Еще раз о краевом резонансе
На основе метода суперпозиции проведен анализ особенностей краевого резонанса в полуполосе со свободным торцом при изменении коэффициента Пуассона. Показано, что при изменении коэффициента Пуассона от 0 до 0.5 частота краевого резонанса увеличивается от 1.99 до 2.61. При этом добротность резонанса р...
Saved in:
| Date: | 2000 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2000
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1192 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Еще раз о краевом резонансе / Н. С. Городецкая // Акуст. вісн. — 2000. — Т. 3, N 4. — С. 35-44. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860217992545042432 |
|---|---|
| author | Городецкая, Н.С. |
| author_facet | Городецкая, Н.С. |
| citation_txt | Еще раз о краевом резонансе / Н. С. Городецкая // Акуст. вісн. — 2000. — Т. 3, N 4. — С. 35-44. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | На основе метода суперпозиции проведен анализ особенностей краевого резонанса в полуполосе со свободным торцом при изменении коэффициента Пуассона. Показано, что при изменении коэффициента Пуассона от 0 до 0.5 частота краевого резонанса увеличивается от 1.99 до 2.61. При этом добротность резонанса резко падает. При рассмотрении первой распространяющейся волны как суперпозиции SV- и P-волн отмечено, что на частоте краевого резонанса на боковых поверхностях полуполосы SV-волна является распространяющейся, а P-волна - неоднородной. На частоте W2»2.2 практически для всех коэффициентов Пуассона на ширине полуполосы укладывается целое число SV-полуволн. Для средних значений коэффициента Пуассона - от 0.22 до 0.42 - существует диапазон частот, на котором поперечная волна падает на свободный торец полуполосы под углом, большим критического, и существует продольная распространяющаяся волна. В этом случае также существует частота We1, на которой боковые поверхности полуполосы свободны от напряжений с учетом SV- и P-волн. Для средних значений коэффициента Пуассона частота краевого резонанса лежит между значениями W2=2.2 и We1.
На базі методу суперпозиції проведений аналіз особливостей крайового резонансу в півсмузі з вільним торцем при зміні коефіцієнта Пуасона. Показано, що при зміні коефіцієнта Пуассона від 0 до 0.5 частота крайового резонансу збільшується від 1.99 до 2.61. При цьому добротність резонансу різко падає. При розгляді першої хвилі, що поширюється, як суперпозиції SV- і P-хвиль відзначено, що на частоті крайового резонансу на бічних поверхнях півсмуги SV-хвиля поширюється, а P-хвиля - неоднорідна. На частоті W2»2.2 практично для всіх коефіцієнтів Пуассона на ширині півсмуги вкладається ціле число SV-півхвиль. Для середніх значень коефіцієнта Пуасона - від 0.22 до 0.42 - існує діапазон частот, на якому поперечна хвиля падає на вільний торець півсмуги під кутом, більшим за критичний, і існує поздовжна хвиля, що поширюється. У цьому випадку також існує частота We1, на якій бічні поверхні півсмуги є вільними від напружень з урахуванням SV- та P-хвиль. Для середніх значень коефіцієнта Пуасона частота крайового резонансу лежить між значеннями W2=2.2 і We1.
On the basis of method of superposition the analysis of features of an edge resonance is carried out for a half-strip with free edge at variation of Poisson's ratio. It is shown that with change of Poisson's ratio from 0 up to 0.5 the edge resonance frequency increases from 1.99 to 2.61. In going so, the quality factor sharply falls. Considering the first propagating wave as a superposition of SV- and P-waves we note that at the edge resonance frequency the SV-wave on side surfaces is propagating one, while P-wave is evancesent one. On frequency W2»2.2 practically for all Poisson's ratios there are integer numbers of SV-half-waves across the width of a half-strip. For intermediate Poisson's ratios, namely from 0.22 to 0.42, there is a range of frequencies, for which the SV-wave falls on a free end of half-strip at the angle exceeding critical one. In going so, there exist a propagating P-wave. In this case there also exists a frequency We1 where side surfaces of a half-strip are free from stresses when accounting both SV- and P-waves. The edge resonance frequency lays between values W2=2.2 and We1 for intermediate Poisson's ratios.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:17:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2000. �®¬ 3, N 4. �. 35 { 44��� 539.3 ��� ��� � ������� ����������. �. �����������áâ¨âãâ £¨¤à®¬¥å ¨ª¨ ��� �ªà ¨ë, �¨¥¢�®«ã祮 20.10.2000� ®á®¢¥ ¬¥â®¤ á㯥௮§¨æ¨¨ ¯à®¢¥¤¥ «¨§ ®á®¡¥®á⥩ ªà ¥¢®£® १® á ¢ ¯®«ã¯®«®á¥ ᮠ᢮¡®¤ë¬ â®à-殬 ¯à¨ ¨§¬¥¥¨¨ ª®íää¨æ¨¥â �ã áá® . �®ª § ®, çâ® ¯à¨ ¨§¬¥¥¨¨ ª®íää¨æ¨¥â �ã áá® ®â 0 ¤® 0:5ç áâ®â ªà ¥¢®£® १® á 㢥«¨ç¨¢ ¥âáï ®â 1:99 ¤® 2:61. �ਠí⮬ ¤®¡à®â®áâì १® á १ª® ¯ ¤ ¥â. �à¨à áᬮâ२¨ ¯¥à¢®© à á¯à®áâà ïî饩áï ¢®«ë ª ª á㯥௮§¨æ¨¨ SV- ¨ P-¢®« ®â¬¥ç¥®, çâ® ç áâ®â¥ ªà ¥¢®£®à¥§® á ¡®ª®¢ëå ¯®¢¥àå®áâïå ¯®«ã¯®«®áë SV-¢®« ï¥âáï à á¯à®áâà ïî饩áï, P-¢®« { ¥®¤®à®¤-®©. � ç áâ®â¥
2�2:2 ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¤«ï ¢á¥å ª®íää¨æ¨¥â®¢ �ã áá® è¨à¨¥ ¯®«ã¯®«®áë 㪫 ¤ë¢ ¥âáï 楫®¥ç¨á«® SV-¯®«ã¢®«. �«ï á।¨å § 票© ª®íää¨æ¨¥â �ã áá® { ®â 0:22 ¤® 0:42 { áãé¥áâ¢ã¥â ¤¨ ¯ §® ç áâ®â, ª®â®à®¬ ¯®¯¥à¥ç ï ¢®« ¯ ¤ ¥â ᢮¡®¤ë© â®à¥æ ¯®«ã¯®«®áë ¯®¤ 㣫®¬, ¡®«ì訬 ªà¨â¨ç¥áª®£®, ¨ áãé¥-áâ¢ã¥â ¯à®¤®«ì ï à á¯à®áâà ïîé ïáï ¢®« . � í⮬ á«ãç ¥ â ª¦¥ áãé¥áâ¢ã¥â ç áâ®â
