Classical relativistic spin particles

Relativistic spin particles are approached from the stand point of Hamiltonian actions of Poincare group on itself. The several possible solutions are classified and realizations are given in terms of Dirac’s constraints formalism. Релятивістичні частинки зі спіном розглядаються з точки зору г...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :Condensed Matter Physics
Дата:1998
Автор: Llosa, J.
Формат: Стаття
Мова:English
Опубліковано: Інститут фізики конденсованих систем НАН України 1998
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/118968
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Classical relativistic spin particles / J. Llosa // Condensed Matter Physics. — 1998. — Т. 1, № 3(15). — С. 439-452. — Бібліогр.: 6 назв. — англ.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-118968
record_format dspace
spelling Llosa, J.
2017-06-01T17:58:39Z
2017-06-01T17:58:39Z
1998
Classical relativistic spin particles / J. Llosa // Condensed Matter Physics. — 1998. — Т. 1, № 3(15). — С. 439-452. — Бібліогр.: 6 назв. — англ.
1607-324X
DOI:10.5488/CMP.1.3.439
PACS: 03.20, 03.30
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/118968
Relativistic spin particles are approached from the stand point of Hamiltonian actions of Poincare group on itself. The several possible solutions are classified and realizations are given in terms of Dirac’s constraints formalism.
Релятивістичні частинки зі спіном розглядаються з точки зору гамільтонової дії групи Пуанкаре на себе. Прокласифіковано низку можливих розв’язків та побудовано реалізації у термінах Діракового формалізму з в’язями.
en
Інститут фізики конденсованих систем НАН України
Condensed Matter Physics
Classical relativistic spin particles
Класичні релятивістичні частинки зі спіном
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Classical relativistic spin particles
spellingShingle Classical relativistic spin particles
Llosa, J.
title_short Classical relativistic spin particles
title_full Classical relativistic spin particles
title_fullStr Classical relativistic spin particles
title_full_unstemmed Classical relativistic spin particles
title_sort classical relativistic spin particles
author Llosa, J.
author_facet Llosa, J.
publishDate 1998
language English
container_title Condensed Matter Physics
publisher Інститут фізики конденсованих систем НАН України
format Article
title_alt Класичні релятивістичні частинки зі спіном
description Relativistic spin particles are approached from the stand point of Hamiltonian actions of Poincare group on itself. The several possible solutions are classified and realizations are given in terms of Dirac’s constraints formalism. Релятивістичні частинки зі спіном розглядаються з точки зору гамільтонової дії групи Пуанкаре на себе. Прокласифіковано низку можливих розв’язків та побудовано реалізації у термінах Діракового формалізму з в’язями.
issn 1607-324X
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/118968
citation_txt Classical relativistic spin particles / J. Llosa // Condensed Matter Physics. — 1998. — Т. 1, № 3(15). — С. 439-452. — Бібліогр.: 6 назв. — англ.
work_keys_str_mv AT llosaj classicalrelativisticspinparticles
AT llosaj klasičnírelâtivístičníčastinkizíspínom
first_indexed 2025-11-24T02:23:56Z
last_indexed 2025-11-24T02:23:56Z
_version_ 1850838060974997504
fulltext Condensed Matter Physics, 1998, Vol. 1, No. 3(15), p. 439–452 Classical relativistic spin particles J.Llosa Departament de Fı́sica Fonamental, Universitat de Barcelona Diagonal, 647; E-08028 - Barcelona, Spain Received January 30, 1998; revised May 6, 1998 Relativistic spin particles are approached from the stand point of Hamil- tonian actions of Poincaré group on itself. The several possible solutions are classified and realizations are given in terms of Dirac’s constraints formalism. Key words: relativistic spin particle, Poincaré group, Hamiltonian action PACS: 03.20, 03.30 1. Introduction ��������� ��� �������������������� ��!"���#�#���$��! �&%����'%(�*)# �����!� ���+,���-�*%�%�)��.���/�� ��0���' ��� 21(���#���3��� �#���4%�!� 65����� ��7�* ����$��!8%9���& �:�!"�* � ��; ����* ,+< =)� -�#���� 3 ?>� � ����#�����@���A)���B����C19�D���E5����� ��7�* �������F G �� �)���!� ����#�#�D���"�* � ��0���0�� ��� =)H�*%�%�)��.���/�� ��H!��I5. @� J*�K+L�I ��M ��� 4�#�*NO�$��!�!� ��QP&������ =)R�&%(���� �S ���T ��� ���!"���#�#���$��!8%(�*)# �����!� 6+,���, ��H19�D���� ��E���7 ���)� � 3�2:� �:���!�!I�4��)# �����B�������!9�&%(���� �!��I5. 3�U>� �� 19 �!�����B�����BV ��V ��� C�������XW�����BV�&%(���� �F YD�' ��� 7%������# Z�&%(���� E+,���4�V�#:�1��7�������[��!��\���; ��� ���� /����B� ��. ��&%(���� H��� ��� H] �������$�*)�^ RB�)���:�%V ����* _+,���6�� =`��� ��V1a�@ ���)� � H����������!�����������:�� �������& #)/�����. ���bT+L�����/�01(���#���$��!�!I�V)� �cD:��I)� 2 ��� 4������ ��. �:��d���e ��� �%(�*)# �����!� � ��C19 �%�)���%9��)&N ���������!9 ��� ��� � ����� �����!