массой m, записать в виде
* В литературе иногда обсуждаются модели 2D кристаллов, в которых перемещения атомов ( )tn
q принадлежат пространст-
ву R
2
, т.е. 0w n (собственно двумерные кристаллы). Рассматриваемая здесь модель более адекватна реальным низкораз-
мерным физическим системам и описывает собственно двумерные кристаллы как частный случай.
Рис. 1. Геометрия задачи.
Механика 2D кристаллов: переход от атомно-решеточного описания к уравнениям теории упругости
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 6 693
2 2 ( )
0[ | | ( ) ] { , } { , } ,
2
em
L w U w U t Un n n n n n
n
u u R q (6)
, 1
1 1
( )( )
2 2 !
U R J
n-m nm
n m
. (7)
В этой формуле ( )eU — потенциал внешних по отно-
шению к кристаллу сил, 0U — собственная энергия
кристалла в начальном состоянии, а зависимость соб-
ственной потенциальной энергии от атомных смеще-
ний определяется слагаемым U и зависимостью
( , )J wnm nm nm
u (3). Отметим, что величины 0U и
( )R
n-m
зависят только от геометрических парамет-
ров и характеристик межатомного взаимодействия в
исходном недеформированном кристалле:
0
,
1
2
( )U R'
n m
n-m , ( ) ( )r O r
,
где (1/ ) d
drO r
— оператор, который действует на
функцию f(r) скалярного аргумента r по правилу
1 ( )
( )
df r
O f r
r dr
.
В частности:
1
2
2
2 2 2 3
3 2
3
3 3 3 4 2 5
4
4
4 3 2
4 4 5 3 6 2 7
1 ( )
( ) ( ) ,
1 ( ) 1 ( )
( ) ( ) ,
1 ( ) 3 ( ) 3 ( )
( ) ( ) ,
( ) ( )
1 ( ) 6 ( ) 15 ( ) 15 ( )
.
d r
r O r
r dr
d r d r
r O r
drr dr r
d r d r d r
r O r
drr dr r dr r
r O r
d r d r d r d r
drr dr r dr r dr r
(8)
В выражении (7) при выполнении двойного суммиро-
вания можно отказаться от ограничения n m, фор-
мально полагая далее ( 0) 0R n
[16,17].
Здесь уместно подчеркнуть, что в формуле (4) ска-
ляры rnm
и { }U n
q обладают естественным свойством
инвариантности относительно произвольных трансля-
ций и ортогональных преобразований координат в
пространстве R
3
(и в подпространстве R
2
). Использо-
вание разложения (7) не нарушает эту инвариантность,
так как она имеет место и для
2 2( ) ( )J r R nm nm nm
— изменений квадрата расстояния между атомами в
результате их смещений. Напомним, что в микроско-
пической механике кристаллов [1,2,16,17] очень часто
используют представление энергии { }U n
q в виде сте-
пенного ряда по смещениям атомов
n
q , но при этом
соблюдение свойства инвариантности требует наложе-
ния определенных ограничений на коэффициенты ряда
и дальнейший анализ существенно усложняется.
Отметим, что идеальная равновесная структура клас-
сического кристалла (без учета квантовых эффектов) дол-
жна соответствовать минимуму энергии 0 0 1 2( , )U U a a ,
если ее рассматривать как функцию базисных векторов
1 2{ , }a a . Обсуждение этого условия при описании 3D
кристаллов содержится в монографии [16]. Воспользо-
вавшись предложенным там алгоритмом анализа, легко
показать, что необходимым условием экстремума 0U
является равенство
1 ( ) 0i jR R R n n n
n
, i, j = 1, 2. (9)
Здесь и в дальнейшем мы используем координатные
индексы i, j = 1, 2 для обозначения компонент двумер-
ных векторов 1 2{ , }R Rn n n
R , 1 2{ , }u un n n
u
Функции Лагранжа (6) соответствует система урав-
нений движения для отдельных атомов:
( )
( , )
e
i i
i
U
mu f w t
u
n n n n
n
R u s , (10)
( ) ( , )
eU
mw f w t
w
n n n n
sn
R u s . (11)
Здесь
( )( ) ( ){ , }
ee e
if f sf — заданная система внешних
сил, которые действуют на отдельные атомы в плоско-
сти кристалла (i = 1, 2) и в направлении нормали s.
Во многих реальных ситуациях 2D кристалл суще-
ствует на жесткой подложке [3] и ее влияние на струк-
туру и механические свойства кристалла можно опи-
сать системой внешних сил в уравнениях движения
(10), (11) с учетом их зависимости от смещений атомов
1 2{ , , }u u wn n n
.
2. Линейная динамика 2D кристалла
В физике как трехмерных, так и низкоразмерных
кристаллов при решении большого количества задач
достаточно ограничиться так называемым гармониче-
ским (линейным) приближением механики кристалли-
ческой решетки. В нашем случае 2D кристалла этому
приближению соответствует учет в разложении (7) для
потенциальной энергии { , }U wn n
u слагаемых с = 1, 2
и выделении в них квадратичных от {ui, w} форм. Если
учесть очевидное равенство
1
1 1
( )
( ) ( ) 0
i i
i i i i
R R u
R R u R R u
n-m n-m nm
n,m
h h n h h m
n,h h,m
,
то энергия U в гармоническом приближении приобре-
тает вид
1 1 2
,
1
1
[ ( ) ( ) ]
4
( ) . (12)
jk j k
j k
U U R R R R
u u R w w
n-m n-m n-m n-m
n m
nm nm n-m nm nm
В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов
694 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 6
Здесь использован символ Кронекера jk, а по повто-
ряющимся координатным индексам подразумевается
суммирование.
Несложные преобразования позволяют привести
выражение для 1U к стандартному виду, если перейти
от разностей i i iu u u nm n m
к смещениям отдельных
атомов iun
и ввести атомные силовые коэффициенты
iknm
, nm :
1
,
1
{ , } ( )
2
jk j kU w u u w w n n nm n m nm n m
n m
u , (13)
1 2
1 2
[ ( ) ( ) ]
[ ( ) ( ) ] ,
jk jk j k
jk j k
R R R R
R R R R
nm h h h h
nm
h
n-m n-m n-m n-m
1 1( ) ( )R R nm h n-m
nm
h
.
Легко установить, что атомные силовые коэффициен-
ты обладают набором простых свойств, учет которых
вместе с равенством (9) упрощает вычисления реше-
точных сумм:
jk kj jk nm nm mn , nm mn , 0jk nm nm
m m
.
(14)
Из соотношений (10)(14) видно, что в гармониче-
ском приближении в отсутствие внешних сил ( ) 0e f
смещения отдельных атомов n
u и wn , а также разно-
сти смещений (деформации) n m
u u и w wn m в
плоскости кристалла и в перпендикулярном направле-
нии являются независимыми (разделяются). Связь ме-
жду ними возникает только при учете в разложении (7)
форм третьей и более высоких степеней от смещений
{ , }iu w .
Представляется целесообразным отдельно рассмот-
реть механику 2D кристалла, в которой ангармониче-
ские слагаемые в энергии U учтены только для описа-
ния связи между деформациями в плоскости кристалла
и деформациями изгиба. В первом приближении это
соответствует сохранению в (7) кубических форм вида
uiw
2
:
int
1 2U U U , (15)
int 2
2 2
,
1
( ) ( )
4
j jU R R u w n-m n-m nm nm
n m
.