1e, ª®â®à®© ¡®ª®¢ë¥¯®¢¥àå®á⨠¯®«ã¯®«®áë ᢮¡®¤ë ®â ¯à殮¨© á ãç¥â®¬ SV- ¨ P-¢®«. �«ï á।¨å § 票© ª®íää¨æ¨¥â �ã áá® ç áâ®â ªà ¥¢®£® १® á «¥¦¨â ¬¥¦¤ã § 票ﬨ
2=2:2 ¨
1e.� ¡ §÷ ¬¥â®¤ã á㯥௮§¨æ÷ù ¯à®¢¥¤¥¨© «÷§ ®á®¡«¨¢®á⥩ ªà ©®¢®£® १® áã ¢ ¯÷¢á¬ã§÷ § ¢÷«ì¨¬ â®à楬 ¯à¨§¬÷÷ ª®¥ä÷æ÷õâ �ã á® . �®ª § ®, é® ¯à¨ §¬÷÷ ª®¥ä÷æ÷õâ �ã áá® ¢÷¤ 0 ¤® 0:5 ç áâ®â ªà ©®¢®£® १® á㧡÷«ìèãõâìáï ¢÷¤ 1:99 ¤® 2:61. �ਠæ쮬㠤®¡à®â÷áâì १® áã à÷§ª® ¯ ¤ õ. �ਠ஧£«ï¤÷ ¯¥àè®ù 墨«÷, 鮯®è¨àîõâìáï, ïª á㯥௮§¨æ÷ù SV- ÷ P-墨«ì ¢÷¤§ 祮, é® ç áâ®â÷ ªà ©®¢®£® १® áã ¡÷ç¨å ¯®¢¥àåïå¯÷¢á¬ã£¨ SV-墨«ï ¯®è¨àîõâìáï, P-墨«ï { ¥®¤®à÷¤ . � ç áâ®â÷
2�2:2 ¯à ªâ¨ç® ¤«ï ¢á÷å ª®¥ä÷æ÷õâ÷¢�ã áá® è¨à¨÷ ¯÷¢á¬ã£¨ ¢ª« ¤ õâìáï æ÷«¥ ç¨á«® SV-¯÷¢å¢¨«ì. �«ï á¥à¥¤÷å § ç¥ì ª®¥ä÷æ÷õâ �ã á® {¢÷¤ 0:22 ¤® 0:42 { ÷áãõ ¤÷ ¯ §® ç áâ®â, 类¬ã ¯®¯¥à¥ç 墨«ï ¯ ¤ õ ¢÷«ì¨© â®à¥æì ¯÷¢á¬ã£¨ ¯÷¤ ªã⮬,¡÷«ì訬 § ªà¨â¨ç¨©, ÷ ÷áãõ ¯®§¤®¢¦ 墨«ï, é® ¯®è¨àîõâìáï. � æ쮬㠢¨¯ ¤ªã â ª®¦ ÷áãõ ç áâ®â
1e, ïª÷©¡÷ç÷ ¯®¢¥àå÷ ¯÷¢á¬ã£¨ õ ¢÷«ì¨¬¨ ¢÷¤ ¯àã¦¥ì § ãà åã¢ ï¬ SV- â P-墨«ì. �«ï á¥à¥¤÷å § ç¥ì ª®¥ä÷æ÷õâ �ã á® ç áâ®â ªà ©®¢®£® १® áã «¥¦¨âì ¬÷¦ § ç¥ï¬¨
2=2:2 ÷
1e.On the basis of method of superposition the analysis of features of an edge resonance is carried out for a half-strip with freeedge at variation of Poisson's ratio. It is shown that with change of Poisson's ratio from 0 up to 0:5 the edge resonancefrequency increases from 1:99 to 2:61. In going so, the quality factor sharply falls. Considering the �rst propagatingwave as a superposition of SV- and P-waves we note that at the edge resonance frequency the SV-wave on side surfacesis propagating one, while P-wave is evancesent one. On frequency
2�2:2 practically for all Poisson's ratios there areinteger numbers of SV-half-waves across the width of a half-strip. For intermediate Poisson's ratios, namely from 0:22 to0:42, there is a range of frequencies, for which the SV-wave falls on a free end of half-strip at the angle exceeding criticalone. In going so, there exist a propagating P-wave. In this case there also exists a frequency
1e where side surfaces ofa half-strip are free from stresses when accounting both SV- and P-waves. The edge resonance frequency lays betweenvalues
2=2:2 and
1e for intermediate Poisson's ratios.���������¤¨¬ ¨§ ¨¡®«¥¥ ¨§¢¥áâëå ⨯®¢ १® -á ¥®¤®à®¤ëå ¢®« å ï¥âáï â®â, ª®â®-àë© ¯à®ï¢«ï¥âáï ¢ ᨫ쮩 «®ª «¨§ 樨 ¤¢¨¦¥¨ï¢¡«¨§¨ â®àæ ¢®«®¢®¤ . �¬¥® ¯® í⮬㠯à¨-§ ªã ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ä®à¬ ª®«¥¡ ¨© ¯®«ãç¨-« §¢ ¨¥ ªà ¥¢®©, ¥¨¥ íä䥪⨢®£® ¢®§-¡ã¦¤¥¨ï ª®«¥¡ ¨© ¤ ®© ç áâ®â¥ { §¢ ¨¥ªà ¥¢®£® १® á .�ਠíªá¯¥à¨¬¥â «ì®¬ ¨áá«¥¤®¢ ¨¨ ªà ¥¢®©ä®à¬ë ¢®§¨ª îâ ®¯à¥¤¥«¥ë¥ âà㤮áâ¨, ª®-â®àë¥ ¢ § ç¨â¥«ì®© ¬¥à¥ á¢ï§ ë á ⥬, çâ®íää¥ªâ¨¢ë© ª®íää¨æ¨¥â í«¥ªâ஬¥å ¨ç¥áª®©á¢ï§¨ ªà ¥¢®© ¬®¤¥ ¢ ¯ì¥§® ªâ¨¢ëå ¯« á⨠å,¤¨áª å ¨ 樫¨¤à å ¡«¨§®ª ª ã«î. �¯¥à¢ë¥ ªà -¥¢®© १® á ¡«î¤ «áï �®ã [1] ¨ �«¨¢¥à®¬ [2]¨ ª áâ®ï饬㠢६¥¨ ª®¯«¥ ®¡è¨àë© íªá-¯¥à¨¬¥â «ìë© ¬ â¥à¨ « [3], å à ªâ¥à¨§ãî騩í⮠¥¨¥.� â®çª¨ §à¥¨ï ⥮à¥â¨ç¥áª®£® ®¡êïᥨï -
¡«î¤ ¥¬®£® íä䥪⠢ ¦ãî ஫ì áë£à «¨ à ¡®-âë �. �. � §¨á ¨ �. �. �¨¤«¨ [4]. � ¨å ¥-¨¥ ªà ¥¢®£® १® á ¢¯¥à¢ë¥ ¡ë«® á¢ï§ ® á®á¯¥æ¨ä¨ª®© ¢®§¡ã¦¤¥¨ï ¥®¤®à®¤ëå ¢®«. �¥¬á ¬ë¬ ¡ë« ¯®¤ç¥àªã⠮ᮡ ï ¢ ¦®áâì ஫¨,ª®â®àãî ¨£à îâ ¢®«ë á ª®¬¯«¥ªá묨 ¯®áâ®ï-묨 à á¯à®áâà ¥¨ï ¯à¨ ä®à¬¨à®¢ ¨¨ ¢®«®-¢®£® ¯®«ï. � ¤ «ì¥©è¥¬ ¯®ï¢¨«®áì § ç¨â¥«ì®¥ª®«¨ç¥á⢮ ¯ã¡«¨ª 権, ¯®á¢ïé¥ëå ¨§ã票îªà ¥¢®£® १® á ¢ ª®¥çëå 樫¨¤à å [5, 6],ªà㣫ëå ¤¨áª å [4,7] ¨ ¯àאַ㣮«ìëå ¯« á⨪ 媮¥ç®© ¤«¨ë [8].�¤®¢à¥¬¥®, ¤«ï ¤®á⨦¥¨ï ¡®«¥¥ £«ã¡®ª®£®¯®¨¬ ¨ï ᯥæ¨ä¨ª¨ ¢®§¡ã¦¤¥¨ï ¥®¤®à®¤ë墮« § ç¨â¥«ì®¥ ¢¨¬ ¨¥ ¡ë«® 㤥«¥® «¨§ãªà ¥¢®£® १® á ¢ ¯®«ã¡¥áª®¥çëå ⥫ å. �ਨ§ã票¨ ¢®«®¢®£® ¯®«ï ¢ â ª¨å ⥫ å ¨á¯®«ì-§®¢ «¨áì à §«¨çë¥ ¯®¤å®¤ë: ¬¥â®¤ ®¤®à®¤ëåà¥è¥¨© [9], ¬¥â®¤ á㯥௮§¨æ¨¨ [8,10], ¬¥â®¤ ª®-¥çëå í«¥¬¥â®¢ [14], ¬¥â®¤ ª®¥çëå à §®á⥩¨ ¤à㣨¥ [15].c
�. �. �®à®¤¥æª ï, 2000 35
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2000. �®¬ 3, N 4. �. 35 { 44
�¨á. 1. �¥®¬¥âà¨ï § ¤ ç¨� à ¬ª å ¬¥â®¤ ®¤®à®¤ëå à¥è¥¨© ¯à¨ ®¯¨-á ¨¨ ¥¨ï ªà ¥¢®£® १® á è¨à®ª®¥ à á-¯à®áâà ¥¨¥ ¯®«ã稫¨ ⥮à¨ï \¢â®à®£® ¯®àï¤-ª " [4,5], â ª¦¥ ¢ à¨ æ¨®ë¥ ¬¥â®¤ë [9,12,13].�§ã票¥ ªà ¥¢®£® १® á ®á®¢¥ ¬¥â®¤ áã-¯¥à¯®§¨æ¨¨ ¯à®¢®¤¨«®áì ¢ à ¡®â å [8,10,11].� ¡®âë, ¯®á¢ïé¥ë¥ ¨§ãç¥¨î ªà ¥¢®£® १®- á ¢ ¯®«ã®£à ¨ç¥ëå ⥫ å, ¯®ª § «¨, çâ®ç áâ®â , ª®â®à®© ¯à®¨á室¨â ᨫì ï «®ª «¨-§ æ¨ï ¤¢¨¦¥¨ï ¢¡«¨§¨ â®àæ ¢®«®¢®¤ , ¤¥©á⢨-â¥«ì® á®¢¯ ¤ ¥â á ç áâ®â®© ªà ¥¢®£® १® -á ¢ ª®¥çëå ã¯à㣨å ⥫ å, ¨§¬¥à¥®© ¢ íªá-¯¥à¨¬¥â å. �¤ ª® ¬¥¦¤ã १® á묨 ¥-¨ï¬¨ ¢ ¥®£à ¨ç¥ëå ¨ ®£à ¨ç¥ëå ã¯àã-£¨å ⥫ å ¨¬¥¥âáï áãé¥á⢥®¥ à §«¨ç¨¥. �á«¥¤-á⢨¥ á¢ï§ ®á⨠ç¥à¥§ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï â®àæ¥ à á¯à®áâà ïî饩áï ¨ ¥®¤®à®¤ëå ¢®«,¢ ¥®£à ¨ç¥®¬ ⥫¥ ¯à®ï¢«ï¥âáï à ¤¨ 樮®¥¤¥¬¯ä¨à®¢ ¨¥ ¨ ¬¯«¨âã¤ë ª®«¥¡ ¨© ¥®¤®-தëå ¢®« ®áâ îâáï ®£à ¨ç¥ë¬¨. �᪫îç¥-¨¥ á®áâ ¢«ïî⠯த®«ìë¥ ª®«¥¡ ¨ï ¯®«ã¯®«®áë¨ á¨¬¬¥âà¨çë¥ ª®«¥¡ ¨ï ¯®«ã樫¨¤à [8] ¯à¨ª®íää¨æ¨¥â¥ �ã áá® �=0, â ª¦¥ ¥á¨¬¬¥-âà¨çë¥ ª®«¥¡ ¨ï ¯®«ã樫¨¤à ¤«ï «î¡ëå § -票© �. � á«ãç ¥ ᨬ¬¥âà¨çëå ª®«¥¡ ¨© ¯®«ã-¯®«®áë ¨ ¯®«ã樫¨¤à á¢ï§ì ¬¥¦¤ã à á¯à®áâà -ïî饩áï ¨ ¥®¤®à®¤ë¬¨ ¢®« ¬¨ ãáâà ï¥âá狼ï �=0 § áç¥â ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ¢ë¡®à -£à㧪¨ â®àæ¥. �®§¡ã¦¤ ï ¯®«ã®£à ¨ç¥ë©¢®«®¢®¤ á ¬®ãà ¢®¢¥è¥®© £à㧪®©, ¬®¦®¯®«ãç¨âì ¤¥©á⢨⥫ìë© à¥§® á, â. ¥. ®¡à é¥-¨¥ ¢ ¡¥áª®¥ç®áâì ¬¯«¨â㤠ᬥ饨© ¥ª®-â®à®© ç áâ®â¥ [8]. � à ¡®â¥ [16] ¯®¤à®¡® ¯à® -«¨§¨à®¢ ªà ¥¢®© १® á ¢ ¯®«ã¯®«®á¥ á ª®íä-ä¨æ¨¥â®¬ �ã áá® , à ¢ë¬ ã«î.� á«ãç ¥ ¥®á¥á¨¬¬¥âà¨çëå ª®«¥¡ ¨© ¯®«ã-樫¨¤à ¢ ¥ª®â®à®¬ ç áâ®â®¬ ¤¨ ¯ §®¥ à á-¯à®áâà ïî騥áï ¢®«ë ®âáãâáâ¢ãîâ ¢¥ § ¢¨á¨-¬®á⨠®â ¢¥«¨ç¨ë �, â ª ª ª ¨¬¥ìè ï ç áâ®-â § ¯¨à ¨ï ¢®«®¢®¤ ¡®«ìè¥ ã«ï. �¤¥áì â ª¦¥