�:����Z���f��gA��)� ��. �hR�7�* #)���>TF ���. �:��I ��IW. i���4�I 7�7�$�j19 �be ��������[��)��2:�!"�* ������\���4 ��D�M)� ��& #)����= ��IW. �FK������ � ��Tb<���7�M�����DN �# �cD:� ����� ���� ��� 4�������& #)/�����. ���bA����!I�V%9���#�I ��IW. ��7���#��%(�*)# �����!� ��-�$���M`� R���. ��@�I R�����M19�� �� �7���#�#!� ��#�,%(�*)# �����!� ��L�����Z /���/�.�.�����_�*)� �)� lk& ��= � ��i�")����m ��� �W. =)#�E19 �B�����������B�F n(:�)# ��� =)�����)� �b8���\�����A ��� =)� H+,���_)/�* ��� =)_+L���� H��!"���#�6���K���������������L%9 =)����I # � ��@1a�@ ��� )� �cD:��I)� ��� ��. , ����* L�2�&%����C%(�*)# �����!� ����;�� ��#�=)��I19 ��Z1a�C�2] �������$�*)�^ 3���.W��*)��"���. ;o�������!I ������"��� �&���& � ��@F �l E+,���E����!I��)� ���:��� ��p1a�q���#�#:�������Bj ��� '���������I ������q���3�&%��� =)����$��!��&������ = #)#� r +L�����/�q+,���C���. #)��D��:��� ��p1a�q�������(sE���p�#:��/�t�j+,�$�u��1� /����������Bv ��� ' ?>�%9 ��= � ��p)� ��#:�!I $b ������ �!I�.b9 ����* R ��� �o�������!I ������"���'�#����:�!��j����!I�M�� =%9 ����j���0 ��� 4 l+<�'w,���#�����I)-�[:����= �������� � xU�y���A ��� -] �������$�*)�^ -B�)���:�%yF ���M ��� �%�)� ��# ��. H%(�*%9 =)-+< 4�#����!�!e�/������B� 7�C!��I # �!� 21��I -��:�)-%9 =)��&%9 ��= ��IW. 7�����0���� R:��# �������& #)/�����. ���F G �� C�����z���H ��V ��������4%(���#�4��!��#�V�7���#�#!� ��#�H%(�*)# �����!� ��������v /���/�.�.������F G �� :����� =)�!I������B4���� $����b� ��219 -�#���*%9 ��@���@�7�* ��� ��7�* ����$��!8�[��)��@b��*)� 3 ��� 3�[��!�!��X+L����B�{ r}| �Us G �� E������`�B�:�)/�* ������v�&%(���� C���H] �������$�*)�^ EB�)���:�%yb ~2Ff�����/�j%9�����. 2�������#���& �����B'���< �� �� J.Llosa 439 J.Llosa �����4�9�������.���i���y�#�,�?�K�����Z�����&�7�����Z���I�.���������Z�9���#�I�����������_�����C�(�*�#���������@�����#����� �a� �#�����C���I�.���\�����=�#���"���,�"�/������� �L� �����������Z�#���������Q�}�¡  �� ��f�����Z¢A�������.��£@�7�*�#����¤ �,�L���I�.���_�����2�����4�9�������.���6��� �7�&�(�����=�������H���#�������������7���A���=�#�/���V��� �.���=�������4������� ¥�� �D� ��¦ �U¤����/�������[�=�#�����@��������� � ���#���L���A�L  § �I�������¨�������H�"�/�����=©<���#ª0���D�����������*�����#�/�����#�[�����7�*���������H�"�����«�����E�����=�#���"��� �"�/�������¬��� �����������=�$�y�e­[�®�*�������=�������#���.����� �a� �����������"�H���=�������0����¯ �������$�*��°��������±��q�������4� � �����=�#� � ������±��j���<�����"�*���I���I� � �6���¨�I���#�����-������������������±��/�*�������j�&�(�����X�?  ²6�j�����4�������#�E�&�(������³L´#µ �����7�����#�����&�9�����������M�����"�H�2±��&� � �E�������#�����=�����t�}�#���M¶�·�¸��[�������=�/�������/�? ®¹6���������������V���i����� �����������I�����-���A�����"�*���I���I� � �D��� � �#���$���y�"�$©L�;�2±��&� � �3�����3�������3���@�����T�����=�#���"���y�"�/��������� �}¹3º��������H� � �����������L���e�4�&�����i�(�*�#���������R���@�����-�������#�2�&�(�����R³L´#µ»�#����±���� � �R���.���*���"���.� ±������=�L�����R� � �X�.�3�����"�_���=�������T  ¢A�=�;±��;���X©t�������#�����=�;�����6�������.�L���=�������C���y�����������������.�,¼2½¾�¡¿���Àe�<Áiµ¬���A¯ �������$�*��°� ������±��@���i��� � �9�����.�H���y�#�,��Áiµ¾���®����������±��/�*�������@�&�(������  ���y�#�,��Â8ÃÄ���y�#�,�fÅa�¡¿���Àe�K½»���HÆ\�<¿��#�<Àe� Ç �������#±��I���4�����'�#�����"�����L�����C�9�����.�������\ÈV����ª.�X©L�&ª��,�&�(�����=�������E���'�ZÆÉ�<¿¨����������� �/���������-���A����� ¥�� �D� ��¦ �U¤��������"�����Ê�u���4�jÅXÀ<  Ë ���6�������.�,�&�(�����������/�*�������7���D���,�����,�/����������� Ì.Í$�D�����6������� ¥�� �D� ��¦ �U¤�����  § �=���6����� �������#�7�&�(�����E���=������� �a� �#�����4�������&�#�/�����.���H���.�.���I�������i� Ì.Í �f���H�I�H���*���9�������v���q¶�·�¸Î�®�I� ©<��±���� � �_���.���*���"���.� �a� �������.�<�&�(�����L�����/�*���������� .Ï(±��#�����=�����������a���T�&�����=�����$���8� � �����=�#� � ��� ���#�#±������T�.�����=���_��� ���R�������[�=�#�����7�#���"������� � �D� � �U¤����6�}�¡  �� ��a�����(���8�������Ð�*���L� � ���������$����� � ��ÑD±��I���������.�?�? �Ò6��������� �}¹�Ó.�������6� � ���������$����� � �&�����Ô�����#�=��� � �������R���"���#�#���$���(�&�����7�(�*�#���������L�#����±���� � �_���.���*���"���.� ±������=�L�����3�������.�_���=�������Z���®�&�(�����3�����/�*����������  Ë ���7�������.�����=�������j���L� � �D���&�2���D���2�/���������E�����7�������7�U¤����H���<����� ¥�� �D� ��¦ �"�/������� � Ì.Í��������7�/�*ª.��� �����L�9�����.�3���y�#�,�e��ÕZ�����_�������#�6�&�(�������}���7�$���#�_�����_�"�*�#���=�<�������=������� �a� �#�������������&�#�/�����.���L���.�.���I��������� Ì.Í �?  �}¹�Ó�Ö×� Ë ���R�������.�����=�������i��� � �D���&���_�$��� � �H±��#���V���7�?¤��������T�8���V�4�������.�����.���*���"���.�_©,� � � �����3� � ���������$���T� � �&�����m�"�����m�����3�������#�-�7�������[�����E���������3©L��������³L´#µ2  Ç �K���K���������#���*� � �����&�#�����#�K�����,���IÕ9�=�����.�K���������e���#�#�������������=���<���������"� �����2�������.�e���=��������� ���<µ2  Ç ���������T� �a� �����"�H���=�������¨�����¡¿���Àe��©<�4�/���������������4�����[�=���������E�"�/�������T©L���=���$��� �a� �������.