Выражение для ангармонической поправки 2U , ко-
торая учитывает все формы третьей и четвертой степе-
ни от смещений {ui, w}, приведено в Приложении.
Отметим, что динамика вынужденного движения
кристалла даже при использовании гармонического
приближения для энергии 1U U может оказаться
нелинейной, если зависимость
( ) ( , )e w t n n n
f R u s от
смещения атомов w n n n
q u s является нелинейной; эта
же зависимость может также привести к «перепутыва-
нию» смещений u
n
и w
n
. Ниже мы ограничимся описа-
нием малых деформаций кристалла под действием дос-
таточно плавных силовых полей, когда
( ) ( ) ( , )e e t n
f f R .
В этом приближении базовая система уравнений ли-
нейной динамики 2D кристалла имеет вид
)
( , )
e
i ik k imu u f t
(n nm m n
m
R , i = 1, 2; (16)
) ( , )emw w f tn nm m ( n
s
m
R . (17)
Из этих уравнений следует, что в отсутствие внеш-
них сил ( ) 0e f свободное движение кристалла можно
представить как линейную суперпозицию трех типов
волн атомных смещений с произвольными значениями
двумерного волнового (точнее квазиволнового) векто-
ра k = {k1, k2} и амплитуды A:
[( ) ( ) ]( )( ) ( ) e
i t
t A
n
k R kn
u e k , =1, 2; (18)
[( ) ( ) ]
( ) e
i t
w t A
n
sk R kn
. (19)
Здесь ( ) k и
( ) ( )( )
1 2( ) { , }e e
e k , =1, 2 — соот-
ветственно законы дисперсии и единичные векторы
поляризации (
( )| | 1 e ,
( )( ) 0 e s ) для двух типов
волн смещений в плоскости кристалла; ( )s k — закон
дисперсии для волн смещений вдоль направления нор-
мали s. Зависимости этих величин от волнового векто-
ра k определяются фурье-образами атомных силовых
коэффициентов:
0 ( ) 0( ) e cos ( )i
ik ik ik
nn k R n n
n n
k k R , (20)
0 ( ) 0( ) e cos ( )i
nn k R n n
n n
k k R . (21)
Для волн смещений в плоскости кристалла (18) за-
коны дисперсии и компоненты векторов поляризаций
описываются формулами
2 2 2
11 22 11 22 12
1
( ) [( ) ( 1) ( ) 4 ]
2m
k ,
(22)
( ) 12
1
2 2 2
11 12
2
( ) 11
2
2 2 2
11 12
e ( ) ,
( )
e ( ) .
( )
m
m
m
k
k
(23)
Закон дисперсии для волн изгиба (19) описывается
формулой
2 1
( ) ( )
m
s k k . (24)
Величины, определяемые формулами (20)–(24), об-
ладают хорошо известными кристаллогеометрически-
ми свойствами:
Механика 2D кристаллов: переход от атомно-решеточного описания к уравнениям теории упругости
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 6 695
— векторы поляризации
( ) ( )
e k ортогональны, т.е.
( ) ( )( )
e e ;
— все зависимости от k являются периодическими
функциями с периодами сетки узлов в обратном про-
странстве {b1, b2}, которые определены соотношения-
ми (1).
Выше уже было отмечено, что учет ангармонизмов
в энергии межатомного взаимодействия U (7) и учет
зависимости внешних сил от атомных смещений
( ) ( , )e w t n n n
f R u s приводит к «перепутыванию» по-
ляризаций и существенно усложняет описание как
свободных колебаний, так и вынужденных деформа-
ций. Простейший ангармонический эффект в механике
2D кристалла — взаимное влияние атомных смещений
в его плоскости u
n
и смещений w
n
вдоль нормали s.
Этот эффект проявляется при учете в энергии U ан-
гармонической поправки int
2U (15) и описывается сис-
темой уравнений движения:
( )2
2
1
( ) ( ) ( , )
2
i ik k
e
i i
mu u
R R w w f t
n nm m
m
m m n n-m n
m
R , i = 1, 2;
(25)
( )
2
( ) ( )( ) ( , ) .e
k k k
mw w
R R u u w w f t
n nm m
m
m m n n-m n n-m n
s
m
R
(26)
При изучении ряда практически интересных задач ре-
шения этих уравнений можно получить методами тео-
рии возмущений, используя в качестве нулевого при-
ближения решения линейных уравнений (16) и (17).
Эти уравнения можно также использовать для описа-
ния линейных деформаций в плоскости кристалла при
заданных смещениях w
n
, или деформаций изгиба при
заданных смещениях u
n
. Данное обстоятельство по-
зволяет уравнения (25), (26) и указанные способы их
анализа обозначить термином «квазилинейное при-
ближение» в механике 2D кристалла.
3. Основные соотношения и уравнения
континуальной механики 2D кристаллов
При континуальном описании механических
свойств 2D кристалла определим его исходное (неде-
формированное) состояние как сплошную материаль-
ную среду, которая равномерно заполняет плоское
двумерное пространство R
2
и имеет конечное значение
плотности массы на единицу площади. Будем считать,
что такая среда имеет анизотропию локальных физиче-
ских свойств, соответствующую симметрии решетки
2D кристалла, а ее плотность = m/s0 определим как
массу атома m, отнесенную к площади примитивной
элементарной ячейки s0. Будем также считать, что сре-
да имеет механические свойства бесконечно тонкой
массивной пленки, которая способна к упругой обра-
тимой деформации как в плоскости R
2
, так и в направ-
лении нормали s к ней.
Хорошо разработанная континуальная механика
деформирования 3D упругой среды [9–11] базируется
на законах классической механики материальных час-
тиц и на нескольких ключевых понятиях и предполо-
жениях:
— для описания локальных деформаций среды ис-
пользуются вместе с вектором смещений также тензор
деформаций, компоненты которого характеризуют от-
носительные изменения размеров и формы малых эле-
ментов материала;
— предполагается, что силы взаимодействия между
соседними элементами среды сосредоточены на разде-
ляющей их поверхности и могут быть описаны тензо-
ром внутренних напряжений;
— предполагается известной связь между компо-
нентами тензора напряжений и тензора деформаций
(закон Гука или его более сложные аналоги).
Этот подход можно без особых трудностей распро-
странить и на описание 2D упругих сред при последо-
вательном учете геометрических различий.
3.1. Тензор деформаций
Если положение отдельного малого элемента 2D
среды в исходном состоянии задавать двухкомпонент-
ным радиус-вектором 1 1 2 2 1 2{ , }x x x x r i i точки в
пространстве R
2
, то конфигурацию деформированной
среды можно описывать векторным полем смещений
( , ) ( , ) ( , )t t w t q r u r r s , 1 1 2 2 1 2{ , }u u u u u i i .
В тех областях среды, где компоненты вектора смеще-
ний 1 2{ , , }u u w являются непрерывными и дифференци-
руемыми функциями координат 1 2{ , }x xr , удобной
характеристикой локальных деформаций является тен-
зорное поле ( , )ije tr (i, j = 1, 2), которое определяет
изменение расстояния | |dl d r между двумя бесконеч-
но близкими точками исходной среды с радиус-век-
торами r и r + dr в результате смещений d d dw q u s .
