Феноменологическая теория релаксации намагниченности (Обзор)

Обзор посвящен последовательному изложению результатов, полученных ранее авторами, по релаксации намагниченности в магнитоупорядоченных кристаллах. Проанализированы идеи феноменологической теории магнетизма, сформулированные в работах Ландау и Лифшица. Изложен общий метод построения диссипативной фу...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2013
Автори:	Барьяхтар, В.Г., Данилевич, А.Г.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2013
Назва видання:	Физика низких температур
Теми:	Обзоp
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/118917
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Феноменологическая теория релаксации намагниченности (Обзор) / В.Г. Барьяхтар, А.Г. Данилевич // Физика низких температур. — 2013. — Т. 39, № 12. — С. 1279–1297. — Бібліогр.: 28 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-118917
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1189172025-02-09T15:17:08Z Феноменологическая теория релаксации намагниченности (Обзор) The phenomenological theory of magnetization relaxation (Review Article) Барьяхтар, В.Г. Данилевич, А.Г. Обзоp Обзор посвящен последовательному изложению результатов, полученных ранее авторами, по релаксации намагниченности в магнитоупорядоченных кристаллах. Проанализированы идеи феноменологической теории магнетизма, сформулированные в работах Ландау и Лифшица. Изложен общий метод построения диссипативной функции как для магнитоупорядоченных систем, так и для парамагнетиков. Для магнитоупорядоченных систем учтена диссипация обменной и релятивистской природы. Установлено, что для построения диссипативной функции необходимо учитывать не только симметрию кристалла, но и законы сохранения намагниченности. Показано, что в случае ферромагнетика, основное состояние которого характеризуется непрерывным параметром вырождения, релаксационное слагаемое Ландау– Лифшица дает качественно неправильные результаты (аномально большое затухание спиновых волн). По предложенной нами методике рассчитаны и проанализированы спектры спиновых волн и их затухание для ферромагнетиков одноосной, тетрагональной и кубической симметрии, а также двухподрешеточных одноосных ферритов. Установлен двухступенчатый характер релаксации вектора намагниченности в ферромагнетиках и многоступенчатый характер релаксации в ферритах. В ферритах наиболее быстрым процессом является процесс релаксации длины вектора антиферромагнетизма. Показано, что эта релаксация обусловлена обменным взаимодействием между подрешетками феррита и усилена обменными взаимодействиями внутри подрешеток. Релаксация суммарной намагниченности феррита происходит значительно медленнее и, как и в случае простого ферромагнетика, описывается неоднородными обменными взаимодействиями и релятивистскими взаимодействиями. Полученные в работе результаты хорошо согласуются с последними экспериментальными данными. Огляд присвячено послідовному викладу результатів, які отримані раніше авторами, по релаксації намагніченості в магнітоупорядкованих кристалах. Проаналізовано ідеї феноменологічної теорії магнетизму, що сформульовані в роботах Ландау та Ліфшиця. Викладено загальний метод побудови дисипативної функції як для магнітоупорядкованих систем, так і для парамагнетиків. Для магнітоупорядкованих систем враховано дисипацію обмінної та релятивістської природи. Встановлено, що для побудови дисипативної функції необхідно враховувати не лише симетрію кристала, але і закони збереження намагніченості. Показано, що у разі феромагнетика, основний стан якого характеризується безперервним параметром виродження, релаксаційний доданок Ландау–Ліфшиця дає якісно неправильні результати (аномально велике загасання спінових хвиль). За запропонованою нами методикою розраховано та проаналізовано спектри спінових хвиль і їх загасання для феромагнетиків одновісної, тетрагональної та кубічної симетрії, а також двохпідграткових одновісних феритів. Встановлено двоступеневий характер релаксації вектора намагніченості у феромагнетиках і багатоступеневий характер релаксації у феритах. У феритах найбільш швидким процесом є процес релаксації довжини вектора антиферомагнетизму. Показано, що ця релаксація обумовлена обмінною взаємодією між підгратками фериту і посилена обмінними взаємодіями усередині підграток. Релаксація сумарної намагніченості фериту відбувається значно повільніше і, як і у разі простого феромагнетика, описується неоднорідними обмінними взаємодіями і релятивістськими взаємодіями. Отримані в роботі результати добре узгоджуються з останніми експериментальними даними. The results on relaxation in magnetically ordered crystals obtained by the authors are consistently presented in the review. The ideas of the phenomenological theory of magnetism stated by Landau and Lifshitz are analyzed. A general method of constructing the dissipative function for magnetically ordered systems and for paramagnetic materials is presented. The dissipation of both the exchange and the relativistic nature is taken into account for the case of magnetically ordered systems. It is determined that to construct dissipation function account must be taken of not only the crystal symmetry, but the conservation laws of magnetization as well. It is shown that in the case of a ferromagnet the ground state of which is characterized by the continuous degeneracy parameter, the Landau–Lifshitz relaxation term gives qualitatively incorrect results (abnormally large attenuation of spin waves). According to the method proposed in the paper the spectra of spin waves and their damping for uniaxial, tetragonal and cubic ferromagnets and for two-sublattice uniaxial ferrites has been calculated and analyzed. It is established that the relaxation of mag-netization vector in ferromagnets is of a two-step nature and in ferrites it is a multistage one. In ferrites the most rapid process is the relaxation antiferromagnetism vector length. It is shown that this relaxation is caused by the exchange interaction between the ferrite sublattices and is reinforced by the exchange interactions within the sublattices. The relaxation of the total magnetization of ferrite is much slower and is described by the inhomogeneous exchange interaction and relativistic interaction, as in the case of a simple ferromagnet. The presented results are in good agreement with the recent experimental data. 2013 Article Феноменологическая теория релаксации намагниченности (Обзор) / В.Г. Барьяхтар, А.Г. Данилевич // Физика низких температур. — 2013. — Т. 39, № 12. — С. 1279–1297. — Бібліогр.: 28 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 76.20.+q,75.25.+z https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/118917 ru Физика низких температур application/pdf Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Обзоp Обзоp
spellingShingle	Обзоp Обзоp Барьяхтар, В.Г. Данилевич, А.Г. Феноменологическая теория релаксации намагниченности (Обзор) Физика низких температур
description	Обзор посвящен последовательному изложению результатов, полученных ранее авторами, по релаксации намагниченности в магнитоупорядоченных кристаллах. Проанализированы идеи феноменологической теории магнетизма, сформулированные в работах Ландау и Лифшица. Изложен общий метод построения диссипативной функции как для магнитоупорядоченных систем, так и для парамагнетиков. Для магнитоупорядоченных систем учтена диссипация обменной и релятивистской природы. Установлено, что для построения диссипативной функции необходимо учитывать не только симметрию кристалла, но и законы сохранения намагниченности. Показано, что в случае ферромагнетика, основное состояние которого характеризуется непрерывным параметром вырождения, релаксационное слагаемое Ландау– Лифшица дает качественно неправильные результаты (аномально большое затухание спиновых волн). По предложенной нами методике рассчитаны и проанализированы спектры спиновых волн и их затухание для ферромагнетиков одноосной, тетрагональной и кубической симметрии, а также двухподрешеточных одноосных ферритов. Установлен двухступенчатый характер релаксации вектора намагниченности в ферромагнетиках и многоступенчатый характер релаксации в ферритах. В ферритах наиболее быстрым процессом является процесс релаксации длины вектора антиферромагнетизма. Показано, что эта релаксация обусловлена обменным взаимодействием между подрешетками феррита и усилена обменными взаимодействиями внутри подрешеток. Релаксация суммарной намагниченности феррита происходит значительно медленнее и, как и в случае простого ферромагнетика, описывается неоднородными обменными взаимодействиями и релятивистскими взаимодействиями. Полученные в работе результаты хорошо согласуются с последними экспериментальными данными.
format	Article
author	Барьяхтар, В.Г. Данилевич, А.Г.
author_facet	Барьяхтар, В.Г. Данилевич, А.Г.
author_sort	Барьяхтар, В.Г.
title	Феноменологическая теория релаксации намагниченности (Обзор)
title_short	Феноменологическая теория релаксации намагниченности (Обзор)
title_full	Феноменологическая теория релаксации намагниченности (Обзор)
title_fullStr	Феноменологическая теория релаксации намагниченности (Обзор)
title_full_unstemmed	Феноменологическая теория релаксации намагниченности (Обзор)
title_sort	феноменологическая теория релаксации намагниченности (обзор)
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Обзоp
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/118917
citation_txt	Феноменологическая теория релаксации намагниченности (Обзор) / В.Г. Барьяхтар, А.Г. Данилевич // Физика низких температур. — 2013. — Т. 39, № 12. — С. 1279–1297. — Бібліогр.: 28 назв. — рос.
series	Физика низких температур
work_keys_str_mv	AT barʹâhtarvg fenomenologičeskaâteoriârelaksaciinamagničennostiobzor AT danilevičag fenomenologičeskaâteoriârelaksaciinamagničennostiobzor AT barʹâhtarvg thephenomenologicaltheoryofmagnetizationrelaxationreviewarticle AT danilevičag thephenomenologicaltheoryofmagnetizationrelaxationreviewarticle
first_indexed	2025-11-27T07:03:15Z
last_indexed	2025-11-27T07:03:15Z
_version_	1849926095277654016
fulltext	Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 12, c. 1279–1297 Феноменологическая теория релаксации намагниченности (Обзор) В.Г. Барьяхтар, А.Г. Данилевич Институт магнетизма НАН и МОН Украины, бульв. Вернадского, 36-б, г. Киев, 03142, Украина E-mail: vbar@imag.kiev.ua, alek_tony@ukr.net Статья поступила в редакцию 26 июня 2013 г., после переработки 27 сентября 2013 г. Обзор посвящен последовательному изложению результатов, полученных ранее авторами, по релак- сации намагниченности в магнитоупорядоченных кристаллах. Проанализированы идеи феноменологиче- ской теории магнетизма, сформулированные в работах Ландау и Лифшица. Изложен общий метод по- строения диссипативной функции как для магнитоупорядоченных систем, так и для парамагнетиков. Для магнитоупорядоченных систем учтена диссипация обменной и релятивистской природы. Установлено, что для построения диссипативной функции необходимо учитывать не только симметрию кристалла, но и законы сохранения намагниченности. Показано, что в случае ферромагнетика, основное состояние ко- торого характеризуется непрерывным параметром вырождения, релаксационное слагаемое Ландау– Лифшица дает качественно неправильные результаты (аномально большое затухание спиновых волн). По предложенной нами методике рассчитаны и проанализированы спектры спиновых волн и их затуха- ние для ферромагнетиков одноосной, тетрагональной и кубической симметрии, а также двухподреше- точных одноосных ферритов. Установлен двухступенчатый характер релаксации вектора намагниченно- сти в ферромагнетиках и многоступенчатый характер релаксации в ферритах. В ферритах наиболее быстрым процессом является процесс релаксации длины вектора антиферромагнетизма. Показано, что эта релаксация обусловлена обменным взаимодействием между подрешетками феррита и усилена об- менными взаимодействиями внутри подрешеток. Релаксация суммарной намагниченности феррита про- исходит значительно медленнее и, как и в случае простого ферромагнетика, описывается неоднородны- ми обменными взаимодействиями и релятивистскими взаимодействиями. Полученные в работе результаты хорошо согласуются с последними экспериментальными данными. Огляд присвячено послідовному викладу результатів, які отримані раніше авторами, по релаксації на- магніченості в магнітоупорядкованих кристалах. Проаналізовано ідеї феноменологічної теорії магнетиз- му, що сформульовані в роботах Ландау та Ліфшиця. Викладено загальний метод побудови дисипативної функції як для магнітоупорядкованих систем, так і для парамагнетиків. Для магнітоупорядкованих сис- тем враховано дисипацію обмінної та релятивістської природи. Встановлено, що для побудови дисипати- вної функції необхідно враховувати не лише симетрію кристала, але і закони збереження намагніченості. Показано, що у разі феромагнетика, основний стан якого характеризується безперервним параметром ви- родження, релаксаційний доданок Ландау–Ліфшиця дає якісно неправильні результати (аномально вели- ке загасання спінових хвиль). За запропонованою нами методикою розраховано та проаналізовано спект- ри спінових хвиль і їх загасання для феромагнетиків одновісної, тетрагональної та кубічної симетрії, а також двохпідграткових одновісних феритів. Встановлено двоступеневий характер релаксації вектора намагніченості у феромагнетиках і багатоступеневий характер релаксації у феритах. У феритах найбільш швидким процесом є процес релаксації довжини вектора антиферомагнетизму. Показано, що ця релакса- ція обумовлена обмінною взаємодією між підгратками фериту і посилена обмінними взаємодіями усере- дині підграток. Релаксація сумарної намагніченості фериту відбувається значно повільніше і, як і у разі простого феромагнетика, описується неоднорідними обмінними взаємодіями і релятивістськими взаємо- діями. Отримані в роботі результати добре узгоджуються з останніми експериментальними даними. © В.