Classical relativistic spin particles
Relativistic spin particles are approached from the stand point of Hamiltonian actions of Poincare group on itself. The several possible solutions are classified and realizations are given in terms of Dirac’s constraints formalism. Релятивістичні частинки зі спіном розглядаються з точки зору г...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Condensed Matter Physics |
|---|---|
| Дата: | 1998 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | English |
| Опубліковано: |
Інститут фізики конденсованих систем НАН України
1998
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/118968 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Classical relativistic spin particles / J. Llosa // Condensed Matter Physics. — 1998. — Т. 1, № 3(15). — С. 439-452. — Бібліогр.: 6 назв. — англ. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-118968 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Llosa, J. 2017-06-01T17:58:39Z 2017-06-01T17:58:39Z 1998 Classical relativistic spin particles / J. Llosa // Condensed Matter Physics. — 1998. — Т. 1, № 3(15). — С. 439-452. — Бібліогр.: 6 назв. — англ. 1607-324X DOI:10.5488/CMP.1.3.439 PACS: 03.20, 03.30 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/118968 Relativistic spin particles are approached from the stand point of Hamiltonian actions of Poincare group on itself. The several possible solutions are classified and realizations are given in terms of Dirac’s constraints formalism. Релятивістичні частинки зі спіном розглядаються з точки зору гамільтонової дії групи Пуанкаре на себе. Прокласифіковано низку можливих розв’язків та побудовано реалізації у термінах Діракового формалізму з в’язями. en Інститут фізики конденсованих систем НАН України Condensed Matter Physics Classical relativistic spin particles Класичні релятивістичні частинки зі спіном Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Classical relativistic spin particles |
| spellingShingle |
Classical relativistic spin particles Llosa, J. |
| title_short |
Classical relativistic spin particles |
| title_full |
Classical relativistic spin particles |
| title_fullStr |
Classical relativistic spin particles |
| title_full_unstemmed |
Classical relativistic spin particles |
| title_sort |
classical relativistic spin particles |
| author |
Llosa, J. |
| author_facet |
Llosa, J. |
| publishDate |
1998 |
| language |
English |
| container_title |
Condensed Matter Physics |
| publisher |
Інститут фізики конденсованих систем НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Класичні релятивістичні частинки зі спіном |
| description |
Relativistic spin particles are approached from the stand point of Hamiltonian
actions of Poincare group on itself. The several possible solutions
are classified and realizations are given in terms of Dirac’s constraints
formalism.
Релятивістичні частинки зі спіном розглядаються з точки зору гамільтонової дії групи Пуанкаре на себе. Прокласифіковано низку можливих розв’язків та побудовано реалізації у термінах Діракового формалізму з в’язями.
|
| issn |
1607-324X |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/118968 |
| citation_txt |
Classical relativistic spin particles / J. Llosa // Condensed Matter Physics. — 1998. — Т. 1, № 3(15). — С. 439-452. — Бібліогр.: 6 назв. — англ. |
| work_keys_str_mv |
AT llosaj classicalrelativisticspinparticles AT llosaj klasičnírelâtivístičníčastinkizíspínom |
| first_indexed |
2025-11-24T02:23:56Z |
| last_indexed |
2025-11-24T02:23:56Z |
| _version_ |
1850838060974997504 |
| fulltext |
Condensed Matter Physics, 1998, Vol. 1, No. 3(15), p. 439–452
Classical relativistic spin particles
J.Llosa
Departament de Fı́sica Fonamental, Universitat de Barcelona
Diagonal, 647; E-08028 - Barcelona, Spain
Received January 30, 1998; revised May 6, 1998
Relativistic spin particles are approached from the stand point of Hamil-
tonian actions of Poincaré group on itself. The several possible solutions
are classified and realizations are given in terms of Dirac’s constraints
formalism.
Key words: relativistic spin particle, Poincaré group, Hamiltonian action
PACS: 03.20, 03.30
1. Introduction
���������
���
�������������������� ��!"���#�#���$��!
�&%����'%(�*)# �����!�
���+,���-�*%�%�)��.���/��
��0���' ���
21(���#���3���
�#���4%�!�
65�����
��7�* ����$��!8%9���& �:�!"�* �
��; ����* ,+<
=)�
-�#����
3
?>� �
����#�����@���A)���B����C19�D���E5�����
��7�* �������F
G ��
�)���!�
����#�#�D���"�* �
��0���0�� ���
=)H�*%�%�)��.���/��
��H!��I5.
@� J*�K+L�I ��M ���
4�#�*NO�$��!�!�
��QP&������
=)R�&%(����
�S
���T ���
���!"���#�#���$��!8%(�*)# �����!�
6+,���,
��H19�D����
��E���7 ���)�
�
3�2:� �:���!�!I�4��)# �����B�������!9�&%(����
�!��I5.
3�U>�
��
19
�!�����B�����BV ��V ���
C�������XW�����BV�&%(����
�F YD�' ���
7%������#
Z�&%(����
E+,���4�V�#:�1��7�������[��!��\���; ���
���� /����B�
��. ��&%(����
H���
���
H]
�������$�*)�^
RB�)���:�%V ����* _+,���6��
=`���
��V1a�@ ���)�
�
H����������!�����������:��
�������& #)/�����. ���bT+L�����/�01(���#���$��!�!I�V)�
�cD:��I)�
2 ���
4������
��. �:��d���e ���
�%(�*)# �����!�
� ��C19
�%�)���%9��)&N
���������!9 ��� ���
� �����
�����!�:����Z���f��gA��)�
��. �hR�7�* #)���>TF
���. �:��I ��IW.
i���4�I 7�7�$�j19
�be ��������[��)��2:�!"�* ������\���4 ��D�M)�
��& #)����= ��IW.
�FK������
�
��Tb<���7�M�����DN
�#
�cD:�
�����
���� ���
4�������& #)/�����. ���bA����!I�V%9���#�I ��IW.
��7���#��%(�*)# �����!�
��-�$���M`� R���. ��@�I R�����M19�� ��
�7���#�#!�
��#�,%(�*)# �����!�
��L�����Z /���/�.�.�����_�*)�
�)�
lk&
��= �
��i�")����m ���
�W.
=)#�E19
�B�����������B�F
n(:�)# ���
=)�����)�
�b8���\�����A ���
=)�
H+,���_)/�* ���
=)_+L����
H��!"���#�6���K���������������L%9
=)����I # �
��@1a�@ ���
)�
�cD:��I)�
���
��. , ����* L�2�&%����C%(�*)# �����!�
����;��
��#�=)��I19
��Z1a�C�2]
�������$�*)�^
3���.W��*)��"���. ;o�������!I ������"���
�&���& �
��@F �l E+,���E����!I��)�
���:���
��p1a�q���#�#:�������Bj ���
'���������I ������q���3�&%���
=)����$��!��&������
= #)#�
r +L�����/�q+,���C���. #)��D��:���
��p1a�q�������(sE���p�#:��/�t�j+,�$�u��1� /����������Bv ���
'
?>�%9
��= �
��p)�
��#:�!I $b
������
�!I�.b9 ����* R ���
�o�������!I ������"���'�#����:�!��j����!I�M��
=%9
����j���0 ���
4 l+<�'w,���#�����I)-�[:����= ��������
� xU�y���A ���
-]
�������$�*)�^
-B�)���:�%yF
���M ���
�%�)�
��#
��. H%(�*%9
=)-+<
4�#����!�!e�/������B�
7�C!��I # �!�
21��I -��:�)-%9
=)��&%9
��= ��IW.
7�����0���� R:��#
�������& #)/�����. ���F G ��
C�����z���H ��V
��������4%(���#�4��!��#�V�7���#�#!�
��#�H%(�*)# �����!�
��������v /���/�.�.������F G ��
:�����
=)�!I������B4����
$����b� ��219
-�#���*%9
��@���@�7�* ���
��7�* ����$��!8�[��)��@b��*)�
3 ���
3�[��!�!��X+L����B�{
r}| �Us G ��
E������`�B�:�)/�* ������v�&%(����
C���H]
�������$�*)�^
EB�)���:�%yb
~2Ff�����/�j%9�����. 2�������#���& �����B'���< ��
�� J.Llosa 439
J.Llosa
�����4�9�������.���i���y�#�,�?�K�����Z�����&�7�����Z���I�.���������Z�9���#�I�����������_�����C�(�*�#���������@�����#�����
�a� �#�����C���I�.���\�����=�#���"���,�"�/�������
�L� �����������Z�#���������Q�}�¡ �� ��f�����Z¢A�������.��£@�7�*�#����¤
�,�L���I�.���_�����2�����4�9�������.���6��� �7�&�(�����=�������H���#�������������7���A���=�#�/���V���
�.���=�������4�������
¥�� �D� ��¦ �U¤����/�������[�=�#�����@��������� � ���#���L���A�L
§ �I�������¨�������H�"�/�����=©<���#ª0���D�����������*�����#�/�����#�[�����7�*���������H�"�����«�����E�����=�#���"��� �"�/�������¬���
�����������=�$�y�e[�®�*�������=�������#���.����� �a� �����������"�H���=�������0����¯
�������$�*��°��������±��q�������4� � �����=�#� �
������±��j���<�����"�*���I���I� � �6���¨�I���#�����-������������������±��/�*�������j�&�(�����X�?
²6�j�����4�������#�E�&�(������³L´#µ
�����7�����#�����&�9�����������M�����"�H�2±��&� � �E�������#�����=�����t�}�#���M¶�·�¸��[�������=�/�������/�? ®¹6���������������V���i�����
�����������I�����-���A�����"�*���I���I� � �D��� � �#���$���y�"�$©L�;�2±��&� � �3�����3�������3���@�����T�����=�#���"���y�"�/���������
�}¹3º��������H� � �����������L���e�4�&�����i�(�*�#���������R���@�����-�������#�2�&�(�����R³L´#µ»�#����±���� � �R���.���*���"���.�
±������=�L�����R� � �X�.�3�����"�_���=�������T
¢A�=�;±��;���X©t�������#�����=�;�����6�������.�L���=�������C���y�����������������.�,¼2½¾�¡¿���Àe�<Áiµ¬���A¯
�������$�*��°�
������±��@���i��� � �9�����.�H���y�#�,��Áiµ¾���®����������±��/�*�������@�&�(������
���y�#�,��Â8ÃÄ���y�#�,�fÅa�¡¿���Àe�K½»���HÆ\�<¿��#�<Àe�
Ç �������#±��I���4�����'�#�����"�����L�����C�9�����.�������\ÈV����ª.�X©L�&ª��,�&�(�����=�������E���'�ZÆÉ�<¿¨�����������
�/���������-���A����� ¥�� �D� ��¦ �U¤��������"�����Ê�u���4�jÅXÀ<
Ë ���6�������.�,�&�(�����������/�*�������7���D���,�����,�/����������� Ì.Í$�D�����6������� ¥�� �D� ��¦ �U¤����� § �=���6�����
�������#�7�&�(�����E���=������� �a� �#�����4�������&�#�/�����.���H���.�.���I�������i� Ì.Í �f���H�I�H���*���9�������v���q¶�·�¸Î�®�I�
©<��±���� � �_���.���*���"���.� �a� �������.�<�&�(�����L�����/�*���������� .Ï(±��#�����=�����������a���T�&�����=�����$���8� � �����=�#� � ���
���#�#±������T�.�����=���_��� ���R�������[�=�#�����7�#���"������� � �D� � �U¤����6�}�¡ �� ��a�����(���8�������Ð�*���L� � ���������$����� �
��ÑD±��I���������.�?�? �Ò6���������
�}¹�Ó.�������6� � ���������$����� � �&�����Ô�����#�=��� � �������R���"���#�#���$���(�&�����7�(�*�#���������L�#����±���� � �_���.���*���"���.�
±������=�L�����3�������.�_���=�������Z���®�&�(�����3�����/�*����������
Ë ���7�������.�����=�������j���L� � �D���&�2���D���2�/���������E�����7�������7�U¤����H���<����� ¥�� �D� ��¦ �"�/�������
� Ì.Í��������7�/�*ª.��� �����L�9�����.�3���y�#�,�e��ÕZ�����_�������#�6�&�(�������}���7�$���#�_�����_�"�*�#���=�<�������=������� �a�
�#�������������&�#�/�����.���L���.�.���I��������� Ì.Í �?