¡«î¤ ¥âáï ¥®£à ¨ç¥ë© à®áâ ¬¯«¨â㤠ᬥ-饨© ¨ १® á ¥®¤®à®¤ëå ¢®« å ¯à®-ï¥âáï ¢ ç¨á⮬ ¢¨¤¥ ¯à¨ «î¡®¬ �.�¥á¬®âàï § ç¨â¥«ìë© ®¡ê¥¬ ¨ä®à¬ 樨® áâàãªâãॠ¨ ᢮©á⢠å १® á ¥®¤®à®¤-ëå ¢®« å, ¢ í⮩ ®¡« á⨠¥é¥ ®áâ ¥âáï àï¤ ¥¢ë-ïá¥ëå ¢®¯à®á®¢. �«ï ¯«®áª¨å ¢®«®¢®¤®¢ íâ®®¡ãá«®¢«¥® ⥬, çâ® ª ª ¯à¨ ᨬ¬¥âà¨çëå, â ª ¨¯à¨ ¥á¨¬¬¥âà¨çëå ª®«¥¡ ¨ïå ç áâ®â¥ ªà ¥-¢®£® १® á áãé¥áâ¢ãîâ à á¯à®áâà ïî騥á«ë ¨ ªà ¥¢®© १® á ¢ \ç¨á⮬" ¢¨¤¥ ¢ë¤¥-«¨âì ¥ 㤠¥âáï. �®í⮬㠮ç¥ì ¢ ¦ ®æ¥ª ¨-â¥á¨¢®á⨠¢®§¡ã¦¤¥¨ï ¥®¤®à®¤ëå ¢®«, ,á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¨ á⥯¥¨ ¯à®ï¢«¥¨ï ªà ¥¢®£® à¥-§® á ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â à §«¨çëå ¯ à ¬¥â஢.� ¤ ®© à ¡®â¥ ¨§ãç ¥âáï íä䥪⨢®áâì ¯à®-¥¨ï ªà ¥¢®£® १® á ¯à¨ à §«¨çëå ª®íä-ä¨æ¨¥â å �ã áá® . �ਠí⮬ ãáâ ®¢«¥®, çâ® á㢥«¨ç¥¨¥¬ � ç áâ®â ªà ¥¢®£® १® á 㢥«¨-稢 ¥âáï, ¤®¡à®â®áâì ¯ ¤ ¥â. �â® ®¡ãá«®¢«¥-® 㢥«¨ç¥¨¥¬ á¢ï§ ®á⨠¥®¤®à®¤ëå ¢®«¨ ¥¤¨á⢥®© à á¯à®áâà ïî饩áï ¢®«ë á à®-á⮬ �.1. ���������� ������� áᬮâਬ ¯«®áªãî § ¤ çã ® à á¯à®áâà ¥¨¨®à¬ «ìëå ¢®«ë ¢ ¯®«ã¯®«®á¥ jY j�h, Z�0 á®á¢®¡®¤ë¬¨ ®â ¯à殮¨© ¡®ª®¢ë¬¨ ¯®¢¥àå®-áâﬨ Y =�h (à¨á. 1). �¢®©á⢠¨§®âய®© áà¥-¤ë å à ªâ¥à¨§ãîâáï ¬®¤ã«¥¬ ᤢ¨£ �, ª®íää¨æ¨-¥â®¬ �ã áá® � ¨ ¯«®â®áâìî �. �«ï ¯¥à¥å®¤ ª¡¥§à §¬¥àë¬ ¢¥«¨ç¨ ¬ ª®®à¤¨ âë ®à¬¨à㥬 h: y=Y=h, z=Z=h.�®«®¢®¥ ¯®«¥ ¢®§¡ã¦¤ ¥âáï ¯¥à¢®© ®à¬ «ì®©¢®«®©, à á¯à®áâà ïî饩áï ¢ ®âà¨æ ⥫쮬 -¯à ¢«¥¨¨ ®á¨ z ¨§ ¡¥áª®¥ç®áâ¨:�zz(y; 0)+�(0)zz (y; 0)=0; z=0; jyj�1;�zy(y; 0)+� (0)zy (y; 0)=0; z=0; jyj�1;�yy(�1; z)=�yz(�1; z)=0; y =�1; z�0: (1)�¤¥áì�(0)zz2� = �i��21�2�2 ch�2ysh�2 �� (�2 + �22)2 (�2 +
20)�1 ch�1ysh�1 �e�i�z ;� (0)zz2� = ��21 �2 + �222 �sh�2ysh�2 � sh�1ysh�2 �e�i�z : (2)36 �. �. �®à®¤¥æª ï
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2000. �®¬ 3, N 4. �. 35 { 44�®áâ®ï ï à á¯à®áâà ¥¨ï � à ¢ ¯¥à¢®¬ã¤¥©á⢨⥫쮬㠪®àî ¤¨á¯¥àᨮ®£® ãà ¢¥-¨ï ¤«ï ¨§®âய®© ¡¥áª®¥ç®© ¯®«®áë ᮠ᢮-¡®¤ë¬¨ ¯®¢¥àå®áâﬨ:�(�) = (2�2 �
2)2�1cth�1��4�2�21�2cth�2 = 0: (3)� ãà ¢¥¨¨ (3)�n = 8<: p�2 �
2n; j�j �
n;�ip
2n � �2; j�j <
n; (4)
1=!h=cl;
2=!h=cs; cl ¨ cs { ᪮à®á⨠¯à®¤®«ì-®© ¨ ¯®¯¥à¥ç®© ¢®« ᮮ⢥âá⢥®. �¤¥áì ¨ ¢¤ «ì¥©è¥¬ ¢à¥¬¥®© ¬®¦¨â¥«ì e�i!t ®¯ã᪠¥â-áï (! { ªà㣮¢ ï ç áâ®â ).�¥®¡å®¤¨¬® ©â¨ ¢¥ªâ®à ᬥ饨ï, 㤮¢«¥â¢®-àïî騩 § ¤ ë¬ £à ¨çë¬ ãá«®¢¨ï¬ ¨ ®¤®-த®© á¨á⥬¥ ãà ¢¥¨© � ¬¥. �®¯®«¨â¥«ì-® ª £à ¨çë¬ ãá«®¢¨ï¬ (1) ¤®«¦ë ¢ë¯®«ïâì-áï ãá«®¢¨ï ¨§«ãç¥¨ï ¡¥áª®¥ç®áâ¨, § ª«îç -î騥áï ¢ ⮬, çâ® ª ¦¤ ï à á¯à®áâà ïîé ïáï®à¬ «ì ï ¢®« ã®á¨â í¥à£¨î ®â â®àæ ¯®«ã-¯®«®áë ¡¥áª®¥ç®áâì.2. ����� �������� ¤ ®¬ ¨áá«¥¤®¢ ¨¨ ¯à¨¬¥ï«áï ¬¥â®¤ á㯥à-¯®§¨æ¨¨ [8]. � ¥£® à ¬ª å ¯®áâந¬ à¥è¥¨¥ £à -¨ç®© § ¤ ç¨ ¤«ï ¯à®¤®«ìëå ª®«¥¡ ¨© ¢®«®¢®-¤ . �«¥¤ãï ®¡é¥© á奬¥ ¬¥â®¤ á㯥௮§¨æ¨¨ [8],ª®¬¯®¥âë ¢¥ªâ®à ᬥ饨© (z�0) ¯à¥¤áâ ¢¨¬¢ ¢¨¤¥u(1)y =� 1Xk=1�Ak�ke�q1z+Bkq2e�q2z� sin �ky++ 12� 1Z�1 x(1)(� )Uy(�; y)ei�zd�;u(1)z =�iA0
1ei
1z�� 1Xk=1�Akq1e�q1z+Bk�ke�q2z� cos �ky++ i2� 1Z�1 x(1)(� )Uz(�; y)ei�zd� (5)á ¥¨§¢¥áâ묨 ¯®áâ®ï묨 A0, Ak, Bk(k=1; 2; : : :) ¨ äãªæ¨¥© x(� ). �஬¥ ⮣®, §¤¥áì
¢¢¥¤¥ë ®¡®§ 票ïUy(�; y)=p21��2 sinh p2ysinh p2 � (�2+p22)2 sinh p1ysinh p1 �;Uz(�; y)=�p1�p1p2 cosh p2ycosh p2 � (�2+p22)2 cosh p1ycosh p1 �;pn = 8<: p�2 �
2n; j� j �
n;�ip
2n � �2; j� j <
n;qn =8<: p�2k �
2n; j�kj �
n;�ip
2n � �2k ; j�kj <
n; �k = k�:�।áâ ¢«¥¨¥ (5) ¢ë¡à ® â ª¨¬ ®¡à §®¬, çâ®-¡ë ãá«®¢¨¥ ®âáãâáâ¢¨ï ª á ⥫ìëå ¯à殮-¨© ¯®¢¥àå®áâïå y=�1 ¢ë¯®«ï«®áì ¢-⮬ â¨ç¥áª¨. �믮«¥¨¥ ®áâ ¢è¨åáï £à -¨çëå ãá«®¢¨© ¯à¨¢®¤¨â ª á¨á⥬¥ ¨â¥£à®- «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ®â®á¨â¥«ì® ¥¨§-¢¥áâëå A0, yk=(�1)k�kBk (k=1; 2; : : :) ¨ äãª-樨 x(� ). �ਠí⮬ Ak=�Bk(�2k+q22)=(2�kq1), á¨á⥬ ¨¬¥¥â á«¥¤ãî騩 ¢¨¤:x(� )�(� ) +A0 i
20
1�2 �
21 � 1Xk=1ykak(� ) = 0;A0
20 +
20
222� 1Z�1 x(� )d� = f0;ykRk � 12� 1Z�1 x(� )p21(� )bk(� )d� = fk;(k = 1; 2; : : :): (6)�¤¥áì ¢¢¥¤¥ë ®¡®§ 票ïak = 2q22�2k + p22 � (�2k +
20)(�2k + q22)�2k(�2k + p21) ;bk = 2�2p22�2k + p22 � (�2 +
20)(�2 + p22)�2 + q21 ;Rk = q2 � �2k + q224�2kq1 ; (7)�(� ) { ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì �í«¥ï {�í¬¡ (3). �«£®à¨â¬à¥è¥¨ï í⮩ á¨áâ¥¬ë «®£¨ç¥ ¯à¨¢¥¤¥®¬ã¢ [10] ¨ §¤¥áì ¥¬ ®áâ ¢«¨¢ âìáï ¥ ¡ã¤¥¬.�⬥⨬ ⮫쪮, çâ® ¯à¨ ।ãªæ¨¨ á¨áâ¥¬ë ¯à¨-¬¥ï« áì ᨬ¯â®â¨ª limk!1 yk = a0; lim�!1x(� )t4 = a0: (8)�. �. �®à®¤¥æª ï 37
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2000. �®¬ 3, N 4. �. 35 { 44
�¨á. 2. � áâ®â ï § ¢¨á¨¬®áâì ¬¯«¨âã¤ë ¢®§¡ã¦¤¥¨ï ¯¥à¢®© ¥®¤®à®¤®© ¢®«ë¤«ï à §ëå § 票© ª®íää¨æ¨¥â �ã áá® �«ï § ¬ëª ¨ï ª®¥ç®© á¨áâ¥¬ë ¨á¯®«ì§®¢ «¨áìá®®â®è¥¨ï, ®¯à¥¤¥«ïî騥 £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¢ã£«®¢®© â®çª¥ ¢ ¢¨¤¥�zz(1; 0)� �yy(1; 0) = 2��(0)zz (1; 0): (9)�¥è¥¨ï £à ¨ç®© § ¤ ç¨ (1) ¯® ¬¥â®¤ã á㯥௮-§¨æ¨¨ ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ç¥à¥§ ®à¬ «ìë¥ ¢®«-ë á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:u(y; z) = 1Xn=1CnU(�n; y)ei�nz ; (10)£¤¥ U(�n; y)=fUy(�n; y); Uz(�n; z)g, �n { ª®à¨ãà ¢¥¨ï �í«¥ï {�í¬¡ (3). �®íää¨æ¨¥âë ¢®§-¡ã¦¤¥¨ï ®à¬ «ìëå ¢®« 室ïâáï, ¨áå®¤ï ¨§á®®â®è¥¨ïCn = 1�0(�n)� 1Xk=1ykak(�n)� A0 2i
20
1�2n �
21�: (11)�ਠ।ãªæ¨¨ á¨áâ¥¬ë £« ¢ë¬ ªà¨â¥à¨¥¬ ª -ç¥á⢠¯®«ã祮£® à¥è¥¨ï ï«áï ª®âà®«ì § â®ç®áâìî ¢ë¯®«¥¨ï £à ¨çëå ãá«®¢¨©. �à¨k=1; : : : ; 10 ¨ ¯à¨ ®£à ¨ç¥¨¨ ¢¥à奣® ¯à¥¤¥-« ¢ ¨â¥£à « å ¤® 150 (¤«ï � >150 ¨á¯®«ì§®¢ -«¨áì ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ¤«ï ¯®¤ë-â¥£à «ìëå äãªæ¨©) £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï â®à楢믮«ï«¨áì á ¯®£à¥è®áâìî ¤® 1:0 % ¯à殮-¨ï ¯ ¤ î饩 ¢®«ë, ¯®¢¥àå®áâïå y=�1 {¤® 0:2 %. �®¯®«¨â¥«ìë¬ ªà¨â¥à¨¥¬ ¤®á⮢¥à-®á⨠१ã«ìâ ⮢ ¡ë« ª®âà®«ì § ¢ë¯®«¥¨¥¬§ ª® á®åà ¥¨ï í¥à£¨¨, ª®â®àë© ¢ë¯®«ï«áïá â®ç®áâìî ¤® 99:7 % í¥à£¨¨ ¯ ¤ î饩 ¢®«ë.�¥à¥©¤¥¬ ª «¨§ã ç¨á«¥ëå १ã«ìâ ⮢, å -à ªâ¥à¨§ãîé¨å ªà ¥¢®© १® á ¢ ¯®«ã¯®«®á¥.