Г. Барьяхтар, А.Г. Данилевич, 2013 mailto:vbar@imag.kiev.ua В.Г. Барьяхтар, А.Г. Данилевич PACS: 76.20.+q Общая теория резонансов и релаксации; 75.25.+z Расположение спинов в магнитоупорядоченных материалах (включая исследования при помощи нейтронов и спин-поляризованных электронов, рассеяние синхротронного рентге- новского излучения и т.д.). Ключевые слова: ферромагнетик, феррит, парамагнетик, затухание спиновых волн, диссипативная функ- ция, закон дисперсии. Содержание Введение ......................................................................................................................................... 1280 1. Затухание спиновых волн в ферромагнетиках ......................................................................... 1280 1.1. Квазиравновесный термодинамический потенциал и динамика намагниченности ферромагнетика ...................................................................................................................... 1280 1.2. Диссипативная функция ферромагнетика ............................................................................. 1282 1.3. Спектр спиновых волн одноосного ферромагнетика ........................................................... 1284 1.4. Спектр спиновых волн тетрагонального ферромагнетика ................................................... 1287 1.5. Спектр спиновых волн кубического ферромагнетика ......................................................... 1289 1.6. Ферромагнетики: обсуждения и выводы ............................................................................... 1289 2. Затухание спиновых волн в ферритах ...................................................................................... 1290 2.1. Квазиравновесный термодинамический потенциал феррита .............................................. 1291 2.2. Спиновая динамика и диссипативная функция феррита ..................................................... 1291 2.3. Спектр спиновых волн двухподрешеточного феррита ........................................................ 1292 2.4. Ферриты: обсуждения и выводы ............................................................................................ 1294 3. Диссипативная функция парамагнетика ....................................................................................... 1295 Приложение. Принцип кинетических коэффициентов Онсагера и уравнение движения намаг- ничения ............................................................................................................................................ 1296 Литература ........................................................................................................................................... 1296 Введение В 1935 г. Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц опубликова- ли работу «К теории дисперсии магнитной проницае- мости ферромагнитных тел» [1], которой суждено бы- ло стать одной из самых популярных работ Ландау и Лифшица и не потерять своей актуальности до настоя- щего времени. В этой работе впервые для магнитоупо- рядоченных сред было предложено общее уравнение, описывающее как динамические, так и статические свойства ферромагнетика. Это уравнение заслуженно получило в литературе название «Уравнение Ландау– Лифшица». Фундаментальный результат работы [1] — построе- ние квазиравновесного термодинамического потен- циала ферромагнетика при низких температурах. Это построение базируется на соображениях симметрии кристалла и разделении взаимодействий в ферромагне- тике на два класса: слабые релятивистские взаимодей- ствия и сильное обменное взаимодействие. Не менее фундаментальным результатом является введение эф- фективного магнитного поля как вариационной произ- водной от термодинамического потенциала ферромаг- нетика по намагниченности. В последующие десятилетия теория магнетизма Ландау получила широкое развитие. Однако во многих случаях [2] для описания тех или иных явлений ис- пользование классических моделей, предложенных в работах Ландау и Лифшица, оказывалось недоста- точным. Среди таковых можно назвать и много наших совместных работ с В.В. Еременко [2–4]. Такие иссле- дования показали необходимость дальнейшего совер- шенствования теории Ландау, особенно в вопросе, свя- занном с диссипативными процессами в магнитоупоря- доченных структурах. 1. Затухание спиновых волн в ферромагнетиках 1.1. Квазиравновесный термодинамический потенциал и динамика намагниченности ферромагнетика Напомним классические принципы построения квази- равновесного термодинамического потенциала F [1,5]. Он строится на основе соображений симметрии и представления о том, что обменная энергия намного больше релятивистских энергий (энергии магнитного дипольного взаимодействия и энергии магнитной ани- зотропии) [1]. Рассмотрим состояние ферромагнетика с намагниченностью M при температуре T . Согласно экспериментальным данным, намагниченность ферро- магнетика лежит в интервале > > 0M M∞ при темпе- ратурах 0 < < CT T . Это означает, что намагниченность в начальный момент времени может быть как больше, так и меньше 0 ( )M T . Например, при температурах 0,7 CT T≅ отличие M от 0 ( )M T может быть значи- тельным. Как известно, величина намагниченности формиру- ется обменным взаимодействием. Поэтому разница между M и 0M определяется вкладом в неравновес- ный термодинамический потенциал от обменной энер- гии, который может быть представлен в виде [5]: 1280 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 12 Феноменологическая теория релаксации намагниченности 2 2 2 0 ex1 2 0 ( ) = 8 M M f M − χ . (1.1) χ — обменная постоянная, которая имеет смысл про- дольной магнитной восприимчивости ферромагнетика. По порядку величины она равна 0 /B B CM k Tχ ≈ µ . (1.2) Здесь Bk — постоянная Больцмана, Bµ — магнетон Бора. Кроме однородного обменного взаимодействия, оп- ределяющего величину намагниченности при заданной температуре, необходимо учесть неоднородное обмен- ное взаимодействие, которое является следствием не- однородности намагниченности образца и также суще- ственно проявляется при повышении температуры ( )CT T→ . Его вклад описывается слагаемым 2 ex,2 1= 2 i f x  ∂ α ∂  M . (1.3) Постоянная неоднородного обменного взаимодействия α по порядку величины равна 2 b Ck T a , где a — по- стоянная решетки [1]. Конечно, главным обменным слагаемым является первое слагаемое (1.1), описы- вающее однородное обменное взаимодействие. Это слагаемое не дает вклада в уравнение движения, а служит для определения основного состояния ферро- магнетика. Направление вектора магнитного момента кристалла M определяется энергией магнитной анизотропии [1], которую обычно представляют в виде разложения в ряд ( )a if M по степеням компонент M . При этом ком- бинации произведений компонент намагниченности отвечают симметрии кристалла и операции обращения времени [1,5]. Как правило, оставляют только несколь- ко первых членов разложения, в простейшем случае одноосного ферромагнетика 21( ) = 2a i zf M K M− , (1.4) где K — константа анизотропии. Диполь-дипольное взаимодействие, кроме вклада в энергию анизотропии, отвечает также и за энергию размагничивающих полей, которая может быть запи- сана в следующем виде [5]: 21= 8dd mf π H . (1.5) Если рассматривать ферромагнетик в присутствии внешнего магнитного поля 0H , то необходимо учиты- вать и энергию намагниченности во внешнем магнит- ном поле — Зеемановскую энергию: 0=Zf −MH . (1.6) Полное выражение для квазиравновесного термодина- мического потенциала ферромагнетика в состоянии с намагниченностью M при температуре T определяет- ся интегрированием суммы всех плотностей энергий по объему кристалла [5]: = ( , / )iF f x dV∂ ∂∫ M M , (1.7) где ex1 ex2( , / ) =i a dd Zf x f f f f f∂ ∂ + + + +M M — плот- ность полной энергии ферромагнетика, а интегрирова- ние ведется по всему объему V кристалла. Спиновые волны могут быть изучены как на основе микроскопического квантового спинового гамильто- ниана [5], так и с помощью феноменологических урав- нений. Феноменологический подход позволяет иссле- довать длинноволновые спиновые волны гораздо проще и с использованием минимального математиче- ского аппарата. Для феноменологического описания динамических свойств ферромагнетика используют уравнение движения магнитного момента (уравнение Ландау–Лифшица) [1]: eff= [ , ] t ∂ −γ ∂ M M H . (1.8) В этом уравнении effH — эффективное магнитное поле, = \| \| / 2 \| \| /B Bgγ µ ≈ µ  — гиромагнитное от- ношение. Эффективное магнитное поле определяется по квазиравновесному термодинамическому потенциа- лу следующим образом: eff = Fδ − δ H M . (1.9) Линеаризируя уравнение (1.8) и решая его в компо- нентной форме, можно получить законы дисперсии спиновых волн в различных основных состояниях ферромагнетика. Напомним результаты для спектра спиновых волн [5] одноосного ферромагнетика в от- сутствие внешнего магнитного поля. Если ферромаг- нетик имеет магнитную анизотропию типа легкая ось ( > 0)K , то в основном состоянии намагниченность ориентирована вдоль оси симметрии (оси z ) и спектр спиновых волн имеет вид 2 2 2 0( ) = ( )( 4 sin )kM k K k Kω γ α + α + + π θk , (1.10) где kθ — полярный угол волнового вектора k . Если ферромагнетик имеет магнитную анизотро- пию типа легкая плоскость ( < 0K ), то в основном со- стоянии намагниченность лежит в базисной плоскости (плоскости 0x y ). Спектр спиновых волн в этом случае имеет вид 2 2 2 2 2 0 ( ) = ( \| \|) 4 sin ( \| \| sin )k kM k K k k K ω = γ α + α + π θ α + ϕ k , (1.11) Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 12 1281 В.Г. Барьяхтар, А.Г. Данилевич где kϕ — азимутальный угол волнового вектора. Углы kθ и kϕ отсчитываются от равновесного направления вектора намагниченности. Значения этих углов опре- деляются в результате решения внешней магнитоста- тической задачи. Прокомментируем формулы для спектров (1.10) и (1.11). При больших волновых векторах ( 2 >>\| \|k Kα ) эти формулы дают одинаковый результат — закон Блоха [6]: 2 2 0( ) = ( ) .cM k akω γ α ≡ Θk Здесь cΘ — обменный интеграл в энергетических единицах. Обсудим случай малых волновых векторов ( 0)k → . В этом случае имеем 2 0(0, ) = ( 4 sin )k kM K Kω θ γ + π θ , (1.10а) 2 2 0(0, , ) = 4 \| \| sin sink k k kM Kω θ ϕ γ π θ ϕ . (1.11а) Ясно, что спектр (1.10а) содержит конечную актива- цию. В то же время спектр (1.11а) принадлежит фер- ромагнетику с вырожденным вакуумом, если его фор- ма — плоскопараллельная пластинка, нормаль к которой совпадает с осью симметрии. Вырождение связано с поворотом M на произвольный угол δϕ во- круг оси симметрии. Вследствие этого активация спек- тра (1.11а) должна быть равной нулю. Повороту δϕ можно сопоставить возбуждение в ферромагнетике спиновых волн, волновой вектор которых равен нулю и угол = 0kθ . Из формулы (1.11а) видно, что в этом случае (0, = 0) = 0kω θ . 