Резонансные моды в копланарных линиях с встроенными джозефсоновскими цепями
Исследовано распространение микроволнового излучения в копланарных сверхпроводящих линиях с джозефсоновскими цепочками (микрорезонаторами) различной конфигурации. Показано, что провалы в частотной зависимости передаваемой мощности волноводной линии связаны с локальными модами цепочки. Найдены зависи...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Физика низких температур |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2013
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/118913 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Резонансные моды в копланарных линиях с встроенными джозефсоновскими цепями / A.В. Швецов, A.M. Сатанин, В.A. Миронов, Е. Ильичев // Физика низких температур. — 2013. — Т. 39, № 11. — С. 1191–1201. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860039497329147904 |
|---|---|
| author | Швецов, A.В. Сатанин, A.M. Миронов, В.A. Ильичев, Е. |
| author_facet | Швецов, A.В. Сатанин, A.M. Миронов, В.A. Ильичев, Е. |
| citation_txt | Резонансные моды в копланарных линиях с встроенными джозефсоновскими цепями / A.В. Швецов, A.M. Сатанин, В.A. Миронов, Е. Ильичев // Физика низких температур. — 2013. — Т. 39, № 11. — С. 1191–1201. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Физика низких температур |
| description | Исследовано распространение микроволнового излучения в копланарных сверхпроводящих линиях с джозефсоновскими цепочками (микрорезонаторами) различной конфигурации. Показано, что провалы в частотной зависимости передаваемой мощности волноводной линии связаны с локальными модами цепочки. Найдены зависимости формы и положения провалов от внешнего магнитного поля и прикладываемой мощности. Результаты вычислений могут быть использованы при разработке современных криоэлектронных микроволновых сверхпроводящих приборов.
Досліджено поширення мікрохвильового випромінювання в копланарних надпровідних лініях з джозефсонівськими ланцюжками (мікрорезонаторами) різної конфігурації. Показано, що провали в частотній залежності потужності хвилеводної лінії, яка передається, пов'язані з локальними модами ланцюжка. Знайдено залежності форми та положення провалів від зовнішнього магнітного поля та від потужності, що прикладається. Результати обчислень можуть бути використані при розробці сучасних кріоелектронних мікрохвильових надпровідних приладів.
The transmission coefficient of microwave wave-guide lines with different Josephson junction circuits has been calculated. The resonance modes in lines manifest themselves as sharp dips in the transmission power. The shape and the position of these dips depend both on external magnetic field and applied microwave power. The results of calculation can be useful for design and implementation of modern cryoelectronics microwave superconducting devices.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:55:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 11, c. 1191–1201
Резонансные моды в копланарных линиях
с встроенными джозефсоновскими цепями
A.В. Швецов, A.M. Сатанин
Нижегородский государственный университет, пр. Гагарина, 23, г. Нижний Новгород, 603950, Россия
E-mail: alexshdze@mail.ru
В.A. Миронов
Институт прикладной физики РАН, ул. Ульянова, 46, г. Нижний Новгород, 603950, Россия
Е. Ильичев
Institut für Photonische Technologien, Albert-Einstein-Straße 9, Jena, 07745 Germany
Статья поступила в редакцию 16 апреля 2013 г., после переработки 7 июня 2013 г.
Исследовано распространение микроволнового излучения в копланарных сверхпроводящих линиях с
джозефсоновскими цепочками (микрорезонаторами) различной конфигурации. Показано, что провалы в
частотной зависимости передаваемой мощности волноводной линии связаны с локальными модами це-
почки. Найдены зависимости формы и положения провалов от внешнего магнитного поля и прикладыва-
емой мощности. Результаты вычислений могут быть использованы при разработке современных крио-
электронных микроволновых сверхпроводящих приборов.
Досліджено поширення мікрохвильового випромінювання в копланарних надпровідних лініях з джо-
зефсонівськими ланцюжками (мікрорезонаторами) різної конфігурації. Показано, що провали в частотній
залежності потужності хвилеводної лінії, яка передається, пов'язані з локальними модами ланцюжка.
Знайдено залежності форми та положення провалів від зовнішнього магнітного поля та від потужності,
що прикладається. Результати обчислень можуть бути використані при розробці сучасних кріоелектрон-
них мікрохвильових надпровідних приладів.
PACS: 74.81.Fa Матрица джозефсоновских контактов и проволочные сети;
41.20.Jb Распространение электромагнитных и радиоволн.
Ключевые слова: копланарные волноводы, электромагнитные волны, джозефсоновские контакты, резо-
нансы, сквид.
1. Введение
В настоящее время сверхпроводящие резонаторы
активно используются в современной криоэлектрони-
ке [1]. Вследствие высокой добротности они также
находят широкое применение в качестве детекторов
электромагнитного излучения. Отметим в частности,
успехи применения резонаторов при детектировании
электромагнитного излучения в широком диапазоне
частот [2,3], контроле как единичных кубитов [4–6],
так и систем на их основе [7,8], а также в изучении
свойств материалов при низких температурах [9]. Ис-
пользование нелинейности, которую естественным об-
разом представляет введенный в схему джозефсонов-
ский контакт, позволяет создавать параметрические
усилители слабых сигналов [10,11], перестраиваемые
магнитным полем резонаторы [12] и, следовательно,
генерировать сжатые состояния для квантовых изме-
рений [13]. Перспективным представляется разработка
архитектуры, в которой предусмотрено сопряжение раз-
личных резонансных контуров, например джозефсо-
новских цепей (петель) с центральной сверхпроводящей
жилой. На основе таких линий, содержащих динамиче-
ские сосредоточенные элементы, можно осуществить
проектирование резонаторов с наперед заданной функ-
цией отклика, что представляется важным для созда-
ния сверхпроводящих метаматериалов с требуемыми
дисперсионными характеристиками [14–17].
© A.В. Швецов, A.M. Сатанин, В.A. Миронов, Е. Ильичев, 2013
mailto:alexshdze@mail.ru
A.В. Швецов, A.M. Сатанин, В.A. Миронов, Е. Ильичев
В данной работе речь пойдет о методах возбужде-
ния электромагнитными импульсами СВЧ диапазона
резонансных мод в джозефсоновских петлях (микроре-
зонаторах), встроенных в копланарные линии. Такие
сосредоточенные нелинейные резонаторы, частотные ха-
рактеристики которых легко перестраивать магнитным
полем, могут качественно менять выходные характери-
стики линии. Отметим, что электромагнитные импуль-
сы в идеальной линии достаточно просто описываются
на языке телеграфных уравнений для тока и напряже-
ния. При этом встроенные джозефсоновские петли
действуют как сосредоточенные динамические преоб-
разователи электромагнитного поля. Покажем, как в
общем случае найти электромагнитное поле, переизлу-
чаемое резонатором. Предполагается, что электромаг-
нитное поле и джозефсоновские осцилляторы (петли
со слабыми связями) можно трактовать в квазикласси-
ческом приближении. На основе сформулированной
модели и уравнений будут исследованы выходные ха-
рактеристики линии. Показано, что встроенные резона-
торы определяют полосы пропускания и поглощения
волноводной линии, а взаимодействие резонаторов при-
водит к их перекрытию. Обсуждаются перспективы
использования разрабатываемой архитектуры волно-
водных линий для управления кубитами и конструиро-
вания магнитометров с перестраиваемыми характери-
стиками.