3. ��������� ����������� ¤ ®© à ¡®â¥ à áᬠâਢ « áì íä䥪⨢-®áâì ¢®§¡ã¦¤¥¨ï ªà ¥¢®© ¬®¤ë. �à ¥¢®© à¥-§® á ¡«î¤ «áï ç áâ®â¥, ª®£¤ ¢ ¢®«®¢®¤¥¬®¦¥â áãé¥á⢮¢ âì ⮫쪮 ®¤ à á¯à®áâà ïî-é ïáï ¢®« . � «¨ç¨¥ ¢®«ë, ã®áï饩 í¥à£¨î®â â®àæ , ®¡ãá« ¢«¨¢ ¥â áãé¥á⢮¢ ¨¥ à ¤¨ æ¨-®®£® ¤¥¬¯ä¨à®¢ ¨ï. � áç¥â í⮣® ¯à¨ ᨬ¬¥-âà¨çëå ¢®«®¢ëå ¤¢¨¦¥¨ïå (¯à®¤®«ìë¥ ª®«¥-¡ ¨ï) ¢ ¯®«ã¯®«®á¥ ¨§ ¬ â¥à¨ «®¢ á � 6=0 ¬¯«¨-âã¤ë ᬥ饨© १® ᮩ ç áâ®â¥ ®áâ îâá类¥ç묨, ¨â¥á¨¢®áâì ¯à®ï¢«¥¨ï १® -á § ¢¨á¨â ® àï¤ ä ªâ®à®¢. �«ï 䨪á¨à®¢ ®-£® � ®¯à¥¤¥«ïî饥 § 票¥ ¨¬¥¥â á⥯¥ì ᮣ« -ᮢ ¨ï £à㧪¨ ¨ ä®à¬ë ªà ¥¢®© ¬®¤ë [10, 11].�ਠ䨪á¨à®¢ ®© £à㧪¥ íä䥪⨢®áâì ¯à®-¥¨ï ªà ¥¢®£® १® á á¨«ì® § ¢¨á¨â ®â ¢¥-«¨ç¨ë ª®íää¨æ¨¥â �ã áá® .�à ¤¨æ¨®® ¯à¨ «¨§¥ १® áëå á¨âã -権 ¥®¡å®¤¨¬® á«¥¤¨âì § ¨§¬¥¥¨¥¬ ä §®¢ëåå à ªâ¥à¨á⨪ ¨ 㢥«¨ç¥¨¥¬ ¬¯«¨âã¤ëå. �¤ ®© à ¡®â¥ à áᬠâਢ «¨áì ç áâ®âë¥ § ¢¨-ᨬ®á⨠ª®íää¨æ¨¥â®¢ ¢®§¡ã¦¤¥¨ï ®à¬ «ìë墮« ¢ ¤¨ ¯ §®¥ ç áâ®â, £¤¥ ¤«ï à §«¨çëå § -票© ª®íää¨æ¨¥â®¢ �ã áá® áãé¥áâ¢ã¥â ⮫ì-ª® ®¤ à á¯à®áâà ïîé ïáï ¢®« . � í⮩ ç -áâ®â®© ®¡« á⨠¤«ï ¢á¥å ª®íää¨æ¨¥â®¢ �ã áá®- ¬¯«¨â㤠®âà ¦¥®© ¡¥£ã饩 ¢®«ë à ¢ï-« áì ¬¯«¨â㤥 ¯ ¤ î饩 (C1=C0=1), çâ® ¥¯®-á।á⢥® á«¥¤ã¥â ¨§ § ª® á®åà ¥¨ï í¥à-£¨¨. � ¯®¢¥¤¥¨¨ ä §®¢ëå å à ªâ¥à¨á⨪ ¬®¦®á㤨âì ¯® ç áâ®â®© § ¢¨á¨¬®á⨠Im (C1=C0). �®¢á¥å à áᬮâà¥ëå á«ãç ïå ¢¡«¨§¨ ç áâ®âë ªà -¥¢®£® १® á Im (C1=C0) ¨§¬¥ï¥âáï ®â �1 ¤®1. � áâ®âã, ª®â®à®© Im (C1=C0)=0, ¥áâ¥á⢥-® áç¨â âì १® ᮩ. � ¥© ¡«î¤ ¥âáï १-ª®¥ 㢥«¨ç¥¨¥ ¬¯«¨â㤠¥®¤®à®¤ëå ¢®«.� à¨á. 2 ¯à¥¤áâ ¢«¥ ¬¯«¨â㤠¢®§¡ã¦¤¥¨ï¯¥à¢®© ¥®¤®à®¤®© ¢®«ë, ®à¬¨à®¢ ï ¬¯«¨âã¤ã ¯ ¤ î饩 ¢®«ë: C2=C0. �ਢ ï 1 á®-®â¢¥âáâ¢ã¥â ª®íää¨æ¨¥âã �ã áá® �=0:24, ªà¨-¢ ï 2 { �=0:32, ªà¨¢ ï 3 { � = 0:4, ªà¨¢ ï 4 {� = 0:48. � 㬥ì襨¥¬ ª®íää¨æ¨¥â �ã áá®- ¤®¡à®â®áâì १® á 㢥«¨ç¨¢ ¥âáï, ¬¯«¨-â㤠¯¥à¢®© ¥®¤®à®¤®© ¢®«ë § ç¨â¥«ì® ¢®§-à áâ ¥â.�¥à¢ ï ¥®¤®à®¤ ï ¢®« ¢®á¨â ®¯à¥¤¥«ïî-騩 ¢ª« ¤ ¢ ä®à¬¨à®¢ ¨¥ ªà ¥¢®© ¬®¤ë. �¤ -ª® ¢ ä®à¬¨à®¢ ¨¨ ªà ¥¢®© ¬®¤ë ¯à¨¨¬ îâ ãç -á⨥ ¢á¥ ¥®¤®à®¤ë¥ ¢®«ë. �â® ¯®¤â¢¥à¦¤ ¥â-áï ¤¢ã¬ï ®¡áâ®ï⥫ìá⢠¬¨.� ®¤®© áâ®à®ë, ç áâ®â¥ ªà ¥¢®£® १®- á ¥ ⮫쪮 ¬¯«¨â㤠¢®§¡ã¦¤¥¨ï ¯¥à¢®©38 �. �. �®à®¤¥æª ï
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2000. �®¬ 3, N 4. �. 35 { 44¥®¤®à®¤®© ¢®«ë, ® ¨ ¬¯«¨âã¤ë ¥®¤®à®¤-ëå ¢®« ¢ëáè¨å ¯®à浪®¢ ¤®á⨣ îâ ᢮¥£® ¬ ª-ᨬ «ì®£® § 票ï, å®âï á⥯¥ì ¢®§¡ã¦¤¥¨ï¢ëáè¨å ¥®¤®à®¤ëå ¢®« § ç¨â¥«ì® á« ¡¥¥ ¨á 㢥«¨ç¥¨¥¬ ®¬¥à ¥®¤®à®¤®© ¢®«ë ¬ ª-ᨬ «ì®¥ § 票¥ ¬¯«¨âã¤ë 㬥ìè ¥âáï. �㬥ì襨¥¬ ª®íää¨æ¨¥â �ã áá® ¬¯«¨âã¤ë¢®§¡ã¦¤¥¨ï ¥®¤®à®¤ëå ¢®« ¢ëáè¨å ¯®àï¤-ª®¢ ç áâ®â¥ ªà ¥¢®£® १® á 㢥«¨ç¨¢ îâáï.�ਠí⮬ ®â®á¨â¥«ìë© à®áâ ¬¯«¨â㤠¥®¤®-தëå ¢®« ¢ëáè¨å ¯®à浪®¢ § ç¨â¥«ì® ¬¥ì-è¥, 祬 㢥«¨ç¥¨¥ ¬¯«¨âã¤ë ¯¥à¢®© ¥®¤®à®¤-®© ¢®«ë.� ¤à㣮© áâ®à®ë, ¤«ï ¡®«¥¥ ¯®«®© å à ªâ¥-à¨á⨪¨ ªà ¥¢®£® १® á ¥®¡å®¤¨¬® ¯à® -«¨§¨à®¢ âì ä®à¬ã ªà ¥¢®© ¬®¤ë. �«ï í⮣® ¢ à -¡®â¥ [8] ¯à®¢¥¤¥® áà ¢¥¨¥ å à ªâ¥à ¤¢¨¦¥¨ïç áâ¨æ ¯®«ã¯®«®áë ç áâ®â¥ ªà ¥¢®£® १® -á á ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ ¤¢¨¦¥¨ï¬¨ ¢ ®â¤¥«ìë奮¤®à®¤ëå ¢®« å ¤«ï ª®íää¨æ¨¥â �ã áá® �=0:3. � ª®¥ áà ¢¥¨¥ ¯®ª § «®, çâ® å®âï ä®à¬ ª®«¥¡ ¨© ªà ¥¢®¬ १® ᥠ¡«¨§ª ª ä®à¬¥ª®«¥¡ ¨© ¯¥à¢®© ¥®¤®à®¤®© ¢®«ë, ®¤ ª® ¥á®¢¯ ¤ ¥â á ¥© ¯®«®áâìî.� ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ ä®à¬¨à®¢ ¨¨ ªà ¥¢®© ¬®¤ëãç áâ¢ãî⠢ᥠ¥®¤®à®¤ë¥ ¢®«ë. �ਠí⮬¯¥à¢ ï ¥®¤®à®¤ ï ¢®« ï¥âáï ¤®¬¨¨àãî-饩.� ®â«¨ç¨¥ ®â ®¡ëçëå १® áëå á¨âã 権¢ ⥮ਨ ª®«¥¡ ¨©, ªà ¥¢®© १® á ॠ«¨§ã-¥âáï ᮡá⢥ëå ä®à¬ å, áâàãªâãà ª®â®-àëå áãé¥á⢥® § ¢¨á¨â ®â ç áâ®âë. �®áª®«ì-ªã ᯥªâà «ìë¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨ ¯®«®áë § ¬¥â®¨§¬¥ïîâáï ¯à¨ ¨§¬¥¥¨¨ ª®íää¨æ¨¥â �ã á-á® , â® ¡«î¤ ¥âáï ¥é¥ ®¤ å à ªâ¥à ï ®á®-¡¥®áâì ªà ¥¢®£® १® á { § ¢¨á¨¬®áâì १®- ᮩ ç áâ®âë ®â ª®íää¨æ¨¥â �ã áá® . �à¨í⮬ á 㬥ì襨¥¬ � ç áâ®â ªà ¥¢®£® १® -á 㬥ìè ¥âáï. � ª ï § ¢¨á¨¬®áâì ¯à¥¤áâ ¢«¥ à¨á. 3. �«ï ª®íää¨æ¨¥â �ã áá® �=0 ¯®«ã-祮¥ § 票¥ ç áâ®âë ªà ¥¢®£® १® á á®-¢¯ ¤ ¥â á ¨§¢¥á⮩ ¢¥«¨ç¨®© [8].� ¬ ä ªâ § ç¨â¥«ì®£® ¢®§¡ã¦¤¥¨ï ¥®¤®-தëå ¢®« ç áâ®â¥ ªà ¥¢®£® १® á å®-à®è® ¨§¢¥áâ¥, ®¤ ª® ¤® áâ®ï饣® ¢à¥¬¥¨ ¥¡ë«¨ ¯à® «¨§¨à®¢ ë ¯à®æ¥ááë, ®¡ãá« ¢«¨¢ î-騥 à®áâ ¬¯«¨â㤠¥®¤®à®¤ëå ¢®«.� ç¨â¥«ì®¥ ¢®§¡ã¦¤¥¨¥ ¥®¤®à®¤ëå ¢®«®¡ãá«®¢«¥® ®á®¡¥®áâﬨ ®âà ¦¥¨ï à á¯à®-áâà ïî饩áï ¯®¯¥à¥ç®© ¢®«ë ®â ᢮¡®¤®£®â®àæ ¯®«ã¯®«®áë. � áᬮâਬ ¯¥à¢ãî à á¯à®-áâà ïîéãîáï ¢®«ã ¢ ¡¥§£à ¨ç®© ã¯à㣮© ¯®-«®á¥ ª ª á㯥௮§¨æ¨î ¯à®¤®«ì®© (P) ¨ ¯®¯¥à¥ç-®© (SV) ¢®«, ª®â®àë¥ ®âà ¦ îâáï ®â £à ¨æ
�¨á. 3. � ¢¨á¨¬®áâì ç áâ®âë ªà ¥¢®£® १® á ®â ª®íää¨æ¨¥â �ã áá® y=�1 ¯®¤ ®¯à¥¤¥«¥ë¬¨ 㣫 ¬¨ (à¨á. 4):u = grad�+ rot ;� = �cos (kly sin
) exp [�iklz cos
]; x = sin (ksy sin
) exp [�iks(z cos
];£¤¥ ks=!=cs { ¢®«®¢®¥ ç¨á«® ¯®¯¥à¥ç®© (SV)¢®«ë; kl=!=cl { ¢®«®¢®¥ ç¨á«® ¯à®¤®«ì®© (P)¢®«ë; kl sin
=q
21 � �21;ks sin
=q
22 � �21:� ç áâ®â¥ ªà ¥¢®£® १® á 㣮« ®âà ¦¥¨ï¯®¯¥à¥çëå ¢®« sin
=p
22��21=
2 ¢á¥£¤ ¤¥©-á⢨⥫¥ (
22��21>0) ¨ 㢥«¨ç¨¢ ¥âáï á 㬥ì-襨¥¬ �, 㣮« ®âà ¦¥¨ï ¯à®¤®«ì®© ¢®«ësin �=p
21��21=
1 { ¬¨¬ë© (
21��21<0). �«¥¤®-¢ ⥫ì®, ç áâ®â¥ ªà ¥¢®£® १® á ¯à¨ ®â-à ¦¥¨¨ ®â £à ¨æ y=�1 áãé¥áâ¢ã¥â à á¯à®áâà -ïîé ïáï ¯®¯¥à¥ç ï ¨ ¥®¤®à®¤ ï ¯à®¤®«ì «ë. � 票ï 㣫®¢ ¯ ¤¥¨ï ¯®¯¥à¥ç®© ¢®«-ë ç áâ®â¥ ªà ¥¢®£® १® á ¤«ï à §«¨ç-ëå ¢¥«¨ç¨ ª®íää¨æ¨¥â®¢ �ã áá® ¯à¨¢¥¤¥®¢ â ¡«. 1.�«ï ¢á¥å ª®íää¨æ¨¥â®¢ �ã áá® ¯à®¤®«ì « ¯®¢¥àå®áâïå y=�1, z�0 ¥®¤®à®¤ .�«ï ª®íää¨æ¨¥â �ã áá® �=0 㣮« ®âà ¦¥¨ï¯®¯¥à¥ç®© ¢®«ë à ¢¥ 45�. �ਠ¯ ¤¥¨¨ ¯®¯¥-à¥ç®© ¢®«ë ᢮¡®¤ãî £à ¨æã ¯®¤ 㣫®¬ 45�¨¬¥¥â ¬¥áâ® á«ãç © ¯®«®£® á®åà ¥¨ï ⨯ ¤¢¨-¦¥¨ï [8], â. ¥. ¯à®¤®«ì ï ¢®« ¥ ¢®§¡ã¦¤ ¥â-áï. � áᬮâਬ ®âà ¦¥¨¥ ¯®¯¥à¥ç®© SV-¢®«ë�. �. �®à®¤¥æª ï 39