1.2. Диссипативная функция ферромагнетика Для учета диссипативных процессов при рассмот- рении динамических свойств магнитоупорядоченных кристаллов в уравнение движения магнитного момента (1.8) вводится релаксационное слагаемое R [1]: eff= [ , ] t ∂ −γ + ∂ M M H R . (1.12) Впервые вид релаксационного слагаемого был пред- ложен в работе [1]: eff 2 0 = [ ,[ , ]]L LL λR M M H M . (1.13) Диссипативная функция в работе [1] не рассматрива- лась, и релаксационный член в уравнении движения для намагниченности был предложен исходя из тех соображений, что он должен описывать приближение вектора намагниченности к эффективному магнитному полю. Много позже Гильберт [7] построил диссипа- тивную функцию ферромагнетика, соответствующую релаксации Ландау–Лифшица, и предложил запись релаксационного слагаемого через производную по времени от намагниченности: 0 = ,G G M t λ ∂   ∂  MR M . (1.14) Релаксационные слагаемые LLR и GR , как известно, совпадают с точностью до постоянного множителя. Как в работе Ландау и Лифшица, так и в работе Гиль- берта использована модель ферромагнетика с постоян- ной по абсолютной величине намагниченностью. Дру- гими словами, продольная восприимчивость ферромаг- нетика считалась равной нулю. Несмотря на векторное уравнение движения, релаксационный член Ландау– Лифшица–Гильберта характеризуется одной релакса- ционной постоянной, что соответствует изотропной среде. Недостаток релаксационного слагаемого Лан- дау–Лифшица в том, что релаксацию векторной ве- личины, каковой является намагниченность, предлага- ется описывать с помощью одной релаксационной константы. Поскольку в большинстве фундаментальных работ эксперименты проводились на железо-иттриевом гра- нате с кубической симметрией, то для их описания было достаточно одной константы релаксации. В экс- периментах же по подвижности доменных стенок в одноосных пленках с большим фактором качества 2 0( / 4 >> 1)K Mπ , как отмечается в книге [5], одной константы релаксации в уравнении движения Ландау– Лифшица оказывается недостаточно. С помощью од- ной константы релаксации нельзя описать и экспери- менты по ферромагнитному резонансу в таких плен- ках, и эксперименты по подвижности доменных гра- ниц. Ландау и Лифшиц отмечали еще одну особенность релаксационного члена (1.13) [1]. Это слагаемое обуслов- лено спин-спиновыми и спин-орбитальными взаимодей- ствиями и не описывает релаксацию, обусловленную обменным взаимодействием. Однако исследования по- следующих лет [2,3] показали необходимость учета обменных диссипативных процессов. Впервые обобще- ние релаксационного члена Ландау–Лифшица–Гиль- берта на случай обменного взаимодействия было пред- принято Камберским [8]. Им было предложено до- полнительное слагаемое: 0 = ,K K M t λ ∂ ∆ ∂  MR M . (1.15) Однако при учете закона сохранения намагничен- ности можно показать, что релаксационный член Кам- берского не может описывать обменную релаксацию, так как он не сводится к дивергенции диссипативного потока. Только в линейном приближении можно гово- рить о его обменной природе. 1282 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 12 Феноменологическая теория релаксации намагниченности Важно также отметить, что магнитные колебания могут быть описаны уравнением (1.12) и для парамаг- нитных кристаллов. Так, для описания динамики ядер- ной намагниченности Блох предложил уравнение [6]: 0 0 1 2 = [ , ] x x y yz z M MM M t +−∂ −γ − − ∂ τ τ e eM M H e , (1.16) в котором для описания процесса релаксации исполь- зуются уже две релаксационные константы 1τ и 2τ , в соответствии с симметрией изотропного парамагнети- ка во внешнем магнитном поле 0H . Далее мы покажем, что использование диссипативной функции позволяет единым образом описать релаксационные процессы и в магнитоупорядоченных кристаллах, и в парамагне- тиках. В работах [9] было показано, что в случае ферро- магнетика с вырожденным основным состоянием ре- лаксационное слагаемое дает качественно неправиль- ные результаты. А именно: затухание спиновых волн, рассчитанное с использованием релаксационного сла- гаемого (1.13), получается конечной величиной, в то время как частота спиновых волн стремится к нулю при 0k → . Рассмотрение выражения (1.13) показывает, что в нем никак не учитывается симметрия магнитного материала, что и приводит к противоречию. В работах [9,10] был развит метод получения дис- сипативной функции ферромагнетика, основанный на соображениях симметрии и законах сохранения для намагниченности. Построение диссипативной функции ферромагнетиков базируется на основных феномено- логических принципах, изложенных в работах Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица. Согласно данному методу, выражение для диссипативной функции, учитывая (1.9), можно представить в следующем виде: eff= = =dF FQ dV dV dt t t δ ∂ ∂ − − δ ∂ ∂∫ ∫ M MH M . (1.17) Подставляя в (1.17) вместо / t∂ ∂M его значение из урав- нения (1.12), легко найти eff= Q dV∫ H R . (1.18) Отсюда следует, что релаксационный член может быть представлен в виде [10]: eff= Qδ δ R H , (1.19) если Q — квадратичная функция effH . Из формулы (1.18) также следует вывод, что релаксационный член необходимо строить в виде разложения по степеням эффективного магнитного поля: eff eff= ( , / )ix∂ ∂R R H H . То есть следует выбирать в качестве параметра, харак- теризующего квазиравновесное состояние, не ( , )tM r , а эффективное магнитное поле eff ( , )tH r . Это поле «удобнее» намагниченности тем, что оно мало для всех актуальных неравновесных состояний. В состоянии равновесия eff = 0H , следовательно, и = 0R . Поэтому в линейном приближении будет 2 eff eff ex= ik i kx x ∂ λ −λ ∂ ∂ HR H . (1.20) В этой формуле λ и ex ikλ — некоторые релаксационные тензоры в спиновом пространстве. Тензор λ можно представить в виде суммы двух тензоров: = r eλ λ + λ , поскольку первое слагаемое может описывать дисси- пативные процессы как обменной ( eλ ), так и реляти- вистской ( rλ ) природы. Второе слагаемое описывает релаксацию неоднородных распределений eff ( , )tH r (и, естественно, намагниченности ( , )tM r ) к однород- ному распределению, этот тип релаксации определяет- ся главным образом обменным взаимодействием. Используя полученное выражение для релаксаци- онного слагаемого, можно представить диссипативную функцию в виде [10]: = ,Q q dV∫ где q — плотность диссипативной функции, которая имеет вид [10]: eff eff eff eff ex1 1= 2 2ik i k ik i k q H H x x ∂ ∂ λ + λ ∂ ∂ H H . (1.21) Диссипативная функция, как известно, должна быть инвариантна относительно преобразований группы симметрии кристалла. Рассмотрим, какие ограничения налагает это требование на конкретный вид диссипа- тивной функции. Учтем вначале симметрию обменно- го взаимодействия. В обменном приближении q не должна изменяться при произвольном однородном повороте вектора намагниченности M и вектора эф- фективного магнитного поля effH . Если выбрать q в виде eff eff eff eff ex1 1= 2 2 e i i i i ik i k H H q H H x x ∂ ∂ λ + λ ∂ ∂ , (1.22) то это выражение будет удовлетворять требованиям симметрии обменного взаимодействия. Это выраже- ние, тем не менее, нельзя считать окончательным для диссипативной функции. Это связано с тем, что в об- менном приближении сохраняется полная намагни- ченность ферромагнетика: tot = ( , ) = constt dV∫M M r . Дифференциальная форма этого закона сохранения имеет вид [9]: = 0i ik k M t x ∂ ∂Π + ∂ ∂ . (1.23) Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 12 1283 В.Г. Барьяхтар, А.Г. Данилевич В этой формуле ikΠ — поток i -й компоненты вектора намагниченности через единичную площадку, перпен- дикулярную k-й оси. Используя (1.7) и (1.9), легко найти явное выражение для эффективного поля в пре- небрежении релятивистскими взаимодействиями и внешним магнитным полем: 2 22 eff 0 ex 2 2 0 ( ) = 2i M M x M −∂ α − ∂ χ MMH . (1.24) Из формул (1.20) и (1.24) следует, что первое слагае- мое релаксационного члена нельзя свести к диверген- ции. По этой причине необходимо положить компо- ненты eλ равными нулю. В результате диссипативная функция и релаксационное слагаемое в обменном при- ближении приобретают вид eff eff ex ex 1= , 2 i i ik i k H H q x x ∂ ∂ λ ∂ ∂ 2 eff ex ex = .ik i kx x ∂ −λ ∂ ∂ HR Подчеркнем, что для их определения необходимо не просто использовать инвариантность диссипативной функции относительно однородных поворотов эффек- тивного магнитного поля, но и более глубокие сообра- жения, связанные, строго говоря, с обменной симмет- рией. В этом случае уравнение Ландау–Лифшица принимает вид закона сохранения (1.23), в котором eff ex= , .i ik sk k six x   ∂∂ Π −γ α −λ ∂ ∂  HMM Перейдем теперь к определению релятивистской части диссипативной функции [10]. Эта часть диссипа- тивной функции определяется первым слагаемым в выражении для плотности диссипативной функции (1.22). Поскольку q должна быть инвариантной отно- сительно группы симметрии кристалла, то тензор rλ определяется этой симметрией, аналогичное условие имеет место и для обменного тензора ex ikλ . Чтобы опре- делить конкретный вид релаксационных тензоров rλ и ex ikλ , необходимо конкретизировать магнитный кри- сталлический класс ферромагнетика. Приведем вид тензоров rλ и ex ikλ для наиболее популярных типов кристаллической симметрии. В случае кристаллов ку- бической симметрии = diag ( , , )r r r rλ λ λ λ , ex ex ex ex= diag ( , , )ikλ λ λ λ . (1.25) Для кристаллов гексагональной симметрии, к которым относятся одноосные и тетрагональные ферромагнети- ки, тензоры rλ и ex ikλ имеют вид 11 11 33= diag ( , , )r r r rλ λ λ λ , ex ex ex ex 11 11 33= diag ( , , )ikλ λ λ λ . (1.26) Для кристаллов орторомбической симметрии 11 22 33= diag ( , , )r r r rλ λ λ λ , ex ex ex ex 11 22 33= diag ( , , )ikλ λ λ λ . (1.27) Выше изложена методика построения диссипатив- ной функции ферромагнетика в линейном приближе- нии [10]. Однако в некоторых задачах возникает необ- ходимость учета нелинейной части диссипативной функции. При этом необходимо следовать тем же сооб- ражениям, которые использованы в [1] при построении квазиравновесного термодинамического потенциала ферромагнетика. Другими словами, классификация слагаемых по порядку малости и степеням намагни- ченности для плотности диссипативной функции (1.22) аналогична классификации слагаемых по порядку ма- лости и степеням намагниченности для квазиравновес- ной свободной энергии (1.7) [12]. На примере кубического кристалла легко показать, как провести учет нелинейной диссипации [10]. Ана- логично тому, как это делалось для энергии магнитной анизотропии, убеждаемся, что инвариантами четверто- го и шестого порядков являются величины eff 4 eff 4 eff 4 4 eff 2 eff 2 eff 2 6 = ( ) ( ) ( ) , = ( ) ( ) ( ) . x y z x y z I H H H I H H H + + Таким образом, релятивистская часть диссипативной функции кубического кристалла равна [10]: eff 2 eff 4 eff 4 eff 4 4 1 1= ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 r r r i x y zq H H H H λ + λ + + +  eff 2 eff 2 eff 2 6 1 ( ) ( ) ( ) . 2 r x y zH H H+ λ (1.28) Поскольку в кубическом кристалле основное состоя- ние ферромагнетика имеет дискретный, а не непре- рывный параметр вырождения, то для него нет каких- либо законов сохранения компонент намагниченности. Это означает, что диссипативная функция (1.28) явля- ется окончательным вариантом релятивистской части диссипативной функции кубического ферромагнетика в нелинейном приближении. Используя те же сообра- жения, что и при построении квазиравновесного тер- модинамического потенциала ферромагнетика, можно показать, что слагаемые в диссипативной функции, содержащие более высокие степени вектора эффектив- ного магнитного поля, являются членами более высо- кого порядка малости, чем приведенные в формуле (1.22). То есть, как и для констант магнитной анизо- тропии, для релаксационных констант rλ , 4 rλ , 6 rλ спра- ведливо неравенство 4 6>> >>r r rλ λ λ . 