2. Модель копланарной линии, сопряженной
с джозефсоновскими осцилляторами
Изучим влияние джозефсоновских петель, инкорпо-
рированных в линию и соединенных со сверхпроводя-
щей волноведущей полоской, на распространение волн
в линии. Один из вариантов конструкции петли, в ко-
торую вставлены две слабые связи — двухконтактный
сквид [18,19], — представлен на рис. 1(а). Технология
изготовления сверхпроводящих проволочек микрон-
ных размеров, например из алюминия, «разорванных»
диэлектрическими прослойками (из диоксида алюми-
ния), описана в работах [4,6,7].
Нас будет интересовать идеальный копланарный
волновод, представляющий собой сверхпроводящую
полосу, отделенную вакуумным промежутком от полу-
бесконечных сверхпроводящих пластин (см. рис. 1(а)).
Для СВЧ диапазона такой волновод можно трактовать
на основе эквивалентной схемы — двухпроводной ли-
нии, а электромагнитные импульсы описывать путем
введения локального тока в одном из проводов и ло-
кального напряжения между ними. Предполагается, что
возбуждение волн в линии осуществляется «запитыва-
ющим» СВЧ генератором, а детектирование — прием-
ником, расположенным на конце линии.
Будем характеризовать нагрузку на линии выход-
ным импедансом Z (см. рис. 1 (б)). Плотность тока
( , )I x t и локальный потенциал ( , )V x t в линии подчи-
няются телеграфным уравнениям:
2
( , ) ( , ) ,
( , ) ( , ) ,
l
l
LV x t I x t
x tc
I x t V x tC
x t
∂ ∂ = − ∂ ∂
∂ ∂ = − ∂ ∂
(1)
где lL и lC — погонные индуктивность и емкость
волноводной линии соответственно. В однородной
линии решение уравнений (1) представляет собой бе-
гущие волны с амплитудами mV и :mI
( )
( , )
exp ( )
( , )
m
m
VV x t
i t kx
II x t
= ω −
, (2)
распространяющиеся вдоль линии со скоростью
/ l lc L C=v (частота ω и волновой вектор k связаны
дисперсионным соотношением ).kω = v
Поскольку длина волны СВЧ поля много больше
размера петли, то ее влияние эквивалентно локальному
скачку потенциала (см. рис. 1(б)), обусловленного эф-
фектом Джозефсона [14,15]:
2
( , ) ( , ) ( ) ( ),
( , ) ( , ) ,
( )( ) ,
2
l
J
l
J
LV x t I x t V t x
x tc
I x t V x tC
x t
tV t
e t
∂ ∂ = − − δ ∂ ∂
∂ ∂
= −
∂ ∂
∂ϕ
= ∂
(3)
Рис. 1. Схема сопряжения джозефсоновской петли c двумя
переходами с центральной жилой волновода (а); эквивалент-
ная схема линии с встроенным переходом (б).
(a)
Z
VJ
0 x
I0 I
I
( )б
1192 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 11
Резонансные моды в копланарных линиях с встроенными джозефсоновскими цепями
где ( )tϕ — скачок фазы параметра порядка берегов
джозефсоновского перехода.
Решение уравнений (3) позволяет исследовать эф-
фекты, обусловленные влиянием джозефсоновских пе-
тель сложной конструкции на прохождение и отражениe
волн, возбуждаемых в волноведущей линии.
Пусть источник (генератор) импульсов находится в
области x → −∞ и посылает на переход протяженные
импульсы. Справа и слева от сосредоточенного эле-
мента ( 0)x = поля описываются уравнениями (1), ре-
шения которых представляют собой импульсы произ-
вольной формы, распространяющиеся со скоростью v :
0
0
( , ) ( / ) ( / ) ,
( , ) ( / ) ( / ).
V x t V t x V t x
I x t I t x I t x
= − + +
= − + +
v v
v v
(4)
Поскольку функции, определяемые (4), представляют
собой решения (3), то выражения для тока и напряже-
ния связаны соотношением
0 0( / ) ( / ) [ ( / ) ( / )]lV t x V t x Z I t x I t x− − + = − + + v v v v ,
(5)
где (1/ ) ( / )l l lZ c L C= — погонный импеданс линии.
В области x > 0 существуют только прошедшие им-
пульсы для напряжения и тока
( , ) ( / ), ( , ) ( / )V x t V t x I x t I t x= − = − v v , (6)
связанные соотношением
( / ) ( / )lV t x Z I t x− = − v v . (7)
Граничные условия (при x = 0) приводят к выражениям
0 0( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )JV t V t V t V t I t I t I t= + − + = . (8)
Из уравнений (8) с учетом соотношений (5) и (7) следует
0
1 1( ) ( ), ( ) ( ) ( )
2 2J JV t V t V t V t V t= = − . (9)
Таким образом, мы получаем формальное выраже-
ние, позволяющее по напряжению на переходе опреде-
лить амплитуды отраженного и прошедшего импуль-
сов. Для фактического же отыскания полей нужно
обратиться к уравнениям Джозефсона [18,19], которые
описывают динамику фазы перехода ( )tϕ . Найденная
функция ( )tϕ определит зависимость от времени па-
дения напряжения ( )JV t на сосредоточенном перехо-
де. Далее, используя (9), можно найти зависимости от
времени выходных напряжений ( )V t и ( ).V t Рас-
сматриваемая система представляет собой четырехпо-
люсник, который можно описывать различными харак-
теристиками: коэффициентом передачи, матрицей
рассеяния, отношением мощностей вход–выход и т.д.
Будем вычислять коэффициенты отражения и прохож-
дения, определенные как отношения средних по пери-
оду мощностей к средней мощности входного сигнала,
выделяемых на эквивалентной нагрузке:
22
2 2
0 0
( )( )
,
( ) ( )
V tV t
V t V t
〈 〉〈 〉
= =
〈 〉 〈 〉
. (10)
При этом предполагается, что импеданс нагрузки Z зна-
чительно превосходит импеданс микрополосковой ли-
нии со встроенными джозефсоновскими цепями, поэто-
му далее при вычислении коэффициентов прохождения
и отражения нагрузку не рассматриваем. Отметим, что в
рамках данной схемы можно также описывать и нели-
нейное преобразование импульсов на любой сосредото-
ченной джозефсоновской цепи.
В дальнейшем нам потребуются характерные значе-
ния погонного импеданса микрополосковой линии Zl,
изображенной на рис. 1. Для оценок Zl используем
приближенные значения для погонной индуктивности
и емкости двухпроводной линии:
14 ln ,
4 ln ( / )l l
dL C
a d a
= = , (11)
справедливые при ,a d<< где a — радиус проводников,
а d — расстояние между ними. Например, если d ∼
∼ 10 мкм и a ∼ 0,1 мкм, получаем оценку 4 510 –10 О м.~ м/lZ
3. Двухконтактный переход
Рассмотрим контур, содержащий два джозефсонов-
ских перехода (сквид), причем каждый их них характе-
ризуется критическим током , ,c iI емкостью iC и со-
противлением iR ( 1, 2).i = Динамику перехода
представляем в рамках резистивной модели, согласно
которой переход описывается параллельно соединен-
ной емкостью, джозефсоновским током и омическим
сопротивлением [18,19]. Предполагается, что управле-
ние параметрами сквида осуществляется внешним
магнитным полем, пронизывающим контур петли и
создающим магнитный поток Φ (рис. 2).