Полагая | |d d dl r r ( — единичный вектор),
получаем выражения, определяющие расстояние меж-
ду точками dl после деформации среды:
2 1 22
ij i j ij i jdl dl e dx dx dl e , (27)
i idx dl , u w
ij ij ije e ,
1
( )
2
u
ij i j j i i k j ke u u u u ,
1
2
w
ij i jw w .
В этих формулах использован символ дифферен-
цирования /i ix (i = 1, 2). Учитывая специфи-
ческие для 2D кристаллов геометрические условия
( ) ( ) 0w w r s u s , мы считаем целесообразным раз-
В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов
696 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 6
делить тензор деформации ije на две составляющие
u
ije и w
ij , что позволяет отдельно описать вклады в
локальные удлинения элементов среды смещений в
плоскости кристалла и в направлении нормали s. Эти
вклады имеют качественно различный характер зави-
симостей от производных i ju , iw : первый из них
содержит как линейные, так и квадратичные слагае-
мые, тогда как второй является чисто квадратичным.
При изучении малых деформаций, которые удовле-
творяют условиям | | 1i ju , | | 1iw , можно рас-
сматривать приближение линейной теории упругости,
которому соответствует формула
1
2
[1 ( ) ] i j j i i jdl u u dl .
В этом приближении dl не зависит от изгибных де-
формаций 2D кристалла. Для того чтобы в дальнейшем
иметь возможность описывать взаимное влияние этих
двух мод деформации 2D упругой среды и не слишком
усложнять теорию, мы будем при вычислении dl в
формулах (27) пренебрегать вкладом нелинейных по-
правок по производным i ju , но сохраним в первом
неисчезающем приближении квадратичный вклад по
производным iw . Ниже будет показано, что такое
упрощение эквивалентно квазилинейному приближе-
нию в атомно-решеточной механике 2D кристалла,
которое обсуждено в конце разд. 2. В этом приближе-
нии локальные изменения вследствие деформаций на-
чальных значений длины 2 2
1 2
| |dl d dx dx r и пло-
щади dS = dx1dx2 малого элемента 2D среды определя-
ются формулами
[1 ( ) ] u w
ij ij i jdl dl , (1 )u w
ii iidS dS . (28)
1
( )
2
u
ij i j j iu u ,
1
2
w
ij i jw w .
Формула для dS получена как следствие симметрич-
ности тензора u w
ij ij ij в каждой точке простран-
ства R
2
, возможности привести его к главным осям и
инвариантности следа ii = 11 + 22 симметричного
тензора второго ранга относительно ортогональных
преобразований системы координат в пространстве R
2
.
Таким образом, диагональные компоненты тензора де-
формаций описывают изменение площади малого эле-
мента 2D среды (11, 22 — деформации растяжения–
сжатия), а недиагональные — изменения его формы
без изменения площади (12 = 21 — деформации сдви-
га). Деформация сопровождается также вращениями
элементов среды. Углы локальных поворотов вокруг
координатных осей в плоскости кристалла {1, 2} и
вокруг нормали s связаны с производными от полей
смещений соотношениями
1 2w , 2 1w , 1 2 2 1
1
( )
2
u u s . (29)
3.2. Тензор напряжений
Выделим внутри рассматриваемой 2D упругой сре-
ды некоторый макроскопический элемент площади S,
ограниченный замкнутым контуром L. Используемое
в механике сплошных сред предположение об исчеза-
юще малом радиусе действия межатомных сил (близ-
кодействие) позволяет считать, что действие силы на
выделенную часть среды со стороны ее окружения
осуществляется только непосредственно через линию
L. Следовательно, полную трехкомпонентную силу
1 1 2 2 1 2{ , , }F F F F F F s si i s , которая действует на
ограниченную контуром L часть среды S со стороны ее
окружения, можно представить в виде интеграла по
этому контуру. Пусть d dl l — элемент контура L
в деформированной среде, а [ ] / |[ ]| s s еди-
ничный вектор внешней нормали к нему, который, со-
гласно его определению, параллелен плоскости R
2
.
Тогда на каждом элементе контура dl можно ввести
внутренние механические напряжения ( , )ij t r и
( , )j ts r с размерностью [сила/длина] и записать дей-
ствующие на него деформирующие силы в виде
i ij jdf dl , j jdf dl s s . В рамках приближения
малых деформаций внутренние напряжения малы вме-
сте с деформациями u w , что позволяет при интег-
рировании сил df считать в главном приближении
dl dl и компоненты полной силы 1 2{ , , }F F Fs пред-
ставить в виде интегралов по соответствующему кон-
туру L в исходной двумерной среде:
i ij j j ij
L S
F dl dS , i = 1, 2; (30)
j j j j
L S
F dl dS s s s . (31)
При записи этих формул использован двумерный ана-
лог известной теоремы Остроградского–Гаусса, позво-
ляющий преобразовывать интегралы по плоскому кон-
туру в интегралы по ограниченной им плоской
области.
Согласно формулам (30) и (31), действие внутрен-
них напряжений эквивалентно действию в среде сил,
распределенных с плотностью на единицу поверхности
i j ijF и j jF s s . Если в каждой точке исход-
ной среды задать также плотность внешних сил
( )
( , )
e
iF w t r u s и
( )( , )eF w t s r u s и ввести плотно-
сти сил инерции для движения в плоскости среды
( , )iu t r и в направлении нормали к ней ( , )w t r , то,
согласно основному закону классической механики,
поступательное движение любого элемента среды долж-
но определяться балансом всех этих сил:
( )
( , ) ( , ) ( , )
e
i j ij iu t t F w t r r r u s , (32)
( )( , ) ( , ) ( , )e
j jw t t F w t s sr r r u s . (33)
Механика 2D кристаллов: переход от атомно-решеточного описания к уравнениям теории упругости
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 6 697
Для того чтобы использовать эти уравнения для опи-
сания пространственно-временной эволюции полей
смещений ( , )tu r и ( , )w tr или обусловленных смеще-
ниями относительных деформаций ( , )u
ij t r и ( , )w
ij t r ,
необходимо в явном виде задать связь между тензором
напряжений и тензором деформаций. В классической
теории упругости 3D кристаллов такие зависимости
получают обычно на основе экспериментального изу-
чения закономерностей деформирования конкретных
кристаллических материалов (например, закон Гука).
Второй способ их получения [1,2,16,17] — переход от
атомно-решеточных уравнений деформирования кри-
сталла к континуальному описанию, который позволя-
ет придать им вид уравнений (32), (33) и, тем самым,
установить микроскопический смысл компонент тен-
зора внутренних напряжений и их связь с относитель-
ными смещениями атомов. Вторым из этих способов
мы воспользуемся в настоящей работе, чтобы получить
аналог обобщенного закона Гука для 2D кристаллов и
записать в явном виде уравнения для полей смещений
( , )tu r и ( , )w tr .
3.3. Базовая система уравнений теории упругости и
энергия упругой деформации
Вернемся к атомно-решеточным уравнениям дви-
жения (10), (11) или их более простому варианту (25),
(26). Хорошо известный алгоритм перехода от уравне-
ний этого типа к континуальной механике кристаллов
[1,2,16,18] основан на использовании двух особенно-
стей сил межатомного взаимодействия, которые опре-
деляются производными от энергии U (7) по смеще-
ниям атомов iun
и wn :
— как энергия U , так и соответствующие ей силы
зависят от разностей смещений ( ) ( )i i iu u t u t nm n m
и
( ) ( )w w t w t nm n m
атомов на различных узлах;
— предполагается, что силы взаимодействия весьма
быстро уменьшаются с увеличением расстояний между
узлами | |R n-m n m
R R вследствие быстрого убы-
вания потенциала парного взаимодействия (r) и
функций ( )r (8) на больших расстояниях по срав-
нению с характерным значением параметра решетки*.
