Сверхпроводимость квантового цилиндра
Вычислен термодинамический потенциал сверхпроводящего квантового цилиндра. Изучена зависимость критической температуры и теплоемкости сверхпроводящей системы от поверхностной концентрации электронов и радиуса нанотрубки. Показано, что критическая температура осциллирует при изменении параметра, равн...
Saved in:
| Published in: | Физика низких температур |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/118532 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Сверхпроводимость квантового цилиндра / П.А. Эминов, А.А. Ульдин // Физика низких температур. — 2010. — Т. 37, № 4. — С. 356–359. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859876198168920064 |
|---|---|
| author | Эминов, П.А. Ульдин, А.А. |
| author_facet | Эминов, П.А. Ульдин, А.А. |
| citation_txt | Сверхпроводимость квантового цилиндра / П.А. Эминов, А.А. Ульдин // Физика низких температур. — 2010. — Т. 37, № 4. — С. 356–359. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Физика низких температур |
| description | Вычислен термодинамический потенциал сверхпроводящего квантового цилиндра. Изучена зависимость критической температуры и теплоемкости сверхпроводящей системы от поверхностной концентрации электронов и радиуса нанотрубки. Показано, что критическая температура осциллирует при изменении параметра, равного отношению энергии Ферми к энергии размерного конфайнмента.
Обчислено термодинамічний потенціал надпровідного квантового циліндра. Вивчено залежність критичної температури та теплоємності надпровідної системи від поверхневої концентрації електронів і радіуса нанотрубки. Показано, що критична температура осцилює при зміні параметра, який дорівнює відношенню енергії Фермі до енергії розмірного конфайнмента.
Thermodynamic potential of the superconducting quantum cylinder was calculated. The dependence of the critical temperature and superconducting system heat capacity on the surface electron density and cylinder radius was studied. It is shown that critical temperature experiences oscillations when changing the parameter equal to the ratio of the Fermi energy to the dimensional confinement energy.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:51:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
© П.А. Эминов, А.А. Ульдин, 2011
Физика низких температур, 2011, т. 37, № 4, c. 356–359
Сверхпроводимость квантового цилиндра
П.А. Эминов, А.А. Ульдин
Московский государственный университет приборостроения и информатики
ул. Стромынка, 20, г. Москва, 107996, Россия
E-mail: peminov@mail.ru
Статья поступила в редакцию 27 мая 2010 г.
Вычислен термодинамический потенциал сверхпроводящего квантового цилиндра. Изучена зависи-
мость критической температуры и теплоемкости сверхпроводящей системы от поверхностной концен-
трации электронов и радиуса нанотрубки. Показано, что критическая температура осциллирует при из-
менении параметра, равного отношению энергии Ферми к энергии размерного конфайнмента.
Обчислено термодинамічний потенціал надпровідного квантового циліндра. Вивчено залежність кри-
тичної температури та теплоємності надпровідної системи від поверхневої концентрації електронів і ра-
діуса нанотрубки. Показано, що критична температура осцилює при зміні параметра, який дорівнює від-
ношенню енергії Фермі до енергії розмірного конфайнмента.
PACS: 71.10.–w Теории и модели многоэлектронных систем;
75.75.–с Магнитные свойства наноструктур.
Ключевые слова: сверхпроводящий квантовый цилиндр, нанотрубка, термодинамический потенциал.
В последние годы большое внимание уделяется
изучению электронных свойств низкоразмерных нано-
структур. После получения графена — устойчивой в
трехмерном пространстве изолированной плоской сис-
темы толщиной в один атом [1], а также квазиодно-
мерных структур — углеродных нанотрубок [2], суще-
ственно возрос интерес к проблеме поверхностной
сверхпроводимости [2,3]. Сверхпроводимость нано-
трубок теоретически изучалась многими авторами (см.
также [4–6]). Однако аналитические результаты, опи-
сывающие зависимость критической температуры и
термодинамических свойств от параметров нанотруб-
ки, не были получены.
Теоретическому исследованию этих вопросов на
примере квантового цилиндра и посвящена предлагае-
мая статья.
На цилиндрической поверхности стационарное со-
стояние электрона задается азимутальным квантовым
числом n Z∈ , импульсом продольного движения 3p
и проекцией спина на ось цилиндра ( 1s = ± ). Энергия
стационарных состояний задается формулой [4]
2
23
3( , )
2
p
E n p n
m
= + ε , (1)
где m — эффективная масса электрона, 21/ (2 )mRε = —
энергия размерного конфайнмента, R — радиус ци-
линдра.
Отметим, что спектр (1) не изменяется при обраще-
нии времени ( n n→ − , 3 3p p→ − ).