�}¹�Ó�Ö×� Ë ���R�������.�����=�������i��� � �D���&���_�$��� � �H±��#���V���7�?¤��������T�8���V�4�������.�����.���*���"���.�_©,� � �
�����3� � ���������$���T� � �&�����m�"�����m�����3�������#�-�7�������[�����E���������3©L��������³L´#µ2
Ç �K���K���������#���*� � �����&�#�����#�K�����,���IÕ9�=�����.�K���������e���#�#�������������=���<���������"� �����2�������.�e���=���������
���<µ2 Ç ���������T� �a� �����"�H���=�������¨�����¡¿���Àe��©<�4�/���������������4�����[�=���������E�"�/�������T©L���=���$��� �a�
�������.� ���=�������2©<�;�*���;�/�������������3����� ¥ �U¤����e�*�#�/���/��������������� � �D� ��¦ ©L������ÀM���e�6�����/�*�������T
Ç ���������#��ÑD±����.��� � ©L�I���4�����_� � �X�.�,ª��������7�*�����$�����*����±������.�����������L� � �����������e���9�-���"����Ø
�#���$���y�&�����C�(�*�#���������3©L����� � �3���=������� �a�
Ù�ÚRÙ�Û2Ü�Ý×Þlß*à�Ü¡Ù�àVá?âUá?Þlã=Ûäß*à ³L´#µHå�æ Ü�Þ}çZÜ�Þ}áHè�Ù�à9ß*à�ÜÎè�Ù�Ý9á?â*ÛLé9Ý�ã/è=Þ¡ÜÎè-á?Þ¡ê?ë�è=Þ¡ëDê�ãì¡í�î å Þ}ç�Ù�Þ�Ü[áVÜ�à�ï*Ù�ê?Ü¡Ù�à�ÞHëDà8ðaã=ê0ñ?ß*Þ}çqÙaè=Þ¡ÜÎß*à�ájòOà8Ù�Û�ã=Ý×â å Ý�ã}ó?Þ�Ù�à8ðvê?Ü�ô*çaÞ�õ�ß�ó
ö ß*Ü�à9è�Ù�êf÷ã_ô�ê�ß*ë$é µ ß*à ³L´#µ�ø
440
Classical relativistic spin particles
ù,ú�û_ü�ý�û�þ#û�ÿ�������ÿ��#ý�� ��
����
��ÿ�����
��
���9û������.û�ÿ���þ���ÿEû���û=ý�����þ#û������/ú��*ü���û=ý�����ÿ! "$#&%Dù,ú�û
ÿ��'�������
��ÿ(��ÿ��()(��þ*� ÿ��'���
��ÿ�þ+
�þ#û��7ú�û=ý�û,�*ý�û��-�*ý�.�û�� /0��û21�ÿ�û��3��ÿ��(45
��
� /6��û27.û��
��ü9û��(��ú�û=ý�û'%8 û��2���
��ÿ�þ9"6��ÿ��;:��*ý�û<��û27��'��û��=���0��ú�û�.�û�ÿ�û=ý��'�®þ*��
���/>��4@?9�')(�
� ����ÿ��-��ÿEþ*/�þ*��û�)�þ���ÿ=��ú�û���'����ÿ�.�û�ÿ��<þ&üA�'��û,��4B��CD��û�.�ý���
�ü�ELú��
�/ú3�*ý�û���ÿ�7'�*ý��-��ÿ���
�ÿ���û=ý��F�'��úHGI��ú�û���û�4-���'�2���
��ÿ���ÿ����ú�û�ý��
.�ú����'�2���
��ÿ>��4D��ú�û<.�ý���
�ü=��ÿ>� ��þ#û��
4J%(ù,ú�û�ÿ>��ú�û3ý��
.�ú����'�2���
��ÿ3��ÿ�7'�*ý��-��ÿ���û<��þK
�þ#û��>���L�M�N'O�P�M ��ú�ûRü�ú���þ#û2þ&üA�'��û'%RQ�ÿVþ#û��2���
��ÿS����ú�ûRüA�*ýT���
��
��-�*ý,�U��þ#ûV��4@W@����ÿ��U�*ý�Xû�.�ý���
�üBGRELú��
�/ú��þKý�û���û27'��ÿ��Y���3ý�û��-����� 7���þ*���
�,þ&ü���ÿ�üA�*ýT���
����û�þ�GI��þZ����ÿ�þT�
��û=ý�û��3��ÿ����'�
��üF��þ#þT� ����û���/�ÿ��')(�
��þ+�*ý�û���-��þ#þT� 1�û��H%Dù,ú�û�1�ÿ��'�(ý�û�þT
�� ��þY�*ý�û�.�� 7.û�ÿ(��ÿ6��ú�û�45��ý�)[��4F\9�Iý��'������ÿ�þ*�#ý��'��ÿ�û���?9�')(�
� ����ÿ��-��ÿ
þ*/�þ*��û�)�þ<]T �'#_^�%
2. Hamiltonian systems on the cotangent space of a connected
Lie group` ��þ��0����ÿ�ÿ�û��2��û��;CD��û<.�ý���
�üBGAab� ��þKCD��û��'�
.�û2��ý��6��ÿ��=a@cK� ��þK��
��'�B7.û��2����ýLþ&üA�'��û'%
2.1. Symplectic structure and group actionsd�c ` ��þCû�ÿ����eE<û��fE�� ��úg��ú�û!�U��ÿ���ÿ��
�U�'��þ*/�)4ü���û��2���
�S45��ý�)ihkj[lYm$] d�c ` ^�GY��ú����>��þ�'�����'��ÿ�û��=��þK��ú�ûn��� o9û=ý�û�ÿ����-�'�D��4D��ú�û<CD�
��
�7��
�
��û945��ý�)qp�j=lKr�] d c ` ^�s
hutwvK��p�x ]zy$^
ù,ú�ûnCD�
��
�7��
�
��ûn45��ý�){��þ,ý�û��-����û��>���V��ú�û3ü�ý���|&û��2���
��ÿ=)��*ü3}~s d c `���` G��I/
� p����*�0����t ��� � d }Z]_�0��^T� ]&"�^
ELú�û=ý�û � j d c ` G��0�0j d �A] d c ` ^���ÿ�� d }!��þK��ú�ûn����ý#ý�û�þ&üF��ÿ�����ÿ�.(����ÿ�.�û�ÿ���)��*üB%� û-ÿ��eE¬ú��U7.ûn��E����'�2���
��ÿ�þ���4 ` ��ÿ d c ` G(ÿ��')�û�� /�GB� M����Y��LT�'��� � �'���&��� GR�Y���GA��ÿ�� L��
���I���LT�'��� � �'���&��� G����� GHELú��
�/ú��*ý�û0��û21�ÿ�û��b��þn��ú�û6�
�
4-��þn��� d c ` ��4+��ú�û6��û�4-�n�#ý���ÿ�þT�-�����
��ÿ���ÿ����ú�û�ý��
.�ú��K�#ý���ÿ�þT�-�����
��ÿHG�ý�û�þ&ü9û��2��� 7.û�� /�G���ÿ ` s
� � s ` v � `� v � � ¡
¢ ��£�¤ s ` v � `� v � � �¥ r ¡
� �� s d�c¦ ` v � d�c� ¦ `� ¦ v � d c � ¥ r�§] � ¦ ^
¡
� �� s d�c¦ ` v � d�c¦ ��£�¤ `� ¦ v � d c ¢ � ] � ¦ ^
¡
ELú�û=ý�û d�cT� � ��ÿ�� d�cT¢ � )�ûU��ÿ3��ú�û�ý�û�þ&ü9û��2��� 7.û<���'����ÿ�.�û�ÿ���)��*ü�þ�%8 ��ÿ���û��F�'��úb�*ý�û��
�
4-��þ���4��'�2���
��ÿ�þ���4 ` ��ÿ���ú�û�����ÿ�1�.�
�ý������
��ÿvþ&üA�'��û ` G���ú�û2/¨�F�'��ú
ü�ý�û�þ#û=ýT7.û3��ú�û>CD�
��
�7��
�
��û345��ý�)k��ÿ��HG���ÿ©�'����� ���
��ÿHGZ�*ý�ûCþ*/�)4ü���û��2���
�'%�?6û�ÿ���û'GZ45��ý��'�
�Yª«jaYG���ú�û�����ý#ý�û�þ&üF��ÿ�����ÿ�.u��ÿ�1�ÿ�� ��û�þT�
)��'�9.�û�ÿ�û=ý�������ý�¬�;® ��4���ú�û¨�'�2���
��ÿ���¯]�°,t,CZG ±,^3��þ?9�')(�
� ����ÿ��-��ÿ\ý�û��-����� 7.û�� /b���bh9G+E�� ��úg��ÿ§��þ#þT�²���-����û��u?9�')(�
� ����ÿ��-��ÿ«45
�ÿ��2���
��ÿ�³F´]_ª�^SjlYµe] d c ` ^<þT
��/ú=��ú����
�F³ ]_ª�^�t§¶�]+¬� ® ^*h©t§� � pI�,¬� ® �´vu·<]Z¬� ® ^*p ]�:�^
ELú�û=ý�û(·f)�ûU��ÿ�þKCD��ûn��û=ý�� 7'����� 7.û'%
441
J.Llosa
¸�¹�º�»�¼'½T½�º�¾*¿F¼�À�Á�º�À�»�º�Â�ÃÅÄFÆ´Ç_Â�È´É
¾Z»UÊ'Ë
Ë