Напомним, что формула (7) для энергии U получе-
на в приближении малых деформаций при выполнении
неравенств (5). Именно эти неравенства и перечислен-
ные выше свойства сил межатомного взаимодействия
служат основными предпосылками для перехода к
континуальному описанию деформаций. В этом случае
смещения атомов из близко расположенных узлов от-
личаются мало и разности смещений можно предста-
вить в виде разложений в степенные ряды по разно-
стям n-m n m
R R R .
Поставим в соответствие функциям дискретного ар-
гумента ( )tn
u и ( )w tn
поля смещений ( , )tu r и
( , )w tr , принимающие в узлах недеформированной
решетки значения ( , )t n n
u R u и ( , )w t wn n
R . Тогда
для разности смещений ( , ) ( , )w w t w t nm n m
R R раз-
ложение около точки n
R r имеет вид (n – m = h):
( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
w w t w t
w t w t w t w t
nm n m
n n h h
R R
R R R r r R
1 1
( , ) ( , ) ( , )
2 3!
1
( , ) ...
4!
i i i j i j i j k i j k
i j k n i j k n
w t R w t R R w t R R R
w t R R R R
h h h h h h
h h h h
r r r
r
(34)
Аналогичные разложения можно записать и для
разности компонент смещений в плоскости кристалла
i ( , ) ( , )i iu u t u t nm n m
R R .
При подстановке таких разложений в формулы для
энергии U (7) и ее производных по смещениям будут
появляться решеточные суммы вида
( ) ...i j sR R R R
h h h h
h
.
Так как значения ( )R
h
не зависят от знака векторов
R
h
, то при нечетном числе множителей iRh
под знаком
суммы она обращается в нуль. Дополнительные упро-
щения при вычислении таких сумм обеспечиваются
равенством (9).
Таким образом, процедура при переходе от атомно-
решеточного к континуальному описанию деформаций
кристалла сводится к заменам
n
R r, ( , ) ( , )t t n n
u u R u r , ( , ) ( , ),w w t w t n n
R r
0
m
s
, ( ) ( ) ( ) ( )
0
1
{ , } { , }e e e e
s
s sf f F F ,
0
1
(...) (...) .dS
s
n
(35)
Строгое обоснование этой процедуры можно найти в
монографии [18].
Окончательные результаты такого перехода при
описании деформаций 2D кристалла наиболее просто
выглядят для обсужденного в конце раздела 2 квази-
линейного приближения. Уравнения (25), (26) для сме-
щений отдельных атомов в результате использования
разложений вида (34) и замен (35) переходят в систему
дифференциальных уравнений для полей смещений
( , )tu r и ( , )w tr :
* Это предположение не выполняется в случае 2D электронного кристалла в отсутствие экранировки кулоновского взаимо-
действия между электронами [1,19,20]. Для таких кристаллов как процедура получения уравнений теории упругости, так и
вид этих уравнений существенно усложняются.
В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов
698 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 6
( )1
( ) ( , )
2
e
i ijkn j k n k n iu u w w F w t r u s , (36)
2
0
1
( )
2
ijkn i j k nR R R R R
s
h h h h h
h
, (36а)
( )( ) ( , )
ijkn i j k n
e
ijkn i j k n
w d w
w u F w t
s r u s , (37)
1
0
1
( )
4 !
ijkn i j k nd R R R R R
s
h h h h h
h
. (37а)
В этих уравнениях «память» об атомно-решеточной
структуре кристалла сохраняется только в виде двух
тензоров четвертого ранга ijkn и dijkn: значения их
компонент зависят от геометрических параметров ре-
шетки s0 и
h
R исходного кристалла и параметров по-
тенциала межатомного взаимодействия (см. формулы
(8) для 1 и 2).
Отметим, что при переходе к континуальному опи-
санию посредством замен (35) мы считаем поля сме-
щений ( , )tu r и ( , )w tr функциями радиус-вектора r в
пространстве R
2
. Данное обстоятельство согласуется с
приближением, которое было использовано при фор-
мулировке феноменологических уравнений (32), (33).
Легко видеть, что уравнения (36), (37) приобретают
вид уравнений (32), (33), если напряжения определить
соотношениями
1
( ) ( )
2
u w
ij ijkn k n k n ijkn kn knu w w , (38)
( )i ijkn j k n ijkn j k nd w w u s . (39)
Переход к континуальному описанию в формулах
(13) и (15), которые определяют энергию межатомного
взаимодействия в квазилинейном приближении U
int
1 2U U , позволяет ввести плотность (на единицу
площади) энергии упругой деформации ( , )U t r
intu wU U U и записать полную энергию кристал-
ла в виде интеграла
int[ ( , ) ( , ) ( , )] u wU U t U t U t dSr r r , (40)
1
( )( )
2
u
ijkn i j k nU u u , (40а)
1
{( )( ) 4 [( )( )]}
2
w
ijkn i j k n i j k nU d w w w w ,
(40б)
int 1
( )( )( )
2
ijkn i j k nU u w w . (40в)
Здесь uU и wU — соответственно плотность энергии
деформаций в плоскости кристалла и энергии дефор-
мации изгиба, а intU — плотность энергии взаимодей-
ствия этих деформационных мод.
Согласно (38), напряжения ij вдоль поверхности
кристалла обусловлены как деформациями в его плос-
кости i ju , так и деформациями изгиба iw . Вместе
с тем напряжения si (39) вдоль нормали s определя-
ются не только деформациями изгиба iw , у них так-
же есть составляющая, которая зависит от i ju .
В плотности упругой энергии U взаимное влияние
двух деформационных мод описывается слагаемым
intU (40в), которое является формой третьей степени
от указанных производных. Эти два вида (моды) де-
формаций и сопровождающие их внутренние напря-
жения разделяются в приближении линейной теории
упругости, которому соответствует сохранение только
линейных слагаемых по производным от смещений в
уравнениях движения (36), (37) и соотношениях (38),
(39), а в энергии деформации (40) — сохранению толь-
ко квадратичных форм uU и wU .
3.4. Модули упругости 2D кристаллов
Соотношения (38), (39) связывают внутренние на-
пряжения ik и is в деформированном 2D кристалле
с относительными деформациями, величина которых
характеризуется производными i ku и iw . Сравне-
ние уравнений (32), (33) и (36), (37) с уравнениями де-
формирования тонких упругих пластин [9,13] показы-
вает, что соотношения (38), (39) следует рассматривать
как обобщенный закон Гука для обсуждаемой здесь
модели 2D кристалла: компоненты тензоров ijkn и dijkn
имеют смысл модулей упругости для деформаций
вдоль поверхности кристалла и модулей изгибной (ци-
линдрической) жесткости. Эти параметры 2D кристал-
ла имеют размерности [сила/длина] и d [силадлина].