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2000. �®¬ 3, N 4. �. 35 { 44� ¡«. 1. � 票ï 㣫®¢ ¯ ¤¥¨ï¯®¯¥à¥ç®© ¢®«ë ç áâ®â¥ ªà ¥¢®£® १® á ,१® ᮩ ç áâ®âë, ªà¨â¨ç¥áª¨å 㣫®¢¨ í¥à£¥â¨ç¥áª¨å å à ªâ¥à¨á⨪ J1, J2¤«ï à §«¨çëå ª®íää¨æ¨¥â®¢ �ã áá® � 0:48 0:40 0:32 0:24sin
0:57 0:62 0:66 0:70cos
01 0:19 0:41 0:51 0:58
e 2:57 2:45 2:34 2:24J1 0:821 0:888 0:952 0:996J2 0:179 0:112 0:048 0:004� ¡«. 2. �§¬¥¥¨¥ 㣫®¢ ®âà ¦¥¨ïà á¯à®áâà ïî饩áï ¯®¯¥à¥ç®© ¢®«ë¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ç áâ®âë
2 1:0 1:5 2:0 2:5 2:6 2:7cos
1 0:81 0:79 0:76 0:58 0:53 0:47®â ᢮¡®¤®£® â®àæ . � ç áâ®â¥ ªà ¥¢®£® १®- á ¯à¨ ®âà ¦¥¨¨ à á¯à®áâà ïî饩áï ¯®¯¥-à¥ç®© ¢®«ë ®â £à ¨æë z=0 (㣮« ®âà ¦¥¨ïà ¢¥
1, ¯à¨ í⮬ sin
=cos
1, á¬. à¨á. 4) ¤«ïª®íää¨æ¨¥â®¢ �ã áá® � 6=0 ¢®§¡ã¦¤ ¥âáï ¥®¤-®à®¤ ï ¯à®¤®«ì ï ¢®« . �®áª®«ìªã ¯à¨ 㣫 å¯ ¤¥¨ï ¯®¯¥à¥ç®© ¢®«ë
1, ¬¥ìè¨å ªà¨â¨ç¥-᪮£® 㣫
01 (cos
01=cs=cl), ®âà ¦¥ ï ¯à®¤®«ì- ï ¢®« áâ ®¢¨âáï ¥®¤®à®¤®© [8]. � 票ïªà¨â¨ç¥áª¨å 㣫®¢ ¤«ï à §«¨çëå ª®íää¨æ¨¥â®¢�ã áá® ¯à¨¢¥¤¥® ¢ â ¡«. 1.�«ï ª®íää¨æ¨¥â �ã áá® �=0:5 ªà¨â¨ç¥áª¨©ã£®« à ¢¥ 90� (cos
01=1). � ª¨¬ ®¡à §®¬, ç -áâ®â¥ ªà ¥¢®£® १® á ª ª £à ¨æ¥ y=�1,z�0, â ª ¨ £à ¨æ¥ z=0, jyj�1 ¯à®¤®«ìë¥ ¢®«-ë ¬®£ãâ ¡ëâì ⮫쪮 ¥®¤®à®¤ë¬¨, ¯®¯¥à¥ç- ï ¢®« ï¥âáï à á¯à®áâà ïî饩áï. � ª 㦥®â¬¥ç «®áì, ¤«ï ª®íää¨æ¨¥â �ã áá® �=0 㣮«®âà ¦¥¨ï ¯®¯¥à¥ç®© ¢®«ë à ¢¥ 45�. �â®â㣮« ï¥âáï ªà¨â¨ç¥áª¨¬, â ª¦¥ 㣫®¬, ¯à¨ª®â®à®¬ ¡«î¤ ¥âáï á®åà ¥¨¥ ⨯ ¤¢¨¦¥¨ï.� áᬮâਬ ®âà ¦¥¨¥ à á¯à®áâà ïî饩áﯮ¯¥à¥ç®© ¢®«ë ®â ᢮¡®¤®© £à ¨æë z=0. �§à¨á. 4 ¢¨¤®, çâ®ks cos
1 = ks sin
=q
22 � �21=h = �y :�®£¤ SV-¢®« ®¯¨áë¢ ¥âáï ¯®â¥æ¨ «®¬ = sin �yye�iksz sin
1 :�஥ªæ¨ï ¢®«®¢®£® ç¨á« ®áì y ¨¬¥¥â ¬ ª-ᨬ «ì®¥ § 票¥ �y=�=2 ¢¡«¨§¨ ç áâ®âë
2�2:2. � à®á⮬ ª®íää¨æ¨¥â �ã áá® ®â�=0:1 ¤® �=0:48 ¤¨ ¯ §® ç áâ®â, ¢ ª®â®à®¬
�¨á. 4. �奬 ®âà ¦¥¨ï à á¯à®áâà ïî饩áﯮ¯¥à¥ç®© ¢®«ë ®â ᢮¡®¤®© £à ¨æë�y=�=2, ¥§ ç¨â¥«ì® à áè¨àï¥âáï. � ª, ¤«ï�=0:1 �y=�=2 ¯à¨
2=2:222, ¤«ï �=0:48�y=�=2 ¢ ¤¨ ¯ §®¥ ç áâ®â 2:216�
2�2:229.�ᯮ«ì§ãï á®®â®è¥¨ï § ª® �㪠, ¢ëà ¦¥-¨ï ¤«ï ¯à殮¨© ç¥à¥§ ¯®â¥æ¨ «ë ¯à®¤®«ì-®© ¨ ¯®¯¥à¥ç®© ¢®« � ¨ § ¯¨áë¢ ¥¬ ¢ ¢¨¤¥�yy2� = @2�@y2 � �k2l2(1� �)�+ @2 @y@z ;�yz2� = @2�@y@z + 12 @2 @z2 � 12 @2 @y2 : (12)�᫨ ãç¨âë¢ âì ⮫쪮 ¢ª« ¤ ¯®¯¥à¥ç®© á®áâ -¢«ïî饩 ¢®«®¢®£® ¤¢¨¦¥¨ï, â® ¤«ï ®à¬ «ì®£® ¯à殮¨ï á¯à ¢¥¤«¨¢ ®æ¥ª �yy2� � cos �yye�iksz sin
1 ;¨ ç áâ®â¥
2�2:2 ¯à¨ y=�1 ®® à ¢® ã«î.� í⮬ á«ãç ¥ ¢ëá®â¥ ¢®«®¢®¤ 㪫 ¤ë¢ ¥âáï楫®¥ ç¨á«® ¯®«ã¢®« ¨ ¡«î¤ ¥âáï १® á à á¯à®áâà ïî饩áï ¯®¯¥à¥ç®© SV-¢®«¥. �¤ -ª® ¢®«®¢®¥ ¯®«¥ ä®à¬¨àã¥âáï § áç¥â ¥ ⮫ì-ª® à á¯à®áâà ïî饩áï SV-¢®«ë, ® ¨ ¥®¤®-த®© ¯à®¤®«ì®© ¢®«ë, ¢®§¡ã¦¤¥¨¥ ª®â®à®©¢ § ç¨â¥«ì®© á⥯¥¨ § ¢¨á¨â ®â ª®íää¨æ¨¥â �ã áá® . �®í⮬ã ç áâ®â ªà ¥¢®£® १® á á¬¥é ¥âáï ®â®á¨â¥«ì® ç áâ®âë
2=2:2.�«ï ª®íää¨æ¨¥â®¢ �ã áá® ��0:2 ªà ¥¢®© à¥-§® á ¡«î¤ ¥âáï ç áâ®â å, ¬¥ìè¨å 祬 2:2, ¤«ï ��0:2 { ¡®«ìè¨å, 祬 2:2.�«ï «¨§ ¯®¢¥¤¥¨ï P-¢®«ë ¯à¨ à §«®¦¥-¨¨ ¯¥à¢®© à á¯à®áâà ïî饩áï ¢®«ë ¯à®-¤®«ìë¥ ¨ ¯®¯¥à¥çë¥ ¢®«ë ¯à®á«¥¤¨¬ § ¨§¬¥-¥¨¥¬ 㣫®¢ ®âà ¦¥¨ï à á¯à®áâà ïî饩áï ¯®-¯¥à¥ç®© ¢®«ë ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ç áâ®âë. �«ï�=0:32 â ª¨¥ ¤ ë¥ ¯à¨¢¥¤¥ë ¢ â ¡«. 2. � à®-á⮬ ç áâ®âë 㣮«
㬥ìè ¥âáï, 㣮«
1 { 㢥-«¨ç¨¢ ¥âáï. �à ¢¨¢ ï ¤ ë¥ â ¡«. 1 ¨ 2, ¢¨¤¨¬,40 �. �. �®à®¤¥æª ï
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2000. �®¬ 3, N 4. �. 35 { 44çâ® ç áâ®â¥
2�2:63 㣮« ¯ ¤¥¨ï ¯®¯¥à¥ç-®© ¢®«ë ¯®¢¥àå®áâì z=0, jyj�1
1 ¤®á⨣ -¥â ªà¨â¨ç¥áª®£® § ç¥¨ï ¨ ¡®«¥¥ ¢ë᮪¨å ç -áâ®â å ¯®ï¢«ï¥âáï à á¯à®áâà ïîé ïáï ¯à®¤®«ì- ï ¢®« . � ç áâ®â¥
�=2:81 ¯à¨ �=0:32 ¯®-ïîâáï à á¯à®áâà ïî騥áï ¢®«ë ¢ëáè¨å ¯®-à浪®¢. �ãé¥á⢮¢ ¨¥ ¢ ®¯à¥¤¥«¥®© ç áâ®â®©®¡« á⨠à á¯à®áâà ïî饩áï P-¢®«ë ¯®¢¥àå-®á⨠z=0 å à ªâ¥à® ¤«ï ª®íää¨æ¨¥â®¢ �ã á-á® 0:22���0:42. �«ï ª®íää¨æ¨¥â®¢ �ã áá®- , «¥¦ é¨å ¢¥ 㪠§ ®£® ¤¨ ¯ §® , à á¯à®-áâà ïî騥áï ¢®«ë ¢ëáè¨å ¯®à浪®¢ ¯®ï¢«ïîâ-áï à ìè¥, 祬 㣮«
1 áâ ®¢¨âáï ¡®«ìè¥ ªà¨â¨-ç¥áª®£®.� áᬮâਬ ®âà ¦¥¨¥ à á¯à®áâà ïî饩áïSV-¢®«ë ®â ᢮¡®¤®£® â®àæ ¤«ï á«ãç ï, ª®£¤ ¯®¢¥àå®á⨠z=0 áãé¥áâ¢ã¥â à á¯à®áâà ïî-é ïáï P-¢®« . � ¯®¢¥àå®á⨠y=�1, z�0 ᢮-¡®¤ãî ¯®¢¥àå®áâì z=0, �1�y�1 ¯ ¤ ¥â SV-¢®« ¢¨¤ (�) = ei�yye�iksz sin
1 : (13)�âà ¦¥ë¥ ¢®«ë ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© á㬬㠯®-¯¥à¥ç®© (SV) ¨ ¯à®¤®«ì®© (P) ¢®« (á¬. à¨á. 4),ª®â®àë¥ ®¯¨áë¢ îâáï ¯®â¥æ¨ « ¬¨ (�)1 ¨ �(�)1 : (�)1 = (�)1 ei�yyeiksz sin
1 ;�(�)1 = �(�)1 ei�yyeiklz sin �1 (14)�®íää¨æ¨¥âë ®âà ¦¥¨ï ¤«ï ¯®¯¥à¥ç®© ¨ ¯à®-¤®«ì®© ¢®« 1 ¨ �1 室¨¬ ¨§ ãá«®¢¨ï ®âáãâ-áâ¢¨ï ¯à殮¨© â®àæ¥:�zz(y; 0)2� = 0; �zy(y; 0)2� = 0:�¥«¨ç¨ë (�)1 ¨ �(�)1 ¨¬¥îâ § 票ï: (�)1 = 4s1(s21 � 1)4s1r1 + (s21 � 1)2 ;�(�)1 = 4s1r1 � (s21 � 1)24s1r1 + (s21 � 1)2 ;£¤¥ s1=tg
1; r1=tg �1.�®¯¥à¥ç ï SV-¢®« ( +), ¯ ¤ îé ï ᢮-¡®¤ë© â®à¥æ, á ¯®¢¥àå®á⨠y=1, z�0, ®¯¨áë¢ -¥âáï ¯®â¥æ¨ «®¬ (13) á® § ª®¬ ¬¨ãá ¯à¨ i�yy¢ ¯®ª § ⥫¥ íªá¯®¥âë. � «®£¨ç®, ®âà ¦¥-ë¥ (+)1 ¨ �(+)1 ¢®«ë ®¯¨áë¢ îâáï ¯®â¥æ¨ « -¬¨ (14) ¯à¨ § ¬¥¥ § ª ¢ ¯®ª § ⥫¥ íªá¯®¥-âë ¯à¨ i�yy ¨ á ãç¥â®¬ ⮣®, çâ® ¢ í⮬ á«ãç ¥
s1=�tg
1, r1=�tg �1. �®£¤ , ¨á¯®«ì§ãï ¢ëà ¦¥-¨¥ (12), ®à¬ «ì®¥ ¯à殮¨¥ �yy(y; 0), ä®à-¬¨à㥬®¥ à á¯à®áâà ïî騬¨áï �(�), (�)1 , �(�)1¨ �(+), (+)1 , �(+)1 ¢®« ¬¨, § ¯¨è¥¬ ª ª�yy(y; 0)2� = � cos (y�y) 2(s21 � 1)4s1r1 + (s21 � 1)2���2s1(�2y � �k2l1� � )� �yks(s21 � 1) sin