1.3. Спектр спиновых волн одноосного ферромагнетика Обсудим теперь вопрос о формальном переходе от реального кристалла к модели ферромагнетика одно- осной симметрии. Рассмотрим одноосный ферромаг- нетик, ось симметрии которого направлена по оси 0z. 1284 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 12 Феноменологическая теория релаксации намагниченности Плотность энергии магнитной анизотропии в этом случае можно представить в виде [5]: 2 4 1 2 1 1( ) = 2 4a i z zf M K M K M− − . (1.29) Здесь 1 2,K K —константы магнитной анизотропии. Приведем результаты для одноосного ферромагнетика в отсутствие внешнего магнитного поля, при этом бу- дем считать, что размагничивающие поля достаточно малы. Следовательно, энергии (1.5) и (1.6) в полной энергии ферромагнетика отсутствуют. Используя соображения симметрии, плотность дис- сипативной функции одноосного ферромагнетика во втором порядке по степеням эффективного магнитного поля можно представить в виде [10]: eff 2 eff 2 11 2eff eff 2 ex 33 1= ( ) ( ) 2 1 1( ) . 2 2 r x y r z i q H H H x  λ + +   ∂ + λ + λ   ∂  H (1.30) Здесь и далее для простоты будем считать, что все компоненты тензора ex ikλ равны. Для дальнейшего упрощения диссипативной функ- ции необходимо обратиться к закону сохранения ком- поненты намагниченности вдоль оси симметрии: = 0zkz k M z x ∂Π∂ + ∂ ∂ . (1.31) Релаксационное слагаемое и эффективное магнитное поле, соответствующие диссипативной функции (1.30) и энергии магнитной анизотропии (1.29), имеют вид [10]: 2 eff eff eff eff ex 11 33 2= ( )r r x x y y z z i H H H x ∂ λ + + λ −λ ∂ HR e e e , (1.32) 2 22 eff 3 0 1 2 2 2 0 ( ) = 2 z z z z i M M K M K M x M −∂ + + α − ∂ χ MMH e e , (1.33) где ie — единичные векторы вдоль соответствующих осей. Используя эти формулы, нетрудно убедиться, что динамическая часть уравнения Ландау–Лифшица [ , ]zγ M H сводится к дивергенции. Компоненту zR релаксационного слагаемого, как это следует из фор- мулы (1.32), можно представить в виде дивергенции, только если 33 = 0rλ . Это означает, что в качестве дис- сипативной функции одноосного кристалла следует взять выражение [10]: ( ) 2eff eff 2 eff 2 ex 11 1 1= ( ) ( ) 2 2 r x y i q H H x  ∂ λ + + λ   ∂  H . (1.34) Микроскопический расчет в рамках теории спино- вых волн приводит к диссипативной функции этой структуры. В книге [5] приведены декременты затуха- ния спиновых волн, по которым легко найти темпера- турные зависимости констант 11 rλ и exλ при низких температурах << CT T . Как хорошо известно [5,11], существуют следую- щие три основных состояния (фазы) одноосного фер- ромагнетика в таких условиях: фаза (\|\|)Φ — «легкая ось», в которой намагниченность M параллельна оси симметрии; фаза ( )Φ ∠ — «угловая», в которой M ориентирована под углом θ к оси симметрии; фаза ( )Φ ⊥ — «легкая плоскость», в которой M лежит в базисной плоскости. Зная свободную энергию одноосного ферромагне- тика и соответствующее ей эффективное поле (1.33), диссипативную функцию (1.34) и соответствующие ей компоненты релаксационного члена 2 eff eff eff ex 11 2= ( )r x x y y i H H x ∂ λ + −λ ∂ HR e e , (1.35) а также уравнение движения намагниченности (1.12), можно найти закон дисперсии спиновых волн, их зату- хания и релаксацию величины намагниченности M во всех трех основных состояниях. 1. Фаза «легкая ось» (\|\|)Φ . Минимизируя полную энергию ферромагнетика, можно получить не только условие на полярный угол магнитного момента = 0θ , но и абсолютное значение магнитного момента в рав- новесном состоянии: 2 2 1 0 2 0 2 1 2 = 1 2 KM M M K − χ + χ , (1.36) за счет наличия малой продольной восприимчивости оно будет отличаться от 2 0M . Условие устойчивости для данного состояния имеет вид: 2 1 2 0 > 0K K M+ . Линеаризуя уравнение (1.12) по малым отклонени- ям m от абсолютного значения магнитного момента ( ) 0, = ( , )t t+M r M m r и переходя к компонентам Фурье для этих отклонений: exp ( ( ))im i t− ω −kr , можно получить закон дисперсии спиновых волн с учетом их затухания: ex 2 11 0= ( )r SW i k Mω − λ + λ Ω± γ Ω , (1.37) где 2 2 1 2 0= k K K MΩ α + + . Для того чтобы в данном основном состоянии существовали спиновые волны, необходимо, чтобы мнимая часть частоты спиновых волн Im ( )SWω , которая отвечает за диссипацию энер- гии, была намного меньше действительной части Re ( )SWω . Как видно из (1.37), условие 11 00 Im ( ) << 1 Re ( ) r SW SW k M→ ω λ ω γ→ Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 12 1285 В.Г. Барьяхтар, А.Г. Данилевич выполняется, если релаксационные константы среды 11 rλ и exλ малы по сравнению с характерной частотой ферромагнетика 0Mγ , что всегда имеет место при сла- бых затуханиях. Используя релаксационное слагаемое в форме (1.35) и учитывая продольную магнитную восприимчивость, из уравнения Ландау–Лифшица (1.12) можно получить также и частоту колебаний абсолютного значения маг- нитного момента: ex 2 2 1 1= 2M i k k K  ω − λ α + + χ  , (1.38) которая оказывается чисто мнимой, т.е. эти колебания являются абсолютно затухающими. Релаксация вели- чины магнитного момента определяется формулой 2 2 1 0 2 2 0 0 1 2( ) = 1 2 2 ( ,0)exp [ / ( )] ,M KM t M K M M m k t k − χ + + χ + − τ , (1.39) где ( ) = 1/M Mk iτ ω — время релаксации величины магнитного момента. Обратим внимание на то, что, во-первых, ( )M kτ ≈ 2/k≈ χ уменьшено за счет продольной восприимчиво- сти << 1χ ; во-вторых, что время релаксации обратно пропорционально волновому вектору k . Отсутствие релаксации однородных отклонений намагниченности обусловлено законом сохранения компоненты намаг- ниченности zM . Другими словами, в процессе релак- сации прежде всего исчезают мелкомасштабные неод- нородности магнитного момента, и в среде устанавли- вается однородная по величине намагниченность. Чтобы описать более медленную релаксацию однород- ных отклонений намагниченности от ее равновесных значений, необходимо учесть взаимодействия, разру- шающие закон сохранения zM . 2. Фаза «легкая плоскость» ( )Φ ⊥ . В этом случае минимизация полной энергии ферромагнетика дает: = /2θ π , 2 2 0=M M . Условие устойчивости для данного состояния имеет вид: 1 < 0K . Закон дисперсии спиновых волн с учетом затухания в данном основном состоянии имеет вид ex 2 ex 2 11 1 2 2 2 ex 2 ex 2 2 0 1 2 11 1 2 = ( ) 2 1 4 [( ) ] , 2 r SW r i k k M k k  ω − λ + λ Ω + λ Ω ±  ± γ Ω Ω − λ + λ Ω −λ Ω (1.40) где 2 1 = kΩ α , 2 2 1= k KΩ α − . В выражении для частоты спиновых волн имеется слагаемое под знаком корня, пропорциональное квадратам релаксационных кон- стант 11 rλ и exλ . Оно описывает стандартное умень- шение частоты за счет диссипации. Интересно отме- тить, что при выполнении условия ex 11 1 = 0r Kλ α + λ диссипация не меняет частоты спиновых волн. Усло- вие существования спиновых волн в этом случае будет определяться следующим выражением: ex 11 1 0 00 1 Im ( ) ( ) 0 Re ( ) 2 r SW SW k k k K M K→ → ω λ α −λ ω γ α→ → . (1.41) Из закона дисперсии (1.40) и из условия (1.41) сле- дует, что в вырожденном основном состоянии ( )Φ ⊥ одноосного ферромагнетика спиновые волны являются хорошо определенными и слабозатухающими. Заме- тим, что при расчете закона дисперсии спиновых волн в данном основном состоянии одноосного ферромаг- нетика при помощи релаксационного слагаемого в форме Ландау–Лифшица (1.13) ситуация кардинально меняется: 2 2 2 2 1 2 0 1 2 1 1= ( ) 4 2 2SW L L i M Kω λ Ω +Ω ± γ Ω Ω −λ . (1.42) Из этой формулы немедленно следует вывод об от- сутствии однородных колебаний в одноосном ферро- магнетике с магнитной анизотропией типа «легкая плоскость». Действительно, при 0k → частота спино- вых волн становится мнимой. Как видно из (1.42), условие существования слабо- затухающих спиновых волн в основном состоянии ( )Φ ⊥ не выполняется не только при 0k → , но и при малых волновых векторах k , удовлетворяющих усло- вию 2 2 2 0 14( ) < LM k Kγ α λ . (1.43) При выполнении этого условия частоты спиновых волн являются мнимыми. В то же время при описании с помощью (1.13) основного состояния «легкая ось» (\|\|)Φ спиновые волны оказываются хорошо выражен- ными слабозатухающими колебаниями: 0=SW Li Mω λ Ω± γ Ω . (1.44) Таким образом, налицо парадокс возникновения зату- хающих волн намагниченности в ферромагнетике со слабой диссипацией 0<<L Mλ γ при переходе от од- ной фазы к другой. Важно также отметить, что использование релакса- ционного слагаемого в форме Ландау–Лифшица (1.13) или в форме Гильберта (1.14) не дает возможности описать затухание абсолютного значения магнитного момента, несмотря на учет продольной магнитной вос- приимчивости ферромагнетика. Используя релаксационное слагаемое в форме (1.35), можно получить частоту колебаний абсолютного значе- ния магнитного момента в основном состоянии ( )Φ ⊥ : ( )ex 2 2 11 1= r M i k k  ω − λ + λ α + χ  . (1.45) 1286 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 12 Феноменологическая теория релаксации намагниченности Она, так же, как и для фазы (\|\|)Φ , оказывается чисто мнимой, т.е. эти колебания являются абсолютно зату- хающими. Релаксация величины магнитного момента в данном случае определяется формулой 2 2 0 0( ) = 2 ( ,0)exp [ / ( )]MM t M M m k t k+ − τ . (1.46) 3. Угловая фаза ( )Φ ∠ . В этом случае минимиза- ция полной энергии ферромагнетика дает: 2cos θ = 2 1 2 0/( )K K M= − , 2 2 0=M M . Условия устойчивости для данного состояния имеют вид: 2 < 0K , 2 1 2 00 < <K K M− . После линеаризации уравнения (1.12) по малым ве- личинам m и переходе в нем к компонентам Фурье для m можно получить кубическое уравнение, опре- деляющее закон дисперсии для основного состояния ( )Φ ∠ . Поскольку его вид достаточно громоздок, пред- ставим в данном случае закон дисперсии спиновых волн в линейном приближении по малым константам затухания 11 rλ и exλ : ex 2 11 1 ex 2 ex 2 1 32 3 11 0 1 2 2 = 2( ) 2 ( ) ,sin r SW r i k k k M  ω − λ + λ Ω +  Ω Ω + λ Ω − λ θ+ λ ± γ Ω ΩΩ  (1.47) где 2 1 = kΩ α , 2 2 2 1= 2 sink KΩ α + θ, 2 3 1= 2k KΩ α + . Условие существования спиновых волн в фазе ( )Φ ∠ также выполняется, так как в длинноволновом пределе имеем: ( )ex 11 1 20 00 1 2( ) 0 2 2 sin r s S k k k Kk M K→ → λ + λΓ ω γ α θ → → . (1.48) Из формул (1.40) и (1.47) видим, что в фазах ( )Φ ⊥ и ( )Φ ∠ , в которых основное состояние вырождено с непрерывным параметром вырождения 0ϕ ( 0ϕ — угол между намагниченностью и осью 0x в базисной плос- кости), спектр спиновых волн безактивационный, за- тухание много меньше частоты и стремится к нулю при стремлении к нулю волнового вектора. Этот ре- зультат есть проявление общих теорем Голдстоуна и Адлера для угловой фазы [13]. Частота колебаний абсолютного значения магнит- ного момента в основном состоянии ( )Φ ∠ имеет вид ( )ex 2 1 32 11 2 1= sinr M i k  Ω Ω ω − λ + λ +θ  Ω χ  , (1.49) а релаксация величины намагниченности в фазе ( )Φ ∠ описывается формулой (1.46). Для данного основного состояния использование релаксационного слагаемого в форме Ландау–Лифши- ца также приводит к мнимым частотам спиновых волн в длинноволновом приближении: 2 2 2 2 4 1 2 0 1 2 1= ( ) sin 2 L L i M Kω λ Ω +Ω ± γ Ω Ω −λ θ . (1.50) То есть в фазе ( )Φ ∠ также имеется целая область ма- лых волновых векторов, в которой спиновые волны представляют собой волны с мнимыми частотами: 2 2 2 2 0 1( ) < \| \| (sin )M k Kγ α λ θ . (1.51) Результаты (1.42) и (1.50) для затухания спиновых волн, полученные при использовании релаксационного слагаемого в форме Ландау–Лифшица, находятся в качественном противоречии с результатами (1.40), (1.47), полученными при использовании релаксацион- ного слагаемого, соответствующего диссипативной функции (1.34). Это противоречие означает только од- но: релаксационный член в форме Ландау–Лифшица не описывает релаксацию для состояний с непрерыв- ным параметром вырождения. Именно таковыми яв- ляются состояния для фаз ( )Φ ⊥ и ( )Φ ∠ , в то время как использование релаксационного слагаемого в форме, предложенной в настоящей работе, позволяет пра- вильно описывать затухание спиновых волн в ферро- магнетиках с вырожденными основными состояниями. 