Аналогичные характеристики упругости используются
в механике тонких пластин [9,13], но там они связаны
определенными соотношениями с модулями упругости
того 3D кристалла, из которого создана пластина, и с
ее толщиной.
Следует обратить внимание на специфическую осо-
бенность обсуждаемого здесь квазилинейного прибли-
жения в механике 2D кристаллов: предложенный нами
частичный учет нелинейных эффектов не приводит к
увеличению числа модулей упругости кристалла, так
как нелинейные слагаемые в соотношениях (38), (39) и
слагаемое intU в упругой энергии содержат только мо-
дули линейного приближения ijkn. Данное обстоятель-
ство является дополнительным оправданием использо-
вания термина «квазилинейное приближение».
Тензоры четвертого ранга ijkn и dijkn заданы в про-
странстве R
2
(i, j, k, n = 1, 2), поэтому имеют по 16
компонент. Но вследствие свойств симметрии кри-
сталлической решетки и потенциала межатомного
взаимодействия, которые учитывались при получении
формул (36а) и (37а), тензоры ijkn и dijkn в рассматри-
ваемой модели оказались инвариантны относительно
произвольных перестановок координатных индексов,
поэтому число независимых компонент каждого тен-
зора не превышает 5. Если, например, выделить ком-
Механика 2D кристаллов: переход от атомно-решеточного описания к уравнениям теории упругости
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 6 699
поненты с индексами 1111, 2222, 1122, 1222, 2111, то
все остальные компоненты можно свести к этим пяти
путем перестановки индексов*.
Учет симметрии кристалла, как известно, приводит
к появлению дополнительных соотношений, которым
должны удовлетворять компоненты тензоров ijkn и
dijkn, что может дополнительно уменьшить число неза-
висимых компонент. Например, для наиболее симмет-
ричного 2D кристалла с гексагональной решеткой
(плоская группа симметрии — p6mm) имеют место
соотношения 1111 = 2222 = 31122 и d1111 = d2222 =
= 3d1122, которые у обоих тензоров оставляют по од-
ной независимой компоненте. В этом случае 2D кри-
сталл является упруго изотропным, а тензоры ijkn и
dijkn приобретают вид
1
( ) ,
3
1
( ) ,
3
ijkn ij kn ik jn in jk
ijkn ij kn ik jn in jkd d
(41)
где = 1111 и d = d1111.
3.5. Волновые процессы и краевые задачи в линейной
теории упругости 2D кристаллов
При изучении большого количества задач физики
2D кристаллов в полученных выше уравнениях (36),
(37) достаточно ограничиться линейным приближени-
ем. В этом приближении деформации вдоль поверхно-
сти кристалла описываются уравнением
( )e
i ijkn j k n iu u F , i =1, 2. (42)
При описании деформаций изгиба в линейном при-
ближении будем рассматривать не только свободный
кристалл, но и особый вид механического состояния
2D кристалла, подвергнутого однородному растяже-
нию приложенными к его краям статическими силами.
Под действием растягивающих сил в кристалле возни-
кает постоянная во времени однородная деформация
ij = const, которую можно найти как решение уравне-
ния (42). Эту деформацию сопровождают постоянные
внутренние напряжения ij ijkn kn , а их учет в
уравнении (37) приводит к линейному уравнению для
поля смещений ( , )w tr :
( )e
ijkn i j k n kn k nw d w w F s . (43)
Уравнения (42) и (43) описывают две независимые мо-
ды деформации: дополнительные к статическому рас-
тяжению смещения ( , )tu r в плоскости кристалла и
смещения ( , )w tr в направлении нормали к ней. От-
дельная деформационная мода может реализоваться в
виде свободных или вынужденных волновых процес-
сов, а также в виде решений краевых задач со специ-
фическими для каждого из уравнений (42), (43) гра-
ничными условиями.
Если отвлечься от микроскопической интерпрета-
ции модулей упругости ijkn и dijkn, то уравнения (42),
(43) эквивалентны хорошо известным и всесторонне
изученным уравнениям механики тонких упругих пла-
стин [9,13] и все результаты соответствующего раздела
классической теории упругости можно использовать
для описания статических и динамических деформа-
ций 2D кристалла. Напомним наиболее существенные
из этих результатов.
Классическая задача линейной теории упругости —
описание распространения в бесконечном кристалле
монохроматических волн смещений с заданным значе-
нием волнового вектора k в отсутствие внешних сил
( ) ( )( 0)
e e
iF F s . В случае 2D кристалла волновой
вектор имеет две компоненты k = {k1, k2}, а единст-
венным дополнительным требованием к соответст-
вующим решениям уравнений (42), (43) является ко-
нечная величина смещений ( , )tu r и ( , )w tr в любой
точке кристалла. Волны смещений малых элементов
2D сплошной среды являются континуальным преде-
лом рассмотренных в разд. 2 волн атомных смещений
и описываются формулами (18), (19) после замены в
них n
R r . Законы дисперсии для этих волн опреде-
ляются уравнениями движения (42), (43) и непосредст-
венно связаны с компонентами тензоров модулей уп-
ругости ijkn и dijkn, но их можно также получить как
длинноволновые асимптотики выражений (22)–(24)**.
При записи формул для законов дисперсии волн
смещений в сплошной упругой среде удобно исполь-
зовать единичный вектор / k k , который задает
направление распространения фронта волны. Волно-
вым решениям уравнения (42) соответствуют две ветви
закона дисперсии для частоты колебаний и вектора
поляризации ( )
e ( = 1, 2): для каждой из них частота
пропорциональна | |k k , а фазовая скорость
( ) / ( )k c k и вектор поляризации
( ) ( )
e зави-
сят только от . Угловые зависимости определяются
симметричным тензором второго ранга
( ) ( )ij ji ijkn k n (44)
* Отметим, что и в теории 3D кристаллов [16,21], если силы центральные и каждый атом является центром симметрии, также
возникает полная симметрия тензора модулей упругости по четырем индексам. Это приводит к дополнительным соотно-
шениям между модулями упругости (соотношения Коши), выполнение которых уменьшает число независимых модулей
с 21 до 15.
** Справедливость данного утверждения нарушается в случае электронных кристаллов, для которых существенную роль иг-
рают эффекты дальнодействия [1,19,20].
В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов
700 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 6
и описываются формулами
( ) ( )c k k ,
2 2 2
11 22 11 22 12
1
( ) ( 1) ( ) 4
2
c
,
(45)
( ) 12
1
2 2 2
11 12
( )
( )
e
c
,
2
( ) 11
2
2 2 2
11 12
( )
( )
c
e
c
.
В случае упругой изотропной 2D среды (2D кри-
сталл с гексагональной решеткой, плоская группа сим-
метрии — p6mm) одна из этих волн является чисто
продольной (e ), а вторая — чисто поперечной
(e ): = 1, (1) ( )l e e ; = 2,
(2) ( ) [ ]t e e s .
В обоих случаях угловая зависимость фазовых скоро-
стей исчезает, а их значения равны:
1 lc c
, 2
3
tc c
. (46)
Волновые решения уравнения изгибных колебаний
(43) и закон дисперсии для этих волн ( )s k имеют
важную особенность, характерную для колебаний низ-
коразмерных упругих сред, она давно известна в тео-
рии упругости тонких пластин и стержней [9,13], а
также в атомно-решеточной теории слоистых кристал-
лов [1,12,22,23]. Фазовая скорость этих волн /c k s s
существенно зависит от модуля волнового вектора,
особенно сильно эта зависимость проявляется в отсут-
ствие натяжения ( 0ij ):
( ) ( )c k s sk k , 2 21
( ) ( )ij i j ijkn i j k nc k d
s k .