I t( ) ( )I t1
( )I t2
1
2
Рис. 2. Схематическое изображение двухконтактного сквида.
Первый и второй джозефсоновские переходы обозначены
цифрами 1 и 2 соответственно.
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 11 1193
A.В. Швецов, A.M. Сатанин, В.A. Миронов, Е. Ильичев
Полный ток перехода 1 2( ) ( ) ( )I t I t I t= + складыва-
ется из парциальных токов ветвей
2
1 1
1 1 1 12
1
2
2 2
2 2 2 22
2
1( ) sin ,
2 2
1( ) sin ,
2 2
C
C
d dI t C I
e e R dtdt
d dI t C I
e e R dtdt
ϕ ϕ
= + + ϕ
ϕ ϕ
= + + ϕ
(12)
1ϕ и 2ϕ — скачки фазы параметра порядка берегов
первого и второго переходов — связаны соотношением
1 2
0
2 fΦ
ϕ −ϕ = π ≡
Φ
, (13)
где 0 /eΦ = π — квант потока. Используя (8), (9) и
выражение (13), а также учитывая определение ( )JV t ,
получаем
2
1 1
2
1 1
2 2 2 l
d dC
e e R Z dtdt
ϕ ϕ
+ + +
1 1 2 1 0
1sin sin( ) ( )C C
l
I I f V t
Z
+ ϕ + ϕ − = , (14)
где 1 2 ,C C C= + 1 21/ 1/ 1/ .R R R= + Как видно, выраже-
ние 2 lZ в левой части (14) играет роль импеданса свя-
зи джозефсоновской петли с волноводной линией.
Решение (14) и сопутствующие нелинейные эффек-
ты будут проанализированы в следующем разделе.
Здесь же рассмотрим линейный режим, который на-
блюдается, когда амплитуда тока в линии в области
петли мала по сравнению с критическими токами пе-
реходов. Предположим, что в отсутствие тока перехо-
ды находятся в равновесии. При этом условие мини-
мума потенциальной энергии сквида (эквивалентное
равенству нулю «силы» в уравнении [14])
1
(0) (0)
1 2 1sin sin ( ) 0C CI I fϕ + ϕ − = (15)
приводит к зависимости «захваченных» в минимум
потенциала фаз от магнитного потока. В случае, когда
падающий сигнал 0 ( / )V t x− v представляет собой ра-
диоимпульс с несущей частотой ω (ширина по частоте
импульса ),∆ω << ω а амплитуда падающего импульса
мала, можно рассмотреть малые колебания фаз вблизи
положения равновесия. Представив фазу первого пере-
хода в виде (0)
1 1 ,ϕ = ϕ +ψ из (14) получим линейное
уравнение для малого отклонения:
2
2
02
1 1 1( ) ( ),
2 2 2 2 J
l l
d dC C f V t
e e R Z dt e Zdt
ψ ψ
+ + + ω ψ =
(16)
где
2 2 2 1/2( ) (1 2 cos )J Jf a a fω = ω + + ,
2 1 2
1
2
,C C
J
C
eI I
a
C I
ω = =
. (17)
Решение уравнения (16) сводится к
( ) e ei t i tt + + ω − − ω
ω ωψ = ψ +ψ , (18)
02
( )l
eV
CZ D
±
± ω
ω ±
ψ =
ω
, (19)
где 2 2( ) ( ),JD i f± ω = −ω ± γω+ω 1 1 1 .
2 lC R Z
γ = +
Решения телеграфных уравнений для монохромати-
ческих волн при 0x < записываются в виде
0
1
0
( , ) exp[ ( )] exp[ ( )] к.с.,
( , ) { exp[ ( )] exp[ ( )] к.с.},l
V x t V i t kx V i t kx
I x t Z V i t kx V i t kx−
= ω − + ω + +
= ω − − ω + +
(20)
а при 0x >
1
( , ) exp [ ( )] к.с.,
( , ) exp [ ( )] к.с.l
V x t V i t kx
I x t Z V i t kx−
= ω − +
= ω − +
(21)
Поскольку падение напряжения на петле связано с фа-
зой соотношением (3), то
0
( )
J
l
i V
V
CZ D
±
± ω
ω ±
± ω
=
ω
. (22)
Из (9) с учетом (17) находим
0
0, 1 ,
2 ( ) 2 ( )l l
i V iV V V
Z CD Z CD
± ±
± ±
ω ω
= ± = ± ω ω
а коэффициенты отражения и прохождения определя-
ются выражениями
2 2
2 2 2 2 2
1( , ) ,
2 [ ( ) ]l JZ C f
ω
ω Φ =
ω −ω + γ ω
(23)
2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
1[ ( ) ]
2
( , )
[ ( ) ]
J
l
J
f
Z C
f
ω −ω +ω γ −
ω Φ =
ω −ω + γ ω
. (24)
Если ,Jγ << ω то при развертке по частоте коэффи-
циент отражения имеет вблизи резонансной частоты
( )J fω узкий «лоренцевский» пик, ширина которого
определяется параметром ~ .γ Соответственно, на за-
висимости коэффициента прохождения при той же
частоте имеется «провал». Перепишем выражение для
( , )ω Φ несколько иначе. Пусть рабочая частота линии
фиксирована. Введем добротности перехода JQ RC= ω
и линии 2 .W lQ Z C= ω Тогда в минимуме ( ( ) )J fω = ω
из (24) вытекает равенство
2
min 2 ,
( )
J
J W
Q
Q Q
=
+
(25)
отражающее тот факт, что глубокий минимум достига-
ется при .W JQ Q>>
1194 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 11
Резонансные моды в копланарных линиях с встроенными джозефсоновскими цепями
Из (17) и (24) следует, что коэффициент прохожде-
ния ( , )ω Φ периодически зависит от магнитного пото-
ка Φ (при фиксированной частоте импульса ),ω про-
низывающего петлю. На рис. 3 показаны зависимости
коэффициента прохождения от магнитного потока. На
графике видны характерные провалы (обозначенные
черными стрелками), обусловленные тем, что при дан-
ных значениях магнитного потока собственная частота
петли ( )J fω совпадает с частотой импульса ω (см.
(17) и (24)). В случае симметричной петли частота
( )J fω изменяется от ,min 0Jω = до ,max 2 .J Jω = ω
Положение провалов полностью определяется соотно-
шением между ω и ,max .Jω С ростом отношения
,max/ Jω ω провалы расходятся, а между ними появляет-
ся пик пропускания (отмечен пунктирной стрелкой на
рис. 3). Наконец, если ,max ,Jω > ω то провалы в коэф-
фициенте прохождения исчезают.
На рис. 4 представлены зависимости коэффициента
прохождения от магнитного потока через петлю для слу-
чая несимметричной петли 1 2( / 2),C CI I = построенные
при тех же параметрах системы, что и на рис. 3. Основ-
ное отличие здесь связано с тем, что для несимметрич-
ной петли собственная частота ( )J fω изменяется в ин-
тервале от 1 22 | | /C Ce I I C− до 1 22 | | / .C Ce I I C+
Следовательно, если частота волны ω меньше, чем
1 22 | | / ,C Ce I I C− то провалы менее выражены либо
совсем исчезают, поскольку во всем диапазоне измене-
ния магнитного потока ( )J fω не пересекается с часто-
той волны ω (рис. 4, пунктирная линия).