Положим далее, что орбитальные моменты импуль-
сов электронов куперовской пары на поверхности ци-
линдра направлены в противоположные стороны
1 2( )n n n= − = , как и импульсы продольного движения
и проекции спинов на ось цилиндра. Совокупность
квантовых чисел, определяющих стационарное состоя-
ние электрона, будем обозначать символом ( , )p s , где
3( , )p n p= . В представлении вторичного квантования
модельный гамильтониан БКШ, в котором оставлено
взаимодействие электронов с противоположными по
знаку значениями всех квантовых чисел, представляет-
ся в следующем виде [7,8]:
,
, '
( ) ( , ) ( , )
( ) ( ') ( , ) ( , ) ( ', ) ( ', ).
p s
p p p
H T p a p s a p s
g p p a p a p a p a p
S
+
+ +
≠
= −
− λ λ − ↓ ↑ ↑ − ↓
∑
∑ (2)
Здесь 2S RL= π — площадь поверхности цилиндра,
3( ) ( , )T p E n p= −μ , μ — химический потенциал элек-
тронного газа и принято обозначение
3 3 3
, 3
( , ) ( , ) .
2n p n
L
f n p dp f n p=
π∑ ∑∫ (3)
Как и в [7] полагаем, что
Сверхпроводимость квантового цилиндра
Физика низких температур, 2011, т. 37, № 4 357
3 0
3 0
1,| ( , ) | ,
0,| ( , ) | ,
n p
n p
± ε − μ < ω⎧
λ = ⎨ ε − μ > ω⎩
(4)
где 0ω — характерная фононная энергия.
Воспользовавшись далее (u–v) преобразованием и
статистическим вариационным принципом Н.Н. Бого-
любова [7,8], термодинамический потенциал сверх-
проводящего квантового цилиндра представим в виде
2 2
3 3 3
2 2 2
3
( ( , ) ) ( ( , ) )
2
( ( , ) )
2 ln 1 exp ,
n
L dp n p n p
n p
T S
T g
⎡ ⎤Ψ = ε −μ − ε −μ + Δ −⎢ ⎥⎣ ⎦π
⎡ ⎤⎛ ⎞ε −μ + Δ Δ⎢ ⎥⎜ ⎟− + − +
⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦
∑∫
(5)
причем ширина энергетической щели Δ находится из
уравнения
3 2 2
3
2 2
3
1
1
2 2 ( ( , ) )
( ( , ) )
th .
2
n
g L
dp
S n p
n p
T
⎡
⎛ ⎞ ⎢= ×⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎢π ε − μ + Δ⎣
⎤ε − μ + Δ ⎥×
⎥
⎦
∑∫
(6)
Если ширину щели Δ в (5) положить равной нулю, то
Ψ — потенциал, как и должно быть, переходит в по-
тенциал идеального ферми-газа.
При нулевой температуре уравнение (6) принимает
вид
32 2 2
3
11
2 (2 ) ( ( , ) )n
g dp
R n p
=
π ε − μ + Δ
∑∫ . (7)
Воспользуемся далее формулой суммирования Пу-
ассона:
( ) exp (2 ) ( ) ,
n k
f n ikx f x dx
+∞
=−∞
= π∑ ∑ ∫ (8)
и перейдем к полярным координатам ( , )p ϕ :
3cos , sin .x pR p p= ϕ = ϕ (9)
Тогда уравнение (7) запишется в виде
0
220 2
(2 )
1
4
2
k
J kRpg p dp
p
m
∞+∞
=−∞
π
=
π ⎛ ⎞
− μ + Δ⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ ∫ , (10)
где 0 ( )J x — функция Бесселя нулевого порядка.
Суммирование по k проведем с помощью формулы
[9,10]:
0 2 2 21 1
2 11 2 ( ) 4 ,
4
2 2 ( 1), 2 .
m
k n
J kx
x x n
m x m x Rp
∞
= =
+ = +
− π
π < < π + = π
∑ ∑ (11)
Учтем также, что основной вклад в образование купе-
ровских пар дают стационарные состояния, квантовые
числа которых удовлетворяют условию
3 3
( )
| | | ( , ) | | ( ) | .F
F
p n
n p p p n
m
η = ε −μ ≅ − < ω (12)
Здесь продольный импульс Ферми n-й зоны попереч-
ного движения определяется формулой:
2 21( ) ( ) ,F Fp n p R n
R
= − (13)
где 2 ,F Fp mE= FE — энергия Ферми.