1.4. Спектр спиновых волн тетрагонального ферромагнетика Изучение спиновых волн в кристаллах с тетраго- нальной симметрией позволяет рассмотреть реальную ситуацию, когда в спектре спиновых волн имеется ак- тивация, и продемонстрировать, с какой анизотропией связано затухание спиновых волн. Плотность энергии магнитной анизотропии в случае тетрагональной симметрии можно представить в виде [10]: 2 4 2 2 1 2 3 1 1 1( ) = 2 4 2a i z z x yf M K M K M K M M− − − . (1.52) Здесь 1K , 2K , 3K — константы магнитной анизотро- пии. Рассмотрим тетрагональный ферромагнетик в отсутствие внешнего магнитного поля и размагничи- вающих полей. Тогда эффективное магнитное поле тетрагонального ферромагнетика будет иметь вид [10]: eff 3 2 2 1 2 3= ( )z z z z y x x x y yK M K M K M M M M+ + + +H e e e e 2 22 0 2 2 0 ( ) . 2i M M x M −∂ + α − ∂ χ MM (1.53) В случае тетрагонального кристалла не выполняется закон сохранения для компонент вектора намагничен- ности (1.31) и, следовательно, плотность диссипатив- ной функции тетрагонального ферромагнетика будет иметь вид (1.30), а соответствующие компоненты ре- лаксационного слагаемого будут определяться выра- жением (1.32). В случае тетрагональной симметрии становится важным направление азимутального угла ϕ вектора Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 12 1287 В.Г. Барьяхтар, А.Г. Данилевич намагниченности M в плоскости 0x y . Угол ϕ в ос- новном состоянии может принимать значения = 0ϕ и = / 2ϕ π . Для простоты и краткости приведем результа- ты для законов дисперсии тетрагонального ферромаг- нетика только для основных состояний с = 0ϕ , так как результаты, полученные при = / 2ϕ π , принципиально не отличаются. 1. Фаза (\|\|)Φ , когда = 0θ . При этом минимизация полной энергии ферромагнетика приводит к выраже- нию (1.36) для значения магнитного момента в равно- весном состоянии. Условие устойчивости для данного состояния имеет вид: 2 1 2 0 > 0K K M+ . Закон дисперсии спиновых волн с учетом их зату- хания в этом случае полностью совпадает с законом дисперсии (1.37) для одноосного ферромагнетика, а частота колебаний абсолютного значения магнитного момента имеет вид ex 2 2 33 1 1= ( ) 2r M i k k K  ω − λ + λ α + + χ  . (1.54) Релаксация величины магнитного момента опреде- ляется формулой (1.39). 2. Фаза ( )Φ ⊥ . В этом случае минимизация полной энергии ферромагнетика дает: = /2θ π , 2 2 0=M M . Ус- ловие устойчивости для данного состояния имеет вид: 1 < 0K , 3 < 0K . Закон дисперсии спиновых волн с учетом затухания в данном основном состоянии имеет вид ex 2 ex 2 11 1 33 2 2 2 ex 2 ex 2 2 0 1 2 11 1 33 2 = ( ) ( ) 2 , 1 4 [( ) ( ) ] 2 r r SW r r i k k M k k  ω − λ + λ Ω + λ + λ Ω ±  ± γ Ω Ω − λ + λ Ω − λ + λ Ω (1.55) где 2 2 1 3 0= k K MΩ α − , 2 2 1= k KΩ α − . Как следует из (1.55), условие существования спи- новых волн \|Im ( )/Re ( ) \| << 1SW SWω ω выполняется, если релаксационные константы 11 rλ , 33 rλ и exλ малы по сравнению с характерной частотой ферромагнетика 0Mγ , что всегда имеет место при слабых затуханиях. Частота колебаний абсолютного значения магнит- ного момента в основном состоянии ( )Φ ⊥ тетраго- нального ферромагнетика определяется выражением (1.45), а релаксация величины магнитного момента — формулой (1.46). 3. Фаза ( )Φ ∠ , для которой минимизация полной энергии ферромагнетика дает: 22 1 2 0= /( )cos K K M−θ , 2 2 0=M M . Условия устойчивости для данного состоя- ния имеют вид: 2 < 0K , 3 < 0K , 2 1 2 00 < <K K M− . Аналогично тому, как это было сделано для одно- осного ферромагнетика, представим закон дисперсии спиновых волн в линейном приближении по малым константам затухания 11 rλ , 33 rλ и exλ : ex 2 ex 2 11 1 33 3 ex 2 1 32 2 11 33 0 1 2 2 = 2( ) ( ) 2 ( ) ,sin cos r r SW r r i k k k M  ω − λ + λ Ω + λ + λ Ω −  Ω Ω − λ + λ + λ ± γ Ω Ωθ θ Ω  (1.56) здесь 2 2 1 3 0= k K MΩ α − , 2 2 2 1= 2 sink KΩ α + θ , 2 3 1= 2k KΩ α + . Условие существования спиновых волн \|Im ( )/Re ( ) \| << 1SW SWω ω выполняется, если релакса- ционные константы 11 rλ , 33 rλ и exλ малы по сравнению с характерной частотой ферромагнетика 0Mγ . Частота колебаний абсолютного значения магнит- ного момента в основном состоянии ( )Φ ∠ имеет вид ex 2 1 32 2 11 33 2 1= ( )sin cosr r M i k  Ω Ω ω − λ + λ + λ +θ θ  Ω χ  , (1.57) а релаксация величины намагниченности в фазе ( )Φ ∠ тетрагонального ферромагнетика описывается форму- лой (1.46). В случае тетрагонального ферромагнетика исполь- зование релаксационного слагаемого Ландау–Лифши- ца не приводит к качественным противоречиям [10]. Это связано с тем, что в тетрагональном ферромагне- тике нет основных состояний с непрерывным парамет- ром вырождения. Однако релаксационное слагаемое в форме (1.13) или (1.14) не позволяет описать релак- сационные процессы обменной природы, а также зату- хание абсолютного значения магнитного момента. На примере тетрагонального ферромагнетика легко показать влияние магнитной анизотропии кристалла на вид релаксационных тензоров [10]. Если в энергии анизотропии тетрагонального кристалла положить 3 = 0K , то придем к модели одноосного кристалла, для которого, как мы видели, 33 = 0rλ . При таком переходе законы дисперсии спиновых волн тетрагонального ферромагнетика (1.55) и (1.56) переходят в законы дис- персии для одноосного ферромагнетика (1.40) и (1.47). На основании этого можно сделать вывод о пропор- циональности релаксационных констант и соответст- вующих констант анизотропии. Более того, поскольку релаксационные константы не должны зависеть от знака констант анизотропии, то эта пропорциональ- ность должна иметь вид 2 33 3 r Kλ  . Это также можно утверждать исходя из следующих соображений: релак- сационная константа 33 rλ определяется вероятностью процессов рассеяния спиновых волн друг на друге, обус- ловленных энергией анизотропии 2 21 32 x yK M M− . По- скольку вероятность процессов рассеяния спиновых волн пропорциональна квадрату матричного элемента энергии взаимодействия, то релаксационная константа 2 33 3 r Kλ  . Аналогичные соображения можно привести при анализе релаксационной константы 11 rλ . Эта кон- станта равна нулю в обменном приближении, когда все константы анизотропии равны нулю, в результате 2 11 1 r Kλ  . 1288 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 12 Феноменологическая теория релаксации намагниченности 1.5. Спектр спиновых волн кубического ферромагнетика Сегодня активно изучается широкий круг систем, в которых обменное взаимодействие может играть су- щественную роль в затухании колебаний магнитного момента. Один из примеров таких систем — материа- лы с эффектом памяти формы, в которых обменное взаимодействие может быть достаточно большим за счет наличия специфических неоднородностей, так называемых двойниковых структур [14]. Наиболее по- пулярный представитель таких материалов — сплав NiMnGa, имеющий кубическую симметрию. Приведем результаты для законов дисперсии ферромагнетиков кубической симметрии, рассчитанных с помощью предложенной модели. Рассмотрим кубический ферромагнетик в отсутст- вие внешнего магнитного поля и размагничивающих полей. Плотность энергии магнитной анизотропии в случае кубической симметрии имеет вид [5]: 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1( ) = ( ) 2 1 . 2 a i x y x z y z x y z f M K M M M M M M K M M M − + + − − (1.58) Такой симметрии будут отвечать релаксационные тен- зоры rλ и ex ikλ вида (1.25), а соответствующее им ре- лаксационное слагаемое имеет вид [10]: 2 eff eff ex 2= r ix ∂ λ −λ ∂ HR H . (1.59) Минимизируя полную энергию кубического ферро- магнетика, легко показать, что в основных состояниях азимутальный угол ϕ и полярный угол θ магнитного момента могут принимать значения: 0 , / 2±π , / 4±π , 3 / 4± π . В кубическом ферромагнетике направления вдоль граней решетки эквивалентны между собой, как и направления вдоль диагоналей решетки. Поэтому для простоты рассмотрим случай, когда = 0ϕ , а угол θ при этом принимает значения 0 и / 4π . 1. Фаза, для которой = 0ϕ , = 0θ , 2 2 0=M M . Усло- вие устойчивости для данного состояния имеет вид: 1 < 0K . Линеаризуя уравнение (1.12) по малым отклонени- ям m от абсолютного значения магнитного момента и переходя к компонентам Фурье для этих отклонений, получаем закон дисперсии спиновых волн с учетом их затухания: ex 2 0= ( )r SW i k Mω − λ + λ Ω± γ Ω , (1.60) где 2 2 1 0= k K MΩ α − . Условие существования спиновых волн \|Im ( )/Re ( ) \| << 1SW SWω ω выполняется, когда релаксационные константы rλ и exλ малы по сравне- нию с характерной частотой ферромагнетика 0Mγ . Используя релаксационное слагаемое в форме (1.59) и учитывая продольную магнитную восприимчивость, из уравнения Ландау–Лифшица (1.12) можно получить также и частоту колебаний абсолютного значения маг- нитного момента: ex 2 2 1= ( )r M i k k  ω − λ + λ α + χ  , (1.61) а релаксация величины магнитного момента определя- ется формулой (1.46). 2. Фаза, для которой = 0ϕ , = /4θ π , 2 2 0M M= × 2 1 1 0[1 ( 2 /2)]K M −× + χ . Условие устойчивости для дан- ного состояния имеет вид: 1 > 0K , 2 1 2 0( )/2 < 0K K M+ . Закон дисперсии спиновых волн с учетом их зату- хания в этом случае имеет следующий вид: ex 2 1 2 2 2 ex 2 2 0 1 2 1 2 = ( )( ) 2 1 4 [( )( )] 2 r SW r i k M k ω − λ + λ Ω +Ω ± ± γ Ω Ω − λ + λ Ω −Ω , (1.62) где 2 2 1 1 0= (1/ 2 2 / 4)k K MΩ α + + , 2 2 2 2 1 0 2 0= (1 2 / 4) / 4k K M K MΩ α − − − . Частота колебаний абсолютного значения магнит- ного момента в этом основном состоянии кубического ферромагнетика описывается выражением 2 ex 2 2 1 03(2 2) 1= ( ) 4 r M K M i k k  − ω − λ + λ α − +  χ  . (1.63) Релаксация величины магнитного момента опреде- ляется формулой 2 2 0 02 1 0 ( ) = 2 ( ,0)exp [ / ( )] 1 2 /2 M MM t M m k t k K M + − τ + χ . (1.64) 1.6. Ферромагнетики: обсуждения и выводы Обычно принято рассматривать спиновые волны в условиях их малого затухания. При феноменологичес- ком рассмотрении спиновых волн этот случай описыва- ется малыми релаксационными константами 0<< Mλ γ . В этом приближении, как показано в настоящем обзо- ре, можно предъявить вариант последовательного опи- сания высокочастотных и релаксационных свойств ферромагнетика. Системы с вырожденным основным состоянием требуют особого рассмотрения. Общепринятый метод описания релаксационных процессов, восходящий к работе Ландау и Лифшица [1], приводит к выводу об исчезновении однородных колебаний намагниченно- сти после перехода из фазы типа «легкая ось» в фазу типа «легкая плоскость» в одноосном ферромагнетике Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 12 1289 В.Г. Барьяхтар, А.Г. Данилевич даже при выполнении условия 0<< Mλ γ , точнее, по- сле такого перехода спиновые волны в фазе типа «лег- кая плоскость» становятся сильно затухающими вол- нами. Такой же результат получается и для состояния «угловая фаза». Другими словами, имеется следующий парадокс. В данном кристалле спиновые волны суще- ствуют в фазе «легкая ось» и исчезают (становятся релаксационными модами) в фазе «легкая плоскость» и «угловая фаза». Это означает, что использование для описания затухания спиновых волн релаксационного слагаемого в форме Ландау–Лифшица или Гильберта в отдельных случаях оказывается невозможным. Проти- воречия возникают при рассмотрении ферромагнети- ков с высокой симметрией (обменное приближение, одноосный ферромагнетик), где имеются вырожден- ные основные состояния. Это связано с тем обстоя- тельством, что релаксационные слагаемые в форме (1.13) или (1.14) построены без учета симметрии кри- сталла. Прямое использование соображений симмет- рии при построении диссипативной функции не дает решения отмеченного парадокса. Только привлечение законов сохранения полных компонент намагниченно- сти позволило сформулировать те требования к дисси- пативной функции, которые решили отмеченный пара- докс. Построение диссипативной функции по методу, предложенному в работах [9,10] и изложенному в дан- ном обзоре, дает верные результаты и приводит нас к выводу, что затухание спиновых волн не накладывает никакого ограничения на теорию Ландау для описания спин-ориентационных переходов. Использование предложенной авторами диссипа- тивной функции позволяет описывать затухание вели- чины магнитного момента, что было невозможно при использовании релаксационных слагаемых в форме Ландау–Лифшица или Гильберта. Сравнение времен релаксации величины намагниченности ( )M kτ и ре- лаксации спиновых волн ( ) = 1/ Im ( )SW SWk iτ ω пока- зывает, что последнее значительно больше: ( ) / ( ) (1/ ) >> 1.SW Mk kτ τ ≈ χ Это неравенство означает, что релаксация в ферро- магнетике имеет двухступенчатый характер. На пер- вом быстром этапе за счет обменного взаимодействия устанавливается равновесное распределение намагни- ченности по величине. Этот процесс описывается фор- мулами (1.39), (1.46) и (1.64). На втором — медленном этапе релаксации, происходит прецессия намагничен- ности вокруг ее равновесного значения с частотой спиновых волн и затухание амплитуды спиновых волн со временем релаксации ( )SW kτ . Изложенные сообра- жения о двухступенчатом характере процесса релакса- ции в ферромагнетике справедливы для любых основ- ных состояний ферромагнетика. Рассмотрение ферромагнетика с тетрагональной симметрией имеет большой методический интерес. На этом примере показана связь анизотропии магнетика с видом релаксационного слагаемого. Общепринятая градация констант магнитной анизотропии и понима- ние зависимости от них релаксационных констант 2 33 3( )r Kλ  позволяет конкретизировать общие идеи Н.