Поскольку для джозефсоновского перехода всегда
выполнено неравенство 1/ 1/2 ,lR Z<< то при резонансе
коэффициент прохождения близок к нулю, а собствен-
ная частота структуры суть перестраиваемый при по-
мощи внешнего магнитного поля параметр. Таким об-
разом, рассмотренная структура может служить управ-
ляемым магнитным полем фильтром, работающим в
микроволновой области спектра.
4. Нелинейный режим возбуждения
и бистабильность
Рассмотрим случай слабой нелинейности (условия
на параметры системы будут приведены ниже), когда
можно ограничиться учетом слагаемых 3~ ψ в уравне-
нии (14):
2
2 3
02
2( ) ( ) ( )J
l
d d ef f V t
dt CZdt
ψ ψ
+ γ +ω ψ −β ψ =
, (26)
где
2
2 1/2( ) (1 2 cos )
6
Jf a a f
ω
β = + + .
Отметим, что параметр нелинейности осциллятора
зависит от магнитного потока и отношения критиче-
ских токов. Из (26) видно, что нелинейная поправка
мала, если характерная амплитуда потенциала 0V под-
чиняется неравенству: 2
0 /2 .l JV CZ e<< ω Однако в ус-
ловиях резонанса влияние нелинейности может стать
заметным.
Вблизи резонанса, когда частота внешнего импуль-
са ω близка к частоте осциллятора ( ),J fω для отыс-
кания решения (26) можно воспользоваться методом
Боголюбова–Митропольского [20]. По аналогии с (18)
решение (26) ищем в виде
( ) ( ) e ( ) ei t i tt t t+ + ω − − ωψ = ψ +ψ , (27)
где ( )t+ψ и ( )t−ψ — две медленно меняющиеся
функции, подчиняющиеся дополнительному условию:
( ) ( )e e 0i t i td t d t
dt dt
+ −
+ ω − ωψ ψ
+ = . (28)
Рис. 3. Зависимость коэффициента прохождения от потока
через петлю. Вычисления проведены для случая идентич-
ных джозефсоновских переходов и для параметров: IC1 =
= IC2 = 5·10–7 A, C = 10–12 Φ, R = 104 Ом, Zl = 18 Ом, ωJ,max =
= 5,5·1010 c–1, ω = 0,28 ωJ,max — сплошная линия; ω = 0,42 ωJ,max
— штрихпунктирная линия; ω = 2,83 ωJ,max — пунктирная
линия.
0 8,
0,6
0,4
0,2
0
–6 –2 0 2 4 6–4
Рис. 4. Зависимость коэффициента прохождения от магнитно-
го потока для несимметричной петли. Вычисления проведены
для следующих параметров: IC1 = 2IC2 = 5·10–7 A, C = 10–12 Φ,
R = 104 Ом, Zl = 18 Ом, ωJ,max = 5,85·1010 c–1, ω = 0,4 ωJ,max —
сплошная линия; ω = 0,13 ωJ,max — пунктирная линия.
0 8,
0,6
0,4
0
–6 –2 0 2 4 6–4
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 11 1195
A.В. Швецов, A.M. Сатанин, В.A. Миронов, Е. Ильичев
Здесь имеется в виду, что масштаб изменения во вре-
мени медленных амплитуд определяется обратной
величиной частотной «расстройки»: 1/( ( )),J fδω где
( ( ))/ ( ).J Jf fδ = ω−ω ω Подставив (27) и (28) в (26),
произведя усреднение по быстрым осцилляциям,
находим
2 0
2 0
3 ( ) ,
2 2 ( ) 2
3 ( ) ,
2 2 ( ) 2
J l
J l
ieVd i fi
dt f CZ
ieVd i fi
dt f CZ
+
+ + + −
−
− − + −
ψ γ β
= − ψ − δψ − ψ ψ −
ω
ψ γ β = − ψ + δψ + ψ ψ + ω
(29)
где мы полагали 0 0( ) cos( ).V t V t= ω Прошедший им-
пульс будет определяться выражением
0 0( ) ( ) e ( ) e .
2 4 2 4
i t i t
T
V V
V t i t i t
e e
+ + ω − − ωω ω = − ψ + + ψ
(30)
Уравнение для медленных амплитуд при 1 t−γ <<
выходит на стационарные значения, которые и будут
определять коэффициент отражения. Уравнение для
амплитуды установившихся колебаний 2 | |A += ψ
находится из (29):
2 22
2 2 03 ( )
4 6 ( ) 2J l
eVfA A
f CZ
γ β + δ + = ω
. (31)
Исходя из (30), после усреднения по высокочастотным
осцилляциям можно вычислить коэффициент прохож-
дения
2 2
2
22
2
3 ( ) 1
8 ( ) 2 4
( , )
3 ( )
4 8 ( )
J l
J
f A
f CZ
f A
f
β γ
δ + + − ω ω Φ =
γ β
+ δ + ω
. (32)
При малой амплитуде накачки это выражение (в резо-
нансной области) переходит в (24). Из (31) видно, что
при увеличении амплитуды импульса накачки растет
амплитуда колебаний джозефсоновского осциллятора.
Как хорошо известно, существует такое 0cr ,V когда воз-
никает неустойчивость колебаний и осциллятор имеет
бистабильное поведение. Поскольку кривая (31) универ-
сальна, то, действуя согласно [20], найдем
2
2 1/4
0cr
16
(1 2 cos )
3 3
l
J
CZ
V a a f
e
−γ
= + +
ω
. (33)
Отметим, что в рассматриваемом случае значение
0crV зависит от магнитного потока.
Бистабильное поведение в данной системе означает
следующее. Если амплитуда подаваемого на переход
импульса меняется со стороны напряжения, меньшего
критического (33), то, согласно (31), амплитуда коле-
баний будет соответствовать значению верхней ветви
uA [20], а провал будет расположен при значении от-
стройки 2[3 ( )/8 ( )] .J uf f Aδ = − β ω При увеличении ам-
плитуды произойдет переброс амплитуды колебаний
на нижнюю ветвь ,dA следовательно, точка минимума
провала примет значение 2[3 ( )/8 ( )] .J df f Aδ = − β ω Как
следует из выражения (32), амплитуда прохождения
однозначна, несмотря на неоднозначный характер ам-
плитуды поля. Известно, что при прохождении поля
через нелинейную пластину с «керровской» нелиней-
ностью (нелинейный резонатор Фабри–Перо) ампли-
туда прохождения как функция поля демонстрирует
гистерезис (см. [21]). При этом основная причина
«опрокидывания» коэффициента прохождения связана
с модуляцией фазы волн внутри пластины. Различие
объясняется тем, что в рассматриваемой выше ситуа-
ции размер рассеивателя мал по сравнению с длиной
волны, поэтому изменение фазы на его длине прене-
брежимо мало.