º�Á0Ì�¹�º�Í(Î�Í(Ï2Ð�Ñ�ҲͯÍ6Ó�Ô�ÔFÕ_вÖ�×5¼'½+Ì�¹�º�Ê'»2Ì�É
¼�ÀØ Æ¨Ç�¾Tº�º0Ù Ú$Û&ܲÁ�º2Ý�À�É Ì�É
¼�À3Þ�ßàÚ²ß
á$È�ß�â²É
À�»�ºnã�É
¾Y¿�½�º�¾Tº2½Tä�º�Á3åIæ(åF¼'Ì�¹3Ê'»2Ì�É
¼�À�¾�Ü ØYç Ê'À�Á Ø�è ܲÌ�¹�ºË-Ê'¾*Ì�Ì�º2½�éqÉ
À¨Ç�ê�È+ä'Ê'À�É
¾T¹�º�¾�ßAë,º�À�»�º'ÜRÊ0é(¼�é(º�À�Ì�ì�éíé�Ê�¿�¿�É
À�î6×5¼'½KÌ�¹�º�Ê'»2Ì�É
¼�À Ø Æ;É
¾�ï
Ä Æ Ç_Â�È@ðòñ�ãIó,ôõ Æö+÷ ó ø§ð§ùZóTú¨û Ç�ÞIÈ
2.2. Body coordinates¸�¹�º3»�¼'Ì�Ê'À�î�º�À�Ì0¾*¿AÊ'»�º�ü�ýTþq¼�×�Ê;ùDÉ
º�î'½�¼�ì�¿ÿÉ
¾0Ê;ÌT½�É ä�É-Ê'ËZÝ�å�½�º�å�ì�À�Á�Ë
º'ß��zÀ�Á�º�º�ÁHÜZÉ ÌÊ'Á�é(É Ì�¾KÊ0î�Ë
¼'åAÊ'ËH»�¹�Ê�½TÌUï
� ï ü�ýTþ �Rà þ����@ý�
�Rà Ç��Aó*ü�ý�
Ç �
ÈTÈ
�
Ì�¹�Ê�ÌDÉ
¾���À�¼���À�Ê'¾���Î�������ÎeÎ����'Õ_ÐRÓ'Ñ�Ï �@Ç�¾Tº�º�Ù Ú$Û&ÜU¾Tº�»2Ì�É
¼�À<Þ�ß ÞIÈFº2ä�¼���É
À�î�Ê'À<¼'åIä�É
¼�ì�¾D¾TÉ
é(É
Ë
É Ì�ì�Á�º��É Ì�¹3½�É
î�É
Á�åF¼²Á�æ!��É
À�º�é�Ê�Ì�É
»�¾�ß" À�¼'Ì�¹�º2½9î�Ë
¼'åAÊ'Ë´»�¹�Ê�½TÌ9»�¼�ì�Ë
Á~Ê'Ë
¾T¼(åFºVì�¾Tº�ÁHÜH»�¼'½T½�º�¾*¿F¼�À�Á�É
À�î�Ì�¼(Ì�¹�ºV¾T¼�»UÊ'Ë
Ë
º�Á#�&Ô�Ó$��Ï��ÎeÎ����'Õ_ÐRÓ'Ñ�Ï ��ܲÌ�¹�Ê�Ì�É
¾KÁ�º2Ý�À�º�Á=åIæ
% ï ü�ýTþ �Rà þ&�'�@ý�
�Rà Ç��Aó*ü�ý�( Ç �
ÈTÈ
�
ë,¼���º2ä�º2½UÜ�¼���É
À�î0Ì�¼V½�ºUÊ'¾T¼�À�¾KÌ�¹�Ê�Ì)��É
Ë
ËHË-Ê�Ì�º2½K¼�À3åFº�»�¼�é(ºn»�Ë
ºUÊ�½UÜ�Ì�¹�½�¼�ì�î�¹�¼�ì�ÌKÌ�¹�É
¾�¿AÊ�¿Fº2½��ºn¾T¹�Ê'Ë
ËB¼�À�Ë æ3ì�¾TºnåF¼²Á�æ3»�¼²¼'½�Á�É
À�Ê�Ì�º�¾�ßùDº2Ì+ì�¾+À�¼��*�K½�É Ì�º�Ì�¹�º�Ê'»2Ì�É
¼�À�¾ Ø ÆDÜ�ø,ð,ùZÜ ú<Ü�É
À0Ì�º2½�é(¾Z¼�×AåF¼²Á�æ0»�¼²¼'½�Á�É
À�Ê�Ì�º�¾�ß�¸�¼nÌ�¹�É
¾º�À�Á+��º<Á�º2Ý�À�º-,Ø Æ=åIæ>»�¼�é(éVì�Ì�Ê�Ì�É ä�º�Ë æ(»�Ë
¼�¾TÉ
À�î0Ì�¹�º<×5¼�Ë
Ë
¼���É
À�î0Á�É-Ê'î'½�Ê'é=ï
ü�ýTþ .0/�Rà ü�ýTþ1 1� 1 1 �2 2
þ&���@ý 3. /�Rà þ&���@ý
¸�¹Iì�¾�Ü ,Ø Æ54 �76 Ø Æ 6)�98;: ó Ç=<�È
Ì�¹�Ê�ÌUÜ�é(¼'½�ºnº >�¿�Ë
É
»�É Ì�Ë æ�ܲæ�É
º�Ë
Á�¾�ï
,Ø ç Ç=?Fó�@BÈ ð Ç��A?Fó�@BÈFó B@Ç=?Fó�@BÈDCSþ&��� ý ÇFE�È,Ø è Ç=?Fó�@BÈ ð Ç=?G� 8;: óIHKJ ý Ç�� 8;: ÈL@BÈFó Ç=M�È
��¹�º2½�º7HKJ�ý�É
¾�Ì�¹�º5��ÎUÓK��NUÎ�Õ_Ð�ÑR½�º2¿�½�º�¾Tº�À�Ì�Ê�Ì�É
¼�À=¼�×@þVß�Ç&Ⲻ�º'Ü�×5¼'½�É
À�¾*Ì�Ê'À�»�º'Ü�Ù Ú$Û&Ü�º >Hß�Þ�ß
á�ßàÚ0<²ßàÈO æ0é(ºUÊ'À�¾+¼�×HÊn¾TÉ
é(É
Ë-Ê�½ZÁ�É-Ê'î'½�Ê'éP��º�»UÊ'À6ÌT½�Ê'À�¾TË-Ê�Ì�ºKÌ�¹�º�ùDÉ
¼�ì�ä�É
Ë
Ë
ºK×5¼'½�é É
À�Ì�¼7Q : Ç�þ*��@ý�È�Ü�¾T¼6¼'å�Ì�Ê'É
À�É
À�î�ï ã�R 4 ü ý �98;:
6 ã 6)�98;: û ÇFS�È
442
Classical relativistic spin particles
TLUWV�XIY;Z[X]\IV)^`_�aKZD_�UWZ bAc`dfefghei\jZ bAc;XIZhk�k�efV0U7lmV�X�nFo�prq�sutwvhx yhz|{ }�~�Z�k�c`dfei\jsutwvhx yhzm�+��twvhx yhz��F����r�I� efUK\IV�ei\Ik�\�~�V�ghV0��c�V0U;ZhUK\Ik)s twvhx yhz
� �|� v q�� y � };~�ei\I^+� v �+� v �P_�U;Y�� y �+� y �r�����r�[�� ^;ZhU
}`ghV0���`efU;efU;�'�=� � _�U;Y��F� � };~�Z�^`_�aKZ��
nFo ptwvhx yhz q��|� v q�� y � { � n|��q����� ;¡v �|� v � { � n|��qL¢ v �|� v � {�q �F£ �
~�^;Z[XIZ¤¢¥��¦ ¡ �F�§q �¨� efk�\I^;ZW©ª_�«AXIZ[X�¬L�_�X�\®_�U � ¬=a�_�df«;ZhY�lmV�XI� �TLU§\I^;Z���VGYA¯�ghVGV�XIY;efU`_�\IZhkh}K_�U§Z bAc`dfefghei\¨Z bAc;XIZhk�k�efV0U�lmV�X�°)p �²±�³ o�p5efk�\I^;ZhU�V��;\®_�efU;ZhY�$¯5Z bA\IZ[XIefV�X�Y;ei´�Z[XIZhUK\Ieµ_�\IefV0U+V0l��F£ � �
¶ s � �|� v q�� � q�· � �|¸ v q�¹ � �+� twvhx yhz �F�&� � � �¨� ��� v � � � � �
° p twvhx yhz ��s�qI· � � n|¹9qL¢ v �|� v � { ± n|�;qL¢ v �|¸ v � {�º»n|��q�¼ ¢ v �|� v � qL¢ v �|¸ v ��½ { �L¾�¿ �
~�^;Z[XIZ�\I^;Z�©ª_�«AXIZ[X�¬L�_�X�\®_�U�k�\�XI«;g[\I«AXIZ7ZhÀG«`_�\IefV0U
YG¢ �²± ¾� ¼ ¢)qL¢ ½ �L¾0¾ �
^`_�k���ZhZhU'«;k�ZhY �ÁrefU`_�dfdi¯K}�efUÂ��VGYA¯ÂghVGV�XIY;efU`_�\IZhkh}
\I^;ZÃ��V0��ZhUK\I«;�Ä�u_�c;c`efU;�0k»ÅÆ�Çj}
È � ��qIÉÊ_�XIZÃV��A¬\®_�efU;ZhY+lµXIV0�Ë�|Ì � � ¶ÎÍ � � q ÅÆ Ç � Í �rÏ Æ Ç � Í �
Ð)Ñ ;¡ �L¾Ò� �
_�U;Y5\I^;ZheiXÓZ bAc`dfefghei\)Z bAc;XIZhk�k�efV0U;kh}`XIZhk�c�Zhg[\IeiaKZhdi¯K}Î_�XIZ
ÅÆ9Ô`�=Õ�q�� � � ÖK³ � �=ÕÎ ;¡ � �§q �L¾�× �ÅÆ�Ø]�=Õ�q�� � � �§Ù �L¾�Ì �
3. The reduced phase spaceÚ k�~�Z�^`_�aKZ)_�diXIZ�_�YA¯Wc�V0efUK\IZhYÃV0«A\refU§k�Zhg[\IefV0U5¾0}�dfZhlµ\¨efUKa�_�XIeµ_�U;ghZ�_�U;Y§XIef�0^K\refUKa�_�XIeµ_�U;ghZlmV�XÓ\I^;Z7k�¯Ak�\IZh��kÓ«;U;Y;Z[X¤ghV0U;k�efY;Z[X®_�\IefV0UÂ^`_�aKZ7U;Z�_�\Idi¯�Y;ei´�Z[XIZhUK\¤��Z�_�U;efU;�0k �`Û ^;Z[XIZ�_�k¤dfZhlµ\efUKa�_�XIeµ_�U;ghZ!^`_�k�_'c`^K¯Ak�efg�_�d�efUK\IZ[X�c;XIZ[\®_�\IefV0UÜefUÜ\IZ[XI��k�V0l)XIZhdµ_�\IeiaAefk�\IefguefUKa�_�XIeµ_�U;ghZ�}�XIef�0^K\efUKa�_�XIeµ_�U;ghZ+^`_�k���ZhZhU*efUK\�XIVGY;«;ghZhY¥\IV-ZhU;dµ_�XI�0Z5\I^;Z+c`^`_�k�Z�k�cÎ_�ghZ'_�U;Y*k�VÝ\IV�_�aKV0efYÞ\I^;ZU;ZhZhY�V0l�ghV0U;k�\�X®_�efUK\Ik �Û ZÝk�^`_�dfd�U;V�~ßghV0U;k�efY;Z[X'_*à�á�efUKa�_�XIeµ_�UK\�â¤_���efdi\IV0U;eµ_�Uãk�¯Ak�\IZh�äV0U��Ä� �r� _�U;YZhdfef��efU`_�\IZ�\I^;efk)åw«;UAc`^K¯Ak�efg�_�dFæGk�¯A����Z[\�X�¯7�$¯ÃXIZhY;«;ghefU;��\I^;Z)c`^`_�k�ZÓk�cÎ_�ghZ � � ^;Z�\IZhg®^;U;efÀG«;Zhk_�XIZD\I^;V0k�Z�Y;Z[aKZhdfV�c�ZhYÃefU+¼ � ½ �|k�Zhg[\IefV0U§Ì � × � _�U;Y§\I^;Z���Z[\I^;VGY7�Î_�k�efg�_�dfdi¯�ghV0U;k�efk�\Ik¨efU�\I^;Z�«;k�ZV0lÎ\I^;Z)efUK\IZh��X®_�dfk¨V0l9��V�\IefV0UÃ_�k�k�VGgheµ_�\IZhYÃ\IV�\I^;Z)dµ_�\�\IZ[X�k�¯A����Z[\�X�¯!��\I^`_�\�_�XIZ)efUÃefUKaKV0df«A\IefV0U~�ei\I^5XIZhk�c�Zhg[\�\IV�çrV0efk�k�V0U5�;X®_�gIèKZ[\Ik � \IV�Zhdfef��efU`_�\IZék�V0��Z�Y;Zh��XIZhZhk�V0l�lµXIZhZhY;V0� �êéV�~W};\I^;ZhV�XIZh�ëÌ � × � ¾�efU#¼ � ½ g�_�U+��ZW_�c;c`dfefZhY � TLU;Y;ZhZhY