� ���=�������2©<�;�*���;�/�������������3����� ¥ �U¤����e�*�#�/���/��������������� � �D� ��¦ ©L������ÀM���e�6�����/�*�������T  Ç ���������#��ÑD±����.��� � ©L�I���4�����_� � �X�.�,ª��������7�*�����$�����*����±������.�����������L� � �����������e���9�-���"����Ø �#���$���y�&�����C�(�*�#���������3©L����� � �3���=������� �a� Ù�ÚRÙ�Û2Ü�Ý×Þlß*à�Ü¡Ù�àVá?âUá?Þlã=Ûäß*à ³L´#µHå�æ Ü�Þ}çZÜ�Þ}áHè�Ù�à9ß*à�ÜÎè�Ù�Ý9á?â*ÛLé9Ý�ã/è=Þ¡ÜÎè-á?Þ¡ê?ë�è=Þ¡ëDê�ãì¡í�î å Þ}ç�Ù�Þ�Ü[áVÜ�à�ï*Ù�ê?Ü¡Ù�à�ÞHëDà8ðaã=ê0ñ?ß*Þ}çqÙaè=Þ¡ÜÎß*à�ájòOà8Ù�Û�ã=Ý×â å Ý�ã}ó?Þ�Ù�à8ðvê?Ü�ô*çaÞ�õ�ß�ó ö ß*Ü�à9è�Ù�êf÷ã_ô�ê�ß*ë$é µ ß*à ³L´#µ�ø 440 Classical relativistic spin particles ù,ú�û_ü�ý�û�þ#û�ÿ�������ÿ��#ý�� �� ���� ��ÿ����� �� ���9û������.û�ÿ���þ���ÿEû���û=ý�����þ#û������/ú��*ü���û=ý�����ÿ! "$#&%Dù,ú�û ÿ��'������� ��ÿ(��ÿ��()(��þ*� ÿ��'��� ��ÿ�þ+ �þ#û��7ú�û=ý�û,�*ý�û��-�*ý�.�û�� /0��û21�ÿ�û��3��ÿ��(45 �� � /6��û27.û�� ��ü9û��(��ú�û=ý�û'%8 û��2��� ��ÿ�þ9"6��ÿ��;:��*ý�û<��û27��'��û��=���0��ú�û�.�û�ÿ�û=ý��'�®þ*�� ���/>��4@?9�')(� � ����ÿ��-��ÿEþ*/�þ*��û�)�þ���ÿ=��ú�û���'����ÿ�.�û�ÿ��<þ&üA�'��û,��4B��CD��û�.�ý��� �ü�ELú�� �/ú3�*ý�û���ÿ�7'�*ý��-��ÿ��� �ÿ���û=ý��F�'��úHGI��ú�û���û�4-���'�2��� ��ÿ���ÿ����ú�û�ý�� .�ú����'�2��� ��ÿ>��4D��ú�û<.�ý��� �ü=��ÿ>� ��þ#û�� 4J%(ù,ú�û�ÿ>��ú�û3ý�� .�ú����'�2��� ��ÿ3��ÿ�7'�*ý��-��ÿ���û<��þK �þ#û��>���L�M�N'O�P�M ��ú�ûRü�ú���þ#û2þ&üA�'��û'%RQ�ÿVþ#û��2��� ��ÿS����ú�ûRüA�*ýT��� �� ��-�*ý,�U��þ#ûV��4@W@����ÿ��U�*ý�Xû�.�ý��� �üBGRELú�� �/ú��þKý�û���û27'��ÿ��Y���3ý�û��-����� 7���þ*��� �,þ&ü���ÿ�üA�*ýT��� ����û�þ�GI��þZ����ÿ�þT� ��û=ý�û��3��ÿ����'� ��üF��þ#þT� ����û���/�ÿ��')(� ��þ+�*ý�û���-��þ#þT� 1�û��H%Dù,ú�û�1�ÿ��'�(ý�û�þT �� ��þY�*ý�û�.�� 7.û�ÿ(��ÿ6��ú�û�45��ý�)[��4F\9�Iý��'������ÿ�þ*�#ý��'��ÿ�û���?9�')(� � ����ÿ��-��ÿ þ*/�þ*��û�)�þ<]T �'#_^�% 2. Hamiltonian systems on the cotangent space of a connected Lie group` ��þ��0����ÿ�ÿ�û��2��û��;CD��û<.�ý��� �üBGAab� ��þKCD��û��'� .�û2��ý��6��ÿ��=a@cK� ��þK�� ��'�B7.û��2����ýLþ&üA�'��û'% 2.1. Symplectic structure and group actionsd�c ` ��þCû�ÿ����eE<û��fE�� ��úg��ú�û!�U��ÿ���ÿ�� �U�'��þ*/�)4ü���û��2��� �S45��ý�)ihkj[lYm$] d�c ` ^�GY��ú����>��þ�'�����'��ÿ�û��=��þK��ú�ûn��� o9û=ý�û�ÿ����-�'�D��4D��ú�û<CD� �� �7�� � ��û945��ý�)qp�j=lKr�] d c ` ^�s hutwvK��p�x ]zy$^ ù,ú�ûnCD� �� �7�� � ��ûn45��ý�){��þ,ý�û��-����û��>���V��ú�û3ü�ý���|&û��2��� ��ÿ=)��*ü3}~s d c `���` G��I/ � p����*�0����t ��� � d }Z]_�0��^T� ]&"�^ ELú�û=ý�û � j d c ` G��0�0j d �A] d c ` ^���ÿ�� d }!��þK��ú�ûn����ý#ý�û�þ&üF��ÿ�����ÿ�.(����ÿ�.�û�ÿ���)��*üB%� û-ÿ��eE¬ú��U7.ûn��E����'�2��� ��ÿ�þ���4 ` ��ÿ d c ` G(ÿ��')�û�� /�GB� M����Y��LT�'��� � �'���&��� GR�Y���GA��ÿ�� L�� ���I���LT�'��� � �'���&��� G����� GHELú�� �/ú��*ý�û0��û21�ÿ�û��b��þn��ú�û6� � 4-��þn��� d c ` ��4+��ú�û6��û�4-�n�#ý���ÿ�þT�-����� ��ÿ���ÿ����ú�û�ý�� .�ú��K�#ý���ÿ�þT�-����� ��ÿHG�ý�û�þ&ü9û��2��� 7.û�� /�G���ÿ ` s � � s ` v � `� v �   � ¡ ¢ ��£�¤ s ` v � `� v � �  �¥ r ¡ � �� s d�c¦ ` v � d�c� ¦ `� ¦ v � d c � ¥ r�§] � ¦ ^ ¡ � �� s d�c¦ ` v � d�c¦ ��£�¤ `� ¦ v � d c ¢ � ] � ¦ ^ ¡ ELú�û=ý�û d�cT� � ��ÿ�� d�cT¢ � )�ûU��ÿ3��ú�û�ý�û�þ&ü9û��2��� 7.û<���'����ÿ�.�û�ÿ���)��*ü�þ�%8 ��ÿ���û��F�'��úb�*ý�û�� � 4-��þ���4��'�2��� ��ÿ�þ���4 ` ��ÿ���ú�û�����ÿ�1�.� �ý������ ��ÿvþ&üA�'��û ` G���ú�û2/¨�F�'��ú ü�ý�û�þ#û=ýT7.û3��ú�û>CD� �� �7�� � ��û345��ý�)k��ÿ��HG���ÿ©�'����� ��� ��ÿHGZ�*ý�ûCþ*/�)4ü���û��2��� �'%�?6û�ÿ���û'GZ45��ý��'� �Yª«jaYG���ú�û�����ý#ý�û�þ&üF��ÿ�����ÿ�.u��ÿ�1�ÿ�� ��û�þT� )��'�9.�û�ÿ�û=ý�������ý�¬�;­® ��4���ú�û¨�'�2��� ��ÿ���­¯]�°,t,CZG ±,^3��þ?9�')(� � ����ÿ��-��ÿ\ý�û��-����� 7.û�� /b���bh9G+E�� ��úg��ÿ§��þ#þT�²���-����û��u?9�')(� � ����ÿ��-��ÿ«45 �ÿ��2��� ��ÿ�³F­´]_ª�^SjlYµe] d c ` ^<þT ��/ú=��ú���� �F³ ­ ]_ª�^�t§¶�]+¬� ­® ^*h©t§� � pI�,¬� ­® �´vu·<]Z¬� ­® ^*p ]�:�^ ELú�û=ý�û(·f)�ûU��ÿ�þKCD��ûn��û=ý�� 7'����� 7.û'% 441 J.Llosa ¸�¹�º�»�¼'½T½�º�¾*¿F¼�À�Á�º�À�»�º�Â�ÃÅÄFÆ´Ç_Â�È´É ¾Z»UÊ'Ë Ë º�Á0Ì�¹�º�Í(Î�Í(Ï2Ð�Ñ�ҲͯÍ6Ó�Ô�ÔFÕ_вÖ�×5¼'½+Ì�¹�º�Ê'»2Ì�É ¼�ÀØ Æ¨Ç�¾Tº�º0Ù Ú$Û&ܲÁ�º2Ý�À�É Ì�É ¼�À3Þ�ßàÚ²ß á$È�ß�â²É À�»�ºnã�É ¾Y¿�½�º�¾Tº2½Tä�º�Á3åIæ(åF¼'Ì�¹3Ê'»2Ì�É ¼�À�¾�Ü ØYç Ê'À�Á Ø�è ܲÌ�¹�ºË-Ê'¾*Ì�Ì�º2½�éqÉ À¨Ç�ê�È+ä'Ê'À�É ¾T¹�º�¾�ßAë,º�À�»�º'ÜRÊ0é(¼�é(º�À�Ì�ì�éíé�Ê�¿�¿�É À�î6×5¼'½KÌ�¹�º�Ê'»2Ì�É ¼�À Ø Æ;É ¾�ï Ä Æ Ç_Â�È@ðòñ�ãIó,ôõ Æö+÷ ó ø§ð§ùZóTú¨û Ç�ÞIÈ 2.2. Body coordinates¸�¹�º3»�¼'Ì�Ê'À�î�º�À�Ì0¾*¿AÊ'»�º�ü�ýTþq¼�×�Ê;ùDÉ º�î'½�¼�ì�¿ÿÉ ¾0Ê;ÌT½�É ä�É-Ê'ËZÝ�å�½�º�å�ì�À�Á�Ë º'ß��zÀ�Á�º�º�ÁHÜZÉ ÌÊ'Á�é(É Ì�¾KÊ0î�Ë ¼'åAÊ'ËH»�¹�Ê�½TÌUï � ï ü�ýTþ �Rà þ����@ý� �Rà Ç��Aó*ü�ý� Ç � ÈTÈ � Ì�¹�Ê�ÌDÉ ¾���À�¼���À�Ê'¾���Î�������ÎeÎ����'Õ_ÐRÓ'Ñ�Ï �@Ç�¾Tº�º�Ù Ú$Û&ÜU¾Tº�»2Ì�É ¼�À<Þ�ß ÞIÈFº2ä�¼���É À�î�Ê'À<¼'åIä�É ¼�ì�¾D¾TÉ é(É Ë É Ì�ì�Á�º��É Ì�¹3½�É î�É Á�åF¼²Á�æ!