Исследуем численно вынужденные колебания в сис-
теме, вызываемые импульсом тока 0 ( )I t со сравни-
тельно большой амплитудой. Вводя безразмерное вре-
мя ,J tτ = ω запишем уравнение (14) в виде
2
01 1
1 12
1
( )
[sin sin ( )]
J C
Id d a f
d Id
τϕ ϕγ
+ + ϕ + ϕ − =
ω ττ
. (34)
Пусть импульс тока описывается широким гауссов-
ским пакетом с несущей частотой ω :
2 2
0 0 2( ) exp sin
2 JJ
I I
∆ω τ ω
τ = − τ ωω
. (35)
Из (34) видно, что амплитуда изменения ϕ зависит от
отношения 0 1/ .CI I При малых значениях последней
справедливо линейное приближение, и мы приходим к
результатам разд. 3 (рис. 5, сплошная линия). С увеличе-
0 8,
0,6
0,4
0
0
Рис. 5. Зависимость коэффициента прохождения от значения
потока через петлю. Вычисления проведены для случая иден-
тичных джозефсоновских переходов, IC1 = IC2 = 5·10–7 A, C =
= 10–12 Φ, R = 104 Ом, Zl = 57 Ом, ωJ = 5,5·1010 c–1, ω = 0,6 ωJ,
I0/IC1 = 0,25 — пунктирная линия, I0/IC1 = 0,4 — штрихпунк-
тирная линия. Сплошная линия соответствует линейному
приближению и построена для указанных параметров со-
гласно (24).
1196 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 11
Резонансные моды в копланарных линиях с встроенными джозефсоновскими цепями
нием 0 1/ CI I необходимо учитывать нелинейные эффек-
ты. На рис. 5 представлено бистабильное поведение за-
висимости коэффициента прохождения (на частоте )ω
от магнитного потока через петлю при больших значе-
ниях отношения 0 1/ CI I (штрихпунктирная линия).
5. Мультирезонансные джозефсоновские цепи
Чтобы увеличить число полос отражения волнове-
дущей структуры, усложним микрорезонатор. Понятно,
что каждый дополнительный джозефсоновский переход,
встроенный в петлю с простой топологией, может вне-
сти новую колебательную моду. Усложнение топологии
системы приведет к дроблению потока, пронизывающе-
го соответствующие площадки, следовательно, к более
сложной зависимости собственных частот от магнитно-
го потока. Действуя по данной схеме, можно получить
необходимое число линий отражения.
5.1. Трехконтактный сквид
Сначала рассмотрим петлю, в которой в одно из
плеч введен дополнительный джозефсоновских пере-
ход (см. рис. 6 (а)). Имеются следующие соотношения
для токов и напряжений:
31 2
1 3 1 2 1 3 2, , , ,
dVdV dVI I I I I V V V
dt dt dt
= = + + = + =
(36)
а также соотношение для фаз:
3 1 2
0
2 fπΦ
ϕ +ϕ −ϕ = =
Φ
. (37)
Учет граничных условий и указанных соотношений
позволяет написать уравнения для независимых пере-
менных 1ϕ и 2ϕ :
_____________________________________________
( )
2 2
1 2 01 2 1 2
1 2 1 22 2
1 2
2 2
1 31 2 1 2
1 3 3 1 2 12 2
1 3 3
2 2 2 ( )1 1 1 sin sin ,
2
2 21 1 1 sin sin( ) 0.
C C
l l
C C
eI eI eV td d d dC C
R dt R Z dt Zdt dt
eI eId d d dC C C f
R R dt R dtdt dt
ϕ ϕ ϕ ϕ
+ + + + + ϕ + ϕ =
ϕ ϕ ϕ ϕ + − + + − + ϕ − ϕ −ϕ + =
(38)
_______________________________________________
Условия минимума потенциальной энергии переходов
сводятся к уравнениям:
(0) (0)
1 21 2
(0) (0) (0)
2 32 2 1
sin ( ) sin ( ) 0,
sin ( ) sin ( ) 0.
C C
C C
I I
I I f
ϕ + ϕ =
ϕ + ϕ −ϕ + =
(39)
Исследуем решение системы (38) в линейном при-
ближении. Полагая (0) (0)
1 1 2 21 2, ,ϕ = ϕ +ψ ϕ = ϕ +ψ где 1ψ
и 2ψ — малые отклонения фаз от положений равнове-
сия, нетрудно записать для них линеаризованные урав-
нения. Решение полученных уравнений находится пу-
тем фурье-преобразования. Фурье-компонента падения
,JV ±
ω напряжения на петле на частоте волны ω равна
0 1 1 3 3
,
1 3 1 3 2 2 1 1 3 3( )
J
l
i V С D С D
V
Z С С D D С D С D С D
± ± ±
± ω
ω ± ± ± ± ±
± ω +
=
+ +
, (40)
2 2
i i iD i± = ω −ω ± γ ω , 2 2 ,i i iD i± = ω −ω ± γ ω
(0)
12 1
1
1
2 cos ( )CeI
C
ϕ
ω =
,
(0)
22 2
2
2
2 cos ( )CeI
C
ϕ
ω =
,
(0) (0)
32 2 1
3
3
2 cos ( )CeI f
C
ϕ −ϕ +
ω =
,
1
i
i iC R
γ = , 1
2i i
i lC Z
γ = γ + .
Собственные частоты системы определяются нулями
знаменателя (40). При этих частотах ,JV ±
ω достигает
своих максимальных значений, и в соответствии с (22)
будут наблюдаться два пика отражения. Так, при
1 2 32C C C CI I I I= = = и 1 2C C= собственные частоты
(0)
1
1
1
2 | cos ( ) |C
e
eI
C
ϕ
ω =
,
(0) (0)
1 1
2
1
2 | cos ( ) cos ( 2 ) |
2
C
e
eI f
С
ϕ + − ϕ
ω =
, (41)
Рис. 6. Петля с тремя (а) и четырьмя (б) джозефсоновскими
переходами.
(a)
I t( ) I t1( )
I t2( )
( )б
I t2( )
I t1( )I t( )
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 11 1197
A.В. Швецов, A.M. Сатанин, В.A. Миронов, Е. Ильичев
где (0)
1ϕ определяется из (39) и является функцией
магнитного потока через петлю .f Таким образом, как
положение самих резонансов, так и расстояние между
ними, зависят от величины магнитного потока .Φ
Слабонелинейный режим в системе связанных урав-
нений может быть описан по схеме, изложенной в
разд. 4. Пусть найдены две собственные частоты свя-
занной линейной системы в пренебрежении диссипаци-
ей. Учет диссипации приведет к уширению пиков про-
пускания и отражения. Если расстояние между пиками
велико по сравнению с их ширинами, то при небольшой
отстройке частоты поля от собственной моды амплиту-
да колебаний подчиняется уравнению типа (29). Влия-
ние второго нормального колебания учитывается по
теории возмущений [20]. Если резонансы сильно пере-
крываются, то движение такой системы носит сложный
характер и требует особого рассмотрения.