}`~�ZW^`_�aKZ
_ªk�¯A��c`dfZhg[\Iefg!�u_�U;eflmV0dfY��F�ì� �r� qI°)p � }rV0UÞ~�^;efg®^Þ\I^;Z5íjefZ+��XIV0«Acã�î_�g[\Ikk�¯A��c`dfZhg[\Iefg�_�dfdi¯ÝïðU`_���Zhdi¯K} Åà�áÞïñ_�U;Yã_�U ÖK³ � ¬òZhÀG«;eia�_�XIeµ_�UK\���V0��ZhUK\I«;��u_�c;c`efU;��ÅÆ
á � ÁΫAX�\I^;Z[XI��V�XIZ�}Î_�k)ei\)g�_�U+��ZWZ�_�k�efdi¯!g®^;ZhgIèKZhY
�¾ � _�UK¯5�Â� �r� efkÓ_+óIôòõ�öG÷iø�óWù�ø�÷úö`ô�V0lªÅÆ
áÜ�|e � Z � }A� twvhû yhz ÅÆ
á'efk)k�«AX|ü�Zhg[\IeiaKZ � }
443
J.Llosa
ý0þuÿ������������
Kÿ�������
������� ��������� ���� �� ��� �"!$#&% þ���')(+*+,.-/�
01���324
�5��6
4 Kÿ�� � ��587 �:9 ÿ���
�ÿ;��' 91<>=�?A@B9��DCBE �7 CFHG (+* , !I=�J�K þ EL�DC! 'M�
� � ���� ��iÿ����� %�N ý NPO �� RQ ýTS�þ NUKþV���� J�K !XW þ GZY !\[D]MW þ_^ [`?a@cb ��' � �3dD�
�����45M������egf;�iÿ�� @B9
4 � ÿ������'M��ÿM5��4� � �45����h�i��j Wk9 �
4���
l �m@on GpY =q?r@ ^�(+*+, !I= þ W G Wsb+9
4e[ÿ�'��5��4�D��5�l �
4 � j65��
�
l � �� �� � J�K !XW þ Nt �
�e
� 9vuwnyx�@{z�@on ��
4';
|�� ���01���{' � �}��l��
e[ÿ���eyj~�45�� 9��L� n
� 9 'M��e���ÿ���
�ÿ&�� ,�� nh!�� � n
� þ G � ,�� n�!���� þ !$#T� þf;����5�� � n
4 � � n
�5�� 9 5��
'��D�
e[ÿ��32+�
l �+9 ÿ����H���4�D�����\���4� �D���$�&�������\���}
4 � ÿ����}�I�D����� �_�\������ n � @ �v� uwn[��v� [�@on � � n � @ �v� @"� � ,[��v� !\[D]MW þ �
¡ ����5��
j~�45�� 9 ���32+�
�
4 �¢W`?£� ,�f¤�¥��
&2+�g
¦����§4������§A�v¨h���&�A�\��� ��� 9 � N � N
m' � �}��l��
e[ÿ���e��
4 ���j~��l �g!�uwn ]�� � n
� þ N
3.1. A realization of ©¤ª¡ ����'85�� � ��e
� � ����
4'M�}'��>
4e
� uwn e&
4 g
4e[ÿ���
4l�l �A� �B5��&
4l���«
� �
4'{
H'M� � ��
4 ���j~��l � ��j � ,! ÿ�����'¬��'B
Ae
�� �'M�
01���
�e
���j�ÿ���� ®c�I�_�I�~����¯±°�®}�T�_�/�4����°/²����1�_���4�g�X¨���������³ 9 'M�
�¥Q ýTS 9 �_´�
4�}��l��%�N U N %>! 2`þ�þ N µ � �
� ��9 l��[ÿ;��'�e
�� �'M� � ��5Óÿ����ye
�+
�T¶ ���� Kÿ;5�����5��
'M�
Kÿ�
�ÿ����� ��j @B9
4 �)� ���� ��4�· � @"�A� , �>� � ,!I=>]MW þ �>� (+*+, !I= J�K þ W)x¦¸:n�!I= þ x�¸ F !XW þ � !$#±O þ
¹ �45¬
4 � ���32+�
Wq?i� , 9 f¤��'M��
4l�lº��
&2+��
4 »�45 � �iÿ&� ¸:n � @¼�v�½� ,¬
4 ��9 j~�45B
4 � ���32+�
¾ ?»¸:n�!�@ þo¿ � , 9D¸ J�Kn ! ¾ þ;��'y
He
��'M�[ÿy�� uwn G @{z�@on1N ¡ ����5��
j~�45�� 9:uwn ��' � �3dD�
�����45M������ef;�iÿ���À n�xÁ¸:n�!�@ þ 9 ÿ����|�45 � �iÿy��j WÂ?Ã� , � � ÿ����|e
�+
�T¶ ���� Kÿ{5�����5��
'M�
Kÿ�
�ÿ����� g��j¤Ä N ¡ ���� �3dD�
�����45M������'M�Å��' Ƹ:n � uwn �v� À n[�@on½�v� (+*+, !\[ J�K þ W � !$#TÇ þ¡ � ��';À n ¿ � ,���';
B5��&
4l���«&
�ÿ����� ��j uwn N¡ ���{' � �}��l��
e[ÿ���e8j~�45��`�� )À n ��'�� � ÿ�
4�� �� � j65���� �L� n
� � � �� +2+��5�'M�y����l�l �
4e�ÈD�Æ� � n
� x¢� , Ƹ J�Kn !�� � n
� þ !$#±É þÊ 'L
|e
�� �'M�
01���
�e
�¬��j !$#T� þË
4 � ÿ����{jI
4e[ÿ)ÿ���
�ÿ ¸:n G Ƹ:n�E � n 9 f¤�{��
&2+��ÿ���
�ÿ Æ�L� n
� ��'ÿ����y�� �l � ' � �}��l��
e[ÿ���e8j~�45��`�� )À n 'M��e���ÿ���
�ÿ&�� , ¸:n�! Æ� � n
�Ì þ G � ,�� n�!�����PÍ
Î n
� þ !$#±Ï þf;����5�� ¾ G (+*+, !\[ J�K þ WkN
444
Classical relativistic spin particles
3.2. The left action of Ð on ÑÓÒÔ1Õ�Ö�×
ØyÙ�Ú�Ø{Û~Ü�Ý�Ý�ܱÞ;Õ�Ö�ß|à�Õ6á4ß4â�á4ãä"åAæèç é�êëHì ä íTêìvî ïwðñ ñ ñòó¤ôõ ñ ö õ ñ ÷ õ ñø ø øä"åAæèç é�êëHì ä íTêìvî ïwð ù\ú4û+üÞ;Õ3Ù�Ú ÷ õ á4Ö�à ÷ ð à�Ø�ý�Ö�Ø
àgÕ�Ö
ù$þ±ÿ+ü��
Õ��y×
Ü�ã�ã��hÙ�á�Ù�Õ��+Ø
�
Þ¤Ø|Ú�á��+ØBÙ�Ú�á�Ù8Ù�Ú�ØBÝ�Ø
Û6Ù¬á4×�Ù�Õ�Ü�Ö òó¤ôÜ�Ûkä"Ü�ÖAä"å æ ç Õ��
���â�Ü�
�Ø
×�Ù�Ø
à���Ü�Ö+Ù�Ü|Ù�Ú�Ø{×
Ü+á4à�
�Ü�Õ�Ö+Ùoá4×�Ù�Õ�Ü�Ö�� Ü�Ûèä"Ü�Ö ïwð��÷ õ ����� ç ù
�����
ü
� ìvî���� ç
ù
���
ü
��� ç
ù
�����
ü
�"! ��� ç
ùMù
�
ü
���
ü
�#%$ Õ3Ù&�'�+Ø�â $ ×
Ü�Ö���ÙMâ&��×�Ù�Õ�Ü�Ö
�
� á4×�Ù&�;ÙMâ�á4Ö��MÕ3Ù�Õ��+Ø
Ý $ Ü�Ö ïwð)(�* Ø
Ö�×
Ø
�
á�Ùoá4Ö $,+.- ïwð
�
Ù�Ú�Ø�MØ�Ù;Ü�ÛkÕ3Ù&��Õ�Öhý�Ö�Õ3Ù�Ø/�MÕ�ã�á4Ý�ß�Ø
Ö�Ø�â�á�Ù�Ü4â&�'�0�>á4Ö��;Ù�Ú�Ø8Þ;Ú�Ü�Ý�Ø8Ù�á4Ö�ß�Ø
Ö+Ù1�0�>á4×
Ø32�4
ù
ïwð
ü��
Ù�Ú�á�Ù;Õ�� �2�4
ù
ïwð
ü
!65�7 4
ù
8
ü 9
8 - æ;:
ù\ú1þTüÔ1Õ�Ö�×
Ø.2=<=>
ù
8
ü
- 2?>±ä Õ��|á4ÖmÕ�Öhý�Ö�Õ3Ù�Ø/�MÕ�ã�á4ÝÓß�Ø
Ö�Ø�â�á�Ù�Ü4â|Û~Ü4âBÙ�Ú�ØHÝ�Ø
Û6Ù}á4×�Ù�Õ�Ü�Ö ö
�
á4Ö�àmÙ�Ú�Øà�Õ6á4ß4â�á4ã
ù\ú4û+ü
Õ���×
Ü�ã�ã��hÙ�á�Ù�Õ��+Ø
�
Þ¤ØyÚ�á��+ØyÙ�Ú�á�Ù �7 4
ù
8
ü