��É À�º�é�Ê�Ì�É »�¾�ß" À�¼'Ì�¹�º2½9î�Ë ¼'åAÊ'Ë´»�¹�Ê�½TÌ9»�¼�ì�Ë Á~Ê'Ë ¾T¼(åFºVì�¾Tº�ÁHÜH»�¼'½T½�º�¾*¿F¼�À�Á�É À�î�Ì�¼(Ì�¹�ºV¾T¼�»UÊ'Ë Ë º�Á#�&Ô�Ó$��Ï��ÎeÎ����'Õ_ÐRÓ'Ñ�Ï ��ܲÌ�¹�Ê�Ì�É ¾KÁ�º2Ý�À�º�Á=åIæ % ï ü�ýTþ �Rà þ&�'�@ý� �Rà Ç��Aó*ü�ý�( Ç � ÈTÈ � ë,¼���º2ä�º2½UÜ�¼���É À�î0Ì�¼V½�ºUÊ'¾T¼�À�¾KÌ�¹�Ê�Ì)��É Ë ËHË-Ê�Ì�º2½K¼�À3åFº�»�¼�é(ºn»�Ë ºUÊ�½UÜ�Ì�¹�½�¼�ì�î�¹�¼�ì�ÌKÌ�¹�É ¾�¿AÊ�¿Fº2½��ºn¾T¹�Ê'Ë ËB¼�À�Ë æ3ì�¾TºnåF¼²Á�æ3»�¼²¼'½�Á�É À�Ê�Ì�º�¾�ßùDº2Ì+ì�¾+À�¼��*�K½�É Ì�º�Ì�¹�º�Ê'»2Ì�É ¼�À�¾ Ø ÆDÜ�ø,ð,ùZÜ ú<Ü�É À0Ì�º2½�é(¾Z¼�×AåF¼²Á�æ0»�¼²¼'½�Á�É À�Ê�Ì�º�¾�ß�¸�¼nÌ�¹�É ¾º�À�Á+��º<Á�º2Ý�À�º-,Ø Æ=åIæ>»�¼�é(éVì�Ì�Ê�Ì�É ä�º�Ë æ(»�Ë ¼�¾TÉ À�î0Ì�¹�º<×5¼�Ë Ë ¼���É À�î0Á�É-Ê'î'½�Ê'é=ï ü�ýTþ .0/�Rà ü�ýTþ1 1� 1 1 �2 2 þ&���@ý 3. /�Rà þ&���@ý ¸�¹Iì�¾�Ü ,Ø Æ54 �76 Ø Æ 6)�98;: ó Ç=<�È Ì�¹�Ê�ÌUÜ�é(¼'½�ºnº >�¿�Ë É »�É Ì�Ë æ�ܲæ�É º�Ë Á�¾�ï ,Ø ç Ç=?Fó�@BÈ ð Ç��A?Fó�@BÈFó B@Ç=?Fó�@BÈDCSþ&��� ý ÇFE�È,Ø è Ç=?Fó�@BÈ ð Ç=?G� 8;: óIHKJ ý Ç�� 8;: ÈL@BÈFó Ç=M�È ��¹�º2½�º7HKJ�ý�É ¾�Ì�¹�º5��ÎUÓK��NUÎ�Õ_Ð�ÑR½�º2¿�½�º�¾Tº�À�Ì�Ê�Ì�É ¼�À=¼�×@þVß�Ç&Ⲻ�º'Ü�×5¼'½�É À�¾*Ì�Ê'À�»�º'Ü�Ù Ú$Û&Ü�º >Hß�Þ�ß á�ßàÚ0<²ßàÈO æ0é(ºUÊ'À�¾+¼�×HÊn¾TÉ é(É Ë-Ê�½ZÁ�É-Ê'î'½�Ê'éP��º�»UÊ'À6ÌT½�Ê'À�¾TË-Ê�Ì�ºKÌ�¹�º�ùDÉ ¼�ì�ä�É Ë Ë ºK×5¼'½�é É À�Ì�¼7Q : Ç�þ*��@ý�È�Ü�¾T¼6¼'å�Ì�Ê'É À�É À�î�ï ã�R 4 ü ý �98;: 6 ã 6)�98;: û ÇFS�È 442 Classical relativistic spin particles TLUWV�XIY;Z[X]\IV)^`_�aKZD_�UWZ bAc`dfefghei\jZ bAc;XIZhk�k�efV0U7lmV�X�nFo�prq�sutwvhx yhz|{ }�~�Z�k�c`dfei\jsutwvhx yhzm�+��twvhx yhz��F����r�I� efUK\IV�ei\Ik�\�~�V�ghV0��c�V0U;ZhUK\Ik)s twvhx yhz � �|� v q�� y � };~�ei\I^+� v �+� v �P_�U;Y�� y �+� y �r�����r�[�� ^;ZhU }`ghV0���`efU;efU;�'�=� � _�U;Y��F� � };~�Z�^`_�aKZ�� nFo ptwvhx yhz q��|� v q�� y � { � n|��q����� ;¡v �|� v � { � n|��qL¢ v �|� v � {�q �F£ � ~�^;Z[XIZ¤¢¥��¦ ¡ �F�§q �¨� efk�\I^;ZW©ª_�«AXIZ[X�¬L­�_�X�\®_�U � ¬=a�_�df«;ZhY�lmV�XI� �TLU§\I^;Z���VGYA¯�ghVGV�XIY;efU`_�\IZhkh}K_�U§Z bAc`dfefghei\¨Z bAc;XIZhk�k�efV0U�lmV�X�°)p �²±�³ o�p5efk�\I^;ZhU�V��;\®_�efU;ZhY�$¯5Z bA\IZ[XIefV�X�Y;ei´�Z[XIZhUK\Ieµ_�\IefV0U+V0l��F£ � � ¶ s � �|� v q�� � q�· � �|¸ v q�¹ � �+� twvhx yhz �F�&� � � �¨� ��� v � � � � � ° p twvhx yhz ��s�qI· � � n|¹9qL¢ v �|� v � { ± n|�;qL¢ v �|¸ v � {�º»n|��q�¼ ¢ v �|� v � qL¢ v �|¸ v ��½ { �L¾�¿ � ~�^;Z[XIZ�\I^;Z�©ª_�«AXIZ[X�¬L­�_�X�\®_�U�k�\�XI«;g[\I«AXIZ7ZhÀG«`_�\IefV0U YG¢ �²± ¾� ¼ ¢)qL¢ ½ �L¾0¾ � ^`_�k���ZhZhU'«;k�ZhY �ÁrefU`_�dfdi¯K}�efUÂ��VGYA¯ÂghVGV�XIY;efU`_�\IZhkh} \I^;ZÃ��V0��ZhUK\I«;�Ä�u_�c;c`efU;�0k»ÅÆ�Çj} È � ��qIÉÊ_�XIZÃV��A¬\®_�efU;ZhY+lµXIV0�Ë�|Ì � � ¶ÎÍ � � q ÅÆ Ç � Í �rÏ Æ Ç � Í � Ð)Ñ  ;¡ �L¾Ò� � _�U;Y5\I^;ZheiXÓZ bAc`dfefghei\)Z bAc;XIZhk�k�efV0U;kh}`XIZhk�c�Zhg[\IeiaKZhdi¯K}Î_�XIZ ÅÆ9Ô`�=Õ�q�� � � ÖK³ � �=ÕΠ;¡ � �§q �L¾�× �ÅÆ�Ø]�=Õ�q�� � � �§Ù �L¾�Ì � 3. The reduced phase spaceÚ k�~�Z�^`_�aKZ)_�diXIZ�_�YA¯Wc�V0efUK\IZhYÃV0«A\refU§k�Zhg[\IefV0U5¾0}�dfZhlµ\¨efUKa�_�XIeµ_�U;ghZ�_�U;Y§XIef�0^K\refUKa�_�XIeµ_�U;ghZlmV�XÓ\I^;Z7k�¯Ak�\IZh��kÓ«;U;Y;Z[X¤ghV0U;k�efY;Z[X®_�\IefV0UÂ^`_�aKZ7U;Z�_�\Idi¯�Y;ei´�Z[XIZhUK\¤��Z�_�U;efU;�0k �`Û ^;Z[XIZ�_�k¤dfZhlµ\efUKa�_�XIeµ_�U;ghZ!^`_�k�_'c`^K¯Ak�efg�_�d�efUK\IZ[X�c;XIZ[\®_�\IefV0UÜefUÜ\IZ[XI��k�V0l)XIZhdµ_�\IeiaAefk�\IefguefUKa�_�XIeµ_�U;ghZ�}�XIef�0^K\efUKa�_�XIeµ_�U;ghZ+^`_�k���ZhZhU*efUK\�XIVGY;«;ghZhY¥\IV-ZhU;dµ_�XI�0Z5\I^;Z+c`^`_�k�Z�k�cÎ_�ghZ'_�U;Y*k�VÝ\IV�_�aKV0efYÞ\I^;ZU;ZhZhY�V0l�ghV0U;k�\�X®_�efUK\Ik �Û ZÝk�^`_�dfd�U;V�~ßghV0U;k�efY;Z[X'_*à�á�efUKa�_�XIeµ_�UK\�â¤_���efdi\IV0U;eµ_�Uãk�¯Ak�\IZh�äV0U��Ä� �r� _�U;YZhdfef��efU`_�\IZ�\I^;efk)åw«;UAc`^K¯Ak�efg�_�dFæGk�¯A����Z[\�X�¯7�$¯ÃXIZhY;«;ghefU;��\I^;Z)c`^`_�k�ZÓk�cÎ_�ghZ � � ^;Z�\IZhg®^;U;efÀG«;Zhk_�XIZD\I^;V0k�Z�Y;Z[aKZhdfV�c�ZhYÃefU+¼ � ½ �|k�Zhg[\IefV0U§Ì � × � _�U;Y§\I^;Z���Z[\I^;VGY7�Î_�k�efg�_�dfdi¯�ghV0U;k�efk�\Ik¨efU�\I^;Z�«;k�ZV0lÎ\I^;Z)efUK\IZh��X®_�dfk¨V0l9��V�\IefV0UÃ_�k�k�VGgheµ_�\IZhYÃ\IV�\I^;Z)dµ_�\�\IZ[X�k�¯A����Z[\�X�¯!��\I^`_�\�_�XIZ)efUÃefUKaKV0df«A\IefV0U~�ei\I^5XIZhk�c�Zhg[\�\IV�çrV0efk�k�V0U5�;X®_�gIèKZ[\Ik � \IV�Zhdfef��efU`_�\IZék�V0��Z�Y;Zh��XIZhZhk�V0l�lµXIZhZhY;V0� �êéV�~W};\I^;ZhV�XIZh�ëÌ � × � ¾�efU#¼ � ½ g�_�U+��ZW_�c;c`dfefZhY � TLU;Y;ZhZhY }`~�ZW^`_�aKZ _ªk�¯A��c`dfZhg[\Iefg!�u_�U;eflmV0dfY��F�ì� �r� qI°)p � }rV0UÞ~�^;efg®^Þ\I^;Z5íjefZ+��XIV0«Acã�î_�g[\Ikk�¯A��c`dfZhg[\Iefg�_�dfdi¯ÝïðU`_���Zhdi¯K} Åà�áÞïñ_�U;Yã_�U ÖK³ � ¬òZhÀG«;eia�_�XIeµ_�UK\���V0��ZhUK\I«;��u_�c;c`efU;��ÅÆ á � ÁΫAX�\I^;Z[XI��V�XIZ�}Î_�k)ei\)g�_�U+��ZWZ�_�k�efdi¯!g®^;ZhgIèKZhY �¾ � _�UK¯5�Â� �r� efkÓ_+óIôòõ�öG÷iø�óWù�ø�÷úö`ô�V0lªÅÆ áÜ�|e � Z � }A� twvhû yhz ÅÆ á'efk)k�«AX|ü�Zhg[\IeiaKZ � } 443 J.Llosa ý0þuÿ������������ Kÿ������� ������� ��������� ���� �� ��� �"!$#&% þ���')(+*+,.-/� 01���324 �5��6 4 Kÿ�� � ��587 �:9 ÿ��� �ÿ;��' 91<>=�?A@B9��DCBE �7 CFHG (+* , !I=�J�K þ EL�DC! 'M� � � ���� ��iÿ����� %�N ý NPO �� RQ ýTS�þ NUKþV���� J�K !XW þ GZY !\[D]MW þ_^ [`?a@cb ��' � �3dD� �����45M������egf;�iÿ�� @B9 4 � ÿ������'M��ÿM5��4� � �45����h�i��j Wk9 � 4��� l �m@on GpY =q?r@ ^�(+*+, !I= þ W G Wsb+9 4e[ÿ�'��5��4�D��5�l � 4 � j65�� � l � �� �� � J�K !XW þ Nt � �e � 9vuwnyx�@{z�@on �� 4'; |�� ���01���{' � �}��l�� e[ÿ���eyj~�45�� 9��L� n � 9 'M��e���ÿ��� �ÿ&�� ,�� nh!�� � n � þ G � ,�� n�!���� þ !$#T� þf;����5�� � n 4 � � n �5�� 9 5�� '��D� e[ÿ��32+� l �+9 ÿ����H���4�D�����\���4� �D���$�&�������\���} 4 � ÿ����}�I�D����� �_�\������ n � @ �v� uwn[��v� [�@on � � n � @ �v� @"� � ,[��v� !\[D]MW þ � ¡ ����5�� j~�45�� 9 ���32+� � 4 �¢W`?