5.2. Четырехконтактный сквид
Петля, изображенная на рис 6(б), может быть опи-
сана тремя независимыми переменными, в качестве
которых выберем фазы на переходах 1ϕ , 2ϕ и 3ϕ :
____________________________________________________
22
3 3 1 3 01 1 2
1 3 1 32 2
1 3
2 2
11 2 1 2 2
1 2 1 22 2
1 2
22 2
31 2
4 3 42 2 2
2 2 2 ( )1 1 1 1 sin sin ,
2 2
2 21 1 sin sin 0,
1( )
C C
l l l
C
d d eI eI eV td d dC C
R Z dt Z dt R dt Zdt dt
eId d d d eIC C
R dt R dtdt dt
dd dC C C
Rdt dt dt
ϕ ϕϕ ϕ ϕ
+ + + + + + ϕ + ϕ =
ϕ ϕ ϕ ϕ
− + − + ϕ − ϕ =
ϕϕ ϕ
+ − + +
31 2
4 3 4
3 4
3 1 2 3
1 1
2 2
sin sin ( ) 0.C C
dd d
dt dt R R dt
eI eI
f
ϕϕ ϕ + − + −
− ϕ + ϕ + ϕ −ϕ − =
(42)
Фазы, определяющие минимум потенциальной энергии, определяются из уравнений:
(0) (0) (0) (0) (0) (0)
1 2 3 41 2 3 1 2 3sin ( ) sin ( ) sin ( ) sin ( )C C C CI I I I fϕ = ϕ = − ϕ = − ϕ + ϕ −ϕ − .
Линеаризуя (42) вблизи положений равновесия фаз, нетрудно решить полученную систему уравнений и найти
фурье-компоненту потенциала на джозефсоновском переходе:
0 1 1 2 2 3 3 4 4
,
1 2 1 2 1 3 3 4 4 3 4 3 4 1 1 2 2
( ) ( )
[ ( /2 ) ]( ) ( )
J
l l
i V C D C D C D C D
V
Z C C D D i Z D C D C D C C D D C D C D
± ± ± ± ±
± ω
ω ± ± ± ± ± ± ± ± ±
± ω + +
=
+ ± ω + + +
, (43)
(0)
12 1
1
1
2 cos ( )CeI
C
ϕ
ω =
,
(0)
22 2
2
2
2 cos ( )CeI
C
ϕ
ω =
,
(0)
32 3
3
3
2 cos ( )CeI
C
ϕ
ω =
,
(0) (0) (0)
42 1 2 3
4
4
2 cos ( )CeI f
C
ϕ +ϕ −ϕ −
ω =
.
_______________________________________________
Если петля имеет различные критические токи, то су-
ществуют три собственные частоты колебания фаз. В
частном случае, когда переходы 1, 2, 3 идентичны, а
критический ток четвертого перехода 4 1/2,C CI I=
петля характеризуется двумя собственными частотами:
(0)
1
1
1
2 | cos ( ) |C
e
eI
C
ϕ
ω =
,
(0) (0)
1 1
2
4 1
| 3cos ( ) 2cos ( ) |
(3 )
C
e
eI f
C C
ϕ − + ϕ
ω =
+
, (44)
поэтому она подобна петле с тремя переходами.
Проанализируем интервал изменения собственных
частот 1,eω и 2.eω На рис. 7 приведены границы из-
менения 1eω и 2eω для различных значений отноше-
ния 4 1/ .C CI I
Рис. 7. Границы изменения собственных частот петли. Диа-
пазон изменения ωe1 ограничен штрихпунктирной и сплош-
ной кривыми. Диапазон изменения ωe2 ограничен пунктир-
ной и сплошной кривыми.
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5
I IC C4 1/
ω
ω
e
J
1/
1198 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 11
Резонансные моды в копланарных линиях с встроенными джозефсоновскими цепями
На рис. 8 изображена зависимость коэффициента
прохождения от частоты волны для случая 4 1/2C CI I=
при двух фиксированных значениях магнитного потока
через петлю. При f = −π собственные частоты 1eω и
2eω достигают своих минимальных значений, при
этом расстояние между двумя резонансами макси-
мально (сплошная линия). Видно, что значения соб-
ственных частот соответствуют точкам на пунктирной
и штрихпунктирной линиях при 4 1/2C CI I= на рис. 7.
При дальнейшем увеличении f собственные частоты
возрастают и стремятся к своему максимальному зна-
чению ,Jω расстояние между резонансами при этом
убывает (пунктирная линия). При 0f = резонансы
сливаются.
Когда частота сигнала меньше минимальных значе-
ний собственных частот петли (лежит ниже пунктир-
ной линии на рис. 7), то резонансное отражение, а сле-
довательно, и провалы в коэффициенте прохождения
не наблюдаются. На рис. 9 приведена зависимость ко-
эффициента прохождения от величины магнитного
потока через петлю. Когда критические токи перехо-
дов 4 и 1 существенно отличаются 4 1( /2),C CI I= мо-
гут наблюдаться два провала в зависимости коэффици-
ента прохождения от магнитного потока (рис. 9,
сплошная линия), соответствующие двум собственным
частотам (44). Однако, если частота волны ω лежит
вне интервала изменения собственной частоты 1,eω т.е.
находится между пунктирной и штрихпунктирной
кривыми на рис. 7, то наблюдается лишь один провал.
При этом каждый минимум зависимости ( )Φ озна-
чает, что при данном значении магнитного потока Φ
через петлю одна из собственных частот петли совпа-
дает с частотой волны.
Когда все четыре перехода идентичны 4 1,C CI I=
существует вырождение 1 2e eω = ω (рис. 7), согласно
(43), так как фазы всех четырех переходов равны, и
возможно наблюдение провала в зависимости ( )Φ
при условии, что частота волны лежит в интервале
(0, )Jω (рис. 9, пунктирная линия).
Разобранные примеры показывают, что магнитное
поле изменяет собственные частоты цепи и позволяет
управлять коэффициентом пропускания волноводной
структуры. Кроме того, положение собственных частот
и расстояние между ними существенно зависят от от-
ношения критических токов переходов, входящих в
петлю. Например, невозможно достичь резонансного
отражения для волны частотой ω в структуре с кри-
тическими токами 1CI и 4 ,CI для которых точка
4 1( / , )C CI I ω лежит ниже пунктирной кривой на рис. 7.
В то же время для всех точек, лежащих между
штрихпунктирной и сплошной кривыми, существуют
два пика резонансного отражения, которые можно на-
блюдать, варьируя магнитное поле.
6. Заключение
Показано, что электромагнитные импульсы СВЧ
диапазона могут быть использованы для возбуждения
локальных резонансных мод в джозефсоновских петлях
(микрорезонаторах), встроенных в копланарные линии.
Локальные моды проявляются в зависимостях коэффи-
циентов отражения и прохождения электромагнитной
волны от величины магнитного потока, когда имеются
характерные провалы, обусловленные резонансным вза-
имодействием электромагнитного поля с джозефсонов-
скими осцилляторами. При этом изменение магнитного
потока через петлю приводит к изменению собственных
частот осциллятора. При совпадении одной из соб-
ственных частот осциллятора с частотой волны проис-
ходит резонансное отражение и прохождение падающих
импульсов. Глубина провалов определяется соотноше-
Рис. 8. Зависимость коэффициента прохождения от частоты
волны для случая петли с четырьмя переходами. Вычисле-
ния проведены для следующих параметров: IC1 = IC2 = IC3 =
= 5·10–7 A, C1,2,3 = 10–12 Φ, R1,2,3,4 = 104 Ом, Zl = 5,4·102 Ом,
ωJ = 5,5·1010 c–1, IC4 = IC1/2; f = –π — сплошная линия; f = –π/3
— пунктирная линия.