! 2 ÷ ð'@ 2=<=>
ù
8
ü ù\ú�ú�üÛ~Ü4âLá4Ö $ � - ä á4Ö�à � - æèçA�B��×�Ú Ù�Ú�á�Ù + ! ��� ç
ù
� ���
ü
� (C Ö"�>á�âMÙ�Õ�×/��Ý6á�â
�
Ù�á�DhÕ�Ö�ß � !FE á4Ö�à �"! +
�
Þ¤Ø{ÜHG�Ù�á4Õ�Ö �7 4
ù
8
ü
! 2 ÷ 4
ù
8
ü
! ì'I1� ç
ù
8
ü
+J- 2�4
ù
ïwð
ü ù\ú
K
üÞ;Ú�Ø�â�Ø I1� ç Õ��ËÙ�Ú�Ø{×
Ü+á4à�
�Ü�Õ�Ö+Ù;â�ØL��â�Ø/�MØ
Ö+Ù�á�Ù�Õ�Ü�Ö Ü�ÛèæmÜ�Ö æ ç (M â�Ü�ã
ù$þ
N
ü
á4Ö�à
ù\ú
K
ü��
á4Û6Ù�Ø�âLá|Ý�Õ3ÙMÙ�Ý�Ø8ã�á4Ö�Õ��O��Ý6á�Ù�Õ�Ü�Ö
�
ޤجá�âMâ�Õ��+Øyá�Ù �PQ1R ð/S4
ù
7 4
ù
8
ü 9
7 4
ù
T
üMü
!VU + 9XW 8 9 T�Y[Z'\ ù\ú
]
ü^ ܱÞ
�
Õ�ÖRÜ4â�à�Ø�âBÙ�Ü���â�ÜX�+Ø�Ù�Ú�á�Ù_�`Õ��Bá`� $ ã_��Ý�Ø
×�Ù�Õ�×�á4×�Ù�Õ�Ü�Ö
�
Þ¤ØH×&á4ÖmØ
Õ3Ù�Ú�Ø�â����MØHÙ�Ú�Ø×
Ü�ã�ã��hÙ�á�Ù�Õ��hÕ3Ù $ Ü�Ûkà�Õ6á4ß4â�á4ã
ù\ú4û+ü��
Ù�Ü�ß�Ø�Ù�Ú�Ø�â�Þ;Õ3Ù�ÚÙ�Ú�Ø{à�Ø�ý�Ö�Õ3Ù�Õ�Ü�Ö
ù$þ
N
ü
á4Ö�à)Ù�Ú�Ø3��Ö�Õ�a���Ø�bÖ�Ø/�B�LÜ�Û PQ R ð/S
�
Ü4â;Þ¤Ü4âBD à�Õ3â�Ø
×�Ù�Ý $
ù\ú�ú�ü
á4Ö�à
ù\ú
]
ü
(�c Ú�Õ��1�MØ
×
Ü�Ö�àAÞËá $ ß�Ü1Ø/�oáH�LÛ~Ü�Ý�Ý�ܱÞ=� (�d Ø�Ù+He ! ÷ õ&f�g + ! ��� ç
ù
ü
+�- ïwð
�
á4Ö�à Ý�Ø�Ù=���;ØL�4á4Ý���á�Ù�Ø
�
h�8 9 T - æ
�2 ç�÷ õji PQ1R ð/S4lk
ù
7 4nm
ù
8
ü 9
7 4nm
ù
T
üMü
! PQ1R ð/S4
ù
2 ÷ õ ù
7 4nm
ù
8
üMü 9
2 ÷ õ ù
7 4nm
ù
T
üMüMü
\
ù\ú
o
üC Ù;Õ���Ø&áH� $ Ù�Ü_�MÚ�Ü±Þ Ù�Ú�á�Ù2 ÷ õ ù
7 4nm
ù
8
üMü
! ì=��� ç
ù
���
üwù
I1� ç
ù
8
ü
+ e
ü
! ì'I1� ç
ù
���
ù
ü
8
ü
+ !p7 4
ù
���
ù
ü
8
ü ù\ú4ÿ+ü�B�qGO��Ù�Õ3Ù&�hÙ�Ø
à Õ�ÖÙ�Ú�Øyâ�Õ�ß�Ú+Ù;Ú�á4Ö�à,�MÕ�à�Ø{Ü�Û
ù\ú
o
ü��
á4Ö�à)Ù�á�DhÕ�Ö�ß
ù\ú
]
ü
Õ�Ö+Ù�Ü�á4×
×
Ür��Ö+Ù
�
$ Õ�Ø
Ý�à�� �2 ç ÷ õ i PQ R ð/S4 k
ù
7 4nm
ù
8
ü 9
7 4nm
ù
T
üMü
! U + 9XW ��� ù
ü
8 9 ��� ù
ü
T�Y[Zs!tU + e 9XW 8 9 T�Y[Z! PQ1R ð/S4
ù
7 4nm
ù
8
ü 9
7 4nm
ù
T
üMü 445
J.LlosauAvOw�x=y
z�wH{�| }=~0���j����1� �/����� ��1� �/�j� ���r�r�� z/{��/z ���A� |�|0�qy_�O��z/�Lx � �%���
�����)��{.wH|B|B��� � w�x&z/ _y
�ry
z/{�x&¡�yVy.w���� � {�¢£��wH{_¤¥z= �zL¦ ��§ z/ ¤)�¨y
z�wH{�|'�r© ���Hª���«�����¬)� wH{� , �zLO{ � x � �r{ ¬ � � ��® � {°¯ ��±�²³ ��´)���l´'µ ´ �,¶ � � ���H·��
3.3. The implicit equations for ¸;¹¶ � � |£�ºvOw�¦ºwH�Lx&zL¦ ��» z/ ¼¤)�½|B�ry
z_©¾¡�{��Lx � �r{�|J¿°�r{°À ~ �zLO{ � {�¢`�/�r{�|0xB¦ºw � {�x&|£x&vOw�x������HÁ� � Á�z ¿ ��´)�Â� �/�r{�|0xºwH{�x1�r{,¶ � � ���HÃ��Ä �XÅ « | � {��/z¼x&v�z � {qO{ � x&z/| � y.wH��¢rz/{�zL¦ºw�x&�H¦&| ���Hª�� |0��wH{6x&v�z¼Å=v��r��z½xºwH{�¢rz/{�xÆ|0��wH�/z}�Ç � ¶ � ��« x&v�z£�/�r{�|0xB¦ºw � {�x&| ���HÃ�� y�¡�|0x=|&w�x � |B©È� ²ÉËÊ ¿ µºÌ Ç �[Í��BÎÏ�FÐAµ ´ �,¶ � µ0Í ��À �˪rÐ��
Å=v � �ºv � y_�O� � z/|jx&vOw�x É�Ñ1Ê ~ �[Í���´�µX� Ê ¿ � Ç ÎÂ� É ´�µ ¯ ÍqµX� Ê ¿ � Ç ±[ÎÂ�FШ� �˪ ® �� Ä �Hx&z�x&vOw�x � Ê ¿ � Ç � } ~Ç � À ~ ��Ò À ~Ó~ Ò À � �Ô ¦ � x � {�¢Õx&v�z��Èw�xBx&zL¦3�/�r{� � x � �r{ � {`x&zL¦&y
|Ö�r©��r{�z�¤�wH| � |3�r©;À «�� � � zH� « � {½wÕ¢ ��§ z/{`��w�¦ºw�×y
zLxB¦ ��» w�x � �r{Õ�r©Ï� � � xA¦&z�wH �| ² ´Hؾ٠ØÚ�Û�Ü ¿Ü ´ Ú �FÐAµ �˪��r�
Å=v�zL¦&z Ù ØÚ�Û w�¦&z�x&v�z�|0xB¦&¡��Lx&¡q¦&zÖ�/�r{�|0xºwH{�x&|A�r©�� � {Õx&vOw�x%��w�¦ºwHy
zLxB¦ ��» w�x � �r{Ý��uAv�zÖ|B�r��¡qx � �r{�|�r©Þz/ß�¡Ow�x � �r{ �˪��r� w�¦&z3¦&z/�Èw�x&z/ ¨x&�Jx&v�z�àAwH| � y � ¦ � { § w�¦ � wH{�x&|'�r©Þx&v�z3¢H¦&�r¡q�ᯠ⠱�« ¯ ã ± �
4. The Poincaré groupuÞ�Õw����O���¨x&v�z�w�¤¥� § z£¦&z/|B¡���x&|1x&�
äÏ� � {���w�¦qåz�¢H¦&�r¡q� « � x1Å � ���s¤¥z�v�z/���O©¾¡��Þx&�
¤¥z/¢ � {,Å � x&vw���¦&z §q� �r¡�|A¦&z/��wH���s�r©æ|B�ry
zÖ¢rz/{�zL¦ºwH�s¦&z/|B¡���x&|1wH{� "{��Hxºw�x � �r{�|/�ç �è�[é � µBê ��ë ��« � �ì��í � µ&î �rë � �z/{��Hx&zïwH{��,�/�r¡q�O��z��r©Ïz/��z/y
z/{�x&| � {`� « x&v�z�äÏ� � {���w�¦qåz¢H¦&�r¡q�s��uAv�z£¢H¦&�r¡q�,�Èw�Å � | ç � �t�[é �'ð ê � ë í ë µBê � ë î ë Ç � �˪rª��
�ñ¢rz/{�zL¦ºwH�sz/��z/y
z/{�x � {¨x&v�z£ò � z£wH��¢rzL¤�¦ºw_À � |' �z/{��Hx&z/ "¤)�Í£�V�Ëó � µºÌ � ë �¥µ Ì � ë ð Ì ë � �FÐAµ
wH{� ,wJ¢rz/{�zL¦ºwH��z/��z/y
z/{�x � {¨x&v�z£ �¡OwH�s|0��wH�/z�À ~ � |AÅ'¦ � xBx&z/{,wH|
ô �t�Ëõrö�µº÷ ö�ø �¥µ ÷�ö ø ð ÷ ø ö��FÐA�
446
Classical relativistic spin particlesù�ú�û�ü�ý/þ/ÿ����&þ����Hü�ÿBþ/û��Hú�û��
��jþ
�&þ/û��=ü������`ü�ú��� ��=ÿ��qü��
þ
���&ü�ý/ÿ���� �"!$#%#&#&')(* ��þ=ý+ ,�-�/.������&ü
rú/�&þ+�0���&ü
rú�ÿ�ü�ú-12���&þ3���4 rÿBþ=ý+ 5���&þ/ÿ�67 rú�û�ü�ú489�� &����þ=ÿBþ+�
ü�û�ü��&þ/ý
�;ÿ�.4�
: �<;�=?>�@A=0BC')>��<D�=E>�F�="BC'HGI� �J@�=0B+D B !2F�="B+; B >�@A=
K�F K B�!LF�=HK+@ K BC' �<M5NE'
�Hú�ûO����þ£û4.P�5�Q64�� �û4.�ý
�1ü�ÿ+R
SUT >�V�WX� S �<Y,Z4>�[ ZJ\ ')>��<;�=?>�@A=0BC'�W^]_Y,Z,; Z #a`b [c="BC@ B =ed �<M�f,'
g ����þ
��.�ÿBþ+hi.4���&þ/ÿ�.4���&ÿ����&þ9��ü�ÿ��&þ/ûOj¥þ+�
��9R : ` G
` ( * ��þ£ý+ ��Hûlk� rü�ú����Hý
�&ü
rúQR
T � �<Y,Z4>�[ Z \ 'm!InoY�p�q��sr4t4u"' T � �<Y5vZ >�[cv Z \ ' �=ü����
Y5vZ �cw \Z Y \ �Hú�û [cvZ \ �cx�Z,Y5v\ !yx \ Y5vZ #{z KZ z}|\ [ K | d �<M,~�'
b ( * ��þ9��ü
,.��qü
�
��þ�hi 5����R
������+� =+� ��Y K w K| p5� | # `b [ K"B w B| p,w | K d �<M��,'
M�( * ��þ9�- ,�
þ/ú���.4�}����646Oü�ú48�hi 5������þ&��þ+h0�A�Hý
�&ü
rúO ,hX�/R
��I�P�J�7> T '^��Y�p�qC�J��t4u�' T � ��� K >
� K | '
���4 rÿBþ£ý+ ,��67 rú�þ/ú��&ÿ'ý+ 5���&þ/ÿ�67 rú�û���
����þ9��ü�ú�þC�����- ,�
þ/ú���.4� � K ��Y | w�|K �<M,��'
�Hú�û�����þ��Hú48,.4�0�����- ,�
þ/ú���.4� � K | ��� K � | !L� | � K #%[�Z \ w ZK�w
\
|�d �<M,��'
4.1. The reduced phase space: explicit realizations�X rü�ú�ýC�����þA85�� ,.�6O�P�Hÿm�H�� � ��HÿBü
�
ü��mhi.�ú�ý
�&ü
rú�ÿ+¡�úP�5�
þ+��¢�¡,����þ�ÿ�£?.P���&þA ,h����HÿBÿ��Hú�û�����þÿ�£?.P���&þ¤ ,h^�^�5.4��ü�¥¦�§.�j��Hú�ÿ��qü¨N�¥J��þ/ý
�� 5�C(I©�ý/ý+ 5�&û�ü�ú48��� Õÿ�.�jOÿBþ/ý
�&ü
rúLM�(�M�¡I8rü���þ/úª�Hú�¢�ý+ ,.�6P��þ ,h«67 rÿBÿBü�jP��þ&�5�5�
.�þ/ÿ¤�<D u >�D�¬�')¡4�jþ£ÿ��P�5�
���P�C��þ¤�Jÿ�.�jP���Hú�ü
hi ,��û� ��®J¯¦� ®U° � �Hú�û,þC�Hý��,ý+ rú�ú�þ/ý
�&þ/ûý+ ,��67 rú�þ/ú��� ,hÞü��3�=ü
�
�7j¥þ��/�&þC�5��ü
±C���&ü
rúO ,hX�� = ¡ T³² 1 q ( * ��þ£ü
��6P��ü�ý/ü��Aþ+£?.P���&ü
rú�ÿ����&þ5R
D u � Y = Y B ��= B �UN�´�'
D�¬µ� � = B Z \ Y B [ Z
\ � = KH¶ | Y K [ ¶ | �UN ` '
·A ��9¡�����þ¸67 rü�ú��æü�ÿ§�� 3¹Oú�û¤����þ;ÿBü
��6P��þ/ÿ��§�&þ
64�&þ/ÿBþ/ú������&ü���þ��<Y,Z4>�[ = B '�hi 5�X��8rü���þ/ú�ý+ ,.�6P��þ�<D u >�D�¬�')(qùH�=ü�ÿAü
��67 5�����Hú����� /�&þC�5��ü
±/þ����P����D u �Hú�û�D�¬����&þ�����þ&�`ü�ú��� ��=ÿ��qüsÿ�£?.P���&þ/ÿ3 ,h§�H�� �/.���.P�5�
��¢� 5�����4 ,8, rúP�5�7N�¥J��þ/ý
�� 5�&ÿ+¡qúP�5�
þ+��¢�¡?Y = �Hú�ûe� = B Z \ Y B [ Z \ (�º�þ/ú�ý/þ5¡qü
h§ rú�þA ,h�����þ+�ü�ÿ'þ/ü�����þ
�3�&ü
�
þ+��ü���þ� 5����ü
8,������ü���þ5¡�����þ& 5����þ
�1ü�ÿ'ú�þ/ý/þ/ÿBÿ����&ü
��¢"ÿ�6��Hý/þ+��ü���þ5( * �P���=ü�ÿ+¡
D u�» ´�¼oD�¬3½%´ �Hú�û D�¬ » ´�¼oD u ½%´ d
447
J.Llosa
¾«¿ÁÀPÂ4ÃÅÄÁÆ�Ç
È�ÉPÊ
ËLÌ�Ë
É4Ì�Ë+Æ�Ë+Â�Í�Ä�Í�Ç�Î�ËcÏ<Ð5ÑÒ�Ó�ÔcÑÕ+Ö�×OØ ¿5̪ÙXÚ�Û�Ü Ý&ÞHß3à�ËyÆ�áPÄ5Ê
Ê�â4Æ�Ë2Í�áPÄ�Í�Í�á4ËÆ�ã�Ë
à�Æ�ä�È-È-Ë
Í�Ì�Ç
åAÈ�Ä�Í�Ì�Ç�æ�Ô Õ+Ö åCÄ5Â�Ä5Ê�à�ÄCä�Æ�ç7Ë&à3Ì�Ç�Í�Í�Ë+Â�Ä5Æ+è
Ô Õ+Ö�é�ê�Õ Ð Ö�ëyê�Ö Ð Õ�ìîíïIð Õ+Ö
ñ
òCó ñ,ô�ò ÏUõ ï ×
à�á4Ë
Ì�Ë�Í�á4Ë Ø ¿5Ì�È/â4Ê0Ä5Ë9Ì�Ë+Ê0Ä�Í�Ç
Â4ö ê�Ö ß ó ñ Ä5Â4à ô ò Í�¿OÔ Õ+Ö Ä5Â4ÃªÐ Ö Ã4Ë
É7Ë+Â4ó¿,Â�Í�á4Ë�å+Ê0Ä5Æ�ÆA¿ ØÍ�á4Ë&Ê0Ä�Í�Í�Ë
Ì3Ì�Ë+Ê0Ä�Í�Ç�Î�Ë+Ê�ä-Í�¿�Í�á4Ë9÷ªÇ
Â�ã�¿�à�Æ�ã�Ç�È-Ë
Í�Ì�Ç
å5øù Ø Ð Ò Ð Ò¤úé_û ß4Ç�Í Ø ¿,Ê
Ê
¿�à�Æ3¿5çEÎ�Ç
¿,â4Æ�Ê�äeÍ�áPÄ�ÍCè
ê�Õ¤é íÐ Ò Ð Ò Ô ÕCò Ð ò Ó ô Õ¤é íÐ Ò Ð Ò ð Õ+Ö
ñ
ò Ð Ö Ô ñ
ò Ó Ä5Â4Ã ó ñ é Ð ñeü ÏUõ�ý ×
ù ªÍ�á4Ë�åCÄ5Æ�Ë�Ð Ò Ð Ò éþû ß�ÄeÊ
Ç
ö,á�Í�Ê
Ç�ã�ˤÎ�Ë+å
Í�¿5Ì ó ñ åCÄ5³ç7Ë/å�á4¿,Æ�Ë+Â2Æ�â4å�áLÍ�áPÄ�Í ó ñ Ð ñ�é í Ä5Â4ÃÍ�á4Ë�Î�Ë+å
Í�¿5Ì�Æ ê�Õ Ä5Â4à ô Ö Ä�Ì�Ë&ö,Ç�Î�Ë+ÂOçEä7è
ê�Õ�é Ô ÕCòCó ò Ó ô Õ�é ð Õ+Ö
ñ
ò Ð Ö Ô ñ
òXü ÏUõ,õ ×
ù ÂOÍ�á4Ç
Æ3Æ�Ë+å+¿,Â4Ã�åCÄ5Æ�Ë&Í�á4Ë&Ã4Ë+å+¿,È�É7¿,Æ�Ç�Í�Ç
¿,§ÏUõ ï × Ç
Æ3Â4¿5Í�â4Â4Ç
ÿ?â4Ë5øù Í�Ç
È-È-Ë+Ã4Ç0Ä�Í�Ë+Ê�ä Ø ¿,Ê
Ê
¿�à�Æ Ø Ì�¿,ȵÏUõ ï × Ä5Â4Ã$Ï<ý�� × Í�áPÄ�ÍCè
Ù Ú�Û�Ü Ý&Þ é Ù Ú�Û�Ü Ý�� Þ à�Ç�Í�á Ô ÑÕ+Ö é íï ð Õ+Ö
ñ
òCó ñ,ô�òXü ÏUõ�� ×� Ë+Â4å+Ë5ß4Í�á4Ë9õ��JÎ�Ë+å
Í�¿5Ì�Æ�Ð ñ Ä5Â4à ô ò Ã4Ë
Í�Ë
Ì�È-Ç
Â4Ë&Ù Ú�Û�Ü Ý&Þ ø å+å+¿5Ì�Ã4Ç
Â4ö�Í�¿�Í�á4Ë9Ã4Ç
Æ�å+â4Æ�Æ�Ç
¿,³Ä�ç7¿�Î�Ë5ß4Í�á4Ë+Æ�Ë9ÍHà�¿-õ��JÎ�Ë+å
Í�¿5Ì�Æ�Ä�Ì�Ë9¿5Ì�Í�á4¿,ö,¿,ÂPÄ5Ê�Í�¿�ËCÄ5å�á¿5Í�á4Ë
ÌOÄ5Â4Ã�Ä�Ì�˪¿5çEÎ�Ç
¿,â4Æ�Ê�äÁå+¿,Â4Â4Ë+å
Í�Ë+Ã�à�Ç�Í�áÁÍ�á4Ë�ÍHà�¿�
�Ä5Æ�Ç
È-Ç�Ì Ø â4Â4å
Í�Ç
¿,Â4Æe¿ Ø
� ¿,Ç
Â4åCÄ�Ì��Ëö5Ì�¿,â�É�ø � Ë+Â4å+Ë5ß�¿,Â4Ê�ä�Í�á4Ë9åCÄ5Æ�Ë+Æ�Ê
Ç
Æ�Í�Ë+ÃOç7Ë+Ê
¿�àÅÄ�Ì�Ë�É7¿,Æ�Æ�Ç�çPÊ
Ë5è���������� ��� � � � ������� � ��� � ��� ��� � ���!� �" "�" "�"�" "$# # #%"����& ��� ���(' � ����' ��� ���(' � ����' ��� ���)& � ����' ��� ��� � � ��� � ��� ��� ��� ��� ����� ���)' �
¾�á4Ë&Ã4Ç+*7Ë
Ì�Ë+Â�Í�åCÄ5Æ�Ë+Æ�Ä�Ì�Ë9Ä5ÂPÄ5Ê�ä�Æ�Ë+ÃOà�Ç�Í�áOÃ4Ë
Í�Ä5Ç
ÊQÇ
ÂOÍ�á4Ë9Ä�É4É7Ë+Â4Ã4Ç
å+Ë+Æ+ø Æ�Ä/Æ�â4È-È�Ä�Ì�ä�ßÍ�á4Ë�Æ�Ë
Î�Ë
Ì�Ä5ÊPÌ�Ë+Ã4â4å+Ë+Ã�ÉPáPÄ5Æ�Ë�Æ�É�Ä5å+Ë+ÆmÙXÚ�Û�Ü Ý&Þ�Ä�Ì�Ë3Ì�ËCÄ5Ê
Ç-,+Ë+Ã�Ä5ƸÍ�á4Ë�Æ�â�çPÈ�Ä5Â4Ç Ø ¿,Ê
Ã4Æm¿ Ø�.�/ Ï1032 ×Ã4Ë
ÀPÂ4Ë+Ã�çEäeÍ�á4Ë9å+¿,Â4Æ�Í�Ì�Ä5Ç
Â�Í�Æ+è46587:9 Ò 9 Ò ë<; 5 é�û Ó 4(=>7@? Ò ? Ò ì�A�é�û ÓB85C7@D Ò D Ò ëFEyé�û Ó BG=H7@D Ò ? Ò é�û BGIH7@D Ò 9 Ò Ó B%JK7:9 Ò ? Ò é�û L ÏUõM� ×
à�á4Ë
Ì�Ë5è A éN; =PO õ ; 5 Ç
ÂeåCÄ5Æ�Ë+ÆRQ�S%QTQ�S%QTQTQ�ßPÄ5Â4ÃUQ!V³ß A�éÅë í O õ¤Ç
Â-Í�á4ËAåCÄ5Æ�Ë�V Ä5Â4à A�é�ûÇ
ÂOÍ�á4Ë9åCÄ5Æ�Ë
VWQ�ß�Ä5Â4ÃE é í Ç
Â�Í�á4Ë�åCÄ5Æ�Ë+Æ Q�SCQTQ�S>QTQTQ�ßQÄ5Â4ÃXV³ß E{éY; 5 Ç
Â�Í�á4Ë�åCÄ5Æ�ËZQ!V³ß7Ä5Â4à E é[; = Ç
ÂÍ�á4Ë&åCÄ5Æ�Ë\VWQ�ø
448
Classical relativistic spin particles]K^)_ `ba�c-dedea�fhg)iPjlknmM_!oHd�oeinp)k!onp�in_ a�fq_rjlkP^3a�s�on^)_�de_�dep�g(t3jlf)c-sua�v-w)dHc-dCalg)oPjlc-f)_�wUjldCon^)_x c+iPjlk