1�:�á«®¢¨¥ ®âáãâáâ¢¨ï ¯à殮¨© ¯®¢¥àå®áâïåy=�1, z�0 á ãç¥â®¬ á®®â®è¥¨©�2y = k2s cos2
1 = k2s sin2
=
22 � �2¯à¨¢®¤¨â ª ãà ¢¥¨î4�2 = �3 + �2(1� �)�
22:�«ï ª®íää¨æ¨¥â �ã áá® �=0:32 á ãç¥â®¬ à á-¯à®áâà ïîé¨åáï SV- ¨ P-¢®« ®à¬ «ì®¥ -¯à殮¨¥ �yy(�1; 0)=0 ç áâ®â¥
2=2:67, â. ¥.१® á ï ç áâ®â ¢ á«ãç ¥ áãé¥á⢮¢ ¨ï à á-¯à®áâà ïîé¨åáï ¯®¯¥à¥ç®© ¨ ¯à®¤®«ì®© ¢®«á¬¥é ¥âáï ¢ ¡®«¥¥ ¢ë᮪®ç áâ®âãî ®¡« áâì. �«ïª®íää¨æ¨¥â �ã áá® �=0:4 �yy(�1; 0)=0 㦥 ç áâ®â¥
2=2:82. �ਠ㢥«¨ç¥¨¨ ª®íää¨æ¨-¥â �ã áᮠ१® á ï ç áâ®â ¥é¥ ¡®«¥¥ ¯®-¢ëè ¥âáï.� ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¨ ®âà ¦¥¨¨ à á¯à®áâà ï-î饩áï SV-¢®«ë ®â ᢮¡®¤®£® â®àæ ç -áâ®â¥
2=2:2 áãé¥áâ¢ã¥â १® á ¯®¯¥à¥ç-®© SV-¢®«¥ ¤«ï ¢á¥å ª®íää¨æ¨¥â®¢ �ã áá® .�«ï á।¨å § 票© ª®íää¨æ¨¥â®¢ �ã áá® (0:22���0:42) 㣮« ¯ ¤¥¨ï ¯®¯¥à¥ç®© ¢®«ë ᢮¡®¤ë© â®à¥æ ¢ ®¡« á⨠áãé¥á⢮¢ ¨ï ⮫ì-ª® ®¤®© à á¯à®áâà ïî饩áï ¢®«ë ç áâ®-â å ¢ëè¥
=2:2 ¤®á⨣ ¥â ªà¨â¨ç¥áª®£® § ç¥-¨ï ¨, ¢ ®¯à¥¤¥«¥®© ç áâ®â®© §®¥, ¯à¥¢ëè -¥â ¥£®. �¤¥áì ¯à¨ ®âà ¦¥¨¨ SV-¢®«ë ®â ᢮-¡®¤®£® â®àæ ¯®ï¢«ï¥âáï à á¯à®áâà ïîé ïáï P-¢®« . � â® ¦¥ ¢à¥¬ï ¯®¢¥àå®áâïå y=�1,z�0 à á¯à®áâà ïîé ïáï P-¢®« ¥ ¬®¦¥â áã-é¥á⢮¢ âì. �â® ¯à¨¢®¤¨â ª § ç¨â¥«ì®¬ã ¢®§-¡ã¦¤¥¨î ¥®¤®à®¤ëå ¢®«. � áâ®â , ª®-â®à®© ®à¬ «ì®¥ ¯à殮¨¥ �yy(�1; 0), ®¡ãá«®-¢«¥®¥ ®âà ¦¥ë¬¨ à á¯à®áâà ïî騬¨áï SV-¨ P-¢®« ¬¨, à ¢® ã«î, § ¢¨á¨â ®â ª®íää¨æ¨¥-â �ã áá® ¨ ¯à¥¢ëè ¥â ç áâ®âã
2=2:2.�«¥¤®¢ ⥫ì®, ç áâ®â ªà ¥¢®£® १® á «¥-¦¨â ¬¥¦¤ã ç áâ®â®© १® á ¯®¯¥à¥ç®©¢®«¥
2=2:2 ¨ ç áâ®â®© १® á ¯®¯¥à¥ç-®© ¨ ¯à®¤®«ì®© ¢®« å.�. �. �®à®¤¥æª ï 41
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2000. �®¬ 3, N 4. �. 35 { 44
�¨á. 5. � áâ®âë¥ § ¢¨á¨¬®á⨠J1 ¨ J2 ¤«ï �=0:32
�¨á. 6. � áâ®â ï § ¢¨á¨¬®áâì ®â®è¥¨ï J2=J1¤«ï à §«¨çëå § 票© ª®íää¨æ¨¥â �ã áá® �«ï �=0 ®¡ 㣫 ,
¨
1, à ¢ë ªà¨â¨ç¥áª®¬ã§ 票î. �®«¥¥ ⮣®, ¢ ®¡« á⨠áãé¥á⢮¢ ¨ï⮫쪮 ®¤®© à á¯à®áâà ïî饩áï ¢®«ë ®¨ ¥§ ¢¨áïâ ®â ç áâ®âë. �«ï ª®íää¨æ¨¥â �ã áá® �=0 à á¯à®áâà ïîé ïáï ¯®¯¥à¥ç ï ¢®« ®âà -¦ ¥âáï ®â ¯®¢¥àå®á⥩ y=�1, z�0 ¨ z=0, jyj�1¯®¤ 㣫®¬ 45� ¤«ï ¢á¥å ç áâ®â. �ਠí⮬ ¡«î-¤ ¥âáï ¥¨¥ ¯®«®£® á®åà ¥¨ï ⨯ ¤¢¨¦¥-¨ï. � ç áâ®â¥ ªà ¥¢®£® १® á ¯à¨ ®âà ¦¥-¨¨ SV-¢®«ë ®â ®¡¥¨å £à ¨çëå ¯®¢¥àå®á⥩y=�1, z�0 ¨ z=0, �1�y�1 ¯à®¤®«ì ï ª®¬-¯®¥â ¤¢¨¦¥¨ï ®âáãâáâ¢ã¥â ¯®«®áâìî ⮫쪮¤«ï ª®íää¨æ¨¥â �ã áá® �=0.�¥«¨ç¨ ®à¬ «ìëå ¨ ª á ⥫ìëå ¯à殮-¨©, ᮧ¤ ¢ ¥¬ëå à á¯à®áâà ïî饩áï ®à¬ «ì-
®© ¢®«®© ¢ ¯®«ã¯®«®á¥, â ª ¦¥ ¨å à á¯à¥¤¥«¥-¨¥ ¯® ¥¥ ⮫騥 áãé¥á⢥® § ¢¨áïâ ®â ç áâ®-âë. �®í⮬ã á®®â®è¥¨¥ ¬¥¦¤ã ®à¬ «ì묨 ¨ª á ⥫ì묨 ¯à殮¨ï¬¨ 㤮¡® ®æ¥¨âì ç¥-१ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 á®áâ ¢«ïî騥 á।¥£® § ¯¥à¨®¤ ¯®â®ª ¬®é®áâ¨, ª®â®àë¥ á¢ï§ ë á ¤ -묨 ⨯ ¬¨ ¯à殮¨©.�楨¢ ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¯®â®ª í¥à£¨¨ ¢ ¯ -¤ î饩 ¢®«¥ ¬¥¦¤ã ®âà ¦¥ë¬¨ ¢®« ¬¨ ¯à¨¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨ à á¯à®áâà ïî饩áï ®à¬ «ì®©¢®«ë á㯥௮§¨æ¨¥© SV- ¨ P-¢®«, ®âà ¦ îé¨å-áï ®â ¯®¢¥àå®á⥩ y=�1, § ¬¥â¨¬, çâ® ¤«ï ª®¬-¯®¥âë ¢¥ªâ®à á।¥£® § ¯¥à¨®¤ ¯®â®ª ¬®é-®á⨠¢ ¯à ¢«¥¨¨ yPy = � i!4 ��yyu�y � ��yyuy + �yzu�z � ��yzuz�á¯à ¢¥¤«¨¢ ¯à¨æ¨¯ á㯥௮§¨æ¨¨ á।¨å ¯®â®-ª®¢ ¬®é®áâ¨, ã®á¨¬ëå ®â¤¥«ì묨 ⨯ ¬¨ ¤¢¨-¦¥¨ï (SV- ¨ P-¢®« ¬¨). �¤¥áì § ª � ®§ ç -¥â ª®¬¯«¥ªá®¥ ᮯà殮¨¥. �®áª®«ìªã ¤«ï ¥-®¤®à®¤®© P-¢®«ë ¢¥ªâ®à á।¥£® § ¯¥à¨®¤¯®â®ª ¬®é®á⨠ª®¬¯®¥â Py à ¢ ã«î, â® ç áâ®â¥ ªà ¥¢®£® १® á ¯®â®ª ¬®é®á⨢ ¯à ¢«¥¨¨ y á¢ï§ ⮫쪮 á ¯®¯¥à¥ç®© SV-¢®«®©. �¤®«ì ¯®¢¥àå®á⥩ y=�1 ¥®¤®à®¤ ïP-¢®« í¥à£¨î ¯¥à¥®á¨â. �®í⮬㠪®¬¯®¥â ¢¥ªâ®à ¯®â®ª ¬®é®á⨠¢¤®«ì ®á¨ z Pz ᮤ¥à-¦¨â ª ª ¯®¯¥à¥çãî (SV), â ª ¨ ¯à®¤®«ìãî (P)¢®«ë.�¡é¥¥ ¢ëà ¦¥¨¥ á।¥£® § ¯¥à¨®¤ ¯®â®ª ¬®é®á⨠E ç¥à¥§ ¯®¯¥à¥ç®¥ á¥ç¥¨¥ z=const®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª [8]E = � i!4 1Z�1��zzu�z���zzuz+�zyu�y���zyuy�dy: (15)�§¢¥áâ®, çâ® ¤«ï ®à¬ «ìëå ¢®« ¢ ã¯à㣮¬¢®«®¢®¤¥ á¯à ¢¥¤«¨¢ ¯à¨æ¨¯ á㯥௮§¨æ¨¨ ¯®í¥à£¨¨ [8]. �।¨© § ¯¥à¨®¤ ¯®â®ª ¬®é®á⨮¡ãá«®¢«¥ ⮫쪮 à á¯à®áâà ïî騬¨áï ¢®« ¬¨¨ à ¢¥ á㬬¥ ¬®é®á⥩, ª®â®àë¥ ¯¥à¥®áïâ à á-¯à®áâà ïî騥áï ¢®«ë, áãé¥áâ¢ãî騥 ¤ -®© ç áâ®â¥: E = NXn=1En: (16)�®áâ ¢«ïîé ï ¯®â®ª ¬®é®á⨠En, ᮮ⢥âáâ¢ã-îé ï n-®© à á¯à®áâà ïî饩áï ®à¬ «ì®© ¢®«-¥, ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á®®â®è¥¨¥¬En = i!2 jCnj2 1Z�1��zzuz + �zyuy�dy: (17)42 �. �. �®à®¤¥æª ï
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2000. �®¬ 3, N 4. �. 35 { 44�«ï ¯à®¤®«ìëå ª®«¥¡ ¨© á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ëà ¦¥-¨¥: En = �!jCnj2
22(�2n �
21)�0(�n)2 : (18)� ç áâ®â¥ ªà ¥¢®£® १® á áãé¥áâ¢ã¥â⮫쪮 ®¤ à á¯à®áâà ïîé ïáï ¢®« . �®à-¬ «ì®¥ ¯à殮¨¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á®áâ ¢«ïî饩¯®â®ª ¬®é®á⨠J1, ª á ⥫쮥 ¯à殮¨¥ {J2: J1 = 1Z�1 J1(y)dy;J2 = 1Z�1 J2(y)dy:�¤¥áì J1(y) = �zz(�1; y)uz(�1; y)E0 ;J2(y) = �zy(�1; y)uy(�1; y)E0 ;E0 { ¯®â®ª ¬®é®áâ¨, ¯¥à¥®á¨¬®© ¯¥à¢®© à á-¯à®áâà ïî饩áï ¢®«®© ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë© ¢ëà -¦¥¨¥¬ (18).� à¨á. 5 ¯à¥¤áâ ¢«¥ ç áâ®â ï § ¢¨á¨¬®áâìJ1 ¨ J2 ¤«ï �=0:32. � ®¡« á⨠¨§ª¨å ç áâ®â J2¬¥ìè¥ ã«ï ¨ 㢥«¨ç¨¢ ¥âáï ¯® ¬®¤ã«î á à®á⮬ç áâ®âë. � ç áâ®â¥
2=2:1 jJ2j ¤®á⨣ ¥â ᢮¥-£® ¬ ªá¨¬ «ì®£® § 票ï. �ਠ¤ «ì¥©è¥¬ à®-á⥠ç áâ®âë jJ2j 㬥ìè ¥âáï, ¯à¨