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Рис. 9. Зависимость коэффициента прохождения от значения
потока через петлю для случая петли с четырьмя переходами.
Вычисления проведены для следующих параметров: IC1 =
= IC2 = IC3 = 5·10–7 A, C1,2,3 = 10–12 Φ, R1,2,3,4 = 104 Ом, Zl =
= 5,4·102 Ом, ωJ = 5,5·1010 c–1, ω = 0,95 ωJ; IC4 = IC1/2, C4 = C1/2
— сплошная линия; IC4 = IC1, C4 = C1 — пунктирная линия.
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 11 1199
A.В. Швецов, A.M. Сатанин, В.A. Миронов, Е. Ильичев
нием импедансов резонатора и волноводной линии.
Наличие нескольких различных джозефсоновских пере-
ходов в петле ведет к появлению серии пиков отраже-
ния, положение и расстояние между которыми зависят
от соотношений параметров джозефсоновских перехо-
дов (критических токов и емкостей). Установлены диа-
пазоны изменения собственных частот при варьирова-
нии внешнего магнитного поля для различных значений
отношения критических токов. Проанализировано вли-
яние нелинейности джозефсоновских осцилляторов на
характер пропускания линии. Поскольку собственная
частота — перестраиваемый при помощи внешнего
магнитного поля параметр, то рассмотренная структура
может служить фильтром, управляемым магнитным
полем, в микроволновой области спектра. Если зафик-
сировать частоту в области провала прозрачности, то
вследствие большой крутизны характеристики прохож-
дения и зависимости частоты перехода от магнитного
поля можно измерить изменение поля, пронизывающее
петлю. Отметим, что резонансное отражение электро-
магнитных волн в микрополосковой линии, содержащей
последовательность идентичных петель с двумя джо-
зефсоновскими переходами, экспериментально наблю-
далось в работе [22]. При этом резонансная частота яв-
лялась периодической функцией магнитного потока,
пронизывающего петли.
Как уже отмечалось во Введении, в данной работе
речь шла о классическом режиме функционирования
связанных систем: электромагнитное поле предполага-
лось когерентным, а встроенные джозефсоновские пе-
реходы считались возбужденными на высоколежащие
уровни. Интересные эффекты будут наблюдаться, ко-
гда для переходов выполнены условия квантования, а
частота возбуждающего когерентного поля сравнива-
ется с частотой перехода между низколежащими уров-
нями. При выполнении двухуровневого приближения
одно-, двухпетлевые системы будут играть роль куби-
тов, а волноводная линия будет обеспечивать связь
кубитов с управляющим полем. Различные конфигура-
ции петель, «прикрепленных» к волноводной линии,
изучались в работах [23–26]. Рассмотренная в работе
схема управления межпетлевым взаимодействием поз-
волит наблюдать многофотонные переходы в зависи-
мости от константы связи между кубитами [27]. В том
случае, когда и поле, и кубиты работают в квантовом
режиме, рассмотренная нами система петель в волно-
воде в резонансном приближении может быть сведена
к стандартной модели Джейнса–Каммингса (см., напри-
мер, [28,29]).
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты
№ 12-07-00546 и 12-07-31144), Министерства образова-
ния и науки РФ (ГК № 07.514.11.4147, 07.514.11.4162,
14.B37.21.0079), ФЦП «Научные и научно-педагогичес-
кие кадры инновационной России» и Министерства нау-
ки Германии (BMBF) (проект RUS 10/015).
1. S. Anders, M.G. Blamire, F.-Im. Buchholz, D.-G. Crété,
R. Cristiano, P. Febvre, L. Fritzsch, A. Herr, E. Il’ichev,
J. Kohlmann, J. Kunert, H.-G. Meyer, J. Niemeyer, T. Ort-
lepp, H. Rogalla, T. Schurig, M. Siegel, R. Stolz, E. Tarte,
H.J. Mter Brake, H. Toepfer, J.-C. Villegier, A.M. Zagoskin,
and A.B. Zorin, Physica C 470, 2079 (2010).
2. G. Vardulakis, S. Withington, D.J. Goldie, and D.M. Glo-
wacka, Meas. Sci. Technol. 19, 015509 (2008).
3. B.A. Mazin, M.E. Eckart, B. Bumble, S. Golwala, P. Day,
J. Gao, and J. Zmuidzinas, J. Low Temp. Phys. 151, 537
(2008).
4. E. Il'ichev, A.Yu. Smirnov, M. Grajcar, A. Izmalkov, D. Born,
N. Oukhanski, Th. Wagner, W. Krech, H.G. Meyer, and
A. Zagoskin, Fiz. Nizk. Temp. 30, 823 (2004) [Low Temp.
Phys. 30, 620 (2004)].
5. A. Wallraff, D.I. Schuster, A. Blais, L. Frunzio, R.-S.
Huang, J. Majer, S. Kumar, S.M. Girvin, and R.J. Schoel-
kopf, Nature 431, 162 (2004).
6. G. Oelsner, S.H.W. van der Ploeg, P. Macha, U. Hübner, D.
Born, S. Anders, E. Il’ichev, H.-G. Meyer, M. Grajcar, S.
Wünsch, M. Siegel, A.N. Omelyanchouk, and O. Astafiev,
Phys. Rev. B 81, 172505 (2010).
7. M. Grajcar, A. Izmalkov, and E. Il’ichev, Phys. Rev. B 71,
144501 (2005).
8. A.N. Omelyanchouk, S.N. Shevchenko, Ya.S. Greenberg,
O. Astafiev, and E. Il’ichev, Fiz. Nizk. Temp. 36, 1117
(2010) [Low Temp. Phys. 36, 893 (2010)].
9. P. Macha, S.H.W. van der Ploeg, G. Oelsner, E. Il’ichev,
H.-G. Meyer, S. Wünsch, and M. Siegel, Appl. Phys. Lett.
96, 062503, (2010).
10. N. Bergeal, F. Schackert, M. Metcalfe, R. Vijay, V.E.
Manucharyan, L. Frunzio, D.E. Prober, R.J. Schoelkopf,
S.M. Girvin, and M.H. Devoret, Nature 465, 64 (2010).
11. M. Hatridge, R. Vijay, D.H. Slichter, John Clarke, and
I. Siddiqi, Phys. Rev. B 83, 134501 (2011).
12. C.M. Wilson, T. Duty, M. Sandberg, F. Persson, V. Shumeiko,
and P. Delsing, Phys. Rev. Lett. 105, 233907 (2010).
13. A.M. Zagoskin, E. Il’ichev, M.W. McCutcheon, Jeff F.
Young, and Franco Nori, Phys. Rev. Lett. 101, 253602 (2008).
14. D.M. Pozar, Microwave Engineering, Wiley (2005).
15. M. Ricci, N. Orloff, and S.M. Anlage, Appl. Phys. Lett. 87,
034102 (2005).
16. C.G. Du, H.Y. Chen, and S.Q. Li, Phys. Rev. B 74, 113105
(2006).
17. N. Lazarides and G.P. Tsironis, Appl. Phys. Lett. 90, 163501
(2007).