Н. Боголюбова о квазисредних [15] применительно к описанию спектров и затуханий спиновых волн в сис- темах с непрерывным параметром, описывающим вы- рожденный вакуум. Рецепт расчета этих величин та- ков. Выбираем магнитную анизотропию так, чтобы полностью снять вырождение основного состояния, характерного для обменного взаимодействия. Строим диссипативную функцию, соответствующую симмет- рии спинового гамильтониана и решетки кристалла. Рассчитываем спектры и затухания спиновых волн для возможных фаз ферромагнетика. В полученных фор- мулах при фиксированном волновом векторе k пере- ходим к модели одноосного кристалла ( 3 0K → ), при этом вместе с 3K обращается в нуль и релаксационная константа 33 rλ . Переход к обменной модели получаем, если 1 0K → , при этом 11 rλ также обращается в нуль. Полученные при такой процедуре спектры и затухания спиновых волн удовлетворяют условию существова- ния слабозатухающих спиновых волн во всех возмож- ных фазах ферромагнетика, включая фазы с вырож- денным основным состоянием. 2. Затухание спиновых волн в ферритах Рассмотрим теперь магнитоупорядоченные кри- сталлы, имеющие несколько магнитных подрешеток, а именно ферриты. В последние годы сформировалась новая и перспективная область физики магнетизма, базирующаяся на возможности манипулирования на- магниченностью магнетиков с помощью фемтосекунд- ных лазерных импульсов [16]. Эта область получила название фемтомагнетизм [17], в ее рамках получено много интересных результатов. Недавно для ферри- магнетиков (конкретно, сплава редкоземельных и пе- реходных металлов GdFeCo ) было обнаружено сверх- быстрое (за время порядка нескольких пикосекунд) изменение направления намагниченностей подрешеток под действием лазерного импульса с длительностью меньше 100 фс [18]. Результат работы [18] оказался неожиданным и достаточно необычным, он характерен только для ферримагнетиков. Установлено, что эффект переориентации не связан с поляризацией света и обу- словлен только предельно коротким (но сильным, с максимальным значением температуры выше точки Кюри) нагревом образца [18] (см. новый подход к этой проблеме, основанный на анализе электронных про- цессов при лазерном возбуждении металла [19]). Эф- фект обнаружен как для сплошных пленок, так и для 1290 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 12 Феноменологическая теория релаксации намагниченности микрочастиц [20] и наночастиц [21], для материалов с точкой компенсации и в отсутствие ее [20]. Микроско- пическая причина эффекта переориентации пока не вполне ясна. Установлено только, что в формировании эффекта существенную роль играет изменение моду- лей магнитных моментов подрешеток 1 1= \| \|S S и 2 2= \| \|S S [20,22]. Иными словами, для описания эф- фекта существенна чисто продольная эволюция маг- нитных моментов подрешеток. Такая продольная ди- намика в принципе отсутствует для классического уравнения Ландау–Лифшица [1], так как даже при уче- те стандартных релаксационных слагаемых типа Лан- дау–Лифшица–Гильберта [1,18] эти уравнения сохра- няют модуль намагниченности. Ранее было показано, что продольная эволюция спинов естественным образом возникает при построе- нии общей картины динамики намагниченности фер- ромагнетиков [9] и антиферромагнетиков [23]. В пред- ложенной модели особую роль играет прямое влияние обменного взаимодействия на эволюцию спинов. При- нимая во внимание симметрию обменного взаимодей- ствия, оно не может приводить к изменению полного спина системы. В силу этого обстоятельства вклад та- кого взаимодействия в стандартную поперечную спи- новую динамику доминирует только в случае, когда стандартная релятивистская релаксация слабая [24]. Предложенная в [9,23] феноменологическая концепция обменной релаксации оказалась наиболее адекватным инструментом для описания сверхбыстрой динамики спина и была использована в работе [22] для качест- венного описания данных эксперимента. Однако от- сутствие развития этого подхода для ферримагнетика сдерживает количественное описание эффектов про- дольного перемагничивания. 2.1. Квазиравновесный термодинамический потенциал феррита Будем исходить из следующего выражения для ква- зиравновесного термодинамического потенциала двух- подрешеточного феррита: ex1 ex2= ( )aF f f f dV+ +∫ , (2.1) которое включает плотность энергии однородного об- менного взаимодействия: 2 2 2 2 2 211 22 ex1 1 01 2 02 12 1 2= ( ) ( ) 4 4 J Jf S S J− + − +S S S S , (2.2) плотность энергии неоднородного обменного взаимо- действия: 2 2 11 1 22 2 ex2 = 2 2i i f x x    α ∂ α ∂ +   ∂ ∂    S S (2.3) и плотность энергии анизотропии af . Коэффициенты 11J и 22J определяют интенсивность обменного взаимо- действия внутри первой и второй подрешеток соответ- ственно, 12J дает взаимодействие между подрешетка- ми, 11α , 22α — константы неоднородного обменного взаимодействия. Рассмотрим ферримагнетик одноос- ной анизотропии с константами магнитной анизо- тропии 1 > 0K и 2 > 0K для подрешеток, легкую ось выберем вдоль оси 0z , тогда плотность энергии анизо- тропии будет иметь вид 2 2 1 1 2 2 1 1= 2 2a z zf K S K S− − . (2.4) Фактически, вклад в термодинамический потенци- ал, обусловленный обменным взаимодействием внутри подрешетки, выписан в виде разложения Ландау, вели- чины 01S и 02S определяют равновесное значение спина при данной температуре без учета взаимодей- ствия подрешеток. Соотношения между константами, входящими в энергию, даются неравенствами 11 22 12 1 2, , >>J J J K K . Зная квазиравновесный термодинамический потен- циал, можно найти основное состояние феррита и ве- личины намагниченности феррита в основном состоя- нии. Они определяются формулами 1 1 11 1 12 2 2 2 22 2 12 1 = 0 , = 0 , K S J S X J S K S J S Y J S + + + + (2.5) где введены обозначения 22 01 1X S S≡ − , 22 02 2Y S S≡ − , (2.6) через 1 > 0S и 2 > 0S обозначены значения спино- вых моментов подрешеток в основном состоянии (по- скольку 12 > 0J , спины подрешеток антипараллельны и средние значения 1S и 2S направлены «вверх» и «вниз» соответственно). Для определенности будем считать, что 1 2>S S . 2.2. Спиновая динамика и диссипативная функция феррита Для описания динамики намагниченности ферри- магнетика с учетом процессов релаксации и затухания спиновых волн будем исходить из уравнения Ландау– Лифшица (1.12), в случае двухподрешеточного ферри- та для спинов подрешеток имеем eff1 1 1 1= [ , ] S t ∂ + ∂ S H R , eff2 2 2 2= [ , ] t ∂ + ∂ S S H R , (2.7) где eff 1H и eff 2H — эффективные магнитные поля для подрешеток: eff eff 1 2 1 2 = , = ,F Fδ δ − − δ δ H H S S 1R и 2R — соответствующие диссипативные слагае- мые. Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 12 1291 В.Г. Барьяхтар, А.Г. Данилевич Следуя идеям, предложенным в работах [9,23], дис- сипативную функцию необходимо строить исходя из выражений (1.17) и (1.18), тогда релаксационные сла- гаемые будут равны вариации диссипативной функции по соответствующему эффективному полю: 1 eff 1 = Qδ δ R H , 2 eff 2 = Qδ δ R H . (2.8) Диссипативную функцию следует строить как квад- ратичную функцию по эффективным магнитным по- лям eff 1H и eff 2H таким образом, чтобы она была инва- риантной относительно преобразований симметрии феррита. Это позволяет представить структуру слагае- мых, связанных с тем или иным взаимодействием. То- гда плотность диссипативной функции примет вид ex ex eff eff 1 2 1 2 1 1 2 2 1= = ( ) 2 r rq q q q q+ + + +R H R H . (2.9) Первое слагаемое описывает вклад однородного об- менного взаимодействия и равно, с учетом сохранения полного магнитного момента феррита: ex eff eff 2 1 1 2 1= ( ) 2 q Λ −H H . (2.10) Это слагаемое отсутствует в случае ферромагнетиков, смысл остальных слагаемых такой же, как для ферро- магнетиков. Вклад неоднородного обмена определяет слагаемое 2 2eff eff ex ex ex1 2 2 1 2 1= 2 i i q x x     ∂ ∂ λ + λ       ∂ ∂     H H , (2.11) для линейной спиновой волны с волновым вектором k оно равно ex ex 2 eff 2 ex 2 eff 2 2 1 1 2 2 1= ( ) ( ) 2 q k k λ + λ H H . (2.12) Слагаемые 1 rq и 2 rq определяются присутствием чисто одноосной и ромбической анизотропии: eff 2 eff 2 eff 2 eff 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1= ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 r r r x y x yq H H H H   Λ + + Λ +    , (2.13) eff 2 eff 2 2 3 1 2 1= ( ) ( ) 2 r r z zq H H Λ +  . (2.14) Мы ограничились здесь линейными членами по эф- фективному полю для диссипативной функции. На- пример, не выписаны инварианты типа eff eff 1 2x xH H , eff eff 1 2z zH H и т.д. Учет более высоких инвариантов по effH качественно не меняет ответов, но значительно «удлиняет» формулы для релятивистских вкладов в затухание. Нашей главной задачей является анализ однородного обменного вклада, уникального для фер- римагнетика. По аналогии с тем, как это было сделано для фер- ромагнетика, проведем учет законов сохранения и для феррита. Обменная симметрия спиновой динамики означает, что при однородных поворотах намагничен- ности и вектора антиферромагнетизма феррита его квазиравновесный потенциал не изменяется. С этой симметрией связан закон сохранения полной намагни- ченности магнетика [23]. Используя уравнения движе- ния (1.12) при условии, что = 0af , нетрудно убедить- ся, что дифференциальная форма закона сохранения для феррита в чисто обменном приближении имеет вид dyn dis 1 2 ( )( ) = 0kk kt x ∂ Π +Π∂ + + ∂ ∂ S S , (2.15) где векторы в спиновом и координатном пространст- вах преобразуются независимо. Динамическая и дис- сипативная части потока намагниченности равны: dyn 1 2 11 1 22 2= , ,k k kx x    ∂ ∂ α +α   ∂ ∂    S SS S , (2.16) eff eff dis ex ex1 2 1 2=k k kx x ∂ ∂ λ + λ ∂ ∂ H H  . (2.17) Важно подчеркнуть, что единственный вклад в dis k обусловлен неоднородным обменом и фактически та- кой же, как и для ферромагнетика. Однородная обмен- ная диссипация с константой Λ , специфическая только для ферримагнетика, не изменяет вида dis k . При наличии одноосной анизотропии существует только симметрия относительно однородных поворо- тов вокруг оси анизотропии и сохраняется соответст- вующая проекция полного момента 1 2z zS S+ , при этом дифференциальная форма закона сохранения для фер- рита имеет вид dyn dis 1 2 ( )( ) = 0zkzkz z k S S t x ∂ Π +Π∂ + + ∂ ∂ . (2.18) 2.3. Спектр спиновых волн двухподрешеточного феррита Для расчета спектров и затухания следует исходить из линеаризованных уравнений движения магнитного момента (2.7) с учетом диссипативных слагаемых. Бу- дем рассматривать малые отклонения от равновесных значений спиновых моментов подрешеток: 1 1 1= zS +S e s , 2 2 2= zS − +S e s . Линеаризуя уравне- ния (2.7) по величинам 1s и 2s , перейдем к компонен- там Фурье для этих отклонений exp ( ( ))is i t− ω −kr . Выпишем вначале уравнения без учета диссипации. Удобно расписать сумму и разность уравнений для добавок в компонентах вдоль осей в виде 1292 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 12 Феноменологическая теория релаксации намагниченности 2 2 1 11 1 1 1 2 22 2 2 2 2 2 1 11 1 1 1 2 22 2 2 2 1 2 ( ) ( ) = 0, ( ) ( ) = 0, = 0, x y x y y x y x z z i s k K S s i s k K S s i s k K S s i s k K S s i s i s  ω − α + + ω + α +   ω + α + + ω − α +  ω + ω (2.19) 2 2 1 11 1 1 12 2 1 2 22 2 2 12 1 2 2 2 1 11 1 1 12 2 1 2 22 2 2 12 1 2 1 2 ( ) 2 ( ) 2 = 0, ( ) 2 ( ) 2 = 0, = 0. x y x y y x y x z z i s k K