(47)
Для упругоизотропного кристалла
2 21
( ) ( )ij i jc dk
s k . (48)
Еще раз подчеркнем, что для 2D электронных кри-
сталлов [1,19,20] значительная роль эффектов дально-
действия существенно усложняет вид обобщенного
закона Гука (38), (39) и уравнений движения (42), (43),
а вместе с ними и законов дисперсии (45) и (47) (см.
сноски стр. 697, 699).
Из формул (47), (48) видно, что в отсутствие натяже-
ния ( 0ij ) необходимым условием устойчивости 2D
кристалла относительно изгибных колебаний является
положительная определенность тензора ijknd (в изо-
тропном случае d > 0). Согласно формулам (37а) и (8),
данное обстоятельство сопряжено с определенными
требованиями к виду потенциала межатомного взаимо-
действия ( )r , которые следует учитывать при обсуж-
дении проблемы устойчивости 2D кристаллов. Но если
даже для рассматриваемого 2D кристалла условие
0ijkn i j k nd не выполняется, уравнения (36), (37)
можно использовать для описания его механических
свойств при учете внешних сил
( )e
F , которые способны
обеспечить устойчивость структуры (например, натяже-
ние или силы, создаваемые подложкой).
Сделаем теперь несколько замечаний относительно
постановки и решения краевых задач в линейной тео-
рии упругости 2D кристаллов. Уравнения движения
(42), (43) содержат вторые производные по времени от
полей смещений, поэтому временная эволюция этих
полей однозначно определяется стандартными началь-
ными условиями — заданием в начальный момент
времени t = 0 пространственных распределений сме-
щений { ( ,0)u r , ( ,0)w r } и скоростей { ( ,0)u r , ( ,0)w r }.
Краевые условия для уравнений (42), которые являют-
ся уравнениями второго порядка по пространственным
производным компонент вектора смещений u, также
имеют стандартный для теории упругости вид [10,11],
они сводятся к заданию на внешней границе кристалла
(контуре Lg) смещений ( , )g tu r (первая краевая задача)
или сил
( )
( , )
g
ij g jt r (вторая краевая задача), возмож-
но также задавать на части контура Lg силы и на дру-
гой части смещения (смешанная краевая задача).
Постановка краевых задач при описании изгибных
деформаций 2D кристаллов значительно сложнее
вследствие присутствия в уравнении (43) пространст-
венных производных четвертого порядка. Для выбора
частных решений этого уравнения, соответствующих
конкретной физической ситуации, необходимо зада-
вать на контуре Lg одновременно различные комбина-
ции смещений g( , )w tr , сил
( )
g( , )
g
j jt s r , углов пово-
рота краевых элементов кристалла (29) и соотвеет-
ствующих им моментов сил. Формулировка и решение
ряда задач для уравнения (43), представляющих прак-
тический интерес, содержится в теории тонких упру-
гих пластин [9,13], эти результаты можно использовать
и при описании механических свойств 2D кристаллов.
Авторы выражают искреннюю благодарность А.С.
Ковалеву, Е.С. Сыркину и С.Б. Феодосьеву за интерес
к данному исследованию и полезные дискуссии по
проблемам механики низкоразмерных кристаллов.
Приложение
Уравнения нелинейной механики 2D кристаллов
В современной физике низкоразмерных кристаллов
одним из актуальных и быстро развивающихся на-
правлений является изучение разнообразных нелиней-
ных задач и эффектов [1,24]. В связи с этим представ-
ляется целесообразным дополнить полученные в
настоящей статье базовые уравнения квазилинейной
механики 2D кристаллов (25), (26) и (36), (37) более
детальным учетом в них ангармонизмов межатомного
Механика 2D кристаллов: переход от атомно-решеточного описания к уравнениям теории упругости
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 6 701
взаимодействия. Для этого необходимо в разложении
энергии U (7) по разностям атомных смещений nm
u и
wnm учесть слагаемые, содержащие эти разности в
третьей, четвертой и т.д. степенях. При этом следует
также принять во внимание давно полученный в меха-
нике кристаллов вывод [1,17]: уже первое нелинейное
приближение требует, строго говоря, сохранения в
разложении (7) одновременно форм третьей и четвер-
той степени, так как они могут вносить в некоторые из
физических характеристик вклады одного порядка. С
этой точностью ниже приведены поправка NLU к
энергии межатомного взаимодействия 1 NLU U U и
соответствующие нелинейные поправки к атомно-
решеточным и континуальным уравнениям деформи-
рования 2D кристалла.
В линейной механике 2D кристаллов в качестве ос-
новных характеристик межатомного взаимодействия
рассматриваются коэффициенты упругости iknm
и
nm (атомные силовые постоянные второго порядка,
см. формулы (13)). При учете ангармонизмов следует
ввести дополнительный набор коэффициентов упруго-
сти. При записи разложения (7) с точностью до слагае-
мых четвертой степени в качестве таких коэффициен-
тов удобно использовать величины:
4
1
( )
12
ijkp i j k pK R R R R R h h h h h h
3 2
1 1
( ) ( ) ,
2 4
i j kp ij kpR R R R h h h h
3 2
1
( ) ( )
3
ijk i j k i jkK R R R R R R h h h h h h h
,
3 2
1
[ ( ) ( ) ]
2
ij i j ijK R R R R h h h h h
,
2( )i iK R R h h h
,
2
1
( )
4
K R h h
. (П.1)
Здесь ( )R
n-m
— функции, связанные с потенциа-
лом межатомного взаимодействия соотношениями (8).
Использование набора коэффициентов нелинейной
упругости (П.1) позволяет представить ангармониче-
скую поправку NLU к энергии межатомного взаимо-
действия в виде следующего многочлена четвертой
степени от разностей атомных смещений i u nm
i iu u n m
(i = 1, 2) и w w w nm n m :
2 4
1
[
4
( )( ) ( ) ].
NL ijkp i j k p ijk i j k
ij i j i i
U K u u u u K u u u
K u u K u w K w
n-m nm nm nm nm n-m nm nm nm
n,m
n-m nm nm n-m nm nm n-m nm
(П.2)
Отметим, что слагаемое в (П.2) с коэффициентом
iKn
было учтено при записи уравнений квазилинейной
динамики 2D кристалла (15) и (25), (26).
Если для двух составляющих энергии 1 NLU U U
использовать формулы (13) и (П.2), то уравнения атом-
но-решеточной механики 2D кристалла (10), (11) при-
обретают вид
___________________________________________________
( )2
1
( )
2
1
( ) ( , ) ,
2
i ik k ijk jki j k ijkp jkpi j k p
e
ij j i i
mu u K K u u K K u u u
K u K w f w t
n nm m n-m n-m nm nm n-m n-m nm nm nm
m
n-m nm n-m nm n n n
R u s (П.3)
3 ( ) ( ) 2 ( ) ( , ) .e
ij i j i imw w K u u K u w K w f w tn nm m n-m nm nm n-m nm nm n-m nm n n n
s
m
R u s (П.4)
При выводе уравнений нелинейной континуальной механики 2D кристаллов (см. разд. 3.3) наряду с учетом в
(П.2) форм третьей и четвертой степеней относительно первых производных от смещений i ju и iw (эффекты
нелинейности) следует также сохранить и слагаемые, которые содержат производные от смещений второго и
третьего порядков i j ku , i j k nu , i j w , i j k w (эффекты пространственной дисперсии). В настоящее
время установлено [24–26], что при описании разнообразных нелинейных уединенных волн (солитонов) и ряда
других нелинейных явлений в низкоразмерных системах конкуренция эффектов нелинейности с эффектами про-
странственной дисперсии играет весьма важную роль.