g)iPjlknmM_!o�d�oeinp)k!onp�in_yalg)oPjlc-f)_�wXs$ina�tzon^)_Zkrjlf)a�f)c-krjlvG_�v-_�tq_�fMoPj�ie{|`ba�c-dedea�f}g)iPjlknmM_!onda�fW~��r�1�3�P��� �r�(�l�1���M���N�T�� � �T�������)�������T�� �������ona���_!on^)_!i3��c+on^�on^)_�k�a�f)d�oeiPjlc-fMondUv-c-d�on_�w@j�g6aT�M_l�H��tqa�f)��on^)_�t}�H�G���R� �¡ ���¢�¢�¢�� �)�Rj�in_de_�k�a�f)w}k�v$jlded�k�a�f)d�oeiPjlc-fMond��)��^)_!in_rjld�£6¤Kjlf)w�£(¥G¦¨§ ¥© § ¤ �8¤Kj�in_«ª)ind�o k�v$jlded��¬ fon_!intqd�a�sCon^)_�de_®�lj�inc$j�g(v-_�d��6on^)_®��_�f)_!iPj�onc-f)�|sup)f)k!onc-a�f)d
a�s>c-f�ª(f)c+on_�dec-t3jlv¯`ba�c-f)krj�i�°_oeiPjlf)desualint3j�onc-a�f)d±j�in_l�v-c-f)_rj�i�tqa�tq_�fMonp)t ��� ���M²M�jlf)��p)v$j�i�tqa�tq_�fMonp)t ³l´¶µ �·� ´ � µ ¸ � µ � ´b¦ � ´ � µ ¸ � µ � ´ ¢ ���M¹M�
Appendix A: Cases I, II and III]K^)_q�M_�k!onalind®�l´ºjlf)w�» � krjlf<g6_3k�a�th¼(v-_�tq_�fMon_�w���c+on^Fj}p)f)c+oPj�ie{<jlf)wFalieon^)a���a�f(jlv�M_�k!onali ½ � �¾jlf)w|��c+on^¿¯À �@Á À � �e � � ½ � » ÂK� ¿ À ¿¯À � ¸�� ´ �l´�» � » ��� ¸ § ¥§ ¤ ¢ ��ÃlÄM���dKj\in_�dep)v+or� � �l´ � » �Å� ½ � � ¿  � c-dKjlfUalieon^)a���a�f(jlv¾on_!oeiPjlwUc-f3on_!intqdHa�sÆ��^)c-kP^Uon^)_�Ç%alin_�fMonÈt3j�oeincÊÉUË µ´ krjlf|g6_
�±inc+oeon_�f}jld
Ë µ´ �ÍÌ ´ ¿ µ¿  ¿  ¦ � ´�� µ�  �  ¦ÏÎ ´!» µÎ  Π ¦ � ´�½ µ ��à ���^)_!in_l� Ì ´ � Ë µ´ ¿ µ�� � ´ � Ë µ´ ��µ�� Î ´ � Ë µ´ »Rµyjlf)w � ´ � Ë µ´ ½�µZc-d±jlv-deaºjlfWalieon^)a���a�Ðf(jlvÆon_!oeiPjlwÆ�Ñ dec-f)�X��ÃlÄM�Rjlf)wF��à ����on^)_\Ç%c-a�p���c-v-v-_«sualintÒ�1ÓM���Hg6_�k�a�tq_�dÔ�Õ �:� ´�w � ´ ¦ © Ì ´Pw � ´ ¢ ��à © �Ö alonc-k�_«on^(j�o�on^)_ T× �lj�inc$j�g(v-_�d � µ �e� ´ � Ì Â �1��� krjlf|g6_Zp)de_�w}onaqk�aÅalinw)c-f(j�on_q�Øin_�w)p)f)w(jlfMonv+{(�on^)_ in_�w)p)k�_�w|¼(^(jlde_«d�¼¾jlk�_
ÙbÚ �nÛ Ü
Ý c-fUkrjlde_«on^(j�o § ¤�Þ� Ä®jlf)w § ¥\Þ� Ä�� ¬ f)w)_�_�wÆ�(��c+�M_�f3on^�in_�_f)a�fÅÐßf�p)v-v>alieon^)a���a�f(jlv8�M_�k!onalind � ´ � Ì Â �1��� �%on^)_qsua�p�ieon^��M_�k!onaliyc-fàon^)_hon_!oeiPjlw<c-dZalg)oPjlc-f)_�ws$ina�t Ì À �áÁ À � �e � � � � Î Â �R]K^)_}¼6a�c-fMoUc-fâÙ Ú �nÛ Ü
Ý«k�aliein_�d�¼6a�f)w)c-f)�Fona:�MãM�r��ä¾å ¤ ���1� �Pæ �ºc-dk�aÅalinw)c-f(j�on_�w·�1jlv-dea|in_�w)p)f)w(jlfMonv+{(�
g�{Fä � � � � � Ë µ´ �«��c+on^àon^)_3Ç%alin_�fMonÈqt3j�oeincÊÉà��c+�M_�fg�{���à ���]K^)a�de_ T× �lj�inc$j�g(v-_�dyj�in_l�%^)aT�R_!�M_!ir�%in_�w)p)f)w(jlfMoºc-f�Ù Ú �nÛ Ü
ݱjlf)wFj�in_hk�a�f)d�oeiPjlc-f)_�w<g�{on^)_
sua�v-v-aT��c-f)�ºin_�v$j�onc-a�f)de^)c+¼(d��£6¤8ç � ´ � ´ ¸ § ¤ � Ä � § ¤�Þ� Ä � �H£(¥Hç Ì ´ Ì ´ ¦ § ¥�è § ¤ � Ä � § ¥\Þ� Ä�8¤Cç � ´ � ´ ¸ � Ä � �G¥Hç � ´ Ì ´ � Ä � �GéRç � ´ � ´ � Ä � �%êRç Ì ´ � ´ � Äìë��ÃlÓM�
449
J.Llosaí¶î:ïnð!ñnòqóyô�õ±ïnö)ð�óeðU÷lø�ñnù$ø�ú(û-ð�ó�ü¯ïnö)ðWû-ù-î)ðrø�ñhølî)ýìølî)þ�ÿ)û$ø�ñºòqô�òqð�îMïPø�ü��������Zølî)ý����� ���üñnð�ó�
6ð
�!ïnù+÷Mð�û��Mü(ø�ñnð
��� ølî)ý ����������� � ����� � � �"!$#% �'&(�*)+���,&
�-)��(�/. �10-23�
4�ô6575±ñnù+ïnù-î)þ98��:�<;= )��Kù-îqð
>Åÿ(ø�ïnù-ô�î)ó/�10-23�8ølî)ý?�10 % ��ü�ïnö)ð�ð*@�
)ñnð�óeóeù-ô�î)ó��'2� ���ülïnö)ð ð�û-ð�òqð�îBAïPø�ñC�EDbô�ù-óeóeô�î|ú)ñPø��GFMð!ïnóH�'23I��Rølî)ý|ïnö)ð���ô�î)ó�ïeñPølù-îMïnóH�'2�J��Hõuô�û-û-ô65Yù-òqòqð�ý)ù$ø�ïnð�û���K
Appendix B: Case IVí¶î|ïnö)ù-óL�rølóeð
ïnö)ð«ïnð!ïeñPølýNM��6OGPRQ-OTS � OGUWVºù-óL��ô�òX
(û-ð!ïnð�ý|óeôºïnö(ø�ïU � U � �YU � M � �YU � P � ��P � M � �YP � S � �YZ:O P � P � �Y[ ; O U � S � � # �10�0��ølî)ý]\^V � QC_�M V S � U Q P _ �`�R[ ; Kí¶î|ïnð!ñnòqóKô�õGïnö)ù-óKïnð!ïeñPølýWïnö)ð9a%ôlñnð�îMïGb\ò3ø�ïeñnùc@Ed �� �rølîWú6ð�5±ñnù+ïeïnð�î}øló
d �� �Y)��
S � !fe(�*U � ! � �(M � !g&(�(P �� _ � _ �10�J��
5�ù+ïnö )��:�hd �� Ui�BO � ���hd �� M��3OTe(�:�hd �� S�� ølî)ý &(�:�hd �� PR�3.j ù-òqù-û$ø�ñnû��Uøló±ù-î}ø-
�
6ð�î)ý)ùc@lk[ïnö)ð9a%ù-ô�ÿ�÷�ù-û-û-ð«õuôlñnò ù-ó
m
n-o � � �Pý�� � ! #% e(�Pý�& � O �10�I��ølî)ýWïnö)ð\û-ù-î)ðrø�ñ ølî)ýXølî)þ�ÿ)û$ø�ñ�òqô�òqð�îMïPø®ø�ñnð�m
��� ølî)ý ����������� � ���p� � � �"!$#% �'&(�(e
���,&
��e(�(�/. �10����
q ö)ð
ónølòqð���ô�òqòqð�îMïnó±øló�ù-î}ø-
�
6ð�î)ý)ùc@lk ý)ôhö)ô�û-ý}ølî)ý|ïnö)ð9��ô�î)ó�ïeñPølù-îMïnó�ø�ñnð�mr ;"s � � � � �t[ ; �YZ�Ou[ ;/v�YZ�O 2 r = s e(�(e � �YZ�Ou[ = ��Zw ;xs &(�T& � �,[ ; �YZ�O w = s & � e(�:�YZ�O wzy s & � � � �YZ�O w|{ s e(� � � �YZ } �10� ��
~bù-î(ølû-û��Mü�5±ñnù+ïnù-î)þ�8�����;= e(�«ù-î}ð
>Åÿ(ø�ïnù-ô�î)óH�10����±ølî)ýg�10�I���ü)ïnö)ðZð*@�
)ñnð�óeóeù-ô�î)ó��'2� ���ü(ïnö)ðð�û-ð�òqð�îMïPø�ñC�EDbô�ù-óeóeô�î|ú)ñPø��GFMð!ïnóH�'23I���ü(ølî)ýWïnö)ð9��ô�î)ó�ïeñPølù-îMïnóH�'2�J��Hõuô�û-û-ô65Yù-òqòqð�ý)ù$ø�ïnð�û���K