18. A. Barone and G. Paterno, Physics and Applications of the
Josephson Effect, Wiley, New York (1982).
19. K. Likharev, Dynamics of Josephson Junctions and Circuits,
Gordon and Breach, New York (1985).
20. Н.Н. Боголюбов, Ю.А Митропольский, Асимптоти-
ческие методы в теории нелинейных колебаний, Наука,
Москва (1963).
21. Ч.С. Ким, А.М. Сатанин, В.Б. Штенберг, ФТТ 45, 594
(2003).
1200 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 11
Резонансные моды в копланарных линиях с встроенными джозефсоновскими цепями
22. M.A. Castellanos-Beltran, K.D. Irwin, G.C. Hilton, L.. Vale,
and K.W. Lehnert, Nature Phys. 4, 928 (2008).
23. A.A. Abdumalikov, Jr., O. Astafiev, Y. Nakamura, Y.A.
Pashkin, and J.S. Tsai, Phys. Rev. B 78, 180502 (2008).
24. J. Bourassa, J.M. Gambetta, A.A. Abdumalikov, Jr., O.
Astafiev, Y. Nakamura, and A. Blais, Phys. Rev. A 80,
032109 (2009).
25. B. Peropadre, P. Forn-Díaz, E. Solano, and J.J. García–
Ripoll, Phys. Rev. Lett. 105, 023601 (2010).
26. O. Astafiev, A.M. Zagoskin, A.A. Abdumalikov, Jr., Yu.A.
Pashkin, T. Yamamoto, K. Inomata, Y. Nakamura, and J.S.
Tsai, Science 327, 840 (2010).
27. M. Satanin, M.V. Denisenko, S. Ashhab, and F. Nori, Phys.
Rev. B 85, 184524 (2012).
28. S.N. Shevchenko, A.N. Omelyanchouk, and E. Il’ichev, Fiz.
Nizk. Temp. 38, 360 (2012) [Low Temp. Phys. 38, 283
(2012)].
29. L. Du, Y. Yu, D. Lan, Fiz. Nizk. Temp. 39, 649 (2013) [Low
Temp. Phys. 39, 503 (2013)].
Resonance modes in coplanar waveguide lines
with imbedded Josephson circuits
A.V. Shvetsov, A.M. Satanin, V.A. Mironov,
and E. Il’ichev
The transmission coefficient of microwave wave-
guide lines with different Josephson junction circuits
has been calculated. The resonance modes in lines
manifest themselves as sharp dips in the transmission
power. The shape and the position of these dips de-
pend both on external magnetic field and applied mi-
crowave power. The results of calculation can be use-
ful for design and implementation of modern
cryoelectronics microwave superconducting devices.
PACS: 74.81.Fa Josephson junction arrays and wire
networks;
41.20.Jb Electromagnetic wave propagation;
radiowave propagation.
Keywords: co-planar waveguide, electromagnetic
waves, Josephson junction, SQUID.
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 11 1201
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-118913 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0132-6414 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:55:38Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Швецов, A.В. Сатанин, A.M. Миронов, В.A. Ильичев, Е. 2017-06-01T08:30:22Z 2017-06-01T08:30:22Z 2013 Резонансные моды в копланарных линиях с встроенными джозефсоновскими цепями / A.В. Швецов, A.M. Сатанин, В.A. Миронов, Е. Ильичев // Физика низких температур. — 2013. — Т. 39, № 11. — С. 1191–1201. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 74.81.Fa, 41.20.Jb https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/118913 Исследовано распространение микроволнового излучения в копланарных сверхпроводящих линиях с джозефсоновскими цепочками (микрорезонаторами) различной конфигурации. Показано, что провалы в частотной зависимости передаваемой мощности волноводной линии связаны с локальными модами цепочки. Найдены зависимости формы и положения провалов от внешнего магнитного поля и прикладываемой мощности. Результаты вычислений могут быть использованы при разработке современных криоэлектронных микроволновых сверхпроводящих приборов. Досліджено поширення мікрохвильового випромінювання в копланарних надпровідних лініях з джозефсонівськими ланцюжками (мікрорезонаторами) різної конфігурації. Показано, що провали в частотній залежності потужності хвилеводної лінії, яка передається, пов'язані з локальними модами ланцюжка. Знайдено залежності форми та положення провалів від зовнішнього магнітного поля та від потужності, що прикладається. Результати обчислень можуть бути використані при розробці сучасних кріоелектронних мікрохвильових надпровідних приладів. The transmission coefficient of microwave wave-guide lines with different Josephson junction circuits has been calculated. The resonance modes in lines manifest themselves as sharp dips in the transmission power. The shape and the position of these dips depend both on external magnetic field and applied microwave power. The results of calculation can be useful for design and implementation of modern cryoelectronics microwave superconducting devices. Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты № 12-07-00546 и 12-07-31144), Министерства образования и науки РФ (ГК № 07.514.11.4147, 07.514.11.4162, 14.B37.21.0079), ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» и Министерства науки Германии (BMBF) (проект RUS 10/015). ru Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України Физика низких температур Сверхпроводимость, в том числе высокотемпературная Резонансные моды в копланарных линиях с встроенными джозефсоновскими цепями Resonance modes in coplanar waveguide lines with imbedded Josephson circuits Article published earlier |
| spellingShingle | Резонансные моды в копланарных линиях с встроенными джозефсоновскими цепями Швецов, A.В. Сатанин, A.M. Миронов, В.A. Ильичев, Е. Сверхпроводимость, в том числе высокотемпературная |
| title | Резонансные моды в копланарных линиях с встроенными джозефсоновскими цепями |
| title_alt | Resonance modes in coplanar waveguide lines with imbedded Josephson circuits |
| title_full | Резонансные моды в копланарных линиях с встроенными джозефсоновскими цепями |
| title_fullStr | Резонансные моды в копланарных линиях с встроенными джозефсоновскими цепями |
| title_full_unstemmed | Резонансные моды в копланарных линиях с встроенными джозефсоновскими цепями |
| title_short | Резонансные моды в копланарных линиях с встроенными джозефсоновскими цепями |
| title_sort | резонансные моды в копланарных линиях с встроенными джозефсоновскими цепями |
| topic | Сверхпроводимость, в том числе высокотемпературная |
| topic_facet | Сверхпроводимость, в том числе высокотемпературная |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/118913 |
| work_keys_str_mv | AT švecovav rezonansnyemodyvkoplanarnyhliniâhsvstroennymidžozefsonovskimicepâmi AT sataninam rezonansnyemodyvkoplanarnyhliniâhsvstroennymidžozefsonovskimicepâmi AT mironovva rezonansnyemodyvkoplanarnyhliniâhsvstroennymidžozefsonovskimicepâmi AT ilʹičeve rezonansnyemodyvkoplanarnyhliniâhsvstroennymidžozefsonovskimicepâmi AT švecovav resonancemodesincoplanarwaveguidelineswithimbeddedjosephsoncircuits AT sataninam resonancemodesincoplanarwaveguidelineswithimbeddedjosephsoncircuits AT mironovva resonancemodesincoplanarwaveguidelineswithimbeddedjosephsoncircuits AT ilʹičeve resonancemodesincoplanarwaveguidelineswithimbeddedjosephsoncircuits |