2=2:22 J2¬¥ï¥â § ª. �®á«¥ í⮣® á ¯®¢ë襨¥¬ ç áâ®â뢥«¨ç¨ J2 ¬®®â®® ¢®§à áâ ¥â.� à¨á. 6 ¯à¥¤áâ ¢«¥ ç áâ®â ï § ¢¨á¨¬®áâì®â®è¥¨ï J2=J1 ¤«ï à §«¨çëå § 票© ª®íä-ä¨æ¨¥â �ã áá® . �ਢ ï 1 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ª®-íää¨æ¨¥âã �ã áá® �=0:24, ªà¨¢ ï 2 { �=0:32,ªà¨¢ ï 3 { �=0:4, ªà¨¢ ï 4 { �=0:48.�¥§ ¢¨á¨¬® ®â ª®íää¨æ¨¥â �ã áá® , ç -áâ®â¥
2�2:2 J2=0. �ਠí⮩ ç áâ®â¥ ¡«î¤ -¥âáï १® á SV-¢®«¥. �«ï
2�2:2 ¢¥«¨ç¨ J2=J1 ¨¬¥¥â íªáâ६ã¬, ª®â®àë© á¬¥é ¥âáï ¢ ¡®-«¥¥ ¨§ª®ç áâ®âãî ®¡« áâì á 㢥«¨ç¥¨¥¬ ª®íä-ä¨æ¨¥â �ã áá® . �஬¥ ⮣®, á 㢥«¨ç¥¨¥¬ �㢥«¨ç¨¢ ¥âáï ¬ ªá¨¬ã¬ jJ2=J1j. � ª¨¬ ®¡à §®¬,á 㢥«¨ç¥¨¥¬ ª®íää¨æ¨¥â �ã áá® ¢®§à áâ ¥âà®«ì ª á ⥫ìëå ¯à殮¨© ¨ ¨å ¬ ªá¨¬ «ì®¥®âà¨æ ⥫쮥 § 票¥ á¬¥é ¥âáï ¢ ¡®«¥¥ ¨§ª®-ç áâ®âãî ®¡« áâì.� ¤à㣮© áâ®à®ë, á 㢥«¨ç¥¨¥¬ ª®íää¨æ¨¥â �ã áá® à áâ¥â ç áâ®â ªà ¥¢®£® १® á . �«ïª®íää¨æ¨¥â®¢ �ã áá® ��0:22 ç áâ®â¥ ªà -¥¢®£® १® á ¢¥«¨ç¨ J2 ®âà¨æ ⥫ì . �à¨
�¨á. 7. �à®ä¨«¨ ¢¥«¨ç¨ J1(y) ¨ J2(y) ç áâ®â¥ ªà ¥¢®£® १® á ¤«ï à §«¨çëå§ ç¥¨© ª®íää¨æ¨¥â �ã áá® í⮬ ç áâ®â , ª®â®à®© jJ2=J1j ¤®á⨣ ¥â ¬ ªá¨-¬ «ì®£® § 票ï, ¥ ᮢ¯ ¤ ¥â á
e. �«ï ��0:22 ç áâ®â¥ ªà ¥¢®£® १® á á à®á⮬ ª®íää¨-樥â �ã áᮠ㢥«¨ç¨¢ ¥âáï ¯à®æ¥â®¥ á®-¤¥à¦ ¨¥ ᤢ¨£®¢®© ª®¬¯®¥âë ¢ ¯®â®ª¥ ¬®é®-áâ¨, ª®â®àë© á®®â¢¥âáâ¢ã¥â ¯¥à¢®© à á¯à®áâà -ïî饩áï ¢®«¥. � â ¡«. 1 ¯à¨¢¥¤¥ë § 票ï J1¨ J2 ç áâ®â¥ ªà ¥¢®£® १® á ¤«ï à §«¨çëå§ ç¥¨© �. � ª¨¬ ®¡à §®¬, ç áâ®â¥ ªà ¥¢®£®à¥§® á ¯à®æ¥â®¥ ᮤ¥à¦ ¨¥ ᤢ¨£®¢®© ª®¬-¯®¥âë ¢ ¯®â®ª¥ ¬®é®áâ¨, ª®â®àë© ¯¥à¥®á¨âáﯥࢮ© à á¯à®áâà ïî饩áï ¢®«®©, § ç¨â¥«ì®¨§¬¥ï¥âáï ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â �.� à®á⮬ ç áâ®âë ¡«î¤ îâáï áãé¥á⢥륨§¬¥¥¨ï ¢ à á¯à¥¤¥«¥¨¨ ᤢ¨£®¢®© ¨ ®à¬ «ì-®© ª®¬¯®¥â ¯® ⮫騥 ¢®«®¢®¤ . � à¨á. 7¯à¥¤áâ ¢«¥ë § ¢¨á¨¬®á⨠J1 ¨ J2 ®â ª®®à¤¨ -âë y ç áâ®â¥ ªà ¥¢®£® १® á ¤«ï à §«¨ç-ëå ª®íää¨æ¨¥â®¢ �ã áá® . �«ï ª®íää¨æ¨¥-⮢ �ã áá® ��2:4 J1 ¬®®â®® ¯ ¤ ¥â ¯à¨ ¨§-¬¥¥¨¨ y ®â á।¥© ¯«®áª®á⨠¤® ¯®¢¥àå®á⥩y=�1. �ਠí⮬ ¢¥«¨ç¨ J2 ®âà¨æ â¥«ì ¨¨¬¥¥â ®â®á¨â¥«ìë© íªáâ६ã¬. �«ï ¡®«ìè¨åª®íää¨æ¨¥â®¢ �ã áá® ç áâ®â ªà ¥¢®£® १®- á â ª®¢ , çâ® J2 áâ ®¢¨âáï ¯®«®¦¨â¥«ì묨 â ª¦¥ ¨¬¥¥â ®â®á¨â¥«ìë© íªáâ६ã¬. �®à-¬ «ì ï ª®¬¯®¥â ¨§¬¥ï¥âáï ¯® ⮫騥 ¢®«-®¢®¤ ¡®«¥¥ á«®¦ë¬ ®¡à §®¬ ¨ â ª¦¥ ¨¬¥¥â ®â-®á¨â¥«ìë© ¬¨¨¬ã¬, ¢ â®çª¥ ª®â®à®£® J1<0.�. �. �®à®¤¥æª ï 43
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2000. �®¬ 3, N 4. �. 35 { 44����������� à ¡®â¥ à áᬮâà¥ë ®á®¡¥®á⨠ªà ¥¢®£®à¥§® á ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ª®íää¨æ¨¥â �ã á-á® . �áâ ®¢«¥®, çâ® íä䥪⨢®áâì ¯à®ï¢«¥-¨ï ªà ¥¢®£® १® á ¨ ç áâ®â ¥£® áãé¥á⢮-¢ ¨ï (
e) áãé¥á⢥® § ¢¨áï⠮⠪®íää¨æ¨¥â �ã áá® . �ਠ¨§¬¥¥¨¨ ª®íää¨æ¨¥â �ã áá®- ®â 0 ¤® 0:5 ç áâ®â ªà ¥¢®£® १® á 㢥-«¨ç¨¢ ¥âáï ®â 1:99 ¤® 2:61, á⥯¥ì ¢®§¡ã¦¤¥-¨ï ¯¥à¢®© ¥®¤®à®¤®© ¢®«ë ¯ ¤ ¥â. �®¡à®â-®áâì १® á á à®á⮬ � ¯ ¤ ¥â. � áᬠâਢ ﯥà¢ãî à á¯à®áâà ïîéãîáï ¢®«ã ª ª á㯥௮-§¨æ¨î SV- ¨ P-¢®«, ®â¬¥â¨¬, çâ® ç áâ®â¥ ªà -¥¢®£® १® á ¯®¢¥àå®áâïå y=�1, z�0 SV-¢®« ï¥âáï à á¯à®áâà ïî饩áï, ¢ â® ¢à¥¬ïª ª P-¢®« { ¥®¤®à®¤®©. � ç áâ®â¥
2=2:2(¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¤«ï ¢á¥å ª®íää¨æ¨¥â®¢ �ã áá® ) è¨à¨¥ ¯®«ã¯®«®áë 㪫 ¤ë¢ ¥âáï 楫®¥ ç¨á«®SV-¯®«ã¢®« (�yy(�1; z)=0). �«ï á।¨å § ç¥-¨© ª®íää¨æ¨¥â �ã áá® 0:22���0:42 áãé¥-áâ¢ã¥â ¤¨ ¯ §® ç áâ®â, ª®â®à®¬ ¯®¯¥à¥ç ïSV-¢®« ¯ ¤ ¥â ᢮¡®¤ãî ¯®¢¥àå®áâì jyj�1,z=0 ¯®¤ 㣫®¬ ¡®«ìè¥ ªà¨â¨ç¥áª®£® ¨ áãé¥áâ¢ã¥âà á¯à®áâà ïîé ïáï ¯à®¤®«ì ï P-¢®« . � í⮬á«ãç ¥ â ª¦¥ áãé¥áâ¢ã¥â ç áâ®â
1e, ª®â®à®©�yy(�1; 0)=z á ãç¥â®¬ SV- ¨ P-¢®«. � áâ®â ªà -¥¢®£® १® á «¥¦¨â ¬¥¦¤ã
2=2:2 ¨
1e ¤«ïá।¨å § 票© ª®íää¨æ¨¥â �ã áá® .�®®â®è¥¨¥ ¬¥¦¤ã ®à¬ «ìë¬ ¨ ª á ⥫ì-ë¬ ¯à殮¨ï¬¨ ç áâ®â¥ ªà ¥¢®£® १® -á áãé¥á⢥® § ¢¨á¨â ®â ª®íää¨æ¨¥â �ã áá®- .1. Shaw E. A. G. On the resonant vibration of thing bar-ium titanate disks // J. Acoust. Soc. Amer.{ 1956.{20, N 1.{ P. 38{50.2. Oliver J. Elastic wave dispersion in a cylindrical rod
by a wide-band, short-duration pulse technique //J. Acoust. Soc. Amer.{ 1957.{ 29, N 2.{ P. 189{194.3. Onoe M., Pao Y. H. Edge mode of thin rectangularplate of barium titanate // J. Acoust. Soc. Amer.{1961.{ 33, N 11.{ P. 1628.4. Gazis D. C., Mindlin R. D. Extentional vibration andwaves in a circular disk and semi-in�nite plate //J. Acoust. Soc. Amer.{ 1960.{ 27, N 3.{ P. 541{547.5. McNiven H. D., Perry D. C. Axially symmetric wavesin �nite, elastic rods // J. Acoust. Soc. Amer.{ 1962.{34, N 4.{ P. 433{437.6. Onoe M. Frequncy of edge mode of isotropic thin rect-angular plate, circular disk and rod // J. Acoust. Soc.Amer.{ 1961.{ 33, N 11.{ P. 1627.7. Ikegami S., Ueda I., Kobayashi S. Frequency spectraof resonant vibration in disks plates of Pb Ti O3 piezo-electric ceramics // J. Acoust. Soc. Amer.{ 1974.{ 55,N 2.{ P. 339{344.8. �à¨ç¥ª® �. �., �¥«¥èª® �. �. � ମ¨ç¥áª¨¥ ª®-«¥¡ ¨ï ¨ ¢®«ë ¢ ã¯à㣨å ⥫ å.{ �.: � ãª. ¤ã¬-ª , 1981.{ 284 á.9. Torvik P. J. Re
ection of wave trains in semi-in�niteplate // J. Acoust. Soc. Amer.{ 1967.{ 41, N 2.{P. 346{353.10. �à¨ç¥ª® �. �., �®à®¤¥æª ï �. �. �¡ íä䥪⨢-®á⨠¢®§¡ã¦¤¥¨ï ªà ¥¢®© ¬®¤ë ¢ ã¯à㣮© ¯®«ã-¯®«®á¥ // �ਪ«. ¬¥å.{ 1998.{ 34, N 2.{ �. 17{25.11. �®¬¨«ª® �. �., �®à®¤¥æª ï �. �., �¥«¥èª® �. �.�à ¥¢®© १® á ¯à¨ ¢ë㦤¥ëå ¨§£¨¡ëå ª®-«¥¡ ¨ïå ¯®«ã¯®«®áë // �ªãáâ. ¦.{ 1991.{ 37, N 5.{�. 908{914.12. EerNisse E. P. Coupled-mode approach to elastic vi-bration analysis // J. Acoust. Soc. Amer.{ 1966.{ 40,N 5.{ P. 1045{1050.13. Auld B. A.,Tsao E.J. A variational analysis of edgeresonance in semi-in�nite plate // IEEE Trans. Son.Ultrason.{ 1977.{ 24, N 5.{ P. 317{326.14. Kagawa Y., Yamabuship J. Finite-element approachfor a piezoelectric circular rod // IEEE Trans. Son.Ultrason.{ 1976.{ 23, N 6.{ P. 379{385.15. Kaplunov J. D., Kossovich L. Yu., Wilde M. V. Freelocalized vibration of semi-in�nite celindrical shell //J. Acoust. Soc. Amer.{ 2000.{ 107, N 3.{ P. 1383{1393.16. Roitberg J., Vassiliev D., Wilde M. V. Edge resonancein an elastic semi-strip // Q. J. Mech. Appl. Math.{1998.{ 51.{ P. 1{13.