С указанной выше точностью можно ввести плотность на единицу площади ( )U r полной энергии межатомного
взаимодействия:
1 ( ) NLU U U U dSr ,
В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов
702 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 6
1 1
(
2 4
1 1 1
) 3( )( )
2 4 2
4( )( ) 3( )( ) 4( )( )
1
(
3!
ijkn i j k n i m j m k n i j k n i m j m k p n p
i m j m k n i j k n ijkn i j k n
i j k n i j m k n m i m j k n m
ijknpq i j k n p q
U u u u u u u w w u u u u
u u w w w w w w d w w
w w u u u u
u u u
3 3
)
2 2
1 1
[3( )( ) 4( )( )] .
2 4 !
i m j m k n p q i j k n p q
ijknpq i j k n p q i j k n p q ijknpqms i j k n p q m s
u u u u u u w w
d u u u u u u u u (П.5)
Здесь наряду с ранее введенными модулями линейной упругости ijkn и ijknd появились дополнительные модули
линейной упругости ijknpqd , а также модули нелинейной упругости ijknpq , ijknpqms :
1
0
1
( )
4 !
ijkn i j k nd R R R R R
s
h h h h h
h
, 2
0
1
( )
4 !
ijknpq i j k n p qd R R R R R R R
s
h h h h h h h
h
, 2
0
1
( )
2
ijkn i j k nR R R R R
s
h h h h h
h
,
3
0
1
( )
2
ijknpq i j k n p qR R R R R R R
s
h h h h h h h
h
, 4
0
1
( ) .
2
ijknpqms i j k n p q m sR R R R R R R R R
s
h h h h h h h h h
h
(П.6)
Отметим, что тензоры ijknd и ijknpqd характеризуют только эффекты пространственной дисперсии в линейной
теории упругости. Компоненты обоих d-тензоров имеют одинаковые размерности [силадлина], а размерность
компонент всех -тензоров [сила/длина]. Свойства тензоров четвертого ранга ijkn и ijknd обсуждались в разд. 3.4.
Здесь мы отметим некоторые свойства тензоров ijknpqd , ijknpq и ijknpqms , которые также заданы в пространстве
R
2
и инвариантны относительно произвольных перестановок координатных индексов. Тензоры шестого ранга
ijknpqd , ijknpq имеют по 64 компоненты, из них число независимых компонент не превышает 7, а тензор восьмого
ранга ijknpqms имеет 256 компонент, из них число независимых компонент не превышает 9.
Выражению для энергии межатомного взаимодействия (П.5) соответствует система уравнений нелинейной ме-
ханики 2D кристалла, определяющая поля смещений ( , )tu r и ( , )w tr :
( )
1
(
2
1 1
) ( ) ( , ) .
2 2
ijkn i j k n ijkn i j k n j k m n m
e
j k n ijknpq i j k n p q
w d w w u w u u
w w w w u u F w t
s r u s (П.7)
1 1
( ) (
2 2
1 1
)
2 2
1
( )
2
1 1
( )
2 6
i ijkn j k n k m n m k n jmkn j m i k n
m i k p n p m i k n jknm j k n m i ijknmp j k n m p
ijknpq j k n p q k n p m q m k n p q
jmknpq j m i k n p q ij
u u u u w w u u
u u u u w w d u d u
u u u u u u w w
u u u
( )
( ) ( , ) .
e
knpqms j k n p q m s iu u u F w t r u s (П.8)
______________________________________________
Эти уравнения выглядят настолько сложными, что
возникают сомнение в возможности их решения ана-
литическими методами. Но их можно существенно
упростить, если пользоваться кристаллографической
системой координат и изучать задачи о существовании
и свойствах автомодельных решений солитонного типа
( )x Vtu и ( )w x Vt с ориентацией оси распростране-
ния X и смещений u вдоль направлений плотной упа-
ковки атомов. Дополнительные упрощения возможны
в случае кристаллов с высокой симметрией, например,
с гексагональной решеткой.
1. А.М. Косевич, Теория кристаллической решетки (физи-
ческая механика кристаллов), Вища шк., Изд-во ХГУ,
Харьков (1988).
2. А.М. Косевич, Физическая механика реальных кристал-
лов, Наукова думка, Киев (1981).
3. И.Ф. Люксютов, А.Г. Наумовец, В.Л. Покровский, Дву-
мерные кристаллы, Наукова думка, Киев (1988).
4. Ю.И. Сиротин, М.П. Шаскольская, Основы кристалло-
физики, Гл. ред. физ.-мат. лит., Наука, Москва (1979).
5. А. Келли, Г. Гровс, Кристаллография и дефекты в кри-
сталлах, Мир, Москва (1974).
Механика 2D кристаллов: переход от атомно-решеточного описания к уравнениям теории упругости
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 6 703
6. Р.В. Галиулин, Кристаллографическая геометрия, Нау-
ка, Москва (1984).
7. V.P. Gusynin, V.A. Miransky, S.G. Sharapov, and I.A.
Shovkovy, ФНТ 34, 993 (2008) [Low Temp. Phys. 34, 778
(2008)].
8. Ю.П. Монарха, В.Е. Сивоконь, ФНТ 38, 1355 (2012) [Low
Temp. Phys. 38, 1067 (2012)].
9. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теория упругости, Наука,
Гл. ред. физ.-мат. лит., Москва (1987).
10. А.И. Лурье, Теория упругости, Наука, Гл. ред. физ.-мат.
лит., Москва (1970).
11. В. Новацкий, Теория упругости, Мир, Москва (1975).
12. Е.С. Сыркин, С.Б. Феодосьев, К.В. Кравченко, А.В. Ере-
менко, Б.Я. Кантор, Ю.А. Косевич, ФНТ 35, 208 (2009)
[Low Temp. Phys. 35, 158 (2009)].
13. С.Г. Лехницкий, Анизотропные пластинки, Гостехиздат,
Москва (1947).
14. А.С. Вольмир, Нелинейная динамика пластинок и оболо-
чек, Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., Москва (1972).
15. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Статистическая физика,
ч. 1, Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., Москва (1976).
16. Г. Лейбфрид, Микроскопическая теория механических и
тепловых свойств кристаллов, Гос. издат. физ.-мат. лит.,
Москва (1963).
17. Г. Лейбфрид, В. Людвиг, Теория ангармонических эф-
фектов в кристаллах, Изд-во иностранной литературы,
Москва (1963).
18. И.А. Кунин, Теория упругих сред с микроструктурой.
Нелокальная теория упругости, Наука, Гл. ред. физ.-мат.
лит., Москва (1975).
19. L. Bonsall and A.A. Maradudin, Phys. Rev. B 15, 1959
(1977).
20. Ю.М. Вильк, Ю.П. Монарха, ФНТ 10, 901 (1984) [Sov. J.