£� ,�f¤�¥�� &2+�g ¦����§4������§A�v¨h���&�A�\��� ��� 9 � N � N m' � �}��l�� e[ÿ���e�� 4 ���j~��l �g!�uwn ]�� � n � þ N 3.1. A realization of ©¤ª¡ ����'85�� � ��e � � ���� 4'M�}'��> 4e � uwn e& 4 g 4e[ÿ��� 4l�l �A� �B5��& 4l���« � � 4'{ H'M� � �� 4 ���j~��l � ��j � ,! ÿ�����'¬��'B Ae �� �'M� 01��� �e �­��j�ÿ���� ®c�I�_�I�~����¯±°�®}�T�_�/�4����°/²����1�_���4�g�X¨���������³ 9 'M� �¥Q ýTS 9 �_´� 4�}��l��%�N U N %>! 2`þ�þ N µ � � � ��9 l��[ÿ;��'�e �� �'M� � ��5Óÿ����ye �+ �T¶ ���� Kÿ;5�����5�� 'M� Kÿ� �ÿ�����  ��j @B9 4 �)� ���� ��4�· � @"�A� , �>� � ,!I=>]MW þ �>� (+*+, !I= J�K þ W)x¦¸:n�!I= þ x�¸ F !XW þ � !$#±O þ ¹ �45¬ 4 � ���32+� Wq?i� , 9 f¤��'M�� 4l�lº�� &2+�� 4 »�45 � �iÿ&� ¸:n � @¼�v�½� ,¬ 4 ��9 j~�45B 4 � ���32+� ¾ ?»¸:n�!�@ þo¿ � , 9D¸ J�Kn ! ¾ þ;��'y He ��'M�[ÿy�� uwn G @{z�@on1N ¡ ����5�� j~�45�� 9:uwn ��' � �3dD� �����45M������ef;�iÿ���À n�xÁ¸:n�!�@ þ 9 ÿ����|�45 � �iÿy��j WÂ?Ã� , � � ÿ����|e �+ �T¶ ���� Kÿ{5�����5�� 'M� Kÿ� �ÿ����� g��j¤Ä N ¡ ���� �3dD� �����45M������'M�Å��' Ƹ:n � uwn �v� À n[�@on½�v� (+*+, !\[ J�K þ W � !$#TÇ þ¡ � ��';À n ¿ � ,���'; B5��& 4l���«& �ÿ����� ­��j uwn N¡ ���{' � �}��l�� e[ÿ���e8j~�45��`�� )À n ��'�� � ÿ� 4�� �� � j65���� �L� n � � � �� +2+��5�'M�y����l�l � 4e�ÈD�Æ� � n � x¢� , Ƹ J�Kn !�� � n � þ !$#±É þÊ 'L |e �� �'M� 01��� �e �¬��j !$#T� þË 4 � ÿ����{jI 4e[ÿ)ÿ��� �ÿ ¸:n G Ƹ:n�E � n 9 f¤�{�� &2+��ÿ��� �ÿ Æ�L� n � ��'ÿ����y�� �l � ' � �}��l�� e[ÿ���e8j~�45��`�� )À n 'M��e���ÿ��� �ÿ&�� , ¸:n�! Æ� � n �Ì þ G � ,�� n�!�����PÍ Î n � þ !$#±Ï þf;����5�� ¾ G (+*+, !\[ J�K þ WkN 444 Classical relativistic spin particles 3.2. The left action of Ð on ÑÓÒÔ1Õ�Ö�× ØyÙ�Ú�Ø{Û~Ü�Ý�Ý�ܱÞ;Õ�Ö�ß|à�Õ6á4ß4â�á4ãä"åAæèç é�êëHì ä íTêìvî ïwðñ ñ ñòó¤ôõ ñ ö õ ñ ÷ õ ñø ø øä"åAæèç é�êëHì ä íTêìvî ïwð ù\ú4û+üÞ;Õ3Ù�Ú ÷ õ á4Ö�à ÷ ð à�Ø�ý�Ö�Ø àgÕ�Ö ù$þ±ÿ+ü�� Õ��y× Ü�ã�ã��hÙ�á�Ù�Õ��+Ø � Þ¤Ø|Ú�á��+ØBÙ�Ú�á�Ù8Ù�Ú�ØBÝ�Ø Û6Ù¬á4×�Ù�Õ�Ü�Ö òó¤ôÜ�Ûkä"Ü�ÖAä"å æ ç Õ�� ���â�Ü� �Ø ×�Ù�Ø à���Ü�Ö+Ù�Ü|Ù�Ú�Ø{× Ü+á4à� �Ü�Õ�Ö+Ùoá4×�Ù�Õ�Ü�Ö�� Ü�Ûèä"Ü�Ö ïwð��÷ õ ����� ç ù ����� ü � ìvî���� ç ù ��� ü ��� ç ù ����� ü �"! ��� ç ùMù � ü ��� ü �#%$ Õ3Ù&�'�+Ø�â $ × Ü�Ö���ÙMâ&��×�Ù�Õ�Ü�Ö � � á4×�Ù&�;ÙMâ�á4Ö��MÕ3Ù�Õ��+Ø Ý $ Ü�Ö ïwð)(�* Ø Ö�× Ø � á�Ùoá4Ö $,+.- ïwð � Ù�Ú�Ø�MØ�Ù;Ü�ÛkÕ3Ù&��Õ�Öhý�Ö�Õ3Ù�Ø/�MÕ�ã�á4Ý�ß�Ø Ö�Ø�â�á�Ù�Ü4â&�'�0�>á4Ö��;Ù�Ú�Ø8Þ;Ú�Ü�Ý�Ø8Ù�á4Ö�ß�Ø Ö+Ù1�0�>á4× Ø32�4 ù ïwð ü�� Ù�Ú�á�Ù;Õ�� �2�4 ù ïwð ü !65�7 4 ù 8 ü 9 8 - æ;: ù\ú1þTüÔ1Õ�Ö�× Ø.2=<=> ù 8 ü - 2?>±ä Õ��|á4ÖmÕ�Öhý�Ö�Õ3Ù�Ø/�MÕ�ã�á4ÝÓß�Ø Ö�Ø�â�á�Ù�Ü4â|Û~Ü4âBÙ�Ú�ØHÝ�Ø Û6Ù}á4×�Ù�Õ�Ü�Ö ö � á4Ö�àmÙ�Ú�Øà�Õ6á4ß4â�á4ã ù\ú4û+ü Õ���× Ü�ã�ã��hÙ�á�Ù�Õ��+Ø � Þ¤ØyÚ�á��+ØyÙ�Ú�á�Ù �7 4 ù 8 ü ! 2 ÷ ð'@ 2=<=> ù 8 ü ù\ú�ú�üÛ~Ü4âLá4Ö $ � - ä á4Ö�à � - æèçA�B��×�Ú Ù�Ú�á�Ù + ! ��� ç ù � ��� ü � (C Ö"�>á�âMÙ�Õ�×/��Ý6á�â � Ù�á�DhÕ�Ö�ß � !FE á4Ö�à �"! + � Þ¤Ø{ÜHG�Ù�á4Õ�Ö �7 4 ù 8 ü ! 2 ÷ 4 ù 8 ü ! ì'I1� ç ù 8 ü +J- 2�4 ù ïwð ü ù\ú K üÞ;Ú�Ø�â�Ø I1� ç Õ��ËÙ�Ú�Ø{× Ü+á4à� �Ü�Õ�Ö+Ù;â�ØL��â�Ø/�MØ Ö+Ù�á�Ù�Õ�Ü�Ö Ü�ÛèæmÜ�Ö æ ç (M â�Ü�ã ù$þ N ü á4Ö�à ù\ú K ü�� á4Û6Ù�Ø�âLá|Ý�Õ3ÙMÙ�Ý�Ø8ã�á4Ö�Õ��O��Ý6á�Ù�Õ�Ü�Ö � ޤجá�âMâ�Õ��+Øyá�Ù �PQ1R ð/S4 ù 7 4 ù 8 ü 9 7 4 ù T üMü !VU + 9XW 8 9 T�Y[Z'\ ù\ú ] ü^ Ü±Þ � Õ�ÖRÜ4â�à�Ø�âBÙ�Ü���â�ÜX�+Ø�Ù�Ú�á�Ù_�`Õ��Bá`� $ ã_��Ý�Ø ×�Ù�Õ�×�á4×�Ù�Õ�Ü�Ö � Þ¤ØH×&á4ÖmØ Õ3Ù�Ú�Ø�â����MØHÙ�Ú�Ø× Ü�ã�ã��hÙ�á�Ù�Õ��hÕ3Ù $ Ü�Ûkà�Õ6á4ß4â�á4ã ù\ú4û+ü�� Ù�Ü�ß�Ø�Ù�Ú�Ø�â�Þ;Õ3Ù�Ú­Ù�Ú�Ø{à�Ø�ý�Ö�Õ3Ù�Õ�Ü�Ö ù$þ N ü á4Ö�à)Ù�Ú�Ø3��Ö�Õ�a���Ø�bÖ�Ø/�B�LÜ�Û PQ R ð/S � Ü4â;Þ¤Ü4âBD à�Õ3â�Ø ×�Ù�Ý $ ù\ú�ú�ü á4Ö�à ù\ú ] ü (�c Ú�Õ��1�MØ × Ü�Ö�àAÞËá $ ß�Ü1Ø/�oáH�LÛ~Ü�Ý�Ý�ܱÞ=� (�d Ø�Ù+He ! ÷ õ&f�g + ! ��� ç ù ü +�- ïwð � á4Ö�à Ý�Ø�Ù=���;ØL�4á4Ý���á�Ù�Ø � h�8 9 T - æ �2 ç�÷ õji PQ1R ð/S4lk ù 7 4nm ù 8 ü 9 7 4nm ù T üMü ! PQ1R ð/S4 ù 2 ÷ õ ù 7 4nm ù 8 üMü 9 2 ÷ õ ù 7 4nm ù T üMüMü \ ù\ú o üC Ù;Õ���Ø&áH� $ Ù�Ü_�MÚ�Ü±Þ Ù�Ú�á�Ù2 ÷ õ ù 7 4nm ù 8 üMü ! ì=��� ç ù ��� üwù I1� ç ù 8 ü + e ü ! ì'I1� ç ù ��� ù ü 8 ü + !p7 4 ù ��� ù ü 8 ü ù\ú4ÿ+ü�B�qGO��Ù�Õ3Ù&�hÙ�Ø à Õ�Ö­Ù�Ú�Øyâ�Õ�ß�Ú+Ù;Ú�á4Ö�à,�MÕ�à�Ø{Ü�Û ù\ú o ü�� á4Ö�à)Ù�á�DhÕ�Ö�ß ù\ú ] ü Õ�Ö+Ù�Ü�á4× × Ür��Ö+Ù � $ Õ�Ø Ý�à�� �2 ç ÷ õ i PQ R ð/S4 k ù 7 4nm ù 8 ü 9 7 4nm ù T üMü ! U + 9XW ��� ù ü 8 9 ��� ù ü T�Y[Zs!tU + e 9XW 8 9 T�Y[Z! PQ1R ð/S4 ù 7 4nm ù 8 ü 9 7 4nm ù T üMü 445 J.LlosauAvOw�x=y z�wH{�| }=~0���j����1� �/����� ��1� �/�j� ���r�r�� z/{��/z ���A� |�|0�qy_�O��z/�Lx � �%��� �����)��{.wH|B|B��� � w�x&z/ _y �ry z/{�x&¡�yVy.w���� � {�¢£��wH{_¤¥z= �zL¦ ��§ z/ ¤)�¨y z�wH{�|'�r© ���Hª���«�����¬)� wH{� , �zL­O{ � x � �r{ ¬ � � ��® � {°¯ ��±�²³ ��´)���l´'µ ´ �,¶ � � ���H·�� 3.3. The implicit equations for ¸;¹¶ � � |£�ºvOw�¦ºwH�Lx&zL¦ ��» z/ ¼¤)�½|B�ry z_©¾¡�{��Lx � �r{�|J¿°�r{°À ~  �zL­O{ � {�¢`�/�r{�|0xB¦ºw � {�x&|£x&vOw�x������HÁ� � Á�z ¿ ��´)�Â� �/�r{�|0xºwH{�x1�r{,¶ � � ���HÃ��Ä �XÅ « | � {��/z¼x&v�z � {q­O{ � x&z/| � y.wH��¢rz/{�zL¦ºw�x&�H¦&| ���Hª�� |0��wH{6x&v�z¼Å=v��r��z½xºwH{�¢rz/{�xÆ|0��wH�/z}�Ç � ¶ � ��« x&v�z£�/�r{�|0xB¦ºw � {�x&| ���HÃ�� y�¡�|0x=|&w�x � |B©È� ²ÉËÊ ¿ µºÌ Ç �[Í��BÎÏ�FÐAµ ´ �,¶ � µ0Í ��À �˪rÐ�� Å=v � �ºv � y_�O� � z/|jx&vOw�x É�Ñ1Ê ~ �[Í���´�µX� Ê ¿ � Ç ÎÂ� É ´�µ ¯ ÍqµX� Ê ¿ � Ç ±[ÎÂ�FШ� �˪ ® �� Ä �Hx&z�x&vOw�x � Ê ¿ � Ç � } ~Ç � À ~ ��Ò À ~Ó~ Ò À � �Ô ¦ � x � {�¢Õx&v�z��Èw�xBx&zL¦3�/�r{�  � x � �r{ � {`x&zL¦&y |Ö�r©��r{�z�¤�wH| � |3�r©;À «�� � � zH� « � {½wÕ¢ ��§ z/{`��w�¦ºw�×y zLxB¦ ��» w�x � �r{Õ�r©Ï� � � xA¦&z�wH �| ² ´Hؾ٠ØÚ�Û�Ü ¿Ü ´ Ú �FÐAµ �˪��r� Å=v�zL¦&z Ù ØÚ�Û w�¦&z�x&v�z�|0xB¦&¡��Lx&¡q¦&zÖ�/�r{�|0xºwH{�x&|A�r©�� � {Õx&vOw�x%��w�¦ºwHy zLxB¦ ��» w�x � �r{Ý��uAv�zÖ|B�r��¡qx � �r{�|�r©Þz/ß�¡Ow�x � �r{ �˪��r� w�¦&z3¦&z/�Èw�x&z/ ¨x&�Jx&v�z�àAwH| � y � ¦ � { § w�¦ � wH{�x&|'�r©Þx&v�z3¢H¦&�r¡q�ᯠ⠱�« ¯ ã ± � 4. The Poincaré groupuÞ�Õw����O���¨x&v�z�w�¤¥� § z£¦&z/|B¡���x&|1x&� äÏ� � {���w�¦qåz�¢H¦&�r¡q� « � x1Å � ���s¤¥z�v�z/���O©¾¡��Þx&� ¤¥z/¢ � {,Å � x&vw���¦&z §q� �r¡�|A¦&z/��wH���s�r©æ|B�ry zÖ¢rz/{�zL¦ºwH�s¦&z/|B¡���x&|1wH{� "{��Hxºw�x � �r{�|/�ç �è�[é � µBê ��ë ��« � �ì��í � µ&î �rë �  �z/{��Hx&zïwH{��,�/�r¡q�O��z��r©Ïz/��z/y z/{�x&| � {`� « x&v�z�äÏ� � {���w�¦qåz¢H¦&�r¡q�s��uAv�z£¢H¦&�r¡q�,�Èw�Å � | ç � �t�[é �'ð ê � ë í ë µBê � ë î ë Ç � �˪rª�� �ñ¢rz/{�zL¦ºwH�sz/��z/y z/{�x � {¨x&v�z£ò � z£wH��¢rzL¤�¦ºw_À � |' �z/{��Hx&z/ "¤)�Í£�V�Ëó � µºÌ � ë �¥µ Ì � ë ð Ì ë � �FÐAµ wH{� ,wJ¢rz/{�zL¦ºwH��z/��z/y z/{�x � {¨x&v�z£ �¡OwH�s|0��wH�/z�À ~ � |AÅ'¦ � xBx&z/{,wH| ô �t�Ëõrö�µº÷ ö�ø �¥µ ÷�ö ø ð ÷ ø ö��FÐA� 446 Classical relativistic spin particlesù�ú�û�ü�ý/þ/ÿ����&þ����Hü�ÿBþ/û��Hú�û�� ��jþ �&þ/û��=ü������`ü�ú��� ��=ÿ��qü�� þ ���&ü�ý/ÿ���� �"!$#%#&#&')(* ��þ=ý+ ,�-�/.������&ü rú/�&þ+�0���&ü rú�ÿ�ü�ú-12���&þ3���4 rÿBþ=ý+ 5���&þ/ÿ�67 rú�û�ü�ú489�� &����þ=ÿBþ+� ü�û�ü��&þ/ý �;ÿ�.4� : �<;�=?>�@A=0BC')>��<D�=E>�F�="BC'HGI� �J@�=0B+D B !2F�="B+; B >�@A= K�F K B�!LF�=HK+@ K BC' �<M5NE' �Hú�ûO����þ£û4.P�5�Q64�� �û4.�ý �1ü�ÿ+R SUT >�V�WX� S �<Y,Z4>�[ ZJ\ ')>��<;�=?>�@A=0BC'�W^]_Y,Z,; Z #a`b [c="BC@ B =ed �<M�f,' g ����þ ��.�ÿBþ+hi.4���&þ/ÿ�.4���&ÿ����&þ9��ü�ÿ��&þ/ûOj¥þ+� ��9R : ` G ` ( * ��þ£ý+ ��Hûlk� rü�ú����Hý �&ü rúQR T � �<Y,Z4>�[ Z \ 'm!InoY�p�q��sr4t4u"' T � �<Y5vZ >�[cv Z \ ' �=ü���� Y5vZ �cw \Z Y \ �Hú�û [cvZ \ �cx�Z,Y5v\ !yx \ Y5vZ #{z KZ z}|\ [ K | d �<M,~�' b ( * ��þ9��ü ,.��qü � ��þ�hi 5����R ������+� =+� ��Y K w K| p5� | # `b [ K"B w B| p,w | K d �<M��,' M�( * ��þ9�- ,� þ/ú���.4�}����646Oü�ú48�hi 5������þ&��þ+h0�A�Hý �&ü rúO ,hX�/R ��I�P�J�7> T '^��Y�p�qC�J��t4u�' T � ��� K > � K | ' ���4 rÿBþ£ý+ ,��67 rú�þ/ú��&ÿ'ý+ 5���&þ/ÿ�67 rú�û��� ����þ9��ü�ú�þC�����- ,� þ/ú���.4� � K ��Y | w�|K �<M,��' �Hú�û�����þ��Hú48,.4�0�����- ,� þ/ú���.4� � K | ��� K � | !L� | � K #%[�Z \ w ZK�w \ |�d �<M,��' 4.1. The reduced phase space: explicit realizations�X rü�ú�ýC�����þA85�� ,.�6O�P�Hÿm�H�� � ��HÿBü � ü��mhi.�ú�ý �&ü rú�ÿ+¡�úP�5� þ+��¢�¡,����þ�ÿ�£?.P���&þA ,h����HÿBÿ��Hú�û�����þÿ�£?.P���&þ¤ ,h^�^�5.4��ü�¥¦�§.�j��Hú�ÿ��qü¨N�¥J��þ/ý �� 5�C(I©�ý/ý+ 5�&û�ü�ú48��� Õÿ�.�jOÿBþ/ý �&ü rúLM�(�M�¡I8rü���þ/úª�Hú�¢�ý+ ,.�6P��þ ,h«67 rÿBÿBü�jP��þ&�5�5� .�þ/ÿ¤�<D u >�D�¬�')¡4�jþ£ÿ��P�5� ���P�C��þ¤�Jÿ�.�jP���Hú�ü hi ,��û�­ ��®J¯¦� ®U° � �Hú�û,þC�Hý��,ý+ rú�ú�þ/ý �&þ/ûý+ ,��67 rú�þ/ú��� ,hÞü��3�=ü � �7j¥þ��/�&þC�5��ü ±C���&ü rúO ,hX��­ = ¡ T³² 1 q ( * ��þ£ü ��6P��ü�ý/ü��Aþ+£?.P���&ü rú�ÿ����&þ5R D u � Y = Y B ��= B �UN�´�' D�¬µ� � = B Z \ Y B [ Z \ � = KH¶ | Y K [ ¶ | �UN ` ' ·A ��9¡�����þ¸67 rü�ú��æü�ÿ§�� 3¹Oú�û¤����þ;ÿBü ��6P��þ/ÿ��§�&þ 64�&þ/ÿBþ/ú������&ü���þ��<Y,Z4>�[ = B '�hi 5�X��8rü���þ/ú�ý+ ,.�6P��þ�<D u >�D�¬�')(qùH�=ü�ÿAü ��67 5�����Hú����� /�&þC�5��ü ±/þ����P����D u �Hú�û�D�¬����&þ�����þ&�`ü�ú��� ��=ÿ��qüsÿ�£?.P���&þ/ÿ3 ,h§�H�� �/.���.P�5� ��¢� 5�����4 ,8, rúP�5�7N�¥J��þ/ý �� 5�&ÿ+¡qúP�5� þ+��¢�¡?Y = �Hú�ûe� = B Z \ Y B [ Z \ (�º�þ/ú�ý/þ5¡qü h§ rú�þA ,h�����þ+�ü�ÿ'þ/ü�����þ �3�&ü � þ+��ü���þ� 5����ü 8,������ü���þ5¡�����þ& 5����þ �1ü�ÿ'ú�þ/ý/þ/ÿBÿ����&ü ��¢"ÿ�6��Hý/þ+��ü���þ5( * �P���=ü�ÿ+¡ D u�» ´�¼oD�¬3½%´ �Hú�û D�¬ » ´�¼oD u ½%´ d 447 J.Llosa ¾«¿ÁÀPÂ4ÃÅÄÁÆ�Ç È�ÉPÊ ËLÌ�Ë É4Ì�Ë+Æ�Ë+Â�Í�Ä�Í�Ç�Î�ËcÏ<Ð5ÑÒ�Ó�ÔcÑÕ+Ö�×OØ ¿5̪ÙXÚ�Û�Ü Ý&ÞHß3à�ËyÆ�áPÄ5Ê Ê�â4Æ�Ë2Í�áPÄ�Í�Í�á4ËÆ�ã�Ë à�Æ�ä�È-È-Ë Í�Ì�Ç åAÈ�Ä�Í�Ì�Ç�æ�Ô Õ+Ö åCÄ5Â�Ä5Ê�à�ÄCä�Æ�ç7Ë&à3Ì�Ç�Í�Í�Ë+Â�Ä5Æ+è Ô Õ+Ö�é�ê�Õ Ð Ö�ëyê�Ö Ð Õ�ìîíïIð Õ+Ö ñ òCó ñ,ô�ò ÏUõ ï × à�á4Ë Ì�Ë�Í�á4Ë Ø ¿5Ì�È/â4Ê0Ä5Ë9Ì�Ë+Ê0Ä�Í�Ç Â4ö ê�Ö ß ó ñ Ä5Â4à ô ò Í�¿OÔ Õ+Ö Ä5Â4ÃªÐ Ö Ã4Ë É7Ë+Â4ó¿,Â�Í�á4Ë�å+Ê0Ä5Æ�ÆA¿ ØÍ�á4Ë&Ê0Ä�Í�Í�Ë Ì3Ì�Ë+Ê0Ä�Í�Ç�Î�Ë+Ê�ä-Í�¿�Í�á4Ë9÷ªÇ Â�ã�¿�à�Æ�ã�Ç�È-Ë Í�Ì�Ç å5øù Ø Ð Ò Ð Ò¤úé_û ß4Ç�Í Ø ¿,Ê Ê ¿�à�Æ3¿5çEÎ�Ç ¿,â4Æ�Ê�äeÍ�áPÄ�ÍCè ê�Õ¤é íÐ Ò Ð Ò Ô ÕCò Ð ò Ó ô Õ¤é íÐ Ò Ð Ò ð Õ+Ö ñ ò Ð Ö Ô ñ ò Ó Ä5Â4à ó ñ é Ð ñeü ÏUõ�ý × ù ªÍ�á4Ë�åCÄ5Æ�Ë�Ð Ò Ð Ò éþû ß�ÄeÊ Ç ö,á�Í�Ê Ç�ã�ˤÎ�Ë+å Í�¿5Ì ó ñ åCÄ5³ç7Ë/å�á4¿,Æ�Ë+Â2Æ�â4å�áLÍ�áPÄ�Í ó ñ Ð ñ�é í Ä5Â4ÃÍ�á4Ë�Î�Ë+å Í�¿5Ì�Æ ê�Õ Ä5Â4à ô Ö Ä�Ì�Ë&ö,Ç�Î�Ë+ÂOçEä7è ê�Õ�é Ô ÕCòCó ò Ó ô Õ�é ð Õ+Ö ñ ò Ð Ö Ô ñ òXü ÏUõ,õ × ù ÂOÍ�á4Ç Æ3Æ�Ë+å+¿,Â4Ã�åCÄ5Æ�Ë&Í�á4Ë&Ã4Ë+å+¿,È�É7¿,Æ�Ç�Í�Ç ¿,§ÏUõ ï × Ç Æ3Â4¿5Í�â4Â4Ç ÿ?â4Ë5øù Í�Ç È-È-Ë+Ã4Ç0Ä�Í�Ë+Ê�ä Ø ¿,Ê Ê ¿�à�Æ Ø Ì�¿,ȵÏUõ ï × Ä5Â4Ã$Ï<ý�� × Í�áPÄ�ÍCè Ù Ú�Û�Ü Ý&Þ é Ù Ú�Û�Ü Ý�� Þ à�Ç�Í�á Ô ÑÕ+Ö é íï ð Õ+Ö ñ òCó ñ,ô�òXü ÏUõ�� ×� Ë+Â4å+Ë5ß4Í�á4Ë9õ��JÎ�Ë+å Í�¿5Ì�Æ�Ð ñ Ä5Â4à ô ò Ã4Ë Í�Ë Ì�È-Ç Â4Ë&Ù Ú�Û�Ü Ý&Þ ø å+å+¿5Ì�Ã4Ç Â4ö�Í�¿�Í�á4Ë9Ã4Ç Æ�å+â4Æ�Æ�Ç ¿,³Ä�ç7¿�Î�Ë5ß4Í�á4Ë+Æ�Ë9ÍHà�¿-õ��JÎ�Ë+å Í�¿5Ì�Æ�Ä�Ì�Ë9¿5Ì�Í�á4¿,ö,¿,ÂPÄ5Ê�Í�¿�ËCÄ5å�á¿5Í�á4Ë ÌOÄ5Â4Ã�Ä�Ì�˪¿5çEÎ�Ç ¿,â4Æ�Ê�äÁå+¿,Â4Â4Ë+å Í�Ë+Ã�à�Ç�Í�áÁÍ�á4Ë�ÍHà�¿� �Ä5Æ�Ç È-Ç�Ì Ø â4Â4å Í�Ç ¿,Â4Æe¿ Ø � ¿,Ç Â4åCÄ�Ì��Ëö5Ì�¿,â�É�ø � Ë+Â4å+Ë5ß�¿,Â4Ê�ä�Í�á4Ë9åCÄ5Æ�Ë+Æ�Ê Ç Æ�Í�Ë+ÃOç7Ë+Ê ¿�àÅÄ�Ì�Ë�É7¿,Æ�Æ�Ç�çPÊ Ë5è���������� ��� � � � ������� � ��� � ��� ��� � ���!