S J S s i s k K S J S s i s k K S J S s i s k K S J S s i s i s     ω − α + + − ω − α + +        ω + α + + − ω + α + +     ω − ω  (2.20) Обратим внимание, что приведенная система шести уравнений распадается на три пары независимых уравне- ний для величин 1 1 1[ ]= x ys s is+ + , 2 2 2[ ] = x ys s is+ + ; 1 1 1[ ] = x ys s is− − , 2 2 2[ ] = x ys s is− − ; 1zs , 2zs . Первая пара уравнений для величин 1[ ]s + и 2[ ]s + имеет вид 2 2 1 11 1 1 2 22 2 2 2 2 1 11 1 1 12 2 2 22 2 2 12 1 [ ] ( ) [ ] ( ) = 0, [ ] ( ) 2 [ ] ( ) 2 = 0. is k K S is k K S is k K S J S is k K S J S    + ω+ α + + + ω− α +       + ω+ α + + − + ω− α + −    (2.21) Вторая пара уравнений для величин 1[ ]s − и 2[ ]s − отличается от уравнений (2.21) заменой знака у частоты: ω→ −ω . Уравнения для 1zs и 2zs остаются такими же, как приведены выше в (2.19) и (2.20). Это обстоятельство не является случайным, а обусловлено симметрией кристалла. Для одноосного кристалла при повороте вокруг оси симметрии на угол ϕ величины 1[ ]s + и 2[ ]s + преобразуются по закону 1,2[ ] exp( )s i+ ϕ , а величины 1[ ]s − и 2[ ]s − преобразуются по закону 1,2[ ] exp( )s i− − ϕ , величины 1zs и 2zs остаются неизменны- ми. Эти же соображения сохраняются и при учете релаксационных слагаемых, так как они строились в соответст- вии с симметрией кристалла. Линеаризованная система уравнений описывает четыре типа собственных движений спиновой системы ферри- магнетика. Два из них чисто диссипативные и определяют релаксацию z -й проекций суммарного спина и вектора антиферромагнетизма, а две имеют конечную частоту, они описывают частоты собственных спиновых волн. При- ведем уравнения для спектров и затуханий спиновых волн и времен релаксации. Система уравнений (2.21) при учете диссипации приводит к детерминанту следующего вида: ac opt( )( ) ( ) = 0R+ω+Ω ω−Ω + ω , (2.22) где введены обозначения: 212 1 2 ac 1 2 1 2 1 2 ac 2 1 1 2 1 2 ac 1 2 ( ) = {2 ( ) ( ) [( ) ( ) )] [( ) ( ) )]} 2 iJR S S S S S S S S S S S S S S+ ω − Λ − ω+Ω +Λ + ω− − Ω +Λ + ω+ − Ω , (2.23) 2 22 2 ac 11 1 1 22 2 2 1 2 2 2 2 opt 11 22 1 2 1 2 1 2 12 1 2 1= [( ) ( ) ] , 1= [( ) ( ) ] , k K S k K S S S k k K K S S S S J S S Ω α + + α + − Ω α +α + + + − − (2.24) а также ex 2 ex 2 1 1 1 2 2 2= ; =r rk kΛ Λ + λ Λ Λ + λ . (2.25) ______________________________________________ Легко убедиться, что уравнения для величин 1[ ]s − и 2[ ]s − приводят к аналогичным результатам и дают выражение, которое описывает симметричные моды: ac opt( )( ) ( ) = 0R+ω−Ω ω+Ω + −ω . (2.26) Из уравнений (2.22) и (2.26) легко найти закон дис- персии для акустической (не имеет активации в об- менном приближении при 0k → ) спиновой волны с учетом ее затухания acΓ : ac ac= iω ±Ω + Γ , (2.27) где ac 1 2 ac 1 2 ( ) = S S Ω Λ +Λ Γ − − . (2.28) Аналогичным образом можно найти закон диспер- сии для оптической спиновой волны с учетом ее зату- хания optΓ : Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 12 1293 В.Г. Барьяхтар, А.Г. Данилевич opt opt= iω ±Ω + Γ , (2.29) где opt opt 1 2 1 2 = ( )S S S S Ω Γ − Λ − . (2.30) При рассмотрении системы уравнений для величин 1zs и 2zs , получаемой из (2.19) и (2.20) при учете дис- сипации, можно описать процесс продольной релакса- ции в ферримагнетике, т.е. описать затухание компо- ненты 1 2=z z zM S S+ вектора намагниченности 1 2= +M S S феррита и компоненты 1 2=z z zL S S− век- тора антиферромагнетизма 1 2= −L S S . 2 2 2 ex ex 1 2 11 22 1 2 3 2 2 1 11 2 22 2 2 2 1 2 12 1 11 2 22 1 2 2 [ ( ) 2 ] = , ( ) = 2 ( ) . r M L S S J J k S J S J S S J S J S J S S λ + λ + Λ Γ + − Γ Λ + + Λ (2.31) Действительные части законов дисперсии колебаний абсолютных значений zM и zL равны нулю, т.е. их затухание определяется чисто мнимыми собственными частотами и происходит по закону 1 2 1 2 (0)exp [ / ( )] , (0)exp [ / ( )] , z z z z M z z z L M S S M t k L S S L t k = + + δ − τ = − + δ − τ (2.32) где (0)Lδ и (0)Mδ — начальные отклонения длин векторов антиферромагнетизма L и суммарного спина M от их равновесных значений, которые предполага- ются малыми, ( ) = 1/L Lk iτ Γ и ( ) = 1/M Mk iτ Γ — вре- мена релаксации величин zL и zM соответственно. Отметим, что эти колебания, так же, как и в случае ферромагнетика, являются абсолютно затухающими. 2.4. Ферриты: обсуждения и выводы Из формул (2.26)–(2.29) следует, что в изотропном приближении, когда 1 2= = 0K K и 1 2= = 0r rΛ Λ , значения частот и затуханий переходят в известные результаты: 2 4, ,k kΩ ≈ α Γ ≈ полученные Блохом [6] и Дайсоном [25] для простого ферромагнетика в рамках микроскопической теории и следующие из последовательной феноменологической теории обменной релаксации, развитой для ферромаг- нетиков [9]. Вывод об аномально медленной релаксации акустических волн связан с изотропным приближением и проявлением вырожденности основного состояния феррита. Напомним, что в изотропном состоянии энер- гии всех однородных состояний ферримагнетика с произвольной ориентацией вектора намагниченности одинаковы. Это и проявляется в поведении времени затухания акустических спиновых волн: 41/ kτ → ∞ при 0k → . Как легко убедиться из (2.19) и (2.20), дисперсион- ное уравнение для двухподрешеточного феррита в без- диссипативном приближении имеет вид: 2 2 2 2 2 ac opt( )( ) = 0.ω ω −Ω ω −Ω Двукратно вырожденная частота 1,2 = 0ω соответ- ствует сохраняющимся величинам 1zs и 2zs в бездис- сипативном приближении для одноосного феррита. В то время как при учете диссипации можно говорить о быстрой релаксации этих компонент, определяющейся выражениями (2.31). Для релаксации полного спина ответ качественно совпадает с результатами для фер- ромагнетика. Релаксация вектора намагниченности обменно усилена (см. (2.31)), но определяется констан- той неоднородного обменного взаимодействия. В об- щем, эти два результата ожидаемы. Общепринято, что для феррита вдали от точки компенсации низкочастот- ная динамика не чувствительна к подрешеточной структуре и такая же, как для ферромагнетика (область точки компенсации, в которой 1 2S S→ , требует особого рассмотрения [26]). Оптическая частота определяется обменным инте- гралом взаимодействия между подрешетками феррита 12J . Обратим внимание, что затухание оптической спиновой волны велико и определяется однородной обменной релаксационной константой Λ . Этот резуль- тат соответствует результатам микроскопического рас- чета, в котором для различных моделей всегда получа- ется множитель 2 1 2( )S S− и температурная зави- симость 4TΓ [27]. Важно подчеркнуть, что эти особенности имеют место для существенно различных систем; например, для железо-иттриевого феррита-гра- ната, в котором две подрешетки образованы атомами железа и имеют существенные обменные взаимодей- ствия [27], и для феррита-граната гадолиния, в котором обменное взаимодействие между атомами гадолиния пренебрежимо мало [27]. В силу этого можно ожидать, что 4TΛ  . Это предположение было бы интересно проверить экспериментально. Итак, анализ формул для затуханий (2.28), (2.30), (2.31) приводит к выводу, что самый быстрый процесс — релаксация вектора антиферромагнетизма, следую- щий процесс — релаксация оптических спиновых волн, затем следует процесс релаксации вектора намагни- ченности, и наиболее медленным является процесс релаксации акустических спиновых волн. Наибольший интерес представляют результаты расчета релаксации вектора антиферромагнетизма L . Из формул (2.31) и (2.32) следует, что релаксация длины вектора L усиле- на за счет внутриподрешеточных обменных интегра- лов 11J и 22J и определяется обменной релаксацион- ной константой Λ . Именно этот факт и приводит к 1294 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 12 Феноменологическая теория релаксации намагниченности эффектам изменения знака намагниченности, которые наблюдались в работах [18,20]. Система быстро эво- люционирует вдоль линии 1 2 = const+S S , попадая при этом в сильно равновесное состояние (см. качествен- ный анализ в работе [22]). Особо важно, что и затуха- ние оптических спиновых волн, и релаксация длины вектора антиферромагнетизма L определяются одной и той же константой Λ , что позволяет, во-первых, на- ходить эту константу из независимых измерений, во- вторых, использовать известные микроскопические расчеты затухания магнонов для оценки времени ре- лаксации длины вектора антиферромагнетизма L . 3. Диссипативная функция парамагнетика Выше были изложены методы построения диссипа- тивной функции для магнитоупорядоченных систем — ферромагнетиков и ферритов. Этот метод построения диссипативной функции был распространен на анти- ферромагнитные кристаллы [23] и парамагнетики. Приведем здесь результаты для парамагнетика [10]. Рассмотрим одноосный парамагнетик во внешнем магнитном поле. Квазиравновесный термодинамиче- ский потенциал F парамагнетика с одноосной анизо- тропией имеет вид: 2 2 0 1 1= 2 2 zF K M dV  − − χ  ∫ M MH . (3.1) Здесь M — намагниченность парамагнетика, χ — его магнитная восприимчивость, K — константа анизо- тропии, 0H — внешнее магнитное поле. Диссипативную функцию для парамагнетика с од- ноосной анизотропией, исходя из соображений, пред- ставленных выше, можно записать в виде [10]: eff 2 eff 2 eff 2 11 33 1 1= ( ) ( ) ( ) 2 2x y zq H H H λ + + λ  , (3.2) где 11λ , 33λ — релаксационные постоянные для пара- магнетика, effH — эффективное магнитное поле, равное eff 0 1= = z z F K Mδ − + − δ χ H H e M M . (3.3) При написании диссипативной функции для парамаг- нетика необходимо учитывать, что 0≈ χM H , и отбра- сывать все слагаемые второго порядка по малой пара- магнитной восприимчивости χ. Соответствующее релаксационное слагаемое в уравнении движения намагниченности равно [10]: eff eff eff 11 33= ( )x x y y z zH H Hλ + + λR e e e . (3.4) Если к парамагнетику приложено внешнее магнитное поле 0H , то основным состоянием для него является состояние с отличной от нуля намагниченностью. В этом случае уравнение движения намагниченности состоит из динамической и релаксационной частей: eff eff eff eff 11 33= [ , ] ( )x x y y z zH H H t ∂ −γ + λ + + λ ∂ M M H e e e . (3.5) В основном состоянии eff = 0H . Отсюда для равновес- ного значения намагниченности следует: 0(1 ) =K−χ χM H . (3.6) Используя формулы (3.3), (3.6), легко представить уравнение движения намагниченности (3.5) в виде: eff 0 1 2 1 1= [ , ] ( ) ( ) ,z z x x y yM M M M t T T ∂ −γ − − − + ∂ M M H e e e (3.7) где 1 33= / (1 )T Kχ λ −χ , 2 11= /T χ λ . Рассмотрим теперь парамагнетик в отсутствие внешнего магнитного поля. Как хорошо известно, при этом намагниченность парамагнетика отсутствует. Это означает, что если в результате флуктуаций локально в объеме возникнет намагниченность, то она будет ре- лаксировать к своему нулевому значению. В этом слу- чае релаксация флуктуаций описывается с помощью уравнения Онсагера. При этом за обобщенные потоки будем рассматривать производные от компонент на- магниченности по времени, а в качестве обобщенных сил возьмем компоненты эффективного магнитного поля: eff= ik kH t ∂ λ ∂ M , (3.8) здесь ikλ — кинетические коэффициенты. Очевидно, что релаксационному слагаемому в этом уравнении соответствует релятивистская часть диссипативной функции (3.2). Мы опять приходим к уравнению (3.7), но уже без динамической части и с 0 = 0M . Из полученных результатов следует, что изложенный в обзоре метод построения диссипативной функции для парамагнетиков приводит к релаксационному сла- гаемому в форме Блоха [6]. В случае парамагнетика в отсутствие внешнего магнитного поля использование предложенной диссипативной функции приводит к обще- принятому для этого случая уравнению Онсагера. Отметим также, что изложенные в настоящей рабо- те идеи были ранее использованы в гидродинамичес- ком приближении для описания релаксации коллектив- ных колебаний в неупорядоченных и неколлинеарных магнетиках [28]. Это свидетельствует о том, что пред- ложенный подход является общим и позволяет с оди- наковым успехом описывать релаксационные процес- сы как в магнитоупорядоченных кристаллах, так и в неупорядоченных магнитных средах. Авторы благодарят Б.И. Иванова, совместно с кото- рым написан раздел 2. Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 12 1295 В.Г. Барьяхтар, А.