Low Temp. Phys. 10, 469 (1984)].
21. М. Борн, Х. Кунь, Динамическая теория кристалличес-
ких решеток, Изд-во иностранной литературы, Москва
(1958).
22. И.М. Лифшиц, ЖЭТФ 22, 475 (1952).
23. Yu.A. Kosevich, Prog. Surf. Science 55, 1 (1997).
24. А.М. Косевич, А.С. Ковалев, Введение в нелинейную фи-
зическую механику, Наукова думка, Киев (1989).
25. A.M. Kosevich and A.S. Kovalev, Solid State Commun. 12,
763 (1973).
26. А.С. Ковалев, Е.С. Соколова, Програма і тези доповідей.
2-а Всеукраїнська наукова конференція молодих вчених
«Фізика низьких температур» (КМВ-ФНТ-2009), Харків,
ФТІНТ (2009), с. 107.
The 2D crystals mechanics: transition from atomic
lattice description to the elastic theory equations
V.D. Natsik and S.N. Smirnov
A two-dimensional (2D) crystal formed by the sys-
tem of identical atoms with a pair centrosymmetrical
interaction between them is considered. It is suggested
that in the initial equilibrium state the atoms occupy
the sites of the plane translation-symmetrical lattice
and the deformation state appears due to their dis-
placement within the crystal plane (longitudinal de-
formation) and in the normal-to-it-direction (flexural
strain). It is shown that in the continual description to
this crystal corresponds an infinitely thin anisotropic
film with a finite mass density that can undergo elastic
longitudinal and flexural deformations. In the context
of classical mechanics are derived the base relations
and equations for atomic displacements and the rele-
vant equations of the theory of elasticity that describe
the both modes of deformation for the 2D crystal in
the linear approximation as well as with the account of
anharmonicity. Explicit expressions are obtained
which relate the linear and nonlinear elastic moduli of
the crystal to the potential of interatomic interaction
and the geometrical characteristics of the plane crystal
lattice.
PACS: 46.05.+b General theory of continuum me-
chanics of solids;
63.22.-m Phonons or vibrational states in
low-dimensional structures and nanoscale ma-
terials.
Keywords: the two-dimensional crystal, elastic films,
elasticity theory, elastic moduli, nonlinear mechanics.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-118464 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0132-6414 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:31:00Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Нацик, В.Д. Смирнов, С.Н. 2017-05-30T12:08:58Z 2017-05-30T12:08:58Z 2013 Механика 2D кристаллов: переход от атомно-решеточного описания к уравнениям теории упругости / В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов // Физика низких температур. — 2013. — Т. 39, № 6. — С. 690–703. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 46.05.+b, 63.22.-m https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/118464 Рассмотрен двумерный (2D) кристалл, образованный системой одинаковых атомов с парным центрально-симметричным взаимодействием между ними. Предполагается, что в начальном состоянии равновесия атомы занимают узлы плоской трансляционно-симметричной сетки, а деформированное состояние возникает в результате их смещений в плоскости кристалла (продольные деформации) и в перпендикулярном к ней направлении (деформации изгиба). Показано, что при континуальном описании такому кристаллу соответствует бесконечно тонкая анизотропная пленка с конечной плотностью массы, которая способна к упругим продольной и изгибной деформациям. В рамках классической механики вы-ведены базовые соотношения и уравнения для атомных смещений и соответствующие им уравнения теории упругости, описывающие обе моды деформации 2D кристалла как в линейном приближении, так и с учетом ангармонизмов. Получены явные выражения, связывающие модули линейной и нелинейной упругости кристалла с потенциалом межатомного взаимодействия и геометрическими характеристиками плоской кристаллической решетки. Розглянуто двовимірний (2D) кристал, утворений системою однакових атомів з парною центрально-симетричною взаємодією між ними. Передбачається, що у початковому стані рівноваги атоми розташовані у вузлах плоскої трансляційно-симетричної сітки, а деформований стан виникає як результат їх зміщень у площині кристала (поздовжні деформації) і у перпендикулярному до неї напрямку (деформації згину). Показано, що при континуальному описі такому кристалу відповідає нескінченно тонка анізотропна плівка з кінцевою густиною маси, яка здатна до пружних деформацій та деформацій згину. У рамках класичної механіки виведено базові співвідношення і рівняння для атомних зміщень та відповідні рівняння теорії пружності, які описують обидві моди деформацій 2D кристала як у лінійному наближенні, так і з урахуванням ангармонізмів. Отримано явні вирази, що зв’язують модулі лінійної і нелінійної пружності кристала з потенціалом міжатомної взаємодії та геометричними характеристиками плоскої кристалічної гратки. A two-dimensional (2D) crystal formed by the sys-tem of identical atoms with a pair centrosymmetrical interaction between them is considered. It is suggested that in the initial equilibrium state the atoms occupy the sites of the plane translation-symmetrical lattice and the deformation state appears due to their dis-placement within the crystal plane (longitudinal de-formation) and in the normal-to-it-direction (flexural strain). It is shown that in the continual description to this crystal corresponds an infinitely thin anisotropic film with a finite mass density that can undergo elastic longitudinal and flexural deformations. In the context of classical mechanics are derived the base relations and equations for atomic displacements and the rele-vant equations of the theory of elasticity that describe the both modes of deformation for the 2D crystal in the linear approximation as well as with the account of anharmonicity. Explicit expressions are obtained which relate the linear and nonlinear elastic moduli of the crystal to the potential of interatomic interaction and the geometrical characteristics of the plane crystal lattice. ru Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України Физика низких температур Динамика кристаллической решетки Механика 2D кристаллов: переход от атомно-решеточного описания к уравнениям теории упругости The 2D crystals mechanics: transition from atomic lattice description to the elastic theory equations Article published earlier |
| spellingShingle | Механика 2D кристаллов: переход от атомно-решеточного описания к уравнениям теории упругости Нацик, В.Д. Смирнов, С.Н. Динамика кристаллической решетки |
| title | Механика 2D кристаллов: переход от атомно-решеточного описания к уравнениям теории упругости |
| title_alt | The 2D crystals mechanics: transition from atomic lattice description to the elastic theory equations |
| title_full | Механика 2D кристаллов: переход от атомно-решеточного описания к уравнениям теории упругости |
| title_fullStr | Механика 2D кристаллов: переход от атомно-решеточного описания к уравнениям теории упругости |
| title_full_unstemmed | Механика 2D кристаллов: переход от атомно-решеточного описания к уравнениям теории упругости |
| title_short | Механика 2D кристаллов: переход от атомно-решеточного описания к уравнениям теории упругости |
| title_sort | механика 2d кристаллов: переход от атомно-решеточного описания к уравнениям теории упругости |
| topic | Динамика кристаллической решетки |
| topic_facet | Динамика кристаллической решетки |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/118464 |
| work_keys_str_mv | AT nacikvd mehanika2dkristallovperehodotatomnorešetočnogoopisaniâkuravneniâmteoriiuprugosti AT smirnovsn mehanika2dkristallovperehodotatomnorešetočnogoopisaniâkuravneniâmteoriiuprugosti AT nacikvd the2dcrystalsmechanicstransitionfromatomiclatticedescriptiontotheelastictheoryequations AT smirnovsn the2dcrystalsmechanicstransitionfromatomiclatticedescriptiontotheelastictheoryequations |