� �" "�" "�"�" "$# # #%"����& ��� ���(' � ����' ��� ���(' � ����' ��� ���)& � ����' ��� ��� � � ��� � ��� ��� ��� ��� ����� ���)' � ¾�á4Ë&Ã4Ç+*7Ë Ì�Ë+Â�Í�åCÄ5Æ�Ë+Æ�Ä�Ì�Ë9Ä5ÂPÄ5Ê�ä�Æ�Ë+ÃOà�Ç�Í�áOÃ4Ë Í�Ä5Ç ÊQÇ ÂOÍ�á4Ë9Ä�É4É7Ë+Â4Ã4Ç å+Ë+Æ+ø Æ�Ä/Æ�â4È-È�Ä�Ì�ä�ßÍ�á4Ë�Æ�Ë Î�Ë Ì�Ä5ÊPÌ�Ë+Ã4â4å+Ë+Ã�ÉPáPÄ5Æ�Ë�Æ�É�Ä5å+Ë+ÆmÙXÚ�Û�Ü Ý&Þ�Ä�Ì�Ë3Ì�ËCÄ5Ê Ç-,+Ë+Ã�Ä5ƸÍ�á4Ë�Æ�â�çPÈ�Ä5Â4Ç Ø ¿,Ê Ã4Æm¿ Ø�.�/ Ï1032 ×Ã4Ë ÀPÂ4Ë+Ã�çEäeÍ�á4Ë9å+¿,Â4Æ�Í�Ì�Ä5Ç Â�Í�Æ+è46587:9 Ò 9 Ò ë<; 5 é�û Ó 4(=>7@? Ò ? Ò ì�A�é�û ÓB85C7@D Ò D Ò ëFEyé�û Ó BG=H7@D Ò ? Ò é�û BGIH7@D Ò 9 Ò Ó B%JK7:9 Ò ? Ò é�û L ÏUõM� × à�á4Ë Ì�Ë5è A éN; =PO õ ; 5 Ç ÂeåCÄ5Æ�Ë+ÆRQ�S%QTQ�S%QTQTQ�ßPÄ5Â4ÃUQ!V³ß A�éÅë í O õ¤Ç Â-Í�á4ËAåCÄ5Æ�Ë�V Ä5Â4à A�é�ûÇ ÂOÍ�á4Ë9åCÄ5Æ�Ë VWQ�ß�Ä5Â4ÃE é í Ç Â�Í�á4Ë�åCÄ5Æ�Ë+Æ Q�SCQTQ�S>QTQTQ�ßQÄ5Â4ÃXV³ß E{éY; 5 Ç Â�Í�á4Ë�åCÄ5Æ�ËZQ!V³ß7Ä5Â4à E é[; = Ç ÂÍ�á4Ë&åCÄ5Æ�Ë\VWQ�ø 448 Classical relativistic spin particles]K^)_ `ba�c-dedea�fhg)iPjlknmM_!oHd�oeinp)k!onp�in_ a�fq_rjlkP^3a�s�on^)_�de_�dep�g(t3jlf)c-sua�v-w)dHc-dCalg)oPjlc-f)_�wUjldCon^)_x c+iPjlk g)iPjlknmM_!o�d�oeinp)k!onp�in_yalg)oPjlc-f)_�wXs$ina�tzon^)_Zkrjlf)a�f)c-krjlvG_�v-_�tq_�fMoPj�ie{|`ba�c-dedea�f}g)iPjlknmM_!onda�fW~��r�1�3�P��� �r�(�l�1���M���N�T�� � �T�������)�������T�� �������ona���_!on^)_!i3��c+on^�on^)_�k�a�f)d�oeiPjlc-fMondUv-c-d�on_�w@j�g6aT�M_l�H��tqa�f)��on^)_�t}�H�G���R� �¡ ���¢�¢�¢�� �)�Rj�in_de_�k�a�f)w}k�v$jlded�k�a�f)d�oeiPjlc-fMond��)��^)_!in_rjld�£6¤Kjlf)w�£(¥G¦¨§ ¥© § ¤ �8¤Kj�in_«ª)ind�o k�v$jlded��¬ f­on_!intqd�a�sCon^)_�de_®�lj�inc$j�g(v-_�d��6on^)_®��_�f)_!iPj�onc-f)�|sup)f)k!onc-a�f)d a�s>c-f�ª(f)c+on_�dec-t3jlv¯`ba�c-f)krj�i�°_oeiPjlf)desualint3j�onc-a�f)d±j�in_l�v-c-f)_rj�i�tqa�tq_�fMonp)t ��� ���M²M�jlf)��p)v$j�i�tqa�tq_�fMonp)t ³l´¶µ �·� ´ � µ ¸ � µ � ´b¦ � ´ � µ ¸ � µ � ´ ¢ ���M¹M� Appendix A: Cases I, II and III]K^)_q�M_�k!onalind®�l´ºjlf)w�» � krjlf<g6_3k�a�th¼(v-_�tq_�fMon_�w���c+on^Fj}p)f)c+oPj�ie{<jlf)wFalieon^)a���a�f(jlv�M_�k!onali ½ � �¾jlf)w|��c+on^¿¯À �@Á À � �e � � ½ � » ÂK� ¿ À ¿¯À � ¸�� ´ �l´�» � » ��� ¸ § ¥§ ¤ ¢ ��ÃlÄM���dKj\in_�dep)v+or� � �l´ � » �Å� ½ � � ¿  � c-dKjlfUalieon^)a���a�f(jlv¾on_!oeiPjlwUc-f3on_!intqdHa�sÆ��^)c-kP^Uon^)_�Ç%alin_�fMonÈt3j�oeincÊÉUË µ´ krjlf|g6_ �±inc+oeon_�f}jld Ë µ´ �ÍÌ ´ ¿ µ¿  ¿  ¦ � ´�� µ�  �  ¦ÏÎ ´!» µÎ  Π ¦ � ´�½ µ ��à   ���^)_!in_l� Ì ´ � Ë µ´ ¿ µ�� � ´ � Ë µ´ ��µ�� Î ´ � Ë µ´ »Rµyjlf)w � ´ � Ë µ´ ½�µZc-d±jlv-deaºjlfWalieon^)a���a�Ðf(jlvÆon_!oeiPjlwÆ�Ñ dec-f)�X��ÃlÄM�Rjlf)wF��à   ����on^)_\Ç%c-a�p���c-v-v-_«sualintÒ�1ÓM���Hg6_�k�a�tq_�dÔ�Õ �:� ´�w � ´ ¦  © Ì ´Pw � ´ ¢ ��à © �Ö alonc-k�_«on^(j�o�on^)_  T× �lj�inc$j�g(v-_�d � µ �e� ´ � Ì Â �1��� krjlf|g6_Zp)de_�w}onaqk�aÅalinw)c-f(j�on_q�Øin_�w)p)f)w(jlfMonv+{(�on^)_ in_�w)p)k�_�w|¼(^(jlde_«d�¼¾jlk�_ ÙbÚ �nÛ Ü Ý c-fUkrjlde_«on^(j�o § ¤�Þ� Ä®jlf)w § ¥\Þ� Ä�� ¬ f)w)_�_�wÆ�(��c+�M_�f3on^�in_�_f)a�fÅÐßf�p)v-v>alieon^)a���a�f(jlv8�M_�k!onalind � ´ � Ì Â �1��� �%on^)_qsua�p�ieon^��M_�k!onaliyc-fàon^)_hon_!oeiPjlw<c-dZalg)oPjlc-f)_�ws$ina�t Ì À �áÁ À � �e � � � � Î Â �R]K^)_}¼6a�c-fMoUc-fâÙ Ú �nÛ Ü Ý«k�aliein_�d�¼6a�f)w)c-f)�Fona:�MãM�r��ä¾å ¤ ���1� �Pæ �ºc-dk�aÅalinw)c-f(j�on_�w·�1jlv-dea|in_�w)p)f)w(jlfMonv+{(� g�{Fä � � � � � Ë µ´ �«��c+on^àon^)_3Ç%alin_�fMonÈqt3j�oeincÊÉà��c+�M_�fg�{���à   ���]K^)a�de_  T× �lj�inc$j�g(v-_�dyj�in_l�%^)aT�R_!�M_!ir�%in_�w)p)f)w(jlfMoºc-f�Ù Ú �nÛ Ü Ý±jlf)wFj�in_hk�a�f)d�oeiPjlc-f)_�w<g�{on^)_ sua�v-v-aT��c-f)�ºin_�v$j�onc-a�f)de^)c+¼(d��£6¤8ç � ´ � ´ ¸ § ¤ � Ä � § ¤�Þ� Ä � �H£(¥Hç Ì ´ Ì ´ ¦ § ¥�è § ¤ � Ä � § ¥\Þ� Ä�8¤Cç � ´ � ´ ¸   � Ä � �G¥Hç � ´ Ì ´ � Ä � �GéRç � ´ � ´ � Ä � �%êRç Ì ´ � ´ � Äìë��ÃlÓM� 449 J.Llosaí¶î:ïnð!ñnòqóyô�õ±ïnö)ð�óeðU÷lø�ñnù$ø�ú(û-ð�ó�ü¯ïnö)ðWû-ù-î)ðrø�ñhølî)ýìølî)þ�ÿ)û$ø�ñºòqô�òqð�îMïPø�ü��������Zølî)ý����� ���üñnð�ó� 6ð �!ïnù+÷Mð�û��Mü(ø�ñnð ��� ølî)ý ����������� � ����� � � �"!$#% �'&(�*)+���,& �-)��(�/. �10-23� 4�ô6575±ñnù+ïnù-î)þ98��:�<;= )��Kù-îqð >Åÿ(ø�ïnù-ô�î)ó/�10-23�8ølî)ý?�10 % ��ü�ïnö)ð�ð*@� )ñnð�óeóeù-ô�î)ó��'2� ���ülïnö)ð ð�û-ð�òqð�îBAïPø�ñC�EDbô�ù-óeóeô�î|ú)ñPø��GFMð!ïnóH�'23I��Rølî)ý|ïnö)ð���ô�î)ó�ïeñPølù-îMïnóH�'2�J��Hõuô�û-û-ô65Yù-òqòqð�ý)ù$ø�ïnð�û���K Appendix B: Case IVí¶î|ïnö)ù-óL�rølóeð ïnö)ð«ïnð!ïeñPølýNM��6OGPRQ-OTS � OGUWVºù-óL��ô�òX (û-ð!ïnð�ý|óeôºïnö(ø�ïU � U � �YU � M � �YU � P � ��P � M � �YP � S � �YZ:O P � P � �Y[ ; O U � S � � # �10�0��ølî)ý]\^V � QC_�M V S � U Q P _ �`�R[ ; Kí¶î|ïnð!ñnòqóKô�õGïnö)ù-óKïnð!ïeñPølýWïnö)ð9a%ôlñnð�îMïGb\ò3ø�ïeñnùc@Ed �� �rølîWú6ð�5±ñnù+ïeïnð�î}øló d �� �Y)�� S � !fe(�*U � ! � �(M � !g&(�(P �� _ � _ �10�J�� 5�ù+ïnö )��:�hd �� Ui�BO � ���hd �� M��3OTe(�:�hd �� S�� ølî)ý &(�:�hd �� PR�3.j ù-òqù-û$ø�ñnû��Uøló±ù-î}ø- � 6ð�î)ý)ùc@lk[ïnö)ð9a%ù-ô�ÿ�÷�ù-û-û-ð«õuôlñnò ù-ó m n-o � � �Pý�� � ! #% e(�Pý�& � O �10�I��ølî)ýWïnö)ð\û-ù-î)ðrø�ñ ølî)ýXølî)þ�ÿ)û$ø�ñ�òqô�òqð�îMïPø®ø�ñnð�m ��� ølî)ý ����������� � ���p� � � �"!