В итоге находим следующую формулу для ширины
энергетической щели при нулевой температуре:
0 0 2 2 1/2( ) 2 exp ,
[( ) ]
F
F
n
Rp
Rp n −
⎡ ⎤
⎢ ⎥πλ
Δ = ω −⎢ ⎥
−⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
∑
(14)
где безразмерный параметр
4 ,
mg
π
λ = (15)
а суммирование в показателе экспоненты проводится
по всем значениям n , для которых подкоренное вы-
ражение положительно. Заметим также, что в вырож-
денном случае линейная концентрация электронов свя-
зана с радиусом цилиндра и импульсом Ферми Fp
соотношением
2 22 ( ) ,L F
n
N p R n
R
= −
π ∑ (16)
а доля частиц, которые находятся в n-й зоне энергии
поперечного движения, определяется величиной
2 2
2 2
( )
.
( )
n
FL
L F
n
p R nN
N p R n
−
=
−∑
(17)
Дальнейший анализ уравнения (6) проводится по
схеме, аналогичной случаю непрерывного энергетиче-
ского спектра [7,8,11].
Ширина энергетической щели при конечной темпе-
ратуре определяется из уравнения
0
2 2 2 2
0
1ln 2 ,
( ) exp ( ) 1
dx
T x t x t
∞Δ
=
Δ + + +
∫ (18)
где параметр /t T= Δ , а 0Δ определяется формулой
(14).
П.А. Эминов, А.А. Ульдин
358 Физика низких температур, 2011, т. 37, № 4
Из формулы (18) следует, что зависимость критиче-
ской температуры сверхпроводящего квантового ци-
линдра от радиуса нанотрубки и энергии Ферми опре-
деляется формулой
0( , ) 2 exp .c FT R p γ λ⎛ ⎞ ⎡ ⎤= ω −⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠π α⎣ ⎦
(19)
Здесь eCγ = , где C — постоянная Эйлера и принято
обозначение
0
1
1 2 (2 ).F
k
J kRp
∞
=
α = + π∑
При выполнении условия
1
2
LN Rπ
< (20)
электроны могут находиться только в основном со-
стоянии с 0n = и они совершают одномерное движе-
ние вдоль оси нанотрубки. В этом случае 1D сверхпро-
водника:
02 exp [ ] ,c FT Rp
γ⎛ ⎞= ω −πλ⎜ ⎟⎝ ⎠π
(21)
а импульс Ферми связан с линейной концентрацией
формулой
.
2
L
F
N
p
π
= (22)
Формула (19) допускает предельный переход и к
случаю плоского 2D сверхпроводника (поверхностная
концентрация const,SN R= →∞ ) [12]. Для этого сум-
мирование по n в (19) следует заменить интегрирова-
нием в пределах от ( Fp R− ) до ( Fp R ). Результат имеет
вид
02 exp [ ]cT
γ⎛ ⎞= ω −λ⎜ ⎟⎝ ⎠π
(23)
и не зависит от R .
Для вычисления термодинамических величин
сверхпроводящего квантового цилиндра наряду с (5)
удобно использовать соотношение [8]
, ,
,
T V
H
μ
∂Ω ∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠∂κ ∂κ
(24)
выражающее среднее значение от производной га-
мильтониана системы по параметру κ через произ-
водную по тому же параметру от термодинамического
потенциала.
Например, разность теплоемкостей сверхпроводя-
щей и нормальной фазы при 0cT T→ ± описывается
формулой
0
1
2 1 2 (2 ) ,
7 (3)
S N
c F
k
C C
mT J kRp
S
∞
=
⎛ ⎞− π
= + π⎜ ⎟ζ ⎝ ⎠
∑ (25)
где ( )xζ — дзета-функция Римана.
Критическая температура, определяемая формулой
(19), испытывает осцилляции при изменении величины
/F Fp R E≡ ε . Для их иллюстрации на рис. 1 приве-
ден график зависимости параметра 1−α в формуле
(19) от величины Fp R . Такие же осцилляции имеют
место в формуле (25) для скачка теплоемкости элек-
тронного газа нанотрубки в момент перехода из сверх-
проводящего в нормальное состояние.
В заключение отметим, что при выполнении усло-
вия Fp R n= имеет место сингулярность электронной
плотности состояний, связанная с квантованием энер-
гии поперечного движения (см. также [10,13,14]). Вы-
ход за рамки модели идеального газа, учет флуктуа-
ций, а также примесей и конечной температуры приво-
дят к сглаживанию этой сингулярности. Зависимость
критической температуры и скачка теплоемкости от
параметра Fp R при этом остается осциллирующей.
1. A.H. Castro Neto, F. Guiena, N.M.R. Peres, K.S. Novoselov,
and A.K. Geim, Rev. Mod. Phys. 81, 109 (2009).
2. С. Charlier, X. Blasé, and S. Roche, Rev. Mod. Phys. 79, 677
(2007).
3. В.Л. Гинзбург, УФН 174, 1040 (2004).
4. П.А. Эминов, Ю.И. Сезонов, ЖЭТФ 134, 772 (2008).