Appendix C: Case Vj ù-î���ð�M�_}ølî)ý,S�_ s \-_
V � Q�M V�� � Q ø�ñnðºôlñeïnö)ô�þ�ô�î(ølûbî�ÿ)û-û8÷Mð
�!ïnôlñnó�üÆïnö)ð(�àø�ñnðºû-ù-î)ðrø�ñnû��ý)ð(
6ð�î)ý)ð�îMï�K����Wø�a%ôlñnð�îMïGb
ïeñPølî)óeõuôlñnò3ø�ïnù-ô�îÆü)ø®ñnð(
)ñnð�óeð�îMïPø�ïnù+÷Mð
ô�õz�i���G� ���W�rølîWú6ð��Pö)ô�óeð�îóeÿ��Pö|ïnö(ø�ï�M � ��S � K
450
Classical relativistic spin particles�������C�+���(�����6�`���G�(�C�T���l���6�G�W���G�R -�T¡£¢H�C¤�¥T¦l�G¦ �-�� ¢ �W¢9§Y� ¢ �L¢�§Y� ¢ ¡£¢9§Y� ¢ ��¢�§Y� ¢ ¡£¢�§Y¨:� � ¢ �L¢9§�¡ ¢ ¡£¢9§`©x� � ¢ ��¢9§`©ª�« ¨�¬�����]^�(¢( C®�� � � ¢ ¡ � ® §`©�¯° �]�G�(�G±��:��²z�R¦��+¥T¦]�G¦���³|���G�
���G´9±µ�-�C�G�c¶¸·º¹� ¥����]»¼�½�L�G���C�G�
�l���· ¹� §Y¾��(� ¹:¿ÁÀ �*� ¹:¿Ã �*� ¹:¿7Ä �(¡ ¹ ª�« ©^¬�R���G¦ÆÅ ¾��:§h· ¹� � ¹ � À ��§h· ¹� � ¹ � Ä �:§h· ¹� ¡ ¹ �����  �:§h· ¹� � ¹3ÇÈ ¦��9³|�+��¤�É��+Ê+Ê+�½²Ë���G±Ì¥����¸»¼�9��»��T���+���
�l���R�+�l�-�ͼ�
�����c¶lÎÏ�����]���LÐ��+�
Ê+���
Å
Ñ-ÒN§ À �T��Ó � ¿ ©Ô Ä �T�  � � ª�« Ô ¬
�����¸�G¦��9Ê+�+�����-�������N����Õ�¤�ÊÖ�-�R±���±��
���T���-�G��Å
À ¢×����� Ø�� ¹ §�Ó�� À ¹�Ù Ó ¹ À � ¿ ©Ô ª' � Ä ¹�Ù Â ¹ Ä �(¬ Ç ª�«�Ú ¬
È ¦����G��±���¥
��±�±��
���G�L���R�+�l�-�ͼ�
�����c¶lÎÏ��Ê+�C��¦���Ê+�N�����¸�G¦��9¥
�������C�T���+���G���-�G��ÅÛ¼Ü"Ý À � À � ÙtÞ Ü §Y¨�� Þ Ü §Y¨�� ß Û à�Ý Ä � Ä � Ù ©/§Y¨�� Þ à §Y¨á"ÜxÝ Â �  � Ù ©�§�¨�� ázà�Ý Â � Ä �:§Y¨�� ázâ�Ý Ä � À � §Y¨�� á|ã�Ý Â � À � §�¨fä ª�« ß3¬å �+� ��Ê+Ê�Ð�æ��L�G���G�+��Õ�ç���§ Üà Ä �½�+�l�
èB¤ �-�G�+����� ª�«�Ú ¬L����� ª�« Ô ¬*æ��G¦��é�*¶�Í��G�
�C�C�+����� ª ß�ê�¬*æ �G¦���
Ê+�
±��
���T�-�CÐEëi���+�C�C���]»��T��¥Gì��(�G� ª ß3í�¬*æ �����¸�G¦��9¥
�������C�T���+���G� ª ß « ¬�²Ë��Ê+Ê+�6�u�+±�±��
����-�G�
Ê�Ð�¯
Appendix D: Case VI����±XÍ Ê+�(�G�����½�����?î� /�G�����G�(�C�T���l���^�G�W�B�G�R -�Tî�¢H�C¤�¥T¦l�G¦ �-�� ¢ �W¢�§Y� ¢ �L¢9§Y� ¢ î�¢�§Y� ¢ ��¢9§Y� ¢ î�¢9§Y¨:� � ¢ �L¢�§ Þ à � � ¢ ��¢9§`© ª�«�ï ¬�����]^�(¢( C®�� � � ¢ � î ® § Þ à ¯° �]�G�(�G±��:��²z�R¦��+¥T¦]�G¦���³|���G�
���G´9±µ�-�C�G�c¶¸·º¹� ¥����]»¼�½�L�G���C�G�
�l���
· ¹� §�¾��*� ¹:¿ÁÀ �*� ¹:¿  �*��¹ ¿7Ä �(î�¹Þ à ª�«�« ¬
�R���G¦ ¾��:§Y· ¹� � ¹ � À �:§h· ¹� � ¹ � Ä ��§h· ¹� î ¹ �����  �:§Y· ¹� � ¹3ÇÈ ¦��9³|�+��¤�É��+Ê+Ê+�½²Ë���G±Ì¥����¸»¼�9��»��T���+���
�l���R�+�l�-�ͼ�
�����c¶lÎÏ�����]���LÐ��+�
Ê+���
Å
Ñ-Òl§ À �T��Ó � ¿ ©Ô ¾��*�  � � ª�« í�¬
451
J.Llosað�ñ�ò¸óGô�õ9ö+÷+ñ�õ�ð-ø�ð�ñ�òNð�ñ�ù�ú�öÖð-øRû�ü�û�õ
ñ�óTð�ð-øGõ�ý
þ�ÿ ð�ñ�ò ��������� � þ ��
��
� þ ��� ������ ������
� ��������� � �"! �
# ô�õ�$Gð�û�õ�%
ü�û�û�õ
ñ�ó&$Lð�$R÷+ñlð�' '¼õ
ñ�ò�÷)(+*Ïð�ö�$Cü�ô�ü�ö+òNð�ñ�ò¸óGô�õ,%
ü�ñ $�óCøTð�÷+ñ�ó&$�ð-øGõ�ý
-/.�0 þ � þ �
21 . �436571 . �4365 8 -
9:0<; � ; � �436571 9,=�<3>�.?0 � � � �
@1 9 �4365 >A9B0 � � ; �C�4365 >ADB0<; � þ � �<365 >FEC0 � � þ � �43
G
� �"H �
I ÷+ñ ð�ö+ö�JLK
MLøG÷�óG÷+ñ�ùON ��� .9 ����÷+ñ?õQPBú ð-óG÷+ü�ñ $ � �LR �Rð�ñ�ò � �"! ��K óGô�õHõ�(6'�øGõQ$S$C÷+ü�ñ $ � 8 H ��K£óGô�õõ
ö+õ
û�õ
ñ�óTð-øSJUTiü�÷�$S$Cü�ñWV�øTð�%&X�õ(ó&$ � 8 R ��K ð�ñ�ò¸óGô�õ,%
ü�ñ $�óCøTð�÷+ñ�ó&$ � 8 � �BYËü�ö+ö+üZMu÷+û�û�õ
ò�÷Öð-óGõ
ö�JL[
References
\Q]_^a`cbdQecf�g"h&eji6k ] djlLmon `qpZr d�its ] i6u�v�w xzyU{j|�}�xz~A}����&x)i��t� i���iL�L� ]
\c��\���������\c�j��\��� ]_�?�L� dj�Ldj��iz� ] djlLm���d ��r m"hcl i�s ]z��] i��
�Q �¡�¢Z{j|¤£¥�Q¡"�o��¦�y�v¨§S}�{Q¡L£¥§S� �¤r hc© p lLm�hcmLªq«¨ª p l � i ^ hcl �¬ dj�ª)l � ��hcdjmLª)l"®"i \c�Z¯Q�Z���]_� « � hjit� ]L°±] djlLmo��g"²�gLlLmLd�i"³ ] i
´"x
yU{j|�}�xz~A}����&x)i6µ�¶�i \ ��it�L� ] � �Q·Z��� � ����\c�j�j¸Z��"]_¹ ª � dj©Qi"º ] �_] � ] i6»zv¨§c|¤ �¼¨v��_�Q¡+½a L{Q¡t|¤ �¾4y�v¨§S}�{Q¡L£¥§S��i�¿Àh r �LªqÁQd�Â:lLªqÁjh ��r ªq«�Ãji ^ h `qÄ h �?Å:� djmLgLdQ«ÆhÇ ©�� p�pZ` pjÄ Ç ©&ªqhclL©Shji � ³?h&È2¿ pj� ²�i \c�j¸����É�]_^ h ` « � dj��h&«¨ª¥i ��]6ű] djlLm ^a` d r ª¥i �_] i6~A}����&xz»zv&|¥|�x)i6µL� i \ iL�L� ]t¸ � ���O��\c�j¸j¸Z�¸�]_�?� h `)` djlLd r i"n ] djlLmo��d � « bÊ l"h&e �:`qp l rÆp itn ] i ´"x
yU{j|�}�xz~A}����&x)izË�Ì i � iL�L� ]
\cÉj�Q·����Í��\c�Z¯����
Класичні релятивістичні частинки зі спіном
Й.Льоза
Барселонський університет, кафедра теоретичної фізики,
Барселона, Іспанія
Отримано 30 січня 1998 р.; після доопрацювання – 6 травня
1998 р.
Релятивістичні частинки зі спіном розглядаються з точки зору гаміль-
тонової дії групи Пуанкаре на себе. Прокласифіковано низку можли-
вих розв’язків та побудовано реалізації у термінах Діракового фор-
малізму з в’язями.
Ключові слова: релятивістична частинка зі спіном, група
Пуанкаре, гамільтонова дія
PACS: 03.20, 03.30
452
|