$#% �'&(�(e ���,& ��e(�(�/. �10���� q ö)ð ónølòqð���ô�òqòqð�îMïnó±øló�ù-î}ø- � 6ð�î)ý)ùc@lk ý)ôhö)ô�û-ý}ølî)ý|ïnö)ð9��ô�î)ó�ïeñPølù-îMïnó�ø�ñnð�mr ;"s � � � � �t[ ; �YZ�Ou[ ;/v�YZ�O 2 r = s e(�(e � �YZ�Ou[ = ��Zw ;xs &(�T& � �,[ ; �YZ�O w = s & � e(�:�YZ�O wzy s & � � � �YZ�O w|{ s e(� � � �YZ } �10� �� ~bù-î(ølû-û��Mü�5±ñnù+ïnù-î)þ�8�����;= e(�«ù-î}ð >Åÿ(ø�ïnù-ô�î)óH�10����±ølî)ýg�10�I���ü)ïnö)ðZð*@� )ñnð�óeóeù-ô�î)ó��'2� ���ü(ïnö)ðð�û-ð�òqð�îMïPø�ñC�EDbô�ù-óeóeô�î|ú)ñPø��GFMð!ïnóH�'23I���ü(ølî)ýWïnö)ð9��ô�î)ó�ïeñPølù-îMïnóH�'2�J��Hõuô�û-û-ô65Yù-òqòqð�ý)ù$ø�ïnð�û���K Appendix C: Case Vj ù-î���ð�M�_}ølî)ý,S�_ s \-_ V � Q�M V�� � Q ø�ñnðºôlñeïnö)ô�þ�ô�î(ølûbî�ÿ)û-û8÷Mð �!ïnôlñnó�üÆïnö)ð(�àø�ñnðºû-ù-î)ðrø�ñnû��ý)ð( 6ð�î)ý)ð�îMï�K����Wø�a%ôlñnð�îMïGb ïeñPølî)óeõuôlñnò3ø�ïnù-ô�îÆü)ø®ñnð( )ñnð�óeð�îMïPø�ïnù+÷Mð ô�õz�i���G� ���W�rølîWú6ð��Pö)ô�óeð�îóeÿ��Pö|ïnö(ø�ï�M � ��S � K 450 Classical relativistic spin particles�������C�+���(�����6�`���G�(�C�T���l���6�G�W���G�R -�T¡£¢H�C¤�¥T¦l�G¦ �-�� ¢ �W¢9§Y� ¢ �L¢�§Y� ¢ ¡£¢9§Y� ¢ ��¢�§Y� ¢ ¡£¢�§Y¨:� � ¢ �L¢9§�¡ ¢ ¡£¢9§`©x� � ¢ ��¢9§`©ª�« ¨�¬�����]­^�(¢( C®�� � � ¢ ¡   � ® §`©�¯° �]�G�(�G±��:��²z�R¦��+¥T¦]�G¦���³|���G� ���G´9±µ�-�C�G�c¶¸·º¹� ¥����]»¼�½�L�G���C�G� �l���· ¹� §Y¾��(� ¹:¿ÁÀ �*� ¹:¿Ã �*� ¹:¿7Ä �(¡ ¹ ª�« ©^¬�R���G¦ÆÅ ¾��:§h· ¹� � ¹ � À ��§h· ¹� � ¹ � Ä �:§h· ¹� ¡ ¹ �����  �:§h· ¹� � ¹3ÇÈ ¦��9³|�+��¤�É��+Ê+Ê+�½²Ë���G±Ì¥����¸»¼�9��»��T���+��� �l���R�+�l�-Í�ͼ� �����c¶lÎÏ�����]���LÐ��+� Ê+��� Å Ñ-ÒN§ À �T��Ó � ¿ ©Ô Ä �T�  � � ª�« Ô ¬ �����¸�G¦��9Ê+�+�����-�������N����Õ�¤�ÊÖ�-�R±���±�� ���T���-�G��Å À ¢×����� Ø�� ¹ §�Ó�� À ¹�Ù Ó ¹ À � ¿ ©Ô ª' � Ä ¹�Ù Â ¹ Ä �(¬ Ç ª�«�Ú ¬ È ¦����G��±���¥ ��±�±�� ���G�L���R�+�l�-Í�ͼ� �����c¶lÎÏ��Ê+�C��¦���Ê+�N�����¸�G¦��9¥ �������C�T���+���G���-�G��ÅÛ¼Ü"Ý À � À � ÙtÞ Ü §Y¨�� Þ Ü §Y¨�� ß Û à�Ý Ä � Ä � Ù ©/§Y¨�� Þ à §Y¨á"ÜxÝ Â �  � Ù ©�§�¨�� ázà�Ý Â � Ä �:§Y¨�� ázâ�Ý Ä � À � §Y¨�� á|ã�Ý Â � À � §�¨fä ª�« ß3¬å �+� ��Ê+Ê�Ð�æ��L�G���G�+��Õ�ç���§ Üà Ä �½�+�l� èB¤ �-�G�+����� ª�«�Ú ¬L����� ª�« Ô ¬*æ��G¦��é�*¶�Í��G� �C�C�+����� ª ß�ê�¬*æ �G¦��� Ê+� ±�� ���T�-�CÐEëi���+�C�C���]»��T��¥Gì��(�G� ª ß3í�¬*æ �����¸�G¦��9¥ �������C�T���+���G� ª ß « ¬�²Ë��Ê+Ê+�6�u�+±�±�� ���Ö�-�G� Ê�Ð�¯ Appendix D: Case VI����±XÍ Ê+�(�G�����½�����?î� /�G�����G�(�C�T���l���^�G�W�B�G�R -�Tî�¢H�C¤�¥T¦l�G¦ �-�� ¢ �W¢�§Y� ¢ �L¢9§Y� ¢ î�¢�§Y� ¢ ��¢9§Y� ¢ î�¢9§Y¨:� � ¢ �L¢�§ Þ à � � ¢ ��¢9§`© ª�«�ï ¬�����]­^�(¢( C®�� � � ¢ �   î ® § Þ à ¯° �]�G�(�G±��:��²z�R¦��+¥T¦]�G¦���³|���G� ���G´9±µ�-�C�G�c¶¸·º¹� ¥����]»¼�½�L�G���C�G� �l��� · ¹� §�¾��*� ¹:¿ÁÀ �*� ¹:¿  �*��¹ ¿7Ä �(î�¹Þ à ª�«�« ¬ �R���G¦ ¾��:§Y· ¹� � ¹ � À �:§h· ¹� � ¹ � Ä ��§h· ¹� î ¹ �����  �:§Y· ¹� � ¹3ÇÈ ¦��9³|�+��¤�É��+Ê+Ê+�½²Ë���G±Ì¥����¸»¼�9��»��T���+��� �l���R�+�l�-Í�ͼ� �����c¶lÎÏ�����]���LÐ��+� Ê+��� Å Ñ-Òl§ À �T��Ó � ¿ ©Ô ¾��*�  � � ª�« í�¬ 451 J.Llosað�ñ�ò¸óGô�õ9ö+÷+ñ�õ�ð-ø�ð�ñ�òNð�ñ�ù�ú�öÖð-øRû�ü�û�õ ñ�óTð�ð-øGõ�ý þ�ÿ ð�ñ�ò ��������� � þ �� �� � þ ��� ������ ������ � ��������� � �"! � # ô�õ�$Gð�û�õ�% ü�û�û�õ ñ�ó&$Lð�$R÷+ñlð�' '¼õ ñ�ò�÷)(+*Ïð�ö�$Cü�ô�ü�ö+òNð�ñ�ò¸óGô�õ,% ü�ñ $�óCøTð�÷+ñ�ó&$�ð-øGõ�ý -/.�0 þ � þ � 21 . �436571 . �4365 8 - 9:0<; � ; � �436571 9,=�<3>�.?0 � � � � @1 9 �4365 >A9B0 � � ; �C�4365 >ADB0<; � þ � �<365 >FEC0 � � þ � �43 G � �"H � I ÷+ñ ð�ö+ö�JLK MLøG÷�óG÷+ñ�ùON ��� .9 ����÷+ñ?õQPBú ð-óG÷+ü�ñ $ � �LR �Rð�ñ�ò � �"! ��K óGô�õHõ�(6'�øGõQ$S$C÷+ü�ñ $ � 8 H ��K£óGô�õõ ö+õ û�õ ñ�óTð-øSJUTiü�÷�$S$Cü�ñWV�øTð�%&X�õ(ó&$ � 8 R ��K ð�ñ�ò¸óGô�õ,% ü�ñ $�óCøTð�÷+ñ�ó&$ � 8 � �BYËü�ö+ö+üZMu÷+û�û�õ ò�÷Öð-óGõ ö�JL[ References \Q]_^a`cbdQecf�g"h&eji6k ] djlLmon `qpZr d�its ] i6u�v�w xzyU{j|�}�xz~A}����&x)i��t� i���iL�L� ] \c��\���������\c�j��\��� ]_�?�L� dj�Ldj��iz� ] djlLm���d ��r m"hcl i�s ]z��] i�� �Q �¡�¢Z{j|¤£¥�Q¡"�o��¦�y�v¨§S}�{Q¡L£¥§S� �¤r hc© p lLm�hcmLªq«¨ª p l � i ^ hcl �¬ dj�­ª)l � ��hcdjmLª)l"®"i \c�Z¯Q�Z���]_� « � hjit� ]L°±] djlLmo��g"²�gLlLmLd�i"³ ] i ´"x yU{j|�}�xz~A}����&x)i6µ�¶�i \ ��it�L� ] � �Q·Z��� � ����\c�j�j¸Z��"]_¹ ª � dj©Qi"º ] �_] � ] i6»zv¨§c|¤ �¼¨v��_�Q¡+½a L{Q¡t|¤ �¾4y�v¨§S}�{Q¡L£¥§S��i�¿Àh r �LªqÁQd�Â:lLªqÁjh ��r ªq«�Ãji ^ h `qÄ h �?Å:� djmLgLdQ«ÆhÇ ©�� p�pZ` pjÄ Ç ©&ªqhclL©Shji � ³?h&È2¿ pj� ²�i \c�j¸����É�]_^ h ` « � dj��h&«¨ª¥i ��]6ű] djlLm ^a` d r ª¥i �_] i6~A}����&xz»zv&|¥|�x)i6µL� i \ iL�L� ]t¸ � ���O��\c�j¸j¸Z�¸�]_�?� h `)` djlLd r i"n ] djlLmo��d � « bÊ l"h&e �:`qp l rÆp itn ] i ´"x yU{j|�}�xz~A}����&x)izË�Ì i � iL�L� ] \cÉj�Q·����Í��\c�Z¯���� Класичні релятивістичні частинки зі спіном Й.Льоза Барселонський університет, кафедра теоретичної фізики, Барселона, Іспанія Отримано 30 січня 1998 р.; після доопрацювання – 6 травня 1998 р. Релятивістичні частинки зі спіном розглядаються з точки зору гаміль- тонової дії групи Пуанкаре на себе. Прокласифіковано низку можли- вих розв’язків та побудовано реалізації у термінах Діракового фор- малізму з в’язями. Ключові слова: релятивістична частинка зі спіном, група Пуанкаре, гамільтонова дія PACS: 03.20, 03.30 452