5. J. Zhang, A. Tselev, Y. Yang, K. Hatton, P. Barbara, and S.
Shafraniuk, Phys. Rev. 74, 155414 (2006).
6. T. Ando, NPG Asia Mater. 1, 17 (2009).
7. Н.Н. Боголюбов, Собрание научных трудов в двенадца-
ти томах, Наука, Москва (2007), т. 8.
8. И.А. Квасников, Термодинамика и статистическая фи-
зика, Квантовая статистика, КомКнига, Москва
(2005), т. 4.
9. И.С. Градштейн, И.М. Рыжик, Таблицы интегралов,
сумм, рядов и произведений, Наука, Москва (1971).
10. П.А. Эминов, ЖЭТФ 135, 1029 (2009).
11. Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский, Статистическая физи-
ка. Теория конденсированного состояния, Наука, Москва
(1987), т. 8, ч. 2.
Рис. 1. Осцилляции величины 1−α в зависимости от пара-
метра .Fp R
0 5 10 15 20
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
pFR
α–
1
Сверхпроводимость квантового цилиндра
Физика низких температур, 2011, т. 37, № 4 359
12. V. Barzykin and L.P. Gorkov, Phys. Rev. Lett. 89, 227002
(2002).
13. А.В. Чаплик, Л.И. Магарилл, Р.З. Витлина, ФНТ 34, 1094
(2008) [Low Temp. Phys. 34, 865 (2008)].
14. G.Y. Hu and R.F. O’Connell, J. Phys.: Condens. Matter 2,
9381 (1990).
Superconductivity of the quantum cylinder
P.A. Eminov and A.A. Uldin
Thermodynamic potential of the superconducting
quantum cylinder was calculated. The dependence of
the critical temperature and superconducting system
heat capacity on the surface electron density and cy-
linder radius was studied. It is shown that critical tem-
perature experiences oscillations when changing the
parameter equal to the ratio of the Fermi energy to the
dimensional confinement energy.
PACS: 71.10.–w Theories and models of many-
electron systems;
75.75.–с Magnetic properties of nanostruc-
tures.
Keywords: superconducting quantum cylinder, nano-
tube, thermodynamic potential.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-118532 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0132-6414 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:51:41Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Эминов, П.А. Ульдин, А.А. 2017-05-30T15:08:00Z 2017-05-30T15:08:00Z 2011 Сверхпроводимость квантового цилиндра / П.А. Эминов, А.А. Ульдин // Физика низких температур. — 2010. — Т. 37, № 4. — С. 356–359. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 71.10.–w, 75.75.–с https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/118532 Вычислен термодинамический потенциал сверхпроводящего квантового цилиндра. Изучена зависимость критической температуры и теплоемкости сверхпроводящей системы от поверхностной концентрации электронов и радиуса нанотрубки. Показано, что критическая температура осциллирует при изменении параметра, равного отношению энергии Ферми к энергии размерного конфайнмента. Обчислено термодинамічний потенціал надпровідного квантового циліндра. Вивчено залежність критичної температури та теплоємності надпровідної системи від поверхневої концентрації електронів і радіуса нанотрубки. Показано, що критична температура осцилює при зміні параметра, який дорівнює відношенню енергії Фермі до енергії розмірного конфайнмента. Thermodynamic potential of the superconducting quantum cylinder was calculated. The dependence of the critical temperature and superconducting system heat capacity on the surface electron density and cylinder radius was studied. It is shown that critical temperature experiences oscillations when changing the parameter equal to the ratio of the Fermi energy to the dimensional confinement energy. ru Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України Физика низких температур Сверхпроводимость, в том числе высокотемпературная Сверхпроводимость квантового цилиндра Superconductivity of the quantum cylinder Article published earlier |
| spellingShingle | Сверхпроводимость квантового цилиндра Эминов, П.А. Ульдин, А.А. Сверхпроводимость, в том числе высокотемпературная |
| title | Сверхпроводимость квантового цилиндра |
| title_alt | Superconductivity of the quantum cylinder |
| title_full | Сверхпроводимость квантового цилиндра |
| title_fullStr | Сверхпроводимость квантового цилиндра |
| title_full_unstemmed | Сверхпроводимость квантового цилиндра |
| title_short | Сверхпроводимость квантового цилиндра |
| title_sort | сверхпроводимость квантового цилиндра |
| topic | Сверхпроводимость, в том числе высокотемпературная |
| topic_facet | Сверхпроводимость, в том числе высокотемпературная |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/118532 |
| work_keys_str_mv | AT éminovpa sverhprovodimostʹkvantovogocilindra AT ulʹdinaa sverhprovodimostʹkvantovogocilindra AT éminovpa superconductivityofthequantumcylinder AT ulʹdinaa superconductivityofthequantumcylinder |