Г. Данилевич Приложение. Принцип кинетических коэффициентов Онсагера и уравнение движения намагничения Напомним, что, согласно общей формулировке принципа Онсагера, между потоками и силами суще- ствует соотношение: = ( ) .i ik k Y g X t ∂ ∂ B В этой формуле /iY t∂ ∂ — компоненты обобщенных потоков, kX — компоненты обобщенных сил, ( )ikg B — компоненты матрицы кинетических коэффициен- тов, B — вектор магнитной индукции. Кинетические коэффициенты обладают свойством симметрии: ( ) = ( ).ik kig g −B B Введем вместо кинетических коэффициентов ( )ikg B симметричные и антисимметричные по индексам тен- зоры: 1 1( ) = ( ( ) ( )), ( ) = ( ( ) ( )). 2 2ik ik ki ik ik kig g g gγ − λ +B B B B B B Очевидно, что они также будут симметричны ( ) = ( ), ( ) = ( )ik ik ik ikγ −γ − λ λ −B B B B , ( ) = ( ) ( )ik ik ikg γ + λB B B . В случае ферромагнетика можно приближенно счи- тать, что ≈B M , и представить тензоры ( )ikγ B и ( )ikλ B в виде 2 2( ) ( ) , ( ) = ( ).ik ikl l ik ikM M Mγ = γ ε λ λB B Тогда, полагая в качестве обобщенных потоков изме- нения компонент намагниченности со временем /iM t∂ ∂ и в качестве обобщенных сил — компоненты эффективного магнитного поля eff kH , перепишем урав- нения Онсагера в виде eff 2 eff= [ , ] ( ) ,i i ik k M M H t ∂ −γ + λ ∂ M H где введено обозначение 2( ) = 2 \| \| /BMγ −γ ≈ − µ  . Мы видим, что уравнение Ландау–Лифшица для намагни- ченности (1935 г.) следует из уравнений Онсагера (1931 г.) для случая ферромагнетика, правда, с другим релаксационным слагаемым. Литература 1. L.D. Landau and Е.М. Lifshits, Sov. Phys. 8, 153 (1935). 2. В.В. Еременко, В.Н. Криворучко, Н.М. Лавриненко, Д.А. Яблонский, ФТТ 30, 3605 (1988). 3. В.Г. Барьяхтар, В.В. Еременко, С.А. Звягин, Ю.Г. Паш- кевич, В.В. Пишко, В.Л. Соболев, В.В. Шахов, ЖЭТФ 100, 1983 (1991). 4. Yu.G. Pashkevich, V.A. Blinkin, V.P. Gnezdilov, V.V. Tsa- penko, V.V. Eremenko, P. Lemmens, M. Fischer, M. Grove, G. Guntherodt, L. Degiorgi, P. Wachter, J.M. Tranquada, and D.J. Buttrey, Phys. Rev. Lett. 84, 3919 (2000). 5. А.И. Ахиезер, В.Г. Барьяхтар, С.В. Пелетминский, Спи- новые волны, Наука, Москва (1967). 6. F. Bloch, Z. Phys. 61, 206 (1930); F. Bloch, Z. Phys. 74, 295 (1932). 7. T.L. Gilbert, Phys. Rev. 100, 1243 (1955). 8. V. Kamberskii, Czech. J. Phys. 22, 572 (1972). 9. В.Г. Барьяхтар, ЖЭТФ 87, 1501 (1984); ФТТ 29, 1317 (1987). 10. В.Г. Барьяхтар, А.Г. Данилевич, ФНТ 32, 1010 (2006) [Low Temp. Phys. 32, 768 (2006)]; ФНТ 36, 385 (2010) [Low Temp. Phys. 36, 303 (2010)]. 11. А.Г. Данилевич, УФЖ 51, 668 (2006). 12. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Электродинамика сплошных сред, Наука, Москва (1982). 13. В.Г. Барьяхтар, В.Н. Криворучко, Д.А. Яблонский, Функ- ции Грина в теории магнетизма, Наукова Думка, Киев (1984). 14. V.A. Chernenko, V.A. Lvov, V. Golub, I.R. Aseguinolaza, and J.M. Barandiarán, Phys. Rev. B 84, 054450 (2011). 15. Н.Н. Боголюбов, Квазисредние в задачах статистичес- кой механики, Препр. АН СССР ОИЯИ; Р–1451, Дубна (1963). 16. A. Kirilyuk, A.V. Kimel, and Th. Rasing, Rev. Mod. Phys. 82, 2731 (2010). 17. J.-Y. Bigot, M. Vomir, and E. Beaurepaire, Nature Phys. 5, 515 (2009). 18. I. Radu, K. Vahaplar, C. Stamm, T. Kachel, N. Pontius, H.A. Dürr, T.A. Ostler, J. Barker, R.F.L. Evans, R.W. Chantrell, A. Tsukamoto, A. Itoh, A. Kirilyuk, Th. Rasing, and A.V. Kimel, Nature 472, 205 (2011). 19. M. Battiato, K. Carva, and P.M. Oppeneer, Phys. Rev. Lett. 105, 027203 (2010); M. Battiato, K. Carva, and P.M. Op- peneer, Phys. Rev. B 86, 024404 (2012). 20. T.A. Ostler, J. Barker, R.F.L. Evans, R. Chantrell, U. Atxitia, O. Chubykalo-Fesenko, S. El Moussaoui, L. Le Guyader, E. Mengotti, L.J. Heyderman, F. Nolting, A. Tsukamoto, A. Itoh, D.V. Afanasiev, B.A. Ivanov, A.M. Kalashnikova, K. Vahaplar, J. Mentink, A. Kirilyuk, Th. Rasing, and A.V. Ki- mel, Nature Commun. 3, 666 (2012). 21. L. Le Guyader, S. El Moussaoui, M. Buzzi, R.V. Chopdekar, L.J. Heyderman, A. Tsukamoto, A. Itoh, A. Kirilyuk, Th. Ra- sing, A.V. Kimel, and F. Nolting, Appl. Phys. Lett. 101, 022410 (2012). 22. J.H. Mentink, J. Hellsvik, D.V. Afanasiev, B.A. Ivanov, A. Kirilyuk, A.V. Kimel, O. Eriksson, M.I. Katsnelson, and Th. Rasing, Phys. Rev. Lett. 108, 057202 (2012). 23. В.Г. Барьяхтар, ФНТ 11, 1198 (1985) [Sov. J. Low Temp. Phys. 11, 662 (1985)]; ЖЭТФ 94, 196 (1988). 24. В.Г. Барьяхтар, Б.А. Иванов, Т.К. Соболева, А.Л. Сукс- танский, ЖЭТФ 91, 1454 (1986); V.G. Bar’yakhtar, B.A. Ivanov, A.L. Sukstanskii, and E.Yu. Melekhov, Phys. Rev. B 56, 619 (1997). 25. F. Dyson, Phys. Rev. 102, 1217 (1956). 26. Б.А. Иванов, А.Л. Сукстанский, ЖЭТФ 84, 370 (1983). 1296 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 12 Феноменологическая теория релаксации намагниченности 27. В.Н. Криворучко, Д.А. Яблонский, ЖЭТФ 74, 2268 (1978); ФТТ 21, 1502 (1979). 28. В.Г. Барьяхтар, В.Г. Белых, Т.К. Соболева, ТМФ 77, 311 (1988). The phenomenological theory of magnetization relaxation (Review Article) V.G. Baryakhtar and A.G. Danilevich The results on relaxation in magnetically ordered crystals obtained by the authors are consistently pre- sented in the review. The ideas of the phenomenologi- cal theory of magnetism stated by Landau and Lifshitz are analyzed. A general method of constructing the dissipative function for magnetically ordered systems and for paramagnetic materials is presented. The dis- sipation of both the exchange and the relativistic na- ture is taken into account for the case of magnetically ordered systems. It is determined that to construct dis- sipation function account must be taken of not only the crystal symmetry, but the conservation laws of mag- netization as well. It is shown that in the case of a ferromagnet the ground state of which is characterized by the continuous degeneracy parameter, the Landau– Lifshitz relaxation term gives qualitatively incorrect results (abnormally large attenuation of spin waves). According to the method proposed in the paper the spectra of spin waves and their damping for uniaxial, tetragonal and cubic ferromagnets and for two- sublattice uniaxial ferrites has been calculated and analyzed. It is established that the relaxation of mag- netization vector in ferromagnets is of a two-step na- ture and in ferrites it is a multistage one. In ferrites the most rapid process is the relaxation antiferromagne- tism vector length. It is shown that this relaxation is caused by the exchange interaction between the ferrite sublattices and is reinforced by the exchange interac- tions within the sublattices. The relaxation of the total magnetization of ferrite is much slower and is de- scribed by the inhomogeneous exchange interaction and relativistic interaction, as in the case of a simple ferromagnet. The presented results are in good agree- ment with the recent experimental data. PACS: 76.20.+q General theory of resonances and relaxations; 75.25.+z Spin arrangements in magnetically ordered materials (including neutron and spin- polarized electron studies, synchrotron-source x-ray scattering, etc.). Keywords: ferromagnet, ferrite, paramagnet, spin wave relaxation, dissipative function, dispersion law. Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2013, т. 39, № 12 1297 Введение 1. Затухание спиновых волн в ферромагнетиках 1.1. Квазиравновесный термодинамический потенциал и динамика намагниченности ферромагнетика 1.2. Диссипативная функция ферромагнетика 1.3. Спектр спиновых волн одноосного ферромагнетика 1.4. Спектр спиновых волн тетрагонального ферромагнетика 1.5. Спектр спиновых волн кубического ферромагнетика 1.6. Ферромагнетики: обсуждения и выводы 2. Затухание спиновых волн в ферритах 2.1. Квазиравновесный термодинамический потенциал феррита 2.2. Спиновая динамика и диссипативная функция феррита 2.3. Спектр спиновых волн двухподрешеточного феррита 2.4. Ферриты: обсуждения и выводы 3. Диссипативная функция парамагнетика Приложение.Принцип кинетических коэффициентов Онсагера и уравнение движения намагничения Литература << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Dot Gain 20%) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Error /CompatibilityLevel 1.4 /CompressObjects /Off /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize false /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo true /PreserveFlatness true /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages true /ColorImageMinResolution 300 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages false /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 1200 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages false /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages false /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 1200 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages false /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages false /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages false /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /PDFA1B:2005 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly true /PDFXNoTrimBoxError false /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (sRGB IEC61966-2.1) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHT <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> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /ITA <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> /JPN <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> /KOR <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> /LTH <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> /LVI <FEFF004c006900650074006f006a00690065007400200161006f00730020006900650073007400610074012b006a0075006d00750073002c0020006c0061006900200069007a0076006500690064006f00740075002000410064006f00620065002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e007400750073002c0020006b0075007200690020006900720020006a01010070010100720062006100750064006100200076006100690020006b0075007200690065006d0020006900720020006a01010061007400620069006c00730074002000490053004f0020007300740061006e00640061007200740061006d0020005000440046002f0041002d00310062002c0020006e006f00640072006f01610069006e006f007400200069006c006700730074006f0161007500200065006c0065006b00740072006f006e00690073006b006f00200064006f006b0075006d0065006e0074007500200075007a0067006c00610062010101610061006e0075005c00610072006800690076011301610061006e0075002e00200050006100700069006c00640069006e0066006f0072006d010100630069006a007500200070006100720020005000440046002f00410020007300740061006e00640061007200740061006d00200061007400620069006c00730074006f01610075002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e0074007500200069007a00760065006900640069002c0020006c016b0064007a0075002c00200073006b006100740069006500740020004100630072006f0062006100740020006c006900650074006f00740101006a006100200072006f006b00610073006700720101006d006100740101002e00200049007a0076006500690064006f0074006f0073002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e00740075007300200076006100720020006100740076011300720074002c00200069007a006d0061006e0074006f006a006f0074002000700072006f006700720061006d006d00750020004100630072006f00620061007400200075006e002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200076006100690020006a00610075006e0101006b0075002000760065007200730069006a0075002e> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-bestanden te maken die moeten worden gecontroleerd of die moeten voldoen aan PDF/A-1b, een ISO-standaard voor de langetermijnopslag \(archivering\) van elektronische documenten. Zie voor meer informatie over het maken van PDF/A-compatibele PDF-documenten de Acrobat-gebruikershandleiding. PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /SVE <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se these settings to create Adobe PDF documents that are to be checked or must conform to PDF/A-1b, an ISO standard for the long-term preservation \(archival\) of electronic documents. For more information on creating PDF/A compliant PDF documents, please refer to the Acrobat User Guide. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) >> >> setdistillerparams << /HWResolution [2400 2400] /PageSize [612.000 792.000] >> setpagedevice

Феноменологическая теория релаксации намагниченности (Обзор)

Репозитарії

Схожі ресурси