44 �. �. �®à®¤¥æª ï
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1192 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-7507 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:17:00Z |
| publishDate | 2000 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Городецкая, Н.С. 2008-07-24T09:59:27Z 2008-07-24T09:59:27Z 2000 Еще раз о краевом резонансе / Н. С. Городецкая // Акуст. вісн. — 2000. — Т. 3, N 4. — С. 35-44. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1192 539.3 На основе метода суперпозиции проведен анализ особенностей краевого резонанса в полуполосе со свободным торцом при изменении коэффициента Пуассона. Показано, что при изменении коэффициента Пуассона от 0 до 0.5 частота краевого резонанса увеличивается от 1.99 до 2.61. При этом добротность резонанса резко падает. При рассмотрении первой распространяющейся волны как суперпозиции SV- и P-волн отмечено, что на частоте краевого резонанса на боковых поверхностях полуполосы SV-волна является распространяющейся, а P-волна - неоднородной. На частоте W2»2.2 практически для всех коэффициентов Пуассона на ширине полуполосы укладывается целое число SV-полуволн. Для средних значений коэффициента Пуассона - от 0.22 до 0.42 - существует диапазон частот, на котором поперечная волна падает на свободный торец полуполосы под углом, большим критического, и существует продольная распространяющаяся волна. В этом случае также существует частота We1, на которой боковые поверхности полуполосы свободны от напряжений с учетом SV- и P-волн. Для средних значений коэффициента Пуассона частота краевого резонанса лежит между значениями W2=2.2 и We1. На базі методу суперпозиції проведений аналіз особливостей крайового резонансу в півсмузі з вільним торцем при зміні коефіцієнта Пуасона. Показано, що при зміні коефіцієнта Пуассона від 0 до 0.5 частота крайового резонансу збільшується від 1.99 до 2.61. При цьому добротність резонансу різко падає. При розгляді першої хвилі, що поширюється, як суперпозиції SV- і P-хвиль відзначено, що на частоті крайового резонансу на бічних поверхнях півсмуги SV-хвиля поширюється, а P-хвиля - неоднорідна. На частоті W2»2.2 практично для всіх коефіцієнтів Пуассона на ширині півсмуги вкладається ціле число SV-півхвиль. Для середніх значень коефіцієнта Пуасона - від 0.22 до 0.42 - існує діапазон частот, на якому поперечна хвиля падає на вільний торець півсмуги під кутом, більшим за критичний, і існує поздовжна хвиля, що поширюється. У цьому випадку також існує частота We1, на якій бічні поверхні півсмуги є вільними від напружень з урахуванням SV- та P-хвиль. Для середніх значень коефіцієнта Пуасона частота крайового резонансу лежить між значеннями W2=2.2 і We1. On the basis of method of superposition the analysis of features of an edge resonance is carried out for a half-strip with free edge at variation of Poisson's ratio. It is shown that with change of Poisson's ratio from 0 up to 0.5 the edge resonance frequency increases from 1.99 to 2.61. In going so, the quality factor sharply falls. Considering the first propagating wave as a superposition of SV- and P-waves we note that at the edge resonance frequency the SV-wave on side surfaces is propagating one, while P-wave is evancesent one. On frequency W2»2.2 practically for all Poisson's ratios there are integer numbers of SV-half-waves across the width of a half-strip. For intermediate Poisson's ratios, namely from 0.22 to 0.42, there is a range of frequencies, for which the SV-wave falls on a free end of half-strip at the angle exceeding critical one. In going so, there exist a propagating P-wave. In this case there also exists a frequency We1 where side surfaces of a half-strip are free from stresses when accounting both SV- and P-waves. The edge resonance frequency lays between values W2=2.2 and We1 for intermediate Poisson's ratios. ru Інститут гідромеханіки НАН України Еще раз о краевом резонансе Once more on edge resonance Article published earlier |
| spellingShingle | Еще раз о краевом резонансе Городецкая, Н.С. |
| title | Еще раз о краевом резонансе |
| title_alt | Once more on edge resonance |
| title_full | Еще раз о краевом резонансе |
| title_fullStr | Еще раз о краевом резонансе |
| title_full_unstemmed | Еще раз о краевом резонансе |
| title_short | Еще раз о краевом резонансе |
| title_sort | еще раз о краевом резонансе |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1192 |
| work_keys_str_mv | AT gorodeckaâns eŝerazokraevomrezonanse AT gorodeckaâns oncemoreonedgeresonance |